ENSINO FUNDAMENTAL 8º ANO _MATEMÁTICA_VOLUME 2 (PROFESSOR)

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Livro do professor
Livro
didático
5
4
Triângulos 
e quadriláteros 33
Estatística 2
8o. ano
Volume 2
Matemática
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4
 De acordo com esse estudo, os motoristas da cidade do Rio de Janeiro gastam, em média, 47% mais 
tempo no trânsito nos horários de maior tráfego em comparação com um fluxo livre. Em horários de 
pico, esse aumento no tempo é ainda maior.
1. Quando essa pesquisa foi realizada, quais dessas cidades tinham um nível de congestionamento de 
até 35%? 
2. No Rio de Janeiro, para ir ao trabalho sem congestionamento, uma pessoa leva 30 minutos. Para 
voltar pelo mesmo caminho no horário de pico da tarde, quantos minutos serão gastos em média? 
1 Orientações de encaminhamento.
1. São Paulo e Fortaleza. 2. Aproximadamente 54 minutos.1. São Paulo e Fortaleza. 2. Aproximmadamente 54 minutos.
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Por meio de uma pesquisa, foi divulgado o Índice de Tráfego Global Anual, o qual tem como 
análise o impacto dos engarrafamentos em 390 cidades de 48 países. Na tabela a seguir, estão 
algumas das cidades com tráfego mais congestionado do Brasil em 2016.
Ranking 
nacional
Ranking 
mundial Cidade
Nível de 
congestionamento
Pico da 
manhã
Pico da 
tarde
1.º 8 .º Rio de Janeiro 47% 63% 81%
2 .º 28 .º Salvador 40% 63% 70%
3 .º 43 .º Recife 37% 60% 65%
4 .º 47 .º Fortaleza 35% 56% 57%
5 .º 71.º São Paulo 30% 42% 53%
Fonte: TOMTOM Traffic Index. Disponível em: <http://www.tomtom.com/en_gb/trafficindex/list?citySize=ALL&continent=SA&co
untry=BR>. Acesso em: 12 jun. 2018.
Estatística
2
Medidas de tendência central
Média aritmética
Leia as manchetes de algumas notícias.
a) Que expressão é comum nessas manchetes?
“Em média”.
b) O que significa dizer que “em média, cada magistrado soluciona 7,3 processos por dia no Brasil”?
Significa que, caso todos os magistrados do Brasil solucionassem uma mesma quantidade de processos, essa quantidade seria de 
7,3 processos por dia. Alguns magistrados podem solucionar mais do que essa quantidade, e outros menos. 
c) “Contas de luz devem subir em média 7% este ano.” O que isso significa?
Significa que, em alguns lugares do Brasil, elas devem subir mais, e em outros menos, mas que, caso todos os aumentos fossem 
iguais, seriam de 7%.
d) Cite outras situações nas quais o conceito de média é aplicado.
No fechamento de notas de algumas escolas, em concursos públicos, em seleção de vagas, na contratação de funcionários, entre 
outras.
Ao final deste capítulo, espera-se que você calcule e utilize as medidas de tendência central 
como ferramentas para análise de dados estatísticos, bem como seja capaz de interpretar os dife-
rentes tipos de gráficos usados nos resultados de uma pesquisa. 
Objetivos
Medidas de tendência central
Média aritmética
Leia as manchetes de algumas notícias.
TELES, Giovana. Contas 
de luz devem subir em 
média 7% este ano. 
Disponível em: <http://
g1.globo.com/jornal-da-
globo/noticia/2017/02/
contas-de-luz-devem-
subir-em-media-717-
este-ano.html>. Acesso 
em: 13 jun. 2018. 
CIEGLINSKI, Thaís. Em média, cada magistrado
 soluciona 7,3 
processos por dia no Brasil. Disponível em: <ht
tp://www.cnj.jus.
br/noticias/cnj/83680-em-media-cada-magist
rado-soluciona-7-3-
processos-por-dia-no-brasil>. Acesso em: 13 ju
n. 2018. 
ATROPELAMENTOS matam, em média, um adolescente por dia no Brasil. Disponível em: 
<http://g1.globo.com/bom-dia-brasil/noticia/2017/02/atropelamentos-matam-em-media-um-
adolescente-por-dia-no-brasil.html>. Acesso em: 13 jun. 2018. 
 
 
3
Um grupo de meninas foi selecionado para fazer parte de um time de vôlei. Observe a apresentação de cada 
uma das atletas.
a) Qual é a idade média dessas jogadoras?
 Para calcular: 
• primeiro, some todas as idades dessas jogadoras.
13 + 14 + 15 + 11 + 15 + 16 = 84
• depois, divida essa soma pelo número de idades somadas. 
84 : 6 = 14
O resultado encontrado é a média aritmética das idades.
b) Calcule a altura média dessas jogadoras. 
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1 70 1 74 1 80 1 60 1 68 1 74
6
10 26
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1 71
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,
c) Multiplique a média das alturas que você obteve no item anterior pelo número de jogadoras. O que 
podemos dizer sobre esse produto e a soma das alturas das jogadoras?
O produto da média das alturas pelo número de jogadoras é igual à soma das alturas das jogadoras: 6 ⋅ 1,71 = 10,26.
Dados os números a a a a n1 2 3, , , ..., , a média aritmética é obtida adicionando esses números 
e dividindo o resultado por n. 
1 2 3 na +a +a +…+aMédia aritmética =
n
EU SOU A 
CAROL, TENHO 
13 ANOS E 
1,70 M.
SOU A TATI, 
TENHO 14 
ANOS E 1,74 M.
SOU A JU! 
TENHO 15 
ANOS E 
1,80 M. 
MEU NOME É 
LARA. TENHO 
11 ANOS E 
1,60 M. 
MEU NOME 
É MARI E EU 
TENHO 16 ANOS 
E 1,74 M.
OLÁ! EU SOU 
A BIA! TENHO 
15 ANOS E 
1,68 M.
Você já estudou média aritmética e média aritmética ponderada. Agora, você vai recordar como calculá-las 
e ampliar os conceitos para outras medidas de tendência central. Para isso, considere as situações a seguir.
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8o. ano – Volume 24
Média aritmética ponderada
Na escola de idiomas onde Marco estuda, o professor estabeleceu que a nota de cada prova tem peso 3 e a 
nota do trabalho tem peso 2, assim como a de participação. Nessa escola, para passar de ano sem recuperação, 
é necessário obter, no mínimo, média 7. 
Estas foram as notas de Marco no ano:
Semestre Prova 1 Prova 2 Trabalho Participação
1.º 8 8,4 6 5
2.º 6,4 6,2 7,4 8
a) O que significa dizer que a nota de cada prova tem peso 3 e que as notas do trabalho e de participa-
ção têm peso 2? 
Quando dizemos que a nota de cada prova tem peso 3, é como se tivéssemos três notas iguais, ou seja, que a nota dessa prova 
deve ser considerada três vezes. Da mesma forma, as notas do trabalho e de participação devem ser consideradas duas vezes cada.
b) Qual é a soma de todas as notas do 1.º semestre considerando os pesos de cada nota?
8 + 8 + 8 + 8,4 + 8,4 + 8,4 + 6 + 6 + 5 + 5 = 71,2
c) Por quanto devemos dividir a soma das notas do 1.º semestre para obter a média? 
Por 10.
d) Qual a média das notas do 1.º semestre? 71,2 : 10 = 7,12 
Quando calculamos a média atribuindo diferentes pesos aos valores, temos um caso particular 
de média aritmética. Essa média denomina-se média aritmética ponderada.
e) Calcule a média das notas do 2.º semestre. 
6,4 6,4 6,4 6,2 6,2 6,2 7,4 7,4 8 8
Média
10
3 6,4 3 6,2 2 7,4 2 8
Média
10
19,2 18,6 14,8 16 68,6
Média 6,86
10 10
 
