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EA
D
Rendas Aleatórias, Seguros e 
Prêmios
4
ObjEtivOs1. 
Conhecer os tipos de rendas e de prêmios existentes.•	
Aprender a calcular os prêmios por meio dos diversos tipos de rendas existentes.•	
Compreender os tipos de seguros (seguros de vida e seguros pagáveis por morte) exis-•	
tentes.
Aprender a calcular os prêmios decorrentes dos diversos tipos de seguros existentes.•	
COntEúDOs2. 
Renda.•	
Prêmio.•	
Seguro de vida.•	
Seguro pagável por falecimento.•	
ORiEntAÇÕEs PARA O EstUDO DA UniDADE3. 
Para acompanhar o desenvolvimento dos cálculos das rendas, é importante que você 1) 
se atente ao Quadro Sinótico das Rendas, exposto no quinto tópico desta unidade, já 
que o estudo das rendas é bem complexo. Utilizando-se desse quadro, é possível en-
tender os diversos tipos de rendas existentes.
Para compreender os cálculos e as aplicações das fórmulas dos diversos tipos de ren-2) 
das tratadas nesta unidade, tenha em mãos as tábuas AT-2000 Feminina e AT-2000 
Masculina, que estão dispostas em anexo no final desta disciplina.
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92
intRODUÇÃO À UniDADE4. 
Vimos, nas unidades anteriores, que o seguro corresponde à ajuda mútua financeira a um 
determinado indivíduo (o segurado). Entretanto, esse indivíduo é ameaçado por eventuais riscos 
que possam ocorrer. Todavia, nem todos os riscos são seguráveis. Para um risco ser segurável, é 
necessário um acontecimento incerto no futuro, independentemente da vontade humana.
Dentro desse contexto, nesta unidade, veremos que é possível definir a renda como um 
determinado valor a ser pago pela seguradora ao segurado, sendo que o pagamento é realizado 
em um prazo estabelecido (determinado ou vitalício) e a periodicidade depende da contratação 
(pode ser mensal, trimestral, anual etc.). Já o prêmio é o valor pago em um prazo estabelecido 
pelo segurado à empresa seguradora, para que, ao final, este possa receber uma determina-
da renda (o valor do prêmio deve corresponder, no final, pelo menos, ao valor da renda a ser 
paga).
Depois de definidos os conceitos, vamos identificar os tipos de rendas existentes e os prê-
mios pagos pelas seguradoras aos segurados.
RENDAS (SEGUROS DE VIDA)5. 
A renda corresponde a uma forma de pagamento indenizatória, que é efetuada pelo segu-
rador. Pode variar significativamente, dependendo do modo e do período.
O seguro de sobrevivência (de vida) é um tipo de renda que representa o valor provável 
de um pagamento considerado ou a esperança matemática do beneficiário de um pagamento 
(prêmio).
Dessa forma, a renda aleatória é aquela cujos valores somente serão pagos em caso de 
sobrevivência do segurado, e a ocorrência do seu falecimento é um evento não programado. 
Pode ser subdividida em:
Renda constante•	 : significa uma série de pagamentos que podem variar conforme a 
data estabelecida (imediata ou diferida) e a continuidade (vitalícia ou temporária). A 
continuidade da renda vitalícia depende da sobrevivência do segurado ou do benefici-
ário; todavia, na renda temporária, os pagamentos são determinados previamente. A 
renda imediata acontece quando a série de pagamentos se inicia logo em seguida ao 
acontecimento que a determinou.
Renda variável•	 : pode ser feita tanto em Progressão Aritmética quanto em Progressão 
Geométrica.
A complexidade do estudo das rendas pode ser representada como o disposto na Figura 1:
93© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
 
