MATEMÁTICA FINANCEIRAConceitos básicosPrincipal (P) capital inicial de uma aplicação.Juro (J)

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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Conceitos básicos 
Principal (P): capital inicial de uma aplicação.
Juro (J): valor pago ou recebido como remuneração (aluguel) pelo uso de um capital.
Taxa de juros (r ou i): é o índice referente a uma unidade de tempo, que indica o juro por unidade de 
capital vinculado à aplicação ou dívida
Será denominada r, quando for percentual (base 100), ou i, quando for de base unitária. De maneira 
geral, a unidade de tempo da taxa de juros é indicada de forma abreviada, podendo haver alguma 
confusão
Exemplos:
• a.a. = ao ano;
• a.m. = ao mês;
• a.t. = ao trimestre;
• a.b. = ao bimestre
Número de períodos (n): é a medida do prazo de uma aplicação expressa na unidade de tempo da taxa 
de juros, o mesmo prazo poderá ser expresso por números diferentes, dependendo da unidade de 
medida.
Ex: 1 ano = 2 semestres; quatro trimestres; seis bimestres etc
Taxas proporcionais: duas taxas de juros diferentes, que se referem a unidades de tempo diversas, serão 
proporcionais quando seus valores estiverem na mesma razão que seus prazos. Explicando melhor, 
podemos dizer que: dividindo as taxas e os prazos na mesma ordem, chegamos ao mesmo número.
A expressão que relaciona duas taxas proporcionais pode ser escrita da seguinte forma:
Exemplos de taxas proporcionais:
• 2% ao mês e 24% ao ano;
• 1% ao bimestre e 3% ao semestre;
• 5% ao trimestre e 20% ao ano;
• 2% ao dia e 60% ao mês.
Montante (M): é a soma do principal de uma aplicação com o juro que o capital rendeu durante essa 
aplicação.
Custo (C): quanto se paga por uma determinada mercadoria ou se gasta para prestar um determinado 
serviço.
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Lucro (L): ganho adicionado ao custo da mercadoria ou do serviço para se calcular seu preço de venda.
Preço de venda (V): resultado da soma do custo com o lucro (V = C + L).
Ano exato: é o critério em que o prazo é contado dia a dia, perfazendo um ano de 365 dias. Esse critério é 
muito usado para calcular prazos muito curtos, que geralmente estão em dias.
Ano comercial: é o critério em que o prazo é contado em meses de 30 dias, totalizando um ano de 360 
dias. Essa forma de cálculo é usada quando os prazos são fornecidos em blocos de meses, sem a 
localização no ano.
Fluxo de caixa: é a indicação gráfica da movimentação de valores em um caixa. de acordo com uma 
convenção de setas ou cores, demonstrando se são entradas ou saídas. Por exemplo, as setas podem ter 
as entradas orientadas para cima e as saídas para baixo; a cor azul para entradas e a vermelha para 
saídas
Juros simples: a taxa de juros incide somente sobre o valor inicial aplicado ou tomado emprestado.
Exemplo: correção de juros simples de um empréstimo de R$ 800,00 com uma taxa de juros de 8% a.m. 
durante 6 meses:
Juros compostos: a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá 
sobre o montante acumulado no final do período anterior.
Exemplo: em uma operação de empréstimo de R$ 100,00 por 3 meses, a uma taxa de 60% a.m.:
Ao cálculo de juros em que a principal característica é a incidência somente sobre o valor inicial 
aplicado ou tomado emprestado damos o nome de Juros simples
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Taxa percentual: é a taxa utilizada nos enunciados para demonstrar os juros sobre o capital. O símbolo 
utilizado é o % e não pode ser utilizado para o cálculo algébrico.
Exemplo: 25% (lê-se vinte e cinco por cento)
Taxa unitária: é a forma utilizada para cálculos algébricos. É a taxa percentual dividida por 100.
Exemplo: 0,25 (25/100 = 0,25) Outros exemplos: 10% = 0,10 / 5% = 0,05 / 0,6% = 0,006
Exemplo: a comissão de um vendedor é de 22,5% sobre o valor total das vendas realizadas durante o 
mês. Em um determinado mês, ele vendeu um total de $ 25.500,00. Qual foi o valor da comissão desse 
vendedor? Resolução: primeiro devemos identificar os dados do problema:
 1º – total de vendas => TV = 25.500,00
 2º – comissão => 22,5% (convertendo para taxa unitária – 22,5/100 = 0,225)
3º – valor da comissão => 25.500 . 0,225 = 5.737,50
Fator de multiplicação 
Acréscimo: 1 + taxa unitária (ex.: 25% = 1 + 0,25 = 1,25) Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com 
valor original $ 230,00 acrescido de 35%?
