Circuitos Elétricos I

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Indaial – 2020
CirCuitos ElétriCos i
Prof. Dione Antônio de Souza
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Prof. Dione Antônio de Souza
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
S729c
 Souza, Dione Antônio de
Circuitos elétricos I. / Dione Antônio de Souza. – Indaial: 
UNIASSELVI, 2020.
 307 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-105-9
1. Circuitos elétricos. – Brasil. Centro Universitário Leonardo Da
Vinci.
CDD 621.3192
III
AprEsEntAção
Caro acadêmico, apresentamos, a você, o livro de Circuitos Elétricos 
I, que tem como objetivo proporcionar a base para análise e projeto de cir-
cuitos lineares, em nível de graduação. Esses estudos estão relacionados à 
habilidade do engenheiro em projetar circuitos elétricos e eletrônicos, muitas 
vezes complexos. O livro é voltado para acadêmicos que tem o contato com 
os conceitos básicos dos circuitos elétricos pela primeira vez, sendo muito 
útil o conhecimento prévio de eletricidade e magnetismo. Os cálculos e o de-
senvolvimento realizados no livro necessitam dos conhecimentos gerais de 
matrizes e cálculo diferencial e integral, especialmente das técnicas envolvi-
das na resolução de equações com coeficientes constantes. Portanto, os méto-
dos, as técnicas e os conceitos descritos neste livro, para a análise de circuitos 
elétricos, são de grande importância e fundamentais para todo engenheiro.
O livro se divide em três unidades e cada unidade está organizada 
em três tópicos. O livro, em toda a sua extensão, teve como objetivo ser co-
nectivo com informações acumulativas, ou seja, os tópicos posteriores de-
pendem dos tópicos anteriores, assim como as unidades. Em cada tópico são 
fornecidos exemplos que destacam os aspectos de cada técnica, para auxiliar 
na compreensão do texto. No final de cada tópico, vários exercícios de au-
toatividade são propostos, com suas respectivas respostas no gabarito, ob-
jetivando reforçar a compreensão do estudante do tópico precedente. Além 
disso, é apresentado um resumo de maneira concisa, que aborda os conceitos 
mais importantes, proporcionando ao leitor um lembrete das técnicas conti-
das no tópico.
Para facilitar o entendimento, são destacados no livro equações e con-
ceitos fundamentais. O UNI em destaque serve para ajudar o acadêmico a 
memorizar alguns dos princípios fundamentais de circuitos elétricos e faci-
litar a consulta. 
 
Finalmente, em cada tópico, é apresentada uma leitura com o intuito 
de auxiliar na compreensão das técnicas abordadas no decorrer do livro, não 
esqueça de ler!
Prof. Dione Antônio de Souza
IV
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui para 
diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilidade 
de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para apre-
sentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assunto em 
questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas institu-
cionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa continuar 
seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de De-
sempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
V
VI
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
VII
UNIDADE 1 - CONCEITOS E LEIS BÁSICAS ....................................................................................1
TÓPICO 1 - VARIÁVEIS ELÉTRICAS ..................................................................................................3
1 INTRODUÇÃO .......................................................................................................................................3
2 SISTEMA DE UNIDADES....................................................................................................................3
3 CARGA E CORRENTE ..........................................................................................................................5
4 TENSÃO ...................................................................................................................................................9
5 POTÊNCIA .............................................................................................................................................11
RESUMO DO TÓPICO 1........................................................................................................................13
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................14
TÓPICO 2 - CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES DE CIRCUITOS ELÉTRICOS .......15
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................15
2 FONTE DE TENSÃO INDEPENDENTE .........................................................................................15
3 FONTE DE CORRENTE INDEPENDENTE ....................................................................................16
4 FONTE DE TENSÃO DEPENDENTE .............................................................................................20
5 FONTES DE CORRENTE DEPENDENTE ......................................................................................22
RESUMO DO TÓPICO 2........................................................................................................................27
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................28
TÓPICO 3 - LEIS BÁSICAS ...................................................................................................................31
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................31
2 LEI DE OHM ..........................................................................................................................................31
3 LEI DE KIRCHHOFF ............................................................................................................................38
4 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES .....................................................................................................44
4.1 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO SÉRIE DE RESISTORES .....................................................50
4.2 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO PARALELA DE RESISTORES ...........................................544.3 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES ....................................................58
5 TRANSFORMAÇÃO Y(ESTRELA) PARA ∆ (DELTA) ..................................................................61
5.1 TRANSFORMAÇÃO DELTA ∆ PARA ESTRELA Y ...................................................................62
5.2 TRANSFORMAÇÃO ESTRELA Y PARA DELTA ∆ ...................................................................64
LEITURA COMPLEMENTAR ...............................................................................................................68
RESUMO DO TÓPICO 3........................................................................................................................74
AUTOATIVIDADE .................................................................................................................................77
UNIDADE 2 - TÉCNICAS DE ANÁLISE E TEOREMAS DE CIRCUITOS .................................83
TÓPICO 1 - TÉCNICA DE ANÁLISE DE MALHA (LAÇO) ...........................................................85
1 INTRODUÇÃO .....................................................................................................................................85
2 ANÁLISE DE MALHA .........................................................................................................................85
3 CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES DE CORRENTE ...........................100
3.1 CIRCUITOS CONTENDO FONTES DEPENDENTES .............................................................106
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................112
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................113
sumário
VIII
TÓPICO 2 - TÉCNICAS DE ANÁLISE NODAL
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................121
2 ANÁLISE NODAL ..............................................................................................................................121
2.1 CIRCUITOS CONTENDO FONTES INDEPENDENTES DE TENSÃO ................................141
2.2 CIRCUITOS CONTENDO FONTES DEPENDENTES DE TENSÃO ....................................148
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................154
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................155
TÓPICO 3 - TEOREMA DE CIRCUITOS .........................................................................................161
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................161
2 PROPRIEDADE DE LINEARIDADE .............................................................................................161
3 SUPERPOSIÇÃO ................................................................................................................................167
4 TEOREMA DE THEVENIN ..............................................................................................................174
5 TEOREMA DE NORTON .................................................................................................................183
6 MÁXIMA TRANSFERÊNCIA DE POTÊNCIA ............................................................................188
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................196
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................197
UNIDADE 3 - CAPACITORES, INDUTORES E CIRCUITOS RLC ............................................203
TÓPICO 1 - CAPACITORES E INDUTORES .................................................................................205
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................205
2 CAPACITORES ...................................................................................................................................205
3 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM SÉRIE ...........................................................................211
4 ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES EM PARALELO .................................................................214
5 INDUTORES .......................................................................................................................................216
6 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES EM SÉRIE ................................................................................220
7 ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES EM PARALELO .....................................................................222
8 CIRCUITOS MAGNÉTICOS E ELETROMAGNÉTICOS..........................................................225
RESUMO DO TÓPICO 1......................................................................................................................231
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................233
TÓPICO 2 - CIRCUITO DE PRIMEIRA ORDEM ...........................................................................237
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................237
2 CIRCUITO RC SEM FONTE ............................................................................................................237
3 CIRCUITOS RL SEM FONTES ........................................................................................................242
4 CIRCUITO RC COM FONTE ...........................................................................................................248
5 CIRCUITO RL COM FONTE ...........................................................................................................251
6 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RC AO DEGRAU .....................................................................255
7 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RL AO DEGRAU ......................................................................258
RESUMO DO TÓPICO 2......................................................................................................................261
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................263
TÓPICO 3 - CIRCUITOS DE SEGUNDA ORDEM ........................................................................271
1 INTRODUÇÃO ...................................................................................................................................271
2 CIRCUITOS RLC SÉRIE SEM FONTE...........................................................................................271
3 CIRCUITOS RLC PARALELO SEM FONTE ................................................................................275
4 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RLC SERIE AO DEGRAU ......................................................287
5 RESPOSTA DE UM CIRCUITO RLC PARALELO AO DEGRAU ............................................292
LEITURA COMPLEMENTAR .............................................................................................................296
RESUMO DO TÓPICO 3......................................................................................................................302
AUTOATIVIDADE ...............................................................................................................................304
REFERÊNCIAS .......................................................................................................................................307
1
UNIDADE 1
CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMPLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• relembrar o sistema de unidades utilizado internacionalmente;
• apresentar os conceitos de Tensão, Corrente e Potência elétrica;
• reconhecer os principais componentes de um circuito elétrico;
• analisar e aplicar o conceito da Lei de Ohm;
• analisar e aplicar os conceitos das leis de Kirchhoff;
• reconhecer associação de resistores em série e paralelo;
• analisar e aplicar o conceito de transformação estrela para delta de resistores;
• analisar e aplicar o conceito de transformação delta para estrela de resistores.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade você 
encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo apresentado.
TÓPICO 1 – INTRODUÇÃO E VARIÁVEIS ELÉTRICAS
TÓPICO 2 – CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES DE CIRCUITOS 
 ELÉTRICOS
TÓPICO 3 – LEIS BÁSICAS
 Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos em 
frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorverá 
melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1
UNIDADE 1
VARIÁVEIS ELÉTRICAS
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 1, apresentaremos uma breve revisão do sistema de unidades 
que é utilizado internacionalmente por todos os profissionais. Ao final dessa re-
visão serão apresentados os conceitos das grandezas utilizadas nas teorias de cir-
cuitos elétricos. E, por fim, serão apresentadas as equações para o cálculo de cada 
grandeza, carga, corrente, tensão e potência.
 
Para cada grandeza serão apresentados exemplos resolvidos e, no final do 
tópico, o resumo do tema abordado com o objetivo de fixar o assunto apresentado.
2 SISTEMA DE UNIDADES
Um sistema de unidade para ser utilizado por todos os engenheiros em 
qualquer país seguindo um padrão único foi criado em 1960, no 11° encontro 
da Conferência Geral de Pesos e Medidas, em Paris. Tal sistema é chamado por 
Sistema Internacional de Unidades (SI), e, conforme apresentado no Quadro 1, 
verifica-se que ele é composto por seis unidades fundamentais, sendo estas uni-
dades: o metro (m), o quilograma (kg), o segundo (s), o Ampére (A), o Kelvin(K) e 
a candela (cd). A partir da combinação dessas unidades fundamentais podem ser 
derivadas outras unidades físicas. 
