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Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
Exemplo – No tubo da figura, determinar a vazão em volume e a velocidade na seção ( 2 ), sabendo – se 
que o fluído é água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Como o fluido é incompressível, (líquido) então a Equação da Continuidade nos dá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A vazão será: 
 
 
 
1 1 1 1
21 10mQ v A Q
s
cm= × ⇒ = ×
2
4 2
1
10
m
cm
× 3 31
2
2 2 2 2
10
2 5
Q m s
ou
mQ v A Q
s
cm
−⇒ =
= × ⇒ = ×
2
4 2
1
10
m
cm
× 3 32 10Q m s−⇒ =
 
 
 
 
 
Portanto: 
 
 
 
 
3
3
10Q m−=
3
1000
1
L
s m
× 1Q L s⇒ = 
1 2
1 1 2 2
1 1
2 2
2
21 10
Q Q Q v A
v A v A
v A m sv v cm
A
= = ×
× = ×
× ×= ⇒ =
25 cm
2 2v m s⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
Exemplo resolvido 4.1 – Ar escoa num tubo convergente. A área de maior seção do tubo é 220cm e a 
menor 210cm . A massa específica do ar na seção (1) é 30,12utm m , enquanto na seção (2) é 
30,09utm m . Sendo a velocidade na seção (1) 10m s , determinar a velocidade na seção (2) e a vazão 
em massa. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: Trata-se de fluído compressível, 1 2ρ ≠ ρ e a Equação da Continuidade nos dá 1 2m mQ Q= . 
 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 1 1 2 2 2
1 1 1
2 2
2 2
0,12
m m m
ut
Q Q Q v A
v A v A
v Av v
A
m
= = ρ× ×
ρ × × = ρ × ×
ρ × ×= ⇒ =ρ ×
3m
210 20m
s
cm× ×
0,09 utm
3m
210 cm×
2
1 1 31
26,67
0,12m m
v m s
utmQ v A
m
Q
⇒ =
= ρ × × ⇒ = 10 m× 220
s
cm×
21m×
4 210 cm
2 2 3
3
2
2,4 10
0,09
m
m m
Q utm s
ou
utmQ A
m
v Q
−⇒ = ×
= ρ × × ⇒ = 26,67 m× 210
s
cm×
21m×
4 210 cm
32,4 10mQ utm s
−⇒ = ×
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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Exemplo resolvido 4.2 – Um tubo admite água ( )3100utm mρ = , num reservatório com uma vazão de 
20L s . No mesmo reservatório é trazido óleo ( )380utm mρ = por outro tubo com a vazão de 10L s . 
A mistura homogênea formada é descarregada por um tubo cuja seção tem uma área de 230cm . 
Determinar a massa específica da mistura no tubo de descarga e a velocidade da mesma. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pela Equação da Continuidade: 
 
1 2 3
1 1 2 2 3 3
m m m mQ Q Q Q Q
Q Q Q
+ = = ρ×
ρ × + ρ × = ρ × 
 
 
Como os fluídos admitidos são incompressíveis, além de ser válida a Equação da Continuidade, vale a 
relação: 
 
3 1 2 3 320 10 30
L LQ Q Q Q Q L s
s s
= + ⇒ = + ⇒ = 
 
 
Logo: 
 
 
 
 
 
3 3
1 1 2 2
1 1 2 2 3 3 3 3
3
33 3
3 3
100 20 80 10
30
28002000 800
30
utm L utm L
Q Q m s m sQ Q Q LQ
s
utmutm L utm L
mm s m
L
s
L
s
× + ×ρ × + ρ ×ρ × + ρ × = ρ × ⇒ ρ = ⇒ ρ = ⇒
×× + ×
ρ = ⇒ ρ = s
30 L
s
3
3
3
3 3
3
93,3
30
utm m
Qv v
L
A
⇒ ρ =
= ⇒ =
31
s
m×
1
1000L
230 cm
21m×
4 210 cm
3 10v m s⇒ =
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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Exemplo resolvido 4.5 – No dispositivo da figura, o pistão desloca-se 0,5m e o trabalho realizado nesse 
deslocamento é 50kgf m× . Supõe-se que não haja perda de pressão entre a saída da bomba e a face do 
pistão. Determinar: 
 
a) A potência fornecida ao fluído pela bomba; 
b) A vazão em L s ; 
c) A pressão na face do pistão. 
 
 
 
 
 
 
 
50
0,5
0,5
W kgf m
S m
t s
= ×
=
=
 
?
?
?
N
Q
P
=
=
=
 
 
 
2
50 100
0,5
50
pd
W kgf mN N N kg
c
f m s
t s
A SVQ Q Q
t t
m
×= ⇒ = ⇒ = ×
×= ⇒ = ⇒ =
2
4 2
1
10
m
cm
× 0,5×
0,5
m
3 35 10
100
Q m s
s
N kgfN P Q P P m
Q
−⇒ = ×
×= × ⇒ = ⇒ = s
3 35 10 m−× 1 s 2 2
20.000 2kgf kgfP ou P
m cm
⇒ = =
 
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4.1 – Ar escoa por um tubo de seção constante de diâmetro 5cm . Numa seção (1) a massa específica é 
30,12utm m e a sua velocidade é de 20m s . Sabendo-se que o regime é permanente e que o 
escoamento é isotérmico, determinar: 
 
a) A velocidade do gás na seção (2), sabendo que a pressão na seção (1) é 21kgf cm (abs) e na 
seção (2) é 20,8kgf cm (abs); 
b) A vazão em massa; 
c) A vazão em volume em (1) e (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Nota: O fluído é gás, portanto, não pode ser caculada a vazão em volume. 
 
3
1
1
0,12
20
utm m
v m s
ρ =
= 
 
( )
( )
2
2
1
2
2
) v ?
1
0,8
a
P kgf cm abs
P kgf cm abs
=
=
=
 
 
1 1
2 2
2
1P vv v
g
P
k f×= ⇒ =
2cm 20
0,8
m s
kgf
×
2cm
2 25v m s⇒ = 
 
1 1 1 1 1
3
) 
0,12
m
m
b Q Q v A
utQ
m
m
= ρ × = ρ × ×
= 20 m× 0,05m
s
π×× ( )2 34,71 10
4 m
Q utm s−⇒ = ×
 
 
( )
( )
1
2
3 3
1 1 1 1 1
2
3 3
2 2 2 1 1
) ?
0,05
20 39,27 10
4
0,05
25 49,09 10
4
c Q
mmQ v A Q Q m s
s
mmQ v A Q Q m s
s
−
−
=
π×= × ⇒ = × ⇒ = ×
π×= × ⇒ = × ⇒ = ×
 
 
1 2
1 2
A A
t t
⇒ = ⇒
=
1 1 2 2
1 1
2
2
P v P v
P vv
P
× = ×
×=
1 1 2 2
Escoamento isotérmico Pv cte
p v p v
⇒ =
∴ =
2
1 11
) ?d
Av
ρ =
ρ × × 2 22 v A= ρ × ×
3
1 1
2 2
2
0,12 20utm
v m
v
m×ρ ×⇒ ρ = ⇒ ρ = s
25 m s
3
2
3
2 2 2 2 2
2 2
0,096
4,71 10m
m
utm m
ou
Q utmQ v A
v A
s−
⇒ ρ =
×= ρ × × ⇒ ρ = ⇒ ρ =×
25m
s
( )
3
22 0,0960,05
4
utm m
m
⇒ ρ =π××
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4.2 – Os reservatórios I e II da figura são cúbicos e enchidos pelos tubos respectivamente em 100 e 500 s. 
Determinar a velocidade da água na seção “A” indicada, sabendo – se que o diâmetro é 1 m. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3
10 10 10
1000
II
II
V m m m
V m
= × ×
=
3
5 5 5
125
I
I
V m m m
V m
= × ×
=
entrada saída
3 3
3 3
3
125 1000
100 500
1,25 2
3,25
A I II
I II
A
I II
A
A
A
Q Q
Q Q Q
V VQ
t t
m mQ
s s
m mQ
s s
Q m s
=
= +
= +Δ Δ
= +
= +
=
33,25A
A
Qv v
A
m= ⇒ =
20,7853m
s
4,13v m s=
( )22
2
1
4 4
0,7853
A A
A
mDA A
A m
π×π×= ⇒ =
=
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4.4 – Um propulsor a jato queima 0,1utm s de combustível quando o avião voa a velocidade de 200m s . 
Sendo dados: 
30,12ar utm mρ = ; 30,05m utm mρ = , na seção (2); 
2
1 0,3A m= e 22 0,2A m= . 
Determinar a velocidade dos gases queimados ( )mv na seção de saída. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
1 3 2
1 1 3 3 2 2
1 1 1 2 2 20,1
200
m m mQ Q Q
Q Q Q
utmv A v A
m
s
+ =
×ρ + ×ρ = ×ρ
× ×ρ + = × ×ρ
20,3
s
m× 23 20,12 0,1 0,2mutm vsm
utm⎛ ⎞× + = ×⎜ ⎟⎝ ⎠ 3
0,05 utm
m
× 1
2
2
7,2 0,1 0,01
7,3
utm utm utmv
s s m
v utm
⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = ×
=
0,01
s
utm
2 730
m
v m s=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.7 – O tanque da figura pode ser enchido pela água que entra pela válvula A em 5h., pela que entra por B 
em 3h. e pode ser esvaziado (quando totalmente cheio) pela válvula C em 4h. (supondo vazão constante).Abrindo todas as válvulas (A,B,C,D) ao mesmo tempo o tanque matem-se totalmente cheio. Determinar a 
área da seção de D se o jato de água deve atingir o ponto O da figura. Dado: 210g m s= . 
 
 
 
0 0 0
3 3 3
3
Lembrar: 
Pela equação da continuidade:
30 30 30
5 3 4
8,5
A B C D
D
D
Q v A
Q Q Q Q
m m m Q
h h h
Q m h
= ×
+ + = +
+ = +
=
 
 
 
 
 
 
}0
0
0
0
movimento da gota:
 na horizantal: MRU
 na vertical: MRUV (queda livre)
=
⇒
= + ×
⇒
= + ×
D
t
D
X x v t
Y y v t 2
2
0
1
2
10 5 0 10 1
2
em "X":
10 0 1
10
− ×
= + − × ⇒ =
= + ×
= + ×
=
D f
D
D
g t
t t s
X x v t
v
v m s
3
Assim:
8,5
D D D
D
D
D
D
Q v A
QA
A
m
v
= ×
=
=
2
h
1h×
3600 s
10 m
s
4 2
2
2,361 10
2,361
D
D
A m
ou
A cm
−= ×
=
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4.8 – Sabendo-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é parabólico dado pela 
equação 
2
máx 1
rv v
R
⎡ ⎤⎛ ⎞= = −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
, onde v é uma velocidade genérica, máxv é a velocidade no eixo do 
conduto, r é um raio genérico e R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção 
(escoamento laminar). Sabe-se que: m
1v v dA
A
= × ∫ . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
2
máx2
máx
1 1 1 2
2
r
A A
rv v dA v v r dr
A R R
vv
⎧ ⎫⎡ ⎤⎪ ⎪⎛ ⎞= × ⇒ = × − × π× × ⇒⎢ ⎥⎨ ⎬⎜ ⎟π× ⎝ ⎠⎢ ⎥⎪ ⎪⎣
= π
⎦⎩ ⎭
×
∫ ∫
π
( )
2 2
máx
22
0
3
3máx máx
2 2 2 2
0 0 0
2 4
máx
2 2
0 0
21 1
2 2 1
2
2 4
R
A
R R R
R R
vr rr dr v r dr
R R RR
v vr drv r dr v r dr r dr
R R R R
v r rv
R R
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞× − × × ⇒ = × − × ⇒⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟× ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
⎡ ⎤⎛ ⎞⎛ ⎞×= × × − ⇒ = × × − × × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= × −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
∫ ∫
∫ ∫ ∫
2 2
má
á
2
x
2
m x
2
2 4
2
R
R
v
R
v Rv
v
⎛ ⎞⇒ = × − ⇒⎜ ⎟⎝ ⎠
=
2R× máx
4 2
vv⇒ =
 
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4.9 – Sabe-se que num conduto de seção circular o diagrama de velocidade é exponencial dado pela 
equação: 
1 7
max 1
rv v
R
⎛ ⎞= −⎜ ⎟⎝ ⎠ , onde v é a velocidade genérica, maxv é a velocidade no eixo do conduto, r é 
um raio genérico, R é o raio do conduto. Calcular a velocidade média na seção (escoamento turbulento). 
Sabe-se que: 
1
mv v dAA
= ×∫ . 
 