35% = 1 + 0,35 = 1,35
Novo valor => 230 . 1,35 = 310,50
Desconto: 1 – taxa unitária (ex.: 25% = 1 – 0,25 = 0,75) Exemplo: qual é o valor de uma mercadoria com 
valor original $ 230,00 com desconto de 35%?
35% = 1 – 0,35 = 0,65
Novo valor => 230 . 0,65 = 149,50
JUROS SIMPLES
Como consequência dessa definição, esse critério também é denominado:
• juro não capitalizado;
• juro linear;
• juro proporcional.
O juro total é diretamente proporcional à taxa de juros e ao número de períodos da aplicação. aplicações 
de proporções e regras de três imediatas
Fórmulas
• Juro:
J = P . i. n
Montante:
M = P + J => substituindo J = P . i . n
aplicado ou tomado emprestado, damos o nome de ... Juros simples
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M = P + P . i . n => colocando o fator P em evidência, teremos:
M = P . (1 + i . n)
Em que:
J = juros
P = principal (início da operação)
i = taxa unitária de juros (%/100)
n = número de períodos (prazo da operação) M = montante (final da operação)
A taxa i e o prazo n deverão estar na mesma unidade de tempo.
Exemplo:
i = 25% a.m. n = 6 meses
i = 32% a.d. n = 32 dias
i = 65% a.s. n = 3 semestres
Com essas duas fórmulas, podemos efetuar todos os cálculos a juros simples, envolvendo o principal P, o 
montante M, a taxa de juros unitária i e o prazo em períodos, n.
Um terreno pode ser adquirido pelo preço à vista de $ 48.000,00 ou por $ 54.000,00 para pagamento após 
seis meses.
Qual é a taxa mensal de juros simples que está sendo cobrada?
Resolução:
a) 0,020833% a.m. J = M – P = 54000 – 48000 = 6000
b) 1,125% a.m. J = P . i . n
c) 2,0833% a.m. 6000 = 48000 . i . 6
d) 88,8% a.m. 6000 = 288000 . i
e) 0,01125% a.m. 6000 / 288000 = i 0,020833 = i
     taxa unitária Como todas as respostas estão como taxa percentual, devemos multiplicar a taxa 
unitária por 100. i % = 0,020833 . 100 = 2,0833% a.m.
Valor atual: valor antes da data de vencimento da operação. Seria análogo ao valor principal.
Valor nominal: valor na data de vencimento da operação. Sinônimo de montante.
Juro exato, para anos contados dia a dia, totalizando 365 dias; esse critério de contagem dos dias é 
aplicado em operações de curto prazo, como descontos de duplicatas e de cheques.
Juro comercial, para meses de trinta dias, perfazendo um ano de 360 dias; aplicado em situações que 
envolvem o consumidor final, como a caderneta de poupança.
Equivalência
Duas taxas de juros diferentes, referentes a unidades de tempo diversas, serão equivalentes quando, a 
partir do mesmo principal no mesmo prazo produzirem o mesmo montante Nesse caso a equivalência
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partir do mesmo principal, no mesmo prazo, produzirem o mesmo montante. Nesse caso, a equivalência 
é caracterizada por resultados iguais. 
Em juros simples, usamos apenas as operações de multiplicação e divisão para encontrar as taxasequivalentes:
Exemplo 1: qual é a taxa anual equivalente de uma taxa mensal de 3%? Basta multiplicar a taxa mensal 
por 12 (temos 12 meses em um ano). ia = 3 . 12 = 36% a.a.
       3 [ENTER] 12 [x] 36% a.a
Exemplo 2: qual é a taxa mensal equivalente de uma taxa anual de 24%? Basta dividir a taxa anual por 12 
(temos 12 meses em um ano). im = 24 / 12 = 2% a.m.
        24 [ENTER] 12 [÷] 2% a.m
Exemplo 3: um banco adotou uma taxa de 15% ao ano a uma aplicação no regime de juros simples. 
