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Lista de Exercícios - Parte IV
Mecânica Analítica - FSC5219
Prof. Kahio T. Mazon
1. Para que valores de α e β a transformação
Q = qα cos βp, P = qα sin βp
é canônica?
2. Um certo sistema mecânico com um grau de liberdade tem hamiltoniana
H =
1
2
[
(p− aq)2 + ω2(q + bt)2
]
,
com ω, a e b constantes. (i) Prove que a transformação Q = q + bt, P = p − aq + b é
canônica e determine uma função geradora. (ii) Mostre que a hamiltoniana transformada
é K = (P 2 +ω2Q2)/2. (iii) Usando a solução bem conhecida das equações de movimento
nas novas variáveis, retorne às variáveis originais para obter q(t). (iv) Prove que
R(q, p, t) =
1
2
(p− aq + b)2 +
ω2
2
(q + bt)2
é constante de movimento.
3. A hamiltoniana de um sistema com um grau de liberdade tem a forma
H =
1
2
(
q4p2 +
1
q2
)
.
(i) Escreva as equações de Hamilton e delas deduza uma equação diferencial de segunda
ordem envolvendo apenas q. (ii) Invente uma trasformação canônica que reduza H à
hamiltoniana de um oscilador harmônico: K = (P 2 +Q2)/2. (iii) Sabendo que a solução
geral do problema do oscilador é Q(t) = A cos(ωt+ δ), determine P (t). (iv) Retornando
às variáveis originais, encontre q(t). Esta função é, portanto, a solução da equação dife-
rencial complicada obtida no item (i).
4. Considere a hamiltoniana
H =
p21
2m
+
(p2 − kq1)2
2m
.
(i) Determine as constante A e B de modo que a transformação
Q1 = Ap1, P1 = p2 − kq1, Q2 = B(p1 − kq2), P2 = p2
seja canônica. (ii) Mediante a transformação canônica do item anterior e resolvendo as
equações de movimento para as variáveis transformadas, encontre a solução das equações
de movimento para q1(t) e q2(t).
5. A hamiltoniana de um certo sistema unidimensional é H = ω2p(q + t)2, onde ω é uma
constante positiva. (i) Prove que a transformação Q = q+ t, P = p é canônica e encontre
uma função geradora. (ii) Usando a transformação canônica do item anterior, resolva as
equações de Hamilton para q(t) e p(t).
1
6. Mostre que a transformação
Q = ln(1 +
√
q cos p), P = 2(1 +
√
q cos p)
√
q sin p
é canônica e que uma função geradora é F3(p,Q) = −(eQ − 1)2 tan p.
7. Um oscilador harmônico bidimensional isotrópico tem hamiltoniana
H =
1
2m
(p2x + p2y) +
mω2
2
(x2 + y2).
Sabendo que A = p2x + m2ω2x2 e L = xpy − ypx são constantes de movimento, use o
teorema de Poisson para provar que B = pxpy +m2ω2xy e C = p2x − p2y +m2ω2(x2 − y2)
também são constantes de movimento.
8. Um sistema com dois graus de liberdade é descrito pela hamiltoniana
H = p21 + p22 +
1
2
(q1 − q2)2 +
1
8
(q1 + q2)
2.
Mostre que a transformação
q1 =
√
Q1 cosP1 +
√
2Q2 cosP2, q2 = −
√
Q1 cosP1 +
√
2Q2 cosP2,
p1 =
√
Q1 sinP1 +
√
Q2/2 sinP2, p2 = −
√
Q1 sinP1 +
√
Q2/2 sinP2
é canônica e obtenha a hamiltoniana transformada em termos das novas variáveis canô-
nicas. Use os resultados para encontrar q1, q2, p1, p2 como funções do tempo.
2