 
 
2
2 (ver exercício 4.8)
 (ver exercício 4.8)
dA r dr
A R
= π× ×
= π× 
 
1 7
max2
0
21 1 1 2
R rv v dA v v r dr v
A R R
⎛ ⎞= × ⇒ = − × π× × ⇒ =⎜⎝ ⎠
π⎟π×∫ ∫ maxv×π
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
1 7
2
0
1 7 1 7max max
2 1 7 15 7
0 0
1 7max max
15 7 15 7
0
1 7 8 7 8 7 1 7 8 7 1 7
0 0 0 0
1
2 2
note:
2 2
7
R
R R
R
R R R R
R r r dr
RR
v vv R r r dr v R r r dr
R R R
R r t
r R t
dr dt
v vv t R t dt v I
R R
I Rt t dt I t Rt dt I t dt R t dt
tI
−⎛ ⎞× × × ⇒⎜ ⎟× ⎝ ⎠
= × − × × ⇒ = × − × ××
− =
= −
= −
= × × − × − ⇒ = ×
= − × − ⇒ = − × ⇒ = − ⇒
=
∫
∫ ∫
∫
∫ ∫ ∫ ∫
( ) ( )15 7 8 75 7 8 7
0 0 0 0
15 7 8 7 15 7 15 7 15 7 15 7
15 7 15 7
7 7
15 8 15 8
8 157 0 0 7 7
15 8 15 8 120
7 497
120
R RR R R r R rtR I R
R R R R R RI R I I
R RI I
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ − −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟− ⇒ = × − ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤− += × − − − ⇒ = × − + ⇒ = × ⇒⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤= × ⇒ =⎢ ⎥⎣ ⎦
max
15 7
1
2
20
2vv I v
R
⇒
= × ⇒ =
1
max
15 7
v
R
15 749R×
120
max
60
49
60
vv⇒ =
 
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4.10 – No sistema da figura, sabe-se que na seção (1) de área 30 cm2 (circular), o escoamento é laminar. 
As velocidades dos pistões são indicadas na figura. Qual a vazão em kg/s no retorno, se 310.000N mγ = ? 
Dado: 210g m s= . 
 
 
 
max
1 1 1 1
1
2
2
6 30
2
vQ v A A
cm sQ m
= × ⇒ ×
= ×
2
4 2
1
10
m
cm
×
3 3
1
1
9 10
9
Q m s
ou
Q l s
−= ×
=
 
2 2 2
2
23 10
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×
2
4 2
1
10
m
cm
×
3 3
2
2
3 10
3
Q m s
ou
Q l s
−= ×
=
 
3 3 3
3
22 20
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×
2
4 2
1
10
m
cm
×
3 3
3
3
4 10
4
Q m s
ou
Q l s
−= ×
=
 
 
 
 
4 4 4
4
21 30
Q v A
Q m s cm
= ×
= ×
2
4 2
1
10
m
cm
×
3 3
4
4
3 10
3
Q m s
ou
Q l s
−= ×
=
 
 
 
310.000
MR R
MR R
MR
Q Q
Q Q
NQ m
g
= ρ×
γ= ×
=
210m s
1
3
35 10 m−× ×
s
5 5MR MR
N s kgQ Q
m
m× ×= ⇒ =
2s
1
s×
m
5MRQ kg s=
entrada saída
1 2 3 4
3 3
9 3 4 3
5
5 10
R
Q Q
R
R
R
Q Q Q Q Q
Q
Q l s
ou
Q m s−
+ = + +
∑ ∑
+ = + +
=
= ×
123 1442443
entrada saída
1 2 3 4 R
Q Q
Q Q Q Q Q+ = + +
∑ ∑
123 1442443
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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4.11 – No circuito hidráulico abaixo, que opera com óleo de peso específico 38000N m , há um 
vazamento. Determinar a despesa diária do óleo vazado, sabendo – se que seu custo é US$ 0,10/ kg. 
Dados: 2,5Av m s= ; 240AA cm= ; 2,1Bv m s= ; 245BA cm= ; 210g m s= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )1 .
1
1
49 turbulento
60
49 6
60
4,9
máxv v
v m s
v m s
= ×
= ×
=
3
2
8000
10
8000
N
m
m
mg
g s
kg
γγ = ρ× ⇒ ρ = ⇒ ρ =
×
ρ =
23m s×
10 m 2s
3800kg m⇒ ρ =
( ) ( ) ( )
1 .
1 1 .
1 1 1 .
4 2 4 2 4 2
.3 3 3
.
4,9 40 10 800 2,5 40 10 800 2,1 45 10 800
15,68 8 7,56
m mA mB m vaz
A A B B m vaz
A A A B B B m vaz
m vaz
m vaz
Q Q Q Q
Q Q Q Q
v A v A v A Q
m kg m kg m kgm m m Q
s m s m s m
kg kg kg Q
s s s
Q
− − −
= + +
×ρ = ×ρ + ×ρ +
× ×ρ = × ×ρ + × ×ρ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞× × × = × × × + × × × +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + +
. 0,12
Despesa 0,12
m vaz kg
g
s
k
=
=
s
$0,10US
kg
× 3600 s×
1h
24 h×
dia
Despesa 1036,8 $ diaUS=
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.12 – Determinar o tipo de escoamento na seção (3). Dados: 
1Re 5714= ; 2Re 8929= ; 5 28,4 10 m sυ −= × . 
Obs: Re HD vυ
×= e 4 4H H AD R p= × = . 
 
Onde: 
raio hidráulico
 seção transversal molhada
 perímetro da seção em
contato com o fluído
HR
A
p
=
=
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
1 1
1
1
1
1
1
SEÇÃO RETANGULAR
0,2 0
2
,3
1 0,2 0,3
1
Re
4 4
2
2
2 200 300
200 300
0,12
H
H
H
m m
H m m
H
v D
A a bD
p a b
ab
D
a b
mm mm
D
mm m
D m
m
υ
×=
×= × = × × +
×= +
⎛ ⎞⎜ ⎟× ×⎜ ⎟⎝ ⎠=
+
=
1442443
64748 64748
64748 64748
1
0,5m
1
1 1 1
1 1
2
1
5
1
0,24
ReRe
5714 8,4 10
H
H
H
D m
v D v
D
v m
υ
υ
−
=
× ×= ⇒ =
× ×=
1
0,24
s
m
1 1
1 1 1
0,2 0,3
1
1 3
1
1 3
1
1,99 2,0
1,99 200 300
1,19 10
1,2 10
m m
v m s v m s
Q v A
mQ mm mm
s
Q m s
Q m s
−
−
= ⇒ ≅
= ×
⎛ ⎞⎜ ⎟= × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
= ×
≅ ×
64748 64748
( )
2
2
2
21
2
1 2
2
Re
4
4
4
4
H
H
H
vD
DAD
p D
D
υ
×=
π×= × = × π×
= × π 2D× ( )2
4
1× π 2D×
2 2
SEÇÃO CIRCULAR
2
2
2
2
2
2
2
5 2
2
250
0,25
Re
Re
8929 8,4 10
H
H
H
H
H
D D
D mm
D m
v D
v
D
v m
υ
υ
−
=
=
=
×=
×=
× ×=
14243
1
0,25
s
m
( )
( )
2
2 2 2
2
2
2
2
2
1 3
2
3,00
3,00
4
0,25
3,00
4
1,47 10
v m s
Q v A
DmQ
s
mmQ
s
Q m s−
=
= ×
π×= ×
π×= ×
≅ ×
( )
3 1 2
3
1
3
1 3
3
3
3 3
3
1 3
3
3
3
0,55 0,55
1 3
3
Equação da continuidade
(fluído incompressível)
1,2 1,47 10
2,67 10
Re ?
Re
2,67 10
550 550
2,67 10
H
m m
Q Q Q
mQ
s
Q m s
D v
Q m sv
A mm
m
mm
v
υ
−
−
−
−
= +
= + ×
= ×
=
×=
×= = ×
×=
14243 14243
1
20,3025m
s
3
3
3
3
0,883
44H
v m s
AD
p
=
= × = x× l l
4 × l
3
SEÇÃO QUADRADA
3
3 3
3
3
0,55
Re
0,55Re
H
H
H
D
D m
D v
m
υ
=
=
×=
=
l14243
0,883 m× s
5 28,4 10 m−× s
3Re 5781,6
turbulento
= ∴
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.13 – Com o registro “R” inicialmente fechado, o nível do reservatório apresenta uma variação 
10h cmΔ = num intervalo de tempo de 10s . A partir deste instante, o registro é aberto, permanecendo 
constante o nível do reservatório. Pede-se: 
 
a) O diâmetro da seção 
transversal do tubo que 
abastece o tanque, sabendo-se 
que na mesma a velocidade 
máxima é 4m s e o 
escoamento é turbulento; 
b) Após o nível constante, qual o 
alcance “X” do jato; 
c) Regime de escoamento no tubo 
de saída dado 6 210 m sυ −= ; 
d) Diâmetro do tubo se o regime 
for laminar. 
 
