curso-142579-aula-09-v1

Prévia do material em texto

Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 09
6 de Julho de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
1 
 
Sumário 
1. Variáveis Aleatórias ................................................................................................................................. 3 
2. Esperança Matemática ............................................................................................................................ 7 
2.1. Propriedades da Esperança Matemática ........................................................................................ 13 
3. Moda ..................................................................................................................................................... 16 
4. Função de Distribuição ......................................................................................................................... 17 
5. Mediana ................................................................................................................................................ 22 
6. Variância e Desvio Padrão ..................................................................................................................... 24 
6.1. Propriedades da Variância e do Desvio Padrão ............................................................................. 31 
7. Covariância e Correlação ...................................................................................................................... 34 
7.1. Propriedades da Covariância ......................................................................................................... 40 
8. Variância da Soma e da Diferença ........................................................................................................ 40 
9. Coeficiente de Variação e Variância Relativa ........................................................................................ 43 
Lista de Questões de Concursos sem Comentários ..................................................................................... 44 
Gabarito sem comentário ............................................................................................................................. 60 
Lista de Questões de Concursos com Comentários ..................................................................................... 61 
Considerações Finais .................................................................................................................................. 103	
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
2 
 
 
 
 
Para tirar dúvidas e ter acesso a dicas e conteúdos gratuitos, acesse minhas 
redes sociais: 
Instagram - @profguilhermeneves 
https://www.instagram.com/profguilhermeneves 
 
Canal do YouTube – Prof. Guilherme Neves 
https://youtu.be/gqab047D9l4 
 
E-mail: profguilhermeneves@gmail.com 
 
Para esta aula, aconselho assistir o seguinte vídeo, em que ensino a calcular raízes quadradas 
aproximadas: https://www.youtube.com/watch?v=8jKk9e-70LQ&t=31s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
3 
 
1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
As variáveis aleatórias são a base no estudo da Estatística Inferencial. Vamos trabalhar com o 
exemplo mais clássico e simples que é o lançamento de um dado honesto. Como todos bem 
sabem, são seis possíveis resultados no lançamento de um dado, a saber: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O dado que estamos trabalhando é honesto, ou seja, estamos partindo do pressuposto que 
todas as faces têm a mesma probabilidade de sair. Ok? 
No caso, 𝑃(1) = 𝑃(2) = 𝑃(3) = 𝑃(4) = 𝑃(5) = 𝑃(6) = 1/6. 
E o que significa esta probabilidade 1/6? 
Significa que se pudéssemos lançar este dado uma infinidade de vezes, o esperado é que em 1/6 
das vezes saísse o número 1, em 1/6 das vezes saísse o número 2, e assim por diante. 
Só para exemplificar, se pudéssemos lançar o dado 6.000 vezes, esperamos que o número 1 saia 
em torno de 1.000 vezes. Não estamos dizendo que sairá exatamente 1.000 vezes, mas como o 
dado é honesto, é bem provável que cada um dos números saia 1.000 vezes (ou algo bem 
próximo disso). 
Este é um exemplo de variável aleatória. Ela pode assumir valores de uma maneira 
completamente aleatória, ou seja, não temos como prever o seu resultado. Por outro lado, 
podemos associar valores de probabilidade a cada um dos possíveis resultados. 
Como outro exemplo, considere o peso do carregamento de garrafas de água mineral. Esses 
pesos variam aleatoriamente de 5 a 22 kg. Os pesos reais das garrafas são os valores da variável 
aleatória peso. 
Esses dois exemplos mostram que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Uma 
variável aleatória discreta pode assumir apenas certos valores, usualmente números racionais, e 
resultam basicamente de contagens. Os possíveis resultados no lançamento de um dado são 
limitados e servem como exemplo de variável aleatória discreta. Os valores das variáveis estão 
restritos a apenas certos números: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Uma variável aleatória contínua resulta de uma medida e pode assumir qualquer valor dentro de 
um dado intervalo. No exemplo do carregamento de garrafas de água, os pesos podem assumir 
qualquer valor no intervalo de 5 a 22 kg. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
4 
 
No caso de estarmos trabalhando com uma variável aleatória contínua, nós não poderemos 
atribuir probabilidades a valores específicos. Só poderemos atribuir probabilidades a intervalos 
de valores. 
Por quê? 
Porque no caso da variável contínua existe uma infinidade de possibilidades. 
Vejamos um exemplo prático: considere a cidade do Recife. Qual é a probabilidade de a 
temperatura no dia 25/03/2029 às 6h da manhã ser EXATAMENTE 27,53235778 ºC? 
Esta probabilidade é igual a 0. Isto porque há um caso favorável e uma infinidade de casos 
possíveis. 
Agora, poderíamos calcular, por exemplo, a probabilidade de a temperatura assumir valores 
entre 20ºC e 25ºC. Esta probabilidade certamente não é igual a 0. 
 
Variável aleatória (v.a.) é uma variável que é associada a uma distribuição de 
probabilidade. 
 
São exemplos de variáveis aleatórias: o valor de uma ação ao final do dia de amanhã, a 
altura de uma criança daqui a 1 ano, etc. Todas essas variáveis podem assumir 
diferentes valores, valores estes que, por sua vez, estão associados a probabilidades. 
 
Não são variáveis aleatórias: o valor de uma ação no final do pregão de ontem, o 
número de pontos de um time de futebol em um campeonato que já acabou, a altura 
de um homem de 40 anos daqui a 2 dias, a área útil de uma sala,... Todas essas 
variáveis têm valores fixos, ou seja, não mudam. 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
5 
 
Eu falei sobre distribuição de probabilidade, mas ainda não a defini. 
Distribuição de probabilidades é uma lista de todos os resultados possíveis de um experimento e 
também das probabilidades associadas a cada um dos resultados. Obviamente, a soma de todas 
as probabilidades será sempre igual a 1. 
No nosso exemplo do dado honesto: 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Aqui na estatística inferencial, a probabilidade associadaa um valor da variável aleatória terá um 
papel muito parecida com a frequência relativa da estatística descritiva. 
Como já falei anteriormente, qual o significado da probabilidade igual a 1/6? 
Significa que, se você lançar o dado honesto muitas e muitas vezes, seria bem provável que cada 
um dos números saísse em 1/6 das vezes. 
Temos muito mais coisas a fazer do que ficar lançando dados, não é mesmo? 
É para isso que serve o Excel. Fiz uma simulação e “lancei” o dado 60.000 vezes (usando a 
função =ALEATÓRIOENTRE). De acordo com as probabilidades da distribuição acima, 
esperamos que cada face saia em torno de 10.000 vezes. 
Pois bem, mandei o Excel contar os números (usando a função =cont.se) e obtive os seguintes 
valores: 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
6 
 
Número da face Frequência absoluta 
1 9.917 
2 9.958 
3 10.126 
4 10.090 
5 10.003 
6 9.906 
 
Muito bom!! 
Vamos calcular a média aritmética desse experimento? 
Para isto, vamos multiplicar cada valor da face pela sua frequência, somar tudo e dividir por 
60.000. 
Número da face Frequência absoluta 𝑿𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
1 9.917 1 × 9.917 = 9.917 
2 9.958 2 × 9.958 = 19.916 
3 10.126 3 × 10.126 = 30.378 
4 10.090 4 × 10.090 = 40.360 
5 10.003 5 × 10.003 = 50.015 
6 9.906 6 × 9.906 = 59.436 
 
Assim, a média será igual a: 
𝑋= =
9.917 + 19.916 + 30.378 + 40.360 + 50015 + 59436
60.000 =
210.022
60.000 
 
𝑋= = 3,50036666666… 
Feito isto, vamos falar na esperança de uma variável aleatória. 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
7 
 
2. ESPERANÇA MATEMÁTICA 
 
A esperança matemática (também chamada de expectância, valor médio ou média) é, por 
definição, o número 
𝜇 = 𝐸(𝑋) =/𝑋1 ∙ 𝑃(𝑋1)
C
134
 
