FISICA DOS MATERIAIS 2015 1

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Física dos Materiais 
Programa do Curso 
 1. Origens da Física Quântica (2h) 
 2. Fundamentos da Mecânica Quântica (9h) 
 3. Ligações Moleculares e Espectros Moleculares (3h) 
 4. Sólidos Cristalinos (3h) 
 5. Imperfeições Estruturais (1h) 
 6. Estruturas Amorfas e sua Formação (2h) 
 7. Estruturas Cristalinas de Metais e Cerâmicas (3h) 
 Prova 1: 30 pts – Cap 1 a 7: 19/05/2015 
 8. Difusão em Sólidos (5h) 
 9. Física das Propriedades Térmicas (2h) 
 10. Física das Propriedades Elétricas e Dielétricas (4h) 
 11. Física das Propriedades Magnéticas (3h) 
 12. Física das Propriedades Ópticas (4h) 
 Prova 2: 30 pts – Cap 8 a 12: 23/06/2015 
 13. Princípios de Física Atômica e Nuclear(bônus) 
Avaliação: (8h) 
Prof. Fernando Gabriel da Silva Araujo – fgabriel@iceb.ufop.br 
Representante: Cristiane finzi@ufsj.edu.br 31-8610-8968 
Bibliografia Básica: 
Física Quântica - Eisberg, Resnick 
Física Moderna - Tipler 
Materials Science and... - W. D. Callister 
Intr. to Ceramics - Kingery, Bowen, Uhlmann 
Princ. Met. Física - Reed-Hill 
 
 
Trabalhos: 30/06/2015 e 07/07/2015 
1. Fluorescência de raios X () 
2. Absorção atômica e ICP –OES () 
3. MEV e Microssonda () 
4. Difração de raios X () 
5. Espectroscopia FTIR e UV-VIS-NIR () 
6. Análises térmicas: TGA, DTA, DSC, 
DMTA, Dilatometria () 
7. EBSD e MLA () 
8. STM e AFM () 
 
mailto:fgabriel@iceb.ufop.br
mailto:finzi@ufsj.edu.br
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Ciência e Engenharia de Materiais 
Além da estrutura e propriedades, dois outros importantes componentes são envolvidos em 
ciência e engenharia de materiais: processamento e performance. 
Processamento → estrutura → propriedades → performance 
Estrutura dos Materiais 
• Estrutura subatômica: estrutura eletrônica dos átomos. 
• Estrutura atômica: arranjo dos átomos nos materiais. 
• Estrutura cristalina: descreve o arranjo espacial 
atômico, iônico ou molecular de materiais cristalinos. 
• Subestrutura: aglomeração de defeitos nos sólidos, 
como os defeitos pontuais e lineares (visíveis ao 
microscópio eletrônico de transmissão, com aumento 
superior a 2500X), defeitos superficiais e volumétricos. 
Muitas das propriedades dos materiais são 
profundamente sensíveis aos desvios de sua perfeição 
cristalina, ou seja, às imperfeições. 
• Microestrutura: está sujeita à direta observação 
microscópica (MO e MEV). Ela é caracterizada pelo 
número de fases presentes, suas quantidades e suas 
distribuições, e pelo tamanho dos grãos (cristais 
individuais em um agregado policristalino). 
• Macroestrutura: estrutura vista a olho nu. 
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Composição 
Ligação interatômica Estrutura cristalina 
Processamento Termomecânico 
Microestrutura 
Propriedades 
 Mecânicas 
Propriedades 
 Elétricas e 
Magnéticas 
Propriedades 
 Óticas 
Propriedades 
 Térmicas 
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Tipos de materiais 
 
