metodos_planiletrico

Prévia do material em texto

Topografia 1
UNIVERSIDADE REGIONAL DO CARIRI
DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL
TECNOLOGIA EM ESTRADAS E TOPOGRAFIA
1
Métodos de Levantamento Planimétrico
Prof.ª MSc. Antonia Fabiana Marques Almeida
fabiana_urca@live.com
Outubro/2013
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� O objetivo da Topografia é representar graficamente
uma porção limitada do terreno, através das etapas:
1. Materialização de um eixo de referência no terreno
ao qual serão amarrados todos os pontos julgados
importantes.
2
importantes.
2. Determinação da posição desses pontos no terreno
através de medições de distâncias e ângulos.
3. Transportar as relações para o desenho.
� Quando se pretende a representação plana do
terreno, são executadas operações visando somente
a localização dos pontos (levantamento
planimétrico).
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� POR CAMINHAMENTO: é realizado percorrendo-se o
contorno de um itinerário definido por uma série de
pontos, medindo-se todos os ângulos, lados e uma
orientação inicial.
� A partir destes dados e de uma coordenada de partida, é
possível calcular as coordenadas de todos os pontos que
3
possível calcular as coordenadas de todos os pontos que
formam esta poligonal.
� Etapas:
1. Reconhecimento do Terreno: realiza-se a implantação de
piquetes para a delimitação da superfície a ser levantada.
2. A figura geométrica gerada a partir desta delimitação
recebe o nome de POLIGONAL.
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� Uma poligonal consiste em uma série de linhas
consecutivas onde são conhecidos os comprimentos e
direções, obtidos através de medições em campo.
� Os vértice e os lados da poligonal são utilizados para
o levantamento dos detalhes que existam em suas
4
o levantamento dos detalhes que existam em suas
imediações e sejam de interesse.
� A poligonação é um dos métodos mais empregados
para a determinação de coordenadas de pontos em
Topografia.
� Método que oferece maior confiabilidade aos
resultados.
� Podem ser classificadas em: abertas ou fechadas.
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� Poligonal Aberta: parte de um ponto com coordenadas
conhecidas e acaba em um ponto cujas coordenadas
deseja-se determinar.
� Não é possível determinar erros de fechamento,
devendo-se tomar todos os cuidados necessários
5
devendo-se tomar todos os cuidados necessários
durante o levantamento de campo para evitá-los.
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� Poligonal Fechada: parte de um ponto com
coordenadas conhecidas e retorna ao mesmo ponto.
6
� Sua principal vantagem é permitir a verificação de erro
de fechamento angular e linear.
LEVANTAMENTO DE UMA POLIGONAL LEVANTAMENTO DE UMA POLIGONAL 
FECHADAFECHADA
� Um dos elementos necessários para a definição de
uma poligonal são os ângulos formados por seus
lados.
� Podem ser determinados os ângulos externos ou
internos da poligonal.
7
internos da poligonal.
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� Conceitos de estação RÉ e estação VANTE: No
sentido de caminhamento da poligonal, a estação
anterior a estação ocupada denomina-se de estação
RÉ e a estação seguinte de VANTE.
8
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
� Utilizando-se uma poligonal é possível definir uma
série de pontos de apoio, a partir dos quais serão
determinadas coordenadas de outros pontos,
utilizando, por exemplo, o método de irradiação.
9
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� IRRADIAÇÃO: consiste em, a partir de uma linha de
referência conhecida, medir um ângulo e uma
distância.
� É semelhante a um sistema de coordenadas
polares.
10
polares.
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
IRRADIAÇÃO
� Neste método o equipamento fica estacionado sobre
um ponto e faz-se a “varredura” dos elementos de
interesse próximos ao ponto ocupado, medindo
direções e distâncias para cada elemento a ser
11
direções e distâncias para cada elemento a ser
representado.
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� CADERNETA DE CAMPO: O registro das
operações de um levantamento topográfico, é
efetuado por intermédio do preenchimento da
chamada "Caderneta de Campo”.
12
COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 COL 5 COL 6 COL 7 COL 8 COL 9 COL 10 COL 11 COL 12
ALTURA DO ÂNGULOS LEITURA DA MIRA DISTÂNCIA OBS.
