4 Estatística aplicada ao controle da qualidade em equipamentos

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DEFINIÇÃO
Conceito de Estatística e sua aplicação. Medidas de tendência central e de dispersão. Construção de tabelas de distribuição de frequência e
aplicação de testes estatísticos.
PROPÓSITO
Compreender o conceito e a origem da Estatística objetivando tomar decisões baseadas em dados e evidências para oferecer um diferencial
em um mercado cada vez mais competitivo.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha em mãos uma calculadora científica ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Identificar as fases do método estatístico e seus conceitos norteadores
MÓDULO 2
Aplicar as medições de posição ou tendência central
MÓDULO 3
Aplicar as medições de dispersão
MÓDULO 4
Aplicar testes estatísticos para tomada de decisões
INTRODUÇÃO
A estatística é definida como um conjunto de métodos e técnicas de tratamento de dados para a tomada de decisão. É um meio de pensar
nas soluções de problemas práticos e não apenas em um amontoado de números e fórmulas. É uma ferramenta que, se usada
adequadamente, pode prestar valiosa ajuda no processo de desenvolvimento de conhecimentos, podendo ser aplicada a praticamente todas
as áreas do conhecimento.
Veremos, neste tema, que a Estatística é um segmento da Matemática Aplicada, dividida em cinco etapas, que ficam a cargo da coleta,
organização, descrição, análise e interpretação de dados. Para dar embasamento ao tomador de decisão na utilização dos dados, as três
primeiras etapas – coleta, organização e a descrição dos dados – ficam a cargo da Estatística Descritiva. Já a análise e a interpretação
desses dados ficam a cargo da Estatística Indutiva ou Inferencial.
MÓDULO 1
 Identificar as fases do método estatístico e seus conceitos norteadores
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
A estatística tem um papel fundamental na geração de conhecimento. Por meio do seu uso, governos, empresas, pesquisadores,
universidades, escolas e organizações de diversas naturezas atuam na formulação de soluções dos problemas da sociedade
contemporânea.
Com o advento da tecnologia, novos problemas são criados e não podemos utilizar soluções antigas para esses problemas.
Vejamos as etapas da Estatística:
 
(Fonte: AdresiaStock / Shutterstock)
FASE 1: COLETA DE DADOS
A primeira etapa no processo de um estudo estatístico, após o planejamento dos objetivos que serão pesquisados e a devida determinação
das características mensuráveis do que se quer pesquisar, é darmos início à coleta dos dados numéricos necessários à sua descrição.
FASE 2: ORGANIZAÇÃO DOS DADOS
Obtidos os dados, eles devem ser cuidadosamente criticados, em busca de possíveis falhas e imperfeições.
FASE 3: APURAÇÃO DOS DADOS
Nada mais é do que a soma e o processamento dos dados obtidos e a disposição mediante critérios de classificação.
FASE 4: EXPOSIÇÃO E APRESENTAÇÃO 
DOS DADOS
Os dados devem ser apresentados de forma adequada (tabelas ou gráficos), tornando mais fácil a interpretação do que está sendo objeto de
tratamento estatístico.
FASE 5: ANÁLISE DOS RESULTADOS
O objetivo da Estatística é tirar conclusões sobre o todo (população) a partir de informações fornecidas por parte representativa do todo
(amostra).
FASES DO MÉTODO ESTATÍSTICO
Assim, realizadas as fases anteriores, podemos fazer uma análise dos resultados obtidos por meio dos métodos da Estatística Indutiva ou
Inferencial, e tiramos desses resultados conclusões e previsões.
Agora vamos entender o conceito de população e amostra.
POPULAÇÃO E AMOSTRA
Toda pesquisa estatística precisa atender a um público, pois é com base nesse conjunto de pessoas que os dados são coletados e
analisados de acordo com o objetivo da pesquisa.
Ao conjunto de entes portadores de, pelo menos, uma característica comum denominamos população estatística ou universo estatístico.
Uma amostra é um subconjunto finito de uma população, segmento ou parte do grupo. Isso porque seria impossível coletar os dados de toda
uma população de eleitores, por exemplo.
Agora que você já entendeu os conceitos de população e amostra, é importante compreender que existem diversos tipos de variáveis que
vão influenciar e ser influenciadas por essas amostras.
 
(Fonte: hobbit / Shutterstock)
TIPOS DE VARIÁVEIS
Imagine que o país é assolado por uma pandemia. Surge um novo vírus, que tem altas taxas de contaminação e mortalidade. Os
responsáveis pela tomada de decisão precisam agir rápido para frear os impactos desta doença. Contudo, esses gestores têm pouca
informação sobre o que fazer. Surge a necessidade de conhecer cada fenômeno que corresponde a um número de resultados possíveis.
Cada um desses fenômenos é chamado de Variável.
 
(Fonte: Blue Planet Studio / Shutterstock)
 SAIBA MAIS
As variáveis nos estudos estatísticos são os fatores que possuem determinadas características dentro de
uma pesquisa e podem ser classificadas em qualitativas e quantitativas.
Uma Variável é uma característica comum que pode ser observada ou medida nos elementos de uma
população; é cada um dos resultados possíveis de um fenômeno.
VARIÁVEL QUALITATIVA
Não podem ser expressas numericamente, pois seus valores são expressos por atributos ou qualidades, como, por exemplo, sexo e religião.
Podem ser divididas em:
Qualitativas nominais - apresentam uma característica ou qualidade simples, por exemplo, nome, endereço, cidade;
Qualitativas ordinais - representam uma ordem que não pode ser alterada, por exemplo, meses de uma gravidez e nível de
escolaridade.
VARIÁVEL QUANTITATIVA
Neste caso, os valores são expressos em números, por exemplo, salário ou idade. Se uma variável for identificada como quantitativa, pode
ser discreta ou contínua.
De modo geral, as contagens dão origem a variáveis discretas e as mensurações dão origem a variáveis contínuas.
Por exemplo, o número de alunos de uma escola pode assumir qualquer um dos valores do conjunto dos números inteiros, mas nunca
valores decimais, por exemplo, 2,5 ou 3,78. Logo, é uma variável discreta.
Por outro lado, o peso ou altura dos alunos é uma variável contínua, pois um dos alunos pode pesar tanto 77kg como 82,66kg etc.
Agora veja no quadro abaixo um resumo sobre as variáveis.
 