Metais: combinações de elementos metálicos 
Fe, Au, Aço, latão, bronze, Ti, superligas, etc. 
Cerâmicas: óxidos, nitretos etc. Elementos metálicos e não metálicos 
 Vidro, argilas, cimentos, refratários etc 
Polímeros: combinações de C e H – muitos são orgânicos 
 Plásticos, polietileno, neoprene etc. 
Compósitos: combinações de materiais 
 Fibra de vidro, concreto, madeira etc. 
Semicondutores: Sensíveis à presença de impurezas 
 Si, GaAs, InGaAsP 
Biomateriais 
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Metais: deformáveis a frio e quente, bons 
condutores de calor e eletricidade, resistentes e 
podem ser moldados e superfície “metálica”. 
Cerâmicas e vidros: baixa densidade, bons 
isolantes elétricos e térmicos, frágeis, alto ponto 
de fusão, alta resistência mecânica, alta 
resistência à corrosão. Transparentes ou não. 
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Polímeros: são formados pela combinação de 
unidades: meros. São sintéticos. 
Ex.: C+H. O (acrílicos), N (nylons), F (fluor-
plásticos) e Si (silicones). 
Baixa densidade, bons isolantes elétricos e 
térmicos, alta ductilidade e flexibilidade, 
temperaturas de transição ≈ 100oC. 
Compósitos: baixa densidade, alta resistência, 
boa ductilidade e aplicações a altas 
temperaturas 
Fibra de vidro 
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Semicondutores: propriedades elétricas 
intermediárias entre os condutores 
elétricos e isolantes. 
Muito frágeis, têm condutividade elétrica 
controlada e aplicações em eletrônica, 
computadores etc. 
Si, GaAs, InGaAsP etc. 
Biomateriais:são empregados em componentes 
de implantes no corpo humano, pela troca de 
parte do corpo danificada ou doente. 
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Física dos Materiais 
1. As Origens da Física Quântica 
a. Planck e a Radiação do Corpo Negro - 1900 
0
10
20
30
40
50
60
0 1 2 3 4 5 6
Comprimento de Onda (µM)
R
ad
iâ
nc
ia
 E
sp
ec
tr
al
 
(W
/c
m
2 
x 
µm
)
Clássico 
Medido 
S(λ) = 2πc2 h 1 
 λ5 (exp(hc/λkT)-1) 
 
h = 6.63 x 10-34 J.s 
 = 4.14 x 10-15 eV.s 
k = 1,38 x 10-23 J/K 
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T↑ ⇒ espectro se desloca para 
menores comprimentos de onda 
 
λ é fixo: T↑ ⇒ S(λ)↑ 
 
 Lei de Wien: 
 λm é o comprimento de onda 
para o qual S(λ) é máximo. 
λm∝1/T 
 λm.T=2,898x10-3mK 
0 5x10-7 1x10-6 2x10-6 2x10-6
0
1000
2000
3000
4000
λm
λm
Visível
T=6000K
T=4500K
T=3000K
S 
(λ
)
λ (m)
Lei de Stefan (empírica) 
I = σ.e.T4 
I : intensidade total da radiação ou energia 
total emitida por unidade de tempo e de área 
σ=5,67x10-8 WK-4.m-2 (cte. Stefan – Boltzmann) 
e : poder de emissão da superfície 
 0 ≤ e ≤1 
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b. Einstein e a Quantização da Luz - 1905 
Região do Comprimento Frequência Energia do 
Espectro de Onda (Hz) Fóton 
Radio 1 km 3 x 105 1.2 neV 
Microondas 1 cm 3 x 1010 120 µeV 
Infravermelho 10 µm 3 x 1013 120 meV 
Visivel 550 nm 5 x 1014 2 eV 
Ultravioleta 100 nm 3 x 1015 12 eV 
Raio - X 50 pm 6 x 1018 25 keV 
Raio Gama 50 fm 6 x 1021 25 MeV 
Quanta de Luz: FÓTONS 
E = h f (energia do fóton) 
p = h = hf (momento do fóton) 
 λ c 
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c. Espectros Atômicos e o Átomo de Bohr - 1913 
Espectro de Emissão do Hidrogênio - descontínuo !!! 
0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800 2000
Comprimento de Onda (nm) 
Lyman Balmer Paschen 
Postulados de Bohr para o Átomo: 
 