AZIMUTE EQUIPAMENTO ESTAÇÃO PONTO DESCRIÇÃO HORIZONTAL VERTICAL FM FS FI HORIZONTAL(m)
103°00'00" 1460 1 5 RÉ 00°00'00" 90°41'17" 1000 1185 815 36,995 POLIGONAL
2 VANTE 66°21'04" 92°04'00" 1000 1215 785 42,944 POLIGONAL
37°08'08" 1450 2 1 RÉ 00°00'00" 89°06'20" 1000 1215 785 42,990 POLIGONAL
3 VANTE 139°08'48" 89°53'39" 1000 1271 729 54,200 POLIGONAL
77°59'20" 1420 3 2 RÉ 00°00'00" 90°59'18" 1000 1270 730 53,984 POLIGONAL
4 VANTE 65°54'26" 89°43'35" 1000 1388 612 77,598 POLIGONAL
301 IRRADIAÇÃO 02°05'13" 90°32'06" 1000 1149 851 29,797 EDIFICAÇÃO
302 IRRADIAÇÃO 07°09'00" 90°46'56" 1000 1094 906 18,796 EDIFICAÇÃO
192°04'54" 1520 4 3 RÉ 00°00'00" 91°47'12" 1000 1389 611 77,724 POLIGONAL
5 VANTE 62°46'24" 91°09'44" 1000 1172 828 34,386 POLIGONAL
401 IRRADIAÇÃO 26°44'42" 91°52'00" 1000 1068 932 13,586 EDIFICAÇÃO
402 IRRADIAÇÃO 58°07'55" 91°18'49" 1000 1098 902 19,590 EDIFICAÇÃO
309°18'30" 1460 5 4 RÉ 00°00'00" 90°25'26" 1000 1172 828 34,398 POLIGONAL
1 VANTE 205°48'30" 90°42'24" 1000 1185 815 36,994 POLIGONAL
VISADAS
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� Coluna 1: Azimute do Alinhamento;
� Coluna 2: Altura do teodolito;
� Coluna 3: N° da estação no qual o teodolito está
estacionado.
13
COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 COL 5 COL 6 COL 7 COL 8 COL 9 COL 10 COL 11 COL 12
ALTURA DO ÂNGULOS LEITURA DA MIRA DISTÂNCIA OBS.
AZIMUTE EQUIPAMENTO ESTAÇÃO PONTO DESCRIÇÃO HORIZONTAL VERTICAL FM FS FI HORIZONTAL(m)
103°00'00" 1460 1 5 RÉ 00°00'00" 90°41'17" 1000 1185 815 36,995 POLIGONAL
2 VANTE 66°21'04" 92°04'00" 1000 1215 785 42,944 POLIGONAL
37°08'08" 1450 2 1 RÉ 00°00'00" 89°06'20" 1000 1215 785 42,990 POLIGONAL
3 VANTE 139°08'48" 89°53'39" 1000 1271 729 54,200 POLIGONAL
77°59'20" 1420 3 2 RÉ 00°00'00" 90°59'18" 1000 1270 730 53,984 POLIGONAL
4 VANTE 65°54'26" 89°43'35" 1000 1388 612 77,598 POLIGONAL
301 IRRADIAÇÃO 02°05'13" 90°32'06" 1000 1149 851 29,797 EDIFICAÇÃO
302 IRRADIAÇÃO 07°09'00" 90°46'56" 1000 1094 906 18,796 EDIFICAÇÃO
192°04'54" 1520 4 3 RÉ 00°00'00" 91°47'12" 1000 1389 611 77,724 POLIGONAL
5 VANTE 62°46'24" 91°09'44" 1000 1172 828 34,386 POLIGONAL
401 IRRADIAÇÃO 26°44'42" 91°52'00" 1000 1068 932 13,586 EDIFICAÇÃO
402 IRRADIAÇÃO 58°07'55" 91°18'49" 1000 1098 902 19,590 EDIFICAÇÃO
309°18'30" 1460 5 4 RÉ 00°00'00" 90°25'26" 1000 1172 828 34,398 POLIGONAL
1 VANTE 205°48'30" 90°42'24" 1000 1185 815 36,994 POLIGONAL
VISADAS
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� Coluna 4: Ponto a ser visado;
� Coluna 5: Descrição do ponto visado;
� Coluna 6: Ângulo horizontal formado entre o ponto
de estação e o ponto visado.
14
COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 COL 5 COL 6 COL 7 COL 8 COL 9 COL 10 COL 11 COL 12
ALTURA DO ÂNGULOS LEITURA DA MIRA DISTÂNCIA OBS.