O que significa esta expressão? 
Significa que, para calcular a esperança de uma variável aleatória, devemos multiplicar cada valor 
da variável pela sua respectiva probabilidade e depois somar tudo. Só isso!!! 
Repita: 
• Multiplique cada valor da variável pela sua probabilidade 
• Some tudo!! 
Muito fácil!!! 
Vejamos o exemplo do dado. Tínhamos a seguinte distribuição de probabilidades: 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Para calcular a esperança, multiplicamos cada valor da variável pela sua probabilidade, ou seja, 
multiplicamos 𝑋1 por 𝑃(𝑋1). Depois somamos tudo. 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
8 
 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 𝑿𝒊 ∙ 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 1 ×
1
6 =
1
6 
2 1/6 2 ×
1
6 =
2
6 
3 1/6 3 ×
1
6 =
3
6 
4 1/6 4 ×
1
6 =
4
6 
5 1/6 5 ×
1
6 =
5
6 
6 1/6 6 ×
1
6 =
6
6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Vamos somar tudo agora? 
𝜇 = 𝐸(𝑋) =
1
6 +
2
6 +
3
6 +
4
6 +
5
6 +
6
6 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6 =
21
6 
 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 3,50 
Epaaa, Guilherme!! Aquele exemplo que você fez no Excel... A média tinha dado 
3,50036666666…!!!! É coincidência isso? 
Não, meu amigo!! Graças a Deus que você percebeu isso. 
Esse é o espírito da Esperança Matemática. 
Se fosse possível lançar o dado infinitas vezes e calcular a média aritmética, o resultado seria 
exatamente a esperança da variável aleatória. Está vendo como a matemática é bela? 
Por enquanto vamos nos restringir ao estudo da esperança de variáveis aleatórias discretas. 
Vamos resolver alguns exercícios para treinar estes conceitos iniciais? 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
9 
 
 
(CESGRANRIO 2009/MEC) 
Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir 
um lucro de R$ 20.000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso 
contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15.000,00. O valor esperado do retorno do 
investimento, em reais, é 
(A) 3.500,00 
(B) 4.000,00 
(C) 4.500,00 
(D) 5.000,00 
(E) 5.500,00 
Comentário 
Vamos construir a distribuição de probabilidades. 
X P(X) 
20.000,00 0,2 
8.000,00 0,5 
−	15.000,00 0,3 
Para calcular o valor esperado, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva 
probabilidade e somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
20.000,00 0,2 20.000 ∙ 0,2 = 4.000,00 
8.000,00 0,5 8.000 ∙ 0,5 = 4.000,00 
−	15.000,00 0,3 −15.000 ∙ 0,3 = −4.500,00 
 
Dessa forma, o valor esperado será 4.000 + 4.000 – 4.500 = 3.500. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
10 
 
Gabarito: A 
 
(ESAF 2006/MPOG) 
Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar 
duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a 
Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor 
esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores 
que ela paga à Suzana) é igual a 
a) 1,5. 
b) -0,75. 
c) 0,75. 
d) -1,5. 
e) 2,5. 
Comentário 
O problema pede para calcular o valor esperado. Valor esperado é a mesma coisa que esperança 
matemática (ou expectância ou média). 
Queremos calcular os ganhos de Sandra. 
Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Ou 
seja, se o resultado for cara-cara (probabilidade igual a 1/4), Sandra GANHA R$ 6,00. 
Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. 
Quais são os outros possíveis resultados? Cara-coroa, coroa-cara ou coroa-coroa. A 
probabilidade de isso ocorrer é igual a ¾. 
Eis a distribuição de probabilidades. 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
11 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
+6,00 
1
4 
−4 3
4 
 
Para calcular a esperança devemos seguir dois passos. 
i) Multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade. 
ii) Somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
+6,00 
1
4 (+6) ×
1
4 = +1,50 
−4 3
4 (−4) ×
3
4 = −3,00 
A esperança é igual a: 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = +1,50 − 3,00 = −1,50 
Isto significa que, se Sandra e Suzana realizassem este experimento uma infinidade de vezes, 
Sandra perderia R$ 1,50 por jogo em média. 
Gabarito: D 
 
(ESAF 2004/MPU) 
O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com 
probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do 
preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. 
a) R$ 7,90 
b) R$ 8,00 
c) R$ 7,00 
d) R$ 9,00 
e) R$ 8,50 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
12 
 
Comentário 
A probabilidade de o preço da ação não variar (permanecer constante) é igual a 0,3. Assim, a 
probabilidade de o preço da ação continuar R$ 8,00 é 0,3. 
A probabilidade de o preço da ação aumentar R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 9,00) é igual a 0,3. 
A probabilidade de o preço da ação diminuir R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 7,00) é igual a 0,4. 
Eis a distribuição de probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
7,00 0,4 
8,00 0,3 
9,00 0,3 
Queremos calcular o valor esperado. Para tanto, multiplicamoscada valor da variável pela sua 
respectiva probabilidade e depois somamos tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
7,00 0,4 7,00 ∙ 0,4 = 2,80 
8,00 0,3 8,00 ∙ 0,3 = 2,40 
9,00 0,3 9,00 ∙ 0,3 = 2,70 
 
𝐸(𝑋) = 2,80 + 2,40 + 2,70 = 7,90 
Gabarito: A 
 
(CESGRANRIO 2007/TCE-RO) 
O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, 
com função de probabilidade dada a seguir. 
 
 
O retorno esperado é: 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
13 
 
(A) – 0,5% 
(B) 0,5% 
(C) 1,5% 
(D) 5% 
(E) 7,5% 
Comentário 
O retorno esperado é o mesmo que esperança. 
Basta multiplicar cada valor da variável W pela sua respectiva probabilidade e somar tudo. 
𝐸(𝑊) = −5% ∙ 0,4 + 0% ∙ 0,15 + 5% ∙ 0,25 + 10% ∙ 0,15 + 15% ∙ 0,05 
𝐸(𝑊) − 2%+ 0%+ 1,25% + 1,5% + 0,75% 
𝐸(𝑊) = 1,5% 
Gabarito: C 
 
 
2.1. Propriedades da Esperança Matemática 
 
Apesar de ainda não ter explicado o processo do cálculo da Esperança no caso de variáveis 
contínuas, as propriedades apresentadas a seguir são válidas tanto para variáveis discretas como 
para variáveis contínuas. 
Vamos considerar que X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer e que k seja uma constante 
qualquer (um número). 
i) 𝑬(𝒌 ∙ 𝑿) = 𝒌 ∙ 𝑬(𝑿) 
Ou seja, se multiplicamos uma variável aleatória por k, a sua esperança fica multiplicada por k. 
Lembra da propriedade da média aritmética em Estatística Descritiva? Aqui fica igualzinho. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
14 
 
Por exemplo, se dobramos os valores da variável aleatória, a sua média (esperança) também 
dobra. 
Vamos ver um exemplo bem prático. Lembra que levando em consideração um dado honesto de 
6 faces (as faces sendo 1,2,3,4,5,6), a esperança tinha dado 3,50? 
Vamos dobrar os valores das faces. Considere, portanto, um dado cujas faces são iguais a 
2,4,6,8,10,12. Qual o valor da esperança neste caso? 
Ora, como multiplicamos cada valor da variável por 2, a esperança também será multiplicada por 
2. Assim, a esperança neste caso é igual a 3,50 × 2 = 7. 
ii) 𝑬(𝑿 + 𝒌) = 𝑬(𝑿) + 𝒌 
Se adicionamos uma constante k a todos os valores de uma variável aleatória, também 
adicionamos k unidades à sua esperança. 
Voltemos novamente ao exemplo do dado. Imagine que eu vou adicionar 20 unidades a cada 
face. Ou seja, minhas novas faces serão iguais a 21, 22, 23, 24, 25, 26. Qual o novo valor da 
esperança? 
Ora, se eu adiciono 20 unidades a cada valor da variável, a esperança também aumentará 20 
unidades. Assim, a nova esperança é igual a 3,50 + 20 = 23,50. 
iii) 𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝑬(𝑿) + 𝑬(𝒀) 
Podemos ler a propriedade acima da seguinte maneira: a esperança da soma de duas variáveis é 
igual à soma das esperanças das variáveis. 
iv) 𝑬(𝒌) = 𝒌 
Esta propriedade é muito fácil de entender. Ela diz que a esperança de uma constante é igual à 
própria constante. 
Imagine um dado em que todas as faces são iguais a 4. Qual é a esperança neste caso? 
Ou seja, se você fosse lançar este dado infinitas vezes e calculasse a média, qual seria este valor? 
Quatro! 
v) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀) 
Observe que você só poderá utilizar esta propriedade se o problema garantir que as variáveis 
são independentes, ok? 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
15 
 
Acabamos de falar que SE (e este é um grande SE) as variáveis aleatórias X e Y são 
independentes, então 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). 
Porém, se você sabe que 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) você NÃO PODE GARANTIR QUE AS 
VARIÁVEIS SÃO INDEPENDENTES. 
 
