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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II 
 
 
 AULAS 2017 
CÁLCULO 2 
 
 
 AULA 01 
CURVAS DEFINIDAS 
POR EQUAÇÕES 
PARAMÉTRICAS. 
Consideremos que uma 
partícula se mova ao longo 
de uma curva C. 
 
É impossível descrever C como uma 
equação do tipo 𝒚 = 𝒇(𝒙). Mas as 
coordenadas x e y da partícula são 
funções do tempo e, assim, pode-se 
escrever 𝒙 = 𝒇(𝒕) e 𝒚 = 𝒈(𝒕). 
 
Definição 
Suponha que x e y sejam dadas como funções de 
uma terceira variável t (denominada parâmetro) 
pelas equações 𝒙 = 𝒇(𝒕) e 𝒚 = 𝒈(𝒕) (chamadas 
equações paramétricas). Cada valor de t determina 
um ponto (x, y) que podemos marcar em um plano 
coordenado. Quando t varia, o ponto 
𝒙, 𝒚 = 𝒇 𝒕 , 𝒈(𝒕) varia e traça a curva C, que 
chamamos curva parametrizada. 
 
Exemplo 1 
Esboce e identifique a curva 
definida pelas equações 
paramétricas 
𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 
𝒚 = 𝒕 + 𝟏 
Exemplo 1 
Esboce e identifique a curva definida pelas 
equações paramétricas 𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒕 + 𝟏 
Inicialmente, vamos construir uma 
tabela atribuindo a t valores inteiros 
variando de – 2 a 4 e consequentemente 
determinando os respectivos valores de 
x e de y. Cada valor de t determina um 
ponto (x, y) que podemos marcar em um 
plano coordenado. 
Exemplo 1 
Esboce e identifique a curva definida pelas 
equações paramétricas 𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒕 + 𝟏 
 
Exemplo 1 
Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒕 + 𝟏 
A curva traçada pela 
partícula poderia 
ser uma parábola. 
Para confirmarmos, 
eliminamos o parâmetro t, como a 
seguir: isolamos t na segunda equação e 
substituímos na primeira: 
 
 
 
Exemplo 1 
Esboce e identifique a curva definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒕 + 𝟏 
 
 
 
𝒕 = 𝒚 − 𝟏 → 𝒙 = 𝒚 − 𝟏 𝟐 − 𝟐 𝒚 − 𝟏 
𝒙 = 𝒚2 − 𝟒𝒚 + 𝟑 
A curva representada pelas equações 
paramétricas dadas é a parábola 
𝒙 = 𝒚2 − 𝟒𝒚 + 𝟑 
 
 
 
Algumas vezes restringimos t a um intervalo 
finito. Por exemplo, a curva parametrizada 
𝒙 = 𝒕𝟐 − 𝟐𝒕 𝒚 = 𝒕 + 𝟏 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒 
é a parte da parábola do exemplo 1 que 
começa no ponto (0, 1) e termina no ponto 
(8, 5). A seta indica a direção na qual a curva 
é traçada quando aumenta de 0 até 4. 
 
 
 
De forma geral, a curva com 
equações paramétricas 
𝒙 = 𝒇(𝒕) 
𝒚 = 𝒈 𝒕 
𝒂 ≤ 𝒕 ≤ 𝒃 
tem ponto inicial 𝒇 𝒂 , 𝒈(𝒂) e 
ponto final 𝒇 𝒃 , 𝒈(𝒃) 
 
 
 
Exemplo 1A 
(a) Esboce a curva utilizando as equações 
paramétricas para traçar os pontos. 
Indique com uma seta a direção na qual a 
curva é traçada conforme t aumenta. 
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a 
equação cartesiana da curva. 
 
𝒙 = 𝟏 − 𝟐𝒕, 𝒚 = 𝒕2 + 𝟒, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟑 
 
Exemplo 1A 
(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique 
com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta. 
 
Exemplo 1A 
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a 
equação cartesiana da curva. 
 
Exemplo 1B 
(a) Esboce a curva utilizando as equações 
paramétricas para traçar os pontos. 
Indique com uma seta a direção na qual a 
curva é traçada conforme t aumenta. 
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a 
equação cartesiana da curva. 
 
𝒙 = 𝟑 − 𝒕, 𝒚 = 𝟐𝒕 − 𝟑, −𝟏 ≤ 𝒕 ≤ 𝟒 
 
Exemplo 1B 
(a) Esboce a curva utilizando as equações paramétricas para traçar os pontos. Indique 
com uma seta a direção na qual a curva é traçada conforme t aumenta. 
 
Exemplo 1B 
(b) Elimine o parâmetro para encontrar a 
equação cartesiana da curva. 
𝒙 = 𝟑 − 𝒕, 𝒚 = 𝟐𝒕 − 𝟑, 
 
Exemplo 2 
Que curva é representada 
pelas seguintes equações 
paramétricas? 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Exemplo 2 
Que curva é representada pelas seguintes 
equações paramétricas? 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Inicialmente, vamos construir uma tabela 
atribuindo a t valores inteiros variando de 0 a 
2𝝅 e consequentemente determinando os 
respectivos valores de x e de y. Cada valor de 
t determina um ponto (x, y) que podemos 
marcar em um plano coordenado. 
 
Exemplo 2 
Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 
Exemplo 2 
Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Para eliminarmos o parâmetro, 
aplicamos o teorema de Pitágoras, 
concluindo que: 
𝒙² + 𝒚² = 𝒄𝒐𝒔²𝒕 + 𝒔𝒆𝒏²𝒕 = 𝟏 
Então, o ponto (x,y) se move no círculo 
unitário x² + y² = 1. 
 
 
Exemplo 3 
Que curva é representada 
pelas seguintes equações 
paramétricas? 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 
𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Exemplo 3 
Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Temos 𝒙2 + 𝒚2 = 𝒔𝒆𝒏2𝟐𝒕 + 𝒄𝒐𝒔2𝟐𝒕 = 𝟏 de 
modo que as equações paramétricas 
representam o círculo unitário 𝒙2 + 𝒚2 = 𝟏. 
Mas quando t aumenta de 0 até 2𝝅, o ponto 
𝒙, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕, 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 começa em (0,1) e 
se move duas vezes em torno do círculo no 
sentido horário. 
 
Exemplo 3 
Que curva é representada pelas seguintes equações paramétricas? 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
Temos 𝒙2 + 𝒚2 = 𝒔𝒆𝒏2𝟐𝒕 + 𝒄𝒐𝒔2𝟐𝒕 = 𝟏 de modo que as equações paramétricas representam o 
círculo unitário 𝒙2 + 𝒚2 = 𝟏. Mas quando t aumenta de 0 até 2𝝅, o ponto 𝒙, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕, 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 
começa em (0,1) e se move duas vezes em torno do círculo no sentido horário. 
 
t x y 
0 0 1 
𝝅
𝟒
 1 0 
𝝅
𝟐
 0 -1 
𝝅 0 1 
𝟑𝝅
𝟐
 
0 -1 
𝟐𝝅 0 1 
OBSERVAÇÃO 
Os exemplos 2 e 3 mostram que 
diferentes conjuntos de equações 
paramétricas podem representar a 
mesma curva. Então distinguimos 
uma curva, que é um conjunto de 
pontos, e uma curva parametrizada, 
na qual os pontos são percorridos em 
um modo particular. 
Exemplo 4 
Esboce a curva com 
equações paramétricas 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 
𝒚 = 𝒔𝒆𝒏²𝒕 
Exemplo 4 
Esboce a curva com equações paramétricas 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏²𝒕 
O ponto (𝒙, 𝒚) se move na parábola 𝒚 = 𝒙². 
Como −𝟏 ≤ 𝒔𝒆𝒏𝒕 ≤ 𝟏 e −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, então 
as equações paramétricas representam 
apenas a parte da parábola onde 
−𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏. 
Como 𝒔𝒆𝒏𝒕 é periódica, o ponto (𝒙, 𝒚) se 
move para a frente e para trás infinitamente 
ao longo da parábola. 
Exemplo 4 
Esboce a curva com equações paramétricas 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏²𝒕 
O ponto (𝒙, 𝒚) se move na parábola 𝒚 = 𝒙². Como −𝟏 ≤ 𝒔𝒆𝒏𝒕 ≤ 𝟏 e −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏, então as equações 
paramétricas representam apenas a parte da parábola onde −𝟏 ≤ 𝒙 ≤ 𝟏. Como 𝒔𝒆𝒏𝒕 é periódica, o 
ponto (𝒙, 𝒚) se move para a frente e para trás infinitamente ao longo da parábola. 
OUTROS EXEMPLOS DE CURVAS 
PARAMÉTRICAS 
CÁLCULO 2 
 
 
 AULA 02 
CÁLCULO COM 
CURVAS 
PARAMETRIZADAS. 
Na aula 1 vimos como representar 
as curvas por equações 
paramétricas. Agora vamos 
aplicar os métodos de cálculo a 
essas curvas parametrizadas. 
Resolveremos problemas 
envolvendo tangentes, área e 
comprimento de arco. 
 
TANGENTES 
Suponha que f e g sejam 
funções diferenciáveis e 
queremos encontrar a reta 
tangente a um ponto da curva 
𝒙 = 𝒇(𝒕) e 𝒚 = 𝒈 𝒕 onde y 
também é uma função 
diferenciável de x. 
 
 
 
TANGENTES 
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis e queremos encontrar a reta tangente a um 
ponto da curva 𝒙 = 𝒇(𝒕) e 𝒚 = 𝒈 𝒕 onde y também é uma função diferenciável de x. 
A regra da cadeia nos diz que 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
.
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
Se 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
≠ 𝟎, podemos isolar 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
: 
𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 se 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
≠ 𝟎 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida 
pelas equações 
paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
TABELA 
 t 𝒙 = 𝒕² 𝒚 = 𝒕
𝟑 − 𝟑𝒕 
-2 4 -2 
-1 1 2 
0 0 0 
1 1 -2 
2 4 2 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas 
equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas 
tangentes no ponto (𝟑, 𝟎) e 
encontre suas equações. 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto (𝟑, 𝟎) e 
encontre suas equações. 
Solução: 
No ponto (𝟑, 𝟎), 𝒙 = 𝟑 e 𝒚 = 𝟎. 
Substituindo nas equações paramétricas, temos: 
𝒙 = 𝒕2 → 𝟑 = 𝒕2 → 𝒕 = ± 𝟑 
𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕 → 𝒕3 − 𝟑𝒕 = 𝟎 → 𝒕 𝒕2 − 𝟑 = 𝟎 → 𝒕 = 𝟎, 
𝒕 = ± 𝟑 
Portanto, o ponto 𝟑, 𝟎 em C, surge de dois valores do 
parâmetro t. Isso indica que C intercepta a si própria em 
𝟑, 𝟎 . 
 
 
Exemplo 1 
Solução: 
Para determinarmos as equações das tangentes, 
inicialmente calculamos a inclinação: 
𝐲′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟑𝒕2 − 𝟑
𝟐𝒕
 
Em seguida, substituímos os valores de t: 
𝐲′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟑𝒕2 − 𝟑
𝟐𝒕
=
𝟑 ± 𝟑
𝟐
− 𝟑
𝟐 ± 𝟑
= ± 𝟑 
Finalmente, escrevemos as equações: 
𝒚 = ± 𝟑 𝒙 − 𝟑 
 
Exemplo 1Aa (exercício 3 da página 589) 
Encontre uma equação da 
tangente à curva no ponto 
correspondente ao valor 
do parâmetro dado. 
𝒙 = 𝒕𝟒 + 𝟏; 𝒚 = 𝒕3 + 𝒕; 𝐭 = −𝟏 
𝒓𝒆𝒔𝒑𝒐𝒔𝒕𝒂 → 𝒚 = −𝒙 
Exemplo 1Aa (exercício 3 da página 589) 
Encontre uma equação da tangente à curva no ponto correspondente ao valor do 
parâmetro dado. 
𝒙 = 𝒕𝟒 + 𝟏; 𝒚 = 𝒕3 + 𝒕; 𝐭 = −𝟏 
Determinação das coordenadas do 
ponto: 
𝒙𝟎 = −𝟏
𝟒 + 𝟏 = 𝟏 + 𝟏 = 𝟐 
𝒚𝟎 = (−𝟏)
3+ −𝟏 = −𝟏 − 𝟏 = −𝟐 
Determinação do coeficiente angular: 
𝐲′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟑𝒕² + 𝟏
𝟒𝒕³
 
𝒎 = 𝒚′ −𝟏 =
𝟑. −𝟏 2 + 𝟏
𝟒(−𝟏)³
= −𝟏 
Equação da reta tangente: 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒎 𝒙 − 𝒙𝟎 
𝒚 − −𝟐 = −𝟏. (𝒙 − 𝟐) 
𝒚 + 𝟐 = −𝒙 + 𝟐 
𝒚 = −𝒙 
 
TANGENTES 
A equação 𝐲′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 nos permite encontrar 
a inclinação 𝐲′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 da tangente para uma 
curva paramétrica sem ter que eliminar o 
parâmetro t. 
A curva tem uma tangente horizontal quando 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟎, desde que 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
≠ 𝟎. 
E tem uma tangente vertical quando 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎, 
desde que 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
≠ 𝟎. 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações 
paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no 
ponto (𝟑, 𝟎) e encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde 
a tangente é horizontal. 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto (𝟑, 𝟎) e encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal. 
Solução: 
A curva tem uma tangente horizontal quando 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟎, desde que 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
≠ 𝟎. 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟎 → 𝟑𝒕² − 𝟑 = 𝟎 → 𝒕 = ±𝟏 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟐𝒕 = 𝟐(±𝟏) ≠ 𝟎 
Para 𝒕 = 𝟏 → 𝒙 = 𝟏 𝒆 𝒚 = −𝟐 → 𝟏,−𝟐 
Para 𝒕 = −𝟏 → 𝒙 = 𝟏 𝒆 𝒚 = 𝟐 → 𝟏, 𝟐 
Portanto, nos pontos (1, - 2) e (1, 2) a curva tem uma tangente 
horizontal. 
 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações 
paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto 
(𝟑, 𝟎) e encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde a tangente é 
horizontal. 
𝒅 Encontre os pontos em C 
onde a tangente é vertical. 
 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto (𝟑, 𝟎) e encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal. 
𝒅 Encontre os pontos em C onde a tangente é vertical. 
Solução: 
A curva tem uma tangente vertical quando 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎, 
desde que 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
≠ 𝟎. 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝟎 → 𝟐𝒕 = 𝟎 → 𝒕 = 𝟎 𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝟑𝒕² − 𝟑 = 𝟑. 𝟎2 − 𝟑 ≠ 𝟎 
Para 𝒕 = 𝟎 → 𝒙 = 𝟎 𝒆 𝒚 = 𝟎 → 𝟎, 𝟎 
Portanto, no ponto (0, 0) a curva tem uma tangente 
vertical. 
 