QUADRO 1 – UNIDADES BÁSICAS NO SI
Grandeza Unidade Símbolo
Comprimento metro m
Massa quilograma kg
Tempo segundo s
Corrente Elétrica ampère A
Temperatura Termodinâmica kelvin k
Intensidade Luminosa candela cd
FONTE: O autor
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
4
No Quadro 2 são apresentadas as unidades mais utilizadas em circuitos elé-
tricos.
O sistema internacional padroniza também os prefixos, desta forma, é possí-
vel relacionar maiores ou menores por um sistema decimal. No Quadro 3 são apre-
sentados os prefixos padronizados utilizados no SI e seus respectivos símbolos. 
Pelos quadros observa-se que os símbolos que representam nomes pró-
prios são com letras maiúsculas, como o Kelvin (K) e o Ampère (A). Os símbolos 
não são escritos no plural e dispensam qualquer pontuação.
QUADRO 2 – UNIDADES MAIS UTILIZADAS EM CIRCUITOS ELÉTRICOS
FONTE: O autor
FONTE: O autor
QUADRO 3 – PREFIXOS DO SI
Grandeza Unidade Símbolo
Carga Elétrica coulomb C
Potencial Elétrico volt V
Resistência ohm Ω
Condutância siemens S
Indutância henry H
Capacitância farad F
Frequência hetz Hz
Força newton N
Energia, Trabalho joule J
Potência watt W
Fluxo Magnético weber Wb
Densidade de Fluxo Mag-
nético tesla T
Fator Nome Símbolo Fator Nome Símbolo
10¹ deca da 10⁻¹ deci d
10² hecto h 10⁻² centi c
10³ quilo k 10⁻³ mili m
10⁶ mega M 10⁻⁶ micro μ
10⁹ giga G 10⁻⁹ nano n
10¹² tera T 10⁻¹² pico p
10¹⁵ peta P 10⁻¹⁵ femto f
10¹⁸ exa E 10⁻¹⁸ atto a
10²¹ zetta Z 10⁻²¹ zepto z
10²⁴ yotta Y 10⁻²⁴ yoeto y
TÓPICO 1 | VARIÁVEIS ELÉTRICAS
5
FIGURA 1 – MODELO ATÔMICO DE BOHR
FONTE: <https://bit.ly/2zMgpn9>. Acesso em: 4 maio 2020.
3 CARGA E CORRENTE
A matéria é constituída por átomos e esses átomos são formados por três 
partículas, sendo os elétrons, prótons e nêutrons. Os elétrons possuem carga elé-
trica negativa, os prótons carga elétrica positiva e os nêutrons cargas eletricamen-
te neutras.
 
A magnitude da carga elétrica de um elétron (e) é negativa e igual a 
1,602x10-19 C, a de um próton (p) é positiva e igual a 1,602x10-19 C. Os átomos 
contêm o mesmo número de prótons e elétrons e por isso são considerados ele-
tricamente neutros.
Define-se carga como característica elétrica do átomo, que compõem a 
matéria. Essa característica é baseada no conceito das teorias atômicas, em que o 
núcleo é composto pelos prótons e nêutrons, sendo o núcleo cercado por elétrons 
que giram em orbitais, conhecidos também como níveis, bem definidos, represen-
tando o modelo atômico de Bohr que é apresentado na Figura 1.
Carga é a propriedade elétrica das partículas atômicas que compõem a matéria.
NOTA
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
6
Os elétrons são atraídos das orbitas em direção ao núcleo pelos prótons, 
nessa ação, ocorrem movimentos circulares, conforme descrito pelo modelo de 
Bohr. Aparecem sobre eles forças centrífugas com a mesma intensidade que a 
força do próton, porém, com sentido contrário, eliminando as forças de atração e 
fazendo com que os elétrons se mantenham em órbita. A órbita em que se encon-
tra o elétron define a quantidade de energia dele, ou seja, quanto mais afastado o 
elétron está do núcleo maior é a sua energia. Por outro lado, quanto mais afasta-
do, mais fraco é a sua ligação com o núcleo, isso diferencia os materiais conduto-
res dos materiais isolantes. 
Os átomos que apresentam os elétrons da última órbita fracamente liga-
dos ao núcleo, ficam facilmente susceptíveis a tornarem elétrons livres quando 
submetidos a uma energia externa, assim, a condução de eletricidade se dá pelo 
movimento dos elétrons, caracterizando um material condutor. 
Os átomos que apresentam os elétrons da última órbita fortemente liga-
dos ao núcleo precisam de uma energia externa maior para fazer com que os 
elétrons se tornem livre. A pouca quantidade de elétrons livres diminui, podendo 
interromper a condução de eletricidade, caracterizando os materiais isolantes. 
Materiais condutores são aqueles que conduzem facilmente eletricidade.
Materiais isolantes são aqueles que não conduzem eletricidade.
NOTA
NOTA
TÓPICO 1 | VARIÁVEIS ELÉTRICAS
7
Os movimentos dos elétrons em materiais condutores, quando colocados 
sobre uma fonte de energia externa, caracterizam-se pelo movimento de cargas 
elétricas e resulta em transferência de energia de um ponto a outro. Quando esse 
movimento acontece em um caminho fechado, facilitando a transferência de ener-
gia, diz respeito à formação do circuito elétrico.
O movimento das cargas elétricas é chamado de corrente elétrica e ma-
tematicamente a corrente elétrica (i) está relacionada à quantidade de carga que 
passa no caminho fechado, em relação ao tempo.
A unidade básica da corrente (i) é o Ampère (A), o qual 1 Ampère corres-
ponde a 1 Coulomb por segundo. 
Encontram-se dois tipos de correntes elétricas, sendo elas: a corrente con-
tínua (CC) e a corrente alternada (CA). No Gráfico 1 é apresentada a corrente 
contínua e, no Gráfico 2, a corrente alternada, ambas em função do tempo. Dessas 
duas correntes derivam outras correntes que podem ser representadas por dife-
rentes funções matemáticas. 
Corrente elétrica é a taxa de variação no tempo da carga que passa em um 
determinado ponto.
NOTA
dqi
dt
=
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
8
GRÁFICO 1 – CORRENTE CONTINUA CC
FONTE: O autor
FONTE: O autor
GRÁFICO 2 – CORRENTE ALTERNADA CA
A corrente contínua é aquela que mantém constante à polaridade com o 
decorrer do tempo, conservando o sentido. Já a corrente alternada é aquela que 
alterna a polaridade com o decorrer do tempo, ora um sentido ora outro. Por 
convenção utiliza-se a letra maiúscula (I) para as correntes contínuas e a letra 
minúscula (i) para correntes alternadas. 
É muito importante entender os conceitosda corrente contínua e corrente 
alternada. Sugiro que consultem o livro: MARKUS, O. Circuitos Elétricos – Teoria e exercí-
cios. 9. ed. São Paulo: Editora Érica, 2011.
DICAS
TÓPICO 1 | VARIÁVEIS ELÉTRICAS
9
Como definido anteriormente, a corrente elétrica é o movimento dos elé-
trons, cargas negativas de um ponto para outro, porém, a fim de evitar o uso de 
valores negativos, é convencionado que o movimento das cargas é positivo de um 
ponto para outro.
Exemplo 1: calcule a quantidade de carga quando representada por 6.800 
elétrons.
Solução: a magnitude da carga do elétron é de -1,602x10-19 C. Logo,
Exemplo 2: calcule a corrente que circula em um elemento por segundo 
quando a carga que entra nela é de 15 C.
Solução:
4 TENSÃO
Para que os elétrons consigam movimentar-se é necessário que haja trans-
ferência de energia, ou seja, que haja fonte externa capaz de aumentar a energia 
nos elétrons da última órbita, os transformando em elétrons livres. Essa trans-
ferência de energia, ou variação do trabalho realizado, para movimentar uma 
unidade de carga de um ponto a outro em um circuito é definida como diferença 
de potencial ou tensão.
.qQ e n elétrons= °
191,602.10 .6800 q
CQ elétrons
elétrons
−= −
1610,894.10 qQ C
−=
dqi
dt
=
15
1
i =
15 i A=
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
10
Tensão é a energia necessária para mover uma unidade de carga de um 
ponto a outro.
Energia é a capacidade de realizar trabalho.
NOTA
NOTA
A tensão é definida matematicamente por:
ab
dwv
dq
=
Em que: 
W é a energia em Joule (J) e q é a carga dada em Coulomb (C).
 
A unidade básica da tensão é Volts (V) e 1 Volts corresponde 1 Joule por 
Coulomb.
Assim como a corrente elétrica, existe a tensão contínua (CC) e a tensão 
alternada (CA). A tensão contínua mantém constante a polaridade com o decor-
rer do tempo, sendo representada pela letra maiúscula (V). Já a tensão alterada é 
aquela que altera a polaridade com o decorrer do tempo, ora em um sentido ora 
em outro. A representação é dada pela letra minúscula (v). 
Exemplo 3: calcule a tensão entre dois pontos quando um trabalho de 145 
Joules é realizado para mover 11,85x1018 elétrons.
Solução:
1,898 q C=
dwv
dt
=
18 1911,85.10 .1,602.10q −=
TÓPICO 1 | VARIÁVEIS ELÉTRICAS
11
Potência é a taxa de liberação ou absorção de energia no tempo.
NOTA
5 POTÊNCIA
Todo equipamento quando submetido a uma tensão (diferença de poten-
cial) libera ou absorve potência a partir da corrente que circula pelo equipamento, 
ou seja, a energia fornecida aos elétrons por uma fonte externa faz com que as 
cargas se movimentem. A qual a quantidade de carga se movimenta por unidade 
de tempo com a variação de energia e libera ou absorve uma potência. 
