Medidas de localização ou separatrizes, de assimetria e de Curtose

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UNIVERSIDADE EDUARDO MONDLANE 
FACULDADE DE CIÊNCIAS 
Departamento de Matemática e Informática 
Resumo Teorico Estatistíca Básica 1º Semestre de 2017 
 
Tema: Medidas de localização ou separatrizes, de assimetria e de Curtose 
 
I. Medidas de localização ou separatrizes 
 
Separatrizes São números que dividem uma sequência ordenada de dados em partes que contêm a mesma 
quantidade de elementos da série. 
 
Desta forma, a mediana que divide a sequência ordenada em dois grupos, cada um deles contendo 50% dos 
valores da sequência, é também uma medida separatriz. Além da mediana, as outras medidas separatrizes são: 
quartis, decis e percentis. 
 
Como foi referido anteriormente, para além da medidas de tendência central, os quartis, decis e percentis são 
outras medidas conhecidadas por separatrizes utilizados como medidas de posição. 
 
Quartis (Qk) 
 
Os quartis são medidas numericas que dividem o conjunto de dados ou distribuições de frequências 
em 4 partes iguais. 
 
25% 25% 25% 25% 100% 
 
 Q1 Q2 Q3 
 
Assim, o primeiro quartil, que é indicado por Q1, separa a sequência ordenada deixando 25% de seus valores à 
esquerda e 75% de seus valores à direita. 
 
O segundo quartil, indicado por Q2, separa a sequência ordenada deixando 50% de seus valores à esquerda e 
50% de seus valores à direita. O Q2 é igual a Mediana da série. 
 
O terceiro quartil Q3 obedece a mesma regra dos anteriores, isto é, um valor tal que 75% das observações são 
menores e 25% são maiores que este. 
 
Para dados não agrupados (simples) e quando o “n” é impar as posições onde se encontram os elementos 
pertencentes aos quartis podem ser determinados pelas formulas: 
4
)1(
3)( ; )(
2
1
)( ; 
4
1
)( 321






n
QPmedianaP
n
QP
n
QP ; 
Onde P refere a posição onde se encontra o elemento pertencente aos quartis. 
 
Para dados não agrupados e quanto o “n” é par as posições onde se encontram os elementos pertencentes aos 
quartis podem ser determinados pelas formulas: 
4
23
)( ; )( ; 
4
2
)( 321




n
QPmedianaQP
n
QP 
2 
 
Cálculo do quartil para dados simples 
 
1° Passo: Ordenar os valores observados (rol) 
2° Passo: Determina-se a posição do Quartil. 
3° Passo: Identifica-se a posição e verifica-se quem está naquela posição. 
 
Exemplo 1: Considere os dados abaixo e determine Q1 , Q2 e Q3. 
 
X: 20, 9, 7, 2, 12, 7, 20, 15, 7, 14, 20, 8, 5, 3, 10 
Resolucão: 
Posição: 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 15a 
 Ordem: 2, 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 20, 20, 20 
 
n = 15  Impar 
74
4
115
4
11   XXXQ n 88
2
115
2
12   XXXQ n 1512
4
115
3
4
1
3
3  



XXXQ n 
 
Exemplo 2: Considere os dados abaixo e determine Q1 , Q2 e Q3. 
 
X: 20, 9, 7, 12, 7, 20, 15, 7, 14, 20, 8, 5, 3, 10 
Resolucão: 
Posição: 1a 2a 3a 4a 5a 6a 7a 8a 9a 10a 11a 12a 13a 14a 
 Ordem: 3, 5, 7, 7, 7, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 20, 20, 20 
 
n = 14  par 
74
4
214
4
21   XXXQ n 
5,9
2
109
222
87
1
2
14
2
14
1
22
2 








 XX
XXXX
Q
nn
 
 151̀1
4
2143
4
233   XXXQ n 
 
Para dados agrupados em classe, pode – se calcular com aproximação o quartil de ordem k, usando a formula: 
3,2,1 onde ; a4 


 k
f
F
kn
LQ
i
a
ik 
Onde 
 
 k – é a ordem do quartil 
iL – limite inferior da classe onde existe o quartil 
Fa – frequência acumulada até a classe anterior onde existe o quartil 
if – frequência absoluta da classe onde existe o quartil 
a – Amplitude da classe modal 
 
 
 
 
3 
 
 
Decis (Dk) 
 
Os decis são separactrizes que dividem as observações em 10 partes iguais. 
 