(Fonte: o Autor)
TEORIA NA PRÁTICA
1. Você seria capaz de identificar os tipos de variáveis na tabela a seguir?
Pesquisa sobre o tratamento de uma doença (Rio de Janeiro)
Indivíduo Município Idade
Estado
civil
Nível de
escolaridade
Tempo de internação em
dias
Renda
familiar
1
Duque de
Caxias
40 Solteiro Fundamental 6 1.000
2 Niterói 25 Casado Médio 4 2.500
3 Rio de Janeiro 67 Casado Superior 9 3.000
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
Variáveis qualitativas nominais: município, estado civil;
Variáveis qualitativas ordinais: nível de escolaridade;
Variáveis quantitativas discretas: idade, tempo de internação em dias;
Variáveis quantitativas contínuas: renda familiar.
DADOS BRUTOS E ROL DE DADOS
Imagine que surge a necessidade de realizar uma pesquisa sobre o tempo de recuperação dos pacientes, em dias, acometidos por uma
doença X e que os dados são expostos de acordo com o quadro abaixo.
2 4 5 7 12 2 20 25
4 4 12 7 10 2 48 33
5 3 24 6 11 4 50 33
9 3 24 5 1 4 51 33
2 3 36 5 1 1 15 11
2 1 3 1 2 1 15 31
1 4 4 1 2 1 16 33
1 2 8 1 5 1 11 33
 Fonte: Elaborado pelo autor.
A princípio, temos uma dificuldade em estabelecer em torno de qual valor tendem a se concentrar os dias de recuperação dos pacientes, ou
ainda a determinar se a recuperação se concentra acima ou abaixo de determinado dia. Isso acontecer por estarmos lidando com dados
brutos, aqueles que ainda não foram numericamente ordenados.
javascript:void(0)
DADOS BRUTOS
São dados primariamente levantados ou reunidos, têm uma característica aleatória.
 SAIBA MAIS
A partir dos dados brutos, você pode organizá-los de forma crescente ou decrescente. Esse arranjo de dados
ordenados é chamado de Rol de dados.
TEORIA NA PRÁTICA
2. Você seria capaz de ordenar os dados da tabela anterior,criando, assim, o rol de dados?
1 1 2 4 5 9 15 33
1 1 2 4 5 10 16 33
1 1 2 4 5 11 20 33
1 1 2 4 5 11 24 33
1 2 3 4 6 11 24 36
1 2 3 4 7 12 25 48
1 2 3 4 7 12 31 50
1 2 3 5 8 15 33 51
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Agora, fica mais fácil identificar quantos pacientes necessitaram de dois dias para se recuperar, por exemplo.
Podemos, também, encontrar facilmente a amplitude total (AT) desta tabela. Para isso, basta subtrair o maior elemento pelo menor
elemento deste rol.
Assim, teremos:
javascript:void(0)
AMPLITUDE TOTAL (AT)
A amplitude total é a diferença entre o maior e o menor valor observado.
AT = L – L 
 
AT = 51 – 1 
 
AT = 50
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA
Um dos objetivos da estatística é o de organizar e resumir os dados coletados e mostrar as informações em forma de tabelas. Portanto, as
tabelas são um dos instrumentos mais usados em análise e interpretação de dados, pois permitem uma conclusão rápida sobre o assunto em
estudo.
 
(Fonte: vinnstock / Shutterstock)
Uma distribuição de frequência pode ser expressa em um tipo de tabela que deve ser completada a partir da coleta de dados com as
informações de:
Frequência Simples (fi);
Frequência Relativa (fri %);
Frequência Acumulada (Fi);
Frequência Acumulada Relativa (Fri %).
FREQUÊNCIA SIMPLES (FI)
A frequência simples, representada por fi indica a ocorrência de vezes que um elemento aparece em uma observação estatística.
TEORIA NA PRÁTICA
Exemplo: Um profissional de saúde coletou a idade dos 25 infectados por uma doença e organizou da seguinte forma:
Rol de Dados
20 25 45 50 60
20 25 45 50 60
20 25 45 50 60
20 30 45 50 60
20 30 45 60 60
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Tabela de distribuição de frequência
Idade (xi) frequência (fi)
20 5
25 3
30 2
45 5
50 4
60 6
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
A partir a coleta de dados, o profissional da saúde pode realizar a tabulação, em que cada elemento é ordenado na coluna Idade, chamada
de xi, e cada ocorrência deste elemento será inserido na coluna frequência simples (fi).
Após a conclusão da tabela, precisamos realizar o somatório da coluna fi. Para isso, utilizamos o símbolo ∑ (sigma) que representa uma auto
soma dos elementos. Assim, podemos dizer que o somatório da frequência simples (∑fi) será 25.
FREQUÊNCIA RELATIVA (FRI %)
A frequência relativa apresenta seus elementos em forma de porcentagem. Para isso, temos uma fórmula:
FRI =
FI 
N X 100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
Neste caso, temos a divisão de cada um dos elementos da série pelo total de elementos. Esse resultado apresenta a participação percentual
do elemento.
Assim, teremos a tabela de distribuição de frequência com a inclusão da coluna frequência relativa (fri):
Idade frequência (fi) Frequência relativa (fri) %
20 5 20
25 3 12
30 2 8
45 5 20
50 4 16
60 6 24
∑fi = 25 ∑fri = 100%
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
fr1 =
f1
n =
5
25 = 0 ,20
fr2=f2n=325=0,12 x 100=12%
fr3=f1n=225=0,08 x 100=8%
fr4=f1n=525=0,20 x 100=20%
fr5=f1n=425=0,16 x 100=16%
fr6=f1n=625=0,24 x 100=24%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O resultado do somatório da coluna fri será um valor igual ou próximo de 100%.
FREQUÊNCIA ACUMULADA DE UM ELEMENTO DA SÉRIE – FI OU FRI
É a soma da frequência simples deste elemento com a frequência simples dos elementos que o antecedem. Ele é utilizado para apresentar o
valor acumulado das frequências.
A frequência simples acumulada é representada por Fi (F maiúsculo).
Já a frequência relativa acumulada é representada por Fri (F também maiúsculo).
Assim, teremos:
Fi = frequência simples acumulada;
FI=F1+F2+F3+…+FI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fri = frequência relativa acumulada.
FRI=FR1+FR2+FR3+…+FRI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Observe a tabela a seguir. Precisamos encontrar a frequência acumulada. Tanto a frequência simples acumulada (fi) como a frequência
relativa acumulada (Fri) estão estabelecidas:
xi fi Fi fri % Fri %
20 5 5 20 20
25 3 8 12 32
30 2 10 8 40
45 5 15 20 60
50 4 19 16 76
60 6 25 24 100
 Fonte: Elaborado pelo autor.
TEORIA NA PRÁTICA
Como chegamos a esses resultados?
Vamos encontrar a frequência simples acumulada (Fi):
Para isso, usaremos como referência a frequência simples. O primeiro elemento desta nova coluna será o primeiro elemento da coluna da
frequência simples. Neste caso, será cinco.
O segundo elemento será o valor anterior, já encontrado, que é o cinco, somado à próxima frequência que é o três. Teremos 5 + 3 = 8, esse
será o valor do segundo elemento da frequência simples acumulada. Agora, basta repetir o processo assim por diante.
RESOLUÇÃO
Veja na fórmula:
Fi=f1+f2+f3+…+fi
F1=f1=5
F2=f1+f2=5+3=8
F3=f1+f2+f3=8+2=10
F6=f1+f2+f3+f4+f5+f6=10+5=15
F7=f1+f2+f3+f4+f5+f6+f7=15+4=19
F8=f1+f2+f3+f4+f5+f6+f7+f8=19+6=25
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último elemento da frequência simples acumulada deve ser igual ao somatório da frequência simples.
TEORIA NA PRÁTICA
Como encontrar a frequência relativa acumulada?
A construção será a mesma da frequência simples acumulada. Contudo, agora, a coluna de referência será a coluna da frequência relativa.
Assim, teremos:
O primeiro elemento desta nova coluna será o primeiro elemento da coluna da frequência relativa. Neste caso, será 20%.
O segundo elemento será o valor anterior, já encontrado, que é 20%, somado à próxima frequência relativa que é o 12%. Teremos 20 + 12 =
32%, esse será o valor do segundo elemento da frequência relativa acumulada. Como antes, o processo continua.
RESOLUÇÃO
Veja na fórmula:
Fri=fr1+fr2+fr3+…+fri
Fr1=fr1=20
Fr2=fr1+fr2=20+12=32
Fr3=fr1+fr2+fr3=32+8=40
Fr4=fr1+fr2+fr3+fr4+fr5+fr6=40+20=60
Fr5=fr1+fr2+fr3+fr4+fr5+fr6+fr7=60+16=76
Fr6=fr1+fr2+fr3+fr4+fr5+fr6+fr7+fr8=76+24=100
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O último elemento da frequência relativa acumulada será um valor igual ou próximo de 100%.
DICA: Utilize duas casas decimais após a vírgula!
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM VARIÁVEL CONTÍNUA
Na construção de uma tabela, com dados de uma variável quantitativa contínua, usamos uma distribuição de frequências com intervalos de
classes quando temos dados com valores dispersos.
 DICA
Tabelas com dados acima de 25 elementos costumam ser melhor empregadas neste tipo de tabela. Para
isso, alguns elementos precisam ser conhecidos, pois há a necessidade de apresentar os dados por meio de
um intervalo de classes.
Anteriormente, na construção de uma tabela, cada um dos elementos que compõem o rol é chamado de xi e cada ocorrência deste valor é
chamado de fi. Nas variáveis contínuas, não temos a figura do xi, não de forma explicita.
 COMENTÁRIO
Com isso, para encontrar o xi utilizamos a fórmula: (L+l)2,em que L é o limite superior e l é o limite inferior.
Mas, onde encontrar esses limites?
Antes de responder, vamos conhecer os elementos essenciais para a construção de uma tabela de distribuição de frequência, com uma
variável contínua.
Já sabemos que as variáveis contínuas são aquelas que expressam valores fracionados. São dados pertencentes a um conjunto dos
números reais, que podem receber valores inteiros e decimais. Assim, precisaremos dos elementos nesta ordem:
 ATENÇÃO
1º – Amplitude total, encontrada pela fórmula: AT=L-l;
2º – Valor de k, encontrado pela fórmula: n;
3º – Número de classes, encontrado pela fórmula: N.classes=ATk.
Vamos ao exemplo:
Um hospital registrou a pressão arterial sistólica (mmHg) de 40 pacientes, conforme rol:
70 90 100 110 123
71 93 102 115 123
73 95 103 115 123
76 97 105 115 123
80 97 105 117 124
81 97 109 117 124
83 99 109 121128
86 99 109 121 128
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Antes de iniciar a montagem da tabela, precisaremos encontrar:
ETAPA 1
1º – Amplitude total, encontrada pela fórmula:
AT=L-l
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AT = 128 (maior valor do ROL) – 70 (menor valor do ROL) = 58 
 