145 
1,898 
Jv
C
=
76,40 v V=
dwP
dt
=
Como exemplo, uma lâmpada que tem uma potência de 250 W, tal po-
tência é disparada quando sobre seus terminais houver tensão de 220 V, a partir 
de uma corrente de 1,1367 A. Assim, define-se matematicamente a potência por:
Em que:
P é a potência dada em Watts (W), W é a energia dada em joules (J) e t é o 
tempo em segundos (s).
Das equações definidas anteriormente para a tensão e a corrente, pode-se 
reescrever a equação da potência, para uma potência instantânea como:
dwP
dt
=
.dw dqP
dq dt
=
.P v i=
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
12
.P V i=
408.0,35P =
142,8 P W=
A potência pode ser liberada ou absorvida pelo equipamento. O que de-
fine se a potência será liberada ou absorvida é a variação de energia. Pode-se 
determinar através do uso da convenção da direção da corrente com a polaridade 
da tensão. Essa convenção é chamada de convenção sinal passivo. 
Nas Figuras 2a e 2b, verifica-se a convenção. Quando a corrente entra no 
polo positivo da fonte de tensão a potência é absorvida pelo equipamento e, en-
tão, será positiva. Quando a corrente entra no polo negativo da fonte de tensão, a 
potência será negativa.
FIGURA 2 – CONVENÇÃO PASSIVA DE SINAL
O conceito de potência liberada ou absorvida é muito importante. Sugiro que 
consultem o livro: DORF, R. C.; SVOBODA, J. A. Introdução aos Circuitos Elétricos. 9. ed. 
São Paulo: LTC, 2016.
DICAS
(a) (b)
FONTE: O autor
Exemplo 4: uma fonte de tensão mede 408 V e a corrente que circula no 
circuito é de 0,35 A. Qual a potência do equipamento?
Solução:
13
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os engenheiros utilizam o sistema internacional de unidades, o S.I. Neste sis-
tema, são utilizadas seis unidades principais, e a partir destas derivam outras 
unidades para quantidades físicas.
• A carga é uma característica atômica dos átomos, é positiva para os prótons e 
negativa para os elétrons, com valor de 1,602x10-19 C e medida em Coulombs (C).
• O movimento das cargas em um caminho fechado é chamado de corrente elé-
trica e a unidade de medida é o Ampère (A), definida pela equação:
• A variação do trabalho para movimentar as cargas de ponto ao outro é definida 
como tensão, ou diferença de potencial, e a unidade de medida é em Volts (V), 
a qual a equação é dada por: 
• A variação da energia em função da variação do tempo define a potência em 
um elemento. Essa potência pode ser absorvida ou liberada por um equipa-
mento. A unidade para medir esta potência é o Watt (W) e a equação da potên-
cia pode ser obtida por:
RESUMO DO TÓPICO 1
dqi
dt
=
dwv
dq
=
dwP
dt
=
14
1 Qual das cinco tensões, 6 31 2 3 4 585 , 0,045 , 63 , 35.10 22.10 ,v V v mV v nV v V ev Vµ − −= = = = = 
é a maior?
2 Calcule o valor de carga de 2590 prótons.
3 A energia gasta para mover uma carga de um ponto A para um ponto B é de 
35 J e do ponto B para o ponto C é de -20 J. Calcule a queda de tensão ab bcv ev 
para uma carga de 3 C. 
4 Calcule a corrente em um equipamento quando a carga que entra neste é de 
25t C. Sendo t o tempo em segundos.
5 Para uma corrente de 8 kA que passa por um equipamento. Calcule o valor 
da carga que passa através do equipamento no primeiro microssegundo.
6 Calcule a corrente média que passa no equipamento num intervalo de tempo 
de 8 ms, para uma carga de 65 nC.
7 Para o equipamento ilustrado a seguir, calcule o valor da potência e se esta 
está sendo absorvida ou liberada:
8 Uma fonte externa com tensão constante de 24 V fornece 18 J de energia em 
um intervalo de tempo específico. Durante esse período, calcule o quanto de 
carga foi movimentado.
9 No esquema a seguir, em que dois equipamentos estão conectados em série, 
o equipamento 1 absorve uma potência de 48 W. O equipamento 2 libera ou 
absorve potência? Calcule o valor desta potência.
10 Calcule a potência para um circuito em que a tensão de alimentação seja 15 
V e a corrente de consumo de 15 A, para os 15 segundos iniciais. 
AUTOATIVIDADE
(a) (b) (c) (d)
15
TÓPICO 2
CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
DE CIRCUITOS ELÉTRICOS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
Neste tópico, os estudos iniciarão com a apresentação dos componentes 
utilizados em circuitos elétricos. Um circuito elétrico pode ser definido como a 
interligação dos componentes elétricos ou eletrônicos, fechando caminho para a 
circulação da corrente elétrica. Essa interligação dos componentes pode ser feita 
com ligação em série, em paralelo, e ligação mista, sendo a última a utilização das 
ligações série e paralelo no mesmo circuito.
Conforme visto no Tópico 1, as variáveis elétricas como corrente, tensão e 
potência são as grandezas a serem calculadas nos componentes do circuito elétrico. 
Os componentes utilizados em circuitos elétricos são classificados em duas cate-
gorias, sendo elas: os componentes ativos, que liberam energia, e os componentes 
passivos, que absorvem energia. Como exemplos dos componentes ativos têm as 
baterias, pilhas, geradores e modelos de transistor, tais componentes são geradores 
de energia. Para os componentes passivos são absorvedores de energia os resisto-
res, os indutores e os capacitores. Porém, na Unidade 3 serão abordados os indu-
tores e capacitores, que são componentes passivoscapazes de armazenar energia.
 
Neste tópico, os componentes ativos mais importantes serão estudados, 
sendo eles:
• Fonte de tensão independente.
• Fonte de corrente independente.
• Fonte de tensão dependente.
• Fonte de corrente dependente.
2 FONTE DE TENSÃO INDEPENDENTE
Uma fonte de tensão independente ideal é um componente que mantém a 
tensão constante em seus terminais, não dependendo de outra variável do circui-
to. Assim, para qualquer corrente que seja solicitada da fonte independente a sua 
tensão permanecerá a mesma. Como exemplo de uma fonte independente tem-se 
as baterias e a tensão fornecida pela concessionária.
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
16
Fonte de tensão independente é um componente que mantém a tensão em 
seus terminais independente da corrente solicitada.
NOTA
O símbolo utilizado para a fonte de tensão independente é apresentado 
na Figura 3.
FIGURA 3 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE TENSÃO INDEPENDENTE
FONTE: O autor
3 FONTE DE CORRENTE INDEPENDENTE
Uma fonte de corrente independente ideal é um componente que mantém 
a corrente constante em seus terminais, não dependendo de outra variável do 
circuito. Assim, para qualquer tensão que seja solicitada da fonte, independente-
mente, a sua corrente permanecerá a mesma.
O símbolo utilizado para uma fonte de corrente independente é apresen-
tado na Figura 4, no qual a seta indica o sentido da corrente.
Fonte de corrente independente é um componente que mantém a corrente 
em seus terminais independente da tensão solicitada.
NOTA
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
17
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 4 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE CORRENTE INDEPENDENTE
FIGURA 5 – EXEMPLO 1
Exemplo 1: calcule a potência liberada ou absorvida pelos componentes 
do circuito da Figura 5.
Solução: analisando a polaridade da fonte de 36 V e o sentido da corrente 
I, observa-se que o sentido da corrente sai do terminal positivo, logo, a fonte libera 
potência. Verificando os componentes 1, 2 e 3 e o sentido da corrente I, nota-se que o 
sentido da corrente entra no terminal positivo dos componentes, logo os componen-
tes 1, 2 e 3 absorvem potência. Para calcular os valores das potências, é necessário o 
uso das equações apresentadas no Tópico 1. Assim, para a fonte de 36 V, tem-se:
.P V I=
36 . 3P =
108 P W=
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
18
Para o componente 1: 
Para o componente 2:
Para o componente 3:
FIGURA 6 – EXEMPLO 2
FONTE: O autor
Conclui-se que a potência liberada é igual a soma das potências absorvi-
das.
Exemplo 2: calcule a potência liberada ou absorvida pelos componentes 
do circuito da Figura 6.
.P V I=
12.3P =
36 P W=
.P V I=
9.3P =
27 P W=
.P V I=
15.3P =
45 P W=
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
19
Para o componente 1: 
Para o componente 2:
Solução: observando a polaridade da fonte e o sentido da corrente de 2 
A, é possível observar que a corrente sai do positivo, logo, a fonte de 2 A libera 
potência.
Verificando a polaridade do componente 1 e o sentido da corrente obser-
va-se que a corrente entra no positivo do componente, logo, este componente está 
absorvendo potência.
Através da polaridade do componente 2 e o sentido da correte, observa-se 
que a corrente entra no negativo do componente, logo, o componente está libe-
rando potência.
Analisando a polaridade do componente 3 e o sentido da corrente, nota-se 
que a corrente entra no positivo do componente, logo, o componente está absor-
vendo potência.
Para o cálculo dos valores das potências será utilizada a equação apresen-
tada no Tópico 1.
Assim, para a fonte de corrente, tem-se:
.P V I=
24.2P =
48 P W=
.P V I=
16.2P =
32 P W=
.P V I=
4.2P =
8 P W=
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
20
Para o componente 3:
Conclui-se que a soma das potências liberadas é igual a soma das potên-
cias absorvidas.
4 FONTE DE TENSÃO DEPENDENTE 
Uma fonte de tensão dependente é um componente o qual seu valor de-
pende do valor da tensão ou da corrente de um ponto do circuito. Como exemplo 
de fonte de tensão dependente tem-se o gerador de energia elétrica, em que a 
tensão induzida no enrolamento do estator depende da corrente no rotor.
O símbolo utilizado para fonte de tensão dependente é apresentado na 
Figura 7. Nota-se que as fontes dependentes são diferenciadas na representação 
das fontes independentes, caracterizando-se na forma de um losango.