 
 
 
Exemplo 1Ab (exercício 18 da página 589) 
Encontre os pontos na curva onde a 
tangente é horizontal ou vertical. Se você 
tiver uma ferramenta gráfica, trace a 
curva. 
𝒙 = 𝒕³ − 𝟑𝒕; 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕² 
Resposta: 
Horizontal: (0, 0), (2, - 4) 
Vertical: (2, - 4), (- 2, - 2) 
 
 
 
 
 
DERIVADA SEGUNDA EM FORMA PARAMÉTRICA 
Se uma curva C é parametrizada por 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈(𝒕), e 
se y’ é uma função diferenciável de t, podemos achar 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
 , 
aplicando 𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 : 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
=
𝒅
𝒅𝒙
𝒚′ =
𝒅
𝒅𝒙
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒙
.
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚′
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 
Se 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
> 𝟎, então o gráfico de C é côncavo para cima. 
Se 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
< 𝟎, então o gráfico de C é côncavo para baixo. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto (𝟑, 𝟎) e 
encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal. 
𝒅 Encontre os pontos em C onde a tangente é vertical. 
𝒆 Determine onde a 
concavidade da curva é para cima 
ou para baixo. 
 
 
 
 
Exemplo 1 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟑𝒕. 
(𝒂)Esboce a curva. 
𝒃 Mostre que C tem duas tangentes no ponto (𝟑,𝟎) e encontre suas equações. 
𝒄 Encontre os pontos em C onde a tangente é horizontal. 
𝒅 Encontre os pontos em C onde a tangente é vertical. 
𝒆 Determine onde a concavidade da curva é para cima ou para baixo. 
Solução: 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
=
𝒅𝒚′
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟔𝒕² + 𝟔
𝟖𝒕³
 
Portanto, 
Concavidade da curva para cima quando 𝒕 > 𝟎 
Concavidade da curva para baixo quando 𝒕 < 𝟎 
Observe que para t = 1, 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
=
𝟑
𝟐
> 𝟎, concavidade para 
cima. 
Entretanto, para t = - 1, 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
= −
𝟑
𝟐
< 𝟎, concavidade para 
baixo. 
 
 
 
 
 
Exemplo 1Ea 
Uma curva C é definida pelas 
equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² + 𝟏 e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟒𝒕. 
Determine onde a 
concavidade da curva é para 
cima ou para baixo. 
 
 
 
 
Exemplo 1Ea 
Uma curva C é definida pelas equações paramétricas 
𝒙 = 𝒕² + 𝟏 e 𝒚 = 𝒕3 − 𝟒𝒕. Determine onde a concavidade da curva é para cima ou 
para baixo. 
Solução: 
𝒚′ =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟑𝒕² − 𝟒
𝟐𝒕
 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
=
𝒅𝒚′
𝒅𝒕
𝒅𝒙
𝒅𝒕
=
𝟔𝒕² + 𝟖
𝟖𝒕³
 
Portanto, 
Concavidade da curva para cima quando 𝒕 > 𝟎 
Concavidade da curva para baixo quando 𝒕 < 𝟎 
Observe que para t = 1, 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
=
𝟕
𝟒
> 𝟎, concavidade para cima. 
Entretanto, para t = - 1, 
𝒅²𝒚
𝒅𝒙²
= −
𝟕
𝟒
< 𝟎, concavidade para baixo. 
 
 
 
 
 
A CICLOIDE. https://www.youtube.com/watch?v=QYfeoUMfUzs 
https://www.youtube.com/watch?v=DPaTuGtnmkM 
A curva traçada pelo ponto P na borda de um círculo quando 
ele rola ao longo de uma reta é chamada cicloide. 
 
 
 
As equações paramétricas da cicloide são: 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 , 𝜽 ∈ 𝑰𝑹 
Um arco da cicloide surge de uma rotação do círculo e, assim, é 
descrito por 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅 
Uma das primeiras pessoas a estudar a cicloide foi Galileu, que 
propôs que pontes poderiam ser construídas no formato de 
cicloides e que tentou encontrar a área sob um arco de uma 
cicloide. 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=QYfeoUMfUzs
https://www.youtube.com/watch?v=QYfeoUMfUzs
ÁREAS 
Sabemos que a área sob uma curva 
𝒚 = 𝑭(𝒙) de a até b é 
𝑨 = 𝑭 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
, em que 𝑭(𝒙) ≥ 𝟎. Se a 
curva for dada por equações 
paramétricas, 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈 𝒕 , 
𝜶 ≤ 𝒕 ≤ 𝜷, então podemos utilizar a 
fórmula 
𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
ou 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜶𝜷
 
 
 
 
ÁREAS 
𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
ou 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜶
𝜷
 
 
EXEMPLO 2 
Encontre a área do círculo unitário dado 
por 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 
 
 
 
ÁREAS 
EXEMPLO 2 
Encontre a área do círculo unitário dado por 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
𝑨 = 𝒔𝒆𝒏𝒕. −𝒔𝒆𝒏𝒕 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = − 𝒔𝒆𝒏²𝒕 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
𝒔𝒆𝒏²𝒙 =
𝟏
𝟐
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝒕 −
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 
𝟐𝝅
𝟎
= 𝝅 
 
 
 
 
ÁREAS 
Sabemos que a área sob uma curva 𝒚 = 𝑭(𝒙) de a até b é 𝑨 = 𝑭 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
, em que 𝑭(𝒙) ≥ 𝟎. Se a curva for dada por equações 
paramétricas, 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈 𝒕 , 𝜶 ≤ 𝒕 ≤ 𝜷, então podemso utilizar a fórmula 
 𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
EXEMPLO 3 
Encontre a área sob um arco da cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
 
ÁREAS 
Sabemos que a área sob uma curva 𝒚 = 𝑭(𝒙) de a até b é 𝑨 = 𝑭 𝒙 𝒅𝒙
𝒃
𝒂
, em que 𝑭(𝒙) ≥ 𝟎. Se a curva for dada por equações paramétricas, 𝒙 = 𝒇 𝒕 , 𝒚 = 𝒈 𝒕 ,𝜶 ≤ 𝒕 ≤ 𝜷, então podemso utilizar a fórmula 
𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
EXEMPLO 3 
Encontre a área sob um arco da cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
𝑨 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 . 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝒓² 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 ²𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
= 𝒓² 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒐𝒔²𝜽𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝒓² 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 +
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝒓² 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 +
𝟏
𝟐
+
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
= 𝒓² 
𝟑
𝟐
− 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 +
𝟏
𝟐
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝒓²
𝟑
𝟐
𝜽 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 +
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝒓²
𝟑
𝟐
. 𝟐𝝅 = 𝟑𝝅𝒓² 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Encontre a área sob um arco da cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
 
 
 
𝑨 = 𝟑𝝅𝒓² 
A área sob um arco da cicloide é três vezes a área do 
círculo que rola e gera a cicloide. 
Galileu conjecturou esse resultado, mas este foi 
demonstrado inicialmente pelos matemáticos francês 
Roberval, e italiano Torricelli. 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
Sabemos que o comprimento L de uma 
curva C dada na forma 𝒚 = 𝑭(𝒙) de a 
até b é 
L= 𝟏 +
𝒅𝒚
𝒅𝒙
𝟐
𝒅𝒙
𝒃
𝒂
. Se a curva for 
dada por equações paramétricas, 
𝒙 = 𝒇 𝒕 𝒆 𝒚 = 𝒈 𝒕 , 𝜶 ≤ 𝒕 ≤ 𝜷, então 
podemos utilizar a fórmula 
L= 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝟐
𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
L= 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝟐
𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
EXEMPLO 4 
Encontre o comprimento do círculo 
unitário dado por 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
EXEMPLO 4 
Encontre o comprimento do círculo unitário 
dado por 
𝒙 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏𝒕, 𝟎 ≤ 𝒕 ≤ 𝟐𝝅 
L= 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝟐
𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
L= −𝒔𝒆𝒏𝒕 𝟐 + 𝒄𝒐𝒔𝒕 𝟐𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝟏𝒅𝒕 = 𝒕 
𝟐𝝅
𝟎
= 𝟐𝝅
𝟐𝝅
𝟎
 
 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
L= 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝟐
𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
EXEMPLO 5 
Encontre o comprimento do arco da 
cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
EXEMPLO 5 
Encontre o comprimento do arco da cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 ,𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
L= 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
𝟐
+
𝒅𝒚
𝒅𝒕
𝟐
𝒅𝒕
𝒃
𝒂
 
L= 𝒓(𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽) 𝟐 + 𝒓(𝒔𝒆𝒏𝜽) 𝟐𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
= 𝒓2 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 2 + 𝒓²𝒔𝒆𝒏²𝜽𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝒓2 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒐𝒔2𝜽 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
= 𝒓 𝟏 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝟏 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝒓 𝟐 − 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 → L= 𝒓 𝟐 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
dica: 𝒔𝒆𝒏²𝜽 =
𝟏
𝟐
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝒐𝒖 𝒔𝒆𝒏²
𝜽
𝟐
=
𝟏
𝟐
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
L= 𝒓 𝟐. 𝟐𝒔𝒆𝒏²
𝜽
𝟐
𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝒓 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝜽
𝟐
𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝟐𝒓 𝒔𝒆𝒏
𝜽
𝟐
𝒅𝒕
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝟐𝒓 −𝟐𝒄𝒐𝒔
𝜽
𝟐
 
𝟐𝝅
𝟎
 
L= 𝟐𝒓 −𝟐 −𝟏 − −𝟐 . 𝟏 = 𝟖𝒓 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO 
EXEMPLO 5 
Encontre o comprimento do arco da cicloide 
𝒙 = 𝒓 𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 , 𝒚 = 𝒓 𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝜽 
L = 8r 
 
 
 
O comprimento de um arco de cicloide é 8 vezes o raio do 
círculo gerador. 
Isso foi demonstrado pela primeira vez em 1 658 por sir 
Christopher Wren, que depois se tornou o arquiteto da 
Catedral de São Paulo, em Londres. 
 
 
 
 
 
ÁREAS 
𝑨 = 𝒚𝒅𝒙 = 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜷
𝜶
𝒃
𝒂
 
ou 𝒈 𝒕 𝒇′ 𝒕 𝒅𝒕
𝜶
𝜷
 
 
EXERCÍCIO 32, PÁGINA 590 
Calcule a área delimitada pela curva 
𝒙 = 𝒕² − 𝟐𝒕, 𝒚 = 𝒕 e pelo eixo y. 
𝟖 𝟐
𝟏𝟓
 
 
 
 
 
CÁLCULO 2 
 
 
 AULA 03 
COORDENADAS 
POLARES. 
https://www.youtube.com/watch?v=B5dOy4m6I1E 
https://www.youtube.com/watch?v=yoeDYnp7bKQ 
Um sistema de coordenadas representa um 
ponto no plano por um par ordenado de 
números chamados coordenadas. Até agora 
usamos as coordenadas cartesianas, que 
são distâncias orientadas a partir de dois 
eixos perpendiculares. Nesta seção 
descreveremos um sistema de coordenadas 
introduzido por Newton, denominado 
sistema de coordenadas polares. 
 
https://www.youtube.com/watch?v=B5dOy4m6I1E
https://www.youtube.com/watch?v=B5dOy4m6I1E
Escolhemos um ponto no plano chamado polo (ou 
origem) rotulado de O. Então desenhamos uma 
meia linha começando em O chamada eixo polar. 
Esse eixo é geralmente desenhado horizontalmente 
para a direita e corresponde ao eixo x positivo nas 
coordenadas cartesianas. Se P for qualquer outro 
ponto no plano, seja r a distância de O até P e seja 
𝜽 o ângulo (geralmente medido em radianos) entre 
o eixo polar e a reta OP. 
Escolhemos um ponto no plano chamado polo (ou origem) rotulado de O. Então 
desenhamos uma meia linha começando em O chamada eixo polar. Esse eixo é geralmente 
desenhado horizontalmente para a direita e corresponde ao eixo x positivo nas 
coordenadas cartesianas. Se P for qualquer outro ponto no plano, seja r a distância de O até 
P e seja 𝜽 o ângulo (geralmente medido em radianos) entre o eixo polar e a reta OP. 
 
 
 
Assim, o ponto P é representado 
pelo par ordenado 𝒓, 𝜽 e 𝒓 e 𝜽 são 
chamados coordenadas polares de P. Usamos a 
convenção de que um ângulo é positivo se for 
medido no sentido anti-horário a partir do eixo 
polar e negativo se for medido no sentido horário. 
Se P = O, então r = 0, e convencionamos que 𝑶, 𝜽 
representa o polo para qualquer valor de 𝜽. 
 
Estendemos o significado de coordenadas polares 𝒓, 𝜽 
para o caso no qual 𝒓 é negativo convencionando que os 
pontos −𝒓, 𝜽 e 𝒓, 𝜽 estão na mesma reta pasando por 
O e estão à mesma distância 𝒓 a partir de O, mas em 
lados opostos de O. Se 𝒓 > 𝟎, o ponto 𝒓, 𝜽 está no 
mesmo quadrante que 𝜽; se 𝒓 < 𝟎, ele está no quadrante 
do lado oposto ao polo. Observe que −𝒓, 𝜽 representa o 
mesmo ponto que 𝒓, 𝜽 + 𝝅 . 
 
EXEMPLO 1 
Marque os pontos cujas coordenadas polares são dadas. 
𝒂 𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
 𝒃 𝟐, 𝟑𝝅 𝒄 𝟐, −
𝟐𝝅
𝟑
 (𝒅) −𝟑,
𝟑𝝅
𝟒
 
 
Como uma rotação completa no 
sentido anti-horário é dada por um 
ângulo 𝟐𝝅, o ponto representado 
pelas coordenadas polares 𝒓, 𝜽 é 
também representado por 
𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅 𝒆 −𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏 + 𝟏 𝝅 
onde n é qualquer inteiro. 
 
