curso-142579-aula-06-v1

Prévia do material em texto

Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 06
15 de Junho de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
1 
 
Sumário 
1. Momentos de uma Distribuição de Frequências .................................................................................... 3 
2. Assimetria ................................................................................................................................................ 4 
3. Curtose .................................................................................................................................................. 11 
4. Lista de Questões de Concursos sem Comentários .............................................................................. 14 
5. Gabarito sem comentário ...................................................................................................................... 18 
6. Lista de Questões de Concursos com Comentários ............................................................................. 19 
Considerações Finais .................................................................................................................................... 29 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
2 
 
 
 
 
Para tirar dúvidas e ter acesso a dicas e conteúdos gratuitos, acesse minhas redes 
sociais: 
Instagram - @profguilhermeneves 
https://www.instagram.com/profguilhermeneves 
 
Canal do YouTube – Prof. Guilherme Neves 
https://youtu.be/gqab047D9l4 
 
E-mail: profguilhermeneves@gmail.com 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
3 
 
1. MOMENTOS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIAS 
 
Consideremos 𝑥", 𝑥$, … , 𝑥& os 𝑛 valores assumidos por uma variável 𝑋. 
 
O momento de ordem 𝑡 em relação a uma constante 𝑎 é definida como 
 
𝑀,- =
∑(𝑥1 − 𝑎),
𝑛 
 
Observe que 𝑥1 − 𝑎 são os desvios dos valores em relação à constante 𝑎. Para calcular o 
momento, devemos elevar cada desvio a 𝑡 e depois calcular a média dos valores. 
 
Se a constante 𝑎 for a média das observações, teremos o momento centrado em relação à média 
de ordem 𝑡 (ou simplesmente momento centrado de ordem 𝑡). 
 
𝑀, =
∑(𝑥1 − �̅�),
𝑛 
 
É interessante notar que o primeiro momento em relação à média é sempre zero. Basta lembrar 
que a soma dos desvios em relação à média é sempre igual a zero. 
 
𝑀" =
∑(𝑥1 − �̅�)"
𝑛 = 0 
 
Observe ainda que o momento central em relação à média de ordem 2 é justamente a variância 
das observações. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
4 
 
 
𝑀$ = 𝜎$ =
∑(𝑥1 − �̅�)$
𝑛 
 
Os momentos podem ser utilizados para o cálculo de medidas de assimetria e curtose. 
As medidas de assimetria medem o quanto uma distribuição de frequências se afasta da 
condição de simetria. As medidas de curtose medem o grau de achatamento. 
 
2. ASSIMETRIA 
 
Tomemos como exemplo o seguinte conjunto de dados. 
Altura (cm) Frequência 
170 2 
171 5 
172 6 
173 8 
174 6 
175 5 
176 2 
Observe que as alturas estão igualmente espaçadas. Perceba ainda a simetria das frequências em 
relação à linha central. Veja o gráfico que representa esse conjunto de dados. 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
5 
 
Este é um exemplo de distribuição simétrica de dados. Quando a distribuição é simétrica, a 
média, a mediana e a moda coincidem com o termo central. 
�̅� = 𝑀7 = 𝑀8 = 173 
 
O número 173 funciona como um eixo de simetria, um espelho. Tudo que acontece à sua 
esquerda também acontece à sua direita. 
 
(CESPE 2016/TCE-PA) 
 
A tabela precedente apresenta a distribuição de frequências relativas da variável X, que 
representa o número diário de denúncias registradas na ouvidoria de determinada instituição 
pública. A partir das informações dessa tabela, julgue o item seguinte. 
A distribuição da variável X é simétrica em torno da média. 
Comentário 
Observe que os valores de X estão igualmente espaçados. Além disso, as frequências são 
simétricas em relação à linha central. 
Portanto, a distribuição é simétrica em relação à média. 
Gabarito: Certo 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
6 
 
Vejamos agora distribuições assimétricas. 
 
O gráfico acima ilustra uma distribuição positivamente assimétrica (ou assimétrica à direita). 
Observe que a “cauda” do gráfico está à direita. Essa é uma boa forma para memorizar. 
 
 
 
O gráfico acima ilustra uma distribuição negativamente assimétrica (ou assimétrica à esquerda). A 
“cauda” do gráfico está à esquerda. 
 
