Estatistica7ED_Provas2008_2009

Prévia do material em texto

10 Estatística 
 
 
Capítulo 1 
Prova de 2008 
 
Questão 1 
 
Julgue as alternativas que se seguem. Se X e Y são duas variáveis aleatórias: 
 
Ⓞ V(Y | X) = E(Y² | X) – [E(Y | X)]². 
 
① Se E(Y) = E(X) = E(YX) = 0, então E(Y | X) = 0. 
 
② V(Y) > V(Y | X) se Y e X forem linearmente dependentes. 
③ Se E(Y | X) = b0 + b1X, então E(Y) = b0. 
④ Se E(Y | X) = b0 + b1X +b2Z e Y = b0 + b1X +b2Z + u, em que u é uma 
variável aleatória, então E(u | X) = 0. 
 
Resolução: 
 
(0) Verdadeira. Propriedade enunciada na Revisão de Conceitos. 
 
 
(1) Falsa. A afirmação E(Y) = E(X) = E(YX) = 0 implica que Cov(Y, X) = 0, ou 
seja, Y e X são não correlacionados. Isso implicará independência (que por sua 
vez implica E(Y | X) = E(Y) – prova dada na Revisão de Conceitos) somente se 
Y e X forem normais. E aí teríamos E(Y | X) = E(Y) = 0 pois afirma-se no início 
que E(Y) = 0. 
 
(2) Verdadeira. Se Y e X são linearmente dependentes, ou seja: 
Y = aX + b + ε, a ≠ 0 
onde, 
E(ε | X) = 0 
E(εX) = 0 
Var(ε | X) = Var(ε) 
 
Então: 
 
Var (Y ) = Var (aX + b + ε ) 
Var (Y ) = a2Var ( X ) + Var (ε ) 
Var (Y | X ) = Var (aX + b + ε | X ) 
0
( | ) ² ( | ) ( | )Var Y X a Var X X Var X

  
Var (Y | X ) = Var (ε | X ) = Var (ε ) 
 
ou seja, Var(X | X) = 0, pois quando condicionamos em X, este se torna fixo, 
isto é, como uma constante. 
 
 
 Capítulo 1 | Probabilidade 11 
 
 
 
Logo: 
 
Var(Y) > Var(Y | X) 
 
(3) Falsa. 
L. E. I . 
E (Y | X ) = b0 + b1 X ⇒E[E(Y|X)]=E(Y)=b0+b1E(X) 
(4) Falsa. 
 
Y = b0 + b1X +b2Z + u 
 
E(Y | X) = b0 + b1X + b2E(Z | X) + E(u | X) = b0 + b1X + b2Z 
E(u | X) = b2(Z – E(Z | X)) 
 
Questão 8 
 
Sejam X, Y e Z variáveis aleatórias não negativas. Julgue as afirmativas: 
 
Ⓞ Se X > Y, então, E(X | Z) > E(Y | Z). 
① (cov(X, Y))² ≤ var(X)var(Y). 
② Se Z = X + Y, então, corr(Z, X) = corr(Y, X). 
③ Se W1 e W2 são variáveis aleatórias de Bernoulli, independentes, com P(W1)=P(W2)= 
p, Z é uma variável aleatória com distribuição binomial em que Z = W1 + W2. 
 
④ Se F(Y) = 1 – e-y, y ≥ 0, P(Y > 3| Y > 1) = P(Y > 2). 
 
Resolução: 
 
(0) Falsa. Note que: 
E ( X | Z ) = ∫xf (x | z )dx 
E (Y | Z ) = ∫yf ( y | z )dy 
 
Mesmo que X > Y, Z pode assumir algum valor específico z tal que f (y | 
z) = f (x | z) = 0, o que implica que E(X | Z = z) = E(Y | Z = z) = 0. Assim, a 
afirmativa E(X | Z) > E(Y | Z) não é válida para todo z. 
 
(1) Verdadeira. Sabemos que: 
−1 ≤ ρXY ≤ 1 
−1 ≤ Cov (X,Y ) ≤ 1 
σ xσ y 
12 Estatística 
 
 
Elevando ao quadrado teremos: 
2 2
2 2
[ ( , )]²
1
[ ( , )]²
x y
x y
Cov X Y
Cov X Y
 
 


 
 
(2) Falsa. Se: 
Z = X + Y 
 
Então: 
 
E(Z) = E(X) + E(Y) 
 
ZX = X2 + XY 
 
E(ZX) = E(X2) + E(XY) 
 
Logo: 
 
Cov(Z, X) = E(ZX) – [E(Z)E(X)] 
 
= E[(X + Y)X] – E[(X + Y)E(X)] 
 
= E(X2 + XY) – E(X + Y)E(X) 
 
= E(X2) + E(XY)– [E(X) + E(Y)]E(X) 
 
= E(X2) + E(XY)– [E(X)]2 – E(X)E(Y) 
 
= Cov(X, Y) + Var(X) 
 
 
De forma que: 
2
( , ) ( , ) ( )
( , )
( , )
( , )
z x z x z x
y x
z x y z x
y x
z z
Cov Z X Cov X Y Var X
Corr Z X
Cov X Y
Corr X Y
     
 
    
 
 
  
 
 
 
 
(3) Verdadeira. Veja o capítulo referente às Principais Distribuições de 
Probabilidade. 
(4) Verdadeira. 
( 3, 1)
( 3 | 1)
( 1)
P Y Y
P Y Y
P Y
 
  

 
Mas P(Y>3,Y>1)=P(Y>3)+P(Y>1)-P(Y>1)=P(Y>3). Assim: 
3
2
1
( 3) 1 (3)
( 3 | 1) 1 (2) ( 2)
( 1) 1 (1)
P Y F e
P Y Y e F P Y
P Y F e



 
         
 
 
 
Questão 12 
 
Duas variáveis aleatórias X e Y são conjuntamente distribuídas de 
acordo com a função de densidade: 
24 , 0 1 0 1 ;
( , )
0, .
xy
xy se x e y x
f x y
casocontrário
    
 

 
Calcule P(0 < Y < ¼ | X = ½). Multiplique o resultado por 100 e despreze os 
decimais. 
 
 
Resolução: 
 
Primeiro devemos obter a densidade condicional f (y | x), pois 
calcularemos uma probabilidade condicional. Primeiramente, f (x): 
   
1
1
0
0
( ) 24 12 ² 12 1 ²
( , ) 24
( | )
( ) 12 (1 )²
2
,0 1,0 1 ;
(1 )²( | )
0, . .
x
x
f x xydy x y x x
f y x xy
f y x
f x x x
y
x y x
xf y x
c c


   
  


    
 



 
Para x=1/2: 
8 ,0 1/ 2;
( | 1 / 2)
0, . .
y y
f y x
c c
 
  

 
Assim: 
 
1/4
1/4
0
0
4 1
(0 1/ 4 | 1 / 2) 8 4 ²
16 4
P Y X ydy y       
 
e, multiplicando por 100, obtemos 25. 
 
Questão 13 
 
Uma seguradora verificou que, se um motorista acidentou o carro no ano de 2005, a 
probabilidade de que ele repita o acidente em 2006 é de 60%; e que se ele não acidentou 
o carro em 2005, a probabilidade de que isso aconteça em 2006 é de 30%. Assuma que 
as probabilidades sejam estáveis ao longo do tempo. Pergunta-se: Tendo o motorista 
se acidentado em 2005, qual a probabilidade de que ele venha a se acidentar novamente 
em 2007? Multiplique o resultado por 100. 
 
Resolução: 
 
Chame de A de “acidente” e NA de “não houve acidente”. 
 
Dado que o acidente ocorre em 2005, todos os eventos possíveis serão: 
 
A06 – A07 
 
NA06 – A07 
 
A06 – NA07 
 
NA06 – NA07 
 
onde, por exemplo, A06 representa que houve acidente em 2006. 
 
 
A probabilidade pedida se refere aos dois primeiros eventos, assim: 
 
PR(A07 | A05) = PR(A06 e A07 | A05) + PR(NA06 e A07 | A05) 
 
 
Analisando cada um dos termos do lado direito: 
 
Como as probabilidades são estáveis ao longo do tempo – por exemplo – 
 
Pr(A07 | A06 e A05) = Pr(A07 | A06) –, então o fato de ter ocorrido acidente em 2005 
não afeta a probabilidade de ocorrer acidente em 2007, dado que ocorreu em 
 
2006. Assim: Pr(A07 | A06 e A05) = Pr(A07 | A06), e usando na expressão abaixo: 
07 06Pr( | )
05 06 07 05 06 07 05 06
05 05
05 06 07 06
07 06 06 05
05
Pr( ) Pr( ) Pr( | )
Pr( 06 07 | 05)
Pr( ) Pr( )
Pr( ) Pr( | )
Pr( 06 07 | 05) Pr( | ) Pr( | )
Pr( )
A A
A e A e A A e A A A e A
A e A A
A A
A e A A A
A e A A A A A A
A

 
 
 
 
O mesmo raciocínio é válido para Pr(NA06 e A07 | A05) e, portanto: 
 
Pr (NA06 e A07 | A05) = 
Pr ( A07 e NA06 e A05 ) 
= 
 Pr ( A05 e NA06 ) Pr ( A07 | NA06 e A05 ) 
 
Pr ( A05 ) Pr ( A05 ) 
 
= 
Pr ( A05 e NA06 ) Pr ( A07 | NA06 ) 
= Pr (NA06 | A05 )Pr ( A07 | NA06 ) 
Pr ( A05 ) 
 
 
 
 
 
Substituindo de volta na expressão acima: 
 
Pr (A07 | A05) = Pr (A06 | A05)⋅ Pr (A07 | A06) + Pr (NA06 | A05)⋅ Pr 
(A07 | NA06) 
 
×100 
= 0.6 ⋅0.6 + 0.4 ⋅0.3 = 0.36 + 0.12 = 0.48 ⇒ 48 
 
Observação: Montando a árvore do jogo, conforme figura 
abaixo, a linha em negrito é a probabilidade pedida no 
enunciado, que será: 
 
0.62 + 0.4 ⋅ 0.3 = 0.48 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Questão 14 
 
Empresas, em certa região, contam com duas linhas de financiamento: 
uma com taxa de 5%a.a. e outra com taxa de 20%a.a., dependendo do 
histórico de crédito. Sabe-se que 1/3 das empresas pagam juros de 5%. 
Destas, metade é familiar. No grupo de empresas que paga 20%, metade 
é familiar. Pergunta-se: Qual a taxa de juros média (em %a.a.) paga 
pelas empresas familiares naquela região? (desconsidere os decimais). 
 
 
Resolução: 
 
Note que a média deve ser feita entre as firmas familiares. 
 
Para a taxa de juros de 5%, 1/3 do total das empresas paga esta taxa de juros, e, destas, 1/2 
é familiar. Logo, estas firmas familiares, que pagam 5%, representam 1/6 do total. 
 
Para a taxa de juros de 20%, 2/3 do total das empresas pagam esta taxa de juros, e, destas, 
1/2 é familiar. Logo, estas firmas familiares, que pagam 20%, representam 2/6 do total. 
 
Para restringirmos o universo das empresas familiares, devemos norma-lizar os pesos, ou 
seja, para o cálculo da média, o primeiro grupo terá o peso de (1/6)/(1/6 + 2/6) = 1/3. O segundo 
grupo terá peso (2/6)/(1/6 + 2/6) = 2/3. 
 
Assim, a média será: 
1001 2 0.05 0.4
0.05 0.2 0.15 15.
3 3 3
x
    
ou seja, a probabilidade das firmas pagarem 5% de juros é 1/3. 
Chamando F de empresas familiares,teremos: 
Pr( | 5%)Pr(5%) 1 1 1 1 1
Pr(5% | ) .
( ) 2 3 Pr( ) 6 Pr( )
F
F
P F F F
 
   
 
 
que é a probabilidade de uma firma pagar 5%, dado que é do grupo familiar, obtida a partir das 
outras probabilidades mostradas no enunciado, sendo que Pr(F) é a probabilidade de uma firma 
ser familiar. Podemos, analogamente, obter também: 
Pr( | 20%)Pr(20%) 1 2 1 1 1
Pr(20% | ) .
( ) 2 3 Pr( ) 3 Pr( )
F
F
P F F F
 
   
 
 
que é a probabilidade de uma firma pagar 20%, dado que é do grupo familiar, obtida a partir das 
outras probabilidades mostradas no enunciado. As probabi-lidades (mesmo as condicionais) 
devem somar 1, ou seja: 
Pr (5% | F ) + Pr (20% | F ) = 1 
1 1 1 1
1
6 Pr( ) 3 Pr( )
1 1 1
Pr( )
6 3 2
F F
F
 
  
 
Para obter a taxa de juros média paga pelas empresas familiares, temos 
que tomar a média apenas entre tais empresas: 
1001 / 6 2 / 6
.0,05 0,15 15.
1 / 2 1 / 2
x
   
 
 
Prova de 2009 
 
Questão 2 
 
Sobre a Teoria das Probabilidades, indique as alternativas corretas e falsas: 
 
Ⓞ Sejam 3 eventos A, B e C. Então, podemos demonstrar que P(A | B) = P(C 
| B)P(A | B ∩ C) + P( C | B)P(A | B ∩ C ), assumindo que todos os eventos 
têm probabilidade positiva. 
 