 
 
ETAPA 2
2º – Valor de k, encontrado pela fórmula:
n
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
40=6,32 podemos arredondar este valor para um inteiro, para cima ou para baixo. Vamos arredondar para baixo, ou seja 6. 
ETAPA 3
3º – Número de classes, encontrado pela fórmula:
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
N. classes=ATk
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
N. classes=586 =9,66 podemos também arredondar para um inteiro. Vamos arredondar para cima, ou seja 10. 
 
Assim, podemos criar 10 classes com intervalo de 6 ou 6 classes com intervalo de 10. Vamos optar pela segunda.
Tabela de distribuição de frequência
Número de classes Intervalo de classes Frequência
1 70 Ⱶ 80 4
2 80 Ⱶ 90 4
3 90 Ⱶ 100 8
4 100 Ⱶ 110 8
5 110 Ⱶ 120 6
6 120 Ⱶ 130 10
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Para construir os intervalos, partimos do limite inferior da primeira classe, ou seja, o menor valor presente no rol de dados, neste caso, 70.
Como usaremos o intervalo igual a 10, o limite superior desta primeira classe será 70 + 10 = 80. Para a segunda classe, para o limite inferior,
iremos repetir o 80 da classe anterior e somar ao intervalo.
Assim, teremos: 80 + 10 = 90. Esse será o limite superior da segunda classe. Seguiremos até a construção da sexta classe.
Agora, vamos encontrar a frequência. Para isso, basta consultar o rol e contar os valores dentro de cada intervalo.
Na construção dos intervalos, temos o símbolo Ⱶ que representa fechado à esquerda, aberto à direita. Isso significa que, fechado, inclui o
limite inferior. Aberto, exclui o limite superior.
Observe:
Para a construção da frequência, precisamos contar os valores de cada intervalo, assim temos:
Tipo do intervalo Símbolo Valor incluídos no intervalo
Fechado à esquerda 
Aberto à direita
70 Ⱶ 80 70, 71, 73, 76
 Fonte: Elaborado pelo autor.
No intervalo 70 a 80, temos o limite inferior de 70 e o limite superior de 80. Como o intervalo é fechado à esquerda, podemos incluir o 70.
Porém, no limite superior, como é aberto à direita, não incluímos o 80.
Na contagem da frequência da primeira classe, ao consultarmos o rol, contamos quantos elementos estão presentes neste intervalo. Neste
caso, apenas 4 elementos atendem a esse intervalo. Assim, a frequência da primeira classe será 4.
 DICA
Deve-se proceder da mesma forma para encontrar a frequência relativa, frequência acumulada e frequência
acumulada relativa.
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. UMA GRANDE CLÍNICA RADIOLÓGICA CONTRATOU UMA EMPRESA DE CONSULTORIA NA ÁREA DE
FÍSICA MÉDICA PARA REALIZAR AUDITORIA NAS SALAS DE MAMOGRAFIA. ELA FOI CONSTRUINDO A
DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABAIXO INFORMANDO QUE, DAS OITO SALAS DESTINADAS AO EXAME
DE MAMOGRAFIA, CINCO APRESENTARAM NÃO CONFORMIDADE COMO APRESENTADO A SEGUIR.
MARQUE A OPÇÃO QUE POSSUI A FREQUÊNCIA RELATIVA ACUMULADA.
XI FI FI FRI % FRI %
1 6
2 14
3 16
4 10
5 4
A) 6 | 20 | 36 | 46 | 50
B) 12 | 28 | 32 | 20 | 8
C) 12 | 40 | 72 | 92 | 100
D) 6 | 14 | 16 | 10 | 4
2. OS DADOS A SEGUIR REPRESENTAM O TEMPO DE EXPOSIÇÃO EM 35 TOMÓGRAFOS DE DIFERENTES
COLIMAÇÕES NT PARA O EXAME DE ABDÔMEN. A PARTIR DESSA ANÁLISE, MARQUE A OPÇÃO QUE
APRESENTA A AMPLITUDE TOTAL.
900 2000 4100 4700 4900
1000 2500 4200 4800 4900
1200 2900 4300 4800 4900
1500 3000 4400 4800 4900
1900 3200 4500 4800 4900
2000 4000 4500 4800 4900
2000 4100 4500 4800 4900
A) 4900
B) 900
C) 4000
D) 5800
GABARITO
1. Uma grande clínica radiológica contratou uma empresa de consultoria na área de física médica para realizar auditoria nas salas
de mamografia. Ela foi construindo a distribuição de frequência abaixo informando que, das oito salas destinadas ao exame de
mamografia, cinco apresentaram não conformidade como apresentado a seguir. Marque a opção que possui a frequência relativa
acumulada.
xi fi Fi fri % Fri %
1 6
2 14
3 16
4 10
5 4
A alternativa "C " está correta.
 