 
EXEMPLO 2 
Represente o ponto 𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
 na forma 𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅 para 
𝒏 = −𝟏 e para 𝒏 = 𝟏 e na forma −𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏 + 𝟏 𝝅 
para 𝒏 = −𝟏. 
Solução: 
𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅 = 𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
+ 𝟐. −𝟏 . 𝝅 = 𝟏,−
𝟑𝝅
𝟒
 
𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏𝝅 = 𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
+ 𝟐. 𝟏 . 𝝅 = 𝟏,
𝟏𝟑𝝅
𝟒
 
−𝒓, 𝜽 + 𝟐𝒏 + 𝟏 𝝅 = −𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
+ 𝟐. −𝟏 + 𝟏 𝝅
= −𝟏,
𝝅
𝟒
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
𝟏,
𝟓𝝅
𝟒
 𝟏,−
𝟑𝝅
𝟒
 
 
 
 
 
𝟏,
𝟏𝟑𝝅
𝟒
 −𝟏,
𝝅
𝟒
 
 
 
 
A relação entre as coordenadaspolares e cartesianas pode ser vista 
a partir da figura, na qual o polo corresponde à origem e o eixo polar 
coincide com o eixo x positivo. Se o ponto P tiver coordenadas 
cartesianas (x, y) e coordenadas polares 𝒓, 𝜽 , então, a partir da 
figura, temos 
𝒄𝒐𝒔𝜽 =
𝒙
𝒓
 
𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝒚
𝒓
 
e também 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 
e ainda 
𝒓² = 𝒙² + 𝒚² 
𝒕𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Converta o ponto 𝟐,
𝝅
𝟑
 de coordenadas polares para 
cartesianas. 
Solução: 
Como 𝒓 = 𝟐 𝒆 𝜽 =
𝝅
𝟑
 , temos: 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟐𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑
= 𝟐.
𝟏
𝟐
= 𝟏 
𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟐𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑
= 𝟐.
𝟑
𝟐
= 𝟑 
Portanto, o ponto é 𝟏, 𝟑 nas coordenadas cartesianas. 
 
 
 
 
EXEMPLO 4 
Represente o ponto com coordenadas cartesianas 
𝟏,−𝟏 em termos de coordenadas polares. 
Solução: 
Se escolhermos r positivo , temos: 
𝒓² = 𝒙² + 𝒚² → 𝒓 = 𝟏² + −𝟏 ² = 𝟐 
𝒕𝒈𝜽 =
𝒚
𝒙
→ 𝒕𝒈𝜽 = −𝟏 
Como o ponto 𝟏,−𝟏 está no quarto quadrante, 
podemos escolher 𝜽 = −
𝝅
𝟒
 ou 𝜽 =
𝟕𝝅
𝟒
 . Então uma 
resposta possível é 𝟐,−
𝝅
𝟒
; e outra é 𝟐,
𝟕𝝅
𝟒
 
 
 
 
 
CURVAS POLARES 
O gráfico de uma equação polar 
𝒓 = 𝒇 𝜽 , ou mais genericamente, 
𝑭 𝒓, 𝜽 = 𝟎, consiste em todos os 
pontos P que têm pelo menos uma 
representação 𝒓, 𝜽 cujas 
coordenadas satisfaçam a equação. 
 
 
 
EXEMPLO 5 
Que curva é representada pela equação polar 𝒓 = 𝟐? 
Solução: 
A curva consiste em todos os pontos 𝒓, 𝜽 com 𝒓 = 𝟐. 
Como r representa a distância do ponto ao polo, a curva 
𝒓 = 𝟐 representa o círculo com centro O e raio 2. Em geral, 
a equação 𝒓 = 𝒂 representa um círculo com centro O e 
raio 𝒂 . 
 
 
 
 
EXEMPLO 6 
Esboce a curva polar 𝛉 = 𝟏. 
Solução: 
A curva consiste em todos os pontos 𝒓, 𝜽 tal que o 
ângulo polar 𝜽 é 1 radiano. É uma reta que passa por O e 
forma um ângulo de 1 radiano com o eixo polar. Observe 
que os pontos (𝒓, 𝟏) na reta com 𝒓 > 𝟎 estão no primeiro 
quadrante, enquanto aqueles com 𝒓 < 𝟎 estão no terceiro 
quadrante. 
 
 
 
 
TANGENTES A CURVAS POLARES 
Para encontrarmos a reta tangente a uma curva polar 
𝒓 = 𝒇 𝜽 , vamos considerar 𝜽 como um parâmetro e 
escrever suas equações paramétricas como 
𝒙 = 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝒇 𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 e 𝒚 = 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝒇 𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽. 
Então, usando o método para encontrar inclinações de 
curvas parametrizadas e a Regra do Produto, temos: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 7 
Encontre a inclinação da reta tangente ao círculo 𝒓 = 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽 no 
ponto em que 𝜽 =
𝝅
𝟒
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
−𝟒𝒔𝒆𝒏𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟒𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟒.
𝟐
𝟐 .
𝟐
𝟐 + 𝟒.
𝟐
𝟐 .
𝟐
𝟐
−𝟒.
𝟐
𝟐 .
𝟐
𝟐 − 𝟒.
𝟐
𝟐 .
𝟐
𝟐
=
𝟎
−𝟒
= 𝟎 
Implica que o círculo tem uma reta tangente horizontal no ponto em 
que 𝜽 =
𝝅
𝟒
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 56, PÁGINA 600 
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar 
𝒓 = 𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 no ponto em que 𝜽 =
𝝅
𝟑
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽
−𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟐 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−
𝟏
𝟐 .
𝟑
𝟐 + 𝟐 −
𝟑
𝟐 .
𝟏
𝟐
−
𝟏
𝟐 .
𝟏
𝟐 − 𝟐 −
𝟑
𝟐 .
𝟑
𝟐
=
𝟐 − 𝟑
𝟏 − 𝟐 𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 57, PÁGINA 600 
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar 
𝒓 =
𝟏
𝜽
 no ponto em que 𝜽 = 𝝅 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−
𝟏
𝜽²
𝒔𝒆𝒏𝝅 +
𝟏
𝜽𝒄𝒐𝒔𝝅
−
𝟏
𝜽²
𝒄𝒐𝒔𝝅 −
𝟏
𝜽𝒔𝒆𝒏𝝅
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−
𝟏
𝝅2
. 𝟎 +
𝟏
𝝅 . −𝟏
−
𝟏
𝝅2
. −𝟏 −
𝟏
𝝅 . 𝟎
=
−
𝟏
𝝅
𝟏
𝝅²
= −𝝅 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 59, PÁGINA 600 
Calcule a inclinação da reta tangente para a curva polar 
𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 no ponto em que 𝜽 =
𝝅
𝟒
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽
−𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
−𝟐. 𝟏.
𝟐
𝟐 + 𝟎.
𝟐
𝟐 
−𝟐. 𝟏.
𝟐
𝟐 + 𝟎.
𝟐
𝟐
= 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
CARDIOIDE 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 
https://www.youtube.com/watch?v=AS6JuwUfL-Q 
https://www.youtube.com/watch?v=Az1ZPyqoquM 
https://www.youtube.com/watch?v=A4qt0zRhGb0 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=AS6JuwUfL-Q
https://www.youtube.com/watch?v=AS6JuwUfL-Q
https://www.youtube.com/watch?v=AS6JuwUfL-Q
https://www.youtube.com/watch?v=AS6JuwUfL-Q
https://www.youtube.com/watch?v=Az1ZPyqoquM
https://www.youtube.com/watch?v=Az1ZPyqoquM
https://www.youtube.com/watch?v=A4qt0zRhGb0
https://www.youtube.com/watch?v=A4qt0zRhGb0
https://www.youtube.com/watch?v=A4qt0zRhGb0
EXEMPLO 8 
(A) Para a cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽, calcule a inclinação da reta 
tangente quando 𝜽 =
𝝅
𝟑
 . 
Solução: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
=
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽
 
 
Para 𝜽 =
𝝅
𝟑
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑 + 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑 𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑
𝒄𝒐𝒔
𝝅
𝟑
− 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑
𝒔𝒆𝒏
𝝅
𝟑
 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝟏
𝟐 .
𝟑
𝟐 + 𝟏 +
𝟑
𝟐 .
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
.
𝟏
𝟐
− 𝟏 +
𝟑
𝟐
.
𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟒 +
𝟏
𝟐 +
𝟑
𝟒
𝟏
𝟒
−
𝟑
𝟐
−
𝟑
𝟒
=
𝟏
𝟐 +
𝟑
𝟐
−
𝟏
𝟐
−
𝟑
𝟐
= −𝟏 
 
 
 
 
 
TANGENTES A CURVAS POLARES 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒅𝒚
𝒅𝜽
𝒅𝒙
𝒅𝜽
=
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 
TANGENTES HORIZONTAIS 
Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde 
𝒅𝒚
𝒅𝜽
= 𝟎 
(desde que 
𝒅𝒙
𝒅𝜽
≠ 𝟎) 
TANGENTES VERTICAIS 
Localizamos as tangentes horizontais achando os pontos onde 
𝒅𝒙
𝒅𝜽
= 𝟎 
(desde que 
𝒅𝒚
𝒅𝜽
≠ 𝟎) 
OBSERVAÇÃO 
Se estivermos olhando para as retas tangentes no polo, então 𝒓 = 𝟎, 
portanto: 
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= 𝒕𝒈𝜽 se 
𝒅𝒓
𝒅𝜽
≠ 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8 
(A) Para a cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽, calcule a inclinação da reta 
tangente quando 𝜽 =
𝝅
𝟑
 . 
(B) Encontre os pontos da cardioide onde a reta tangente é 
horizontal. 
Solução: 
𝒅𝒚
𝒅𝜽
= 𝟎 
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 
𝒄𝒐𝒔𝜽𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒄𝒐𝒔𝜽 = 𝟎 
𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 quando 𝜽 =
𝝅
𝟐
,
𝟑𝝅
𝟐
,
𝟕𝝅
𝟔
,
𝟏𝟏𝝅
𝟔
 
Pela figura, vemos que 
𝟑𝝅
𝟐
 nos dá uma tangente vertical. 
Portanto, existem tangentes horizontais nos pontos 
𝟐,
𝝅
𝟐
,
𝟏
𝟐
,
𝟕𝝅
𝟔
,
𝟏
𝟐
,
𝟏𝟏𝝅
𝟔
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8 
(A) Para a cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽, calcule a inclinação da reta tangente quando 
𝜽 =
𝝅
𝟑
 . 
(B) Encontre os pontos da cardioide onde a reta tangente é horizontal. 
(C) Encontre os pontos da cardioide onde a reta tangente é vertical. 
Solução: 
𝒅𝒙
𝒅𝜽
= 𝟎 →
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 → 𝒄𝒐𝒔𝜽𝒄𝒐𝒔𝜽 − 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 → 
𝒄𝒐𝒔²𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒔𝒆𝒏²𝜽 = 𝟎 → 𝟏 − 𝒔𝒆𝒏2𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 − 𝒔𝒆𝒏2𝜽 = 𝟎 → 
𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏2𝜽 − 𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 → 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟎 quando 𝜽 =
𝟑𝝅
𝟐
,
𝝅
𝟔
,
𝟓𝝅
𝟔
 
𝒔𝒆𝒏𝜽 = −𝟏 𝒏𝒐𝒔 𝒅á 𝜽 =
𝟑𝝅
𝟐
 e o denominador da fórmula de 
𝐦 =
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒔𝒆𝒏𝜽+𝒓𝒄𝒐𝒔𝜽
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽−𝒓𝒔𝒆𝒏𝜽
 é zero. Se 𝜽 =
𝟑𝝅
𝟐
 então r = 0 e a fórmula em m se 
reduz a 𝒎 = 𝒕𝒈𝜽. Assim, o coeficiente angular em 𝟎,
𝟑𝝅
𝟐
 é 
𝒎 = 𝒕𝒈
𝟑𝝅
𝟐
= ∄= ∞ e, portanto, a tangente é vertical no polo. 
Portanto, existem tangentes verticais nos pontos 
𝟑
𝟐
,𝝅
𝟔
,
𝟑
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟔
, 𝟎, 𝟎 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 8 
(A) Para a cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽, calcule a inclinação da reta tangente quando 𝜽 =
𝝅
𝟑
 . 
(B) Encontre os pontos da cardioide onde a reta tangente é horizontal. 
Solução: 
QUANDO 𝛉 =
𝟑𝝅
𝟐
,
𝒅𝒚
𝒅𝜽
 𝒆 
𝒅𝒙
𝒅𝜽
 são 0 e, dessa forma, devemos ser 
cuidadosos. Usando a Regra de L’Hôspital, temos: 
lim
𝜽→
3𝜋
2
−
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= lim
𝜽→
3𝜋
2
−
𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
 
= lim
𝜽→
3𝜋
2
−
𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽
. lim
𝜽→
3𝜋
2
−
𝒄𝒐𝒔𝜽
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽
 
= −
𝟏
𝟑
. lim
𝜽→
3𝜋
2
−
−𝒔𝒆𝒏𝜽
𝒄𝒐𝒔𝜽
= −
𝟏
𝟑
.
− −𝟏
𝟎
= ∞ 
Por simetria, lim
𝜽→
3𝜋
2
+
𝒅𝒚
𝒅𝒙
= −∞ 
Portanto, existe uma reta tangente vertical no polo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CÁLCULO 2 
 
 
 AULA 04 
ÁREAS E 
COMPRIMENTOS EM 
COORDENADAS 
POLARES. 
ÁREAS EM COORDENADAS POLARES 
Para calcularmos a área de uma região cuja 
fronteira é dada por uma equação polar 
precisamos usar a fórmula para a área de um 
setor de um círculo. A área de um setor é 
proporcional a seu ângulo central. 
á𝒓𝒆𝒂 â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 
𝑨 𝜽 
𝝅𝒓² 𝟐𝝅 
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝒓²𝜽 
onde r é o raio e 𝜽 a medida em radianos do 
ângulo central. 
 
