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Dilatação dos Sólidos 
 
Bruno Rafael Reichert Boaretto 
Jhenifer Martins Hummel 
Raphael Pereira Rodrigues 
Vinícyus de Oliveira Martins 
 
Setor de Ciências Exatas – Departamento de Física –Universidade Federal do Paraná 
Centro Politécnico – Jd. das Américas – 81531-990 – Curitiba – PR – Brasil 
 
e-mail 1: brrb12@fisica.ufpr.br 
e-mail 2: jmh12@fisica.ufpr.br 
e-mail 3: rpr12@fisica.ufpr.br 
e-mail4: vom12@fisica.ufpr.br 
 
Resumo.O estudo da dilatação térmica em sólidos é feito em relação à dilatação linear. O objetivo deste 
trabalho foi determinar o coeficiente de dilatação linear de três barras constituídas por materiais distintos 
(alumínio, cobre e latão) por meio da análise gráfica do comportamento apresentado por cada barra. Os 
valores obtidos para o alumínio, cobre e latão, foram de 21,9

10
-6 
°C
 -1
, 16,1

10
-6 
°C
 -1
 e 18,0

10
-6 
°C
 -1
, 
respectivamente, com um erro médio de 5,05%. Esperava-se um erro menor, mas isto não foi possível devido 
aos valores reais dos coeficientes, previamente tabelados, tomarem como referência materiais homogêneos, o 
que não ocorreu na prática. Contudo, dado que as barras estudadas são formadas por ligas metálicas, os 
resultados mostraram-se satisfatórios. 
Palavras chave: dilatação térmica, dilatação linear, sólidos, coeficiente de dilatação linear. 
 
Introdução 
Ao denominar um corpo como sólido, não 
estamos nos referindo ao corpo em si, mas ao 
estado físico da matéria que o constituí. O estado 
sólido é um estado da matéria cujas características 
são ter volume e forma definidos, isto é, a matéria 
resiste à deformação. No estado sólido, os átomos 
ou as moléculas estão relativamente próximos, com 
uma organização espacial fixa, movendo-se 
ligeiramente devido à presença de energia cinética. 
Durante o processo de aquecimento de um 
corpo estamos transferindo energia de um sistema 
(o ambiente externo, por exemplo) para outro (o 
corpo em questão). Esta transferência de energia 
(denominada energia térmica) é conhecida como 
calor, e ocorre exclusivamente devido à diferença 
de temperatura entre os sistemas. Temperatura é 
uma grandeza física que mensura a energia cinética 
média dos graus de liberdade de cada uma das 
partículas de um sistema em equilíbrio térmico, o 
que nada mais é que o equilíbrio (igualdade) das 
temperaturas dos sistemas considerados. 
Assim, consideremos a situação dos trilhos de 
trem: porque, em determinadas circunstâncias, 
vemos que as barras de ferro que o formam ficam 
distorcidas? A resposta chave para este problema 
provém de um conceito físico muito importante e 
presente no nosso dia-a-dia, embora quase 
imperceptível: a dilatação térmica. 
As barras do trilho ficam expostas por longos 
períodos a grandes variações de temperatura, 
ficando muito quentes durante o dia e frias durante 
a noite. Durante o dia, elas estão “recebendo” uma 
grande quantidade de energia térmica provinda do 
Sol, a qual faz com que a energia cinética dos 
átomos que as constituem aumente 
consideravelmente, aumentando a temperatura. 
Quando isto ocorre, os átomos passam a vibrar com 
uma amplitude cada vez maior (vide gráfico 1), e 
este aumento na amplitude de agitação implica no 
aumento de volume do corpo. Durante a noite, o 
mesmo fenômeno ocorre, porém os trilhos resfriam-
se devido à “ausência” de uma fonte de calor como 
o Sol e a amplitude de vibração dos átomos 
diminui, fazendo com que o volume do corpo seja 
contraído. Devido à esta variação significativa no 
volume das barras do trilho, pode acontecer de uma 
barra “forçar” a outra, ocasionando a deformação 
do material de maneira permanente. É devido a este 
fato que, ao olharmos atentamente para a região 
entre duas barras que constituem o trilho, 
percebemos que há um espaço vago entre elas, 
justamente para considerar este efeito da dilatação, 
evitando possíveis danos ao trilho e um provável 
descarrilamento de um trem. 
Conforme dito anteriormente, a dilatação 
provém do aumento de energia interna do sistema 
termodinâmico, o que fica evidenciado com base no 
gráfico 1, o qual representa a curva de energia 
potencial do sistema em relação à distância entre 
duas partículas que o constituem. 
 
