Distribuições de Probabilidade - Esperança Matemática, Variância e Desvio-Padrão

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ESTATÍSTICA
Ana Laura Bertelli Grams
Distribuições de 
probabilidade: esperança 
matemática, variância 
e desvio-padrão
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Resolver cálculos de esperança matemática.
 � Definir medidas de dispersão.
 � Realizar cálculos de variância e desvio-padrão.
Introdução
A análise estatística e a inferência sobre populações com base em amostras 
dependem de muitas medidas para que a tomada de decisões seja a 
melhor possível. Em estatística, dizemos que, quanto mais informações 
das características da variável em estudo tivermos, mais acertada será 
nossa decisão sobre ela. Neste capítulo, você descobrirá o que significa 
esperança matemática, variância e desvio-padrão.
Esperança matemática
A inferência estatística baseia-se no estudo de dados amostrais, e a busca da 
estimativa amostral (ou do valor esperado) ocorre para podermos estimar o 
verdadeiro parâmetro populacional para a tomada de decisão. A esperança 
matemática (estimativa) estuda como prever medidas populacionais desco-
nhecidas, fundamentadas em resultados conhecidos na amostra. 
A rotina das pessoas é estabelecida pela inferência de fatos amostrais. 
Os exemplos citados por Milone (2006) revelam a naturalidade dessas apli-
cações: em dias em que o céu está recheado de nuvens escuras, inferimos a 
possibilidade de chuvas; o fato de haver muita fumaça em uma edificação 
remete a uma eventualidade de um incêndio. Esses casos são eventos prováveis, 
mas nem sempre acontecem de fato.
Na prática, há diversos fatos que buscam pela estimação e baseiam suas 
previsões, por exemplo, de vendas, de eleitores, de defeitos das peças em 
uma linha de produção, dos custos dos produtos, de dívidas, entre outros. 
Os dados descritivos amostrais são estimadores dos parâmetros populacionais. 
Por exemplo, a média amostral e a proporção amostral são consideradas esti-
mativas pontuais, quando apresentadas a partir de um único número (ponto). 
Para estudos estatísticos, utilizamos com mais frequência a estimação por 
intervalo, que fornece um intervalo de valores possíveis, admitindo uma 
margem de confiança, considerando a estimativa pontual.
Suponha que 500 pessoas são questionadas sobre seu consumo anual de carne 
vermelha, e a média amostral seja de 20 kg por pessoa, com desvio-padrão de 0,2 kg.
 � A média amostral de 20 kg é uma estimativa pontual para o consumo anual de 
carne vermelha por pessoa.
 � A média da população provavelmente está próxima de 20 kg, mas, possivelmente, 
não é exatamente igual a 20 kg.
O intervalo de confiança estima o quanto a média amostral aproxima-se da média 
populacional. 
Se o intervalo de confiança fosse 20 ± 0,08, poderíamos calcular um nível de confiança 
que define a média populacional no intervalo ]19,92; 20,08[.
Cálculo 
Seja p a probabilidade de um evento S ocorrer, a esperança matemática (E) 
é definida por:
E = p ∙ S
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão2
Em um conjunto de dados de uma variável aleatória discreta x1, x2, ..., xn, 
em que a probabilidade de cada dado é p1, p2, ..., pn, respectivamente, define-se 
esperança matemática por:
E(x) = p1 ∙ x1 + p2 ∙ x2 + ... pn ∙ xn
Ou seja,
E(x) = ∑ pi · xi
n
i = 1
Duas moedas são jogadas 14 vezes, e os resultados foram:
 � 5 jogadas sem nenhum resultado cara; 
 � 6 jogadas, sendo apenas uma moeda cara;
 � 3 jogadas, sendo as duas moedas cara.
Qual é o valor esperado de caras por lançamento?
Temos que a probabilidade de nenhum resultado cara é: 5
14
, de apenas uma moeda 
ser cara: 6
14
; e de as duas moedas serem cara: 3
14
.
Assim, a esperança da variável cara ocorrer, por lançamento, é:
5
14
6
14
3
14
∙ 0 + ∙ 1 + ∙ 2 = = 0,865 ∙ 0 + 6 ∙ 1 + 3 ∙ 2
14
Medidas de dispersão
O estudo das medidas de posição é útil para fornecer boa parte das carac-
terísticas de um conjunto de dados. Contudo, existem outros parâmetros 
que complementam a caracterização dos conjuntos, principalmente quando 
estes possuem uma disparidade consideravelmente grande para uma simples 
análise por medidas de posição. Chamamos esses parâmetros de medidas de 
dispersão, e eles indicam a variabilidade da variável em torno de uma medida 
de posição — comumente, a média aritmética.
3Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
Amplitude
A amplitude é o mesmo que a variação entre dois elementos. Em um conjunto 
de dados, a amplitude total é encontrada por meio do cálculo da diferença 
entre o limite superior e o limite inferior, conforme segue:
Ar = xmáx – xmin
onde xmáx representa o limite superior, e xmin, o limite inferior.
A amplitude é considerada uma medida instável, pois é influenciada pelas 
extremidades dos conjuntos. As próximas medidas não possuem essa caracte-
rística, já que consideram todos os valores sob análise, sendo, assim, medidas 
mais utilizadas e com índices de variabilidade estáveis.
Desvio médio
O desvio médio é uma medida de dispersão, pela qual temos a média dos des-
vios em relação a uma medida de posição, podendo ser a média das diferenças 
absolutas entre cada elemento do conjunto e a média aritmética. A seguinte 
expressão representa o desvio médio da população:
D– m = 
∑|x – μ|
N
onde x representa cada elemento do conjunto de dados, μ, a média da 
população, e N, a quantidade de desvios. Contudo, os dados analisados, na 
maioria dos estudos estatísticos, referem-se a uma amostra. Assim, para o 
cálculo do desvio médio amostral, utiliza-se a seguinte expressão, a qual 
fornece uma estimativa sem tendenciosidade do desvio médio da população.
d
–
m =
∑|x – x–|
n – 1
onde x representa cada elemento do conjunto de dados, x–, a média da 
população, e n, a quantidade de elementos na amostra.
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão4
Perceba que o desvio médio é uma medida não negativa. Por isso, calcula-se o módulo 
(valor absoluto) de cada desvio, pois entre cada uma das diferenças (de cada um dos 
valores com relação à média) pode-se ter valores positivos ou negativos. Ao se aplicar 
o módulo, elimina-se esse sinal.
Variância
A variância da população baseia-se no desvio médio. Para seu cálculo, os 
desvios em torno da média do conjunto são elevados ao quadrado. Sendo assim:
σ2 = 
∑(xi – μ)
2
N
Em que xi representa cada elemento, μ, a média da população, e N, a quan-
tidade de observações. A mesma explicação dada no cálculo do desvio médio 
vale para a variância, de modo que a variância de uma amostral é dada por:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
onde 𝜎² é o valor numérico da variância, xi, representa cada elemento, x
–, 
a média aritmética amostral, e n, o tamanho da amostra.
Uma interpretação razoável do valor numérico da variância é dada por 
Anderson et al. (2006), quando sugere que a variância seja considerada como 
uma medida útil ao comparar a variabilidade entre variáveis, de modo que, 
em uma comparação de variáveis, aquela que tem a maior variância exibe 
maior variabilidade.
Desvio-padrão
A medida de dispersão, chamada desvio-padrão, é definida como a raiz qua-
drada positiva da variância, simplesmente denotada por σ = √σ2, desvio-padrão 
da população.
5Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
O interesse em calcular e considerar o desvio-padrão como uma medida 
útil na análise estatística é que a variância se restringe a uma análise das 
unidades elevadas ao quadrado — por exemplo, a variância de medidas de 
comprimento é dada em medidas de área, enquanto que o desvio-padrão é 
medido nas mesmas unidades que os dados originais. Sendo assim, é facilmente 
comparado a outras medidas de posição ou outros dados estatísticos.
Há, ainda, uma descrição de dados muito utilizada e derivada do desvio-padrão: o 
coeficiente de variação. Este é utilizado quando queremos comprar dois ou mais 
grupos de dados quanto à sua variabilidade e temos médias aritméticas distintas.Quanto menor for o coeficiente de variação, mais homogêneos serão os dados.
Para casos com coeficiente de variação muito elevado, a média nem sempre será a 
medida de posição mais apropriada para resumir a variável. O coeficiente de variação 
é calculado em situações em que é preciso indicar o “tamanho” de , em relação à 
média aritmética. 
Ele é expresso em porcentagem, a partir de σ
x–
∙ 100 % .
Cálculos de variância e desvio-padrão 
A aplicação das expressões matemáticas indicadas anteriormente será mostrada 
aqui, a partir de alguns exemplos de cálculos de cada medida de dispersão.
A resistência é uma característica importante para analisar materiais pré-fabricados. 
Cada um dos 8 elementos de placas pré-fabricadas de concreto foi submetido a um 
teste de tensão, e a largura máxima (mm) das trincas resultantes foi registrada no 
seguinte quadro:
0,794 3,870 0,483 0,924
2,230 1,038 1,285 0,598
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão6
Qual é o desvio-padrão da largura das trincas?
Solução:
Para a resolução, utilizaremos três etapas: o cálculo da média, o cálculo da variância 
e, por fim, o desvio-padrão.