 
 
ÁREAS EM COORDENADAS POLARES 
Sendo ℜ a região limitada pela curva polar 𝒓 = 𝒇 𝜽 e 
pelos raios 𝜽 = 𝒂 𝒆 𝜽 = 𝒃, onde 𝒇 é uma função contínua 
positiva e 𝟎 < 𝒃 − 𝒂 ≤ 𝟐𝝅. Dividimos o intervalo 𝒂, 𝒃 em 
subintervalos dividindo ℜ em n regiões menores e 
aplicando a Soma de Riemann, obtemos a seguinte 
fórmula para calcular a área de ℜ. 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝒇(𝜽) 𝟐
𝒃
𝒂
→ 𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝒓²𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
 
 
 
EXEMPLO 1 
Calcule a área delimitada pelo círculo 𝒓 = 𝟐 para 
𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅. 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝒓²𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝟐²𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝟐 𝟏𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝟐. 𝜽 
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑨 = 𝟒𝝅 
 
 
 
 
 
 
 
ROSÁCEA DE 4 PÉTALAS (𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽) 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 2 
Calcule a área delimitada por um laço da rosácea de 
quatro pétalas 𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽. 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝒓²𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
. 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 𝟐𝒅𝜽
𝝅
𝟒
−
𝝅
𝟒
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝒄𝒐𝒔²𝟐𝜽𝒅𝜽
𝝅
𝟒
−
𝝅
𝟒
 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝟒𝜽 𝒅𝜽
𝝅
𝟒
𝟎
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝜽 +
𝟏
𝟒
𝒔𝒆𝒏𝟒𝜽 
𝝅/𝟒
𝟎
=
𝝅
𝟖
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Calcule a área da região que está dentro do círculo 
𝒓 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜽 e fora da cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽. 
Cálculo das intersecções: 
𝟑𝒔𝒆𝒏𝜽 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 → 𝒔𝒆𝒏𝜽 =
𝟏
𝟐
→ 𝜽 =
𝝅
𝟔
,
𝟓𝝅
𝟔
 
Cálculo da área: 
𝑨 = 
𝟏
𝟐
𝟑𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒅𝜽 − 
𝟏
𝟐
𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐𝒅𝜽
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝟗𝒔𝒆𝒏²𝜽 − 𝟏 + 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽 𝒅𝜽
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝟖𝒔𝒆𝒏²𝜽 − 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 3 
Calcule a área da região que está dentro do círculo 
𝒓 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜽 e fora da cardioide 𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽. 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝟖𝒔𝒆𝒏²𝜽 − 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
 𝟖
𝟏
𝟐
𝟏 − 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 − 𝟏 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝜽 𝒅𝜽
𝟓𝝅
𝟔
𝝅
𝟔
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝟒 𝜽 −
𝟏
𝟐
𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 − 𝜽 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝟓𝝅/𝟔
𝝅/𝟔
 
𝑨 =
𝟏
𝟐
𝟑𝜽 − 𝟐𝒔𝒆𝒏𝟐𝜽 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 
𝟓𝝅/𝟔
𝝅/𝟔
→ 𝑨 = 𝝅 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 27, PÁGINA 605 
Encontre a área da região que está dentro da 
primeira curva e fora da segunda curva. 
𝒓 = 𝟑𝒄𝒐𝒔𝜽, 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 4 
Encontre todos os pontos de intersecção das curvas 
𝒓 = 𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 e 𝒓 =
𝟏
𝟐
 
Cálculo das intersecções: 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 =
𝟏
𝟐
→ 𝟐𝜽 =
𝝅
𝟑
,
𝟓𝝅
𝟑
,
𝟕𝝅
𝟑
,
𝟏𝟏𝝅
𝟑
 
𝜽 =
𝝅
𝟔
,
𝟓𝝅
𝟔
,
𝟕𝝅
𝟔
,
𝟏𝟏𝝅
𝟔
→
𝟏
𝟐
,
𝝅
𝟔
,
𝟏
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟔
,
𝟏
𝟐
,
𝟕𝝅
𝟔
, 
𝟏
𝟐
,
𝟏𝟏𝝅
𝟔
 
Observando que outra equação do círculo é 𝒓 = −
𝟏
𝟐
 , temos: 
𝒄𝒐𝒔𝟐𝜽 = −
𝟏
𝟐
→ 𝟐𝜽 =
𝟐𝝅
𝟑
,
𝟒𝝅
𝟑
,
𝟖𝝅
𝟑
,
𝟏𝟎𝝅
𝟑
 
𝜽 =
𝝅
𝟑
,
𝟐𝝅
𝟑
,
𝟒𝝅
𝟑
,
𝟓𝝅
𝟑
→
𝟏
𝟐
,
𝝅
𝟑
,
𝟏
𝟐
,
𝟐𝝅
𝟑
,
𝟏
𝟐
,
𝟒𝝅
𝟑
, 
𝟏
𝟐
,
𝟓𝝅
𝟑
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXERCÍCIO 37, PÁGINA 605 
Encontre todos os pontos de intersecção das 
curvas 
𝒓 = 𝟏 + 𝒔𝒆𝒏𝜽 e 𝒓 = 𝟑𝒔𝒆𝒏𝜽 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPRIMENTO DE ARCO EM 
COORDENADAS POLARES 
O comprimento da curva com 
equação polar 𝒓 = 𝒇 𝜽 , 𝒂 ≤ 𝜽 ≤ 𝒃, 
é obtido pela fórmula: 
𝑳 = 𝒓² +
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝟐
𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 5 
Calcule o comprimento do arco delimitado pelo círculo 
𝒓 = 𝟐 para 𝟎 ≤ 𝜽 ≤ 𝟐𝝅. 
𝑳 = 𝒓² +
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝟐
 𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
𝑳 = 𝟐² + 𝟎𝟐 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟐 𝒅𝜽
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟐𝜽 
𝟐𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟒𝝅 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
EXEMPLO 6 
Calcule o comprimento da curva polar 𝒓 = 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 
Lançando mão da simetria, determinamos o comprimento 
da metade superior e duplicamos o resultado. 
𝑳 = 𝒓² +
𝒅𝒓
𝒅𝜽
𝟐
 𝒅𝜽
𝒃
𝒂
 
𝑳 = 𝟐 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝟐 + −𝒔𝒆𝒏𝜽 𝟐 𝒅𝜽
𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟐 𝟏 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 + 𝒄𝒐𝒔²𝜽 + 𝒔𝒆𝒏²𝜽 𝒅𝜽
𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟐 𝟐 + 𝟐𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽
𝝅
𝟎
= 𝟐 𝟐 𝟏 + 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅𝜽 = 𝟐 𝟐 𝟐𝒄𝒐𝒔²
𝜽
𝟐
 𝒅𝜽
𝝅
𝟎
𝝅
𝟎
 
𝑳 = 𝟐. 𝟐. 𝟐 𝒄𝒐𝒔
𝜽
𝟐
 𝒅𝜽 = 𝟒 . 𝟐. 𝒔𝒆𝒏
𝜽
𝟐
 
𝝅
𝟎
= 𝟖
𝝅
𝟎
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AULA 05 
FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
107 
INTRODUÇÃO. 
Nesta seção estudaremos as funções de duas ou 
mais variáveis sob quatro pontos de vista 
diferentes: 
Verbalmente (pela descrição em palavras) 
Numericamente (por uma tabela de valores) 
Algebricamente (por uma fórmula explícita) 
Visualmente (por um gráfico ou curvas de nível) 
 
108 
INTRODUÇÃO. 
1º) A área de um retângulo depende de duas 
quantidades: comprimento e largura. 
A área é uma função de duas variáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
109 
INTRODUÇÃO. 
2º) Se um objeto está localizado no espaço, a 
temperatura em um ponto P do objeto pode depender de 
três coordenadas retangulares: x, y, z de P. 
A temperatura é uma função de três variáveis. 
110 
INTRODUÇÃO. 
3º) O volume de uma caixa retangular depende de três 
quantidades: comprimento, largura e altura. 
O volume é uma função de três variáveis. 
 
111 
INTRODUÇÃO. 
 4º) A média aritmética de n números reais 
depende desses números. 
A média aritmética é uma função de n variáveis. 
 
𝑿 =
𝑿𝟏 + 𝑿𝟐 + 𝑿𝟑 + ⋯+ 𝑿𝒏
𝒏
 
112 
INTRODUÇÃO. 
Recordando: 
Uma função f é uma 
correspondência que associa a cada 
elemento de seu domínio D 
exatamente um elemento do seu 
contradomínio E. 
113 
DEFINIÇÃO. 
Uma função f de duas variáveis é uma regra 
que associa a cada par ordenado de 
números reais (x, y) de um conjunto D um 
único valor real, denotado por 
f(x, y). O conjunto D é o domínio de f e sua 
imagem é o conjunto de valores possíveis de 
f, ou seja, 𝒇(𝒙, 𝒚) ∕ 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 . 
114 
INTRODUÇÃO. 
A terminologia e a notação para funções de 
duas ou mais variáveis são análogas àquelas 
para funções de uma variável. 
A expressão 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) significa que 𝒛 é uma 
função de 𝒙 𝒆 𝒚 no sentido de que um único 
valor da variável dependente 𝒛 é determinado 
especificando valores para as variáveis 
independentes 𝒙 𝒆 𝒚 . 
115 
REPRESENTAÇÃO. 
Uma função de duas variáveis é simplesmente aquela cujo domínio 
é um subconjunto de ℝ² e cuja imagem é um subconjunto de ℝ. 
Uma maneira de visualizar essa função é pelo diagrama de setas, no 
qual o domínio D é representado como 
um subconjunto 
do plano xy e a 
imagem é um 
conjunto de 
números na reta 
real, mostrado como 
um eixo z. 
 
116 
APLICAÇÃO. 
Se f(x,y) representa a temperatura em um ponto (x,y) em uma placa 
de metal chata com o formato de D, podemos pensar que o eizo z é 
um termômetro exibindo as temperaturas registradas. 
117 
OBSERVAÇÃO. 
Se a função fé dada por uma fórmula e 
seu domínio não é especificado, fica 
subtendido que o domínio de f é o 
conjunto de todos os pares (x, y) para os 
quais a expressão dada fornece um 
número real bem definido. 
 
118 
EXEMPLO 01 
(a) Calcule 𝒇(𝟑, 𝟐) e determine o domínio da 
função 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙+𝒚+𝟏
𝒙−𝟏
 
Solução: 
𝒇 𝟑, 𝟐 =
𝟑 + 𝟐 + 𝟏
𝟑 − 𝟏
=
𝟔
𝟐
 
Determinação do domínio: 
𝑫 = 𝒙, 𝒚 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 ≥ 𝟎 𝒆 𝒙 ≠ 𝟏 
A desigualdade 𝒙 + 𝒚 + 𝟏 ≥ 𝟎 ou 𝒚 ≥ −𝒙 − 𝟏 descreve os pontos 
que estão sobre ou acima da reta 𝒚 = −𝒙 − 𝟏, ao passo que 𝒙 ≠ 𝟏 
significa que os pontos sobre a reta x = 1 precisam ser excluídos do 
domínio. 
 
 
 
 
 
119 
EXEMPLO 01 
(b) Calcule 𝒇(𝟑, 𝟐) e determine o domínio da 
função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒍𝒏 𝒚² − 𝒙 
Solução: 
𝒇 𝟑, 𝟐 = 𝟑𝒍𝒏 𝟐² − 𝟑 = 𝟎 
Determinação do domínio: 
Já que 𝒍𝒏 𝒚² − 𝒙 é definido 
somente quando 𝒚² − 𝒙 > 𝟎, 
isto é, 𝒙 < 𝒚², o domínio de 
f é 𝑫 = 𝒙, 𝒚 𝒙 < 𝒚² . Isso 
representa o conjunto de pontos à esquerda da 
parábola 𝒙 = 𝒚². 
 
 
 
 
 
120 
121 
EXEMPLO 04 
Determine o domínio e a imagem de 𝒈 𝒙, 𝒚 =
𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² 
Solução: 
O domínio de g é 
𝑫 = 𝒙, 𝒚 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² ≥ 𝟎 ou 
𝑫 = 𝒙, 𝒚 𝒙² + 𝒚² ≤ 𝟗 
que é o disco com centro 𝟎, 𝟎 e raio 3. 
A imagem de g é 
𝒛 𝒛 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚², 𝒙, 𝒚 ∈ 𝑫 
Para 𝒙, 𝒚 = 𝟎, 𝟎 → 𝒛 = 𝟑 
Para 𝒙, 𝒚 = ±𝟑, 𝟎 𝒆(𝟎,±𝟑) → 𝒛 = 𝟎 
Assim, a imagem é 𝒛 ∕ 𝟎 ≤ 𝒛 ≤ 𝟑 = 𝟎, 𝟑 
 
 
 
123 
GRÁFICOS 
Outra forma de visualizar o comportamento de uma função de duas variáveis é 
considerar seu gráfico. 
Definição 
Se f é uma função de duas variáveis com domínio D, então o gráfico de f é o 
conjunto de todos os pontos (x, y, z) em ℝ³ tal que z = f(x, y) e (x, y) pertença a D. 
Assim como o gráfico de uma função f de uma única variável é uma curva C com 
equação y = f(x), o gráfico de uma função com duas variáveis é uma superfície S 
com equação z = f(x, y). Podemos visualizar o gráfico S de f como estando 
diretamente acima ou abaixo de seu domínio D no plano xy. 
 
 
 
 
124 
EXEMPLO 05 
Esboce o gráfico da função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟔 −
𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 
Solução: 
O gráfico de f tem a equação 𝒛 = 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚, ou 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝒛 = 𝟔, 
que representa um plano. Para desenharmos o plano, primeiro 
achamos as intersecções com os eixos. 
Colocando 𝒚 = 𝒛 = 𝟎 na 
equação, obtemos 𝒙 = 𝟐 
como a intersecção com o 
eixo x. Da mesma forma, 
a intersecção com y é 3 e a 
intersecção com z é 6. 
 
 
 
125 
EXEMPLO 05 
Esboce o gráfico da função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 
OBSERVAÇÃO: 
A função do exemplo 5 é um caso especial da função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒂𝒙 +
𝒃𝒚 + 𝒄 e é chamada FUNÇÃO LINEAR. O gráfico de uma dessas 
funções tem a equação 𝒛 = 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 + 𝒄 ou 𝒂𝒙 + 𝒃𝒚 − 𝒛 + 𝒄 = 𝟎 e, 
portanto, é um plano. 
 
 
 
126 
EXEMPLO 06 
Esboce o gráfico da função 𝐠 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² 
Solução: 
O gráfico tem a equação 𝒛 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚². Elevando ao quadrado 
ambos os lados da equação, obtemos 𝒛² = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚², ou 
𝒙² + 𝒚² + 𝒛² = 𝟗, que reconhecemos como a equação da esfera de 
centro na origem e raio 3. Mas, como 𝒛 ≥ 𝟎, o gráfico de g é 
somente a metade superior da esfera. 
 
 
 
127 
EXEMPLO 06 
Esboce o gráfico da função 𝐠 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² 
OBSERVAÇÃO: 
Uma esfera inteira não pode ser representada por uma única função 
de x e y. De acordo com o exemplo 06, o hemisfério superior da 
esfera 
𝒙² + 𝒚² + 𝒛² = 𝟗 é representado pela 
função 𝒉 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚². 
O hemisfério inferior é 
representado pela função 
𝒉 𝒙, 𝒚 = − 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² . 
 
 
 
 
128 
OUTROS GRÁFICOS 
 
 
 
 
129 
CURVAS DE NÍVEL 
Até aqui vimos dois métodos diferentes para visualizar funções: 
diagramas de flechas e gráficos. Um terceiro método, emprestado 
dos cartógrafos, é um mapa de contorno, em que os pontos com 
elevações constantes são ligados para formar curvas de contorno ou 
curvas de nível. 
DEFINIÇÃO 
As curvas de nível de uma função f de duas variáveis são aquelas 
com equação 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒌, onde k é uma constante (na imagem de 
f). 
Uma curva de nível 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒌 é o conjunto de todos os pontos do 
domínio de f nos quais o valor de f é k. Em outras palavras, ela 
mostra onde o gráfico de f tem altura k. 
https://www.youtube.com/watch?v=wDZngwCNYtA 
 
 
 
 
130 
CURVAS DE NÍVEL 
Vemos na figura ao 
lado a relação entre 
as curvas de nível e 
os cortes horizontais. 
As curvas de nível 
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒌 são apenas 
cortes do gráfico de f 
no plano horizontal 
𝒛 = 𝒌 projetados sobre 
o plano xy. Assim, se 
você traçar as curvas de nível da função e visualizá-las elevadas para a superfície 
na altura indicada, poderá imaginar o gráfico da função colocando as duas 
informações juntas. A superfície será mais inclinada onde as curvas de nível 
estiverem mais próximas umas das outras. Ela será um pouco mais achatada onde 
as curvas de nível estão distantes umas das outras. 
 