Em uma distribuição assimétrica positiva (ou assimétrica à direita), a tendência é que existam 
desvios positivos bem maiores do que desvios negativos. 
Em uma distribuição assimétrica negativa (ou assimétrica à esquerda), a tendência é que existam 
desvios negativos bem maiores do que desvios positivos. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
7 
 
Assim, poderíamos propor a média dos desvios para medir a assimetria. Entretanto, sabemos que 
a soma dos desvios em relação à média é sempre zero. Assim, a média dos desvios também é 
sempre zero (enfrentamos esse problema ao propor medidas de dispersão como desvio absoluto 
médio e variância). 
Queremos então eliminar o problema de termos média dos desvios nula, mas queremos 
preservar os sinais dos desvios (para poder decidir se a assimetria é negativa ou positiva). A saída 
é utilizar alguma potência de expoente ímpar para os desvios. 
 
Assim, os momentos 𝑀,, sendo 𝑡 um número ímpar maior do que 1, podem ser utilizados para 
indicar a assimetria dos dados. Frequentemente se usa o momento centrado na média de ordem 
3 (primeiro número ímpar maior do que 1). 
Entretanto, os momentos possuem o inconveniente de dependerem da unidade de medida dos 
dados (mesmo problema apresentado pela variância e desvio padrão). 
Por exemplo, se os dados estão em centímetros, o momento de ordem 3 estará em 𝑐𝑚>. Para 
contornar esse problema, dividimos o momento de ordem 3 por 𝑠>. 
 
Obtemos assim, o coeficiente momento de assimetria. 
𝑎> =
𝑀>
𝑠> 
 
Em que 𝑀> é o momento centrado de terceira ordem e 𝑠 é o desvio padrão. 
Outra medida de assimetria é o Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson. 
𝐴" =
�̅� − 𝑀8
𝑠 
Pearson sugeriu uma aproximação para o cálculo da moda (a moda de Pearson), que é dada por 
𝑴𝒐 = 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙. Substituindo essa expressão na fórmula do primeiro coeficiente de assimetria 
de Pearson, temos: 
 
𝒙H −𝑴𝒐
𝒔 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
8 
 
𝒙H − (𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙)JKKKLKKKM
𝑴𝒐
𝒔 = 
 
𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅
𝒔 
 
Essa fórmula é conhecida como o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson.𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅
𝒔 
 
𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅)
𝒔 
 
 
Temos ainda o coeficiente quartílico de assimetria, que toma os quartis como referência para 
indicar a assimetria. 
 
Sejam 𝒅𝟏 = 𝑸𝟐 − 𝑸𝟏 e 𝒅𝟐 = 𝑸𝟑 − 𝑸𝟐. 
 
 
O coeficiente quartílico de assimetria é dado por: 
 
𝑨𝒒 =
𝒅𝟐 − 𝒅𝟏
𝒅𝟐 + 𝒅𝟏
 
 
Quando a distribuição é simétrica, os coeficientes de assimetria são nulos. Quando os 
coeficientes são positivos, a distribuição é positivamente assimétrica; quando os coeficientes são 
negativos, a distribuição é negativamente assimétrica. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
9 
 
Sinal do Coeficiente Formato da Curva 
𝐴 = 0 Simétrico 
𝐴 > 0 Assimétrico à direita (assimetria positiva) 
𝐴 < 0 Assimétrico à esquerda (assimetria negativa) 
 
É importante notar a posição relativa das medidas de posição em cada um dos casos. 
A média sempre estará posicionada na cauda. 
Assim, se a curva é assimétrica à direita, a média estará à direita. Se a curva é assimétrica à 
esquerda, a média estará à esquerda. 
A moda corresponderá ao ponto mais alto da curva e a mediana estará entre a média e a moda. 
 
No gráfico acima, temos uma distribuição assimétrica à direita. Observe que: 
�̅� > 𝑀7 > 𝑀8 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
10 
 
 
No gráfico acima, temos uma distribuição assimétrica à esquerda. Observe que: 
�̅� < 𝑀7 < 𝑀8 
 
 
Coeficiente de Assimetria Fórmula 
Coeficiente Momento de Assimetria 𝑎> =
𝑀>
𝑠> 
Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson 𝐴" =
�̅� − 𝑀8
𝑠 
Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson 𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅)
𝒔 
Coeficiente Quartílico de Assimetria 𝑨𝒒 =
𝒅𝟐 − 𝒅𝟏
𝒅𝟐 + 𝒅𝟏
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
11 
 
3. CURTOSE 
 
A curtose indica o grau de achatamento de uma distribuição de frequências. 
Vamos tomar como “padrão” a distribuição normal (também chamada de distribuição gaussiana). 
 