AZIMUTE EQUIPAMENTO ESTAÇÃO PONTO DESCRIÇÃO HORIZONTAL VERTICAL FM FS FI HORIZONTAL(m)
103°00'00" 1460 1 5 RÉ 00°00'00" 90°41'17" 1000 1185 815 36,995 POLIGONAL
2 VANTE 66°21'04" 92°04'00" 1000 1215 785 42,944 POLIGONAL
37°08'08" 1450 2 1 RÉ 00°00'00" 89°06'20" 1000 1215 785 42,990 POLIGONAL
3 VANTE 139°08'48" 89°53'39" 1000 1271 729 54,200 POLIGONAL
77°59'20" 1420 3 2 RÉ 00°00'00" 90°59'18" 1000 1270 730 53,984 POLIGONAL
4 VANTE 65°54'26" 89°43'35" 1000 1388 612 77,598 POLIGONAL
301 IRRADIAÇÃO 02°05'13" 90°32'06" 1000 1149 851 29,797 EDIFICAÇÃO
302 IRRADIAÇÃO 07°09'00" 90°46'56" 1000 1094 906 18,796 EDIFICAÇÃO
192°04'54" 1520 4 3 RÉ 00°00'00" 91°47'12" 1000 1389 611 77,724 POLIGONAL
5 VANTE 62°46'24" 91°09'44" 1000 1172 828 34,386 POLIGONAL
401 IRRADIAÇÃO 26°44'42" 91°52'00" 1000 1068 932 13,586 EDIFICAÇÃO
402 IRRADIAÇÃO 58°07'55"91°18'49" 1000 1098 902 19,590 EDIFICAÇÃO
309°18'30" 1460 5 4 RÉ 00°00'00" 90°25'26" 1000 1172 828 34,398 POLIGONAL
1 VANTE 205°48'30" 90°42'24" 1000 1185 815 36,994 POLIGONAL
VISADAS
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� Coluna 7: Ângulo vertical entre o ponto de estação e
o ponto visado;
� Coluna 8: Leitura do Fio Médio
� Coluna 9: Leitura do Fio Superior
Coluna 10: Leitura do Fio Inferior
15
� Coluna 10: Leitura do Fio Inferior
COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 COL 5 COL 6 COL 7 COL 8 COL 9 COL 10 COL 11 COL 12
ALTURA DO ÂNGULOS LEITURA DA MIRA DISTÂNCIA OBS.
AZIMUTE EQUIPAMENTO ESTAÇÃO PONTO DESCRIÇÃO HORIZONTAL VERTICAL FM FS FI HORIZONTAL(m)
103°00'00" 1460 1 5 RÉ 00°00'00" 90°41'17" 1000 1185 815 36,995 POLIGONAL
2 VANTE 66°21'04" 92°04'00" 1000 1215 785 42,944 POLIGONAL
37°08'08" 1450 2 1 RÉ 00°00'00" 89°06'20" 1000 1215 785 42,990 POLIGONAL
3 VANTE 139°08'48" 89°53'39" 1000 1271 729 54,200 POLIGONAL
77°59'20" 1420 3 2 RÉ 00°00'00" 90°59'18" 1000 1270 730 53,984 POLIGONAL
4 VANTE 65°54'26" 89°43'35" 1000 1388 612 77,598 POLIGONAL
301 IRRADIAÇÃO 02°05'13" 90°32'06" 1000 1149 851 29,797 EDIFICAÇÃO
302 IRRADIAÇÃO 07°09'00" 90°46'56" 1000 1094 906 18,796 EDIFICAÇÃO
192°04'54" 1520 4 3 RÉ 00°00'00" 91°47'12" 1000 1389 611 77,724 POLIGONAL
5 VANTE 62°46'24" 91°09'44" 1000 1172 828 34,386 POLIGONAL
401 IRRADIAÇÃO 26°44'42" 91°52'00" 1000 1068 932 13,586 EDIFICAÇÃO
402 IRRADIAÇÃO 58°07'55" 91°18'49" 1000 1098 902 19,590 EDIFICAÇÃO
309°18'30" 1460 5 4 RÉ 00°00'00" 90°25'26" 1000 1172 828 34,398 POLIGONAL
1 VANTE 205°48'30" 90°42'24" 1000 1185 815 36,994 POLIGONAL
VISADAS
MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE MÉTODOS DE LEVANTAMENTO DE 
PONTOSPONTOS
� Coluna 11: Distância horizontal entre a estação e o
ponto visado em metros.
