Lista de execícios 7 - Mecânica Analíctica 1 - (Nivaldo A. Lemos)

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Lista 7 - Mecânica Clássica 1
Raphael Gomes Sousa
18 de abril de 2022
1 Consideremos um sistema de N part́ıculas, com massas m1,...,
mN . A energia cinética é
T =
N∑
i=1
mi
2
v2i
sendo vi = ṙi, i = 1, ..., N , suponhamos que os vetores posição
r, são funções de n coordenadas generalizadas e do tempo
ri = ri(qi, ..., qn, t)
Mostre que
T = M0 +
n∑
k=1
Mkq̇k +
1
2
n∑
k=1
n∑
l=1
Mklq̇kq̇l
em que
M0 =
1
2
n∑
i=1
mi
∂ri
∂t
, Mk =
n∑
i=1
mi
∂ri
∂t
∂ri
∂qk
, Mkl =
1
2
n∑
i=1
mi
∂ri
∂qk
∂ri
∂ql
Temos que
T =
N∑
i=1
mi
2
v2i , v⃗i =
∂ri
∂t
=
n∑
k=1
∂r⃗i
∂qk
q̇k +
∂r⃗i
∂t
Sendo v⃗iv⃗i = v
2
i , e sendo k = l podemos escrever,
T =
1
2
n∑
i=1
mi(
n∑
k=1
∂r⃗i
∂qk
q̇k +
∂r⃗i
∂t
)(
n∑
k=1
∂r⃗i
∂qk
q̇k +
∂r⃗i
∂t
)
Sendo assim,
T =
1
2
n∑
i=1
mi(
n∑
k=1
n∑
l=1
∂ri
∂qk
∂ri
∂ql
q̇kq̇k +
n∑
k=1
∂ri
∂t
∂ri
∂qk
q̇k +
n∑
k=1
∂ri
∂t
∂ri
∂qk
q̇k +
∂r⃗i
∂t
.
∂r⃗i
∂t
)
Fazendo as substituições dadas pelo enunciado para M0,MkeMkl, finalmente chegamos em,
T = M0 +
n∑
k=1
Mkq̇k +
1
2
n∑
k=1
n∑
l=1
Mklq̇kq̇l
1
2 Suponhamos que é a lagrangiana de um sistema é da forma
L = T − V , onde T é a energia cinética e o potencial V
depende apenas das coordenadas generalizadas e do tempo.
Suponhamos também que não existem v́ınculos, de modo
que as equações de Lagrange
d
dt
∂L
∂q̇i
− ∂L
∂qi
= 0
mostre que vale a equação
dh
dt
= −∂L
∂t
onde h é a integral de jacob
h =
n∑
k=1
∂T
∂q̇k
q̇k − L
A integral de Jacob
h =
n∑
k=1
∂T
∂q̇k
q̇k − L
é constante de movimento. Sendo assim,
dh
dt
=
n∑
k=1
[q̈k
∂L
∂q̇k
+ q̇k
d
dt
(
∂L
∂q̇k
)]− [
n∑
k=1
(
∂L
∂qk
q̇k +
∂L
∂q̇k
q̈k) +
∂L
∂t
]
E temos que pelas equações de Lagrange nos dá
d
dt
(
∂L
∂q̇k
) =
∂L
∂qk
Portanto temos,
dh
dt
=
n∑
k=1
[q̈k
∂L
∂q̇k
+ q̇k
∂L
∂qk
]− [
n∑
k=1
(
∂L
∂qk
q̇k +
∂L
∂q̇k
q̈k) +
∂L
∂t
]
Que nos dá
dh
dt
= −∂L
∂t
3 Considere um sistema de N part́ıculas em interação com
lagrangiana L = T − V ,onde
T =
N∑
i=1
mi
2
ṙi
2
e a energia potencial V depende apenas das distâncias
rij = ||ri − rj||, i, j = 1, ..., N, i ̸= j
2
entre as part́ıculas do tempo. (a) Mostre que a ação
S =
∫ t2
t1
Ldt
é invariante sob uma translação ŕıgida arbitrária δri = εn̂.
(b) Então use o teorema de Noether para mostrar que o
momento linear total do sistema é conservado. (c) Nas mes-
mas condições, mostre que a ação (1) é invariante sob uma
rotação ŕıgida arbitrária δri = δθ× ri, δθ = δθn̂. (d) Então use
o teorema de Noether para mostrar que o momento angular
total do sistema é conservado.
