Curvas definidas por equações paramétricas| Resumo Exercícios com gabarito

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Curvas definidas por equações
paramétricas
Suponha que x e y sejam ambas dadas como funções de uma terceira variável
t (denominada parâmetro) pelas equações{
x = f(t)
y = g(t)
(chamadas equações paramétricas. Cada valor de t determina um ponto
(x, y), que podemos plotar em um plano coordenado. Quando t varia, o ponto
(x, y) = (f(t), g(t)) varia e traça uma curva C, que chamamos curva paramétri-
ca.
Lista de exerćıcios
1. Esboce a curva, elemine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana
da curva:
(a)
{
x = t− 1 y = t3 + 1, −2 ≤ t ≤ 2
(b)
{
x = t2
y = t3
(c)
{
x =
1
2
cosθ
y = 2senθ, 0 ≤ θπ
(d)
{
x = e2t
y = t+ 1
2. Trace a curva x = y − 2senπy.
3. Encontre as equações paramétricas para a trajetória de uma part́ıcula que
se move ao longo do ćırculo x2 + (y − 1)2 = 4 da seguinte maneira:
(a) Uma vez no sentido horário a partir de (2, 1).
(b) Três vezes no sentido anti-horário a partir de (2, 1).
(c) Meia-volta no sentido anti-horário, a partir de (0, 3).
4. As curvas de catástrofe em forma de cauda de andorinha são
definidas pelas equações paramétricas{
x = 2ct− 4t3
y = −ct2 + 3t4
Trace várias dessas curvas. Quais as caracteŕısticas que essas curvas têm
em comum? Como variam quando c aumenta?
1
Gabarito
1. Esboce a curva, elemine o parâmetro para encontrar a equação cartesiana
da curva:
(a) y = (x+ 1)3 + 1
(b) y = ±
√
x3 ou |y| =
√
x3
(c)
x2
(1/2)2
+
y2
22
= 1 ou y =
√
4− 16x2
2
(d) y = ln
√
x+ 1
2.
{
x = t− 2senπt
y = t
3. (a)
{
x = 2cost
y = 1− 2sent, 0 ≤ t ≤ π
(b)
{
x = 2cost
y = 1 + 2sent, 0 ≤ t ≤ 6π
(c)
{
x = 2cost
y = 1 + 2sent,
π
2
≤ t ≤ 3π
2
4. Para c ≤ 0 a curva tem a forma de parábola, para c > 0, ela ganha a
”cauda”. Com crescimento de c o gráfico se aproxima para o eixo Oy.
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