Quantos por cento renderá ao mês? E ao bimestre? E ao semestre?
Ao mês: basta dividir a taxa anual por 12 (temos 12 meses em um ano).
im = 15 / 12 = 1,25% a.m.
Ao bimestre: basta dividir a taxa anual por 6 (temos 6 bimestres em um ano).
ib = 15 / 6 = 2,5% a.b.
Ao semestre: basta dividir a taxa anual por 2 (temos 2 semestres em um ano).
is = 15 / 2 = 7,5% a.s.
Uma financeira cobra uma taxa mensal de 5,4% ao mês sobre os empréstimos feitos aos seus clientes. 
Qual é a taxa equivalente trimestral que ela cobrará?
a) 16,2% a.m.
b) 1,8% a.t. Ao trimestre: basta multiplicar a taxa mensal por 3 
c) 32,6% a.t. (temos 3 meses em um trimestre).
d) 0,833% a.t. it = 5,4 . 3 = 16,2% a.t. 
e) 16,2% a.t. 
Desconto simples – conceitos básicos
Desconto (D): é o abatimento dado no valor nominal de uma dívida como consequência da antecipação 
da sua data de pagamento.
Prazo de antecipação (n): é a medida do tempo que vai da data de pagamento efetivo até a data de 
vencimento.
Fique atento, pois o prazo do desconto é quanto tempo falta para vencer a partir da data de pagamento 
antecipado.
Valor descontado ou líquido (Vd): é o valor efetivamente pago ou recebido após o abatimento do 
desconto.
Taxa de desconto (i): é a taxa comum de juros das aplicações, agora utilizada nas operações de desconto.
O desconto pode ser racional (por dentro), comercial (por fora) ou bancário.
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Definição: o desconto é o juro que seria obtido na aplicação do valor atual da dívida da data de 
pagamento antecipado até a data do vencimento original, à taxa de desconto. 
Fórmulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema, usa-se uma das fórmulas:
D = A . i . n
D = N – Vd
Desconto racional – “por dentro” 
Exemplo: Calcule o desconto simples racional de um título com valor nominal de $ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. Dados fornecidos pelo enunciado:
N = 1.000
n = 3 meses
i = 4% a.m. => 0,04 a.m.
Desconto comercial – “por fora”
Definição: segundo o critério comercial ou “por fora”, o desconto simples é calculado como o juro 
simples do valor nominal da dívida, pelo prazo de antecipação da data de pagamento.
Fórmulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema, usa-se uma das fórmulas:
D = N . i . n
Vd = N . (1 - i . n)
D = N – VD
Exemplo: Calcule o desconto simples comercial de um título com valor nominal de $ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês. Dados fornecidos pelo enunciado:
N = 1.000 D = N . i . n
n = 3 meses D = 1000 . 0,04 . 3
i = 4% a.m. => 0,04 a.m. D = 120
Desconto bancário
É calculado como o desconto simples comercial, acrescido de uma porcentagem do valor nominal, como 
taxa administrativa também chamada de Taxa de Abertura de Crédito (TAC) usando a inicial h nas
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taxa administrativa também chamada de Taxa de Abertura de Crédito (TAC), usando a inicial h nas 
fórmulas. Da mesma forma que a taxa da operação, a taxa administrativa deve ser usada na forma 
unitária para os cálculos. 
Fórmulas: dependendo das informações contidas no enunciado do problema usa-se uma das fórmulas:
Db = N . (i . n + h)
Vdb = N . [1 – (i . n + h)]
Db = N – Vdb
Exemplo: Calcule o desconto simples bancário de um título no valor nominal de $ 1.000,00, em uma 
antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês, sabendo que a financeira cobrou 1% de 
taxa administrativa. Dados fornecidos pelo enunciado:
N = 1.000 Db = N . (i . n + h)
n = 3 meses Db = 1000 . (0,04 . 3 + 0,01)
i = 4% a.m. => 0,04 a.m. Db = 1000 . (0,12 + 0,01)
h = 1% => 0,01 Db = 1000 . 0,13
 Db = 130
Taxa efetiva na operação de desconto
Denomina-se efetiva a taxa de juros à qual devemos aplicar os valores descontados (líquidos), comercial 
ou bancário, para obtermos, de montante, o valor nominal da dívida, no prazo de antecipação.
