AP1 - Gabarito - Algebra Linear

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro 
AP1 – Álgebra Linear EPR – 1/2021 
Código da disciplina EAD01074 
 
 
Questão 1 (2.0) 
Sabendo que todas as vias da região são de mão 
única e considere quatro cruzamentos A, B, C e D, 
da como na imagem, onde as setas indicam o sentido 
do tráfego, 
Do cruzamento A saem 40 carros por hora, do 
cruzamento B saem 55 carros por hora, do 
cruzamento C para D passam 30 carros por hora, e 
de D para B passam 20 carros por hora. 
Descubra a quantidade de carros que circulam no 
restante das ruas, considerando que nenhum carro 
fica parado. 
 
Solução: 
O Ponto aqui é atribuir as incógnitas como sendo o número de carros que passa pelas ruas 
separadas pelos cruzamentos. Assim, a figura pode ser modelada da seguinte forma: 
De outra forma, temos que ter a ideia que o número de carros que entra no sistema é o mesmo 
número que saem dele, assim como o número de carros que entram em cada cruzamento, é o 
mesmo que sai de cada cruzamento. Podemos então montar o sistema, baseado na tabela. 
 
 
 
 
 
 
 
{
 
 
 
 𝑍 − 𝑇 = 15
𝑋 + 𝑌 = 40
𝑋 +𝑊 = 35
𝑍 + 𝑌 −𝑊 = 30
𝑇 = 10
 
Daí sabemos que 𝑇 = 10 e 𝑍 = 25. Resolvendo o sistema temos: 
{
𝑋 + 𝑌 = 40
𝑋 +𝑊 = 35
𝑌 −𝑊 = 5
→ [
1
1
0
1
0
1
0
1
−1
=
=
=
40
35
5
] 𝐿2 = 𝐿2 − 𝐿1 → [
1
0
0
1
−1
1
0
1
−1
=
=
=
40
−5
5
]. 
Portanto, 𝑋 = 40 − 𝑌 e 𝑊 = 𝑌 − 5. Temos algo interessante neste momento, pois este é um 
problema real e não é possível ter um número de carros negativos! Neste sentido 5 ≤ 𝑌 ≤ 40. Outro 
fato que o aluno deve estar atento é que o sistema é estável, isto é a quantidade de carros que 
entra e sai das dele não varia e é de 65 carros/h. 
Questão 2 (3.5) 
Seja 𝑉 = {(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ3 ; 𝑥 = 2𝑧}. 
a) (1.0) Encontre uma base 𝛽 para 𝑉. 
b) (0.5) 𝑉 representa que objeto geométrico? Faça um esboço. 
c) (0.5) Determine o complemento ortogonal de 𝑉 (𝑉⊥) 
d) (1.5) Determine uma transformação linear que representa a projeção de ℝ3 sobre V. 
Solução: 
a) Buscamos os vetores 𝑣 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) tal que 𝑥 = 2𝑧. 
Logo 𝑣 = (2𝑧, 𝑦, 𝑧) = 𝑦(0,1,0) + 𝑧(2,0,1). Donde vemos que 𝛽 = {(0,1,0), (2,0,1)} forma uma base de 𝑉. 
b) 𝑉 é um plano. 
c) O complemento ortogonal de 𝑉 é o espaço gerado pelo vetor diretor do plano. 
𝑉⊥ = {𝑡(1,0,−2); 𝑡 ∈ ℝ3} 
d) Uma forma interessante de pensar sobre o assunto é que tal transformação é: 
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ⟼ (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑃𝑟𝑜𝑗𝑉⊥(𝑥, 𝑦, 𝑧) 
Note que 𝛼 = {(2,1,0); (0,0,1); (1,0,−2)} forma uma base de ℝ3. Ou seja, estamos retirando a componente 
de 𝑉⊥ do espaço. Note ainda que sabemos que a 𝑃𝑟𝑜𝑗 é linear e a identidade é linear. Donde a 
transformação que definimos acima é linear e projeta um vetor do espaço em 𝑉. 
 Entrada Saída 
Sistema 40 + 𝑍 55 + 𝑇 
A 40 𝑋 + 𝑌 
B 𝑋 +𝑊 + 20 55 
C 𝑍 + 𝑌 𝑊 + 30 
D 30 𝑇 + 20 
𝑃𝑟𝑜𝑗𝑉⊥ (𝑥, 𝑦, 𝑣) = 𝑃𝑟𝑜𝑗(1,0,−2)(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
〈(𝑥, 𝑦, 𝑧); (1,0, −2)〉
||(1,0, −2)||
2 (1,0, −2) 
Então, a transformação é dada por 
𝑇(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (𝑥, 𝑦, 𝑧) − 𝑃𝑜𝑟𝑗𝑉⊥(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (
[4𝑥 + 2𝑧]
5
, 𝑦,
[𝑧 + 2𝑥]
5
) 
Questão 3 (1.5) 
Considere a Matriz de Vandermonde de ordem 3: 𝑉 = [
1 𝑎 𝑎2
1 𝑏 𝑏2
1 𝑐 𝑐2
]. 
a) (1.0) Mostre usando as propriedades de determinante que det 𝑉 = (𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏). 
b) (0.5) Que condições os valores de 𝑎, 𝑏 e 𝑐 devem satisfazer para que 𝑉 seja invertível? 
Solução: 
a) Temos que o determinante de uma matriz não é alterado quando somamos duas linhas, temos que: 
det [
1 𝑎 𝑎2
1 𝑏 𝑏2
1 𝑐 𝑐2
]
𝐿2 = 𝐿2 − 𝐿1
𝐿3 = 𝐿3 − 𝐿1
→ det [
1 𝑎 𝑎2
0 𝑏 − 𝑎 𝑏2 − 𝑎2
0 𝑐 − 𝑎 𝑐2 − 𝑎2
] = det [
𝑏 − 𝑎 (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎)
𝑐 − 𝑎 (𝑐 − 𝑎)(𝑐 + 𝑎)
] 
O último passo é simplesmente uma consequência do método dos cofatores. Usando outra propriedade de 
determinante, temos que se uma constante é comum a uma linha ou a uma coluna, podemos colocar essa constante 
em “evidência” para cada linha, assim 
det [
𝑏 − 𝑎 (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎)
𝑐 − 𝑎 (𝑏 − 𝑎)(𝑏 + 𝑎)
] = (𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎) det [
1 (𝑏 + 𝑎)
1 (𝑐 + 𝑎)
] = (𝑏 − 𝑎)(𝑐 − 𝑎)(𝑐 − 𝑏) 
Concluindo o exercício. 
 
