Eletrotécnica

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ELETROTÉCNICA
EAD
DIRIGENTES
EDIÇÃO: FEVEREIRO/2021
| PRESIDÊNCIA
Prof. Dr. Clèmerson Merlin Clève
| REITORIA
Profa. Dra. Lilian Pereira Ferrari 
| DIRETORIA ACADÊMICA EAD
Profa. Me. Daniela Ferreira Correa
| DIRETORIA ACADÊMICA PRESENCIAL
 Profa. Me. Márcia Maria Coelho
| DIRETORIA DE PESQUISA E EXTENSÃO
 Profa. Dra. Liya Regina Mikami
| DIRETORIA EXECUTIVA
 Profa. Esp. Silmara Marchioretto
| COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA DE GRADUAÇÃO EAD
 Prof. Me. João Marcos Roncari Mari
| COORDENAÇÃO PEDAGÓGICA DE PÓS-GRADUAÇÃO EAD
 Prof. Me. Marcus Vinícius Roncari Mari
| AUTOR
 Prof. Dr. Fernando José Gaiotto
| COORDENAÇÃO DA PRODUÇÃO DE MATERIAIS EAD
 Esp. Janaína de Sá Lorusso
| PROJETO GRÁFICO
 Esp. Janaína de Sá Lorusso 
 Esp. Cinthia Durigan
| DIAGRAMAÇÃO
 Marcelo Winck
| REVISÃO
 Esp. Ísis C. D’Angelis 
 Esp. Idamara Lobo Dias
| PRODUÇÃO AUDIOVISUAL
 Esp. Rafael de Farias Forte Canonico 
 Estúdio NEAD (Núcleo de Educação a Distância) - 
 UniBrasil
| ORGANIZAÇÃO
 NEAD (Núcleo de Educação a Distância) - 
 UniBrasil
| IMAGENS
 Shutterstock.com
FICHA TÉCNICA
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SUMÁRIO
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UNIDADE 01 - GRANDEZAS FÍSICAS E LEIS DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .........................................................07
INTRODUÇÃO ......................................................................................08
1. GRANDEZAS ELÉTRICAS ................................................................09
1.1 Corrente Elétrica ...........................................................................09
1.2 Tensão Elétrica ..............................................................................10
1.3 Resistência ...................................................................................11
1.4 Potência e Energia ........................................................................13
2. CONVENÇÃO DO SINAL DA POTÊNCIA E TIPOS DE FONTE ..............14
2.1 Conversão passiva do sinal ...........................................................14
2.2 Tipos de fontes .............................................................................14
3. NÓ, RAMO, LAÇO E MALHA...........................................................16
4. CIRCUITOS COM RESISTORES ........................................................17
4.1 O Resistor .....................................................................................17
4.2 Associação de Resistores em Série e Divisor de Tensão Elétrica .....19
4.3 Associação de Resistores em Paralelo e Divisor de Corrente Elétrica ......21
4.4 Leis de Kirchhoff ...........................................................................24
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................32
UNIDADE 02 - MÉTODOS E TEOREMAS PARA ANALISE DE CIRCUITOS CC
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .........................................................33
SUMÁRIO
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INTRODUÇÃO ......................................................................................34
1. MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS CC ......................................34
1.1 Método de Análise de Malhas ......................................................35
1.2 Método da Análise Nodal .............................................................36
1.3 Transformação Delta-Estrela .........................................................40
2. TEOREMAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CC .................................43
2.1 Teorema da Superposição .............................................................43
2.2 Teorema de Thévenin ...................................................................45
2.3 Teorema de Norton .......................................................................47
3. CAPACITORES ................................................................................51
3.1 Associação de Capacitores em Série ..............................................53
3.2 Associação de Capacitores em Paralelo .........................................54
4. INDUTORES...................................................................................55
4.1 Associação de Indutores em Série .................................................56
4.2 Associação de Indutores em Paralelo ............................................57
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................59
UNIDADE 03 - CIRCUITOS CA
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .........................................................61
INTRODUÇÃO ......................................................................................62
1. CIRCUITOS INDUTIVOS CA .............................................................62
1.1 Reatância Indutiva (XL) .................................................................62
SUMÁRIO
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2. CIRCUITOS CAPACITIVOS CA ..........................................................66
2.1 Reatância Capacitiva XC .................................................................66
3. DIAGRAMAS FASORIAIS ................................................................69
4. IMPEDÂNCIA E CIRCUITOS CA EM SÉRIE ........................................72
5. IMPEDÂNCIA E CIRCUITOS CA EM PARALELO .................................76
6. CIRCUITOS SÉRIE-PARALELO CA .....................................................81
CONSIDERAÇÕES FINAIS ....................................................................83
UNIDADE 04 - CIRCUITOS TRIFÁSICOS, NOÇÕES DE MOTORES ELÉTRI-
COS E DISPOSITIVOS DE PROTEÇÃO
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM .........................................................85
INTRODUÇÃO ......................................................................................86
1. CIRCUITOS TRIFÁSICOS ..................................................................87
1.1 Características e Componentes do Sistema Trifásico ......................87
1.2 Configuração do Gerador Trifásico ................................................89
1.3 Cálculo de Potências para Sistemas Elétricos Trifásicos Equilibrados ...95
2. MOTORES ELÉTRICOS MONOFÁSICOS ...........................................97
2.1 Constituição do Motor de Indução ................................................98
2.2 Motores de Indução Monofásicos .................................................99
3. MOTORES ELÉTRICOS TRIFÁSICOS ...............................................102
3.1 Princípio de Funcionamento dos Motores Elétricos .....................102
3.2 Ventilação dos Motores Trifásicos ...............................................103
SUMÁRIO
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3.3 Corrente de Partida e Rotações ...................................................104
4. DISPOSITIVOS DE PROTEÇÃO ......................................................106
4.1 Fusíveis e suas Aplicações ...........................................................106
4.2 Relés de Sobrecarga ....................................................................108
4.3 Disjuntores .................................................................................109
4.4 Sondas Térmicas .........................................................................110
CONSIDERAÇÕES FINAIS ..................................................................111
REFERÊNCIAS ....................................................................................113
UNIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
VÍDEOS DA UNIDADE
http://bit.ly/3aHDmYI http://bit.ly/3qLvvPA http://bit.ly/37zlxt5
01
GRANDEZAS 
FÍSICAS E LEIS 
DE CIRCUITOS 
ELÉTRICOS
 » Definir e caracterizar os elementos de um circuito elétrico, bem como, descre-
ver as grandezas elétricas destes elementos; 
 » Explicar as principais leis de circuitos elétricos, leis de Ohm, lei de Watt e leis 
de Kirchhoff;
 » Equacionar e propor soluções para circuitos elétricosde primeira ordem, por 
meio dos métodos algébricos e matriciais. 
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IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
 Desde a descoberta da eletricidade até os dias atuais, inúmeros projetos, trabalhos e 
experimentos foram realizados e testados nas mais variadas formas, afim de que a energia 
elétrica pudesse realizar ou até mesmo facilitar as tarefas do nosso cotidiano. Sua utilização 
maciça nas últimas décadas faz de nós, seres humanos, totalmente dependentes deste bem. 
Destaque para o setor industrial, que é o que mais consome energia no Brasil atualmente. 
Mas os consumidores domésticos também não ficam atrás, nós somos muito dependentes da 
energia elétrica, que alimenta nossas casas, eletrodomésticos e eletroeletrônicos, como por 
exemplo, a geladeira, chuveiros elétricos, máquina de lavar roupas, o carregador de baterias 
para nossos smartphones, computadores, monitores etc. Você conseguiria imaginar sua vida 
sem energia elétrica? Todos estes exemplos citados, por mais simples que possam ser, 
necessitam de um circuito elétrico e/ou de um projeto, para funcionarem, portanto, a 
compreensão do seu funcionamento será objeto principal desse nosso estudo. 
Nesta Unidade I, você irá conhecer as grandezas elétricas fundamentais de um circuito 
elétrico, a convenção utilizada na análise, os tipos de elementos e as leis de circuitos 
elétricos: a Lei de Ohm e as Leis de Kirchhoff. A saber, quando a Lei de Ohm não é suficiente 
para resolvermos circuitos elétricos mais complexos, utilizaremos esta em conjunto com as 
Leis de Kirchhoff. 
Por fim, a Unidade I, irá lhe apresentar as diferentes associações de resistores (em 
série, em paralelo e mista), os conceitos sobre divisor de tensão e corrente elétrica, bem 
como, as transformações Delta-Estrela e Estrela-Delta. Esses conceitos, por sua vez, auxiliarão 
e facilitarão a análise e o entendimento de circuitos elétricos. 
 
 
 
 
 
 
 
INTRODUÇÃO
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11 GGRRAANNDDEEZZAASS EELLÉÉTTRRIICCAASS 
 
 As principais grandezas elétricas a serem estudadas em eletrotécnica são: a corrente, 
a tensão, a resistência, a potência e a energia elétrica. Estas grandezas mencionadas fazem 
parte de um eixo temático denominado eletrodinâmica, isto é, o estudo das cargas elétricas 
em movimento. Para você indicar a unidade de medida de cada uma delas é preciso conhecer 
e identificar as partes essenciais de um circuito e estabelecer a função de cada uma delas. 
Você vai conhecer e explorar a relação entre corrente, tensão e resistência e entender a 
diferença entre o fluxo de elétrons (corrente real) e o fluxo de corrente convencional, para 
fazer medições de corrente, tensão e resistência elétrica. 
11..11 CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaa 
 
Para começarmos a entender sobre o significado da grandeza corrente elétrica você 
precisa entender o que é um circuito elétrico, pois será por meio dele que estudaremos a 
corrente elétrica. O circuito elétrico é uma interconexão de elementos elétricos de forma a 
desempenhar uma determinada tarefa. 
Para aplicações de energia elétrica, podemos definir a corrente elétrica como sendo o 
fluxo ordenado de elétrons em um determinado condutor ou circuito elétrico. O fluxo 
ordenado de elétrons nada mais é do que cargas energizadas se deslocando devido uma 
diferença de potencial elétrico, sendo a carga uma propriedade elétrica das partículas 
atômicas que compõem a matéria, medida em Coulomb (C). Então, podemos dizer que a 
corrente elétrica é a taxa de variação da carga elétrica (𝑑𝑑𝑑𝑑) em relação ao tempo (𝑑𝑑𝑑𝑑) e pode 
ser expressa matematicamente pela Equação 1. 
𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 (1) 
Em que a corrente elétrica (𝑖𝑖) é medida em Ampères (A), ou seja, 
1 𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴è𝑟𝑟𝑟𝑟 = 1 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐴𝐴𝐶𝐶𝑠𝑠𝑟𝑟𝑠𝑠𝐶𝐶𝑠𝑠𝑑𝑑𝐶𝐶 
Recebe esse nome em homenagem ao matemático e físico francês André-Marie Ampère 
(1775-1836). 
 A carga transferida entre o instante 𝑑𝑑0 e o instante 𝑑𝑑 é obtida integrando ambos os 
lados da Equação 1. A equação para a carga é matematicamente expressa pela Equação 2. 
𝑑𝑑 = ∫ 𝑖𝑖 . 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑0 (2) 
1. GRANDEZAS ELÉTRICAS
1.1 CORRENTE ELÉTRICA
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 Se a corrente permanecer constante é dita como corrente contínua (CC) e usaremos a 
notação (𝐼𝐼). E se a corrente variar com o tempo, é dita corrente alternada (CA), notação (𝑖𝑖). 
Esta última por sua vez pode assumir várias formas de ondas, porém a mais comum é a 
corrente elétrica na forma senoidal, utilizada nas linhas de transmissão de energia elétrica. 
Veja na Figura 1 a representação gráfica de corrente CC e CA em função do tempo 𝑡𝑡. 
 
