83 Exercicios de matemática

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Exercicios de matemática
1) O círculo C, de raio R, está inscrito no triângulo eqüilátero DEF. Um círculo de raio r está no interior do
triângulo DEF e é tangente externamente a C e a dois lados do triângulo, conforme a figura.
Assim, determine:
a) a razão entre R e r.
b) a área do triângulo DEF em função de r.
2) Os "Sulbasutras" são manuscritos que foram escritos pelos habitantes do noroeste da Índia por volta de
1500 a.C. Eles trazem instruções para a realização de cerimônias religiosas que requeriam a construção de
altares em formatos combinados de triângulos, retângulos e trapézios. Uma dessas instruções é um método
para construir um quadrado a partir de dois quadrados menores. Denotando-se por ABCD e PQRS os dois
quadrados menores na figura a seguir, marca-se um ponto X no lado DC, de modo que DX = PQ; em
seguida, liga-se A e X e constrói-se o novo quadrado AXFE .
Sabendo que PQ = 2 m e AD = 4 m, calcule a área da região sombreada ABGFE.
3) Dado o cubo ABCDEFGH de aresta 2 cm da figura a seguir, determine o valor de x de modo que o
prisma AKLEMN tenha volume igual a oitava parte do volume do cubo.
4) Nesta figura, estão representados o cubo ABCDEFGH e o prisma ACRPQO.
Sabe-se que
- P, Q e R são, respectivamente, os pontos médios das arestas AE, CG e CD;
- o ponto O é o centro da face CDHG; e
- o volume do prisma ACRPQO é 24 cm3.
Determine a aresta do cubo. 
5) Observe o bloco retangular da figura 1, de vidro totalmente fechado com água dentro. Virando-o, como
mostra a figura 2, podemos calcular o valor de x. Calcule este valor.
6) Considere um tetraedro retangular e um plano que o intercepta. A única alternativa correta é:
a) a intersecção pode ser um quadrilátero.
b) a interseção é sempre um triângulo.
c) a interseção é sempre um triângulo eqüilátero.
d) a intersecção nunca é um triângulo eqüilátero.
e) a intersecção nunca é um quadrilátero.
7) (UFRJ) Antônio, Bernardo e Cláudio saíram para tomar chope, de bar em bar, tanto no sábado quanto
no domingo.
As matrizes a seguir resumem quantos chopes cada um consumiu e como a despesa foi dividida: S
refere-se às despesas de sábado e D às de domingo.
Cada elemento aij nos dá o número de chopes que i pagou para j, sendo Antônio o número 1, Bernardo o
número 2 e Cláudio o número 3 (aij representa o elemento da linha i, coluna j de cada matriz).Assim, no
sábado Antônio pagou 4 chopes que ele próprio bebeu, 1 chope de Bernardo e 4 de Cláudio ( primeira
linha da matriz S).
a) Quem bebeu mais chope no fim de semana?
b) Quantos chopes Cláudio ficou devendo para Antônio?
8) (UNESP) A função abaixo, com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no
mundo, em km¤, em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100).
Determine, utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao
registrado em 1900. Use as aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7.
0) (FUVEST) Considere uma urna que contém uma bola preta, quatro bolas brancas e x bolas azuis. Uma
bola é retirada ao acaso dessa urna, a sua cor é observada e a bola é devolvida à urna. Em seguida,
retira-se novamente, ao acaso, uma bola dessa urna. Para que valores de x a probabilidade de que as
duas bolas sejam da mesma cor vale 1/2?
10) As medidas dos lados de um triângulo ABC formam uma progressão aritmética de razão igual a 1.
Determine a altura do triângulo ABC, relativa ao lado AB, sabendo que AC < AB < BC e cos(ABC) = 3/5.
11) A seqüência de triângulos eqüiláteros, ilustrada na figura abaixo, apresenta certo número de pontos
assinalados em cada triângulo. 
Seguindo a lógica utilizada na construção da seqüência, o número de pontos que estarão assinalados no
oitavo triângulo é
a) 65
b) 54
c) 45
d) 56
12) (UFRJ) Seja x tal que sen x + cos x = 1.
Determine todos os valores possíveis para sen 2x + cos 2x.
13) (UFRJ) Um recipiente em forma de cone circular reto de altura h é colocado com vértice para baixo e
com eixo na vertical, como na figura. O recipiente, quando cheio até a borda, comporta 400 ml.
Determine o volume de líquido quando o nível está em 
2
h
.
14) (UFRJ) Um marceneiro cortou um cubo de madeira maciça pintado de azul em vários cubos menores 
da seguinte forma: dividiu cada aresta em dez partes iguais e traçou as linhas por onde serrou, conforme 
indica a figura abaixo.
a) Determine o número de cubos menores que ficaram sem nenhuma face pintada de azul.
b) Se todos os cubos menores forem colocados em um saco, determine a probabilidade de se retirar, ao
acaso, um cubo com pelo menos duas faces azuis. 
15) (UFRJ) O sólido representado na figura é formado por um cubo e uma pirâmide quadrangular regular
cuja base coincide com a face superior do cubo. O vértice O do cubo é a origem do sistema ortogonal de
coordenadas cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem respectivamente aos semi-eixos positivos
Ox, Oy e Oz. O vértice S tem coordenadas (2,2,8). 
Considere o plano z = k que divide o sólido em duas partes de volumes iguais. Determine o valor de k.
16) Considere f : N → N, definida por
Calcule f(f(f(5))).
17) Na figura, temos os esboços dos gráficos das funções f e g, sendo f(x) = ax . Determine o valor de g(g
(–1) )+ f(g (3)).
18) Um triângulo ABC tem lados AB, AC e BC que medem, respectivamente, 5 cm, 10 cm e 9 cm.
Determine a medida da mediana relativa ao lado AC.
19) (UNICAMP) Caminhando em linha reta ao longo de uma praia, um banhista vai de um ponto A a um
ponto B, cobrindo a
distância AB = 1.200 metros. Quando em A, ele avista um navio parado em N de tal maneira que o
ângulo NAB é de 60º; e
quando em B, verifica que o ângulo NBA é de 45º.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule a distância a que se encontra o navio da praia.
20) (UFRJ) A grande sensação da última ExpoArte foi a escultura “O. I. T. O.”, de 12 metros de altura, 
composta por duas
circunferências, que reproduzimos abaixo, com exclusividade.
12
Para poder passar por um corredor de apenas 9 metros de altura e chegar ao centro do Salão Principal, 
ela teve de ser
inclinada. A escultura atravessou o corredor tangenciando o chão e o teto, como mostra a figura a seguir.