10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 10% 100% 
 
 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 
Assim, o primeiro decil, indicado por D1, separa a sequência ordenada deixando 10% de seus valores à esquerda 
e 90% de seus valores à direita. De modo análogo são definidos os outros decis 
 
 A fórmula básica para determinar a posição do elemento decil para dados não agrupados será: 
10
)1(
)(


nk
DP i , 
Quando os dados estão agrupados em classe a fórmula é semelhante as anteriores. 
9,...,2 ,1 onde ; 10 


 ka
f
F
kn
LD
i
a
ik 
 
Exemplo 3: Calcular D1 e D8 do conjunto dado:  24,10,18,6,4,2,20,15,12,7A 
 
Inicialmente vamos colocar o conjunto em ordem crescente: 
 
X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 X9 X10 
2 4 6 7 10 12 15 18 20 24 
a) Calcular D1 
1° Passo: determina-se a posição do primeiro Decil. 
)( 1
10
101
10
1
1 posição
n
PD 



 
2° Passo: Procura-se no rol o valor do primeiro elemento; 
3° passo: O valor do D1=2 que corresponde a 10% do rol 
 
b) Calculo do D8 
1° Passo: determina-se a posição do oitavo Decil. 
)( 8
10
108
10
8
8 posição
n
PD 



 
2° Passo: Procura-se no rol o valor do oitavo elemento; 
3° passo: O valor do D8=18 que corresponde a 80% do rol 
 
Percentis (Pk) 
 
Os percentis são separactriz que dividem as observações em 100 partes iguais. 
 
 0% 1% 1% 1% … … … … 1% 1% 
100
% 
 
 P1 P2 P3 … … … P98 P99 
4 
 
 
Assim, o primeiro percentil, indicado por P1, separa a sequência ordenada deixando 1% de seus valores à 
esquerda e 99% de seus valores à direita. 
 
Nos percentis, a série é divida em 100 partes iguais (P1, P2, P3, ... P99). 
 
 P1: é o primeiro percentil, corresponde à separação do primeiro 1% de elementos da série. 
 P50: é o qüinquagésimo percentil, coincide com a mediana (P50 = D5 = Q2 = Md). 
 
 Para o cálculo dos percentis, utilizamos técnicas semelhantes às do cálculo dos quartis e decis. Inicialmente, 
determina-se a posição do percentil ou a classe que contém o valor percentil a ser calculado pela expressão: 
 
100100
nkfK i 


 (K = 1; 2; 3;...; 98; 99) 
 
Verifica-se que os quartis, quintis e decis são múltiplos dos percentis, então basta estabelecer a fórmula de 
cálculo de percentis. Todas as outras medidas podem ser identificadas como percentis. Ou seja: 
 
Percentis Quartis Decis 
P10 D1 
P20 D2 
P25 Q1 
P30 D3 
P40 D4 
P50 Q2 D5 
P60 D6 
P70 D7 
P75 Q3 
P80 D8 
P90 D9 
 
 
Posição do percentile k é determinada por: 
100
kn
 
Em seguida, identifica-se o elemento que ocupa esta posição. Note que se o elemento for um número inteiro, 
então o Pk procurado é um dos elementos da sequência ordenada. 
 
Se não for um número inteiro, isto significa que Pk é um elemento intermediário entre os elementos que ocupam 
as posições aproximadas por falta ou por excesso do valor calculado. Neste caso, Pk é definido como sendo a 
média dos valores que ocupam estas posições aproximadas. 
 