.P V I=
12.2P =
24 P W=
Fonte de tensão dependente é um componente onde o valor da tensão em 
seus terminais depende do valor da corrente ou tensão em um ponto específico do circuito. 
NOTA
FIGURA 7 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE TENSÃO DEPENDENTE
FONTE: O autor
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
21
FONTE: O autor
Existem dois tipos de fonte de tensão dependente, são elas:
• A fonte de tensão controlada por corrente (FTCC).
• A fonte de tensão controlada por tensão (FTCT).
A fonte do tipo FTCC o controle é com curto-circuito, como apresentado 
na Figura 8.
FIGURA 8 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE TENSÃO DEPENDENTE (FTCC)
A tensão Va é zero, assim: Va = 0V. A corrente ia é o valor da corrente no pon-
to do circuito para a fonte de tensão dependente. A fonte de tensão dependente Vb 
depende do valor da corrente ia. Assim:
.b aV g i=
Em que a constante g é o ganho da fonte.
 
A fonte do tipo FTCT o controle é com circuito aberto, como mostrado na 
Figura 9.
FIGURA 9 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE TENSÃO DEPENDENTE (FTCT)
FONTE: O autor
 
A corrente ia é zero, assim: ia= 0 A. a tensão Va é o valor da tensão no ponto 
do circuito, para a fonte de tensão dependente. A fonte de tensão Vb depende do 
valor da tensão Va. Assim:
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
22
.b aV g V=
Em que a constante g é o ganho da fonte.
5 FONTES DE CORRENTE DEPENDENTE
Uma fonte de corrente dependente é um componente cujo valor depende 
do valor da tensão ou da corrente de um ponto do circuito. Como exemplo de 
uma fonte de corrente dependente tem-se o transistor, o qual a corrente no coletor 
tem valor variável proporcionalmente a da corrente da base.
Fonte de corrente dependente é um componente onde o valor da corrente 
em seus terminais depende do valor da tensão ou corrente em um ponto específico do 
circuito.
NOTA
O símbolo utilizado para a fonte de corrente dependente é apresentado 
na Figura 10.
FIGURA 10 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE CORRENTE DEPENDENTE
FONTE: O autor
Estem dois tipos de fonte de corrente dependente, são elas:
• A fonte de corrente controlada por tensão (FCCT).
• A fonte de corrente controlada por corrente (FCCC).
A do tipo FCCT é controlada com circuito aberto, sendo assim a corrente 
ia=0A, a tensão Va é o valor da tensão no ponto do circuito para a fonte de corrente 
dependente, e a corrente ia depende do valor da tensão Va. Conforme pode ser 
visto na Figura 11. Assim:
.b ai g V=
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
23
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 12 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE CORRENTE DEPENDENTE (FCCC)
Em que a constante g é o ganho da fonte.
FIGURA 11 – SIMBOLOGIA DAS FONTES DE CORRENTE DEPENDENTE (FCCT)
A do tipo FCCC é controlada com curto-circuito é apresentada na Figura 12.
A tensão Va=0V, a corrente ia é o valor da corrente no ponto do circuito, 
para a fonte de corrente dependente, e a fonte da corrente ib depende do valor da corrente ia . Assim:
.b ai g i=
Em que a constante g é o ganho da fonte.
Exemplo 1: calcule a potência da fonte dependente do circuito da Figura 
13 e determine se ela está sendo absorvida ou fornecida.
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
24
FIGURA 13 – EXEMPLO 1
FONTE: O autor
FONTE: O autor
Solução:
Exemplo 2: calcule a potência da fonte dependente do circuito da Figura 14 e de-
termine se ela está sendo absorvida ou fornecida.
FIGURA 14 – EXEMPLO 2
2.b aV i=
2.1,25bV =
2,5 bV V=
.b bP V i=
2,5.1,75P =
4,375 P W absorvida=
TÓPICO 2 | CONCEITOS BÁSICOS E COMPONENTES 
25
FONTE: O autor
Solução:
Solução:
2.b aV V=
2.2bV =
4 bVV=
.b bP V i=
4.1,5P =
6 P W absorvida=
Exemplo 3: calcule a potência da fonte dependente do circuito a seguir e 
determine se ela está sendo absorvida ou fornecida.
FIGURA 15 – EXEMPLO 3
4.b ai V=
4.2bi =
8 bi A=
.b bP V i=
2,20.8P =
17,6 P W fornecida= −
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
26
Exemplo 4: calcule a potência da fonte dependente do circuito a seguir e 
determine se ela está sendo absorvida ou fornecida.
FIGURA 16 – EXEMPLO 4
FONTE: O autor
Solução:
4.b ai i=
4.1,20bi =
4,8 bi A=
.b bP V i=
24.4,8P =
115,2 P W fornecida= −
27
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Circuito é um caminho fechado onde circula corrente por componentes que 
podem estar ligado em serie ou paralelo.
• Existem dois tipos de componentes: os ativos, que são os que liberam energia, 
e os passivos, que absorvem energia.
• Os componentes ativos são fontes de energia, como as baterias e pilhas.
 
• Os componentes passivos são as resistências, indutores e capacitores.
 
• As fontes ativas são classificadas em dois tipos: independentes e dependentes.
• As fontes de tensão independente ideais são aquelas que mantêm a tensão es-
pecificada independente da corrente solicitada de circuito.
• As fontes dependentes de tensão são aquelas cujo valor depende da tensão ou 
da corrente de uma fonte específica do circuito.
• As fontes dependentes de corrente são aquelas em que o valor depende da ten-
são ou corrente de uma parte específica do circuito.
28
1 Calcule a potência fornecida ou absorvida por cada elemento representado 
a seguir:
2 Calcule a potência fornecida ou absorvida por cada elemento representado 
a seguir:
3 Calcule a potência absorvida por cada elemento representado:
AUTOATIVIDADE
29
4 Calcule lo no circuito representado a seguir:
5 Calcule Vo para o circuito representado a seguir:
6 A fonte Vs no circuito da representação a seguir está consumindo ou forne-
cendo potência? Qual o valor de Vs?
7 Calcule Vs do circuito representado a seguir:
30
8 Calcule a potência que é consumida ou fornecida pelos componentes do 
circuito representado a seguir:
9 Calcule a potência absorvida ou fornecida pelos componentes representa-
dos a seguir:
10 Calcule a potência consumida ou fornecida pelos componentes do circuito 
da ilustração a seguir.
31
TÓPICO 3
LEIS BÁSICAS
UNIDADE 1
1 INTRODUÇÃO
No Tópico 3, serão apresentadas as leis fundamentais para análise de cir-
cuitos, em que serão calculadas as grandezas apresentadas no Tópico 1. Para dar 
início aos estudos, neste tópico, as leis serão aplicadas somente para circuitos 
puramente resistivos, deixando o estudo com circuitos indutivos e capacitivos 
para a Unidade 3. 
Os circuitos podem ser compostos por resistores ligados em série, em 
paralelo ou circuitos mistos, sendo o último com ligações serie e paralelo. Para 
alguns circuitos em que os resistores não estão nem em série e nem em paralelo, 
será apresentado uma técnica de transformação de circuitos estrela para delta e 
de delta para estrela que simplificará os circuitos.
Ao final do tópico, estarão disponíveis alguns exercícios para melhor fi-
xação do conteúdo.
2 LEI DE OHM
Um material pode apresentar facilidade ou dificuldade para a circulação 
do fluxo de carga elétrica, a corrente elétrica, isso faz com que o material seja clas-
sificado como condutor ou isolante. A grandeza utilizada para medir a facilidade 
de circulação da corrente elétrica é chamada de condutância e é representada pela 
letra G. A sua unidade de medida pelo SI é o Siemens, representada pela letra S.
A grandeza utilizada para medir a dificuldade da circulação da corrente 
elétrica é chamada de resistência elétrica, sendo representada pela letra R e sua 
unidade de medida pelo SI é o OHM, representada pela letra grega Ω (ômega).
Dessa forma, a condutância é o inverso da resistência, ou seja, quanto 
maior for a condutância do material, menor será a sua resistência e quanto maior 
for a resistência, menor será a sua condutância. Assim, pode-se escrever:
32
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
1 1 G ou R
R G
= =
Diante disso, a resistência depende de suas características físicas, do ma-
terial que é constituído, sua seção transversal e seu comprimento. Assim, a equa-
ção que define matematicamente a resistência é:
 . lR
A
r=
Em que:
r = resistividade do material em Ohm, metro, conforme Tabela 1.
l = é o comprimento em metros (m).
A = é a seção transversal em metro quadrado (m²).
TABELA 1 – RESISTIVIDADES DE ALGUNS MATERIAIS
Material Resistividade (Ω.m)
Prata 1,64x10-8
Cobre 1,72x10-8
Aluminio 2,8x10-8
Ouro 2,45x10-8
Carbono 4x10-5
Germânio 47x10-2
Silício 6,4x102
Papel 1010
Mica 5x1011
Vidro 1012
Teflon 3x1012
FONTE: O autor
O componente ideal usado em circuitos para representar o comportamen-
to da resistência é o resistor. Na Figura 17 são apresentados os símbolos utiliza-
dos para representar o resistor.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
33
FONTE: O autor
FONTE: O autor
TABELA 2 – VALORES DAS CORES DOS ANÉIS DOS RESISTORES
FIGURA 17 – SIMBOLOGIA DOS RESISTORES
Resistor Fixo Resistor Variável
Os resistores normalmente são construídos de ligas metálicas e compo-
nentes de carbono. Os fabricantes disponibilizam três parâmetros das caracterís-
ticas, sendo elas a resistência ôhmica, a tolerância e a potência. A resistência é o 
valor específico do resistor, indicada sobre o corpo numericamente ou por anéis 
coloridos, que tem valores definidos conforme a Tabela 2.