(a) (b) 
Fonte: Adaptada de Sadiku et al. (2014). 
11..22 TTeennssããoo EEllééttrriiccaa 
 
Ao definirmos corrente elétrica como sendo o fluxo ordenado de elétrons, 
mencionamos o termo diferença de potencial (ddp), isso porque, para que ocorra esse 
deslocamento de elétrons é necessária uma transferência de energia ou trabalho. Esse 
trabalho, por sua vez, é realizado pela força eletromotriz (f.e.m), que também é conhecida 
como diferença de potencial elétrico ou simplesmente tensão elétrica. Então, podemos dizer 
que a tensão elétrica é a energia necessária para deslocar uma carga unitária através de um 
elemento, medida em volts (V), em homenagem ao físico italiano Alessandro Antonio Volta 
(1745-1827). 
A tensão elétrica (𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎) entre dois pontos 𝑎𝑎 e 𝑏𝑏 em um mesmo circuito elétrico é o 
trabalho (𝑤𝑤) necessário para deslocar uma carga (𝑞𝑞) do ponto 𝑎𝑎 para o ponto 𝑏𝑏. 
Matematicamente a tensão elétrica pode ser calculada pela Equação 3. 
𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎 = 
𝑑𝑑𝑑𝑑
𝑑𝑑𝑑𝑑 (3) 
Temos que 𝑉𝑉 é a tensão elétrica entre dois pontos de um circuito em volts (V), 𝑤𝑤 é a 
energia ou trabalho em Joules (J) e 𝑞𝑞 é a carga unitária em Coulomb (C). 
1 𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑉𝑡𝑡 = 1 𝐽𝐽𝑉𝑉𝐽𝐽𝑉𝑉𝐽𝐽𝐶𝐶𝑉𝑉𝐽𝐽𝑉𝑉𝑉𝑉𝐶𝐶𝑏𝑏 = 1 
𝑁𝑁𝐽𝐽𝑤𝑤𝑡𝑡𝑉𝑉𝑁𝑁. 𝐶𝐶𝐽𝐽𝑡𝑡𝑚𝑚𝑉𝑉
𝐶𝐶𝑉𝑉𝐽𝐽𝑉𝑉𝑉𝑉𝐶𝐶𝑏𝑏 
 
1.2 TENSÃO ELÉTRICA
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A Figura 2, ilustra um elemento de circuito e a tensão elétrica entre os pontos a e b. 
 
 
Fonte: O autor (2020). 
11..33 RReessiissttêênncciiaa 
 
Ao manter aplicado uma tensão elétrica ou diferença de potencial (ddp) entre dois 
pontos de um condutor, estabelece-se uma corrente elétrica entre estes dois pontos, 
conforme ilustrado na Figura 3. 
 
Fonte: O autor (2020). 
Por definição, a resistência elétrica (𝑅𝑅) entre dois pontos de um material qualquer é a 
razão entre a tensão elétrica (𝑉𝑉) e a intensidade da corrente (𝑖𝑖). Esta relação é conhecida 
como Primeira Lei de Ohm, matematicamente expressa pela Equação 4. 
𝑅𝑅 = 𝑉𝑉𝑖𝑖 (4) 
A resistência elétrica está associada basicamente a dois fatores: mobilidade dos 
portadores de cargas livres e a quantidade de portadores de carga livres que o condutor 
dispõe. Sua unidade de medida é dada em ohm (Ω), em homenagem ao físico germânico 
Georg Simon Ohm (1787-1854). A representação de um resistor é ilustrada na Figura 4. 
1Ω = 1𝑉𝑉1𝐴𝐴 
 
Fonte: O autor (2020). 
1.3 RESISTÊNCIA
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 A Segunda Lei de Ohm, nos permite calcular a resistência de um condutor em função 
de suas características: 
 PPrroopprriieeddaaddee ddoo mmaatteerriiaall – cada material condutor possui uma quantidade de 
portadores de carga; 
 ÁÁrreeaa sseeççããoo ttrraannssvveerrssaall – quanto maior a área 𝐴𝐴, mais fácil será para os elétrons 
fluírem, portanto, a sua resistência é inversamente proporcional à área do condutor; 
 CCoommpprriimmeennttoo – quanto maior for o comprimento𝑙𝑙, maior será a resistência, 
mantendo as outras características fixas; 
 TTeemmppeerraattuurraa – para os metais, à medida que a temperatura aumenta, a resistência 
aumenta, devido às colisões por agitação térmica. 
Assim, dado um condutor homogêneo, de comprimento 𝑙𝑙 e área de seção transversal 
𝐴𝐴 (Figura 5), a resistência elétrica 𝑅𝑅 entre seus extremos é expressa pela Equação 5. 
𝑅𝑅 = 𝜌𝜌. 𝑙𝑙𝐴𝐴 (5) 
𝑙𝑙
𝐴𝐴
 
Fonte: O autor (2020). 
 Na Equação (5), 𝜌𝜌 representa uma característica de cada material, chamada de 
resistividade elétrica, que nada mais é que o inverso da condutividade elétrica (𝜎𝜎). Os valores 
de resistividade e condutividade elétrica para a temperatura ambiente podem ser facilmente 
encontrados em livros de eletromagnetismo ou circuitos elétricos. 
 
LLEEIITTUURRAA 
Através desta leitura você terá acesso à tabela de Resistividade de materiais comuns à temperatura 
ambiente (20°C). Além disso, a tabela também mostra que os materiais podem ser classificados em 
três grupos de acordo com o seu uso: condutor, isolante e semicondutor. 
Esta tabela e outras informações sobre a Resistência dos materiais mais comuns você encontrará no 
livro de “Análise de circuitos elétricos com aplicações” de Sadiku et al. (2014), capítulo 2, página 23, 
disponível na Minha Biblioteca do Unibrasil. 
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. AAnnáálliissee ddee cciirrccuuiittooss eellééttrriiccooss ccoomm aapplliiccaaççõõeess. Porto 
Alegre: AMGH, 2014. 
Através desta leitura você terá acesso à tabela de Resistividade de materiais comuns à temperatu-
ra ambiente (20°C). Além disso, a tabela também mostra que os materiais podem ser classificados 
em três grupos de acordo com o seu uso: condutor, isolante e semicondutor. 
Esta tabela e outras informações sobre a Resistência dos materiais mais comuns você encontrará 
no livro de “Análise de circuitos elétricos com aplicações” de Sadiku et al. (2014), capítulo 2, pági-
na 23, disponível na Minha Biblioteca do Unibrasil. 
SADIKU, M. N. O.; MUSA, S. M.; ALEXANDER, C. K. Análise de circuitos elétricos com aplicações. 
Porto Alegre: AMGH, 2014.
LEITURA
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11..44 PPoottêênncciiaa ee EEnneerrggiiaa 
Segundo Sadiku et al. (2014) a energia é a habilidade para fazer trabalho, ao mesmo 
tempo em que potência é a taxa de gasto de energia. A razão entre o trabalho (𝑤𝑤) e o tempo 
(𝑡𝑡) é a potência 𝑃𝑃, ver Equação 6. 
𝑃𝑃 = 𝑤𝑤𝑡𝑡 (6) 
A potência é medida em watts, em homenagem ao matemático e engenheiro James 
Watt (1736-1819) e energia é medida em joules, em homenagem ao físico britânico James 
Prescott Joule (1818-1889), ou ainda em watts-segundos (W.s). Porém, no caso da energia 
elétrica consumida das concessionárias de energia usa-se watt-hora (Wh) ou quilowatt-hora 
(kWh), por se tratar de uma grande quantidade de energia envolvida, caso queira saber o 
valor consumido em joule, basta usar a relação: 1 Wh = 3600 J. 
Em circuitos elétricos a potência é dada em termos da corrente elétrica (𝑖𝑖) e da 
tensão elétrica (𝑉𝑉), e a Equação (6) pode ser reescrita como a Equação 7. 
𝑃𝑃 = 𝑤𝑤𝑡𝑡 = 
𝑤𝑤.𝑞𝑞
𝑞𝑞.𝑡𝑡 = 𝑉𝑉. 𝑖𝑖 
Ou: 
𝑃𝑃 = 𝑉𝑉. 𝑖𝑖 (7) 
Ao introduzir a lei de Ohm (𝑉𝑉 = 𝑅𝑅. 𝑖𝑖) na Equação (7), podemos escrevê-la e função da 
corrente e resistência elétrica, ver Equação 8. 
𝑃𝑃 = 𝑉𝑉. 𝑖𝑖 = (𝑅𝑅. 𝑖𝑖). 𝑖𝑖 = 𝑅𝑅. 𝑖𝑖2 
Ou: 
𝑃𝑃 = 𝑅𝑅. 𝑖𝑖2 (8) 
Ou ainda, com relação à tensão e a resistência elétrica, como na Equação 9. 
𝑃𝑃 = 𝑉𝑉. 𝑖𝑖 = 𝑉𝑉. (𝑉𝑉𝑅𝑅) 
Ou: 
𝑃𝑃 = 𝑉𝑉
2
𝑅𝑅 (9) 
 As três Equações (7), (8) e (9), para determinar a potência dissipada em um resistor ou 
elemento de um dado circuito, são expressões equivalentes e são conhecidas como lei de 
Watt. 
 
1.4 POTÊNCIA E ENERGIA
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22 CCOONNVVEENNÇÇÃÃOO DDOO SSIINNAALL DDAA PPOOTTÊÊNNCCIIAA EE TTIIPPOOSS DDEE FFOONNTTEE 
 
22..11 CCoonnvveerrssããoo ppaassssiivvaa ddoo ssiinnaall 
 Após conhecer os sinais das cargas elétricas e seu comportamento na eletricidade foi 
possível ampliar as discussões sobre o sentido da corrente elétrica. Foram estabelecidos que, 
o sentido convencional da corrente elétrica é tomado do terminal positivo (+) para o negativo 
(-). Porém, anos depois, ao se descobrir que são os elétrons que se deslocam, foi definido o 
sentido real da corrente elétrica, isto é, do terminal negativo (-) para o positivo (+). Uma vez 
já entendido estas duas definições estabelecidas, iremos usar o sentido convencional, 
também chamada de convenção passiva do sinal. 
 A convenção passiva do sinal é estabelecer que o elemento de circuito está 
absorvendo potência toda vez que a corrente elétrica estiver percorrendo-o no sentido (+) 
para o (-) e que o elemento está liberando ou fornecendo potência toda vez que a corrente 
elétrica estiver percorrendo-o no sentido (-) para o (+). A Figura 6 ilustra cada uma das 
situações descritas. 
A compreensão desta convenção é muito importante para análise de circuitos 
elétricos. Os elementos de um circuito que dissipam ou absorvem energia são chamados de 
passivos (resistores, capacitores e indutores) e os elementos que fornecem ou geram energia 
são chamados de ativos (fontes de tensão e fontes de correntes). 
 
(a) absorvendo potência; (b) fornecendo potência. 
Fonte: O autor (2020). 
22..22 TTiippooss ddee ffoonntteess 
As fontes de tensão e corrente elétrica podem ser divididas em dois tipos: 
independentes e dependentes. Por hora, é importante vocês conhecerem a definição de cada 
uma delas e a sua simbologia. Mais adiante iremos falar mais sobre elas e até mesmo resolver 
exemplos e exercícios. 
2. CONVENÇÃO DO SINAL DA POTÊNCIA 
E TIPOS DE FONTE
2.1 CONVERSÃO PASSIVA DO SINAL
2.2 TIPOS DE FONTES
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As fontes independentes ideais são elementos ativos, isto é, fornece tensão elétrica se 
for uma fonte tensão ou corrente elétrica se for uma fonte de corrente elétrica, em seus 
terminais de saída, independentemente de outras variáveis ou elementos do circuito. A Figura 
7, ilustra a simbologia utilizada para a fonte de tensão e corrente elétrica independentes. 
 
(a) tensão; e (b) corrente elétrica independente. 
Fonte: O autor (2020). 
A fontes de dependentes ideais são elementos ativos também, que fornecem tensão 
ou corrente elétrica em seus terminais de saída, sendo controlada por outra tensão ou 
corrente elétrica presentes no circuito. A Figura 8, ilustra a simbologia utilizada para fontes de 
tensão e corrente elétrica dependentes. 
 