Para calcular o percentil de ordem “k” basta usar a fórmula de aproximação quando temos dados classificados 
em classe. 
 99 ,......,2 ,1 onde ; 100 


 ka
f
F
kn
LP
i
a
ik 
 
 
5 
 
Exemplo 2: Registaram-se as alturas de 100 estudantes de uma Faculdade, tendo –se obtido a tabela de 
distribuição de frequências abaixo. Determine os valores das separactriz: Med, Q1, D3, P80 e comente os 
resultados. 
 
i Classes (xi, cm) fi Fi 
1 1.40 --- 1.46 7 7 
2 1.46 --- 1.52 9 16 
3 1.52 --- 1.58 5 21 
4 1.58 --- 1.64 12 33 
5 1.64 --- 1.70 2659 
6 1.70 --- 1.76 20 79 
7 1.76 --- 1.82 11 90 
8 1.82 --- 1.88 10 100 
Soma --- 100 100 
 
 
Resolução: 
Mediana: 68,106,0
26
3350
64,12 



 a
f
F
n
LMe
me
a
i 
Primeiro Quartil: 60,106,0
12
2125
58,14
1
1 




 a
fi
F
n
LQ
a
i 
Terceiro Decil: 63,106,0
12
2130
58,110
3
3 




 a
f
F
n
LD
i
a
i 
Percentil 80: 17706,0
11
7980
76,1100
80
80 




 a
f
F
n
LP
i
a
i 
 
Dos 100 estudantes, 25% destes possuem altura inferior a 1,60 cm, 30% possuem altura menor que 1,63 cm, 
50% tem uma estatura inferior a 1,68 cm e só 20% dos 100 estudantes tem altura igual ou superior a 1,77 cm. 
 
 
II. Medidas de assimetria e de Curtose 
 
Para completar o estudo do quadro das estatísticas descritivas resta estudarmos as medidas de assimetria e 
curtose. Estas medidas juntamente com as de posição e de dispersão proporcionam a descrição e compreensão 
completas da distribuição de freqüência estudada. 
 
As distribuições de frequências podem diferir quanto ao valor médio, quanto à dispersão dos valores e também quanto à 
forma. 
 
As formas em que se apresenta uma distribuição podem ser caracterizadas quanto ao grau de deformação ou assimetria e 
o grau de achatamento ou afilamento da curva de frequências e do Histograma. 
A assimetria é o grau de deformação de uma curva de frequências. Uma distribuição de frequência é simétrica, ou seja, 
que apresenta um gráfico cuja as duas caudas possuem a mesma configuração (curva b), quando a média, a mediana e a 
moda da série forem iguais. 
6 
 
 
A distribuição de frequência também pode ser assimétrica negativa (curva a) e assimétrica positiva (curva c), a primeira 
apresenta uma cauda mais alongada à esquerda e ocorre quando média da série for menor que a moda e a ultima 
(terceira) possui uma cauda mais alongada à direita e ocorre quando a média da série for maior que a moda. 
 
 
 oe MMx  oe MMx  oe MMx  
a) Assimetria negativa b) Distribuição simétrica c) Assimetria positiva 
 
 
Média
16,0
Mediana
16,0
Moda
16,0
0
5
10
15
20
0 4 8 12 16 20 24 28 32
 
 
DISTRIBUIÇÃO SIMÉTRICA 
 
Média=Mediana=Moda 
 
Média
13,1
Mediana
12,4
Moda
11,3
0
5
10
15
20
0 4 8 12 16 20 24 28 32
 
 
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA 
POSITIVA 
 
Moda < Mediana < Média 
 
Média
18,9
Mediana
19,6
Moda
20,7
0
5
10
15
20
0 4 8 12 16 20 24 28 32
 
 
DISTRIBUIÇÃO ASSIMÉTRICA 
NEGATIVA 
 
Média < Mediana < Moda 
 
7 
 
 
Coeficiente de Assimetria 
 
A assimetria pode ser obtida pelo coeficiente de assimetria ( ie ) que é uma medida adimensional.. 
 
Coeficiente de Pearson 
: 
s
Mox
e

1
 onde Mo é a moda da série. 
 
 Desde que a moda é de difícil estimativa, o coeficiente de assimetria é obtido, com boa aproximação, pela seguinte 
relação: 
x – Mo = 3(x – Me), onde Me é a mediana. Assim: 
 
s
Mex
e


3
2 
Mas, a medida de assimetria mais utilizada é dada pelo terceiro momento (m3) centrado na média, ou seja: 
3
3
3
s
m
e  onde 
 
n
xx
m
3
i
3


 
 
 sendo xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos do conjunto. 
 
