estructura de concreto

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Centro de Ciências Tecnológicas da Terra e do Mar 
Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estruturas de Concreto Armado I 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho, MSc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
Itajaí, março de 2016 
UNIVALI – Estruturas de Concreto Armado I 
Prof. Luiz Alberto Duarte Filho 
 
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Índice 
 
1 INTRODUÇÃO AO CONCRETO ARMADO ............................................................................... 4 
1.1 INTRODUÇÃO GERAL ....................................................................................................................... 4 
1.2 CONCRETO ...................................................................................................................................... 7 
1.3 AÇO .............................................................................................................................................. 27 
1.4 SEGURANÇA .................................................................................................................................. 32 
1.5 REQUISITOS DE QUALIDADE DA ESTRUTURA ................................................................................. 49 
2 DIMENSIONAMENTO À FLEXÃO SIMPLES ......................................................................... 55 
2.1 ESTÁDIOS DE FLEXÃO ................................................................................................................... 55 
2.2 DIAGRAMA DE TENSÕES PARÁBOLA-RETÂNGULO ......................................................................... 57 
2.3 HIPÓTESES DE CÁLCULO PARA SOLICITAÇÕES NORMAIS ............................................................... 59 
2.4 DOMÍNIOS DE DEFORMAÇÃO ......................................................................................................... 59 
2.5 VARIÁVEL ξ .................................................................................................................................. 62 
2.6 POSIÇÃO LIMITE DA LINHA NEUTRA .............................................................................................. 63 
2.7 DIMENSIONAMENTO DE SEÇÕES RETANGULARES .......................................................................... 65 
2.8 EXERCÍCIOS DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO RETANGULAR ....................................................... 75 
2.9 VIGAS DE SEÇÕES T ...................................................................................................................... 87 
2.10 MOMENTO DE SOLIDARIEDADE ENTRE VIGA E PILAR ................................................................ 94 
2.11 EXERCÍCIO DE DIMENSIONAMENTO DE SEÇÃO T ....................................................................... 97 
3 DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE ............................................................ 105 
3.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 105 
3.2 TENSÕES PRINCIPAIS ................................................................................................................... 106 
3.3 MODOS DE RUPTURA .................................................................................................................. 108 
3.4 ANALOGIA DE TRELIÇA CLÁSSICA .............................................................................................. 111 
3.5 A TRELIÇA GENERALIZADA ......................................................................................................... 112 
3.6 DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE - ELU ................................................................... 114 
3.7 REDUÇÃO DO ESFORÇO CORTANTE NO APOIO .............................................................................. 122 
3.8 DISTRIBUIÇÃO LONGITUDINAL (COBERTURA DO DIAGRAMA) ..................................................... 124 
3.9 DETALHAMENTO ......................................................................................................................... 125 
3.10 DESLOCAMENTO DO DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR (DECALAGEM) .................................. 128 
3.11 ARMADURA DE SUSPENSÃO .................................................................................................... 131 
3.12 EXERCÍCIOS DE DIMENSIONAMENTO AO ESFORÇO CORTANTE ................................................ 134 
4 DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO ......................................................................................... 145 
4.1 INTRODUÇÃO .............................................................................................................................. 145 
4.2 DIMENSIONAMENTO DE ELEMENTOS LINEARES ........................................................................... 147 
4.3 ARMADURA MÍNIMA ................................................................................................................... 156 
4.4 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ...................................................................................................... 157 
4.5 EXERCÍCIO DE DIMENSIONAMENTO À TORÇÃO ............................................................................ 158 
5 DETALHAMENTO LONGITUDINAL DE VIGAS ................................................................. 164 
5.1 ADERÊNCIA ................................................................................................................................. 164 
5.2 EMENDAS .................................................................................................................................... 171 
5.3 DISPOSIÇÕES GERAIS SOBRE O PROJETO DE VIGAS ....................................................................... 177 
5.4 EXEMPLO DE PROJETO DE VIGA ................................................................................................... 181 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................................. 194 
ANEXO 1: REAÇÕES E MOMENTOS EM VIGAS ......................................................................... 196 
ANEXO 2: NÚMERO MÁXIMO DE BARRAS POR SEÇÃO ......................................................... 198 
ANEXO 3: ALFABETO GREGO ......................................................................................................... 199 
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ANEXO 4: TRANSFORMAÇÃO DE UNIDADES ............................................................................. 200 
ANEXO 5: COMPRIMENTO DE ANCORAGEM BÁSICO (llllB) ..................................................... 200 
ANEXO 6: ANCORAGEM DA ARMADURA LONGITUDINAL ................................................... 201 
ANEXO 7: COMPRIMENTO DOS ESTRIBOS ................................................................................. 202 
ANEXO 8: REAÇÕES DE LAJES ....................................................................................................... 203 
ANEXO 9: TABELAS DA NBR 6120: 1980 ........................................................................................ 206 
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1 Introdução ao Concreto Armado 
 
 
1.1 Introdução geral 
 
1.1.1 Definição 
 
O concreto armado é um material composto, constituído por concreto simples e barras 
de aço sem tensão prévia (armadura passiva ou frouxa). Seu emprego é conhecido em 
todo mundo e, dado seu baixo preço, é utilizado em praticamente todos os tipos de 
estrutura. 
 
Segundo Süssekind (1984), a viabilidade do concreto armado se deve a três razões 
básicas: 
 
a) Trabalho conjunto do concreto e do aço, assegurado pela aderência entre os dois 
materiais. 
 
A aderência é responsável pela transmissão interna de esforços entre os dois materiais, 
pois assegura a igualdade de deformações específicas das barras de aço e do concreto 
que as envolve. Assim, nas regiões tracionadas, onde o concreto possui resistência 
praticamente nula, ele sofre fissuração aose deformar, o que, graças à aderência, arrasta 
consigo as barras de aço, forçando-as a trabalhar e absorver os esforços de tração. 
Conforme mostrado na Fig. 1.1, caso não existissem barras de aço o concreto romperia 
de forma brusca sob cargas pequenas. 
 
Então, o princípio básico das peças de concreto armado é combinar o concreto e o aço 
de maneira tal que, em uma mesma peça, os esforços de tração sejam absorvidos pelo 
aço e os esforços de compressão pelo concreto. 
 
b) Os coeficientes de dilatação térmica do aço e do concreto são praticamente iguais 
 
Para o concreto, o coeficiente de dilatação térmica α é aproximadamente 1,0×10-5/ºC, e 
o aço possui α = 1,2×10-5/ºC. Esta diferença é irrisória para as variações de temperatura 
a que estão submetidas as obras correntes, ainda mais pelo fato do aço estar protegido 
pelo cobrimento de concreto. 
 
c) O concreto protege o aço de oxidação, garantindo a durabilidade da estrutura. Esta 
proteção ocorre de duas formas: 
 
- Proteção física, por meio do cobrimento; 
- Proteção química, pois no concreto se forma um ambiente alcalino (causado pela 
presença de cal, formada durante o processo de hidratação do cimento Portland, que 
se dissolve na água dos vazios) que gera uma camada inibidora em torno da 
armadura. 
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FIGURA 1.1 – Peça de concreto simples e concreto armado sujeitas a cargas 
concentradas. 
 
1.1.2 Vantagens e desvantagens do concreto armado 
 
1.1.2.1 Vantagens 
 
- Economia; 
- Moldagem fácil; 
- Facilidade de se obter estruturas monolíticas (hiperestáticas); 
- Manutenção e conservação simples e grande durabilidade; 
- Técnica de execução simples e conhecida em todos os países; 
- Resistência a efeitos térmicos, atmosféricos e a desgaste mecânico. 
- Rapidez de construção (no caso de pré-moldados); 
- Aumento de resistência com o tempo. 
 
a) peça de concreto simples 
b) peça de concreto armado 
barras de aço fissuras na região 
tracionada do concreto 
P1 P1 
P2>>P1 P2>>P1 
Estádio I 
(trecho não fissurado) 
Estádio II 
(seções fissuradas) 
c) diagrama de tensões na peça de concreto armado em serviço 
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1.1.2.2 Desvantagens 
 
- Peso próprio elevado: 25 kN/m3 (2500 kgf/m3); 
- Fissuras inevitáveis na região tracionada; 
- Mau aproveitamento da seção (a parte do concreto tracionado não é considerada na 
resistência à flexão da peça, ver Fig. 1.1c); 
- Impossibilidade de utilização de aços com maior resistência, pois para mobilizar 
esforço de tração na armadura é necessário haver a fissuração do concreto 
tracionado; 
- Baixo isolamento térmico e acústico; 
- É necessário utilizar escoramentos (quando não se faz uso de pré-moldados) que, 
geralmente, precisam permanecer no local até que o concreto alcance uma 
resistência adequada; 
- O concreto sofre variações volumétricas ao longo do tempo devido à retração e à 
fluência. 
 
1.1.3 Breve Histórico 
 
A utilização do concreto armado como elemento estrutural é razoavelmente recente, 
iniciando-se no final do século XIX. Por outro lado, o emprego do cimento1 como 
aglomerante para a produção de argamassas e concretos simples é bastante antigo. 
 
As primeiras evidências claras de sua utilização ocorreram durante a Civilização 
Romana (753 a.C a 476 d.C), destacando-se grandes obras durante o Império Romano 
(27 a.C a 476 d.C), como o Coliseu (80 d.C.) e o Panteão (Panthean) de Roma (121 
d.C.). 
 
Durante a Idade Média (século V a XV), poucas foram as inovações expressivas no 
emprego de argamassas e concretos, pois os arquitetos medievais utilizavam pedras na 
maioria de suas construções. 
 
A retomada dos estudos sobre cimento ocorreu apenas no início da Idade 
Contemporânea, ou final da Idade Moderna (século XV a XVIII), principalmente na 
Inglaterra, que foi o berço da Revolução Industrial. Em 1796, o inglês James Parker 
patentiou um cimento hidráulico natural. O cimento Portland foi inventado somente em 
1824, também na Inglaterra, por Joseph Aspdin. 
 
A primeira publicação sobre Cimento Armado (denominação do concreto armado até 
mais ou menos 1920) foi do francês Joseph Louis Lambot. Motivado por problemas 
com a manutenção de canoas de madeira, Lambot teve a idéia de construir um barco de 
concreto utilizando uma malha de barras finas de aço (ou arame). Seu barco foi exposto 
na Exposição Mundial de Paris de 1855. 
 