Essa taxa é a que o banco ou a financeira ganham na operação de desconto que praticam junto às 
empresas em geral. Representaremos essa taxa por if.
Fórmulas:
Exemplo: Calcule a taxa efetiva e o desconto simples comercial de um título com valor nominal de R$ 
1.000,00 em uma antecipação de três meses, à taxa de desconto de 4% ao mês.
Resolução: d = N . i . n = 1000 . 0,04 . 3 = 120
N = 1.000
n = 3 Vd = N – d = 1000 – 120 = 880
i = 4% a.m. => 0,04 a.m.
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Transformando a taxa efetiva encontrada de unitária para percentual: if = 0,04545 . 100 = 4,545% a.m.
Juros compostos
Segundo o critério de cálculo denominado composto, ao final de cada período, o juro é adicionado ao 
principal do período e o montante assim formado é reaplicado como principal no período seguinte, ou 
seja, a incidência de juros ocorre sempre de forma cumulativa. A taxa de juros incidirá sobre o montante 
acumulado no final do período anterior.
Chamado de:
Juro sobre juro.
Juro exponencial.
Fórmulas:
Montante: M = P . (1 + i)n
Juros: J = P . [(1 + i)n – 1]
(A maioria das aplicações a juros compostos será calculada por meio da fórmula do montante, ficando a fórmula 
do juro em segundo plano)
caso haja necessidade de se encontrar o principal, a taxa de juros ou o prazo, usamos as seguintes 
fórmulas: Para encontrar o principal:
A taxa de juros:
Para encontrar o prazo da operação:
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Para encontrar o prazo da operação: 
EX: Calcule o montante de um principal de R$ 1.000,00, aplicado a juros compostos de 5% ao mês, 
durante dez meses.
Resolução: M = P . (1 + i)n
P = 1000 M = 1000 . (1 + 0,05)10
i = 5% a.m. = 0,05 a.m. M = 1000 . (1,05)10
N = 10 meses M = 1000 . 1.6289
M = ? M = 1628,89
 Resposta: o montante será de $ 1.628,89. 
EQUIVALÊNCIA DE TAXAS A JUROS COMPOSTOS
Fórmulas: para construirmos uma fórmula que relacione duas taxas equivalentes, de acordo com o 
critério do juro composto, vamos fixar as taxas anual e mensal, que são as mais utilizadas.
- ia: taxa unitária anual
- im: taxa unitária mensal
Se tiver a taxa mensal e quiser saber a taxa anual, usar a fórmula:
(1 +im) 12 = (1 + ia)
Se tiver a taxa anual e quiser saber a taxa mensal, usar a fórmula:
(1 + im) = (1 + ia)0,0833 
EX: Calcule a taxa composta anual equivalente a 2% a.m.
Resolução: Aplicando a fórmula:
im = 2% a.m. = 0,02 a.m. (1 + im)12 = (1 + ia)
ia = ? (1 + 0,02)12 = 1 + ia
 1,0212 = 1 + ia
 1,2682 = 1 + ia
 1,2682 – 1 = ia
 0,2682 = ia
 Transformando a taxa unitária para taxa percentual: ia = 0,2682 . 100 = 26,82% 
a.a.
MONTANTE COMPOSTO EM UM NÚMERO FRACIONÁRIO DE PERÍODOS:
Critério exponencial: opta pela transformação da taxa de juros em uma unidade menor, que é 
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capitalizada exponencialmente no número total de períodos, o que equivale a capitalizar diretamente 
para o número fracionário de períodos.
Exemplo: capitalização mensal e período de 130 dias =>130/30 = 4,33 (esse será o expoente n na 
fórmula do montante). 
- A HP12C precisa ser configurada para fazer o cálculo com esse critério. 
 Digite na HP12C: [STO] [EEX] => aparecerá a letra C na parte inferior do visor, o que indica que está 
preparada para fazer o cálculo exponencial com as teclas financeiras.
Agora é só fazer a inserção do período decimal. 
Para tirar essa configuração, basta repetir a sequência de teclas [STO] [EEX] (a letra C desaparece).
Critério linear: nesse critério é utilizada a fórmula do montante de juros compostos para a parte inteira 
de períodos e o resultado obtido é reaplicado a juros simples no número fracionário de períodos. 
 A HP12C já vem, como padrão, com esse critério (sem a letra C na parte inferior do visor).