(a) tensão; e (b) corrente elétrica dependente. 
Fonte: O autor (2020). 
Estas fontes de dependentes de tensão e corrente podem ser subdivididas em dois 
tipos: 
 Fonte de Tensão Controlada por Corrente (FTCC); 
 Fonte de Tensão Controlada por Tensão (FTCT); 
 Fonte de Corrente Controlada por Corrente (FCCC); 
 Fonte de Corrente Controlada por Tensão (FCCT). 
Veremos essas fontes aplicadas em exemplos e exercícios ao longo do nosso estudo. 
 
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33 NNÓÓ,, RRAAMMOO,, LLAAÇÇOO EE MMAALLHHAA 
 
Até o momento já lhe foi apresentado muitos elementos de circuitos elétricos, cabe 
agora saber como eles são conectados entre si no circuito. A topologia adotada em circuitos 
apresenta as diversas formas de interconexão dos dispositivos, que por sua vez formam 
configurações geométricas que facilitam o estudo e a análise dos circuitos, que são 
denominados: nó, ramo, laço e malha. 
Um ramo é qualquer elemento com dois terminais ligados ao circuito, como por 
exemplo, uma fonte, um resistor ou um capacitor. 
O nó é um ponto de conexão entredois ou mais ramos e usualmente é indicado por 
um ponto no circuito. 
O laço é definido como qualquer caminho fechado em um circuito, isto é, o caminho 
de um laço se inicia em um nó, passando por diversos outros nós do circuito, porém sempre 
retornando ao nó de início. 
Por fim, chegamos ao conceito de malha, uma malha é qualquer laço que não contém 
outro laço dentro dele. 
A Figura 9 ilustra um circuito elétrico de corrente contínua, com cinco ramos, isto é, o 
ramo que contém a bateria e mais quatro ramos que contém os resistores. São também 
indicados, três nós, a, b e c. Note que no nó b e c que estão circulados, apresentam um ponto 
de curto-circuito, ou seja, um fio condutor conecta dois nós ou mais nós, que por sua vez 
resulta em um único nó. Com relação aos laços, temos um laço no caminho fechado abca 
contendo o resistor de 2 Ω e outro laço, no caminho fechado bcb contendo os resistores de 3 
Ω e 1 Ω. Por fim, as malhas, estas podem ser três neste circuito, porém, destacamos em 
vermelho apenas uma para exemplificar. Observe que o trajeto destacado em azul não pode 
ser considerado uma malha por definição, pois temos laços dentro deste tracejado 
retangular. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
3. NÓ, RAMO, LAÇO E MALHA
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44 CCIIRRCCUUIITTOOSS CCOOMM RREESSIISSTTOORREESS 
 
44..11 OO RReessiissttoorr 
Um resistor pode ser definido como sendo um dispositivo eletrônico que tem duas 
funções básicas: hora transforma energia elétrica em energia térmica (efeito joule), hora 
limita a quantidade de corrente elétrica em um circuito, ou seja, oferece resistência à 
passagem de elétrons. Os resistores são fabricados basicamente de carbono, podendo 
apresentar resistência fixa ou variável. Quando os resistores apresentam resistência variável 
passam a ser chamados de potenciômetros ou reostatos. 
Os resistores são encontrados em diversos aparelhos eletrônicos como, por exemplo, 
smartphones, tablets, televisores, rádios e amplificadores. 
Observa-se pela Figura 10, que os resistores de carbono exibem no seu corpo faixas de 
determinadas cores. Na realidade, essas faixas de cores correspondem a uma convenção, 
conhecida internacionalmente como Código de Cores, no qual cada cor representa um 
número de 1 a 10. No final, a composição de cores das faixas existentes no corpo de um 
resistor representa o valor da resistência, em Ohm. 
 
Fonte: O autor (2020). 
Na maioria das vezes, as especificações de um dado resistor comercial são divididas 
em quatro faixas coloridas que obedecem a um código de cores: 
 A primeira faixa representa o primeiro algarismo do valor global da sua resistência; 
 A segunda faixa representa o segundo algarismo do valor global da sua resistência; 
 A terceira faixa representa o fator de multiplicação, ou seja, corresponde ao valor da 
potência (n) de base 10 a ser multiplicada pelos dois primeiros algarismos (X e Y): 
Assim fica: XXYY..1100nn.. 
OObbss. 1:: A terceira faixa pode ser ainda entendida como sendo o nº de zeros a direita 
do valor global (1ª e 2ª faixa) a acrescentar ou também como multiplicador (n). 
 Por fim, a quarta faixa representa a incerteza (%) no valor global da sua resistência. 
4. CIRCUITOS COM RESISTORES
4.1 O RESISTOR
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 Segue a Tabela 1 que representa o código de cores para identificação dos resistores 
comerciais. 
CCoorr 11ªª FFaaiixxaa 22ªª FFaaiixxaa MMuullttiipplliiccaaddoorr TToolleerrâânncciiaa 
PPrreettoo 00 00 00 
MMaarrrroomm 11 11 11 ±± 11%% 
VVeerrmmeellhhoo 22 22 22 ±± 22%% 
AAllaarraannjjaaddoo 33 33 33 
AAmmaarreelloo 44 44 44 
VVeerrddee 55 55 55 ±± 00,,55%% 
AAzzuull 66 66 66 ±± 00,,2255%% 
VViioolleettaa 77 77 77 ±± 00,,11%% 
CCiinnzzaa 88 88 88 ±± 00,,0055%% 
BBrraannccoo 99 99 99 
DDoouurraaddoo xx 00,,11 ±± 55%% 
PPrraattaa xx 00,,0011 ±± 1100%% 
Fonte: O autor (2020). 
OObbss.. 22: Podemos ainda ter resistores com maior número de faixas (5 faixas e até 6 
faixas), porém com menos frequência. Quando contém 5 faixas, as três primeiras 
representam o número inteiro, a quarta é a potência de 10 e a quinta faixa é a tolerância. No 
caso de resistores com 6 faixas, as três primeiras representam o número inteiro, a quarta é a 
potência de 10, a quinta é a tolerância e a sexta faixa indica o coeficiente de temperatura em 
ppm/ºC. Resistores sem a faixa de tolerância possuem 20% de tolerância. 
 
SSAAIIBBAA MMAAIISS:: 
Para saber mais sobre os tipos de resistores e visualizar os códigos de cores de resistores 
com mais detalhes, utilize o leitor de código do seu smartphone e faça a leitura do QR Code, 
que aparece a seguir. 
 
Fonte: Souza e Rodrigues (2017). 
 
Para saber mais sobre os tipos de resistores 
e visualizar os códigos de cores de resistores 
com mais detalhes, utilize o leitor de código 
do seu smartphone e faça a leitura do QR 
Code, que aparece a seguir.
Fonte: Souza e Rodrigues (2017).
SAIBA MAIS
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EExxeemmpplloo:: Considere um resistor de carbono com quatro cores conforme ilustrado na 
Figura 10 e utilizando a Tabela 1, dê o valor nominal deste resistor. 
SSoolluuççããoo:: 
1ª Faixa: Vermelho 2 → 2 
2ª Faixa: Alaranjado 3 → 3 
3ª Faixa: Marrom: 1 → 0 
R = 230 Ω 
4ª Faixa: Prata 10% → ± 23 Ω 
∴ RR == ((223300 ±± 2233)) ΩΩ 
Como nem sempre encontramos resistores comerciais com os valores adequados aos 
projetos de circuitos elétricos, uma saída é a associação de resistores, que pode ocorrer em 
série, em paralelo ou até mesmo em uma mistura das duas associações. Você verá na 
sequência um pouco mais sobre cada uma delas. 
 
44..22 AAssssoocciiaaççããoo ddee RReessiissttoorreess eemm SSéérriiee ee DDiivviissoorr ddee TTeennssããoo EEllééttrriiccaa 
Um circuito em série (Figura 11) possui algumas características importantes. A 
primeira está no comportamento da corrente elétrica, que é constante em todos os resistores 
do circuito, ou seja, a corrente que circula em cada resistor no circuito em série é igual à 
corrente total deste circuito elétrico, para um número 𝑛𝑛 de resistores em série, conforme a 
Equação 10 apresenta. 
 
 
Fonte: O autor (2020). 
 
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3 = ⋯ = 𝐼𝐼𝑛𝑛 (10) 
 
4.2 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM SÉRIE E DIVISOR DE 
TENSÃO ELÉTRICA
EExxeemmpplloo:: Considere um resistor de carbono com quatro cores conforme ilustrado na 
Figura 10 e utilizando a Tabela 1, dê o valor nominal deste resistor. 
SSoolluuççããoo:: 
1ª Faixa: Vermelho 2 → 2 
2ª Faixa: Alaranjado 3 → 3 
3ª Faixa: Marrom: 1 → 0 
R = 230 Ω 
4ª Faixa: Prata 10% → ± 23 Ω 
∴ RR == ((223300 ±± 2233)) ΩΩ 
Como nem sempre encontramos resistores comerciais com os valores adequados aos 
projetos de circuitos elétricos, uma saída é a associação de resistores, que pode ocorrer em 
série, em paralelo ou até mesmo em uma mistura das duas associações. Você verá na 
sequência um pouco mais sobre cada uma delas. 
 
44..22 AAssssoocciiaaççããoo ddee RReessiissttoorreess eemm SSéérriiee ee DDiivviissoorr ddee TTeennssããoo EEllééttrriiccaa 
Um circuito em série (Figura 11) possui algumas características importantes. A 
primeira está no comportamento da corrente elétrica, que é constante em todos os resistores 
do circuito, ou seja, a corrente que circula em cada resistor no circuito em série é igual à 
corrente total deste circuito elétrico, para um número 𝑛𝑛 de resistores em série, conforme a 
Equação 10 apresenta. 
 
 
Fonte: O autor (2020). 
 
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3 = ⋯ = 𝐼𝐼𝑛𝑛 (10) 
 
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A segunda característica, é que a tensãosobre cada resistor do circuito é a tensão da 
fonte dividida proporcionalmente, de acordo com a resistência de cada resistor, em outras 
palavras, a soma das tensões em cada resistor do circuito em série é igual a tensão da fonte, 
para um número 𝑛𝑛 de resistores em série, veja a Equação 11. 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 + 𝑉𝑉3 + ⋯ + 𝑉𝑉𝑛𝑛 (11) 
A resistência total ou equivalente (𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒) de um circuito em série pode ser calcula pela 
Equação 12. 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = ∑ 𝑅𝑅𝑖𝑖
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1
 
Ou: 
𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑒𝑒 = 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + ⋯ + 𝑅𝑅𝑛𝑛 (12) 
Pela lei de Ohm, a corrente elétrica total poderá ser calcula pela Equação (13). 
𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 (13) 
EExxeemmpplloo 33:: Dado o circuito em série da Figura 12, determine a resistência equivalente 
(𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑒𝑒), a corrente elétrica total (𝐼𝐼) e a tensão e a corrente elétrica em cada resistor. 
 
Fonte: O autor (2020). 
SSoolluuççããoo:: 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2 + 𝑅𝑅3 + 𝑅𝑅4 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 5 + 2 + 1 + 4 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 12 Ω 
Pela lei de Ohm, temos: 
𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= 2412 = 2 𝐴𝐴 
Como se trata de um circuito com quatro resistores ligados em série a corrente elétrica é 
constante, logo 𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 = 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3 = 𝐼𝐼4 = 2 𝐴𝐴 . 
 
