Dinamica dos fluidos nao viscosos

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE VICOSA 
FUNDAMENTOS DE FENOMENOS DE TRANSPORTE 
 
Milla Gabriela dos Santos 
2011/01 
 
2. DINAMICA DOS FLUIDOS NÃO VISCOSOS 
 
2.1 Equações de Transporte 
 
Nesta etapa vamos iniciar os estudos sobre o que acontece quando a massa (que 
transporta energia, quantidade de movimento, entropia, etc.) escoa através de 
equipamentos, como bombas, turbinas, trocadores de calor, etc., em situações em que 
interações com o meio (vizinhança) são permitidas. 
No estudo anterior, foi desenvolvimento ferramentas para situações estacionárias, 
isto é, sem movimentações ou no máximo com movimentações do tipo de corpo rígido. 
Entretanto, nossos novos problemas envolvem movimentações de massa e, com isto, 
movimentações de quantidade de movimento, de energia, etc. Começaremos aqui a tratar 
primordialmente de situações isotérmicas e daquelas em que condições do escoamento 
são tais que o fluido pode ser tratado com incompressível. 
Por ora, o estudo será limitado às situações isotérmicas nas quais massa entra no 
equipamento e massa sai do equipamento. 
A grande maioria das leis que descrevem os fenômenos físicos está associada a 
algum princípio de conservação. Na verdade, este é um conceito extremamente comum. 
Considere, por exemplo, o que acontece em uma sala de aula. Vamos supor que a sala 
esteja vazia no inicio da aula. Vamos considerar que nos primeiros instantes 15 alunos 
entram na sala. Uma hora e 5 minutos depois, 10 alunos entram, mas 4 saem. Se nada 
mais acontecer, ninguém irá esperar que meia hora mais tarde tínhamos 44 alunos dentro 
de sala, não é mesmo? Este exemplo vale para um grande número de situações. Para 
definir uma lei geral, podemos considerar que Nentrada seja o número de alunos que 
entraram na sala, Nsaida, o número de alunos que saíram da sala e ∆N, a variação de alunos 
em algum instante de tempo. Este é um dado importante a ser considerado: o instante de 
tempo. Isto define uma equação do tipo: 
 
∆� = ������	� − ���
	� (1) 
 
Note que, se o intervalo de tempo for de 1 hora, a resposta desta equação será ∆N = 
15 alunos, e se for uma hora e 30 minutos, digamos, a resposta poderá ser ∆N = 21 
alunos. Ou seja, é importante a especificação do tempo. Resolvemos este pequeno 
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problema considerando o que acontece por algum instante fixo de tempo, horas, por 
exemplo. Assim, nossa equação passa a ser freqüentemente: 
 
∆�
∆� = 
������	�
∆� − 
���
	�
∆� (2) 
 
No limite, quando fizermos o instante de tempo tender a zero, nossas frações passam 
a ter um sentido mais matemático: 
 
��
�� = lim∆�→�
∆�
∆� (3) 
 
Com expressões equivalentes para os outros termos. Assim, a taxa de variação dos 
alunos dentro da sala passa a ser expressa por: 
 
��
�� = �����	� − ���
	� (4) 
Conceitos Iniciais: 
a. Volume de Controle (VC): é um volume constante em relação ao tempo, mas que pode 
ter a massa em seu interior como sendo função deste, ou seja, pode se mover. 
b. Regime permanente: é a situação na qual não há variação de propriedades ao longo do 
tempo. Seu oposto é chamado de regime transiente. Ambas as situações são fisicamente 
possíveis. 
c. Estado ou regime uniforme: é a condição na qual as propriedades termodinâmicas não 
variam ao longo da posição, como por exemplo em uma entrada ou saída de um 
determinado equipamento. É uma aproximação feita para simplificar o modelo. 
 