① Se dois eventos A e B são independentes, os eventos A e B não serão 
necessariamente independentes. 
 
② Se A, B e C são três eventos, tais que A e B são disjuntos, A e C são 
independentes e B e C são independentes, e supondo-se que 4P(A) = 
2P(B) = P(C) e P(A ∪ B ∪ C) = 5P(A), pode-se dizer que P(A) = 1/6. 
 
③ Se uma família tem exatamente n crianças (n ≥ 2), e assumindo-se que a probabilidade de 
que qualquer criança seja menina é igual a 1/2 e todos os nascimentos são independentes, 
pode-se afirmar que, dado que a família tem, no mínimo, uma menina, a probabilidade da 
mesma ter, no mínimo, um menino, é igual a (1 – (0,5)n–1)/(1 – (0,5)n). 
 
④ Se A, B e C são eventos com probabilidade não nula, definidos em um 
espaço amostral S, então P(A ∩ C | B ∩ C) = P(A ∩ B | C) / P(B | C). 
 
Resolução: 
 
O item (3) está resolvido no capítulo Principais Distribuições de Probabilidade. 
 
(0) Verdadeira. Note que o lado direito de 
 
P(A | B) = P(C | B)P(A | B ∩ C) + P( C | B)P(A | B ∩ C ), 
 
pode ser escrito como: 
 
P (C | B)P (A | B ∩ C) + P ( 
 
| B)P (A | B ∩ 
 
) = 
 
 
 C C 
 
 
P (C ∩ B) P (A ∩ B ∩ C) 
 
P ( 
 
∩ B) P (A ∩ B ∩ 
 
) 
 
= 
 
+ 
C C 
 
 
P (B) 
 
P (B ∩ C) 
 
 
P (B) 
 
P (B ∩ 
 
) 
 
 C 
 
 
P (A ∩ B ∩ C) 
 
P (A ∩ B ∩ 
 
) 
 
= 
 
+ 
C 
 
 
P (B) 
 
P (B) 
 
 
 
 
 
Note que (A ∩ B ∩ C) e (A ∩ B ∩ C ) são disjuntos e sua união é igual a (A ∩ B). 
 
Logo, P(A ∩ B) = P[(A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C )] = P(A ∩ B ∩ C) + P(A ∩ B ∩ C ) 
Substituindo esta expressão, teremos: 
( )
( | )
( )
P A B
P A B
P B

  
então, provamos que o lado direito da expressão apresentada no item se iguala ao lado 
esquerdo. 
 
(1) Falsa. Proposição enunciada e provada na Revisão de Conceitos. 
 
 
(2) Verdadeira. Note que: 
 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A ∩ C) – P(B ∩ C) 
 
 
Faça um diagrama de Venn e note que, como A e B são disjuntos, não é necessário descontar 
a dupla contagem quando somamos as probabilidades de cada evento. Assim: 
 
P(A ∪ B ∪ C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A)P(C) – P(B)P(C) 
 
5P(A) = P(A) + 2P(A) + 4P(A) – P(A)4P(A) – 2P(A)4P(A) 
 
P(A)[2 – 12 P(A)] = 0 
 
P(A) = 1/6 ou P(A) = 0 
 
 
Então, podemos dizer que P(A) = 1/6. 
 
(4) Verdadeira. Pela definição de probabilidade condicional: 
 
P( A ∩ C | B ∩ C) = P( A ∩ B ∩ C) = P( A ∩ B | C) P(C) = P ( A ∩ B | C ) . 
P( B ∩ C) P( B | C) P(C) 
 
 
 P( B | C) 
 
 
Questão 3 
 
Considere duas variáveis aleatórias X e Y. Suponha que X seja distribuída 
de acordo com a seguinte função de densidade: 
1, 0 1;
( )
0, .
x
se x
f x
casocontrário
 
 

 
Suponha ainda que 
|
1/ , 0 1;
( | )
0, .
y x
x se x
f y x
casocontrário
 
 

 
 
Calcule E(Y). Multiplique o resultado por 100. 
 
Resolução: 
 
Para calcular E(Y), vamos usar a Lei das Expectativas Iteradas (LEI): 
11 1
00 0 0
11 1
00 0
( ( | )) ( )
1 ² 1
( ( | )) 1
2
² 1 ² 1
100 25
2 2 4 4
X Y Y
yx
X Y
y
x
x
E E Y X E
y
E E Y X y dy dx dx
x x
x x x
dx dx
x





   
    
  
     
  
 
 
 
Questão 4 
 
A roleta é um jogo bastante popular em cassinos. Uma roleta típica possui 18 valores 
ver-melhos, 18 verdes e 2 pretos. Suponha que para entrar no jogo um apostador deva 
pagar R$2 a cada rodada, ganhando 0,50 caso o resultado da jogada seja vermelho, R$1 
caso o resultado seja verde, R$10 caso seja preto. Qual é o lucro líquido do apostador 
após 100 jogadas? Multiplique por 76 e some 100 ao resultado. 
 
Resolução: 
 
Anulada. Possivelmente por dois motivos: 1) A questão deveria mencionar o 
lucro líquido esperado. O lucro líquido é uma variável aleatória que depende, 
fundamentalmente, dos resultados oferecidos pela roleta. Então, só poderíamos- 
determinar uma função de probabilidade para o lucro esperado. 2) A respostada 
questão (obtida sob a hipótese de que se pede o lucro líquido esperado) é 
negativa, o que não permite a marcação correta no cartão de respostas. 
 
O lucro líquido esperado a cada rodada é obtido pelo ganho esperado a cada rodada menos 
o investido para jogar em cada rodada. Calculando-se o ganho esperado para cada rodada, que 
depende da probabilidade da ocorrência de cada cor em cada rodada, temos: 
 
E(G) = R$ 0,5P(Vermelho) + R$ 0,5P(Verde) + $0,5P(preto)= 
18 18 2
( ) 0,5 1 2 $1, 237.
38 38 38
E G R    
Considerando que seu investimento em cada rodada é de R$2, o seu lucro líquido esperado 
será R$ 2 – R$ 1,237 = – R$ 0,763. Ou seja, na verdade, um prejuízo esperado. Após 100 
rodadas, o seu lucro esperado será de – R$ 76,3. Multiplicando-se este resultado por 76, temos 
R$ 76,3 . 76 = – R$ 5.800. So-mando-se 100 ao resultado, obtêm-se – R$ 5.700. 
 
Questão 5 
 
Sobre variáveis aleatórias, indique se as afirmativas são corretas ou falsas: 
 
Ⓞ Se X é uma variável aleatória contínua com fdp dada por f(x) = x/12 se 1 < x< 5 e f(x) = 0 
para outros valores, então a densidade de Y = 2X – 3 é g(y) = (y + 3)/24 se – 1 < y < 7 e g(y) 
= 0 para outros valores. 
 
① Se X e Y tiverem um coeficiente de correlação igual a ρ(X,Y), e definindo Z = aX + b e W = 
cY + d, então ρ(X,Y) = ρ(Z,W) somente se a > 0 e c > 0. 
 
② Se X possui uma distribuição Normal, com média µ e variância σ², então Z = aX + b possui 
distribuição Normal com média aµ e variância (a)² σ². 
 
③ Se a função de distribuição de probabilidade conjunta para duas variáveis aleatórias X e Y é 
definida como f(x, y) = 0,01; 0 ≤ x, y ≤ 10 e f(x, y) = 0 para qualquer outro valor, então, X e Y são 
variáveis aleatórias independentes. 
 
④ Se duas variáveis aleatórias X e Y têm covariância nula, então elas são independentes. 
 
 
Resolução: 
 
(0) Falsa. Para obtermos a densidade de Y, utilizaremos, primeiramente, a densidade 
acumulada: 
 
3
( 3)/22
11
( ) Pr( )
Pr(2 3 )
3
Pr
2
² ( 3)² / 4 1
12 24 24 24
² 6 9 4 ² 6 5
96 96
Y
y
y
F y Y y
X y
y
X
x x y
dx
y y y y


 
  
 
  
 

   
    
 

 
 
 
Diferenciando para obter a função de densidade de probabilidade de y: 
 
g ( y ) = dFy ( y) = 2y + 6 = y + 3 
dy 96 
 
 
 48 
 
 
Aplicando os extremos que x pode assumir, para saber os extremos que y pode 
assumir: se x = 1, então y = 2x – 3 = 2 . 1 – 3 = –1, e se x = 5, então y = 7. Logo: 
3
, 1 7
( ) 48
0,
y
se y
g y
casocontrário

  
 


 
Observação: Outra forma de se fazer é usar a seguinte propriedade: 
 
Se X for uma v.a. contínua, com densidade f (x) > 0, a < x < b, então Y = 
h(X) tem densidade expressa por: 
1( ) ( ( ))
dx
g y f h y
dy
 
dado que h seja monotônica e diferenciável para todo x. 
 
Assim, comoY = 2X – 3, então h–1 (y) será: 
y = 2x − 3 
2x = y + 3 
h−1 ( y ) = x =
3
2
y 
 
 
Além disso: 
1
2
dx
dy
 
22 Estatística 
 
 
Substituindo h–1 (y) e 
dx
dy
 na expressão da propriedade acima, teremos: 
3 1
( )
2 2
( 3) / 2 1
( )
12 2
( 3) 1
( )
24 2
( 3)
( )
48
y
g y f
y
g y
y
g y
y
g y
 
  
 






 
 
Aplicando os limites de x para obter os limites de y, obtemos a mesma 
expressão anterior. 
 
(1) Falsa. Note que: 
 
( , ) ( , )
( , )
( ) ( )
( , ) ( , )
² ( ) ² ( ) | || | ( ) ( )
( , )
( , ), 0;
( , )
( , )| |
( , ), 0.
x y
x y
x y
Z W aX b cY d
Cov aX b cY d
Var aX b Var cY d
acCov X Y acCov X Y
a Var X c Var Y a c Var X Var Y
Cov X Y
X Y se ac
acCov X Y
Cov X Yac
X Y se ac
 

 
 

 
   
 

 
 

 

 
  


 
 
Assim, p(x,y) = p(z,w), se ac > 0, ou seja, quando a > 0 e c > 0 ou a < 0 e c < 0. 
 
 
Observação: Essa propriedade foi enunciada e provada na revisão de concei-
tos. Bastava fixar c=d=0 e verificar que é válida quando ab>0. Esta 
desigualdade ocorre quando a>0 e c>0 ou quando a<0 e c<0. 
 
(2) Falsa. A média de Z será E(Z) = aE(X) + b = aµ + b. 
 
 Capítulo 1 | Probabilidade 23 
 
 
 
(3) Verdadeira. A densidade 
marginal de X e Y é: 
10
0
10
0
( ) 0.01 0.1
( ) 0.01 0.1
( , ) ( ) ( ) 0.1 0.1
X
Y
X Y
f x dy
f y dx
f x y f x f y
 
 
 

 
(4) Falsa. O inverso é válido. A ida só seria válida se X e Y 
tiverem distribuição Normal bivariada. 
 
Veja o capítulo de Principais Distribuições de Probabilidade. 
 
 
 
Capítulo 2 
Prova de 2008 
 
Questão 2 
 
Julgue as afirmativas: 
Ⓞ Se x é uma variável aleatória Gaussiana com média  e variância ² , então 
2
( )
4
X
Z


 
  
 
segue uma distribuição Qui-quadrado com 4 graus de liberdade. 
 
①. Se X segue uma distribuição Qui-quadrado com n graus de liberdade, 
então E(X) = n e V(X) = 2n. 
 