Para calcular a tensão em cara resistor fica: 
V
24V 
R1
5Ω
R2
2Ω
R3
1Ω
R4
4Ω
V
24V 
Req
12Ω
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𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑥𝑥. 𝐼𝐼 
𝑉𝑉1 = 𝑅𝑅1. 𝐼𝐼 = 5.2 = 10 𝑉𝑉 
𝑉𝑉2 = 𝑅𝑅2. 𝐼𝐼 = 2.2 = 4 𝑉𝑉 
𝑉𝑉3 = 𝑅𝑅3. 𝐼𝐼 = 1.2 = 2 𝑉𝑉 
𝑉𝑉4 = 𝑅𝑅4. 𝐼𝐼 = 4.2 = 8 𝑉𝑉 
 
 Como foi dito anteriormente, a intensidade da tensão da fonte em um circuito em 
série se divide em cada resistor do circuito, podemos considerar que este tipo de circuito 
pode ser denominado um divisor de tensão. Dado um circuito genérico com dois resistores 
𝑅𝑅1 em série com 𝑅𝑅2, podemos determinar a tensão elétrica em qualquer um dos resistores, 
de uma forma um pouco mais direta, veja a Equação 14, em que x representa o resistor em 
análise. 
𝑉𝑉𝑥𝑥 = 
𝑅𝑅𝑥𝑥
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 (14) 
Dessa forma parte do Exemplo 3 pode ser resolvido aplicando a Equação 14, para se 
determinar a tensão nos resistores, sem que necessariamente saibamos o valor da corrente 
elétrica total. 
Quando se pede, para determinar a tensão elétrica sobre cada resistor podemos fazer 
o uso da equação do divisor de tensão: 
𝑉𝑉1 = 
𝑅𝑅1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 512 . 24 = 10 𝑉𝑉 
𝑉𝑉2 = 
𝑅𝑅2
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 212 . 24 = 4 𝑉𝑉 
𝑉𝑉3 = 
𝑅𝑅3
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 112 . 24 = 2 𝑉𝑉 
𝑉𝑉4 = 
𝑅𝑅4
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 412 . 24 = 8 𝑉𝑉 
Note, que as resposta que encontramos é igual aos valores calculados anteriormente 
pela lei de Ohm. 
 
44..33 AAssssoocciiaaççããoo ddee RReessiissttoorreess eemm PPaarraalleelloo ee DDiivviissoorr ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaa 
Para uma associação em paralelo (Figura 13), temos uma sequência de resistores 
ligados em pontos em comuns, ou seja, o que faz com que a tensão da fonte (𝑉𝑉) seja 
4.3 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES EM PARALELO E DIVISOR DE 
CORRENTE ELÉTRICA
𝑉𝑉𝑥𝑥 = 𝑅𝑅𝑥𝑥. 𝐼𝐼 
𝑉𝑉1 = 𝑅𝑅1. 𝐼𝐼 = 5.2 = 10 𝑉𝑉 
𝑉𝑉2 = 𝑅𝑅2. 𝐼𝐼 = 2.2 = 4 𝑉𝑉 
𝑉𝑉3 = 𝑅𝑅3. 𝐼𝐼 = 1.2 = 2 𝑉𝑉 
𝑉𝑉4 = 𝑅𝑅4. 𝐼𝐼 = 4.2 = 8 𝑉𝑉 
 
 Como foi dito anteriormente, a intensidade da tensão da fonte em um circuito em 
série se divide em cada resistor do circuito, podemos considerar que este tipo de circuito 
pode ser denominado um divisor de tensão. Dado um circuito genérico com dois resistores 
𝑅𝑅1 em série com 𝑅𝑅2, podemos determinar a tensão elétrica em qualquer um dos resistores, 
de uma forma um pouco mais direta, veja a Equação 14, em que x representa o resistor em 
análise. 
𝑉𝑉𝑥𝑥 = 
𝑅𝑅𝑥𝑥
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 (14) 
Dessa forma parte do Exemplo 3 pode ser resolvido aplicando a Equação 14, para se 
determinar a tensão nos resistores, sem que necessariamente saibamos o valor da corrente 
elétrica total. 
Quando se pede, para determinar a tensão elétrica sobre cada resistor podemos fazer 
o uso da equação do divisor de tensão: 
𝑉𝑉1 = 
𝑅𝑅1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 512 . 24 = 10 𝑉𝑉 
𝑉𝑉2 = 
𝑅𝑅2
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 212 . 24 = 4 𝑉𝑉 
𝑉𝑉3 = 
𝑅𝑅3
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 112 . 24 = 2 𝑉𝑉 
𝑉𝑉4 = 
𝑅𝑅4
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
 . 𝑉𝑉 = 412 . 24 = 8 𝑉𝑉 
Note, que as resposta que encontramos é igual aos valores calculados anteriormente 
pela lei de Ohm. 
 
44..33 AAssssoocciiaaççããoo ddee RReessiissttoorreess eemm PPaarraalleelloo ee DDiivviissoorr ddee CCoorrrreennttee EEllééttrriiccaa 
Para uma associação em paralelo (Figura 13), temos uma sequência de resistores 
ligados em pontos em comuns, ou seja, o que faz com que a tensão da fonte (𝑉𝑉) seja 
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constante para todos os resistores em paralelo, para um número 𝑛𝑛 de resistores em paralelo, 
conforme a Equação 15 apresenta. 
 
Fonte: O autor (2020). 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 = 𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉3 = ⋯ = 𝑉𝑉𝑛𝑛 (15) 
Já a corrente elétrica que circulará por cada resistor será dividida proporcionalmente 
de acordo com a resistência de cada um, em outras palavras, a soma das correntes em cada 
resistor no circuito em paralelo é igual à corrente total fornecida pela fonte, para um número 
𝑛𝑛 de resistores em paralelo, veja a Equação 16. 
𝐼𝐼 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 + 𝐼𝐼3 + ⋯ + 𝐼𝐼𝑛𝑛 (16) 
A resistência total ou equivalente (𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒) de um circuito em paralelo pode ser calcula 
pela Equação 17. 
1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= ∑ 1𝑅𝑅
𝑛𝑛
𝑖𝑖=1 𝑖𝑖
 
Ou: 
1
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= 1𝑅𝑅1 + 
1
𝑅𝑅2
+ 1𝑅𝑅3 + ⋯ + 
1
𝑅𝑅𝑛𝑛
 (17) 
Para um circuito ou parte do mesmo, contendo dois resistores em paralelo, a Equação 
18 poderá ser utilizada para se determinar a resistência equivalente entre eles. 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 
𝑅𝑅1 .𝑅𝑅2
𝑅𝑅1+𝑅𝑅2
 (18) 
Caso haja 𝑛𝑛 resistores iguais ligados em paralelo podemos utilizar a Equação 19. 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 
𝑅𝑅
𝑛𝑛 (19) 
A corrente elétrica total no circuito em paralelo poderá ser determinada pela mesma 
Equação 13 já apresentada anteriormente. 
OObbss..: Com uma associação de resistores em série é possível obter uma resistência 
equivalente maior que o maior valor de resistor do circuito, enquanto que uma associação em 
paralelo resulta em um efeito oposto, diminuindo a resistência equivalente, isto é, a 
resistência equivalente sempre será menor do que a menor resistência do circuito. 
R1 R2 R3V
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EExxeemmpplloo 44:: Dado o circuito em paralelo da Figura 14, determine a resistência 
equivalente (𝑅𝑅𝑒𝑒 𝑞𝑞), a corrente elétrica total (𝐼𝐼) e a tensão e a corrente elétrica em cada 
resistor. 
 
Fonte: O autor (2020). 
SSoolluuççããoo:: 
Como 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅3 podemos utilizar a Equação 19 para determinar a resistência equivalente 
entre eles, denominada 𝑅𝑅23 
𝑅𝑅23 = 
𝑅𝑅
𝑛𝑛 =
2
2 = 1 Ω 
E agora, por se tratar de somente dois resistores em paralelo (//) iremos utilizar a 
Equação 18: 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑞𝑞 = 
𝑅𝑅1 . 𝑅𝑅23
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅23
= 3 . 13 + 1 =
3
4 = 0,75 Ω 
Como se trata de um circuito com três resistores ligados em paralelo à tensão elétrica 
é constante, logo 𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 = 𝑉𝑉2 = 𝑉𝑉3 = 12 𝑉𝑉. 
Para calcular a corrente elétrica total e em cada resistor com a lei de Ohm, fica: 
𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑒𝑒𝑞𝑞
= 120,75 = 16 𝐴𝐴 
𝐼𝐼1 = 
𝑉𝑉1
𝑅𝑅1
= 123 = 4 𝐴𝐴 
𝐼𝐼2 = 
𝑉𝑉2
𝑅𝑅2
= 122 = 6 𝐴𝐴 
𝐼𝐼3 = 
𝑉𝑉1
𝑅𝑅1
= 122 = 6 𝐴𝐴 
 O circuito divisor de corrente pode ser genericamente representado por um circuito 
com dois resistores 𝑅𝑅1 em paralelo com 𝑅𝑅2, onde podemos determinar a corrente elétrica em 
V
12V 
R1
3Ω
R2
2Ω
R3
2Ω
V
12V 
R1
3Ω
R2
1Ω
V
12V 
Req
0,75U
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qualquer um dos resistores, utilizando a Equação 20, em que x representa o resistor em 
análise. 
𝐼𝐼𝑥𝑥 = 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅𝑥𝑥
. 𝐼𝐼 (20) 
Agora, parte do Exemplo 4 pode ser resolvido aplicando a Equação 20, para se 
determinar a corrente nos resistores, sem que necessariamente saibamos o valor da tensão 
elétrica sobre o resistor em análise. 
𝐼𝐼1 = 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅1
. 𝐼𝐼 = 0,753 . 16 = 4 𝐴𝐴 
𝐼𝐼2 = 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅2
. 𝐼𝐼 = 0,752 . 16 = 6 𝐴𝐴 
𝐼𝐼3 = 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
𝑅𝑅3
. 𝐼𝐼 = 0,752 . 16 = 6 𝐴𝐴 
Para finalizar este tema sobre associação de resistores, há também, uma terceira 
forma de associar os resistores ou elementos de circuitos, isto é, a associação mista, que 
segue uma mistura dos dois tipos de circuitos, parte em série e parte em paralelo. Nos ramos 
que se encontram em série são válidas as mesmas propriedades da associação em série e nos 
ramos em paralelo as mesmas propriedades válidas para o circuito em paralelo. Logo, a 
resistência total ou equivalente deste tipo de circuito será hora calcula pelas expressões do 
circuito em série e outrora pelas expressões do circuito em paralelo. 
 
44..44 LLeeiiss ddee KKiirrcchhhhooffff 
As leis de Kirchhoff são fundamentais para a resolução de problemas em circuitos 
elétricos, pois permitem determinar diretamente as correntes e tensões de um determinado 
circuito elétrico. São elas: 
 Leis dos Nós, também conhecida como Lei das Correntes de Kirchhoff (LCK); 
 Leis das Malhas, também conhecida como Lei das Tensões Kirchhoff (LTK). 
 Lei das Correntes de Kirchhoff - A soma das correntes que chegam a um nó é igual à 
soma das correntes que saem deste nó, ou ainda, a soma das correntes que entram 
no sistema ou junção, é igual à soma das correntes que saem do sistema ou junção. 
Em um nó não podem se criar ou desaparecer cargas, pois contrariaria o princípio da 
conservação das cargas. Logo, como corrente representa a taxa de variação de cargas 
no tempo é de se esperar que esta também se conserve em um nó, veja a Equação 21. 
4.4 LEIS DE KIRCHHOFF
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∑ 𝐼𝐼𝑖𝑖 = 0𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (21) 
Convenções Importante: 
Para você analisar as correntes elétricas em um nó, é preciso considerar que se a corrente 
entra no nó ela é considerada positiva (+), e se a corrente sai do nó, será negativa (–). 
EExxeemmpplloo 55:: Considere o nó de parte de um circuito, conforme ilustrado na Figura 15, 
com suas respectivas correntes elétricas entrando e saindo dele. 
 