• existe em estados estacionários discretos sem irradiar 
 
• apenas irradia quando salta entre tais estados 
 
• a energia do fóton irradiado é dada por: hf = Ei - Ef 
 
• os momentos angulares dos estados estacionários são 
 dados por: L = n h , n = 1, 2, 3, ... 
 2π 
 
• as energias dos estados estacionários do átomo de hidro- 
 gênio são dadas por: E = - me4 , n = 1, 2, 3, ... 
 8 εo2 h2 n2 Aplicações: 
Fluorescência de raios-X 
Microssonda 
Absorção atômica 
Plasma 
Monografias: 
•Fluorescência de raios-X 
•Microssonda 
•Absorção atômica 
•Plasma 
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Cálculo das Energias no Modelo de Bohr 
 
Para um elétron em órbita circular, tem-
se que a força centrípeta será exercida 
pela atração coulombiana: 


n
eve
me
nr
nondenhmvrnhL
r
mv
r
2
0
2
22
0
2
2
0
2
4
14
)2(...3,2,1
22
)1(
4
e
πε
πε
ππ
πε
==
==⇒=
=
Aplicando a condição de quantização: 
 
 
 
 Substituindo v em (1): 
A energia total será a soma das energias 
potencial e cinética: 
...3,2,1,1
2)4(
:
242
1
4
222
0
4
0
22
0
2
=−=
−
=⇒+
−
=⇒+=
n
n
meELOGO
r
eEr
r
mv
r
eEKEE
H
V
πε
πεπε
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E(eV) 
0 
-2 
-4 
-6 
-8 
-10 
-12 
-14 1 
2 
3 
4 
∞ 
n 
Série de Lyman 
Série de 
Balmer 
Série de 
Paschen 
 Limites das séries 
Aplicações: 
Absorção atômica 
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Aluminum 
Oxygen 
Argon 
Calcium 
Carbon 
Helium 
Hydrogen 
Iron 
Krypton 
Magnesium 
Neon 
Nitrogen 
Sulfur 
Sodium 
Xenon 
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d. de Broglie e as Ondas de Matéria - 1924 
Postulado: 
O comprimento de onda de uma partícula é dado por 
 λ = h 
 p 
Experimental: 
Difração de elétrons (EBSD, LEED) 
 
Quantização: 
Partículas aprisionadas em poços de potencial apenas 
podem existir com comprimentos de onda correspon- 
dentes aos modos estacionários de oscilação. 
Obs.: n = 0 não corresponde a onda oscilante, portanto 
 n = 1 é o estado fundamental 
n = 4 
n = 5 
n = 4,5 
e. Representação das Ondas de Matéria 
Luz ondas de E e B E2 = prob. de encontrar 
 um fóton 
Matéria ondas de quê? função de onda, Ψ 
 Ψ2 = dens. prob. de encontrar e- 
ex.: elétron em 
 poço infinito 
ψ 
x L x L 
ψ 2 
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2. Equação de Schrödinger e a Forma dos Orbitais 
Regra 1: Para cada sistema com um 
grau de liberdade existe uma função 
de onda Ψ(x,t) 
 
Regra 2: A equação que determina 
a forma da função de onda 
de uma partícula presa a um certo 
 potencial, chamada equação 
de Schrödinger é obtida à partir 
da substituição das variáveis 
dinâmicas por operadores, 
na sua equação de energia: 
t
iVm
aseaplicandoe
t
iEemK
fazendo
Vm
pEVKE
∂
∂
∂
∂
Ψ=Ψ+Ψ∇−
Ψ−
≡∇−≡
+=⇒+=


.2
2
:
2
:
2
2
2
Regra 3: A função de onda e sua derivada devem ser finitas, 
contínuas e unívocas. 
 