 
 
 
 
131 
EXEMPLO 07 
Um mapa de contorno para uma função f é mostrado na figura 
abaixo. Use-o para estimar os valores de f(1, 3) e f(4, 5). 
Solução: 
O ponto (1, 3) está na parte 
entre as curvas de nível 
cujos valores de z são 70 e 
80. 
Estimamos que 
𝒇 𝟏, 𝟑 ≈ 𝟕𝟑 
Da mesma forma, 
Estimamos que 𝒇 𝟒, 𝟓 ≈ 𝟓𝟔 
 
 
 
132 
EXEMPLO 08 
Esboce as curvas de nível da função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟔 − 𝟑𝒙 −
𝟐𝒚 para os valores 
𝒌 = −𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐. 
Solução: 
As curvas de nível são 𝟔 − 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 = 𝒌 
Isolando y, temos: 𝒚 = −
𝟑
𝟐
𝒙 +
𝟔−𝒌
𝟐
 
Essa é uma família de retas 
com inclinação −
𝟑
𝟐
 . 
Para 𝒌 = −𝟔, 𝟎, 𝟔, 𝟏𝟐, temos, 
respectivamente, os 
coeficientes 
lineares iguais a 𝟔, 𝟑, 𝟎,−𝟑. 
 
 
 
133 
EXEMPLO 09 
Esboce as curvas de nível da função 
𝐠 𝒙, 𝒚 = 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² para os valores 
𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑. 
Solução: 
As curvas de nível são 𝟗 − 𝒙2 − 𝒚² = 𝒌 
Elevando ao quadrado ambos os 
membros, temos: 𝒙² + 𝒚² = 𝟗 − 𝒌² 
Essa é uma família de 
circunferências concêntricas 
com centro em (𝟎, 𝟎) . 
Para 𝒌 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑, temos, 
respectivamente, os raios 
iguais a 𝟑, 𝟖, 𝟓, 𝟎. 
 
 
 
 
134 
 
AULA 06 
LIMITES E CONTINUIDADE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
135 
INTRODUÇÃO. 
Vamos comparar o comportamento das funções: 
𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒔𝒆𝒏(𝒙2+𝒚2)
𝒙²+𝒚²
 𝒆 𝒈 𝒙, 𝒚 =
𝒙²−𝒚²
𝒙²+𝒚²
 quando x e y se aproximam 
de 0 [e, portanto, o ponto (x, y) se aproxima da origem]. As tabelas 1 e 2 mostram 
valores de 𝒇 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒈(𝒙, 𝒚), com precisão de três casas decimais, para pontos 
𝒙, 𝒚 próximos da origem. (Observe que nenhuma das funções está definida na 
origem.) 
136 
INTRODUÇÃO. 
Parece que, quando (x, y) se aproxima de (0, 0), os valores de f (x, y) se 
aproximam de 1, ao passo que os valores de g(x, y) não se aproximam de valor 
algum. 
Essa nossa observação baseada em evidências numéricas está correta, e podemos 
escrever 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒔𝒆𝒏(𝒙𝟐 + 𝒚𝟐)
𝒙² + 𝒚²
= 𝟏 𝒆 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙² − 𝒚²
𝒙² + 𝒚²
= ∄ 
Em geral, usamos a notação 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑳 para indicar que os valores de f(x, y) se aproximam do 
número L à medida que o ponto (x, y) se aproxima do ponto (a, b) ao longo de 
qualquer caminho que esteja no domínio de f. 
Em outras palavras, podemos fazer os valores de f (x, y) tão próximos de L quanto 
quisermos tornando o ponto (x, y) suficientemente próximo do ponto (a, b), mas 
não igual a 
(a, b). 
 
 
137 
Inicialmente vamos estudar o caso em que o limite 
existe. Como para a função de uma única variável, 
o cálculo do limite de funções de duas variáveis 
pode ser muito simplificado usando-se as 
propriedades dos limites. As Propriedades dos 
Limites podem ser estendidas para as funções de 
duas variáveis. O limite da soma é a soma dos 
limites; o limite do produto é o produtodos 
limites; e assim por diante. 
138 
CONTINUIDADE 
Lembremo-nos de que o cálculo de limites de 
funções contínuas de uma única variável é 
fácil. Ele pode ser obtido por substituição 
direta, porque, pela definição de função 
contínua, 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒇 𝒙 = 𝒇(𝒂). Funções 
contínuas de duas variáveis também são 
definidas pela propriedade da substituição 
direta. 
139 
CONTINUIDADE 
Definição 
Uma função f de duas variáveis é dita 
contínua em (a, b) se 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝒇(𝒂, 𝒃) 
Dizemos que f é contínua em D se for 
contínua em todo ponto (a, b) de D. 
 
140 
CONTINUIDADE 
Todas as funções polinomiais, ou 
simplesmente polinômios, são 
funções contínuas em ℝ². Dessa 
forma podemos calcular seu limite 
pela substituição direta. 
 
141 
Exemplos de limites resolvidos por substituição direta. 
 
01) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟐)
𝒙²𝒚³ − 𝒙3𝒚2 + 𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 
02) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟐)
𝟓𝒙³ − 𝒙2𝒚² 
03) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,−𝟏)
𝒆−𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔(𝒙 + 𝒚) 
04) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟐,𝟏)
𝟒−𝒙𝒚
𝒙²+𝟑𝒚²
 
05) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟎)
𝒍𝒏
𝟏+𝒚²
𝒙²+𝒙𝒚
 
 
Respostas: 01) 11 02) 1 03) e 04) 2/7 05) 0 
 
 
 
 
142 
Exemplos de limites indeterminados. 
01) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟒−𝒚𝟒
𝒙²+𝒚²
 
02) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝒙²+𝒚²+𝟏−𝟏
 
03) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟐)
𝒙𝒚−𝒚
𝒙²−𝒙+𝟐𝒙𝒚−𝟐𝒚
 
04) Calcule lim
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟐,𝟑,𝟏)
𝒚²−𝟒𝒚+𝟑
𝒙²𝒛(𝒚−𝟑)
 
 
Respostas: 01) 0 02) 2 03) 2/5 04) 1/2 
 
 
 
 
143 
Exemplos de limites indeterminados. 
01) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟒−𝒚𝟒
𝒙²+𝒚²
=
𝟎
𝟎
(𝑰𝑵𝑫𝑬𝑻𝑬𝑹) 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙² + 𝒚² 𝒙² − 𝒚²
𝒙² + 𝒚²
= 𝟎 
02) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝟐+𝒚𝟐
𝒙²+𝒚²+𝟏−𝟏
=
𝟎
𝟎
(𝑰𝑵𝑫) 
lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙² + 𝒚² 𝒙² + 𝒚² + 𝟏 + 𝟏
𝒙² + 𝒚² + 𝟏 − 𝟏 𝒙² + 𝒚² + 𝟏 + 𝟏
 
lim
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙² + 𝒚² 𝒙² + 𝒚² + 𝟏 + 𝟏
𝒙² + 𝒚² + 𝟏 − 𝟏
= 𝟐 
 
 
 
 
144 
Exemplos de limites indeterminados. 
03) Calcule lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟐)
𝒙𝒚−𝒚
𝒙²−𝒙+𝟐𝒙𝒚−𝟐𝒚
=
𝟎
𝟎
(𝑰𝑵𝑫) 
lim
(𝒙,𝒚)→(𝟏,𝟐)
𝒚(𝒙 − 𝟏)
𝒙 𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒚(𝒙 − 𝟏)
=
𝟐
𝟏 + 𝟒
=
𝟐
𝟓
 
 
04) Calcule lim
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟐,𝟑,𝟏)
𝒚²−𝟒𝒚+𝟑
𝒙²𝒛(𝒚−𝟑)
=
𝟎
𝟎
(𝑰𝑵𝑫) 
lim
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟐,𝟑,𝟏)
𝒚 − 𝟏 𝒚 − 𝟑
𝒙²𝒛(𝒚 − 𝟑)
=
𝟑 − 𝟏
𝟐². 𝟏
=
𝟐
𝟒
=
𝟏
𝟐
 
 
 
 
 
 
 
 
145 
DEFINIÇÃO DE LIMITE. 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝑳 
OUTRA NOTAÇÃO PARA LIMITE 
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂
𝒚→𝒃
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝑳 
Para funções de uma única variável, quando fazemos x 
tender a a, só existem duas direções possíveis de 
aproximação: pela esquerda ou pela direita. 
Se 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂−
𝒇(𝒙) ≠ 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒂+
𝒇 𝒙 , 
então lim
𝒙→𝒂
𝒇(𝒙) não existe. 
146 
Já para as funções de duas variáveis essa situação não é tão simples 
porque existem infinitas maneiras de (x, y) se aproximar de (a, b) 
por uma quantidade infinita de direções de qualquer maneira que se 
queira, bastando que 
(x, y) se mantenha no domínio de f. Portanto, se o limite existe, f (x, 
y) deve se aproximar do mesmo valor-limite, independentemente 
do modo como (x, y) se aproxima de (a, b). 
 
147 
Assim, se acharmos dois caminhos diferentes de 
aproximação ao longo dos quais f (x, y) tenha 
limites diferentes, segue então que 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) não existe. 
Se 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝑳𝟏 quando (𝒙, 𝒚) → (𝒂, 𝒃) ao longo 
do caminho 𝑪𝟏 e 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝑳𝟐 quando (𝒙, 𝒚) →
(𝒂, 𝒃) ao longo do caminho 𝑪𝟐 , com 𝑳𝟏 ≠ 𝑳𝟐 , 
então 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝒂,𝒃)
𝒇(𝒙, 𝒚) não existe. 
 
148 
Exemplo 01 
Mostre que 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙²−𝒚²
𝒙²+𝒚²
 
não existe. 
149 
Exemplo 01 
Mostre que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙²−𝒚²
𝒙²+𝒚²
 não existe. 
Solução: 
Primeiro passo: Vamos considerar (0, 0) ao longo do eixo x. 
Então y = 0 dá 𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝒙²
𝒙²
= 𝟏 para todo 𝒙 ≠ 𝟎. Portanto 
𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝟏 quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo do eixo x. 
Segundo passo: Agora vamos nos aproximar ao longo do 
eixo y, colocando x = 0. Então 𝒇 𝟎, 𝒚 =
−𝒚²
𝒚²
= −𝟏 para todo 
𝒚 ≠ 𝟎. Portanto 𝒇 𝒙, 𝒚 → −𝟏 quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo 
do eixo y. 
Conclusão: Como f tem dois limites diferentes ao longo de 
duas retas diferentes, o limite não existe. 
150 
Exemplo 01 
Mostre que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙²−𝒚²
𝒙²+𝒚²
 não 
existe. 
Solução prática: 
𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝒙²
𝒙²
= 𝟏 
𝒇 𝟎, 𝒚 =
−𝒚²
𝒚²
= −𝟏 
Logo, o limite não existe. 
 151 
Exemplo 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 , será 
que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 
existe? 
152 
Exemplo 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 , será que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 existe? 
Solução: 
Primeiro passo: Se 𝒚 = 𝟎, então 𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝟎
𝒙²
= 𝟎. 
Portanto, 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝟎 quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo do 
eixo x. 
Segundo passo: Se x= 𝟎, então 𝒇 𝟎, 𝒚 =
𝟎
𝒚²
= 𝟎. 
Portanto, 𝒇(𝒙, 𝒚) → 𝟎 quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo do 
eixo y. 
 
 
 153 
Exemplo 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 , será que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 existe? 
Apesar de termos encontrado valores idênticos ao longo dos eixos, 
não podemos afirmar que o limite exista e seja 0. 
Agora vamos nos aproximar de (0, 0) ao longo de outra reta; por 
exemplo, y = x. 
Para todo 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒇 𝒙, 𝒙 =
𝒙.𝒙
𝒙²+𝒙²
=
𝒙²
𝟐𝒙²
=
𝟏
𝟐
. Portanto,𝒇(𝒙, 𝒚) →
𝟏
𝟐
 
quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo de y = x. Com obtivemos valores 
diferentes para o limite ao longo de caminhos diferentes, podemos 
afirmar que o limite dado não existe. 
 
 
 
154 
Exemplo 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 , será que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 existe? 
Apesar de termos encontrado valores idênticos ao longo dos eixos, não podemos afirmar que o limite exista e seja 0. 
Agora vamos nos aproximar de (0, 0) ao longo de outra reta; por exemplo, y = x. 
Para todo 𝒙 ≠ 𝟎, 𝒇 𝒙, 𝒙 =
𝒙.𝒙
𝒙²+𝒙²
=
𝒙²
𝟐𝒙²
=
𝟏
𝟐
. Portanto,𝒇(𝒙, 𝒚) →
𝟏
𝟐
 quando (𝒙, 𝒚) → (𝟎, 𝟎) ao longo de y = x. Com obtivemos valores diferentes para o limite ao longo 
de caminhos diferentes, podemos afirmar que o limite dado não existe. 
OBSERVAÇÃO: 
A cumeeira que ocorre acima da reta y = x corresponde ao fato de 
que 𝒇(𝒙, 𝒚) →
𝟏
𝟐
 para todos os pontos (x, y) dessa reta, exceto na 
origem. 
 
 
 
155 
Exemplo 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 , será que 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚
𝒙²+𝒚²
 
existe? 
Solução prática: 
𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝟎
𝒙²
= 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝒚 =
𝟎
𝒚²
= 𝟎 
𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝒙. 𝒙
𝒙² + 𝒙²
=
𝒙²
𝟐𝒙²
=
𝟏
𝟐
 
Logo, o limite não existe. 
 156 
Exemplo 03 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝟐𝒙𝒚
𝒙²+𝟐𝒚²
 
Solução prática: 
𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝟎
𝒙²
= 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝒚 =
𝟎
𝟐𝒚²
= 𝟎 
𝒇 𝒙, 𝒙 =
𝟐𝒙. 𝒙
𝒙² + 𝟐𝒙²
=
𝟐𝒙²
𝟑𝒙²
=
𝟐
𝟑
 
Logo, o limite não existe. 157 
Exemplo 04 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
(𝒙+𝒚)²
𝒙²+𝒚²
 
Solução prática: 
𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝒙²
𝒙²
= 𝟏 
𝒇 𝟎, 𝒚 =
𝒚²
𝒚²
= 𝟏 
𝒇 𝒙, 𝒙 =
(𝒙 + 𝒙)²
𝒙² + 𝒙²
=
𝟒𝒙²
𝟐𝒙²
= 𝟐 
Logo, o limite não existe. 
 158 
Exemplo 05 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝟖𝒙²𝒚²
𝒙𝟒+𝒚𝟒
 
Solução: 
𝒇 𝒙, 𝟎 =
𝟎
𝒙𝟒
= 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝒚 =
𝟎
𝒚𝟒
= 𝟎 
𝒇 𝒙, 𝒙 =
𝟖𝒙²𝒙²
𝒙𝟒 + 𝒙𝟒
=
𝟖𝒙𝟒
𝟐𝒙𝟒
= 𝟒 
Logo, o limite não existe. 
 