A frequência relativa acumulada deve apresentar os valores somados à frequência anterior, usando como base a coluna da frequência
relativa. Assim, teremos: 12 | 40 | 72 | 92 | 100.
2. Os dados a seguir representam o tempo de exposição em 35 tomógrafos de diferentes colimações NT para o exame de abdômen.
A partir dessa análise, marque a opção que apresenta a amplitude total.
900 2000 4100 4700 4900
1000 2500 4200 4800 4900
1200 2900 4300 4800 4900
1500 3000 4400 4800 4900
1900 3200 4500 4800 4900
2000 4000 4500 4800 4900
2000 4100 4500 4800 4900
A alternativa "C " está correta.
 
A Amplitude total, encontrada pela fórmula:
AT=L-L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
AT = 4900 (maior valor do ROL) – 900 (menor valor do ROL) = 4000
MÓDULO 2
 Aplicar as medições de posição ou tendência central
A IMPORTÂNCIA DA MÉDIA NO CONTROLE DA QUALIDADE
MEDIDAS DE POSIÇÃO OU TENDÊNCIA CENTRAL
As medidas de tendência central são usadas para sumarizar um conjunto de dados em um único valor. Procura-se definir um valor que
represente bem a distribuição da variável de interesse. Se a distribuição for do tipo simétrica, ou seja, quando as observações estão
igualmente distribuídas em torno de um valor (metade acima e metade abaixo), você pode usar a medida de tendência central conhecida
como média aritmética.
 
(Fonte: PopTika / Shutterstock)
Uma medida de tendência central ou posição de um conjunto de dados mostra o valor em torno do qual se agrupam as observações.
A seguir você conhecerá as três medidas de tendência central mais utilizadas: média, mediana e moda.
Medidas Significado
Média Valor que representa o ponto de equilíbrio.
Moda Valor que representa a frequência que mais se repete.
Mediana Valor que separa um conjunto de dados em duas partes iguais, o elemento meio que representa 50%.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
CONCEITOS
MÉDIA
É usada quando a distribuição dos dados for simétrica, tendo em vista que ela é influenciada por valores extremos. A média pode ser obtida
pelo quociente da soma de todos os dados do experimento e o número total de dados. Existem vários tipos de média, mas focaremos nosso
estudo na média aritmética simples, de modo geral, a mais importante de todas elas.
 SAIBA MAIS
A média aritmética simples é calculada por meio da soma de todos os elementos dividida pela quantidade de
elementos. Para o cálculo, somam-se todos os valores e, em seguida, divide-se pelo número de observações
(n).
A fórmula é dada por:
X¯=∑XIN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lê-se: x barra é igual ao somatório de xi divido por n.
Imagine que temos um grupo de elementos: 2, 4, 6, 8 e nosso objetivo é calcular a média. Teremos:
X¯=∑(2+4+6+8)4=5
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
TEORIA NA PRÁTICA
O nutricionista do Núcleo de Apoio à Saúde da Família (NASF) de um município coletou o número de paciente mulheres atendidas na
Unidade Básica de Saúde, durante 5 dias. Obtendo os seguintes valores: 6; 8; 7; 5; 9. Calcule a média dos atendimentos.
X¯=∑6+8+7+5+95=7
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
RESOLUÇÃO
O cálculo da média, para um pequeno grupo de dados, é relativamente simples. Basta somar todos os elementos e dividir pela quantidade.
Contudo, caso tenhamos um grupo maior de dados, podemos agrupá-los em formato de uma tabela de distribuição de frequência. O modo
mais prático de obtenção da média com os dados agrupados é abrir, na tabela, uma colunacorrespondente aos produtos xifi, temos a
fórmula:
X¯=∑XIFI∑FI
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lê-se: Somatório de xi multiplicado fi, dividido pelo somatório de fi.
EXEMPLO
xi fi xifi
0 2 0
1 6 6
2 10 20
3 12 36
4 4 16
∑ 34 78
 Fonte: Elaborado pelo autor.
∑XIFI=78
∑FI=34
X¯=∑XIFI∑FI=7834=2,29=2,30
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÉDIA ARITMÉTICA COM INTERVALO DE CLASSE
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA Xifi xi
150 Ⱶ 154 4 608 152
154 Ⱶ 158 9 1404 156
158 Ⱶ 162 11 1760 160
162 Ⱶ 166 8 1312 164
166 Ⱶ 170 5 840 168
170 Ⱶ 174 3 516 172
TOTAL 40 6440 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
O cálculo da média aritmética simples, com intervalo de classe, tem a mesma fórmula. Somatório de todos os elementos do produto xifi,
dividido pelo somatório da frequência simples, que também será o valor de n.
X¯=∑XIFI∑FI=644040=161CM
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MODA
Representa o valor mais frequente em uma distribuição, ou seja, aquele valor que mais se repete. Ela só é uma boa medida de tendência
central em distribuições simétricas com um tamanho amostral grande.
Em distribuições pequenas, tende a assumir valores afastados do centro, por essa razão é muito pouco usada.
Se mais de um valor se repete com a mesma frequência, isso significa que não temos frequência significativa, a distribuição será amodal, ou
seja, ausência de moda.
Para determinar o valor da moda de uma série de observações, devemos organizar os dados em formato de rol e verificar qual o número que
tem a maior ocorrência.
Exemplos:
UNIMODAL
1 ; 4 ; 4 ; 4 ; 5 ; 5 ; 7 ; 9 ; 12.
Apenas o número quatro tem maior frequência.
BIMODAL
3 ; 3 ; 3 ; 3 ; 4 ; 4 ; 4 ; 4.
Temos agora, dois números que se repetem a mesma quantidade de vezes. Se, por acaso, um dos números se repetisse em quantidade
menor, a moda seria Unimodal.
AMODAL
1; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 10 ; 12.
Se mais de um valor se repete com a mesma frequência, isso significa que não temos frequência significativa, a distribuição será amodal, ou
seja, ausência de moda. Todos os números têm apenas a frequência 1.
MODA COM INTERVALO DE CLASSES
Para encontrar a moda em uma tabela com intervalo de classes, precisamos encontrar a classe com a maior frequência, depois aplicamos a
fórmula. Esse asterisco ( * ), que aparece na fórmula, significa que a moda será calcula pelos intervalos da classe com maior frequência,
também chamada de classe modal.
MO=(L *+ L*)2
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l* é o limite inferior da classe modal;
L* é o limite superior da classe modal.
TEORIA NA PRÁTICA
Com base na tabela a seguir, calcule a moda.
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA Xifi xi
150 Ⱶ 154 4 608 152
154 Ⱶ 158 9 1404 156
158 Ⱶ 162 11 1760 160
162 Ⱶ 166 8 1312 164
166 Ⱶ 170 5 840 168
170 Ⱶ 174 3 516 172
TOTAL 40 6440 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
Antes de calcular a moda, precisamos encontrar a classe modal. Essa classe é a terceira, pois tem a maior frequência. Agora, basta realizar
a média aritmética simples do seu intervalo:
MO=(L*+ L*)2
MO=(158+162)2
MO=3202=160CM
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MEDIANA
A mediana (Md) é usada quando a distribuição dos dados for assimétrica, pois ela é uma medida de posição (ou posto). A mediana não leva
em conta a magnitude das observações, tendo em vista que ela se baseia apenas na ordenação dos valores e não na sua expressão
numérica. Assim, perde-se informação quando se usa mediana.
Ela também divide a distribuição ou conjunto de dados em duas partes iguais. Para aplicar a medida da mediana é necessário que a variável
possa ser ordenada em forma de um rol.
Veja o exemplo, de como encontrar a mediada de dados não agrupados:
Dada uma série de valores:
5, 13, 10, 2, 18, 15, 6, 16, 9
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é ordenar os valores:
2, 5, 6, 9, 10, 13, 15, 16, 18. Md = 10
Número ímpar de observações:
É o valor do item médio ou central.
Ex.: 4; 7; 8; 9; 12; 13; 17
A mediana é 9.
Número par de observações:
Quando os números são pares, tem-se dois elementos centrais e a mediana será a média aritmética.
Ex.: 4; 7; 8; 10; 12; 13; 17; 20
A mediana será:
MD=(10+12)2
MD=222
MD=11
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MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS SEM INTERVALO DE CLASSES
Precisamos identificar a frequência acumulada imediatamente superior à metade da soma das frequências. A mediana será aquele valor da
variável que corresponde a tal frequência acumulada.
 
(Fonte: o Autor)
Md = 2 meninos
No caso de existir uma frequência acumulada (F1), tal que:
FI=(ΣF1)÷2
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A mediana será dada por:
MD=[(XI+XI+1)]÷2
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(Fonte: o Autor)
Sendo:
(∑FI)÷2=8÷2=4
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Logo:
MD=(15+16)÷2
=31÷2=
=15,5
MD=15,5 MENINOS
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MEDIANA DE DADOS AGRUPADOS COM INTERVALO DE CLASSES
Na prática, devemos seguir 3 passos:
1º – Determinar as frequências acumuladas (Fi);
2º – Calcular ∑fi2;
3º – Identificar a classe correspondente à frequência acumulada imediatamente anterior, em seguida aplicar a fórmula:
MD=L+(∑FI2-FI(ANTERIOR).HFI
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EXEMPLO
 
(Fonte: o Autor)
MD=L*+(∑FI2-FI(ANTERIOR).H*FI*
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Com base na fórmula, vamos identificar seus elementos?
l*→ limite inferior, o asterisco significa que será da classe que tiver a maior frequência; neste caso, a terceira classe tem a maior frequência
11. O limite inferior desta classe é 30.
∑fi2 a Somatório das frequências dividido por 2.
Fi(anterior) → Frequência acumulada anterior, identifique a classe com a maior frequência. Agora, identifique a frequência acumulada. Por
último, a fórmula pede a anterior que é 13.
h* → amplitude da classe com maior frequência. A amplitude será a subtração do limite superior pelo limite inferior. Lembra-se do
asterisco? Então, significa classe com a maior frequência;
fi* → maior frequência da tabela, ou seja, 11.
Agora, basta substituir e resolver a fórmula:
MD=30+(402-13).1011
RESPOSTA: MD=36,36
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VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. CONSIDERE A SÉRIE DE MEDIDAS A SEGUIR PARA AS DOSES DE ENTRADA NA PELE (DEP), EM MGY,
PARA UM MAMÓGRAFO 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8. MARQUE A OPÇÃO QUE APRESENTA A MÉDIA, A MODA E A
MEDIANA, RESPECTIVAMENTE:
A) 7 | 8 | 7
B) 5 | 6 | 7
C) 6 | 7 | 8
D) 7 | 7 | 7
2. A DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA ABAIXO INDICA A QUANTIDADE DE RADIOGRAFIAS QUE FORAM
FEITAS EM PACIENTES DE IDADES COMPREENDIDAS ENTRE 5 A 11 DIARIAMENTE. A MÉDIA ARITMÉTICA É
APROXIMADAMENTE?
XI FI
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
A) 16,7
B) 5,489
C) 8,06
D) 11,0
GABARITO
1. Considere a série de medidas a seguir para as doses de entrada na pele (DEP), em mGy, para um mamógrafo 5, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 8, 8.
Marque a opção que apresenta a média, a moda e a mediana, respectivamente:
A alternativa "A " está correta.
 
Para encontrar as medidas de tendência central em dados não agrupados a partir do rol, devemos observar:
Média: Soma dos elementos dividido pela quantidade = 7;
Moda: O elemento que mais se repete = 8;
Mediana: Ao dividir o grupo em partes iguais, será o elemento central = 7.
2. A distribuição de frequência abaixo indica a quantidadede radiografias que foram feitas em pacientes de idades compreendidas
entre 5 a 11 diariamente. A média aritmética é aproximadamente?
xi fi
5 2
7 3
8 5
9 4
11 2
A alternativa "C " está correta.
 
O cálculo da média aritmética simples, com dados agrupados, tem a mesma fórmula:
X¯=∑XIFI∑FI=12916=8,062
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Somatório de todos os elementos do produto xifi dividido pelo somatório da frequência simples, que também será o valor de n.
MÓDULO 3
 Aplicar as medições de dispersão
MEDIDAS DE DISPERSÃO
As medidas de tendência central (média, moda e mediana) fornecem um resumo parcial das informações de um conjunto de dados.
A necessidade de uma medida de variação é aparente, para que nos permita, por exemplo, comparar conjuntos diferentes de valores.
Algumas características desta medida devem ser atendidas como veremos a seguir.
 
(Fonte: higyou / Shutterstock)
CONCEITOS
AMPLITUDE
É definida como a diferença entre o mais alto valor (estatística denominada máximo) e o mais baixo valor (estatística denominada mínimo). A
amplitude, portanto, só considera os extremos (valor máximo e valor mínimo) e pode não captar bem a situação verdadeira.
javascript:void(0)
AMPLITUDE
A amplitude de uma amostra é a diferença entre o máximo e o mínimo.
 EXEMPLO
Para os valores 25, 29, 38, 51, 52, 77 e 80, temos:
AT=L-L
AT=80 –25=55
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Quanto maior a amplitude total, maior a dispersão ou variabilidade dos valores da variável.
VARIÂNCIA E DESVIO-PADRÃO
No estudo da Estatística, dispomos de algumas estratégias para verificar se os valores apresentados em um conjunto de dados estão
dispersos ou não e o quão distantes um do outro eles podem estar. As ferramentas empregadas para que isso seja possível são classificadas
como medidas de dispersão e denominadas de variância e desvio-padrão.
A variância mede o afastamento de cada valor em relação à média. Matematicamente, mede o afastamento ao quadrado de cada valor em
relação à média e pode ser definida como a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra.
Pode ser calculada da seguinte forma:
Variância amostral:
S2=(∑XI-X)2N-1
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Variância populacional:
S2=(∑XI-X)2N
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TEORIA NA PRÁTICA
Foram obtidos os seguintes desvios em relação à média dos dados do estudo sobre a avaliação do índice de massa corporal (IMC) em
adolescentes de uma escola pública. Os dados são apresentados a seguir.
IMC xi - x (xi - x)2
21,76 1,91 3,65
20,56 0,71 0,50
21,43 1,58 2,50
22,33 2,48 6,15
22,53 2,68 7,18
18,34 -1,51 2,28
17,32 -2,53 6,40
16,22 -3,63 13,18
18,43 -1,42 2,02
19,58 -0,27 0,07
Média = 19,85 - Soma = 43,93
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
S2=(∑XI-X)2N-1
S2=43,9310-1
S2=43,939
S2=4,88
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DESVIO-PADRÃO
O desvio-padrão representa a raiz quadrada da variância. Calcula a média da dispersão (afastamento) dos valores em relação à média. Em
outras palavras, é a raiz quadrada da média dos desvios ao quadrado de cada valor em relação à média. Tem a vantagem de voltar a variável
ao seu valor original, por essa razão é mais usada do que a variância.
A variância não vem representada na mesma unidade das observações. Se tomarmos a raiz quadrada da variância, obtemos o desvio-
padrão que também é uma medida de dispersão e vem na mesma unidade das observações.
DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS NÃO AGRUPADOS
S=∑XI2N-(∑XIN)2
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TEORIA NA PRÁTICA
Tomemos como exemplo o conjunto de valores da variável x:
40, 45, 48, 52, 54, 62, 70
O modo mais prático para se obter o desvio-padrão é formar uma tabela com duas colunas, assim como fizemos na variância, uma para xi e
outra para xi2.
xi xi2
40 1600
45 2025
48 2304
52 2704
54 2916
62 3844
70 4900
∑xi = 371 ∑xi2 = 20.293
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
S=202937-(3717)2
S=2899-532
S=90=9,486
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DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS AGRUPADOS
Como, neste caso, temos a presença de frequências, temos que levá-las em consideração, resultando na fórmula:
S=∑FIXI2N-(∑FIXIN)2
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TEORIA NA PRÁTICA
O modo mais prático de se obter o desvio-padrão é abrir, na tabela dada, uma coluna para os produtos fixi e outra para fixi2.
Exemplo:
xi fi fixi fixi2 xi2
0 2 0 0 0
1 6 6 6 1
2 12 24 48 4
3 7 21 63 9
4 3 12 48 16
Σ 30 63 165 -
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
S=16530-(6330)2
S=5,5-4,41
S=1,09=1,044
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DESVIO-PADRÃO – MÉTODO PRÁTICO DADOS AGRUPADOS COM
INTERVALO DE CLASSES
ESTATURAS EM CM FREQUÊNCIA xi xi2 fixi fixi2
150 Ⱶ 154 4 152 92416 608 92416
154 Ⱶ 158 9 156 219024 1404 219024
158 Ⱶ 162 11 160 281600 1760 281600
162 Ⱶ 166 8 164 215168 1312 215168
166 Ⱶ 170 5 168 141120 840 141120
170 Ⱶ 174 3 172 88752 516 88752
TOTAL 40 6440 1038080
 Fonte: Elaborado pelo autor.
S=1.038.08040-(644040)2
S=25.952-25.921
S=31=5,567
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COEFICIENTE DE VARIAÇÃO (CV)
O coeficiente de variação (CV) representa a dispersão dos dados em termos relativos, ou seja, expressa a variabilidade dos dados tirando a
influência da ordem de grandeza da variável, por meio da comparação do desvio-padrão (s) com a média (x).
Trata-se de um dado adimensional, ou seja, um número puro, usualmente expresso em porcentagem. É zero quando não há variabilidade
entre os dados, isto é, quando s = 0, o que ocorre quando todos os valores da amostra são iguais. É útil para fornecer uma medida de
homogeneidade do conjunto de dados. Assim, quanto mais baixo o coeficiente de variação, mais homogêneo é o conjunto de dados. Trata-se
de uma forma simples de calcular a dispersão, e por não ter unidade de medida, permite a comparação de variáveis com unidades e médias
diferentes.
 DICA
O CV leva em consideração tanto a medida de dispersão absoluta (desvio-padrão) quanto a média da série.
É uma medida de dispersão mais completa que uma medida absoluta.
Na comparação entre dois ou mais conjuntos de dados, o conjunto com a maior dispersão relativa apresenta a maior dispersão de dados no
geral. A medida de dispersão relativa prevalece sobre a medida de dispersão absoluta.
Fórmula:
CV=SX×100
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 ATENÇÃO
Onde:
CV é o coeficiente de variação;
S é o desvio padrão;
x é a média dos dados.
TEORIA NA PRÁTICA
Considere os resultados das medidas das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
x s
Estaturas 175cm 5,0cm
PESOS 68kg 2,0kg
 Fonte: Elaborado pelo autor.
RESOLUÇÃO
CVE=5,0175×100=2,85%
CVP=2,068×100=2,94%
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MEDIÇÃO DE INCERTEZAS
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. A VARIÂNCIA MEDE O AFASTAMENTO DE CADA VALOR EM RELAÇÃO À MÉDIA. MATEMATICAMENTE,
MEDE O AFASTAMENTO AO QUADRADO DE CADA VALOR EM RELAÇÃO À MÉDIA. O DESVIO–PADRÃO DE
UM CONJUNTO DE DADOS É 9. A VARIÂNCIA É:
A) 3
B) 36
C) 81
D) 18
2. SUPONHA QUE UMA CLÍNICA RADIOLÓGICA TENHA DUAS SALAS DE RAIOS. NA SALA X, O TEMPO
MÉDIO DE EXPOSIÇÃO É DE 1.000MS E O DESVIO-PADRÃO É IGUAL A 20MS. NA SALA Y, O TEMPO MÉDIO É
DE 500MS E O DESVIO-PADRÃO IGUAL A 5MS. 
 
ADMITA QUE CVX É O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA FILIAL X, E CVY, O COEFICIENTE DE VARIAÇÃO DA
FILIAL Y. 
 
MARQUE A OPÇÃO DE REPRESENTA,RESPECTIVAMENTE, OS VALORES DO CVX E DO CVY PARA O
TEMPO DE EXPOSIÇÃO.
A) CVX = 1% e CVY = 5%
B) CVX = 2,7% e CVY = 1,8%
C) CVX = 5% e CVY = 4%
D) CVX = 2% e CVY = 3%
GABARITO
1. A variância mede o afastamento de cada valor em relação à média. Matematicamente, mede o afastamento ao quadrado de cada
valor em relação à média. O desvio–padrão de um conjunto de dados é 9. A variância é:
A alternativa "C " está correta.
 
A variância é a média dos quadrados dos desvios das observações em relação à média da amostra. O desvio-padrão representa a raiz
quadrada da variância. Dessa forma, para encontrar a variância basta elevar o 9 ao quadrado. Resultado 81.
2. Suponha que uma clínica radiológica tenha duas salas de raios. Na sala X, o tempo médio de exposição é de 1.000ms e o desvio-
padrão é igual a 20ms. Na sala Y, o tempo médio é de 500ms e o desvio-padrão igual a 5ms. 
 
Admita que CVX é o coeficiente de variação da filial X, e CVY, o coeficiente de variação da filial Y. 
 