Se as variáveis X e Y são independentes, então 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀). 
 
Se 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀), as variáveis X e Y podem ser independentes ou dependentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
16 
 
3. MODA 
 
Fazendo uma analogia com a Estatística Descritiva, a Moda será o valor com maior probabilidade. 
Se todos os valores são equiprováveis, não há moda. 
Assim, por exemplo, a moda da seguinte distribuição é 5. 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 10% 
2 15% 
3 15% 
4 20% 
5 30% 
6 10% 
 
A distribuição seguinte é amodal. 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
17 
 
4. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
 
Tomemos como exemplo a variável aleatória discreta X com a seguinte distribuição de 
probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
2 20% 
3 40% 
4 25% 
5 5% 
 
A função de distribuição 𝑭(𝒙) (ou função de distribuição acumulada) da variável X é definida por: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
Assim, a função de distribuição nos dá a probabilidade de a variável aleatória assumir valores 
menores do que ou iguais ao valor. 
Observe os seguintes exemplos para a tabela acima. 
𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(4) = 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 10% + 20%+ 40%+ 25% = 95% 
𝐹(5) = 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 10% + 20%+ 40%+ 25%+ 5% = 100% 
 
Perceba que podemos calcular outros valores para a função de distribuição. Exemplos: 
𝐹(−2) = 𝑃(𝑋 ≤ −2) = 0 
𝐹(−1) = 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 0 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
18 
 
𝐹(0) = 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 0 
𝐹(0,5) = 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 0 
𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,8) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,8) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,95) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,95) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,1) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,1) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,48) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,48) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,99) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,99) = 10% + 20% = 30 
𝐹(3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(3,4) = 𝑃(𝑋 ≤ 3,4) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(3,997) = 𝑃(𝑋 ≤ 3,997) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(4) = 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(4,6) = 𝑃(𝑋 ≤ 4,6) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(4,89) = 𝑃(𝑋 ≤ 4,6) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(5) = 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(6) = 𝑃(𝑋 ≤ 6) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(10) = 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(200) = 𝑃(𝑋 ≤ 200) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(1.000) = 𝑃(𝑋 ≤ 1.000) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
 
Por que coloquei tantos valores assim? Porque quero que você pegue o espírito da coisa. 
Observe que para valores menores do que 1, a função de distribuição é sempre igual a 0. 
Quando chegamos em 1, a função dá um salto para 10%. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
19 
 
Para valores de 1 até números menores do que 2 a função fica sempre valendo 10%. Quando 
chegamos em 2, a função dá um salto para 30% e permanece com esses valores até chegar em 3, 
quando dá outro salto para 70%. Quando chega em 4, dá um salto para 95%. Quando chega em 
5 dá um salto para 100% e ficaassim até infinito. 
 
Podemos então escrever: 
𝐹(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 1						
0,10	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2
0,30	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3
0,70	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 4
0,95	𝑠𝑒	4 ≤ 𝑋 < 5
1						𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
O gráfico da função de distribuição de uma variável discreta é uma função escada. Observe: 
 
 
Os tamanhos dos saltos determinam justamente os valores da variável. 
Observe que a função de distribuição começou em 0. Quando chegou em 1, deu um salto de 
tamanho 0,10. Portanto, 𝑃(𝑋 = 1) = 0,10. 
Quando chega em 2, a função dá um salto de 0,20 para chegar em 0,30. Portanto, 𝑃(𝑋 = 2) =
0,20. 
Quando chega em 3, a função dá um salto de 0,40 para chegar em 0,70. Portanto, 𝑃(𝑋 = 3) =
0,40. 
Quando chega em 4, a função dá um salto de 0,25 para chegar em 0,95. Portanto, 𝑃(𝑋 = 4) =
0,25. 
Quando chega em 5, a função dá um salto de 0,05 para chegar em 1. Portanto, 𝑃(𝑋 = 5) = 0,05. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
20 
 
 
(CESGRANRIO 2018/Banco do Brasil) 
A Tabela a seguir apresenta a distribuição da variável número de talões de cheque, X, solicitados 
no último mês de uma amostra de 200 clientes de um banco. 
 
A função de distribuição empírica para a variável X, número de talões de cheques solicitados, é: 
 
𝑎)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,005	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1
0,20	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,40	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,65	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 	𝑑)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,31	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,64	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,75	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
𝑏)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,10	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,20	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,30	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,50	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 𝑒)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,40	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,60	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,80	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
21 
 
𝑐)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,45	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,80	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,95	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
Comentário 
A frequência relativa tem o mesmo papel da probabilidade empírica. Para determinar a 
frequência relativa, que terá o mesmo papel da probabilidade, devemos dividir cada frequência 
absoluta pelo total de observações, que é 200. 
𝑿 𝒇𝒊 𝑷(𝑿) 
0 40 
40
200 = 0,20 
1 50 
50
200 = 0,25 
2 70 
70
200 = 0,35 
3 30 
30
200 = 0,15 
5 10 
10
200 = 0,05 
Total 200 1 
Vamos agora construir a coluna da função de distribuição acumulada. 
𝑿 𝒇𝒊 𝑷(𝑿) 𝑭𝒙(𝒙) 
0 40 0,20 0,20 
1 50 0,25 0,45 
2 70 0,35 0,80 
3 30 0,15 0,95 
5 10 0,05 1,00 
Total 200 1 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
22 
 
Com isso é possível obter 𝐹Z(𝑥) para todo x real. 
Gabarito: C 
5. MEDIANA 
 
Voltemos ao exemplo do tópico anterior. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
2 20% 
3 40% 
4 25% 
5 5% 
Aqui não há mais sentido em verificar se o número de observações é par ou ímpar. O 
procedimento aqui para calcular a mediana será bem mais simples. 
O primeiro passo é construir uma coluna com as funções de distribuições para os valores 
tabelados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
1 10% 10% 
2 20% 30% 
3 40% 70% 
4 25% 95% 
5 5% 100% 
Pois bem, a mediana é o valor de X em que a função de distribuição ultrapassa 50% pela primeira 
vez. 
Observe que a função de distribuição ultrapassa 50% justamente para X = 3. Portanto, 
𝑀_ = 3 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
23 
 
Se a função de distribuição assumir exatamente o valor de 50%, a mediana será a média 
aritmética entre o valor de X que possui função de distribuição igual a 50% e o próximo. 
Observe o exemplo abaixo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
4 20% 
10 20% 
16 40% 
20 10% 
Vamos construir uma coluna com 𝐹(𝑥) para os valores tabelados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
1 10% 10% 
4 20% 30% 
10 20% 50% 
16 40% 90% 
20 10% 100% 
Como a função de distribuição acumulada é exatamente 50% para 𝑋 = 10, então a mediana será 
a média entre 10 e 16. 
𝑀_ =
10 + 16
2 = 13 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
24 
 
 
6. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
Já aprendemos a calcular a média (esperança) de uma variável aleatória discreta. Vamos aprender 
agora a calcular a variância (e, consequentemente, o desvio-padrão) de uma variável aleatória. 
Por definição, a variância 𝜎a de uma variável aleatória X, de população infinita, é 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))a 
Outros símbolos para a variância: 𝑉(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
A variância nos dá uma medida do grau de dispersão da distribuição em torno da média. A 
unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida dos dados originais. Assim, 
por exemplo, se os dados são medidos em 𝑐𝑚, a variância será dada em 𝑐𝑚a. Para contornar 
esse problema, definimos o desvio padrão 𝜎 como a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = e𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
Lembrando que 𝐸(𝑋) também pode ser representada por 𝜇, a variância pode assim ser escrita: 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝜇)² 
Vamos desenvolver esta expressão? 
Primeiro devemos desenvolver o produto notável: 
(𝑋 − 𝜇)a = 𝑋² − 2𝑋𝜇 + 𝜇² 
Portanto: 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝜇)a = 𝐸(𝑋a − 2𝑋𝜇 + 𝜇a) 
Utilizando as propriedades da esperança, temos: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝐸(2𝑋𝜇) + 𝐸(𝜇a) 
Lembre-se que 𝜇 é a média da variável X. Assim, 𝜇 é uma constante. Sendo uma constante, 
podemos concluir que 𝐸(𝜇a) = 𝜇a e que 𝐸(2𝑋𝜇) = 2𝜇𝐸(𝑋). 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝜇a 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
25 
 
Como 𝐸(𝑋) = 𝜇,então: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇 ∙ 𝜇 + 𝜇a 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇² + 𝜇a 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
 
Esta fórmula é mais fácil de trabalhar. 
Também podemos escrever a fórmula acima da seguinte forma, já que 𝜇 = 𝐸(𝑥). 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]² 
 
 
Variância de uma variável aleatória 
 
Por definição, 𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿 − 𝝁)𝟐. 
 