Regra 4: A probabilidade normalizada de se encontrar uma 
partícula é dada por: Ψ Ψ* dx =
−∞
+∞
∫ 1
Regra 5: O valor esperado , [a], de qualquer variável dinâmica 
a ( e seu operador Oa) é dado por: ∫
+∞
∞−
=ΨΨ= 1*][ dxOαα
2.1. Os Postulados da Mecânica Quântica 
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2.2. Equação de Onda Clássica 
Em uma corda, a aplicação 
da lei de Newton resultará em 
uma a equação que terá como 
solução a função de onda: 
ondadafasedevelocidadeaéTvonde
t
y
vx
y
ficaondadeeqaLogo
compunidmassaaéecordanatensãoaéTonde
t
y
x
yTmaF
µ
µ
µ
/
1
:.
../
2
2
22
2
2
2
2
2
=
∂
∂
=
∂
∂
∂
∂
=
∂
∂
⇒=Σ
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A superposição de ondas 
harmônicas pode representar 
qualquer tipo de onda. A onda 
harmônicaé uma solução da 
equação de onda : 
)(2cos),( 0 vtxytxy −= λ
π
• onde Y é uma função co-senoidal, de 
comprimento de onda λ, se propagando no sentido 
positivo de x (para a direita), com velocidade v, 
conforme o esquema abaixo: 
 Y (x, t) = x Y (x, t) = x - vt Y (x, t) = x + vt 
Y 
x 
Y 
x 
vt 
v 
Y 
x 
vt 
v 
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Fazendo: 
 
v = λ f = λ / T, a velocidade de fase 
 
w = 2Π f, a freqüência angular 
 
k = 2Π / λ, o número de onda* 
* número de onda em 
espectroscopia é apenas 1/ λ 
)(sen
)(cos
0
0
wtkxyy
ou
wtkxyy
−=
−=
Ou ainda a combinação linear das soluções acima: 
)(
00 )](sen)([cos),(
wtkxieywtkxiwtkxytxy −=−+−=
Mostrar que é solução 
da equação de onda 
Densidade de energia: ε = a y02 
Intensidade: I = ε v 
 
Para ondas estacionárias: L = nλ / 2 
Logo: f = nv / 2L 
y 
x 
λ 
y0 
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2.3. A função de onda harmônica 
complexa como solução da 
equação de Schrödinger: 
t
txitxV2x
tx2
m2
2
∂
Ψ∂=Ψ+
∂
Ψ∂− ),(),(.),( 
Ψ−==
∂
Ψ∂
Ψ−=−=
∂
Ψ∂
=Ψ
−
−
−
2wtkxi2
2
2
wtkxi
keAik
x
2
iweiwA
t
1
Logo
tx
)(
)(
)(.
.
:
),( wt)i(kxeA
Se se tratar de uma PARTÍCULA LIVRE, a 
energia potencial será constante em todo 
o espaço, logo 
 
 V(x) = V0 
 
e, substituindo na equação de Schrödinger: 
)(.)( Ψ−=Ψ+Ψ−− iwi0V
2k
m2
2


E0VKE0Vm2
2p
hf0V2
2h
m2
1w0V
2k
m2
2
=+⇒=+⇒
=+
λ
⇒=+ 
* mostrar que as formas não 
complexas não são solução 
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2.3.1. Equação de Schrödinger como 
Hamiltoniana, H: 
Na mecânica clássica, a energia total, escrita em termos 
das variáveis posição e momento, é chamada função 
Hamiltoniana, H, ou simplesmente Hamiltoniano: 
rSchrödingedeequaçãoaéEH
sejaou
ExV
xm2
momentooperadorcomo
xi
pdefinindo
ExV
m2
p
ExVK
op
2
22
op
2
op
ψ=ψ
Ψ=ψ+
∂
ψ∂
−⇒
∂
∂
=
ψ=ψ+ψ⇒=+
:
)(
:
)()(


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2.4. A equação de Schrödinger 
independente do tempo: 
Sistemas “importantes” 
Ondas estacionárias EXPLICAM 
QUANTIZAÇÃO 
a dependência temporal 
pode ser isolada 
As funções de onda de partículas com 
energias definidas podem ser fatoradas: 
iwt
iwt
iwt
iwt
exE
exw
exiwi
t
txi
Logo
extx
−
−
−
−
ψ=
ψ=
ψ−=
∂
Ψ∂
ψ=Ψ
)(
)(
)()(),(
:
)(),(


)()(),( tfxtx ψ=Ψ
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A equação de Schrödinger 
independente do tempo fica: 
iwtexE
iwtexViwtex2x
2
m2
2
−ψ=
=−ψ+−ψ
∂
∂−
)(
)(.])([
)()().()( xExxV2dx
x2d
m2
2
ψ=ψ+ψ− 
equação ordinária em uma variável ! 
 Sistemas quantizados como 
o átomo de hidrogênio, ou uma 
partícula presa em um poço de 
potencial infinito, podem ser 
completamente resolvidos com 
a solução da equação de 
Schrödinger independente do 
tempo. 
 
 A função resultante deverá 
ser normalizada, devendo ainda 
ser contínua, assim como sua 
primeira derivada, e tender para 
zero no infinito. 
 
 A descontinuidade poderá 
exitir, fazendo a função de onda 
igual a zero, apenas em regiões 
onde a energia potencial seja 
infinita. 
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2.5. Densidade de Probabilidade 
e Normalização: 
Ψ(x,t) é imaginário e não mensurável 
Ψ∗Ψ representa a densidade de 
probabilidade de se encontrar 
a partícula descrita por Ψ 
A probabilidade será obtida 
multiplicando-se a densidade pela 
dimensão da região onde se quer 
observar a partícula 
P (x,t) dx = Ψ∗Ψ dx 
A CONDIÇÃO DE NORMALIZAÇÃO* é que 
a probabilidade de se encontrar 
a partícula em algum ponto do 
espaço seja 1 (100%): 
∫
+∞
∞−
=ΨΨ 1dx*
*É essa restrição que leva 
à quantização da energia 
Na solução da equação independente do tempo: 
∫
∞+
∞−
−+
=ψψ⇒
ψψ=
ψψ=
=ΨΨ
1dxxx
xx
exex
txtx
iwtiwt
)()(*
)()(*
)()(*
),(),(*
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2.6. Poço Quadrado Infinito: 
∞=
⇓
><
=
⇓
<<
)(
)(
xV
Lxe0x
0xV
Lx0
V 
x 0 L 
É um potencial artificial que: 
• Apresenta soluções exatas. 
• Próximo do elétron livre no metal, etc. 
• Ilustra a quantização 
 
1. Condições de contorno (cc): 
x ≤ 0 e x ≥ L => ψ(x) = 0 
 
2. Solução em 0 < x < L: 
 
 V (x) = 0, logo a equação de 
Schrödinger independente do tempo fica: 
⇒ψ=ψ− )()( xE2dx
x2d
m2
2
kxAx
éccpelaspermitida
soluçãoúnicaa10como
2mE22kx2kx
x2
mE2
2dx
x2d
sen)(
:
,cos
/),()("
)()(
=ψ
=
=ψ−=ψ
⇒ψ−=ψ


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Aplicando as condições de contorno: 
 
x = 0 => ψ(x) = 0 é satisfeita por sen kx 
 
x = L => ψ(x) = 0 => QUANTIZAÇÃO: 
...3,2,1,
22
:,
...3,2,1,:
0)(
1
2
2
22
2
22
====
===
=∴==
nEn
mL
n
m
kE
kdedefiniçãopelae
n
L
nkkLogo
nkLAsenkLL
n
n
π
π
πψ

O estado fundamental de energias no poço, 
E1, é maior que zero. Isto é consistente com 
o princípio da incerteza, que exige que a 
energia cinética de uma partícula confinada 
seja maior que zero. 
n E 
1 
2 
3 
4 
5 
6 
E1 
4 E1 
9 E1 
16 E1 
25 E1 
36 E1 
Normalizando, para calcular A: 
L
2A
1
L
xnAdx
L
0
22
=
⇓
=




 π=ψψ ∫∫
+∞
∞−
sen*
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




 π=ψψ=
=
π
=ψ
L
xn
L
2xP
321n
L
xn
L
2x
2
n
sen*)(
...,,,sen)(
A função de onda e a função densidade de 
probabilidade, P(x), ficam: 
0 L 
ψ1 
x 0 L 
ψ12 
x 
0 L 
ψ2 
x 0 L 
ψ22 
x 
Extrapolando para o limite clássico: 
 
• Valores grandes de L 
 
• Valores grandes de energia 
 
• Valores grandes de n 
0 L 
x 
ψ2 
1/L 
A média coincidirá com a densidade de 
probabilidade clássica, 1/L 
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2.7. Princípio da Incerteza: 
( )
( ) 20ikxikx20
ikxikx2
0
0
ikx
0
ee
ee
teconserealex
tempodo
teindependenformana
outx
ψ=ψ=ψψ⇒
ψ=ψψ⇒
ψψ=ψ
=Ψ
−
−
*
**
)tan(,)(
:
,),( wt)i(kxeA
Função de onda harmônica 
Elétron livre FORÇA NULA SOBRE ELE 
p é constante e sem incerteza 
A POSIÇÃO É DESCONHECIDA 
 
HEISENBERG: 
 
2
tE
2
px


≥∆∆
≥∆∆
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2.8. Poço Quadrado Finito: 
0VxV
Lxe0x
0xV
Lx0
=
⇓
><
=
⇓
<<
)(
)(
V 
x 0 L 
É um potencial artificial que: 
• Apresenta soluções exatas. 
• Próximo de potenciais atrativos reais. 
• Ilustra quantização e tunelamento 
 
1. Condições de contorno (cc): 
x = 0 e x = L => ψ(x) e ψ’(x) são contínuas 
E < V0 
 
2. Solução em 0 < x < L: 
 V (x) = 0, logo a equação de 
Schrödinger independente do tempo fica: 
V0 
kxAxekxAx
2mE22kx2kx
cos)(sen)(
/),()("
=ψ=ψ
=ψ−=ψ
⇓

3. Solução em x<0 e x>L: 
 
 V (x) = Vo, logo a equação de 
Schrödinger independente do tempo fica: 
⇒ψ=ψ− )()( xE2dx
x2d
m2
2
xeCxE0V2
m22
x2xE0V2
m2x
α−=ψ⇒−=α
ψα=ψ−=ψ
)()(
),()()()("


E 
atenuação 
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Dentro do poço: 
 
ψ” & ψ têm sinais contrários => 
soluções sen e cos 
 
 
Fora do poço: 
 
ψ” & ψ têm mesmo sinal => 
várias soluções divergem 
 
 
 
Solução: 
 
Continuidade na fronteira 
0 L 
ψ1 
x 0 L 
ψ12 
x 
0 L 
ψ2 
x 0 L 
ψ22 
x 
FORA DO POÇO 
A FUNÇÃO DE ONDA 
PENETRA O DEGRAU 
E = K + V0 => K = E – V0 < 0 ???? 
O PRINCÍPIO DA INCERTEZA 
POSSIBILITA O TUNELAMENTO 
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Barreira de potencial-Tunelamento 
0)x(Vbxeax
0V)x(Vbxa
=⇒><
=⇒<<
É um potencial artificial que: 
• Apresenta soluções exatas. 
• Ilustra quantização e tunelamento 
 
Condições de contorno (cc): 
x = a e x = b => ψ(x) e ψ’(x) são contínuas 
E < V0 
1. Solução em x<a: V(x) = 0 
ψ1(x) ⇒ elétron livre com 
 
Onda estacionária: incidente+refletida 
mE2p =
2. Solução em a<x<b: V(x) = V0 
ψ2(x) ⇒ ψ2(x)=C.exp(-αx) 
 ⇒ é contínua em x=a e x=b 
 ⇒ ψ2(x=b) não é nula 
 