f) De acordo com o critério estabelecido pelo professor, qual nota mais influencia na média semestral? 
Por quê?
As notas das provas, pois têm um peso maior do que as notas do trabalho e de participação.
g) Marco ficou em recuperação em algum desses semestres? Explique sua resposta.
Sim, no 2.º semestre, pois sua média foi menor do que 7.
Comentários.2
 Matemática 5
 1. O Programa de Proteção e Defesa do Consumidor (Procon) costuma fazer uma pesquisa de preços de 
combustíveis em cada estado. A tabela apresenta os valores dos combustíveis em fevereiro de 2017, na 
cidade de Joinville.
Gasolina 
comum (R$)
Gasolina 
aditivada (R$)
Diesel 
(R$)
Etanol 
(R$)
Menor preço 3,439 3,368 2,819 3,099
Maior preço 3,749 3,849 3,599 3,699
Economia abastecendo com o menor preço 
(em relação ao maior, em um tanque de 50 litros)
15,50 24,05 39,00 30,00
Fonte: PROCON divulga pesquisa de preços de combustíveis em Joinville. Disponível em: <http://anoticia.clicrbs.com.br/sc/geral/
joinville/noticia/2017/02/procon-divulga-pesquisa-de-precos-de-combustiveis-em-joinville-9725989.html>. Acesso em: 13 jun. 2018. 
a) Para cada tipo de combustível, calcule a média entre o menor preço e o maior preço. Apresente os 
resultados com aproximação de duas casas decimais.
 Gasolina comum: R$ 3,59 
 Gasolina aditivada: R$ 3,61 
 Diesel: R$ 3,21 
 Etanol: R$ 3,40 
b) Complete a tabela com os valores referentes à economia abastecendo como menor preço em relação 
ao maior em um tanque de 50 litros.
 2. Em um rally de regularidade, os participantes, que competem em duplas, devem realizar cada trajeto 
rigorosamente no tempo determinado pela organização. O tempo de cada equipe é comparado com o 
tempo ideal. Para cada décimo de segundo atrasado, perde-se 1 ponto, e para cada décimo de segundo 
adiantado, perdem-se 2 pontos. O resultado é revelado apenas após o término da prova e vence a dupla 
que perder menos pontos. Observe os tempos realizados por 3 equipes:
Competidores Tempo
Luca e Daniel 2 min 36 s
Mari e Laura 1 min 59 s
Rafael e Jean 2 min 43 s
Qual foi o tempo médio desses competidores?
 3. O handebol, também jogado no Brasil, é um esporte muito popular na Europa. 
A disputa ocorre entre duas equipes, com sete jogadores cada. A bola, utilizada 
para atingir o objetivo do jogo – marcar gols −, apresenta medidas diferentes 
para os times masculino e feminino. Veja ao lado:
A tabela a seguir contém as massas, em gramas, das bolas de handebol 
produzidas por 6 fábricas.
A B C D E F
Masculino 430 425 445 455 475 470
Feminino 360 330 325 375 370 340
Gabaritos.3
Fábricas
Times
Atividades
Masculino: 18,5-19 cm
Feminino: 17-18 cm
Masculino: 
425 a 475 g 
Feminino: 
325 a 375 g
Fonte: MORAES, Ary. Vale 
gol com a mão. Disponível 
em: <http://infograficos.
estadao.com.br/esportes/
jogos-olimpicos/2016/
modalidades/handebol/>. 
Acesso em: 13 jun. 2018. 
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8o. ano – Volume 26
a) Calcule a média das massas das bolas de han-
debol feminino. 
360 330 325 375 370 340
Média
6
2 100
Média
6
Média 350 gramas
b) Calcule a média das massas das bolas de han-
debol masculino.
430 425 445 455 475 470
Média
6
2 700
Média
6
Média 450 gramas
 4. O Parque Nacional do Iguaçu, localizado em Foz do Iguaçu, no Paraná, é um dos mais visitados do país, 
tendo como principal atração as Cataratas do Iguaçu, consideradas uma das sete maravilhas da natureza.
A tabela apresenta o número de pessoas que visitaram o Parque Nacional do Iguaçu em alguns anos. 
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Ano Número de visitantes
2013 1 518 876
2014 1 550 607
2015 1 642 093
2016 1 560 792
2017 1 788 922
a) Qual a média anual de visitantes desses cinco 
anos?
1788 922 1560 792 1 642 093 1 550 607 1 518 876
Média
5
8 061 290
Média 1 612 258
5
A média anual de visitantes foi de 1 612 258.
b) Qual foi a média diária de pessoas que visita-
ram o Parque Nacional do Iguaçu em 2017? 
1 788 922
Média
365
Média 4901
Foi de, aproximadamente, 4 901 pessoas por dia.
 5. Na tabela a seguir, estão os percentuais de ocupação dos hotéis em Foz do Iguaçu no ano de 2016. 
Determine a média mensal de ocupação por categoria e complete a tabela. 
DESEMPENHO MENSAL: POR CATEGORIA – 2016
JAN FEV MAR ABR MAI JUN JUL AGO SET OUT NOV DEZ MÉDIA
5 Estrelas 
Luxo
68,0 61,7 52,7 41,8 35,2 34,6 62,2 51,4 50,5 58,4 59,6 55,0 52,6
4 Estrelas 
Superior
81,9 68,7 57,7 48,7 46,4 45,6 66,4 55,4 60,0 57,7 60,0 64,9 59,5
3 Estrelas 
Turístico
68,8 51,4 43,9 45,9 48,9 47,5 72,1 56,3 56,3 57,9 61,7 61,5 56,0
2 Estrelas 
Econômico
61,2 44,8 39,1 37,8 36,3 36,1 67,5 46,8 46,2 45,8 52,9 24,3 44,9
Pousadas e 
Albergues
71,8 57,8 43,3 42,8 43,0 43,5 66,7 52,2 49,2 55,1 57,6 55,9 53,2
Fonte: PESQUISA de ocupação hoteleira realizada pelo SINDIHOTÉIS de Foz do Iguaçu. Disponível em: <http://www.pmfi.pr.gov.br/
ArquivosDB?idMidia=100021>. Acesso em: 13 jun. 2018.
COMPARATIVO 
MENSAL
CATEGORIA
 Matemática 7
 6. Estas são as notas de Beatriz em História nos três primeiros bimestres: 
Bimestre 1.º 2 .º 3 .º 4 .º
Nota 8,3 6,4 5 8,3
Na escola de Beatriz, a média final é calculada pela média aritmética das notas dos bimestres. A média 
mínima para ser aprovada, sem recuperação, é 7. Qual a menor nota que Beatriz deverá obter em His-
tória no 4.º bimestre para não ficar em recuperação? Anote-a na tabela.
8 3 6 4 5
4
7
19 7 7 4
19 7 28
28 19 7
8 3
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 7. Uma pequena empresa de móveis fez o seguinte levantamento de cargos e salários:
• 4 montadores recebem o salário de R$ 2.400,00 cada;
• 2 operadores de corte recebem o salário de R$ 1.800,00 cada;
• 2 vendedores recebem o salário de R$ 3.100,00 cada;
• 1 designer recebe o salário de R$ 3.000,00.
Qual é o salário médio desses funcionários?
4 2 400 2 1 800 2 3 100 1 3 000
Salário médio
4 2 2 1
9 600 3 600 6 200 3 000
Salário médio
9
22 400
Salário médio 2 489
9
O salário mensal médio de cada funcionário dessa 
equipe é de, aproximadamente, R$ 2.489,00.
 8. Lucas e Bernardo estão jogando dardos neste alvo. Em uma partida, cada 
jogador lançou 12 dardos. Veja na tabela os resultados.
Jogador Região amarela
Região 
vermelha
Região 
azul
Região 
preta
Região 
branca
Lucas 0 5 5 2 0
Bernardo 1 3 4 3 1
a) Lucas obteve quantos pontos?
5 ∙ 40 + 5 ∙ 30 + 2 ∙ 20 = 200 + 150 + 40 = 390
Ele obteve 390 pontos. 
b) Qual a média de pontos de Lucas em cada lançamento?
390
Média
12
Média 32,5
A média de Lucas foi de 32,5 pontos por lançamento.
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10
20
30
40
50
8o. ano – Volume 28
c) A média de pontos de Bernardo em cada lançamento foi maior do que a de Lucas? Explique sua 
resposta. 
1 50 3 40 4 30 3 20 1 10
Média
12
50 120 120 60 10
Média
12
360
Média 30
12
Não, pois a média de Bernardo foi de 30 
pontos por lançamento.
 9. Quando Luís recebeu sua conta de luz percebeu que, por um problema na impressão, duas informações 
técnicas acabaram saindo manchadas com tinta. Observe a parte da conta que apresentou esse problema:
Leitura anterior Leitura atual Consumo Consumo médio diário
04/01/2019 
14 181 kWh
03/02/2019 
14 278 kWh
30 dias 
 kWh kWh
Apesar desse problema, os valores que faltam podem ser calculados utilizando as informações legíveis.
a) Qual foi o consumo em quilowatts-hora (kWh) nesse período de 30 dias?
14 278 – 14 181 = 97
O consumo foi de 97 kWh.
b) Qual foi o consumo médio diário de energia da casa de Luís nesse período?
97
Média
30
Média 3,23
O consumo médio diário foi de aproximadamente 3,23 kWh.
10. No critério de avaliação de uma escola, é atribuído peso 2 às notas do 1.º trimestre e do 2.º trimestre. No 
3.º trimestre, as notas têm peso 3.
Observe uma parte do boletim escolar de Milena:
1.º 2.º 3 .º Média final
Matemática 9 7,4 5,4 7
Língua Portuguesa 7,1 6 9,7 7,9
a) Determine a média final de Milena em Matemática e a anote no boletim.
9 2 7,4 2 5,4 3
Média
2 2 3
18 14,8 16,2 49
Média 7
7 7 
b) Qual foi a nota de Milena no 3.º trimestre em Língua Portuguesa, sabendo que ela ficou com média 
7,9? Anote-a no boletim.
7 1 2 6 2 3
2 2 3
7 9
,
,
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x 14 2 12 3 55 3
3 29 1
9 7
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x
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x
Sugestão de atividades: questões de 1 a 7 da seção Hora de estudo.
 Matemática 9
Mediana
Observe o histórico de consumo de água, em metros cúbicos (m³), de uma residência.
MAR/18 ABR/18 MAIO/18 JUN/18 JUL/18 AGO/18 SET/18 OUT/18 NOV/18 DEZ/18 JAN/19
22 19 20 17 15 16 18 10 14 10 13
Dias de consumo Data da leitura Leitura anterior Leitura atual Consumo – m3 Referência
32 13/02/2019 180 191 11 FEV/2019
a) Escreva, em ordem crescente, os valores que correspondem às quantidades de metros cúbicos de 
água consumidos de março de 2018 a janeiro de 2019. Depois, escreva esses mesmos valores em or-
dem decrescente.
Crescente: 10; 10; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20; 22.
Decrescente: 22; 20; 19; 18; 17; 16; 15; 14; 13; 10; 10.
• O número de valores é par ou ímpar? Ímpar, pois são 11 valores. 
b) Qual é o número que se localiza no centro dessas duas sequências? O número 16. 
Esse número é chamado de mediana. A mediana é o valor que divide o conjunto de dados em dois outros 
com o mesmo número de elementos, ou seja, que está “no meio”.
c) Agora, observe os valores correspondentes ao consumo dos últimos 12 meses, em ordem crescente: 
10; 10; 11; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 20;22
• Nenhum desses 12 números se localiza no centro dessa sequência. Por quê?
Como o número de valores é par, nenhum deles divide o conjunto dos 12 valores em dois outros com a mesma quantidade 
de elementos.
• Existem dois números que estão no centro da sequência. Quais são eles? 15 e 16. 
• A média aritmética dos dois números centrais divide o conjunto dos 12 valores em dois outros, 
cada um com 6 elementos. Calcule a média aritmética dos valores centrais.
15 16
2
31
2
15 5
�
� � ,
 
