TEORIA DAS ESTRUTURAS 2 - PARTE I - Danielle

Prévia do material em texto

TEORIA DAS ESTRUTURAS II - HIPERESTÁTICA
• Parte I – Método das Forças / FTOOL
• Parte II – Método dos Deslocamentos
• Parte III – Processo de Cross
1Prof. Danielle Malvaris
TEORIA DAS ESTRUTURAS II - HIPERESTÁTICA
• Parte I – Método das Forças / FTOOL
• Parte II – Método dos Deslocamentos
• Parte III – Processo de Cross
2Prof. Danielle Malvaris
Princípio dos Trabalhos Virtuais
➢ Conceitos
TRABALHO EXTERNO
Considere um corpo deformável submetido à ação de uma carga externa estaticamente aplicada. Durante o processo
de deformação do corpo, os pontos de aplicação das cargas se deslocam à medida que essas cargas crescem.
Consequentemente há realização de TRABALHO EXTERNO (trabalho das cargas externas).
TRABALHO INTERNO
Simultaneamente à aplicação das cargas externas, e como consequência delas, se despertam tensões no material, a que
correspondem forças elementares internas (produtos das tensões pelas áreas elementares dos pontos que atuam) as
quais se deslocam em virtude de deformações que sempre acompanham as tensões; consequentemente há realização
de um TRABALHO INTERNO (trabalho dos esforços internos).
ENERGIA DE DEFORMAÇÃO
Esse trabalho interno fica armazenado no corpo após sua deformação sob a forma de ENERGIA DE DEFORMAÇÃO.
Prof. Danielle Malvaris 3
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Conceitos
Em Resistência dos Materiais , os sistemas são considerados conservativos, desprezando-se quaisquer forma
de dissipação de energia, de tal forma que a energia de deformação depende exclusivamente dos estados
inicial e final e não dos estados intermediários.
Isso posto, segundo o “Princípio da Conservação da Energia”:
“Um sistema conservativo está em equilíbrio se a energia de deformação armazenada é igual ao trabalho
realizado pelas cargas externas.”
Nos estudos que seguem, esse princípio será aplicado às estruturas de comportamento linear, isto é,
àquelas para as quais seja valida a Lei de Hooke (linearidade física, tensões diretamente proporcionais às
deformações), sendo as cargas proporcionais aos deslocamentos (linearidade geométrica), caso em que se
pode aplicar o Princípio da superposição dos Efeitos.
Prof. Danielle Malvaris 4
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Conceitos
Trabalho Externo de Deformação (We) - Teorema de Clapeyron
É o trabalho realizado pelas cargas externas no processo de deformação. Para sua determinação considerar
a viga abaixo.
“ O trabalho realizado por cargas agindo estaticamente (isto é,
de forma lenta e gradual) é igual à METADE da soma dos
produtos dos valores finais das cargas pelos valores finais dos
deslocamentos de seus pontos de aplicação, segundo suas
linhas de ação.”
𝑊𝑒 =
1
2
෍
𝑖=1
𝑛
𝑃𝑖𝛿𝑖 𝑊𝑒 =
1
2
𝑃.𝛿
Prof. Danielle Malvaris 5
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Conceitos
Trabalho Interno de Deformação (Wi)
Prof. Danielle Malvaris 6
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Trabalho Virtual
Um deslocamento virtual ou uma força virtual são, respectivamente, um
deslocamento imaginário ou uma força imaginária, arbitrariamente impostos
sobre um sistema estrutural.
Deslocamento virtual - deslocamento provocado por alguma outra ação
que não o sistema de carregamento em questão atuante na estrutura.
Força virtual - outra força qualquer que não seja a que está provocando o
deslocamento real.
Prof. Danielle Malvaris 7
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Trabalho Virtual
Prof. Danielle Malvaris 8
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
➢ Trabalho Virtual
O trabalho virtual total é dado por:
δv - deslocamento virtual
δPi -forças virtuais
vi - deslocamentos reais
Pi - forças reais
“Se é aplicado um deslocamento virtual a um corpo rígido sujeito a um sistema de
forças em equilíbrio, o trabalho virtual total realizado pelas forças é igual a zero”.
“Se o trabalho virtual total realizado por um sistema de forças reais atuando em um
corpo rígido quando ele é submetido a um deslocamento virtual é igual a zero, o sistema
de forças está em equilíbrio”.
Prof. Danielle Malvaris 9
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
N↔ dδ (dδ = deslocamento relativo entre as seções extremas do elemento de barra na direção do eixo
da barra)
M↔ dθ (dθ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento de barra no plano da mesma)
V ↔ dλ (dλ = deslocamento relativo no plano da barra entre as seções extremas do elemento de barra
na direção perpendicular ao eixo)
T↔ dφ (dφ = rotação relativa entre as seções extremas do elemento em torno do eixo da barra)
Pelo Princípio da Conservação da Energia, o trabalho das forças internas é igual ao trabalho
das forças externas.