 
Coeficiente Quartil de assimetria 
13
123 2
QQ
QQQ
eq


 
A distribuição será simétrica quando ie = 0, se ie for maior que zero a assimetria é positiva e se ie for menor que zero 
a assimetria é negativa. Isto é, 
 ie = 0, diz-se que a distribuição é simétrica. 
 ie > 0, diz-se que a distribuição é assimétrica positiva ou à direita. 
 ie < 0, diz-se que a distribuição é assimétrica negativa ou à esquerda. 
 
O coeficiente de Assimetria permite compararmos duas ou mais distribuições diferentes e avaliar qual delas é mais 
assimétrica. Quanto maior o coeficiente de Assimetria, mais assimétrica é a curva: 
 Assimetria fraca se: 0 < | ie | < 0,15 
 Assimetria moderada se: 0,15 < | ie | < 1 
 Assimetria forte se: | ie | >1 
 
Exemplo 4: Considere a tabela que apresenta o número de faltas no mês dos estudantes de uma turma de Engenharia da 
UEM e Calcule o coeficiente de assimetria e classifique a distribuição. 
 
N0 de Faltas (Xi) 2 4 6 8 10 12 14 Total 
N0 de Estudantes (fi) 2 4 5 6 7 4 2 30 
Temos que o coeficiente de assimetria é calculado através da fórmula: 
s
Mox
e

1
, 
 
 
8 
 
 
Observem que precisamos da média, da moda e do desvio padrão, vamos então calcular: 
 
 
N de faltas Xi N. de alunos -Fi Xi.Fi 
ii fx  2)13,8( 
2 2 4 (2-8,13)2.2=75,1538 
4 4 16 (4-8,13)2.4=68,2276 
6 5 30 (6-8,13)2.5=22,6845 
8 6 48 (8-8,13)2.6=0,1014 
10 7 70 (10-8,13)2.7=24,4783 
12 4 48 (12-8,13)2.4=59,9076 
14 2 28 (14-8,13)2.2=68,9138 
 30 244 319,467 
13,8
30
244
x , A linha modal é a quinta, onde existe a maior frequência maior que é , portanto, a moda é 
igual a 10 faltas ( 10Mo ) 32,302,1102,11
29
47,3192  sss 
 56,0
32,3
87,1
32,3
1013,8
11 



 ee portanto, trata-se de uma distribuição Assimetria negativa 
moderada. 
 
 
Exemplo 5: Considere a distribuição amostral abaixo: 
 
Notas do Teste fi Medidas 
10 ├ 14 10 X = 21 
14 ├ 18 20 Moda =24 
18 ├ 22 30 S = 4,38 
22 ├ 26 50 
26 ├ 30 10 
 ∑ f = 120 
Como Mo > X → trata-se de uma curva Assimétrica à direita (ou negativa) 
 
1e = 685,0
4,38
24 -21
 → 1e = - 0,685 o coeficiente de assimétrica negativo confirma que se trata de uma 
curva assimétrica à esquerda. Como 0,15 < | 1e | < 1 a distribuição é assimétrica moderada. 
 
 
III. Medidas de curtose 
 
Anterirmente, vimos que existe uma relação estreita entre o valor das Medidas de Tendência Central (Média, 
Moda e Mediana) e o comportamento da Assimetria de um conjunto.Todavia, quando se trata de Curtose, não há 
como extrairmos uma conclusão sobre qual será a situação da distribuição, se mesocúrtica, platicúrtica ou 
leptocúrtica, apenas conhecendo os valores da Média, Moda e Mediana. 
 
 A curtose é o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição padrão, denominada 
curva normal. A distribuição que apresenta uma curva de frequências mais fechada que a normal, é denominada 
9 
 
leptocúrtica (Curva a). Quando a curva de frequência é mais aberta que a normal recebe o nome de platicúrtica 
(Curva b) e a curva normal é denominada de mesocúrtica (Curva c). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Platicúrtica 
 
 
Mesocúrtica 
 
Leptocúrtica 
 
Figura: Representação esquemática da curtose. 
 