EX: Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, 
por 115 dias, no regime de capitalização composta. 
- Critério linear: certifique-se de que não está aparecendo a letra C na parte inferior do visor. Caso esteja 
aparecendo, aperte as teclas [STO] [EEX] e a letra C na parte inferior do visor deve desaparecer.
Resolução:
1000 [CHS] [PV]
4 [i]
115 [Enter] 30 [÷] [n] => 115/30 = 3,8333
[FV] Aparecerá na tela o valor 1.162,36; que é o resultado no critério linear.
EX: Calcule o montante composto de um principal de R$ 1.000,00, aplicado à taxa de juros de 4% ao mês, 
por 115 dias, no regime de capitalização composta.
- Critério exponencial: certifique-se de que está aparecendo a letra C na parte inferior do visor. Caso não 
esteja aparecendo, aperte as teclas [STO] [EEX] e a letra C na parte inferior do visor deve aparecer.
Resolução:
1000 [CHS] [PV]
4 [i]
115 [Enter] 30 [÷] [n] => 115/30 = 3,8333
[FV] Aparecerá na tela o valor 1.162,24; que é o resultado no critério 
exponencial.
In: EX:
Qual será o montante gerado por uma aplicação de $ 13.500,00, sabendo que o banco paga por essa 
aplicação uma taxa de 1,8% a.m. no critério exponencial e o aplicador pretende deixar essa aplicação 
pelo período de 225 dias?
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pelo período de 225 dias?
a) 15.433,32 Resolução:
b) 18.660,00 [STO] [EEX] � letra C no visor
c) 15.100,85 13500 [CHS] [PV]
d) 24.207,99 1,8 [i]
e) 15.432,71 225 [Enter] 30 [÷] [n] � 225/30 = 7,5 [FV]
 Aparecerá na tela o valor 15.432,71; que é o resultado no critério exponencial. 
Período de capitalização diferente do período da taxa
Geralmente, a taxa de juros compostos e o período de capitalização coincidem. Por exemplo, taxa de 
juros anual e pagamentos (capitalizações) anuais ou taxa de juros mensal e rendimentos mensais.
Porém, em alguns casos, como no financiamento imobiliário, em que se usa a Tabela Price, a taxa de 
juros é anual e sua capitalização é mensal, ou seja, pagamentos de parcelas a cada mês. 
Esses casos de tipos de capitalização poderão ser calculados por uma associação entre a 
proporcionalidade e a recapitalização dentro do prazo utilizado.
 O cálculo é muito simples: dividimos a taxa pelo número de períodos de capitalização e capitalizamos o 
resultado novamente, período a período de capitalização, totalizando o prazo da operação financeira.
Exemplo 1: 
Determine a taxa efetiva anual correspondente à nominal de 50% ao ano, com capitalização mensal: 
i = 50% a.a. => 0,50 
n = 12 (há 12 meses em um ano) 
ia = ? (taxa efetiva)
passando para taxa percentual (x100) = ia = 63,21% a.a
Exemplo 2: Calcule a taxa efetiva anual correspondente à taxa nominal de 30% ao ano, com capitalização 
trimestral. 
i = 30% a.a. => 0,30 
n = 4 (há 4 trimestres em um ano) 
i ? ( f i )
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ia = ? (taxa efetiva)
passando para taxa percentual (x100) = ia = 33,55% a.a
Exemplo 3: Uma financeira trabalha com a taxa de 12% ao ano, mas exige o pagamento dos juros 
mensalmente (capitalização). Calcule a taxa efetiva anual correspondente a esse cálculo. 
i = 12% a.a. => 0,12 
n = 12 (há 12 meses em um ano) 
ia = ? (taxa efetiva)
passando para taxa percentual (x100) = ia = 12,68% a.a
Determine a taxa efetiva mensal correspondente à taxa de 10% ao mês com capitalização diária, 
considerando um mês comercial. 
a) 11,80% a.m. | i = 10% a.m. � 0,10 
b) 10,99% a.m. | n = 30 (há 30 dias em um mês) 
c) 15,30% a.m. | im = ? (taxa efetiva) 
d) 10,50% a.m. | e) 12% a.m. |
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passando para taxa percentual (x100) = ia = 10,50% a.m
Séries de capitais
Qualquer sequência de capitais reunidos sob uma determinada característica.