Esse número é chamado de mediana. Nesse caso, a mediana é a média aritmética dos dois valores 
centrais.
Mediana é um número que se encontra no centro de um conjunto de valores dispostos em ordem 
crescente ou decrescente.
Quando o número de valores do conjunto for ímpar, a mediana será o valor central. 
Quando o número de valores do conjunto for par, a mediana será a média aritmética 
dos dois valores centrais.
8o. ano – Volume 210
Moda
Qual roupa está na moda? Que música está na moda? Que equipamento tecnológico está na moda? Quando 
dizemos que alguma coisa está “na moda”, estamos nos referindo a uma tendência de comportamento de 
muitas pessoas.
Em estatística, a palavra moda está relacionada ao dado que aparece com maior frequência. Acompanhe 
três exemplos.
1.º) As idades das jogadoras do time de futebol de uma escola são: 
14 13 14 12 13 15 14 12 14 13 15 13 14 12
• Qual é a idade mais frequente? 
14 anos.
Dizemos que a idade mais frequente é a moda das idades dessas jogadoras.
2.º) Observe o estilo musical preferido de um grupo de 10 amigos: 
Maria Raul André Luís Yasmim Ângela Lucas Maurício Carlos Marina
Pop Jazz Rock Samba Sertanejo Pop Eletrônica Rock Reggae Hip-hop
• Quais estilos musicais aparecem mais vezes, ou seja, com maior frequência?
Pop e rock.
Nesse grupo, não existe apenas um, mas dois estilos musicais com maior frequência em relação aos outros. 
Nesse caso, dizemos que o conjunto é bimodal, ou seja, apresenta duas modas.
3.º) Estas são as alturas dos jogadores titulares de um time de basquete: 
1,70 m 1,73 m 1,75 m 1,71 m 1,65 m
• Qual é a altura mais frequente?
Nenhuma altura é mais frequente do que as outras.
Nesse caso, não existe moda. Também dizemos que o conjunto é amodal.
Em um conjunto de dados, moda é aquele que aparece com maior frequência.
Um conjunto pode ter uma única moda, mais de uma moda ou até mesmo não apresentar moda.
As medidas de tendência central − média, mediana e moda − procuram representar um conjunto de 
dados com um único valor. Agora, vamos estudar outro tipo de medida, a amplitude.
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 Matemática 11
Amplitude
Para escalar o time titular, um técnico de futebol de salão avalia dois jogadores para a posição de atacante. Ini-
cialmente, ele observa o número de gols marcados pelos jogadores nas primeiras cinco partidas do campeonato. 
Jogador Número de gols por partida
Luiz 1 3 2 1 3
Hugo 0 4 1 3 2
a) Determine a média de gols por partida de cada jogador.
Luiz: 
1 3 2 1 3
Média 2
5
 Hugo: 0 4 1 3 2Média 2
5
Como ambos os jogadores estão com as mesmas condições físicas e com a mesma média de gols por par-
tida, o técnico decidiu analisar outra medida. 
b) Qual a diferença entre o maior e o menor número de gols por partida de cada jogador?
Luiz: 3 – 1 = 2
Hugo: 4 – 0 = 4 
Você acabou de calcular a amplitude do número de gols de cada jogador em cinco partidas. 
A amplitude de um conjunto de dados é a diferença entre o maior e o menor valor desse conjunto.
A amplitude nos dá uma ideia de como os valores estão distribuídos em torno da média. Veja como pode-
mos representar geometricamente as quantidades de gols dos dois jogadores.
Luiz:
1 2 3
Média
O esquema anterior indica que, em duas partidas, Luiz marcou 1 gol em cada; em uma partida, ele marcou 
2 gols; em outras duas partidas, ele marcou 3 gols em cada.
Hugo:
10 42 3
Média
Em cada partida, Hugo marcou uma quantidade diferente de gols.
Nessa situação, a amplitude sugere que o primeiro jogador foi mais regular do que o segundo, porque as 
quantidades de gols marcados por ele estão mais próximas da média.
8o. ano – Volume 212
Matemática em detalhes
O gráfico ao lado apresenta a distribuição de frequências 
das notas obtidas pelos alunos do 8.º ano em uma prova com 
10 questões, as quais valiam 1 ponto cada. 
Vamos calcular as medidas de tendência central e a amplitude.
Para determinar a média das notas da turma, somamos to-
das as notas e dividimos pelo número de alunos.
4 5 6 7 8 9 10
Média
16 35 54 63 40 36 20
M
4 7 9 9 5 4 2
4 7 9
édia
9 5 4 2
40
264
Média = = 6,6
40
Assim, a média das notas da turma foi 6,6.
Para calcular a mediana, vamos escrever todas as notas em ordem crescente.
4 4 4 4 5 5 5 5 5 5 5 6 6 6 6 6 6 6 6
19
, , , , , , , , , , , , , , , , , , 
vaalores
� ��������� ��������� , , , , , , , , ,, , 6 7 7 7 7 7 7 7 7 7 88 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10
19
, , , , , , , , , , 
valores
� ���������� �����������
Para calcular a mediana, verificamos se o número de valores é par ou ímpar. Como há um número par de 
elementos, calculamos a média aritmética dos termos centrais.
Mediana ��
��
��
6 7
2
6 5,
Note que, nesse caso, a mediana é a média aritmética do 20.º e do 21.º valor, depois de colocados em ordem 
crescente. O mesmo aconteceria se os valores fossem escritos em ordem decrescente.
Como podemos saber o(s) valor(es) central(is) sem escrever todas as notas? Veja dois exemplos.
• Caso tenhamos 53 valores, ou seja, um número ímpar.
Nesse caso, excluindo o valor central, ficaremos com 52 valores. Isso significa que a metade, ou seja, 26 va-
lores estão antes e 26 valores estão depois do valor central. Portanto, o 27.º valor está no centro e é a mediana.
• Caso tenhamos 46 valores, ou seja, um número par.
Excluindo os dois valores centrais, restam 44 valores. Assim, 22 estão antes e 22 estão depois deles, ou seja, 
o 23.º e o 24.º valor são centrais. A mediana é a média aritmética desses dois valores. 
Para determinar a moda, verificamos a nota com a maior frequência. Nesse caso, são as notas 6 e 7, pois 
ambas aparecem 9 vezes.
Assim, o conjunto das notas é bimodal: moda = 6 e moda = 7
Finalmente, calculamos a amplitude, que é a diferença entre a maior nota e a menor.
Maior nota = 10
Menor nota = 4
Portanto:
Amplitude = 10 – 4 = 6
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
0
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Nú
m
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de
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Nota
Notas da prova
Ja
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 2
01
8.
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 Matemática 13
 1. Observe o histórico de consumo de energia de 
uma residência durante 10 meses.
Mês Consumo registrado (kWh)
FEV/2018 106
JAN/2018 97
DEZ/2017 85
NOV/2017 81
OUT/2017 77
SET/2017 79
AGO/2017 77
JUL/2017 78
JUN/2017 76
MAIO/2017 81
a) Qual a média de consumo nesses 10 meses? 
Em média, foram consumidos 83,7 kWh por mês 
nos últimos 10 meses.
106 97 85 81 77 79 77 78 76 81
10
Média
837
Média
10
Média 83,7
b) Qual a moda de consumo nesses 10 meses? 
Existem duas modas: 77 kWh e 81 kWh.
c) Determine a mediana de consumo dos últi-
mos 10 meses.
Dispondo os consumos mensais em ordem crescen-
te, temos:
76, 77, 77, 78, 79, 81, 81, 85, 97 e 106
Os valores centrais são 79 e 81. A mediana é a média 
aritmética dos dois valores centrais.
Mediana �
�
�
79 81
2
80 
Portanto, o consumo mediano é 80 kWh.
Gabaritos.4 
Atividades
d) Calcule a amplitude.
Amplitude = 106 – 76 = 30
A amplitude foi de 30 kWh.
 2. Conheça alguns dos prédios mais altos do Brasil.
LUCIANO, Antoniele. “Dubai brasileira” em Santa Catarina reúne os 
prédios mais altos do país. Disponível em: <http://www.gazetadopovo.
com.br/vida-e-cidadania/dubai-brasileira-em-santa-catarina-reune-os-
predios-mais-altos-do-pais-0zy3kukf0j2bziqx71qm0ts64#ancora-1>. 
Acesso em: 14 jun. 2018.
a) Que estado abriga os maiores prédios do Brasil? 
O estado que abriga os maiores prédios é Santa Catarina. 
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ed
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ão
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gr
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do
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ov
o8o. ano – Volume 214
b) Qual é a altura média desses prédios? 
270 263 237 220 218 210 182 177 177 175
10
Média
2 129
Média
10
Média 212,9
A altura média é 212,9 m.
c) Qual é a altura média dos 8 prédios mais al-
tos de Balneário Camboriú? 
Média de altura dos 8 prédios mais altos de 
Balneário Camboriú:
270 263 237 220 218 210 177 175
8
Média
1770
Média
8
Média 221,25
A altura média é de 221,25 m.
• Qual é a diferença entre essa média obtida 
e a altura média dos 10 maiores prédios do 
Brasil?
221,25 – 212,9 = 8,35 
A diferença é de 8,35 metros. 
d) Qual a moda das alturas dos 10 maiores pré-
dios do Brasil? 
É de 177 m.
e) Qual a moda do número de pavimentos 
desses prédios?
Não existe moda.
f) Determine a altura mediana dos 10 prédios. 
Mediana �
�
�
218 210
2
214
A altura mediana é 214 m.
g) Determine a mediana do número de pavi-
mentos desses prédios.
Dispondo os números de pavimentos em ordem 
crescente, temos:
43, 51, 54, 55, 56, 58, 66, 75, 77 e 78. 
Mediana �
�
�
56 58
2
57
 3. Esta era a previsão de temperatura de uma cida-
de, em graus Celsius, para algumas horas de dois 
dias consecutivos:
22° 22° 21° 20° 19°
22:00 23:00 00:00 01:00 02:00
19° 20° 20° 21° 21°
03:00 04:00 05:00 06:00 07:00
22° 22° 23° 24° 25°
08:00 09:00 10:00 11:00 12:00
a) Qual é a moda dessas temperaturas? 
A moda é 22 °C.
b) Determine a mediana dessas temperaturas.
Escrevendo as temperaturas em ordem crescente, 
temos:
19, 19, 20, 20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 23, 24, 25
A mediana é o 8º. valor dessa sequência.
Mediana = 21 °C
 4. O gráfico a seguir mostra as quantidades de gols 
marcados pelos artilheiros das Copas do Mun-
do de 1930 a 2014. Em 1942 e 1946, não ocorreu 
o campeonato em razão da Segunda Guerra 
Mundial. 
14
12
10
8
6
4
2
0
Go
ls
19
30
19
34
19
38
19
50
19
54
19
58
19
62
19
66
19
70
19
74
19
78
19
82
19
86
19
90
19
94
19
98
20
02
20
06
20
10
20
14
8 8
66666
7
10
9
4
13
11
9
7
5 5 5
6 6
Com relação ao conjunto das 20 quantidades 
de gols marcados pelos artilheiros das Copas do 
Mundo, calcule:
a) a média; 
b) a mediana e a moda; 
c) a amplitude.
Ilu
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Ar
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20
18
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l.
 Matemática 15
 5. (ENEM) Ao iniciar suas atividades, um ascen-
sorista registra tanto o número de pessoas 
que entram quanto o número de pessoas que 
saem do elevador em cada um dos andares do 
edifício onde ele trabalha. O quadro apresenta 
os registros do ascensorista durante a primeira 
subida do térreo, de onde partem ele e mais 
três pessoas, ao quinto andar do edifício.
andar
Número de 
pessoas Térreo 1.º 2.º 3.º 4.º 5.º
que entram no 
elevador
4 4 1 2 2 2
que saem do 
elevador
0 3 1 2 0 6
Com base no quadro, qual é a moda do núme-
ro de pessoas no elevador durante a subida do 
térreo ao quinto andar?
a) 2 b) 3 c) 4 X d) 5 e) 6
 6. (ENEM) Suponha que a etapa final de uma gin-
cana escolar consista em um desafio de conhe-
cimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para 
realizar uma prova objetiva, e a pontuação da 
equipe seria dada pela mediana das notas obti-
das pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 
10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equi-
pe Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe 
Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe 
Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, 
não pôde comparecer, tendo recebido nota zero 
na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da 
equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. 
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse 
comparecido, essa equipe 
a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse 
nota 0.
b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
X d) permaneceria na terceira posição, indepen-
dentemente da nota obtida pelo aluno.
e) empataria com a equipe Ômega na primeira 
colocação se o aluno obtivesse nota 9.
Sugestão de atividades: questões de 8 a 10 da seção Hora de estudo.
 Planejamento de uma pesquisa, leitura e interpretação 
de gráficos
O infográfico a seguir é resultado de uma pesquisa feita por uma empresa e mostra a preferência de cores 
para os automóveis.
Fonte: GLOBAL color 
trends 2016. Disponível em: 
<http://corporate.ppg.com/
getmedia/69a9c851-a53f-4f03-
a9c6-4749b92d8a6/2016Auto 
Color_Infographic.jpg.aspx>. 
Acesso em: 14 jun. 2018. 
Adaptação.
Ta
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a 
Ka
th
y 
Bo
ra
8o. ano – Volume 216
De acordo com essa pesquisa, responda às questões.
a) Um quarto dos veículos comercializados na América do 
Norte são da cor branca. Essa afirmação é verdadeira? Justifi-
que sua resposta.
b) Qual é a cor preferida em todos os continentes? Branco. 
c) Que porcentagem corresponde a cores que não estão sendo mostradas nessa representação gráfica, 
em cada continente?
América do Norte: 15%
América do Sul: 4%
Europa: 15%
Ásia-Pacífico: 11%
Com o avanço tecnológico na área de comunicação, entramos em uma era de informações instantâneas, 
que precisam ser analisadas com eficiência e rapidez para uma possível tomada de decisões. 
Essas informações, muitas vezes, são oriundas de pesquisas que se utilizam da estatística para a coleta, 
organização, apresentação − por meio de tabelas e gráficos −, bem como na interpretação, na análise e nas 
conclusões dos resultados.
Para fazer uma pesquisa, devemos começar pelo seu planejamento. A escolha do tema, o levantamento de 
questões e a metodologia para chegar às conclusões precisam ser pensados antes. 
Depois de escolhido o tema, levantadas as questões e as hipóteses, partimos para a execução com a coleta 
de dados. Mas onde e como coletar os dados? 
Tudo vai depender do tipo de pesquisa. Se você quer fazer uma pesquisa sobre o esporte favorito de seus 
colegas de classe, basta perguntar a cada um deles. Agora, em uma pesquisa sobre os hábitos alimentares das 
crianças brasileiras com até 10 anos de idade, não é viável questionar todas elas. Nesse caso, é necessário esco-
lher um conjunto menor de crianças. Dizemos que a população será formada por todas as crianças pertencen-
tes a essa faixa etária. O conjunto menor que escolhermos denomina-se amostra. 
Para que uma amostra revele resultados confiáveis, ela deve ser representativa, ou seja, deve preservar as 
mesmas características da população. Uma amostra desse tipo é como se fosse uma “fotocópia reduzida” da 
população. Quando uma amostra não é representativa, podemos ter resultados tendenciosos ou não confiáveis.
População: conjunto formado por todos os elementos com os quais se deseja fazer uma pesquisa. 
É o público-alvo da pesquisa.
Amostra: conjunto formado por elementos da população.
 