Renda 
Certa 
Aleatória 
Constante 
Variável 
Imediata 
Diferida 
Vitalícia 
Temporária 
Vitalícia 
Temporária 
Antecipada 
Postecipada 
Antecipada 
Postecipada 
Antecipada 
Postecipada 
Antecipada 
Postecipada 
Segundo lei 
matemática 
Irregularmente 
Progressão 
Aritmética 
Progressão 
Geométrica 
1º termo e 
razão iguais 
1º termo 
diferente da 
razão 
Crescente 
Decrescente 
Crescente 
Decrescente 
Crescente 
Fonte: VILANOVA (1969, p. 32).
Figura 1 Quadro Sinótico das Rendas.
Como é possível notar na Figura 1, a renda aleatória constante pode ser dividida em ime-
diata e diferida.
A renda aleatória constante imediata compreende a renda em que o segurado paga •	
um valor à vista à empresa seguradora, ou seja, um prêmio único, e, logo em seguida, 
inicia-se o recebimento da renda.
A renda aleatória constante diferida é um tipo de renda na qual o segurado paga o valor •	
do prêmio à empresa seguradora, e, diferentemente da renda imediata, o recebimento 
da renda somente acontece após um determinado período, denominado “período de 
diferimento”.
O período de diferimento compreende o período entre a contratação e o recebimento da 
renda.
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94
Os principais tipos de rendas existentes são:
Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Antecipada.1) 
Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Postecipada.2) 
Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada.3) 
Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Postecipada.4) 
Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada.5) 
Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Postecipada.6) 
Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Antecipada.7) 
Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Postecipada.8) 
Para calcular o prêmio, isto é, o valor a ser pago pelo segurado à empresa seguradora para 
este obter a renda, basta calcular as obrigações futuras do segurado, que são as mesmas da se-
guradora. Assim, a equação da obtenção do valor do prêmio é expressa da seguinte forma: 
=Obrigação do segurado Obrigação da Seguradora
ou
=Valor presente das obrigações do segurado Valor presente da renda futura do segurado
Para tanto, essas rendas podem ser compradas à vista (com pagamento de prêmio único) 
ou a prazo (com prêmios pagos em parcelas).
No próximo tópico, iremos tratar dos prêmios pagos à vista.
RENDAS COM PAGAMENTOS DE PRÊMIOS À VISTA6. 
A seguir, conheceremos cada renda, considerando o pagamento à vista, isto é, a um prê-
mio único estabelecido, de modo a mostrar seus conceitos e suas aplicações, bem como os 
prêmios vinculados a cada uma delas.
Renda Aleatória Constante imediata vitalícia Antecipada
A Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Antecipada é anual, contratada por toda 
a vida, sendo realizado o seu pagamento no início do período. Para determinar o valor que o 
segurado terá de pagar em uma única parcela (prêmio único), é preciso calcular o valor presente 
das obrigações futuras da empresa para que ela possa pagar à segurada o valor da renda contra-
tada periodicamente. Dessa forma, a obrigação da empresa é igual à do empregado. Esse tipo 
de renda acontece em previdência privada.
É importante salientar que o pagamento dessa renda por toda a vida depende de que a 
pessoa que irá receber esteja viva; portanto, a probabilidade de pagamento de cada renda em 
cada período é a probabilidade de essa pessoa estar viva e receber essa renda.
Assim, o nosso objetivo é determinar o valor presente, em um período inicial (zero), das 
parcelas (renda) que serão pagas enquanto a pessoa que as recebe estiver viva.
Mas como calcular o Valor Atual das rendas futuras que serão pagas ao segurado?
Lembra-se da Tábua de Comutação, desenvolvida na Unidade 2? Ela será utilizada para o 
cálculo do valor presente das rendas futuras. Vamos entender como se faz os cálculos.
Pelo seguinte diagrama, é possível entender como proceder aos cálculos dessa renda:
95© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
 1 1 1 1 1 1 1 
0 1 2 3 n-1 n n+1 
Renda 
Tempo 
Até o fim da tábua 
Caso a renda fosse certa e com pagamento de modo indefinido, o valor presente na data 
zero seria expresso assim:
Valor presente = − + + + ++ + + + + + + + + + +0 1 2 3 4 n 1 n n 1 n 2 n 3 n 4v v v v v ... v v v v v v ...
Em que: ( )= + –1v 1 i é igual ao fator de desconto à taxa “i” de juros compostos.
Entretanto, como também é necessário introduzir a variável idade – considerando, além 
disso, a sobrevivência da pessoa ao longo dos anos –, deve-se calcular o valorpresente das 
parcelas pagas por toda a vida à pessoa que, no momento zero, possui idade x, que será simbo-
lizada por äx:
ä•	 x = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Antecipada)
Desse modo, a soma das parcelas em função dos lx pode ser escrita e expressa para o cál-
culo das probabilidades de sobrevivências a partir da seguinte fórmula sintética:
 ∞
= ∑ tx tä v . px
=t 0
 ∞ ∞ 
=∑ tx t xä v . p = ( )+∑
t
x t x v . l / l 
 
 t 0= t 0= 
 
A fórmula analítica é expressa por:
äx = v
0.0px + v
1.1px + v
2.2px + v
3.3px + ... + v
n-1.n-1px + ... até o final da tábua
Podemos utilizar o programa Excel para desenvolver esses cálculos com uma maior faci-
lidade; entretanto, poderemos, também, utilizar as comutações desenvolvidas na Unidade 2. 
Vamos entender como acontece a comutação da fórmula anterior.
Vimos, nas fórmulas anteriores, que: npx = lx+n / lx; portanto, substituindo na fórmula ante-
rior, ficaria assim:
= + + + + + + +0 1 2 3 4 nx 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x n xä v . p v . p v . p v . p v . p ... v . p ...
+ + + + += + + + + + + +
0 1 2 3 4 n
x 0 x x 1 x x 2 x x 3 x x 4 x x n xä v . p v . l / l v . l / l v . l / l v . l / l ... v .l / l ...
Se transferirmos o (lx ) para o lado esquerdo da expressão, teremos: 
+ + + + + += + + + + + + +
0 1 2 3 4 n
x x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x nl . ä v .l v . l v . l v .l v . l ... v . l ... 
Se multiplicarmos por vx, poderemos fazer outra comutação, já que Dx é obtido a partir do 
produto lx .v
x. Portanto, tem-se:
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+ + + + + +
+ + + + + += + + + + + +
x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x n. 
x x x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x nv . l . ä v .l v . l v . l v . l v . l ... v l ... 
Logo:
+ + + + += + + + + + +x x x 0 x 1 x 2 x 3 x nD .ä D D D D ... D ...
Simplificando:
w x
x 1
t 1
N D
−
+
=
= ∑
 (w é a maior idade da tábua)
Então, se:
+ + + + + −= + + + + +x x 0 x 1 x 2 x 3 x (w x)N D D D D ... D
As rendas podem ser calculadas por comutação, de acordo com a fórmula mais simplifica-
da de todas. Logo:
( )+ + + + + −= + + + + +x x 0 x 1 x 2 x 3 x (w x) x ä D D D D ... D / D
x x x ä N / D= 
Para que você entenda como são feitos os cálculos, vamos desenvolver um exemplo que 
irá explicar essa teoria.
Suponhamos que um homem com 30 anos compre uma renda anual de R$10.000,00, com 
recebimento no início de cada ano, enquanto ele estiver vivo. Vamos calcular o valor do Prêmio 
Único Puro que o homem deverá pagar para obter essa renda utilizando a Tabela de Mortalidade 
AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% ao ano.
x x x ä Renda . N / D=
Sendo que: w-x
+= =∑x x t x wN D N – N
 t =0
( )−= + xx x.D l 1 i
Calculando:
( )=x 30 115
30
ä 10.000 . N – N
D
( )
( )−
=
+
x
30
ä 10.000 . 43.048.574,22 – 0,01
9.871.813 1 0,05
( )=xä 1 0.000 . 43.048.574,22 – 0,01
2.284.114,85
=xä 1 88.469,39
Renda Aleatória Constante imediata vitalícia Postecipada
A Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Postecipada é uma renda com pagamento 
que se anula no fim do período, sendo paga pelo resto da vida. O valor presente das parcelas 
pagas por toda a vida à pessoa que, no momento zero, possui idade x+1, já que o pagamento se 
inicia no fim de cada ano, será simbolizado por ax:
97© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
ax = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Postecipada)
Fórmula resumida:•	
 ∞
= ∑ tx t xa v . p
 