� Coluna 12: Identificação do ponto visado. (poligonal
ou edificação).
16
COL 1 COL 2 COL 3 COL 4 COL 5 COL 6 COL 7 COL 8 COL 9 COL 10 COL 11 COL 12
ALTURA DO ÂNGULOS LEITURA DA MIRA DISTÂNCIA OBS.
AZIMUTE EQUIPAMENTO ESTAÇÃO PONTO DESCRIÇÃO HORIZONTAL VERTICAL FM FS FI HORIZONTAL(m)
103°00'00" 1460 1 5 RÉ 00°00'00" 90°41'17" 1000 1185 815 36,995 POLIGONAL
2 VANTE 66°21'04" 92°04'00" 1000 1215 785 42,944 POLIGONAL
37°08'08" 1450 2 1 RÉ 00°00'00" 89°06'20" 1000 1215 785 42,990 POLIGONAL
3 VANTE 139°08'48" 89°53'39" 1000 1271 729 54,200 POLIGONAL
77°59'20" 1420 3 2 RÉ 00°00'00" 90°59'18" 1000 1270 730 53,984 POLIGONAL
4 VANTE 65°54'26" 89°43'35" 1000 1388 612 77,598 POLIGONAL
301 IRRADIAÇÃO 02°05'13" 90°32'06" 1000 1149 851 29,797 EDIFICAÇÃO
302 IRRADIAÇÃO 07°09'00" 90°46'56" 1000 1094 906 18,796 EDIFICAÇÃO
192°04'54" 1520 4 3 RÉ 00°00'00" 91°47'12" 1000 1389 611 77,724 POLIGONAL
5 VANTE 62°46'24" 91°09'44" 1000 1172 828 34,386 POLIGONAL
401 IRRADIAÇÃO 26°44'42" 91°52'00" 1000 1068 932 13,586 EDIFICAÇÃO
402 IRRADIAÇÃO 58°07'55" 91°18'49" 1000 1098 902 19,590 EDIFICAÇÃO
309°18'30" 1460 5 4 RÉ 00°00'00" 90°25'26" 1000 1172 828 34,398 POLIGONAL
1 VANTE 205°48'30" 90°42'24" 1000 1185 815 36,994 POLIGONAL
VISADAS
ERROS NOS LEVANTAMENTOS ERROS NOS LEVANTAMENTOS 
PLANIMÉTRICOSPLANIMÉTRICOS
� Após realizados os levantamentos planimétricos, é
necessário verificar se as medidas efetuadas estão
isentas de erros grosseiros.
� Há 2 casos a considerar:
17
� Há 2 casos a considerar:
1. Erros nas medidas angulares.
2. Erros nas medidas lineares.
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
1. Implantar piquetes e numerá-los para a delimitação
da poligonal a ser levantada.
2. Fazer croqui da área e dos pontos a serem
levantados.
Planejar o levantamento:3. Planejar o levantamento:
caminhamento no sentido
horário e medição dos ângulos
externos (girar teodolito para a
direita).
3. Determinar o Azimute Verdadeiro do alinhamento
formado entre o ponto inicial e ponto final da
poligonal, usando para isso coordenadas UTM.
Coordenadas Cartesianas:
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
19








−
−
=
op
op
yy
xx
arctgα
Coordenadas Cartesianas:
X4, Y4
X1, Y1
Azimute (Az 4-1):
4. Estacionar o teodolito na estação inicial e medir o
ângulo e distância entre as estações de RÉ e
VANTE.
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
20
6. Nesta mesma estação medir ângulo e distância de
pontos de interesse, através de irradiações.
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
21
8. Estacionar o teodolito nas estações seguintes e
realizar o mesmo procedimento, até a estação final.
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
201 201 301
101
201
101
201 301
9. Estacionar o teodolito nas estações seguintes e
realizar o mesmo procedimento, até a estação final.
ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE ETAPAS DO LEVANTAMENTO DE 
CAMPOCAMPO
201 301 201 301
23
101
201 301
401 101
201 301
401
CAUSAS DE ERROS NOS CAUSAS DE ERROS NOS 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
1. Colocação inexata sobre o ponto (má
instalação do aparelho);
2. Aparelho mal nivelado;
3. Aparelho mal assentado no terreno, isto é,
24
3. Aparelho mal assentado no terreno, isto é,
os pés do tripé não estão firmes;
4. Exposição exagerada ao sol por falta de
proteção, o que provoca variações na
temperatura;
5. Refração atmosférica nas horas mais
quentes do dia.
