Estatística aplicada ao controle da qualidade em equipamentos

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DEFINIÇÃO
Conceito de Estatística e sua aplicação. Medidas de tendência central e de dispersão. Construção de
tabelas de distribuição de frequência e aplicação de testes estatísticos.
PROPÓSITO
Compreender o conceito e a origem da Estatística objetivando tomar decisões baseadas em dados e
evidências para oferecer um diferencial em um mercado cada vez mais competitivo.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora
de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as fases do método estatístico e seus conceitos norteadores
MÓDULO 2
Aplicar as medições de posição ou tendência central
MÓDULO 3
Aplicar as medições de dispersão
MÓDULO 4
Aplicar testes estatísticos para tomada de decisões
INTRODUÇÃO
A estatística é definida como um conjunto de métodos e técnicas de tratamento de dados para a tomada
de decisão. É um meio de pensar nas soluções de problemas práticos e não apenas em um amontoado
de números e fórmulas. É uma ferramenta que, se usada adequadamente, pode prestar valiosa ajuda no
processo de desenvolvimento de conhecimentos, podendo ser aplicada a praticamente todas as áreas
do conhecimento.
Veremos, neste tema, que a Estatística é um segmento da Matemática Aplicada, dividida em cinco
etapas, que ficam a cargo da coleta, organização, descrição, análise e interpretação de dados. Para dar
embasamento ao tomador de decisão na utilização dos dados, as três primeiras etapas – coleta,
organização e a descrição dos dados – ficam a cargo da Estatística Descritiva. Já a análise e a
interpretação desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
MÓDULO 1
 Identificar as fases do método estatístico e seus conceitos norteadores
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
A estatística tem um papel fundamental na geração de conhecimento. Por meio do seu uso, governos,
empresas, pesquisadores, universidades, escolas e organizações de diversas naturezas atuam na
formulação de soluções dos problemas da sociedade contemporânea.
Com o advento da tecnologia, novos problemas são criados e não podemos utilizar soluções antigas
para esses problemas.
Vejamos as etapas da Estatística:
 
(Fonte: AdresiaStock / Shutterstock)
FASE 1: COLETA DE DADOS
A primeira etapa no processo de um estudo estatístico, após o planejamento dos objetivos que serão
pesquisados e a devida determinação das características mensuráveis do que se quer pesquisar, é
darmos início à coleta dos dados numéricos necessários à sua descrição.
FASE 2: ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, em busca de possíveis falhas e
imperfeições.
FASE 3: APURAÇÃO DOS DADOS
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de
classificação.
FASE 4: EXPOSIÇÃO E APRESENTAÇÃO 
DOS DADOS
Os dados devem ser apresentados de forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil a
interpretação do que está sendo objeto de tratamento estatístico.
FASE 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS
O objetivo da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas
por parte representativa do todo (amostra).
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Assim, realizadas as fases anteriores, podemos fazer uma análise dos resultados obtidos por meio dos
métodos da Estatística Indutiva ou Inferencial, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
Agora vamos entender o conceito de população e amostra.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Toda pesquisa estatística precisa atender a um público, pois é com base nesse conjunto de pessoas que
os dados são coletados e analisados de acordo com o objetivo da pesquisa.
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população
estatística ou universo estatístico.
Uma amostra é um subconjunto finito de uma população, segmento ou parte do grupo. Isso porque seria
impossível coletar os dados de toda uma população de eleitores, por exemplo.
Agora que você já entendeu os conceitos de população e amostra, é importante compreender que
existem diversos tipos de variáveis que vão influenciar e ser influenciadas por essas amostras.
 
(Fonte: hobbit / Shutterstock)
TIPOS DE VARIÁVEIS
Imagine que o país é assolado por uma pandemia. Surge um novo vírus, que tem altas taxas de
contaminação e mortalidade. Os responsáveis pela tomada de decisão precisam agir rápido para frear
os impactos desta doença. Contudo, esses gestores têm pouca informação sobre o que fazer. Surge a
necessidade de conhecer cada fenômeno que corresponde a um número de resultados possíveis. Cada
um desses fenômenos é chamado de Variável.
 
(Fonte: Blue Planet Studio / Shutterstock)
 SAIBA MAIS
As variáveis nos estudos estatísticos são os fatores que possuem determinadas características dentro de
uma pesquisa e podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas.
Uma Variável é uma característica comum que pode ser observada ou medida nos elementos de uma
população; é cada um dos resultados possíveis de um fenômeno.
VARIÁVEL QUALITATIVA
Não podem ser expressas numericamente, pois seus valores são expressos por atributos ou qualidades,
como, por exemplo, sexo e religião. Podem ser divididas em:
Qualitativas nominais - apresentam uma característica ou qualidade simples, por exemplo, nome,
endereço, cidade;
Qualitativas ordinais - representam uma ordem que não pode ser alterada, por exemplo, meses
de uma gravidez e nível de escolaridade.
VARIÁVEL QUANTITATIVA
Neste caso, os valores são expressos em números, por exemplo, salário ou idade. Se uma variável for
identificada como quantitativa, pode ser discreta ou contínua.
De modo geral, as contagens dão origem a variáveis discretas e as mensurações dão origem a variáveis
contínuas.
Por exemplo, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto
dos números inteiros, mas nunca valores decimais, por exemplo, 2,5 ou 3,78. Logo, é uma variável
discreta.
Por outro lado, o peso ou altura dos alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos pode pesar
tanto 77kg como 82,66kg etc.
Agora veja no quadro abaixo um resumo sobre as variáveis.
 