1º anel 2º anel 3º anel
Cor do anel 1º algarismo 2º algarismo 3º algarismo Multiplicador Tolerância
Preto 0 0 0 1
Marrom 1 1 1 10 ± 1%
Vermelho 2 2 2 100 ± 2%
Laranja 3 3 3 1000
Amarelo 4 4 4 10000
Verde 5 5 5 100000
Azul 6 6 6 1000000
Violeta 7 7 7 10000000
Cinza 8 8 8 100000000
Branco 9 9 9 1000000000
Ouro x 0,1 ±5%
Prata x 0,01 ±10%
Sem cor ±20%
A tolerância é a diferença que pode ocorrer no valor ôhmico da resistên-
cia e essa diferença ocorre devido ao processo de fabricação do resistor. Existem 
cinco valores de tolerância que são ±1%, ±2%, ±5%, ±10% e ±20%. Os resistores de 
1% e 2% são chamados de resistores de precisão, os demais são resistores comuns.
A potência determina quanto o resistor suporta de calor sem alterar o 
seu valor e sem ser danificado. Para que seja possível verificar o valor ôhmico do 
resistor com os anéis deve ser utilizada a Tabela 2. Os resistores comuns apresen-
tam quatro anéis e os resistores de precisão apresentam cinco anéis.
Na Figura 18 é apresentado um modelo de resistor com quatro anéis. Os 
anéis devem ser lidos em determinada sequência, sendo o anel mais próximo da 
extremidade como o primeiro número. Os três primeiros anéis indicam o valor 
ôhmico, sendo o terceiro anel o fator de multiplicação. O último anel indica o 
valor da tolerância.
34
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 18 – RESISTOR DE QUATRO ANÉIS
Exemplo:
Primeiro anel – Laranja
Segundo anel – Branco
Terceiro anel – Vermelho
Quarto anel – Dourado
O valor do resistor será de 3900 Ohms ±5%.
Na Figura 19 é apresentado o modelo de resistor com cinco anéis. Da mes-
ma maneira que o com 4 anéis, este deve iniciar a leitura pelo anel mais próxi-
mo da extremidade. Os quatro primeiros anéis indicam o valor ôhmico, sendo o 
quarto anel o fator de multiplicação. O último anel indica o valor da tolerância.
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 19 – RESISTOR DE CINCO ANÉIS
Exemplo:
Primeiro anel – Vermelho
Segundo anel – Violeta
Terceiro anel – Azul
Quarto anel – Preto
Quinto anel – Marrom
O valor do resistor será de 276 Ohms ±1%.
No Século XIX, o físico alemão chamado Georg Simon OHM encontrou a 
relação entre a tensão e a corrente sobre um resistor. Ohm montou um circuito, 
conforme a Figura 20, sendo o resistor um valor fixo e conhecido e a fonte de ten-
são variável com valores também conhecidos.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
35
FONTE: O autor
FIGURA 20 – CIRCUITO PARA A FORMULAÇÃO DA LEI DE OHM
Com um amperímetro e um voltímetro conectados ao circuito,Ohm va-
riou a tensão da fonte e anotava esses valores. Ohm observou que conforme au-
mentava a tensão a corrente aumentava linearmente, dessa forma, Ohm conclui 
que a corrente é diretamente proporcional a variação da tensão. Assim, ele criou 
a equação que ficou conhecida como a Primeira Lei de Ohm, sendo:
.V R I=
Em que: 
V é a tensão em Volts (V).
I é a corrente em Ampère (A).
R é a resistência em Ohm (Ω).
Irwin (2013, p. 18) diz que “a lei de OHM estabelece que a tensão em um 
resistor é diretamente proporcional à corrente que flui através dele. A resistência, 
medida em Ohms, é a constante de proporcionalidade entre a tensão e a corrente”.
Com a equação da Lei de Ohm pode-se calcular o valor de R, que pela 
equação é inversamente proporcional a corrente, ou seja, quanto maior a resistên-
cia menor será a corrente do circuito e vice e versa. Com tal conclusão observam-
-se os dois extremos da Lei de Ohm: 
• Para uma resistência muito alta, tendendo ao infinito, não existirá corrente no 
circuito, podendo-se dizer que o resistor está aberto. 
Resistor aberto é quando a resistência se aproxima do infinito e a corrente é 
igual a zero. 
NOTA
V
A
RV
36
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
• Para uma resistência muito baixa, tendendo a zero, a corrente será muito alta, 
podendo-se dizer que o resistor está em curto-circuito, à tensão sobre o resistor 
será zero.
É possível também pela Lei de Ohm calcular a potência no resistor, utili-
zando a equação vista no Tópico 1. Assim, temos:
Substituindo a tensão na equação da potência: 
A Lei de Ohm:
Resistor em curto-circuito é quando a resistência é aproximadamente zero, a 
corrente aproxima-se do infinito.
NOTA
.P V I=
.V R I=
2.P R I=
Substituindo a corrente na equação da potência:
FONTE: O autor
2
=
VP
R
Exemplo 1: calcule a corrente e a potência absorvida pelo resistor da Fi-
gura 21.
FURA 21 – EXEMPLO 1
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
37
Solução: pela Lei de Ohm, temos:
Com a equação da potência, temos:
FONTE: O autor
.V R I=
VI
R
=
2,5 I A=
2.P R I=
25 P W=
Exemplo 2: para o circuito apresentado na Figura 22, em que a potência 
absorvida pelo resistor é de 72 W. Calcule a tensão da fonte e a corrente no resistor.
FIGURA 22 – EXEMPLO 2
Solução: com a equação da potência temos:
E
2.P R I=
3 I A=
24 V V=
Exemplo 3: uma secadora de roupa consome uma corrente de 18 A, quan-
do ligada em uma fonte de 200 V. Calcule a resistência desta secadora e o valor da 
condutância deste resistor.
Solução: pela Lei de Ohm, temos:
38
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
A condutância pode ser calculada por:
Ou
90 G mS=
3 LEI DE KIRCHHOFF
Para circuitos em que os elementos são somente fonte e um resistor, a Lei de 
Ohm pode ser aplicada para o cálculo de tensão e corrente. Porém, quando são adi-
cionados mais elementos, não é possível a utilização diretamente da Lei de Ohm.
Em 1847, o cientista e professor da universidade de Berlim, Gustav Robert 
Kirchhoff, formulou duas equações para a resolução de circuitos com dois ou mais 
resistores e fontes. Essas equações são chamadas de Leis de Kirchhoff, as quais re-
lacionam a tensão e a corrente entre os elementos do circuito.
Os diferentes modos que podem ser conectados os elementos de um circui-
to faz com que alguns termos devam ser definidos para análise e aplicação das Leis 
de Kirchhoff: 
• Primeiro - a definição de nó: um nó é um ponto de conexão de dois ou mais 
componentes do circuito, na Figura 23 estão destacados os nós do circuito.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
39
FIGURA 23 – CIRCUITO DESTACANDO OS NÓS
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 24 – CIRCUITO DESTACANDO OS RAMOS
• Segundo - a definição de ramo, ramo é um único elemento conectado entre dois 
nós, como uma fonte ou um resistor. Na Figura 24 é apresentado um circuito 
com sete ramos.
• Terceiro - a definição de malha ou laço. Malha é qualquer caminho fechado 
que, partindo de um nó qualquer escolhido, percorra todos os componentes 
neste caminho fechado retornando ao nó de partida, porém não pode passar 
pelo nó escolhido. Na Figura 25 é apresentado um circuito com duas malhas.
40
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 25 – CIRCUITO DESTACANDO AS MALHAS OU LAÇOS
FIGURA 26 – CIRCUITO COM OS ELEMENTOS EM SÉRIE
FONTE: O autor
FONTE: O autor
• Quarto - à definição de série: é quando os elementos estão conectados sequen-
cialmente, o final do primeiro elemento está conectado no início do segundo, 
o final do segundo está conectado no início do terceiro e assim por diante. 
Quando os elementos estão conectados em série, a corrente que circulará pelo 
elemento um é igual à que circulará pelo elemento dois e assim por diante. En-
tretanto, a tensão do elemento um será diferente da tensão do elemento dois e 
assim por diante. Assim, para elementos em série a corrente é igual para todos 
os elementos, mas a tensão é diferente nos elementos. Na Figura 26 é apresen-
tado um circuito em série.
• Quinto - a definição de paralelo: paralelo é quando os elementos estão conectados 
nos mesmos pares de terminais, entre dois nós, o início do primeiro elemento está 
conectado com o início do segundo elemento que está conectado com o início do 
terceiro elemento, e assim por diante. O final do primeiro elemento está conecta-
do com o final do segundo elemento que está conectado com o final do terceiro 
elemento, e assim por diante. Quando os elementos estão conectados em paralelo 
a tensão é igual em todos os elementos. Entretanto, a corrente que circula pelos 
elementos é diferente. Na Figura 27 é apresentado um circuito em paralelo.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
41
FIGURA 27 – CIRCUITO COM OS ELEMENTOS EM PARALELO
FONTE: O autor
Com as definições apresentadas, podemos aplicar as Leis de Kirchhoff 
para cálculo das tensões e correntes nos circuitos. A primeira Lei de Kirchhoff é 
para a corrente (LCK), que diz que a soma das correntes que chegam em um nó é 
igual à soma das correntes que saem do mesmo nó. Convencionalmente, as cor-
rentes que chegam em um nó são positivas e as que saem do nó são negativas. A 
Lei das correntes de Kirchhoff estabelece que a soma algébrica das correntes que 
chegam em um nó é zero. 
Lei das correntes de Kirchhoff (LCK): a soma algébrica das correntes que en-
tram em um nó é igual a zero.
NOTA
Matematicamente é escrita como:
1
0
N
n
n
i
=
=∑
Em que:
N é o número de ramos conectados ao nó.
iné a n-ésima corrente chegando ou saindo de um nó.
Exemplo 1:
Para o circuito da Figura 28, calcule o valor das correntes I1, I2 e I3.
42
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 28 – EXEMPLO 1
FONTE: O autor
Solução: o circuito está conectado em paralelo, assim a tensão em R1 é 
igual a tensão em R2 que é igual a tensão da fonte V1. Pela Lei de Ohm é possível 
calcular as tensões nos resistores R1 e R2:
Escrevendo a primeira Lei de Kirchhoff, temos:
A segunda Lei de Kirchhoff é para a tensão (LTK), essa lei estabelece que 
a soma algébrica das tensões em um caminho fechado (malha) é zero. 
2 5 I A=
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1 2 3 0I I I− − =
1 1 3.RV R I=
3 2 I A=
2 2 2.RV R I=
1 2 3I I I= +
1 7 I A=
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
43
FONTE: O autor
Matematicamente é escrita como:
1
0
M
m
m
v
=
=∑
A lei das tensões de Kirchhoff (LTK) a soma algébrica das tensões em um ca-
minho fechado é igual a zero.
IMPORTANT
E
Em que:
M é o número de tensões na malha.
Vmé a m-ésima tensão.
Exemplo 2: para o circuito da Figura 29 calcule o valor da fonte V1, consi-
derando a corrente I=8 A.
FIGURA 29 – EXEMPLO 2
Solução: pela Lei de Ohm é possível calcular a tensão em cada resistor, 
R1, R2, R3 e R4. Assim:
1 1.RV R I=
1 40 RV V=
2 2.RV R I=
44
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
2 16 RV V=
3 3.RV R I=
3 80 RV V=
4 4.RV R I=
4 120 RV V=
Escrevendo a segunda Lei de Kirchhoff temos:
1
0
M
m
m
v
=
=∑
1 1 2 3 4 0R R R RV V V V V− + + + + =
1 1 2 3 4R R R RV V V V V= + + +
1 200 V V=
4 ASSOCIAÇÃO DE RESISTORES
Os circuitos resistivos podemser reduzidos a partir de associação dos 
resistores, resultando em um único resistor chamado de resistor equivalente. A 
técnica de redução de circuitos, pelo método de associação dos resistores, pode 
transformar um circuito com vários resistores em apenas um resistor.
Sadiku, Alexander e Musa (2014, p. 51) afirmam que “a necessidade de 
combinar resistoreem série ou em paralelo ocorre tão frequentemente que estas 
conexões merecem uma atenção especial. O processo de combinar resistores é 
mais fácil se os combinarmos de dois em dois”.
Na associação série de resistores, a resistência equivalente é obtida pela 
soma dos resistores. Este valor da resistência equivalente é o valor visto pela fon-
te, independente de quantos resistores estiver em série.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
45
Resistores em série têm o comportamento como um único resistor, em que a 
resistência equivalente é igual a soma das resistências dos resistores individuais.
IMPORTANT
E
Exemplo 1: no circuito da Figura 30, calcule o valor da resistência equiva-
lente visto pela fonte de entrada.
FIGURA 30 – EXEMPLO 1
Solução: aplicando a segunda Lei de Kirchhoff, temos:
Pela Lei de Ohm podemos escrever:
FONTE: O autor
1
0
M
m
m
v
=
=∑
1 1 2 3 4 5 6 7 0R R R R R R RV V V V V V V V− + + + + + + + =
1 1 2 3 4 5 6 7R R R R R R RV V V V V V V V= + + + + + +
1 1 2 3 4 5 6 7. . . . . . .V R I R I R I R I R I R I R I= + + + + + +
( )1 1 2 3 4 5 6 7 .V R R R R R R R I= + + + + + +
46
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
Assim, o valor da resistência que é visto pela fonte é a soma de todos os 
resistores. Podemos então escrever:
Na associação paralela à resistência equivalente é obtida do inverso da 
soma do inverso das resistências em paralelo. Matematicamente é escrita como:
Ou
. 1 2 3 4 5 6 7eqR R R R R R R R= + + + + + +
. 68 eqR = Ω
. 1 2 3
1 1 1 1 1
eq nR R R R R
= + + +…+
1 2 3
1
1 1 1 1eq
n
R
R R R R
=
+ + +…+
Exemplo 2: no circuito da Figura 31, calcule o valor da resistência equiva-
lente visto pela fonte de entrada.
FIGURA 31 – EXEMPLO 2
Solução: aplicando a primeira Lei de Kirchhoff:
FONTE: O autor
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1 2 3I I I I= + +
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
47
Pela Lei de Ohm, temos:
Assim substituindo a equação da Lei de Ohm, na equação da Lei de Kir-
chhoff, temos:
Dividindo os dois lados da equação por V1, temos:
Assim, o valor da resistência visto pela fonte é:
Para os circuitos que contiverem os resistores em paralelo é possível apli-
car a associação de dois em dois resistores pela equação:
1 ..eqV R I=
1
.eq
VI
R
=
1 1 1 1
. 1 2 3eq
V V V V
R R R R
= + +
. 1 2 3
1 1 1 1
eqR R R R
= + +
1 2 3
1
1 1 1eqR
R R R
=
+ +
. 1,19 eqR = Ω
1 2
.
1 2
.
eq
R RR
R R
=
+
Dois resistores em paralelo têm o comportamento como um único resistor, 
em que a resistência equivalente é igual ao produto das suas resistências dividido pela 
soma das resistências. 
NOTA
48
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
Alguns circuitos podem apresentar parte dos resistores conectados em 
série e outra parte em paralelo, são chamados de circuitos mistos. Para calcular o 
valor da resistência equivalente, aplica-se a equação da associação em série e da 
associação em paralelo sucessivas vezes, reduzindo o circuito até que se obtenha 
o valor da resistência equivalente.
Exemplo 3: para o circuito da Figura 32, calcule a resistência equivalente 
visto pela fonte de tensão.
Solução: verificando o circuito os resistores R4 e R5 estão em série, logo 
iniciaremos por essa associação, o circuito equivalente é apresentado na Figura 33.
FIGURA 32 – EXEMPLO 3
FIGURA 33 – CIRCUITO EQUIVALENTE 1
FONTE: O autor
FONTE: O autor
1 4 5eqR R R= +
1 10 eqR = Ω
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
49
Pelo circuito da Figura 34 é possível verificar que o resistor R2 está em 
série com o resistor equivalente Req2 desenhando novamente o circuito temos o 
circuito da Figura 35:
FIGURA 34 – CIRCUITO EQUIVALENTE 2
FIGURA 35 – CIRCUITO EQUIVALENTE 3
FONTE: O autor
FONTE: O autor
Verificamos que o resistor R3 fica em paralelo com o resistor obtido pela 
associação, Req1. Assim redesenhando o circuito temos o circuito da Figura 34:
.1 3
2
.1 3
.eq
eq
eq
R R
R
R R
=
+
2 5 eqR = Ω
3 2 .2eq eqR R R= +
3 25 eqR = Ω
50
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
O resistor R1 está em paralelo com o resistor Req.3, analisando o circuito 
da Figura 35. O circuito equivalente obtido com associação paralela dos resistores 
está apresentado na Figura 36, assim o resistor equivalente visto pela fonte fica:
.3 1
4
.3 1
.eq
eq
eq
R R
R
R R
=
+
2 7,14 eqR = Ω
FIGURA 36 – CIRCUITO EQUIVALENTE 4
FONTE: O autor
FONTE: O autor
Logo, o resistor equivalente 4 é o próprio resistor equivalente visto pela 
fonte de entrada.
4.1 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO SÉRIE DE RESISTORES
Com a apresentação das leis e as associações dos resistores é possível cal-
cular os valores de corrente e tensão para o circuito série, que é talvez um dos 
mais simples dos circuitos. Lembrando que para circuitos em série a corrente é 
igual em todos os resistores e que a tensão é diferente.
Exemplo 1: para o circuito da Figura 37, calcule os valores das tensões, as 
potências e o resistor equivalente visto pela fonte.
FIGURA 37 – EXEMPLO 1
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
51
Solução: calculando a resistência equivalente:
O circuito pode ser substituído pelo circuito da Figura 38:
Aplicando a segunda Lei de Kirchhoff:
FONTE: O autor
FIGURA 38 – CIRCUITO EQUIVALENTE
. 1 2 3eqR R R R= + +
. 90 eqR = Ω
1
0
M
m
m
v
=
=∑
1 1 2 3 0R R RV V V V− + + + =
1 1 2 3R R RV V V V= + +
0,4 I A=
Aplicando a Lei de Ohm:
1 1.RV R I=
1 4 RV V=
2 2.RV R I=
2 12 RV V=
3 3.RV R I=
1 1,6 RP W=
52
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
2
2 2.RP R I=
2 4,8 RP W=
2
3 3.RP R I=
3 8 RP W=
É possível calcular a tensão sobre os resistores em série diretamente pela 
utilização da equação chamada de divisor de tensão. Com a equação da Lei de 
Kirchhoff das tensões levantada do circuito temos:
Resolvendo a equação para I, obtém-se:
1
0
M
m
m
v
=
=∑
1 1 2 3 0R R RV V V V− + + + =
1 1 2 3. . . 0V R I R I R I− + + + =
1
1 2 3
VI
R R R
=
+ +
Pela Lei de Ohm temos que a tensão sobre qualquer resistor em série é:
Assim, substituindo a equação obtida da corrente na equação da Lei de 
Ohm, temos:
Podemos escrever a mesma equação para todos os resistores em série, 
assim:
1 1.RV R I=
1 1
1 1
1 2 3
.. R
R VV R I
R R R
= →
+ +
2 1
2 2
1 2 3
.. R
R VV R I
R R R
= →
+ +
3 1
3 3
1 2 3
.. R
R VV R I
R R R
= →
+ +
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
53
Dessa forma, podemos escrever uma equação geral para o divisor de ten-
são como:
Com a equação do divisor de tensão é possível determinar a tensão sobre 
qualquer resistor em série do circuito. A regra é a resistência do resistor que que-
ro saber a tensão, dividida pela soma de todas as resistências que estão em série 
no circuito, multiplicados pela tensão aplicada aos terminais de entrada. Quando 
o circuito é composto apenas por dois resistores em série, é possível calcular a 
tensão com a seguinte equação:
Exemplo 3: calcule o valor da tensão sobre o resistor R2 da Figura 40 uti-
lizando o método do divisor de tensão.