9
Determine o ângulo de inclinação  indicado na figura.
21) O triângulo ABC da figura é equilátero. 
C
A
B
E
D
x F
G
8
Qual o valor de x, sabendo que o lado do triângulo ABC vale 14 cm?
22) 
Determine a razão entre as áreas do quadrilátero BCDP e do hexágono.
23) (UFPE) O número de sócios de um clube aumentou 15% em 2003 (relativo a 2002). Se o percentual
de sócios do sexo masculino aumentou 10%, e o percentual de sócios do sexo feminino aumentou 30%,
qual era o percentual de mulheres sócias do clube, em 2002? 
a) 25% b) 30% c) 33% d) 35% e) 40%
24) (IME) Um exame vestibular se constitui de 10 provas distintas, 3 das quais da área de Matemática.
Determine de quantas formas é possível programar a seqüência das 10 provas, de maneira que duas
provas de Matemática não se sucedam.
10) (UFRJ) Na figura abaixo, os quadrados Q1, Q2, Q3, ... estão apoiados no cateto AC do triângulo ABC e 
possuem vértices B1, B2, B3, ... na hipotenusa BC.
 
 B1 B2 B3 
C A 
B 
Q1 
A3 A2 A1 
Q2 Q3 
5 
5 
 
a) Determine a razão entre o lado do quadrado Qn+1 e o lado do quadrado Qn em função do ângulo 
BĈA = .
b) Determine o comprimento de AC para que a soma das áreas dos quadrados Q1, Q2, Q3, ... Qn,.. seja
igual à metade da área do triângulo ABC.
25) (UERJ) Numa sala existem cinco cadeiras numeradas de 1 a 5. Antonio, Bernardo, Carlos, Daniel e 
Eduardo devem se sentar nestas cadeiras. A probabilidade de que nem Carlos se sente na cadeira 3, nem
Daniel na cadeira 4, equivale a:
a) 16% 
b)54% 
c)65%
 d)96%
26) Determine o raio da circunferência circunscrita ao triângulo de lados que medem 4 cm, 5 cm e 6 cm.
17) (UERJ) Considere o triângulo ABC mostrado, onde os ângulos A, B e C estão em progressãoaritmética
crescente. Determine os valores de cada um desses ângulos, respectivamente, sabendo que:
2
33
senCsenBsenA

 .
28) (UNICAMP)
29) (UNICAMP)
30) (UNICAMP) 
31) (UNICAMP) 
32) (UNICAMP) Considere, no plano xy, as retas y = 1, y = 2x – 5 e x – 2y + 5 = 0.
a) Quais são as coordenadas dos vértices do triângulo ABC formado por essas retas?
b) Qual é a área do triângulo ABC?
33) (UNICAMP) Em Matemática, um número natural a é chamado palíndromo se seus algarismos, escritos
em ordem inversa, produzem o mesmo número. Por exemplo, 8, 22 e 373 são palíndromos. Pergunta-se:
a) Quantos números naturais palíndromos existem entre 1 e 9.999?
b) Escolhendo-se ao acaso um número natural entre 1 e 9.999, qual é a probabilidade de que esse
número seja palíndromo? Tal probabilidade é maior ou menor que 2%? Justifique sua resposta.
34) (UNICAMP) Considere um cubo cuja aresta mede 10cm. O sólido cujos vértices são os centros das
faces do cubo é um octaedro regular, cujas faces são triângulos eqüiláteros congruentes.
a) Calcule o comprimento da aresta desse octaedro regular.
b) Calcule o volume do mesmo octaedro.
35) (UERJ) Pelos programas de controle de tuberculose, sabe-se que o risco de infecção R depende do
tempo t, em anos, do seguinte modo: R = R0.e-kt, em que R0 é o risco de infecção no início da contagem
do tempo t e k é o coeficiente de declínio. O risco de infecção atual em Salvador foi estimado em 2%.