② Uma distribuição uniforme no intervalo [0,10] tem variância igual a 25/3. 
 
③ Sejam X1, X2 ..., Xn, n variáveis aleatórias independentes com distribuição 
Normal com 
 
média μ e variância σ². Seja 
/
X
Z
s n

 , em que 
1
1 n
ii
X x
n 
  e 
 
2
1
1 n
ii
s x x
n 
  , então, Z segue uma distribuição Normal com 
média 0 e variância 1 para qualquer valor de n. 
 
④ Sejam X1 e X2 duas variáveis aleatórias independentes, com distribuição 
qui-quadrado com n1 e n2 graus de liberdade, respectivamente. Então 
1 1
2 2
/
/
x n
z
x n
 segue uma distribuição com n1 e n2 graus de liberdade.
 
 
 Capítulo 2 | Principais Distribuições de Probabilidade 81 
 
 
 
Resolução: 
 
(0) Falsa. Veja que Z é a soma de 4 variáveis normais padronizadas ao qua-
drado exatamente iguais, o que poderia nos levar a pensar, erradamente, que 
seria uma χ24 . Mas, conforme enunciado na Revisão de Conceitos (parte de 
Equivalências), para que a soma de normais padronizadas ao quadrado seja 
uma Qui-quadrado, necessitamos afirmar que tais variáveis aleatórias normais 
sejam independentes, o que é impossível, pois todas são exatamente iguais e, 
portanto, completamente dependentes. 
 
Observação: Outra forma de ver a questão é que o correto seria afirmar 
apenas que: 
2
2
1
( )
4
Z X 


 
  
 
 
(1) Verdadeira. Conforme enunciado na Revisão de Conceitos (Distribuição 
Qui-Quadrada), se 2
nX  , então E(X) = n e Var(X) = 2n. 
 
(2) Verdadeira. Podemos aplicar a fórmula da variância da uniforme 
diretamente, conforme já mostrada na Revisão de Conceitos: 
[ , ] [0,10]X U a b U 
( )² 100 25
( )
12 12 3
b a
Var X

   . 
 
(3) Falsa. Note que o correto seria que: 
/
X
Z
n



 segue uma Normal padronizada. 
Mas o enunciado cita que 
/
X
Z
S n

 , ou seja, usa o desvio padrão amostral (S2) e 
não o populacional (σ2). Logo, Z segue uma distribuição tn–1. Z só se 
aproximará para uma Normal quando n for para infinito. 
Outro erro é que deveríamos ter n ≥ 2, pois para n = 1 não é possível cal-
cular S. 
 
(4) Verdadeira. Esta é uma equivalência exata entre distribuições Qui-quadra-
do e F, mostrada na Revisão de Conceitos. 
 
82 Estatística 
 
 
Prova de 2009 
 
Questão 2 
 
Sobre a Teoria das Probabilidades, indique as alternativas corretas e falsas: 
 
Ⓞ Sejam 3 eventos A, B e C. Então podemos demonstrar que P(A | B) = P(C | B)P(A | B ∩ C) + 
P( C | B)P(A | B ∩ C ), assumindo que todos os eventos têm probabilidade positiva. 
 
① Se dois eventos, A e B, são independentes, os eventos A e B não serão 
necessariamente independentes. 
 
 Se A, B e C são três eventos tais que A e B são disjuntos, A e C são 
independentes e B e C são independentes, e, supondo-se que 4P(A) = 
2P(B) = P(C) e P(A ∪ B ∪ C) = 5P(A), pode-se dizer que P(A) = 1/6. 
 
Ⓞ Se uma família tem exatamente n crianças (n ≥ 2), e assumindo-se que a probabili-dade 
de que qualquer criança seja menina é igual a 1/2, e todos os nascimentos são 
independentes, pode-se afirmar que, dado que a família tem, no mínimo, uma menina, 
a probabilidade de ela ter, no mínimo, um menino, é igual a (1 –(0,5)n – 1) / (1 – (0,5)n). 
 
① Se A, B e C são eventos com probabilidade não nula, definidos em um 
espaço amostral S, então P(A ∩ C | B ∩ C) = P(A ∩ B | C) / P(B | C). 
 
 
Resolução: 
 
Os itens (0), (1), (2) e (4) estão resolvidos no Capítulo Probabilidade. 
 
 
(3) Verdadeira. Vamos chamar de: 
 
A: número de meninos maior ou igual a 1 
 
② número de meninas maior ou igual a 1 
Então: 
 
Ac: número de meninos igual a 0. 
 
Bc: número de meninas igual a 0. 
 
 
Então, pede-se: 
( )
( | )
( )
P A B
P A B
P B

 
Note que o item se trata de uma distribuição binomial, pois temos n nas-cimentos 
(experimentos) independentes, onde podem ocorrer dois resultados: nascer menino ou 
menina. O denominador da expressão acima é fácil de calcular:- 
 
P (B) = 1− P ( Bc ) = 1− 
0
n 
 
 
 (0.5)0 (0.5)n = 1− (0.5)n. 
 
 
 Capítulo 2 | Principais Distribuições de Probabilidade 83 
 
 
 
Em relação ao numerador, note que, pela Lei De Morgan (enunciada na 
 
Revisão de Conceitos do capítulo de Probabilidade): 
 
(A ∩ B) = (Ac ∪ Bc)c 
 
Logo: 
 
P(A ∩ B) = P(Ac ∪ Bc)c = 1 – P(Ac ∪ Bc)c 
 
P(A ∩ B) = 1 – P(Ac) – P(Bc) + P(Ac ∩ Bc). 
 
 
O que é a probabilidade do último termo: (Ac ∩ Bc)? É o número de meni-
nos e meninas ser igual a zero. Tal evento é um conjunto vazio, pois o número de 
meninos mais o número de meninas que a família tem é igual a n ≥ 2 e, portanto, 
nunca ambos podem ser iguais a zero. Logo: P(Ac ∪ Bc) = P(Ø) = 0. Assim, como 
P(Bc) = 1 – P(B) = (0.5)n (ver cálculo feito acima), podemos, de forma análoga, 
calcular P(Ac) = (0.5)n. Substituindo na expressão acima: 
 
P(A ∩ B) = 1 – P(Ac) – Pr(Bc) 
 
④ 1 – (0.5)n – (0.5)n 
 
④ 1 – 2(0.5)n 
 
④ 1 – 2(0.5)(0.5)n – 1 
 
④ 1 – (0.5)n – 1. 
 
 
Assim: 
Pr (A | B) = 1 − (0.5)n−1 
1 − (0.5)n 
 
 
Questão 6 
 
Seja Yi, i = 1, ... , n, uma variável aleatória tal que Yi = 1, com probabilidade p e Yi = 0, 
com probabilidade 1-p. Defina 
1
n
ii
X Y

 . Responda se cada uma das afirmativas 
abaixo é verdadeira ou falsa: 
Ⓞ Yi, i = 1, ... , n, possui distribuição Poisson com média p. 
① X possui distribuição binomial com parâmetros n e p. 
② V(Yi) = V(X) = p. V(X) significa variância de X. 
③ Se n  e p permanecer fixo, então 
(1 )
X np
np p


 converge para 
distribuição Normal com média 0 e variância 1. 
 
(3) ( ²) ²E Y p . 
 
84 Estatística 
 
 
Resolução: 
 
Ⓞ Falsa. Não atende às condições da binomial se aproximar para uma Poisson, 
conforme enunciadas na Revisão de Conceitos: np constante e n  ou
n  , p 0, np λ. 
 
Ⓞ Verdadeira. A variável aleatória Yi é uma Bernoulli. A soma de Bernoullis 
independentes, com a mesma probabilidade p, é uma binomial, conforme 
enunciado na Revisão de Conceitos. Em questões de anos anteriores, quandose mencionava que Yi era uma v.a. de Bernoulli, então subentendia-se que tais 
variáveis deveriam ser independentes entre si. 
 
Ⓞ Falsa. 
 
Var(X) = np(1 – p) e 
 
Var(Yi) = p(1 – p). 
 
④ Verdadeira. É a aproximação da binomial para a Normal (Ver Revisão de 
Conceitos – na parte de Aproximações entre Distribuições). 
 
④ Falsa. 
 
E(Y2) = 12 . p + 02 . (1 – p) = p. 
 
 
Questão 7 
 
Sejam X1, X2, ..., Xn variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas com 
média μ e variância 1. Defina as variáveis aleatórias 
1
1
n
ii
X n X

  e 
2
1
n
ii
Z X

 . É 
correto afirmar que: 
 Se R = X1, quando X1 >0, P(R ≤ 1) = Φ(1 – μ) / (1 – Φ(0 – μ)), em que 
Φ(c) é a função de distribuição de uma variável aleatória Normal Padrão. 
 
(3) Z é uma variável aleatória com distribuição χ2 com n graus de liberdade. 
 
 Se W = exp(X), E(W) = μ + σ2/2. 
 
= nX é uma variável aleatória normalmente distribuída com média nμ e variância n. 
④ A variável aleatória 
i
i
Y
W
z
n
 , em que ( )i iY X   possui distribuição F com 
n1 e n2 graus de liberdade, em que n1 = 2 e n2 = 2n. 
 
 
 Capítulo 2 | Principais Distribuições de Probabilidade 85 
 
 
 
Resolução: 
 
(5) Falso. Note que estamos calculando uma probabilidade condicional, pois 
R é uma Normal truncada em X1 > 0: 
P(R ≤ 1) =P(X1 –1|X1 >0) 
 P(X1 – µ ≤ 1 – µ | X1 – µ > µ) 
 P(Z ≤ 1 – µ | Z > – µ) 
 P(– µ < Z ≤1 – µ) / P(Z > – µ) 
 
 [Φ(1 – µ) – Φ(– µ)] / (1 – Φ (µ)) 
 
 [Φ(1 – µ) + Φ(µ) – 1] / Φ(µ) 
 
 
Ⓞ Falso. Seria correto para: 
  
2
2
1
i
i
i i
X
Z X


 
   
 
  
ou seja, para a soma de n normais padronizadas. 
 
 
(2) Falso. 
 
E(W) = exp(μ + σ2/2), onde W é lognormal. 
 
① Verdadeiro. nX = Σi Xi é apenas uma soma (ou combinação linear) de 
variáveis- aleatórias normais independentes. Logo, será também Normal, com 
 
parâmetros: 
   
 
'
( ) 1
i
i i
i i
X s independentes
i i
i i i
E nX E X X n
Var nX Var X Var X n

 
   
 
 
    
 
 
  
 
 
(4) Falso. Pois Z não é uma Qui-quadrado (ver item 1). 
 
Capítulo 3 
Prova de 2008 
 
Questão 3 
 Sejam X1, X2, ..., Xn n variáveis independentes, 
igualmente distribuídas, com distribuição Poisson dada por 
, 0,1,2,...
( ) !
0, .
x
x
e
x
p x x
casocontrário


 


. 
 
Julgue as afirmativas: 
①. Pela Lei dos Grandes Números 
1
1 n
ii
T X
n 
  
aproxima-se da distribuição Normal quando n tende 
para o infinito. 
②. Suponha que n > 5. 
5
1 6
1 1
5 5
n
i ii i
T X X
n 
 

  é um estimador 
consistente de E(Xi). 
② 
2
1 1
1 1n n
i ii i
T X X
n n 
 
  
 
  é um estimador tendencioso de ² . 
 
 
② Pelo Teorema Central do Limite, 
1
1 n
ii
T X
n 
  é um estimador 
consistente de V(Xi). 
④ 
1
1 n
ii
T X
n 
  é o estimador de máxima verossimilhança do 
parâmetro λ. 
 
 
Resolução: 
 
Os itens (1) a (4) estão resolvidos no capítulo Inferência Estatística. 
 
 
(4) Falsa. É pelo TLC que a média se aproxima da Normal quando 
n tende para o infinito, ou seja: 
 
T ≈ N(λ, λ / n). 
120 Estatística 
 
 
Prova de 2009 
 
Questão 8 
 
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras: 
 
Ⓞ Em uma pesquisa de opinião a proporção de pessoas favoráveis 
a uma determinada medida governamental é dada por p̂ = ∑ Xi /n. 
O menor valor de n para o qual a desigualdade de Tchebycheff 
resultará em uma garantia que P(| p̂ – p| ≥ 0,01) ≤ 0,01 é 200.000. 
① Quando o número de graus de liberdade δ cresce, a distribuição 
2
 aproxima-se de uma distribuição normal com média δ e 
desvio padrão 2δ. 
② Um intervalo de confiança de 99% para a média µ de uma 
população, calculado para uma amostra aleatória, como 
[2,75;8,25], pode ser interpretado como: a probabilidade de µ estar 
no intervalo calculado é de 99%. 
 