Esta curva normal é a nossa referência. Outras curvas podem ser mais achatadas ou menos 
achatadas do que ela. 
Assim, a curva normal é chamada de mesocúrtica (“curtose do meio”). 
Se uma curva é bem achatada, recebe o nome de “platicúrtica”. 
Se a curva for menos achatada, receberá o nome de “leptocúrtica”. 
 
 
 
Existem alguns coeficientes para medir a curtose de uma distribuição. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
12 
 
O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre 
o 90º percentil e o 10º percentil. 
𝐶V =
𝐷X
𝑃Z[ − 𝑃"[
 
 
Lembre-se que o desvio quartílico é dado por: 
 
𝐷X =
𝑄> − 𝑄"
2 
 
Para a curva normal (mesocúrtica), esse coeficiente vale aproximadamente 0,263. 
Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 
𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 
𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 
𝐶V > 0,263 Platicúrtica 
 
Outro coeficiente comumente utilizado para medir a curtose é o Coeficiente Momento de 
Curtose. 
𝑎_ =
𝑀_
𝑠_ 
 
Em que 𝑀_ é o momento centrado de ordem 4. 
 
𝑀_ =
∑(𝑥1 − �̅�)_
𝑛 
 
Para a curva normal (mesocúrtica), temos que 𝑎_ = 3. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
13 
 
Coeficiente Momento de Curtose Curva 
𝑎_ = 3 Mesocúrtica 
𝑎_ > 3 Leptocúrtica 
𝑎_ < 3 Platicúrtica 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
14 
 
4. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-se que ela: 
I. é unimodal. 
II. apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. 
III. possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda. 
Então, essa distribuição 
a) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como platicúrtica. 
b) é assimétrica à direita e caracteriza-se como leptocúrtica. 
c) apresenta uma assimetria negativa e caracteriza-se como platicúrtica. 
d) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como leptocúrtica. 
e) é assimétrica à direita e caracteriza-se como platicúrtica. 
 
2. (FCC 2015/CNMP) 
Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística unimodal e as seguintes 
afirmações: 
I. Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. 
II. A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. 
Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição 
a) platicúrtica e assimétrica à esquerda. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
15 
 
b) platicúrtica e assimétrica à direita. 
c) leptocúrtica e assimétrica à esquerda. 
d) leptocúrtica e assimétrica à direita. 
e) leptocúrtica e simétrica. 
 
3. (AOCP 2018/SUSIPE) 
As idades dos funcionários de uma empresa de transporte coletivo são: 18, 20, 34, 19, 33, 57, 
60, 48, 34, 30, 24, 19, 19, 21, 39, 55, 28, 45 e 32. Quanto à idade dos empregados dessa 
empresa, é correto afirmar que 
a) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à direita. 
b) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à direita. 
d) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à esquerda. 
e) moda=mediana=média e a distribuição é simétrica. 
 
4. (FEPESE 2018/CELESC) 
A respeito de medidas usadas em estatística descritiva, é correto afirmar: 
a) Para uma determinada amostra finita, a moda pode assumir mais do que um valor. 
b) Uma distribuição de probabilidade mais achatada do que a distribuição normal é chamada de 
leptocúrtica. 
c) Curtose é uma medida da assimetria de uma determinada distribuição de frequência. 
d) Uma mediana de uma distribuição simétrica possui um valor maior do que o valor da média 
aritmética. 
e) A média geométrica de 1 e 9 é maior do que a média aritmética desses dois valores. 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
16 
 
(CESPE 2017/SEDF) 
Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com 
idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. 
 A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
5. A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. 
 
6. O índice percentílico de curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos 
tempos T seja leptocúrtica. 
 
7. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. 
 