Em Estatística, a palavra “população” não se restringe a pessoas. Em uma pesquisa mensal de controle de 
qualidade dos parafusos de uma fábrica, a população é o conjunto de todos os parafusos produzidos durante o 
mês. Uma amostra é um conjunto menor de parafusos, escolhida de acordo com determinados critérios. Fala-
remos um pouco mais sobre isso adiante.
Tipos de variáveis
Observe as situações. Em uma pesquisa, uma das questões formuladas era:
• Qual é sua forma de lazer preferida?
©
Sh
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te
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to
ck
/G
oo
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ck
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aw
pi
xe
l.c
om
Sim. 25
25
100
1
4
%
 Matemática 17
A variável da pesquisa é “lazer” e as opções de resposta, tais 
como praticar esportes, tocar instrumentos, ir ao cinema, viajar, ir 
ao shopping, são os valores dessa variável.
Em outra pesquisa, a questão era:
• Quantas horas você costuma trabalhar por semana?
A variável da pesquisa é “tempo” e as quantidades de horas são 
os valores dessa variável. 
Na primeira pesquisa, temos uma variável qualitativa e, na 
segunda, uma variável quantitativa.
As variáveis qualitativas são aquelas que expressam uma qualidade ou um atributo. Não são expressas nu-
mericamente. Exemplos: grau de escolaridade, cor dos olhos, cidade natal.
As variáveis quantitativas são expressas por números. Exemplos: tempodiário conectado à internet, número 
de filhos, altura, idade. 
Tipos de gráficos
Depois de realizada uma pesquisa, o passo seguinte é a apresentação dos dados por meio de tabelas ou 
gráficos. Vamos relembrar os tipos de gráficos mais usados e identificar seus elementos. 
Gráfico de barras verticais ou de colunas
No gráfico de barras verticais ou de colunas, os valores da variável estão representados no eixo vertical, como 
no caso a seguir.
70%
60%
50%
40%
30%
20%
10%
0%
Durmo Assisto
à TV
Faço
atividade
física
Outros Faço
meditação e
tento relaxar
Tiro férias
e viajo
Passeio
62%
13%
9% 8%
4% 2% 2%
O que você faz para espantar o cansaço?
Fonte: O QUE VOCÊ faz para espantar o cansaço? Revista Saúde é Vital, São Paulo, n. 412, jan. 2017.
a) Qual é o título desse gráfico? O título é O que você faz para espantar o cansaço?. 
b) A variável dessa pesquisa é quantitativa ou qualitativa? A variável é qualitativa. 
c) Qual é a fonte desse gráfico? Revista Saúde é Vital. 
d) E você, o que faz para espantar o cansaço? Pessoal. 
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8o. ano – Volume 218
Gráfico de barras horizontais
No gráfico de barras horizontais, os valores da variável estão representados no eixo horizontal. Veja uma 
pesquisa com cobertura nacional, feita on-line, com 2 000 internautas, realizada em junho de 2017. 
Não tenho app de redes sociais
Outro app de redes sociais
Tumblr
Telegram
Pinterest
Skype
Twitter
Messenger
Instagram
Facebook
Whatsapp
0% 10% 20% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% 100%
1%
3%
5%
10%
15%
18%
25%
28%
59%
60%
86%
91%
Snapchat
Aplicativos de redes sociais que os internautas brasileiros possuem
Fonte: WHATSAPP é o app de rede social mais usado pelos internautas brasileiros. Disponível em: <https://
www.conectaibrasil.com.br/noticias/confira-o-ranking-dessa-categoria>. Acesso em: 14 jun. 2018.
a) Qual é o título do gráfico? O título do gráfico é Aplicativos de redes sociais que os internautas brasileiros possuem. 
b) Quantos internautas responderam que não possuem Skype?
O percentual de internautas que responderam que não possuem Skype é 100% – 25% = 75%.
Assim: 0 75 2000 1 500, � � 
1 500 internautas responderam que não possuem Skype.
Gráfico de setores
Esse tipo de gráfico proporciona uma melhor visualização das relações entre as partes e o todo. O exemplo 
mostra o resultado de uma pesquisa realizada em 2016 sobre a quantidade de rodovias brasileiras duplicadas 
e pavimentadas.
Nordeste
1204 km Centro-
-Oeste
1059 km
Sudeste
2 272 km
Sul
1492 km
Norte 194 km
Rodovias duplicadas 
pavimentadas no Brasil
Fonte: Confederação Nacional dos Transportes e Ranking 
Global da Competitividade, do Fórum Econômico 
Mundial. In: CCR. Após melhora no porto, Paraná foca 
nas rodovias e ferrovias. Gazeta do Povo. Disponível 
em: <http://www.gazetadopovo.com.br/especial-
patrocinado/ccr/apos-melhora-no-porto-parana-foca-
nas-rodovias-e-ferrovias-ck9ufdrdh21aco9jyvmbs5bxs>. 
Acesso em: 14 jun. 2018. 
a) Quantos quilômetros de rodovias duplicadas pavimentadas ha-
via no Brasil em 2016?
De acordo com a pesquisa, eram
2 272 km + 1 492 km + 1 204 km + 1 059 km +194 km = 6 221 km.
b) Qual é a fonte dessa pesquisa?
A pesquisa foi veiculada no jornal Gazeta do Povo, mas a fonte de dados é a
 Confederação Nacional dos Transportes e Ranking Global da Competitividade,
do Fórum Econômico Mundial.
c) A variável dessa pesquisa é quantitativa ou qualitativa?
 É uma variável quantitativa.
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20
18
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l.
 Matemática 19
Gráfico de linhas
Esse gráfico mostra o comportamento de uma variável, no caso a seguir, o valor do dólar, em reais, no de-
correr de um intervalo de tempo. Dessa forma, podemos analisar rapidamente as tendências de aumento ou de 
redução da variável envolvida.
3,30
3,20
3,10
3,00
20/03 21/03 22/03 23/03 24/03 27/03 28/03
3,223
3,083 3,080 3,091
3,122 3,122 3,122 3,133
3,223 3,233 3,268 3,265 3,265 3,273
US$ comercial US$ turismo
Valor do dólar em reais
a) Sobre o que trata esse gráfico? O gráfico trata sobre a variação do dólar (comercial e turismo) em relação ao real em um 
período de 7 dias. 
b) No período considerado no gráfico, o aumento do dólar comercial, em reais, foi igual ao aumento do 
dólar turismo?
 Sim, foi de R$ 0,05 tanto no dólar turismo quanto no comercial.
c) E os percentuais de aumento foram iguais? Não, pois os valores iniciais são diferentes. 
Pictograma
Os pictogramas se utilizam de figuras, as quais representam quantidades e estão relacionadas à variável da 
pesquisa. Como exemplo, temos o caso de um fabricante de rações que divulgou a quantidade média diária de 
sua ração que deve ser dada a um cão, de acordo com seu porte físico.
Ilu
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es
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Ar
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20
18
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l.
Quantidade diária de ração
Grande
Médio
Pequeno
Porte do
cachorro
Corresponde a 50 gramas
a) Qual é a quantidade média diária de ração recomendada para um cachorro de grande porte?
9 5 50 475, � � . A quantidade média diária de ração recomendada é 475 g. 
b) Segundo o fabricante, quanto de ração um cão de porte médio deverá comer a mais do que um cão 
de porte pequeno? Deverá comer 100 g de ração a mais. 
8o. ano – Volume 220
c) Quantos quilogramas de ração serão necessários para alimentar um cão de porte médio durante 30 
dias?
1 dia: 6 50 300� �g g 
30 dias: 30 300 9 000 9� � �g g kg 
Serão necessários 9 quilogramas de ração.
Dados agrupados em classes
Existem situações em que utilizar um dos tipos de gráfico que estudamos até agora não é prático nem con-
veniente. Vamos ver um exemplo em que isso acontece.
Em uma escola, as alturas em centímetros dos 100 alunos do 8.º ano estão registradas no quadro.
161 166 163 161 177 165 162 174 153 175
163 172 169 167 170 171 167 162 171 162
172 170 165 156 174 166 161 164 164 179
168 160 162 164 162 170 166 174 151 167
172 161 170 178 166 156 174 169 162 173
175 168 172 164 172 171 161 158 156 165
164 155 166 160 169 150 160 169 164 152
160 163 165 159 175 164 165 163 165 167
178 166 164 160 171 160 176 173 163 157
155 175 172 154 158 168 167 158 165 176
Note que as alturas variam de 150 cm a 179 cm. Além disso, existem muitos valores diferentes uns dos ou-
tros. Podemos reunir os dados obtidos agrupando-os em intervalos, que também chamamos de classes. Como 
fazer isso?
Primeiramente, vamos calcular a amplitude total, que é a diferença entre o maior e o menor valor.
Amplitude total = 179 – 150 = 29
Quantas classes devemos utilizar?
Não existe uma regra geral para determinar quantas classes vamos utilizar. Porém, devemos evitar um nú-
mero muito pequeno ou muito grande de classes, pois isso pode prejudicar a análise dos dados. Existem várias 
regras para determinar o número de classes, mas não vamos fazer uso delas aqui. Nesse caso, vamos utilizar 6 
classes. 
Conhecida a amplitude total e escolhido o número de classes, calculamos a amplitude de cada classe. Para 
isso, basta dividir a amplitude total pelo número de classes. Como 29 não é divisível por 6, dividimos o primeiro 
número maior do que a amplitude total e que seja divisível pelo número de classes. Nesse caso, 30.
Amplitude de cada classe
30
6
5
 Matemática 21
Assim, cada classe terá amplitude 5. 
Agora já podemos determinar as 6 classes. A primeira pode começar com o menor valor, ou seja, 150. Como 
a amplitude de cada classe é 5, temos: [150, 150 + 5[
Assim: [150, 155[
A representação acima indica que 150 está incluído no intervalo, mas 155 não está. Assim, nesse intervalo 
estão incluídos todos os números de 150 a 155, com exceção do 155. Usaremos a seguinte notação para indicar 
o intervalo [ , [150 155 : 
150 155
As outras classes são:
[ , [ [ , [ [ , [ [ , [ [ , [155 160 160 165 165 170 170 175 175 180
Algumas vezes pode ser necessário incluir ambas as extremidades do intervalo.
Vamos agora elaborar a seguinte tabela:
Altura (cm) Númerode alunos (frequência)
150 155 5
155 160 10
160 165 30
165 170 25
170 175 20
175 180 10
Total 100
Os valores 150, 151, 152, 153 e 154 pertencem à primeira 
classe.
Os valores 155, 155, 156, 156, 156, 157, 158, 158, 158 e 
159 pertencem à segunda classe.
Os valores 160, 160, 160, 160, 160, 160, 161, 161, 161, 
161, 161, 162, 162, 162, 162, 162, 162, 163, 163, 163, 163, 163 
164, 164, 164, 164, 164, 164, 164 e 164 pertencem à terceira 
classe.
Os valores 165, 165, 165, 165, 165, 165, 165, 166, 166, 166, 
166, 166, 166, 167, 167, 167, 167, 167, 168, 168, 168, 169, 169, 
169 e 169 pertencem à quarta classe.
Os valores 170, 170, 170, 170, 171, 171, 171, 171, 172, 172, 
172, 172, 172, 172, 173, 173, 174, 174, 174 e 174 pertencem 
à quinta classe.
Os valores 175, 175, 175, 175, 176, 176, 177, 178, 178 e 
179 pertencem à sexta classe. 
Os dados de uma tabela de classes podem ser representados em um tipo de gráfico chamado histograma. 
Histograma é um gráfico formado por retângulos justapostos (unidos). 
A largura de cada retângulo é igual à amplitude de cada classe e a altura 
corresponde à frequência da classe.
Vamos construir o histograma correspondente à tabela anterior. 
• No eixo horizontal, representamos as alturas dos alunos, em 
centímetros. 
• No eixo vertical, representamos o número de alunos.
Observe na tabela que a primeira classe não começa em zero, mas, 
sim, em 150. Nesse caso, como o espaço entre o eixo vertical e o primeiro 
retângulo é maior do que a largura de um retângulo, usamos o símbolo 
 entre o eixo vertical e o primeiro retângulo para indicar que a parte de 
0 a 150 não está na mesma escala do restante do eixo horizontal.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
Altura (em cm)
Nú
m
er
o 
de
 a
lu
no
s 
(fr
eq
uê
nc
ia
)
8o. ano – Volume 222
O primeiro retângulo tem altura 5 e largura 5.
O segundo retângulo tem altura 10 e largura 5.
O terceiro retângulo tem altura 30 e largura 5.
O quarto retângulo tem altura 25 e largura 5.
O quinto retângulo tem altura 20 e largura 5.
O último retângulo tem altura 10 e largura 5.
Não é necessário usar a mesma escala nos dois eixos.
Você pode dar um título ao gráfico.
Vamos ver mais um exemplo.
Em um curso preparatório para o Enem, o diretor fez uma pesquisa 
para saber quantas horas semanais os alunos estavam estudando 
além do período em que estão na sala de aula. Os resultados foram 
organizados na seguinte tabela:
Tempo de estudo (horas) Número de alunos (frequência)
0 8 6
8 16 12
16 24 20
24 32 8
32 40 4
Total 50
Construa o histograma correspondente a essa tabela. Os eixos já estão prontos. Note que, nesse caso, a pri-
meira classe começa em zero. Assim, o primeiro retângulo tem um lado sobre o eixo vertical.
Agora, responda às seguintes perguntas:
a) Quantos alunos estudam menos de 16 horas por semana?
6 + 12 = 18
b) Quantos alunos estudam pelo menos 16 horas por semana?
20 + 8 + 4 = 32
c) Considere um aluno desse curso que estuda 28 horas por semana. Quantas horas, em média, esse 
aluno estuda por dia?
28
Média 4
7
 