Fonte: O autor (2020). 
SSoolluuççããoo:: 
Temos que 𝐼𝐼1 está entrando no nó e 𝐼𝐼2 e 𝐼𝐼3 está saindo do nó, logo: 
𝐼𝐼1 − 𝐼𝐼2 − 𝐼𝐼3 = 0 
60𝑠𝑠𝑠𝑠á 𝑠𝑠 
 Lei das Tensões de Kirchhoff - A soma algébrica das tensões elétricas em uma malha 
ou ramo de um circuito elétrico é igual à zero, ou seja, o que esta lei afirma é 
simplesmente que a soma das energias fornecidas e consumidas no circuito fechado é 
zero, isto é, ela corresponde ao Princípio de Conservação da energia, que é válida para 
qualquer sistema, veja a Equação 22. 
∑ 𝑉𝑉𝑖𝑖 = 0𝑛𝑛𝑖𝑖=1 (22) 
Convenções Importante: 
 Você precisa adotar um sentido para a corrente percorrer o laço: horário ou anti-
horário; 
 Se a corrente elétrica entrar no positivo (+) e sair no negativo (-), a tensão é 
considerada positiva (+V); 
 Se a corrente elétrica entrar no negativo (-) e sair no positivo (+), a tensão é 
considerada negativa (-V). 
EExxeemmpplloo 66:: Considere o circuito da Figura 16, conforme ilustrado na Figura 16, com 
suas respectivas tensões elétricas a cada resistor. 
 
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Malha 1: 
− 15 + 5𝑖𝑖1 + 10(𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2) + 10 = 0 
15𝑖𝑖1 − 10𝑖𝑖2 = 5 
Malha 2: 
6𝑖𝑖2 + 4𝑖𝑖2 + 10(𝑖𝑖2 − 𝑖𝑖1) − 10 = 0 
− 10𝑖𝑖1 + 20𝑖𝑖2 = 10 
Das malhas 1 e 2 obtivemos duas equações e duas incógnitas, reorganizando e simplificando 
fica: 
15𝑖𝑖1 − 10𝑖𝑖2 = 5 ÷ 5 
− 10𝑖𝑖1 + 20𝑖𝑖2 = 10 ÷ 10 
3𝑖𝑖1 − 2𝑖𝑖2 = 1 (I) 
− 𝑖𝑖1 + 2𝑖𝑖2 = 1 (II) 
Método 1 – Você poderá encontrar 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2 utilizando o método da substituição, isolando 𝑖𝑖1 em 
uma das equações e substituindo na outra, para determinar 𝑖𝑖2. Após encontra 𝑖𝑖2, substitua 𝑖𝑖2 
em qualquer das equações e encontre 𝑖𝑖1. Acompanhem! 
De (2) temos: 𝑖𝑖1 = 2𝑖𝑖2 − 1 e subsistindo em (I), fica: 3(2𝑖𝑖2 − 1) − 2𝑖𝑖2 = 1 
(6𝑖𝑖2 − 3) − 2𝑖𝑖2 = 1 
4𝑖𝑖2 = 4 
𝑖𝑖2 = 1 𝐴𝐴 
Por facilidade, vamos substituir esta resposta em (II) 
− 𝑖𝑖1 + 2.1 = 1
𝑖𝑖1 = 1 𝐴𝐴 
Então, podemos dizer que, 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 − 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑨𝑨 
 
Método 2 – A partir das equações de malha (I) e (II) desde problema, podemos utilizar a Regra 
de Cramer, colocando as equações de malha (I) e (II) na forma matricial. 
[ 3 −2−1 2 ] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2] = [
1
1] 
Agora obtemos os determinantes: 
𝑀𝑀 = | 3 −2−1 2 | = 6 − 2 = 4 
𝑀𝑀1 = |1 −21 2 | = 2 + 2 = 4 
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𝑀𝑀2 = | 3 1−1 1| = 3 + 1 = 4 
Então, 
𝑖𝑖1 = 
𝑀𝑀1
𝑀𝑀 = 
4
4 = 1 𝐴𝐴 
𝑖𝑖2 = 
𝑀𝑀2
𝑀𝑀 = 
4
4 = 1 𝐴𝐴 
Uma vez de posse de 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2 chegaremos na corrente de cada resistor facilmente como 
fizemos no método anterior. 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟏𝟏 𝑨𝑨 𝑰𝑰𝟑𝟑 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 − 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑨𝑨 
 
Método 3 – Esse terceiro método aponta uma possibilidade de solução muito rápida para 
estes tipos de circuitos, pois com ele não será necessário aplicar LKT para se determinar as 
equações de malha (I) e (II), isto é, vamos chegar nas equações de malhar escrita na forma 
matricial de forma direta, vejam. 
 Primeiramente faça uma correlação entre o número de malha e o tamanho da matriz, 
neste caso, 2 malhas, logo teremos uma matriz 2 x 2, e então a escreva. 
[𝑎𝑎11 𝑎𝑎21𝑎𝑎21 𝑎𝑎22] 
Faça uma substituição, onde se lê elemento da linha 1 coluna 1 (𝑎𝑎11), troque pela 
soma dos resistores da malha 1 percorridos pela corrente 𝑖𝑖1 (∑ 𝑅𝑅11), onde se lê 𝑎𝑎12, troque 
pelo negativo soma dos resistores da malha 1 percorridos pela corrente 𝑖𝑖2 (∑ 𝑅𝑅12), onde se lê 
𝑎𝑎21, troque pelo negativo soma dos resistores da malha 2 percorridos pela corrente 𝑖𝑖1 
(∑ 𝑅𝑅21), e por fim, onde se lê 𝑎𝑎22, troque pela soma dos resistores da malha 2 percorridos 
pela corrente 𝑖𝑖2 (∑ 𝑅𝑅22). Toda essa matriz principal, contendo a soma dos resistores deve ser 
multiplicada pela matriz coluna de 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2 e igualada a matriz coluna do somatório das fontes 
de tensão da malha 1 (∑ 𝑉𝑉1). e do somatório das fontes da malha 2 (∑ 𝑉𝑉2). 
 Para nosso problema em especial, o circuito do Exemplo 7, fica. 
[
∑ 𝑅𝑅11 − ∑ 𝑅𝑅12
− ∑ 𝑅𝑅21 ∑ 𝑅𝑅22
] [𝑖𝑖1𝑖𝑖2] = [
∑ 𝑉𝑉1
∑ 𝑉𝑉2
] 
 
Relembrando o circuito. 
 
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Fonte: O autor (2020). 
[5 + 10 −10−10 6 + 4 + 10] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2] = [
15 − 10
10 ] 
[ 15 −10−10 20 ] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2] = [
5
10] 
Estas são as mesmas equações de malha (I) e (II), antes de simplificar por 5 e por 10, 
respectivamente, e que depois utilizamos no método 1 e no método 2. Tão logo, podemos 
fazer o mesmo, e finalizar o exemplo como você preferir, por substituição no sistema ou por 
regra de Cramer. 
Pode parecer um pouco mais confuso lendo esta explicação, mais na prática é bem 
rápido montar sua matriz de equações de malha e terminar de resolver por regra de Cramer, 
ainda mais para circuitos de ordens maiores, como por exemplo, três malhas – três equações 
de malhas com três incógnitas. 
Você veráagora mais um Exemplo resolvido, inteiro pelo método 3. 
EExxeemmpplloo 88:: Utilize o método 3, apresentado no exemplo anterior, para análise de 
malhas e encontre as correntes 𝐼𝐼1, 𝐼𝐼2 e 𝐼𝐼0, do circuito da Figura 18. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
SSoolluuççããoo:: 
Lembre-se, três malhas, três equações, três incógnitas, isso implica em uma matriz 3 x 3. 
Mentalize a forma dessa matriz e faça a devida correlação. Escolha um sentido comum para 
as três correntes de malha 𝑖𝑖1, 𝑖𝑖2 e 𝑖𝑖3, neste caso, escolhi o sentido horário. Para montar a 
matriz com as somas dos resistores de cada malha, não se preocupe com o sinal ou sentido 
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de análise. Para montar a matriz coluna dom o somatório das fontes de tensões, utilize a 
seguinte convenção: se a corrente de malha estiver indo do negativo (-) para o positivo (+), 
considere + V; se a corrente de malha estiver indo do positivo (+) para o negativo (-), 
considere - V. Vamos ao trabalho! 
[
 
 
 
 
 ∑𝑅𝑅11 −∑ 𝑅𝑅12 −∑𝑅𝑅13
−∑𝑅𝑅21 ∑ 𝑅𝑅22 −∑𝑅𝑅23
−∑𝑅𝑅31 −∑ 𝑅𝑅32 ∑𝑅𝑅33 ]
 
 
 
 
 
[
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2
𝑖𝑖3
] = 
[
 
 
 
 
 ∑𝑉𝑉1
∑ 𝑉𝑉2
∑ 𝑉𝑉3]
 
 
 
 
 
 
[
10 + 12 −10 −12
−10 10 + 24 + 4 −4
−12 −4 12 + 4
] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2
𝑖𝑖3
] = [
24
0
−16
] 
[
22 −10 −12
−10 38 −4
−12 −4 16
] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2
𝑖𝑖3
] = [
24
0
−16
] 
Se escritas na forma de sistemas de equações teríamos: 
22𝑖𝑖1 − 10 𝑖𝑖2 − 12𝑖𝑖3 = 24 (I) 
−10𝑖𝑖1 + 38 𝑖𝑖2 − 4𝑖𝑖3 = 0 (II) 
−12𝑖𝑖1 − 4 𝑖𝑖2 − 16𝑖𝑖3 = −16 (III) 
Para facilitar nossos cálculos vamos simplificá-las e escrevê-las na forma matricial para 
darmos continuidade a solução do problema. As equações de malha (I) e (II) vamos dividi-las 
por 2 e a equação de malha (III) vamos dividi-la por 4, estas simplificações são opcionais. 
[
11 −5 −6
−5 19 −2
−3 −1 4
] [
𝑖𝑖1
𝑖𝑖2
𝑖𝑖3
] = [
12
0
−4
] 
Agora, vamos calcular os determinantes, começando pela matriz principal: 
𝑀𝑀 = |
11 −5 −6
−5
−3
19 −2
−1 4
| det𝑀𝑀 = 312 
Substitua a matriz coluna das fontes de tensão pela primeira coluna da matriz 
principal: 
𝑀𝑀1 = |
12 −5 −6
0
−4
19 −2
−1 4
| det𝑀𝑀1 = 392 
Em seguida, substitua a matriz coluna das fontes de tensão pela segunda coluna da 
matriz principal: 
𝑀𝑀2 = |
11 12 −6
−5
−3
0 −2
−4 4
| det𝑀𝑀2 = 104 
 
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Por fim, substitua a matriz coluna das fontes de tensão pela terceira coluna da matriz 
principal: 
𝑀𝑀3 = |
11 −5 12
−5
−3
19 0
−1 −4
| det 𝑀𝑀3 = 8 
Calculamos as correntes de malha utilizando a regra de Cramer, vejam: 
𝑖𝑖1 = 
𝑀𝑀1
𝑀𝑀 = 
392
312 = 1,26 𝐴𝐴 
𝑖𝑖2 = 
𝑀𝑀2
𝑀𝑀 = 
104
312 = 0,33 𝐴𝐴 
𝑖𝑖3 = 
𝑀𝑀3
𝑀𝑀 = 
8
312 = 0,026 𝐴𝐴 
Note, que todas as correntes de malha deram positivas, o que indica que o sentido 
escolhido para análise (horário) é o mesmo sentido da corrente elétrica nas malhas. Com isso, 
podemos prosseguir e finalizar o exemplo, respondendo o que se pede. 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝑨𝑨 
𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 𝑨𝑨 
𝑰𝑰𝟎𝟎 = 𝒊𝒊𝟏𝟏 − 𝒊𝒊𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟎𝟎, 𝟑𝟑𝟑𝟑 = 𝟎𝟎, 𝟗𝟗𝟑𝟑 𝑨𝑨 
Caso, o exemplo tivesse pedido para determinar a corrente elétrica em cada resistor, a 
analogia continua em cada ramo que contém um resistor, isto é: 
𝐼𝐼10 = 𝐼𝐼0 = 0,93 𝐴𝐴 
𝐼𝐼12 = 𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖3 = 1,23 𝐴𝐴 
𝐼𝐼4 = 𝑖𝑖2 − 𝑖𝑖3 = 0,30 𝐴𝐴 
𝐼𝐼24 = 𝑖𝑖2 = 0,33 𝐴𝐴 
 
RREEFFLLIITTAA!! 
Refaça o Exemplo 8, utilizando o método 1 (substituição) apresentado durante a solução do 
Exemplo 7. Reflita sobre qual dos três métodos você se identificou mais, isso te ajudará a 
compreender a construção das equações de malha e consequentemente dominar os 
métodos para solução de problemas mais elaborados nas próximas Unidades. 
 