 
Coeficiente de curtose 
 
A curtose (C) é definida pelo quarto momento (m4) dividido pelo o desvio-padrão da série elevado a quarta potência ( 4s ): 
4
4
s
m
C  onde o quarto momento é dado por: 
 
n
xx
m
4
i
4


 
 
 
 Onde xi é cada elemento do conjunto de dados, x a média e n o número de elementos da série. 
 
 A curtose é denominada mesocúrtica quando C=3, neste caso, tem-se uma curva normal. 
 Se C >3, a curva de frequência é mais fechada que a curva normal, ou seja, possui um pico e recebe a 
denominação de leptocúrtica. 
 Se C< 3, a curva de frequência é mais achatada que a curva normal, sendo chamada de platicúrtica. 
 
A curtose calculada para os dados da tabela anterior foi C = 2,2, portanto C< 3 e a curva de frequência é mais 
achatada que a curva normal. 
 
 
Coeficiente percentíl de curtose 
)2(P 1090
13
P
QQ
k


 
 
Uma curva normal apresenta um coeficiente de curtose de valor k = 0,263, assim podemos estabelecer comparações entre 
as diversas curvas e classificá-las: 
 
 k = 0,263 → corresponde a curva mesocúrtica; 
 k < 0,263 → corresponde a curva leptocúrtica; 
 k > 0,263 → corresponde a curva platicúrtica. 
a) b) c) 
10 
 
 
Exemplo 3: Considere os seguintes resultados relativos a três distribuições de frequência: 
 
Distribuições Q1 Q3 P10 P90 
A 3 15 2 25 
B 30 4526 49 
C 4 18 2 25 
Determine o coeficiente de curtose e classifique a distribuição. 
 
)2(P 1090
13
P
QQ
kA


 
)22(25
315


 = 0,261→ corresponde à curva leptocúrtica; 
 
)2(P 1090
13
P
QQ
kB


 
)262(49
3045


 = 0,326 → corresponde à curva platicúrtica; 
 
)2(P 1090
13
P
QQ
kC


 
)2 - 2(25
418 
 = 0,304→ corresponde à curva platicúrtica; 
Exemplo 6: Considere a tabela que apresenta o número de faltas no ano dos funcionários de uma empresa. Calcule o 
coeficiente de curtose e classifique a distribuição. 
 
Número Faltas No de funcionários(fi) Fa 
2 ├ 4 6 6 
4 ├ 6 9 15 
6 ├ 8 11 26 
 8 ├ 10 16 42 
10 ├ 12 13 55 
12 ├ 14 10 65 
14 ├ 16 5 70 
Total 70 
Para o cálculo do coeficiente de curtose precisamos determinar: 
Q3  O terceiro quartil, Q1  O primeiro quartil, P90  Percentil noventa P10  Percentil dez. 
7
100
7010
ção 63
100
7090
ção 
 5,17
4
701
ção 5,52
4
703
ção
1090
13










PP
QQ
posiposi
posiposi
 
 Como a tabela é com intervalo de classe temos: 
 
62,1162,1162,110
13
21
102
13
5,10
102
13
425,52
10 33 

 QQ 
45,645,645,06
11
5
62
11
5,2
62
11
155,17
6 11 

 QQ 
6,136,136,112
10
16
122
10
8
122
10
5563
12 9090 

 PP 
22,422,422,04
9
2
42
9
1
42
9
67
4 1010 

 PP 
Calculando o coeficiente de curtose  
276,0....275586,0
76,18
17,5
)38,9(2
17,5
)22,46,13(2
45,662,11
)(2 1090
13 







 k
PP
QQ
k 
 
Como k = 0,276 > 0,263. Concluímos que a curva é PLATICÚRTICA 
11 
 
 FICHA DE EXERCICIOS 6: 
____________________________________________________________________________________________ 
1. Determine a posição mediana para n=47 e n=64. 
 
2. Para os seguintes conjuntos de dados, determine os valores da média aritmética, mediana, moda e os quartis (Q1, 
Q2 e Q3. a) 12,15, 16, 15, 12, 15, 15, 5, 7, 14 b) 2, 6, 3, 6, 3, 3, 4 
 
3. A tabela seguinte apresenta a produção de café, em milhões de toneladas, na região DELTA. 
 Calcule os valores do percentil 25, 50 e percentil 75. 
 