O aluno estuda, em média, 4 horas por dia.
Ilu
st
ra
çõ
es
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ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
Altura dos alunos do 8o. ano
Altura dos alunos do 8º. ano
150 155 160 165 170 175 180
Altura (em cm)
Nú
m
er
o 
de
 a
lu
no
s 
(fr
eq
uê
nc
ia
)
25
30
20
15
10
5
Tempo semanal de estudos dos alunos
8 16 24 32 40
Tempo (em horas)
Nú
m
er
o 
de
 a
lu
no
s 
(fr
eq
uê
nc
ia
) 18
20
16
14
12
10
8
6
4
2
0
 Matemática 23
 1. Os gráficos a seguir apresentam resultados de uma pesquisa, realizada em 2015, sobre o perfil de quem 
usa bicicleta na cidade de São Paulo.
Fonte: PERFIL de quem usa 
a bicicleta na cidade de 
São Paulo. Disponível em: 
<https://dev.ciclocidade.
org.br/biblioteca/
pesquisa-ciclocidade/
file/113-relatorio-completo-
pesquisa-perfil-de-quem-usa-
bicicleta-na-cidade-de-sao-
paulo>. Acesso em: 15 jun. 
2018.
11
62
210
497
708
303
Sem
resposta
14 anos
ou menos
De 15 a
24 anos
de 25 a
34 anos
De 35 a
44 anos
De 45 a
44 anos
De 55 a
64 anos
65 anos
ou mais
0508
Qual a sua idade (por faixa etária)?
a) Quantas pessoas foram entrevistadas nessa pesquisa?
Foram entrevistadas 8 + 5 + 303 + 708 + 497 + 210 + 62 + 11 = 1 804 pessoas.
b) Qual é a faixa etária predominante entre as pessoas entrevistadas? Essa faixa corresponde a qual per-
centual do total de entrevistados?
A faixa etária predominante é de 25 a 34 anos, com 708 entrevistados.
Como 
708
1 804
0 39, , aproximadamente 39% dos entrevistados estão na faixa de 25 a 34 anos.
Para responder às questões a seguir, leve em conta que os percentuais do gráfico foram aproximados. Por 
isso, você vai obter quantidades de entrevistados que não são dadas por números inteiros. Assim, você deve 
usar o inteiro mais próximo.
c) Quantos entrevistados não informaram a es-
colaridade?
Como 0,4% de 1 804 = 0,004 · 1 804 = 7,216, então 7 
entrevistados não informaram a escolaridade.
d) Quantos entrevistados disseram ter Pós-Gra-
duação?
Como 6,3% de 1 804 = 0,063 · 1 804 = 113,652, então 
114 entrevistados disseram ter Pós-Graduação.
Atividades
Gabaritos.5
2,8%
6,3%16,7%
30,2%
43,6%
0,4%
Ensino Médio
Ensino Superior
Ensino Fundamental
Pós-Gradução
Sem instrução
Sem resposta
Qual a sua escolaridade?
Fonte: PERFIL de quem usa a bicicleta na cidade de São Paulo. 
Disponível em: <https://dev.ciclocidade.org.br/biblioteca/pesquisa-
ciclocidade/file/113-relatorio-completo-pesquisa-perfil-de-quem-usa-
bicicleta-na-cidade-de-sao-paulo>. Acesso em: 15 jun. 2018.
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8o. ano – Volume 224
 2. O gráfico a seguir mostra a variação do PIB no Brasil, de 1996 a 2016.
Fonte: PRODUTO interno 
bruto (PIB) real. Disponível 
em: <https://ipeadata.gov.br/
ExibeSerie.aspx?serid=38414>. 
Acesso em: 3 set. 2019.
10
8
6
4
2
0
–2
–4
–6
2,2
3,4
0,3 0,5
4,4
1,4
3,1
1,1
5,8
3,2
4
6,1
5,1
–0,1
7,5
4
1,9
3
0,5
–3,8
–3,6
96 97 98 99 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16
Ano
%
Variação anual do PIB no Brasil
Nesse gráfico, percentuais positivos indicam que o PIB aumentou em relação ao ano anterior, enquanto 
percentuais negativos indicam perdas. Por exemplo, nos anos de 2012 a 2016, tivemos três aumentos 
consecutivos − de 1,9% em 2012, 3% em 2013 e 0,5% em 2014 −, seguidos de duas quedas: de 3,8% em 
2015 e de 3,6% em 2016. 
a) O que significa a sigla PIB? 
Produto Interno Bruto.
b) Os resultados de quantos anos foram mostrados no gráfico?
Foram mostrados resultados de 21 anos.
c) A média dos percentuais de aumento e de redução do PIB de 2012 a 2016 é positiva ou negativa?
1,9 3 0,5 3,8 3,6
Média
5
2
Média 0,4
5 
Portanto, a média dos percentuais de aumento e de redução foi negativa.
d) Em qual ano houve o maior percentual de queda do PIB? Em 2015, de 3,8%. 
e) Em qual ano houve o maior percentual de aumento do PIB? Em 2010, de 7,5%. 
 3. (IFRS) O gráfico abaixo representa o tempo de espera (em minutos) na fila para comprar ingresso de um show.
15
10
5
0
170
Nú
m
er
o 
de
 p
es
so
as
Tempo de espera (em minutos)
150 155 160 165 175 180
Ilu
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k 
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 Matemática 25
Nas afirmações a seguir, assinale com (V) as verdadeiras e com (F) as falsas.
( V ) A porcentagem do total de pessoas que esperou até 2 h 45 min na fila foi de, aproximadamente, 79,5%. 
( F ) Mais da metade das pessoas esperaram por menos de 2 h 40 min. 
( V ) Mais da metade das pessoas esperaram entre 2 h 35 min e 2 h 45 min. 
( V ) O número de pessoas que esperou de 150 min até 160 min foi o dobro do número de pessoas que 
esperou de 2 h 45 min até 3 h. 
( F ) Apenas 4 pessoas esperaram por mais de 2 h 45 min. 
A alternativa que completa, corretamente, de cima para baixo, os parênteses é
a) V – V – V – V – V.
b) V – V – F – F – V.
c) V – V – V – F – F.
d) F – V – F – V – V.
X e) V – F – V – V – F.
 4. (PISA) O gráfico abaixomostra os resultados de uma prova de ciências de dois grupos denominados 
Grupo A e Grupo B.
Notas de uma prova de ciências
6
5
4
3
2
1
0
Nú
m
er
o 
de
 a
lu
no
s
Nota
0 - 9 10 - 19 20 - 29 30 - 39 40 - 49 50 - 59 60 - 69 70 - 79 80 - 89 90 - 100
Grupo A
Grupo B
A nota média para o Grupo A é de 62,0 e para o Grupo B é de 64,5. Os alunos são aprovados nesta prova 
quando tiram nota 50 ou acima.
Analisando o gráfico acima, o professor afirma que, nesta prova, o Grupo B foi melhor que o Grupo A.
Os alunos do Grupo A não concordam com o professor. Eles tentam convencer o professor de que o 
Grupo B não foi necessariamente melhor.
Utilizando o gráfico, dê um argumento matemático em que os alunos do Grupo A poderiam se apoiar.
 5. (ENEM) O gráfico apresenta a taxa de desemprego (em %) para o período de março de 2008 a abril de 2009, 
obtida com base nos dados observados nas regiões metropolitanas de Recife, Salvador, Belo Horizonte, Rio de 
Janeiro, São Paulo e Porto Alegre.
A mediana dessa taxa de desemprego, no 
período de março de 2008 a abril de 2009, 
foi de
a) 8,1%
X b) 8,0%
c) 7,9%
d) 7,7%
e) 7,6%
8,6 8,5
7,9 7,9
7,6
8,1
7,7
7,5
7,6
6,8
8,2
8,5
9,0 8,9
03/08 01/0904 04030205 06 07 08 09 10 11 12
Taxa de desemprego (%)
IBGE. Pesquisa mensal de emprego. Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 
30 jul. 2012 (adaptado).
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8o. ano – Volume 226
Escolha da amostra
Conforme visto anteriormente, em uma pesquisa, geralmente não 
utilizamos toda a população, mas, sim, uma parte dela, denominada 
amostra. É importante que a amostra selecionada seja representativa, 
ou seja, apresente as mesmas características da população. 
Existem várias maneiras de selecionar uma amostra. Falaremos 
um pouco sobre três tipos de amostra:
• amostra casual simples;
• amostra sistemática;
• amostra estratificada.
Amostra casual simples
Em uma escola, será feito um estudo com os alunos do 
Ensino Médio para avaliar os hábitos alimentares. Para isso, 
dentre os 120 alunos, será selecionada uma amostra de 15 
alunos. Como podemos selecionar essa amostra?
Uma maneira simples é fazer um sorteio. Inicialmente, 
cada aluno será identificado com um número. Com isso, 
teremos um aluno com o número 1, outro com o número 
2, um com o número 3 e assim por diante, até o aluno com 
o número 120. Depois, é só escolher uma maneira de fazer 
o sorteio dos 15 alunos. Por exemplo, podemos colocar em 
uma caixa 120 papeizinhos, cada um com um número de 1 
a 120, misturá-los bem e sortear sucessivamente 15 deles. 
a) Nesse tipo de amostra, todos os alunos têm a mesma probabilidade de serem sorteados? Sim. 
b) Vinícius é um dos 120 alunos do Ensino Médio dessa escola. Qual é a probabilidade de ele fazer parte 
da amostra que participará do estudo?
15
120
1
8
0 125 12 5, , %
Amostra sistemática
Além da amostra casual simples, que é selecionada ao acaso, como em um sorteio, temos a amostra sis-
temática, selecionada por meio de uma regra estabelecida. Para você entender melhor, vamos usar o mesmo 
exemplo anterior, ou seja, dos 120 alunos do Ensino Médio, será selecionada uma amostra de 15 deles. Consi-
dere que os alunos já estão identificados com um número de 1 a 120.
• Primeiro dividimos o número de elementos da população pelo número de elementos da amostra.
120
15
8
O que esse resultado indica? Significa que os alunos serão divididos em 15 grupos com 8 integrantes cada. 
Por exemplo, o primeiro grupo é formado pelos alunos de 1 a 8, o segundo pelos alunos de 9 a 16, e assim por 
diante, até o décimo quinto grupo, formado pelos alunos de 113 a 120.
População
Amostra
©
Sh
ut
te
rs
to
ck
/M
 B
us
in
es
s I
m
ag
es
Jack Art. 2018. Digital.
 Matemática 27
• Agora, sorteamos um aluno do primeiro grupo, usando exatamente o procedimento da amostra casual 
simples. Vamos supor que o aluno sorteado tenha sido o de número 3.
• Depois, basta somar 8 para obter o próximo, depois somar 8 para obter o terceiro e assim por diante, ou seja, 
selecionar os alunos de 8 em 8. A amostra seria formada pelos seguintes alunos:
3 11 19 27 35 43 51 59 67 75 83 91 99 107 115, , , , , , , , , , , , , ,
a) No sorteio do aluno do primeiro grupo, qual é a probabilidade de cada um ser sorteado?
Como cada grupo tem 8 alunos, a probabilidade é igual a 
1
8
0 125 12 5, , %. 
b) Caso o aluno sorteado no primeiro grupo seja o de número 8, quais alunos farão parte da amostra?
8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120 
Amostra estratificada
Em algumas situações, ao utilizar uma amostra casual simples ou uma amostra sistemática, podemos obter 
resultados que não refletem a realidade, pois a população difere muito em relação a aquilo que está sendo 
pesquisado. Veja um exemplo. 
Em uma escola, serão oferecidos aos 440 alunos do 6.º ao 9.º ano dois tipos de atividades especiais no con-
traturno. A diretoria da escola selecionará uma amostra de 44 alunos para saber de quais atividades eles mais 
gostam. Experiências anteriores mostram que as preferências dos alunos mudam de um ano para outro. Por 
isso, se simplesmente sortearmos 44 alunos para formar a amostra, pode acontecer de serem todos do 6.º ou do 
7.º ano ou então que muito mais alunos sejam do 9.º ano, comprometendo o resultado da pesquisa.
Podemos organizar os alunos em 4 grupos, um para cada ano. Cada um desses grupos é chamado de estrato. 
Aqui consideramos o estrato como sendo um grupo da população com alguma característica comum, por isso 
a amostra é dita estratificada. Quando formos escolher os estratos, é importante que os integrantes de cada um 
deles sejam parecidos uns com os outros em relação ao que queremos pesquisar.
Veja cada grupo no gráfico a seguir.
Como será selecionada a amostra de 44 alunos? 
Podemos optar por escolher 11 alunos de cada grupo ou 
então selecionar quantidades proporcionais aos tamanhos dos 
grupos.
Depois que soubermos quantos alunos de cada grupo 
serão selecionados, fazemos um sorteio em cada um deles.
6º. ano
7º. ano
8º. ano
9º. ano
90
130
100
120
Número de alunos
Ano Número de alunos Amostra
6.º 130 10% de 130 = 13
7.º 120 10% de 120 = 12
8 .º 100 10% de 100 = 10
9 .º 90 10% de 90 = 9
Total 440 44
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
a) Vamos optar por selecionar quantidades proporcionais aos 
tamanhos dos grupos. Complete a tabela a seguir, sabendo 
que a amostra (44 alunos) correspondente a 10% da popu-
lação (440 alunos).
8o. ano – Volume 228
b) Em cada grupo será feito um sorteio para selecionar os alunos. Por exemplo, no grupo do 6 .º ano serão 
sorteados 13 alunos. Apesar de as amostras de cada grupo não serem todas iguais, todos os alunos 
têm a mesma probabilidade de serem sorteados. Qual é essa probabilidade?
Podemos calcular a probabilidade de um aluno ser sorteado escolhendo qualquer grupo, pois:
13
130
12
120
10
100
9
90
1
10
0 1 10, % A probabilidade é de 10%.
Vamos ver mais um exemplo.
Em uma empresa, trabalham 1 500 funcionários, divididos em 5 departamentos.
Departamento Total de funcionários Amostra
A 425 51
B 350 42
C 275 33
D 250 30
E 200 24
 