Marque a opção de representa, respectivamente, os valores do CVX e do CVY para o tempo de exposição.
A alternativa "D " está correta.
 
Para resolver essa questão, basta aplicar a fórmula do coeficiente de variação:
CV=SX×100
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CVX=201000×100=2%
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CVY=15500×100=3%
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MÓDULO 4
 Aplicar testes estatísticos para tomada de decisões
ESTATÍSTICA INFERENCIAL
 
(Fonte: everything possible / Shutterstock)
A Estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: a estatística descritiva e a inferência estatística. Na inferência estatística,
utilizamos dados amostrais para fazer estimativas, testar hipóteses e fazer previsões sobre características de uma população.
Uma amostra constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características essenciais.
 
(Fonte: Iamnee / Shutterstock)
CONCEITOS
TESTES DE HIPÓTESES
Neste módulo, vamos concentrar nossos estudos no teste de hipóteses, o qual é um procedimento padrão para se testar uma afirmativa
sobre uma propriedade da população (OLIVEIRA, 2018).
HIPÓTESES
Segundo o dicionário Michaelis, hipótese pode ser definida como uma suposição, com base em evidências, que se pretende explicar ou
prever certas observações ou fatos cuja comprovação depende de investigações posteriores.
 EXEMPLO
Com base em estudos anteriores, sabe-se que o efeito imunológico de determinada vacina se prolonga por
mais de um ano em apenas 20% das pessoas que a tomam. Uma nova vacina foi desenvolvida para a
mesma finalidade, sendo necessário testar sua eficácia sobre a atual, ou seja, se a proporção de pessoas
imunizadas após um ano é maior que 20%. Como a eficácia da vacina varia de pessoa para pessoa,
precisamos utilizar algum método estatístico para chegarmos a uma conclusão.
Por meio de um teste de hipóteses, tomamos decisões em presença da variabilidade, ou seja, verificamos se estamos diante de uma
diferença real ou de uma diferença que se deve simplesmente pela flutuação aleatória do processo.
javascript:void(0)

Para testarmos uma hipótese estatística, devemos estabelecer um par de hipóteses. Uma delas representa uma afirmativa e a outra, o
contrário.

A hipótese que contém a afirmativa de igualdade é a hipótese nula (representada por H0) e o complemento da hipótese nula é a hipótese
alternativa (representada por H1 ou Ha).
Representamos a hipótese alternativa usando um desses operadores: <, > ou ≠.
Vamos supor, se uma afirmativa para a média populacional é que ela assume o valor k, alguns pares possíveis de hipótese nula e alternativa
são:
{H0:Μ=KH1:Μ≠K
{H0:Μ=KH1:Μ>K
{H0:Μ=KH1:Μ<K
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
“SE VOCÊ ESTÁ FAZENDO UM ESTUDO E DESEJA USAR UM TESTE DE
HIPÓTESES PARA APOIAR SUA AFIRMATIVA, ESTA DEVE SER ESCRITA DE
MODO A SE TORNAR A HIPÓTESE ALTERNATIVA (E DEVE SER EXPRESSA
USANDO APENAS OS SÍMBOLOS <, > OU ≠)".
(TRIOLA, 2017, p. 376)
Ou seja, você não deve apoiar uma afirmativa de que um parâmetro seja igual a algum valor específico.
EXEMPLO 1
Um fabricante afirma que sua vacina previne 80% dos casos de certa doença. Um grupo de médicos desconfia que a vacina não seja tão
eficiente assim. Indique a hipótese que está sendo testada.
{H0:Ρ=0,80H1:Ρ<0,80
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Indicamos a proporção populacional por ρ - Rô. O fabricante afirma sobre o parâmetro que a proporção de casos prevenidos pela vacina é de
80%. Como o grupo de médicos desconfia que a vacina não seja eficiente assim, a hipótese alternativa será p < 0,80.
EXEMPLO 2
Um fabricante de bateria para automóveis alega que a vida média de um determinado modelo é de 48 meses. Um proprietário de automóvel
deseja testar essa afirmação. Qual hipótese deverá ser testada neste caso?
{H0:Μ=48H1:Μ≠48
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A média populacional é representada por μ - Mi. O proprietário deseja testar a afirmação do fabricante (de que a vida média da bateria é de
48 meses), portanto utilizamos o símbolo ≠ na hipótese alternativa.
EXEMPLO 3
Uma empresa instalou um equipamento antipoluição sonora com o objetivo de manter o ruído médio abaixo de 65 decibéis. O sindicato
decide testar se o equipamento está ou não cumprindo sua função.
{H0:Μ=65H1:Μ<65
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A empresa afirma que o equipamento instalado mantém o ruído médio abaixo de 65 decibéis. O sindicato deseja testar se o ruído médio está
abaixo de 65 decibéis após a instalação do equipamento, portanto utilizamos na hipótese alternativa o símbolo <.
TESTE DE HIPÓTESES PARA A MÉDIA POPULACIONAL
Agora, além da realização de um teste de hipóteses (H0 e H1), precisamos seguir algumas etapas. Para isso, os seguintes conceitos são
imprescindíveis:
Erros do tipo I e II;
Nível de significância;
Estatística de teste;
Região crítica;
Valor crítico;
Conclusão do teste baseado no método tradicional ou do valor p.
 DICA
Mas atenção, quando realizamos um teste de hipóteses, estamos utilizando dados de uma amostra.
Devemos, então, aceitar o fato de que a decisão de rejeitar ou não H0 pode estar incorreta.
A única maneira de se ter certeza de que H0 é verdadeira ou falsa é testar toda a população e sabemos que
isso é quase impossível, dependendo do tamanho da sua população.
Assim, quando realizamos um teste de hipóteses, dois erros podem ser cometidos:
Rejeitar a hipótese H0, quando tal hipótese é verdadeira;
Não rejeitar a hipótese H0, quando ela deveria ser rejeitada.
Na realização de um teste de hipóteses, temos os resultados possíveis:
Situação
Decisão
H0 é verdadeira H0 é falsa
Rejeitar H0 Erro tipo I Decisão correta
Não rejeitar H0 Decisão correta Erro tipo II
 Fonte: Elaborado pelo autor.
A probabilidade de cometermos o erro do tipo I é denotada por α – Alfa – e a probabilidade de cometermos o erro do tipo II é denotada por β
– Beta.
Desejamos que as probabilidades α e β sejam próximas de zero, à medida que diminuímos o erro do tipo I, a probabilidade de erro do tipo II
tende a aumentar.
 DICA
Ao definir as hipóteses, o erro mais importante a ser evitado é o erro do tipo I.
A probabilidade máxima permitida de ocorrer um erro do tipo I é denominada nível de significância. As
escolhas comuns para α são 0,05; 0,01 e 0,10.
Após a identificação das hipóteses nula e alternativa e da especificação do nível de significância, utilizamos dados de uma amostra aleatória
para calcular o valor da estatística de teste.
Utilizamos as seguintes estatísticas de teste para a média:
ESTATÍSTICA DE TESTE CONDIÇÕES
z = x- μ σn
A amostra é uma amostra aleatória simples;
O valor do desvio-padrão populacionalσ é conhecido;
Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a população é normalmente
distribuída ou n > 30.
t = x- μ sn
A amostra é uma amostra aleatória simples;
O valor do desvio-padrão populacional σ não é conhecido.
O número de graus de liberdade
(g.l.) é n – 1
Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a população é normalmente
distribuída ou n > 30.
 Fonte: Elaborado pelo autor.
Um teste de hipóteses pode ser bicaudal (ou bilateral), unilateral à esquerda (monocaudal esquerdo) ou unilateral à direita (monocaudal
direito). A identificação de cada um destes tipos é feita por meio da hipótese alternativa. Temos:
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
< Teste unilateral à esquerda
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
> Teste unilateral à direita
 