 
Refaça o Exemplo 8, utilizando o método 1 (substituição) apresentado durante a solução do Exem-
plo 7. Reflita sobre qual dos três métodos você se identificou mais, isso te ajudará a compreender 
a construção das equações de malha e consequentemente dominar os métodos para solução de 
problemas mais elaborados nas próximas Unidades.
REFLITA
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CCOONNSSIIDDEERRAAÇÇÕÕEESS FFIINNAAIISS 
 
Chegamos ao fim da nossa primeira Unidade, a qual abordamos os conceitos de 
grandezas elétricas como carga elétrica, corrente elétrica, tensão elétrica, resistência elétrica, 
potência e energia. 
Em seguida, você conheceu a convenção do sinal da potência, muito importante para 
análise de circuitos elétricos, definindo quais componentes são passivos e quais são ativos. 
Foram apresentados os tipos de fonte existentes, dependentes e independentes. 
Foram apresentados os elementos de circuitos elétricos: Nó, ramos, laços e malhas e 
em seguida a Lei de Ohm, que é fundamental em circuitos elétricos. Você se aprofundou mais 
sobre os resistores comerciais, conhecendo seus principais tipos, suas utilizações, suas 
especificações, seu código de cores e suas configurações. Viu também, o que é e como se 
utiliza o circuito divisor de tensão e o circuito divisor de corrente elétrica. 
 Finalizamos esta Unidade explicando as leis de Kirchhoff, LTK e LCK. Fizemos alguns 
exemplos e aplicações das mesmas e discutimos algumas regras matemáticas, a fim de 
facilitar o equacionamento e soluções de circuitos por métodos algébricos e matriciais. 
Bom estudo! 
CONSIDERAÇÕES FINAIS
ANOTAÇÕES
UNIDADE
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
VÍDEOS DA UNIDADE
http://bit.ly/3uimwaR http://bit.ly/3pIMb91 http://bit.ly/3dDyZQw
02
MÉTODOS E 
TEOREMAS PARA 
ANÁLISE DE 
CIRCUITOS CC
 » Apresentar e aplicar os principais métodos de análise para circui-
tos elétricos em corrente contínua (CC), o Método de Análise de 
Malhas e o Métodos de Análise Nodal;
 » Apresentar e aplicar os principais teoremas de circuitos elétricos 
para análise de circuitos CC, o Teorema da Superposição, o Teore-
ma de Thévenin e o Teorema de Norton;
 » Caracterizar os elementos de circuitos, Capacitores e Indutores, 
em circuitos CC. 
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IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
Nesta Unidade II, você terá a oportunidade de estudar os circuitos de corrente 
contínua de forma mais aprofundada, isto é, circuitos mais complexos. Mais não se preocupe, 
pois serão exibidos métodos e teoremas que irão ajudar a simplificar a solução de problemas, 
obtendo um circuito equivalente ao original. 
A conversão Delta-Estrela será o primeiro assunto que você verá nesta Unidade, ela te 
ajudará a resolver problemas envolvendo circuito em ponte. 
Em seguida, você vai estudar os teoremas de rede, com destaque para os teoremas da 
Superposição, de Thévenin e de Norton. O teorema de Thévenin é muito utilizado, sendo 
aplicado em circuitos de uma única fonte ou em circuitos de múltiplas fontes. Já o teorema de 
Norton é usado para simplificar uma rede em termos de correntes em vez de tensões. Há 
vários teoremas para calcular os parâmetros de um circuito (tensão, corrente, resistência 
etc.), porém vamos nos ater aos teoremas da Superposição, de Thévenin e de Norton, pois 
com eles é possível reduzir, de forma simples, os circuitos contendo resistores em corrente 
contínua (CC) mais complexos. 
Por fim, você será apresentado aos elementos de circuitos, Capacitores e Indutores. 
As associações desses elementos e suas características em circuito de CC também serão 
discutidas. 
 
 
 
 
 
 
 
11 MMÉÉTTOODDOOSS DDEE AANNÁÁLLIISSEE DDEE CCIIRRCCUUIITTOOSS CCCC 
 
Na Unidade I, finalizamos nosso estudo apresentado as leis de Kirchhoff aplicadas em 
circuitos de corrente contínua com resistores e fontes de tensão independestes. Agora eu 
convido você acompanhar alguns métodos e teoremas que auxiliarão na solução de circuitos 
elétricosCC, mais complexos. 
INTRODUÇÃO
IINNTTRROODDUUÇÇÃÃOO 
 
Nesta Unidade II, você terá a oportunidade de estudar os circuitos de corrente 
contínua de forma mais aprofundada, isto é, circuitos mais complexos. Mais não se preocupe, 
pois serão exibidos métodos e teoremas que irão ajudar a simplificar a solução de problemas, 
obtendo um circuito equivalente ao original. 
A conversão Delta-Estrela será o primeiro assunto que você verá nesta Unidade, ela te 
ajudará a resolver problemas envolvendo circuito em ponte. 
Em seguida, você vai estudar os teoremas de rede, com destaque para os teoremas da 
Superposição, de Thévenin e de Norton. O teorema de Thévenin é muito utilizado, sendo 
aplicado em circuitos de uma única fonte ou em circuitos de múltiplas fontes. Já o teorema de 
Norton é usado para simplificar uma rede em termos de correntes em vez de tensões. Há 
vários teoremas para calcular os parâmetros de um circuito (tensão, corrente, resistência 
etc.), porém vamos nos ater aos teoremas da Superposição, de Thévenin e de Norton, pois 
com eles é possível reduzir, de forma simples, os circuitos contendo resistores em corrente 
contínua (CC) mais complexos. 
Por fim, você será apresentado aos elementos de circuitos, Capacitores e Indutores. 
As associações desses elementos e suas características em circuito de CC também serão 
discutidas. 
 
 
 
 
 
 
 
11 MMÉÉTTOODDOOSS DDEE AANNÁÁLLIISSEE DDEE CCIIRRCCUUIITTOOSS CCCC 
 
Na Unidade I, finalizamos nosso estudo apresentado as leis de Kirchhoff aplicadas em 
circuitos de corrente contínua com resistores e fontes de tensão independestes. Agora eu 
convido você acompanhar alguns métodos e teoremas que auxiliarão na solução de circuitos 
elétricos CC, mais complexos. 
1. MÉTODOS DE ANÁLISE DE CIRCUITOS CC
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11..11 MMééttooddoo ddee AAnnáálliissee ddee MMaallhhaass 
Iniciaremos com a análise de um circuito CC com resistores ligados a fontes de tensão 
independentes e uma fonte de tensão controlada por corrente (FTCC), conforme ilustra a o 
circuito da Figura 1. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
EExxeemmpplloo 11:: Analise o circuito da Figura 1 e determine as correntes de malha 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2. 
SSoolluuççããoo:: 
Uma vez escolhido o mesmo sentido das correntes de malha 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2 (sentido horário), vamos 
equacionar nas malhas. 
Para a Malha I, por LTK, temos, 
−10 − 2 𝐼𝐼𝑥𝑥 + 10𝑖𝑖1 − 6𝑖𝑖2 = 0 
E por LCK, 𝐼𝐼𝑥𝑥 = 𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2, então, 
−10 − 2(𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2) + 10𝑖𝑖1 − 6𝑖𝑖2 = 0 (resolvendo e simplificando) 
4𝑖𝑖1 − 2𝑖𝑖2 = 5 (I) 
Para a Malha II, por LTK, temos, 
+18 + 8𝑖𝑖2 − 6𝑖𝑖1 = 0 (reorganizando e simplificando) 
3𝑖𝑖1 − 4𝑖𝑖2 = 6 (II) 
Temos então, duas malhas, duas equações com duas incógnitas: 
4𝑖𝑖1 − 2𝑖𝑖2 = 5 (I) 
3𝑖𝑖1 − 4𝑖𝑖2 = 6 (II) 
Resolvendo o sistema por substituição fica, 
4 (2 + 43 . 𝑖𝑖2) − 2𝑖𝑖2 = 5 → 𝒊𝒊𝟐𝟐 = − 𝟎𝟎, 𝟗𝟗 𝑨𝑨 
Substituindo o valor de 𝑖𝑖2 na equação de malha (I) fica, 
4𝑖𝑖1 − 2(−0,9) = 5 → 𝒊𝒊𝟏𝟏 = 𝟎𝟎, 𝟖𝟖 𝑨𝑨 
 
1.1 MÉTODO DE ANÁLISE DE MALHAS
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Note que o valor negativo para 𝑖𝑖2 mostra que a corrente está, na realidade, circulando 
no sentido anti-horário. De nada, nos impediu ou atrapalhou ter uma FTCC no circuito, 
resolvemos normalmente. Repare também, que em nossa solução adotamos o primeiro sinal 
da convenção de potência, por exemplo, quando a corrente de malha passou do positivo para 
o negativo, pegamos o (+) e quando passou do negativo para o positivo, pegamos o (-). 
Algebricamente falando isso não interfere em nada desde que seja adotado isso para todos os 
elementos da malha. 
Podemos ainda, ter um circuito elétrico CC com fontes de tensão dependente, 
resistores e fontes de corrente. Veja a seguir como se procede neste caso. 
EExxeemmpplloo 22:: Determine as correntes de malha 𝑖𝑖1 e 𝑖𝑖2 no circuito da Figura 2. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
SSoolluuççããoo:: 
Quando uma fonte de corrente se encontra em uma malha adotamos que a corrente de 
malha já será conhecida e dada pelo seu valor. Vejam que neste caso, a fonte de corrente de 
5 𝐴𝐴, está no sentido oposto da corrente de malha 𝑖𝑖2, já adotado, portanto 𝒊𝒊𝟐𝟐 = −𝟓𝟓 𝑨𝑨. Então, 
só nos resta escrever a equação para a malha (I), 
−10 + 4𝑖𝑖1 + 6(𝑖𝑖1 − 𝑖𝑖2) = 0 
−10 + 4𝑖𝑖1 + 6(𝑖𝑖1 − (−5)) = 0 
𝒊𝒊𝟏𝟏 = −𝟐𝟐 𝑨𝑨 
 
11..22 MMééttooddoo ddaa AAnnáálliissee NNooddaall 
Este método tem como por objetivo determinar as tensões nodais, para isso aplica-se 
a LKC para determinar as tensões desconhecidas. 
O método da análise nodal segue os seguintes passos: 
1. Analisar a quantidade de nós do circuito com três ou mais elementos conectados a 
ele. Identifique os nós com valores subscritos de tensão para facilitar sua organização, 
por exemplo: V1, V2, V3 etc. Escolha um desses nós como sendo o nó de referência, 
1.2 MÉTODO DA ANÁLISE NODAL
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esse, por sua vez, é chamado de terra (ou GND), pois assume-se que ele possui um 
potencial zero. OObbss..: quando possível adote o nó mais baixo do seu circuito, para 
relacionar com a Terra; 
2. Adotar os sentidos das correntes em cada um dos ramos; 
3. Aplicar a LCK em todos os nós, exceto o de referência. Utilize a lei de Ohm para 
expressar a corrente do ramo em termos da tensão do nó; 
4. Resolver o sistema de equações para obter as tensões dos nós. Utilize o método 
algébrico que preferir (substituição ou Cramer). 
Para cada corrente vamos escrever a lei de Ohm, um pouco diferente, tensão sobre o 
resistor será sempre a diferença entre a tensão do maior potencial e o menor potencial 
escrita como: 
𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎− 𝑉𝑉𝑏𝑏𝑎𝑎𝑏𝑏𝑏𝑏𝑎𝑎𝑅𝑅 (1) 
Vamos ao exemplo! 
EExxeemmpplloo 33:: Determine as correntes elétricas 𝐼𝐼1, 𝐼𝐼2 e 𝐼𝐼3 no circuito da Figura 3, 
utilizando o método de análise nodal. 
 