Esses capitais podem ser valores que saem ou entram em um fluxo de caixa, caracterizando uma:
série de pagamentos, com o objetivo de quitar uma dívida; 
série de rendas, que tem como objetivo a capitalização de um valor futuro.
Tem como principal característica seu valor atual na data zero, também denominado valor à vista, 
que é igual à soma de todos os valores (termos) da série na data zero, valor que depende do número 
e do valor dos pagamentos, bem como da taxa de juros utilizada no cálculo do financiamento. 
EX: aluguéis, condomínios, mensalidades escolares, seguros, financiamentos em geral.
Tem como parâmetro característico fundamental o montante ou valor futuro, que é a soma de todas 
as aplicações na data do último depósito. Esse valor dependerá do número e do valor dos depósitos, 
bem como da taxa utilizada para corrigi-los. 
EX: poupança programada, poupança imobiliária vinculada, previdência (privada e pública).
As séries podem ser classificadas em dois grandes grupos: 
Certa ou determinística: quando as datas e os valores dos seus termos são conhecidos. 
EX, temos os financiamentos com taxas predeterminadas, como mensalidades escolares, aluguéis, 
prêmios de seguro, poupanças programadas. 
Aleatória ou probabilística: não têm datas nem valores determinados. 
EX, podemos citar os fluxos de caixa das seguradoras (não será estudado nesta disciplina).
� Série periódica: seus termos ocorrem em períodos de tempo iguais; 
� Temporária (finita): a série tem uma duração determinada; 
� Constante (uniforme): todos os termos da sérietêm o mesmo valor; 
� Imediata (carência): o primeiro termo da série está no primeiro período do prazo; 
� Postecipada: cada termo se localiza no final do período de vencimento.
Interatividade 
Em um financiamento de automóvel, é observado que o prazo de pagamento é de 48 meses, com 
parcelas mensais de R$ 1 250 00 e seu primeiro pagamento será após 30 dias da data da venda Podemos
07/04/2022 16:39 Notas - Evernote
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parcelas mensais de R$ 1.250,00 e seu primeiro pagamento será após 30 dias da data da venda. Podemos 
caracterizar esse tipo de série como sendo: a) De pagamento certo, temporário, não periódico, constante, 
imediato e antecipado. 
b) De pagamento certo, temporário, não periódico, constante, imediato e postecipado. 
c) De pagamento aleatório, temporário, periódico, constante, imediato e postecipado. 
d) De pagamento aleatório, temporário, periódico, constante, imediato e antecipado. 
e) De pagamento certo, temporário, periódico, constante, imediato e postecipado.
Fórmula do valor presente ou à vista (A): como a definição de valor à vista da série configura-o como a 
soma de todos os pagamentos trazidos para a data zero (sem juros), teoricamente, o valor à vista da série 
de pagamentos poderia ser calculado por meio da sua definição, termo a termo. 
Adotando R para representar o valor das prestações, n para o número de prestações e i para a taxa de 
financiamento, e aplicando a definição de valor atual na data zero a cada um dos termos da série, 
teremos:
Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais a R$ 
250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês. 
Resolução: 
n = 13 
i = 3% a.m. => 0,03 
R = 250
Calcule o valor à vista do financiamento que quita um bem em treze pagamentos mensais iguais a R$ 
250,00 sem entrada, sabendo que a operação foi calculada a juros compostos de 3% ao mês. 
Fazendo esse mesmo cálculo na HP12C: 
 250 [CHS] [PMT] o PMT é a sigla usada para R
13 [n] 
3 [i] 
[PV] 
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[ ]
 aparecerá na tela 2.658,74
A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais.
Fórmula do valor das prestações (R): caso tenhamos o valor à vista do bem (A), a taxa de juros (i) e a 
quantidade de prestações (n), podemos calcular o valor das prestações com a seguinte fórmula: 
Note que a diferença dessa fórmula com a do principal (A) é a inversão da fração, ou seja, invertemos o 
numerador e o denominador
Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida com valor à vista de R$ 
5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada? 
Resolução: 
n = 15 
i = 5% a.m. => 0,05 
A = 5000
Qual será o valor da prestação mensal do financiamento que quita uma dívida com valor à vista de R$ 
5.000,00, a juros compostos de 5% ao mês, em quinze pagamentos mensais iguais, sem entrada?