(5) Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória simples proveniente de 
uma população com 
distribuição de Pareto, cuja função de densidade é dada por f(x) = θ 
(1 + x)–(θ + 1), 0 < x <  , θ > 1. Então o estimados de máxima 
verossimilhança para θ é 
log(1 )i
n
x
. 
Ⓞ Se existente, todo estimador de máxima verossimilhança 
calculado para uma amostra aleatória possui distribuição Normal 
em grandes amostras. 
 
Resolução: 
 
(0) Falsa. Lembrando que a variância da proporção é: 
1
1 1 ² (1 )
ˆ( ) ²
² ²
n
i
i
p p
Var p Var X n
n n n n



 
    
 
 
Logo: 
1
ˆ
²
P p k
kn


 
   
 
 
Assim: 
1
0.01
²
10
0.01
1
1000
(1 ) 1
1000
(1 )(1000)²
k
k
k
n
n
p p
n
n p p








 
 
 
onde p é a probabilidade de uma pessoa ser favorável a uma 
determinada medida governamental. Para termos n = 200000 
dependerá de p. Assumindo que p = 12, valor que torna a variância 
máxima (cenário mais conservador), temos que 
1 1 1000000
(1 )(1000) 10000000 250000.
2 2 4
n p p
  
      
  
 
② Falsa. O TLC não vale para aproximar a 2
 para a normal, visto 
que ela é o quadrado de normais padronizadas. A aproximação que 
podemos afirmar é que: 
Para 30  , a v.a. 2 (2 1) (0,1)Y N   , onde 2Y  . 
 
 
 
 
Capítulo 4 
Prova de 2008 
 
Questão 3 
 Sejam X1, X2, ..., Xn n variáveis independentes, igualmente 
distribuídas, com distribuição Poisson dada por 
, 0,1,2,...
( ) !
0, .
x
x
e
x
p x x
casocontrário


 


. 
 
Julgue as afirmativas: 
②. Pela Lei dos Grandes Números 
1
1 n
ii
T X
n 
  aproxima-se da 
distribuição Normal quando n tende para o infinito. 
③. Suponha que n > 5. 
5
1 6
1 1
5 5
n
i ii i
T X X
n 
 

  é um estimador 
consistente de E(Xi). 
② 
2
1 1
1 1n n
i ii i
T X X
n n 
 
  
 
  é um estimador tendencioso de ² . 
 
 
② Pelo Teorema Central do Limite, 
1
1 n
ii
T X
n 
  é um estimador 
consistente de V(Xi). 
 
④ 
1
1 n
ii
T X
n 
  é o estimador de máxima verossimilhança do parâmetro λ. 
 
Resolução: 
 
O item (0) está resolvido no capítulo Principais Teoremas de Probabilidade. 
 
(1) Falsa. 
5 5
( ) 2
5 5
n
E T
n

 
 
   
 
 
Utilizando a propriedade enunciada na Revisão de Conceitos (estimador consistente): 
lim E(T) ≠ 2λ 
 
E: 
 
5 5
( )
25 5 ² 5 5
n
Var T
n n
 
 

   
 
 
Assim, 
lim ( ) lim
5 5 5
Var T
n
  
  

 
 
Logo, o limite da esperança de T não converge para a média (λ) 
nem a variância de T não converge para zero. Então, T não é estimador 
consistente. 
(2) Verdadeira. 
   
2
2
1 1
( )
( )
i i
i i
E T E X E X
n n
E T E X E X
    
     
     
 
 
 
 
 
Assim, 
     2( )
²
1
² 1
E T Var X E X E X
n
n

 
 
   
 
 
   
 
 
   
 
 
 
onde, na segunda linha, utilizamos o fato de que Var( X ) = σ2 / n = λ / n e E( X ) = 
① = λ. Assim, E(T) ≠ λ2. 
 
Observação: A rigor, este item seria falso, pois dever-se-ia garantir que 
n > 1. Para n = 1, teríamos que E(T) = λ2. Este seria um contraexemplo 
do que seria um estimador não viesado. 
 
② Falsa. É pela LGN, enunciada na Revisão de Conceitos do capítulo 
dos Principais Teoremas de Probabilidade. 
② Verdadeira. Montando a função de máxima verossimilhança: 
 
!
log log
!
log log !
log log !
i
i
xn
i i
xn
i i
n
i i
i
n n
i i
i i
e
L
x
e
L
x
x x
n x x




 
 



 
  
 
   
   



 
 
Maximizando esta função, obtemos como CPO: 
log
0
n
i
i
n
i
i
x
d L
n
d
x
T
n
 

  
 


 
 
Questão 4 
 
A respeito de testes de hipótese, é correto afirmar: 
 
Ⓞ Potência de um teste é a probabilidade de se rejeitar a hipótese nula quando 
esta for falsa. 
 
① O nível de significância de um teste é a probabilidade de se cometer um erro 
tipo 1. 
② O teste F de significância conjunta dos parâmetros em um modelo de 
regressão linearé unilateral. 
④ Se uma variável é significativa ao nível de 1%, então ela é significativa ao nível 
de 5%. 
④ p-valor = 1 – P(H0 falsa), em que P(A) é a probabilidade do evento A ocorrer. 
 
Resolução: 
 
(4) Verdadeiro. Ver Revisão de Conceitos – função poder (teste de hipóteses). 
 
(5) Verdadeiro. Ver Revisão de Conceitos – erro tipo I (teste de hipóteses). 
 
 
(6) Falso. O teste F de significância conjunta é sempre bilateral. 
 
 
(7) Verdadeiro. Ao nível de significância de 5%, estamos sendo menos exigen-tes, ou seja, 
menos precisos. 
 
= Falso. Conforme Revisão de Conceitos (teste de hipóteses), o p-valor é a 
probabilidade, sob a hipótese nula, de que a estatística de teste assuma um valor que 
dê a mesma ou mais evidência contra a hipótese nula do que o valor assumido por 
ela no presente teste. 
 
Prova de 2009 
 
Questão 8 
 
Verifique se as afirmativas abaixo são verdadeiras: 
 
Ⓞ Em uma pesquisa de opinião a proporção de pessoas favoráveis 
a uma determinada medida governamental é dada por p̂ = ∑ Xi /n. 
O menor valor de n para o qual a desigualdade de Tchebycheff 
resultará em uma garantia que P(| p̂ – p| ≥ 0,01) ≤ 0,01 é 200.000. 
①. Quando o número de graus de liberdade δ cresce, a distribuição 
2
 aproxima-se de uma distribuição normal com média δ e desvio 
padrão 2δ. 
②. Um intervalo de confiança de 99% para a média µ de uma 
população, calculado para uma amostra aleatória, como [2,75;8,25], 
pode ser interpretado como: a probabilidade de µ estar no intervalo 
calculado é de 99%. 
 
③. Seja X1, X2, ..., Xn uma amostra aleatória simples proveniente de 
uma população com distribuição de Pareto, cuja função de densidade 
é dada por f(x) = θ (1 + x)–(θ + 1), 0 < x <  , θ > 1. Então o estimados 
de máxima verossimilhança para θ é 
log(1 )i
n
x
. 
Ⓞ Se existente, todo estimador de máxima verossimilhança 
calculado para uma amostra aleatória possui distribuição Normal 
em grandes amostras. 
 
Resolução: 
 
Os itens (0) e (1) estão resolvidos no capítulo Principais Teoremas de 
Probabilidade. 
 
= Falsa. Ver Revisão de Conceitos – intervalo de confiança. 
 
 
= Verdadeira. Devemos montar a função de máxima verossimilhança: 
 
 
   1 1
1
( 1)
1
( 1)
1
, ,..., ,..., ;
( ; )
(1 )
(1 )
n n
n
ii
n
ii
n
ii
L x x f x x
f x
x
f x


 




 

 



 
 



 
 
 
 
Assim, devemos resolver o problema de maximização. Para isso, façamos uma 
transformação monótona sobre a função verossimilhança, por exemplo, passando o logaritmo: 
 
  
 
( 1)
1 1
( 1)
1
( 1)
1
1
1
ln , ,..., ln (1 )
ln ln (1 )
ln ln (1 )
ln 1 ln(1 )
ln 1 ln(1 )
nn
n ii
nn
ii
n
n
i
i
n
n
i
i
n
n
i
i
L x x f x
f x
x
x
x



 


 
 
 

 

 



  
 
   
 
    
    
   





 
Maximizando tal função: 
 
1
max ln 1 ln(1 )
n
n
i
i
x

 

   
A CPO será: 
1
1
1
1
ˆ
ln(1 ) 0
ˆ
1
ln(1 ) 0
ˆ
ˆ
ln(1 )
n n
in
i
n
in
i
n
i
i
n x
n x
n
x








  
  





 
que é a expressão pedida no item. 
 
 
③ Verdadeira. Conforme Revisão de Conceitos (EMV), uma das propriedades dos EMVs é o 
fato de que eles têm distribuição assintótica Normal. 
 
Questão 9 
 
Avalie se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas: 
 
④ Para uma amostra de tamanho fixo, ao aumentar a probabilidade do erro 
tipo 1 aumentamos também o poder do teste. 
 
(2) O valor p é o menor nível de significância para o qual o valor observado da 
estatística teste é significativo. 
(3) Se a estatística teste é z = 2,75 e o valor crítico é z = 2,326, 
consequentemente o valor p é maior do que o nível de significância em um 
teste bicaudal e bilateral. 
 
z O poder de um teste de hipóteses é a probabilidade de 
rejeitar corretamente uma hipótese nula falsa. 
 
(4) Para um teste de hipótese de média com variância conhecida 
e igual a 4 para uma amostra aleatória de tamanho 16 e uma 
região crítica dada por [4,5, ∞[, o poder do teste para Ha: µ=5 
é 0,84 (arredondando para duas casas decimais). 
 
Resolução: 
 
1 Verdadeira. Se aumentarmos α, P(Erro I) aumenta, mas diminui a P(Erro 
II). É o clássico problema da coberta curta, ou seja, se a puxarmos para cobrir 
a cabeça, descobrimos os pés e vice-versa. A única forma de reduzirmos tal 
problema seria aumentar a coberta. Ou seja, se aumentarmos a amostra, a 
variância amostral se reduz (caudas mais finas) e a P(Erro II) pode ser reduzida, 
sem alterar a P(Erro I). 
 
2 Falsa. Mesmo problema que foi visto em Questão sobre o p-valor, em 
provas da Anpec, em anos anteriores. Essa é uma interpretação que auxilia no 
entendimento do p-valor, mas está errada. Uma interpretação correta foi dada 
no item 4, questão 4, na prova da Anpec de 2008, por exemplo. 
 
3 Falsa. Não se sabe qual é a hipótese nula, de modo que é impossível 
determinar o p-valor do teste. 
 
4 Verdadeira. Ver Revisão de Conceitos – função poder (teste de hipóteses). 
 
 
5 Anulada, possivelmente porque esqueceram de informar que X tem 
distribuição Normal. Além disso, o uso do TLC aqui é inapropriado, devido ao 
pequeno tamanho da amostra. Supondo que X seja normal, a questão pode ser 
resolvida como segue: o poder do teste é a probabilidade de se rejeitar H0, 
dado que ela é falsa, ou seja, dado que Ha é válida. Supondo que Ha é válida, 
então µ = 5. Assim, devemos calcular: 
 
5 4.5 5
Pr 4.5 Pr Pr( 1) Pr( 1) 0.8413
2 / 4 2 / 4
X
X z z
  
         
 
 
 
que seria o poder do teste. Logo, o item seria verdadeiro. 
 