= t 1
Fórmula analítica:•	
1 2 3 4 n
x 1 x 2 x 3 x 4 x n xa v . p v . p v . p v . p ... v . p ... Até o final da Tábua= + + + + + +
A comutação para a Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Postecipada é dada pela 
equação a seguir:
x x+1 xa = Renda . N / D
As séries para as Rendas Aleatórias Constantes Imediatas Vitalícias Antecipada e Poste-
cipada são muito próximas, sendo a diferença o cálculo do primeiro ano de pagamento. Dessa 
forma, a transformação de uma para a outra se torna um mecanismo ágil e fácil.
−
−= + + + + + + +
0 1 2 3 4 n 1
x 0 x 1 x 2 x 3 x 4 x n 1 xä v . p v . p v . p v . p v . p ... v . p ...
= + + + + + +1 2 3 4 nx 1 x 2 x 3 x 4 x n xa v . p v . p v . p v . p ... v . p ...
Para que você entenda, vamos aproveitar o exemplo utilizado anteriormente para que 
possamos comparar os resultados. Então, suponhamos que um homem com 30 anos compre 
uma renda anual de R$10.000,00, com recebimento no final de cada ano, enquanto estiver vivo. 
Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que o homem deverá pagar para obter essa renda 
utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% ao ano.
=x x a Renda . N / Dx
Sendo que:
− +w x 1
+ + += =∑x x 1 t x 1 wN D N – N
 
=t 0
( )−= + xx x.D l 1 i
Calculando:
( )=x 31 115
30
a 10.000 . N – N
D
( )
( )−
=
+
x
30
a 10.000 . 40.764.459,37 – 0,01
9.871.813 1 0,05
( )=xa 1 0.000 . 40.764.459,37 – 0,01
2.284.114,85
=xa 178.469,39
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A diferença entre as duas rendas seria: 188.469,39 - 178.469,39 = 10.000,00, ou seja, exa-
tamente a renda do primeiro ano. Concluímos, então, que, para que a Renda Aleatória Constan-
te Imediata Vitalícia Postecipada se torne Antecipada, basta diminuir o valor da renda obtida no 
primeiro ano.
Renda Aleatória Constante imediata temporária Antecipada
A Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada é paga anualmente e no 
início de cada período, mas é paga, apenas, por um prazo estabelecido. Portanto, essa renda 
possui as mesmas características da Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Antecipada, 
porém, deve ser paga por um período estabelecido.
Por meio dos diagramas a seguir, é possível perceber essa semelhança visualmente:
Renda vitalícia antecipada•	
 1 1 1 1 1 1 1 
0 1 2 3 n-1 n n+1 
Renda 
Tempo 
Até o fim da tábua 
Renda temporária antecipada•	
 1 1 1 1 1 
0 1 2 3 n-1 
Renda 
Tempo 
O valor presente das parcelas pagas por um período determinado à pessoa que, no mo-
mento zero, possui idade x, será simbolizado por äx:n ou Inäx:
äx:n ou Inäx: = Prêmio Único (Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada)
Fórmula resumida:•	
−n 1
= ∑ tx:n t xä v . p
 t = 0
Fórmula analítica:•	
äx:n = v
0.0px + v
1.1px + v
2.2px + v
3.3px + v
4.4px + ... + v
n-1.n-1px
 
A comutação para a Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada é dada 
pela equação:
( )x:n x x+n x ä =Renda . N – N / D
Para você entender, vamos novamente aproveitar o exemplo utilizado anteriormente para 
que possamos comparar os resultados. Assim, suponhamos que um homem com 30 anos com-
pre uma renda anual de R$10.000,00, com recebimento no início de cada ano durante 15 anos. 
99© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que o homem terá de pagar para obter essa renda 
utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% ao ano.
( )x:n x – x n Xä Renda . N N / D+=
Sendo que:
 − n x
+ += =∑x x t x x nN D N – N
 
=t 0
( ) xx x.D l 1 i
−
= +
Calculando:
( )=xn 30 45
30
ä 1 0.000 . N – N
D
( )
( )
x n
30
ä 10.000 . 43.048.574,22 – 18.280.857,32
9.871.813 1 0,05
−
=
+
( )=x nä 1 0.000. 24.767.716,91
2.284.114,85
=x nä 108.434,64
RendaAleatória Constante imediata temporária Postecipada
A Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Postecipada é paga ao fim de cada pe-
ríodo – no caso, no fim de cada ano –; todavia, é paga por um prazo determinado. Esse tipo de 
renda possui o mesmo comportamento da Renda Aleatória Constante Imediata Vitalícia Poste-
cipada, mas a diferença entre as duas consiste no pagamento, que deve ser feito em um período 
determinado, isto é, que se finaliza em uma data definida.
Por meio dos diagramas a seguir, é possível perceber essa semelhança visualmente:
Renda vitalícia postecipada•	
 