159 
Exemplo 06 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙³+𝒙𝒚²
𝒙𝟐+𝒚𝟐
 
Solução: 
Fatoração. 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙(𝒙2+𝒚2)
𝒙𝟐+𝒚𝟐
 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙 = 𝟎 
 160 
Exemplo 07 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚+𝟏
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝟏
 
Solução: 
Substituição direta. 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚 + 𝟏
𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝟏
=
𝟏
𝟏
= 𝟏 
161 
Exemplo08 
Verifique se o seguinte limite existe: 
𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙²−𝒚2−𝒛²
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛²
 
Solução: 
𝒇 𝒙, 𝟎, 𝟎 = 𝟏 
𝒇 𝟎, 𝒚, 𝟎 = −𝟏 
Logo, o limite não existe. 
 
162 
Exemplo 09 
Verifique se o seguinte limite existe: 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚,𝒛)→(𝟎,𝟎,𝟎)
𝒙𝒚+𝒚𝒛+𝒛𝒙
𝒙𝟐+𝒚𝟐+𝒛²
 
Solução: 
𝒇 𝒙, 𝟎, 𝟎 = 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝒚, 𝟎 = 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝟎, 𝒛 = 𝟎 
𝒇 𝒙, 𝒙, 𝟎 =
𝒙²
𝟐𝒙²
=
𝟏
𝟐
 
Logo, o limite não existe. 
 
163 
Exemplo 10 
Verifique se o seguinte limite existe: 𝒍𝒊𝒎
(𝒙,𝒚)→(𝟎,𝟎)
𝒙𝒚²
𝒙𝟐+𝒚𝟒
 
Solução: 
𝒇 𝒙, 𝟎 = 𝟎 
𝒇 𝟎, 𝒚 = 𝟎 
𝒇 𝒙, 𝒙 = 𝟎 
𝒇 𝒚², 𝒚 =
𝒚². 𝒚²
𝒚𝟒 + 𝒚𝟒
=
𝒚𝟒
𝟐𝒚𝟒
=
𝟏
𝟐
 
Logo, o limite não existe. 
 
164 
 
AULA 07 
DERIVADAS PARCIAIS 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
165 
No Cálculo 1 definimos a derivada f’(x) de uma função de uma 
variável como 𝒇′ 𝒙 = lim
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙+𝒉 −𝒇(𝒙)
𝒉
. 
Podemos aplicar procedimento análogo às funções de diversas 
variáveis. 
DEFINIÇÃO. 
Seja f uma função de duas variáveis. As derivadas parciais primeiras 
de f em relação a x e a y são as funções 𝒇𝒙 e 𝒇𝒚 tais que 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 + 𝒉, 𝒚 − 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝒉
 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒍𝒊𝒎
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙, 𝒚 + 𝒉 − 𝒇(𝒙, 𝒚)
𝒉
 
 
 
 
 166 
Notações para as derivadas parciais. 
Se 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚), escrevemos 
 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝒙 =
𝝏𝒇
𝝏𝒙
=
𝝏
𝝏𝒙
𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= 𝒇𝟏
= 𝑫𝟏𝒇 = 𝑫𝒙𝒇 
 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒇𝒚 =
𝝏𝒇
𝝏𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
𝒇 𝒙, 𝒚 =
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝒇𝟐 
 = 𝑫𝟐𝒇 = 𝑫𝒚𝒇 
 
167 
Regras para determinar as derivadas 
parciais de 
z = f(x, y) 
1ª) Para determinar 𝒇𝒙 , trate y como 
uma constante e derive f(x, y) com 
relação a x. 
2ª) Para determinar 𝒇𝒚 , trate x como 
uma constante e derive f(x, y) com 
relação a y. 
 168 
EXEMPLO 01 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙³𝒚² − 𝟐𝒙2𝒚 + 𝟑𝒙, 
ache 
𝒂 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙²𝒚² − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙³𝒚 − 𝟐𝒙² 
 
169 
INTERPRETAÇÕES DAS DERIVADAS PARCIAIS 
https://www.youtube.com/watch?v=PxNZQ3shMeM 
As derivadas parciais 𝒇𝒙(𝒂, 𝒃) e 𝒇𝒚(𝒂, 𝒃) podem ser interpretadas 
geometricamente como as inclinações das retas tangentes em 
𝑷 𝒂,𝒃, 𝒄 aos cortes 𝑪𝟏 e 𝑪𝟐 de 𝑺 nos planos 𝒚 = 𝒃 e 𝒙 = 𝒂. 
 
170 
EXEMPLO 02 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟒 − 𝒙2 − 𝟐𝒚², determine 𝒇𝒙 𝟏, 𝟏 e 
interprete esse número como inclinação. 
Solução: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = −𝟐𝒙 → 𝒇𝒙 𝟏, 𝟏 = −𝟐 
O gráfico de f é o paraboloide z = 4 – x² - 2y², e o plano vertical y = 1 intercepta-o 
na parábola z = 2 – x², y = 1. (rotulamos 𝑪𝟏 na figura). A inclinação da reta 
tangente a essa parábola no ponto (1, 1, 1) é 𝒇𝒙 𝟏, 𝟏 = −𝟐 
 
171 
EXEMPLO 03 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟒 − 𝒙2 − 𝟐𝒚², determine 𝒇𝒚 𝟏, 𝟏 e 
interprete esse número como inclinação. 
Solução: 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = −𝟒𝒙 → 𝒇𝒙 𝟏, 𝟏 = −𝟒 
O gráfico de f é o paraboloide z = 4 – x² - 2y², e o plano 
x = 1 intercepta-o na parábola z = 3 – 2y², x = 1. (rotulamos 𝑪𝟐 na figura). A 
inclinação da reta tangente a essa parábola no ponto (1, 1, 1) é 𝒇𝒚 𝟏, 𝟏 = −𝟒 
 
172 
EXEMPLO 04 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙³ + 𝒙2𝒚³ − 𝟐𝒚², ache 
𝒂 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚) 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙² + 𝟐𝒙𝒚
3 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙²𝒚² − 𝟒𝒚 
𝒃 𝒇𝒙 𝟐, 𝟏 𝒆 𝒇𝒚(𝟐, 𝟏) 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟑. 𝟐² + 𝟐. 𝟐. 𝟏
3 = 𝟏𝟔 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟑. 𝟐². 𝟏² − 𝟒. 𝟏 = 𝟖 
 
173 
EXEMPLO 05 
Ache 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
 se 𝒛 = 𝒙𝒚²𝒆𝒙𝒚 
Escrevemos 𝒛 = 𝒙𝒚2 . (𝒆𝒙𝒚) e 
aplicamos a regra do produto: 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝒙𝒚². 𝒙𝒆𝒙𝒚 + 𝒆𝒙𝒚. 𝟐𝒙𝒚 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= 𝒙𝒚𝒆𝒙𝒚(𝒙𝒚 + 𝟐) 
 
 
EXEMPLO 06 
Se 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒔𝒆𝒏
𝒙
𝟏+𝒚
,calcule 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
 𝒆 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
 
 
𝝏𝒇
𝝏𝒙
=
𝟏
𝟏 + 𝒚
. 𝒄𝒐𝒔
𝒙
𝟏 + 𝒚
 
 
𝝏𝒇
𝝏𝒚
= −
𝒙
𝟏 + 𝒚 2
. 𝒄𝒐𝒔
𝒙
𝟏 + 𝒚
 
175 
DERIVAÇÃO IMPLÍCITA 
EXEMPLO 07 
Determine 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
 𝒆 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
 se z é definido implicitamente como 
uma função de x e de y pela equação 𝒙³ + 𝒚³ + 𝒛³ +
𝟔𝒙𝒚𝒛 = 𝟏 
Determinação de 
𝝏𝒛
𝝏𝒙
 : 
𝟑𝒙² + 𝟑𝒛²
𝝏𝒛
𝝏𝒙
+ 𝟔𝒙𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝒙
+ 𝟔𝒚𝒛 = 𝟎 →
𝝏𝒛
𝝏𝒙
= −
𝒙2 + 𝟐𝒚𝒛
𝒛² + 𝟐𝒙𝒚
 
Determinação de 
𝝏𝒛
𝝏𝒚
 : 
𝟑𝒚² + 𝟑𝒛²
𝝏𝒛
𝝏𝒚
+ 𝟔𝒙𝒚
𝝏𝒛
𝝏𝒚
+ 𝟔𝒙𝒛 = 𝟎 →
𝝏𝒛
𝝏𝒚
= −
𝒚² + 𝟐𝒙𝒛
𝒛² + 𝟐𝒙𝒚
 
 
 
176 
Funções de mais de duas variáveis. 
Exemplo 08 
Determine 𝒇𝒙 , 𝒇𝒚 , 𝒆 𝒇𝒛 se 
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒆𝒙𝒚𝒍𝒏𝒛 
𝒇𝒙 = 𝒚𝒆
𝒙𝒚𝒍𝒏𝒛 
𝒇𝒚 = 𝒙𝒆
𝒙𝒚𝒍𝒏𝒛 
𝒇𝒛 =
𝟏
𝒛
𝒆𝒙𝒚 
 
177 
Exemplo 09 
Determine as derivadas parciais de 
primeira ordem da função 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 =
𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒚 − 𝒛) 
𝒇𝒙 = 𝒔𝒆𝒏(𝒚 − 𝒛) 
𝒇𝒚 = 𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒚 − 𝒛) 
𝒇𝒛 = −𝒙𝒄𝒐𝒔(𝒚 − 𝒛) 
 
178 
Exemplo 10 
Determine as derivadas parciais de 
primeira ordem da função 𝒘 = 𝒍𝒏(𝒙 +
𝟐𝒚 + 𝟑𝒛) 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
=
𝟏
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛
 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
=
𝟐
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛
 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
=
𝟑
𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟑𝒛
 
 
 
179 
Exemplo 11 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem 
da função 𝒘 = 𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
= 𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛. 𝒚𝒛 = 𝒚𝒛²𝒆𝒙𝒚𝒛 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= 𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛. 𝒙𝒛 = 𝒙𝒛²𝒆𝒙𝒚𝒛 
𝒖 = 𝒛 𝒖′ = 𝟏 
𝒗 = 𝒆𝒙𝒚𝒛 𝒗′ = 𝒙𝒚𝒆𝒙𝒚𝒛 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= 𝒖𝒗′ + 𝒗𝒖′ = 𝒙𝒚𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛 + 𝒆𝒙𝒚𝒛 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= 𝒆𝒙𝒚𝒛 𝒙𝒚𝒛 + 𝟏 
 
 
 
180 
Exemplo 12 ∗ 𝒅
𝒅𝒙
𝒔𝒆𝒏−𝟏𝒙 =
𝟏
𝟏−𝒙2
 . 𝒙′ 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da 
função 𝒘 = 𝒙𝒚𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝒚𝒛) 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
= 𝒚𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝒚𝒛) 
𝒖 = 𝒙𝒚 𝒖′ = 𝒙 
𝒗 = 𝒔𝒆𝒏−𝟏 𝒚𝒛 𝒗′ =
𝟏
𝟏 − 𝒚2𝒛²
 . 𝒛 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= 𝒖𝒗′ + 𝒗𝒖′ →
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= 𝒙𝒚𝒛.
𝟏
𝟏 − 𝒚2𝒛²
+ 𝒙𝒔𝒆𝒏−𝟏(𝒚𝒛) 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= 𝒙𝒚.
𝟏
𝟏 − 𝒚2𝒛²
 . 𝒚 = 𝒙𝒚².
𝟏
𝟏 − 𝒚2𝒛²
 
 
 
 
 
181 
Exemplo 13 ∗
𝒅
𝒅𝒙
𝒂𝒙 = 𝒂𝒙𝒍𝒏 𝒂 . 𝒙′ 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem da 
função 𝒘 = 𝒙𝒚/𝒛 
 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
=
𝒚
𝒛
𝒙
𝒚
𝒛
−𝟏
 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= 𝒙𝒚/𝒛. 𝒍𝒏𝒙.
𝟏
𝒛
 
𝒖 = 𝒚 𝒖′ = 𝟎 
𝒗 = 𝒛 𝒗′ = 𝟏 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= 𝒙𝒚/𝒛. 𝒍𝒏𝒙.
𝒗𝒖′ − 𝒖𝒗′
𝒗²
 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= 𝒙𝒚/𝒛. 𝒍𝒏𝒙.
−𝒚
𝒛²
 
 
 
 
182 
Exemplo 14 
Determine as derivadas parciais de primeira ordem 
da função 
𝒘 = 𝒙²𝒚𝒄𝒐𝒔
𝒛
𝒕
 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
= 𝟐𝒙𝒚𝒄𝒐𝒔
𝒛
𝒕
 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= 𝒙²𝒄𝒐𝒔
𝒛
𝒕
 
𝝏𝒘
𝝏𝒛
= −𝒙2𝒚𝒔𝒆𝒏
𝒛
𝒕
.
𝟏
𝒕
 
𝝏𝒘
𝝏𝒕
= −𝒙2𝒚𝒔𝒆𝒏
𝒛
𝒕
. −
𝒛
𝒕²
 
 
 
 
183 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR. 
Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas 
parciais 𝒇𝒙 𝒆 𝒇𝒚 são funções de duas variáveis, de 
modo que podemos considerar novamente suas 
derivadas parciais 
𝒇𝒙 𝒙 , 𝒇𝒙 𝒚 , 𝒇𝒚 𝒙
 , 𝒇𝒚 𝒚
 
chamadas derivadas parciais de 
segunda ordem de f. 
184 
DERIVADAS DE ORDEM SUPERIOR. 
Se 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚), usamos a seguinte notação: 
𝒇𝒙 𝒙 = 𝒇𝒙𝒙 = 𝒇𝟏𝟏 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒙
=
𝝏2𝒇
𝝏𝒙²
=
𝝏2𝒛
𝝏𝒙²
 
𝒇𝒙 𝒚 = 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝟏𝟐 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒙
=
𝝏2𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏2𝒛
𝝏𝒚𝝏𝒙
 
𝒇𝒚 𝒙
= 𝒇𝒚𝒙 = 𝒇𝟐𝟏 =
𝝏
𝝏𝒙
𝝏𝒇
𝝏𝒚
=
𝝏2𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚
=
𝝏2𝒛
𝝏𝒙𝝏𝒚
 
𝒇𝒚 𝒚
= 𝒇𝒚𝒚 = 𝒇𝟐𝟐 =
𝝏
𝝏𝒚
𝝏𝒇
𝝏𝒚
=
𝝏2𝒇
𝝏𝒚²
=
𝝏2𝒛
𝝏𝒚²
 
Portanto, a notação 𝒇𝒙 𝒚 =
𝝏2𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
 significa que primeiro derivamos 
com relação a x e depois em relação a y, ao passo que no cálculo de 
𝒇𝒚 𝒙
=
𝝏2𝒇
𝝏𝒙𝝏𝒚
 a odem é invertida. 
 