(Fonte: o Autor)
TEORIA NA PRÁTICA
1. Você seria capaz de identificar os tipos de variáveis na tabela a seguir?
Pesquisa sobre o tratamento de uma doença (Rio de Janeiro)
Indivíduo Município Idade
Estado
civil
Nível de
escolaridade
Tempo de
internação
em dias
Renda
familiar
1
Duque de
Caxias
40 Solteiro Fundamental 6 1.000
2 Niterói 25 Casado Médio 4 2.500
3
Rio de
Janeiro
67 Casado Superior 9 3.000
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
Variáveis qualitativas nominais: município, estado civil;
Variáveis qualitativas ordinais: nível de escolaridade;
Variáveis quantitativas discretas: idade, tempo de internação em dias;
Variáveis quantitativas contínuas: renda familiar.
DADOS BRUTOS E ROL DE DADOS
Imagine que surge a necessidade de realizar uma pesquisa sobre o tempo de recuperação dos
pacientes, em dias, acometidos por uma doença X e que os dados são expostos de acordo com o
quadro abaixo.
2 4 5 7 12 2 20 25
4 4 12 7 10 2 48 33
5 3 24 6 11 4 50 33
9 3 24 5 1 4 51 33
2 3 36 5 1 1 15 11
2 1 3 1 2 1 15 31
1 4 4 1 2 1 16 33
1 2 8 1 5 1 11 33
 Fonte: Elaborado pelo autor.
A princípio, temos uma dificuldade em estabelecer em torno de qual valor tendem a se concentrar os
dias de recuperação dos pacientes, ou ainda a determinar se a recuperação se concentra acima ou
abaixo de determinado dia. Isso acontecer por estarmos lidando com dados brutos, aqueles que ainda
não foram numericamente ordenados.
javascript:void(0)
DADOS BRUTOS
São dados primariamente levantados ou reunidos, têm uma característica aleatória.
 SAIBA MAIS
A partir dos dados brutos, você pode organizá-los de forma crescente ou decrescente. Esse arranjo de dados
ordenados é chamado de Rol de dados.
TEORIA NA PRÁTICA
2. Você seria capaz de ordenar os dados da tabelaanterior, criando, assim, o rol de dados?
1 1 2 4 5 9 15 33
1 1 2 4 5 10 16 33
1 1 2 4 5 11 20 33
1 1 2 4 5 11 24 33
1 2 3 4 6 11 24 36
1 2 3 4 7 12 25 48
1 2 3 4 7 12 31 50
1 2 3 5 8 15 33 51
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, fica mais fácil identificar quantos pacientes necessitaram de dois dias para se recuperar, por
exemplo.
Podemos, também, encontrar facilmente a amplitude total (AT) desta tabela. Para isso, basta subtrair o
maior elemento pelo menor elemento deste rol.
Assim, teremos:
AMPLITUDE TOTAL (AT)
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
AT = L – L 
 
AT = 51 – 1 
 
AT = 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Um dos objetivos da estatística é o de organizar e resumir os dados coletados e mostrar as informações
em forma de tabelas. Portanto, as tabelas são um dos instrumentos mais usados em análise e
interpretação de dados, pois permitem uma conclusão rápida sobre o assunto em estudo.
javascript:void(0)
 
(Fonte: vinnstock / Shutterstock)
Uma distribuição de frequência pode ser expressa em um tipo de tabela que deve ser completada a
partir da coleta de dados com as informações de:
Frequência Simples (fi);
Frequência Relativa (fri %);
Frequência Acumulada (Fi);
Frequência Acumulada Relativa (Fri %).
FREQUÊNCIA SIMPLES (FI)
A frequência simples, representada por fi indica a ocorrência de vezes que um elemento aparece em
uma observação estatística.
TEORIA NA PRÁTICA
Exemplo: Um profissional de saúde coletou a idade dos 25 infectados por uma doença e organizou da
seguinte forma:
Rol de Dados
20 25 45 50 60
20 25 45 50 60
20 25 45 50 60
20 30 45 50 60
20 30 45 60 60
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Tabela de distribuição de frequência
Idade (xi) frequência (fi)
20 5
25 3
30 2
45 5
50 4
60 6
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
A partir a coleta de dados, o profissional da saúde pode realizar a tabulação, em que cada elemento é
ordenado na coluna Idade, chamada de xi, e cada ocorrência deste elemento será inserido na coluna
frequência simples (fi).
Após a conclusão da tabela, precisamos realizar o somatório da coluna fi. Para isso, utilizamos o
símbolo ∑ (sigma) que representa uma auto soma dos elementos. Assim, podemos dizer que o
somatório da frequência simples (∑fi) será 25.
FREQUÊNCIA RELATIVA (FRI %)
A frequência relativa apresenta seus elementos em forma de porcentagem. Para isso, temos uma
fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Neste caso, temos a divisão de cada um dos elementos da série pelo total de elementos. Esse resultado
apresenta a participação percentual do elemento.
Assim, teremos a tabela de distribuição de frequência com a inclusão da coluna frequência relativa (fri):
Idade frequência (fi) Frequência relativa (fri) %
20 5 20
25 3 12
30 2 8
45 5 20
50 4 16
60 6 24
∑fi = 25 ∑fri = 100%
fri =  x 100
fi 
n
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O resultado do somatório da coluna fri será um valor igual ou próximo de 100%.
FREQUÊNCIA ACUMULADA DE UM ELEMENTO DA
SÉRIE – FI OU FRI
É a soma da frequência simples deste elemento com a frequência simples dos elementos que o
antecedem. Ele é utilizado para apresentar o valor acumulado das frequências.
A frequência simples acumulada é representada por Fi (F maiúsculo).
Já a frequência relativa acumulada é representada por Fri (F também maiúsculo).
Assim, teremos:
Fi = frequência simples acumulada;
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fri = frequência relativa acumulada.
fr1 = = = 0 ,20  x 100 = 20%
f1
n
5
25
fr2 = = = 0,12 x 100 = 12%
f2
n
3
25
fr3 = = = 0,08 x 100 = 8%
f1
n
2
25
fr4 = = = 0,20 x 100 = 20%
f1
n
5
25
fr5 = = = 0,16 x 100 = 16%
f1
n
4
25
fr6 = = = 0,24 x 100 = 24%
f1
n
6
25
Fi = f1 + f2 + f3 + … + fi
Fri = fr1 + fr2 + fr3 + … + fri
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Observe a tabela a seguir. Precisamos encontrar a frequência acumulada. Tanto a frequência simples
acumulada (fi) como a frequência relativa acumulada (Fri) estão estabelecidas:
xi fi Fi fri % Fri %
20 5 5 20 20
25 3 8 12 32
30 2 10 8 40
45 5 15 20 60
50 4 19 16 76
60 6 25 24 100
 Fonte: Elaborado pelo autor.
TEORIA NA PRÁTICA
Como chegamos a esses resultados?
Vamos encontrar a frequência simples acumulada (Fi):
Para isso, usaremos como referência a frequência simples. O primeiro elemento desta nova coluna será
o primeiro elemento da coluna da frequência simples. Neste caso, será cinco.
O segundo elemento será o valor anterior, já encontrado, que é o cinco, somado à próxima frequência
que é o três. Teremos 5 + 3 = 8, esse será o valor do segundo elemento da frequência simples
acumulada. Agora, basta repetir o processo assim por diante.
RESOLUÇÃO
Veja na fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último elemento da frequência simples acumulada deve ser igual ao somatório da frequência simples.
TEORIA NA PRÁTICA
Como encontrar a frequência relativa acumulada?
A construção será a mesma da frequência simples acumulada. Contudo, agora, a coluna de referência
será a coluna da frequência relativa. Assim, teremos:
O primeiro elemento desta nova coluna será o primeiro elemento da coluna da frequência relativa. Neste
caso, será 20%.
O segundo elemento será o valor anterior, já encontrado, que é 20%, somado à próxima frequência
relativa que é o 12%. Teremos 20 + 12 = 32%, esse será o valor do segundo elemento da frequência
relativa acumulada. Como antes, o processo continua.
RESOLUÇÃO
Veja na fórmula:
Fi = f1 + f2 + f3 + … + fi
F1 = f1 = 5
F2 = f1 + f2 = 5 + 3 = 8
F3 = f1 + f2 + f3 = 8 + 2 = 10
F6 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 = 10 + 5 = 15
F7 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 = 15 + 4 = 19
F8 = f1 + f2 + f3 + f4 + f5 + f6 + f7 + f8 = 19 + 6 = 25
Fri = fr1 + fr2 + fr3 + … + fri
Fr1 = fr1 = 20
Fr2 = fr1 + fr2 = 20 + 12 = 32
Fr3 = fr1 + fr2 + fr3 = 32 + 8 = 40
Fr4 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 = 40 + 20 = 60
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último elemento da frequência relativa acumulada será um valor igual ou próximo de 100%.
DICA: Utilize duas casas decimais após a vírgula!
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM VARIÁVEL
CONTÍNUA
Na construção de uma tabela, com dados de uma variável quantitativa contínua, usamos uma
distribuição de frequências com intervalos de classes quando temos dados com valores dispersos.
 DICA
Tabelas com dados acima de 25 elementos costumam ser melhor empregadas neste tipo de tabela. Para
isso, alguns elementos precisam ser conhecidos, pois há a necessidade de apresentar os dados por meio de
um intervalo de classes.
Anteriormente, na construção de uma tabela, cada um dos elementos que compõem o rol é chamado de
xi e cada ocorrência deste valor é chamado de fi. Nas variáveis contínuas, não temos a figura do xi, não
de forma explicita.
 COMENTÁRIO
Com isso, para encontrar o xi utilizamos a fórmula: ,em que L é o limite superior e l é o limite inferior.
Mas, onde encontrar esses limites?
Antes de responder, vamos conhecer os elementos essenciais para a construção de uma tabela de
distribuição de frequência, com uma variável contínua.
Fr5 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 + fr7 = 60 + 16 = 76
Fr6 = fr1 + fr2 + fr3 + fr4 + fr5 + fr6 + fr7 + fr8 = 76 + 24 = 100
(L+l)
2
Já sabemos que as variáveis contínuas são aquelas que expressam valores fracionados. São dados
pertencentes a um conjunto dos números reais, que podem receber valores inteiros e decimais. Assim,
precisaremos dos elementos nesta ordem:
 ATENÇÃO
1º – Amplitude total, encontrada pela fórmula: ;
2º – Valor de k, encontrado pela fórmula: ;
3º – Número declasses, encontrado pela fórmula: .
Vamos ao exemplo:
Um hospital registrou a pressão arterial sistólica (mmHg) de 40 pacientes, conforme rol:
70 90 100 110 123
71 93 102 115 123
73 95 103 115 123
76 97 105 115 123
80 97 105 117 124
81 97 109 117 124
83 99 109 121 128
86 99 109 121 128
 Fonte: Elaborado pelo autor.
AT = L − l
√n
N. classes = AT
k
Antes de iniciar a montagem da tabela, precisaremos encontrar:
ETAPA 1
1º – Amplitude total, encontrada pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AT = 128 (maior valor do ROL) – 70 (menor valor do ROL) = 58 
 