CAUSAS DE ERROS NOS CAUSAS DE ERROS NOS 
LEVANTAMENTO PLANIMÉTRICOLEVANTAMENTO PLANIMÉTRICO
6. Falhas do operador tais como: focagem imperfeita
(paralaxe);
7. Erro de leitura das divisões da mira graduada.
8. Erro pela falta de verticalidade da mira, provocada
por trepidação da mira devido a ventos ou mesmo
25
por trepidação da mira devido a ventos ou mesmo
do auxiliar que a maneja. Neste caso, quanto mais
elevado o ponto visado maior a variação.
9. Erro de pontaria na leitura de direções horizontais ou
verticais.
ERROS ADMISSÍVEIS NOS ERROS ADMISSÍVEIS NOS 
LEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOSLEVANTAMENTOS PLANIMÉTRICOS
� O conhecimento dos erros admissíveis nos
levantamentos topográficos objetiva verificar se as
medidas efetuadas está isenta de erros grosseiros.
� Há 2 casos a considerar: erros nas medidas
angulares e erros nas medidas lineares.
26
angulares e erros nas medidas lineares.
ARREDONDAMENTOS NOS CÁLCULOS DA ARREDONDAMENTOS NOS CÁLCULOS DA 
POLIGONALPOLIGONAL
� Nos cálculos topográficos que são realizados
manualmente, é necessário conhecer as técnicas de
arredondamento, pois qualquer valor, por menor que
seja, pode provocar alterações consideráveis nos
resultados finais.
27
resultados finais.
� Deve-se realizar os cálculos com a calculadora com
todas as casas decimais disponíveis e somente o
resultado do cálculo arredondado para 3 casas
decimais.
D= 100 (FS-FI). sen2 Z
D= 100.(1,185 - 0,815). sen2 91°30’13”
D= 100. 0,370 .0,999311464 = 36,9745242 = 36,975m
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE 
DA POLIGONAL FECHADADA POLIGONAL FECHADA
� 1 - Cálculo da soma dos ângulos externos (ou internos)
da poligonal.
∑
∑
+×=
−×=
2)(n180
2)(n180
º
º
e
i
α
α
�∑αi = Somatório dos ângulos internos de uma
poligonal (teórico)
�∑αe = Somatório dos ângulos externos de uma
poligonal (teórico)
�n = número de lados de uma poligonal
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE 
DA POLIGONAL FECHADADA POLIGONAL FECHADA
� 2 - Cálculo do erro angular cometido (e): 
eic
e
/∑∑ −= ααα
�∑αc = Somatório dos ângulos da poligonal
(determinados em campo)
� 3 - Cálculo da tolerância para o erro de fechamento angular
(Tα).
� b = coeficiente que expressa a tolerância para o erro de
medição dos ângulos da poligonal.
� N = número de vértices da poligonal
NT ×= b
α
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
� N = número de vértices da poligonal
Para o caso da poligonal do trabalho de campo, tem-se que:
� Caso o erro cometido seja menor que a tolerância, a
poligonal é válida, caso contrário os ângulos em campo
deverão ser novamente medidoscom mais atenção e
cuidado com a operação do aparelho e com os
procedimentos.
NT ×= "20
α
� 4 - Correção do erro angular cometido (Cα) e
correção dos ângulos internos ou externos
lidos em campo (α’).
e
C α−=
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
Observação:
� Se o erro angular for positivo, a correção angular é
negativa.
� Se o erro angular for negativa, a correção angular é
positiva.
n
e
C α
α
−=
� 5 - Cálculo do ângulo compensado: O ângulo
compensado é obtido adicionando ou subtraindo a
correção ao ângulo lido.
αα C±='
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
α
αα C±='
� 6 - Cálculos dos Azimutes de Vante e Ré: O Azimute de um
alinhamento é dado por:
Azn = Azn-1 ±±±± an ±±±± 180
Onde:
� Azn → Azimute do alinhamento.
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
� Azn-1 → Azimute do alinhamento anterior.
Para um caminhamento da poligonal no sentido Horário, temos que:
� + an → Ângulo Horizontal Externo.
� - an → Ângulo Horizontal Interno.
Para um caminhamento da poligonal no sentido Anti-Horário, tem-se :
� + an → Ângulo Horizontal Interno.