Fonte: O autor (2020). 
SSoolluuççããoo:: 
O nó superior será o 𝑉𝑉1 e o nó inferior será o nó de referência (GND) e o sentido das 
correntes foram adotados. 
 
Fonte: O autor (2020). 
 
R1
6Ω
R2
12ΩV
12V 
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Agora, aplicando LKC ao nó 𝑉𝑉1 fica, 
𝐼𝐼3 = 𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 (I) 
A corrente 𝐼𝐼1, será dada por, 
𝐼𝐼1 = 
𝑉𝑉1 − 24
6 
A corrente 𝐼𝐼2, será dada por, 
𝐼𝐼2 = 
𝑉𝑉1
12 
E a corrente 𝐼𝐼3 é a própria corrente da fonte de corrente, 1 𝐴𝐴. Reescrevendo a equação de 
malha (I) temos, 
𝑉𝑉1 − 24
6 − 
𝑉𝑉1
12 = 1 
Resolvendo para 𝑉𝑉1, encontramos 𝑉𝑉1 = 20 𝑉𝑉. Logo, 
𝐼𝐼1 = 
𝑉𝑉1 − 24
6 = 
20 − 24
6 = 
−4
6 
𝑰𝑰𝟏𝟏 = −𝟎𝟎, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑨𝑨 
E 
𝐼𝐼2 = 
𝑉𝑉1
12 = 
20
12 
𝑰𝑰𝟐𝟐 = 𝟏𝟏, 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔𝟔 𝑨𝑨 
O valor negativo de 𝐼𝐼1 nos indica que o sentido real dessa corrente no circuito é o 
inverso do que foi adotado. 
EExxeemmpplloo 44:: Utilizando o método de análise nodal, encontre 𝑣𝑣0 no circuito da Figura 4. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
SSoolluuççããoo:: 
Começamos por identificar os nós, 𝑉𝑉1 e o GND. Em seguida, o sentido das correntes conforme 
indicado no circuito a seguir. 
 
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Fonte: O autor (2020). 
Agora, aplicando LKC ao nó 𝑉𝑉1 e já reescrevendo a equação da malha, um pouco mais direto, 
𝐼𝐼1 + 𝐼𝐼2 = 𝐼𝐼3 = 0 (I) 
𝑉𝑉1 − 0
5 + 
𝑉𝑉1 − 3
1 +
𝑉𝑉1 − 4𝑣𝑣0
5 = 0 
𝑉𝑉1 + 5𝑉𝑉1 − 15 + 𝑉𝑉1 − 4𝑣𝑣0 = 0 
Mas no ramo que contém os resistores de 3 Ω e 2 Ω temos um divisor de tensão, e 
como vimos na Unidade I, a tensão sobre o resistor de 2 Ω é dada por, 
𝑣𝑣0 = 
2
5 𝑉𝑉1 
 Com isso, podemos utilizar essa informação para dar continuidade a solução da nossa 
equaçãode malha. 
7𝑉𝑉1 − 15 −
8
5 𝑉𝑉1 = 0 (resolvendo para 𝑉𝑉1) 
𝑉𝑉1 = 2,778 𝑉𝑉 e, portanto, 
𝑣𝑣0 = 
2
5 . 2,778 
𝒗𝒗𝟎𝟎 = 𝟏𝟏, 𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 
 
VVÍÍDDEEOO 
 Quando uma fonte de corrente se encontra entre duas malhas criamos uma supermalha pela 
exclusão da fonte de corrente e qualquer elemento conectado em série com ela, isto é, uma 
supermalha se forma quando duas malhas possuem uma fonte de corrente em comum. 
Assista ao vídeo sobre “Análise de Circuitos em CC” até o final e saiba como resolver casos de 
uma supermalha. Disponível em: https://bit.ly/3iEfx54. Acesso em: 17 mai. 2020. 
 Se a fonte de tensão estiver conectada entre dois nós, com exceção do nó de referência, os 
dois nós formam um nó generalizado ou supernó; a LKC e a LKT serão aplicadas para 
determinar as tensões nodais. Em síntese, um supernó é formado pela exclusão de uma fonte 
de tensão (dependente ou independente) conectada entre dois nós, com exceção do nó de 
referência, e qualquer elemento conectado em paralelo com ela. Assista ao vídeo sobre 
“Circuitos em CC – Análise Nodal” até o final e saiba como resolver casos de um supernó. 
Disponível em: https://bit.ly/2GCGF7t. Acesso em: 17/05/2020. 
• Quando uma fonte de corrente se encontra entre duas malhas criamos uma supermalha pela 
exclusão da fonte de corrente e qualquer elemento conectado em série com ela, isto é, uma su-
permalha se forma quando duas malhas possuem uma fonte de corrente em comum. Assista ao 
vídeo sobre “Análise de Circuitos em CC” até o final e saiba como resolver casos de uma superma-
lha. Disponível em: https://bit.ly/3iEfx54. Acesso em: 17 mai. 2020. 
• Se a fonte de tensão estiver conectada entre dois nós, com exceção do nó de referência, os 
dois nós formam um nó generalizado ou supernó; a LKC e a LKT serão aplicadas para determinar 
as tensões nodais. Em síntese, um supernó é formado pela exclusão de uma fonte de tensão 
(dependente ou independente) conectada entre dois nós, com exceção do nó de referência, e 
qualquer elemento conectado em paralelo com ela. Assista ao vídeo sobre “Circuitos em CC – 
Análise Nodal” até o final e saiba como resolver casos de um supernó. Disponível em: https://bit.
ly/2GCGF7t. Acesso em: 17/05/2020. 
VÍDEO
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11..33 TTrraannssffoorrmmaaççããoo DDeellttaa--EEssttrreellaa 
Existem situações em análise de circuitos CC em que os resistores não estão nem em 
série e nem em paralelo, como podem ver na ilustração da Figura 5(a). Circuitos como estes 
podem ser simplificados utilizando um circuito equivalente de três terminais, denominados 
circuitos em estrela (Y) ou (T) e os circuitos em delta (∆) ou (𝜋𝜋), conforme Figura 5(b). 
∆
 
(a) (b) 
Fonte: Adaptada de Sadiku et al. (2014). 
 ∆
Uma das formas que podemos utilizar para transformar um circuito ∆ em Y, é 
sobrepor um circuito ∆ sobre Y, criamos um nó estra n como ilustrado na Figura 6, e seguimos 
a seguinte regra: “cada resistor no circuito Y é o produto dos resistores nos dois ramos 
adjacentes em ∆, dividido pela sobra dos três resistores em ∆”. (SADIKU et al., 2014, p. 164). 
∆
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
Matematicamente obtemos os valores dos resistores 𝑅𝑅1, 𝑅𝑅2 e 𝑅𝑅3 por meio das 
Equações (2), (3) e (4). 
𝑅𝑅1 = 
𝑅𝑅𝑏𝑏.𝑅𝑅𝑐𝑐
𝑅𝑅𝑎𝑎+ 𝑅𝑅𝑏𝑏+ 𝑅𝑅𝑐𝑐
 (2) 
𝑅𝑅2 = 
𝑅𝑅𝑐𝑐.𝑅𝑅𝑎𝑎
𝑅𝑅𝑎𝑎+ 𝑅𝑅𝑏𝑏+ 𝑅𝑅𝑐𝑐
 (3) 
𝑅𝑅3 = 
𝑅𝑅𝑎𝑎.𝑅𝑅𝑏𝑏
𝑅𝑅𝑎𝑎+ 𝑅𝑅𝑏𝑏+ 𝑅𝑅𝑐𝑐
 (4) 
 
1.3 TRANSFORMAÇÃO DELTA-ESTRELA
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∆
Para obter a conversão inversa, isto é, de um circuito Y para ∆, poderemos utilizar a 
mesma superposição ilustrada na Figura 6. A partir do esquema seguimos a seguinte regra: 
“cada resistor em um circuito ∆ é o somatório de todos os três possíveis produtos dos 
resistores em Y, considerados dois a dois, dividido pelo resistor oposto em Y” (SADIKU et 
al.,2014, p. 164). 
Neste caso, as equações matemáticas para encontrar os valores dos resistores 𝑅𝑅𝑎𝑎, 𝑅𝑅𝑏𝑏 
e 𝑅𝑅𝑐𝑐 serão obtidas pelas Equações (5), (6) e (7). 
𝑅𝑅𝑎𝑎 = 
𝑅𝑅1.𝑅𝑅2+𝑅𝑅2.𝑅𝑅3+𝑅𝑅3.𝑅𝑅1
𝑅𝑅1
 (5) 
𝑅𝑅𝑏𝑏 = 
𝑅𝑅1.𝑅𝑅2+𝑅𝑅2.𝑅𝑅3+𝑅𝑅3.𝑅𝑅1
𝑅𝑅2
 (6) 
𝑅𝑅𝑐𝑐 = 
𝑅𝑅1.𝑅𝑅2+𝑅𝑅2.𝑅𝑅3+𝑅𝑅3.𝑅𝑅1
𝑅𝑅3
 (7) 
Os circuitos em Y e em ∆ são tratados de balanceados quando 𝑅𝑅1 = 𝑅𝑅2 = 𝑅𝑅3 = 𝑅𝑅𝑌𝑌 ou 
𝑅𝑅𝑎𝑎 = 𝑅𝑅𝑏𝑏 = 𝑅𝑅𝑐𝑐 = 𝑅𝑅∆ e sob essas condições as equação de conversão são simplificadas, 
conforme as Equações (8) e (9). 
𝑅𝑅𝑌𝑌 = 
𝑅𝑅∆
3 (8) 
𝑅𝑅∆ = 3. 𝑅𝑅𝑌𝑌 (9) 
EExxeemmpplloo 55:: Dado o circuito da Figura 7, encontre a resistência e a corrente total. 
 
Fonte: O autor (2020). 
SSoolluuççããoo:: notem que os Resistores 𝑅𝑅3, 𝑅𝑅4 e 𝑅𝑅5 são reconhecidos como um circuito em ∆ e, 
portanto, começaremos convertendo-o para Y. 
𝑅𝑅7 = 
𝑅𝑅3.𝑅𝑅4
𝑅𝑅3+ 𝑅𝑅4+ 𝑅𝑅5
= 20.3020+30+50 =
600
100 = 6 Ω 
𝑅𝑅8 = 
𝑅𝑅3.𝑅𝑅4
𝑅𝑅3+ 𝑅𝑅4+ 𝑅𝑅5
= 20.5020+ 30+ 50 =
1000
100 = 10 Ω 
𝑅𝑅9 = 
𝑅𝑅4.𝑅𝑅5
𝑅𝑅3+ 𝑅𝑅4+ 𝑅𝑅5
= 30.5020+ 30+ 50 = 
1500
100 = 15 Ω 
 
V
100V 
R6
13Ω R3
20Ω
R1
24Ω
R2
10Ω
R4
30Ω
R5
50Ω
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Refazendo o circuito da Figura 7, fica: 
 
Fonte: O autor (2020). 
Agora sim podemos fazer 𝑅𝑅1 em série com 𝑅𝑅7 e 𝑅𝑅2 em série com 𝑅𝑅8 e depois o 
paralelo (//) entre esses dois resultados, 
 
𝑅𝑅17 = 24 + 6 = 30 Ω 
𝑅𝑅28 = 10 + 10 = 20 Ω 
𝑅𝑅10 = 
30.20
30 + 20 = 12 Ω 
 
Refazendo o circuito mais uma vez, 
 
 
Fonte: O autor (2020). 
 