Desenvolvendo essa expressão, temos 𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐. 
 
Vamos praticar um pouco? 
Vamos considerar um tetraedro regular (poliedro com 4 faces triangulares). Nas faces temos os 
números 2, 4, 6 e 8. O resultado é a face que fica voltada para baixo. 
Como o poliedro é regular, vamos supor que cada face tem a mesma probabilidade de sair. 
Assim: 
𝑃(2) = 𝑃(4) = 𝑃(6) = 𝑃(8) =
1
4 
Eis a sua distribuição de probabilidade. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
26 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
2 1/4 
4 1/4 
6 1/4 
8 1/4 
Para calcular a esperança, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva 
probabilidade e depois somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
Agora somamos tudo. 
𝜇 =
2
4 +
4
4 +
6
4 +
8
4𝜇 = 5 
Isto significa que se fôssemos jogar este tetraedro uma infinidade de vezes, a média seria igual a 
5. 
Vamos agora calcular a variância? 
Dê uma olhadinha na fórmula: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
Como já sabemos o valor de 𝜇, automaticamente já sabemos que 𝜇² = 5² = 25. 
Precisamos calcular 𝐸(𝑋a). 
Guilherme, qual o significado da expressão 𝐸(𝑋a)? 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
27 
 
Veja, meu amigo. Você lembra do processo para calcular a esperança de alguma coisa? Devemos 
multiplicar cada valor da variável em questão pela sua respectiva probabilidade e depois somar 
tudo. 
No caso, queremos calcular a esperança da variável X². Assim, vamos elevar ao quadrado cada 
valor da variável X, depois multiplicar pelas probabilidades e somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿² 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
2² = 4 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
4² = 16 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
6² = 36 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
8² = 64 
Agora vamos multiplicar cada valor de 𝑋² pelas respectivas probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿² 𝑿² ∙ 𝑷(𝑿) 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
2² = 4 4 ∙
1
4 = 1 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
4² = 16 16 ∙
1
4 = 4 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
6² = 36 36 ∙
1
4 = 9 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
8² = 64 64 ∙
1
4 = 16 
 
Somando tudo... 
𝐸(𝑋a) = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 
Agora podemos calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² = 30 − 5² = 5 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
28 
 
 
(ESAF 2009/AFRFB) 
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
𝑿 𝒇′ 
−2 6𝑎 
1 1𝑎 
2 3𝑎 
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: 
a) 𝜇n = −0,5		𝑒	𝜎na = 3,45 
b) 𝜇n = 0,5		𝑒	𝜎na = −3,45	 
c) 𝜇n = 0		𝑒	𝜎na = 1 
d) 𝜇n = −0,5		𝑒	𝜎na = 3,7 
e) 𝜇n = 0,5		𝑒	𝜎na = 3,7 
Comentário 
O enunciado da ESAF foi meio “impreciso” ao falar em frequência relativa. O correto mesmo 
seria probabilidade. 
O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Portanto: 
6𝑎 + 1𝑎 + 3𝑎 = 1 
10𝑎 = 1 
𝑎 = 0,1 
Vamos substituir este valor na distribuição de probabilidades. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
==193336==
 
 
29 
 
𝑿 𝒇′ 
−2 0,6 
1 0,1 
2 0,3 
Para calcular a média (esperança), vamos multiplicar cada valor da variável pela sua probabilidade 
e somar tudo. 
𝜇n = −2 × 0,6 + 1 × 0,1 + 2 × 0,3 
= −1,2 + 0,1 + 0,6 = −0,5 
Poderíamos ter feito isto na tabela. 
𝑿 𝒇′ 𝑿 ∙ 𝒇′ 
−2 0,6 −2 ∙ 0,6 = −1,2 
1 0,1 1 ∙ 0,1 = 0,1 
2 0,3 2 ∙ 0,3 = 0,6 
Assim, 𝜇n = −1,2 + 0,1 + 0,6 = −0,5. 
Vamos agora calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
Já sabemos o valor de 𝜇, portanto 𝜇² = (−0,5)a = 0,25. 
Vamos calcular 𝐸(𝑋a). Para tanto, devemos elevar os valores de X ao quadrado, depois 
multiplicar pelas probabilidades e somar tudo. 
𝑿 𝒇′ 𝑿 ∙ 𝒇′ 𝑿² 𝑿² ∙ 𝒇′ 
−2 0,6 −2 ∙ 0,6 = −1,2 (−2)a = 4 4 ∙ 0,6 = 2,4 
1 0,1 1 ∙ 0,1 = 0,1 1² = 1 1 ∙ 0,1 = 0,1 
2 0,3 2 ∙ 0,3 = 0,6 2² = 4 4 ∙ 0,3 = 1,2 
Somando tudo... 
𝐸(𝑋a) = 2,4 + 0,1 + 1,2 = 3,7 
Agora podemos calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² = 3,7 − 0,25 = 3,45 
Gabarito: A 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
30 
 
 
(CESGRANRIO 2011/Petrobras) 
Estatísticas do Departamento de Trânsito sobre o envolvimento de motoristas em acidentes com 
até 2 anos de habilitação indicam que o seguinte modelo pode ser adotado, ou seja, a variável 
aleatória X representa o número de acidentes e assume valores 0,1,2,3 e 4: 
Número de Acidentes (X) 0 1 2 3 4 
P(X=x) 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3 
O valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X são, respectivamente, 
a) 1,9 e 1,64 
b) 1,9 e 2,69 
c) 2,0 e 1,64 
d) 2,0 e 2,69 
e) 2,69 e 1,9 
Comentário 
Para calcular o valor esperado, devemos multiplicar cada valor da sua variável pela sua respectiva 
probabilidade e somar. 
𝐸(𝑋) = 0 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,3 
𝐸(𝑋) = 0 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 1,2 = 1,9 
Estamos em dúvida agora entre as alternativas A e B. 
Vamos calcular E(X²). Para isso, devemos elevar a variável X ao quadrado, multiplicar pelas 
probabilidades e somar tudo. 
𝐸(𝑋²) = 0² ∙ 0,3 + 1² ∙ 0,2 + 2² ∙ 0,1 + 3² ∙ 0,1 + 4² ∙ 0,3 
𝐸(𝑋a) = 0 + 0,2 + 0,4 + 0,9 + 4,8 
𝐸(𝑋a) = 6,3 
Agora podemos aplicar a fórmula da variância. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
31 
 
𝜎² = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]² 
 
𝜎² = 6,3 − 1,9² 
 
𝜎² = 2,69 
Este é o valor da variância!!! 
 O problema pede o desvio padrão, que é a raiz quadrada. 
Assim, já podemos riscar a alternativa B e ficamos com a alternativa A. 
De fato, 1,64² ≅ 2,69, portanto: 
𝜎 = e2,69 ≅ 1,64 
Gabarito: A 
 
 
6.1. Propriedades da Variância e do Desvio Padrão 
 
Veremos agora duas propriedades (muito parecidas com as propriedades da Estatística 
Descritiva). Considere que X é uma variável aleatória e que k é uma constante real. 
• 𝑉(𝑋 + 𝑘) = 𝑉(𝑋) 
• 𝑉(𝑘 ∙ 𝑋) = 𝑘² ∙ 𝑉(𝑋) 
Vamos analisar cada uma separadamente. 
i) 𝑉(𝑋 + 𝑘) = 𝑉(𝑋) 
Isto significa que se você adicionar uma constante a todos os valores da variável, a variância não 
se altera. 
ii) 𝑉(𝑘 ∙ 𝑋) = 𝑘² ∙ 𝑉(𝑋) 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
32 
 
Se você multiplicar todos os valores da variável por uma constante k, a variância ficará 
multiplicada pelo quadrado desta constante. 
O desvio padrão também não é alterado quando adicionamos uma constante a todos os valores 
da variável. 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então o desvio padrão fica multiplicado 
por |𝑘| quando multiplicamos todos os valores por uma constante 𝑘. 
 