Exemplo 2: calcule o valor da tensão sobre o resistor R3 da Figura 39 uti-
lizando o método do divisor de tensão.
FIGURA 39 – EXEMPLO 2
Solução:
1
1 2 3
.. nRn n
n
R VV R I
R R R R
= →
+ + +…+
1
1 1
1 2
.R
RV V
R R
=
+
2
2 1
1 2
.R
RV V
R R
=
+
FONTE: O autor
3 1
3
1 2 3 4
. R
R VV
R R R R
=
+ + +
3
330.36 
120 220 330 180R
V =
+ + +
3 1 3,98 RV V=
54
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 40 – EXEMPLO 3
FONTE: O autor
FONTE: O autor
Solução:
2
2 1
1 2
.R
RV V
R R
=
+
2
56 .24
120 56R
V =
+
2 7,63 RV V=
4.2 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO PARALELA DE 
RESISTORES
Conforme visto anteriormente, para os resistores conectados em paralelo, a 
tensão nos terminais dos resistores é a mesma da fonte de alimentação. A correnteem cada resistor dependerá do valor da sua resistência, com isto, a corrente será 
diferente para cada resistor. 
Exemplo 1: calcule o valor de I, I1, I2 e I3, o valor da resistência equivalente, 
visto pela fonte V1 e a tensão em cada resistor do circuito apresentado na Figura 41.
FIGURA 41 – EXEMPLO 1
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
55
FONTE: O autor
Solução: cálculo da resistência equivalente:
1 2 3
1
1 1 1eqR
R R R
=
+ +
6,67 eqR = Ω
A Figura 42 apresenta o circuito equivalente visto pela fonte:
FIGURA 42 – CIRCUITO EQUIVALENTE
Cálculo das correntes pode utilizar a equação de Kirchhoff, assim:
Com a Lei de Ohm em cada resistor, temos:
A tensão em cada resistor será:
É possível verificar que os resultados obtidos são coerentes, pois, resolvendo 
o circuito, sendo o resistor equivalente calculado, chegamos no mesmo valor, assim:
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1 2 3 0I I I I− − − =
1 2 3I I I I= + +
1 2 3 30 R R RV V V V= = =
56
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
1
.
4,5
eq
VI I A
R
= =
Com a obtenção da resistência equivalente do circuito paralelo temos:
Da equação da Lei de Ohm é possível calcular a tensão de entrada, assim:
Substituindo a resistência equivalente na equação da Lei de Ohm, temos:
1 2 3
1
1 1 1eqR
R R R
=
+ +
1 ..eqV R I=
1 .
1 2 3
1. . 1 1 1eqV R I I
R R R
= →
+ +
Dessa forma, a corrente em cada um dos resistores pode ser obtida por:
Podemos escrever a equação para todos os resistores em paralelo, assim:
Dessa forma, é possível escrever uma equação geral para o divisor de cor-
rente como:
1
1
1 1
1 2 3
1 . 1 1 1
V II
R R
R R R
= =
+ +
1
2
2 2
1 2 3
1 . 1 1 1
V II
R R
R R R
= =
+ +
1
3
3 3
1 2 3
1 . 1 1 1
V II
R R
R R R
= =
+ +
1
1 2 3
1 . 1 1 1 1n
n n
n
V II
R R
R R R R
= =
+ + +…
Da mesma maneira que a utilizada no subtópico 4.3, é possível calcular a cor-
rente diretamente utilizando uma equação chamada de divisor de corrente.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
57
Com a equação do divisor de corrente é possível determinar a corrente so-
bre qualquer resistor em paralelo do circuito. A regra é a corrente de entrada em 
cada resistor multiplicada pela resistência equivalente e dividida pela resistência 
na qual deseja-se determinar a corrente.
Quando o circuito é composto apenas por dois resistores em paralelo, é 
possível calcular a corrente com a seguinte equação: 
Exemplo 2: calcule a corrente no resistor R3, do circuito da Figura 43, uti-
lizando o método do divisor de corrente.
Exemplo 3: calcule a corrente no resistor R2, do circuito da Figura 44, uti-
lizando o método do divisor de corrente.
Solução:
FIGURA 43 – EXEMPLO 2
1
2
1 2
. RI I
R R
=
+
2
1
1 2
. RI I
R R
=
+
FONTE: O autor
3
3
1 2 3 4
1 . 1 1 1 1
II
R
R R R R
=
+ + +
3
1 15 . 1 1 1 1 33
120 56 33 47
I =
+ + +
3 5,84 I A=
58
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 44 – EXEMPLO 3
FIGURA 45 – EXEMPLO 1
FONTE: O autor
FONTE: O autor
Solução:
1
2
1 2
. RI I
R R
=
+
2
1208.
120 56
I =
+
2 5, 45 I A=
4.4 CIRCUITOS COM ASSOCIAÇÃO MISTA DE RESISTORES
Para os circuitos com associação mista, em que, no mesmo circuito, tere-
mos conexões série e conexões em paralelo de resistores. É possível resolver o 
circuito por partes, fazendo a redução do circuito simplificando os cálculos.
Exemplo 1: para o circuito da Figura 45, calcule o valor das correntes I1, I2 
e I3 das tensões VR1, VR2 e VR3 e a resistência equivalente vista pela fonte.
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
59
FIGURA 46 – CIRCUITO EQUIVALENTE
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 47 – EXEMPLO 1
Solução: cálculo da resistência equivalente:
Os resistores R2 e R3 estão em paralelo e ficam em serie com R1, assim:
O circuito equivalente está apresentado na Figura 46.
Cálculo das correntes e tensões, o circuito fica o apresentado na Figura 47:
2 3
. 1
2 3
. eq
R RR R
R R
 
= + + 
. 13,08 eqR = Ω
Equacionando o circuito:
Aplicando a Lei de Ohm podemos escrever:
60
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff (LCK), para o nó um, obtemos:
Aplicando a lei das tensões de Kirchhoff (LTK), nas malhas um e dois, 
obtemos:
Malha 1:
Malha 1:
Malha 1:
Malha 2:
Malha 2:
Reescrevendo as equações em função de I2, temos:
1
0
N
n
n
i
=
=∑
1 2 3 0I I I− − =
1
0
M
m
m
v
=
=∑
1 1 2 0R RV V V− + + =
2 3 0R RV V− + =
2 3R RV V=
1 225 10. 5. 0I I− + + =
2 35 . 8 .I I=
2
1
25 5.
10
II −=
Verifica-se que é coerente a equação obtida para a tensão sobre o resistor R2 
e R3, pois os resistores estão associados em paralelo, ficando com o mesmo valor de 
tensão.Substituindo as equações da Lei de Ohm, nas equações da Lei de Kirchhoff:
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
61
Malha 2:
5 TRANSFORMAÇÃO Y(ESTRELA) PARA ∆ (DELTA)
Alguns circuitos apresentam os resistores conectados de tal forma que 
não é possível definir se estão conectados em série ou em paralelo. Sendo identi-
ficada essa situação, no circuito, é possível modificar o circuito utilizando a téc-
nica de circuito equivalente de três terminais. Chamados de circuitos estrela Y ou 
conexão T e circuitos delta ∆ ou conexão π, na Figura 48 e 49 são apresentados os 
dois modelos.
Substituindo as equações obtidas das malhas na equação da corrente de 
Kirchhoff, obtidas do circuito, temos:
Com o cálculo de I2 é possível calcular os valores de I1, I2, V1, V2 e V3, 
substituindo nas equações da Lei de Ohm e de Kirchhoff. Assim:
2
3
5.
8
II =
2 2
2
25 5. 5. 0
10 8
I II− − − =
2 1,18 I A=
2
1
25 5. 
10
II −=
1 1,91 I A=
2
3
5.
8
II =
3 0,74 I A=
1 1 1.RV R I=
1 19,10 RV V=
2 2 2.RV R I=
2 5,9 RV V=
3 3 3.RV R I=
3 5,9 RV V=
62
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
FIGURA 48 – CIRCUITO COM A CONEXÃO ESTRELA Y
FIGURA 49 – CIRCUITO COM A CONEXÃO DELTA ∆
FONTE: O autor
FONTE: O autor
5.1 TRANSFORMAÇÃO DELTA ∆ PARA ESTRELA Y
Para o circuito que contenha uma ligação em delta e que na análise a sim-
plificação utilizando um circuito Y seja mais conveniente, podemos impor a troca 
do circuito ∆ calculando os resistores equivalentes para o circuito Y. Observando 
os circuitos da Figura 50, verificamos que o resistor equivalente visto nos termi-
nais 1 e 2 do circuito em Y será:
E, para o circuito em delta, o resistor equivalente visto nos terminais 1 e 2 
é o paralelo entre Rb e Rc+Ra. 
Assim:
Podemos escrever as equações as equações para os terminais 1 e 3, 3 e 4, 
fazendo a mesma análise, assim: 
Circuito em Y
12 1 3R R R= +
( )
( )12
.b a c
b a c
R R R
R
R R R
+
=
+ +
13 1 2R R R= +
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
63
Para que a transformação seja válida os valores dos resistores equivalen-
tes vista nos terminais 1 e 2, 1 e 3, 3 e 4 devem ser as mesmas nos circuitos estrela 
e delta. Assim, as equações devem ser igualadas. Portanto, R12 no circuito estrela 
deve ser igual ao R12 do circuito delta, o resistor R13 no circuito estrela deve ser 
igual ao R13 do circuito delta e o resistor R34 no circuito estrela deve ser igual ao 
resistor R34 do circuito delta. Assim, as equações são escritas como:
Sadiku, Alexander e Musa (2014, p. 60) dizem que “cada resistor no cir-
cuito Y é o produto dos resistores dos dois ramos adjacentes do ∆ dividido pela 
soma dos três resistores do ∆”. 