2
2
) ?
4
4
4
t
t
t
a Dt
Q v A
DQ v
Q v D
QD
v
=
= ×
π×= ×
= × π×
= × π
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
1
2
3
7
3
1
49 turbulento
60
49 4
60
3,267
0,10 0,641
10
0,00641
4
4 0,00641
m máx
m máx
m
m
tq
t
t
rv v
R
v v
v m s
m s
h AVQ
t t
m mQ
s
Q m
m
s
QD
v
D
ν
⎛ ⎞= − ∴⎜ ⎟⎝ ⎠
= ×
= ×
=
Δ ×= =
×=
=
= × π
×=
2
s
3,267 m s
0,05 5t tD m ou D cm
× π
≅ ≅
( )
2
3 3
2
) ?
4
0,00641 0,00641
0,025
4
Q Qb X Q v A v v
A D
m sv v m
m
= = × ⇒ = ⇒ = π×
= ⇒ =π×
1
4 24,909 10 m
s
−×
2
0
13,058
na vertical:
1
2
0 1,25
v m s
Y y t g t
m t
ν
ν
⇒ =
= + × − ×
= + ×{
0
2
2
0
2
1 10
2
0 1,25 5
1,25
t
m t
s
t
mt
=
− × ×
= −
=
5 m 2
0,5t s
s
⇒ =
0
na horizontal:
0 13,058
X x t
mX
s
ν= + ×
= + 0,5 s×
6,529X m=
6 2
) Regime ?
0,025 13,06Re
10
Re 32.6500 Re 4000 regime turbulento
c
D D m m s
m s
ν ν
υ −
=
× ×ρ × ×= = =μ
= ∴ > ⇒
( )
( )2 2
2
2
2
) Regime laminar Re 2000
ReRe .1
Laminar Re 2000
4 .2
4
Substituindo 2 em 1:
Re Re Re44 4
d
D v D eq
v
D QQ v A Q
D
v v eq
D
DD D QQ Q
D
υ
υ
υ υ υ
≤
× ×= ⇒ =
≤
π×= × ⇒ = × ⇒ = π×
× × × π× × × π×= ⇒ = ⇒ =
π×
1
D
34 4 0,00641
Re
mQD υ
×= =× π×
1
s
262000 10 m−× π× s 4,08D m⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.14 – Dados: fluídos ideais. 
Seção (1): 21 10A cm= ; 31 10kN mγ = 
Seção (2): 22 20A cm= ; 2 0,25v m s= ; 2 ? (S.I.)ρ = 
Seção (3): 23 30A cm= ; 33 9,5kN mγ = ; 3 ? (S.I.)mQ = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
1 2 3
1 1 1
1
1 1
1 1 1
4 2
1
3 3
1
2 2 2
4 2
2
3 3
2
3 1 2
3
3
3
Equação da continuidade
(fluído ideal)
Q
 escoamento laminar
2
2 1
2
1 10 10
1,0 10
0,25 20 10
0,5 10
1 10 0,5 10
máx
Q Q
Q v A
vv
m sv v m s
Q v A
mQ m
s
Q m s
Q v A
mQ m
s
Q m s
Q Q Q
mQ
s
−
−
−
−
−
+ =
= ×
=
= ⇒ =
= ×
= × ×
= ×
= ×
= × ×
= ×
= +
= × + ×
3
3
3 3
3 1,5 10
m
s
Q m s
−
−= ×
3 3
3
3
3
3 2
3
3 2
3
3
3 3 3
3
3
3
9,5
10
9500
10
950
1,5 10
m
m
g
g
kN m
m s
N m
m s
kg
Q Q
m
m
Q −
γ = ρ ×
γρ =
ρ =
ρ =
ρ =
= ×ρ
= ×
3
950 kg
s m
×
3
1 1
3
1
3
1 2
3
1 2
3
1
1,425
10
10
10.000
10
1000
mQ kg s
g
g
kN m
m s
N m
m s
kg m
=
γ = ρ ×
γρ =
ρ =
ρ =
ρ =
1 2 3
1 1
3
3
1
1 1,0 10
m m m
m
m
Q Q Q
Q Q
mQ −
+ =
= ×ρ
= ×
3
1000 kg
s m
×
1
3
3
2 2
3
2 3 1
3
3
2
2
1,0
0,5 10
1,425
0,5 10 1,425 1,0
0,425
m
m
m
m m m
Q kg s
mQ
s
Q kg s
Q Q Q
m kg kg
s s s
k sg
−
−
=
= × ×ρ
=
= −
× ×ρ = −
ρ = 3 30,5 10 sm−×
3
2 850kg mρ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.15 – O tanque maior da figura abaixo permanece a nível constante. O escoamento na calha tem uma 
seção constante transversal quadrada e é bidimensional obedecendo a equação 23v y= . Sabendo que o 
tanque “B” tem 31m e é totalmente preenchido em 5 segundos e o conduto circular tem 30 cm de diâmetro, 
pede-se: 
 
a) Qual a velocidade média na calha quadrada? 
b) Qual a vazão no conduto circular de 30 cm de diâmetro? 
c) Qual a velocidade máxima na seção do conduto circular de 30 cm de diâmetro? 
d) Qual o tipo de escoamento no conduto circular de 30 cm de diâmetro? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( )
2
2
13
0
3 3
) da calha quadrada
1
1 3 1
1 1
3 1
3
3
3 1 3 0
3 3
1
média
calha
calha
calha
calha
calha
calha
a v
v v dA
A
v y dy
v y dy
yv
v
v m s
= ×
= ××
= ×
=
⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
∫
∫
∫
30
30
3
3
2
3
30
30
3 3
30
30
) ?
Equação da continuidade
(fluído incompressível)
Q
1
5
0,2
1 1
1
Q
Q
Q 1 0,2
Q 0,8
cm
calha cm B
B
B
B
B
calha calha calha
calha
calha
calha cm B
cm calha B
cm
cm
b Q
Q Q
V mQ
t s
Q m s
Q v A
mQ m
s
Q m s
Q Q
Q Q
m m
s s
m
φ
φ
φ
φ
φ
φ
=
= +
= =
=
= ×
= ×
=
= +
= −
= −
= 3 s
( )
30 30 30
30
30
30
3
30 2
2
30
3
3
30
) no conduto
30 0,3
15 0,15
Q
Q
0,8
0,8
0,15
0,8
média
cm cm cm
cm
cm
cm
cm
cm
cm
c v
cm m
r cm m
v A
v
A
m sv
r
m
m sv
m
v
φ φ φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ
φ = =
= =
= ×
=
= π×
= π×
=
1
20,0225
s
mπ×
30 11,32cmv m sφ =
) Tipo de escoamento
0,30
Re
d
D
m
v
υ
×= =
11,32 m×
s
2610 m− s
6
3,396Re Re 3.396.000
10
Re 4000 turbulento
−= ⇒ =
∴ > ⇒
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
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4.16 – No sistema da figura a água é descarregada do cilindro e percorre uma distância 19,8a m= , 
caindo de uma altura 20,5b m= . Durante o processo que dura 6,0min. , no tanque A que tem 20,5m 
de base, o nível de água sofre um desvio de ( )27cm hΔ . Calcular: 
 
a) Velocidade da água na saída do cilindro 3v ; 
b) Velocidade do pistão vp e o sentido do seu movimento. 
 
Dados: 330 ; 1Dp cm D cm= = . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
4 30,27 0,5 3,75 10
360
baseh AV m mQ Q m s
t t s
−Δ × ×= = = ⇒= × 
 
 
3
2
0
) ?
Queda Livre
na vertical:
1
2
0 20,5
a v
b b v t g t
v t
=
= + × − ×
= + ×{
0
2
0
2
1 10
2
0 20,5 5
20,5 2,024
5
t
t
t
t t s
=
− × ×
= −
= ⇒ =
 
 
 
 
2
27 0,27
0,5
h cm m
base m
Δ = =
= 3
30 0,3
1 0,01
Dp cm m
D cm m
= =
= =
6,0min 360s=
0
3
na horizontal
19,8 0 2,02
19,8
2,024
9,78
a a v t
v
v
v v m s
= + ×
= + ×
=
= =
( )2
3 3 3 3
4 3
3
3 3
3
3 3
4 4
4 3
4 3
) ?
0,01
9,78
4
7,681 10
:
3,75 10 7,681 10
3,931 10 pistão descendo
vp
3,931 10
p p
p
p
p
p
p p
p
b vp
mmQ v A Q
s
Q m s
Logo Q Q Q Q Q Q
Q Q Q
m mQ
s s
Q m s
Q
Q A vp
m
A
vp
−
− −
−
−
=
π×= × ⇒ = ×
= ×
= + ⇒ = −
= −
= × − ×
= − × ⇒
= × ⇒ =
− ×=
1
0,3
s
mπ× ( )2 0,00556
4
vp m s⇒ = −
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.17 – Dois gases de massas específicas diferentes 31,2A kg mρ = e 30,95B kg mρ = encontram-se 
em um cilindro onde formam uma mistura homogênea. O pistão de diâmetro 18,5PD cm= se movimenta 
para baixo com velocidade de 1,6cm s e a mistura resultante sai do cilindro com velocidade 
12,5Cv m s= . Calcular: 
 
a) Velocidade Bv ; 
b) Massa específica da mistura de gases. 
 
Dados: 25Av m s= ; 1,5AD cm= ; 16,5mBQ kg h= ; 2,5BD cm= ; 2,0CD cm= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( ) ( ) ( )
( )2
3
Equação da continuidade
(fluído compresível)
1,2 25 16,5
4
mA mB mP mC
A A A mB P P P C C C
A
Q Q Q Q
v A Q v A v A
Dk m
h
g kg
m s
+ + =
ρ × × + + ρ × × = ρ × ×
⎛ ⎞π×⎜ ⎟× × +⎜ ⎟⎝ ⎠
1h× ( ) ( )
2
2 2
0,016 12,5
3600 4 4
30
P C
C C
D Dm m
s s s
kg
m
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ π× π×⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
0,015
s
mπ×××
( ) ( ) ( )2 2 23
3 3
3 3 4 3
3
3
0,185 0,02
4,58 10 0,016 12,5
4 4 4
5,30 10 4,58 10 4,30 10 3,93 10
3,93 10 4,30
C C
C C
C C
m mkg m m
s s s
kg kg m m
s s s s
m
s
−
− − − −
−
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞π× π×⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞× + × + ρ × × = ρ × ×⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ρ × × − ρ × ×⎜ ⎟⎝ ⎠
3
4 3
3
3 3
3
10 9,88 10
3,5 10 9,88 10
9,88 10
C
C
m kg
s s
m kg
s s
kg s
− −
− −
−
⎛ ⎞ = ×⎜ ⎟⎝ ⎠
ρ × × = ×
×ρ = 3 33,5 10 sm−×
32,82C kg m⇒ ρ =
) ?
16,5
B
B B B
mB B B
mB
B
B
B
a v
Q v A
Q Q
QQ
k
Q
g
=
= ×
= ×ρ
= ρ
=
0,95
h
kg 3
3
3 3
17,37
4,82 10
B
B
m
Q m h
ou
Q m s−
=
= ×
( )
( )
3 3
2
3 3
2
4,82 10
4
4,82 10
0,025
4
9,82
B
B
B
B
m sv
D
m sv
m
v m s
−
−
×= π×
×= π×
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.18 – Sabendo –se que a seção transversal (I) é quadrada e que 20Iv m s= , determinar o valor do lado 
dessa seção, assim como o tipo de escoamento na mesma, considerando 210g m s= e 6 210 m sυ −= . 
O jato que sai da seção circular (II), de diâmetro 10cm , chega ao ponto “O” marcado na figura e o jato que 
sai da tubulação (III) enche o reservatório de dimensões conhecidas em 100 segundos. 
Dados: 0 45y m= ; ( )0 6x m= π ; 20,15BaseA m= ; 2H m= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
2
3
3
3
2
2
0
0,15 2
0,3
0,3
100
0,003
4
0,1
4
na horizontal
6 0
6
III
III
III
III Base
III
III
III
III
II II II
II
II
II
II
II
II
VQ
t
V A H
V m m
V m
mQ
s
Q m s
Q v A
D
A
m
A
x x v t
v t
v
t
=
= ×
= ×
=
=
=
= ×
π×=
π×=
= + ×
π = + ×
π=
2
0 0
0
na vertical
1
2
45 0
II
II
y y v t gt
m v t
= + × +
= + ×
0 0
2
2
1
2
1 2 4545
2
9 3
6 6
3
2
2
t
II
II
II
gt
mgt m t
g
t t s
v
t s
v m s
Q
=
+
×= ⇒ =
= ⇒ =
π π= =
= π
π=
678
m s × π ( )
2
3
3
0,1
4
0,005
Equação da continuidade
(fluído incompressível)
0,005 0,003
0,008
II
I II III
I
I
m
Q m s
Q Q Q
Q
Q m s
×
=
= +
= +
=
30,008
I I I
I
I
I
Q v A
QA
v
m
= ×
= =
2
s
20 m s
2
2
2
3
3
0,0004
0,0004
0,
4
02
Re
4
I
I I
H I
H
H
A m
A A
m
m
D v
AD
p
D
υ
=
= ⇒ =
=
=
×=
= ×
=
l l
l
l
x× l l
4 × l
seção quadrada
0,02Re
H
m
D =
=
l123
20 m× s
2610 m− s
Re 400.000
escoamento turbulento
= ∴
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.19 – O escoamento na seção A é turbulento. Após a seção A o fluído abastece 3 reservatórios como é 
mostrado na figura. A velocidade no eixo da seção A é conhecida. Os reservatórios I, II, e III são 
abastecidos respectivamente pelos tubos B, C e D. O reservatório I é abastecido em 100 segundos. O 
reservatório II é abastecido em 500 segundos, sendo o escoamento no tubo C laminar. O reservatório II é 
cúbico de aresta 4m. Determinar: 
 
a) A vazão em volume na seção A; 
b) A vazão em massa no tubo C; 
c) A velocidade do fluxo no eixo do tubo C; 
d) A vazão em volume no tubo D 
 
