Dinâmica dos Fluidos

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DESCRIÇÃO
Classificações de escoamentos, cálculo da vazão, energia e perda de carga.
PROPÓSITO
Apresentar as características que diferenciam os diversos tipos de escoamentos e os conceitos de vazão e conservação da
massa, além do efeito da perda de carga, bombas e turbinas no comportamento da energia ao longo de tubulações.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, tenha em mãos: papel, caneta e uma calculadora, ou use a calculadora de seu
smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Classificar os escoamentos
MÓDULO 2
Aplicar os conceitos de vazão
MÓDULO 3
Calcular a pressão ao longo de tubulações
DINÂMICA DOS FLUIDOS
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre a dinâmica dos fluidos.
MÓDULO 1
 Classificar os escoamentos
OS TIPOS DE ESCOAMENTO
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre os tipos de escoamento
INTRODUÇÃO
Quando precisamos resolver um problema de fluidodinâmica é fundamental classificar o escoamento corretamente para
selecionar a estratégia mais adequada para sua solução, buscando a metodologia mais simples que contemple os efeitos
relevantes.
Os escoamentos podem se diferenciar quanto a diversos aspectos, entre eles:
REGIME TEMPORAL
VARIAÇÃO NO ESPAÇO
INFLUÊNCIA DA VISCOSIDADE
TURBULÊNCIA
COMPRESSIBILIDADE
CONTORNOS
Neste módulo, veremos detalhes sobre cada uma das classificações mais relevantes.
CLASSIFICAÇÃO DOS ESCOAMENTOS
REGIME TEMPORAL
Regime temporal é o escoamento de uma massa fluida que pode ser avaliado com base no campo de velocidade, definido
por:
→
V =
→
V ( X , Y , Z , T ) =
→
U ( X , Y , Z , T ) 
ˆ
I +
→
V ( X , Y , Z , T ) 
ˆ
J +
→
W ( X , Y , Z , T ) 
ˆ
K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
→
u
,
→
v
e
→
w
são as componentes do vetor velocidade nas direções
x
,
y
e
z
, respectivamente.
Uma das avaliações que devemos fazer é se o escoamento varia ou não ao longo do tempo, ou seja, se as grandezas
físicas (ex.: velocidade, pressão e temperatura) dependem da variável tempo. Sendo assim, é possível classificá-lo em:
Permanente ou estacionário (steady)
Quando as grandezas não variam ao longo do tempo, ou seja, ∂ η / ∂ t = 0 para qualquer grandeza
η (
→
V , p , T , ρ . . . )
Transiente ou transitório (transient)
Quando há variação de grandezas ao longo do tempo, ou seja, ∂ η / ∂ t ≠ 0
 DICA
Apesar de ser necessário que todas as grandezas se mantenham constantes para determinar se o escoamento é
permanente, para maioria dos escoamentos, basta avaliar a velocidade.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 1
Classifique os escoamentos definidos pelos campos abaixo entre permanente (estacionário) e transiente (transitório):
a)
→
V = ( aye− bt )
ˆ
i
b)
→
V =
y2 + z2 2
a
ˆ
i
c)
→
V = ax2
ˆ
i + bxy 
ˆ
j + cy
ˆ
k
d)
→
V = ( ae− by )
ˆ
i + bx2
ˆ
j
( )
e)
→
V = ( ax + t )
ˆ
i + bx2
ˆ
j
RESOLUÇÃO
Conforme vimos, a classificação quanto ao regime temporal é feita com base na influência do tempo nas grandezas físicas.
Isso significa que, se houver a variável tempo
( t )
na expressão que fornece o campo de velocidades, o escoamento é transiente, caso contrário, permanente. Sendo assim:
a) Transiente, pois há a variável tempo em
→
V = ( aye− bt )
ˆ
i
b) Permanente
c) Permanente
d) Permanente
e) Transiente, pois há a variável tempo em
→
V = ( ax + t )
ˆ
i + bx2
ˆ
j
VARIAÇÃO NO ESPAÇO
Todos os escoamentos ocorrem nas três direções (x, y e z). No entanto, quando representamos matematicamente as
grandezas físicas, é possível que uma ou duas direções sejam desconsideradas. Essa simplificação facilita o modelo
matemático e a sua solução, além da visualização do escoamento através de gráficos, como as linhas de corrente.
 
Imagem: Atif Masood/Wikimedia commons/licença (CC BY 3.0)
 Linhas de corrente em um escoamento – simulação CFD
Para determinar qual a dimensionalidade do problema, basta avaliar quantas direções têm influência nas grandezas físicas
(ex.:
→
V
,
p
e
T
):
UNIDIMENSIONAL (1D)
Há variação apenas ao longo de um eixo (ex.: x), então dois eixos podem ser desconsiderados (ex.: y e z).
BIDIMENSIONAL (2D)
Há variação apenas ao longo de dois eixos (ex.: x e y), então apenas um pode ser desconsiderado (ex.: z).
TRIDIMENSIONAL (3D)
Há variação ao longo de todos os eixos, então todos devem ser considerados.
Assim como no regime temporal, normalmente basta avaliar o campo de velocidades para definir a dimensionalidade do
problema.
 ATENÇÃO
A classificação da dimensionalidade é feita com base na quantidade de variáveis espaciais (x, y e z) de que
→
V
depende.
 EXEMPLO
O campo de velocidade definido por
→
V = ( x + y )
ˆ
k
tem apenas uma componente (em z, conforme o vetor unitário
→
k
), porém ele varia ao longo de dois eixos (x e y). Portanto, trata-se de um escoamento bidimensional.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 2
Classifique a dimensionalidade dos escoamentos definidos pelos campos do exemplo anterior:
a)
→
V = ( aye− bt )
ˆ
i
b)
→
V =
y2 + z2 2
a
ˆ
i
c)
→
V = ax2
ˆ
i + bxy 
ˆ
j + cy
ˆ
k
d)
→
V = ( ae− by )
ˆ
i + bx2
ˆ
j
e)
→
V = ( ax + t )
ˆ
i + bx2
ˆ
j
RESOLUÇÃO
Sendo a dimensionalidade avaliada com base na quantidade de variáveis dimensionais que influenciam na velocidade,
então:
a) 
→
V = aye - bt
ˆ
i → 1D ( y )
b) 
→
V =
y2 + z2 2
a
ˆ
i → 2D ( y e z )
c) 
→
V = ax2
ˆ
i + bxy 
ˆ
j + cy
ˆ
k → 2D ( x e y )
d) 
→
V = ae - by
ˆ
i + bx2
ˆ
j → 2D ( x e y )
e) 
→
V = ( ax + t )
ˆ
i + bx2
ˆ
j → 1D ( x )
( )
( )
( )
( )
INFLUÊNCIA DA VISCOSIDADE
Um dos principais objetivos de se classificar os escoamentos é verificar quais aspectos não são relevantes e quais
simplificações são aceitáveis. Entre esses aspectos está a influência das tensões viscosas, o que classifica o escoamento
em:
Viscoso
A viscosidade
μ
tem influência significativa, logo a tensão cisalhante
τ
deve ser considerada.
Não viscoso ou invíscido
A viscosidade é desprezível, assim a tensão cisalhante pode ser desconsiderada, ou seja,
τ = 0
. Nesse caso, o fluido é chamado de ideal.
TENSÃO CISALHANTE
É um tipo de tensão gerado por forças aplicadas em sentidos iguais ou opostos, em direções semelhantes, mas com
intensidades diferentes no material analisado.
O número de Reynolds é um adimensional que mede a razão entre forças inerciais, representadas pela quantidade de
movimento (produto de massa pela velocidade), e forças viscosas, representadas pela viscosidade:
RE =
ΡVL
Μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
ρ
: (kg/m³) massa específica
V
javascript:void(0)
: (m/s) velocidade da corrente livre
L
: (m) comprimento (ou largura) de referência
μ
: (kg/m.s) viscosidade
Como a viscosidade
( μ )
está no denominador, quando a influência dela for significativa, o valor de
Re
será baixo. Em escoamento ao redor de esfera, por exemplo, isso ocorre para Re < 1. No entanto, um valor elevado de
Re
não necessariamente indicará escoamento invíscido
( τ = 0 )
, pois mesmo sendo relativamente baixa, a tensão cisalhante pode ter uma influência importante.
O maior exemplo do efeito secundário da tensão cisalhante baixa é o desprendimento das linhas de corrente, o que é
caracterizado pela esteira formada atrás de um corpo no caminho do escoamento. Na figura seguinte, a esteira é
evidenciada pela ausência das linhas de corrente ao lado direito da esfera (após o vento passar por ela).
 
Imagem shutterstock.com
 Esteira do escoamento após passar por uma esfera
Em aerofólios (ex.: asa de avião), a geometria é propositalmente desenhada para reduzir ao máximo a esteira. Veja:
 