(CESGRANRIO 2006/Petrobras) 
Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 8 
(E) 9 
Comentário 
Poderíamos raciocinar da seguinte maneira: 
Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em 
seguida adicionamos 1 ao resultado encontrado. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
33 
 
 
Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a 8. 
Gabarito: D 
 
(ESAF 2008/CGU) 
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável Y = 2X + 4? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 12 
Comentário 
Não precisamos da média da variável X para calcular a variância de Y. 
O raciocínio é o mesmo da questão anterior. 
Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em 
seguida adicionamos 4 ao resultado encontrado. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
34 
 
 
Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é iguala 8. 
Gabarito: D 
 
 
7. COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO 
 
Duas variáveis aleatórias podem ser independentes ou dependentes. Se existe uma relação entre 
as variáveis aleatórias, essa relação pode ser fraca ou forte. Vamos agora estudar duas medidas 
numéricas da “força” da relação entre duas variáveis aleatórias: a covariância e a correlação. 
Imagine que X seja uma variável aleatória correspondente à massa de uma amostra de água e Y 
seja uma variável aleatória corresponde ao volume da mesma amostra de água. É óbvio que 
existe uma fortíssima relação entre as variáveis X e Y. 
Se colocarmos os pares ordenados (X,Y) em um gráfico, eles certamente estarão em uma mesma 
reta, por causa da relação física entre X e Y. 
Essa relação não será perfeita se, por exemplo, estivermos medindo massa e volume de seres 
humanos. A relação aqui entre as variáveis seria um pouco mais fraca. Não esperaríamos que os 
pontos no gráfico, nesse exemplo, ficassem sobre a mesma reta. 
Quem mede essa “força” entre as variáveis são justamente a covariância e a correlação. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
35 
 
A partir de agora falaremos sobre média e variância da variável X e também média e variância da 
variável Y. 
Vamos utilizar os seguintes símbolos: 
𝐸(𝑋) = 𝜇n 
𝐸(𝑌) = 𝜇r 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎na 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜎ra 
Por definição, dadas duas variáveis aleatórias, X e Y, a covariância entre X e Y é 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r) 
A correlação entre X e Y é um número definido por: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n ∙ 𝜎r
 
 
 
Se os valores da variável Y tendem a crescer quando os valores de X crescem, 
então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0. 
 
Se os valores da variável Y tendem a diminuir quando os valores de X crescem, 
então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0. 
 
Assim, o sinal de 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) nos dá uma informação sobre a relação entre X e Y. 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
36 
 
Entretanto, a covariância pode assumir qualquer valor real. Por exemplo, a covariância pode ser 
150, -200, 350, 1, 4, −√2, 𝜋, etc. 
A covariância nos dá uma noção da tendência (se uma variável cresce, a outra cresce, por 
exemplo), mas não nos dá ideia da força dessa relação. 
 
Por outro lado, a correlação sempre assume valores no intervalo [−1,1], ou seja, a correlação 
pode valer no mínimo -1 e no máximo 1. 
Quando 𝜌(𝑋, 𝑌) = 1, temos uma correlação linear perfeita positiva, ou seja, os pontos estão 
perfeitamente sobre uma reta ascendente (quando X cresce, Y cresce; quando X decresce, Y 
decresce). 
Quando 𝜌(𝑋, 𝑌) = −1, temos uma correlação linear perfeita negativa, ou seja, os pontos estão 
perfeitamente sobre uma reta descendente (quando X cresce, Y decresce; quando X decresce, Y 
cresce). 
Se a correlação é zero (ou próxima de zero), não existe relação linear entre as variáveis (pode ser 
que exista outro tipo de relação entre as variáveis – uma relação trigonométrica, logarítmica ou 
polinomial, por exemplo). 
 
Vamos agora desenvolver a expressão da covariância para que possamos encontrar uma forma 
mais fácil de calculá-la. 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r) 
Desenvolvendo o produto, temos: 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌 − 𝑋𝜇r − 𝜇n𝑌 + 𝜇n𝜇r) 
Vamos desmembrar esta expressão utilizando as propriedades da esperança. 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋𝜇r) − 𝐸(𝜇n𝑌) + 𝐸(𝜇n𝜇r) 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
37 
 
Lembre-se que 𝜇n é a média da variável X e que 𝜇r é a média da variável Y. São, portanto, 
constantes. A esperança de uma constante é igual à própria constante, assim, 𝐸(𝜇n𝜇r) = 𝜇n𝜇r. 
Além, disso, pelas propriedades da esperança, temos 𝐸(𝑋𝜇r) = 𝜇r𝐸(𝑋) e 𝐸(𝜇n𝑌) = 𝜇n𝐸(𝑌). 
Logo, 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝐸(𝑋) − 𝜇n𝐸(𝑌) + 𝜇n𝜇r 
Pessoal, lembrem-se que E(X) é a mesma coisa que 𝜇n e E(Y) é a mesma coisa que 𝜇r. 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝜇n − 𝜇n𝜇r + 𝜇n𝜇r 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝜇n 
Portanto, podemos escrever a covariância assim: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇n𝜇r					𝑜𝑢							𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
Assim, podemos dizer que a covariância entre as variáveis X e Y é a esperança do produto menos 
o produto das esperanças. 
 
O passo a passo é o seguinte: 
i) Calculamos a esperança de X, obtendo 𝜇n = 𝐸(𝑋). 
ii) Calculamos a esperança de Y, obtendo 𝜇r = 𝐸(𝑌). 
iii) Multiplicamos a variável X pela variável Y obtendo a variável XY. 
iv) Calculamos a esperança de XY, obtendo 𝐸(𝑋𝑌). 
v) Aplicamos a fórmula da covariância. 
 
Você lembra que quando as variáveis X e Y são independentes, 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌)? 
Pois bem, suponha que as variáveis X e Y são independentes. O que ocorre com a covariância? 
Ora, sendo independentes, concluímos que 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). Assim: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
38 
 
Ora, se a covariância é 0, a correlação também é zero. 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n𝜎r
=
0
𝜎n𝜎r
= 0 
 
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: 
• 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
• 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 
• 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0 
 
Agora, se a covariância é igual a 0, você não pode concluir que as variáveis são independentes. 
 
Se as variáveis X e Y são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0. 
Se 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0, as variáveis podem ser independentes ou 
dependentes. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
39 
 
 
(IBADE 2017/IPERON) 
Escolha a alternativa correta para a seguinte pergunta: Qual a medida que antecede o cálculo da 
correlação, que pode ser expressa como a diferença entre o valor esperado da multiplicação de 
duas variáveis e a multiplicação do valor médio de cada uma dessas variáveis? 
a) Média 
b) Variância 
c) Desvio Padrão 
d) Covariância 
e) Mediana 
Comentário 
A correlação é dada por: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n ∙ 𝜎r
 
A medida que antecede o cálculo da correlação, que pode ser expressa como a diferença entre o 
valor esperado da multiplicação de duas variáveis e a multiplicação do valor médio de cada uma 
dessas variáveis é a covariância. 
Lembre-se que 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌), ou seja, é a covariância é a diferença entre a 
média do produto e o produto das médias. 
Gabarito: D 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
40 
 
7.1. Propriedades da Covariância 
 
Considere que X,Y e Z são variáveis aleatórias e que k é uma constante qualquer. É possível 
demonstrar as seguintes relações: 
i) 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) 
ii) 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) 
iii) 𝑐𝑜𝑣(𝑘, 𝑋) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑘) = 0 
iv) 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑍) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) + 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑍) 
v) 𝑐𝑜𝑣(𝑘𝑋, 𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑘𝑌) = 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
A sentença i) afirma que a covariância entre X e Y é igual à covariância entre Y e X. 
A sentença ii) afirma que a variânciade X é, na realidade, a covariância entre X e X. 
A sentença iii) afirma que a covariância entre uma variável aleatória e uma constante é sempre 
igual a 0. 
A sentença iv) nos ensinar a “desmembrar” uma soma “dentro” da covariância. 
A sentença v) afirma que se uma constante estiver multiplicando uma das variáveis, ela pode 
“sair” multiplicando a covariância. 
 