Suponha que, com a implantação de um programa nesta cidade, fosse obtida uma redução no risco de
10% ao ano, isto é, k = 10%. Use a tabela para os cálculos necessários. O tempo, em anos, para que
o risco de infecção se torne igual a 0,2%, é de:
a) 21 b) 22 c) 23 d) 24
36) Uma palavra é formada por N vogais e N consoantes. De quantos modos distintos podem-se permutar
as letras desta palavra, de modo que não apareçam juntas duas vogais ou duas consoantes?
(N!)2 (N!)2.2 (2N)! (2N)!.2 N!
37) (FUVEST - adaptada) Na figura, os pontos A, B, C pertencem à circunferência de centro O e BC = a. A
reta OC é perpendicular ao segmento AB e o ângulo AÔB mede /3 radianos. Determine a área do
triângulo ABC.
38) (EFOMM - adaptada)
Nas embarcações é comum utilizar os cabeços para amarrar as espias. Ao olhar de cima, visualizam-se
duas circunferências. Ao dispor meia circunferência no quadrado ABCD de lado a, onde DB é a espia,
obtêm-se o ponto de tangência F e como centro da circunferência o ponto E. Determine o valor do raio do
cabeço.
39) Se MNOPQR é um hexágono regular inscrito na circunferência, então determine o valor da expressão 
a + b – c.
40) Na figura, BC e CE são segmentos colineares de 4cm cada um. Se os triângulos ABC e DCE são
eqüiláteros, determine a área do triângulo BDE.
41) Uma empresa mercante A paga R$ 1000,00 fixos mais R$ 600,00 por dia de viagem e uma empresa B
R$ 400,00 fixos mais R$ 800,00 por dia de viagem. Sabe-se que Marcos trabalha na empresa A e Emanuel
na B e obtiveram o mesmo valor salarial. Quantos dias eles ficaram embarcados?
42) Na Física, as leis de Kepler descrevem o movimento dos planetas ao redor do Sol. Define–se como
período de um planeta o intervalo de tempo necessário para que este realize uma volta completa ao
redor do Sol. Segundo a terceira lei de Kepler, “Os quadrados dos períodos de revolução (T) são
proporcionais aos cubos das distâncias médias (R) do Sol aos planetas”, ou seja, T2 = KR3, em que K é a
constante de proporcionalidade. Sabe–se que a distância do Sol a Júpiter é 5 vezes a distância Terra–Sol;
assim, se denominarmos T ao tempo necessário para que a Terra realize uma volta em torno do Sol, ou
seja, ao ano terrestre, a duração do “ano” de Júpiter será:
43) 
44) O volume de um líquido volátil diminui 4% a cada 10 minutos. O tempo necessário para que o volume
se reduza à quarta parte é: (Se necessário use log2 = 03, e log3 = 0,48)
(A) 4 horas (B) 5 horas (C) 6 horas (D) 8 horas (E)12 horas e 30 minutos.
45) (UERJ) Uma empresa acompanha a produção diária de um funcionário recém-admitido, utilizando uma
função f(d), cujo valor corresponde ao número mínimo de peças que a empresa espera que ele produza
em cada dia (d), a partir da data de sua admissão. Considere o gráfico auxiliar abaixo, que representa a
função y = ex. 
Utilizando f(d) = 100-100.e-0,2d e o gráfico acima, a empresa pode prever que o funcionário alcançará a
produção de 87 peças num mesmo dia, quando d for igual a:
(A) 5 (B) 10 (C) 15 (D) 20
46) (UERJ) Considere a função IRx,18x2
2
3x
f 23 