 
 
ETAPA 2
2º – Valor de k, encontrado pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 podemos arredondar este valor para um inteiro, para cima ou para baixo. Vamos
arredondar para baixo, ou seja 6. 
ETAPA 3
3º – Número de classes, encontrado pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 podemos também arredondar para um inteiro. Vamos arredondar
para cima, ou seja 10. 
 
Assim, podemos criar 10 classes com intervalo de 6 ou 6 classes com intervalo de 10. Vamos optar pela
segunda.
Tabela de distribuição de frequência
Número de classes Intervalo de classes Frequência
AT = L − l
√n
√40 = 6, 32
N.  classes = AT
k
N.  classes =   = 9,6658
6
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
1 70 Ⱶ 80 4
2 80 Ⱶ 90 4
3 90 Ⱶ 100 8
4 100 Ⱶ 110 8
5 110 Ⱶ 120 6
6 120 Ⱶ 130 10
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Para construir os intervalos, partimos do limite inferior da primeira classe, ou seja, o menor valor
presente no rol de dados, neste caso, 70. Como usaremos o intervalo igual a 10, o limite superior desta
primeira classe será 70 + 10 = 80. Para a segunda classe, para o limite inferior, iremos repetir o 80 da
classe anterior e somar ao intervalo.
Assim, teremos: 80 + 10 = 90. Esse será o limite superior da segunda classe. Seguiremos até a
construção da sexta classe.
Agora, vamos encontrar a frequência. Para isso, basta consultar o rol e contar os valores dentro de cada
intervalo.
Na construção dos intervalos, temos o símbolo Ⱶ que representa fechado à esquerda, aberto à direita.
Isso significa que, fechado, inclui o limite inferior. Aberto, exclui o limite superior.
Observe:
Para a construção da frequência, precisamos contar os valores de cada intervalo, assim temos:
Tipo do intervalo Símbolo Valor incluídos no intervalo
Fechado à esquerda 
Aberto à direita
70 Ⱶ 80 70, 71, 73, 76
 Fonte: Elaborado pelo autor.
No intervalo 70 a 80, temos o limite inferior de 70 e o limite superior de 80. Como o intervalo é fechado à
esquerda, podemos incluir o 70. Porém, no limite superior, como é aberto à direita, não incluímos o 80.
Na contagem da frequência da primeira classe, ao consultarmos o rol, contamos quantos elementos
estão presentes neste intervalo. Neste caso, apenas 4 elementos atendem a esse intervalo. Assim, a
frequência da primeira classe será 4.
 DICA
Deve-se proceder da mesma forma para encontrar a frequência relativa, frequência acumulada e frequência
acumulada relativa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA GRANDE CLÍNICA RADIOLÓGICA CONTRATOU UMA EMPRESA DE
CONSULTORIA NA ÁREA DE FÍSICA MÉDICA PARA REALIZAR AUDITORIA NAS
SALAS DE MAMOGRAFIA. ELA FOI CONSTRUINDO A DISTRIBUIÇÃO DE
FREQUÊNCIA ABAIXO INFORMANDO QUE, DAS OITO SALAS DESTINADAS AO
EXAME DE MAMOGRAFIA, CINCO APRESENTARAM NÃO CONFORMIDADE
COMO APRESENTADO A SEGUIR. MARQUE A OPÇÃO QUE POSSUI A
FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA.
XI FI FI FRI % FRI %
1 6
2 14
3 16
4 10
5 4
A) 6 | 20 | 36 | 46 | 50
B) 12 | 28 | 32 | 20 | 8
C) 12 | 40 | 72 | 92 | 100
D) 6 | 14 | 16 | 10 | 4
2. OS DADOS A SEGUIR REPRESENTAM O TEMPO DE EXPOSIÇÃO EM 35
TOMÓGRAFOS DE DIFERENTES COLIMAÇÕES NT PARA O EXAME DE
ABDÔMEN. A PARTIR DESSA ANÁLISE, MARQUE A OPÇÃO QUE APRESENTA A
AMPLITUDE TOTAL.
900 2000 4100 4700 4900
1000 2500 4200 4800 4900
1200 2900 4300 4800 4900
1500 3000 4400 4800 4900
1900 3200 4500 4800 4900
2000 4000 4500 4800 4900
2000 4100 4500 4800 4900
A) 4900
B) 900
C) 4000
D) 5800
GABARITO
1. Uma grande clínica radiológica contratou uma empresa de consultoria na área de física médica
para realizar auditoria nas salas de mamografia. Ela foi construindo a distribuição de frequência
abaixo informando que, das oito salas destinadas ao exame de mamografia, cinco apresentaram
não conformidade como apresentado a seguir. Marque a opção que possui a frequência relativa
acumulada.
xi fi Fi fri % Fri %
1 6
2 14
3 16
4 10
5 4
A alternativa "C " está correta.
 
A frequência relativa acumulada deve apresentar os valores somados à frequência anterior, usando
como base a coluna da frequência relativa. Assim, teremos: 12 | 40 | 72 | 92 | 100.
2. Os dados a seguir representam o tempo de exposição em 35 tomógrafos de diferentes
colimações NT para o exame de abdômen. A partir dessa análise, marque a opção que apresenta
a amplitude total.
900 2000 4100 4700 4900
1000 2500 4200 4800 4900
1200 2900 4300 4800 4900
1500 3000 4400 4800 4900
1900 3200 4500 4800 4900
2000 4000 4500 4800 4900
2000 4100 4500 4800 4900
A alternativa "C " está correta.
 
A Amplitude total, encontrada pela fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AT = 4900 (maior valor do ROL) – 900 (menor valor do ROL) = 4000
MÓDULO 2
 Aplicar as medições de posição ou tendência central
A IMPORTÂNCIA DA MÉDIA NO CONTROLE DA
QUALIDADE
AT = L − l
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA
CENTRAL
As medidas de tendência central são usadas para sumarizar um conjunto de dados em um único valor.
Procura-se definir um valor que represente bem a distribuição da variável de interesse. Se a distribuição
for do tipo simétrica, ou seja, quando as observações estão igualmente distribuídas em torno de um
valor (metade acima e metade abaixo), você pode usar a medida de tendência central conhecida como
média aritmética.
 
(Fonte: PopTika / Shutterstock)
Uma medida de tendência central ou posição de um conjunto de dados mostra o valor em torno do qual
se agrupam as observações.
A seguir você conhecerá as três medidas de tendência central mais utilizadas: média, mediana e moda.
Medidas Significado
Média Valor que representa o ponto de equilíbrio.
Moda Valor que representa a frequência que mais se repete.
Mediana
Valor que separa um conjunto de dados em duas partes iguais, o elemento meio
que representa 50%.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
CONCEITOS
MÉDIA
É usada quando a distribuição dos dados for simétrica, tendo em vista que ela é influenciada por valores
extremos. A média pode ser obtida pelo quociente da soma de todos os dados do experimento e o
número total de dados. Existem vários tipos de média, mas focaremos nosso estudo na média aritmética
simples, de modo geral, a mais importante de todas elas.
 SAIBA MAIS
A média aritmética simples é calculada por meio da soma de todos os elementos dividida pela quantidade de
elementos. Para o cálculo, somam-se todos os valores e, em seguida, divide-se pelo número de observações
(n).
A fórmula é dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lê-se: x barra é igual ao somatório de xi divido por n.
Imagine que temos um grupo de elementos: 2, 4, 6, 8 e nosso objetivo é calcular a média. Teremos:
¯̄x̄ =
∑xi
n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
O nutricionista do Núcleo de Apoio à Saúde da Família (NASF) de um município coletou o número de
paciente mulheres atendidas na Unidade Básica de Saúde, durante 5 dias. Obtendo os seguintes
valores: 6; 8; 7; 5; 9. Calcule a média dos atendimentos.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
O cálculo da média, para um pequeno grupode dados, é relativamente simples. Basta somar todos os
elementos e dividir pela quantidade. Contudo, caso tenhamos um grupo maior de dados, podemos
agrupá-los em formato de uma tabela de distribuição de frequência. O modo mais prático de obtenção
da média com os dados agrupados é abrir, na tabela, uma coluna correspondente aos produtos xifi,
temos a fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lê-se: Somatório de xi multiplicado fi, dividido pelo somatório de fi.
EXEMPLO
xi fi xifi
¯̄̄x = = 5
∑(2+4+6+8)
4
¯̄̄x = = 7
∑ ( 6+8+7+5+9 )
5
¯̄x̄ =
∑xifi
∑ fi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
34 78
 Fonte: Elaborado pelo autor.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉDIA ARITMÉTICA COM INTERVALO DE CLASSE
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA Xifi xi
∑
∑xifi = 78
∑ fi = 34
¯̄̄x = = = 2,29 = 2,30
∑xifi
∑ fi
78
34
150 Ⱶ 154 4 608 152
154 Ⱶ 158 9 1404 156
158 Ⱶ 162 11 1760 160
162 Ⱶ 166 8 1312 164
166 Ⱶ 170 5 840 168
170 Ⱶ 174 3 516 172
TOTAL 40 6440 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
O cálculo da média aritmética simples, com intervalo de classe, tem a mesma fórmula. Somatório de
todos os elementos do produto xifi, dividido pelo somatório da frequência simples, que também será o
valor de n.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MODA
Representa o valor mais frequente em uma distribuição, ou seja, aquele valor que mais se repete. Ela só
é uma boa medida de tendência central em distribuições simétricas com um tamanho amostral grande.
Em distribuições pequenas, tende a assumir valores afastados do centro, por essa razão é muito pouco
usada.
Se mais de um valor se repete com a mesma frequência, isso significa que não temos frequência
significativa, a distribuição será amodal, ou seja, ausência de moda.
¯̄̄x = = = 161 cm
∑xifi
∑ fi
6440
40
Para determinar o valor da moda de uma série de observações, devemos organizar os dados em
formato de rol e verificar qual o número que tem a maior ocorrência.
Exemplos:
UNIMODAL
1 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ; 12.
Apenas o número quatro tem maior frequência.
BIMODAL
3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4.
Temos agora, dois números que se repetem a mesma quantidade de vezes. Se, por acaso, um dos
números se repetisse em quantidade menor, a moda seria Unimodal.
AMODAL
1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12.
Se mais de um valor se repete com a mesma frequência, isso significa que não temos frequência
significativa, a distribuição será amodal, ou seja, ausência de moda. Todos os números têm apenas a
frequência 1.
MODA COM INTERVALO DE CLASSES
Para encontrar a moda em uma tabela com intervalo de classes, precisamos encontrar a classe com a
maior frequência, depois aplicamos a fórmula. Esse asterisco ( * ), que aparece na fórmula, significa que
a moda será calcula pelos intervalos da classe com maior frequência, também chamada de classe
modal.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
Mo =
(l *+ L*)
2
TEORIA NA PRÁTICA
Com base na tabela a seguir, calcule a moda.
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA Xifi xi
150 Ⱶ 154 4 608 152
154 Ⱶ 158 9 1404 156
158 Ⱶ 162 11 1760 160
162 Ⱶ 166 8 1312 164
166 Ⱶ 170 5 840 168
170 Ⱶ 174 3 516 172
TOTAL 40 6440 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
Antes de calcular a moda, precisamos encontrar a classe modal. Essa classe é a terceira, pois tem a
maior frequência. Agora, basta realizar a média aritmética simples do seu intervalo:
Mo =
(l*+ L*)
2
Mo =
(158+162)
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MEDIANA
A mediana (Md) é usada quando a distribuição dos dados for assimétrica, pois ela é uma medida de
posição (ou posto). A mediana não leva em conta a magnitude das observações, tendo em vista que ela
se baseia apenas na ordenação dos valores e não na sua expressão numérica. Assim, perde-se
informação quando se usa mediana.
Ela também divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. Para aplicar a medida da
mediana é necessário que a variável possa ser ordenada em forma de um rol.
Veja o exemplo, de como encontrar a mediada de dados não agrupados:
Dada uma série de valores:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é ordenar os valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18. Md = 10
Número ímpar de observações:
É o valor do item médio ou central.
Ex.: 4; 7; 8; 9; 12; 13; 17
A mediana é 9.
Número par de observações:
Quando os números são pares, tem-se dois elementos centrais e a mediana será a média aritmética.
Ex.: 4; 7; 8; 10; 12; 13; 17; 20
A mediana será:
Mo = = 160 cm3202
Md =
(10+12)
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO
DE CLASSES
Precisamos identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das
frequências. A mediana será aquele valor da variável que corresponde a tal frequência acumulada.
 