Após a divulgação do trabalho de Lambot, o jardineiro Joseph Monier começou a testar 
a utilização de malha de aço em vasos de concreto. Em 1867, Monier exibiu seus 
trabalhos na Exposição de Paris. Entre 1868 e 1873, Monier executou um reservatório 
de 25m3 e outros dois com 180m3 e 200m3. 
 
 
1 A palavra cimento vem do termo em latim coementum, que significa uma espécie de 
pedra natural de rochedos 
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Em 1877, na Inglaterra, o americano Thaddeus Hyatt publicou o artigo: “An Account of 
Some Experiments with Portland Cement Concrete Combined with Iron as a Building 
Material”. Este estudo foi considerado a principal referência sobre o comportamento 
das peças de concreto armado até o final do século XIX. 
 
Poucos anos mais tarde, no início do século XX, o pesquisador alemão Mörsch 
desenvolveu a primeira teoria científica para o dimensionamento em concreto armado. 
Nesta teoria, Mörsch propôs um modelo de funcionamento para a peça de concreto 
armado análogo a uma treliça, cujos elementos comprimidos são de concreto e os 
elementos tracionados são de aço. 
 
A teoria desenvolvida por Mörsch constituiu, ao longo de décadas e em quase todo o 
mundo, o fundamento da teoria do concreto armado, sendo alguns conceitos 
empregados até hoje. 
 
O primeiro país a iniciar a normalização foi a Alemanha, em 1904. Posteriormente foi a 
vez da França, em 1906. Nos Estados Unidos, as primeiras normas foram publicadas em 
1917, no final da Primeira Guerra Mundial (1914-1917). 
 
No Brasil, a norma para execução e projeto de estruturas em concreto armado foi criada 
em 1940 (durante a Segunda Guerra Mundial, 1939-1945). Esta foi a primeira 
publicação da ABNT, sendo por isso denominada NB1. Posteriormente esta norma 
sofreu revisão em 1960, 1978, 2003 e 2014. 
 
1.1.4 Normas técnicas 
 
Os projetos envolvem uma série de critérios. Para a uniformização do nível de qualidade 
da obra, é altamente desejável que eles sejam padronizados. Estes critérios 
normalizados constituem as diversas normas de projeto. 
 
Para o projeto de estruturas de concreto, interessam diretamente as seguintes normas 
brasileiras: 
 
- NBR-6118 (NB1, 2014): Projeto de Estruturas de Concreto; 
- NBR-14931 (2004) Execução de Estruturas de Concreto; 
- NBR-6120 (2000): Cargas para Cálculo de Estruturas de Edificações; 
- NBR-8681 (2004): Ações e Segurança nas Estruturas; 
- NBR-6122 (2010): Projeto e Execução de Fundações; 
- NBR-6123 (1988): Forças Devido ao Vento em Edificações; 
- NBR-15200 (2004): Projeto de Estruturas de Concreto em Situação de Incêndio. 
 
1.2 Concreto 
 
O concreto convencional é um material de construção constituído de agregados e 
cimento como aglomerante. É obtido pela mistura proporcionada de agregado miúdo 
(areia) e graúdo (pedra britada) com cimento e água, podendo conter aditivos ou 
adições, conforme a necessidade de se melhorar suas características. O concreto fresco é 
moldado em formas e adensado com vibradores. O endurecimento começa após poucas 
horas e, de acordo com o tipo de cimento, atinge cerca de 80 a 90% de sua resistência 
aos 28 dias. 
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Dependendo do tipo de associação entre a argamassa, o concreto e o aço, pode-se ter: 
 
a) Argamassa armada: obtida por meio da associação da argamassa simples 
(cimento e areia) com a armadura depequeno diâmetro e pouco espaçada, 
distribuída uniformemente em toda a superfície e composta, principalmente, de 
fios e telas de aço. 
 
b) Concreto armado: obtido por meio da associação do concreto simples com a 
armadura convenientemente colocada (armadura passiva), de tal modo que 
ambos resistam solidariamente aos esforços. 
 
c) Concreto protendido: obtido pela associação entre o concreto simples e a 
armadura ativa (é aplicada uma força na armadura antes da atuação do 
carregamento na estrutura). 
 
Com relação ao cimento Portland, este resulta da moagem do clínquer, obtido pelo 
cozimento (até fusão incipiente) da mistura de calcário e argila. Existem diferentes tipos 
que são classificados de acordo com a proporção de clínquer, silicatos, material 
carbonático e de adições, tais como escórias, pozolanas e calcário. Podem diferir 
também em função de propriedades intrínsecas, como alta resistência inicial, a cor 
branca, etc. 
 
Os diferentes tipos de cimento e suas aplicações são: 
 
a) Cimento Portland Comum (CP I): É adequado para o uso em construções de concreto 
em geral quando não há exposição a sulfatos do solo ou de águas subterrâneas. Também 
é oferecido ao mercado o Cimento Portland Comum com Adições (CP I-S), com 5% em 
massa de material pozolânico, ou de escória granulada de alto-forno, ou de fíler 
calcário. 
 
b) Cimento Portland Composto (CP II): Assim como o CP I, é usado em casos gerais 
quando não é necessária elevada resistência inicial. Dependendo do tipo de adição, o CP 
II pode ser classificado em: 
 
- CP II-E - Cimento Portland Composto com Escória 
- CP II-Z - Cimento Portland Composto com Pozolana 
- CP II-F - Cimento Portland Composto com Fíler 
 
Devido às adições, o CP II-E e o CP II-Z podem ser considerados composições 
intermediárias entre CP III e CP IV. Assim, apresentam um menor desprendimento de 
calor que o CPI. 
 
c) Cimento Portland de Alto Forno (CP III – com escória): O cimento CP III apresenta 
maior impermeabilidade e durabilidade, além de baixo calor de hidratação e alta 
resistência à expansão devido à reação álcali-agregado (RAA), além de ser resistente a 
sulfatos. É indicado para obras em concreto-massa (que exige baixo calor de hidratação) 
e quando se deseja elevada resistência final. 
 
d) Cimento Portland Pozolânico (CP IV): É indicado para obras expostas à ação de água 
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corrente e ambientes agressivos e em casos de grande volume de concreto, devido ao 
baixo calor de hidratação (assim como o CP III). O concreto feito com este produto se 
torna mais impermeável, mais durável, apresentando resistências mecânicas à 
compressão superiores às de concreto feitos com CP I em idades avançadas. 
 
e) Cimento Portland de Alta Resistência Inicial (CP V-ARI): É adequado para 
aplicações que necessitem de resistência inicial elevada e desforma rápida. O 
desenvolvimento desta propriedade é conseguido pela utilização de uma dosagem 
diferente de calcário e argila na produção do clínquer, e pela moagem mais fina do 
cimento. 
 
f) Cimento Portland Resistente a Sulfatos (RS): O cimento com designação RS oferece 
resistência aos meios agressivos sulfatados, como redes de esgotos de águas servidas ou 
industriais, água do mar e em alguns tipos de solos. Cinco cimentos podem ser 
resistentes aos sulfatos (CP I, CP II, CP III, CP IV e CP V-ARI), desde que se 
enquadrem em pelo menos uma das seguintes condições: 
 
- teor máximo de tricálcico (C3A) do clínquer e teores de adições carbonáticas de 
no máximo 8% e 5% em massa, respectivamente; 
- cimentos do tipo alto-forno que contiverem entre 60% e 70% de escória 
granulada de alto-forno, em massa; 
- cimentos do tipo pozolânico que contiverem entre 25% e 40% de material 
pozolânico, em massa; 
- cimentos que tiverem antecedentes de resultados de ensaios de longa duração ou 
de obras que comprovem resistência aos sulfatos. 
 
g) Cimento Portland de Baixo Calor de Hidratação (BC): Este tipo de cimento tem a 
propriedade de retardar o desprendimento de calor em peças de grande massa de 
concreto, evitando o aparecimento de fissuras de origem térmica. Os cimentos de baixo 
calor de hidratação são designados pela sigla e classe, acrescida de BC. Por exemplo: 
CP III-32 (BC). 
 
h) Cimento Portland Branco (CPB): O Cimento Portland Branco se diferencia por sua 
coloração e pode ser classificado em estrutural ou não estrutural. 
 
Com relação aos agregados, considera-se: 
 
- Agregado miúdo: os grãos passam pela peneira com abertura 4,8mm (mais de 85%) 
e ficam retidos na peneira com abertura de 0,075mm; 
- Agregado graúdo: os grãos passam pela peneira com abertura 15,2mm e ficam 
retidos na peneira com abertura de 4,8mm (mais de 85%). 
 
A pedra britada é classificada de acordo com a dimensão máxima característica (dmax), 
que representa a abertura da peneira a qual corresponde uma percentagem retida 
acumulada igual ou imediatamente inferior a 5%, em massa (conforme Tab. 1.1). 
 
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TABELA 1.1 – Diâmetros nominais do agregado. 
 
Brita 
Diâmetro nominal 
(mm) 
Diâmetro máximo (dmax) 
(mm) 
0 4,8 a 9,5 9,5 
1 9,5 a 19 19 
2 19 a 25 25 
3 25 a 50 50 
4 50 a 76 76 
5 76 a 100 100 
 
As propriedades do concreto que interessam ao estudo do concreto armado são a 
resistência à ruptura e a deformabilidade, quer sob a ação de variações das condições 
ambientes, quer sob a ação de cargas externas. 
 
1.2.1 Características mecânicas 
 
1.2.1.1 Resistência à compressão (fc) 
 
A resistência à compressão simples é a característica mais importante do concreto. Esta 
característica é medida através de ensaios de corpos de prova, os quais dependem 
basicamente do tamanho e forma dos corpos de prova e da duração do carregamento. 
 
Com relação à forma, a solução consiste na adoção de dimensões normalizadas que, da 
melhor maneira possível, reproduzam as condições de funcionamento real da estrutura. 
A norma brasileira, assim como a maioria das normas internacionais, especifica a 
adoção de peças cilíndricas com 15 cm de diâmetro e 30 cm de altura (ou 10cm×20cm) 
a serem ensaiadas 28 dias após sua preparação. 
 
Com relação à duração do carregamento, este será sempre de curta duração em ensaios 
com corpos de prova, devendo-se fazer correções para o projeto estrutural, já que a 
maioria das cargas reais tem caráter permanente. 
 
A resistência do concreto não é uma grandeza determinística. Ela está sujeita a 
dispersões cujas causas principais são variações aleatórias da composição, das 
condições de fabricação e da cura. Além destes fatores aleatórios, existem também 
influências sistemáticas como: influência atmosférica (verão/inverno), mudança da 
origem de fornecimento das matérias primas, equipes de trabalho, etc. 
 
Os resultados dos ensaios à compressão obedecem, muito aproximadamente, a uma 
curva normal de distribuição de frequências (curva de Gauss), conforme indica a Fig. 
2.1. 
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FIGURA 2.1 – Representação das dispersões. 
 
 
Para uma distribuição de resultados considerada normal, sendo n o número de corpos de 
prova ensaiados, a resistência à compressão média fcm e o desvio padrão s do lote são 
dados por: 
 
∑
=
=
n
1i
cicm fn
1
f , (2.1) 
( )
1
ff
n
1i
2
cmci
−
−
=
∑
=
n
s . 
(2.2) 
 
O problema prático que existe é, dado o diagrama de freqüências, determinar um valor 
que seja representativo da resistência do concreto. A média aritmética (Eq. 2.1) 
apresenta o inconveniente de não levar em conta a dispersão da série de valores. 
 
Analisando dois concretos com mesma resistência média e diferente dispersão, não há 
dúvidas de que o mais seguro é aquele de menor dispersão, pois possui menos pontos 
com resistência menor que a média (ver concretos 1 e 2 na Fig. 2.2). Desta forma, caso 
fosse adotadaa resistência média como parâmetro de resistência, deveriam ser 
utilizados coeficientes de segurança variáveis segundo a qualidade de execução do 
concreto. 
abcissa que mede a resistência de 
maior freqüência 
 s s 
fcm 
freqüência 
fci (MPa) 
ponto de inflexão 
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FIGURA 2.2 – Concretos com mesma resistência média e diferentes desvio padrão. 
 
1.2.1.2 Resistência característica do concreto (fck) 
 
É uma medida estatística que leva em conta a dispersão de resultados para a resistência 
à compressão de um lote de amostra. Define-se como resistência característica do 
concreto o valor mínimo estatístico acima do qual ficam situados 95% dos resultados 
experimentais (ver Fig. 2.3). 
 
Através do conhecimento matemático da curva de Gauss, tem-se: 
 
s1,645ff cmck −= . (2.3) 
 
Esta expressão pode ser usada quando o número de corpos de prova for maior ou igual a 
30 (n≥30). 
 
 
FIGURA 2.3 – Resistência característica do concreto. 
 
A resistência característica à compressão é considerada para a análise da dosagem dos 
materiais componentes do concreto e para a determinação da resistência de dosagem. O 
controle tecnológico do concreto fornecido ou fabricado na obra é feito considerando a 
resistência característica estimada à compressão (fck,est). A resistência característica 
estimada à compressão permite saber se o material com o qual se moldaram os 
elementos estruturais em concreto armado estão seguros, pois se espera que fck,est ≥ fck. 
 
fci 
fcm1 = fcm2 
freqüência 
fck1 fck2 
1 
2 
fci 
fcm 
freqüência 
fck 
95% 5% 
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A norma NBR 6118:2014 estabelece uma resistência característica mínima de 20 MPa 
para concretos apenas com armadura passiva (sem protensão) e 25 MPa para concretos 
com armadura de protensão (para casos de agressividade ambiental fraca). A norma 
também limita o valor máximo de resistência para o qual permanecem válidas as 
fórmulas e hipóteses estabelecidas em seu texto: 90 MPa. 
 
Conforme será apresentado posteriormente, quando o risco de deterioração da estrutura 
aumenta (ambientes industriais, marinhos, etc.), o valor da resistência característica 
mínima exigida por norma aumenta. Por exemplo, para ambientes marinhos 
(agressividade forte) deve-se utilizar concretos com fck ≥ 30 MPa. 
 
A partir da resistência característica, a NBR 6118:2014 define as classes de concreto, 
identificadas pela letra “C” e o número que representa a resistência característica à 
compressão aos 28 dias (exemplo: C25 – concreto com fck = 25 MPa). 
 
A NBR 8953:2015 indica que os concretos são classificados em grupos de resistência, 
grupo I e grupo II, conforme mostrado na Tabela 2.1. 
 
TABELA 2.1 – Grupos de resistências conforme a NBR 8953:1992 
 
Grupos de 
resistências 
Classes de concreto 
Grupo I C10 C15 C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 
Grupo II C55 C60 C70 C80 C90 
 
 
1.2.1.3 Variação da resistência à compressão no tempo 
 
A resistência à compressão do concreto sofre uma variação no tempo, em virtude das 
reações químicas decorrentes da hidratação do cimento. Esta variação depende, 
principalmente, do tipo de cimento e das condições de cura (ARAÚJO, 2003). 
 
No caso específico da resistência característica à compressão, quando se deseja 
conhecer a resistência em uma data j, inferior a 28 dias, a norma NBR 6118:2014 
permite adotar a expressão: 
 
fckj ≅ β1 fck, (2.4) 
 
sendo o coeficiente β1 dado por: 
 
β1 = exp { s [ 1 - (28/t)
1/2 ] }, (2.5) 
 
onde: 
s = 0,38 para concreto de cimento CPIII e IV; 
s = 0,25 para concreto de cimento CPI e II; 
s = 0,20 para concreto de cimento CPV-ARI; 
t é a idade efetiva do concreto, em dias (menor que 28 dias). 
 
Na Fig. 2.4 é mostrado a variação do coeficiente β1 = fckj / fck. 
 
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14 
Para idades superiores a 28 dias, emprega-se o valor de fck para a resistência à 
compressão característica. Porém, o fenômeno de hidratação do cimento continua 
ocorrendo durante muitos anos no concreto, o que causa ainda um pequeno ganho de 
resistência que compensa, em parte, o efeito do carregamento de longa duração. 
 
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
1.2
0 5 10 15 20 25 30
tempo (dias)
β1
 =
 f
ck
j 
/ f
ck
CP I e CP II
CP III e CP IV
CPV (ARI)
 
FIGURA 2.4 – Variação da resistência à compressão com a idade 
 
 
1.2.1.4 Carregamento de longa duração 
 
Entende-se como carregamento de longa duração as cargas que atuam de forma 
permanente na estrutura, como o peso próprio, revestimentos, paredes, etc. Está 
comprovado que a resistência à compressão do concreto para estas cargas é inferior 
àquela referente a carregamentos de curta duração. 
 
Desta forma, o diagrama σc×εc do concreto depende da velocidade de carregamento e, 
obviamente, da idade do concreto. A Fig. 2.5 apresenta os resultados correspondentes à 
idade do concreto de 28 dias, no instante de aplicação da carga. No eixo das abcissas 
têm-se as deformações de encurtamento e no eixo das ordenadas, as tensões de 
compressão em valor relativo (divididas pela resistência fc obtida em ensaio rápido). As 
duas curvas representam diferentes durações de carregamento até a ruptura. Para 
durações maiores, a tensão última cai assintoticamente para a resistência a longo prazo, 
da ordem de 80% da de curto prazo. Este fenômeno é conhecido como efeito Rüsch. 
 
Por ser um material com comportamento viscoso, o concreto está sujeito à fluência, que 
é o aumento de deformação ao longo do tempo sob carga constante (conforme será visto 
no item 2.2.3). Assim, se o nível de tensão atingido for superior à resistência a longo 
prazo (fc), como no ponto C da Fig. 2.5, poderá ocorrer a ruptura sobre a linha 
correspondente ao limite de resistência (ponto D) após certo tempo. Caso contrário, se o 
nível de tensão for inferior à resistência a longo prazo, como no ponto A, não haverá 
ruptura apesar do aumento (limitado) da deformação devido à fluência. 
 
 
 
 
 
 
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15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.5 – Efeito Rüsch. 
 
Para idades maiores do concreto, têm-se resultados semelhantes ao gráfico da Fig. 2.5, 
porém com deformações menores pois o efeito da fluência é menor. 
 
Em uma estrutura de concreto armado, como uma parcela significativa das cargas é 
aplicada e mantida constante durante toda a vida da estrutura (cargas permanentes), o 
projeto deve ser elaborado de forma a obter uma situação semelhante àquela 
representada pelo ponto A. Ou seja, devem-se limitar as tensões de compressão em um 
valor inferior ao obtido nos ensaios de curta duração. 
 
Considerando que em uma estrutura real nem todas as cargas são aplicadas aos 28 dias, 
nem são todas de longa duração, e que existe ainda um pequeno ganho de resistência do 
concreto com o tempo, as normas de projeto limitam a máxima tensão de compressão 
no concreto em 85% de sua resistência obtida em ensaios de curta duração. 
 
Segundo IBRACON (2004), este coeficiente de 0,85 leva em conta a superposição de 
três fatores: 
 
� perda de resistência sobre carga mantida (efeito Rüsch), da ordem de 0,72; 
� ganho de resistência com o tempo entre 28 dias e o final de vida da estrutura 
(para cimento tipo CP I), da ordem de 1,23; 
� coeficiente que corrige a influência da forma do corpo de prova padrão 
15×30cm com relação à resistência da estrutura, da ordem de 0,96. 
 
Assim, toma-se kmod = 0,72×1,23×0,96 = 0,85, também conhecido como coeficiente 
Rüsch. 
 
É importantíssimo, portanto, que se tenha em mente que toda a base de cálculo para 
estruturas de concreto armado e protendido estabelece um crescimento, após os 28 dias, 
de 23% para o concreto. Podem-se ter duas situações temerárias em relação a esta 
realidade (GRAZIANO, 2005): 
 
� resistência do concreto tomada como referênciaem idade posterior aos 28 dias; 
� concreto elaborado com traço de baixo crescimento de resistência após os 28 
dias. 
deformação 
0,2 
0,4 
0,6 
0,8 
1,0 
1,2 
relação σc/fc 
limite de resistência 
limite de fluência 
ensaio muito lento 
ensaio rápido 
A 
B 
C D 
fc = resistência do concreto 
no ensaio rápido 
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16 
 
Estas duas possibilidades práticas são reais e constituem um erro conceitual em relação 
à teoria básica das estruturas de concreto, pois representam uma perda real de segurança 
e devem ser tratadas de forma adequada, impondo-se, onde for o caso, de coeficientes 
kmod menores que 0,85. Tais situações são adotadas, por exemplo, no caso de concretos 
de alta resistência (fck>50 MPa), onde o crescimento após os 28 dias apresenta-se 
prejudicado (GRAZIANO, 2005). 
 
1.2.1.5 Módulo de elasticidade longitudinal 
 
O módulo de elasticidade é dado pela relação entre tensão × deformação, sendo esta 
sempre não-linear para qualquer tipo de concreto. Através da Fig. 2.6, observa-se que o 
concreto apresenta uma ruptura frágil, sem apresentar um patamar de escoamento e sem 
um limite de proporcionalidade (limite do domínio elástico) definido. 
 
O módulo de elasticidade tangente (Ect) de um material é a derivada da sua curva 
tensão-deformação no ponto A considerado, ou seja, 
 
ca
c
tct εεdε
df
tgE === ϕ . (2.6) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.6 – Diagrama tensão-deformação do concreto. 
 
 
Devido aos coeficientes de segurança impostos às cargas e à resistência do concreto, o 
concreto estará sujeito a uma tensão de serviço (fcs) inferior a 40% daquela que 
caracteriza sua ruptura à compressão (fcr) em ensaio de curta duração. Nesta faixa de 
trabalho a inclinação da curva muda pouco, então é interessante definir o módulo de 
elasticidade tangente inicial (Eci): 
 
0εdε
df
tgE coci === ϕ . (2.7) 
S 
A 
εc 
fc 
fca 
fcs ≈ 0,4fcr 
fcr 
εcr εca εcs O 
ϕo 
ϕs 
ϕt 
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17 
 
A partir de vários ensaios realizados, concluiu-se que o módulo de elasticidade na 
origem (ou inicial) pode ser determinado em função da resistência característica à 
compressão (fck), pela expressão: 
 
(MPa)f5600 . αE ckEci = , para fck de 20 a 50 MPa; (2.8) 
(MPa)1,25+
10
f
 α1021,5E
1/3
ck
E
3
ci 




⋅⋅⋅= , para fck de 55 a 90 MPa; 
 
(2.9) 
Sendo: 
αE = 1,2 para basalto e diabásio 
αE = 1,0 para granito e gnaisse 
αE = 0,9 para calcário 
αE = 0,7 para arenito 
 
 
O módulo de elasticidade inicial (Eci) deve ser empregado para a avaliação do 
comportamento global da estrutura por três razões principais (IBRACON, 2004): 
 
� para a estrutura toda é adequado avaliar a rigidez a partir de fcm; 
� existem significativas regiões da estrutura onde as tensões são baixas, abaixo de 
30% de fck; 
� nessas análises, uma parte das ações é usualmente dinâmica de curta duração 
(por exemplo o vento), para as quais o concreto tem uma resposta mais rígida. 
 
Para a determinação dos esforços solicitantes e verificação de estados limites, 
especialmente a avaliação das flechas, emprega-se o módulo de elasticidade secante 
(Ecs), definido por: 
 
cm
c
scs εε
ε
f
tgE === ϕ . (2.10) 
 
Desta forma, trabalha-se com um valor mais conservador para a deformabilidade do 
concreto em serviço. 
 
De forma simplificada, pode-se calcular o módulo de elasticidade secante em função do 
módulo na origem pela expressão: 
 
ciics EαE ⋅= . 
 
(2.11) 
Sendo: 
1,0
80
f
0,20,8α cki ≤+= . 
 
(2.12) 
 
Então, deve-se utilizar o módulo de elasticidade secante (Ecs) para determinar os 
esforços solicitantes e verificação das flechas e aberturas de fissuras (estados limites de 
serviço). O módulo de elasticidade inicial (Eci) será usado apenas para a avaliação da 
estabilidade global da estrutura (coeficientes de instabilidade). 
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18 
 
Segundo a NBR 6118:2014, na avaliação do comportamento de um elemento estrutural 
ou seção transversal, pode ser adotado módulo de elasticidade único, à tração e à 
compressão, igual ao módulo de deformação secante Ecs. Já para os cálculos de perdas 
de compressão, pode ser utilizado em projeto o módulo de elasticidade inicial Eci. 
 
É muito difícil estabelecer um único modelo para o módulo de elasticidade, pois este 
depende de vários fatores (IBRACON, 2004): 
 
� diferentes resistências à compressão do concreto; 
� diferentes consistências do concreto fresco; 
� diferentes volumes de pasta por metro cúbico de concreto; 
� diferentes estados de umidade dos corpos de prova no momento do ensaio; 
� diferentes velocidades de aplicação da carga ou da deformação; 
� diferentes diâmetros nominais do agregado graúdo; 
� diferentes dimensões dos corpos de prova; 
� diferentes temperaturas de ensaio; 
� diferentes naturezas do agregado graúdo; 
� diferentes idades. 
 
A tabela 2.2 apresenta valores estimados arredondados que podem ser usados no projeto 
estrutural. 
 
TABELA 2.2 – Valores estimados de módulo de elasticidade em função da resistência 
característica à compressão do concreto (considerando o uso de granito como agregado 
graúdo) 
Classe de 
resistência 
C20 C25 C30 C35 C40 C45 C50 C60 C70 C80 C90 
Eci 
(GPa) 
25 28 31 33 35 38 40 42 43 45 47 
Ecs 
(GPa) 
21 24 27 29 32 34 37 40 42 45 47 
αi 0,85 0,86 0,88 0,89 0,90 0,91 0,93 0,95 0,98 1,00 1,00 
 
O módulo de elasticidade em uma idade inferior à 28 dias, pode ser avaliado pelas 
expressões dadas, substituindo fck por fcj: 
( ) ( ) (MPa)E
f
tf
tE ci
0,5
c
c
ci ⋅





= , para fck de 20 a 45 MPa; (2.13) 
 
( ) ( ) (MPa)E
f
tf
tE ci
0,3
c
c
ci ⋅





= , para fck de 50 a 90 MPa; 
(2.14) 
Onde: 
Eci(t) é a estimativa do módulo de elasticidade do concreto em uma idade de 7 e 28 dias; 
fc(t) é a resistência à compressão do concreto na idade em que se pretende estimar o 
módulo de elasticidade, em megapascal (MPa). 
 
 
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19 
1.2.1.6 Coeficiente de Poisson e módulo de elasticidade transversal 
 
O coeficiente de Poisson “ν” é a relação entre a deformação lateral e a deformação 
axial. 
 
Para o concreto, observa-se uma variação para o coeficiente de Poisson entre 0,15 e 
0,25, não se podendo fazer qualquer relação consistente entre ele e a resistência à 
compressão, a granulometria do agregado, o fator a/c e o tempo de cura (Sánchez, 
1999). 
 
O módulo de elasticidade transversal pode ser obtido através da relação entre o módulo 
de elasticidade e o coeficiente de Poisson: 
 
ν)(12
E
G csc +
= . (2.15) 
 
De forma simplificada, a norma NBR 6118:2014 permite usar: 
 
csc E4,0G = , (2.16) 
 
o que significa assumir ν = 0,25. 
 
1.2.1.7 Diagrama tensão-deformação simplificado 
 
Visando estabelecer um critério comum ao dimensionamento, busca-se um diagrama 
ideal, matematicamente definido, que seja válido para diferentes resistências à 
compressão. Desta forma, para análise em estado limite último (análise na situação de 
ruptura) utiliza-se o diagrama parábola-retângulo, ilustrado na Fig. 2.7. 
 
Segundo este diagrama, o concreto atinge a tensão máxima com deformação específica 
dependendo da classe do concreto e sua ruptura ocorre com determinada deformação 
específica, também dependendo da classe do mesmo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.7 – Diagrama tensão-deformação simplificado. 
εc2 εcu 
 σc = 0,85 fcd [ 1 – (1- εc/εc2)
n] 
0,85 fcd 
εc 
σc 
Para fck ≤ 50 MPa: n = 2 
Para fck > 50 MPa: 
n = 1,4 + 23,4 [(90 − fck /100]4 
 
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20 
 
Os valores a serem adotados para os parâmetros εc2 (deformação específica de 
encurtamento do concreto no início do patamar plástico) e εcu (deformação específica de 
encurtamento do concretona ruptura) são definidos a seguir. 
 
- Para concretos de classes até C50: 
 εc2 = 2,0‰ 
 εcu = 3,5‰ 
 
- Para concretos de classes C55 até C90: 
 εc2 = 2,0‰ + 0,085‰ · (fck – 50)0,53; 
 εcu = 2,6‰ + 35‰ · [(90 - fck)/100]4. 
 
 
Na Fig. 2.7, a tensão fcd representa a resistência de cálculo à compressão do concreto. 
Conforme será visto no item 4, a resistência de cálculo é obtida dividindo-se a 
resistência característica pelo coeficiente de minoração de resistência (coeficiente de 
segurança). 
 
1.2.1.8 Resistência à tração 
 
Como o concreto é um material que resiste mal à tração, essa resistência é desprezada 
para o dimensionamento à flexão na ruptura. Entretanto, a resistência à tração está 
indiretamente relacionada com os mecanismos complementares de resistência do 
concreto ao esforço cortante e diretamente relacionada ao comportamento das peças em 
serviço (estados limites de deformação excessiva e de abertura de fissuras), pois neste 
caso é importante considerar a contribuição do concreto tracionado entre fissuras. 
 
Existem três tipos de ensaio para obter a resistência à tração: por flexo-compressão, 
compressão diametral e tração direta (ver Fig. 2.8). 
 
 
FIGURA 2.8 – Tipos de ensaio de resistência do concreto à tração. 
 
 
A resistência à tração direta fct (tração pura) pode ser considerada igual a 0,9 fct,sp 
(resistência obtida no ensaio diametral) ou 0,7 fct,f (resistência obtida no ensaio de flexo-
tração). 
 