 
 
 
 
 
1 1 1 1 1 
1 2 3 n n + 1 
Renda 
Tempo 
Até o fim da tábua 
Renda temporária postecipada•	
 
 
 
 
 
1 1 1 1 
1 2 3 n 
Renda 
Tempo 
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100
O valor presente das parcelas pagas por um período determinado à pessoa que, no mo-
mento zero, possui idade x+1, será simbolizado por ax:n ou Inax:
ax:n ou Inax: = Prêmio Único (Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada)
Fórmula resumida:•	
n
=∑ tx:n t xa v . p
t 1=
Fórmula analítica:•	
ax:n = v
1.1px + v
2.2px + v
3.3px + v
4.4px + ... + v
n-1.n-1px + v
n.npx
A comutação para a Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Postecipada é dada 
pela equação:
( )x:n x 1 x 1 n xa N – N / D+ + += 
É possível transformar a Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Antecipada (äx n) 
em Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Postecipada (ax :n) por meio da fórmula:
 äx:n = 1 + ax:n-1 ou ax :n-1 = äx :n - 1
Sendo que 1 representa a renda anual recebida.
Para você entender melhor, reaproveitaremos o exemplo utilizado anteriormente para 
que possamos comparar os resultados. Dessa forma, suponhamos que um homem com 30 anos 
compre uma renda anual de R$10.000,00, com recebimento no início de cada ano por 15 anos. 
Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que o homem deverá pagar para obter essa renda 
utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% ao ano.
( )x:n x 1 – x 1 n x a Renda . N N / D+ + +=
Sendo que:
− +n x 1
+ + + + += =∑x x 1 t x 1 x 1 nN D N – N
=t 0
( )−= + xx x.D l 1 i
Calculando:
( )=x:n 31 45
30
a 10.000 . N – N
D
( )
( )
x:n
30
a 1 0.000. 40.764.459,37 – 18.280.857,32
9.871.813 1 0,05
−
=
+
( )x:na 10.000 . 22.483.602,05
2.284.114,85
=
x:na 98.434,64 =
101© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
A diferença entre as duas rendas seria: R$108.434,64 - R$98.434,64 = R$10.000,00, ou 
seja, exatamente a renda do primeiro ano, no valor de R$10.000,00. Concluímos que, para a 
Renda Aleatória Constante Imediata Temporária Postecipada se tornar Antecipada, basta dimi-
nuir o valor da renda obtida no primeiro ano.
Renda Aleatória Constante Diferida vitalícia Antecipada
A Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada é contratada para ser recebida 
por toda a vida, sendo que o seu pagamento sempre acontece no início de cada período – no 
caso, no início de cada ano, logo após o prazo de diferimento, isto é, após o prazo de contratação 
e de recebimento da renda estabelecido na assinatura do contrato pelo segurado.
O valor presente das parcelas pagas por toda a vida a uma pessoa de idade x, enquanto 
ela estiver viva, porém após a idade x+m, sendo m o período de diferimento, será simbolizado 
por miäx:
mIäx = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada)
Fórmula resumida:•	
 ∞ +
+=∑ t mm x t m xIä v . p
 =t 0
Fórmula analítica:•	
 mIäx = v
m+0. m+0px + v
m+1. m+1px + v
m+2. m+2px + v
m+3. m+3px + v
m+4. m+4px + ...
 
A comutação para a Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada é dada pela 
equação:
( )+=m x x m xIä N / D
Para representar o comportamento dessa renda, observe o diagrama exposto a seguir:
 1 1 1 
0 1 2 m m+1 m+2 
Renda 
Tempo 
Até o fim da tábua 
Sendo que m é o momento em que a pessoa receberá a primeira renda após os anos de 
diferimento (ou seja, os pagamentos das rendas só acontecerão após esse diferimento).
Para que você tenha um melhor entendimento, vamos nos servir do exemplo anterior 
mais uma vez. Então, suponhamos que um homem com 30 anos compre uma renda anual de 
R$10.000,00, com recebimento no início de cada ano, mas pretendendo recebê-la somente 
quando completar 60 anos, pelo resto da vida. Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que 
esse homem deverá pagar para obter essa renda utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 
(masculina) e juros de i = 5% ao ano.
( )+=m x x m x Iä Renda . N / D 
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102
Sendo que:
− +w x m
+ += =∑x x t x m wN D N – N
t 0=
( ) xx x.D l 1 i
−
= +
Calculando:
( )=m x 60 115
30
Iä 1 0.000 . N – N
D
( )
( )−
=
+
m x
30
Iä 10.000. 6.704.903,15 – 0,01
9.871.813 1 0,05
( )=m xIä 10.000. 6.704.903,14
2.284.114,85
m xIä R$29.354,49=
Renda Aleatória Constante Diferida vitalícia Postecipada
A Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Postecipada é anual, contratada por toda 
a vida, sendo feito o seu pagamento no fim de cada período, após o diferimento. Essa renda, 
segundo Oliveira (2007, p. 49), é:
[...] o tipo de renda que se concede às pessoas no momento da aposentadoria por tempo de contri-
buição ou por idade, cujo pagamento se inicia um mês após a cessação das atividades das pessoas, 
ignorando-se, a partir dali, se essas pessoas continuarão ativas ou não. Ou seja, as pessoas contribuem 
por um determinado período para depois começar a receber, nesse caso o período de pagamento é 
equivalente ao diferimento.
Dessa forma, o cálculo desse tipo de renda é o praticado pelo Instituto de Previdência 
Social do Brasil. Embora, em nosso país, o pagamento seja feito, na maioria das vezes, no fim de 
cada mês, para efeito de nosso estudo, o cálculo da renda a ser paga será considerado no fim 
de cada ano.
O valor presente das parcelas pagas por toda a vida a uma pessoa de idade x, enquanto 
estiver viva, porém após a idade x+m+1, sendo m o período de diferimento, será simbolizado 
por miax:
mIax = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Postecipada)
Fórmula resumida:•	
∞
t m 1
m x t m 1 xIa v . p
+ +
+ += ∑
t 0=
Fórmula analítica:•	
mIax = v
m+1. m+1px + v
m+2. m+2px + v
m+3. m+3px + v
m+4. m+4px + ...
A comutação para a Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada é dada pela 
equação:
( )m x x+1+m w x Ia = N – N /D
 
103© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
Para representar o comportamento dessa renda, observe o diagrama exposto a seguir:
 1 1 1 
1 2 3 m+2 m+1 m+3 
Renda 
Tempo 
Até o fim da tábua 
m 
 
Sendo m o período de diferimento (ou seja, os pagamentos das rendas só acontecerão 
após um ano desse diferimento).
Para que compreendamos melhor, iremos utilizar, mais uma vez, o exemplo anterior. As-
sim, suponhamos que um homem com 30 anos compre uma renda anual de R$10.000,00, com 
recebimento no fim de cada ano, porém pretendendo recebê-la só quando completar 60 anos, 
pelo resto da vida. Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que o homem deverá pagar 
para obter essa renda utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% 
ao ano.
( )m x x+1+m x Ia = Renda . N / D
Sendo que:
w x m− +
x x t x 1 m wN D N – N+ + += =∑
t 0=
Dx = lx.(1+i)
-x
Calculando:
( )m x 61 115
30
Ia 10.000 . N –N
D
=
( )
( )
m x
30
Ia 1 0.000 . 6.215.478,68 – 0,01
9.871.813 1 0,05
−
=
+
( )m xIa 1 0.000 . 6.215.478,68
2.284.114,85
=
m xIa 27.211,76=
Renda Aleatória Constante Diferida temporária Antecipada
A Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Antecipada é anual, contratada por um 
prazo estabelecido, sendo efetuado o seu pagamento no início de cada período, após o diferi-
mento.
O valor presente das parcelas pagas por toda a vida a uma pessoa de idade x, por um pra-
zo determinado, porémapós a idade x+m+n, sendo m o período de diferimento e n o prazo de 
recebimento da renda, será simbolizado por miäx:n:
mIäx:n = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Antecipada)
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104
Fórmula resumida:•	
 n 1−
m t
m x:n m t xIä v . p
+
+= ∑
 