(a) temos que as trasformações são dadas por t = t′, r′i = ri + δri = ri+ εn̂, ṙi
′ = ṙi, δṙi = 0, dt
′ = dt
Sendo assim, a variação da ação é dada por
∆S =
∫ t2
t1
L(r′, ṙ′, t′)dt−
∫ t2
t1
L(r, ṙ, t)dt
onde
∆S =
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
+
∂L
∂ri
ε,
∂L
∂ṙi
+
∂L
∂ṙi
δṙi, t)dt−
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
,
∂L
∂ṙi
, t)dt
Como ∂L∂ri ε e
∂L
∂ṙi
δṙi não dependem do tempo, podem tirar de dentro da Lagrangiana pela soma de
integrais, ficando com
∆S =
∫ t2
t1
∂L
∂ri
ε+
∂L
∂ṙi
δṙi +
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
,
∂L
∂ṙi
, t)dt−
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
,
∂L
∂ṙi
, t)dt
∆S =
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
ε+
∂L
∂ṙi
δṙi)dt
Onde ε pode ser escrito por δrij que sabemos que é zero. Portanto,
∆S =
∫ t2
t1
[(
N∑
i<j
∂L
∂rij
δrij) + (
N∑
i=0
∂L
∂ṙi
δṙi)]dt = 0
Já que δrij = 0 e δṙi = 0, então
∆S = 0
(b) Pelo teorema de Noether, como ∆S = 0,
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
(ṙiX −Ψi)− LX = C
Onde C é constante e X = 0 e Ψi = 1, portanto
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
(−1) = C
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
= C
Como V não depende de velocidades, temos que,
∂L
∂ṙi
=
∂T
∂ṙi
3
Portanto,
C =
∂T
∂ṙi
=
N∑
i=1
∂T
∂ṙi
=
N∑
i=1
∂( 12miṙi)
∂ṙi
=
N∑
i=1
miṙin̂ =
N∑
i=1
pin̂ = Pn̂
Como n̂ é arbitrário, todo componente de P é conservado, sendo assim, P é o momento linear total do
sistema e é conservado. Tendo finalmente,
N∑
i=1
pi = P
(c) temos que as trasformações são dadas por t = t′, r′i = ri + δθ(n̂ × ri), ε = δθ,Ψi = (n̂ × ri), ṙi′ =
ṙi + δθ(n̂× ṙi),Ψi = (n̂× ṙi) temos então,
∆S =
∫ t2
t1
L(r + εΨ, ṙ + εΨ̇, t)dt−
∫ t2
t1
L(r, ṙ, t)dt
Onde,
∆S =
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
εΨ+
∂L
∂ṙi
εΨ̇)dt+
∫ t2
t1
L(r, ṙ, t)dt−
∫ t2
t1
L(r, ṙ, t)dt
Ficamos com,
∆S =
∫ t2
t1
(
∂L
∂ri
εΨ+
∂L
∂ṙi
εΨ̇)dt
Mas como nem T nem V dependem da coordenada r, podemos dizer que ∂L∂r = 0, portanto ∆S = 0.
(d) Pelo teorema de Noether, temos que X = 0 e Ψ = (n̂× ri), portanto C, é dada por,
C =
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
(ṙiX −Ψi)− LX =
N∑
i=1
∂L
∂ṙi
[−(n̂× ri)]
Onde,
N∑
i=1
∂T
∂ṙi
(n̂× ri) =
N∑
i=1
pi(n̂× ri) = n̂
N∑
i=1
(pi × ri) = n̂ · L
Onde L=C e o momento angular total em qualquer direção é constante, portanto conservada.
4 Considere um sistema de N part´ıculas em intera¸c˜ao com
lagrangiana L = T − V , onde
T =
N∑
i=1
mi
2
ṙi
2
e a energia potencial V do sistema depende apenas das
distâncias
rij = ||ri − rj||, i, j = 1, ..., N, i ̸= j
entre as part́ıculas. Mostre que sob uma transformação de
Galileu,
r′i = ri − vt, t′ = t
4
onde v é uma constante, a lagrangiana transformada só di-
fere da lagrangiana original pela derivada total de uma certa
função F (r1, ..., rN , t).
A Lagrangiana é dada por
L =
1
2
N∑
i=1
mi
2
ṙi
2 − V
Utilizando as transformações r′i = ri − vt e ṙ′i = ṙi − v, como v é constante, temos:
L =
1
2
N∑
i=1
mi(ṙi − v)2 − V
Mas V não depende das distâncias, portanto é constante, temos assim,
L =
1
2
N∑
i=1
miṙi
2 +
1
2
N∑
i=1
mi(v
2 − 2vṙi)− V
Logo,
L− L = 1
2
N∑
i=1
mi(v
2 − 2vṙi) =
d
dt
(
1
2
N∑
i=1
mi(v
2t− 2vri))
Portanto,
F (r1, ..., rN , t) =
1
2
N∑
i=1
mi(v
2t− 2vri)
5
	Consideremos um sistema de N partículas, com massas m1,..., mN . A energia cinética é toT=i=1N mi2vi2 sendo vi=, i=1,...,N, suponhamos que os vetores posição r, são funções de n coordenadas generalizadas e do tempo tori=ri(qi,...,qn,t) Mostre que toT=M0+k=1n Mk + 12 k=1n l=1n Mkl em que toM0=12 i=1n mi rit, Mk= i=1n mi rit riqk, Mkl= 12i=1n mi riqk riql
	Suponhamos que é a lagrangiana de um sistema é da forma L = T - V , onde T é a energia cinética e o potencial V depende apenas das coordenadas generalizadas e do tempo. Suponhamos também que não existem vínculos, de modo que as equações de Lagrange toddt L-Lqi=0 mostre que vale a equação todhdt=-Lt onde h é a integral de jacob toh=k=1nT-L
	Considere um sistema de N partículas em interação com lagrangiana L = T - V ,onde toT=i=1N mi22 e a energia potencial V depende apenas das distâncias torij=||ri-rj|| , i,j=1,...,N, i=j entre as partículas do tempo. (a) Mostre que a ação toS=t1t2Ldt é invariante sob uma translação rígida arbitrária ri = . (b) Então use o teorema de Noether para mostrar que o momento linear total do sistema é conservado. (c) Nas mesmas condições, mostre que a ação (1) é invariante sob uma rotação rígida arbitrária ri = ri , = . (d) Então use o teorema de Noether para mostrar que o momento angular total do sistema é conservado.
	Considere um sistema de N part´ıculas em intera¸c˜ao com lagrangiana L = T - V , onde toT=i=1N mi22 e a energia potencial V do sistema depende apenas das distâncias torij=||ri-rj|| , i,j=1,...,N, i=j entre as partículas. Mostre que sob uma transformação de Galileu, tori'=ri-vt, t'=t onde v é uma constante, a lagrangiana transformada só difere da lagrangiana original pela derivada total de uma certa função F(r1,...,rN,t).