 
8. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada. Uma amostra de 100 observações 
resultou em: salário médio R$ 430,00;mediana R$ 435,00 e desvio-padrão R$ 25,45. Para 
análise, o coeficiente de assimetria de Pearson foi calculado. Assinale a alternativa correta. 
a) Assimetria = 0 e a distribuição dos salários é simétrica. 
b) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é simétrica. 
c) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica. 
d) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica negativa. 
e) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica positiva. 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
17 
 
9. (FGV 2017/MPE-BA) 
O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por 
classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo 
Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
 
10. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
Uma distribuição apresentou as seguintes medidas: 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟒	𝒄𝒎, 𝑸𝟑 = 𝟒𝟏, 𝟐	𝒄𝒎 
𝑷𝟏𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟐	𝒄𝒎, 𝑷𝟗𝟎 = 𝟒𝟗, 𝟓	𝒄𝒎 
Com tais medidas, a curtose é 𝒓𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟔𝟔𝟖𝟗 e a curva é 
a) leptocúrtica. 
b) platicúrtica. 
c) mesocúrtica. 
d) assimétrica. 
e) simétrica. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
==193336==
 
 
18 
 
5. GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. B 
02. D 
03. A 
04. A 
05. C 
06. E 
07. C 
08. D 
09. C 
10. B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
19 
 
6. LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Analisando uma curva de frequência de uma distribuição estatística, observa-se que ela: 
I. é unimodal. 
II. apresenta a moda menor que a mediana e a mediana menor que a média. 
III. possui os dados da distribuição fortemente concentrados em torno da moda. 
Então, essa distribuição 
a) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como platicúrtica. 
b) é assimétrica à direita e caracteriza-se como leptocúrtica. 
c) apresenta uma assimetria negativa e caracteriza-se como platicúrtica. 
d) é assimétrica à esquerda e caracteriza-se como leptocúrtica. 
e) é assimétrica à direita e caracteriza-se como platicúrtica. 
Comentário 
A média sempre fica posicionada na cauda. Como a média é maior do que as outras medidas, 
então a distribuição é assimétrica à direita. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
20 
 
 
Além disso, como os dados estão bem concentrados em torno da moda, a curva será 
caracterizada como leptocúrtica. 
Gabarito: B 
 
2. (FCC 2015/CNMP) 
Considere uma curva de frequência de uma distribuição estatística unimodal e as seguintes 
afirmações: 
I. Os dados estão fortemente concentrados em torno da moda apresentando uma curva afilada. 
II. A moda é menor que a mediana e a mediana é menor que a média. 
Se a distribuição satisfaz I e II, então trata-se de uma distribuição 
a) platicúrtica e assimétrica à esquerda. 
b) platicúrtica e assimétrica à direita. 
c) leptocúrtica e assimétrica à esquerda. 
d) leptocúrtica e assimétrica à direita. 
e) leptocúrtica e simétrica. 
Comentário 
 
Como os dados estão fortemente concentrados em torno da moda, então a distribuição é 
leptocúrtica. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
21 
 
A média sempre fica posicionada na cauda. Como a média é maior do que as outras medidas, 
então a distribuição é assimétrica à direita. 
Gabarito: D 
 
3. (AOCP 2018/SUSIPE) 
As idades dos funcionários de uma empresa de transporte coletivo são: 18, 20, 34, 19, 33, 57, 
60, 48, 34, 30, 24, 19, 19, 21, 39, 55, 28, 45 e 32. Quanto à idade dos empregados dessa 
empresa, é correto afirmar que 
a) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à direita. 
b) moda <mediana <média e a distribuição é assimétrica à esquerda. 
c) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à direita. 
d) moda >mediana >média e a distribuição é assimétrica à esquerda. 
e) moda=mediana=média e a distribuição é simétrica. 
Comentário 
 
Para determinar a mediana, precisamos dispor os termos em ordem crescente. 
 
𝟏𝟖, 𝟏𝟗, 𝟏𝟗, 𝟏𝟗, 𝟐𝟎, 𝟐𝟏, 𝟐𝟒, 𝟐𝟖, 𝟑𝟎, 𝟑𝟐, 𝟑𝟑, 𝟑𝟒, 𝟑𝟒, 𝟑𝟗, 𝟒𝟓, 𝟒𝟖, 𝟓𝟓, 𝟓𝟕, 𝟔𝟎 
 
Como são 19 termos, a mediana será o termo de posição 𝟏𝟗n𝟏
𝟐
= 𝟏𝟎. 
 
𝑴𝒅 = 𝒙𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 
 
A moda é o termo que mais aparece. Assim, a moda é igual a 19. 
 
𝑴𝒐 = 𝟏𝟗 
 
Vamos calcular a média. A soma dos termos é 635. 
 