Gráfico 1 - Representação da dilatação térmica em termos do 
aumento de energia interna (potencial). 
Embora a dilatação térmica ocorra e todas as 
direções e sentidos (volumétrica), no caso particular 
deste experimento será tratado somente a dilatação 
linear, a qual é um caso especial da dilatação 
volumétrica. Pelo fato dos materiais analisados 
serem barras metálicas delgadas (cilíndricas), a 
dilatação em relação à largura e espessura (raio) é 
desprezível, pois é extremamente difícil mensurar a 
dilatação em termos do raio. Por isso considerou-se 
somente uma dimensão, o comprimento. A este 
fato, onde a dilatação ocorre de maneira 
significativa em apenas uma dimensão, denomina-
se dilatação linear. 
A dilatação linear de uma barra depende apenas 
da temperatura desta e de um coeficiente, α, o qual 
é denominado coeficiente de dilatação linear. O 
coeficiente de dilatação linear é uma grandeza que 
não depende do formato do corpo, mas apenas do 
material que o constitui. Este, por sua vez, indica 
qual material ou substância dilata ou contrai-se 
mais do que outra. Quanto maior for, maior será a 
facilidade em dilatar, aumentando seu tamanho (a 
recíproca é verdadeira). 
Apesar do coeficiente ser denominado linear, 
este é constante em apenas alguns intervalos de 
temperatura. Por isso, a análise experimental a 
partir deste ponto de não-linearidade pode ser 
desconsiderada. 
A dilatação linear de um sólido pode ser 
descrita por meio da equação 
 
 
TLLL f 00 
 (1) 
 
onde
fL
é o comprimento final da barra, 
0L
é o 
comprimento inicial, 

é o coeficiente de dilatação 
linear do material que a constitui e 
T
 é a 
temperatura instantânea. 
A equação (1), então, pode ser escrita como 
uma função de duas variáveis, obtendo 
 
TLLTL f  00),( 
 (2) 
 
e, ainda, pode ser reescrita em termos da variação 
de comprimento, ΔL, 
 
 
TLL 0
 (3) 
 
Como o objetivo do experimento realizado é 
determinar o coeficiente de dilatação linear de três 
barras metálicas (alumínio, cobre e latão), é plotado 
um gráfico (gráfico 2) de ΔL em função de T. Este, 
porém, é linear. Então, aplicando-se o Método dos 
Mínimos Quadrados sobre os conjunto de dados, 
obtém-se as melhores retas que se ajustam aos 
valores experimentais. Assim, com base na análise 
dos coeficientes angular e linear de cada reta e na 
análise da equação (3), podemos chegar à 
determinação do coeficiente de dilatação das barras. 
Logo, escrevendo (3) na forma da equação reduzida 
da reta, dada por 
 
 
baxy 
 (4) 
 
obtemos que 
 
Ly 
 (5) 
 
Tx 
 (6) 
 
0La 
 (7) 
 
onde
a
é o coeficiente angular e 
b
o linear das 
melhores retas ajustadas. 
Assim, com base na equação (7), podemos 
determinar o coeficiente de dilatação linear, 

. 
Logo 
 
 
0L
a

 (8) 
 
Procedimento Experimental 
A figura (1) mostra o exemplo do arranjo 
experimental utilizado neste experimento. 
 