 
.
a) Determine os zeros da função. b) Calcule 
2
)1(f)1(f 
47) (UFRJ) Um clube oferece a seus associados aulas de três modalidades de esporte: natação, tênis e
futebol. Nenhum associado pode se inscrever simultaneamente em tênis e futebol, pois, por problemas
administrativos, as aulas destes dois esportes serão dadas no mesmo horário. Encerradas as inscrições,
verificou-se que: dos 85 inscritos em natação, 50 só farão natação; o total de inscritos para as aulas de
tênis foi de 17 e, para futebol, de 38; o numero de inscritos só para as aulas de futebol excede em 10 o
numero de inscritos só para as de tênis. Quantos associados se inscreveram simultaneamente para aulas
de futebol e natação?
48) (MACK) Seja f: R → R uma função definida por y = f(x). Sabendo-se que f(0) = 3, f(1) = 2 e f(3) = 0, determine o
valor de x tal que f(f(x+2)) = 3.
49) (FUVEST) 
50) (FUVEST - adaptada) Na figura, o triângulo ABC é retângulo com catetos BC = 3 e AB = 4. Além disso,
o ponto D pertence ao cateto AB, o ponto E pertence ao cateto BC e o ponto F pertence à hipotenusa AC,
de tal forma que DECF seja um paralelogramo. Se DE = 3/2, então calcule a área do paralelogramo DECF.
51) (FUVEST – adaptada) A figura representa um quadrado ABCD de lado 1. O ponto F está em BC, BF
mede , o ponto E está em CD e AF é bissetriz do ângulo BÂE. Determine o segmento DE.
25) (FUVEST) 
53) (FUVEST) Escolhido ao acaso um elemento do conjunto dos divisores positivos de 60, a probabilidade 
de que ele seja primo é:
(A) 1/2 (B) 1/3 (C) 1/4 (D) 1/5 (E) 1/6
54) (UFCE) Se a875log7  , então 245log35 é igual a:
a) 
7a
2a


 b) 
5a
2a


 c) 
2a
5a


 d) 
2a
7a


 e)
7a
5a


 
 55) (UFF) Cada um dos 60 alunos da turma A obteve, na avaliação de um trabalho, nota 5 ou nota 
10. A média aritmética dessas notas foi 6.
Determine quantos alunos obtiveram nota 5 e quantos obtiveram nota 10.
56) (UFF) Considere os conjuntos X e Y:
X = {x   x é múltiplo de 3}
Y = {y   y é ímpar}
Determine o centésimo termo da sucessão obtida quando se escrevem os elementos de X  Y em ordem
crescente.
57) (UFF) Considere f, função real de variável real, definida por f (x) = – x2 + ax + b que possui uma
raiz nula e um máximo para x = 3.
Determine os valores de a e b.
58) (UFF) A partir de um grupo de 6 alunos e 5 professores será formada uma comissão constituída por 4
pessoas das quais, pelo menos duas devem ser professores.
Determine de quantas formas distintas tal comissão pode ser formada.
59) (UERJ) Observe as regiões hachuradas do plano cartesiano, que correspondem aos pontos que
satisfazem o sistema de inequações abaixo:
Calcule:
A) o ângulo formado entre as retas r e s.
B) a área total das regiões hachuradas.
60) (ESFAO) Um supermercado vende cada lata de um achocolatado por R$4,00 e cada pacote de biscoito
por R$1,00. Para chamar a atenção dos clientes, ofereceu um desconto de 20% no preço da lata do
achocolatadoe de 10% no preço do pacote de biscoito, caso o cliente comprasse um “kit promoção”, com
1 lata de achocolatado e 2 pacotes de biscoito. De acordo com esses dados, calcule:
a) o valor, em reais, do "kit promoção";
b) o número máximo de “kits promoção” que uma pessoa poderá comprar com R$20,00.
61) (ESFAO) Uma agência de turismo fretou um ônibus com 40 lugares para uma excursão. Cada pessoa 
pagará R$30,00 e mais R$1,00 por cada lugar vago.
a) Escreva a sentença matemática que expressa o valor arrecadado pela agência, em função do número 
de pessoas presentes à excursão.
b) Determine o número de passageiros necessário para que o valor arrecadado pela agência seja o maior 
possível.
62) (ESFAO) 
a) A menina da tirinha tem 12 vidros de esmalte de cores diferentes. Vai escolher 10 dessas cores para
pintar todas as unhas das mãos, uma de cada cor.
Calcule o número de possibilidades diferentes para a escolha dessas cores.
b) Suponha que os 12 vidros de esmalte sejam colocados numa sacola e que a menina os retire
aleatoriamente, um a um, sem reposição.
Sabendo que vermelho e azul são duas das cores disponíveis, determine a probabilidade de a primeira
retirada ter a cor vermelha e de a segunda ter a cor azul.
63) (ESFAO) Utilizando um semicírculo de cartolina, Jorge confeccionou um chapéu decorativo, com a
forma de um cone circular, para a festa de aniversário de seu filho, conforme mostram as figuras abaixo:
a) Determine a medida do ângulo q.
b) Se Jorge pretende confeccionar 100 chapéus iguais a este, calcule, em m², a área de cartolina a ser
efetivamente usada.
64) (ESFAO) Marcos e Paulo vão fazer um concurso e para isso resolveram estudar todos os dias. Marcos
vai estudar 2 horas por dia, a partir de hoje. Paulo vai estudar hoje apenas uma hora e, nos dias que se
seguem, vai aumentar o tempo de estudo em meia hora a cada dia.
Considerando esses dados, determine o número de horas que:
a) Paulo estudará no décimo sexto dia, a partir de hoje;
b) cada um deverá ter estudado em 16 dias consecutivos, a partir de hoje.
65) (UFF) As torneiras T1 e T2 enchem de água os reservatórios cúbicos R1 e R2 cujas arestas medem, em
metros, a e 2a conforme mostra a figura abaixo.
 