(Fonte: o Autor)
Md = 2 meninos
No caso de existir uma frequência acumulada (F1), tal que:
Md = 222
Md = 11
Fi = (Σf1) ÷ 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A mediana será dada por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: o Autor)
Sendo:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
Md = [(xi + xi + 1)] ÷ 2
(∑ fi) ÷ 2 = 8 ÷ 2 = 4
Md = (15 + 16) ÷ 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO
DE CLASSES
Na prática, devemos seguir 3 passos:
1º – Determinar as frequências acumuladas (Fi);
2º – Calcular ;
3º – Identificar a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente anterior, em
seguida aplicar a fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
= 31 ÷ 2 =
= 15, 5
Md = 15, 5  meninos
∑ fi
2
Md = l +
( −Fi(anterior).h∑ fi
2
fi
 
(Fonte: o Autor)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com base na fórmula, vamos identificar seus elementos?
 limite inferior, o asterisco significa que será da classe que tiver a maior frequência; neste caso, a
terceira classe tem a maior frequência 11. O limite inferior desta classe é 30.
 a Somatório das frequências dividido por 2.
Fi(anterior) Frequência acumulada anterior, identifique a classe com a maior frequência. Agora,
identifique a frequência acumulada. Por último, a fórmula pede a anterior que é 13.
 amplitude da classe com maior frequência. A amplitude será a subtração do limite superior
pelo limite inferior. Lembra-se do asterisco? Então, significa classe com a maior frequência;
 maior frequência da tabela, ou seja, 11.
Agora, basta substituir e resolver a fórmula:
Md = l* +
( −Fi(anterior).h*∑ fi
2
fi*
l*→
∑ fi
2
→
h* →
fi* →
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A SÉRIE DE MEDIDAS A SEGUIR PARA AS DOSES DE ENTRADA
NA PELE (DEP), EM MGY, PARA UM MAMÓGRAFO 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8. MARQUE
A OPÇÃO QUE APRESENTA A MÉDIA, A MODA E A MEDIANA,
RESPECTIVAMENTE:
A) 7 | 8 | 7
B) 5 | 6 | 7
C) 6 | 7 | 8
D) 7 | 7 | 7
2. A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABAIXO INDICA A QUANTIDADE DE
RADIOGRAFIAS QUE FORAM FEITAS EM PACIENTES DE IDADES
COMPREENDIDAS ENTRE 5 A 11 DIARIAMENTE. A MÉDIA ARITMÉTICA É
APROXIMADAMENTE?
XI FI
5 2
7 3
Md = 30 +
( −13).1040
2
11
Resposta :  Md = 36, 36
8 5
9 4
11 2
A) 16,7
B) 5,489
C) 8,06
D) 11,0
GABARITO
1. Considere a série de medidas a seguir para as doses de entradana pele (DEP), em mGy, para
um mamógrafo 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8. Marque a opção que apresenta a média, a moda e a mediana,
respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
 
Para encontrar as medidas de tendência central em dados não agrupados a partir do rol, devemos
observar:
Média: Soma dos elementos dividido pela quantidade = 7;
Moda: O elemento que mais se repete = 8;
Mediana: Ao dividir o grupo em partes iguais, será o elemento central = 7.
2. A distribuição de frequência abaixo indica a quantidade de radiografias que foram feitas em
pacientes de idades compreendidas entre 5 a 11 diariamente. A média aritmética é
aproximadamente?
xi fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
A alternativa "C " está correta.
 
O cálculo da média aritmética simples, com dados agrupados, tem a mesma fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somatório de todos os elementos do produto xifi dividido pelo somatório da frequência simples, que
também será o valor de n.
MÓDULO 3
 Aplicar as medições de dispersão
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de tendência central (média, moda e mediana) fornecem um resumo parcial das
informações de um conjunto de dados.
¯̄̄x = = = 8, 062
∑xifi
∑ fi
129
16
A necessidade de uma medida de variação é aparente, para que nos permita, por exemplo, comparar
conjuntos diferentes de valores.
Algumas características desta medida devem ser atendidas como veremos a seguir.
 
(Fonte: higyou / Shutterstock)
CONCEITOS
AMPLITUDE
É definida como a diferença entre o mais alto valor (estatística denominada máximo) e o mais baixo
valor (estatística denominada mínimo). A amplitude, portanto, só considera os extremos (valor máximo
e valor mínimo) e pode não captar bem a situação verdadeira.
AMPLITUDE
A amplitude de uma amostra é a diferença entre o máximo e o mínimo.
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Para os valores 25, 29, 38, 51, 52, 77 e 80, temos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quanto maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
No estudo da Estatística, dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em
um conjunto de dados estão dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As
ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas como medidas de dispersão e
denominadas de variância e desvio-padrão.
A variância mede o afastamento de cada valor em relação à média. Matematicamente, mede o
afastamento ao quadrado de cada valor em relação à média e pode ser definida como a média dos
quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra.
Pode ser calculada da seguinte forma:
Variância amostral:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Variância populacional:
AT = L − l
AT = 80 – 25 = 55
S2 =
(∑xi−x)
2
n−1
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Foram obtidos os seguintes desvios em relação à média dos dados do estudo sobre a avaliação do
índice de massa corporal (IMC) em adolescentes de uma escola pública. Os dados são apresentados a
seguir.
IMC xi - x (xi - x)2
21,76 1,91 3,65
20,56 0,71 0,50
21,43 1,58 2,50
22,33 2,48 6,15
22,53 2,68 7,18
18,34 -1,51 2,28
17,32 -2,53 6,40
16,22 -3,63 13,18
18,43 -1,42 2,02
19,58 -0,27 0,07
S2 =
(∑xi−x)
2
n
Média = 19,85 - Soma = 43,93
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESVIO-PADRÃO
O desvio-padrão representa a raiz quadrada da variância. Calcula a média da dispersão (afastamento)
dos valores em relação à média. Em outras palavras, é a raiz quadrada da média dos desvios ao
quadrado de cada valor em relação à média. Tem a vantagem de voltar a variável ao seu valor original,
por essa razão é mais usada do que a variância.
A variância não vem representada na mesma unidade das observações. Se tomarmos a raiz quadrada
da variância, obtemos o desvio-padrão que também é uma medida de dispersão e vem na mesma
unidade das observações.
S2 =
(∑xi−x)
2
n−1
S2 =
43,93
10−1
S2 =
43,93
9
S2 = 4,88
DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS NÃO
AGRUPADOS
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Tomemos como exemplo o conjunto de valores da variável x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
O modo mais prático para se obter o desvio-padrão é formar uma tabela com duas colunas, assim como
fizemos na variância, uma para xi e outra para xi2.
xi xi2
40 1600
45 2025
48 2304
52 2704
54 2916
62 3844
s = √ − ( )
2∑x2i
n
∑xi
n
70 4900
∑xi = 371 ∑xi2 = 20.293
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS
AGRUPADOS
Como, neste caso, temos a presença de frequências, temos que levá-las em consideração, resultando
na fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
s = √ − ( )220293
7
371
7
s = √2899 − 532
s = √90 = 9, 486
s = √ − ( )
2∑ fixi2
n
∑ fixi
n
TEORIA NA PRÁTICA
O modo mais prático de se obter o desvio-padrão é abrir, na tabela dada, uma coluna para os produtos
fixi e outra para fixi2.
Exemplo:
xi fi fixi fixi2 xi2
0 2 0 0 0
1 6 6 6 1
2 12 24 48 4
3 7 21 63 9
4 3 12 48 16
30 63 165 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
Σ
s = √ − ( )2165
30
63
30
s = √5,5 − 4,41
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS
AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA xi xi2 fixi fixi2
150 Ⱶ 154 4 152 92416 608 92416
154 Ⱶ 158 9 156 219024 1404 219024
158 Ⱶ 162 11 160 281600 1760 281600
162 Ⱶ 166 8 164 215168 1312 215168
166 Ⱶ 170 5 168 141120 840 141120
170 Ⱶ 174 3 172 88752 516 88752
TOTAL 40 6440 1038080
 Fonte: Elaborado pelo autor.
s = √1,09 = 1,044
s = √ − ( )21.038.080
40
6440
40
s = √25.952 − 25.921
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
O coeficiente de variação (CV) representa a dispersão dos dados em termos relativos, ou seja, expressa
a variabilidade dos dados tirando a influência da ordem de grandeza da variável, por meio da
comparação do desvio-padrão (s) com a média (x).
Trata-se de um dado adimensional, ou seja, um número puro, usualmente expresso em porcentagem. É
zero quando não há variabilidade entre os dados, isto é, quando s = 0, o que ocorre quando todos os
valores da amostra são iguais. É útil para fornecer uma medida de homogeneidade do conjunto de
dados. Assim, quanto mais baixo o coeficiente de variação, mais homogêneo é o conjunto de dados.
Trata-se de uma forma simples de calcular a dispersão, e por não ter unidade de medida, permite a
comparação de variáveis com unidades e médias diferentes.
 DICA
O CV leva em consideração tanto a medida de dispersão absoluta (desvio-padrão) quanto a média da série.
É uma medida de dispersão mais completa que uma medida absoluta.
Na comparação entre dois ou mais conjuntos de dados, o conjunto com a maior dispersão relativa
apresenta a maior dispersão de dados no geral. A medida de dispersão relativa prevalece sobre a
medida de dispersão absoluta.
Fórmula:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
s = √31 = 5,567
CV = × 100Sx
 ATENÇÃO
Onde:
CV é o coeficiente de variação;
S é o desvio padrão;
x é a média dos dados.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
x s
Estaturas 175cm 5,0cm
PESOS 68kg 2,0kg
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CVE = × 100 = 2,85%
5,0
175
CVP = × 100 = 2, 94%
2,0
68
MEDIÇÃO DE INCERTEZAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A VARIÂNCIA MEDE O AFASTAMENTO DE CADA VALOR EM RELAÇÃO À
MÉDIA. MATEMATICAMENTE, MEDE O AFASTAMENTO AO QUADRADO DE
CADA VALOR EM RELAÇÃO À MÉDIA. O DESVIO–PADRÃO DE UM CONJUNTO
DE DADOS É 9. A VARIÂNCIA É:
A) 3
B) 36
C) 81
D) 18
2. SUPONHA QUE UMA CLÍNICA RADIOLÓGICA TENHA DUAS SALAS DE RAIOS.
NA SALA X, O TEMPO MÉDIO DE EXPOSIÇÃO É DE 1.000MS E O DESVIO-
PADRÃO É IGUAL A 20MS. NA SALA Y, O TEMPO MÉDIO É DE 500MS E O
DESVIO-PADRÃO IGUAL A 5MS. 
 
ADMITA QUE CVX É O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA FILIAL X, E CVY, O
COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA FILIAL Y. 
 
MARQUE A OPÇÃO DE REPRESENTA, RESPECTIVAMENTE, OS VALORES DO
CVX E DO CVY PARA O TEMPO DE EXPOSIÇÃO.
A) CVX = 1% e CVY = 5%
B) CVX = 2,7% e CVY = 1,8%
C) CVX = 5% e CVY = 4%
D) CVX = 2% e CVY = 3%
GABARITO
1. A variância mede o afastamento de cada valor em relação à média. Matematicamente, mede o
afastamento ao quadrado de cada valor em relação à média. O desvio–padrão de um conjunto de
dados é 9. A variância é:
A alternativa "C " está correta.
 
A variância é a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra. O
desvio-padrão representa a raiz quadrada da variância. Dessa forma, para encontrar a variância basta
elevar o 9 ao quadrado. Resultado 81.
2. Suponha que uma clínica radiológica tenha duas salas de raios. Na sala X, o tempo médio de
exposição é de 1.000ms e o desvio-padrão é igual a 20ms. Na sala Y, o tempo médio é de 500ms e
o desvio-padrão igual a 5ms. 
 