Dados: 39000N mγ = ; 210g m s= ; A 30 4,9eixov m s= ; ( )100 2AD cm= π ; 
800CD cm= π . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
)
49
60
49
A A A
A máx
A
a Q v A
v v
v
= ×
= ×
=
10
60
2
30×
1
4,9
( )
( )( )
1
2
2
5
4
100 2
4
A
A
A
A
A
m s
v m s
D
A
cm
A
A
=
π×=
π× π
=
= π
410 2× × π( ) 2
2
4
5000A
cm
A cm=
2
4 2
1
10
m
cm
×
2
2
3
0,5
5 0,5
2,5
A
A A A
A
A
A m
Q v A
Q m s m
Q m s
=
= ×
= ×
=
3
1,6
mC C
mC C
mC
Q Q
Q Q
g
Q m
= ×ρ
γ= ×
=
39000
s
N m×
210m s
( )
( )2
2
1440
) ?
laminar
2
2
4
800
4
mC
máx
máx
c
máx C
C
C
C
C
C
C
C
N s KgQ
m s
c v
vv
v v
Qv
A
D
A
cm
A
A
× ⎛ ⎞= ⎜ ⎟⎝ ⎠
=
=
= ×
=
π×=
⎛ ⎞π× ⎜ ⎟π⎝ ⎠=
=
π
464 10×× π
4 2
2
4
16 10C
cm
mA c= ×
2
4 2
1
10
m
cm
×
216CA m=3
) ?
4 8 25
500
1,6
mC
mC C
C
C
C
C
C
b Q
Q Q
VQ
t
m m mQ
s
Q m s
=
= ×ρ
=
× ×=
=
31,6
C
C
C
C
Qv
A
v m
=
=
1
216
s
m
3
3
0,1
2
2 0,1
0,2
) ?
4 4 5
100
0,8
2,5 0,8 1,6
0,1
C
máx C
máx
máx
D
B
B
B
B
B
A B C D
D A B C
D
D
v m s
v v
v m s
v m s
d Q
VQ
t
m m mQ
s
Q m s
Q Q Q Q
Q Q Q Q
Q
Q m s
=
= ×
= ×
=
=
=
× ×=
=
= + +
= − −
= − −
=
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.20 – No tanque 2 que fica cheio em 60min. , será feita uma diluição de suco concentrado, com água. 
Considerando que o tanque 1 tem nível constante, calcule a vazão de água no vazamento indicado na 
figura. 
Dados: tanque 2 12.000V litros= ; Suco: 1,5mSQ kg s= ; 31.200S kg mρ = 
Água: 38Q m h= ; 310BQ m h= ; 2 31.000H O kg mρ = 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1,5
mS S mS
mS
S
mS
S
Q Q
Q
kg
Q
Q
= ×ρ
= ρ
= s
3600 s×
1
1.200
h
kg 3
3
2
2
2
2
4,5
12.000
S
Tq
Tq
Tq
Tq
m
Q m h
V
Q
t
Q
L
=
=
=
31
1000
m
L
×60min.
60 n
1
mi .
h×
3
2 12TqQ m h=
2
2
2
2
Tq2
2
3 3
3
A
A
3 3
3
Equação da continuidade
(fluído incompressível)
Q
12 4,5
7,5
para nível constante
Q
Q
10 8
2
H O S
H O Tq S
H O
H O
reciclo Bomba
reciclo Bomba
reciclo
reciclo
Q Q
Q Q Q
m mQ
h h
Q m h
Q Q
Q Q
m mQ
h h
Q m h
= +
= −
= −
=
+ =
= −
= −
=
2
2
3
3
3
3
3
3
Se 2
e 10 ,
então concluímos que:
8
se 8
e 7,5
concluímos que:
vazamento
vazamento 0,5
reciclo
Bomba
Bomba reciclo
H O
H O
Q m h
Q m h
Q Q Q
Q m h
Q m h
Q m h
Q Q
m h
=
=
= −
=
=
=
= −
=
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
4.21 – A figura apresenta dois tubos concêntricos de raios 1 3R cm= e 2 4R cm= , dentro dos quais passa 
óleo em sentidos contrários. O fluxo do tubo interno obedece a equação: 
2
0 1
rv v
R
⎡ ⎤⎛ ⎞= × −⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
. Esse fluxo 
divide-se em 2Q , 3Q e no fluxo de retorno RQ , no tubo maior. O peso específico do óleo é 
3800kgf m e 
a leitura da balança é 14,4kgf em 60 segundos. O pistão desloca-se com uma velocidade de 3,8cm s e 
tem uma área de 278,5cm . A velocidade no eixo do tubo de entrada é 0 2,3v m s= . Pede-se determinar: 
 
a) A vazão 1Q em litros por segundo, no tubo interno; 
b) A vazão RQ de retorno; 
c) A velocidade média no tubo de retorno. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
( )
( )
1
2
1 1 1 1
1
3
1
3
1
2
 Vazão em litros por segundo
1,15
1,15 0,03
3,25 10
a Q
mQ v A Q R
s
s
m
mQ m
Q −
⎡ ⎤= × ⇒ = × π×⎣ ⎦
⎡ ⎤= × π×⎣ ⎦
= ×
3
1000
1
L
s m
× 1 3,25 LQ s⇒ =
 
 
 
 Velocidade de retorno
2,65
R
R R R R R
R
c
QQ v A v v
L
A
= × ⇒ = ⇒ =
31
s
m×
1
1000L
3 22,199 10 m−× 1,205Rv m s⇒ ≅
 
2
0
0
1
Escoamento Laminar
1
2
3
vrv v
cR m
v
R
⎡ ⎤⎛ ⎞= × − ⇒ ∴ ⇒ =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦
= 1
100 m
m
c
× 1
2
0,03
4
R m
R cm
⇒ =
= 1
100 m
m
c
× 2 0,04
3,8
p
R m
mv c
⇒ =
= 1
100 m
m
s c
×
( ) ( )
( ) ( )
1
3
0 óleo
1 1
2 22
2 1
2 2 3 2
0,038
2,3 800
2,3 1,15
2
0,04 0,03 2,199 10
R
p
R R
R R
v m s
v m s kgf m
m sv v m s
A R A R R
A A m−
⇒ =
= γ =
= ⇒ =
⎡ ⎤= π×Δ ⇒ = π× −⎣ ⎦
⎡ ⎤= π× − ⇒ = ×⎣ ⎦
2 2
2
2 2 2 2
 Vazão de retorno
14,4 0,24
60
0,24
R
G G
G
G
b Q
G kgfQ Q kgf s
t s
Q
Q Q Q Q
kgf
= = ⇒ =
= γ × ⇒ = ⇒ =γ
s
kgf800 3
2
3
0,0003
m
Q m=
3
1000
1
L
s m
×
3
3
2
2
3
3
0,3
0,038 0,00785
0,0003
p p
Q L s
mQ v A Q m
s
Q m
⇒ =
= × ⇒ = ×
≅
3
1000
1
L
s m
× 3
1 2 3
0,3
3,25 0,3 0,3 2,65
R
R R
Q L s
Q Q Q Q
Q Q L s
⇒ ≅
= + +
= + + ⇒ =
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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4.22 – Na figura abaixo, determinar se o pistão sobe ou desce e com que velocidade? 
Dados: 
 
1 8D cm= ; 1 3v m s= 
2 20Q L s= ; 3 5v m s= 
2
3 20A cm= ; 2. 50pistA cm= . 
 
 
 
 
 
 
 
entrada
Equação da continuidade
(fluído incompressível)
Q saídaQ∑ = ∑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 3 3
3 2
3
2 3
3
5 2 10
1 10
Q v A
mQ m
s
Q m s
−
−
= ×
= × ×
= ×
2 20Q
L=
31
1000
m
Ls
×
2 3
2 2 10Q m s
−= ×
( )
( )
1 1 1
2
1
1
2
1
2 3
1
3
4
0,08
3
4
1,51 10
Q v A
DmQ
s
mmQ
s
Q m s−
= ×
π×=
π×= ×
= ×
entrada
2 3
2 3
2 3
2 4
Note que Q , 
logo se a saída (1) + saída (3) 2,51 10 ,
e a entrada (2) 2 10 ,então conclui-se que:
,obrigatoriamente têm que ser 2,51 10 ,
portanto, o pistão está subindo
saídaQ
m s
m s
Q Q m s
−
−
−
∑ = ∑
= ×
= ×
+ = ×
.
2 4 1 3
4 1 3 2
3 3 3
2 2 2
4
2 3
4
1,51 10 1 10 2 10
0,51 10
Q Q Q Q
Q Q Q Q
m m mQ
s s s
Q m s
− − −
−
+ = +
= + −
= × + × − ×
= ×
4 4
3
4
4
4
.
2
4
0,51 10
pist
Q v A
Qv
m
A
v
−
= ×
=
×=
1
2450 10 m
s
−×
4 1,02v m s=
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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Extra 1 – De acordo com a figura são dados: 1 2 150 ; 25 ; 1 ;mD mm D mm V m s= = = 
2
3 2 6 21000 ; 10 ; 10H O kgf m g m s m sυ −γ = = = . Determinar: 2 ; ; ;m Gv Q Q 
mQ e qual o tipo de escoamento entre (1) e (2). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 1 1 1
1 6 2
1
) Regime ?
0,05 1Re
10
Re 50.000 Re 4000
Re regime turbulento
m m
e
D D m m s
m s
ν ν
υ −
=
× ×ρ × ×= = =μ
= ∴ >
=
 
1 2
2
1
1 1
1 1 2 2 2 2
2
Equação da Continuidade (fluído incompressível)
) ?m
m
m
m m m m
Q Q Q Q v A
a v
v
v Av A v A v v
A
⇒ = = = ×
=
××× = × ⇒ = ⇒ =
π ( )21
4
D×
π ( )22
4
D×
( )
( )
( )
( )
2
1 1
2 2
2
2
2
2
2 2
1 50 1 2500
25
m
m
m m
v D
v
D
m s mm m sv v
mm
mm
×⇒ =
× ×= ⇒ =
2625mm
2 4mv m s⇒ =
( ) ( )2 21 3 3
1 1 1
) ?
0,05
1 1,96 10
4 4
1,96
m m
b Q
D m
Q v A Q v Q m s Q m s
ou Q L s
−
=
π× π×= × ⇒ = × ⇒ = × ⇒ = ×
=
3
) ?G
G G
c Q
kgfQ
m
Q Q
=
= γ × ⇒ =1000 3
3
1,96 10 m−× × 1,96GQ kgf ss ⇒ =
) ?
1,96
m
G
G m m m
d Q
Q kgfQ Q g Q Q s
g
=
= × ⇒ = ⇒ =
210m s
1 0,196mQ kgf s m⇒ = ×
2 2 2 2
2 6 2
2
2
0,025 4Re
10
Re 100.000 Re 4000
Re regime turbulento
m mD D m m s
m s
ν ν
υ −
× ×ρ × ×= = =μ
= ∴ >
=
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Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
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Extra 2 - De acordo com a figura são dados: 2 21 2 120 ; 10 ; 75 ;mA cm A cm V m s= = = 
3 3
1 21,2 ; 0,9kg m kg mρ = ρ = . Determinar: 2 1 2; ;mv Q Q e mQ . 
 
 
 
 
 
 
1 2
1 1 2 2 1 1 1 2 2 2
2
1 1 1
2 2
2 2
Equação da Continuidade (fluído compressível)
) ?
1,2
m m m m
m m
m
m
m m
Q Q Q Q Q
Q Q v A v A
a v
v Av v
A
kg
⇒ = = = ρ×
ρ × = ρ × ⇒ ρ × × = ρ × ×
=
ρ × ×= ⇒ =ρ ×
3m
275 20m
s
cm× ×
0,9
kg
3m
210 cm×
2 200mv m s⇒ =
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
4 2 3
1 1 1 1 1
2
4 2 3
2 2 2 2 2
1 1 1 31
) ?
75 20 10 0,15
) ?
200 10 10 0,20
) ?
1,2
m
m m
b Q
mQ v A Q m Q m s
s
c Q
mQ v A Q m Q m s
s
d Q
kgQ Q Q
m
−
−
=
= × ⇒ = × × ⇒ =
=
= × ⇒ = × × ⇒ =
=
= ρ × ⇒ =
3
0,15 m× 1
2 2 2 32
0,18
0,9
m
m m
Q kg s
s
ou
kgQ Q Q
m
⇒ =
= ρ × ⇒ =
3
0,20 m× 2
1 2
0,18
0,18
m
m m m
Q kg s
s
Q Q Q kg s
⇒ =
= = =
Capítulo 7 
 
ESCOAMENTO PERMANENTE DE FLUIDO INCOMPRESSÍVEL EM 
CONDUTOS FORÇADOS 
 
No Capítulo 4 apresentou-se a equação da energia com essas hipóteses, resultando: 
: 
2,1p2M1 HHHH +=+ 
Essa equação permite determinar ao longo do escoamento alguma das variáveis que contém, isto 
é: HM, v, p ou z. Entretanto, esta tarefa somente será viável se for conhecida a perda de carga 
2,1pH ao longo do escoamento. 
Este capítulo dedica-se, fundamentalmente, ao estudo desse termo para condutos forçados, 
estabelecendo as bases do cálculo de instalações hidráulicas. 
A definição das linhas da energia e piezométrica estabelece uma maneira interessante de 
visualização do andamento da energia e da pressão ao longodo escoamento, que pode facilitar a 
solução de problemas voltados à solução de instalações. 
 
Exercício 7.1 
 
1,0
1,0
f1
1
2
11
0
0
2
00
p10
hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH
++γ+
α=+γ+
α
+=
 
Como se trata de um gás, a diferença de cotas pode ser desprezada desde que esta não seja muito 
grande. Considerando a mina como um reservatório de grandes dimensões, v0 ≅ 0 e, na escala 
efetiva p1 = 0, obtêm-se: 
H
1
H
1
p22
H
2
110
D
Lf
pg2
v
D
Lfg2
v
g2
v
D
Lf
g2
vp
+α
γ=
+α
=→+α=γ
γ
 
Como f = f(Re) e Re = f(v), o problema deverá ser resolvido por tentativas. 
.diantepor
assimefeRvfseadotaffse,resolvidoestáffSe
fRevfseAdota
′′→′→′→′−→′≠=′
′→→→−
 
Uma forma de obter rapidamente o resultado, consiste em adotar o f correspondente à parte 
horizontal da curva de 
k
DH calculado para o problema. Observa-se que se o Re for 
relativamente grande, o f estará nessa parte da curva, o que evitará novas tentativas. 
m6,0
6,04
6,06,04A4D
Pa000.22,0000.10hp
H
OHOH0 22
=×
××=σ=
=×=γ=
 
 
Logo:
f3,8331
150.3
6,0
500f1
7,12
000.220
v +=+
×
= 
023,0fseadotaRouseMoodydo600
10
6,0
k
D
:Como
3
H =−−→== − 
5
5
H 105,7
10
6,04,12vDReseverificae
s
m4,12
023,03,8331
150.3v ×=×=ν=−=×+= − 
Ao observar o Moody-Rouse nota-se que o Re é suficientemente alto para que se possa adotar o f 
correspondente à parte horizontal da curva de DH/k (escoamento hidraulicamente rugoso). 
Nesse caso, confirma-se o f e, conseqüentemente, o valor da velocidade. Assim: 
s
m5,46,06,04,12vAQ
3
=××== 
 
Exercício 7.2 
 
m3
20
24,41
03,0
202,01
g2
v
D
L
D
L
f1h
g2
vk
g2
v
D
L
f
g2
vhzHHH
m105,1
000.2
03,0
000.2
D
k000.2
k
D
:RouseMoody
02,0f
1027,1
10
03,024,4vDRe
m3,137,1125hm7,11
20
24,45
03,0
1202,0H
s
m24,4
03,0
1034
D
Q4v
g2
vk
D
LfH
m25
10310
1075,0
Q
NHQHN
HHhzz
HHHH
22
H
2,1
H
2,1
0
2
1s
2
H
2,1
2
002,0p20
5HH
5
6
2
7,0p
2
3
2
2
s
H
7,0p
34
3
BB
7,0pB01
7,0p7B0
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++=
++==⇒+=
×===⇒=−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
×=×=ν=
=−=Δ⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=
=×π
××=π=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=××
×=γ=⇒γ=
−=Δ=−
+=+
−−
−
−
∑
 
 
Exercício 7.3 
 
a) Obviamente a máquina é uma bomba, pois .pp entradasaída > 
γ
−=→=+ esBsBe ppHHHH 
( )
m2,25
000.10
1052,2H
Pa1052,2101036,12ppp22p
5
B
545
essO2HHge
=×=
×=−××=−→=×γ−×γ+ 
( )
04,0
2238
2,191,020
Lv
hgD2
f
g2
v
D
Lfh
m2,1962,25hHh
m6
20
25,35,132102h
s
m2
1,0
10164
D
Q4v
g2
vkhehhH
HHHHHH)b
22
fH
2
H
f
spf
2
s
2
3
2
2
sssfp
pBp8B0
8,0
8,0
8,08,0
=
×
××==→=
=−=−=
=+×++×=
=
×π
××=
π
=
=+=
=→+=+
∑
∑
∑∑∑
−
 
 
Exercício 7.4 
 
kPa5,15Pa1055,1pm55,1
20
45,15,1
06,0
2054,015,05,2
p
g2
vk
D
L
f1zz
p
g2
vk
g2
v
D
L
fz
p
g2
v
zHHH)b
s
L1,4
s
m101,4
4
06,045,1
4
DvQ
fdevaloroconfirmaqueo107,8
10
06,045,1vDRe:oVerificaçã
s
m45,1
5,15
06,0
4054,0
220v
054,0f:seadotaRouseMoodydo40
15,0
6
k
DCom
k
D
Lf
gH2
v
g2
vk
D
LfH
m2HH5,05,2HHH)a
4
A
2
A
2A
1
s
A,1
A0
A
A
1
2
s
2
A,1
A
A
2
A
0A,0pA0
3
3
22
4
6
s
8,0p
2
s8,0p
8,0p8,0p8,0p80
=×=⇒=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+−−=γ
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ++−−=γ
+++γ+=⇒+=
=×=×π×=π=
×=×=ν=
=
+×
×=
=−−→==
+
=⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +=
=⇒+=⇒+=
∑
∑
∑∑
−
−
 
 
 
 
Exercício 7.5 
 
4,0
4,0
p4
4
B
p4B0
Hz
p
H
HHHH)a
++γ=
+=+
 
m6,174
10
102424z
p
HH
m24
101010
1038,0
Q
N
H
QH
N
4
3
4
4
Bp
34
3
BB
B
B
B
B
4,0
=−×−=−γ−=
=
××
××=γ
η=→η
γ= −
 
( )
01,0
1,510
6,205,0102
vL
gDh2
f
g2
v
D
L
fh
m6,2156,17h
m15
20
1,55,11
g2
vkkkh
s
m1,5
05,0
10104
D
Q4v
g2
vkh
hHhhh2,1H)b
22
3,1
f23,1
f
f
22
ssss
2
3
2
2
ss
spf
3
1
s3,1fp
3,1
3,1
3,1
321
4,04,0
=
×
×××==→=
=−=
=×=++=
=
×π
××=
π
=
=
−=→+=
∑
∑∑
∑∑
−
 
c) Como os dois tubos têm o mesmo diâmetro e material e o fluido é o mesmo, tem-se o 
mesmo f. 
 
m9,29
20
1,53
05,0
10001,0H
g2
vk
D
L
fhhH
2
p
29
5
s
9,59
5
sfp
10,4
9,510,4
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=+= ∑∑
 
kW1,5
1000
19,05,56101010QHN
m5,569,2984
10
1024H
HHz
p
HHHH)d
34
TTT
4
3
T
pT4
4
p10T4
10,4
10,4
=×××××=ηγ=
=−+×=
=−+γ
+=−
−
 
A vazão é considerada a mesma, pois para p4 = cte, é necessário que o nível se mantenha 
constante. 
 
 
( ) m5,72551210
01,0
05,0k
f
DL
g2
vk
g2
v
D
L
fh)e
seq
2
s
2eq
feq
=×+×+==
==
∑∑
 
 
Exercício 7.6 
 
15,9
6,0
1
1,11
1,61
H
H
Q
Q
HQ
HQ
NN
m61160HHHHH
m1,119,012HHHHH
BTT
B
B
T
TTT
B
BB
TB
Bj,fpjBf
Td,apdTa
=×=ηη=⇒ηγ=η
γ⇒=
=+=⇒+=+
=−=⇒+=−
 
 
 
Exercício 7.7 
 
Como no resto do circuito a perda de carga é desprezível: 
 
s
m01,0
13510
101875,0
H
N
Q
QH
N
m135HH
3
4
3
B
BB
B
B
B
pB A,C
=
×
××=γ
η=→η
γ=
==
 
A velocidade média no trecho CA será: 
( ) ( )
s
m44,3
1091,2
01,0v
m1091,2015,0281,0
4
d28D
44
d28
4
DA
A
Qv
3
232222
22
=
×
=
×=×−π=−π=π−π=
=
−
− 
Imaginando um tubo equivalente de C até A: 
( )
m108,2
25
101,7
25
D
k25
k
D
RouseMoodyDo
1044,2
10
101,744,3vDRe
0675,0
44,324
135101,720f
vL
hgD2
f
g2
v
D
Lfh
m101,7
015,0281,0
1091,24
d28D
A4A4D
3
3
HH
5
7
3
H
3
2
A,C
fH
2
H
f
3
3
H
−−
−
−
−
−−
×=×==→=−
×=××=ν=
=×
×××=→=→=
×=×+π
××=π+π=σ=
 
 
Exercício 7.8 
 
5,0p50 HHH += 
 
 
 
m1,11
20
83,23,12
15,0
90024,01Hz
s
m83,2
15,0
10504
D
Q4v
s
L47
s
m107,4
4
15,07,2
4
DvQ
foconfirmand108,3
1005,1
15,07,2vDRe:oVerificaçã
s
m7,2
3,12
15,0
90024,01
1020v
024,0fseadotaRouseMoodydo579
109,25
15,0
k
D
k
D
Lf1
gz2
v
g2
vk
D
Lf1z
g2
vk
g2
v
D
Lf
g2
v
z
2
0
2
3
2
3
2
22
5
6
3
s
0
2
s0
2
s
22
5
0
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+==′
=×π
××=π
′=′
=×=×π×=π=
×=×
×=ν=
=
++
×=
=−−→=×=
++
=⇒⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⇒++=
−
−
−
−
∑∑∑
 
 
Exercício 7.9 
 
2,1
fH
f
2
H
f
4
3
2
1
f
f2
2
2
22
1
1
2
11
p21
fL
hgD2
v
.vcasono,iávelvaroutraobterse
pararessãoexpautilizarsepodeconhecidoéhsee
g2
v
D
Lfh,mas
m23
10
1050z
p
h
hz
p
g2
v
z
p
g2
v
HHH
2,1
2,12,1
2,1
2,1
2,1
=
−=
=−×=−γ=
++γ+
α=+γ+
α
+=
 
Observa-se que não se tem f , de modo que não é possível calcular v, bem como Re e, 
conseqüentemente, não se pode obter f do Moody-Rouse. Este exemplo é do tipo: temos hf, 
queremos Q. 
Nesse caso pode-se calcular fRe . 
 
 
2,1
fHH
2
2,1
fHH
L
hgD2D
vL
hgD2vD
fRe 2,12,1 ν=ν= 
Observa-se que fRe pode ser calculado sem que v seja conhecido, desde que se conheça fh , 
que é o caso do exercício. 
( )RouseMoodydoobtidofundidoferrodok386
1059,2
1,0
k
D
1016,8
6
21,020
10
1,0fRem6
30sen
3
30sen
z
L
4
H
4
6
oo
2
2,1
−=
×
=
×=××=
===
−
− 
Com esses dois valores obtém-se do Moody-Rouse que f = 0,026 
s
L40
s
m04,0
4
1,006,5
4
DvQ
s
m06,5
6026,0
21,020v
322
==×π×=π=
=×
××=
 
 
Exercício 7.10 
 
s
m27,1
4
162,1
4
DvQ
s
m62,1
000.8019,0
20120v
019,0fRouseMoodydo000.1
10
1
k
D
102,2
000.8
12020
10
1
fL
Dgh2DfRe
fL
gDh2
v
g2
v
D
Lfhm20hhzz
322
3
5
6
f
f
2
fff21
=×π×=π=⇒=×
××=
=−⇒==
×=××=ν=
=⇒=→=⇒=−
−
−
 
 
Exercício 7.11 
 
1,0
2,0
f1
1
2
11
V0
0
2
00
p1V0
hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH
++γ+
α=++γ+
α
+=+
 
Desprezam-se as perdas singulares e admite-se o reservatório de grandes dimensões. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3000
10
3
k
D
102
105,1
310vDRe
g2
v
D
Lfh
s
m10
3
714
D
Q4vv
Pa20002,0000.10hp
3
H
6
5
H
2
H
f
221
OHOH0
1,0
22
==
×=
×
×=ν=
=
=
×π
×=
π
==
=×=γ=
−
−
016,0f =→ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
kW4,50
000.175,0
417113
000.1
1QHN
V
V
V =×
××=η
γ= 
 
Exercício 7.12 
 
kW1,1810
75,0
6,351082,310QHN
s
m1082,3
4
1,087,4
4
D
vQ
m6,3515
20
87,45,0
1,0
150026,0
20
66,8H
026,0f
386
1059,2
1,0
k
D
109,4
10
1,087,4DvRe
g2
v
k
D
Lf
g2
v
HzHHHH
s
m87,4
10
5,766,8
D
D
vv
s
m66,8
152
1015v
y2
gxv
v
xg
2
1y
gt
2
1y
vtx
3
24
B
B
B
3
2
22
2
2
22
B
4
5
6
2
2
2
1s
2
s
B0s,0psB0
22
s
s2s
2
2
2
=××××=η
γ=
×=×π×=π=
=−×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+=
=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=+⇒+=+
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⇒=×=
=⇒=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=
−−
−
−
−
 
 
Exercício 7.13 
 
 
7,3p3,2p7,3p3,2p1,0p7,0p
7,0p7,0p7B
7,0p7
7
2
77
B0
0
2
00
7,0p7B0
HHHHHH
H8HzH
Hz
p
g2
v
Hz
p
g2
v
HHHH
+=++=
+=+=
++γ+
α=++γ+
α
+=+
 
m41
13
20033,150
20
10H
p
hz
g2
v
H
m33,1
20
10
3
50016,0h
2
V
0
1,0f1
2
11
V
2
2,1f
=−++=
γ−++
α=
=××=
0195,0f
600.1
105
08,0
k
d
1091,1
10
08,039,2dvRe
019,0f
000.2
105
1,0
k
D
1053,1
10
1,053,1DvRe
s
m39,2
08,0
10124
d
Q4v
s
m53,1
1,0
10124
D
Q4v
g2
v
kkkk
d
L
f
g2
v
D
L
fH
g2
v
k
g2
v
k
g2
v
k
g2
v
k
g2
v
d
L
f
g2
v
D
L
fH
6,3
5
5
6
6,3
6,3
3,2
3
5
3
3,2
3,2
2
3
27,3
2
3
23,2
2
7,3
6s5s4s3s
7,3
3,2
2
3,23,2
3,27,0p
2
7,3
6s
2
7,3
5s
2
7,3
4s
2
7,3
3s
2
7,37,3
7,3
2
3,23,2
3,27,0p
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
=×π
××=π=
=×π
××=π=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++++=
+++++=
−
−
−
−
−
−
 
CV2CV9,1
82,075
73,91012000.1
75
QH
N
m73,973,18H
m73,1
20
39,215,05,01,0
08,0
150195,0
20
53,1
1,0
4019,0H
3
B
B
B
B
22
p 7,0
⇒=×
×××=η
γ=
=+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +++++××=
−
 
 
Exercício 7.14 
 
kW1,110
7,0
3,12108000.8QHN)b
m3,12
20
188,1
1,0
70064,010H
064,0
000.1
64
Re
64f000.1
10
1,01vDRe
s
m1
1,0
1084
D
Q4v
g2
vk
D
LfzHHHHH)a
3
3
B
B
B
2
B
4
2
3
2
2
s0BC,ApCBA
=××××=η
γ=
=×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+=
===→=×=ν=
=×π
××=π=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++=⇒+=+
−−
−
−
∑
 
 
Exercício 7.15 
 
E,0pE0 HHH += 
 
 
 
 
 
m5,75,12
10
1050p
m5,12
10610
000.175,01
Q
N
H
H
pp
m4,4
20
06,35,06,4
g2
vk
pp
m6,4
20
06,3
05,0
5002,014
g2
v
D
L
f
pp
m14
20
06,35,0
20
06,32
10
10127
g2
vk
g2
vh
pp
kPa127
000.1
1107,12p
m7,122
20
06,35,05,0
05,0
50202,0
10
1050
20
06,3p
s
m06,3
05,0
1064
D
Q4vv
g2
vkk
D
L
f
p
g2
v
h
p
4
3
F
34
BB
B
B
EF
22
D,C
CD
22
C,BBC
22
4
32
Bs
2
0B
4
0
2
4
32
0
2
3
2E
2
D,CsBs
E,BE
2
EE0
=+×−=γ
=××
××=γ
η=
+γ=γ
=−=−γ=γ
=××−=−γ=γ
=×−−+×=−−+γ=γ
=××=
=−⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ++××+×−+=γ
=×π
××
π==
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +++γ+
α=+γ
−
−
 
 Para obter a linha da energia , basta somar m45,0
g2
v2 = em cada γ
p . 
 
Exercício 7.16 
 
026,0f
1059,2
1,0
k
D
1055,2
10
1,055,2vDRe
s
m27,1
2
55,2
2
vv
s
m55,2
1,0
10204
D
Q4v
g2
v
D
L
4
ffh0h
g24
v
D
Lf
g2
v
D
Lfh
g24
v
D
Lfh
g2
v
D
Lfz
g2
v
D
Lfz
4
5
6
2
3
2
2
ss
22
s
2
s
2
2
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
×=
×=×=ν=
===′⇒=×π
××=π=
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ′−=⇒=−×′−⇒+×′=+
′′=Δ
=Δ
−
−
−
 
 
m6,62
20
55,2
1,0
000.1
4
027,0026,0h
027,0f1027,1DveR
2
s
5
=××⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
=′⇒×=ν
′=′
 
 
Exercício 7.17 
 
330
1052,1
05,0
k
D
s
m10
10
1010g
4
2
6
4
3
=
×
=
=×=γ
μ=ρ
μ=ν
−
−−
 
Para esse valor de 
k
D o escoamento torna-se hidraulicamente rugoso para 5104Re ×≅ e nesse 
caso f = 0,026. 
kPa500Pa105
20
8
05,0
30026,010
g2
v
D
Lfp
s
m8
05,0
10410
D
RevvDRe
5
2
4
2
56
=×=×××=γ=Δ
=××=ν=→ν=
−
 
 
Exercício 7.18 
 
s
m26,3
0625,0
10104
D
Q4v
g2
v
k
D
L
fH
m47,0
20
27,1
1,0
300195,0H
0195,0f
174.2
106,4
1,0
k
D
1027,1
10
1,027,1DvRe
s
m27,1
1,0
10104
D
Q4v
g2
v
D
L
fH
HHz
p
H
3
2
cRe
cRe
2
cRe
cRe
s
cRe
cRetot
cRecRep
2
Sucp
Suc
5
Suc
5
6
SucSuc
Suc
2
3
2
Suc
Suc
2
Suc
Suc
Suctot
SucSucp
cRepSucp9
9
B
=×π
××=π=
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ +=
=××=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
=×π
××=π=
=
+++γ=
−
−
−
−
∑
 
 
 
 
 
kW1,710
7,0
50101010QHN
m501713
10
102,0H
m1756,1647,0H
m56,16
20
26,311
0625,0
6302,0H
02,0f
1359
106,4
0625,0
k
D
102
10
0625,026,3DvRe
3
34
B
B
B
4
6
B
9,0p
2
cRep
cRe
5
cRe
5
6
cRecRe
cRe
=××××=η
γ=
=++×=
≅+=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×=
=→
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
−−
−
−
 
 
 
Exercício 7.19 
 
m45,0
20
3
04,0
202,0
g2
v
D
L
fh)c
m6021880LLLL
m80
302,0
1804,020L
s
m3
04,0
108,34
D
Q4v
m183856HHH
fv
gDH2
L
g2
v
D
L
fH)b
02,0
18
04,09
L
Dk
f
g2
vk
g2
v
D
L
f)a
22eq
s
eqeqtot4,1
2tot
2
3
2
41p
2
p
tot
2
tot
p
eq
s
2
s
2eq
3
3
3
4,1
4,1
4,1
2
2
2
2
=××==
=−−=−−=
=
×
××=
=
×π
××=
π
=
=−=−=
=→=
=×==
=
−
 
 
Exercício 7.20 
 
kPa84,912,9436,2ppp
s
m27,1
1,0
10104
D
Q4v
g2
vk
g2
v
D
Lf
p
g2
vz0
HHH
atmabseefe
2
3
2
2
s
2
e
2
3,0p30
−=−=−=
=×π
××=π=
++γ++=
+=
−
∑
 
 
m6,7z
20
27,116
20
27,1
1,0
6z02,0
10
840.91
20
27,1z0
02,0f
174.2
106,4
1,0
k
D
1027,1
10
1,027,1vDRe
22
4
2
5
5
6
=⇒×+×⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +×+−+=
=
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=×=
×=×=ν=
−
−
 
 
Exercício 7.21 
 
Pelo andamento da linha da energia o escoamento é de (B) para (A). 
A,B
A,B
pAMB
pAMB
HzHz
HHHH)a
+=+
+=+
 
Pela diferença da linha daenergia para a linha piezométrica: 
s
m22,020v2,0
g2
v2 =×=→= 
 
386
1059,2
1,0
k
D
102
10
1,02vDRe
4
5
6
=
×
=
×=×=ν=
−
−
 
)turbina(m8,82,515HzzH
m2,5
20
2
1,0
100026,0
g2
v
D
LfH
A,B
A,B
pBAM
22
p
−=+−=+−=
=××==
 
kW04,1
000.1
175,08,8107,1510QHN
s
L7,15
s
m107,15
4
1,02
4
DvQ)b
34
TTT
3
3
22
=×××××=ηγ=
=×=×π×=π=
−
−
 
 
 
m135
20
2
1,0
25026,0115
p
g2
v
D
Lf1z
p
g2
v
D
Lf
p
g2
v
z
HHH)c
2
C
2
B
C
2
C
2
C
B
pCB C,B
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ ×+−=γ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ +−=γ
+γ+=
+=
 
Exercício 7.22 
g2
v
D
1f
L
h
45tg)a
2
fo == 
f = 0,026 
kW26,110
59,0
8,33102,210QHN
m8,338,2913H
m8,2912128,05H
m1245LtgH
Hm121
10
103,111h
pp
phhp
pp
H
m8,0
20
47,4
025,0
8,0025,0
g2
v
D
LfH
m5HHHHHH
H
g2
v
zHHHHH)b
s
m102,2
4
025,047,4
4
DvQ
s
m47,4
025,0
1025,020
f
45gDtg2v
3
34
B
B
B
B
5,0p
o
5,4p
4,3p4
5
O2H
Hg43
4HgO2H3
43
4,3p
22
3,2p
105,0p1,0p10
5,0p
2
5
5B5,0p5B0
3
3
22
o
=××××=η
γ=
=++=
=+++=
==
==⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −××=⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −γ
γ=γ
−⇒=γ−γ+
γ
−=
=××==
=−=⇒+=
++=⇒+=+
×=×π=π=
=××==
−−
−
 
 
Exercício 7.23 
 
s
m109,7
4
01,01,0
4
DvQ
s
m1,0
1032
0032,001,010
32
tggD
v
tg
gD
v32tg
g2
v
vD
64
vD
64
Re
64farminla
tg
gD2
fvtgL
g2
v
D
Lf
tgLh
L
h
tg
3
6
22
6
22
2
2
22
f
f
−
−
×=×π×=π=
=
×
××=ν
α=
α=ν→α=ν
ν==→
α=→α=
α=→=α
 
 
Exercício 7.24 
 
gD
v32
g2D
v
vD
64
g2D
fv
L
h
tg 2
22
f ν=×
ν=×==α 
 
280.1
125,0
120
v
gh2
k
g2
vkh
m1
1002,0
125,010010322h
gD
vL322
g2
v
D
L
Dv
642
g2
v
D
Lf2h
m2hh
s
m125,0v
s
m25,0
1032
100
202,010
32
tggDv
22
s
s
2
ss
2
5
s
2
22
s
fs
5
2
2
=×=′=⇒
′=
=×
×××−=
′ν−=′′
ν−=′′−=
=+
=′⇒=×
××
=ν
α=
−
−
 
 
Exercício 7.25 
 
m8,1296,32,0H
m98,1
1,0
5001,0
g2
v
D
Lfh
m6,38,12
g2
vkh
energiadalinhadam2,0h
hhhH)b
s
L1,47
s
m0471,0
4
1,06
4
DvQ
s
m68,120vm8,1
g2
v)a
1,0
22
1
211,0
p
2
f
2
ss
s
fssp
322
2
=++=
=××==
=×==
→=
++=
==×π×=π=
=×=→=
 
 
kW5,1
000.1
19,06,30471,010QHN
m6,36,36,128,16,14hH
g2
vpH
hH
g2
v
H
p
)d
m6,148,128,1
p
x
H
g2
vp
)c
4
TTT
sp
2
0
T
sp
2
1
T
0
0
p
2
10
21,0
21,0
1,0
=××××=ηγ=
=+−−=+−−γ=
−+=−γ
=+=γ=
+=γ
 
 
Exercício 7.26 
 
Sentido de (5) para(0) 
 
m8,40
000.8
103244
20
4pH
g2
v
h
H
g2
v
h
p
HHH
m44
20
4
1,0
220025,0
g2
v
d
L
fH
025,0
4200
401,020f
g2
v
d
L
fh
s
m4
1,0
104,314
d
Q4v
m402,0200h
L
h
tg)a
32
5
3,5p
2
2
3,5p
2
25
3,5p35
22
tot
3,43,5p
23,4
2
tot
3,43,4f
2
3
2
3,4f
3,4
3,4f
=×−+=γ−+=
+=+γ⇒+=
=××==
=×
××=⇒=
=×π
××=π=
=×=⇒=β
−
 
b) A máquina é uma bomba, pois precisa elevar a pressão. 
( )
kW1010
7,0
28104,31000.8QHN
m28
20
48,820H
HzH
g2
v
HHHH
m8,88,08hhH
m8,0
20
116
g2
v
kh
m8
20
1
2,0
000.1032,0
g2
v
D
Lfh
032,0
000.2
64
Re
64f
arminla000.2
10
2,01DvRe
s
m1
20
104
D
dvv)c
3
3
B
B
B
2
B
0,2p0M
2
3
0,2p0M3
1,2f1,2f0,2p
22
1,2
1s1s
22
1,2
1,21,2f
1,2
4
1,2
1,2
22
1,2
=××××=η
γ=
=−+=
+=+⇒+=+
=+=+=
=×==
=××==
===
=×=ν=
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛×=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
−−
−
 
 
 
Exercício 7.27 
 
 
m04,0004,010tgLh
zH
g2
vpH
g2
vzp
HHH
4,1f
14,1p
2
1
4,1p
2
4
1
1
4,1p41
=×=α=
−+=γ→+=+γ
+=
 
m75
004,0
1,02,0
tg
hh
LtgLhhh
m2000
004,0
8Lm8tgLh
m8
0157,010
8,01057,1H
s
m0157,0
4
1,02
4
DvQ
s
m22,020v2,0
g2
v
Q
N
H
QH
N
hHHHHHH
Pa1046,1pm46,1234,02,0
p
m34,01,02,004,0H
m1,02,05,0
g2
vkh
m2,02,01
g2
vkh
3s2s
eqeqeqf3s2s
6,5f
4
3
B
322
2
BB
B
B
B
B
6,5f6,5pB6,5p6B4
4
1
1
4,1p
2
3s3s
2
2s2s
=+=α
+=→α==+
==→=α=
=×
××=
=×π×=π=
=×=→=
γ
η=→η
γ=
==→+=+
×−=→−=−+=γ
=++=
=×==
=×==
 
 
Exercício 7.28 
 
( ) ( )
75,0k8,0
20
47,4k
20
47,4049,08,0
g2
v
k
g2
v
049,0
g2
v
k
g2
vpp
8,0
pp
g2
v
k
p
g2
vp
g2
v
s
m47,4120v18,02,0
g2
v
2,0
pp
:caPiezométriLinha
8,0
pp
g2
v
)1(na)2(
)2(8,0
pp
oup108,0p:Manômetro
p101028,0pp8,0pp8,08,0p
)1(
pp
g2
v
:Pitot
v222,0vv5,4
10
45v
A
A
vvAvAv
s
2
s
22
1
s
2
1
2
1
s
2
22112
2
1
s
2
2
21
2
1
1
2
112
12
2
1
20
2
4
0
2
44
02m02m0
01
2
1
1222
1
2
212211
=⇒=+×⇒=+
+=γ−γ++γ−γ⇒+γ+=γ+
=×=⇒=+=⇒=γ−γ
+γ−γ=
+γ=γ+×=
+−×=⇒+γ−γ=⇒=×γ−×γ+
γ=γ+
=⇒===⇒=
 
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES (SIU) 
 
Grandezas Fundamentais 
 
 
[M] massa = kg 
 
[L] comprimento = m 
 
[T] tempo = s 
 
[C] carga elétrica = C 
 
[n] quantidade de matéria = mol 
 
[T] temperatura absoluta = K 
 
[I] intensidade luminosa = cd (candela) 
 
 
 
Grandezas Derivadas 
 
[v] velocidade = 
[ ]
[ ] 0 1 1
L
M L T
T
m
s
−= = 
 
[γ ou a] aceleração = [ ] 0 1 22 2L M L TT
m
s
−= =⎡ ⎤⎣ ⎦
 
 
[F] força = 
[ ] 1 1 2
2 2
L
M M
T
mkg
s
L T−× = × =⎡ ⎤⎣ ⎦
 = Newton (N) 
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
[I] impulso = F t
2s
mkg×Δ = × 1 × s 1 1 1M L T−= 
 
Informações fornecidas por: 
Rocco Scavone – Físico Nuclear USP-SP 
rocco@unip.br 
 
 
 
Sistema de Unidades 
 
Grandeza Símbolo Unidade 
 CGS MKS MK*S 
 
Comprimento L cm m m 
 
Massa M g kg utm 
 
Força F dina N kgf 
 
Tempo T s s s 
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
Resolvidos 1.1 – A massa específica de um fluido é 3117 utm m . Determinar o peso específico e o peso 
específico relativo ( )29,8g m s= . 
 