185 
Exemplo 01 
Determine as derivadas parciais segundas de 
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙3 + 𝒙2𝒚3 − 𝟐𝒚² 
Solução: 
Inicialmente, determinamos 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚). 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙
2 + 𝟐𝒙𝒚³ 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙
2𝒚2 − 𝟒𝒚 
Em seguida, determinamos as derivadas parciais de 2ª ordem: 
𝒇𝒙𝒙 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙2 + 𝟐𝒙𝒚³ = 𝟔𝒙 + 𝟐𝒚³ 
𝒇𝒙𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟑𝒙2 + 𝟐𝒙𝒚³ = 𝟔𝒙𝒚² 
𝒇𝒚𝒙 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙2𝒚2 − 𝟒𝒚 = 𝟔𝒙𝒚² 
𝒇𝒚𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟑𝒙2𝒚2 − 𝟒𝒚 = 𝟔𝒙2𝒚 − 𝟒 
 
 
Exemplo 02 
Ache as derivadas parciais segundasde 
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙3𝒚2 − 𝟐𝒙2𝒚 + 𝟑𝒙 
Solução: 
Inicialmente, determinamos 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚). 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙
2𝒚2 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙
3𝒚 − 𝟐𝒙² 
Em seguida, determinamos as derivadas parciais de 2ª ordem: 
𝒇𝒙𝒙 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙2𝒚2 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑 = 𝟔𝒙𝒚2 − 𝟒𝒚 
𝒇𝒙𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟑𝒙2𝒚2 − 𝟒𝒙𝒚 + 𝟑 = 𝟔𝒙2𝒚 − 𝟒𝒙 
𝒇𝒚𝒙 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟐𝒙3𝒚 − 𝟐𝒙² = 𝟔𝒙2𝒚 − 𝟒𝒙 
𝒇𝒚𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟐𝒙3𝒚 − 𝟐𝒙² = 𝟐𝒙³ 
 
 
 
187 
Observe que 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 . Isso não é só uma 
coincidência. As derivadas parciais mistas 
𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 são iguais para a maioria das 
funções que encontramos na prática. O 
teorema, do matemático francês Alexis 
Clairaut (1713-1765), fornece condições sob 
as quais podemos afirmar que 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 . 
 
Teorema de Clairaut 
Suponha que f seja definida em uma 
bola aberta(um disco)D que 
contenha o ponto (a, b). Se as 
funções 𝒇𝒙𝒚 𝒆 𝒇𝒚𝒙 forem ambas 
contínuas em D, então 
 𝒇𝒙𝒚(𝒂, 𝒃) = 𝒇𝒚𝒙(𝒂, 𝒃) 
 
Alexis Claude de Clairaut foi uma criança prodígio na área da matemática: aos 10 anos leu o 
texto de cálculo de L’Hôspital, e aos 13 anos apresentou um artigo sobre geometria na 
academia Francesa de Ciências. Aos 18 anos, Clairaut publicou Recherches sur les courbes à 
double courbure, o primeiro tratado sistemático em geometria analítica tridimensional, em 
que incluiu o cálculo de curvas espaciais. 
 
Exemplo 03 
Verifique se a conclusão do Teorema de Clairaut é válida, isto é 
𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 na função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙
𝟒𝒚³ − 𝒚𝟒 
Solução: 
Inicialmente, determinamos 𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 𝒆 𝒇𝒚(𝒙, 𝒚). 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙³𝒚³ 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟑𝒙
𝟒𝒚² − 𝟒𝒚³ 
Em seguida, determinamos as derivadas parciais de 2ª ordem: 
𝒇𝒙𝒚 =
𝝏
𝝏𝒚
𝟒𝒙³𝒚³ = 𝟏𝟐𝒙³𝒚² 
𝒇𝒚𝒙 =
𝝏
𝝏𝒙
𝟑𝒙𝟒𝒚² − 𝟒𝒚³ = 𝟏𝟐𝒙³𝒚² 
Conclusão: 
 𝒇𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒙 
 
 
 
 
191 
Derivadas parciais de ordem 3 ou maior 
também podem ser definidas. Por exemplo, 
𝒇𝒙𝒚𝒚 = 𝒇𝒙𝒚 𝒚
=
𝝏
𝝏𝒚
𝝏²𝒇
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
𝝏³
𝝏𝒚²𝝏𝒙
 
e usando o Teorema de Clairaut podemos 
mostrar que 
𝒇𝒙𝒚𝒚 = 𝒇𝒚𝒙𝒚 = 𝒇𝒚𝒚𝒙 
se essas funções forem contínuas. 
Exemplo 04 
Calcule 𝒇𝒙𝒙𝒚𝒛 se 
𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙 + 𝒚𝒛) 
𝒇𝒙 = 𝟑𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝒚𝒛 
𝒇𝒙𝒙 = −𝟗𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙 + 𝒚𝒛) 
𝒇𝒙𝒙𝒚 = −𝟗𝒛𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙 + 𝒚𝒛) 
𝒖 = −𝟗𝒛 𝒖′ = −𝟗 
𝒗 = 𝒄𝒐𝒔 𝟑𝒙 + 𝒚𝒛 𝒗′ = −𝒚𝒔𝒆𝒏(𝟑𝒙 + 𝒚𝒛) 
𝒇𝒙𝒙𝒚𝒛 = 𝒖𝒗
′ + 𝒗𝒖′ 
𝒇𝒙𝒙𝒚𝒛 = 𝟗𝒚𝒛𝒔𝒆𝒏 𝟑𝒙 + 𝒚𝒛 − 𝟗𝒄𝒐𝒔(𝟑𝒙 + 𝒚𝒛) 
 
 
 
193 
Exemplo 05 
Calcule 𝒇𝒙𝒚𝒛 se 𝒇 𝒙, 𝒚, 𝒛 = 𝒆
𝒙𝒚𝒛² 
𝒇𝒙 = 𝒚𝒛²𝒆
𝒙𝒚𝒛² 
𝒇𝒙𝒚 = 𝒙𝒚𝒛
𝟒𝒆𝒙𝒚𝒛² + 𝒛²𝒆𝒙𝒚𝒛² 
𝒇𝒙𝒚 = (𝒙𝒚𝒛
𝟒 + 𝒛2)𝒆𝒙𝒚𝒛² 
𝒖 = 𝒙𝒚𝒛𝟒 + 𝒛² 𝒖′ = 𝟒𝒙𝒚𝒛³ + 𝟐𝒛 
𝒗 = 𝒆𝒙𝒚𝒛² 𝒗′ = 𝟐𝒙𝒚𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛² 
𝒇𝒙𝒚𝒛 = 𝒙𝒚𝒛
𝟒 + 𝒛² 𝟐𝒙𝒚𝒛𝒆𝒙𝒚𝒛² + 𝒆𝒙𝒚𝒛² 𝟒𝒙𝒚𝒛³ + 𝟐𝒛 
194 
Exemplo 06 
Determine a derivada parcial indicada 
𝒛 = 𝒖 𝒗 − 𝒘 ; 
𝝏³𝒛
𝝏𝒖𝝏𝒗𝝏𝒘
 
𝝏𝒛
𝝏𝒘
= −
𝟏
𝟐
𝒖 𝒗 − 𝒘 −𝟏/𝟐 
𝝏²𝒛
𝝏𝒗𝝏𝒘
=
𝟏
𝟒
𝒖 𝒗 − 𝒘 −𝟑/𝟐 
𝝏³𝒛
𝝏𝒖𝝏𝒗𝝏𝒘
=
𝟏
𝟒
𝒗 − 𝒘 −𝟑/𝟐 
 
 
Exemplo 07 
Determine as derivadas parciais 
indicadas 
𝒘 =
𝒙
𝒚 + 𝟐𝒛
 ; 
𝝏³𝒘
𝝏𝒛𝝏𝒚𝝏𝒙
; 
𝝏³𝒘
𝝏𝒙²𝝏𝒚
 
 
 
196 
Exemplo 07 
Determine as derivadas parciais indicadas 
𝒘 =
𝒙
𝒚 + 𝟐𝒛
 ; 
𝝏³𝒘
𝝏𝒛𝝏𝒚𝝏𝒙
; 
𝝏³𝒘
𝝏𝒙²𝝏𝒚
 
𝝏𝒘
𝝏𝒙
=
𝟏
𝒚 + 𝟐𝒛
= 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟏 
𝝏²𝒘
𝝏𝒚𝝏𝒙
=
−𝟏
(𝒚 + 𝟐𝒛)²
= − 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟐 
𝝏³𝒘
𝝏𝒛𝝏𝒚𝝏𝒙
= 𝟐. 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟑. 𝟐 = 𝟒 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟑 
 
 
 
197 
Exemplo 07 
Determine as derivadas parciais indicadas 
𝒘 =
𝒙
𝒚 + 𝟐𝒛
= 𝒙. 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟏 ; 
𝝏³𝒘
𝝏𝒙²𝝏𝒚
 
𝝏𝒘
𝝏𝒚
= −𝒙. 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟐 
𝝏²𝒘
𝝏𝒙𝝏𝒚
= − 𝒚 + 𝟐𝒛 −𝟐 
𝝏³𝒘
𝝏𝒙²𝝏𝒚
= 𝟎 
 
 
 