4. Considere o conjunto de valores que representa as idades de um grupo de crianças de uma 
comunidade:  11,6,5,3,4,10,9,5,6,4,8,2,9,3 
4.1. Qual a idade, que abaixo dela corresponde a 25% das crianças (Q1)? 
a) Q1=3 b) Q1=5 c) Q1=4 d) Q1=6 
 
4.2. Qual a idade, abaixo dela corresponde a 70% das crianças (D7)? 
a) D7=6 b) D7=8 c) D7=5 d) D7=9 
 
4.3. Qual a idade que abaixo dela corresponde a 45% das crianças (P45)? 
a) P45 = 4 b) P45 = 8 c) P45 = 5 d) P45 = 6 
 
5. Considere a tabela abaixo que representa os valores economizados por crianças para a compra do presente 
do dia das mães. 
 
Valores (R$) Num. de crianças(fi) Fa 
10 2 
15 6 
20 8 
25 15 
30 13 
35 11 
40 5 
 60 fi 
 
5.1. Qual o valor economizado por 75% das crianças (Q3)? 
a) Q3= 30 b) Q3= 40 c) Q3= 35 d) Q3= 25 
 
5.2. Qual o valor economizado por 40% das crianças (D4)? 
a) D4 = 25 b) D4 = 20 c) D4 = 35 d) D4 = 30 
 
5.3. Qual o valor economizado por 92% das crianças (P92)? 
 
a) P92 = 35 b) P92 = 30 c) P92 = 40 d) P92 = 38 
 
6. As notas de estatística de uma turma estão na tabela seguinte. 
Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Nº de alunos 2 6 9 12 14 9 5 4 1 
ANO 1992 1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 
Ton 12 15 18 22 17 14 18 23 29 32 34 
12 
 
a) Calcule os valores de Quartil um, Quartil dois e Quartil três dessas notas. Interprete-os. 
b) Determine a nota máxima de 33% dos alunos com notas mais baixas. 
. 
7. Considere a tabelaabaixo que representa os salários de funcionários de uma empresa de reciclagem. 
 
Salários funcionários 
500 ├ 600 3 
600 ├ 700 8 
700 ├ 800 12 
800 ├ 900 17 
 900 ├ 1000 10 
1000 ├ 1100 8 
1100 ├ 1200 6 
   64fi 
 
6.1. Qual o salário de 25% dos funcionários que ganham menos(Q1)? 
a) Q1=742,68 b) Q1=741,67 c) Q1=678,97 d) Q1=698,85 
 
a) Qual o salário de 60% dos funcionários que ganham menos(D6)? 
 a) D6 = 835,80 b) D6= 829,78 c) D6 = 890,59 d) D6 = 895,86 
 
b) Qual o salário de 90% dos funcionários que ganham menos(P90)? 
a) P90 = 1095,00 b) P90 = 1105,00 c) P90 = 1085,00 d)P90 = 1056,00 
 
8. Uma distribuidora de refrigerantes fez um levantamento sobre o consumo semanal (em litros) por pessoa, em jan/2002, 
em uma cidade do litoral, obtendo a tabela abaixo: 
 
CONSUMO Nº DE PESSOAS 
0,0 0,5 
0,5 1,0 
1,0 1,5 
1,5 2,0 
 2,0 2,5 
10 
25 
9 
7 
6 
a) Determine o percentil 10 e 90. Interprete-os 
b) Determine o primeiro quartil e o terceiro 
quartil. 
c) Determine o primeiro decil e nono decil. 
d) Construa um Box-plot. 
e) Determine e interprete o consumo semanal mínimo dos 33% de pessoas com consumo mais alto. 
f) Determine o valor Mínimo de consumo dos 67% com consumo mais alto. 
g) Quais os limites (mínimo e Maximo) de consumo dos 34% de pessoas com consumo semanal intermediário 
ou central. 
 