8. VARIÂNCIA DA SOMA E DA DIFERENÇA 
 
Vimos que 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌). 
Daí surge a pergunta: existe alguma fórmula para a variância da soma? 
Agora que temos em mãos a fórmula da covariância, vamos apresentar fórmulas para o cálculo 
da variância da soma e da variância da diferença de duas variáveis aleatórias. 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
41 
 
Note como estas expressões são muito parecidas às formas dos produtos notáveis (𝑥 + 𝑦)a =
𝑥² + 𝑦² + 2𝑥𝑦 e (𝑥 − 𝑦)a = 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥𝑦. Basta fazer a variância análoga ao quadrado e a 
covariância análoga ao produto. 
Eu vou demonstrar a fórmula da variância da soma das variáveis aleatórias X e Y, mas você não 
precisa se preocupar com isso. Se quiser, pode simplesmente decorar as fórmulas acima. 
Vimos que 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a. 
Portanto, 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) − (𝜇n + 𝜇r)]a 
Arrumando os termos, temos: 
= 𝐸[(𝑋 − 𝜇n) + (𝑌 − 𝜇r)]a 
Vamos agora desenvolver o produto notável. 
= 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)a + (𝑌 − 𝜇r)a + 2 ∙ (𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
Vamos agora desmembrar a esperança da soma em uma soma de esperanças. 
= 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a + 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a + 𝐸[2 ∙ (𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
 
= 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a + 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a + 2 ∙ 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
 
Observe que: 
𝐸(𝑋 − 𝜇n)a|}}~}}�
�(n)
+ 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a|}}~}}�
�(r)
+ 2 ∙ 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)]|}}}}}}~}}}}}}�
���(n,r)
 
Portanto, 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Como queríamos demonstrar. 
 
Se as variáveis X e Y são multiplicadas por constantes 𝑎 e 𝑏, respectivamente, temos: 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
42 
 
𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑉(𝑎𝑋) + 𝑉(𝑏𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏𝑌) 
Utilizando as propriedades da variância e da covariância, temos: 
𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) + 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Analogamente, 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
 
• 𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) + 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
43 
 
 
(FGV 2008/SEFAZ-RJ) 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então: 
(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y). 
(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y). 
(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y). 
(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). 
(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y). 
Comentário 
Vocês acreditam que caiu uma questão assim? Sem comentários, basta assinalar a fórmula que 
acabamos de ver. 
Gabarito: C 
 
 
9. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO E VARIÂNCIA RELATIVA 
Por definição, o coeficiente de variação de uma variável aleatória X é dada por: 
𝐶� =
𝜎
𝜇 
É exatamente a mesma fórmula que estudamos na Estatística Descritiva. Analogamente, 
podemos definir a variância relativa é dada pelo quadrado do coeficiente de variação. 
𝑉� = (𝐶�)a =
𝜎a
𝜇a 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
44 
 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A média de X é igual a 
 
a) – 0,5. 
 
b) – 0,2. 
 
c) – 0,1. 
 
d) 0 
 
e) 0,1. 
 
 
2. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A variância de X é igual a 
 
a) 0,16. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
45 
 
 
b) 0,64. 
 
c) 1. 
 
d) 1,2. 
 
e) 1,8. 
 
 
3. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
Se 𝑭(𝒙) representa a função de distribuição de X, ∀	𝒙 real, então 𝑭(−𝟎, 𝟖) é igual a 
 
a) 0,3 
 
b) 0,4 
 
c) 0,5 
 
d) 0,6 
 
e) 1,0 
 
 
4. (FGV 2018/COMPESA) 
 
Analise a tabela sobre o consumo diário de água dos habitantes de um município de 
Pernambuco. 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
46 
 
Selecionando de forma aleatória um indivíduo do município em questão, o valor esperado para 
seu consumo diário de água será de 
a) 84,36 L. 
b) 86,12 L. 
c) 87,5 L. 
d) 90 L. 
e) 112 L. 
 
5. (FGV 2017/MPE-BA) 
 
Para duas variáveis aleatórias estão disponíveis as seguintes informações estatísticas. 
 
𝑪𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) = 𝟏𝟖, 𝑬(𝒁) = 𝟒, 𝑽𝒂𝒓(𝒁) = 𝟐𝟓, 𝑬(𝒀) = 𝟒, 𝑪𝑽(𝒀) = 𝟐. 
 
Onde CV é o coeficiente de variação, além da nomenclatura usual. 
 
Então a expressão 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) vale: 
 
a) 265. 
 
b) 274. 
 
c) 306. 
 
d) 373. 
 
e) 405. 
 
 
6. (FGV 2016/IBGE) 
Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y – 3X, sendo E(X2) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 
16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância de Z é: 
a) 55 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
47 
 
b) 73 
c) 108 
d) 145 
e) 217 
 
7. (FGV 2016/CODEBA) 
Sejam X e Y, duas variáveis aleatórias, definidas como: Y = 2X. 
Considere Var (X) = 1. 
Logo, a Cov (X + Y, 2Y) é igual a: 
a) 1. 
b) 6. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 144. 
 
8. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
 
Seja F(x) a função de distribuição da variável X que representa o número de trabalhadores por 
domicílio em uma determinada população. Se 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟎	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟐𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
então o número médio de trabalhadores por domicílio subtraído do número mediano de 
trabalhadores por domicílio é igual a 
a) 0,15 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
48 
 
b) 0,10 
c) 0,25 
d) – 0,15 
e) – 0,50 
 
9. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função de distribuição empírica 𝑭𝟒𝟎(𝒙) abaixo corresponde a uma pesquisa realizada em 40 
domicílios de uma região, em que 𝒙 é o número de eleitores verificado no domicílio. 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟓	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟑𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟔𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
O número de domicílios em que se verificou possuir, pelo menos,1 eleitor e no máximo 3 
eleitores é 
a) 34 
b) 32 
c) 28 
d) 26 
e) 24 
 
10. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
49 
 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟏						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟒							
 
Sendo 𝑬(𝑿), 𝑴𝒐(𝑿) e 𝑴𝒅(𝑿), respectivamente, a média, a moda e a mediana de 𝑿, então o valor 
de 𝑬(𝑿) + 𝟐𝑴𝒐(𝑿) − 𝟑𝑴𝒅(𝑿) é 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,7 
d) 0,9 
e) 1 
 
11. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente. Cada disco tem 10 figuras: 
4 triângulos e 6 retângulos. Um jogador paga 10 reais para acionar a máquina. Ele ganha R$ 9,00 
se aparecerem 2 triângulos, R$ 15,00 se aparecerem 2 retângulos, e não ganha nada se ocorrer 
qualquer outro resultado. Supondo que as 10 figuras, nos 2 discos, são equiprováveis, a 
esperança de lucro do jogador numa única jogada, em reais, é igual a 
a) −1,50. 
b) −1,64. 
c) −2,05. 
d) −2,36. 
e) −3,16. 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
50 
 
12. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟖		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟑							
 
Se 𝑴𝒐(𝑿) denota a moda de X e 𝑴𝒅(𝑿) denota a mediana de X, o valor de 𝒀 = 𝑴𝒐(𝑿) − 𝟐𝑴𝒅(𝑿) 
é 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
13. (FCC 2009/Especialista em Políticas Públicas – Sec. De Gestão Pública SP) 
 
Um investidor avalia que, num investimento, ganha 5000 reais com probabilidade 𝒑, perde 2500 
reais com probabilidade 𝒑𝟐 e não ganha nada caso contrário. Se, nessas condições, o ganho 
esperado do investidor for de 1600 reais, o valor de 𝒑 é 
 
a) 1/3 
 
b) 3/5 
 
c) 1/5 
 
d) 2/5 
 
e) 2/3 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
51 
 
14. (FCC 2008/TRT 2ª Região) 
 
O gerente de uma empresa espera, em um determinado ano, obter os seguintes Índices de 
Lucratividade em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”: 
 
 
A esperança matemática do respectivo Índice de Lucratividade é igual a 
a) 4,8% 
b) 5,1% 
c) 5,2% 
d) 5,4% 
e) 6,0% 
 
15. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória 𝒀 que representa o número de 
acidentes de trabalho, por dia, em empresas do ramo metalúrgico de uma determinada região é 
dada por: 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟎						
𝒌			𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝒚 < 𝟏
𝟒𝒌		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟕𝒌		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟖𝒌		𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝒚 < 𝟒	
𝟏							𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟒						
 
Sabendo que a média da variável aleatória 𝒀 é 2 dias, o valor da variância de 𝒀, em (𝒅𝒊𝒂𝒔)𝟐, é 
a) 1,8 
b) 1,2 
c) 1,6 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
52 
 
d) 2,4 
e) 2,6 
 
16. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Seja var(X) variância da variável aleatória X, var(Y) a variância da variável aleatória Y e cov (X, Y) a 
covariância das variáveis aleatórias X, Y. É correto afirmar que 
a) var(X + Y) < var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
b) var(X + Y) > var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
c) se X e Y são independentes então cov(X, Y) ≠ 0. 
d) var(X + c) > var(X) para qualquer c >0. 
e) var(cX) = c var(X) para qualquer c > 0. 
 