(Fonte: o Autor)
Sinal usado em H1: 
≠ Teste bilateral
EXEMPLO
Um laboratório farmacêutico lançou no mercado um novo medicamento contra dor de cabeça, retirando de circulação o antigo, com a
justificativa de que este novo medicamento tem ação mais rápida. O antigo medicamento tinha um tempo médio de 30 minutos para o início
do efeito. Em uma amostra aleatória de 35 pessoas que tomaram o novo medicamento, obteve-se um tempo médio de 27 minutos, com
desvio-padrão de 4 minutos. Teste a eficácia do novo medicamento, ao nível de 5%.
Resposta:
Neste estudo, temos uma amostra aleatória de 35 pessoas. Não conhecemos o desvio-padrão populacional e o tamanho amostral é n > 30.
Portanto, os requisitos necessários para a realização do teste de hipóteses para a média populacional com σ desconhecido estão satisfeitos.
Agora, vamos aos passos necessários para a realização do teste:
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
1º PASSO
Hipóteses:
{H0:Μ=30H1:Μ<30
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
2º PASSO
O nível de significância geralmente informado é:
Α=0,05(5%/100)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
3º PASSO
Estatística de teste, por se tratar de amostra:
T = X- Μ SN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores, teremos:
T = 27 - 30 435
T = 27 - 30 45,916
T = 27 - 30 0,6761
T = -3 0,6761
T = -4,4371
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
4º PASSO
O número de grau de liberdade é:
N–1=35–1=34
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
5º PASSO
Buscar o valor crítico:
TC=–1,691
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
(Fonte: Sunflowerr / Shutterstock)
6º PASSO
Conclusão:
 
(Fonte: o Autor)
Como o teste é unilateral à esquerda (pois, H1 contém o sinal <), o valor crítico é encontrado levando em conta o nível de significância que
está na última linha da tabela. Por isso, escolhemos a terceira coluna (α=0,05).
Rejeitamos H0 se t<tc. Como –4,4371<–1,691, a estatística de teste está na área de rejeição. Portanto, rejeitamos H0, ou seja, os dados
amostrais fornecem evidências suficientes para se concluir que o tempo médio de ação do novo medicamento é inferior ao tempo médio de
ação do antigo medicamento.
INFERÊNCIA ESTATÍSTICA
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1.POR MEIO DE UM TESTE DE HIPÓTESES, TOMAMOS DECISÕES EM PRESENÇA DA VARIABILIDADE, OU
SEJA, VERIFICAMOS SE ESTAMOS DIANTE DE UMA DIFERENÇA REAL OU DE UMA DIFERENÇA DEVIDA
SIMPLESMENTE À FLUTUAÇÃO ALEATÓRIA AO PROCESSO. PARA UTILIZAR O TESTE PARA A
POPULAÇÃO, PRECISAMOS ANALISAR ALGUMAS AÇÕES. MARQUE A OPÇÃO INCORRETA.
A) A amostra é uma amostra aleatória simples.
B) O valor do desvio-padrão populacional σ é conhecido.
C) Pelo menos uma das condições seguintes é verdadeira: a população é normalmente distribuída ou n > 30.
D) O valor do desvio-padrão populacional σ não é conhecido.
2. UM TESTE DE HIPÓTESES PODE SER BICAUDAL (OU BILATERAL), UNILATERAL À ESQUERDA
(MONOCAUDAL ESQUERDO) OU UNILATERAL À DIREITA (MONOCAUDAL DIREITO). A IDENTIFICAÇÃO DE
CADA UM DESSES TIPOS É FEITA POR MEIO DA HIPÓTESE ALTERNATIVA. EM UM TESTE BILATERAL, O
SINAL UTILIZADO EM H1 SERÁ:
A) Sinal usado em H1: < Teste bilateral
B) Sinal usado em H1: > Teste bilateral
C) Sinal usado em H1: ≠ Teste bilateral
D) Sinal usado em H1: >= Teste bilateral
GABARITO
1.Por meio de um teste de hipóteses, tomamos decisões em presença da variabilidade, ou seja, verificamos se estamos diante de
uma diferença real ou de uma diferença devida simplesmente à flutuação aleatória ao processo. Para utilizar o teste para a
população, precisamos analisar algumas ações. Marque a opção INCORRETA.
A alternativa "D " está correta.
 
Ao analisar o teste de hipótese, temos como ação “O valor do desvio-padrão populacional σ é conhecido” como condição para realização do
teste em uma amostra. Portanto, a alternativa D está incorreta.
2. Um teste de hipóteses pode ser bicaudal (ou bilateral), unilateral à esquerda (monocaudal esquerdo) ou unilateral à direita
(monocaudal direito). A identificação de cada um desses tipos é feita por meio da hipótese alternativa. Em um teste bilateral, o sinal
utilizado em H1 será:
A alternativa "C " está correta.
 
Em um teste bilateral, o sinal utilizado em H1 será Sinal usado em H1: ≠ Teste bilateral.
CONCLUSÃO
CONSIDERAÇÕES FINAIS
Este tema apresentou os conceitos da estatística e sua utilização como ferramenta de apoio aos tomadores de decisões. Por fim, foi
apresentada uma introdução breve sobre testes de hipóteses estatísticos.
AVALIAÇÃO DO TEMA:
REFERÊNCIAS
FERREIRA, Valéria Aparecida. Estatística Básica. Rio de Janeiro: Seses, 2015.
OLIVEIRA, Uanderson Rébula de. Estatística I (para leigos): aprenda fácil e rápido. São Paulo: Edição do Autor – Saraiva Publique-se,
2017.
_____. Estatística II (para leigos): aprenda fácil e rápido. São Paulo: Edição do Autor – Saraiva Publique-se, 2019.
_____. O que é estatística inferencial? Profes, 2018. Consultado em meio eletrônico em: 7 jul. 2020.
PADILHA, Luana Lopes. Fundamentos de Estatística e Epidemiologia. Rio de Janeiro: Seses, 2019.
PINNTO, Marcos. Estatística Básica: para quem não é especialista. Fortaleza/Arquivo Kindle, 2019.
SOARES, Elisângela. Fundamentos de Estatística. Rio de Janeiro: Seses, 2015.
TRIOLA, Mario F. Introdução à Estatística. 12. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2017.
EXPLORE+
Para saber mais sobre os assuntos tratados neste tema, acesse:
Leia o texto Importância da estatística para o processo de conhecimento e tomada de decisão, de Sérgio Aparecido Ignácio;
Para verificar as aplicações das operações apresentadas nesse tema no Excel acesse o passo a passo clicando aqui.
CONTEUDISTA
Rafael Monteiro
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 CURRÍCULO LATTES
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