9. Uma turma obteve as seguintes notas : 
Notas Frequência 
0 |--- 2 4 
2 |--- 4 16 
4 |--- 6 24 
6 |--- 8 30 
8|--- 10 6 
 O professor da turma ofereceu bolsas para os 5% melhores e um programa de reforço para os 8% piores. 
a) Qual a menor nota dos bolsistas ? 
b) Qual a maior nota dos 8% piores ? 
13 
 
c) Determine a nota minima dos primeiros 3 estudantes com nota mais alta. 
d) Calcule o primeiro e o terceiro quartil. 
e) Calcule e interprete o 40º percentil. 
f) Construa um Box-plot. 
10. Uma empresa emprega 450 trabalhadores. Sabendo-se que os salários correspondentes ao primeiro e terceiro 
quartil são, respectivamente, 300 e 800 reais, encontre o número de empregados que percebem salários entre 
esses valores. 
 
11. Os dados abaixo referem-se ao número de horas extras de trabalho de uma amostra de funcionários da empresa Mcel, em 
dezembro de 1991. 
16 12 12 14 15 15 15 15 16 17 18 18 19 19 19 20 21 21 
 22 22 22 23 23 23 23 23 33 24 25 25 25 27 27 28 32 
 a) Calcule o primeiro e o terceiro quartis. Explique o significado destes números; 
b) Construa o gráfico Boxplot. 
 
12. Descrever a forma da curva mais provável de cada uma das seguintes distribuições: 
a) 60ˆ,55~,52  xxx b) 78ˆ,78~,1.78  xxx 
c) 40ˆ60ˆ,50~,50 21  xexxx d) 20ˆ,26~,28  xxx 
Onde, moodaxmedianaxmediax  ˆ~ 
 
13. Indicar as posições relativas da média, mediana, moda e classifique quanto a forma, as seguintes distribuições: 
a) As classificações num exame muito fácil. 
b) Resultados de um teste de Estatistica muito difícil 
c) As alturas de um grande grupo de homens de 25 anos de idade. 
d) O número de faltas às aulas de um grande grupo de estudantes universitários. 
 
14. Responda se cada uma das proposições a seguir é verdadeira ou falsa. Se a proposição for falsa, corrija a palavra 
sublinhada para que se torne verdadeira. 
a) Quando a variável quantitativa tem distribuição unimodal e simétrica, metade de seus valores é menor que a média. 
b) A mediana não é uma boa medida de tendência central para uma variável quantitativa com distribuição unimodal muito 
assimétrica, pois esta medida é muito influenciada por valores extremos. 
c) Quando a variável quantitativa tem distribuição unimodal e simétrica, a posição relativa das medidas de tendência central é: 
média<mediana<moda. 
 
15. Analisando as curvas abaixo marque a resposta correta. 
 
 (I) (II) (III) 
a) a curva I é simétrica - x > med > mo ; b) a curva II é assimétrica positiva - mo > > x 2 ; 
c) a curva I é simétrica - x = med = mo ; d) a curva III é simétrica positiva - x =med = mo ; 
 
16. As notas de estatística de uma turma estão na tabela seguinte. 
 
Nota 1 2 3 4 5 6 7 8 9 
Nº de alunos 2 5 8 10 18 10 8 4 2 
 
a) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e classifique a distribuição quanto a simetria. 
b) Calcule o coeficiente de curtose e classifique a distribuição quanto à curtose. 
 
14 
 
17. O quadro seguinte representa as alturas (em cm) de 40 alunos de uma classe. 
Classes 153 – 158 158 – 163 163 –168 168 – 173 173 -178 Total 
fi 4 8 16 8 4 40 
 Determine: 
a) Calcule o coeficiente de assimetria de Pearson e classifique a distribuição quanto a simetria. 
b) Calcule o coeficiente quartil de assimetria e classifique a distribuição quanto a simetria. 
c) Calcule o coeficiente de curtose e classifique a distribuição quanto a curtose. 
 
 
18. Suponha que receba propostas de emprego de duas empresas, A e B. Sabe-se que: 
 A média dos salários na empresa A é $2000 e o sétimo Decil é $1000 
 A média dos salários na empresa B é $2000 e a mediana é igual $1000 
Suponha que, uma vez aceite a proposta de uma das empresas, seu salário será escolhido aleatoriamente entre todos 
os salários desta empresa. Você quer minimizar a chance de ganhar menos de $1000, seu salário actual, ao mudar 
para uma destas duas empresas. Qual delas, empresa A ou B, você escolheria ?