17. (FCC 2015/DPE-SP) 
 
Os produtos A e B vendidos por uma loja on-line seguem, respectivamente, a distribuição de 
probabilidade das variáveis X e Y. 
 
Sabe-se que: 
 
I. A função de probabilidade da variável aleatória X é dada por 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝝀𝟑
𝒌�𝟏
𝒌!
, 𝒌 =
𝟏, 𝟐, 𝟑. 
II. A função de distribuição da variável aleatória Y é dada por 𝑭(𝒚) = ¡
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟏						
𝟏/𝟒	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟑/𝟒	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟏						𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟑
 
III. As variáveis aleatórias X e Y são independentes. 
 
Nessas condições, 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑, 𝒀 = 𝟏) é igual a 
 
a) 7/32 
 
b) 5/16 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
53 
 
c) 5/24 
 
d) 7/16 
 
e) 5/32 
 
 
18. (FMP 2011/TCE-RS) 
Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: 
I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). 
II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. 
III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
É correto afirmar que: 
(A) apenas I está correta. 
(B) apenas II está correta. 
(C) apenas III está correta. 
(D) apenas I e II estão corretas. 
(E) apenas II e III estão corretas. 
 
19. (CESGRANRIO 2010/BACEN) 
Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças 
matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância 
entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que 
(A) E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) 
(B) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) 
(C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) 
(D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
54 
 
(E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y) 
 
20. (CESGRANRIO 2005/SEAD-AM) 
Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1, então var(2X – Y) é igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
 
21. (ESAF 2006/ENAP) 
Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se 
afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
 
22. (CESGRANRIO 2005/MPE-RO) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis 
aleatórias X e Y. 
I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y). 
II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
55 
 
III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) II, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
 
23. (CESGRANRIO 2004/Prefeitura de Manaus) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y. 
I – Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). 
IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) I, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II,III e IV 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
56 
 
24. (FGV 2006/ICMS-MS) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: 
I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; 
III – se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
IV – se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Assinale: 
a) se nenhum alternativa estiver correta 
b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas 
c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas 
d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas 
e) se todas as alternativas estiverem corretas. 
 
25. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 
0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é 
(A) – 0,35 
(B) – 0,2 
(C) 0,1 
(D) 0,56 
(E) 0,92 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
57 
 
26. (CESPE 2016/TCE-PR) 
 
A quantidade de parcelas (X) escolhida por um cliente para o pagamento de determinado 
serviço é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟕¢𝒌
𝟐𝟏
, para 𝒌 ∈
{𝟏, 𝟐, … , 𝟔}, e 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟎, para 𝒌 ∉ {𝟏, 𝟐, … , 𝟔}. No que se refere a essa variável aleatória, 
assinale a opção correta. 
 
a) A esperança 𝑬(𝟑𝑿 − 𝟖) é igual a 0. 
 
b) 𝑷(𝑿 < 𝟐) > 𝟎, 𝟓. 
 
c) 𝑷(𝑿𝟐 = 𝟏) = 𝟒/𝟒𝟗. 
 
d) A esperança de X é igual ou superior a 3. 
 
e) A variância da variável aleatória X é igual ou superior a 3. 
 
 
27. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
Então a média da demanda diária é: 
 
a) 1,5. 
 
b) 2,0. 
 
c) 2,5. 
 
d) 3,0. 
 
e) 3,5. 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
58 
 
28. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
A variância da demanda diária é: 
 
a) 1,85. 
 
b) 1,5. 
 
c) 1,25. 
 
d) 1,0. 
 
e) 0,85. 
 
 
29. (CESGRANRIO 2018/Petrobras) 
As variáveis aleatórias X e Y são independentes. A variável X segue uma distribuição Normal 
com média 4 e variância 16, e a Y segue uma distribuição Normal com média 9 e variância 1. 
A distribuição de X - Y é Normal com 
a) média -5 e variância 15. 
b) média -5 e variância 17. 
c) média 5 e variância 15. 
d) média 5 e variância 17. 
e) média 13 e variância 15. 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
59 
 
30. (CESGRANRIO 2018/Banco do Brasil) 
Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (𝒙𝒊, 𝒚𝒊), com 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎,	a covariância 
obtida entre as variáveis X e Y foi −𝟐. Os dados foram transformados linearmente da forma 
(𝒛𝒊, 𝒘𝒊) = (−𝟑𝒙𝒊 + 𝟏, 𝟐𝒚𝒊 + 𝟑), para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎. Qual o valor da covariância entre as variáveis Z 
e W transformadas? 
a) 41 
b) 36 
c) –7 
d) 12 
e) 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
60 
 
GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. D 
02. C 
03. A 
04. B 
05. C 
06. B 
07. D 
08. D 
09. D 
10. D 
11. E 
12. B 
13. D 
14. D 
15. C 
16. B 
17. A 
18. B 
19. B 
20. D 
21. B 
22. B 
23. B 
24. B 
25. E 
26. A 
27. C 
28. A 
29. B 
30. D 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
61 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A média de X é igual a 
 
a) – 0,5. 
 
b) – 0,2. 
 
c) – 0,1. 
 
d) 0 
 
e) 0,1. 
 
Comentário 
 
Para calcular a média de X, basta multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e somar. 
 
𝑬(𝑿) = −𝟐 × 𝟎, 𝟏 − 𝟏 × 𝟎, 𝟐 + 𝟎 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏 × 𝟎, 𝟑 
 
𝑬(𝑿) = −𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟐 + 𝟎 + 𝟎, 𝟒 = 𝟎 
Gabarito: D 
 
2. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
62 
 
 
 
 
A variância de X é igual a 
 
a) 0,16. 
 
b) 0,64. 
 
c) 1. 
 
d) 1,2. 
 
e) 1,8. 
 
Comentário 
 
Para calcular a variância, primeiro precisamos calcular a esperança de 𝑿 e a esperança de 𝑿𝟐. 
 
Já calculamos 𝑬(𝑿) na questão passada. 
 
𝑬(𝑿) = 𝟎 
 
Para calcular 𝑬(𝑿𝟐), devemos elevar cada valor da variável ao quadrado (obtendo assim 𝑿𝟐), 
multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e somar. 
 
𝑬(𝑿𝟐) = (−𝟐)𝟐 × 𝟎, 𝟏 + (−𝟏)𝟐 × 𝟎, 𝟐 + 𝟎𝟐 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟒 
 
𝑬(𝑿𝟐) = 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟐 + 𝟎 + 𝟎, 𝟒 = 𝟏 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟏 − 𝟎𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟏 
Gabarito: C 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
63 
 
 
3. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
Se 𝑭(𝒙) representa a função de distribuição de X, ∀	𝒙 real, então 𝑭(−𝟎, 𝟖) é igual a 
 
a) 0,3 
 
b) 0,4 
 
c) 0,5 
 
d) 0,6 
 
e) 1,0 
 
Comentário 
 
Lembre-se que 𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙). 
 
Portanto, 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝑷(𝑿 ≤ −𝟎, 𝟖) 
 
Há dois valores menores do que -0,8. Logo, 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝑷(𝑿 = −𝟏) + 𝑷(𝑿 = −𝟐) 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟑 
Gabarito: A 
 
 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
64 
 
 
4. (FGV 2018/COMPESA) 
 
Analise a tabela sobre o consumo diário de água dos habitantes de um município de 
Pernambuco. 
 