2
3 2
3117 utm
9,8
?
?
utm kgf117 9,8 117
r
m
g
g
m s
m
m s
ρ
γ
γ
γ ρ γ γ
=
=
=
=
×= × ⇒ = × ⇒ =
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
2s 9,8 m×3m m× 2s
2
3
kg
kgf1.146,6
1 f.146,6
r r
H O
m
γ
γγ γγ
⇒ =
= ⇒ =
3m
1000 kgf 3m
1,1466rγ⇒ =
 
 
 
Resolvidos 1.2 – A viscosidade de um óleo é 20,028m s , seu peso específico relativo é 0,9. Determinar a 
viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas MK*S e CGS. 
 
 
2
2
2
kgf utm
2
2
2
3 3
3
3
2
3
2
υ = 0,028m
0,9
?
9,8
υ υ
kgf kgf0,9 1000 900
900 utm91,8367
9,8
utm
υ 0,028 91,8367 2,5714
kgf
r
r H O
s
m
H O
m s
m
s
g m s
m m
mg
g m
m
s m
γ
μ
μ μ ρρ
γγ γ γ γ γ γγ
γγ ρ ρ ρ ρ
μ ρ μ μ
× =
=
=
=
= ⇒ = ×
= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =
= × ⇒ = ⇒ = ⇒ =
= × ⇒ = × ⇒ =
����
s
2skgf××
1
m 3m×
[ ]2 2kgf2,5714 M K*
2,571
kgf
4
s S
m
μ
μ
×⇒ =
=
2m
s× 2m1× 2 2 9,81100
N
cm
×
510 di
N
na
1
× [ ]2dina252,2543 CGSscmμ
×⇒ =
1kgf
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
1.1- A viscosidade dinâmica de um óleo é 3 2
kgf10 s
m
− × e o peso específico relativoé 0,82. Determinar a 
viscosidade cinemática nos sistemas MK*S e CGS. 
Dados: 
2
2 310 ; 1000kgfH Og m s mγ= = . 
 
 
2
2
3 2
3
2
3 3 3
utm k
23
3 2 2 3
1 Sistema de unidades: MK*S
10 kgf
0,82
1000 kgf
10
υ = ?
2 Análise Física
kgf kgf0,82 0,82 1000 820
1000kgf
kgf 820 kgf= 82 kg0 10 82
1
f
0
óleo
r
H O
r
H O
s m
m
g m s
m m
s
m
m mg
m s m s m m
γ
γ
γ γγ γ γγ
γ ρ ρ ρ ρ
−
=
μ = ×
=
=
=
= ⇒ = ⇒ = × ⇒ =
× ⇒ = × ⇒ = ⇒ = ×
2
f
3
g
3
3 2
3
utm82
10μ μ 10 kgf
υ= υ= υ υ
82 u
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
fkg
tm
s
m
m
s m
m
ρ
ρ ρ ρ
−−
×
⇒ =
×⇒ ⇒ = ⇒ ==
����
s 2m×
gfk82ρ = 2s× 1 4m
2
5
2
5
2
υ 1, 22 10
3 Acerto de Unidades: [CGS]
υ 1,22 10
m
m
−
−
⇒ = ×
= ×
s
2
2
2100
1
cm
s m
×
2
υ 0,122 υ 0,122stokecm
s
⇒ = ⇒ = 
 
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
1.2 – O peso de 3 de uma substancia é 2,7kgf. A viscosidade cinemática é 3dm 5 210 m s− . Se 
210g m s= qual será a viscosidade dinâmica nos sistemas CGS, MK*S, S.I. e em 2minN km× ? 
 
 
3 3
1 Sistema de Unidades: [MK*S]
V 3 V 3dm dm= ⇒ =
3
3 3dm
1
10
m×
2
3
5 2
2
3 3
utm kgf
3
3 2 2 3 3
2 2
5 5
3
2
V 0,003
2,7 kgf
υ 10
10
?
2 Análise Física
2,7 kgf kgf900
V 0,003
kgf 900kgf utm900 10 90 90
10
utm
υ 10 1
kgf
0 90
90utm
s
m
s
m
m
G
m s
g m s
G
m m
m mg
m s m s m m
m m
s m s m
μ
γ γ γ
γ ρ ρ ρ ρ ρ
μ μ μρ
−
= ×
− −
⇒ =
=
=
=
=
= ⇒ = ⇒ =
= × ⇒ = × ⇒ = ⇒ = × ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ×
����
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
3
510μ −⇒ =
2m
s 3m
kgf90× 1
2s×
1
4
2
4
kgf9 10 [M K* ]
3 Acerto de Unidades
9 10
m
s S
m
μ
μ
−
−
⇒
×⇒ = ×
= × kgf 2 10 N1
s
m
× ×
fkg
P
( )
2
NP
3 3
a
2
3
9 10 9 10 Pa [M K ] . .
9 1
N
0
m
s s S S I
m
μ μ
μ
− −
−
=
×⇒ = × ⇒ = × ×
= × N
2
s
m
× 510 dina
1
×
21m×
N
2
2 2 2
3
dina9 10 [ ]
100
N9 10
s CGS
s
cm cm
μ
μ
−
−
×⇒ = ×
×= ×
 
21000×
2m1min
60 s
× 2 2N min1501km kmμ
×⇒ =
2m
 
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
1.3 – Um pistão cai dentro de um cilindro com velocidade constante no valor de 
10 m sπ . Entre o pistão e o 
cilindro existe uma película de óleo com viscosidade cinemática 3 2υ 10 m s−= e 3900kgfóleo mγ = . 
Sendo o diâmetro do cilindro 10,2 cm. Determinar o peso do pistão para 210g m s= . 
F O diâmetro do pistão10 cm, seu comprimento 5 cm. 
 
 
3 2
2
1 Sistema de Unidades: [MKS] (S.I.)
10
υ 10
10
900
kgf
óleo
v m s
m s
g m s
π
γ
−
=
=
=
= 3 10 N1m × gfk 3
N9000
10
óleo m
Di
γ⇒ =
= 1
100
m×mc
mc
0,1
5
Di m
L
⇒ =
= 1
100
m×cm
mc
0,05
10,2
L m
De
⇒ =
=
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
mc 1
100
m×
mc
0,102De m⇒ = 
 
3 2
3
2 Análise Física
F 0 P Ft 0 P Ft
Ft A
A
0,0020,102 2 0,1 0,001
2
A A 0,1 0,05 A 5 10
υ υ υ 10
contato
contato
contato contato contato
Di L
De Di
v
De Di m m m m
Di L m m m
m
g
π
μ
π π π
μ γμ ρ μ μρ
−
−
= ⇒ − = ∴ =
= τ×
= × ×
= + +
τ = ×
= + + ⇒ = + ⇒ = ⇒ =
= × × ⇒ = × × ⇒ = × ×
= ⇒ = × ⇒ = × ⇒ =
∑
ε ε
ε
ε ε ε ε ε
3
2
2m2 39000 N 10
10
m
s m s
μ −× ⇒ =
s 3m
N9000× 1
21 s×
1
2
10
N0,9 0,9Pa
10
0,9Pa 0,9Pa
0,001
m
s s
m
m sv s
m
μ μ
πμ μ
⇒
×⇒ = ⇒ = ×
τ = × ⇒ τ = = × × ⇒ τ = ×
ε
s 10 mπ× 1
0,001m
×
s
Pa9000
PaFt A Ft 9000contato π
π⇒ τ =
= τ× ⇒ = 35 10 π−× ×
2m
2 NFt 45m× ⇒ = 2m× Ft 45 N
P Ft P 45 N
⇒ =
= ⇒ =
N
1kgf
10
× P 4,5kgf⇒ =
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
1.4 – A placa retangular da figura escorrega sobre um plano inclinado com velocidade constante. A placa 
tem 4m por 5m e se apóia sobre uma película de óleo de 3 2
kgf10 s
m
μ − ×= e 3900 kgf mγ = . Se o peso 
da placa é 10kgf, quanto tempo levará para que sua aresta dianteira alcance o fim do plano inclinado? 
 
 
 
3 2
3
2
3
1 Sistema de Unidades
10 kgf
900 kgf
10 kgf
A 4 5 A 20
1 10
placa
placa placa
s m
m
G
m
mm m
μ
γ
−
−
= ×
=
=
= × ⇒ =
= ⇒ =ε ε
 
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
 
 
( )na direção
do movimento
contato
contato
contato
2
contato
2 Análise Física
F 0 velocidade constante, aceleração = 0
sen 30
Ft A Ft 0 Ft Gt
Gt G sen 30 Gt 10 0,5 Gt 5kgf
Ft A
A 4 5 Ft
A 20
Gt G
Gt
v
m
μ
μ
=
= °
= τ× ∴ − = ⇒ =
= ° ⇒ = × ⇒ =
= τ×
⎫τ = × ⎪⎪= × ⇒ =⎬⎪⇒ = ⎪⎭
∑
ε
contato
3A 5kgf 10v −× × ⇒ =
ε
kgf5
v⇒ =
gf20 k
m×
310
v
−×
kgf s× 2m
2m
20
m
× 0, 25
lei dos senos:
10 10 10 20
sen 30 sen 90 0,5 1 0,5
20
mv
s
SS v t t
v
S S S S m
S
m
S v t t
v
t
⇒ =×
= × ⇒ =
= ⇒ = ⇒ = ⇒ =° °
= × ⇒ =
=
s
 
0, 25 m
80 ou 1min. 20t t s
s
⇒ = =
Elementos e Mecânica dos Fluídos 
1.5 – O peso G da figura, ao descer, gira o eixo que está apoiado em dois mancais cilíndricos de dimensões 
conhecidas, com velocidade angular conhecida ω . Determinar o valor do peso G desprezando a rigidez e o 
atrito na corda e supondo que o diagrama de velocidade no lubrificante seja linear. Dados: 
 
3 2 208 10 kgf ; 0,02 ; 0,100 ; 0,102 ; 0,1 ;i es m D m D m D m l m rd sμ ω π
−= × × = = = = = 
 
 
[ ]
( ) ( )0
1 sistema de unidades: MK*S
2 Análise Física
M 0 dir.mov.
G Ft
2 2
0,01G 0,05Ft 0
G 5Ft
D Di
=
⎛ ⎞ ⎛ ⎞− × + × ⇒⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− + = ⇒
=
∑
0,102 2 0,100 0, 001De Di m= + + ⇒ = × + ⇒ =ε ε ε ε 
 
0
30
20 0,100
1
1
2 2
8 0
v
Di rd m mv v v
s s
v
μ
ω ππ
μ −
τ = ×
⎛ ⎞= × ⇒ = × ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
τ = × ⇒ τ = ×
ε
ε
kgf
Paulo Vinicius Rodrigues de Lima 
paulo.vini2004@gmail.com 
s×
2
1
m
mπ
× s
31 10−× m
N
2
contato
contato
contato contato2
duas áreas de contato
ou seja dois mancais
2
contato contato contato
contato
kgf8
Ft Ft A
A
kgfFt 2 A Ft 8 A
A L A 0,100 0,100 A 0,01
Ft 2 A Ft 8
m
m
Di m m m
π
π
π π π
⇒ τ =
τ = ⇒ = τ×
= τ× ⇒ = ×
= × × ⇒ = × × ⇒ =
= τ× ⇒ = π
2
kgf
m
2 0,01× × π 2m Ft 0,16 kgf⇒ = ∴ 
 
G 5Ft G 5 0,16kgf G 8kgf= ⇒ = × ⇒ = 
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’
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c
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k
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