Imagem: Orion 8/Wikimedia commons/licença (CC BY 3.0)
 Linhas de corrente ao redor de uma asa
Quando a esteira é desprezível, o escoamento pode ser calculado com
τ = 0
, o que simplifica a solução matemática do problema. Posteriormente, a tensão cisalhante junto à superfície sólida pode ser
adicionada para obter a forçade arrasto causada pelo “atrito”.
 RESUMINDO
Se o número de Reynolds for baixo (ex.: para esfera, Re < 1), o escoamento é classificado como viscoso.
Se
Re
é elevado, a viscosidade pode ser desconsiderada para o cálculo do campo de velocidade apenas se não houver esteira.
Porém, a tensão cisalhante deverá ser avaliada junto à superfície sólida.
TURBULÊNCIA
No número de Reynolds,
Re =
ρVL
μ
, a força inercial, proporcional a
ρVL
, representa a tendência que o fluido tem de manter sua velocidade, enquanto a força viscosa, proporcional a
μ
, representa o que procura resistir ao escoamento. Portanto, quanto menor o denominador (viscosidade), menos
“controlado” é o escoamento e maior é o valor de
Re
. Esse é o caso dos escoamentos turbulentos, ao contrário dos laminares.
Para que valor de
Re
, então, há uma mudança no comportamento do escoamento?
Depende do tipo de escoamento ao qual estamos nos referindo. A seguir, ilustraremos dois casos: escoamento no interior e
no exterior de tubulações.
O escoamento no interior de tubulações é um dos fenômenos de maior interesse na engenharia.
Re Classificação Imagem
Re < 2300 Laminar
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
2300 < Re < 4000 Transição
4000 < Re Turbulento
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento no interior de tubulações
Fluidos passando ao redor de cilindro, por sua vez, podem ser exemplificados por correntes marinhas em dutos
submarinos, corrente de rios em pilares de pontes e vento em edifícios.
Re Classificação Imagem
Re < 40
Esteira
laminar e
permanente
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
40 < Re < 150 Esteira
laminar e
periódica
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
150 < Re < 300 Transição
300 < Re
Esteira
turbulenta
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento ao redor de cilindros
Mesmo para outros formatos de corpos, os valores indicados na tabela podem servir como referência para ordem de
grandeza que indica escoamentos laminares ou turbulentos.
 EXEMPLO
Se o escoamento ao redor de um duto submarino tem
Re≅50.000
(muito maior que 40), você pode ter certeza de que o escoamento é turbulento.
 SAIBA MAIS
Normalmente, o engenheiro não tem dúvida se o escoamento é laminar ou turbulento, pois as condições mais comuns
resultam em
Re
muito elevados.
Faça um teste, calculando o valor de Reynolds para escoamentos que venham à sua mente.
Saiba que o cálculo de
Re
remete muito mais à ordem de grandeza do que a um valor exato. Assim, não se preocupe em fazer estimativas grosseiras
para os parâmetros necessários (velocidade e dimensão de referência).
COMPRESSIBILIDADE
A influência da compressibilidade no escoamento pode ser medida pelo número de Mach:
MA =
V
C
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
V
é a velocidade de referência do escoamento e
c
é a velocidade do som no fluido.
Quanto maior o valor de
Ma
, maiores são os efeitos da compressibilidade. Quando o número de Mach é muito menor que 1
( Ma≪1 )
, o escoamento pode ser classificado como incompressível, ou seja, com massa específica
ρ
constante. Na prática, é comumente aceito considerar que Ma≪1 ↔ Ma < 0 , 3 .
Ma Classificação
Ma < 0 , 3 Incompressível
Ma > 0 , 3 Compressível
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Classificação de escoamento no interior de tubulações
Avaliando-se a condição limite
( Ma = 0 , 3 → V = 0 , 3c )
, temos:
Para a água
V = 0 , 3 · 1000 = 300m / s = 1 . 080km / h .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para o ar, nas CNTP
V = 0 , 3 · 340 = 102m / s = 367km / h .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De maneira geral, líquidos resultam em escoamentos incompressíveis; enquanto gases, compressíveis, o que ocorre para o
escoamento no interior de tubulações de abastecimento de água e do ar ao redor de aviões, respectivamente.
 
Imagem: Shutterstock.com
 
Imagem: Pixabay.com
 Escoamento de água em tubulações (incompressível) e do ar ao redor de aviões (compressível)
Há exceções que valem ser citadas, como o corte de materiais com jatos de água a altíssima velocidade (cerca de
1400km/h) e a refrigeração de ar por dutos (velocidade de 10 m/s). Veja:
 
Imagem: Shutterstock.com
 
Imagem: Shutterstock.com
 Corte de materiais com jatos d’água e dutos de ar-condicionado
LEIS BÁSICAS PARA SISTEMAS E VOLUMES DE
CONTROLE
Antes de iniciar o equacionamento dos problemas, é importante definir qual é o tipo de domínio de análise — sistema ou
volume de controle:
Sistema
É constituído por determinada quantidade de matéria (massa), assim deve acompanhá-la ao longo do tempo.
Volume de controle
Compreende determinada região do espaço, por onde o fluido pode entrar e sair em diferentes aberturas, sendo delimitado
pela superfície de controle.
 EXEMPLO
Qual é o melhor domínio para análise de um bloco em um plano inclinado? Em se tratando de sólido, a massa do bloco é
bem definida e se desloca como um todo. Portanto, o equacionamento com base no sistema é o mais adequado.
E para avaliar o escoamento em determinado trecho de tubulação?
Nesse caso, a massa (matéria) de interesse é um fluido cujas partículas entram e saem da região de interesse (trecho de
tubulação), o que inviabiliza o equacionamento do sistema. Então, o volume de controle passa a ser a melhor opção.
A seguir, listaremos as leis da Física que servem como base para o desenvolvimento das equações abordadas na mecânica
dos fluidos. Essas leis são definidas, inicialmente, com aplicação num sistema.
PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA
Também chamada de princípio da continuidade, estabelece que a massa do sistema se mantém constante, ou seja:
msistema = cte → 
dm
dt sistema = 0 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR (MOMENTUM)
A partir da definição da quantidade de movimento linear
P
num sistema
→
P sistema = ∫ M
→
V dm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O princípio correspondente se refere à 2º Lei de Newton:
→
F =
d
→
P
dt sistema
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO ANGULAR
Definindo a quantidade de movimento angular
H
no sistema por:
→
H sistema = ∫ M
→
r × 
→
V dm 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( )
De maneira análoga ao princípio anterior, teremos:
→
M =
d
→
H
dt sistema
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PRINCÍPIO DA ENERGIA
Definindo-se a energia do sistema por:
Esistema = ∫ Me dm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse princípio se refere à 1ª e à 2ª Lei da Termodinâmica:
1ª Lei da Termodinâmica: 
˙
Q - 
˙
W =
dE
dt
sistema 
2ª Lei da Termodinâmica: δS ≥
δQ
T
Adicionalmente, vale citar as relações de estado, que complementam as leis básicas fornecendo a pressão e energia do
fluido em função da massa específica e temperatura, ou seja:
P = P ( Ρ , T )
E = E ( Ρ , T )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Um exemplo de relação de estado é a Lei dos Gases Ideais,
pV = mRT
, que pode ser reescrita como
p =
m
V
RT = ρRT
, ou seja, uma expressão que fornece
p
em função de
ρ
e
T
.
( )
( )
{
MÃO NA MASSA
1. QUAL É A CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO DE ÁGUA NO INTERIOR DE UMA ADUTORA
COM GRANDE COMPRIMENTO?
A) Invíscido, incompressível e interno.
B) Viscoso, turbulento, incompressível e interno.
C) Viscoso, laminar, compressível e interno.
D) Invíscido, compressível e externo.
E) Viscoso,laminar, incompressível e externo.
2. QUAL É A CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO DE AR AO REDOR DE UM AVIÃO DE GRANDE
PORTE?
A) Invíscido, compressível e interno.
B) Viscoso, turbulento, incompressível e externo.
C) Viscoso, laminar, compressível e externo.
D) Invíscido, incompressível e externo.
E) Viscoso, turbulento, compressível e externo.
3. DUAS PLACAS PLANAS HORIZONTAIS A UMA DISTÂNCIA H UMA DA OUTRA SÃO
SEPARADAS POR UM FLUIDO DE VISCOSIDADE Μ E MASSA ESPECÍFICA Ρ. A PLACA
INFERIOR ESTÁ FIXA E A SUPERIOR SE MOVE LATERALMENTE COM VELOCIDADE V
CONSTANTE. SE O FLUIDO EM QUESTÃO SE TRATA DA ÁGUA (Μ = 10-3 KG/M.S E Ρ ≅
1000KG/M³), V = 0,5M/S E H = 1,0MM, CLASSIFIQUE O REGIME DE ESCOAMENTO QUANTO AO
NÍVEL DE INFLUÊNCIA DAS TENSÕES VISCOSAS.
A) Turbulento
B) Permanente
C) Transiente
D) Incompressível
E) Laminar
4. EM UM DUTO ESCOA GÁS SOB CONDIÇÕES PARA AS QUAIS A VELOCIDADE DO SOM É DE
500M/S. QUAL É O VALOR MÁXIMO DA VELOCIDADE PARA QUE O ESCOAMENTO SEJA
CONSIDERADO INCOMPRESSÍVEL?
A) 500m/s
B) 0,3m/s
C) 50m/s
D) 150m/s
E) 104m/s
5. QUAL É A CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO DEFINIDO PELO CAMPO DE VELOCIDADE:
V→=XY2 I^-X2Y J^+A K^
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
A) 1D e permanente
B) 2D e permanente
C) 3D e permanente
D) 1D e transiente
E) 2D e transiente
6. A FIGURA A SEGUIR REPRESENTA UM TRECHO DE UMA TUBULAÇÃO DE ÁGUA ONDE HÁ
UM TÊ.
ESPECIFIQUE O QUE MELHOR REPRESENTA UM SISTEMA, UM VOLUME DE CONTROLE E
UMA SUPERFÍCIE DE CONTROLE, RESPECTIVAMENTE.
A) I, III e II
B) II, III e I
C) I, II e III
D) II, I e III
E) III, I e II
GABARITO
1. Qual é a classificação do escoamento de água no interior de uma adutora com grande comprimento?
A alternativa "B " está correta.
Viscoso: no interior de uma tubulação de grande comprimento, as tensões cisalhantes acabam contribuindo
significativamente, como uma força de resistência ao escoamento. Dessa forma, a viscosidade, que está diretamente
associada à tensão cisalhante (viscosa), deve ser considerada.
Turbulento: conforme quase a totalidade dos escoamentos de interesse econômico, como gasodutos e oleodutos, as
velocidades no interior de adutoras são elevadas o suficiente para resultar num número de Reynolds muito acima do limite
entre laminar e turbulento.
Incompressível: para escoamentos muito abaixo da velocidade do som, a compressibilidade do fluido pode ser desprezada.
Interno: As paredes internas da tubulação representam uma condição de contorno que impacta, significativamente, na
distribuição de velocidades.
2. Qual é a classificação do escoamento de ar ao redor de um avião de grande porte?
A alternativa "B " está correta.
Viscoso: as tensões viscosas (cisalhantes) tem um papel relevante em aviões, pois além de contribuírem diretamente para
a força de arrasto (resistência) pelo “atrito” ao longo da fuselagem, provocam vórtices (recirculações) na esteira das asas e
na cauda.
Turbulento: as elevadas velocidades dos aviões, além da baixa viscosidade do ar, provocam um comportamento turbulento,
o que pode ser facilmente constatado pelo número de Reynolds (Re=ρVL/μ).
Incompressível: tratando-se de ar e elevadas velocidades, a compressibilidade tem impactos relevantes no escoamento, por
isso deve ser considerada.
Externo: a partir da superfície externa dos aviões, não há limites para interferir na distribuição de velocidades, o que
caracteriza um escoamento externo.
3. Duas placas planas horizontais a uma distância h uma da outra são separadas por um fluido de viscosidade μ e
massa específica ρ. A placa inferior está fixa e a superior se move lateralmente com velocidade V constante. Se o
fluido em questão se trata da água (μ = 10-3 kg/m.s e ρ ≅ 1000kg/m³), V = 0,5m/s e h = 1,0mm, classifique o regime
de escoamento quanto ao nível de influência das tensões viscosas.
A alternativa "E " está correta.
O adimensional que mede a influência das tensões viscosas é o número de Reynolds, calculado por:
Re=ρVL μ=1000⋅0,5⋅1⋅10-310-3=500
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em se tratando de escoamento interno (entre duas placas), comparando-se com o limite até laminar conhecido para
escoamento em tubulações (Re < 2300), conclui-se que se trata de um escoamento laminar.
4. Em um duto escoa gás sob condições para as quais a velocidade do som é de 500m/s. Qual é o valor máximo da
velocidade para que o escoamento seja considerado incompressível?
A alternativa "D " está correta.
Para ser considerado incompressível, o número de Mach (Ma) deve ser Ma < 0,3. No caso em questão:
Ma=Vc<0,3→ V<0,3⋅c=0,3⋅500
→V<150 m/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Qual é a classificação do escoamento definido pelo campo de velocidade:
V→=xy2 i^-x2y j^+a k^
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Observando-se o campo de velocidade informado pelo anunciado, verifica-se que $$\vec{V}$$ é função de x e y, ou seja,
varia ao longo de dois eixos, o que o classifica como 2D. A variável tempo não aparece na expressão de $$\vec{V}$$ (a
velocidade não varia no tempo), logo o escoamento é permanente.
6. A figura a seguir representa um trecho de uma tubulação de água onde há um tê.
Especifique o que melhor representa um sistema, um volume de controle e uma superfície de controle,
respectivamente.
A alternativa "D " está correta.
SISTEMA VERSUS VOLUME DE CONTROLE
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre o Sistema versus Volume de Controle.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Desde as primeiras civilizações, ficou evidente a necessidade do fornecimento de água para as aglomerações urbanas.
Exemplos antigos de construções de aquedutos são encontrados desde o século III a.C. em diversas cidades romanas, com
quilômetros de extensão e, em maior parte, subterrâneos.
 
Imagem: Shutterstock.com
A prática comum da engenharia para o dimensionamento de dutovias é considerar uma única velocidade média ao longo da
seção transversal do duto e vazão constante, facilitando o cálculo das grandezas físicas ao longo da linha. Velocidades
típicas giram em torno de 1,5m/s, e os diâmetros usuais para abastecimento vão desde 2” e podem chegar até 2 metros.
Para que seja possível iniciar o equacionamento (que será feito nos próximos módulos), vejamos a classificação do referido
escoamento, de forma que seja considerado o mais simples possível.
RESOLUÇÃO
CLASSIFICAÇÃO DO ESCOAMENTO EM DUTOVIAS
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre classificação do escoamento em dutovias.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. SEJA O ESCOAMENTO DE ÁGUA NO INTERIOR DE UMA TUBULAÇÃO CUJO CAMPO DE
VELOCIDADES É DADO POR UR=K(R2-R2), EM QUE $$K$$ É UMA CONSTANTE, $$R$$ É O
RAIO DA TUBULAÇÃO E $$R$$ É A POSIÇÃO MEDIDA A PARTIR DO EIXO (CENTRO). SE A
VELOCIDADE MÉDIA É DE 0,01M/S E O RAIO É DE 1MM, QUAL É A CLASSIFICAÇÃO DESSE
ESCOAMENTO?
A) Permanente, 2D, viscoso, turbulento.
B) Permanente, 1D, viscoso, laminar.
C) Transiente, 2D, invíscido, laminar.
D) Permanente, 1D, invíscido, turbulento.
E) Permanente, 1D, viscoso, turbulento.
2. CLASSIFIQUE O ESCOAMENTO DECORRENTE DO CHUTE FORTE APLICADO EM UMA BOLA
DE FUTEBOL DE CAMPO EM COBRANÇA DE FALTA DIRETA PARA O GOL.
A) 3D, transiente, viscoso, turbulento, incompressível.
B) 1D, permanente, viscoso, laminar, incompressível.
C) 3D, transiente, invíscido, turbulento, compressível.
D) 2D, transiente, invíscido, laminar, incompressível.
E) 2D, permanente, viscoso, turbulento, compressível.
GABARITO
1. Seja o escoamento de água no interior de uma tubulação cujo campo de velocidades é dado por ur=K(R2-r2), em
que $$K$$ é uma constante, $$R$$ é o raio da tubulação e $$r$$ é a posição medida a partir do eixo (centro). Se a
velocidade média é de 0,01m/s e o raio é de 1mm, qual é a classificação desse escoamento?
A alternativa "B " está correta.
 
Para melhor visualização, podemosfazer um esboço do perfil de velocidades com base na expressão ur=K(R2-r2).
Tanto pela expressão quanto pela imagem, percebemos que se trata de um escoamento 1D, pois só varia ao longo do raio.
Como não há a variável tempo do campo de velocidades, trata-se de regime permanente (não varia no tempo).
Calculando-se o número de Reynolds:
Re=ρVDμ=1000⋅0,01⋅10-310-3=100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que indica um escoamento laminar, portanto viscoso.
2. Classifique o escoamento decorrente do chute forte aplicado em uma bola de futebol de campo em cobrança de
falta direta para o gol.
A alternativa "A " está correta.
 