Capítulo 5 
Prova de 2008 
 
Questão 6 
 
Um econometrista estimou o seguinte modelo de regressão para explicar 
a renda de 526 indivíduos: 
(0,099) (0,036) (0,03) (0,005) (0,00010)
log( ) 0,510 1,310 0,080 0,030exp 0,001exp ²
² 0,441, 526
renda gênero educ er er u
R n
     
 
em que gênero é uma variável dicotômica (=1 se mulher, =0 caso contrário), educ 
é o número de anos gastos com educação, exper é a experiência profissional do 
indivíduo, medida em anos. Os desvios padrões dos coeficientes estão entre 
parênteses. Com base nesses resultados, julgue as afirmativas: 
Ⓞ O efeito de um ano a mais de experiência profissional na renda média de 
um indivíduo do sexo masculino é 0,030 unidades monetárias. 
① As mulheres recebem salários 31% mais baixos que os dos homens, em média. 
② De acordo com o modelo estimado, a hipótese de que o efeito médio de 
um ano a mais de educação na renda dos indivíduos seja diferente de 10% 
é rejeitada ao nível de significância de 5%. 
③ Se V(u|gênero, educ, exper) = a² +b²educ, então os estimadores de mínimos quadrados são 
tendenciosos. Nota: V(u|X) é a variância de u condicionada a X, a e b são parâmetros. 
 
④ Em uma regressão do resíduo u em função de educação e gênero, o R² será zero. 
 
 
Resolução: 
 
(0) Falsa. O impacto será medido da seguinte forma: 
 
E[logrenda | gênero = 0, exper + 1, educ] – E[logrenda | gênero = 0, exper, educ] 
 
= [0.030(exper + 1) – 0.001(exper + 1)2] – [0.030(exper) – 0.001(exper)2] 
 
= 0.030 – 2 ⋅ 0.001 ⋅ exper – 0.001 
 
= 0,029 – 0.002 ⋅ exper 
 
note-se que na primeira linha foi medido o efeito para os homens de um ano a 
mais de experiência, mantido fixo o nível educacional. Assim, o efeito seria 
sobre o log da renda média (e não sobre a renda média) e dependeria do nível 
de experiência. 
 
Se fôssemos medir em termos de derivada parcial, o efeito seria: 
 
0
log
0.030 0.002 exp
exp
gênero
E renda
er
er


  

 
198 Estatística 
 
 
em que tal efeito mediria o impacto de uma variação infinitesimal da exper sobre 
o log da renda. Poder-se-ia afirmar que para níveis de experiência baixo, tal efeito 
sobre o log da renda (e não sobre o nível da renda) seria de aproximadamente 
0.030. Contudo, o efeito sobre o nível médio da renda,como pedido no item, seria 
de aproximadamente 100% ⋅ 0.03 = 3% (e não de 0.03). 
 
Observação: Novamente, se o objetivo fosse medir o efeito exato, obteríamos, de 
acordo com a Revisão de Conceitos (Formas Funcionais Logarítmicas): 
 
[exp(0.03) – 1] ⋅ 100% = 3.045% 
 
(1) Falsa. O valor aproximado é exatamente o coeficiente da variável 
gênero, pois: 
 
E[logrenda | gênero = 1, exper, educ] – E[logrenda | gênero = 0, exper, educ] 
 
= 0.31 ⋅ 1 – [0.31 ⋅ 0] = 0.31, 
 
é o impacto sobre o log da renda. O impacto sobre o nível da renda será de 
100% ⋅ (– 0.31) = – 31%. 
 
Observação: A mudança percentual exata, seguindo o comentário do item 
acima, seria: 
100[exp(0.31) – 1]% = – 26.65% 
 
(2) Falsa. A hipótese nula será: 
Parâmetro de educ = 0.1 
 
Assim, construímos o teste t, substituindo o coeficiente da variável educ 
pela sua estimativa, obtendo assim: 
   
ˆ ˆ0.1 0.1
ˆ ˆ0.1
0,08 0,1
0,67 1.96 | 0,67 | 1.96
0,03
educ educ
educ educ
t
Var Var
 
 
 
 


      
 
na qual Var (βˆeduc − 0.1) = Var (βˆeduc ), pois a adição ou subtração de uma 
constante não altera o valor da variância. Logo, como a região crítica para um teste 
bilateral, 
 
 
 Capítulo 5 | Análise de Regressão I: Modelos de Uma Equação 199 
 
 
 
ao nível de confiança de 5%, é dada por (–∞, –1,96) ∪ (1,96, ∞) e o valor observado da 
estatística de teste não pertence a este intervalo, então não rejeita-se H0. 
 
Observação: a rigor, o item já seria falso desde o começo, pois é incorreto 
afirmar que se rejeita a hipótese alternativa e a hipótese apontada no item 
(efeito ≠ 10%) é a hipótese alternativa. 
 
(3) Falsa. O que o enunciado está dizendo, basicamente, é que os erros são 
heterocedásticos (pois a variância depende das observações da amostra para a 
variável de educação e, portanto, a variância se altera ao longo da amostra). 
Como provado na Revisão de Conceitos (MQO), não é necessário fazer 
hipótese sobre a variância para provar a não tendenciosidade dos estimadores 
MQO. 
 
(4) Verdadeira. O resíduo u contém toda a informação sobre y que não está 
presente nos regressores incluídos na equação (neste caso, gênero, educ e exp). 
Assim, caso se rode uma regressão de u contra estes regressores, o R2 será zero. 
 
Observação: Uma forma de visualizar isso matematicamente é verificar que 
al-gumas das CPOs do problema de minimização dos erros na obtenção do 
EMQ (veja a Revisão de Conceitos – MQO) são: 
1
0, 1,..., ,
n
ji i
i
x û j k

  
na qual onde xj é um regressor (note que j varia de 1 a k, ou seja, temos k 
CPOs ao total, sendo k o número de regressores), que pode ser escrita como: 
 
 
1 1
1
1
0
0
0
1
n n
ji i i
i i
n
jji i
i
n
jji i
i
x û x û
x x û
x x û
n
 


 
 



 


 
na qual, na primeira linha, subtraiu-se uma expressão que é igual a zero, pois 
1
0
n
i
i
û

 , que é a 
CPO do estimador do intercepto. Assim, a expressão da última linha mostra a covariância amostral 
entre o regressor e o resíduo, que é zero. Logo, pelas CPOs do MQO, não existe correlação entre o 
resíduo e os regressores. Portanto, uma regressão do resíduo contra tais regressores implicará que 
os coeficientes estimados serão nulos e, portanto, tais regressores não terão nenhum poder 
explicativo sobre o resíduo, culminando em um R2 nulo. 
 
 
Questão 7③ 
 
Considere a regressão múltipla: 
0 1 1 2 2 3 3y x x x u        
 
cujos parâmetros tenham sido estimados pelo método dos Mínimos Quadrados 
Ordinários. Julgue as afirmativas: 
 
Ⓞ Se E(u| X1, X2, X3) = 0 e o modelo não é perfeitamente colinear, então os estimadores não 
são viesados. 
①. Se o R2 = 1, então y é uma combinação linear de X1, X2 e X3. 
②. O R2 ajustado aumenta ao se incluir uma variável adicional, caso tal variável seja 
significativa ao nível de 5%. 
③. Se o modelo satisfaz as hipóteses do teorema de Gauss-Markov, então 1̂ é o 
estimados linear não viesado de 1 com menor variância possível. 
④. Se omitirmos X3 da regressão, os estimadores de β0, β1 e β2 podem ser viesados. 
 
 
Resolução: 
 
(0) Verdadeira. A não colinearidade perfeita garante que o estimador existe (X′X é inversível), 
e a ortogonalidade dos erros em relação aos regressores garante que os estimadores são não 
viesados, conforme mostrado na Revisão de Conceitos (MQO). 
 
(1) Verdadeira. Se: 
2 1 1
0
SQR
R
SQT
SQR
SQT
  

 
 
Então: 
 
2
2
0 3 3
1 1
ˆ ˆ... 0
n n
i i
i i
SQT u y x 
 
       
 
 
Logo, 
 
0 3 3
ˆ ˆ...iy x   
 
 
(2) Verdadeira (discordância do gabarito da Anpec). O teorema a respeito 
deste ponto diz que se for adicionado um novo regressor à regressão, então: 
R2 aumenta ⇔a estatística t deste novo regressor é maior que 1, em módulo. 
 
Ao se incluir uma variável significativa a 5%, estamos dizendo que sua 
estatística t é maior do que 1.96 em módulo, logo o ²R aumenta. Veja 
Wooldridge (2006, p. 190-91). 
 
 
Observação: Um teorema mais geral diz que: se adicionarmos um grupo de 
variáveis à regressão, então: 
²R aumenta ⇔a estatística F deste novo grupo de regressores é maior que 1. 
 
 
(3) Verdadeira. Já enunciado e provado na Revisão de Conceitos (MQO). 
 
(4) Verdadeira. Note que a afirmação é verdadeira por causa da palavra “po-
dem”. Veja a Revisão de Conceitos (Viés de Variável Omitida). 
 
Questão 10 
 
Julgue as afirmativas: 
 
Ⓞ Na presença de heterocedasticidade nos erros de um modelo de regressão 
linear, os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários são ineficientes. 
① Para testar a presença de autocorrelação de primeira ordem em um 
modelo yt = α + β yt-1 + εt usa-se o teste de Breusch-Godfrey. 
② Quando os erros da regressão são autocorrelacionados, os estimadores 
de mínimos quadrados são eficientes. 
 
③ A omissão de uma variável relevante em um modelo de regressão linear 
pode gerar autocorrelação nos erros. 
 
④ A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, isto é I(1), é sempre espúria. 
 
 
Resolução: 
 
O item (4) está resolvido no capítulo Séries Temporais. 
 
(0) Verdadeira. Já discutido. A condição de homocedasticidade dos erros é uma 
hipótese do Teorema de Gauss Markov. Veja a Revisão de Conceitos (MQO). 
 
 
(1) Verdadeira. Veja o item 3, questão 8, da prova da Anpec de 2006. 
 
 
(2) Falsa. O fato dos erros serem autocorrelacionados viola uma das hipóteses do Teorema de 
Gauss-Markov. Para uma prova de tal teorema, onde a hipótese de homocedasticidade é usada 
(e, portanto, necessária), veja a Revisão de Con-ceitos (MQO). 
 
(3) Verdadeira. Pois o novo erro será: 
 
εi = βkxki + ui, 
 
na qual ui é o erro da regressão com a variável relevante. Calculando a autoco-variância do 
novo erro ε, teremos: 
 
Cov(εi , εj) = Cov(βkxki + ui, βkxkj + uj) 
Cov(εi , εj) = β k2Cov(xki , xkj) + βkCov(xki , uj) + βkCov(xkj , ui) + Cov(ui , uj) 
 
 
Mesmo que os erros da regressão original (u) sejam não autocorrelaciona-dos (ou seja, 
Cov(ui , uj) = 0) e o regressor omitido não seja correlacionado com tal erro (ou seja, Cov(xki , 
uj) = Cov(xkj , ui)), tem-se que: 
 
Cov(εi , εj) = β k2Cov(xki , xkj) 
 
 
Assim, a omissão de uma variável relevante (ou seja, com seu coeficiente βk ≠ 0) pode 
fazer com que o novo erro (ε) seja autocorrelacionado, se Cov(xki , xkj) ≠ 0. 
 
 
 
Prova de 2009 
 
Questão 10 
 
Com relação aos testes de hipótese, é correto afirmar: 
 
Ⓞ Em uma regressão com várias variáveis explicativas, se individualmente os coeficientes não 
forem significativos, o teste F de significância conjunta também não terá a hipótese nula 
rejeitada. 
 
① A estatística de Dickey-Fuller para testar a presença de raiz unitária em séries temporais 
possui sempre distribuição Normal. 
 
 
② Considere o seguinte modelo de regressão linear: y = β0 + β1X + u, em que u é 
o erro da regressão, y é a variável dependente e X é a variávelexplicativa. 
Caso o erro seja heteroscedástico, a estatística t usual para testarmos a 
hipótese H0 : β1 = 0 contra a alternativa H1 : β1 ≠ 0 não é mais válida. 
③ Considere o seguinte modelo de regressão linear y = β0 + β1X + u, em que u é o erro da 
regressão, y é a variável dependente e X é a variável explicativa. Para testarmos a hipótese 
H0 : β1 = 0 contra a alternativa H1 : β1 > 0, devemos utilizar um teste t unilateral. 
 
④ O teste t em regressões envolvendo variáveis não estacionárias não será 
válido caso a regressão seja espúria. 
 
Resolução: 
 
Os itens (1) e (4) estão resolvidos no capítulo Séries Temporais. 
 