Alguns exemplos: 
- iluminação solar: certamente ela varia ao longo do dia. Entretanto, se observarmos em 
torno do meio-dia, por exemplo, será muito difícil perceber as diferenças na temperatura 
ambiente; 
- velocidade do avião: na decolagem ela é uma, na aterrissagem, outra, mas a chamada 
velocidade de cruzeiro é praticamente constante; 
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- batimentos cardíacos: para a maior parte das pessoas, o batimento é constante enquanto 
o mesmo tipo de ação perdurar. Por exemplo, em uma pessoa andando com passo 
acelerado ou mesmo se estiver andando, o batimento poderá ser ritmado de forma 
constante no tempo. 
 
Com base nas equações de transporte podemos concluir que: 
 
MASSA ENTRANDO NO VC – MASSA SAINDO DO VC = VARIACAO LIQUIDA DA 
MASSA DENTRO DO VC 
 
�
�� (�����) = �� !�"#$# − �� %#&$# (5) 
 
Se estivermos contando pacotes de açúcar, por exemplo, ficará óbvio que cada ponto 
do pacote terá a mesma velocidade. Entretanto, se estivermos lidando com fluidos, gases 
ou líquidos, a situação é diferente, pois a massa específica não será a mesma em todos os 
pontos, partes do fluido na entrada podem estar a pressões ou a temperaturas diferentes. 
Assim teremos a seguinte equação: 
� = ()*+ (6) 
 
�� = ()*+� (7) 
 
A massa específica (ρ), é a indicação da ‘qualidade’ da substancia, enquanto Vol 
indica a sua ‘quantidade’ ou, talvez seu tamanho. Nesta equação, �� indica o fluxo de 
massa (kg/s) e )*+� é a vazão volumétrica (m3/s). A vazao volumétrica também pode ser 
definida como: 
)*+� = . . á12� (8) 
 
Onde v é a velocidade. 
Para um fluido, é mais interessante associarmos o volume na unidade de tempo ao 
produto da velocidade pela área, e, considerando a possibilidade, já mencionada, de que 
as propriedades podem variar ao longo da área, a equacao fica da seguinte maneira: 
 
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�� = 4 ()�5 (7)
#" #
 
 
Exemplo 1. A área da seção reta de uma artéria é da ordem de 3,15 cm2. Considerando 
que a vazão é igual a 83,4 cm3/s, determine a velocidade do sangue. 
 
2.2 Conservação de Massa 
 
A massa contida no volume no instante inicial pode ser escrita como m(t), enquanto a 
massa ali contida no instante final pode ser escrita como m(t + ∆t), em que ∆t indica o 
intervalo de tempo. 
A variação entre a massa do instante t + ∆t e a do instante t se escreve como: 
 
∆� = �(� + ∆�) − �(�) (8) 
 
��
�� = lim∆�→�
�(� + ∆�) − �(�)
∆� (9) 
 
Substituindo a afirmação da conservação da massa por uma sentença matemática: 
 
 Massa entrando no VC – massa saindo do VC = variação líquida da massa dentro do VC 
 
4 ()�5 − 4 ()�5 = ����%#&!$8 !�"#!$8 (10) 
 
Podemos considerar que o sistema atue com um gás ideal. Trata-se de uma 
aproximação da realidade e só em casos limites, como substâncias simples a pressões 
baixas, o comportamento de um gás (real) se aproxima do comportamento do gás ideal. 
O modelo do gás ideal baseia-se nas seguintes hipóteses: 
- As moléculas do gás são pontuais (ou seja, não tem dimensões) 
- Não há qualquer tipo de forças intermoleculares; 
- Para um gás ideal, a relação entre o volume, pressão e temperatura é dada por: 
PV = RT 
 
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Onde R é a constante do gás, P é a pressão, v é o volume específico e T é a temperatura. 
 
Exemplo 1. Considere um bocal difusor. Suponha que o oxigênio à pressão de 150kPa, 
T=140oC, esteja chegando no equipamento, cuja área de entrada é estimada em 0,4m2. 
Pede-se determinar o fluxo de massa, sabendo-se que a velocidade de entrada é de 200 
m/s. Supondo que na saída a temperatura seja 25oC maior que na entrada, a pressão seja 
de 200 kPa e a área 0,6m2, determine a velocidade de saída.