t 0=
Fórmula analítica:•	
mIäx:n = v
m+0. m+0px + v
m+1. m+1px + v
m+2. m+2px + v
m+3. m+3px + ....+ v
m+n-1. m+n-1px
A comutação para a Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada é dada pela 
equação:
( )m x:n x+m x+m+n xIä = N – N / D
Para representar o comportamento dessa renda, observe o diagrama exposto a seguir:
 1 1 1 
1 2 3 m+1 m m+2 
Renda 
Tempo 
... 
1 
m+n-1 
Sendo que m é o período de diferimento e n-1 é o prazo de pagamento.
Novamente aproveitando o exemplo anterior, suponhamos que um homem de 30 anos 
compre uma renda anual de R$10.000,00, com recebimento no início de cada ano, porém aspi-
rando recebê-la só a partir dos 60 anos, até completar 75 anos de idade. Vamos calcular o valor 
do Prêmio Único Puro que o homem deverá pagar para obter essa renda utilizando a Tabela de 
Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de i = 5% ao ano.
( )m x:n x m x m n xIä Renda . N – N / D+ + +=
Sendo que:
 x m n+ +
x x t x m x m nN D N – N+ + + += =∑
t 0=
( ) xx x.D l 1 i
−
= +
Calculando:
( )m x:n 60 75
30
Iä 10.000 . N –N
D
=
( )
( )
m x:n
30
Iä 10.000. 6.704.903,15 – 1.706.802,47
9.871.813 1 0,05
−
=
+
( )m x:nIä 1 0.000. 4.998.100,68
2.284.114,85
=
105© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
m x:nIä R$21.882,00=
Renda Aleatória Constante Diferida temporária Postecipada
A Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Postecipada é anual, contratada por um 
prazo estabelecido, sendo o seu pagamento no fim de cada período, após o diferimento.
O valor presente das parcelas pagas por toda a vida a uma pessoa de idade x, por um prazo 
determinado, porém após a idade x+m+n+1, sendo m o período de diferimento e n o prazo de 
recebimento da renda, será simbolizado por miax:n:
mIax:n = Prêmio Único Puro (Renda Aleatória Constante Diferida Temporária Postecipada).
Fórmula resumida:•	
 n
t m 1
m x:n t m 1 xIa v . p
+ +
+ += ∑
t 0=
Fórmula analítica:•	
mIax:n = v
m+1. m+1px + v
m+2. m+2px + v
m+3. m+3px + v
m+4. m+4px + ... + v
m+n. m+npx
A comutação para a Renda Aleatória Constante Diferida Vitalícia Antecipada é dada pela 
equação:
( )m x:n x+1+m x+1+m+n xIa = N – N / D
Para representar o comportamento dessa renda, observe o diagrama exposto a seguir:
 1 1 1 
1 2 3 m+2 m+1 m+3 
Renda 
Tempo 
... 
1 
m+n m 
Sendo que m é o período de diferimento e n é o prazo de pagamento.
Por mais uma vez, para você ter uma explicação melhor, citamos o exemplo que temos 
utilizado: suponhamos que um homem de 30 anos compre uma renda anual de R$10.000,00, 
com recebimento no fim de cada ano, porém pretendendo recebê-la só a partir dos 60 anos, até 
completar 75 anos de idade. Vamos calcular o valor do Prêmio Único Puro que o homem terá de 
pagar para obter essa renda utilizando a Tabela de Mortalidade AT-2000 (masculina) e juros de 
i = 5% ao ano.
( )m x:n x 1 m x 1 m n xIa N – N / D+ + + + +=
Sendo que:
 x m n 1+ + +
x x t x 1 m x 1 m nN D N – N+ + + + + += =∑
 t 0=
( ) xx x.D l 1 i
−
= +
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106
Calculando:
( )m x:n 61 75
30
Iä 1 0.000 . N – N
D
=
( )
( )
m x:n
30
Iä 10.000. 6.215.478,68 – 1.706.802,47
9.871.813 1 0,05
−
=
+
( )m x:nIä 10.000. 4.508.676,21
2.284.114,85
=
m x:nIä R $19.739,27=
Como dito no início da unidade, as rendas podem ser pagas à vista, com o pagamento de 
um prêmio único (o que acabamos de estudar), ou a prazo, com o pagamento de prêmios par-
celados (assunto a ser falado a seguir).
RENDAS COM PAGAMENTOS DE PRÊMIOS PARCELADOS7. 
Em nosso país, é mais comum ocorrer de a pessoa que queira comprar uma renda a ser 
recebida no futuro pague ela ao longo dos anos (parcelado) em que não há o recebimento (di-
ferimento) para depois, após o período de diferimento, recebê-la.
Vamos entender, agora, quanto que o requerente tem de pagar para obter a renda no 
futuro para cada um dos tipos de rendas. Nesse caso, não há nenhum tipo de renda imediata, já 
que todas têm um período de diferimento para o recebimento das rendas.
Prêmio Parcelado para Renda Diferida vitalícia Antecipada
O Prêmio Parcelado para Renda Diferida Vitalícia Antecipada é um tipo de renda que é 
pago enquanto o indivíduo de idade x viver (vitalícia), a partir de uma renda unitária diferida de 
m anos, sendo que o prêmio é pago de forma antecipada.
A equação a seguir representa o valor presente da obrigação futura do segurador na as-
sinatura do contrato (miäx), ao mesmo tempo em que a obrigação do segurado é a de pagar o 
prêmio estipulado enquanto o segurador permanecer vivo. 
( ) ( )m x t m x x:t t m x m x x:tIä P Iä . ä P Iä Iä / ä= => =
Se fizermos a comutação da equação anterior, teremos:
( ) ( )t m x x m x x tP Iä N / N – N+ +=
O procedimento dos cálculos são os mesmos que já foram apresentados anteriormente, 
no pagamento à vista.
Prêmio Parcelado para Renda Diferida temporária Antecipada
O Prêmio Parcelado para Renda Diferida Temporária Antecipada é um tipo de renda que é 
pago ao indivíduo de idade x por t anos no máximo, a partir de uma renda unitária diferida de 
m anos, sendo que o prêmio é pago de forma antecipada.
107© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
A equação a seguir representa o valor presente da obrigação futura do segurador na as-
sinatura do contrato (miäx), ao mesmo tempo em que a obrigação do segurado é a de pagar o 
prêmio estipulado por um período máximo de t anos. 
( )m x:n t m x:n x:tIä P Iä . ä=
ou
( )t m x:n m x:n x :tP Iä Iä / ä=
Se fizermos a comutação da equação anterior, teremos:
( ) ( ) ( )t m x:n x m x m n x x tP Iä N – N / N – N+ + + += 
O procedimento dos cálculos são os mesmos que já foram apresentados anteriormente, 
no pagamento à vista.
Prêmio Parcelado para Renda Diferida vitalícia Postecipada
O Prêmio Parcelado para Renda Diferida Vitalícia Postecipada é um tipo de renda que é 
pago enquanto o indivíduo de idade x viver (vitalícia), a partir de uma renda unitária diferida de 
m anos, sendo que o prêmio é pago de forma postecipada. A equação a seguir representa essa 
renda:
mIäx:n = tP (mIäx:n) . äx:t
ou
( )t m x m x x:tP Ia Ia / ä=
Se fizermos a comutação da equação anterior, teremos:
( ) ( )t m x x 1 m x x tP Ia N / N – N+ + +=
O procedimento dos cálculos são os mesmos que já foram apresentados anteriormente, 
no pagamento à vista.
Prêmio Parcelado para Renda Diferida temporária Postecipada
O Prêmio Parcelado para Renda Diferida Temporária Postecipada é um tipo de renda que é 
pago ao indivíduo de idade x por, no máximo, t anos, a partir de uma renda unitária diferida de 
m anos, sendo que o prêmio é pago de forma postecipada.
( )m x:n t m x:n x:tIa P Ia . ä=
ou
( )t m x:n m x:n x:tP Ia Ia / ä= 
Se fizermos a comutação da equação anterior, teremos:
( ) ( ) ( )t m x:n x 1 m x 1 m n x x tP Ia N – N / N – N+ + + + + +=
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108
O procedimento dos cálculos são os mesmos que já foram apresentados anteriormente,no pagamento à vista.
Com esses cálculos, é possível determinar qualquer tipo de prêmio único cuja realização 
do evento que determinar esse pagamento seja a sobrevivência do indivíduo, a partir de uma 
renda estipulada com ou sem diferimento do pagamento das parcelas. 
Os seguros de vida, também denominados “seguros de sobrevivência”, por exemplo, se-
guem essa mesma metodologia apresentada. Contudo, deve-se considerar que esse tipo de 
seguro é ligado à sobrevivência do indivíduo.
No próximo tópico, vamos descobrir como são calculados os prêmios únicos de seguros 
pagáveis por falecimento, que se diferem dos cálculos anteriores em razão de se tratarem de 
pagamentos que se efetuam devido à ocorrência de um sinistro – no caso, o falecimento do 
indivíduo.
SEGUROS PAGÁVEIS POR MORTE8. 
No caso dos seguros pagáveis por morte, estes são divididos em capital constante e capi-
tal variável. Logo, há seguros pagáveis por morte a capital constante sem diferimento (seguro de 
vida inteira ou ordinário de vida; seguro temporário de n anos; seguro misto de n anos; e seguro 
misto de n anos com capital duplo) ou com diferimento, que são pagos depois de um período de 
tempo (seguros diferidos de n anos).
Já os seguros pagáveis por morte de capital variável possuem desdobramento idêntico 
ao da renda variável, sendo divididos em Progressão Aritmética e em Progressão Geométrica, 
como pode ser visto na Figura 2.
 
A Capital 
Constante 
Sem 
diferimento 
ou com 
efeito 
imediato 
Vida Inteira ou Ordinário de Vida 
Segundo lei 
matemática 
Irregularmente 
Progressão 
Aritmética 
Progressão 
Geométrica 
1º termo e 
razão iguais 
1º termo 
diferente da 
razão 
Crescente 
Decrescente 
Crescente 
Decrescente 
Crescente 
Seguros 
Pagáveis 
por Morte 
A Capital 
Variável 
Temporário de n anos 
Dotal (misto) de n anos 
Dotal (misto) de n anos a capital duplo 
 
Com 
diferimento 
Vida Inteira ou Ordinário de Vida, diferido de m anos 
Temporário de n anos, diferido de m anos 
Dotal (misto) de n anos, diferido de m anos 
Dotal (misto) de n anos a capital duplo, diferido de m anos 
 
Figura 2 Quadro sinótico dos seguros pagáveis por morte.
Fonte: VILANOVA (1969, p. 56).
109© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
Segundo Vilanova (1969), há duas hipóteses em que se baseia o estudo dos seguros pagá-
veis por falecimento:
a que supõe que o capital devido pela ocorrência do sinistro seja pago no fim do ano, •	
conhecida pela expressão reduzida "sinistro no fim do ano";
a que supõe que o capital devido pela ocorrência do sinistro seja pago no meio do ano, •	
conhecida pela expressão reduzida "sinistro no meio do ano".
Neste tópico, iremos abordar a primeira hipótese, visto que, segundo Vilanova (1969), é a 
mais seguida no Brasil.
Para efeito de conhecimento, os conceitos dos seguros constantes pagáveis por morte 
estão resumidos a seguir.
sem diferimento ou com efeito imediato
Seguro de vida inteira
O seguro de vida inteira é aquele em que a esperança matemática de ter-se direito ao se-
guro a ser pago ocorre no fim do ano em que a pessoa falecer.
Para o cálculo do seguro de vida inteira, considera-se Ax o valor atual da unidade de capital 
pagável no fim do ano em que venha a falecer a pessoa segurada de idade x, qualquer que seja 
a época de seu falecimento.
Vejamos, a seguir, a descrição da fórmula:
 w x−
t 1
x xt
A Iq .v += ∑
 
t 0=
( ) ( )x x x x x xA v . ä – a v . ä – ä 1 1 – 1 v . ä= = − = −
 
x XA 1 – d . ä=
Sendo d = (1-v)
Fazendo a comutação da equação, tem-se que:
( ){ } = − + x x XA 1 – 1 1 / 1 i . N / D
Seguro temporário de n anos
O seguro temporário de n anos é um tipo de seguro em que a esperança matemática de 
recebimento acontecerá no fim do ano em que a pessoa falecer, mas apenas por um período 
estabelecido.
Para o cálculo do seguro temporário de n anos, considera-se A1x:n o valor atual da unidade 
de capital pagável no fim do ano em que venha a falecer a pessoa segurada de idade x, des-
de que não tenham decorridos n anos. Essa expressão é coincidente com a do seguro de vida 
inteira, uma vez que apenas as parcelas do somatório são limitadas a n, sendo que seu limite 
superior é n-1. 
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110
Portanto, o cálculo do seguro temporário de n anos é:
n 1−
1 t 1
x:n xt
A Iq .v += ∑
t 0=
1
x:n x:n x:nA v . ä – a=
Fazendo a comutação da equação, tem-se que:
( )( ){ } { }1x:n x x n x x 1 x 1 n xA 1 / 1 i . N – N / D – N N / D + + + += + −   
Seguro dotal (misto) de n anos (e seguro dotal de n anos a duplo capital) 
O seguro dotal (misto) de n anos (e seguro dotal de n anos a duplo capital) trata-se da 
combinação de um seguro que é pago em caso de morte com um seguro que é pago em caso 
de sobrevivência, ou seja, entre o seguro temporário de n anos e o de sobrevivência de igual 
prazo. 
Para o cálculo do seguro dotal de n anos, considera-se Ax:n o valor atual da unidade de 
capital pagável no fim do ano em que venha a falecer a pessoa segurada de idade x, desde que 
não tenham sido decorridos n anos ou o pagamento de igual capital a ela própria, caso sobreviva 
à idade x+n.
Diante disso, o cálculo desse seguro é determinado na expressão:
1 1
x:n x:n x:nA A A= +
Assim, também temos: Ax:n
1 = nEx = v
n . npx = Prêmio Único Puro ou o valor atual da unidade 
de capital pagável a uma pessoa com idade x, se sobreviver à idade (x+n).
Conhecido como “seguro por sobrevivência” (Valor Único), observa-se que não é um so-
matório de parcelas. Também é denominado “fator de desconto atuarial”, isso por ser compos-
to, apenas, pelo fator de atualização financeira vn, capitalizado com a probabilidade de uma 
pessoa x sobreviver à idade x+n.
( )x:n x:nA 1 – ä . 1 v= −
x:n x:nA 1 – d . ä=
Fazendo a comutação da equação, tem-se que:
( )( )( ( )x:n x – x n xA 1 – 1 1 / 1 i . N N / D ]+ = − +   
Com diferimento
Seguro de vida inteira
O seguro de vida inteira é pagável no fim do ano de falecimento, por toda a vida, desde 
que tenha se passado um período de diferimento, que é estabelecido no ato da assinatura do 
contrato pelo segurado. 
111© Rendas Aleatórias, Seguros e Prêmios
O cálculo do seguro de vida inteira com diferimento é dado por miAx, que é o valor atual da 
unidade de capital pagável no fim do ano em que venha a falecer a pessoa segurada de idade x, 
em qualquer época de seu falecimento, desde que tenham decorridos m anos.
A expressão a seguir mostra-nos como é feito o cálculo do seguro de vida inteira com di-
ferimento.
 w x−
m 1 t
m x xt m
IA Iq .v + +
+
= ∑
 t 0=
m x m xIA E . Ax m= + 
Seguro temporário de n anos
O seguro temporário de n anos é diferente do anterior apenas no que tange ao prazo de 
recebimento, que é estabelecido por um período, não sendo recebido por toda a vida. Assim, é 
pagável no fim do ano de falecimento, por um prazo estabelecido, desde que tenha passado um 
período de diferimento, estabelecido no ato da assinatura do contrato pelo segurado.
O cálculo desse tipo de seguro é expresso por minAx, ou seja, o valor atual da unidade de 
capital pagável no fim do ano em que venha a falecer a pessoa segurada de idade x, dentro dos 
n anos que se seguirem aos primeiros m anos.
A expressão a seguir informa como esse cálculo é realizado:
 n 1−
m t 1
m n x t m xI A Iq .v
+ +
+= ∑
 t 0=
( )mn x m x 1/ x m nI A E . A +=
COnsiDERAÇÕEs9. 
Nesta unidade, estudamos os cálculos dos diversos tipos de seguros (e, também, dos de 
previdência), sendo os provenientes de rendas aleatórias (seguros de vida), nos quais a causa 
do pagamento é a sobrevivência, como também aqueles pagáveis por morte, sendo a causa o 
sinistro de falecimento do indivíduo.
Esta unidade representou um dos mais importantes assuntos da Matemática Atuarial, já 
que foi aqui tratado o cálculo, propriamente dito, dos prêmios a serem pagos na contratação de 
seguros e de previdência social.
Na unidade seguinte, vamos estudar a Reserva Matemática, outro assunto de vital impor-
tância na área de Ciências Atuariais.
Vamos lá?
qUESTõES AUTOAVALIATIVAS10. 
Responda às questões a seguir, que tratam dos cálculos dos diversos tipos de seguros e de 
previdência: os provenientes de rendas aleatórias e os pagáveis por morte.
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112
Saiba que a autoavaliação pode ser uma ferramenta importante para você testar o seu 
desempenho. Assim, se encontrar dificuldades em respondê-las, procure revisar os conteúdos 
estudados para saná-las.
Uma mulher com 57 anos de idade acumulou, ao longo da vida, R$3.000.000,00, e 1) 
ela deseja utilizar essa soma para pagar à vista uma renda, com a característica de 
recebê-la de forma antecipada e por toda a vida. Com base nessas informações, cal-
cule o valor anual da renda que ela receberá. Utilize a Tábua de Mortalidade AT-2000 
(feminina), com a taxa de juros de 6% ao ano.
Um homem de 30 anos de idade compra uma renda anual de R$60.000,00, com rece-2) 
bimento no final de cada ano, enquanto estiver vivo. Calcule o valor do prêmio único 
que ele deverá pagar à seguradora para obter esse produto e utilize a Tábua AT-2000 
(masculina), tendo, como base, a taxa de juros de 5% ao ano.
Uma mulher com 48 anos de idade acumulou, ao longo da vida, R$2.000.000,00, e 3) 
ela deseja utilizar essa soma para pagar à vista uma renda, com a característica de 
recebê-la de forma antecipada e pelo período de cinco anos. Calcule o valor anual da 
renda que ela receberá utilizando a Tábua AT-2000 (feminina), com uma taxa de juros 
de 5% ao ano.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS11. 
CHAN, B. L.; SILVA, F. L.; MARTINS, G. de A. Fundamentos da previdência complementar: da atuária à contabilidade. São Paulo: 
Atlas: FIPECAFI/USP, 2006.
OLIVEIRA, E. R. de. Previdência privada e seguro de vida: tópicos de matemática atuarial. Material de Aula, Universidade Católica 
de Goiás - UCG: Goiânia, 2008.
VILANOVA, W. Matemática atuarial. São Paulo: Pioneira, 1969.