Numa rápida pesquisa na internet, obtemos que o diâmetro da bola de futebol é de, aproximadamente, $$D=20cm$$. A
velocidade de um chute forte, por sua vez, V=100kmh≅28m/s. A massa específica e viscosidade do ar, nas CNPT são
ρ= 1,2kg/m³ e μ=1,8·10-5kg/m.s, respectivamente. Então:
Re=ρVDμ=1,2⋅28⋅0,21,8⋅10-5=3,7⋅105
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de um escoamento turbulento. Isso significa que as tensões cisalhantes são relativamente baixas. Porém, para
termos certeza de que elas podem ser desprezadas, devemos avaliar se há a formação de vórtices. Para isso, veja a figura
a seguir, resultado de teste com bola em um túnel de vento.
Observe que há sim formação de vórtices, que são causados, indiretamente, por ação das tensões cisalhantes (viscosas ou
“atrito”), dessa maneira elas não podem ser desprezadas nesse tipo de escoamento, sendo classificado como viscoso. 
Quanto à compressibilidade, devemos avaliar o número de Mach dividindo-se a velocidade da bola pela velocidade do som
no ar:
Ma=Vc=28340=0,082
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como Ma<0,3, o escoamento pode ser considerado incompressível.
O escoamento ao redor da bola (esfera) varia nas três direções (tridimensional) e no tempo (transiente).
MÓDULO 2
 Aplicar os conceitos de vazão
ANÁLISE DE ESCOAMENTO COM VOLUME DE
CONTROLE
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre análise de escoamento com volume de controle.
INTRODUÇÃO
Um dos métodos mais práticos para resolver problemas de fluidodinâmica, quando possível, é a solução em volume de
controle (VC). Para isso, primeiramente, são listados os princípios da mecânica dos fluidos, baseados em leis da Física e,
posteriormente, adaptadas para um VC. Com esse método, problemas como o cálculo da força resultante de um jato
atingindo uma placa podem ser resolvidos em poucas linhas.
VAZÃO VOLUMÉTRICA E VAZÃO MÁSSICA
Conforme aprendemos no módulo 1, o tipo de domínio de análise mais apropriado para o estudo de fluidos é o volume de
controle (VC). O VC é delimitado por uma superfície de controle (SC) ao longo da qual pode haver entrada ou saída de
fluido. Logo, é fundamental sabermos quantificar o fluido que passa por essas aberturas.
Essa quantificação é feita através da vazão definida pela quantidade de fluido que atravessa uma superfície S ao longo do
tempo.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Vazão em uma superfície S
VAZÃO VOLUMÉTRICA,
Q
:
É a quantidade de volume por tempo que atravessa
S
, ou seja,
Q = dV / dt
, calculada pela integral
Q = ∫S
→
V . d
→
A
. Considerando-se uma velocidade média (único valor constante)
Vm
e perpendicular à superfície, essa integral é simplificada para
Q = VmA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No S.I. (Sistema Internacional de Unidades ) , a vazão volumétrica é medida em m³/s, porém o mais usual para tubulações
é L/s ou m³/h.
VAZÃO MÁSSICA, 
˙
M
É a quantidade de volume por tempo que atravessa
S
, ou seja,
Q = dm / dt
. Como
dm = ρ dV
, basta multiplicar a expressão anterior por
ρ
:
˙
m = ρVmA
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No S.I., a unidade adotada para a vazão mássica é kg/s.
 SAIBA MAIS
Vazão volumétrica, ou simplesmente vazão, é a quantificação mais utilizada para fluidos incompressíveis, ou seja, líquidos.
Em se tratando de gases, como o volume sofre grande variação com as condições de pressão e temperatura, é mais
comum medir o escoamento pela vazão mássica.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 3
Qual é a velocidade média de escoamento numa tubulação de 4” onde escoam 12 L/s?
RESOLUÇÃO
A vazão pode ser volumétrica ou mássica. Pela unidade informada no enunciado (L/s), vemos que se trata de Q (vazão
volumétrica), calculada por:
Q = VmA → Vm =
Q
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área interna da tubulação (superfície por onde há o escoamento) será:
A =
πD2
4 =
π ( 4 ⋅ 0,0254 ) 2
4 = 0,0081 m ²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão, no S.I. é:
Q = 12L / s =
12
1000 m3 / s = 0,012 m3 / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Vm =
Q
A =
0,012
0,0081 = 1,5 m / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONVERSÃO DAS LEIS BÁSICAS DE SISTEMA PARA
VOLUME DE CONTROLE
A seguir, faremos a conversão das leis básicas (Módulo 1), a partir de um sistema, para um volume de controle (VC).
Matematicamente, isso pode ser feito pelo Teorema do Transporte de Reynolds, que equaciona uma grandeza
N
qualquer (ex.: massa) por:
DN
DT SISTEMA =
D
DT ∫ VCΗ Ρ DV + ∫ SCΗ Ρ 
→
V ⋅D
→
A
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual
η
é definido como a quantidade da grandeza
N
por unidade de massa, ou seja,
η = dN / dm
.
Apesar de parecer uma equação complexa, ela estabelece algo muito simples e intuitivo: a variação da grandeza N do
sistema é igual ao que varia internamente no VC somado ao que é trocado ao longo de SC (superfície de controle).
Uma primeira simplificação que adotaremos daqui em diante, é considerar apenas escoamento permanente. De acordo com
o que vimos (Classificação dos escoamentos) isso significa que as grandezas físicas não variam ao longo do tempo, ou
seja, a derivada temporal é igual a zero, o que ocorre na primeira parcela do lado direito da equação.
A outra simplificação é considerar aberturas (entrada ou saída de fluido) uniformes ou com valores médios, o que significa
que
η
,
ρ
e
→
V
não variam ao longo de SC, consequentemente podem ser retiradas da integral.
A simplificação do lado direito da equação anterior se resumirá a
∑ ( η ρ VA ) i
, que é o somatório de cada abertura i. Observando a definição de vazão mássica
˙
m
, teremos:
DN
DT SISTEMA = ∑ ± Η 
˙
M I 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
( )
( ) ( ) {
˙
MI = ΡIVIAI
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão mássica vem do produto escalar entre a velocidade
→
V
e o vetor normal à área
d
→
A
. Desse modo, se ambos tiverem o mesmo sentido (saída de fluido pela superfície), o produto será positivo, mas se tiverem
sentido contrário (entrada de fluido), será negativo. Veja:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Vazão como produto escalar entre velocidade e área
 ATENÇÃO
Se VC está em movimento, a velocidade utilizada no cálculo de
˙
m
ou
Q
deve ser a relativa a SC, ou seja,
→
V r =
→
V −
→
V SC
.
Isso se faz necessário para considerar a quantidade de fluido que, efetivamente, entra ou sai no VC.
EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE
Substituindo a grandeza genérica
N
da Equação (1) pela massa, em que η = dN / dm = dm / dm = 1, teremos:
DM
DT SISTEMA = ∑ ± 
˙
MI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com o princípio da continuidade (módulo 1), a massa do sistema é constante, logo, ( dm / dt ) sistema = 0 e
∑ ± 
˙
MI = 0 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
˙
MI = ΡIAIVI = ΡIQI
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a equação da continuidade,na versão válida para escoamento permanente em um VC com aberturas uniformes.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 4
Numa mangueira de 20mm de diâmetro, onde escoa água a 1,0m/s, se sua saída é parcialmente bloqueada, reduzindo a
área interna pela metade, qual será a velocidade do jato?
( )
{
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
RESOLUÇÃO
O primeiro passo é definir qual será o volume de controle (VC). Devemos optar por uma superfície de controle (SC) cujas
aberturas envolvem dados conhecidos ou que desejamos calcular. Então, é intuitivo optar pela região delimitada na figura a
seguir.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 2: Formação de uma treliça simples a partir do elemento básico ABC / Fonte: Autor
Aplicando o Princípio da Continuidade, (equação 2), considerando a entrada 1 (negativo) e saída 2 (positivo):
- 
˙
m1 +
˙
m2 = 0 → - ρ1V1A1 + ρ1V2A2 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como o fluido é incompressível (água), a massa específica é constante
( ρ1 = ρ2 )
:
V2 =
A1
A2 V1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a abertura bloqueada (2) tem a metade da área, A1 / A2 = 2:
V2 = 2 · 1 = 2 , 0m / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Esse exemplo nos mostra que, se reduzirmos a área de saída (2), haverá um aumento da velocidade, o que nós já
aplicamos, intuitivamente, quando colocamos o dedo na saída da mangueira com o objetivo de obter um jato com maior
alcance.
EQUAÇÃO DA QUANTIDADE DE MOVIMENTO LINEAR
(MOMENTUM)
Seguindo para o próximo princípio ou lei básica da mecânica dos fluidos, vamos agora substituir a grandeza genérica
N
da Equação (1) pela quantidade de movimento linear (momentum)
P = ∫
→
V dm
, sendo η = dN / dm = d
→
P / dm =
→
V :
D
→
P
DT SISTEMA = ∑ ±
→
V 
˙
M I
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que, de acordo com a 2ª Lei de Newton, 
d
→
P
dt sistema =
→
F :
→
F = ∑ ±
→
V 
˙
M I 
SAÍDA : +
ENTRADA : -
˙
MI = ΡIVIAI = ΡIQI
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa é a equação da quantidade de movimento linear que permite calcular a força atuando num VC.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 5
Calcule a força necessária para manter imóvel uma placa onde incide, perpendicularmente, um jato d’água com área
transversal de 2,0cm² a 10m/s.
( ) ( )
( )
( ) {
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
RESOLUÇÃO
Primeiramente, devemos delimitar o VC escolhido para solucionar o problema. Devemos escolher uma SC que tenha
aberturas que envolvam dados conhecidos ou que desejamos calcular.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Em seguida, aplicaremos a equação que permite obter a força aplicada num VC (equação 3). Por se tratar de uma equação
vetorial, vamos separar a análise em eixos (x, y e z). Observa-se que o único eixo de interesse é aquele orientado com a
direção do jato. Nessa direção, há apenas uma abertura (entrada do jato). Portanto:
Fx = - Vj 
˙
mj = - Vj ρVjAj = - ρV
2
j Aj
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A área do jato é:
Aj = 2 cm2 = 2 ⋅ 10 - 2 2 m2 = 0,0002 m ²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
( )
( )
F = - 1000 ⋅ ( 10 ) 2 ⋅ ( 0,0002 ) = - 20 N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sinal negativo indica que a força é contrária ao sentido do jato. É importante ressaltar que a força calculada pela equação
3 é a aplicada no VC, ou seja, no fluido. Por isso, a força que o fluido exerce na placa será a reação (sentido contrário) da
calculada.
MÃO NA MASSA
1. O MANUAL DO FILTRO DE ÁGUA DA UMA RESIDÊNCIA ESPECÍFICA QUE A VAZÃO DE
SERVIÇO DEVE ESTAR ENTRE 45 E 55 L/H. PARA ENCHER UMA GARRAFA DE 2L, FORAM
NECESSÁRIOS 2MIN E 24S. QUAL É A VAZÃO DO FILTRO?
A) 0,01388 L/h
B) 50 L/h
C) 50 L/s
D) 60 L/h
E) 40 L/s
2. EM UM ÓLEO DUTO COM 20” DE DIÂMETRO INTERNO, SÃO ESCOADOS 120.000 BBD
(BARRIS POR DIA) DE PETRÓLEO. QUAL A VELOCIDADE MÉDIA DE ESCOAMENTO, EM M/S,
SE 1BARRIL≅159L?
A) 1,09m/s
B) 0,54m/s
C) 0,27m/s
D) 0,22m/s
E) 4,12m/s
3. QUAL É A VAZÃO MÁSSICA EM UM GASODUTO DE 12” QUE ESCOA UM GÁS COM MASSA
ESPECÍFICA Ρ=0,8 KG/M³ NUMA VELOCIDADE MÉDIA DE 6M/S?
A) 4,8kg/s
B) 0,437kg/s
C) 0,350kg/s
D) 57,6kg/s
E) 1,15kg/s
4. PARA MOLHAR AS PLANTAS DE UM JARDIM, É COMUM TAPARMOS A SAÍDA D’ÁGUA,
PARCIALMENTE, COM O DEDO. ESSE PROCEDIMENTO REDUZ A ÁREA DE SAÍDA E, DE
ACORDO COM A EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE, AUMENTA A VELOCIDADE, ALCANÇANDO
DISTÂNCIAS MAIORES. SE A VELOCIDADE NO INTERIOR DA MANGUEIRA É DE 1,5M/S E 80%
DA ÁREA É OBSTRUÍDA COM O DEDO, QUAL A VELOCIDADE DO JATO D’ÁGUA?
A) 1,9m/s
B) 1,5m/s
C) 7,5m/s
D) 1,2m/s
E) 3,0m/s
5. A CAIXA D’ÁGUA DE UMA RESIDÊNCIA É ENCHIDA POR BOMBEAMENTO A 2.000L/H,
QUANDO A ÁGUA ATINGE A ALTURA MÁXIMA DE SERVIÇO E PASSA A HAVER SAÍDA PELO
EXTRAVASOR, COMUMENTE CHAMADO DE “LADRÃO”. SE O CONSUMO TOTAL DE ÁGUA
NESSE INSTANTE É DE 0,30L/S, QUAL SERÁ A VAZÃO NO “LADRÃO” EM M³/H?
A) 0,92m³/s
B) 1,08m³/s
C) 2,00m³/s
D) 920m³/s
E) 0,20m³/s
6. UM JATO DE ÁGUA HORIZONTAL A 20°C COM VELOCIDADE VJ=5,0M/S E ÁREA DE SEÇÃO
TRANSVERSAL AJ IGUAL A 1,0CM² ATINGE, PERPENDICULARMENTE, A PLACA
REPRESENTADA NA FIGURA A SEGUIR, DIVIDINDO-SE EM DOIS JATOS VERTICAIS.
CALCULE O MÓDULO DA FORÇA REQUERIDA PARA MANTER A PLACA IMÓVEL.
A) 0,5N
B) 2,5N
C) 25N
D) 5N
E) 10N
GABARITO
1. O manual do filtro de água da uma residência específica que a vazão de serviço deve estar entre 45 e 55 L/h. Para
encher uma garrafa de 2L, foram necessários 2min e 24s. Qual é a vazão do filtro?
A alternativa "B " está correta.
A definição de vazão é a razão entre o volume escoado pelo intervalo de tempo, que neste caso foi Δt=2min24s=144s.
Então:
Q=VΔt=2 L144 s=2144Ls=21443600 L3600 s⏟h=50 L/h 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obs.: Aqui, V é utilizado para distinguir volume de velocidade.
2. Em um óleo duto com 20” de diâmetro interno, são escoados 120.000 bbd (barris por dia) de petróleo. Qual a
velocidade média de escoamento, em m/s, se 1barril≅159L?
A alternativa "A " está correta.
Primeiramente, é conveniente passar as medidas fornecidas para o S.I.:
D=20"=20⋅0,0254m=0,508m
Q=120.000barrildia=120.0000,159 L24⋅60⋅60 s=0,221 m3/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade média é obtida através da vazão, pela relação Q=V·A. Sendo A=πD2/4:
V=QA=4QπD2=4⋅0,221π⋅0,5082=1,09 m/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Qual é a vazão mássica em um gasoduto de 12” que escoa um gás com massa específica ρ=0,8 kg/m³ numa
velocidade média de 6m/s?
A alternativa "C " está correta.
Vazão mássica é definida por m˙=ρVA, sendo A a área da seção reta de escoamento:
A=πD24=π12⋅0,025424=0,0729 m²
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
m˙=0,8⋅6⋅0,0729=0,350 kg/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Para molhar as plantas de um jardim, é comum taparmos a saída d’água, parcialmente, com o dedo. Esse
procedimento reduz a área de saída e, de acordo com a equação da continuidade, aumenta a velocidade,
alcançando distâncias maiores. Se a velocidade no interior da mangueira é de 1,5m/s e 80% da área é obstruída
com o dedo, qual a velocidade do jato d’água?
A alternativa "C " está correta.
De acordo com a equação da continuidade para um problema permanente (a vazão não varia):
m˙entrada=m˙saída
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando-se da definição de vazão mássica m˙i=ρiViAi e denotando-se a entrada como abertura 1 e a saída de 2:
ρ1V1A1=ρ2V2A2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por se tratar de um fluido incompressível(água), a massa específica é constante e ρ1=ρ2:
V1A1=V2A2 → V2=A1A2V1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se houve obstrução de 80% da área, restaram apenas 20% (A2=0,2·A1). Então:
V2=A10,2⋅A11,5=7,5 m/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. A caixa d’água de uma residência é enchida por bombeamento a 2.000L/h, quando a água atinge a altura máxima
de serviço e passa a haver saída pelo extravasor, comumente chamado de “ladrão”. Se o consumo total de água
nesse instante é de 0,30L/s, qual será a vazão no “ladrão” em m³/h?
A alternativa "A " está correta.
SOLUÇÃO DE PROBLEMAS COM A EQUAÇÃO DA
CONTINUIDADE
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre solução de problemas com a equação da continuidade.
6. Um jato de água horizontal a 20°C com velocidade Vj=5,0m/s e área de seção transversal Aj igual a 1,0cm² atinge,
perpendicularmente, a placa representada na figura a seguir, dividindo-se em dois jatos verticais.
Calcule o módulo da força requerida para manter a placa imóvel.
A alternativa "B " está correta.
O primeiro passo é definir a superfície de controle (SC) e assim o volume de controle (VC), que deve conter as aberturas ao
longo das quais são conhecidas as vazões e a superfície em que a força é aplicada. Dessa maneira, é natural escolher uma
SC semelhante à da figura a seguir.
A equação integral do momentum na direção x se reduz a:
Fx=∑i=1N± u ρViAi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual as parcelas correspondem a cada i-ésima abertura, somada para saída e subtraída para entrada.
A única abertura que possui velocidade na direção $$x (u)$$ é a da entrada, em que a velocidade é $$V_j$$ e área
$$A_j$$. Sendo assim:
Fx=-VjρVjAj=-ρVj2Aj
→ Fx=-1000⋅52⋅1⋅10-4=-2,5 N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O sinal negativo indica que o sentido da força é para esquerda, conforme esperado.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
As estações de tratamento de esgoto (ETEs) são de grande importância, principalmente em áreas urbanas, pois reduzem o
impacto ambiental causado pela concentração de habitantes. Nessas instalações, processos físicos, químicos e biológicos
removem a carga de poluentes do esgoto, reestabelecendo um nível adequado para ser devolvido ao ambiente (ex.: rios,
lagoas e mares). Em uma ETE, normalmente, há diversos tanques, utilizados em etapas como decantação, aeração e
filtração. Para que o tratamento seja adequado, é importante controlar o volume e, como resultado, a vazão de enchimento
de cada tanque.
 
Foto: Shutterstock.com
Suponha uma estação de tratamento de esgotos (ETE) que receba efluentes no momento de pico com a vazão total de
140L/s. Após a chegada em um barrilete, essa vazão é distribuída, através de um barrilete, para quatro tanques.
Apenas o medidor do tanque 1 está funcionando, que marca uma vazão de 72m³/h.
No tanque 2, foi montado um dispositivo improvisado, com um tubo horizontal de
Di = 6 "
e uma régua abaixo de sua extremidade
h = 1m
(figura seguinte), que mede a distância alcançada pelo jato.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
A velocidade pode ser obtida com um simples cálculo cinemático, considerando L = 90cm. 
No tanque 3, que tem uma área de 100m², um medidor do nível d’água mostra que houve um aumento de 30cm em 10min.
Assumindo regime permanente, calcule qual é a vazão que chega no tanque 4.
RESOLUÇÃO
O PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DA MASSA NA PRÁTICA
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre o princípio da conservação da massa na prática
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UM TRECHO DE TUBULAÇÃO, ONDE ESCOA ÁGUA E HÁ REDUÇÃO DE DIÂMETRO DE
100MM PARA 50MM, É REPRESENTADO NA FIGURA.
SE A VELOCIDADE NA SEÇÃO 1 É 0,50M/S, QUAL É O VALOR DA VAZÃO NA SEÇÃO 2, EM L/S
?
A) 3,9
B) 2,0
C) 0,12
D) 3,9.10-3
E) 16
2. DURANTE A INSPEÇÃO DE UMA REDE DE ÁGUA FRIA UTILIZADA PARA REFRIGERAÇÃO
NUM SHOPPING, FOI VERIFICADO QUE HAVIA UM VAZAMENTO NO TÊ ILUSTRADO NA
FIGURA. PORÉM, O LOCAL ERA DE DIFÍCIL ACESSO, IMPOSSIBILITANDO UMA MEDIÇÃO
DIRETA DESSA VAZÃO.
ANALISANDO AS INDICAÇÕES DE DIFERENTES TIPOS DE MEDIDORES, FORAM OBTIDOS OS
VALORES REPRESENTADOS NA FIGURA. QUANTO ESTÁ VAZANDO, EM L/S?
A) 7,85 L/s
B) 0,00 L/s
C) 8,39 L/s
D) 1,54 L/s
E) 0,54 L/s
GABARITO
1. Um trecho de tubulação, onde escoa água e há redução de diâmetro de 100mm para 50mm, é representado na
figura.
Se a velocidade na seção 1 é 0,50m/s, qual é o valor da vazão na seção 2, em L/s ?
A alternativa "A " está correta.
 
Tratando-se de escoamento incompressível ($$\rho $$constante), a equação da continuidade pode ser simplificada para:
∑i=1N±Vi⋅Ai=0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual a parcela Vi⋅Ai deve ser somada (+) em saídas e subtraída (-) em entradas.
Definindo-se a SC da figura, obtém-se um volume de controle (VC) com uma entrada (1) e uma saída (2) de fluido.
Assim, a aplicação da equação da continuidade será:
-V1A1+V2A2=0 → V2A2=V1A1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O produto entre a velocidade média e a área da seção é igual à vazão volumétrica $$(V_2A_2=Q_2)$$, então
Q2=V1A1=V1πD124=0,5⋅π0,124=3,9⋅10-3m3/s=3,9 L/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Durante a inspeção de uma rede de água fria utilizada para refrigeração num shopping, foi verificado que havia
um vazamento no tê ilustrado na figura. Porém, o local era de difícil acesso, impossibilitando uma medição direta
dessa vazão.
Analisando as indicações de diferentes tipos de medidores, foram obtidos os valores representados na figura.
Quanto está vazando, em L/s?
A alternativa "E " está correta.
 
De acordo com a equação da continuidade para um problema permanente (as vazões não variam):
m˙entrada=m˙saída
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como entrada, há a abertura 1 e a saída ocorre em 2, 3 e 4. Portanto:
m˙1=m˙2+m˙3+m˙4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão mássica é calculada por:
m˙i=ρiViAi=ρiQi
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A escolha de qual das duas relações utilizar (velocidade vezes área ou vazão volumétrica) deve ser feita de acordo com os
dados fornecidos e resultado solicitado. Por isso:
ρ1Q1=ρ2V2A2+m˙3+ρ4Q4
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Tratando-se de fluido incompressível (água), a massa específica será constante (ρ1=ρ2=ρ4=ρ):
ρQ1=ρV2A2+m˙3+ρQ4 → Q4=Q1-V2A2-m˙31000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Antes de substituir os valores na equação anterior, é importante garantir a compatibilidade de unidades. Para isso, a vazão
de entrada será Q1=9,4L/s=0,0094 m3/s.
Q4=0,0094-1⋅π0,124-11000=0,00054m3s=0,54 L/s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 3
 Calcular a pressão ao longo de tubulações
ENERGIA AO LONGO DE TUBULAÇÕES
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre energia ao longo de tubulações.
INTRODUÇÃO
A equação de Bernoulli é uma das mais conhecidas na mecânica dos fluidos. Com ela, é possível explicar e prever diversos
fenômenos de interesse para a Engenharia de maneira prática e intuitiva.
Adicionando-se o efeito da perda de energia, obtém-se uma equação de grande importância para o projeto de tubulações,
pois permite calcular a pressão em qualquer ponto de uma rede.
EQUAÇÃO DE BERNOULLI – INTERPRETAÇÃO
MECÂNICA
Para a próxima dedução, vamos considerar escoamento com as seguintes simplificações:
PERMANENTE
(não varia no tempo)
INCOMPRESSÍVEL
(
ρ
constante)
INVÍSCIDO
(tensão cisalhante nula)
Seja o escoamento representado pelas linhas decorrente da figura (a), onde atua a gravidade
→
g
e o sistema de coordenadas cartesiano tem o eixo
x
na direção horizontal e
z
na vertical.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Partícula de um fluido ideal ao longo de uma linha de corrente
Analisando detalhadamente a partícula da figura (b), vamos definir um outro sistema de coordenadas, com a componente s
na direção do caminho percorrido pela partícula e n na direção normal.
Ampliando ainda mais a partícula (figura (c)), podemos representá-la no plano da imagem como um retângulo com
dimensões
ds
e
dn
, cujo centro encontra-se na coordenada (s,n).
Definindo-se a pressão na linha de corrente analisada como função da posição s, as pressões nas faces perpendiculares à
direção do caminho são as apresentadas na figura (c). As forças decorrentes da pressão e do peso são as únicas atuantes,
tendo em vista que não há tensão viscosa (fluido ideal – escoamento invíscido). A resultante de pressão na direção s será
obtida pelo produto com as respectivas áreas:
∑ DFP = P S -
DS
2 DN DY - P S +
DS
2 DN DY = - P S +
DS
2 - P S -
DS
2 DN DY( ) ( ) [ ( ) ( ) ]
= -
P S +
DS
2 - P S -
DS
2
DS
DV
⏞
DS DN DY = - LIM
ΔS → 0
P S +
ΔS
2 - P S -
ΔS
2
ΔS DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que, de acordo com a definição de derivada é:
∑ DFP = -
∂ P
∂ S DV
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter a soma de todas as forças, resta somar a projeção do peso dFgsenβ = dm gsenβ = dVρgsenβ = dVρg ∂ z / ∂ s:
∑ DF = -
∂ P
∂ S DV - DVΡ G
∂ Z
∂ S 
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
De acordo com a 2ª Lei de Newton, essa soma deve ser igual a:
∑ DF = DM A = DVΡ
DV
DT 
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade é função também do espaço, ou seja,
V = V ( s , t )
, assim, pela regra da cadeia, a derivada em relação ao tempo será
dV
dt
=
∂V
∂s
∂s
∂t
+
∂V
∂t
.
Como estamos assumindo escoamento permanente,
∂V
∂t
= 0
[ ( ) ( ) ]
{
[ ( ) ( ) ]
}
. Além disso, a derivada
∂s
∂t
corresponde à velocidade
V
(variação da posição no tempo). Substituindo essas informações na equação 5:
∑ DF = DVΡ 
∂ V
∂ S V =
DVΡ
2
∂ V2
∂ S
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando as equações 4 e 6:
-
∂ P
∂ S DV - DVΡ G
∂ Z
∂ S =
DVΡ
2
∂ V2
∂ S
∂ P
∂ S + ΡG
∂ Z
∂ S +
Ρ
2
∂ V2
∂ S = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Integrando-se essa expressão de um ponto 1 a um ponto 2 ao longo de s:
∫
P2
P1
∂ P
∂ S DS + ΡG ∫
Z2
Z1
∂ Z
∂ S DS +
Ρ
2 ∫
V2
V1
∂ V2
∂ S DS = 0
P2 - P1 + ΡG Z2 - Z1 +
Ρ
2 V
2
2 - V
2
1 = 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Dividindo-se essa expressão por
ρg
( )
( )
( )
( )
( )
( ) ( ) ( )
e separando os pontos:
P1
ΡG +
V
2
1
2G + Z1 = 
P2
ΡG +
V
2
2
2G + Z2 
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESSA É CONHECIDA COMO A EQUAÇÃO DE BERNOULLI, QUE
RELACIONA A ENERGIA (OU CARGA) DO FLUIDO
HI
EM DOIS PONTOS. ELA PODE SER INTERPRETADA COMO A SOMA DE
TRÊS ENERGIAS MECÂNICAS: CARGA DE PRESSÃO, CARGA
CINÉTICA E POTENCIAL GRAVITACIONAL.
Observações sobre a equação de Bernoulli:
É VÁLIDA APENAS PARA ESCOAMENTO PERMANENTE,
INCOMPRESSÍVEL E INVÍSCIDO.
COMO SE TRATA DE ESCOAMENTO INVÍSCIDO (FLUIDO IDEAL), NÃO
HÁ TENSÃO CISALHANTE (“ATRITO”), LOGO, NÃO SÃO
CONSIDERADAS PERDAS DE ENERGIA.
NÃO SÃO CONSIDERADOS EVENTUAIS GANHOS DE ENERGIA, COMO
OCORRE COM BOMBAS.
NO FORMATO APRESENTADO PELA EQUAÇÃO 7 (HÁ OUTROS NA
LITERATURA), TEM COMO DIMENSÃO O COMPRIMENTO (UNIDADE
METRO, NO S.I.).
FOI DEDUZIDA PARA DOIS PONTOS AO LONGO DE UMA LINHA DE
CORRENTE.
TAMBÉM PODE SER UTILIZADA NUM VOLUME DE CONTROLE COM
APENAS UMA ENTRADA (PONTO 1) E UMA SAÍDA (PONTO 2).
EXERCÍCIO RESOLVIDO 6
Considere o escoamento do ar ao redor de uma asa de avião:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Esse tipo de escoamento pode ser considerado invíscido, exceto na esteira formada após a passagem pelo corpo. Desse
modo, assumindo regime permanente e escoamento incompressível, calcule a pressão no ponto 2, onde ocorre estagnação
(velocidade nula).
RESOLUÇÃO
O escoamento em questão reúne as condições necessárias para validade da equação de Bernoulli (permanente,
incompressível e invíscido).
p1
ρg
+
V
2
1
2g
+ z1 = 
p2
ρg
+
V
2
2
2g
+ z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
V1 = V
,
z1 = z2
e
V2 = 0
:
p1
ρg +
V2
2g =
p2
ρg → p2 = p1 +
ρV2
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a pressão no ponto 2 será maior que em 1.
Com base no que vimos no exercício anterior, outra interpretação que pode ser dada aos termos da equação de Bernoulli
num ponto
i
é:
pi
ρg
, carga de pressão estática: é que está aplicada na partícula fluida.
pi +
ρV
2
i
2
, carga de pressão de estagnação: é a que ocorre num ponto mais adiante com estagnação (velocidade nula).
V
2
i
2g
, carga de pressão dinâmica: é a carga somada à estática para obtenção da carga de estagnação.
 SAIBA MAIS
O termo “caga de pressão estática” é questionável, pois ocorre num fluido com escoamento (não é estático!). No entanto, é
comumente utilizado na literatura.
ANÁLISE GEOMÉTRICA DA ENERGIA: LINHA DE
ENERGIA, PIEZOMÉTRICA E TOPOGRÁFICA
A análise geométrica da energia é um método que pode facilitar bastante a análise do escoamento ao longo de tubulações.
Para isso, são definidas:
LE – LINHA DE ENERGIA
Corresponde à altura obtida com a soma de todas as parcelas da equação de Bernoulli (equação 7), ou seja, num ponto
i
será:
LEI =
PI
ΡG +
V
2
I
2G + ZI 
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
LP – LINHA PIEZOMÉTRICA
Corresponde à altura obtida com a soma da carga de pressão e potencial (cota topográfica):
LPI =
PI
ΡG + ZI 
(9)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que a diferença entre as duas corresponde à carga cinética,
V
2
i / 2g
.
Para aplicar a análise gráfica, vamos considerar o escoamento invíscido (sem “atrito”) que parte de um reservatório com
nível constante numa tubulação que tem seu diâmetro gradualmente reduzido da seção 2 para 3.
 
Imagem: Introdução à mecânica dos fluidos, FOX, R. W.; MCDONALD, A. T.; PRITCHARD, P. J, 2014
 Linha de energia e linha piezométrica em escoamento invíscido
Como o escoamento é invíscido, não há perda de carga, então a LE se mantém constante. No entanto, ao entrar na
tubulação (sair do reservatório), o fluido ganha velocidade
V2
, o que passa a distanciar LP de LE.
Quando um tubo vertical é colocado num furo junto à parede do tubo, ele medirá a carga de pressão, então o nível d’água
se elevará além de
zi
(cota no tubo do escoamento), à altura
pi / ρg
, totalizando LP (equação 9). Por isso, esse tubo é chamado de piezômetro.
Quando a extremidade inferior do tubo vertical é posicionada no centro do tubo onde há escoamento, ocorrerá a pressão de
estagnação
(
pi
ρg
+
V
2
i
2g
)
, que somada à cota
zi
, totalizará LE (equação 8).
Da seção 2 para 3, ocorre uma redução da área interna do duto. De acordo com a equação da continuidade, isso acarreta o
aumento da velocidade. Assim, LP se afastará ainda mais de LE.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 7
Antes e após um pequeno trecho com redução gradual de diâmetro, ilustrada na figura, foram instalados piezômetros que
marcaram uma diferença de altura
Δh = 10 , 0cm
. Se foi medida uma vazão constante
Q = 0 , 6L / s
de água e
D1 = 1
”, qual é o diâmetro
D2
?
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
RESOLUÇÃO
Por se tratar de uma redução gradual e um pequeno trecho de tubulação, podemos considerar escoamento invíscido(sem
“atrito”). Além disso, o fluido é incompressível (água) e escoamento permanente (vazão constante). Essas condições são
suficientes para validade da equação de Bernoulli.
p1
ρg
+
V
2
1
2g
+ z1 = 
p2
ρg
+
V
2
2
2g
+ z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma da carga de pressão com cota topográfica é definida como LP (Linha Piezométrica), cuja altura é medida pelos
piezômetros:
LP1 +
V
2
1
2g
= LP2 +
V
2
2
2g
 → 
V
2
2
2g
=
V
2
1
2g
+ LP1 - LP2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade
V1
é obtida através da definição da vazão:
( )
Q = VA → V1 =
Q
A1
=
0,6 ⋅ 10 - 3
π ( 1 ⋅0,0254 ) 2
4
=
0,6 ⋅ 10 - 3
5,06 ⋅ 10 - 4
= 1,18 m / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Continuando a equação anterior:
V2 = V
2
1 + 2g LP1 - LP2 = √ ( 1,18 ) 2 + 2 ⋅ 9,8 ⋅ 0,1 = 1,83 m / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando-se a equação da continuidade entre os pontos 1 e 2:
˙
m1 =
˙
m2 → ρV1A1 = ρV2A2 → A2 =
V1
V2 A1
→ 
πD
2
2
4
=
V1
V2
πD
2
1
4
→ D2 =
V1
V2 D1 =
1,18
1,83 ⋅ 0,0254≅20mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES
Consideramos até aqui apenas escoamentos invíscidos, ou seja, sem tensão cisalhante (“atrito”), consequentemente sem
perda de energia. Na análise de tubulações, essa simplificação só é válida para trechos muito curtos e transições (ex.:
redução de diâmetro) graduais. Porém, na maioria dos projetos de tubulações, essa simplificação não é válida e devemos
considerar a perda de energia (carga), que é dividida em dois tipos:
Perda distribuída
Ocorre pelo “atrito” com as paredes do duto ao longo do comprimento.
Perda localizada
Se deve às recirculações e intensificação da turbulência causada pela mudança da direção de fluxo em acessórios como
curvas, tês, válvulas e reduções.
Após o desenvolvimento feito para a equação de Bernoulli, observamos que a carga hidráulica em um ponto
i
do escoamento ao longo de uma linha de corrente é calculada por:
HI =
PI
ΓI + ΑI
V2I
2G + ZI
√
( )
√ √
Α : FATOR DE CORREÇÃO 
ESCOAMENTO LAMINAR : Α = 2
ESCOAMENTOS TURBULENTOS : 1,04 < Α < 1,11
(10)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para utilizar a mesma formulação em uma tubulação, é necessário considerar
Vi
como a velocidade média ao longo da seção
i
, ao invés da velocidade em determinado ponto. Por conta dessa aproximação, faz-se necessário a inclusão do fator de
correção
α
. Para escoamentos turbulentos, comumente se considera
α = 1
.
Em relação ao que foi desenvolvido até o tópico anterior, agora precisamos incluir a perda de carga. Portanto, a carga no
ponto 1 será igual à carga no ponto 2 mais a perda
hp
:
H1 = H2 + HP
P1
ΡG +
V
2
1
2G + Z1 =
P2
ΡG +
V
2
2
2G + Z2 + HP 
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Nessa equação, observa-se a importância da perda de carga, pois seu valor é necessário para calcular a pressão no ponto
2. O engenheiro deve ser capaz de calcular a pressão na tubulação para verificar se está acima do mínimo necessário para
operação e abaixo do máximo admissível pelo material.
A maneira mais conhecida de se calcular a perda distribuída é através da fórmula universal da perda de carga (ou de Darcy-
Weisbach):
{
( ) ( )
HP = L
F
D
V2
2G
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Na qual:
L ( m )
: comprimento entre o ponto 1 e 2.
D ( m )
: diâmetro interno da tubulação.
f
(adimensional): fator de atrito, função de
Re
e
ε / D
, sendo
ε
(em metros) a rugosidade do material do tubo.
V ( m / s )
: velocidade média do escoamento.
Em caso de escoamento laminar, Re < 2300, o fator de atrito é dado por:
f =
64
Re
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para escoamentos turbulentos, a equação teórica mais precisa para o cálculo do fator de atrito
f
é a equação de Colebrook-White:
1
√F
= - 2,0LOG
Ε / D
3,7 +
2,51
RE√F
( )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém, devido à dificuldade de se utilizá-la, pois
f
está implícito (dentro e fora do logaritmo), há formulações aproximadas, como a de Swamee-Jain:
F =
0,25
LOG
Ε / D
3,7 +
5,74
RE0,9 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O método mais prático de se obter
f
, sem fazer muita conta, é pelo diagrama de Moody:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Diagrama de Moody
A perda de carga localizada, por sua vez, pode ser calculada por:
HPLOC = K
V2
2G
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
K
é uma constante adimensional que depende do tipo de acessório. Em caso de acessórios com redução ou alargamento de
diâmetro, o valor de
[ ( ) ]
V
deve ser referente ao menor diâmetro (maior
V
).
Acessório K
Cotovelo de 90° raio curto (joelho) 0,9
Curva de 90° 0,4
Válvula de gaveta aberta 0,2
Entrada na tubulação (saída do reservatório) 0,8
Saída da tubulação (entrada no reservatório) 1
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 Exemplos de valores de
K
para cálculo da perda localizada
EXERCÍCIO RESOLVIDO 8
No ponto A de uma tubulação horizontal de 50mm de diâmetro interno em PVC
( ε = 0 , 04mm )
, um manômetro registra 5bar de pressão. Quando ocorre escoamento permanente de 4 L/s, qual será a pressão no ponto
B, situado a 122m após o ponto A?
RESOLUÇÃO
As condições de pressão em dois pontos de uma tubulação podem ser relacionadas pela equação 11, que requer a perda
de carga
hP
, calculada pela equação 12:
hP = L
f
D
V2
2g
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
f = f Re ,
ε
D
é o fator de atrito. O número de Reynolds para esse escoamento será:
Re =
ρVD
μ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade de escoamento é:
V =
Q
A
=
4 ⋅ 10 - 3
π 50 ⋅10 - 3
4
= 2,0 m / s
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Re =
1000 ⋅ 2,0 ⋅ 50 ⋅ 10 - 3
0,001 = 105
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A rugosidade relativa é:
ε
D
=
0,04
50
= 0,0008
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com os valores de
Re
e
ε / D
calculados, podemos obter no diagrama de Moody ()
f≅0,0215
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na Fórmula de Darcy-Weisbach (equação 12):
hP = 122
0,0215
50 ⋅ 10 - 3
⋅
22
2 ⋅ 9,8
= 11m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, a pressão no ponto B pode ser obtida pela equação da energia (equação 11):
pA
ρg +
V
2
A
2g + zA =
pB
ρg +
V
2
B
2g + zB + hp
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
zA = zB
(tubulação horizontal) e
( )
( )
( )
( ) ( )
VA = VB
(mesmo diâmetro):
pA
ρg =
pB
ρg + hp
→ pB = pA - ρghP = 5 ⋅ 100 ⋅ 103 - 1000 ⋅ 9,8 ⋅ 11 = 392 kPa≅4bar
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ENERGIA FORNECIDA POR BOMBAS E RETIRADA POR
TURBINAS
Bombas fornecem energia para o fluido, enquanto turbinas fazem o contrário.
 
Foto: Shutterstock.com
 
Foto: Shutterstock.com
 Bomba d’água (esq.) e turbina hidráulica (dir.)
A energia provida por uma bomba
hB
e retirada por uma turbina
hT
, então podem ser adicionadas na equação 13:
P1
ΡG +
V
2
1
2G + Z1 =
P2
ΡG +
V
2
2
2G + Z2 + HP - HB + HT
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que
hB
é subtraído, pois os valoresde h nessa equação se referem à energia perdida.
Os parâmetros
hB
e
hT
são denominados carga da bomba e turbina, respectivamente. Porém, no dimensionamento desses equipamentos
precisamos especificar suas respectivas potências
˙
WB
e
˙
WT ,
o que é feito por:
˙
WB =
Ρ QG HB
ΗB
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para bombas e por:
( ) ( )
˙
WT = ΗT Ρ QG HT 
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
para turbinas. Devem ser levadas em conta as eficiências de ambas,
ηB
e
ηT
.
EXERCÍCIO RESOLVIDO 9
Uma bomba deve ser dimensionada para recalcar água através de uma tubulação com diâmetro constante, partindo do
reservatório A, no nível do mar e sob pressão atmosférica, até o reservatório B, 25m acima e com pressão manométrica de
10m.c.a. Se a vazão é de 54m³/h, a perda de carga na tubulação é de 4m e a eficiência da bomba é de 70%, qual a
potência necessária em cv?
RESOLUÇÃO
A equação da energia mais completa que vimos aqui (equação 13) permite calcular a carga de bomba:
p1
ρg
+
V
2
1
2g
+ z1 =
p2
ρg
+
V
2
2
2g
+ z2 + hp - hB + hT
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como a tubulação tem diâmetro constante,
V1 = V2
. Além disso, não há turbinas, então:
hB =
p2
ρg
-
p1
ρg
+ z2 - z1 + hp = ( 10 - 0 ) + ( 25 ) + 4 = 39m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência da bomba é obtida pela equação 14:
˙
WB =
ρ Qg hB
ηB
=
1000 ⋅
54
3600 ⋅ 9,8 ⋅ 39
0,7
= 8190 W =
8190
735
 cv≅11 cv
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
( ) ( )
( ) ( )
( )
1. CALCULANDO-SE A CARGA (ENERGIA) DO FLUIDO EM DETERMINADO PONTO I POR
HI=PIΓ+VI22G+ZI CADA UMA DAS PARCELAS REPRESENTA, RESPECTIVAMENTE:
A) Energia potencial, energia piezométrica e energia elástica.
B) Energia potencial, energia cinética e energia gravitacional.
C) Energia de pressão, energia cinética e energia potencial gravitacional.
D) Energia de pressão, energia cinética e energia elástica.
E) Energia total, energia potencial e energia cinética.
2. A FIGURA REPRESENTA O PROBLEMA CLÁSSICO DO RECIPIENTE COM UM FURO NA
PROFUNDIDADE $$H$$. CONSIDERANDO-SE QUE NÃO HÁ PERDA DE CARGA, QUAL A
EXPRESSÃO QUE FORNECE O VALOR DA VELOCIDADE DO JATO D’ÁGUA E QUAL O NOME
DA EQUAÇÃO QUE PODE SER UTILIZADA PARA SUA DEDUÇÃO?
A) gh e Navier-Stokes
B) 2gh e Reynolds
C) 2patm/ρ e Pascal
D) 2gh+2patm/ρ e Stevin
E) 2gh e Bernoulli
3. UMA DAS FORMAS DE SE REPRESENTAR A EQUAÇÃO DE BERNOULLI É
P1+ΡV122+ΓZ1=P2+ΡV222+ΓZ2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
O QUE REPRESENTA CADA UM DOS TERMOS, RESPECTIVAMENTE?
A) Pressão hidrostática, energia potencial e carga cinética.
B) Pressão estática, pressão dinâmica e pressão hidrostática.
C) Pressão total, pressão estática e poro pressão.
D) Pressão hidrostática, pressão estática e pressão de coluna.
E) Pressão dinâmica, pressão total e pressão hidrostática.
4. EM ESCOAMENTOS PRÓXIMOS A SUPERFÍCIES SÓLIDAS, É COMUM HAVER REGIÕES
ONDE A VELOCIDADE É MUITO BAIXA. TEORICAMENTE, HÁ PONTOS LOCALIZADOS NO
ENCONTRO DAS LINHAS E CORRENTE COM A SUPERFÍCIE, CONSEQUENTEMENTE, COM
VELOCIDADE NULA, DENOMINADOS PONTOS DE ESTAGNAÇÃO. A FIGURA S SEGUIR
ILUSTRA UM EXEMPLO CLÁSSICO DESSA SITUAÇÃO. 
 
CONSIDERANDO ESCOAMENTO INVÍSCIDO, INCOMPRESSÍVEL E PERMANENTE, QUAL DAS
ALTERNATIVAS ABAIXO CONTÉM A EXPRESSÃO PARA PRESSÃO MANOMÉTRICA NO PONTO
DE ESTAGNAÇÃO DA FIGURA? CONSIDERE QUE, DISTANTE DA ESFERA, A VELOCIDADE É
UNIFORME E COM MÓDULO V E A PRESSÃO É ATMOSFÉRICA.
A) ρV22
B) patm+ρV22
C) patm
D) 0
E) V222g
5. NUMA TUBULAÇÃO DE 20M DE COMPRIMENTO E 20MM DE DIÂMETRO INTERNO FEITA DE
FERRO FUNDIDO (Ε=0,1MM), ESCOA ÁGUA A 1,5M/S. QUAL A PERDA DE CARGA NESSA
TUBULAÇÃO, EM METROS?
A) 3,8
B) 37
C) 0,2
D) 2,3
E) 1,0
6. NUM TRECHO DE TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO CONSTANTE QUE VAI DO PONTO A, NA COTA
123M, AO PONTO B, NA COTA 135M, A PERDA DE CARGA É DE 3,8M. SE A PRESSÃO NO
PONTO A É DE 12KGF/CM², QUAL É A PRESSÃO NO PONTO B, EM KGF/CM²?
A) 102
B) 10,4
C) 9,1
D) 14
E) 5
GABARITO
1. Calculando-se a carga (energia) do fluido em determinado ponto i por hi=piγ+Vi22g+zi cada uma das parcelas
representa, respectivamente:
A alternativa "C " está correta.
Analisando-se cada uma das parcelas:
piγ: Corresponde à energia que a pressão $$(p_i)$$ confere ao fluido, tendo em vista que energia pode ser associada
ao produto entre força (pressão vezes área) e distância (movimento do fluido).
Vi2/2g: Corresponde à energia cinética, que é relacionada à velocidade que o fluido possui.
zi: Corresponde à energia potencial gravitacional, pois quanto mais alto estiver, mais energia terá.
2. A figura representa o problema clássico do recipiente com um furo na profundidade $$h$$. Considerando-se que
não há perda de carga, qual a expressão que fornece o valor da velocidade do jato d’água e qual o nome da
equação que pode ser utilizada para sua dedução?
A alternativa "E " está correta.
Como a variação do nível d’água é muito lenta, podemos considerar que o regime de escoamento é permanente. Além
disso, conforme o enunciado, não há perdas e o fluido é incompressível, o que forma as condições necessárias para
aplicação da equação de Bernoulli:
p1γ+V122g+z1=p2γ+V222g+z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa equação consiste, basicamente, na igualdade entre a energia total num ponto 1 e no ponto 2. Dessa forma, em
seguida, é necessário escolher esses pontos, que devem estar posicionados em locais onde se tenha informações ou se
deseje calcular algum resultado. Sendo assim, são escolhidos os pontos representados na figura:
Ressaltando-se que, no ponto 2, a pressão é a mesma que no ponto 1 (pressão atmosférica) e que a velocidade em 1 é
muito baixa (desprezível):
patmγ+0+z1=patmγ+V222g+z2
→ V222g=z1-z2=h
→ V2=2gh
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Uma das formas de se representar a equação de Bernoulli é
p1+ρV122+γz1=p2+ρV222+γz2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que representa cada um dos termos, respectivamente?
A alternativa "B " está correta.
Essa forma de representação da equação de Bernoulli tem seus termos equivalente à grandeza de pressão (força por área).
Analisando-se cada um dos termos:
– pi: No desenvolvimento da equação de Bernoulli, esse termo é oriundo da parcela de energia de pressão. Corresponde à
pressão que, efetivamente, seria medida naquele ponto (1 ou 2). É comumente chamado de pressão estática, pois não
contempla a parcela cinética (dinâmica), embora seja contraditório com o fato de o fluido ter velocidade.
– ρVi2/2: Corresponde à energia cinética do fluido naquele ponto (1 ou 2). Por isso, é chamada de pressão dinâmica.
– γzi: Corresponde à energia potencial gravitacional. É semelhante à fórmula da pressão hidrostática (ρgh), em tão recebe o
mesmo nome.
4. Em escoamentos próximos a superfícies sólidas, é comum haver regiões onde a velocidade é muito baixa.
Teoricamente, há pontos localizados no encontro das linhas e corrente com a superfície, consequentemente, com
velocidade nula, denominados pontos de estagnação. A figura s seguir ilustra um exemplo clássico dessa situação. 
 
Considerando escoamento invíscido, incompressível e permanente, qual das alternativas abaixo contém a
expressão para pressão manométrica no ponto de estagnação da figura? Considere que, distante da esfera, a
velocidade é uniforme e com módulo V e a pressão é atmosférica.
A alternativa "A " está correta.
De acordo com o enunciado, o escoamento reúne as condições necessárias para que a equação de Bernoulli seja válida.
p1γ+V122g+z1=p2γ+V222g+z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O próximo passo, é escolher onde estarão ospontos 1 e 2. Para isso, recomenda-se locais onde se tenha informações e
onde se deseje calcular algum resultado. Dessa forma, são definidos os pontos indicados na figura:
Substituindo na equação:
patmγ+V22g+z1=p2γ+0+z2⏞=z1
→ p2=patm+ρV22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pressão manométrica $$(p_{2_m})$$ é definida como a pressão absoluta subtraída da pressão ambiente $$(p_{atm})$$.
Então:
p2atm=ρV22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Numa tubulação de 20m de comprimento e 20mm de diâmetro interno feita de ferro fundido (ε=0,1mm), escoa
água a 1,5m/s. Qual a perda de carga nessa tubulação, em metros?
A alternativa "C " está correta.
O número de Reynolds para esse escoamento é:
Re=ρVDμ=1000⋅1,5⋅0,020,001=30.000
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a rugosidade relativa é:
εD=0,120=0,005
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com esses valores, obtemos o fator de atrito através do diagrama de Moody:
f=0,033
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme a fórmula universal da perda de carga:
hP=LfDV22g=200,0330,02(1,5)22⋅9,8=3,8 m.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Num trecho de tubulação de diâmetro constante que vai do ponto A, na cota 123m, ao ponto B, na cota 135m, a
perda de carga é de 3,8m. Se a pressão no ponto A é de 12kgf/cm², qual é a pressão no ponto B, em kgf/cm²?
A alternativa "B " está correta.
A INFLUÊNCIA DA PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre a influência da perda de carga em tubulações.
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
O tubo de Pitot é um dispositivo utilizado para medição da velocidade de um fluido. Ele é empregado em aviões, para
medição da velocidade do ar, e em embarcações, para velocidade da água.
 
Foto: Shutterstock.com
 
Foto: Shutterstock.com
Apesar de ser relativamente simples e bastante eficiente, a utilização do tubo de Pitot não é totalmente à prova de falhas.
Um dos casos mais conhecidos de falha é o do voo 447 da Air France, que caiu no Oceano Atlântico na noite entre 31 de
maio e 1º de junho de 2009, com 228 pessoas a bordo.
Segundo o relatório do BEA (Bureau d’Enquêtes et d’Analyses), um dos medidores Pitot do avião registrou uma queda de
velocidade de 274 nós (507km/h) para 52 nós (96km/h) em apenas 2 segundos, o que seria fisicamente improvável. Essa
inconsistência, além de divergência entre a medição dos diferentes medidores instalados no avião, levou o piloto automático
a se desativar, retornando o controle para a tripulação. Isso é apontado como a causa do que desencadeou uma série de
eventos e, por fim, a queda do avião.
A hipótese mais provável levantada por todas as investigações, tendo em vista as condições atmosféricas, é que houve um
depósito de cristais de gelo no tubo de Pitot, causando sua obstrução, ocasionando erro de leitura.
Na figura, é feita uma representação simplificada do tubo de Pitot. A velocidade é medida, indiretamente, pela diferença de
pressão
p1 − p2
.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Baseando-se na equação de Bernoulli, explique por que a velocidade pode ser obtida através de 
p1 − p2
.
Calcule qual era a diferença de pressão correspondente à medição de velocidade de 274 nós e 52 nós, considerando
que o avião voava a uma altitude de 10600m.
RESOLUÇÃO
O TUBO DE PITOT
O especialista Gabriel de Carvalho Nascimento fala sobre o tubo de Pitot
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA SEÇÃO ESTRANGULADA NO FLUXO DE UM TUBO, CHAMADA VENTURI, FORMA UMA
REGIÃO DE BAIXA PRESSÃO QUE PODE ASPIRAR FLUIDO DE UM RESERVATÓRIO,
CONFORME A FIGURA. CONSIDERANDO UM ESCOAMENTO SEM PERDAS, DEDUZA UMA
EXPRESSÃO PARA VELOCIDADE V1 SUFICIENTE PARA TRAZER O FLUIDO DO
RESERVATÓRIO PARA SEÇÃO ESTRANGULADA.
A) 2gh
B) 2ghD14D24
C) gh
D) 2gh1-D24D14
E) 2gh1-D14D24
2. UM AGRICULTOR DESEJA INSTALAR UMA PEQUENA CENTRAL HIDRELÉTRICA (PCH) NO
RIO QUE PASSA EM SUA PROPRIEDADE. PARA OBTER UMA MAIOR QUEDA D’ÁGUA, ELE
PRECISARÁ REALIZAR A CAPTAÇÃO POR TUBULAÇÃO NUM PONTO MAIS DISTANTE, O QUE
TAMBÉM INTRODUZIRÁ UMA PERDA DE CARGA. DADOS DO SISTEMA: 
 
VAZÃO MÉDIA DO RIO: 100 L/S.
PERDA DE CARGA NA TUBULAÇÃO: 1,0M.
COTA DO N.A. NA CAPTAÇÃO: $$Z_1 = 25M$$.
COTA DO N.A. NA SAÍDA DO SISTEMA: $$Z_2 = 22M$$.
EFICIÊNCIA DA TURBINA: $$\ETA = 60%$$.
TUBULAÇÃO DE CAPTAÇÃO COM MESMO DIÂMETRO DA SAÍDA.
COM UM DESENVOLVIMENTO ANÁLOGO AO FEITO NO ENUNCIADO DA QUESTÃO ANTERIOR
PARA POTÊNCIA DE BOMBA, A POTÊNCIA DE TURBINA É OBTIDA POR W˙T=Η Ρ Q G HT.
QUAL É A POTÊNCIA MÉDIA A SER GERADA?
A) 0,1kW
B) 1,2kW
C) 1,8kW
D) 1.000W
E) 1.200kW
GABARITO
1. Uma seção estrangulada no fluxo de um tubo, chamada Venturi, forma uma região de baixa pressão que pode
aspirar fluido de um reservatório, conforme a figura. Considerando um escoamento sem perdas, deduza uma
expressão para velocidade V1 suficiente para trazer o fluido do reservatório para seção estrangulada.
A alternativa "E " está correta.
 
Em se tratando de escoamento sem perdas, podemos utilizar a equação de Bernoulli entre o ponto 1 e 2:
p1ρg+V122g+z1=p2ρg+V222g+z2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A pressão em 2 é atmosférica (pressão manométrica nula) enquanto a pressão em 1, na condição estática (iminência do
movimento), deve ser p1=pa-ρgh=-ρgh. Além disso, a altura da linha de centro é a mesma (z1=z2), então:
-ρghρg+V122g=V222g
V12 - 2gh =V22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pela equação da continuidade:
m˙1=m˙2→ ρV1A1=ρV2A2 → V2=V1D12D22
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
que substituído na equação anterior:
V12 - 2gh =V1D12D222
→2gh1-D14D24
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Um agricultor deseja instalar uma pequena central hidrelétrica (PCH) no rio que passa em sua propriedade. Para
obter uma maior queda d’água, ele precisará realizar a captação por tubulação num ponto mais distante, o que
também introduzirá uma perda de carga. Dados do sistema: 
 
Vazão média do rio: 100 L/s.
Perda de carga na tubulação: 1,0m.
Cota do N.A. na captação: $$z_1 = 25m$$.
Cota do N.A. na saída do sistema: $$z_2 = 22m$$.
Eficiência da turbina: $$\eta = 60%$$.
Tubulação de captação com mesmo diâmetro da saída.
Com um desenvolvimento análogo ao feito no enunciado da questão anterior para potência de bomba, a potência
de turbina é obtida por W˙T=η ρ Q g hT. Qual é a potência média a ser gerada?
A alternativa "B " está correta.
 
Conforme o enunciado da questão anterior, a expressão da energia que considera perda e ganho de energia é:
p1ρg+V122g+z1=p2ρg+V222g+z2+hp+hT-hB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando-se como 1 o ponto de captação e 2 o de saída do sistema, tem-se p1=p2=patm e V1=V2=V, pois os
diâmetros são iguais. Assim:
patmρg+V22g+z1=patmρg+V22g+z2+hp+hT-hB⏞=0
hT=z1-z2-hp=25-22-1=2,0m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A potência gerada pela turbina então será:
W˙T=η ρ Q g hT=0,60⋅1000⋅1001000⋅9,8⋅2=1176 W≅ 1,2kW
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Abordamos diversos aspectos sob os quais os escoamentos podem ser classificados. Saber classificar adequadamente o
problema é fundamental para escolher o melhor método de solução.
Vimos que quando passamos de um sistema, cujas formulações são vistas na Física, para um volume de controle, mais
adequado para fluidos, obtemos expressões simples que permitem a solução de diversos problemas em poucas linhas; por
fim, enfatizamos a utilidade da análise energética em tubulações e o efeito da perda de carga. 
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