A resistência equivalente para este circuito é igual a 
 
𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒 = 13 + 12 + 15 = 𝟒𝟒𝟒𝟒 Ω 
 
Por lei de Ohm, a corrente total é calculada por, 
 
𝐼𝐼 = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑒𝑒𝑒𝑒
= 10040 = 𝟐𝟐, 𝟓𝟓 𝑨𝑨 
V
100V 
R6
13Ω
R9
15Ω
R1
24Ω
R2
10Ω
R7
6Ω
R8
10Ω
V
100V 
R6
13Ω
R9
15Ω
R10
12Ω
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22 TTEEOORREEMMAASS PPAARRAA AANNÁÁLLIISSEE DDEE CCIIRRCCUUIITTOOSS CCCC 
 
22..11TTeeoorreemmaa ddaa SSuuppeerrppoossiiççããoo 
Quando em um circuito ou laço contém mais de uma fonte de alimentação, a corrente 
elétrica depende de cada uma delas. Você verá, a partir de agora, uma sequência de 
teoremas cujo objetivo principal é simplificar e determinar informações em circuitos mais 
complexos. 
O teorema da superposição estabelece o seguinte: “Em uma rede de resistores com 
duas ou mais fontes, a corrente ou a tensão através de qualquer componente é a soma 
algébrica dos efeitos devido a cada fonte independente” (PETRUZELLA, 2014b, p. 107). 
Observe os seguintes passos para a aplicação do teorema da superposição: 
1. Zerar todas as fontes de tensão ou de corrente, isto é, curto circuitar as 
fontes de tensão ou abrir as fontes de corrente elétrica. Deixe somente 
uma, aquela que está sendo examinada; 
2. Determinar a corrente ou a tensão desejada, juntamente com o sentido 
(para corrente) e a polaridade (para tensão) corretos; 
3. Repetir os passos 1 e 2 para todas as fontes restantes no circuito; 
4. Para encontrar uma corrente ou tensão resultante, combinar as 
correntes ou as tensões produzidas pelas fontes individuais. Se as 
correntes estão no mesmo sentido ou se as tensões possuem a mesma 
polaridade, soma os resultados de cada uma. Se for o contrário, subtraia 
as correntes elétricas com sentidos opostos ou as tensões elétricas com 
polaridades oposta. 
EExxeemmpplloo 66:: Encontre o valor da tensão 𝑉𝑉 no circuito da Figura 8, utilizando o teorema 
da superposição. 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
 
2.1 TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
2. TEOREMAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS CC
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SSoolluuççããoo:: 
Notem que temos duas fontes, uma de tensão e outrade corrente, logo a resposta que 
estamos procurando (tensão 𝑉𝑉) será a superposição de duas resposta: a influência da fonte 
de tensão quando a fonte de corrente estiver aberta e a influência da fonte de corrente 
quando a fonte de tensão estiver em curto. 
Primeiramente, vamos analisar para a fonte de tensão. 
 
Fonte: O autor (2020). 
 Deixamos aberta a fonte de corrente, escolhemos o sentido horário para a corrente de 
malha e vamos determinar a tensão (𝑉𝑉1) sobre o resistor de 4 Ω. O método para isso fica a 
seu critério, por simplicidade vou aplicar um divisor de tensão para os resistores 𝑅𝑅1 = 4 Ω e 
𝑅𝑅2 = 8 Ω, 
𝑉𝑉1 = 
𝑅𝑅1. 𝑉𝑉𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2
= 4 . 64 + 8 = 2 𝑉𝑉 
Em seguida, vamos analisar para a fonte de corrente. 
 
Fonte: O autor (2020). 
 Para isso, curto circuitamos a fonte de tensão e analisamos a contribuição que a fonte 
de corrente (𝐼𝐼) gera sobre o resistor de 4 Ω. Por coincidência, vamos utilizar o divisor de 
corrente para os resistores 𝑅𝑅1 = 4 Ω e 𝑅𝑅2 = 8 Ω, 
𝐼𝐼3 = 
𝑅𝑅2. 𝐼𝐼𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡𝑡
𝑅𝑅1 + 𝑅𝑅2
= 8 . 34 + 8 = 2 𝐴𝐴 
Por lei de Ohm, temos 𝑉𝑉2 = 𝑅𝑅1. 𝐼𝐼3 
𝑉𝑉2 = 4.2 = 8 𝑉𝑉 
 
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Por fim, 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 
𝑉𝑉 = 2 + 8 
𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 
22..22 TTeeoorreemmaa ddee TThhéévveenniinn 
O teorema de Thévenin é um dos teoremas de rede mais utilizado em análise de 
circuitos. A ideia principal do circuito equivalente de Thévenin é que qualquer circuito 
resistivo seja sempre resumido por um circuito equivalente, formado por uma fonte de 
tensão equivalente (𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ) em série com uma resistência equivalente (𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ), 
independentemente do circuito original que ele substitui. Assim, qualquer carga resistiva (𝑅𝑅𝐿𝐿) 
conectada entre os terminais de um circuito equivalente de Thévenin terá a mesma corrente 
e a mesma tensão através dela como se fosse conectada aos terminais do circuito original. 
Veja na ilustração da Figura 9 a representação do circuito equivalente de Thévenin. 
 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
 De posse do circuito equivalente de Thévenin, podemos determinar facilmente a 
corrente e a tensão da carga pelas Equações (10) e (11). 
𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (10) 
𝑉𝑉𝐿𝐿 = 𝑅𝑅𝐿𝐿. 𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑅𝑅𝐿𝐿.𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (11) 
Você deverá aplicar os seguintes passos para determinar o circuito equivalente de 
Norton: 
1. Remova temporariamente a porção do circuito que não será substituída pelo equivalente de Thévenin. 
Marque os terminais da porção restante. 
2. Determine a resistência de Thévenin 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ, como a resistência vista dos terminais com todas as fontes 
anuladas (fontes de tensão substituídas por curtos circuitos e fontes de corrente substituídas por 
circuitos abertos). 
3. Determine a tensão de Thévenin 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ, como a tensão de circuito aberto (sem carga) entre os terminais. 
4. Construa o circuito equivalente de Thévenin conectando 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ e 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ em série. Observe a polaridade 
adequada para 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ. Recoloque a porção do circuito que foi removida no passo 1 (SADIKU et al., 2014, p. 
193). 
2.2 TEOREMA DE THÉVENIN 
1. REMOVA TEMPORARIAMENTE A PORÇÃO DO CIRCUITO QUE NÃO SERÁ SUBSTITUÍDA 
PELO EQUIVALENTE DE THÉVENIN. MARQUE OS TERMINAIS DA PORÇÃO RESTANTE.
2. DETERMINE A RESISTÊNCIA DE THÉVENIN R_TH, COMO A RESISTÊNCIA VISTA DOS 
TERMINAIS COM TODAS AS FONTES ANULADAS (FONTES DE TENSÃO SUBSTITUÍDAS POR 
CURTOS CIRCUITOS E FONTES DE CORRENTE SUBSTITUÍDAS POR CIRCUITOS ABERTOS).
3. DETERMINE A TENSÃO DE THÉVENIN V_TH, COMO A TENSÃO DE CIRCUITO ABERTO 
(SEM CARGA) ENTRE OS TERMINAIS.
4. CONSTRUA O CIRCUITO EQUIVALENTE DE THÉVENIN CONECTANDO V_TH E R_TH EM 
SÉRIE. OBSERVE A POLARIDADE ADEQUADA PARA V_TH. RECOLOQUE A PORÇÃO DO 
CIRCUITO QUE FOI REMOVIDA NO PASSO 1 (SADIKU ET AL., 2014, P. 193).
Por fim, 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 
𝑉𝑉 = 2 + 8 
𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 
22..22 TTeeoorreemmaa ddee TThhéévveenniinn 
O teorema de Thévenin é um dos teoremas de rede mais utilizado em análise de 
circuitos. A ideia principal do circuito equivalente de Thévenin é que qualquer circuito 
resistivo seja sempre resumido por um circuito equivalente, formado por uma fonte de 
tensão equivalente (𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ) em série com uma resistência equivalente (𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ), 
independentemente do circuito original que ele substitui. Assim, qualquer carga resistiva (𝑅𝑅𝐿𝐿) 
conectada entre os terminais de um circuito equivalente de Thévenin terá a mesma corrente 
e a mesma tensão através dela como se fosse conectada aos terminais do circuito original. 
Veja na ilustração da Figura 9 a representação do circuito equivalente de Thévenin. 
 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
 De posse do circuito equivalente de Thévenin, podemos determinar facilmente a 
corrente e a tensão da carga pelas Equações (10) e (11). 
𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (10) 
𝑉𝑉𝐿𝐿 = 𝑅𝑅𝐿𝐿. 𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑅𝑅𝐿𝐿.𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (11) 
Você deverá aplicar os seguintes passos para determinar o circuito equivalente de 
Norton: 
1. Remova temporariamente a porção do circuito que não será substituída pelo equivalente de Thévenin. 
Marque os terminais da porção restante. 
2. Determine a resistência de Thévenin 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ, como a resistência vista dos terminais com todas as fontes 
anuladas (fontes de tensão substituídas por curtos circuitos e fontes de corrente substituídas por 
circuitos abertos). 
3. Determine a tensão de Thévenin 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ, como a tensão de circuito aberto (sem carga) entre os terminais. 
4. Construa o circuito equivalente de Thévenin conectando 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ e 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ em série. Observe a polaridade 
adequada para 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ. Recoloque a porção do circuito que foi removida no passo 1 (SADIKU et al., 2014, p. 
193). 
Por fim, 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 
𝑉𝑉 = 2 + 8 
𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 
22..22 TTeeoorreemmaa ddee TThhéévveenniinn 
O teorema de Thévenin é um dos teoremas de rede mais utilizado em análise de 
circuitos. A ideia principal do circuito equivalente de Thévenin é que qualquer circuito 
resistivo seja sempre resumido por um circuito equivalente, formado por uma fonte de 
tensão equivalente (𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ) em série com uma resistência equivalente (𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ), 
independentemente do circuito original que ele substitui. Assim, qualquer carga resistiva (𝑅𝑅𝐿𝐿) 
conectada entre os terminais de um circuito equivalente de Thévenin terá a mesma corrente 
e a mesma tensão através dela como se fosse conectada aos terminais do circuito original. 
Veja na ilustração da Figura 9 a representação do circuito equivalente de Thévenin. 
 
 
Fonte: Sadiku et al. (2014). 
 De posse do circuito equivalente de Thévenin, podemos determinar facilmente a 
corrente e a tensão da carga pelas Equações (10) e (11). 
𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (10) 
𝑉𝑉𝐿𝐿 = 𝑅𝑅𝐿𝐿. 𝐼𝐼𝐿𝐿 = 
𝑅𝑅𝐿𝐿.𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ
𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ+ 𝑅𝑅𝐿𝐿
 (11) 
Você deverá aplicar os seguintes passos para determinar o circuito equivalente de 
Norton: 
1. Remova temporariamente a porção do circuito que não será substituída pelo equivalente de Thévenin. 
Marque os terminais da porção restante. 
2. Determine a resistência de Thévenin 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ, como a resistência vista dos terminais com todas as fontes 
anuladas (fontes de tensão substituídas por curtos circuitos e fontes de corrente substituídas por 
circuitos abertos). 
3. Determine a tensão de Thévenin 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ, como a tensão de circuito aberto (sem carga) entre os terminais. 
4. Construa o circuito equivalente de Thévenin conectando 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ e 𝑅𝑅𝑇𝑇ℎ em série. Observe a polaridade 
adequada para 𝑉𝑉𝑇𝑇ℎ. Recoloque a porção do circuito que foi removida no passo 1 (SADIKU et al., 2014, p. 
193). 
Por fim, 
𝑉𝑉 = 𝑉𝑉1 + 𝑉𝑉2 
𝑉𝑉 = 2 + 8 
𝑽𝑽 = 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝑽𝑽 
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