(a) flexo-tração (b) compressão 
 diametral 
(c) tração pura 
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21 
No entanto, como todo projeto é desenvolvido a partir da resistência característica à 
compressão (fck), a NBR 6118:2014 estabelece as seguintes expressões para a 
resistência à tração direta média (fct,m): 
 
2/3
ckmct, f0,3f = , em MPa, para concretos de classes até C50; (2.17) 
)f0,11(1ln 2,12f ckmct, += , em MPa, para concretos de classes C55 até C90. (2.18) 
 
sendo que não se deve adotar valores inferiores a 0,7 fct,m e nem superiores a 1,3 fct,m: 
 
mct,supctk, f1,3f = , (2.19) 
mct,infctk, f0,7f = . (2.20) 
 
Os sub-índices “inf” e “sup” significam, respectivamente, valor inferior e valor superior. 
Na maioria das vezes emprega-se o valor fctk,inf, que representa a resistência 
característica inferior à tração. A resistência característica superior (fctk,sup) será usada 
apenas na determinação da armadura mínima, pois nesta situação se deseja saber a 
máxima resistência à tração do concreto, de forma a evitar a ruptura brusca. 
 
 
1.2.2 Características Reológicas 
 
Reologia é o ramo da mecânica que estuda a evolução de deformações de um material, 
produzidas por causas tensionais ao longo do tempo. 
 
1.2.2.1 Retração 
 
A retração do concreto (shrinkage) é uma deformação volumétrica independente do 
carregamento. Existem 4 tipos de retração: 
 
- retração plástica: variação do volume do concreto no estado fresco, devido à perda 
de água; 
 
- retração autógena: diminuição de volume durante o processo de hidratação do 
cimento (o volume dos compostos hidratados é menor que a soma dos compostos 
anidros mais água); 
 
- retração hidráulica irreversível: variação do volume do concreto endurecido pela 
saída da água (que não está quimicamente associada) através dos poros capilares; 
 
- retração hidráulica reversível: variação de volume devido à entrada e saída de água 
pelos poros capilares, devido à mudança de umidade. 
 
O fenômeno de retração cria condições de deformações diferenciais entre a periferia e o 
miolo e gera tensões capazes de provocar fissuração no concreto (caso não se utilize 
armadura para prevenir esta ocorrência). 
 
Os fatores que influem na retração do concreto são: 
 
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22 
• condições ambientais (maior umidade relativa do ar → menor retração plástica e 
hidráulica); 
• espessura da peça (maior espessura → menor retração hidráulica); 
• fator água/cimento (maior a/c → maior retração plástica e hidráulica); 
• consumo de cimento (maior consumo → maior retração autógena). 
 
A deformação de retração plástica e hidráulica (εcs) pode ser substancialmente reduzida 
caso se faça uma eficiente cura (manutenção da umidade do concreto fresco evitando a 
expulsão prematura da água quimicamente inerte). Quando esta diminuição não for 
suficiente, será necessário reduzir a distância máxima (L) em relação ao centro de 
dilatação (ver Fig. 2.11 e Eq. 2.21), utilizando-se juntas definitivas na estrutura (ou 
juntas de concretagem). 
 
ACcsA Lε∆L = . (2.21) 
 
 
 
FIGURA 2.11 – Junta de dilatação. Adaptado de Süssekind, 1984. 
 
 
Os valores finais da deformação específica de retração εcs(t∞,t0) do concreto, submetido 
a tensões menores que 0,5fc quando do primeiro carregamento, podem ser obtidos, por 
interpolação linear, a partir da Tab. 2.3. A variável t∞ significa que deseja-se conhecer a 
deformação no tempo infinito, enquanto t0 representa o número de dias de cura do 
concreto. 
 
TABELA 2.3 - Valores característicos superiores da deformação por retração εcs(t∞,t0). 
 
Umidade 
Ambiente (%) 
40 55 75 90 
Espessura 
Equivalente (cm) 
2Ac/u 
20 60 20 60 20 60 20 60 
εcs(t∞,t0) 
‰ 
t0 
dias 
5 -0,53 -0,47 -0,48 -0,43 -0,36 -0,32 -0,18 -0,15 
30 -0,44 -0,45 -0,41 -0,41 -0,33 -0,31 -0,17 -0,15 
60 -0,39 -0,43 -0,36 -0,40 -0,30 -0,31 -0,17 -0,15 
 
Essa tabela (Tab. 2.3) fornece o valor da deformação específica de retração εcs(t∞,to) em 
função da umidade ambiente e da espessura equivalente 2Ac/u, onde Ac é a área da 
seção transversal e u é o perímetro da seção em contato com a atmosfera. 
 
separação definitiva 
¢ 
LAC 
∆LA 
C 
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23 
Para avaliar as deformações específicas devidas à retração de forma mais precisa, deve-
se consultar o Anexo A da NBR 6118:2014. Quando não existirem maiores 
informações, pode-se considerar, simplificadamente, εcs = -15×10-5 (esse valor admite 
elementos estruturais de dimensões usuais, entre 10cm e 100cm, sujeitos a umidade 
ambiente não inferior a 75%). 
 
Como será visto no item seguinte, a ordem de grandeza das deformações por retração é 
a mesma das deformações por variação de temperatura (10-5). Por isso, costuma-se 
relacionar o encurtamento devido à retração a uma variação (queda) de temperatura 
equivalente (por exemplo: εcs=-15×10-5 corresponde a uma variação de -15ºC). 
 
No cálculo das estruturas, esta variação equivalente de temperatura deve ser adicionada 
à variação de temperatura propriamente dita. Em casos de queda de temperatura, pode-
se chegar a um efeito global da ordem de –30ºC. 
 
1.2.2.2 Efeito térmico 
 
Os efeitos da temperatura no concreto podem ter sua origem tanto externa como interna. 
 
O efeito térmico interno é causado pelo processo de hidratação do cimento, que resulta 
em uma reação altamente exotérmica. Dependendo do tipo de cimento, pode-se ter um 
aumento de 50ºC a 60ºC. Quando do esfriamento, ocorre uma contração conhecida 
como retração térmica, que pode causar fissuras no concreto, principalmente por estar 
normalmente associada à retração hidráulica. Este efeito é mais importante em 
estruturas com grande volume (maior dificuldade de dissipação do calor) e em concretos 
de alto desempenho (CAD), devido ao elevado consumo de cimento. 
 
Como medidas preventivas à retração térmica, podem-se usar cimentos de baixo calor 
de hidratação, substituir parte da água do concreto por escamas de gelo ou utilizar 
materiais resfriados para a produção do concreto, reduzir o consumo de cimento, adotar 
juntas de concretagem, usar adições ou fibras no concreto e realizar a concretagem em 
horários com menor temperatura ambiental. 
 
Do ponto de vista externo, as condições climáticas como calor e frio causam variação 
no comprimento das peças,o que pode gerar fissuras nos revestimentos, especialmente 
na interface entre o concreto e a alvenaria. 
 
Supõe-se que as variações da temperatura externa sejam uniformes ao longo da 
estrutura, salvo quando existem grandes gradientes térmicos entre partes diferentes da 
estrutura. Então, pode-se recorrer à fórmula da física: 
 
εct = α ∆T, (2.22) 
 
onde α é o coeficiente de dilatação, εct é a deformação devida à variação de temperatura 
∆T. A NBR 6118:2014 recomenda usar α = 10-5/ºC. 
 
De maneira genérica podem ser adotados os seguintes valores para a variação de 
temperatura: 
 
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24 
a) para elementos estruturais cuja menor dimensão não seja superior a 50cm, deve ser 
considerada uma oscilação de temperatura em torno da média de 10ºC a 15ºC ; 
 
b) para elementos estruturais maciços ou ocos com os espaços vazios inteiramente 
fechados, cuja menor dimensão seja superior a 70cm, admite-se que essa oscilação seja 
reduzida, respectivamente, para 5ºC a 10ºC; 
 
c) para elementos estruturais cuja menor dimensão esteja entre 50cm e 70cm, admite-se 
que seja feita uma interpolação linear entre os valores acima indicados. 
 
A escolha de um valor entre esses dois limites pode ser feita considerando 50% da 
diferença entre as temperaturas médias de verão e inverno, no local da obra. 
 
Para diminuir o efeito da variação de temperatura externa, podem-se adotar juntas de 
dilatação. Normalmente esta medida é realizada quando a construção apresenta um 
comprimento maior que 30m em planta. Além disso, devem-se usar dispositivos para 
isolamento térmico das lajes de cobertura. 
 
1.2.2.3 Deformação lenta (fluência) 
 
A fluência (creep) é uma deformação que depende do carregamento. Constata-se, na 
prática, que a deformação de uma peça de concreto armado pode ser maior em um 
tempo t do que aquela observada anteriormente, mantido o mesmo carregamento. 
 
A fluência é dividida em fluência básica e fluência por secagem. A fluência básica é a 
acomodação interna do material submetido a uma tensão constante (fenômeno contrário 
à relaxação). A fluência por secagem é análoga à retração hidráulica, ou seja, é a perda 
de água para o ambiente potencializada devido às tensões de compressão. 
 
Seja a peça de concreto da Fig. 2.12, carregada axialmente com pressão constante ao 
longo do tempo e igual a σc. No instante de aplicação da carga, a peça sofre uma 
deformação específica imediata dada por: 
 
ci
cci
ci E
σ
L
∆L
ε == . (2.23) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.12 – Deformação lenta (fluência). Adaptado de Süssekind, 1984. 
 
Devido a esta deformação imediata ∆Lci, ocorre uma redução de volume da peça, 
provocando o deslocamento de água quimicamente inerte para regiões onde sua 
σc 
σc 
σc 
L 
esquema estático deformação imediata deformação final 
∆Lci ∆Lcc 
∆Lct 
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25 
evaporação já tenha se processado. Isto desencadeia um processo ao longo do tempo 
que é análogo à retração hidráulica irreversível (fluência por secagem). Além disso, com 
o tempo ocorre uma acomodação interna das partículas do concreto (fluência básica). 
Assim, a deformação inicial ∆Lci continua crescendo até um máximo ∆Lct no tempo 
infinito (mantido constante o carregamento). 
 