L 
E 
V0 
Energia 
x=a x=b x 
Sentido de incidência 
da partícula-onda 
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3. Solução em x>b: V(x) = 0 
ψ3(x) ⇒ elétron livre com 
 
Onda progressiva: elétron transmitido 
mE2p =
a b 
ψ1(x) ψ2(x) ψ3(x) 
a b 
|ψ1(x)|2 |ψ2(x)|2 |ψ3(x)|2 
oTunelament
Probabilidade da partícula com E<V0 
ultrapassar a barreira: 
2
0
2
kL2
h
)EV(m8keeT −π=≈ −
18627
531
0
10x2Tkg10x67,1m:ótonPr
10x5,4Tkg10x11,9m:Elétron
pm750LeeV8,6V,eV1,5E
:Exemplo
−−
−−
≈⇒=
≈⇒=
===
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2.9. Equação de Schrödinger em 
3 D: 
ψ=ψ+
∂
ψ∂+
∂
ψ∂+
∂
ψ∂−










EV2z
2
2y
2
2x
2
m2
2
.
Solução para uma caixa de potenciais infinitos 
nas paredes e de dimensões L1, L2 e L3 
( )








++
π
=∴
π
=
++=
=
ψψψ=ψ
2
3
2
3
2
2
2
2
2
1
2
1
22
i
i
i
2
3
2
2
2
1
2
321
321
L
n
L
n
L
n
m2
E
L
nke
kkk
m2
Ecom
zkykxkA
zyxzyx


:
:
sensensen
)()()(),,(
E 
E111 = 3E1 
APARECEM 3 NÚMEROS 
QUÂNTICOS !!!!!!!! 
(ora, um para cada dimensão) 
uma solução, do estado 
2,1,1, por exemplo, fica: 
321
211
2
L
zsen
L
ysen
L
xsenA πππψ =
E211= E121= E112= 6E1 
E122= E212= E221= 9E1 
L1 = L2 = L3 
E211 
E121 
E112 
E221 
E212 
E122 
L1 < L2 < L3 
E1x+ 
E1y+ E1z 
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2.10. Transições e Regras de 
Seleção: 
)(),( )/( xetx n
tEi
n n ψ
−=Ψ
)()(*
),(),(*
xxq
txtxq
nn
n
ψψ
ρ
=
ΨΨ=
)**(
***
),(),(),(
nmmn
mm
2
nn
2
nmnm
mnnm
ab
ba
txbtxatx
ΨΨ+ΨΨ+
ΨΨ+ΨΨ=ΨΨ
Ψ+Ψ=Ψ
Partícula com carga q 
Estado quântico n 
A densidade de carga será 
independente do tempo: 
Partícula em estado estacionário não irradia 
(postulado de Bohr) 
Porém, na transição de decaimento 
de um estado n para um estado m: 
E 
n 
m 
Ψnm(x,t) 
hf 
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)(cos
),(
twab2
batx
nmmn
2
m
22
n
22
nm
ψψ
ψψ
+
++=Ψ



mn
nm
nm
tiw
n
tEi
m
tEi
nm
mn
tiw
m
tEi
n
tEi
mn
EEwonde
e
ee
e
ee
nm
nm
nm
mn
−
=
=
=ΨΨ
=
=ΨΨ
−
−
−
:
**
**
)/()/(
)/()/(
ψψ
ψψ
ψψ
ψψ
Os produtos em um mesmo estado 
quântico serão independentes do tempo 
e os produtos de n para m ficarão: 
Na transição, a densidade de probabilidade 
oscila com a freqüência de Bohr !!! 
O dipolo irradiante será descrito por: 
iaestacionárparte
dxxtwqab2xq
dxxqxq
mnnm
+
+=⇒
⇒ΨΨ=
∫
∫
ψψ)cos(
*
Transições n→m com integral 
(elemento de matriz) não nula 
Oscilação de dipolo na 
freqüência wnm => irradiação 
TRANSIÇÃO PERMITIDA 
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