 
 
Selecionando de forma aleatória um indivíduo do município em questão, o valor esperado para 
seu consumo diário de água será de 
a) 84,36 L. 
b) 86,12 L. 
c) 87,5 L. 
d) 90 L. 
e) 112 L. 
Comentário 
Para calcular o valor esperado, basta multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e 
somar. 
𝑋 13 20 38 50 64 83 90 112 120 163 175 
𝑷(𝑿) 0,05 0,07 0,08 0,10 0,09 0,11 0,11 0,12 0,15 0,10 0,02 
𝑿 ∙ 𝑷(𝒙) 0,65 1,40 3,04 5,00 5,76 9,13 9,90 13,44 18,00 16,30 3,50 
 
𝝁 = 𝟎, 𝟔𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟎 + 𝟑, 𝟎𝟒 +⋯+ 𝟑, 𝟓𝟎 
 
𝝁 = 𝟖𝟔, 𝟏𝟐	𝑳 
Gabarito: B 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
65 
 
 
5. (FGV 2017/MPE-BA) 
 
Para duas variáveis aleatórias estão disponíveis as seguintes informações estatísticas. 
 
𝑪𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) = 𝟏𝟖, 𝑬(𝒁) = 𝟒, 𝑽𝒂𝒓(𝒁)= 𝟐𝟓, 𝑬(𝒀) = 𝟒, 𝑪𝑽(𝒀) = 𝟐. 
 
Onde CV é o coeficiente de variação, além da nomenclatura usual. 
 
Então a expressão 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) vale: 
 
a) 265. 
 
b) 274. 
 
c) 306. 
 
d) 373. 
 
e) 405. 
 
Comentário 
 
Vamos aplicar a fórmula da variância para a variável Z. 
 
𝑽𝒂𝒓(𝒁) = 𝑬(𝒁𝟐) − [𝑬(𝒁)]𝟐 
 
𝟐𝟓 = 𝑬(𝒁𝟐) − 𝟒𝟐 
 
𝟐𝟓 = 𝑬(𝒁𝟐) − 𝟏𝟔 
 
𝑬(𝒁𝟐) = 𝟒𝟏 
 
Sabemos que o coeficiente de variação de Y vale 2. 
 
𝝈𝒀
𝝁𝒀
= 𝟐 
Lembre-se que 𝝁𝒀 é o mesmo que 𝑬(𝒀). 
 
𝝈𝒀
𝟒 = 𝟐 
 
𝝈𝒀 = 𝟖 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
66 
 
Elevando ao quadrado: 
 
𝝈𝒀𝟐 = 𝟔𝟒 
Logo, 𝑽𝒂𝒓(𝒀) = 𝟔𝟒. 
 
Lembre-se que: 
 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Logo, 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟐𝟐 ∙ 𝑽𝒂𝒓(𝒀) + 𝟑𝟐 ∙ 𝑽𝒂𝒓(𝒁) − 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝒄𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟒 ∙ 𝟔𝟒 + 𝟗 ∙ 𝟐𝟓 − 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟖 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟐𝟔𝟓 
 
A questão pediu o valor de 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁). 
 
𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 
 
= 𝟒𝟏 + 𝟐𝟔𝟓 = 𝟑𝟎𝟔 
 
Gabarito: C 
 
6. (FGV 2016/IBGE) 
Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y – 3X, sendo E(X2) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 
16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância de Z é: 
a) 55 
b) 73 
c) 108 
d) 145 
e) 217 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
67 
 
Comentário 
Vamos primeiro calcular a variância de X, que será necessária. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]a 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 25 − 4a = 9 
Agora vamos utilizar a fórmula vista para o cálculo da variância da diferença. 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
Logo, 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 2a ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 3a ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) − 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 4 ∙ 16 + 9 ∙ 9 − 12 ∙ 6 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 73 
Gabarito: B 
 
7. (FGV 2016/CODEBA) 
Sejam X e Y, duas variáveis aleatórias, definidas como: Y = 2X. 
Considere Var (X) = 1. 
Logo, a Cov (X + Y, 2Y) é igual a: 
a) 1. 
b) 6. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 144. 
Comentário 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
68 
 
Queremos calcular 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑌). Como 𝑌 = 2𝑋, então: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 2𝑋, 2 ∙ 2𝑋) = 
= 𝑐𝑜𝑣(3𝑋, 4𝑋) 
Vamos aplicar as propriedades da covariância: 
= 3 ∙ 4 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 12 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 12 ∙ 1 = 12 
Gabarito: D 
 
8. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
 
Seja F(x) a função de distribuição da variável X que representa o número de trabalhadores por 
domicílio em uma determinada população. Se 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟎	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟐𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
então o número médio de trabalhadores por domicílio subtraído do número mediano de 
trabalhadores por domicílio é igual a 
a) 0,15 
b) 0,10 
c) 0,25 
d) – 0,15 
e) – 0,50 
Comentário 
 
Percebe-se que a variável aleatória discreta assume os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4. 
 
A probabilidade associada a cada um desses valores é dada justamente pelo tamanho dos saltos. 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
69 
 
Observe que quando chegamos em 0, a função salta de 0 para 0,10. O salto foi de 0,10. 
Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟎 
 
Quando chegamos em 1, a função salta de 0,10 para 0,25. O salto foi de 0,25 – 0,10 = 0,15. 
Portanto, 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟏𝟓 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎, 𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟎 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
Vamos construir a distribuição de probabilidades. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
0 0,10 
1 0,15 
2 0,25 
3 0,30 
4 0,20 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada valor pela sua respectiva probabilidade e somar 
os resultados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
0 0,10 0 
1 0,15 0,15 
2 0,25 0,50 
3 0,30 0,90 
4 0,20 0,80 
Portanto, 
 
𝝁 = 𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟗𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟎 
 
𝝁 = 𝟐, 𝟑𝟓 
 
Vamos construir a coluna da função de distribuição para os valores tabelados. 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
70 
 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
0 0,10 0,10 
1 0,15 0,25 
2 0,25 0,50 
3 0,30 0,80 
4 0,20 1,00 
Como a função de distribuição assumiu exatamente o valor de 50%, então a mediana será a 
média entre 2 e 3. 
 
𝑴𝒅(𝑿) =
𝟐 + 𝟑
𝟐 = 𝟐, 𝟓 
 
A diferença entre a média e a mediana é: 
 
𝝁 −𝑴𝒅(𝑿) = 𝟐, 𝟑𝟓 − 𝟐, 𝟓𝟎 = −𝟎, 𝟏𝟓 
Gabarito: D 
 
9. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função de distribuição empírica 𝑭𝟒𝟎(𝒙) abaixo corresponde a uma pesquisa realizada em 40 
domicílios de uma região, em que 𝒙 é o número de eleitores verificado no domicílio. 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟓	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟑𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟔𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
O número de domicílios em que se verificou possuir, pelo menos, 1 eleitor e no máximo 3 
eleitores é 
a) 34 
b) 32 
c) 28 
d) 26 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
71 
 
e) 24 
Comentário 
 
A função de distribuição empírica fornece frequências relativas e deverá ser trabalhada da mesma 
forma que uma função de distribuição de probabilidades. 
Percebe-se que a variável aleatória discreta assume os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4. 
 
A probabilidade (frequência relativa) associada a cada um desses valores é dada justamente pelo 
tamanho dos saltos. 
 
Observe que quando chegamos em 0, a função salta de 0 para 0,15. O salto foi de 0,15. 
Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟓 
 
Quando chegamos em 1, a função salta de 0,15 para 0,35. O salto foi de 0,35 – 0,15 = 0,20. 
Portanto, 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟐𝟎 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎, 𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
Queremos calcular 𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑). 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑) = 
 
= 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑) 
 
= 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟓 
 
Isso quer dizer que 65% das observações assumem valores no intervalo 𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑. Como são 40 
domicílios, então: 
𝟔𝟓%	𝒅𝒆	𝟒𝟎 = 
 
=
𝟔𝟓
𝟏𝟎𝟎 × 𝟒𝟎 = 𝟐𝟔 
Gabarito: D 
 
Guilherme Neves
Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente) Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital (Preparação de A a Z)
www.estrategiaconcursos.com.br
1651510
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
72 
 
 
10. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟏						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟒							
 
Sendo 𝑬(𝑿), 𝑴𝒐(𝑿) e 𝑴𝒅(𝑿), respectivamente, a média, a moda e a mediana de 𝑿, então o valor 
de 𝑬(𝑿) + 𝟐𝑴𝒐(𝑿) − 𝟑𝑴𝒅(𝑿) é 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,7 
d) 0,9 
e) 1 
Comentário 
 
Percebemos que a variável aleatória discreta X pode assumir os valores 1, 2, 3 ou 4.