Da Fig. 2.13 tem-se: 
cccict εεε += , (2.24) 
 
sendo ccε a deformação lenta e ctε a deformação específica total. 
 
Assim como a retração, a deformação lenta é mais rápida no início (ver Fig. 2.9), tendo 
tendência assintótica com o tempo, atingindo a deformação final após um período de 2 a 
3 anos. 
 
Conforme indica a Fig. 2.14, uma grande parcela da deformação lenta é irreversível e 
seu efeito será maior quanto mais novo for o concreto (quando mais cedo se aplicar o 
carregamento). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.13 – Evolução da deformação com o tempo. Adaptado de Süssekind, 1984. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 2.14 – Ensaio de carga-descarga-recarga. Adaptado de Süssekind, 1984. 
εct 
εci 
εcc (t) = ϕ(t) εci 
εcc ∞ εct ∞ 
tempo ± 2 anos 
εct 
εcc1 
tempo 
εct ∞ 
εci1 
2 anos 1 ano 28 dias 
(descarga) (recarregamento) 
εci2 
εcc2 
εci3 
εcc3 
∆ 
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26 
 
 
Então, pode-se concluir que a fluência depende dos seguintes fatores: 
 
• condições ambientais (maior umidade relativa do ar → menor fluência); 
• espessura da peça (maior espessura → menor fluência); 
• fator água/cimento (maior a/c → maior fluência); 
• idade do concreto quando do carregamento (idade menor → maior fluência). 
 
Na norma NBR 6118:2014 existem dois coeficientes que consideram o efeito da 
fluência: ϕ e αf. O coeficiente ϕ é utilizado para determinar as deformações de fluência 
em função das deformações imediatas: 
 
εcc (t) = ϕ(t) εci. (2.25) 
 
O coeficiente αf é empregado para o cálculo da parcela dos deslocamentos (flechas em 
vigas e lajes) em função dos deslocamentos instantâneos (imediatos). Assim, a flecha 
total em uma viga no estádio II, no tempo infinito, é dada por: 
 
δ(t→ ∞) = (1 + αf) . δ(t=0) (2.26) 
 
A Fig. 2.15 mostra a relação entre os dois coeficientes. Nas vigas de concreto armado 
existe um acréscimo de deslocamentos devido ao encurtamento que ocorre na região 
comprimida devido à fluência (ver Fig. 2.15). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.15 – Consideração da fluência no cálculo da flecha em viga. 
 
 
Os valores do coeficiente ϕ podem ser determinados de forma simplificada pela Tab. 
2.4 ou, de forma mais precisa, através do Anexo A da NBR 6118:2014. A variável t∞ 
significa que deseja-se conhecer a deformação no tempo infinito, enquanto t0 representa 
o início do carregamento, em dias. Na Tab. 2.4, Ac é a área da seção transversal e u é o 
perímetro da seção em contato com a atmosfera. 
 
 
 
 
 
 
δ(t=0) 
δ(t→∞) = (1+αf) δ(t=0) 
εci εct ∞ = (1+ϕ) εci 
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27 
TABELA 2.4 - Valores característicos superiores do coeficiente de fluência ϕ(t∞,t0). 
 
Umidade 
Ambiente (%) 
40 55 75 90 
Espessura 
Equivalente (cm) 
2Ac/u 
20 60 20 60 20 60 20 60 
ϕ(t∞,t0) 
Concreto 
das classes 
C20 a C45 t
0 
dias 
5 4,6 3,8 3,9 3,3 2,8 2,4 2,0 1,9 
30 3,4 3,0 2,9 2,6 2,2 2,0 1,6 1,5 
60 2,9 2,7 2,5 2,3 1,9 1,8 1,4 1,4 
ϕ(t∞,t0) 
Concreto 
das classes 
C50 a C90 
5 2,7 2,4 2,4 2,1 1,9 1,8 1,6 1,5 
30 2,0 1,8 1,7 1,6 1,4 1,3 1,1 1,1 
60 1,7 1,6 1,5 1,4 1,2 1,2 1,0 1,0 
 
 
 
1.3 Aço 
 
1.3.1 Tipos de aços 
 
1.3.1.1 Classificação quanto à protensão 
 
a) Aço de armadura passiva 
 
As armaduras passivas são aquelas colocadas livres de tensões no interior do concreto. 
O concreto neste caso é chamado de concreto armado. O aço de armadura passiva é 
constituído de fios e barras. As especificações destes elementos são tratadas na 
NBR7480/96 (Barras e fios de aço destinados a armaduras para concreto). 
 
b) Aço de armadura ativa 
 
As armaduras que são colocadas dentro do concreto sob tensão denominam-se ativas. 
Cria-se um estado de tensões iniciais destinado a melhorar as condições de 
funcionamento da peça. O concreto neste caso é chamado de concreto protendido. 
 
1.3.1.2 Processo de fabricação 
 
Os aços para concreto armado podem ser classificados em: aços de dureza natural 
(laminado à quente) e os encruados a frio. 
 
Os laminados à quente não sofrem qualquer tipo de tratamento após a laminação. Neste 
processo, o metal é levado a rubro (cerca de 1200ºC) e forçado a passar entre cilindros 
cada vez mais estreitos. O aço é então deixado esfriar lentamente e, posteriormente, 
reaquecido em forno a gás até a temperatura de laminação à quente(Sánchez, 1999). 
 
Sua resistência é obtida apenas devido a sua composição química (ligas especiais). Em 
geral estes aços se caracterizam pela presença de um patamar de escoamento definido 
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28 
no diagrama tensão-deformação, conforme o diagrama mostrado na Fig. 3.1. Os aços 
laminados à quente não perdem suas propriedades de resistências quando aquecidos, por 
isso podem ser soldados e apresentam melhor comportamento sob exposição ao fogo. 
 
O encruamento a frio é realizado após a laminação à quente. Através deste 
procedimento, aumentam-se a resistência à tração e a dureza do aço, por outro lado, 
diminuem-se a dutilidade e o alongamento. 
 
O processo de trefilação (tração) é uma forma de encruamento a frio no qual há uma 
compressão diametral do fio durante sua passagem pela fileira, cujo diâmetro é 
ligeiramente inferior ao da barra, e uma tração elevada. Desta forma, ocorre uma 
mudança de textura e aumento de resistência do aço. O alongamento na ruptura diminui 
de 20‰ para cerca de 6 a 8‰ (Sánchez, 1999). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.1 – Diagrama tensão-deformação para aços laminados à quente. 
 
Os aços trefilados não possuem um patamar de escoamento no diagrama tensão-
deformação. Adota-se uma tensão de escoamento convencional, obtida traçando-se, a 
partir da deformação específica residual de 2‰, uma reta paralela ao trecho linear do 
diagrama. A ordenada correspondente à interseção da referida reta com o gráfico será a 
tensão de escoamento do aço, conforme ilustrado no diagrama da Fig. 3.2. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
εs 
σs 
fy 
fu 
escoamento 
ruptura 
regime 
elástico 
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29 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
FIGURA 3.2 – Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio. 
 
 
1.3.1.3 Classificação em barras e fios 
 
Barras são aços com diâmetro nominal igual ou superior a 6,3mm, obtidas por 
laminação à quente, sem posterior deformação a frio. Segundo o valor característico da 
tensão de escoamento, as barras podem ser CA-25 e CA-50. 
 
Fios possuem diâmetro nominal igual ou inferior a 9,5mm e são obtidos por trefilação 
ou outro processo equivalente (estiramento). Os fios produzidos para o mercado 
brasileiro são sempre CA-60. 
 
1.3.1.4 Denominação 
 
Na designação das barras e fios é usado o prefixo CA, indicativo de seu emprego no 
concreto armado, seguido do valor característico da tensão de escoamento fy (em 
kN/cm2). Assim: 
 
• CA-25 → fyk = 25 kN/cm2 = 250 MPa (barras de baixa resistência, pouco usadas 
atualmente); 
• CA-50 → fyk = 50 kN/cm2 = 500 MPa (barras empregadas, principalmente, para 
armadura longitudinal de lajes, vigas e pilares); 
• CA-60 → fyk = 60 kN/cm2 = 600 MPa (fios empregados, principalmente, para 
estribos em vigas e pilares e armadura longitudinal de lajes). 
 
1.3.1.5 Bitolas comerciais 
 
Nas peças de concreto armado, é proibido o emprego simultâneo de diferentes 
categorias, para evitar confusão no canteiro de obras. Entretanto, esse emprego é 
permitido desde que uma das categorias seja empregada na armadura longitudinal 
(geralmente CA-50) e a outra na armadura transversal de vigas e pilares (geralmente 
CA-60). 
 
fu 
2‰ εs 
σs 
fy tensão 
convencional 
ruptura 
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30 
As barras e fios utilizados como armaduras de peças de concreto armado são fornecidos 
com comprimento de 12m, sendo comercialmente utilizados os seguintes diâmetros (em 
milímetro): 
 
Fios (CA-60) → 3,4 4,2* 5,0* 6,0 7,0 8,0 9,5; 
Barras (CA-25/CA-50) → 6,3* 8,0* 10,0* 12,5* 16,0* 20,0* 25,0* 32,0 40,0. 
 
(*) fios e barras mais utilizados comercialmente, os quais serão empregados nos 
exemplos (ver Tab. 3.1). 
 
 
TABELA 3.1 – Bitolas comerciais mais utilizadas. 
 
Categoria 
Fios / Barras 
Bitolas (mm) 
Bitolas 
(em polegadas) 
Massa linear 
(kg/m) 
Área da seção 
(cm2) 
CA-60 
4,2 - 0,11 0,139 
5,0 3/16” 0,16 0,2 
CA-50 
6,3 1/4” 0,25 0,315 
8,0 5/16” 0,40 0,5 
10,0 3/8” 0,63 0,8 
12,5 1/2” 1,00 1,25 
16,0 5/8” 1,60 2,0 
20,0 3/4” 2,50 3,15 
25,0 1” 4,00 5,0 
 
 
 
1.3.1.6 Características de aderência 
 
As primeiras barras de aço empregadas nas peças de concreto armado foram barras 
redondas e lisas (CA-25). Estas funcionavam muito bem, porém exigiam grande 
quantidade de barras. Desenvolveram-se então os aços de alta resistência (CA-50 e CA-
60), os quais exigiram a presença de nervuras ou mossas para aumentar a aderência e 
limitar a fissuração do concreto. 
 
