Prática 1 - METCOMP

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UNIVERSIDADE FEDERAL FLUMINENSE ESCOLA DE ENGENHARIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
Thiago Filipe, Lahiz Marcelle, Lucas Figueiredo, Fernando Antônio, Larisa Alves e Natasha Almeida
Prática 1: Modelagem Matemática
NITERÓI 2021
Sumário
Capítulo 1 – Introdução e objetivo	1
Capítulo 2 - Soluções	1
Item 3.1.1	1
Item 3.1.2	1
Item 3.1.3	2
Item 3.1.4	3
Item 3.1.5	3
Modelagem Matemática para sistemas de primeira e segunda ordens com atraso	4
Questão 3.4	4
Questão 3.5	5
Questão 3.6	7
Capítulo 3 - Conclusão	8
Bibliografia 9
Capítulo 1 -	Introdução e objetivo
Este relatório aborda a análise de problemas de modelagem matemática aplicados à engenharia elétrica, tendo como objetivo o entendimento e a certa aplicação computacional em diferentes tipos de linguagem de programação. A análise das soluções são importantes no intuito de observar o comportamento computacional desses elementos.
Capítulo 2 -	Soluções 
2.1.1 Item 3.1.1
 Entrada do circuito: É a fonte de alimentação 𝑒(𝑡);
As incógnitas do circuito são as tensões e as correntes:
𝑣𝑅1, 𝑣𝐷, 𝑣𝐿1, 𝑣𝑅2, 𝑣𝐶1, 𝑣𝐶2, 𝑣𝐿2, 𝑖𝑆(𝑡), 𝑖𝐷, 𝑖𝐿1, 𝑖𝐿2, 𝑖𝐶2, 𝑖𝐶1
Os parâmetros do circuito são as constantes: 𝑅1, 𝑅2, 𝐶1, 𝐶2, 𝐿1, 𝐿2 .
2.1.2 Item 3.1.2
Equação para a resistência R1: 𝑣𝑅1 − 𝑅1𝑖𝑅1 = 0
Equação para a resistência R2: 𝑣𝑅2 − 𝑅2𝑖𝑅2 = 0
Equação para o capacitor C1: 
Equação para o capacitor C2: 
Equação para o indutor L1: 
Equação para o indutor L2: 
Equação para o diodo D: 
 (
1
)
	
2.1.3 Item 3.1.3
· Por meio da lei das malhas obtém-se que:
Malha 1: 𝑒(𝑡) − 𝑣𝑅1(𝑡) − 𝑣𝐷 − 𝑣𝐶1(𝑡) = 0 Malha 2: 𝑣𝐶1(𝑡) − 𝑣𝐿1(𝑡) − 𝑣𝐶2(𝑡) = 0 Malha 3: 𝑣𝐶2(𝑡) − 𝑣𝑅2(𝑡) − 𝑣𝐿2(𝑡) = 0
· Por meio da lei das correntes nos nós 1 e 2 obtém-se que:
Nó 1: 𝑖𝑆(𝑡) − 𝑖𝐶1 − 𝑖𝐿1=0
Nó 2: 𝑖𝐿1 − 𝑖𝐶2 − 𝑖𝐿2 = 0
· Por meio das equações acima, obtém-se o conjunto de equações que modela o funcionamento do circuito:
As correntes de malha estão vinculadas às correntes reais do circuito conforme a análise abaixo:
𝒊𝑺 = 𝒊𝑫 = i1 ; 𝒊𝑪𝟏 = i1 - i2 ; 𝒊𝑪𝟐 = i2 - i3 ; 𝒊𝑳𝟏 = i2 ; 𝒊𝑳𝟐 = i3
2.1.4 Item 3.1.4
2.1.5 Item 3.1.5
2.2 Modelagem Matemática para sistema de primeira e segunda ordens com atraso
As equações diferenciais ordinárias de primeira e segunda ordens mostradas abaixo serão investigadas:
𝑑𝑦(𝑡)
τ
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)
2.2.1 Questão 3.4
Abaixo o sistema de 1ª ordem com resposta ao degrau e condição inicial não-nula:
𝑑𝑦(𝑡)
τ
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡)
Ao se aplicar transformada de LaPlace, tem-se que:
τ𝐿{𝑦′(𝑡)} + 𝐿{𝑦(𝑡)} = 𝐿{𝑥(𝑡)} ↔ τ𝐿{𝑦′(𝑡)} + 𝐿{𝑦(𝑡)} = 𝐾𝐿{𝑢(𝑡)} ↔
1	τy(0)
𝑌(𝑠) = 𝐾 𝑠(1 + τs) + (1 + τs)
Ao se aplicar a Transformada Inversa de Laplace ( no domínio do tempo), a resposta ao degrau para o 1º sistema é:
 
Abaixo o sistema de 2ª ordem com resposta ao degrau e condição inicial não-nula:
		
Ao se aplicar transformada de LaPlace, tem-se que:
Usando o método das frações parciais :
Aplicando a transformada inversa de Laplace, tem-se:
2.2.2 Questão 3.5
A partir da expressão abaixo:
𝑝
𝑦(𝑡𝑛) = 𝑎0 + ∑ 𝑎𝑘 × 𝑦(𝑡𝑛 − 𝑘)
𝑘=1
Tem-se o sistema abaixo:
𝑦0(𝑡0) = 𝑎0 + 𝑎1 × 𝑦(𝑡0 − 1) + 𝑎2 × 𝑦(𝑡0 − 2) + ⋯ + 𝑎𝑝 × 𝑦(𝑡0 − 𝑝)
𝑦1(𝑡1) = 𝑎0 + 𝑎1 × 𝑦(𝑡1 − 1) + 𝑎2 × 𝑦(𝑡1 − 2) + ⋯ + 𝑎𝑝 × 𝑦(𝑡1 − 𝑝)
𝑦2(𝑡2) = 𝑎0 + 𝑎1 × 𝑦(𝑡2 − 1) + 𝑎2 × 𝑦(𝑡2 − 2) + ⋯ + 𝑎𝑝 × 𝑦(𝑡2 − 𝑝)
…
 𝑦𝑛(𝑡𝑛) = 𝑎0 + 𝑎1 × 𝑦(𝑡𝑛 − 1) + 𝑎2 × 𝑦(𝑡𝑛 − 2) + ⋯ + 𝑎𝑝 × 𝑦(𝑡𝑛 − 𝑝)
Alternativamente pode ser reescrito da seguinte forma:
2.2.3 Questão 3.6
A partir do alcançado no item 3.4: 
Capítulo 3 -	Conclusão
O relatório em questão retrata todo o processo de modelagem matemática e sua explicação, para um dado circuito elétrico proposto. Foi fundamental todo o conhecimento em cálculo numérico adquirido até aqui, e também o conteúdo de métodos computacionais apresentado.
Bibliografia
	[1]
	Aulas do Professor André Abel, Ferramentas de Cálculo Numérico
[2] CHAPRA, S. C., CANALE, R. P.; Métodos Numéricos para Engenharia, 5a ed., Editora McGraw - Hill, 2011.