Admita que CVX é o coeficiente de variação da filial X, e CVY, o coeficiente de variação da filial Y. 
 
Marque a opção de representa, respectivamente, os valores do CVX e do CVY para o tempo de
exposição.
A alternativa "D " está correta.
 
Para resolver essa questão, basta aplicar a fórmula do coeficiente de variação:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CV = × 100Sx
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 4
 Aplicar testes estatísticos para tomada de decisões
ESTATÍSTICA INFERENCIAL
 
(Fonte: everything possible / Shutterstock)
A Estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: a estatística descritiva e a inferência
estatística. Na inferência estatística, utilizamos dados amostrais para fazer estimativas, testar hipóteses
e fazer previsões sobre características de uma população.
Uma amostra constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características
essenciais.
CV X = × 100 = 2%201000
CV Y = × 100 = 3%15500
 
(Fonte: Iamnee / Shutterstock)
CONCEITOS
TESTES DE HIPÓTESES
Neste módulo, vamos concentrar nossos estudos no teste de hipóteses, o qual é um procedimento
padrão para se testar uma afirmativa sobre uma propriedade da população (OLIVEIRA, 2018).
HIPÓTESES
Segundo o dicionário Michaelis, hipótese pode ser definida como uma suposição, com base em
evidências, que se pretende explicar ou prever certas observações ou fatos cuja comprovação
depende de investigações posteriores.
javascript:void(0)
 EXEMPLO
Com base em estudos anteriores, sabe-se que o efeito imunológico de determinada vacina se prolonga por
mais de um ano em apenas 20% das pessoas que a tomam. Uma nova vacina foi desenvolvida para a
mesma finalidade, sendo necessário testar sua eficácia sobre a atual, ou seja, se a proporção de pessoas
imunizadas após um ano é maior que 20%. Como a eficácia da vacina varia de pessoa para pessoa,
precisamos utilizar algum método estatístico para chegarmos a uma conclusão.
Por meio de um teste de hipóteses, tomamos decisões em presença da variabilidade, ou seja,
verificamos se estamos diante de uma diferença real ou de uma diferença que se deve simplesmente
pela flutuação aleatória do processo.

Para testarmos uma hipótese estatística, devemos estabelecer um par de hipóteses. Uma delas
representa uma afirmativa e a outra, o contrário.

A hipótese que contém a afirmativa de igualdade é a hipótese nula (representada por H0) e o
complemento da hipótese nula é a hipótese alternativa (representada por H1 ou Ha).
Representamos a hipótese alternativa usando um desses operadores: <, > ou ≠.
Vamos supor, se uma afirmativa para a média populacional é que ela assume o valor k, alguns pares
possíveis de hipótese nula e alternativa são:
{
H0 : μ = k
H1 : μ ≠ k
{
H0 : μ = k
H1 : μ > k
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
“SE VOCÊ ESTÁ FAZENDO UM ESTUDO E DESEJA USAR
UM TESTE DE HIPÓTESES PARA APOIAR SUA AFIRMATIVA,
ESTA DEVE SER ESCRITA DE MODO A SE TORNAR A
HIPÓTESE ALTERNATIVA (E DEVE SER EXPRESSA USANDO
APENAS OS SÍMBOLOS <, > OU ≠)".
(TRIOLA, 2017, p. 376)
Ou seja, você não deve apoiar uma afirmativa de que um parâmetro seja igual a algum valor específico.
EXEMPLO 1
Um fabricante afirma que sua vacina previne 80% dos casos de certa doença. Um grupo de médicos
desconfia que a vacina não seja tão eficiente assim. Indique a hipótese que está sendo testada.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Indicamos a proporção populacional por ρ - Rô. O fabricante afirma sobre o parâmetro que a proporção
de casos prevenidos pela vacina é de 80%. Como o grupo de médicos desconfia que a vacina não seja
eficiente assim, a hipótese alternativa será p < 0,80.
{
H0 : μ = k
H1 : μ < k
{
H0 : ρ = 0 ,80
H1 : ρ < 0 ,80
EXEMPLO 2
Um fabricante de bateria para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 48
meses. Um proprietário de automóvel deseja testar essa afirmação. Qual hipótese deverá ser testada
neste caso?
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média populacional é representada por μ - Mi. O proprietário deseja testar a afirmação do fabricante
(de que a vida média da bateria é de 48 meses), portanto utilizamos o símbolo ≠ na hipótese alternativa.
EXEMPLO 3
Uma empresa instalou um equipamento antipoluição sonora com o objetivo de manter o ruído médio
abaixo de 65 decibéis. O sindicato decide testar se o equipamento está ou não cumprindo sua função.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A empresa afirma que o equipamento instalado mantém o ruído médio abaixo de 65 decibéis. O
sindicato deseja testar se o ruído médio está abaixo de 65 decibéis após a instalação do equipamento,
portanto utilizamos na hipótese alternativa o símbolo <.
TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA
POPULACIONAL
{
H0 : μ = 48
H1 : μ ≠ 48
{
H0 : μ = 65
H1 : μ < 65
Agora, além da realização de um teste de hipóteses (H0 e H1), precisamos seguir algumas etapas. Para
isso, os seguintes conceitos são imprescindíveis:
Erros do tipo I e II;
Nível de significância;
Estatística de teste;
Região crítica;
Valor crítico;
Conclusão do teste baseado no método tradicional ou do valor p.
 DICA
Mas atenção, quando realizamos um teste de hipóteses, estamos utilizando dados de uma amostra.
Devemos, então, aceitar o fato de que a decisão de rejeitar ou não H0 pode estar incorreta.
A única maneira de se ter certeza de que H0 é verdadeira ou falsa é testar toda a população e sabemos que
isso é quase impossível, dependendo do tamanho da sua população.
Assim, quando realizamos um teste de hipóteses, dois erros podem ser cometidos:
Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é verdadeira;
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria ser rejeitada.
Na realização de um teste de hipóteses, temos os resultados possíveis:
Situação
Decisão H0 é verdadeira H0 é falsa
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
 Fonte: Elaborado pelo autor.
A probabilidade de cometermos o erro do tipo I é denotada por α – Alfa – e a probabilidade de
cometermos o erro do tipo II é denotada por β – Beta.
Desejamosque as probabilidades α e β sejam próximas de zero, à medida que diminuímos o erro do
tipo I, a probabilidade de erro do tipo II tende a aumentar.
 DICA
Ao definir as hipóteses, o erro mais importante a ser evitado é o erro do tipo I.
A probabilidade máxima permitida de ocorrer um erro do tipo I é denominada nível de significância. As
escolhas comuns para α são 0,05; 0,01 e 0,10.
Após a identificação das hipóteses nula e alternativa e da especificação do nível de significância,
utilizamos dados de uma amostra aleatória para calcular o valor da estatística de teste.
Utilizamos as seguintes estatísticas de teste para a média:
ESTATÍSTICA DE TESTE CONDIÇÕES
A amostra é uma amostra aleatória simples;
O valor do desvio-padrão populacional σ é conhecido;
Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a
população é normalmente distribuída ou n > 30.
A amostra é uma amostra aleatória simples;
O valor do desvio-padrão populacional σ não é conhecido.
z  =  
−
x      μ 
σ
√n
t  =  
−
x      μ 
s
√n
O número de graus de
liberdade (g.l.) é n – 1 Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a
população é normalmente distribuída ou n > 30.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Um teste de hipóteses pode ser bicaudal (ou bilateral), unilateral à esquerda (monocaudal esquerdo) ou
unilateral à direita (monocaudal direito). A identificação de cada um destes tipos é feita por meio da
hipótese alternativa. Temos:
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
< Teste unilateral à esquerda
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
> Teste unilateral à direita
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
≠ Teste bilateral
EXEMPLO
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo medicamento contra dor de cabeça, retirando
de circulação o antigo, com a justificativa de que este novo medicamento tem ação mais rápida. O antigo
medicamento tinha um tempo médio de 30 minutos para o início do efeito. Em uma amostra aleatória de
35 pessoas que tomaram o novo medicamento, obteve-se um tempo médio de 27 minutos, com desvio-
padrão de 4 minutos. Teste a eficácia do novo medicamento, ao nível de 5%.
Resposta:
Neste estudo, temos uma amostra aleatória de 35 pessoas. Não conhecemos o desvio-padrão
populacional e o tamanho amostral é n > 30. Portanto, os requisitos necessários para a realização do
teste de hipóteses para a média populacional com σ desconhecido estão satisfeitos.
Agora, vamos aos passos necessários para a realização do teste:
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
1º PASSO
Hipóteses:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
2º PASSO
O nível de significância geralmente informado é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
{
H0 : μ = 30
H1 : μ < 30
α = 0, 05 (5%/100)
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
3º PASSO
Estatística de teste, por se tratar de amostra:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, teremos:
t  =  
−x      μ 
s
√n
t  =   27 − 30 4
√35
t  =   27 − 30 4
5,916
t  =   27 − 30 
0,6761
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
4º PASSO
O número de grau de liberdade é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
t  =   −3 
0,6761
t  =   − 4,4371
n– 1 = 35– 1 = 34
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
5º PASSO
Buscar o valor crítico:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
6º PASSO
Conclusão:
tc =– 1, 691
 