Uma amostra estratificada será selecionada de modo que:
• a quantidade de funcionários da amostra se divida em partes proporcionais aos tamanhos dos 
departamentos; 
• a amostra tenha 51 funcionários do departamento A.
a) Calcule as quantidades de funcionários da amostra dos demais departamentos e complete a 
tabela.
Como as quantidades de funcionários selecionados são proporcionais aos tamanhos dos departamentos, podemos calcular 
as quantidades dos demais departamentos usando regra de três. Outra possibilidade, que faremos aqui, é obter a porcenta-
gem que a amostra representa da população e com isso calcular as demais quantidades.
Como a amostra corresponde a 12% da população. 
Assim: 51
425
0 12 12, %
Quantidade de funcionários do departamento B: 12% de 350 = 42
Quantidade de funcionários do departamento C: 12% de 275= 33
Quantidade de funcionários do departamento D: 12% de 250 = 30
Quantidade de funcionários do departamento E: 12% de 200 = 24
b) Qual é o total de funcionários da amostra? 51 + 42 + 33 + 30 + 24 = 180 
Reúna-se com três ou quatro colegas para fazer uma pesquisa selecionando uma amostra estratificada. 
a) Escolham o tema e elaborem as perguntas que serão feitas.
b) Descrevam os passos para a coleta dos dados. Determinem qual a população, em quais estratos ela 
será dividida e qual o tamanho da amostra utilizada. 
c) Calculem as quantidades dos elementos da amostra para cada estrato.
d) Depois de realizar a pesquisa, construam gráficos, obtenham as possíveis medidas de tendência cen-
tral e escrevam as conclusões. Gabaritos.6
 Matemática 29
Neste capítulo, estudamos as medidas de tendência central, a amplitude, o planejamento de uma pesquisa 
com a leitura e a interpretação de gráficos. Complete a tabela com as principais ideias a respeito de cada tópico. 
Média aritmética
É obtida somando-se todos os números e dividindo-se o resultado pela quantidade de números somados.
Média aritmética 
ponderada
É calculada atribuindo-se pesos aos valores.
Mediana
É um número que se encontra no centro de um conjunto de valores dispostos em ordem crescente ou decrescente. 
Quando no conjunto há um número ímpar de valores, a mediana será o termo central.
Quando no conjunto há um número par de valores, a mediana será a média aritmética dos dois valores centrais.
Moda
É o dado que ocorre com maior frequência (aparece mais vezes) em um conjunto de valores. 
Um conjunto pode ter mais de uma moda ou não ter moda.
Amplitude
É a diferença entre o maior valor e o menor valor de um conjunto de dados.
População
É o conjunto formado por todos os elementos com os quais se deseja fazer uma pesquisa.
Amostra
É um conjunto formado por elementos da população.
Amostra casual 
simples
É selecionada por meio de um sorteio com todos os elementos da população.
Amostra 
sistemática
É selecionada por meio de uma regra. Divide-se o número de elementos da população pelo número de
elementos da amostra, obtendo-se o número de elementos de cada grupo. Depois, sorteia-se um elemento
do primeiro grupo e determinam-se os outros.
Amostra 
estratificada
Divide-se a população em grupos menores, chamados de estratos. Depois, determinam-se as quantidades 
de elementos da amostra para cada estrato. Finalmente, é feito um sorteio em cada estrato para selecionar a
amostra. 
Organize as ideias 
8o. ano – Volume 230
Hora de estudo
 1. Em um país muito procurado por viajantes, os 
números de turistas estrangeiros entre os anos de 
2016 e 2018 estão apresentados na tabela a seguir.
Ano Número de turistas estrangeiros (em milhões)
2016 6,5
2017 7
2018 7,8
a) Qual a média anual de turistas estrangeiros 
nesses três anos?
b) De 2016 a 2018, qual foi o aumento percen-
tual no número de turistas estrangeiros?
 2. (ENEM) A permanência de um gerente em uma 
empresa está condicionada à sua produção no 
semestre. Essa produção é avaliada pela média 
do lucro mensal do semestre. Se a média for, no 
mínimo, de 30 mil reais, o gerente permanece 
no cargo, caso contrário, ele será despedido. O 
quadro mostra o lucro mensal, em milhares de 
reais, dessa empresa, de janeiro a maio do ano 
em curso.
Janeiro Fevereiro Março Abril Maio
21 35 21 30 38
Qual deve ser o lucro mínimo da empresa no 
mês de junho, em milhares de reais, para o ge-
rente continuar no cargo no próximo semestre?
a) 26
b) 29
c) 30
d) 31
X e) 35
 3. (ENEM) Numa turma de inclusão de jovens e 
adultos na educação formal profissional (Proe-
ja), a média aritmética das idades dos seus dez 
alunos é de 32 anos. Em determinado dia, o 
aluno mais velho da turma faltou e, com isso, 
a média aritmética das idades dos nove alunos 
presentes foi de 30 anos.
Disponível em: http://portal.mec.gov.br. 
Acesso em: 10 mar. 2012 (adaptado).
Qual é a idade do aluno que faltou naquela turma?
a) 18
b) 20
c) 31
X d) 50
e) 62
Gabaritos.7
 4. (ENEM) Um posto de saúde registrou a quanti-
dade de vacinas aplicadas contra febre amarela 
nos últimos cinco meses:
• 1.º mês: 21;
• 2.º mês: 22;
• 3 .º mês: 25;
• 4.º mês: 31;
• 5 .º mês: 21.
No início do primeiro mês, esse posto de saúde 
tinha 228 vacinas contra febre amarela em esto-
que. A política de reposição do estoque prevê 
a aquisição de novas vacinas, no início do sexto 
mês, de tal forma que a quantidade inicial em 
estoque para os próximos meses seja igual a 
12 vezes a média das quantidades mensais des-
sas vacinas aplicadas nos últimos cinco meses. 
Para atender essas condições, a quantidade 
de vacinas contra febre amarela que o posto de 
saúde deve adquirir no início do sexto mês é
a) 156.
X b) 180.
c) 192.
d) 264.
e) 288.
 5. (ENEM) Preocupada com seus resultados, uma 
empresa fez um balanço dos lucros obtidos 
nos últimos sete meses, conforme dados do 
quadro.
Mês I II III IV V VI VII
Lucro 
(em milhões 
de reais)
37 33 35 22 30 35 25
Avaliando os resultados, o conselho diretor da 
empresa decidiu comprar, nos dois meses sub-
sequentes, a mesma quantidade de matéria-pri-
ma comprada no mês em que o lucro mais se 
aproximou da média dos lucros mensais dessa 
empresa nesse período de sete meses. 
Nos próximos dois meses, essa empresa deverá 
comprar a mesma quantidade de matéria-prima 
comprada no mês
a) I.
b) II.
c) IV.
X d) V.
e) VII.
Todas as atividades devem ser resolvidas no caderno.
31
 6. (OBM) Numa escola, 20 alunos da sala A e 30 alu-
nos da sala B fizeram a mesma prova de Matemá-
tica e a mesma de Português. As médias das notas 
obtidas nessas provas encontram-se no gráfico ao 
lado. Qual das afirmações a seguir é verdadeira?
m
éd
ia
s
provas
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
A B
Matemática
Português
a) A média de Português dos alunos da sala A 
é maior do que a média de Matemática dos 
alunos da sala B.
b) A média de Português é maior do que a mé-
dia de Matemática em ambas as salas. 
c) A média de Matemática dos alunos das duas 
salas juntas é menor do que 7,5.
d) A média das notas das duas provas na sala A 
é menor do que a da sala B.
X e) A média geral das notas de todos os alunos 
nas duas matérias é 7. 
 7. (ENEM) Em uma cidade, o número de casos de 
dengue confirmados aumentou consideravel-
mente nos últimos dias. A prefeitura resolveu 
desenvolver uma ação contratando funcioná-
rios para ajudar no combate à doença, os quais 
orientarão os moradores a eliminarem criadou-
ros do mosquito Aedes aegypti, transmissor da 
dengue. A tabela apresenta o número atual de 
casos confirmados, por região da cidade.
Região Casos confirmados
Oeste 237
Centro 262
Norte 158
Sul 159
Noroeste 160
Leste 278
Centro-Oeste 300
Centro-Sul 278
A prefeitura optou pela seguinte distribuição 
dos funcionários a serem contratados:
 I. 10 funcionários para cada região da cidade 
cujo número de casos seja maior que a mé-
dia dos casos confirmados.
 II. 7 funcionários para cada região da cidade 
cujo número de casos seja menor ou igual à 
média dos casos confirmados.
Quantos funcionários a prefeitura deverá con-
tratar para efetivar a ação?
a) 59.
b) 65.
c) 68.
X d) 71.
e) 80.
 8. (ENEM) Uma pessoa está disputando um pro-
cesso de seleção para uma vaga de emprego em 
um escritório. Em uma das etapas desse proces-
so, ela tem de digitar oito textos. A quantidade 
de erros dessa pessoa, em cada um dos textos 
digitados, é dada na tabela.
Texto I II III IV V VI VII VIII
Número 
de erros 2 0 2 2 6 3 4 5
Nessa etapa do processo de seleção, os candi-
datos serão avaliados pelo valor da mediana do 
número de erros. 
A mediana dos números de erros cometidos por 
essa pessoa é igual a
a) 2,0.
X b) 2,5.
c) 3,0.
d) 3,5.
e) 4,0.
 9. (ENEM) Em uma seletiva para a final dos 100 
metros livres de natação, numa olimpíada, os 
atletas, em suas respectivas raias, obtiveram os 
seguintes tempos:
Raia 1 2 3 4 5 6 7 8
Tempo 
(segundo) 20,90 20,90 20,50 20,80 20,60 20,60 20,90 20,96A mediana dos tempos apresentados no quadro é
a) 20,70.
b) 20,77.
c) 20,80.
X d) 20,85.
e) 20,90.
10. Considere os dados da questão anterior. A mé-
dia e a moda dos tempos são, em segundos, res-
pectivamente, iguais a:
a) 20,90 e 20,77
b) 20,80 e 20,90
c) 20,70 e 20,90
d) 20,70 e 20,77 
X e) 20,77 e 20,90
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
32
5
1. O que você acha que está representado em cada obra?
2. Ao analisar essas pinturas, você pode observar que Volpi se utiliza de figuras geométricas. Cite 
algumas formas que aparecem nessas obras.
1. Pessoal. Sugestão de resposta: Na primeira obra são bandeirinhas de festas juninas e na segunda são representações de figuras geomé-
tricas como triângulos, quadrados, pentágonos e hexágonos.
2. Retângulo, triângulo, trapézio, pentágono.
Triângulos e 
quadriláteros
AlAAA freddddddoo oooo VoVolpppl i (1111118989888 6-6-6 19191988888888 ) ) ))) fofoff i i um artista 
plplppp ásásástiticoco íííítttat loo-b-brararar siiiiiileleeleeeiririro ooooo qquque e trrtranananaanaa sisittou entre algumaaas s s
mamanininnininifefefefefeststttttaçaçaçaçaçõeõõõ s s arrrtííííííístststs iciciccasasaas.. GaGaGGanhnhhnhououu dddestaque com 
pipintntururasasss qqqqqqueueueu uuutitititililililizazzazzazazazam mm fifigugugurararaas s gegeomomométéé ricas. 
Comentário.1
VOLPI, Alfredo. Hélice. [ca. 1950]. 1 têmpera sobre 
tela, color., 96,7 cm × 73,7 cm. Coleção particular.
©
So
ci
ed
ad
e 
pa
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 c
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al
og
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ão
 d
a 
ob
ra
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e 
Al
fre
do
 V
ol
pi
VOLPI, Alfredo. Ogiva. 
[ca. 1980]. 1 têmpera 
sobre tela, color., 
136,1 cm × 68,5 cm. 
Coleção particular. 
33
Após o estudo deste capítulo, espera-se que você compreenda o significado de congruência e 
identifique os casos específicos de congruência de triângulos. Além disso, você aplicará os conhe-
cimentos de congruência de triângulos para demonstrar as propriedades de quadriláteros. 
Triângulos
Nos anos anteriores, você já estudou algumas características sobre os triângulos, como as classificações de 
acordo com os lados e ângulos, os elementos que existem em todos eles, o cálculo de sua área, as relações entre 
as medidas dos ângulos e também a condição de existência. Agora, vamos ampliar nosso estudo com os casos 
de congruência de triângulos.
Congruência de triângulos
Na obra ao lado, o artista Henryk Berlewi usou figuras geométricas 
planas.
a) Que figuras estão representadas nessa obra?
Retângulos, quadrados, círculo e triângulo.
b) Quais figuras geométricas parecem ser iguais entre si? 
Os nove retângulos do canto superior esquerdo.
Dizemos que os retângulos iguais utilizados nessa obra de arte são figuras congruentes, pois têm a mesma 
forma e as mesmas medidas. 
Recorte os polígonos do material de apoio. Verifique se eles se sobrepõem, ou seja, se as figuras coincidem 
perfeitamente quando colocadas uma sobre a outra. Comentário.2
Objetivos
BERLEWI, Henryk. Mecanofactura. 1924. 1 
guache sobre papel, color., 98 cm × 81 cm. 
Museu Sztuki, Lódz.
©
M
uz
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 S
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od
z.
Ja
ck
 A
rt.
 2
01
8.
 D
ig
ita
l.
8o. ano – Volume 234
As figuras que coincidiram são congruentes. Nesse caso, dizemos que os dois pentágonos são congruentes, 
assim como os dois trapézios e os dois retângulos. 
Você já aprendeu que segmentos congruentes são aqueles com a mesma medida. Por exemplo, no quadri-
látero da figura, os lados AB e CD são congruentes. Indicamos essa congruência da seguinte maneira:
A
D C
B
 