1. Cálculo da média aritmética:
x– = ∑x
n
x– = 0,794 + 3,870 + 0,483 + 0,924 + 2,230 + 1,038 + 1,285 + 0,598
8
x– = 1,4 mm
2. Cálculo da variância:
A partir da média, calculamos os desvios de cada elemento.
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
σ2 = (0,794 – 1,4)
2 + (3,87 – 1,4)2 + (0,483 – 1,4)2 + (0,924 – 1,4)2 + (2,23 – 1,4)2 + (1,038 – 1,4)2 + (1,285 – 1,4)2 + (0,598 – 1,4)2
8 – 1
s2 =
9,012
7
= 1,287 mm2
3. Cálculo do desvio-padrão:
Sendo a variância 1,287, temos que:
s = √1,287 = 1,135 mm
Qual é o desvio-padrão da vida útil (em horas) de um determinado tipo de lâmpada, 
considerando as 20 observações amostrais a seguir?
xi fi
612 4
666 3
7Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão
xi fi
744 6
883 5
964 2
Total 20
Solução:
As mesmas etapas do exemplo anterior devem ser seguidas. Entretanto, agora temos 
uma distribuição de frequências. Para o cálculo da média, será necessário multiplicarmos 
cada variável (vida útil) pela sua respectiva frequência.
1. Cálculo da média aritmética:
x– =
∑(xi · fi)
∑fi
x– =
(612 · 4) + (666 · 3) + (744 · 6) + (883 · 5) + (964 · 2)
4 + 3 + 6 + 5 + 2
x– =
15.253
20
= 762,65 h
2. Cálculo da variância:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
σ2 = 4 · (612 – 762,65)
2 + 3 · (666 – 762,65)2 + 6 · (744 – 762,65)2 + 5 · (883 – 762,65)2 + 2 · (964 – 762,65)2
20 –1
s2 =
274.396,6
19
= 14.441,93 h2
3. Cálculo do desvio-padrão:
s = √14441,93 = 120,17 h
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão8
Os dados a seguir representam o tempo (em segundos) para carga de um aplicativo, 
num sistema compartilhado.
Classes de tempo Número de observações
[6, 7[ 14
[7, 8[ 4
[8, 9[ 7
[9, 10[ 3
[10, 11[ 0
[11, 12[ 0
[12, 13[ 2
Total 30
Determine o desvio-padrão e o coeficiente de variação dessa amostra.
Solução:
Nesse caso, temos uma distribuição de frequência em intervalos de classe. Por isso, 
precisamos encontrar o ponto médio de cada intervalo para, então, calcular a média 
e prosseguir com os cálculos das medidas de dispersão.
Classes de 
tempo
xi (ponto médio 
da classe)
Número de 
observações
[6, 7[ 6,5 14
[7, 8[ 7,5 4
[8, 9[ 8,5 7
[9, 10[ 9,5 3
[10, 11[ 10,5 0
[11, 12[ 11,5 0
[12, 13[ 12,5 2
Total 30
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ANDERSON, D. R.; SWEENEY, D. J.; WILLIAMS, T. A. Estatística aplicada à administração e 
economia. 2. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2008.
MILONE, G. Estatística: geral e aplicada. São Paulo: Thomson Learning, 2006.
Leitura recomendada
MORETTIN, L. G. Estatística básica: probabilidade e inferência. São Paulo: Pearson Pren-
tice Hall, 2010.
1. Cálculo da média aritmética:
x– = (6,5 · 14) + (7,5 · 4) + (8,5 · 7) + (9,5 · 3) + (10,5 · 0) + (11,5 · 0) + (12,5 · 2)
14 + 4 + 7 + 3 + 0 + 0 + 2
x– = 234
30
= 7,8 s
(Em distribuições de frequência como essas, os valores de x_i são expressos pelos 
respectivos pontos médios dos intervalos de classe).
x– = (6,5 · 14) + (7,5 · 4) + (8,5 · 7) + (9,5 · 3) + (10,5 · 0) + (11,5 · 0) + (12,5 · 2)
14 + 4 + 7 + 3 + 0 + 0 + 2
x– = 234
30
= 7,8 s
2. Cálculo da variância:
s2 =
∑(xi – x
–)2
n – 1
s2 = 14 · (6,5 – 7,8)
2 + 4 · (7,5 – 7,8)2 + 7 · (8,5 – 7,8)2 + 3 · (9,5 – 7,8)2 + 2 · (12,5 – 7,8)2
30 –1
s2 =
80,3
29 = 2,769 s
2
3. Cálculo do desvio-padrão:
s = √2,769 = 1,664 s
Distribuições de probabilidade: esperança matemática, variância e desvio-padrão10
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