Resolvendo as equações para R1, R2 e R3, tem-se:
Circuito em ∆ 
Circuito em ∆ 
Circuito em Y 
( )
13
.c a b
c a b
R R R
R
R R R
+
=
+ +
34 2 3R R R= +
( )
34
.a b c
a b c
R R R
R
R R R
+
=
+ +
( )
12 12 1 3
.
 b a cY
b a c
R R R
R R R R
R R R∆
+
= → + =
+ +
( )
13 13 1 2
.
 c a bY
c a b
R R R
R R R R
R R R∆
+
= → + =
+ +
( )
34 34 2 3
.
 a b cY
a b c
R R R
R R R R
R R R∆
+
= → + =
+ +
1
 .b c
a b c
R RR
R R R
=
+ +
2
 .c a
a b c
R RR
R R R
=
+ +
3
 .a b
a b c
R RR
R R R
=
+ +
64
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
5.2 TRANSFORMAÇÃO ESTRELA Y PARA DELTA ∆
Quando o circuito contém ligação em estrela e que, na análise, a simpli-
ficação utilizando um circuito em delta seja mais conveniente, é possívelimpor 
ao circuito a troca das ligações em estrela para delta. Analisando os circuitos da 
Figura 50 e as equações levantadas no tópico anterior, têm-se as equações:
Resolvendo as equações para Ra, Rb e Rc, tem-se:
( )
1 3
.b a c
b a c
R R R
R R
R R R
+
+ =
+ +
( )
1 2
.c a b
c a b
R R R
R R
R R R
+
+ =
+ +
( )
2 3
.a b c
a b c
R R R
R R
R R R
+
+ =
+ +
1 2 2 3 3 1
1
. . .
a
R R R R R RR
R
+ +
=
1 2 2 3 3 1
2
. . .
b
R R R R R RR
R
+ +
=
1 2 2 3 3 1
3
. . .
c
R R R R R RR
R
+ +
=
Uma maneira de fazer a transformação de estrela para delta e de delta 
para estrela, sem a necessidade de memorizar as equações é sobrepor o circuito 
estrela sobre o circuito delta, conforme a Figura 49. 
FIGURA 50 – CIRCUITO COM A CONEXÃO DELTA ∆ E ESTRELA Y SOBREPOSTOS
FONTE: O autor
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
65
FONTE: O autor
Observando a Figura 50, podemos escrever as equações de transformação 
de delta para estrela, fazendo a seguinte regra:
• O resistor R1 do circuito estrela é obtido pelo produto dos dois resistores adjacentes 
do circuito delta, dividido pela soma dos resistores do circuito delta. 
• O resistor R2 do circuito estrela é obtido pelo produto dos dois resistores adjacentes 
do circuito delta, dividido pela soma dos resistores do circuito delta.
• O resistor R3 do circuito estrela é obtido pelo produto dos dois resistores adjacentes 
do circuito delta, dividido pela soma dos resistores do circuito delta.
• Para a transformação do circuito estrela para delta pode ser utilizado a seguinte regra:
 0 O resistor Ra do circuito delta é obtido pela soma de todos os possíveis 
produtos da combinação de dois a dois dos resistores do circuito estrela, 
dividido pelo resistor oposto ao circuito estrela.
 0 O resistor Rb do circuito delta é obtido pela soma de todos os possíveis 
produtos da combinação de dois a dois dos resistores do circuito estrela, 
dividido pelo resistor oposto ao circuito estrela.
 0 O resistor Rc do circuito delta é obtido pela soma de todos os possíveis 
produtos da combinação de dois a dois dos resistores do circuito estrela, 
dividido pelo resistor oposto ao circuito estrela.
Sadiku, Alexander e Musa (2014, p. 61) dizem que “cada resistor no cir-
cuito ∆ é a soma de todos os possíveis produtos dos resistores de Y dois a dois, 
dividido pelo resistor oposto do circuito Y”.
Exemplo 1: transforme o circuito estrela para delta da Figura 50. Conside-
re R1=30 Ω, R2=25 Ω e R3=150 Ω.
FIGURA 51 – EXEMPLO 1
Solução: aplicando a regra de sobrepor os circuitos delta e estrela, confor-
me a Figura 52, podemos escrever as equações:
66
UNIDADE 1 | CONCEITOS E LEIS BÁSICAS
Assim, o circuito delta será o apresentado na Figura 53.
FIGURA 53 – CIRCUITO RESULTANTE EM DELTA
Exemplo 2: transforme o circuito da Figura 54 de delta para estrela. Con-
sidere Ra=80 Ω, Rb=100 Ω e Rc=30 Ω.
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 52 – EXEMPLO 1 CIRCUITO SOBREPOSTO
TÓPICO 3 | LEIS BÁSICAS
67
Solução: aplicando a regra de sobrepor o circuito delta no circuito estrela, 
conforme a Figura 55, podemos escrever as equações:
FONTE: O autor
FONTE: O autor
FIGURA 56 – CIRCUITO RESULTANTE EM ESTRELA
Assim, o circuito estrela será o apresentado na Figura 56.
FONTE: O autor
FIGURA 55 – EXEMPLO 2: CIRCUITO SOBREPOSTO
1
 .b c
a b c
R RR
R R R
=
+ +
1 14,28 R = Ω
2
 .c a
a b c
R RR
R R R
=
+ +
2 11,43 R = Ω
3
 .a b
a b c
R RR
R R R
=
+ +
3 38,10 R = Ω
FIGURA 54 – EXEMPLO 2
68
ELETRICIDADE, MAGNETISMO E CIRCUITOS
Jaime E. Villate
[...]
2 VOLTAGEM E CORRENTE
LEITURA COMPLEMENTAR
Uma forma simples de sentir o efeito da corrente elétrica consiste em co-
locar uma colher metálica e um pedaço de folha de alumínio em duas partes da 
língua. Estabelecendo contato entre a colher e a folha de alumínio, enquanto estão 
também em contato com a língua, sente-se um sabor azedo, produzido pela trans-
ferência de cargas elétricas entre os metais e a língua. Este fenômeno, descoberto 
no fim do Século XVIII, foi aproveitado por Alessandro Volta, para construir as 
primeiras pilhas químicas, dando origem ao rápido desenvolvimento da tecnologia 
elétrica. É importante que o metal da folha seja diferente do metal da colher, que é 
geralmente de aço ou alguma liga metálica. Na língua existem íons positivos e ne-
gativos e um dos metais tem maior tendência para atrair os íons negativos e o outro 
os íons positivos, criando-se fluxo de cargas através dos dois metais.
2.2 PILHAS QUÍMICAS
Uma das descobertas mais importantes na história da eletricidade foi a in-
venção das pilhas químicas, que permitem fornecer a energia necessária para man-
ter um fluxo constante de cargas num condutor, contrariando as forças dissipativas.
O biólogo italiano Luigi Galvani (1737-1798) fez várias experiências com 
cargas eletrostáticas e órgãos de animais. A Figura 2.1 mostra o laboratório de 
Galvani, com um gerador eletrostático usado para produzir descargas elétricas 
69
nas patas posteriores de uma rã. Enquanto fazia as experiências, Galvani desco-
briu que quando tocava com uma faca na pata da rã, esta se encolhia bruscamen-
te, como se a rã estivesse viva, no instante em que era produzida uma descarga 
elétrica num gerador eletrostático próximo dele.
FIGURA 2.1 – LABORATÓRIO DE LUIGI GALVANI
Mais tarde, conseguiu o mesmo efeito sem precisar do gerador eletrostático, 
espetando dois fios de metais diferentes na pata da rã; quando juntava os dois fios, 
a pata encolhia-se. Galvani atribuiu o efeito a uma eletricidade de origem animal. 
O físico italiano Alessandro Volta (1745-1827) demonstrou que a origem da 
eletricidade observada por Galvani não eram os organismos vivos. Na realidade, 
o contato entre dois metais diferentes dentro de qualquer solução química produz 
uma transferência de cargas elétricas, chamada corrente elétrica, que nos seres vi-
vos provoca efeitos como a contração muscular ou o sabor azedo na língua. De 
fato, o sistema nervoso produz transferências de carga (correntes) que permitem 
controlar os movimentos musculares e a transferência de cargas entre a língua e os 
alimentos estimulam o sistema nervoso dando origem às sensações de sabor.
Em 1800 Volta construiu a primeira pilha, colocando alternadamente discos 
de zinco e de cobre, sobrepostos e separados entre si por discos de cartão molhado 
numa solução ácida. 
Repetindo a mesma sequência de discos várias vezes, conseguiu produzir 
fluxos de carga mais elevados e sentir os seus efeitos. Por exemplo, colocando as 
suas mãos dentro de dois recipientes com água salgada, ligados aos dois terminais 
da pilha, o choque elétrico em suas mãos tornava-se doloroso quando a pilha era 
formada por mais de 20 grupos de discos de cobre e zinco. A Figura 2.2 mostra uma 
das pilhas construídas por Volta.
70
FIGURA 2.2 – PILHA DE VOLTA
2.3 FORÇA ELETROMOTRIZ
Uma pilha química é constituída por duas barras condutoras, chamadas 
eletrodos, embebidas numa substância com íons (eletrólito). O eletrólito pode ser 
líquido ou sólido, desde que tenha íons positivos e negativos; por exemplo, uma 
solução de água e sal de mesa (cloreto de sódio) em que existem íons de sódio, 
com carga elétrica positiva, e íons de cloro, com carga elétrica negativa. 
No metal dos eletrodos da pilha existe uma nuvem de elétrons de condu-
ção e quando se liga outro condutor externo entre eles, os elétrons livres podem 
deslocar-se transportando carga através do condutor externo. O deslocamento da 
nuvem eletrônica da origem a acumulação de cargas de sinais opostos nos extre-
mos dos eletrodos que estão dentro do eletrólito e os íons de cargas opostas no 
eletrólito deslocam-se em sentidos opostos. Os íons positivos, também chamados 
cátions, são atraídos pelo eletrodo para o qual a nuvem eletrônica foi deslocada, 
combinando-se com os elétrons acumulados nesse eletrodo. Os íons negativos, 
ou ânions, deslocam-se para o outro eletrodo, fornecendo os elétrons que esta-
vam em falta devido ao deslocamento da nuvem eletrônica.