AB CD
Também já aprendeu que ângulos congruentes são aqueles com a mesma medida. No pentágono a seguir, 
os ângulos internos A e B são congruentes. Assim:
A
D
C
B
E
 A B
Dois polígonos são congruentes quando os lados correspondentes são congruentes e os ângulos corres-
pondentes também são congruentes.
A B
CD
 HG
F E
Para os trapézios ABCD e EFGH, temos:
Lados congruentes:
AB EF ; BC FG ; CD GH e DA HE
Ângulos congruentes:
A E , B F , C G e D H
Os vértices relativos a cada par de ângulos congruentes são correspondentes.
Podemos indicar que os trapézios são congruentes da seguinte maneira:
A EB FC GD H
Note que, ao escrever essa notação, tomamos o cuidado de escrever os vértices correspondentes nas 
mesmas posições. Não poderíamos, por exemplo, escrever D HC GB FA E , pois os vértices correspondentes 
não estão na mesma posição. É claro que podemos mudar a ordem de escrita de um dos polígonos, mas 
nesse caso é preciso mudar também a ordem do outro. Por exemplo, poderíamos escrever C GB FA ED H.
Ilu
st
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es
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ac
k 
Ar
t. 
20
18
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 Matemática 35
Vamos estudar agora os triângulos congruentes, ou seja, triângulos que, quando sobrepostos, coincidem. 
Observe a seguir os triângulos SOL e LUA.
L
S
O
 