Fazendo esse mesmo cálculo na HP12C: 
 5000 [CHS] [PV] 
 15 [n] 
 5 [i] 
 [PMT] 
aparecerá na tela 481,71
A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais.
Aplicação: um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais 
consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, 
determine o valor à vista do imóvel. 
Resolução: 
n = 36 
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i = 2,5% a.m. => 0,025 
R = 500
Somam-se a esse valor os 10.000,00 que o professor deu de entrada: 
A = 11.778,01 + 10.000,00 = 21.778,01
Aplicação: um professor compra um terreno dando R$ 10.000,00 de entrada mais 36 prestações mensais 
consecutivas e iguais de R$ 500,00. Sabendo que o banco cobra juros compostos de 2,5% ao mês, 
determine o valor à vista do imóvel. 
Fazendo esse mesmo cálculo na HP12C: 
500 [CHS] [PMT] => o PMT é a sigla usada para R 
36 [n] 
2,5 [i] 
 [PV] 
aparecerá na tela 11.778,13 
Somam-se a esse valor os 10.000,00 que o professor deu de entrada: 
A = 11.778,13 + 10.000,00 = 21.778,13 
A diferença de valores é por conta de arredondamento de casas decimais
Uma geladeira possui preço à vista igual a R$ 2.800,00, podendo ser paga em 10 parcelas mensais e iguais 
sem entrada. Sabendo que a taxa de juros praticada pela loja é igual a 5% a.m., qual será o valor da 
prestação que o cliente pagará? 
Na HP12C:
[CHS] [PV] 
10 [n]
5 [i] 
[PMT]
aparecerá na tela 362,61
Fórmula do valor futuro ou montante (S)
É aplicado toda vez que temos uma série de aplicações com o objetivo de construir um valor futuro, em 
uma data determinada. 
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Na prática, podemos ter uma poupança programada em que o investidor aplica todo mês, no mesmo dia, 
determinado valor. 
Esse valor futuro ou montante da série de rendas poderia ser calculado por meio da definição, corrigindo-
se, termo a termo, cada um dos valores dos depósitos para a data do último depósito e somando-os 
nessa data
Adotando S para denominar o montante da série, poderíamos escrever, de acordo com a definição: 
Ou caso tenha o montante (S) e queira calcular as prestações (R):
No caso do montante da série, você poderá efetuar os cálculos por meio das funções da calculadora 
financeira.
A correspondência entre os parâmetros teóricos e as teclas é parecida com aquela do cálculo do valor à 
vista. 
Montante (M) => FV 
Taxa de remuneração (i) => i 
Número de depósitos (n) => n 
Valor dos depósitos (R) => PMT 
Nesse caso, temos uma operação de cálculo do montante ou valor futuro FV de uma série de depósitos 
ou aplicações, corrigidos por uma taxa i até a data da última aplicação.
Veja um exemplo do cálculo na HP12C:
Calcule o montante composto de uma série de oito aplicações mensais consecutivas e iguais de R$ 
500,00, em uma instituição que paga juros compostos de 2% ao mês sem que haja nenhuma retirada. 
n = 8 Cálculos: 
R = R$ 500,00 8 [n] 
i = 2% a.m. 500 [CHS] [PMT] 
S = ? 2 [i] 
 [FV] aparecerá na tela 4.291,48
Resposta: o montante composto da série de rendas será de R$ 4.291,48
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Quanto deverei depositar mensalmente durante quarenta meses, em uma instituição que remunera as 
aplicações a juros compostos de 3% a.m., se desejo ter R$ 100.000,00 de montante?
Via hp 12c:
100000 [CHS] [FV]
40 [n]
3 [i]
[PMT] => aparecerá no visor 1.326,24
Sistemas de amortização
São desenvolvidos basicamente para operações de empréstimos e financiamentos de longo prazo, 
envolvendo desembolsos periódicos do valor principal e encargos financeiros
Amortização: a fração (parte) do capital paga ou recebida em um determinado período (data). É 
representada pela variável A
Prestação: é o pagamento efetuado ao longo da série de pagamentos, sendo composto de uma parcela 
de capital chamada amortização e uma parcela de juros. É representada por PMT (abreviatura de 
payment, que significa pagamento),
Carência: significa a postergação só do valor principal, excluídos os juros.
Os sistemas de amortização mais usados no mercado são:
SAC – Sistema de Amortização Constante;
SAF – Sistema de Amortização Francês (Price);
SAM – Sistema de Amortização Misto;
SAA – Sistema de Amortização Americano;
SACRE – Sistema de Amortização Crescente.
Sistema de Amortização Constante (SAC)
Tem como característica básica as amortizações sempre iguais do valor principal, em todo o prazo daoperação.
O valor da amortização é facilmente obtido mediante a divisão do capital (quantia emprestada) pelo 
número de prestações.
Os juros, por incidirem sobre o saldo devedor, cujo montante decresce após o pagamento de cada 
amortização, assumem valores decrescentes nos períodos
Para a construção da tabela de financiamento, devemos primeiramente calcular o valor das 
amortizações; em seguida, os saldos devedores ao final de cada período; o cálculo do valor do juros para, 
enfim, calcularmos o valor das prestações.
Sistema Francês – tabela Price
Na tabela Price parte-se da premissa de que as prestações são constantes, ou seja, sem correção teriam o 
mesmo valor no decorrer do prazo do financiamento.
Para o cálculo das prestações, utilizamos a fórmula do R (PMT), em que:
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Para a construção da tabela de amortização, devemos começar com o cálculo das prestações; em 
seguida, calculamos o valor do juros; calculamos o valor da amortização para, por fim, calcularmos os 
saldos devedores ao final de cada período. 
Exemplo de aplicação
Determinada pessoa pretende financiar um bem de valor R$ 50.000,00 em cinco parcelas mensais e 
consecutivas. Para isso, o banco cobra uma taxa de juros de 1,5% a.m. Determine as tabelas SAC e Price 
para esse financiamento. Variáveis:
Valor a ser financiado: R$ 50.000,00
Taxa de juros: 1,5% a.m.
Número de parcelas: 5 mensais
Tabela SAC 
Variáveis: Cálculo da amortização:
Valor a ser financiado: R$ 50.000,00 Amort = SD/n
Taxa de juros: 1,5% a.m. Amort = 50.000/5 
Número de parcelas: 5 mensais Amort = 10.000 
 
 
Sistema Francês – tabela Price 
Tabela Price
Variáveis: Cálculo da prestação: Via HP12C:
Valor a ser financiado: R$ 50.000,00 50.000 [CHS] [PV] 
Taxa de juros: 1,5% a.m. 5 [n]
Número de parcelas: 5 mensais 4,5 [i] 
 [PMT] => aparecerá na tela 10.454,47
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Sistema de Amortização Misto – conceito:
O Sistema de Amortização Misto (SAM) foi desenvolvido originalmente para as operações de 
financiamento do Sistema Financeiro de Habitação. Trata-se simplesmente de uma mescla do Sistema de 
Amortização Francês (SAF) e do Sistema de Amortização Constante (SAC), por meio de uma média 
aritmética.
Sistema de Amortização Americano – conceito:
O Sistema de Amortização Americano (SAA) estipula que a devolução do capital emprestado seja 
efetuada ao final do período contratado, ou seja, deve ser efetuada de uma só vez.
Sistema de Amortização Crescente (Sacre) – conceito:
O Sacre é um sistema misto de cálculos do SFH, muito utilizado pela Caixa Econômica Federal. Nele 
utiliza-se a metodologia de amortização constante (SAC anual), mas sem adicionar o valor da TR (Taxa 
Referencial).
Dessa forma, o Sacre proporciona uma amortização variável. Apesar do nome, amortização “crescente”, 
ele pode resultar em amortizações decrescentes, caso a TR esteja com valor baixo.
EXERCÍCIO:
Com relação aos sistemas de amortização SAC e Price, analise as afirmativas: 
I. A tabela SAC tem amortizações que diminuem no decorrer do período. 
II. As amortizações da tabela Price são constantes no decorrer do período. 
III. A finalidade dos sistemas de amortização SAC e Price é acompanhar os financiamentos. 
IV. As prestações da tabela SAC diminuem no decorrer do período. 
V. A principal característica da tabela Price são as prestações que diminuem. 
a) I, II e IV são corretas. 
b) III, IV e V são corretas. 
c) III e IV são corretas.
d) Todas são corretas. 
e) Nenhuma é correta
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e) Nenhuma é correta.
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