 
(0) Falso. Pode acontecer de individualmente os coeficientes não serem significati-
vos e o teste F de significância conjunta ter a hipótese nula rejeitada, o que é, justa-
mente, um indicativo de problema de multicolinearidade. Este ponto é discutido na 
Revisão de Conceitos, na parte de Mínimos Quadrados Ordinários. 
 
(2) Verdadeiro. No caso de heterocedasticidade, o estimador da variância do 
parâmetro será viesado, tornando a estatística t usual inválida. Isso se deve ao 
fato de que a variância é estimada assumindo-se que ela é constante quando 
não é. 
 
Observação: Uma forma de corrigir tal estatística para o caso de 
heteroscedasticidade é usar a correção de White para a variância. 
 
(3) Verdadeiro. Por definição. 
 
 
Questão 11 
 
Suponha que o modelo linear abaixo descreva as relações entre quatro 
variáveis aleatórias escalares: y, X, Z e v. 
 
0 1 2( | , )E y X Z X Z     (equação 1) 
0 1 , ( | , ) ( | ) ( | ) ( ) 0X Z v E v Z X E v Z E v X E v        (equação 2) 
Suponha, ainda, que 0 1 2 0 10, 0, 0, 0, 0         . Indique se cada 
uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa: 
 
= E(y | Z) = β0 + β2Z. 
 
 Seja y = β0 + β1X + β2Z + u. Então E(u | X, Z) = 0. 
 
(6) E(X | Z) = α0 + α1Z. 
 
Ⓞ Seja y = θ0 + θ1Z + ε, em que θ0 = β0 + β1α0 e θ1 = β1α1 + β2. Portanto, E(ε | Z) ≠ 0. 
 
④ Considere uma amostra de n observações das variáveis aleatórias y, X e Z. O 
estimador 
 
 
1
2
1
n
i i
ï
n
i
ï
y Z Z
T
Z Z







 é um estimador não tendencioso para 
1 1 1 2     .
 
Resolução: 
 
② Falsa. Pela Lei das Expectativas Iteradas, podemos dizer que: 
E(y | Z) = E(E (y | X, Z) | Z). 
 
O termo dentro da primeira esperança do lado direito é a equação 1 do 
enunciado, ou seja: 
 
E(y | Z) = E(β0 + β1X + β2Z | Z) 
 
E(y | Z) = β0 + β1E(X | Z) + β2Z 
 
Substituindo a equação 2, temos que: 
 
E(y | Z) = β0 + β1(α0 + α1Z + v | Z) + β2Z 
 
E(y | Z) = β0 + β1α0 + β1α1Z + β1E(v | Z) + β2Z 
 
E(y | Z) = β0 + β1α0 + β1α1Z + β2Z 
 
que é diferente da expressão dada no item. 
 
 
(1) Verdadeira. Seja: 
 
y = β0 + β1X + β2Z + u 
 
Tomando a esperança condicional em X e Z, obtém-se: 
 
E(y | X, Z) = β0 + β1X + β2Z + E(u | X, Z) 
 
Comparando com a equação 1 do enunciado devemos ter: 
 
E(u | X, Z) = 0 
 
(5) Verdadeira. Tomando a esperança condicional em Z da equação 2, 
teremos: E(X | Z) = α0 + α1Z + E(v | Z) = α0 + α1Z, 
 
onde, na última igualdade, utilizamos a hipótese E(v | Z) = 0 dada no enunciado. 
 
 
① Falso. Note que a esperança de y condicional em Z já foi obtida no 
item 0, ou seja: 
 
E(y | Z) = β0 + β1α0 + β1α1Z + β2Z 
 
onde θ0 = β0 + β1α0 , θ1 = β1α1 + β2 . Assim, ao tomarmos a esperança 
condicional em Z da equação do y dada no item 3: 
 
E(y | Z) = θ0 + θ1Z + E(ε | Z) 
 
 
e compararmos com a expressão acima, devemos ter, necessariamente, E(ε 
| Z) = 0. 
 
 
② Verdadeiro. Como vimos no item 3, o modelo: 
 E(ε | Z) = θ0 + θ1Z 
 
(6) o modelo dado no enunciado, tal que E(ε | Z) = 0. Assim, 
substituindo yi = θ0 + θ1Zi + εi no estimador T, teremos: 
 
 
  
 
     
 
     
 
     
 
0 1
1 1
2 2
1 1
0 1
1
2
1
0 1
1 1 1
2
1
0 1
1 1 1
2
1
0
1
n n
i i i i i
ï ï
n n
i i
ï ï
n
i i i i i
ï
n
i
ï
n n n
i i i i i
ï ï ï
n
i
ï
n n n
i i i i i
ï ï ï
n
i
ï
n
i
ï
y Z Z Z Z Z
T
Z Z Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
T
Z Z
Z Z Z Z Z Z Z
Z Z
Z Z
T
  
  
  
  

 
 


  

  


   
 
 
    


    


    




 
 


  

  

    
 
     
 
 
 
 
 
 
 
1
1 1 1
2
1
2
0 1
1 1
2
1
2
1
1 1 1
12 2 2
1 1 1
n n n
i i i i
ï ï ï
n
i
ï
n n
i i i i
ï ï
n
i
ï
n n n
i i i i i
ï ï ï
n n n
i i i
ï ï ï
Z Z Z Z Z Z
Z Z
nZ nZ Z Z Z Z
Z Z
Z Z Z Z Z Z
T
Z Z Z Z Z Z
 
  
  

  

 

  
  
 
     
 

    


   
  
  
   

 

  
  
 
 
Tomando a esperança condicional de T em X e Z, avaliamos se o estimador 
é tendencioso ou não: 
 
   
 
 
  
 
   
1
1 12 2
1
1 1
1 12 2
1 1
1 1
1
1
( | ) | |
1 1
( | ) | |
( | )
n
i i n
ï
i i
n n
ï
i i
ï ï
n n
i i i i
n n
ï ï
i i
ï ï
Z Z
E T Z E Z E Z Z Z
Z Z Z Z
E T Z E Z Z Z Z Z E Z
Z Z Z Z
E T Z

  
   



 
 
 
 
 
          
  
 
   
        
   
 



 
 
 
 
onde, na passagem para a última linha, usamos o resultado E(εi | Z) = 0, já 
obtido no item 3. 
 
Observação: Na passagem da segunda para a terceira linha, quando estávamos 
abrindo o estimador T, foi utilizado o seguinte resultado: 
          
1 1 1 1
n n n n
i i i i i i i i
ï ï ï ï
Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z
   
          
     
Como 
   
1 1 1 1
n n n n
i i i
ï ï ï ï
Z Z Z Z Z Z Z Z Z
   
 
     
 
    
( )( ) 0iZ nZ nZ Z Z    , então: 
    
1 1
n n
i i i i
ï ï
Z Z Z Z Z Z Z
 
     
 
 
Questão 14 
 
O método dos Mínimos Quadrados Ordinários foi empregado para estimar o modelo de 
regressão abaixo, cujo objetivo é explicar as variações de renda entre 487 indivíduos: 
 
         , , , , ,
ˆlog , – , , , – ,
 , , 
renda gênero educ exper exper gênero u
R n
   
 
0 073 0 059 0 0003 0 002 0 002
0 883 0 169 0 004 0 014 0 009
2 0 458 487
 
em que gênero é uma variável dicotômica (valor 1 se for mulher e 0 caso contrário), educ 
 
④ o número de anos de escolaridade e exper é a experiência profissional, 
também medida em anos. Os números entre parênteses são os erros-padrão das 
estimativas. Com base nos resultados acima, é correto afirmar: 
Ⓞ A 5%, o efeito de um ano a mais de escolaridade para indivíduos do sexo 
masculino é estatisticamente maior do que o efeito para mulheres. 
(4) O efeito na renda de um ano a mais de experiência profissional para as 
mulheres é 0,9% menos do que para os homens. 
 
Ⓞ O modelo acima não pode ser estimado por mínimos quadrados, pois há uma 
interação entre as variáveis exper e gênero. 
 
④ Para um mesmo nível de escolaridade e experiência profissional, a renda 
média dos homens é superior à das mulheres. 
 
(8) Para um indivíduo com 10 anos de escolaridade, 1 ano adicional de estudo 
acarreta um aumento da renda de aproximadamente 14%. 
 
Resolução: 
 
(0) Falso. No item 0, questão 9, da prova da Anpec de 2006, já foi vista esta 
afirmação, mas em termos do impacto para experiência. Tal efeito não é 
possível de se medir, pois necessitaríamos de uma variável de iteração educ x 
gênero. Se considerássemos tal variável no modelo (com coeficiente igual a β, 
por exem-plo), o efeito pedido no item seria igual a: 
{ [ln | ] [ln | ]}
{ [
0; 1; 0; ;
1; 1; 1;ln | ] [ln | ]; }
E renda gênero educ exp E renda gênero educ exp
E renda gênero educ exp E renda gênero educ exp
 
 
 
   
    
 
[{ ( ) } {[ ( ) ( ) }]
[
0.004 1 0.004 0.169 0.004 1 1 0.169 0.004 ]
0.004 {[0.00 ]4
educ educ educ educ educ educ

 

     

    
 Ou seja, justamente o coeficiente da variável de iteração dá o impacto pedido 
no item 0. Logo, não é possível medir o efeito pedido no item sem incluir a 
variável no modelo. 
 
(1) Anulada. Este item é idêntico ao item 0, questão 9, da prova da Anpec de 
2006, e o impacto será: 
      
{ [ln | ] [ln | ]}
{ [ln | ] [ln | ]}
0.169 0.014 exp 1 0.009 exp 1 0.169 0.014(exp) 0.009(exp)
0.0014 ex
1; ; 1 1; ;
0; ; 1 0; ;
E renda gênero educ exp E renda gênero educ exp
E renda gênero educ exp E renda gênero educ exp
 
 
 
         
   

 
 

 
  
 
p 1 0.014(exp)
0.0014 0.009 0.014 0.009
  
 
     
    
 
 
Ou seja, como era esperado, o impacto pedido no item é justamente o 
coeficiente da variável de interação exper x gênero. Tal coeficiente dá o impacto 
em termos do log da renda. Uma outra forma de verificar, caso exper fosse uma 
variável contínua, seria: 
 
1 0
log( ) log( )
0.014 0.009 0.0014 0.009
exp exp
gênero gênero
renda renda
 
 
     
 
 
ou seja, o impacto pedido seria de exatamente – 0.009 sobre o log da renda ou 
 
– 0.009x100% = – 0.9% sobre o nível da renda. No entanto, como exper é uma variável 
discreta, não teremos uma variação infinitesimal no denominador, assim, podemos dizer 
apenas que o impacto será aproximadamente igual a – 0.9%. 
 
Provavelmente, o item foi anulado por essa razão. Apesar de que, em ou-tros 
anos, um item similar a este foi considerado verdadeiro e não foi anulado. Por 
exemplo, veja o item 1 na questão 6 da prova da Anpec de 2008. 
 
(2) Falso. Variáveis de interação sempre podem ser incluídas nos modelos de 
regressão, se isso não gerar multicolinearidade perfeita entre as variáveis exper x 
gênero, exper e gênero, o que impossibilitaria a obtenção do estimador MQO. 
 
(3) Verdadeiro. Considere o caso em que ambos tenham exper = 0. Para medir, se 
a renda média dos homens é maior do que das mulheres, devemos olhar para 
o coeficiente da variável gênero, visto que as outras variáveis estão fixas. Tal 
coeficiente- é significativo, pois a estatística t será: 
t = – 0.169/0.059 = – 2.86, 
 
que é maior, em módulo, do que 1.96, que é o valor crítico da normal para um nível 
de significância de 5% (podemos considerar a Normal pois o tamanho amostral é 
relativamente grande, n = 487). Assim, como o sinal é negativo, isso implica que as 
mulheres ganham menos do que os homens em média. 
 
A situação é reforçada para graus de experiência diferentes de zero. Neste 
caso, o efeito seria: 
{E[lnrenda | gênero = 1; educ; exp] – E[lnrenda | gênero = 0; educ; exp]} 
= – 0.169 – 0.009 exper 
 
 
o qual depende do nível de experiência. Note que o efeito, para qualquer nível de 
experiência, será negativo (visto que o valor de exper é não negativo), ou seja, a renda 
média dos homens é superior à das mulheres. Conforme o nível 
de experiência vai aumentando, a renda média dos homens aumenta mais 
do que a das mulheres. 
 