� - an → Ângulo Horizontal Externo.
� 6 - Cálculos dos Azimutes de Vante e Ré: O Azimute de um
alinhamento é dado por:
Azn = Azn-1 ±±±± an ±±±± 180
Observação:
� Se Azn-1 ±±±± an > 180°devemos subtrair 180°.
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
n-1 n
� Se Azn-1 ±±±± an ≤ 180°devemos somar 180°.
� A diferença entre os Azimutes de vante e de ré de um mesmo
alinhamento é sempre de 180°.
� Se o resultado final for negativo, deve-se somar 360°e se for maior
que 360°, deve-se subtrair 360°.
� 7 – Cálculo das Distâncias Horizontais da Poligonal.
D= 100. (FS-FI). Sen2 Z (usando a mira)
Obs.: Para o cálculo da poligonal, a distância considerada
para cada lado será a média entre a distância calculada
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
para cada lado será a média entre a distância calculada
do vértice de ré para vante e a distância calculada do
vértice de vante para ré.
� 8 - Cálculo das coordenadas parciais (projeções): As
projeções são calculadas pela fórmula:
∆∆∆∆Xp = D . sen Az
∆∆∆∆Yp = D . cos Az
Onde:
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
Onde:
∆Xp → Projeção na direção X.
∆Yp → Projeção na direção Y.
D → Distância (média entre a distância calculada do 
vértice de ré para vante e a distância calculada do vértice 
de vante para ré)
Az → Azimute do alinhamento.
� 9 – Cálculo do erro de fechamento linear das
coordenadas, segundo os eixos ortogonais:
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
∑ ∆= PX XE 
∑ ∆=
� ∆∆∆∆Xp= Projeções parciais no eixo X.
� ∆∆∆∆Yp= Projeções parciais no eixo Y.
∑ ∆= PY YE 
� 10 – Cálculo do erro linear absoluto da poligonal:
� 11 – Tolerância admissível para o erro de fechamento linear: A
NBR 13.133 recomenda para precisão linear os valores:
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
22
YXL EEE +=
NBR 13.133 recomenda para precisão linear os valores:
• 1:5.000 => Para poligonais medidas com trena.
• 1:10.000 => Para Poligonais Eletrônicas.
� A precisão indica o perímetro de levantamento para se obter o
erro de 1 metro.
� A precisão é anotada na forma de escala. 1 : M
LE
P
M =
P = Extensão da poligonal (m).
EL= Erro linear absoluto da poligonal (m)
M = Módulo da escala
� 12 – Distribuição do erro de fechamento linear:
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
i
iX
Xi
D
DE
C
∑
−=
.
i
iY
Yi
D
DE
C
∑
−=
.
� As relações mostram que aos alinhamentos de maior
comprimento corresponderão maiores correções.
� Método de ajuste: Proporcional as Distâncias.
i
D∑ iD∑
� 13 – Projeções compensadas: somando-se
algebricamente as correções Cxi e Cyi às projeções
naturais ∆∆∆∆Xp e ∆∆∆∆Yp, encontram-se as projeções
compensadas ∆∆∆∆Xpci e ∆∆∆∆Ypci , que satisfazem a seguinte
condição de fechamento.
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
condição de fechamento.
“O somatória das projeções compensadas nos eixos X e Y 
devem ser nulas”.
∑ =∆ 0 PCX ∑ =∆ 0 PCY
� 14 – Cálculo das coordenadas totais: as coordenadas
cartesianas dos vértices da poligonal são calculadas através
da soma algébrica das projeções compensadas às
coordenadas do vértice inicial.
Xn = Xn-1 + ∆∆∆∆Xpc Yn = Yn-1 + ∆∆∆∆Ypc
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
Onde:
� Xn → Abscissa do ponto
� Yn → Ordenada do ponto
� Xn-1 → Abscissa do ponto anterior
� Yn-1 → Ordenada do ponto anterior
� ∆Xpc → Projeção Compensada no eixo X
� ∆Ypc → Projeção Compensada no eixo Y
� 15 – Correções das distâncias.
SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA SEQÜÊNCIA DE CÁLCULO E DE AJUSTE DA 
POLIGONAL FECHADAPOLIGONAL FECHADA
22
' PCPC YXD ∆+∆=
� Onde:
� D’ → Distância corrigida
� ∆∆∆∆Xpc → Projeção compensada no eixo X
� ∆∆∆∆Ypc → Projeção compensada no eixo Y