U
L
A
Note que as medidas dos lados do primeiro são iguais às medidas dos lados do segundo. O mesmo ocorre 
para as medidas dos ângulos.
Portanto, os triângulos SOL e LUA são congruentes. Podemos indicar assim:
SOL ≡ LUA
Para verificar que os triângulos SOL e LUA são congruentes, comparamos seis medidas, dos três lados e dos 
três ângulos. Apesar de ser realmente necessário que essas medidas sejam iguais nos dois triângulos, veremos 
que não precisamos comparar todas elas, como fazemos para outros polígonos. Para isso, vamos estudar os 
chamados casos de congruência de dois triângulos. 
1.º caso: lado, lado, lado (LLL)
Quando dois triângulos têm os três lados respectivamente congruentes, eles são congruentes.
A
B C
6
52
D
E F
6
52
Veja que:
AB DE
AC DF
BC EF
(lados congruentes)
(lados congruentes)
(lados coongruentes)
Portanto, ABC ≡ DEF. 
Com isso, já sabemos que os dois triângulos são congruentes ao verificarmos que os lados de um triângulo 
são congruentes aos lados de outro, não sendo necessário comparar os ângulos.
2.º caso: lado, ângulo, lado (LAL)
Quando dois triângulos têm dois lados e o ângulo formado por esses lados respectivamente congruentes, 
eles são congruentes. 
(lados congruentes)
(ângulos c
PR XY
R Y
RQ
ongruentes)
(lados congrueY ntes)Z
Portanto, PRQ ≡ XYZ. 
Q
P
Y
X
Z
R
8
85
5
60°
60°
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8o. ano – Volume 236
Conexões
Você já estudou as transformações geométricas no plano: translação, reflexão e rotação. Veja que quando 
aplicamos qualquer uma dessas transformações em um triângulo, obtemos triângulos congruentes a ele. 
Translação
B
A
C E
D
F
Translação
Sugestão de encaminhamento.3
3.º caso: ângulo, lado, ângulo (ALA)
Quando dois triângulos têm um lado e os dois ângulos adjacentes a esse lado respectivamente congruentes, 
eles são congruentes. 
J K
N
M
L
4
4
O
60°
60°
45°
45°
(ângulos congruentes)
(lados congruentes)
(ângulos congr
J O
JK O
uen
M
K M tes)
Assim, JKL ≡ OMN.
4.º caso: lado, ângulo, ângulo oposto (LAAo)
Quando dois triângulos têm um lado, um ângulo oposto a esse lado e um outro ângulo respectivamente 
congruentes, eles são congruentes.
S T GH
R
5
5
F
40°
40°
75°
75°
(lados congruentes)
(ângulos congruentes)
(
S
â
T GF
ngulos congruentes)
T F
R H
Observe que o ângulo de 75° é oposto ao lado congruente.
Assim, RST ≡ HGF.
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 Matemática 37
Reflexão
B
A
C E
D
F
Eixo de simetria
Rotação
B
A
C = F
E
D
Rotação de 120°
Atividades
 1. Observe os triângulos numerados de 1 a 8.
1.
2 2
3
 2.
2
3
30°
3.
30°
60°
4.
3
40°
80°
5.
340°
80°
6.
2
3
30°
7.
2
2
3
8.
30°
60°
Indique os pares de triângulos congruentes e os respectivos casos de congruência. Se necessário, use a 
régua para obter as medidas.
1 e 7: lado, lado, lado (LLL)
4 e 5: ângulo, lado, ângulo (ALA)
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8o. ano – Volume 238
 2. Observe os triângulos ABD e CDB da figura. Os ângulos indicados com uma mesma cor sãocongruentes.
Esses triângulos são congruentes? Justifique sua resposta.
Sim, os triângulos são congruentes pelo caso lado, ângulo, ângulo
oposto (LAAo). 
O lado BD é comum aos dois triângulos e ˆÂ C (ângulos opostos a
esse lado). 
 3. Na figura a seguir, F é o ponto médio de EG.
Ponto médio de um segmento é o ponto que o 
divide em outros dois segmentos congruentes.
E F G
HI
a) O que podemos observar ao comparar as medidas dos segmentos EF e FG? São iguais. 
b) Os triângulos EFI e GFH são congruentes? Justifique sua resposta.
Sim, pelo caso ângulo, lado, ângulo (ALA), pois EF GF (F é o ponto médio do segmento EG), ˆIEF HGF e IFE HFG.
 4. Na figura, M é o ponto médio de BD e AB CD// . 
a) Observando a figura, qual a relação entre as medidas dos ân-
gulos ABM e CDM? E entre as medidas dos ângulos AMB e 
CMD? 
Prolongando os lados adjacentes ao ângulo ˆCDM, obtemos um ângulo 
correspondente ao ângulo ABM. Como o ângulo obtido e o ângulo 
ˆCDM são opostos pelo vértice, as medidas dos ângulos ABM e ˆCDM 
são iguais. As medidas dos ângulos ˆAMB e ˆCMD são iguais, pois são ângulos opostos pelo vértice. 
b) Como M é o ponto médio de BD, o que podemos afirmar ao comparar as medidas dos segmentos 
BM e DM?
As medidas dos segmentos BM e DM são iguais. 
c) Com base nas respostas anteriores, complete a lacuna:
ABM CDM 
 5. Explique por que os triângulos PSR e PSQ são congruentes, sabendo que PS é uma bissetriz e também 
uma altura do triângulo PQR.
P
S
QR
Os ângulos RPS e QPS são congruentes, pois PS é bissetriz.
Os ângulos RSP e Q SP medem 90°, pois PS é altura.
O lado PS é comum aos dois triângulos. Portanto, os triângulos são 
congruentes pelo caso ângulo, lado, ângulo (ALA).
A
B
D
C
A
M
D
C
B
a
ab a
a b
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 Matemática 39
 6. Os triângulos indicados nas figuras são congruentes. Determine os valores de a e b em cada uma delas. 
a) ABC ≡ ADC
Como os triângulos ABC e ADC são congruentes, 
temos:
ˆm(B) m(D)
ˆ ˆm(BCA) m(DCA)
Portanto: a
b
� �
� �
40
30
 
A
D
CB
a
b
40° 30°
b) ABC ≡ ADE
A
D
E
C
B a
b
45°70°
 
Como os triângulos ABC e ADE são congruentes, temos:
m B m D
m C m E
( ) ( )
( ) ( )
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um 
triângulo é 180°, temos:
70 45 180
65
�� �� � �
� �
m C
m C
( )
( )
Portanto: a
b
� �
� �
70
65
 
 7. Os triângulos representados na figura são congruentes. Calcule os valores de m e n.
a) ABC ≡ EDC
A
D
E
C
B
65
2m − 6
3n + 5
52
 
Como os triângulos ABC e EDC são congruentes, temos:
AB ED
n
n
n
AC EC
m
m
m
�
� �
�
�
�
� �
�
�
65 3 5
3 60
20
2 6 52
2 58
29
b) ABC ≡ DCB
Como os triângulos ABC e DCB são congruentes, 
temos:
AB DC
m
m
m
AC DB
n
n
�
� �
�
�
�
�
�
6 6 54
6 48
8
36 4
9
A
D
C
B
54
4n
36
6m + 6
 
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8o. ano – Volume 240
Triângulo equilátero e triângulo isósceles
Você já aprendeu que um triângulo é equilátero quando os três lados têm a 
mesma medida e isósceles quando dois lados são congruentes. Agora, vamos ver 
algumas propriedades desses triângulos.
Triângulo equilátero 
Existe uma propriedade com relação às medidas dos ângulos internos de um 
triângulo equilátero.
Inicialmente vamos construir um triângulo equilátero, com régua e compasso. 
• Em uma folha, desenhe um segmento qualquer (com pelo menos 10 cm).
A B
Fixe a ponta-seca do compasso no ponto A, com 
abertura igual ao segmento AB e trace um arco.
A B
Fixe a ponta-seca do compasso no ponto B com 
abertura igual ao segmento AB e trace outro arco, de 
modo que intersecte o primeiro.
A B
O ponto de intersecção dos dois arcos é o ponto C. Agora é só traçar os lados AC e BC, formando o triângulo.
C
A B
Pinte de uma cor diferente cada um dos ângulos e depois divida o triângulo em três partes, de modo que 
em cada uma fique um dos ângulos.
C
A B A B
C
Sobreponha as partes em que o triângulo foi separado, de modo que um vértice fique sobre o outro e você 
possa comparar os ângulos. O que você observa? Os três ângulos são congruentes. 
A
B C
AB AC BC
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 Matemática 41
Veja agora como podemos demonstrar a propriedade observada na atividade 
anterior. 
Considere o triângulo equilátero ABC e AM, que é a mediana relativa ao lado 
BC.
Observando os triângulos ABM e ACM, temos:
• o lado AM é comum aos dois triângulos;
• como M é o ponto médio do lado BC, então BM CM ;
• como o triângulo ABC é equilátero, então AB AC. 
Pelo caso lado, lado, lado (LLL), temos que ABM ≡ ACM. 
Assim, B C .
A
B CM
Mediana de um triângulo é um segmen-
to que une um vértice ao ponto médio do 
lado oposto a ele.
A
B C
N
Agora, ao traçar a mediana CN, relativa ao lado AB, vamos observar os triân-
gulos CAN e CBN: 
• o lado CN é comum aos dois triângulos;
• como N é o ponto médio do lado AB, então AN BN;
• como o triângulo ABC é equilátero, então CA CB. 
Pelo caso lado, lado, lado (LLL), temos que CAN ≡ CBN. Assim, ˆ ˆA B.
Como A B e B C , os três ângulos internos do triângulo ABC são congruentes, ou seja, A B C. Como a 
soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo qualquer é igual a 180°, concluímos que cada ângulo 
interno do triângulo equilátero ABC mede 60°, pois med A med B med C( ) ( ) ( )� � �
�
� �
180
3
60 .
Em um triângulo equilátero, os três ângulos internos são congruentes e medem 60°.
A
B C
60°
60°
60°
Triângulo isósceles
Vamos conhecer agora uma propriedade dos triângulos isósceles. 
A
B C
No triângulo isósceles ao lado, considere que:
• o lado BC é a base; 
• os ângulos da base são B e C; 
• os lados AB e AC são congruentes.
Ilu
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8o. ano – Volume 242
Quando traçamos a mediana AM, relativa ao lado BC, ficam determinados os triângulos ABM e ACM.
Atividades
 1. Em um triângulo isósceles, um dos ângulos internos mede 110°. Quanto medem os outros dois ân-
gulos internos desse triângulo?
Como a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é 180°, não podemos ter dois ângulos que medem 110°. Assim, 
apenas um dos ângulos mede 110°. Vamos chamar a medida dos outros dois ângulos internos de x. 
x + x + 110° = 180° → 2x = 70° → x = 35°
 2. Sabendo que o triângulo ABC é equilátero e que BP é a bissetriz do ângulo B, determine os valores de 
p e q.
A
B
P
C
q
p
Como todos os ângulos internos de um triângulo equilátero medem 60°, 
então q� �60 . Além disso, BP é a bissetriz do ângulo B. Assim:
p
med B
� �
�
� �
( )
2
60
2
30
 3. Determine os valores desconhecidos, sabendo que os triângulos a seguir são isósceles.
a) 
A B
x
y
C
80°
Os ângulos B e C são congruentes. Assim, 
y = 80°. Como a soma das medidas dos ângu-
los internos de um triângulo é 180°, temos:
x
x
� �� �� �
� �
80 80 180
20
b) 
F
E
x
y + 2
2y − 5
D
2x + 12°
x + 40°
FD FE
y y
y
�
� � �
�
2 5 2
7
Os ângulos D e E são congruentes.
2 12 40
28
x x
x
� �� � �
� �
 
Gabaritos.4
Observando os triângulos ABM e ACM, temos:
• o lado AM é comum aos dois triângulos;
• como M é o ponto médio do lado BC, então BM CM ;
• AB AC. 
Pelo caso lado, lado, lado (LLL), temos que ABM ≡ ACM. Assim, B C.
A
B CM
Ilu
st
ra
çõ
es
: J
ac
k 
Ar
t. 
20
18
. D
ig
ita
l.
Em um triângulo isósceles, os ângulos da base são congruentes.
 Matemática 43
 4. Na figura, o triângulo ABC é equilátero, e AH é uma das alturas do triângulo. Qual o valor de x?
A
B CH
x
No triângulo ACH, temos:
med C
med H
( )
( )
� �
� �� �� �
60
180 90 90
 
Assim:
x
x
� �� �� �
� �
60 90 180
30
 5. Na figura a seguir, AH é altura do triângulo ABC.
a) Justifique a congruência entre os triângulos AHB e 
AHC.
b) Determine os valores de a e b.
 6. Assinale V para as afirmativas verdadeiras e F para as falsas.
a) ( V ) Dois triângulos congruentes têm ângulos correspondentes com