Prof. Danielle Malvaris 10
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Wext = P.
Wint =
O estado de deformação pode ser provocado por:
✓ Carregamento exterior;
✓ Variação de temperatura;
✓ Movimentos (recalques de apoio;
✓ Modificações impostas na montagem.
P. =
Prof. Danielle Malvaris 11
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
P. =
Forças virtuais:
Deslocamentos:
Prof. Danielle Malvaris 12
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
TABELA PARA CÁLCULO DA 
INTEGRAL DO PRODUTO DE 
DUAS FUNÇÕES
Prof. Danielle Malvaris 13
O MÉTODO DAS FORÇAS tem como objetivo determinar um
conjunto de reações e/ou esforços solicitantes superabundantes ao
equilíbrio estático de uma estrutura hiperestática, permitindo que
outras reações e/ou esforços sejam calculados com as equações da
estática.
Em resumo, devemos somar uma série de soluções básicas que
satisfazem as condições de equilíbrio, mas não satisfazem as condições
de compatibilidade da estrutura original, para que, na superposição,
restabeleçam as condições de compatibilidade.
14
MÉTODO DAS FORÇAS
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
ROTEIRO PARA O MÉTODO DAS FORÇAS
1. Escolher um sistema estrutural isostático, que vamos chamar de sistema
principal do método das forças, por retirada de um conjunto de redundantes
estáticas da estrutura hiperestática. Essas redundantes serão as incógnitas
primárias que vamos determinar.
2. Calcular os coeficientes de flexibilidade e de carga.
3. Montagem e resolução do sistema de equações de compatibilidade de
deslocamentos para obtenção das redundantes;
4. Obtenção dos esforços finais.
15
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
ROTEIRO PARA O MÉTODO DAS FORÇAS
16
Diagramas de Esforços Finais
Superposição dos Casos Básicos
Determinar os Hiperestáticos
Equações de compatibilidade
Determinar os coeficientes de flexibilidade
Casos Básicos (Caso 0, Caso 1, Caso 2...)
Determinar o S.P. (Sistema Principal)
Calcular G (Grau de hiperestaticidade)
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
SISTEMAS PRINCIPAIS - CONCEITO
17
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO: 
(MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed.. São Paulo: Elsevier Brasil, 2010.)
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA
Estrutura e sua deformada Reações de apoio 18
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO: 
(MARTHA, Luiz Fernando. Análise de estruturas: conceitos e métodos básicos. 2. ed.. São Paulo: Elsevier Brasil, 2010.)
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA
19
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
20
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
HIPERESTÁTICO E O SISTEMA PRINCIPAL
Reações de apoio Sistema Principal: estrutura isostática
O número de vínculos que devem ser eliminados
para transformar as estrutura hiperestática
original em uma estrutura isostática é igual ao
grau de hiperestaticidade.21
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
Sistema Principal: estrutura isostática
X1 = MA → reação momento associada ao vínculo de apoio θA = 0; 
X2 = HB → reação horizontal associada ao vínculo de apoio ∆HB =0. 
A solução do problema pelo Método das Forças recai em
encontrar os valores que X1 e X2 devem ter para,
juntamente com o carregamento aplicado, recompor os
vínculos de apoio eliminados. Isto é, procuram-se os valores
dos hiperestáticos que fazem com que as condições de
compatibilidade violadas na criação do SP, θA = 0 e ∆
H
B =0,
sejam restabelecidas.
22
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
A determinação de X1 e X2 é feita através da superposição de casos básicos, utilizando
o SP como estrutura para as soluções básicas. O número de casos básicos é sempre igual ao
grau de hiperestaticidade mais um (g + 1).
No exemplo, isso resulta nos casos (0), (1) e (2) que são mostrados a seguir.
• Caso (0) – Solicitação externa (carregamento) isolada no SP
O caso básico 0 isola o efeito da solicitação externa (carregamento aplicado) no SP. A
rotação δ10 e o deslocamento horizontal δ20, nas direções dos vínculos eliminados para a
criação do SP, são chamados de termos de carga. Um termo de carga é definido
formalmente como:
δ i0 →termo de carga: deslocamento ou rotação na direção do vínculo eliminado
associado ao hiperestático Xi quando atua a solicitação externa isoladamente no SP
(com hiperestáticos com valores nulos).
23
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
O sinal negativo da rotação δ10
indica que a rotação tem o
sentido contrário do que é
considerado para o hiperestático
X1 no caso (1) a seguir.
Analogamente, o sinal positivo de
δ20 indica que este deslocamento
tem o mesmo sentido que é
considerado para o hiperestático
X2 no caso (2) a seguir.
24
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
• Caso (1) – Hiperestático X1
isolado no SP
O hiperestático X1 é colocado em
evidência, já que ele é uma incógnita
do problema. Considera-se um valor
unitário para X1, sendo o efeito de X1
= 1 multiplicado pelo valor final que
X1 deverá ter. A rotação δ11 e o
deslocamento horizontal δ21
provocados por X1 = 1, nas direções
dos vínculos eliminados para a criação
do SP, são chamados de coeficientes
de flexibilidade.
Formalmente, um coeficiente de
flexibilidade é definido como:
δij → coeficiente de flexibilidade: deslocamento ou rotação na direção do vínculo
eliminado associado ao hiperestático Xi devido a um valor unitário do hiperestático Xj
atuando isoladamente no SP.
25
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
CASOS BÁSICOS
• Caso (2) – Hiperestático X2
isolado no SP
De maneira análoga ao caso (1),
o hiperestático X2 é colocado em
evidência, considerando-se um valor
unitário multiplicado pelo seu valor
final. A rotação δ12 e o deslocamento
horizontal δ22 provocados por X2 = 1,
nas direções dos vínculos eliminados
para a criação do SP, também são
coeficientes de flexibilidade. As
unidades destes coeficientes, por
definição, são unidades de
deslocamento ou rotação divididas
pela unidade do hiperestático X2.
26
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
RESTABELECIMENTO DAS CONDIÇÕES DE COMPATIBILIDADE
27
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
VALORES E SENTIDOS HIPERESTÁTICOS DA ESTRUTURA
28
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
DETERMINAÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS
Utiliza-se a própria superposição de casos básicos para a obtenção dos esforços 
internos (ou deslocamentos) finais. 
29
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
APLICAÇÃO:
MATRIZ DE FLEXIBILIDADE E VETOR DE TERMOS DE CARGA
O sistema de equações de compatibilidade da solução do Método das Forças do exemplo 
anterior pode ser escrito da seguinte forma:
Visto isso, no caso geral de uma estrutura com grau de hiperestaticidade g , podemos
ter:
30
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 1:
31
Obter o diagrama de momento fletor da viga abaixo:
1. Sistema Principal – Caso 0
M0
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 1:
32
Obter o diagrama de momento fletor da viga abaixo:
2. Substituindo o vinculo por uma carga unitária: x1=1 / Caso 1
M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 1:
33
3. Sistema de compatibilidade:
Grau 1:
Δ10 + Δ11.x1=0
Δ10: Caso 0 . Caso 1
Δ11: Caso 1 . Caso 1
Δ10 + Δ11.x1=0
-1302,08 + 20,84.x1=0
x1=62,48 M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 1:
34
4. Diagrama Final de Momento Fletor
M = M(caso 0) + M(caso 1)
DM = DM0 + DM1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
35
Obter o diagrama de momento fletor do pórtico:
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
36
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
37
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
38
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
1
𝐸𝐼
1
𝐸𝐴
1
𝐺𝐴
1
𝐸𝐼
EXERCÍCIO 2:
39
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
40
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
41
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 2:
42
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
43
Obter o diagrama de momento fletor do pórtico:
Jc
2Jc
Jc
A
C D
B
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris 44
EXERCÍCIO 3:
45
Sistema principal e hiperestáticos
li‘=li.Jc/Ji
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
46
1. Caso 0: Diagrama M0
M0
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
47
M2
M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
3. Caso 2: Diagrama M2: x2=1
2. Caso 1: Diagrama M1: x1=1
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
48
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
49
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
50
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
51
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
52
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
53
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
54
5. Equações de compatibilidade: Hiperestáticos x1 e x2 
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
55
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 3:
56
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
57
Obter o diagrama de momento fletor da viga:
Jc 3Jc Jc
TEORIA DASESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
58
Sistema principal e hiperestáticos
li‘=li.Jc/Ji
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
59
1. Caso 0: Diagrama M0
M0
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
60
2. Caso 1: Diagrama M1
M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
61
3. Caso 2: Diagrama M2
M2
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
62
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
63
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
64
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
65
5. Equações de compatibilidade: Hiperestáticos x1 e x2
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
66
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 4:
67
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
68
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
69
1. Sistema principal e hiperestáticos
𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏𝑿𝟏=0
1 HIPERESTÁTICO
CASO 0
CASO 1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
70
2. Caso 0: Diagrama M0
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
71
3. Caso 1: Diagrama M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
72
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
73
4. Cálculo dos δ
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
74
5. Equação de compatibilidade: cálculo dos hiperestáticos
𝜹𝟏𝟎 + 𝜹𝟏𝟏𝑿𝟏=0
𝜹𝟏𝟎=31,17
𝜹𝟏𝟏=2,33
X1=-13,4
6. Diagrama de Momentos Finais
M = M0 + M1.X1
M = M0 -13,4 . M1
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
75
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris
EXERCÍCIO 5:
76
6. Diagrama Final de Momento Fletor
TEORIA DAS ESTRUTURAS II: Parte I – Método das Forças
Prof. Danielle Malvaris