④ Falso. O impacto de um ano a mais de educação sobre o log da renda é 
para qualquer nível educacional igual a 0.004, visto que educ é uma variável 
linear. Como educ é uma variável discreta, podemos dizer que o impacto 
será aproximadamente igual a 0.004 x 100% = 0.4%. 
 
Capítulo 6 
Prova de 2009 
 
Questão 12 
 
Considere o seguinte modelo de equações simultâneas: 
1 2 2 11 1 1
2 3 3 22 2 2
2 4 3 31 1 32 2 3
( 1)
( 2)
( 3)
t t t t
t t t t
t t t t t
y y x u Equação
y y x u Equação
y y x x u Equação
 
 
  
  
  
   
 
 
em que y1t , y2t , y3t , x1t e x2t são variáveis aleatórias, e 4 ≠ 3 e u = (u1t , u2t , u3t )' 
um vetor de variáveis aleatórias independentes e normalmente distribuídas tal que: 
2
1 1
2
2 2
2
3 3
0 0 0
0 , 0 0
0 0 0
t
t
t
u
u NID
u



     
     
     
     
      
, para todo t. 
 
 
Indique se cada uma das afirmações a seguir é verdadeira ou falsa: 
Ⓞ A condição de ordem para identificação de equações 
simultâneas é satisfeita pelas Equações 1 e 2, mas não é 
satisfeita pela Equação 3. 
 
① A Equação 2 será identificada se g31 = 0. 
② A Equação 1 satisfaz a condição de posto se g22 ≠ 0. 
③ Se 32 22 4 2    ≠ 0, os parâmetros da Equação 1 podem ser 
estimados por mínimos quadrados em dois estágios, com x2t 
sendo a variável instrumental para y2t . 
④ A Equação 3 pode ser estimada por Mínimos Quadrados 
Ordinários. 
 
Resolução: 
 
(0) Verdadeira. A condição de ordem para a primeira equação é: 
exógenas excluídas = 1 = endógenas incluídas – 1 = 2 – 1. 
 
Para a segunda equação é: 
 
exógenas excluídas = 1 = endógenas incluídas – 1 = 2 – 1. 
 
 
Para a terceira equação é: 
 
exógenas excluídas = 0 < endógenas incluídas – 1 = 2 – 1 = 1. 
 
Logo, a condição de ordem é atendida para as primeira e segunda equa-
ções, mas não para a terceira. 
 
(1) Falsa. A condição de ordem para a terceira 
equação passará a ser: exógenas excluídas = 1 
= endógenas incluídas – 1 = 2 – 1. 
 
Devemos, ainda, verificar a condição de posto: 
1
2 11 2 1
3 22 3 2
4 31 32 1 3
2
1 0 0
0 1 0
0 1
t
t t
t t
t t
t
y
y u
y u
x u
x
 
 
  
 
 
     
      
    
         
  
 
 
A matriz A dos coeficientes será a 1a matriz do lado esquerdo, ou seja: 
2 11
3 22
4 31 32
1 0 0
0 1 0
0 1
A
 
 
  
  
 
  
 
    
 
 
Analisando a segunda equação, a submatriz de 
coeficientes das variáveis que não aparecem em tal equação 
(no caso y1t , x1t ), mas aparecem em pelo menos uma das 
demais, é formada por: 
11
1
31
1
0
A


 
  
 
 
 
Assim, o posto de A1 será igual a 1, se g31 = 0, que é 
menor que M – 1 = 2, onde M é o número total de variáveis 
endógenas em todo o sistema. Logo, a 
 
Equação 2 é subidentificada. 
 
(2) Falsa. Vamos avaliar a condição de posto, conforme 
enunciada na Revisão de Conceitos (Identificação). 
Analisando a primeira equação, a submatriz de coeficientes 
das variáveis que não aparecem em tal equação (no caso y3t , 
x2t ), mas aparecem em pelo menos uma das demais, é formada 
por: 
3 22
1
4 32
A
 
 
  
  
  
 
 
Assim, o posto de A1 dependerá dos valores destes parâmetros. Ele terá 
posto igual a 2 se: 
 
1 3 32 4 22det( ) 0A       
 
Então, mesmo se g22 ≠ 0, não podemos garantir que tal determinante 
será diferente de zero. Dessa forma, não podemos dizer que o posto é igual a 
M – 1 = 2, onde M é o número total de variáveis endógenas em todo o sistema. 
Assim, a Equação 1 não é, necessariamente, identificada, quando g22 ≠ 0. 
 
(3) Verdadeira. Veja, pelo item anterior, que esta é a condição do 
determinante de A1 ser diferente de zero, garantindo, assim, que a condição 
de posto seja satisfeita. Então, a Equação 1 é identificada, e pode ser estimada 
por variável instrumental (VI), cujo estimador será igual ao de mínimos 
quadrados de dois estágios (2SLS), quando temos apenas 1 instrumento. O 
instrumento para a Equação 1 será justamente a variável exógena excluída 
desta equação (também chamada restrição de exclusão), mas que aparece em 
alguma das demais equações. Esta variável será justamente x2t. 
 
(4) Anulada. Não faz sentido estimar a equação 3, pois ela não é 
identificada. Embora seja possível estimá-la em termos práticos, isso não 
faz sentido. 
 
Observação: Para confirmarmos que a equação é subidentificada, 
observe que ela não atende nem à condição de ordem: 
 
exógenas excluídas = 0 < endógenas incluídas –1 = 2 – 1 = 1. 
 
Capítulo 7 
Prova de 2008 
 
Questão 9 
 
Considere o modelo macroeconômico: 
 
 
1
1 2
1 1 3
* *t t t
t t t t
t t t t
i i
by
y c i
   
  
 

 
  
  
  
 
 
em que: t é a inflação no período t, yt é o hiato do produto, it 
é a taxa de juros nominal, i* 
 
(9) ataxa de juros de equilíbrio e * é a meta de inflação. 
Suponha que 0 < b < 1, −1 < c < 0 
 
e a  0. Finalmente, considere que  1 2 3, ,t t te    ´ seja um 
vetor de variáveis aleatórias independentes, e normalmente 
distribuídas, tal que: 
2
1 1
2
2 2
2
3 3
0 0 0
0 , 0 0 , 1,2,3,..., .
0 0 0
t
t
t
NID para t T
 
 
 
     
     
     
     
      
 
Julgue as afirmativas: 
 
(7) Se a = 1 a função de autocorrelação da inflação decai 
exponencialmente. Se a = 2, V( t)→∞ quando T →∞. 
①. Se a=2, então 1
1
ˆ
²
T
t tt
T
tt
y
b
y






 é um estimador consistente de b. 
 
②. O coeficiente c só pode ser estimado de modo consistente pelo 
método de variáveis instrumentais. 
③. Seja 1
ˆ
t̂ t tr y    ,em que 
11
2
11
ˆ
T
t tt
T
tt
y 







. Se a=2, então 
1
1
ˆ
ˆ
ˆ ²
T
t tt
T
tt
r
b
r






 é um estimador consistente de b. 
④. Se a = 1, E(yt | t-1 )=-c. 
 
 
Resolução: 
① Falsa. Se a = 1, então: 
it −  t = i* −  * + ε1t , 
yt = c (i* −  * ) + ε1t −1 + ε3t = c (i* −  * ) + cε1t −1 + ε3t , 
 
o que implica que: 
 
 t = bc (i* −  * ) + bcε1t −1 + bε3t +  t −1 + ε2t = 
 bc (i* −  * ) +  t −1 + (bcε1t −1 + bε3t + ε2t ). 
 
Ou seja,  t é um passeio aleatório com drift. Sabe-se que a 
função de auto correlação de um passeio aleatório não decai 
exponencialmente. 
 
(1) Falsa. Se a = 2: 
it −  t = (i* − 2 * ) +  t + ε1t , 
yt =c[(i*−2 *)+ t −1+ ε1t −1]+ ε3 t = c (i* − 2 * ) + c t − 1 + cε 1t + ε3t . 
 
 
Como –1 < c < 0, yt é uma série estacionária. Note-se que yt é 
correlacionada com  t–1 (pois vimos acima que yt pode ser escrita 
como função de  t–1). O estimador proposto ignora esta correlação. A 
omissão de variáveis relevantes (e  t–1 é relevante neste modelo) 
torna os estimadores de MQO viesados e inconsistentes, visto que 
nesta questão o estimador apresentado é o estimador de MQO para 
uma regressão simples. 
 
④ Falsa. Pode ser estimado consistentemente por MQO. yt depende 
apenas de variáveis predeterminadas não correlacionadas com o 
termo de erro. 
 
Verdadeira. No item 1, vimos que a variável  t–1 foi omitida da regressão. 
No entanto, neste item, está sendo estimado o parâmetro b da segunda 
equação, incluindo também como regressor  t–1. Para isso, é computado 
o estimador MQO para regressão linear múltipla, mas feito em dois estágios. 
O primeiro estágio é a estimação do regressor de interesse (no caso yt) 
contra os demais regressores (no caso  t–1). Daí obtemos o estimador 
MQO βˆ e depois obtemos os resíduos desta primeira equação (no caso t̂r ). 
No segundo estágio, estima-se a regressão da variável dependente da 
segunda equação do enunciado (no caso  t ) contra os resíduos obtidos 
no primeiro estágio (no caso t̂r ). O estimador dos resíduos é o estimador 
MQO do regressor de interesse (no caso yt). Vimos, no item 1, que é 
necessário considerar a variável predeterminada  t–1 para que possamos 
obter um estimador consistente. Note também que yt não é uma variável 
endógena, ou seja, não é correlacionada com e2t , visto que, pela terceira 
equação, yt é função de e3t, mas este erro não é correlacionado com o erro 
da segunda equação e2t. 
 
Observção: Veja Wooldridge (2006, p.75) para esta abordagem 
de se obter o estimador MQO em dois estágios. 
 
= Falsa. Como em (0), se a = 1: 
it −  t = i* −  * + ε1t , 
yt = c[(i* −  * ) + ε1t −1]+ ε3t = c (i* −  * ) + cε1t −1 + ε3t . 
 
 
Assim: 
E( yt |  t −1 ) = E (c (i* −  * ) + cε1t −1 + ε3t |  t −1 ) = c (i* −  * ). 
 
Questão 10 
 
Julgue as afirmativas: 
 
(3) Na presença de heterocedasticidade nos erros de um modelo de regressão 
linear, os estimadores de Mínimos Quadrados Ordinários são ineficientes. 
 
 Para testar a presença de auto correlação de primeira ordem em um modelo yt 
= α + βyt-1 + εt usa-se o teste de Breusch-Godfrey. 
Ⓞ Quando os erros da regressão são auto correlacionados, os estimadores de 
mínimos quadrados são eficientes. 
 
① A omissão de uma variável relevante em um modelo de regressão linear pode 
gerar auto correlação nos erros. 
 
② A regressão entre duas variáveis integradas de primeira ordem, isto é I(1), é 
sempre espúria. 
 
 
Resolução: 
 
Os itens (1) a (3) estão resolvidos no capítulo Análise de 
Regressão I: Modelos de Uma Equação. 
 
(4) Falsa. Elas podem ter uma relação de cointegração. 
 
 
Questão 11 
 
Julgue as afirmativas: 
 
③ Toda série temporal estacionária com variância finita pode 
ser escrita como um modelo de média móvel com termo de 
erro serialmente não correlacionado. 
 
④ Um modelo de séries temporais não estacionário tem pelo 
menos uma raiz unitária. 
 
② O teste de Dickey e Fuller é monocaudal. 
(4) Um modelo AR(2) dado por Yt = a +  1Yt–1 +  2Yt–2 +  t , t = 
1, 2, 3, ..., em que  t é um ruído branco com média zero e 
variância σ², será estacionário se  1 < 1 e  2 < 1. 
 
= Um passeio aleatório é um processo estacionário. 
 
 
Resolução: 
 
aa Verdadeira. A decomposição de Wold trata disso. Para detalhes, 
veja Hamilton (1994). 
 
Observação: Se for um AR(p) estacionário, podemos invertê-lo, 
transformando-o em um MA(∞). 
 
(5) Falsa. A série é dita estacionária se seus dois primeiros momentos 
incondicionais são constantes e a covariância depende apenas do 
comprimento da defasagem. Dessa forma, a presença de raiz unitária 
não é o único motivo causador da não estacionariedade. Um exemplo 
é uma série com tendência determinística (Veja Johnston e Di Nardo, 
1997, p. 220-21). 
 