 
Figura 1 - Arranjo Experimental 
O experimento foi dividido em três etapas a fim 
de determinar o coeficiente de dilatação linear de 
três barras metálicas (cada barra equivalendo a uma 
etapa) de diferentes composições: uma de alumínio, 
uma de cobre e uma de latão. 
Dentro de cada barrafoi inserido um tubo de 
vidro contendo uma resistência elétrica, onde, por 
meio da conexão com uma fonte de tensão, gerou-
se calor para esquentá-las. 
Então, a primeira barra (alumínio) foi colocada 
e fixada no suporte com o auxílio de dois parafusos 
(em lados opostos). Após, com o auxílio de uma 
régua, mediu-se o comprimento inicial da barra, o 
qual teve origem como o ponto de contato com os 
parafusos e extremidade como o ponto de contato 
com o micrômetro. Fez-se desta maneira pois a 
barra dilata para ambos os lados. Então, para evitar 
erros experimentais, determinou-se um ponto fixo 
para adotar como referência, enquanto somente 
uma das extremidades provocava variação na 
leitura do micrômetro. 
Assim, inseriu-se um termopar dentro da barra, 
o qual fixou próximo ao centro de massa, a fim de 
obter uma leitura de temperatura mais uniforme. 
Em seguida, a barra foi coberta por um isolante 
térmico, a fim de evitar com que houvesse troca 
excessiva de calor entre ela e o ambiente externo, 
podendo aumentar possíveis erros experimentais. 
Devido ao coeficiente de dilatação deixar de ser 
linear a partir de um certo intervalo de temperatura, 
foi escolhido um intervalo entre 30°C e 90°C para 
efetuar as medidas, evitando que este fator 
interferisse na análise dos resultados. 
Com todos os fatores definidos, ligou-se a fonte 
de tensão e começou-se a aquecer a barra. A 
temperatura variou de 19°C, a qual era a 
temperatura ambiente, até aproximadamente 95°C. 
Quando a barra começou a entrar em equilíbrio 
térmico, a temperatura começou a decair e, no 
instante em que esta atingiu 90°C, as medidas 
começaram a ser tomadas, relacionando a dilatação 
mostrada pelo micrômetro com a temperatura 
naquele instante. A partir do momento em que a 
temperatura atingiu o valor mínimo no intervalo 
estipulado (35°C), as medidas foram interrompidas 
e fez-se a troca da barra analisada. 
Para as barras de cobre e latão, o mesmo 
procedimento foi adotado. 
Resultados e Análise 
Com auxílio de uma régua de precisão 
m3100,1 
, foi medido o comprimento inicial 
0L
das três barras metálicas utilizadas no 
experimento. Estes valores foram anotados na 
tabela (1). 
Tabela 1 - Comprimento inicial das barras metálicas 
Material da Barra 
0L
(
0005,0
) (m) 
Alumínio 0,6400 
Cobre 0,6400 
Latão 0,6400 
 
Então, com o auxílio de uma fonte de tensão e 
uma resistência elétrica, gerou-se calor e as barras 
foram aquecidas, tendo suas temperaturas variadas 
de 19°C, a qual era a temperatura ambiente, até 
95°C. Com base nisso, foi definido um intervalo 
entre 30°C até 90°C para serem feitas as medidas. 
Deixou-se a fonte de tensão ligada até 95°C, 
esperou-se a barra entrar em equilíbrio térmico e, a 
partir daí, quando a temperatura atingiu 90°C, as 
medidas começaram a ser tomadas, onde o intervalo 
entre cada uma deu-se, no máximo, entre 12°C. 
Assim, foi preenchida a tabela (2), a qual 
relaciona a dilatação de cada barra em função da 
temperatura instantânea. 
Após obtida a tabela (2), devido ao objetivo do 
experimento, foram plotados três gráficos 
relacionando ΔL em função de ΔT, onde cada 
gráfico corresponde ao comportamento de dilatação 
do material correspondente a cada barra analisada. 
 
 
 
Tabela 2 - Relação entre ΔL, T e ΔT. 
Material Medida 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Alumínio 
T (°C) 87 82 77 72 60 55 50 40 35 
ΔL (mm) 0,93 0,86 0,78 0,70 0,54 0,46 0,40 0,27 0,20 
ΔT (°C) 68 63 58 53 41 36 31 21 16 
Cobre 
T (°C) 80 70 60 50 45 40 35 - - 
ΔL (mm) 0,62 0,52 0,40 0,30 0,25 0,21 0,16 - - 
ΔT (°C) 61 51 41 31 26 21 16 - - 
Latão 
T (°C) 80 70 60 50 45 40 35 - - 
ΔL (mm) 0,71 0,58 0,46 0,35 0,29 0,24 0,19 - - 
ΔT (°C) 61 51 41 31 26 21 16 - - 
 
 
Gráfico 2 - Relação ΔL x ΔT para o alumínio. 
 
 
Gráfico 3 - Relação ΔL x ΔT para o cobre. 
 
Gráfico 4 – Relação ΔL x ΔT para o latão. 
 
Com base nos gráficos (2), (3) e (4), podemos 
notar que as barras metálicas, mesmo quando 
submetidas a uma mesma variação de temperatura, 
dilatam-se de maneiras distintas, pois o fator que 
determina o quanto uma barra pode expandir ou 
contrair seu tamanho é o coeficiente de dilatação 
linear, o qual é específico de cada material. 
Para cada gráfico foi determinado o coeficientes 
angular da reta que melhor descrevia o fenômeno 
(ou melhor se ajustava à curva de pontos 
experimentais). Tais coeficientes foram plotados na 
tabela (3). 
Tabela 3 - Coeficiente angular 
Material Coeficiente Angular (
1 Cm
) 
Alumínio 
610403,1 
 