198 
 
AULA 08 
PLANOS TANGENTES 
https://www.youtube.com/watch?v=PUOD_yP7ArE 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
199 
PLANOS TANGENTES 
Suponha que uma superfície S tenha a equação z = f (x, y), onde f tenha derivadas 
parciais contínuas de primeira ordem, e seja P(𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎) um ponto em S. Sejam 
𝑪𝟏 𝒆 𝑪𝟐 as curvas obtidas pela intersecção dos planos verticais 
𝒚 = 𝒚𝟎 𝒆 𝒙 = 𝒙𝟎 com a superfície S. Então o ponto P fica em 𝑪𝟏 e em 𝑪𝟐 . Sejam 
as retas tangentes 𝑻𝟏 e 𝑻𝟐 à curva 𝑪𝟏 𝒆 𝑪𝟐 no ponto P. Então o plano tangente à 
superfície S no ponto P é definido como o plano que contém as retas tangentes 𝑻𝟏 
e 𝑻𝟐 . 
200 
PLANOS TANGENTES 
Qualquer plano passando pelo ponto 𝑷 𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 tem equação da 
forma 
𝑨 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝑩 𝒚 − 𝒚𝟎 + 𝑪 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝟎 
Dividindo essa equação por C e tomando 𝒂 = −
𝑨
𝑪
 e 𝒃 = −
𝑩
𝑪
 , 
podemos escrevê-la como 
 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟎 (1) 
Se a equação (1) representa o plano tangente em P, sua intersecção 
com o plano 𝒚 = 𝒚𝟎 precisa ser a reta 𝑻𝟏. Impondo 𝒚 = 𝒚𝟎 na 
equação (1), obtemos 
 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 onde 𝒚 = 𝒚𝟎 
e reconhecemos isso como a equação (na forma ponto-inclinação) 
de uma linha com a inclinação a. Sabemos que a inclinação da 
tangente 𝑻𝟏é 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . Portanto, 𝒂 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 
Da mesma forma, tomando 𝒙 = 𝒙𝟎 na equação (1), obtemos 
 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟎 
que precisa representar a reta tangente 𝑻𝟐 e portanto, 
 𝐛 = 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
201 
PLANOS TANGENTES 
Sendo 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒂 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒃 𝒚 − 𝒚𝟎 
𝒂 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 
𝐛 = 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 
Suponha que f tenha derivadas parciais contínuas. 
Uma equação do plano tangente à superfície 
𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) no ponto 𝑷 𝒙𝟎, 𝒚𝟎, 𝒛𝟎 é dada por 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 
Observe a semelhança entre a equação do plano 
tangente e a equação da reta tangente 
𝒚 − 𝒚𝟎 = 𝒇′ 𝒙𝟎 𝒙 − 𝒙𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
202 
EXEMPLO 1 
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico 𝒛 = 𝟐𝒙² + 𝒚² 
no ponto (𝟏, 𝟏, 𝟑) 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 
Solução: 
Se 𝒇(𝒙, 𝒚) = 𝟐𝒙² + 𝒚², então 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙 → 𝒇𝒙 𝟏, 𝟏 = 𝟒 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒚 → 𝒇𝒚 𝟏, 𝟏 = 𝟐 
𝒛 − 𝟑 = 𝟒. 𝒙 − 𝟏 + 𝟐. 𝒚 − 𝟏 
𝒛 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
203 
EXEMPLO 1A 
Exercício 4 da página 829 
Determine uma equação do plano tangente à 
superfície 𝒛 = 𝒙𝒆𝒙𝒚 no ponto (𝟐, 𝟎, 𝟐) 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 
Solução: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝒆
𝒙𝒚 + 𝒆𝒙𝒚 → 𝒇𝒙 𝟐, 𝟎 = 𝟏 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒙²𝒆
𝒙𝒚 → 𝒇𝒚 𝟐, 𝟎 = 𝟒 
𝒛 − 𝟐 = 𝟏. 𝒙 − 𝟐 + 𝟒. 𝒚 − 𝟎 
𝒛 = 𝒙 + 𝟒𝒚 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
204 
EXEMPLO 1B 
Exercício 5 da página 829 
Determine uma equação do plano tangente à 
superfície 𝒛 = 𝒙𝒔𝒆𝒏(𝒙 + 𝒚) no ponto (−𝟏, 𝟏, 𝟎) 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 
Solução: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒚 + 𝒔𝒆𝒏 𝒙 + 𝒚 → 𝒇𝒙 −𝟏, 𝟏 = −𝟏 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒚 → 𝒇𝒚 −𝟏, 𝟏 = −𝟏 
𝒛 − 𝟎 = (−𝟏). 𝒙 + 𝟏 + (−𝟏). 𝒚 − 𝟏 
𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟎 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
205 
EXEMPLO 1C 
Exercício 6 da página 829 
Determine uma equação do plano tangente à 
superfície 𝒛 = 𝒍𝒏 𝒙 − 𝟐𝒚 no ponto (𝟑, 𝟏, 𝟎) 
𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 
Solução: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 =
𝟏
𝒙 − 𝟐𝒚
→ 𝒇𝒙 𝟑, 𝟏 = 𝟏 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 =
−𝟐
𝒙 − 𝟐𝒚
→ 𝒇𝒚 𝟑, 𝟏 = −𝟐 
𝒛 − 𝟎 = 𝟏. 𝒙 − 𝟑 + (−𝟐). 𝒚 − 𝟏 
𝒛 = 𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
206 
APROXIMAÇÕES LINEARES 
Voltando ao EXEMPLO 1 
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico 𝒛 = 𝟐𝒙² + 𝒚² no ponto 
(𝟏, 𝟏, 𝟑). 
Resposta: 𝒛 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 
A função linear de duas variáveis 𝑳 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 é uma boa aproximação 
de 𝒇(𝒙, 𝒚) quando 𝒙, 𝒚 está próximo de 𝟏, 𝟏 . A função L é chamada 
linearização def em 𝟏, 𝟏 , e a aproximação 𝒇 𝒙, 𝒚 ≈ 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 é 
denominada aproximação linear ou aproximação pelo plano tangente de f em 
𝟏, 𝟏 . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
207 
APROXIMAÇÕES LINEARES 
Voltando ao EXEMPLO 1 
Determine o plano tangente ao paraboloide elíptico 𝒛 = 𝟐𝒙² + 𝒚² no ponto 
(𝟏, 𝟏, 𝟑). Resposta: 𝒛 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 
A função 𝑳 𝒙, 𝒚 = 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 é chamada linearização de f em 𝟏, 𝟏 , e a 
aproximação 𝒇 𝒙, 𝒚 ≈ 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 é denominada aproximação linear. 
Por exemplo, no ponto 𝟏, 𝟏; 𝟎, 𝟗𝟓 , a aproximação linear fornece 
𝒇 𝒙, 𝒚 ≈ 𝟒𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟑 → 𝒇 𝟏, 𝟏; 𝟎, 𝟗𝟓 = 𝟒. 𝟏, 𝟏 + 𝟐. 𝟎, 𝟗𝟓 − 𝟑 = 𝟑, 𝟑 
que está bastante próximo do valor verdadeiro de 
𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟐𝒙2 + 𝒚2 → 𝒇 𝟏, 𝟏; 𝟎, 𝟗𝟓 = 𝟐. 𝟏, 𝟏 2 + 𝟎, 𝟗𝟓 2 = 𝟑, 𝟑𝟐𝟐𝟓 
Se, entretanto, tomarmos um ponto longe de (1, 1), como (2, 3), não teremos mais 
uma boa aproximação. De fato, 𝑳 𝟐, 𝟑 = 𝟏𝟏, ao passo que 𝒇 𝟐, 𝟑 = 𝟏𝟕. 
Em geral, sabemos de 𝒛 − 𝒛𝟎 = 𝒇𝒙 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒙 − 𝒙𝟎 + 𝒇𝒚 𝒙𝟎, 𝒚𝟎 . 𝒚 − 𝒚𝟎 que 
uma equação do plano tangente ao gráfico de um função f de duas variáveis que 
tem derivadas parciais contínuas em um ponto 𝒂, 𝒃, 𝒇(𝒂, 𝒃) é 
 𝒛 = 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
208 
APROXIMAÇÕES LINEARES 
A função linear cujo gráfico é esse plano tangente, a saber, é 
 𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 é 
denominada linearização de f em (a, b),e a aproximação 
𝒇(𝒙, 𝒚) ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 é 
chamada aproximação linear ou aproximação pelo plano 
tangente de f em (a, b). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
209 
EXEMPLO 2 
Dada a função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒆𝒙𝒚, diferenciável em (𝟏, 𝟎), encontre sua linearização ali. Em seguida, use a 
linearização para aproximar 𝒇 𝟏, 𝟏;−𝟎, 𝟏 
Solução: 
Derivadas parciais: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 = 𝒙𝒚𝒆
𝒙𝒚 + 𝒆𝒙𝒚 → 𝒇𝒙 𝟏, 𝟎 = 𝟏 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 = 𝒙²𝒆
𝒙𝒚 → 𝒇𝒚 𝟏, 𝟎 = 𝟏 
Determinação da linearização: 
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝟏, 𝟎 + 𝒇𝒙 𝟏, 𝟎 . 𝒙 − 𝟏 + 𝒇𝒚 𝟏, 𝟎 . 𝒚 − 𝟎 
𝑳 𝒙, 𝒚 = 𝟏 + 𝟏. 𝒙 − 𝟏 + 𝟏. 𝒚 − 𝟎 = 𝒙 + 𝒚 
Determinação da aproximação linear: 
𝒇 𝒙, 𝒚 ≈ 𝒙 + 𝒚 
𝒇 𝟏, 𝟏;−𝟎, 𝟏 ≈ 𝟏, 𝟏 − 𝟎, 𝟏 = 𝟏 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
210 
EXEMPLO 2A 
Exercício 11 da página 829 
Dada a função 𝒇 𝒙, 𝒚 = 𝟏 + 𝒙𝒍𝒏 𝒙𝒚 − 𝟓 , diferenciável 
em (𝟐, 𝟑), encontre sua linearização ali. 
Solução: 
Derivadas parciais: 
𝒇𝒙 𝒙, 𝒚 =
𝒙𝒚
𝒙𝒚 − 𝟓
+ 𝒍𝒏 𝒙𝒚 − 𝟓 → 𝒇𝒙 𝟐, 𝟑 = 𝟔 
𝒇𝒚 𝒙, 𝒚 =
𝒙²
𝒙𝒚 − 𝟓
→ 𝒇𝒚 𝟐, 𝟑 = 𝟒 
Determinação da linearização: 
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 
𝑳(𝒙, 𝒚) = 𝒇 𝟐, 𝟑 + 𝟔. 𝒙 − 𝟐 + 𝟒. 𝒚 − 𝟑 
𝑳 𝒙, 𝒚 = 𝟏 + 𝟔𝒙 − 𝟏𝟐 + 𝟒𝒚 − 𝟏𝟐 
𝑳 𝒙, 𝒚 = 𝟔𝒙 + 𝟒𝒚 − 𝟐𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
211 
HUMIDEX 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 212 
HUMIDEX 
𝑰 = 𝒇 𝑻,𝑯 
Considerando a 
coluna assinalada, 
temos: 
𝒈 𝑻 = 𝒇 𝑻, 𝟔𝟎 
𝒈′ 𝟑𝟎 ≈
𝒈 𝟑𝟐 − 𝒈 𝟑𝟎
𝟐
=
𝒇 𝟑𝟐, 𝟔𝟎 − 𝒇(𝟑𝟎, 𝟔𝟎)
𝟐
=
𝟒𝟐 − 𝟑𝟖
𝟐
= 𝟐 
𝒈′ 𝟑𝟎 ≈
𝒈 𝟐𝟖 − 𝒈 𝟑𝟎
−𝟐
=
𝒇 𝟐𝟖, 𝟔𝟎 − 𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟎
−𝟐
=
𝟑𝟓 − 𝟑𝟖
−𝟐
= 𝟏, 𝟓 
𝒈′ 𝟑𝟎 ≈
𝟐 + 𝟏, 𝟓
𝟐
=
𝟑, 𝟓
𝟐
= 𝟏, 𝟕𝟓 
𝑮 𝑯 = 𝒇 𝟑𝟎,𝑯 
𝑮′ 𝟔𝟎 ≈
𝑮 𝟔𝟓 − 𝑮 𝟔𝟎
𝟓
=
𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟓 − 𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟎
𝟓
=
𝟒𝟎 − 𝟑𝟖
𝟓
= 𝟎, 𝟒 
𝑮′ 𝟔𝟎 ≈
𝑮 𝟓𝟓 − 𝑮 𝟔𝟎
𝟓
=
𝒇 𝟑𝟎, 𝟓𝟓 − 𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟎
−𝟓
=
𝟑𝟕 − 𝟑𝟖
−𝟓
= 𝟎, 𝟐 
𝑮′ 𝟔𝟎 ≈
𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟐
𝟐
= 𝟎, 𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
213 
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
 
 
Determine uma aproximação linear para o humidex 
𝑰 = 𝒇 𝑻,𝑯 quando T está próximo de 30°C e H está 
próximo de 60%. Use essa estimativa do humidex quando 
a temperatura estiver a 31°C e a umidade relativa for 62%. 
Dados: 𝒇𝑻 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 ≈ 𝟏, 𝟕𝟓 𝒆 𝒇𝑯 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 ≈ 𝟎, 𝟑 
 
𝒇(𝒙, 𝒚) ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
214 
EXEMPLO 3 
 
 
 
 
 
 
 
Determine uma aproximação linear para o humidex 𝑰 = 𝒇 𝑻,𝑯 quando T está 
próximo de 30°C e H está próximo de 60%. Use essa estimativa do humidex 
quando a temperatura estiver a 31°C e a umidade relativa for 62%. 
Dados: 𝒇𝑻 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 ≈ 𝟏, 𝟕𝟓 𝒆 𝒇𝑯 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 ≈ 𝟎, 𝟑 
𝒇(𝒙, 𝒚) ≈ 𝒇 𝒂, 𝒃 + 𝒇𝒙 𝒂, 𝒃 . 𝒙 − 𝒂 + 𝒇𝒚 𝒂, 𝒃 . 𝒚 − 𝒃 
𝒇(𝟑𝟎, 𝟔𝟎) ≈ 𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 + 𝒇𝑻 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 . 𝑻 − 𝟑𝟎 + 𝒇𝑯 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 . 𝑯 − 𝟔𝟎 
𝒇 𝟑𝟎, 𝟔𝟎 ≈ 𝟑𝟖 + 𝟏, 𝟕𝟓. 𝑻 − 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟑. 𝑯 − 𝟔𝟎 
𝒇 𝟑𝟏, 𝟔𝟐 ≈ 𝟑𝟖 + 𝟏, 𝟕𝟓. 𝟑𝟏 − 𝟑𝟎 + 𝟎, 𝟑. 𝟔𝟐 − 𝟔𝟎 
𝒇 𝟑𝟏, 𝟔𝟐 ≈ 𝟑𝟖 + 𝟏, 𝟕𝟓. 𝟏 + 𝟎, 𝟑. 𝟐 = 𝟒𝟎, 𝟑𝟓°𝑪 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
215 
 
AULA 09 
REGRA DA CADEIA 
 
STEWART – VOLUME 2 
 
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL 2 
216 
REGRA DA CADEIA. 
A Regra da Cadeia para uma função de 
uma única variável nos dava uma regra 
para derivar uma função composta. 
Se 𝒚 = 𝒇 𝒙 𝒆 𝒙 = 𝒈 𝒕 , onde f e g são 
funções diferenciáveis, então 
 
𝒅𝒚
𝒅𝒕
=
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 
𝒅𝒙
𝒅𝒕
 . 
217 
REGRA DA CADEIA. 
Para as funções de mais de uma variável, 
a Regra da Cadeia tem muitas versões, 
cada uma delas fornecendo uma regra 
de derivação de uma função composta. 
218 
REGRA DA CADEIA. 
Caso 1. 
Suponha que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) seja uma função 
diferenciável de x e y, onde x = g(t) e y = h(t) 
são funções diferenciáveis de t. Então z é 
uma função diferenciável de t e 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒇
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒇
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 ou 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
REGRA DA CADEIA. 
Exemplo 1. 
Se 𝒛 = 𝒙²𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟒, onde 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 e 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, 
determine 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
 quando 𝒕 = 𝟎. 
Solução: 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝒅𝒙
𝒅𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝒅𝒚
𝒅𝒕
 
 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟒 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝒙² + 𝟏𝟐𝒙𝒚³ −𝒔𝒆𝒏𝒕 
 
 
REGRA DA CADEIA. 
Exemplo 1. 
Se 𝒛 = 𝒙²𝒚 + 𝟑𝒙𝒚𝟒, onde 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 e 𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒕, determine 𝒅𝒛
𝒅𝒕
 
quando 𝒕 = 𝟎. 
Solução: 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐𝒙𝒚 + 𝟑𝒚𝟒 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐𝒕 + 𝒙² + 𝟏𝟐𝒙𝒚³ −𝒔𝒆𝒏𝒕 
Para 𝒕 = 𝟎: 
𝒙 = 𝒔𝒆𝒏𝟐𝒕 = 𝒔𝒆𝒏𝟐. 𝟎 = 𝒔𝒆𝒏𝟎 = 𝟎 
𝒚 = 𝒄𝒐𝒔𝒕 = 𝒄𝒐𝒔𝟎 = 𝟏 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟐. 𝟎. 𝟏 + 𝟑. 𝟏𝟒 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐. 𝟎 + 𝟎² + 𝟏𝟐. 𝟎. 𝟏³ −𝒔𝒆𝒏𝟎 
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝟔 
 
 
 
REGRA DA CADEIA. 
Caso 2. 
Suponha que 𝒛 = 𝒇(𝒙, 𝒚) seja uma função 
diferenciável de x e y, onde x = g(s,t) e y = 
h(s,t) são funções diferenciáveis de s e t. 
Então 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒔
 e 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒕
 
REGRA DA CADEIA. 
Exemplo 2. 
Se 𝒛 = 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚, onde 𝒙 = 𝒔𝒕² e 𝒚 = 𝒔²𝒕, determine 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
 e 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
 
. 
Solução: 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒔
 e 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒕
 
 
REGRA DA CADEIA. 
Exemplo 2. 
Se 𝒛 = 𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚, onde 𝒙 = 𝒔𝒕² e 𝒚 = 𝒔²𝒕, 
determine 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
 e 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
 . 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒔
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒔
 e 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
=
𝝏𝒛
𝝏𝒙
𝝏𝒙
𝝏𝒕
+
𝝏𝒛
𝝏𝒚
𝝏𝒚
𝝏𝒕
 
𝝏𝒛
𝝏𝒔
= (𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚). (𝒕2) + (𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔𝒚). (𝟐𝒔𝒕) 
𝝏𝒛
𝝏𝒕
= (𝒆𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚). (𝟐𝒔𝒕) + (𝒆𝒙𝒄𝒐𝒔𝒚). (𝒔²) 
 
 
REGRA DA CADEIA. 
Versão Geral. 
Suponha que u seja uma função diferenciável de n 
variáveis 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, … , 𝒙𝒏 onde cada 𝒙𝒋 é uma função 
diferenciável de m variáveis 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, … , 𝒕𝒎 . Então u é uma 
função de 𝒕𝟏, 𝒕𝟐, … , 𝒕𝒎 e 
 
𝝏𝒖
𝝏𝒕𝒊
=
𝝏𝒖
𝝏𝒙𝟏
 
𝝏𝒙𝟏
𝝏𝒕𝒊
+
𝝏𝒖
𝝏𝒙𝟐
 
𝝏𝒙𝟐
𝝏𝒕𝒊
+ ⋯+
𝝏𝒖
𝝏𝒙𝒏
 
𝝏𝒙𝒏
𝝏𝒕𝒊
 
para cada 𝒊 = 𝟏, 𝟐,… ,𝒎. 
REGRA DA CADEIA. 
Exemplo 3. 
Se