b) Uma matriz é invertível se e somente se det 𝑉 ≠ 0 desta forma devemos ter 𝑎, 𝑏 e 𝑐 distintos, pelo 
item(a). 
Questão 4 (Volte a AD 1 para relembrar) (3.0) 
OBS: Para ficar mais realista o leitor pode pensar que o produto é oxigénio e u.m. é uma unidade específica de 
metros cúbicos. 
Em uma indústria, produção de um determinado produto é regulada de acordo com o estoque existente no final do 
dia. Ou seja, se existirem pedidos insatisfeitos (pedidos não entregues no dia por falta de material) ou se o estoque é 
zero, a produção do próximo dia abrange as ordens insatisfeitas mais duas a mais unidades métricas (u.m.). Se existe 
um estoque não zero, não há produção para o dia seguinte. 
Sabemos ainda que a demanda dos consumidores pelo produto é de 1 u.m. por dia com probabilidade de 60%, ou 2 
u.m. por dia com probabilidade de 40%. Queremos saber, por exemplo, qual é a probabilidade de ter ordens 
insatisfeitas no longo prazo. 
A empresa obedece às seguintes diretrizes: 
Se está insatisfatório a empresa vai produzir a demanda que faltou no dia anterior + 2 u.m. 
Se está com zero, no estoque a empresa vai produzir 2 u.m 
Se está com um , no estoque a empresa vai produzir 0 u.m 
Torna-se, portanto, evidente que, de acordo com o ritmo de produção acima mencionado, há três situações 
possíveis no final de cada dia: ordens insatisfeitas de 1 u.m., estoque zero e estoque de 1 u.m.. 
a) (1.0) Descerca a situação acima como uma Cadeia de Markov. 
b) (0.5) Apresente a matriz de transição para tal cadeia 
c) (1.5) Pensando a longo prazo, o vetor estacionário vai representar a demanda do produto após vários meses. 
Neste sentido, qual é a probabilidade de ter ordens insatisfeitas no longo prazo? 
Pode usar: https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/linear-algebra/ 
 
Solução: 
a) Podemos enxergar isto de duas formas, um grafo ou fazendo uso de uma tabela: 
 Prob. de 
Prob. estar 
de chegar 
(I) 
Estoque 
Insatisfeita 
 (Z) 
Estoque Zero 
(1) 
Estoque 1 
(I) 
Estoque 
Insatisfeita 
0.0 0.0 0.4 
 (Z) 
Estoque Zero 
0.4 0.4 0.6 
(1) 
Estoque 1 
0.6 0.6 0.0 
 
b) Caso o aluno tenha optado pela tabela, está tarefa se tornou simples, pois 
𝑃 = [
0 0 0.4
0.4 0.4 0.6
0.6 0.6 0
] 
c) Para tal, queremos resolver o sistema linear: 
[𝐼 − 𝑃] ⋅ [𝑞] = [𝑞] 
Usando : https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/linear-algebra/, 
Temos que 𝑞 = [
2
5
19
15
1
] ⋅ 𝑠. O ponto é que 𝑞 é um vetor de probabilidade, logo 𝑠 =
1
2
5
+
19
15
+1
=
3
8
 e 𝑞 = [
15%
47,5%
37,5%
] 
Assim temos que a longo prazo, a probabilidade de terminar um dia com a ordem de insatisfatório, é de apenas 
15%. 
 
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/linear-algebra/
https://www.wolframalpha.com/examples/mathematics/linear-algebra/