(Fonte: o Autor)
Como o teste é unilateral à esquerda (pois, H1 contém o sinal <), o valor crítico é encontrado levando
em conta o nível de significância que está na última linha da tabela. Por isso, escolhemos a terceira
coluna ( ).
Rejeitamos se . Como , a estatística de teste está na área de rejeição.
Portanto, rejeitamos , ou seja, os dados amostrais fornecem evidências suficientes para se concluir
que o tempo médio de ação do novo medicamento é inferior ao tempo médio de ação do antigo
medicamento.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1.POR MEIO DE UM TESTE DE HIPÓTESES, TOMAMOS DECISÕES EM
PRESENÇA DA VARIABILIDADE, OU SEJA, VERIFICAMOS SE ESTAMOS DIANTE
DE UMA DIFERENÇA REAL OU DE UMA DIFERENÇA DEVIDA SIMPLESMENTE À
α = 0, 05
H0 t < tc – 4, 4371 <– 1, 691
H0
FLUTUAÇÃO ALEATÓRIA AO PROCESSO. PARA UTILIZAR O TESTE PARA A
POPULAÇÃO, PRECISAMOS ANALISAR ALGUMAS AÇÕES. MARQUE A OPÇÃO
INCORRETA.
A) A amostra é uma amostra aleatória simples.
B) O valor do desvio-padrão populacional σ é conhecido.
C) Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a população é normalmente distribuída ou n
> 30.
D) O valor do desvio-padrão populacional σ não é conhecido.
2. UM TESTE DE HIPÓTESES PODE SER BICAUDAL (OU BILATERAL),
UNILATERAL À ESQUERDA (MONOCAUDAL ESQUERDO) OU UNILATERAL À
DIREITA (MONOCAUDAL DIREITO). A IDENTIFICAÇÃO DE CADA UM DESSES
TIPOS É FEITA POR MEIO DA HIPÓTESE ALTERNATIVA. EM UM TESTE
BILATERAL, O SINAL UTILIZADO EM H1 SERÁ:
A) Sinal usado em H1: < Teste bilateral
B) Sinal usado em H1: > Teste bilateral
C) Sinal usado em H1: ≠ Teste bilateral
D) Sinal usado em H1: >= Teste bilateral
GABARITO
1.Por meio de um teste de hipóteses, tomamos decisões em presença da variabilidade, ou seja,
verificamos se estamos diante de uma diferença real ou de uma diferença devida simplesmente à
flutuação aleatória ao processo. Para utilizar o teste para a população, precisamos analisar
algumas ações. Marque a opção INCORRETA.
A alternativa "D " está correta.
 
Ao analisar o teste de hipótese, temos como ação “O valor do desvio-padrão populacional σ é
conhecido” como condição para realização do teste em uma amostra. Portanto, a alternativa D está
incorreta.
2. Um teste de hipóteses pode ser bicaudal (ou bilateral), unilateral à esquerda (monocaudal
esquerdo) ou unilateral à direita (monocaudal direito). A identificação de cada um desses tipos é
feita por meio da hipótese alternativa. Em um teste bilateral, o sinal utilizado em H1 será:
A alternativa "C " está correta.
 
Em um teste bilateral, o sinal utilizado em H1 será Sinal usado em H1: ≠ Teste bilateral.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou os conceitos da estatística e sua utilização como ferramenta de apoio aos
tomadores de decisões. Por fim, foi apresentada uma introdução breve sobre testes de hipóteses
estatísticos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
FERREIRA, Valéria Aparecida. Estatística Básica. Rio de Janeiro: Seses, 2015.
OLIVEIRA, Uanderson Rébula de. Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido. São Paulo: Edição
do Autor – Saraiva Publique-se, 2017.
_____. Estatística II (para leigos): aprenda fácil e rápido. São Paulo: Edição do Autor – Saraiva
Publique-se, 2019.
_____. O que é estatística inferencial? Profes, 2018. Consultado em meio eletrônico em: 7 jul. 2020.
PADILHA, Luana Lopes. Fundamentos de Estatística e Epidemiologia. Rio de Janeiro: Seses, 2019.
PINNTO, Marcos. Estatística Básica: para quem não é especialista. Fortaleza/Arquivo Kindle, 2019.
SOARES, Elisângela. Fundamentos de Estatística. Rio de Janeiro: Seses, 2015.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
Leia o texto Importância da estatística para o processo de conhecimento e tomada de decisão, de
Sérgio Aparecido Ignácio;
Para verificar as aplicações das operações apresentadas nesse tema no Excel acesse o passo a
passo clicando aqui.
CONTEUDISTA
Rafael Monteiro
 CURRÍCULO LATTES
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