Cobre 
510030,1 
 
Latão 
510154,1 
 
 
O objetivo do experimento é determinar o 
coeficiente de dilatação linear, 

, para cada barra 
metálica analisada, Então, por meio do método 
gráfico (tabela (3)), utilizando a equação (9) e os 
valores anotados na tabela (1), chegou-se à tabela 
(4), a qual contém os valores obtidos 
experimentalmente dos coeficientes de dilatação 
linear de cada material. 
Tabela 4 - Coeficientes de dilatação linear. 
Material Coef.de Dilatação (

) (
610 1C
) 
Alumínio 21,9 
Cobre 16,1 
Latão 18,0 
 
Com base na tabela de referência disponível em 
sala de aula e em tabelas disponíveis em livros e na 
Internet, os valores reais dos coeficientes de 
dilatação linear para cada material aqui abordado 
foram anotados na tabela (5). 
Tabela 5 - Valores reais dos coeficientes de dilatação. 
Material Coef. de Dilatação (

) (
610 1C
) 
Alumínio 23,0 
Cobre 17,0 
Latão 19,0 
Então, fez-se uma comparação entre os valores 
obtidos experimentalmente com os valores reais, 
previamente tabelados. Os erros relativos 
percentuais foram dispostos na tabela (6). 
Tabela 6 - Erros relativos entre valores experimentais e 
"teóricos". 
Material Erro Relativo Percentual 
Alumínio 4,78% 
Cobre 5,29% 
Latão 5,08% 
 
Os erros apresentados na tabela (6) devem-se ao 
fato das barras metálicas não serem 100% puras, 
isto é, não são constituídas, em sua totalidade, por 
um único material ou substância. Estas são 
constituídas por meio de ligas formadas entre 
outros tipos de metais. Como os coeficientes de 
dilatação linear dispostos na tabela (5) são valores 
que fazem referência aos metais 100% puros, os 
erros obtidos estão dentro de um intervalo de 
confiança, atestando a satisfatoriedade do 
experimento realizado. 
Conclusão 
O experimento teve como objetivo principal 
determinar o coeficiente de dilatação linear (

) de 
três barras metálicas delgadas, sendo uma de 
alumínio, uma de cobre e outra de latão. 
O coeficiente de dilatação linear é uma grandeza 
que indica o quanto uma barra é capaz de dilatar ou 
contrair seu volume. É dito linear pois o efeito de 
dilatação em relação à largura e espessura (no caso 
de barras cilíndricas, o raio) é quase imperceptível, 
podendo ser desconsiderado na presente análise. 
Para determinar o coeficiente 

, foram 
plotados três gráficos de ΔL em função de ΔT (ΔT 
é a variação de temperatura “instantânea”) em que 
cada gráfico representava o fenômeno da dilatação 
na respectiva barra analisada e, com base no 
coeficiente angular de cada reta e no comprimento 
inicial das barras, foi calculado o coeficiente de 
dilatação. Para a barra de alumínio obteve-se um 
valor de 
6109,21 
1C
, para a de cobre, 
6101,16 
1C
 e, para a de latão, 
6100,18 
1C
. 
Por meio dos gráficos (2), (3) e (4), podemos 
notar que para um mesmo intervalo de temperatura 
a dilatação das barras ocorreu de maneira diferente,comprovando que materiais diferentes dilatam-se 
de maneiras distintas, onde o parâmetro que 
determina qual barra tem mais capacidade para se 
dilatar é o coeficiente de dilatação linear, o qual 
evidenciou-se ser dependente somente do material 
ou substância que constitui o corpo analisado, 
conforme observado na tabela (4). 
Ao comparar os valores dos coeficientes obtidos 
experimentalmente com valores previamente 
tabelados, o erro médio entre os coeficientes de 
cada barra foi de 5,05% (valor obtido por meio da 
média aritmética entre os erros relativos percentuais 
de cada material, dispostos na tabela (6)). Este erro 
deve-se ao fato das barras estudadas não serem 
constituídas por uma mesma substância (não são 
homogêneas), onde são formadas por meio de ligas 
metálicas. 
Os valores dos coeficientes tabelados são 
determinados considerando que os materiais são 
100% puros, homogêneos, o que não ocorreu na 
prática. Por isso a presença deste erro era esperada. 
Dadas as condições dos materiais utilizados 
(não-homogêneos), o erro obtido 
experimentalmente condiz com a realidade, 
comprovando a satisfatoriedade dos resultados. 
Referencias 
 
[1] Nussenzveig, Herch Moysés -“Curso de 
Física Básica”- Vol. 1 / 4ª Edição – São Paulo: 
Blucher (2002) – 156-164. 
[2] Halliday, David; Resnick, J. W. - 
“Fundamentos de Física”– Vol. 2 / 8ª Edição – 
Rio de Janeiro (2009) – 183-190.