Esta rugosidade obtida através de nervuras ou entalhes é medida pelo coeficiente η1, 
cujo valor está relacionado ao coeficiente de conformação superficial ηb, como 
estabelecido na Tab. 3.2. 
 
Com relação ao coeficiente de conformação superficial, existem três classes: 
 
- barras lisas com ηb = 1,0 (CA-25); 
- barras entalhadas com ηb = 1,2 (CA-60); 
- barras de alta aderência (nervuradas) com ηb = 1,5 (CA-50). 
 
 
 
 
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31 
TABELA 3.2 – Relação entre η1 e ηb 
Tipo de barra ηb η1 
Lisa (CA-25) 1,0 1,0 
Entalhada (CA-60) 1,2 1,4 
Nervurada (CA-50) ≥1,5 2,25 
 
 
1.3.2 Características mecânicas 
 
1.3.2.1 Massa específica 
 
Pode-se assumir para a massa específica do aço de concreto armado o valor de 78,5 
kN/m3 (7.850 kg/m3). 
 
1.3.2.2 Módulo de elasticidade (Es) 
 
Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, o módulo de elasticidade do 
aço pode ser admitido igual a 210 GPa (210000 MPa). 
 
1.3.2.3 Diagrama tensão-deformação 
 
Para o dimensionamento utiliza-se o diagrama bilinear mostrado na Fig. 3.3. Como 
simplificação, a norma NBR 6118:2014 permite que seja utilizado este diagrama tanto 
para os aços laminados à quente como para os aços encruados a frio. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 trechos: 




→≤≤
→≤≤
 f =σ 10% ε ε
 ε E =σ ε ε 0 
 
ydsdsdyd
sdssdydsd
0
 
 
FIGURA 3.3 – Diagrama tensão-deformação simplificado. 
 
No trecho inicial, o aço apresenta comportamento linear, até atingir a resistência de 
escoamento de cálculo (fyd). Conforme será visto no item 4, a resistência de cálculo é 
obtida dividindo-se a resistência característica pelo coeficiente de minoração de 
resistência (coeficiente de segurança). 
 
ϕ 
ϕ 
fyd 
fyd 
σs 
εyd 10‰ 
3,5‰ 
εs 
alongamento 
de ruptura 
 
encurtamento 
de ruptura concreto 
 
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32 
No regime elástico, o material obedece a lei de Hooke, ou seja, σsd = Es εsd (sendo Es = 
tg ϕ). Sabendo-se o valor do módulo de elasticidade do aço (Es=210 GPa), pode-se 
determinar a deformação específica de escoamento de cálculo do aço (εyd = fyd / Es). 
 
Para deformações acima de εyd, o material atinge o regime plástico, ou seja, σsd = fyd. A 
limitação em 10‰ para o alongamento de ruptura do aço visa apenas evitar deformação 
excessiva da peça em um estágio próximo à ruptura. Este diagrama também é válido 
para resistência à compressão, ou seja, f’y = fy, mas deve-se adotar limitação de εcu para 
compressão, pois este é o valor do encurtamento máximo permitido ao concreto. 
 
 
1.4 Segurança 
 
Existe a necessidade de utilizar coeficientes de segurança devido a fatores como: 
incerteza dos valores das resistências dos materiais; erros na geometria das peças; 
incerteza das cargas; simplificações dos métodos de cálculos, entre outros. 
 
O dimensionamento em concreto armado é realizado através do método dos estados 
limites últimos, que é um método probabilístico com coeficientes parciais de segurança. 
Neste método, a segurança à ruptura é atingida determinando-se as solicitações 
correspondentes às cargas de cálculo (majoradas por coeficientes parciais de segurança) 
e comparando seus valores com as solicitações resistentesúltimas (obtidas com as 
resistências minoradas pelos coeficientes parciais de segurança). 
 
Ou seja, majoram-se os valores das ações para obter os esforços de cálculo e minoram-
se as resistências para determinar os esforços resistentes. 
 
Assim, as condições de segurança estabelecem que as resistências não devem ser 
menores que as solicitações, ou seja2: 
 
Rd ≥ Sd , (4.1) 
 
onde Sd representa os valores de cálculo dos esforços resistentes (minorados) e Fd os 
valores de cálculo dos esforços solicitantes (majorados). Para os esforços resistentes, 
utilizam-se as resistências fd minoradas, e para os esforços solicitantes, empregam-se as 
ações Fd majoradas (no caso de verificação à ruptura). 
 
1.4.1 Estados limites 
 
Uma estrutura, ou parte dela, é considerada inadequada a sua finalidade quando ela 
atinge um estado particular, dito estado limite, no qual ela não atende critérios 
condicionantes ao seu comportamento ou ao seu uso. O objetivo do cálculo de uma 
estrutura de concreto armado é o de garantir, a um só tempo, estabilidade, conforto e 
durabilidade. 
 
Estados limites podem ser classificados em estados limites últimos (ELU) e estados 
limites de serviço (ELS). 
 
 
2 o sub-índice “d” representa valor de cálculo ou de projeto (design). 
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33 
Os estados limites últimos (ELU) são aqueles que correspondem ao esgotamento da 
capacidade portante da estrutura, em parte ou no todo. Nas estruturas de concreto 
armado, devem ser verificados os seguintes estados limites: 
 
a) estado limite último da perda do equilíbrio da estrutura, admitida como corpo 
rígido; 
 
b) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu 
todo ou em parte, devido às solicitações normais e tangenciais; 
 
c) estado limite último de esgotamento da capacidade resistente da estrutura, no seu 
todo ou em parte, considerando os efeitos de segunda ordem; 
 
d) estado limite último provocado por solicitações dinâmicas; 
 
e) outros estados limites últimos que eventualmente possam ocorrer em casos 
especiais. 
 
Os estados limites de serviço (ELS) são aqueles relacionados à durabilidade das 
estruturas, aparência, conforto ao usuário e a boa utilização funcional da mesma, seja 
em relação aos usuários, seja às máquinas e aos equipamentos utilizados. Os estados 
limites de serviço que devem ser verificados nas estruturas de concreto armado são: 
 
a) estado limite de abertura de fissuras (ELS-W); 
 
b) estado limite de deformações excessivas (ELS-DEF); 
 
c) estado limite de vibrações excessivas (ELS-VE). 
 
Na fase de dimensionamento, para os estados limites últimos, trabalha-se com as 
solicitações majoradas por coeficientes de segurança, de modo a obter solicitações “na 
ruptura”, comparando-as à capacidade portante da estrutura (com valores para a 
resistência dos materiais minorados). Para os estados limites de serviço, empregam-se 
as solicitações efetivamente atuantes (sem majorá-las de qualquer fator) e resistências 
médias. 
 
 
1.4.2 Resistências 
 
1.4.2.1 Valores característicos 
 
Os valores característicos fk das resistências são os que, num lote de material, têm uma 
determinada probabilidade de serem ultrapassados, no sentido desfavorável para a 
segurança (item 12.2 NBR 6118:2014). 
 
Usualmente é de interesse a resistência característica inferior fk,inf., cujo valor é menor 
que a resistência média fm, embora por vezes haja interesse na resistência característica 
superior fk,sup, cujo valor é maior que fm. 
 
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34 
A resistência característica inferior é admitida como sendo o valor que tem apenas 5% 
de probabilidade de não ser atingido pelos elementos de um dado lote de material. 
 
1.4.2.2 Valores de cálculo 
 
A resistência de cálculo fd é dada pela expressão: 
 
m
k
d
γ
f
f = , (4.2) 
 
onde fk é a resistência característica inferior e γm é o coeficiente de ponderação das 
resistências. 
 
1.4.2.3 Coeficientes de ponderação das resistências 
 
As resistências devem ser minoradas pelo coeficiente γm. Para o estado limite último, os 
valores dos coeficientes estão indicados na Tab.4.1. 
 
TABELA 4.1 - Valores dos coeficientes γc e γs. 
 
Combinações 
Concreto 
γm = γc 
Aço 
γm = γs 
Normais 1,4 1,15 
Especiais ou de construção 1,2 1,15 
Excepcionais 1,2 1,0 
 
Para o estado limite de serviço, não é necessário usar coeficientes de minoração e, 
portanto, γm = 1,0. 
 
1.4.3 Ações 
 
Denomina-se ação qualquer influência, ou conjunto de influências, capaz de produzir 
estados de tensão em uma estrutura. 
 
As ações classificam-se em: 
 
- Ações permanentes; 
- Ações variáveis; 
- Ações excepcionais. 
 
1.4.3.1 Ações permanentes 
 
Ações permanentes são as que ocorrem com valores praticamente constantes durante 
toda a vida da construção. Também são consideradas como permanentes as ações que 
crescem no tempo tendendo a um valor limite constante. 
 
a) Ações permanentes diretas 
 
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35 
As ações permanentes diretas são constituídas pelo peso próprio da estrutura e pelos 
pesos dos elementos construtivos fixos e das instalações permanentes (peso próprio, 
peso dos elementos construtivos fixos e de instalações permanentes, empuxos 
permanentes). 
 
b) Ações permanentes indiretas 
 
As ações permanentes indiretas são constituídas pelas deformações impostas por: 
retração e fluência do concreto, deslocamentos de apoio, imperfeições geométricas e 
protensão. 
 
1.4.3.2 Ações variáveis 
 
a) Ações variáveis diretas 
 
As ações variáveis diretas são constituídas pelas cargas acidentais previstas para o uso 
da construção, pela ação do vento e da chuva, devendo-se respeitar as prescrições feitas 
por normas brasileiras específicas. 
 
As cargas acidentais previstas para o uso da construção referem-se a carregamentos 
devido a pessoas, móveis, utensílios e veículos. Estas cargas são, na maioria dos casos, 
supostas uniformemente distribuídas e seus valores mínimos estão fixados pela NBR-
6120 (Cargas para o cálculo de estruturas de edificações). 
 