(6) Verdadeira. É monocaudal à esquerda. 
 
(7) Falsa. As condições para um AR(2) ser estacionário são | 2| < 1, 
 1 +  2 < 1,  2 –  1 < 1, conforme Johnston e Di Nardo (1997, p. 
210). 
 
(8) Falsa. Tal processo terá raiz unitária e, portanto, será não 
estacionário. 
 
 
Questão 15 
 
Suponha que 1t t ty y u     , em que {ut} é independente e 
igualmente distribuído, com distribuição normal de média 
zero e variância ² Sabe-se que = 35,
3
5
  e ² = 2. 
 
Você é informado que y2 = 50. Determine a melhor previsão possível 
para y4. 
 
Resolução: 
 
O melhor previsor linear para y3, pelo critério do erro quadrático médio 
(EQM), dada a informação disponível até t = 2, é a esperança condicional 
de y3 dado y2 (Enders, 2003). Assim: 
3ŷ = E( y3 | y2 ) = E(α + β y2 + u 3| y2 )=E(α | y2 )+E(β y2 | y2 ) + E(u3| y2 ) = 
6 + β ⋅ y2 + 0 = 35 +
3
5
 ⋅50 = 35 + 30 = 65. 
 
 
Da mesma forma, o melhor previsor linear para y4, pelo critério do EQM, 
considerando a informação disponível até t = 2, é a esperança condicional 
de y4 dado y2. Assim: 
4ŷ = E( y4 | y2 ) = E(α + β y3 + u4| y2)=E(α | y2 ) + E(β y3 | y2 ) + E(u4 | y2 ) = 
 
α + β ⋅65 + 0 = 35 +
3
5
 ⋅65 = 74. 
 
 
 
Prova de 2009 
 
Questão 10 
 
Com relação aos testes de hipótese, é correto afirmar: 
(5) Em uma regressão com várias variáveis explicativas, se individualmente os 
coeficientes não forem significativos, o teste F de significância conjunta 
também não terá a hipótese nula rejeitada. 
 
Ⓞ A estatística de Dickey e Fuller para testar a presença de raiz unitária em 
séries tempo-rais possui sempre distribuição Normal. 
 Considere o seguinte modelo de regressão linear: y = β 0 + β 1 X + u, em 
que u é o erro da regressão, y é a variável dependente e x é a variável 
explicativa. Caso o erro seja heterocedástico, a estatística t usual para 
testarmos a hipótese H0 : β 1 = 0 contra a alternativa H0 : β 1 ≠ 0 não é mais 
válida. 
① Considere o seguinte modelo de regressão linear y = β 0 + β 1 X + u, em que 
u é o erro da regressão, y é a variável dependente e X é a variável 
explicativa. Para testarmos a hipótese H0 : β 1 = 0 contra a alternativa H0 : 
β 1 > 0, devemos utilizar um teste t unilateral. 
 
(1) O teste t em regressões envolvendo variáveis não estacionárias nãoserá 
válido caso a regressão seja espúria. 
 
Resolução: 
 
Os itens (0), (2) e (3) estão resolvidos no capítulo Análise de Regressão I: 
Modelos de Uma Equação. 
 
Ⓞ Falso. A estatística DF possui distribuição que foi tabulada por 
Dickey-Fuller e, posteriormente atualizada por MacKinnon. 
Observação: Sobre o teste DF, veja, por exemplo, Johnston e 
Dinardo (1997, p. 223-26) ou Wooldridge (2006, p. 567-72). 
 
① Verdadeiro. A estatística t não terá uma distribuição t em amostras 
peque-nas, nem uma distribuição normal para amostras grandes. 
 
Observação: Veja Wooldridge (2006, p.572-74). 
 
 
Questão 13 
 
Considere o modelo abaixo: 
1
1 2
( 1)
( 2)
t t t
t t t
y x u Equação
x x u Equação

 
 
 
 
em que e são parâmetros e y0=x0=0 e ut é um vetor 
aleatório independente e distri-buído da seguinte forma: 
2
1 1 12
2
2 12 2
0
,
0
t
t
t
u
u Normal
u
 
 
     
      
      
, para todo t. 
Indique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa: 
② Se λ = 1, xt será I(1), ou seja, xt será integrada de primeira 
ordem. Se α ≠ 0, então yt e xt serão cointegradas. 
 
①. Se σ12 ≠ 0, λ = 1 e α ≠ 0, então 1
2
1
ˆ
T
t t
t
T
t
t
y x
x
 




 converge em probabilidade 
para α quando T →∞. 
 
 
②. Se σ12 ≠ 0, |λ| < 1 e α ≠ 0, então 1
2
1
ˆ
T
t t
t
T
t
t
y x
x
 




 é um estimador consistente para 
α. 
= Suponha que s12 = 0 e |λ| < 1. É correto afirmar que yt segue um processo 
ARMA(1,1). 
 Se λ=1, yt será I(1), ou seja, yt será integrada de 1a ordem. 
 
 
Resolução: 
é Verdadeira. Se λ = 1, xt será um passeio aleatório sem drift 
(constante) e terá raiz unitária. Se α ≠ 0, yt será dada por uma 
combinação linear de um ruído branco (série estacionária sem nenhum 
padrão de auto correlação serial) e uma série com raiz unitária, xt 
sendo também I(1). Ainda, neste caso, xt e yt terão um componente I(1) 
comum, o que faz com que as duas séries sejam não estacionárias. 
 
é Verdadeira. Mesmo quando há endogeneidade (presença de 
correlação entre o regressor e termo de erro), o estimador de Mínimos 
Quadrados Ordinários de uma relação de cointegração é consistente. 
 
é Falsa. Neste caso, xt não é uma série integrada de ordem 1, I(1). 
Como há presença de endogeneidade entre o termo de erro e o 
regressor da equação que está sendo estimada, o estimador de MQO 
será inconsistente. 
 
é Verdadeira. Neste caso, xt é uma série estacionária e os termos de 
erro nas duas equações são independentes (são normais e não 
correlacionados). Usando-se a Equação 1, poderia-se escrever: 
1
1 1 1 1
t t t
t t t
y x u
y x u

  
  
 
 
 
Reescrevendo-se a equação acima para xt–1, obtemos: 
1 1 1
1
t t
t
y u
x

 


 
Substituindo-se o valor de xt , dado pela Equação 2, na Equação 1, tem-se: 
1 2 1t t t ty x u u    
Agora, substituindo-se o valor de xt–1 , por sua expressão acima, tem-se: 
 1 1 1 2 1
t t
t t t
y u
y u u 

    
Rearrumando os termos, encontramos: 
 
1 1 1 2 1
1 1 1 2 1
t t t t t
t t t t t
y y u u u
y y u u u
  
  
 
 
   
    
 
A equação acima é, exatamente, a equação de um processo ARMA(1,1) 
adicionado de um ruído branco, au2t . Ou seja, a rigor, o processo não é exatamente 
um ARMA(1,1). 
 
(4) Verdadeira. Pelo item 0, supondo α ≠ 0, yt deve ser I(1). 
 
Observação: O item poderia ser considerado falso, se supormos que α = 0, pois 
nesse caso yt = u1t, ou seja, é um processo ruído branco, sendo, assim, I(0). 
 
Questão 15 
 
É correto afirmar que: 
 No processo AR(1), yt =  0 +  1y t–1 + et, em que | 1|<1 e que et é um 
ruído branco de média nula e variância σ², a média de yt será igual a  0. 
 
(3) O processo MA(1), yt = et + q et–1, em que et é um ruído branco de média 
nula e variância constante, será estacionário mesmo que |q|>1. 
② Seja a função de auto correlação do processo AR(1) definido no item (0) 
dada por ρt. É correto afirmar que ρt =  1j. 
③ O processo AR(2), yt =  0 +  1 yt–1+  2 yt–2 + et , em que et é um ruído branco 
de média nula e variância σ ² , será estacionário de segunda ordem se, e 
somente se,  1 < 1 e 
 2 < 1. 
 
④ No modelo ARMA(1,1), yt =  0 +  1 yt–1+ et + q et–1 , em que et é um ruído 
branco de média nula e variância constante (σ²), a variância de yt é dada por 
 2 2
2
1
1
1
 



. 
Resolução: 
(0) Falso. Como | 1|<1, Yt é estacionário. Logo, E(Yt) = E(Yt–1). Então: 
 
E (Yt ) =  1E (Y t −1 ) +  0 
 
E (Yt ) =  1E (Y t ) +  0 
  0
11
tE Y




 
(1) Verdadeiro. O processo MA finito sempre é estacionário. 
 
 
Ⓞ Verdadeiro. Veja o item 1, questão 9, da prova de 2005. 
Ⓞ Falso. As condições para o AR(2) ser estacionário são | 2| < 1,  1 +  2< 1, 
2 –  1 < 1, conforme Johnston e Di Nardo (1997, p. 210). 
Ⓞ Falso. Seja o modelo ARMA (1,1) dado no item: yt =  0 + 1 yt −1 + et +θet −1 
Vimos no item 0 que a média do processo é   0
11
tE Y




. Subtraindo a média e 
0
1
11



 
 
 
 dos dois lados do modelo acima: 
 
0 0 0 0
0 1 1 1 1 1
1 1 1 1
0 0 0 0
0 1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 1
t t t t
t t t t
y y e e
y y e e
   
    
   
   
   
   
 
 
   
          
      
   
          
      
 
Assim, temos agora um processo ARMA(1,1), sem intercepto. Tomando a esperança 
do quadrado, estaremos calculando a variância, pois: 
2
20
1
( ) ( )
1
t t tVar y E y E x


 
   
 
 
 
ou seja, E (xt2 ) é a esperança de yt deduzido de sua média ao quadrado. Assim: 
E (xt2 ) = E ( 1xt −1 + et +θet −1 )2 =  1E (xt −1 )2 + 2θ 1E (xt −1et −1 ) + E (et2 )+θ 2 E 
(et2−1 ) 
E (xt2 ) =  1E (xt2−1 )+ 2θ 1E (xt −1et −1 ) + σ 2 +θ 2σ 2 
 
onde na segunda igualdade, utilizamos o fato de que: (i) E (et et −1 ) = 0, visto que são 
ruído branco, e (ii) E (xt −1et ) = 0, pois não existe correlação entre a variável presente e o 
erro futuro. Calculando o termo do meio da última expressão: 
E (xt −1et −1 ) = E (  1xt −2 + et −1 +θet −2 et −1 ) = σ 2 
 
onde na segunda igualdade, substituímos o modelo ARMA(1,1) defasado e na terceira 
igualdade utilizamos o fato de que: E (xt −2et −1 ) = 0, pois não existe correlação entre 
a variável presente e o erro futuro; e E (et −2et −1 ) = 0. Substituindo de volta na 
expressão acima: 
E (xt2 ) =  1E (xt2−1 )+ 2θ 1σ 2 + σ 2 +θ 2σ 2 
 
Como se trata de um processo ARMA(1,1), sendo estacionário implicitamente, a 
variância de yt será constante. Assim: 
E (xt2 ) = E (xt2−1 ) 
 
Substituindo na equação anterior: 
 
 
 
2 2 2 2 2
1 1
2
12
1
( ) 2
2 1 ²
1
t t
t
E x E x
E x
    
  

   
 


 
Observação: Uma outra forma de se resolver seria: 
 
     
    
    
0 1 1 1
1 0 1
0 1
1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1 2
1
1 1 1
... ... ...
... ... ...
t t t t
t t t
t t
t
t t t t t
t t t t t
y y e e
y L e e
e e
y
L L L
y L e Le e Le
y e e e e
  
  
 
  
     
     
 


 
  
   
   
  
  
       
       
 
onde na última linha usamos o fato de que L 0 =  0, ou seja, a defasagem de uma 
constante é a própria constante. Prosseguindo: 
   0 1 1 1 1 2
1
... ...
1
t t t t ty e e e e

  

  
 
       
 
 
O primeiro termo é a média de yt obtida no item 0. Logo, passando a média para o lado 
esquerdo e tomando a esperança ao quadrado, teremos a variância- de yt, ou seja: 
     
   
   
2
20
1 1 1 1 2
1
1 1 1 1 2
1 1 1 1 2
... ...
1
... ² ... ²
2 ... ...
t t t t t t
t t t t
t t t t
Var y E y E e e e e
E e e e e
E e e e e

  

  
  
  
  
  
 
            
      
  
      