A torneira T1 tem vazão de 1 litro por hora.
Qual deve ser a vazão da torneira T2 para encher R2 na metade do tempo que T1 gasta para encher R1?
66) (UFF) Uma peça de madeira, que tem a forma de um prisma reto com 50 cm de altura e cuja seção
reta é um quadrado com 6 cm de lado, custa R$ 1,00. Esta peça será torneada para se obter um pé
de cadeira cilíndrico, com 6 cm de diâmetro e 50 cm de altura. O material desperdiçado na produção
do pé de cadeira deverá ser vendido para reciclagem por um preço P igual ao seu custo. Determine o
preço P, considerando  = 3,14.
67) (UFF) Um fazendeiro pretende destinar um terreno retangular à plantação de mudas. Para limitar o
terreno, deverá estender 1000 m de tela ao longo de três de seus lados — o quarto lado coincidirá
com um muro reto.
Nestas condições calcule, em metros quadrados, a maior área possível de ser limitada.
68) (UFF) Determine o valor de x na equação
log x + log x2 + log x3 + ... + log x18 = 342.
69) (UFF) Uma plataforma é paralela a um pátio plano. O piso da plataforma e o do pátio distam 6m um
do outro e estão ligados por uma rampa reta.
Sabendo que a rampa forma com o pátio um ângulo cujo cosseno vale 4/5, determine o comprimento
dessa rampa.
70) (UFF) Determine a área da região do plano limitada pelas retas y = 3x, x + y = 4 e y = 0.
 
71) (UENF)
Com base no gráfico acima, que representa o levantamento das notas de Matemática de uma turma de 
alunos, determine:
a) o número de alunos da turma;
b)a média da turma em Matemática.
72) (UENF) Observe o gráfico abaixo, no qual a reta y = kx divide o retângulo ABCD em dois trapézios 
retângulos T1 e T2.
a) Calcule a área do trapézio T1, considerando k = .
b) Determine o valor de k para que T1 e T2 tenham a mesma área.
73) (UENF) A função P(t) = P0.10k.t representa o crescimento da população de uma determinada
espécie animal em função do tempo t, expresso em anos, em que P0 é a população inicial e k é uma
constante real.
a) Demonstre que k = 0,01, considerando log2 = 0,30.
b) Para k = 0,01, calcule o valor da razão .
74) (UERJ) No sistema de coordenadas cartesianas abaixo, estão representadas as funções f(x) = 4x – 4 e
g(x) = 2x² – 12x + 10.
Com base nos dados acima, determine:
A) as coordenadas do ponto P.
B) o conjunto-solução da inequação < 0 , f(x) ≠ 0.
75) (UFF) Seja f a função real de variável real definida por f (x) = log
1
x
.
a) Determine o domínio de f.
b) Defina a inversa de f.
76) (UFF) Cada linha e cada coluna da matriz A100 x 100 constitui uma progressão aritmética conforme
indicado a seguir:
A =
1 2 3
101 102 103
201 202 203



  
























Determine a soma dos elementos da diagonal principal de A.
77) (UFF) Considere o tetraedro regular MPQR, de aresta a, representado na figura.
 
 Determine a área do triângulo M N P, sabendo que N é ponto médio de QR .
87) (UFF) Sabendo que sen x – cos x = 
1
3
, 0  x
2

, determine sen 2x.
79) (UFF) Determine a área da região hachurada na figura abaixo, sabendo que todas as circunferências
têm raio r.
 
80) (UFF) O triângulo PQR é retângulo em Q, N é ponto médio de QR e NM é perpendicular a PR ,
conforme a figura abaixo. 
 
Determine a medida de NM .
81) (UERJ) Observe a figura I, onde ABC é um triângulo retângulo e {r, s, t, u} é um feixe de retas
paralelas equidistantes.
A figura I foi dobrada na reta (t), conforme ilustra a figura II.
Calcule:
A) a área do triângulo A'BM, hachurado.
B) o seno do ângulo  = BPA'.
82) (UERJ) A figura abaixo representa o polinômio P definido por P(x) = x³ - 4x.
a) Determine as raízes desse polinômio.
b) Substituindo-se, em P(x) , x por x - 3 , obtém-se um novo polinômio definido por y = P(x - 3).
Determine as raízes desse novo polinômio.
83) (UERJ) Observe o gráfico da função f, que possui uma imagem f(x) = |2 sen (2x)|para cada x real.
a) Sendo C o ponto de interseção do gráfico com o eixo x, D a origem e AB tangente ao gráfico de f,
calcule a área do retângulo ABCD.
b) Mostre graficamente que a equação |2 sen (2x)|= x² tem três soluções.
Justifique a sua resposta.