A consideração da ação do vento é obrigatória e os esforços resultantes devem ser 
determinados de acordo com o prescrito pela NBR 6123. 
 
b) Ações variáveis indiretas 
 
As ações variáveis indiretas são causadas por variações uniformes e não uniformes de 
temperatura. 
 
c) Ações dinâmicas 
 
Quando a estrutura, pelas suas condições de uso, está sujeita a choques ou vibrações, os 
respectivos efeitos devem ser considerados na determinação das solicitações e a 
possibilidade de fadiga deve ser considerada no dimensionamento dos elementos 
estruturais. 
 
1.4.3.3 Ações excepcionais 
 
No projeto de estruturas sujeitas a situações excepcionais de carregamento, cujos efeitos 
não possam ser controlados por outros meios, devem ser consideradas ações 
excepcionais com os valores definidos, em cada caso particular, por normas brasileiras 
específicas. 
 
1.4.4 Valores de cálculo das ações 
 
Os valores de cálculo Fd das ações são obtidos a partir dos valores representativos, 
multiplicando-os pelos respectivos coeficientes de ponderação γf , dados por: 
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36 
 
γf = γf1 γf2 γf3 , (4.3) 
 
onde: 
γf1: considera a variabilidade das ações; 
γf2: considera a simultaneidade de atuação das ações; 
γf3: considera os desvios gerados nas construções, não explicitamente 
considerados, e as aproximações feitas em projeto do ponto de vista das solicitações. 
 
a) Coeficientes no estado limite último – ELU 
 
Os valores base para verificação são os apresentados nas Tab. 4.2 e 4.3, para γf1.γf3 e γf2, 
respectivamente. 
 
TABELA 4.2 - Coeficiente γf = γf1.γf3 
Combinações de 
ações 
Ações 
Permanentes 
(g) 
Variáveis 
(q) 
Recalques de apoio eretração 
D1) F G T D F 
Normais 1,4 1,0 1,4 1,2 1,2 0 
Especiais ou de 
construção 
1,3 1,0 1,2 1,0 1,2 0 
Excepcionais 1,2 1,0 1,0 0 0 0 
D = desfavorável, F = favorável, G = geral, T = temporária. 
1) Para as cargas permanentes de pequena variabilidade, como o peso próprio das 
estruturas, especialmente as pré-moldadas, esse coeficiente pode ser reduzido para 1,3. 
 
 
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37 
TABELA 4.3 - Valores do coeficiente γf2 
Ações 
γf2 
ψo ψ11) ψ2 
 
 
 
Cargas 
acidentais de 
edifícios 
Locais em que não há predominância de pesos 
de equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, nem de elevadas 
concentrações de pessoas 2) 
 
Locais em que há predominância de pesos de 
equipamentos que permanecem fixos por 
longos períodos de tempo, ou de elevada 
concentração de pessoas 3) 
 
Biblioteca, arquivos, oficinas e garagens 
 
 
0,5 
 
 
 
0,7 
 
 
 
0,8 
 
 
0,4 
 
 
 
0,6 
 
 
 
0,7 
 
 
0,3 
 
 
 
0,4 
 
 
 
0,6 
Vento 
Pressão dinâmica do vento nas estruturas em 
geral 0,6 0,3 0 
Temperatura 
Variações uniformes de temperatura em relação 
à média anual local 0,6 0,5 0,3 
1) Para os valores de ψ1 relativos às pontes e principalmente aos problemas de fadiga, 
consultar a seção 23 da NBR 6118:2014. 
2) Edifícios residenciais. 
3) Edifícios comerciais e de escritórios. 
 
 
b) Coeficientes no estado limite de serviço – ELS 
 
Em geral, o coeficiente de ponderação das ações para estados limites de serviço é dado 
pela expressão: 
 
γf = 1 γf2, (4.4) 
 
onde γf2 tem valor variável conforme a verificação que se deseja fazer (Tab. 4.3): 
 
γf2 = 1 para combinações raras; 
γf2 = ψ1 para combinações freqüentes; 
γf2 = ψ2 para combinações quase permanentes. 
 
1.4.5 Combinação de ações 
 
Um carregamento é definido pela combinação das ações que têm probabilidades não 
desprezíveis de atuarem simultaneamente sobre a estrutura, durante um período pré-
estabelecido. 
 
A combinação das ações deve ser feita de forma que possam ser determinados os efeitos 
mais desfavoráveis para a estrutura e a verificação da segurança em relação aos estados 
limites últimos e aos estados limites de serviço deve ser realizada em função de 
combinações últimas e combinações de serviço, respectivamente. 
 
1.4.5.1 Combinações últimas 
 
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Uma combinação última pode ser classificada em normal, especial ou de construção e 
excepcional. 
 
a) Combinações últimas normais 
 
Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes (Fg) e a ação variável (Fq) 
principal, com seus valores característicos, e as demais ações variáveis, consideradas 
como secundárias, com seus valores reduzidos de combinação. Assim, pode-se escrever: 
 
Fd = γgFgk + γεgFεgk + γq (Fq1k + Σ ψojFqjk) + γεq ψoε Fqk , (4.5) 
 
onde: 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última; 
Fgk representa as ações permanentes diretas; 
Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como a 
temperatura Fεqk; 
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; 
γg, γεg, γq, γεq – ver Tab. 4.2; 
ψoj, ψoε - ver Tab. 4.3. 
 
Esta é a combinação utilizada na maioria dos casos para o dimensionamento no ELU. 
 
b) Combinações últimas especiais ou de construção 
 
No caso das ações especiais ou de construção, vale a mesma combinação que para as 
normais (a), tendo os termos o mesmo significado. A diferença é que ψ0 pode ser 
substituído por ψ2 quando a atuação da ação principal (Fq1k) tiver duração muito curta. 
 
c) Combinações últimas excepcionais 
 
Em cada combinação devem figurar: as ações permanentes e a ação variável 
excepcional, quando existir, com seus valores representativos, e as demais ações 
variáveis com probabilidade não desprezível de ocorrência simultânea, com seus valores 
reduzidos de combinação (ver Tab. 4.5). 
 
Para facilitar o entendimento, essas combinações estão dispostas na Tab. 4.5. 
 
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TABELA 4.5 – Combinações últimas (NBR 6118:2014). 
 
Combinações últimas 
(ELU) 
Cálculo das solicitações 
Normais Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fqk 
Especiais ou de 
construção Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + γq (Fq1k + Σ ψoj Fqjk) + γεq ψoε Fεqk 
Excepcionais Fd = γg Fgk + γεg Fεgk + Fq1exc + γq Σ ψoj Fqjk + γεq ψoε Fεqk 
Fd é o valor de cálculo das ações para combinação última 
Fgk representa as ações permanentes diretas 
Fεk representa as ações indiretas permanentes como a retração Fεgk e variáveis como 
a temperatura Fεqk 
Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal 
γg, γεg, γq, γεq – ver Tab. 4.2 
ψoj, ψoε - ver Tab. 4.3 
 
 
No caso de estruturas usuais de edifícios, as combinações que consideram a redução do 
efeito favorável das cargas permanentes (γg =1,0) não precisam ser consideradas. Nestes 
casos, deve-se apenas prestar atenção à distribuição das cargas acidentais, que podem 
produzir efeitos favoráveis em alguns casos. 
 
Uma vez que parte do carregamento é variável, deve-se determinar as envoltórias de 
esforços solicitantes para efeito de dimensionamento. Para isto, é necessário pesquisar 
as posições das cargas acidentais que levam aos máximos e aos mínimos valores de 
esforços solicitantes. 
 
No caso de vigas de edifícios, essas envoltórias podem ser obtidas admitindo-se cada 
tramo totalmente carregado ou totalmente descarregado das cargas acidentais. 
 
O exemplo da Fig. 4.1 ilustra um caso em que se deve selecionar as cargas acidentais de 
forma a obter os maiores momentos na viga contínua. Este procedimento é importante 
quando se tem cargas acidentais de mesma grandeza das cargas permanentes. 
 
Neste exemplo (Fig. 4.1), os máximos momentos seriam calculados na forma: 
 
- momento positivo do vão 1: 
Md = 1,4Mgk + 1,4(Mq1k + Mq3k) = 1,4×15,3 + 1,4×(16,5 + 1,3) = 46,34 kN.m. 
 
- momento positivo do vão 2: 
Md = 1,4Mgk + 1,4Mq2k = 1,4×0,2 + 1,4×9,8 = 14,0 kN.m. 
 
- momento negativo no apoio 2: 
Md = 1,4Mgk + 1,4(Mq1k + Mq2k) = 1,4×15,8 + 1,4×(12,9 + 5,8) = 48,3 kN.m. 
 
Este procedimento é fundamental quando a carga acidental é elevada, como ocorre nas 
pontes e alguns edifícios industriais. 
 
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FIGURA 4.1 – Combinação de carregamento para o caso de viga contínua. 
 
Entretanto, na maioria dos edifícios residenciais e comerciais a carga acidental é muito 
menor que as cargas permanentes. Segundo o item 14.6.6.3 da NBR 6118:2014, para 
estruturas de edifícios em que a carga variável seja de até 5 kN/m2 e que seja no 
máximo igual a 50% da carga total, a análise estrutural pode ser realizada sem a 
consideração da alternância de cargas. Nestes casos, podendo-se calcular os esforços 
solicitantes uma única vez, considerando o carregamento total. Assim, pode-se fazer, 
simplificadamente: 
q2k = 5 kN/m 
Mq2k (kN.m) 
9,8 
5,8 5,8 
16,5 
12,9 
2,9 
Mq3k (kN.m) 
q3k = 5 kN/m 
1,3 
16,5 
12,9 
2,9 
q1k = 5 kN/m 
Mq1k (kN.m) 
1,3 
gk = 5 kN/m 
15,3 15,3 
15,8 15,8 
0,2 
Mgk (kN.m) 
6m 6m 5m 
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Md = 1,4Mgk + 1,4(∑Mqik), 
 
ou seja, pode-se traçar um único diagrama considerando-se todas as cargas atuando ao 
mesmo tempo. 
 
Mas este procedimento não é aplicado para casos em que existam balanços com cargas 
acidentais consideráveis, como sacadas com grande comprimento e caixa d’água com 
parte em balanço. 
 
Nos procedimentos de projeto, é usual separar a estrutura do edifício em duas 
subestruturas com funções distintas. Uma subestrutura, composta de elementos de maior 
rigidez, tem por finalidade resistir às ações do vento. Esta é denominada subestrutura