𝒙H =
∑𝒙𝒊
𝒏 =
𝟔𝟑𝟓
𝟏𝟗 ≅ 𝟑𝟑, 𝟒𝟐 
 
Perceba que: 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
22 
 
𝒙H > 𝑴𝒅 > 𝑴𝒐 
 
A média fica situada na cauda. Como a média é maior que a mediana e a moda, a cauda está à 
direita. Portanto, a curva é simétrica à direita (assimetria positiva). 
Gabarito: A 
 
4. (FEPESE 2018/CELESC) 
A respeito de medidas usadas em estatística descritiva, é correto afirmar: 
a) Para uma determinada amostra finita, a moda pode assumir mais do que um valor. 
b) Uma distribuição de probabilidade mais achatada do que a distribuição normal é chamada de 
leptocúrtica. 
c) Curtose é uma medida da assimetria de uma determinada distribuição de frequência. 
d) Uma mediana de uma distribuição simétrica possui um valor maior do que o valor da média 
aritmética. 
e) A média geométrica de 1 e 9 é maior do que a média aritmética desses dois valores. 
Comentário 
Vamos analisar cada uma das alternativas. 
A alternativa A está correta. Tome, por exemplo, a sequência (1,1,2,2,2,3,3,3,5). Essa é uma 
distribuição bimodal. As modas são 2 e 3. 
A alternativa B está errada, pois uma distribuição mais achatada que a distribuição normal é 
chamada de platicúrtica. 
A alternativa C está errada, pois a curtose não é uma medida de assimetria. 
A alternativa D está errada, pois a mediana e a média são iguais em uma distribuição simétrica. 
A alternativa E está errada, pois a média geométrica nunca pode ser maior do que a média 
aritmética (desigualdade das médias). 
Gabarito: A 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
23 
 
 
(CESPE 2017/SEDF) 
Um levantamento estatístico, feito em determinada região do país, mostrou que jovens com 
idades entre 4 e 17 anos assistem à televisão, em média, durante 6 horas por dia. 
 A tabela a seguir apresenta outras estatísticas produzidas por esse levantamento. 
 
5. A distribuição dos tempos T possui assimetria positiva. 
 
6. O índice percentílicode curtose foi superior a 0,4, o que sugere que a distribuição dos 
tempos T seja leptocúrtica. 
 
7. O desvio quartílico dos tempos T foi igual a 3. 
 
Comentário 
Vamos começar pelo desvio quartílico. 
𝐷X =
𝑄> − 𝑄"
2 
 
𝐷X =
8 − 2
2 = 3 
Assim, o terceiro item está certo. 
Vamos ao primeiro item. O enunciado afirma que a média é 6. Como a média é maior do que a 
mediana, então a assimetria é positiva. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
24 
 
Outra forma para determinar o sinal da assimetria seria através do Coeficiente Quartílico de 
Assimetria. 
 	
𝑨𝒒 =
𝒅𝟐 − 𝒅𝟏
𝒅𝟐 + 𝒅𝟏
 
 
Vamos calcular as diferenças entre os quartis. 
𝑑$ = 𝑄> − 𝑄$ = 8 − 4 = 4 
 
𝑑" = 𝑄$ − 𝑄" = 4 − 2 = 2 
 
Portanto, o Coeficiente Quartílico de Assimetria é dado por: 
𝑨𝒒 =
4 − 2
4 + 2 =
2
6 > 0 
Como o coeficiente é positivo, a curva é positivamente assimétrica. O primeiro item está certo. 
 
Vamos ao segundo item. 
O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre 
o 90º percentil e o 10º percentil. 
𝐶V =
𝐷X
𝑃Z[ − 𝑃"[
 
Lembre-se que 𝑃Z[ = 𝐷Z, ou seja, o 90º percentil é igual ao 9º decil. Ademais, 𝑃"[ = 𝐷". 
Portanto, podemos reescrever o coeficiente percentílico de curtose como: 
𝐶V =
𝐷X
𝐷Z − 𝐷"
 
Já calculamos o desvio quartílico. Assim, 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
25 
 
𝐶V =
3
10 − 1 =
3
9 =
1
3 = 0,333… > 0,263 
Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 
𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 
𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 
𝐶V > 0,263 Platicúrtica 
 
Como o coeficiente é maior do que 0,263, então a curva é platicúrtica. 
O segundo item está errado. 
Gabarito: Certo, errado, certo 
 
8. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
Uma pesquisa para estudar os salários semanais foi realizada. Uma amostra de 100 observações 
resultou em: salário médio R$ 430,00; mediana R$ 435,00 e desvio-padrão R$ 25,45. Para 
análise, o coeficiente de assimetria de Pearson foi calculado. Assinale a alternativa correta. 
a) Assimetria = 0 e a distribuição dos salários é simétrica. 
b) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é simétrica. 
c) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica. 
d) Assimetria ≅−0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica negativa. 
e) Assimetria ≅0,5894 e a distribuição dos salários é assimétrica positiva. 
Comentário 
O Primeiro Coeficiente de Assimetria de Pearson é dado por: 
𝐴" =
�̅� − 𝑀8
𝑠 
Pearson sugeriu uma aproximação para o cálculo da moda (a moda de Pearson), que é dada por 
𝑴𝒐 = 𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙. Substituindo essa expressão na fórmula do primeiro coeficiente de assimetria 
de Pearson, temos: 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
26 
 
 
𝒙H −𝑴𝒐
𝒔 
 
𝒙H − (𝟑 ∙ 𝑴𝒅 − 𝟐𝒙)JKKKLKKKM
𝑴𝒐
𝒔 = 
 
𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅
𝒔 
 
Essa fórmula é conhecida como o Segundo Coeficiente de Assimetria de Pearson. 
 
𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ 𝒙H − 𝟑 ∙ 𝑴𝒅
𝒔 
 
𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ (𝒙H −𝑴𝒅)
𝒔 
 
𝑨𝟐 =
𝟑 ∙ (𝟒𝟑𝟎 − 𝟒𝟑𝟓)
𝟐𝟓, 𝟒𝟓 = −
𝟏𝟓
𝟐𝟓, 𝟒𝟓 
 
𝑨𝟐 ≅ −𝟎, 𝟓𝟖𝟗𝟑𝟗 
A distribuição é assimétrica negativa. 
Gabarito: D 
 
9. (FGV 2017/MPE-BA) 
O exame de um conjunto de dados mostra que a distribuição de frequências do número por 
classe de renda de envolvidos em um tipo bem específico de investigação, conduzida pelo 
Ministério Público, é fortemente assimétrica à esquerda. 
Com base nessa informação, é correto afirmar que: 
a) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais ricos da população; 
b) a maior frequência de envolvidos está numa classe de indivíduos de mais baixa renda; 
c) a renda média dos envolvidos é menor do que ou igual à da maioria dos envolvidos; 
d) a maior parte dos envolvidos estão entre os 20% mais pobres da população; 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
27 
 
e) a renda média dos envolvidos é maior do que ou igual à da maioria da população. 
Comentário 
A curva é fortemente assimétrica à esquerda. 
 
Assim, a média é menor do que a maioria dos envolvidos. Isso porque a média é menor do que a 
mediana. Logo, a média é menor do que mais de 50% dos indivíduos. 
Gabarito: C 
 
10. (Instituto AOCP 2018/ADAF) 
Uma distribuição apresentou as seguintes medidas: 
𝑸𝟏 = 𝟐𝟒, 𝟒	𝒄𝒎, 𝑸𝟑 = 𝟒𝟏, 𝟐	𝒄𝒎 
𝑷𝟏𝟎 = 𝟐𝟎, 𝟐	𝒄𝒎, 𝑷𝟗𝟎 = 𝟒𝟗, 𝟓	𝒄𝒎 
Com tais medidas, a curtose é 𝒓𝟏 = 𝟎, 𝟐𝟖𝟔𝟔𝟖𝟗 e a curva é 
a) leptocúrtica. 
b) platicúrtica. 
c) mesocúrtica. 
d) assimétrica. 
e) simétrica. 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
28 
 
Comentário 
O Coeficiente Percentílico de Curtose é o quociente entre o desvio quartílico e a amplitude entre 
o 90º percentil e o 10º percentil. 
𝐶V =
𝐷X
𝑃Z[ − 𝑃"[
 
 
Lembre-se que o desvio quartílico é dado por: 
 
𝐷X =
𝑄> − 𝑄"
2 
A questão já deu as contas prontas. Apenas indicou quais foram as medidas para que 
pudéssemos qual coeficiente de curtose deveríamos utilizar. Como foram dados os quartis e os 
percentis, devemos usar o coeficiente percentílico de curtose. 
Para a curva normal (mesocúrtica), esse coeficiente vale aproximadamente 0,263. 
Coeficiente Percentílico de Curtose Curva 
𝐶V = 0,263 Mesocúrtica 
𝐶V < 0,263 Leptocúrtica 
𝐶V > 0,263 Platicúrtica 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
29 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
Guilherme Neves
Aula 06
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior