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Aula 09
 Estatística p/ Polícia Federal (Agente)
Com Videoaulas - 2020 - Pré-Edital
(Preparação de A a Z)
Autor:
Guilherme Neves
Aula 09
6 de Julho de 2020
72649224215 - Raimundo Macêdo Bezerra Junior
 
 
1 
 
Sumário 
1. Variáveis Aleatórias ................................................................................................................................. 3 
2. Esperança Matemática ............................................................................................................................ 7 
2.1. Propriedades da Esperança Matemática ........................................................................................ 13 
3. Moda ..................................................................................................................................................... 16 
4. Função de Distribuição ......................................................................................................................... 17 
5. Mediana ................................................................................................................................................ 22 
6. Variância e Desvio Padrão ..................................................................................................................... 24 
6.1. Propriedades da Variância e do Desvio Padrão ............................................................................. 31 
7. Covariância e Correlação ...................................................................................................................... 34 
7.1. Propriedades da Covariância ......................................................................................................... 40 
8. Variância da Soma e da Diferença ........................................................................................................ 40 
9. Coeficiente de Variação e Variância Relativa ........................................................................................ 43 
Lista de Questões de Concursos sem Comentários ..................................................................................... 44 
Gabarito sem comentário ............................................................................................................................. 60 
Lista de Questões de Concursos com Comentários ..................................................................................... 61 
Considerações Finais .................................................................................................................................. 103	
 
 
 
Guilherme Neves
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Para esta aula, aconselho assistir o seguinte vídeo, em que ensino a calcular raízes quadradas 
aproximadas: https://www.youtube.com/watch?v=8jKk9e-70LQ&t=31s 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Guilherme Neves
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1. VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
As variáveis aleatórias são a base no estudo da Estatística Inferencial. Vamos trabalhar com o 
exemplo mais clássico e simples que é o lançamento de um dado honesto. Como todos bem 
sabem, são seis possíveis resultados no lançamento de um dado, a saber: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
O dado que estamos trabalhando é honesto, ou seja, estamos partindo do pressuposto que 
todas as faces têm a mesma probabilidade de sair. Ok? 
No caso, 𝑃(1) = 𝑃(2) = 𝑃(3) = 𝑃(4) = 𝑃(5) = 𝑃(6) = 1/6. 
E o que significa esta probabilidade 1/6? 
Significa que se pudéssemos lançar este dado uma infinidade de vezes, o esperado é que em 1/6 
das vezes saísse o número 1, em 1/6 das vezes saísse o número 2, e assim por diante. 
Só para exemplificar, se pudéssemos lançar o dado 6.000 vezes, esperamos que o número 1 saia 
em torno de 1.000 vezes. Não estamos dizendo que sairá exatamente 1.000 vezes, mas como o 
dado é honesto, é bem provável que cada um dos números saia 1.000 vezes (ou algo bem 
próximo disso). 
Este é um exemplo de variável aleatória. Ela pode assumir valores de uma maneira 
completamente aleatória, ou seja, não temos como prever o seu resultado. Por outro lado, 
podemos associar valores de probabilidade a cada um dos possíveis resultados. 
Como outro exemplo, considere o peso do carregamento de garrafas de água mineral. Esses 
pesos variam aleatoriamente de 5 a 22 kg. Os pesos reais das garrafas são os valores da variável 
aleatória peso. 
Esses dois exemplos mostram que as variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas. Uma 
variável aleatória discreta pode assumir apenas certos valores, usualmente números racionais, e 
resultam basicamente de contagens. Os possíveis resultados no lançamento de um dado são 
limitados e servem como exemplo de variável aleatória discreta. Os valores das variáveis estão 
restritos a apenas certos números: 1, 2, 3, 4, 5 e 6. 
Uma variável aleatória contínua resulta de uma medida e pode assumir qualquer valor dentro de 
um dado intervalo. No exemplo do carregamento de garrafas de água, os pesos podem assumir 
qualquer valor no intervalo de 5 a 22 kg. 
Guilherme Neves
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No caso de estarmos trabalhando com uma variável aleatória contínua, nós não poderemos 
atribuir probabilidades a valores específicos. Só poderemos atribuir probabilidades a intervalos 
de valores. 
Por quê? 
Porque no caso da variável contínua existe uma infinidade de possibilidades. 
Vejamos um exemplo prático: considere a cidade do Recife. Qual é a probabilidade de a 
temperatura no dia 25/03/2029 às 6h da manhã ser EXATAMENTE 27,53235778 ºC? 
Esta probabilidade é igual a 0. Isto porque há um caso favorável e uma infinidade de casos 
possíveis. 
Agora, poderíamos calcular, por exemplo, a probabilidade de a temperatura assumir valores 
entre 20ºC e 25ºC. Esta probabilidade certamente não é igual a 0. 
 
Variável aleatória (v.a.) é uma variável que é associada a uma distribuição de 
probabilidade. 
 
São exemplos de variáveis aleatórias: o valor de uma ação ao final do dia de amanhã, a 
altura de uma criança daqui a 1 ano, etc. Todas essas variáveis podem assumir 
diferentes valores, valores estes que, por sua vez, estão associados a probabilidades. 
 
Não são variáveis aleatórias: o valor de uma ação no final do pregão de ontem, o 
número de pontos de um time de futebol em um campeonato que já acabou, a altura 
de um homem de 40 anos daqui a 2 dias, a área útil de uma sala,... Todas essas 
variáveis têm valores fixos, ou seja, não mudam. 
 
Guilherme Neves
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Eu falei sobre distribuição de probabilidade, mas ainda não a defini. 
Distribuição de probabilidades é uma lista de todos os resultados possíveis de um experimento e 
também das probabilidades associadas a cada um dos resultados. Obviamente, a soma de todas 
as probabilidades será sempre igual a 1. 
No nosso exemplo do dado honesto: 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Aqui na estatística inferencial, a probabilidade associadaa um valor da variável aleatória terá um 
papel muito parecida com a frequência relativa da estatística descritiva. 
Como já falei anteriormente, qual o significado da probabilidade igual a 1/6? 
Significa que, se você lançar o dado honesto muitas e muitas vezes, seria bem provável que cada 
um dos números saísse em 1/6 das vezes. 
Temos muito mais coisas a fazer do que ficar lançando dados, não é mesmo? 
É para isso que serve o Excel. Fiz uma simulação e “lancei” o dado 60.000 vezes (usando a 
função =ALEATÓRIOENTRE). De acordo com as probabilidades da distribuição acima, 
esperamos que cada face saia em torno de 10.000 vezes. 
Pois bem, mandei o Excel contar os números (usando a função =cont.se) e obtive os seguintes 
valores: 
 
Guilherme Neves
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6 
 
Número da face Frequência absoluta 
1 9.917 
2 9.958 
3 10.126 
4 10.090 
5 10.003 
6 9.906 
 
Muito bom!! 
Vamos calcular a média aritmética desse experimento? 
Para isto, vamos multiplicar cada valor da face pela sua frequência, somar tudo e dividir por 
60.000. 
Número da face Frequência absoluta 𝑿𝒊 ∙ 𝒇𝒊 
1 9.917 1 × 9.917 = 9.917 
2 9.958 2 × 9.958 = 19.916 
3 10.126 3 × 10.126 = 30.378 
4 10.090 4 × 10.090 = 40.360 
5 10.003 5 × 10.003 = 50.015 
6 9.906 6 × 9.906 = 59.436 
 
Assim, a média será igual a: 
𝑋= =
9.917 + 19.916 + 30.378 + 40.360 + 50015 + 59436
60.000 =
210.022
60.000 
 
𝑋= = 3,50036666666… 
Feito isto, vamos falar na esperança de uma variável aleatória. 
 
Guilherme Neves
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2. ESPERANÇA MATEMÁTICA 
 
A esperança matemática (também chamada de expectância, valor médio ou média) é, por 
definição, o número 
𝜇 = 𝐸(𝑋) =/𝑋1 ∙ 𝑃(𝑋1)
C
134
 
O que significa esta expressão? 
Significa que, para calcular a esperança de uma variável aleatória, devemos multiplicar cada valor 
da variável pela sua respectiva probabilidade e depois somar tudo. Só isso!!! 
Repita: 
• Multiplique cada valor da variável pela sua probabilidade 
• Some tudo!! 
Muito fácil!!! 
Vejamos o exemplo do dado. Tínhamos a seguinte distribuição de probabilidades: 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Para calcular a esperança, multiplicamos cada valor da variável pela sua probabilidade, ou seja, 
multiplicamos 𝑋1 por 𝑃(𝑋1). Depois somamos tudo. 
 
Guilherme Neves
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8 
 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 𝑿𝒊 ∙ 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 1 ×
1
6 =
1
6 
2 1/6 2 ×
1
6 =
2
6 
3 1/6 3 ×
1
6 =
3
6 
4 1/6 4 ×
1
6 =
4
6 
5 1/6 5 ×
1
6 =
5
6 
6 1/6 6 ×
1
6 =
6
6 
 /𝑃(𝑋1)
2
134
= 1 
 
Vamos somar tudo agora? 
𝜇 = 𝐸(𝑋) =
1
6 +
2
6 +
3
6 +
4
6 +
5
6 +
6
6 =
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6
6 =
21
6 
 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = 3,50 
Epaaa, Guilherme!! Aquele exemplo que você fez no Excel... A média tinha dado 
3,50036666666…!!!! É coincidência isso? 
Não, meu amigo!! Graças a Deus que você percebeu isso. 
Esse é o espírito da Esperança Matemática. 
Se fosse possível lançar o dado infinitas vezes e calcular a média aritmética, o resultado seria 
exatamente a esperança da variável aleatória. Está vendo como a matemática é bela? 
Por enquanto vamos nos restringir ao estudo da esperança de variáveis aleatórias discretas. 
Vamos resolver alguns exercícios para treinar estes conceitos iniciais? 
 
Guilherme Neves
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(CESGRANRIO 2009/MEC) 
Uma empresa considera fazer um investimento que tem probabilidade igual a 0,2 de produzir 
um lucro de R$ 20.000,00 e probabilidade igual a 0,5 de produzir um lucro de R$ 8.000,00; caso 
contrário, o investimento trará um prejuízo de R$ 15.000,00. O valor esperado do retorno do 
investimento, em reais, é 
(A) 3.500,00 
(B) 4.000,00 
(C) 4.500,00 
(D) 5.000,00 
(E) 5.500,00 
Comentário 
Vamos construir a distribuição de probabilidades. 
X P(X) 
20.000,00 0,2 
8.000,00 0,5 
−	15.000,00 0,3 
Para calcular o valor esperado, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva 
probabilidade e somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
20.000,00 0,2 20.000 ∙ 0,2 = 4.000,00 
8.000,00 0,5 8.000 ∙ 0,5 = 4.000,00 
−	15.000,00 0,3 −15.000 ∙ 0,3 = −4.500,00 
 
Dessa forma, o valor esperado será 4.000 + 4.000 – 4.500 = 3.500. 
Guilherme Neves
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Gabarito: A 
 
(ESAF 2006/MPOG) 
Suzana e Sandra jogam, cada uma, uma moeda. Se do lançamento dessas duas moedas resultar 
duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a 
Suzana R$ 4,00. Supondo que ambas as moedas sejam estatisticamente honestas, o valor 
esperado, em reais, dos ganhos de Sandra (considerando- se como ganhos negativos os valores 
que ela paga à Suzana) é igual a 
a) 1,5. 
b) -0,75. 
c) 0,75. 
d) -1,5. 
e) 2,5. 
Comentário 
O problema pede para calcular o valor esperado. Valor esperado é a mesma coisa que esperança 
matemática (ou expectância ou média). 
Queremos calcular os ganhos de Sandra. 
Se do lançamento dessas duas moedas resultar duas caras, Suzana paga a Sandra R$ 6,00. Ou 
seja, se o resultado for cara-cara (probabilidade igual a 1/4), Sandra GANHA R$ 6,00. 
Dando qualquer outro resultado, Sandra paga a Suzana R$ 4,00. 
Quais são os outros possíveis resultados? Cara-coroa, coroa-cara ou coroa-coroa. A 
probabilidade de isso ocorrer é igual a ¾. 
Eis a distribuição de probabilidades. 
 
 
 
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𝑿 𝑷(𝑿) 
+6,00 
1
4 
−4 3
4 
 
Para calcular a esperança devemos seguir dois passos. 
i) Multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva probabilidade. 
ii) Somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
+6,00 
1
4 (+6) ×
1
4 = +1,50 
−4 3
4 (−4) ×
3
4 = −3,00 
A esperança é igual a: 
𝜇 = 𝐸(𝑋) = +1,50 − 3,00 = −1,50 
Isto significa que, se Sandra e Suzana realizassem este experimento uma infinidade de vezes, 
Sandra perderia R$ 1,50 por jogo em média. 
Gabarito: D 
 
(ESAF 2004/MPU) 
O preço de determinada ação fica constante, aumenta ou diminui R$ 1,00 por dia com 
probabilidades 0,3, 0,3 e 0,4 respectivamente. Assinale a opção que dá o valor esperado do 
preço da ação amanhã se seu preço hoje é R$ 8,00. 
a) R$ 7,90 
b) R$ 8,00 
c) R$ 7,00 
d) R$ 9,00 
e) R$ 8,50 
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Comentário 
A probabilidade de o preço da ação não variar (permanecer constante) é igual a 0,3. Assim, a 
probabilidade de o preço da ação continuar R$ 8,00 é 0,3. 
A probabilidade de o preço da ação aumentar R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 9,00) é igual a 0,3. 
A probabilidade de o preço da ação diminuir R$ 1,00 (ou seja, ficar igual a R$ 7,00) é igual a 0,4. 
Eis a distribuição de probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
7,00 0,4 
8,00 0,3 
9,00 0,3 
Queremos calcular o valor esperado. Para tanto, multiplicamoscada valor da variável pela sua 
respectiva probabilidade e depois somamos tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
7,00 0,4 7,00 ∙ 0,4 = 2,80 
8,00 0,3 8,00 ∙ 0,3 = 2,40 
9,00 0,3 9,00 ∙ 0,3 = 2,70 
 
𝐸(𝑋) = 2,80 + 2,40 + 2,70 = 7,90 
Gabarito: A 
 
(CESGRANRIO 2007/TCE-RO) 
O retorno mensal de certo investimento de risco pode ser modelado pela variável aleatória W, 
com função de probabilidade dada a seguir. 
 
 
O retorno esperado é: 
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(A) – 0,5% 
(B) 0,5% 
(C) 1,5% 
(D) 5% 
(E) 7,5% 
Comentário 
O retorno esperado é o mesmo que esperança. 
Basta multiplicar cada valor da variável W pela sua respectiva probabilidade e somar tudo. 
𝐸(𝑊) = −5% ∙ 0,4 + 0% ∙ 0,15 + 5% ∙ 0,25 + 10% ∙ 0,15 + 15% ∙ 0,05 
𝐸(𝑊) − 2%+ 0%+ 1,25% + 1,5% + 0,75% 
𝐸(𝑊) = 1,5% 
Gabarito: C 
 
 
2.1. Propriedades da Esperança Matemática 
 
Apesar de ainda não ter explicado o processo do cálculo da Esperança no caso de variáveis 
contínuas, as propriedades apresentadas a seguir são válidas tanto para variáveis discretas como 
para variáveis contínuas. 
Vamos considerar que X e Y são duas variáveis aleatórias quaisquer e que k seja uma constante 
qualquer (um número). 
i) 𝑬(𝒌 ∙ 𝑿) = 𝒌 ∙ 𝑬(𝑿) 
Ou seja, se multiplicamos uma variável aleatória por k, a sua esperança fica multiplicada por k. 
Lembra da propriedade da média aritmética em Estatística Descritiva? Aqui fica igualzinho. 
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Por exemplo, se dobramos os valores da variável aleatória, a sua média (esperança) também 
dobra. 
Vamos ver um exemplo bem prático. Lembra que levando em consideração um dado honesto de 
6 faces (as faces sendo 1,2,3,4,5,6), a esperança tinha dado 3,50? 
Vamos dobrar os valores das faces. Considere, portanto, um dado cujas faces são iguais a 
2,4,6,8,10,12. Qual o valor da esperança neste caso? 
Ora, como multiplicamos cada valor da variável por 2, a esperança também será multiplicada por 
2. Assim, a esperança neste caso é igual a 3,50 × 2 = 7. 
ii) 𝑬(𝑿 + 𝒌) = 𝑬(𝑿) + 𝒌 
Se adicionamos uma constante k a todos os valores de uma variável aleatória, também 
adicionamos k unidades à sua esperança. 
Voltemos novamente ao exemplo do dado. Imagine que eu vou adicionar 20 unidades a cada 
face. Ou seja, minhas novas faces serão iguais a 21, 22, 23, 24, 25, 26. Qual o novo valor da 
esperança? 
Ora, se eu adiciono 20 unidades a cada valor da variável, a esperança também aumentará 20 
unidades. Assim, a nova esperança é igual a 3,50 + 20 = 23,50. 
iii) 𝑬(𝑿 + 𝒀) = 𝑬(𝑿) + 𝑬(𝒀) 
Podemos ler a propriedade acima da seguinte maneira: a esperança da soma de duas variáveis é 
igual à soma das esperanças das variáveis. 
iv) 𝑬(𝒌) = 𝒌 
Esta propriedade é muito fácil de entender. Ela diz que a esperança de uma constante é igual à 
própria constante. 
Imagine um dado em que todas as faces são iguais a 4. Qual é a esperança neste caso? 
Ou seja, se você fosse lançar este dado infinitas vezes e calculasse a média, qual seria este valor? 
Quatro! 
v) Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀) 
Observe que você só poderá utilizar esta propriedade se o problema garantir que as variáveis 
são independentes, ok? 
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Acabamos de falar que SE (e este é um grande SE) as variáveis aleatórias X e Y são 
independentes, então 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). 
Porém, se você sabe que 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) você NÃO PODE GARANTIR QUE AS 
VARIÁVEIS SÃO INDEPENDENTES. 
 
Se as variáveis X e Y são independentes, então 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀). 
 
Se 𝑬(𝑿𝒀) = 𝑬(𝑿) ∙ 𝑬(𝒀), as variáveis X e Y podem ser independentes ou dependentes. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3. MODA 
 
Fazendo uma analogia com a Estatística Descritiva, a Moda será o valor com maior probabilidade. 
Se todos os valores são equiprováveis, não há moda. 
Assim, por exemplo, a moda da seguinte distribuição é 5. 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 10% 
2 15% 
3 15% 
4 20% 
5 30% 
6 10% 
 
A distribuição seguinte é amodal. 
𝑿𝒊 𝑷(𝑿𝒊) 
1 1/6 
2 1/6 
3 1/6 
4 1/6 
5 1/6 
6 1/6 
 
 
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4. FUNÇÃO DE DISTRIBUIÇÃO 
 
Tomemos como exemplo a variável aleatória discreta X com a seguinte distribuição de 
probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
2 20% 
3 40% 
4 25% 
5 5% 
 
A função de distribuição 𝑭(𝒙) (ou função de distribuição acumulada) da variável X é definida por: 
𝐹(𝑥) = 𝑃(𝑋 ≤ 𝑥) 
Assim, a função de distribuição nos dá a probabilidade de a variável aleatória assumir valores 
menores do que ou iguais ao valor. 
Observe os seguintes exemplos para a tabela acima. 
𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 𝑃(𝑋 = 1) + 𝑃(𝑋 = 2) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(4) = 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 10% + 20%+ 40%+ 25% = 95% 
𝐹(5) = 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 10% + 20%+ 40%+ 25%+ 5% = 100% 
 
Perceba que podemos calcular outros valores para a função de distribuição. Exemplos: 
𝐹(−2) = 𝑃(𝑋 ≤ −2) = 0 
𝐹(−1) = 𝑃(𝑋 ≤ −1) = 0 
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𝐹(0) = 𝑃(𝑋 ≤ 0) = 0 
𝐹(0,5) = 𝑃(𝑋 ≤ 0,5) = 0 
𝐹(1) = 𝑃(𝑋 ≤ 1) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,2) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,2) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,8) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,8) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(1,95) = 𝑃(𝑋 ≤ 1,95) = 𝑃(𝑋 = 1) = 10% 
𝐹(2) = 𝑃(𝑋 ≤ 2) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,1) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,1) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,48) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,48) = 10% + 20% = 30% 
𝐹(2,99) = 𝑃(𝑋 ≤ 2,99) = 10% + 20% = 30 
𝐹(3) = 𝑃(𝑋 ≤ 3) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(3,4) = 𝑃(𝑋 ≤ 3,4) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(3,997) = 𝑃(𝑋 ≤ 3,997) = 10% + 20%+ 40% = 70% 
𝐹(4) = 𝑃(𝑋 ≤ 4) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(4,6) = 𝑃(𝑋 ≤ 4,6) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(4,89) = 𝑃(𝑋 ≤ 4,6) = 10% + 20%+ 40 + 25% = 95% 
𝐹(5) = 𝑃(𝑋 ≤ 5) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(6) = 𝑃(𝑋 ≤ 6) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(10) = 𝑃(𝑋 ≤ 10) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(200) = 𝑃(𝑋 ≤ 200) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
𝐹(1.000) = 𝑃(𝑋 ≤ 1.000) = 10% + 20%+ 40 + 25%+ 5% = 100% 
 
Por que coloquei tantos valores assim? Porque quero que você pegue o espírito da coisa. 
Observe que para valores menores do que 1, a função de distribuição é sempre igual a 0. 
Quando chegamos em 1, a função dá um salto para 10%. 
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Para valores de 1 até números menores do que 2 a função fica sempre valendo 10%. Quando 
chegamos em 2, a função dá um salto para 30% e permanece com esses valores até chegar em 3, 
quando dá outro salto para 70%. Quando chega em 4, dá um salto para 95%. Quando chega em 
5 dá um salto para 100% e ficaassim até infinito. 
 
Podemos então escrever: 
𝐹(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 1						
0,10	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2
0,30	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3
0,70	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 4
0,95	𝑠𝑒	4 ≤ 𝑋 < 5
1						𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
O gráfico da função de distribuição de uma variável discreta é uma função escada. Observe: 
 
 
Os tamanhos dos saltos determinam justamente os valores da variável. 
Observe que a função de distribuição começou em 0. Quando chegou em 1, deu um salto de 
tamanho 0,10. Portanto, 𝑃(𝑋 = 1) = 0,10. 
Quando chega em 2, a função dá um salto de 0,20 para chegar em 0,30. Portanto, 𝑃(𝑋 = 2) =
0,20. 
Quando chega em 3, a função dá um salto de 0,40 para chegar em 0,70. Portanto, 𝑃(𝑋 = 3) =
0,40. 
Quando chega em 4, a função dá um salto de 0,25 para chegar em 0,95. Portanto, 𝑃(𝑋 = 4) =
0,25. 
Quando chega em 5, a função dá um salto de 0,05 para chegar em 1. Portanto, 𝑃(𝑋 = 5) = 0,05. 
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20 
 
 
(CESGRANRIO 2018/Banco do Brasil) 
A Tabela a seguir apresenta a distribuição da variável número de talões de cheque, X, solicitados 
no último mês de uma amostra de 200 clientes de um banco. 
 
A função de distribuição empírica para a variável X, número de talões de cheques solicitados, é: 
 
𝑎)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,005	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1
0,20	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,40	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,65	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 	𝑑)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,31	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,64	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,75	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
𝑏)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,10	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,20	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,30	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,50	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 𝑒)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,40	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,60	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,80	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
 
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𝑐)	𝐹Z(𝑥) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
0						𝑠𝑒	𝑋 < 0						
0,20	𝑠𝑒	0 ≤ 𝑋 < 1		
0,45	𝑠𝑒	1 ≤ 𝑋 < 2		
0,80	𝑠𝑒	2 ≤ 𝑋 < 3		
0,95	𝑠𝑒	3 ≤ 𝑋 < 5		
1,00			𝑠𝑒	𝑋 ≥ 5									
 
Comentário 
A frequência relativa tem o mesmo papel da probabilidade empírica. Para determinar a 
frequência relativa, que terá o mesmo papel da probabilidade, devemos dividir cada frequência 
absoluta pelo total de observações, que é 200. 
𝑿 𝒇𝒊 𝑷(𝑿) 
0 40 
40
200 = 0,20 
1 50 
50
200 = 0,25 
2 70 
70
200 = 0,35 
3 30 
30
200 = 0,15 
5 10 
10
200 = 0,05 
Total 200 1 
Vamos agora construir a coluna da função de distribuição acumulada. 
𝑿 𝒇𝒊 𝑷(𝑿) 𝑭𝒙(𝒙) 
0 40 0,20 0,20 
1 50 0,25 0,45 
2 70 0,35 0,80 
3 30 0,15 0,95 
5 10 0,05 1,00 
Total 200 1 
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Com isso é possível obter 𝐹Z(𝑥) para todo x real. 
Gabarito: C 
5. MEDIANA 
 
Voltemos ao exemplo do tópico anterior. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
2 20% 
3 40% 
4 25% 
5 5% 
Aqui não há mais sentido em verificar se o número de observações é par ou ímpar. O 
procedimento aqui para calcular a mediana será bem mais simples. 
O primeiro passo é construir uma coluna com as funções de distribuições para os valores 
tabelados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
1 10% 10% 
2 20% 30% 
3 40% 70% 
4 25% 95% 
5 5% 100% 
Pois bem, a mediana é o valor de X em que a função de distribuição ultrapassa 50% pela primeira 
vez. 
Observe que a função de distribuição ultrapassa 50% justamente para X = 3. Portanto, 
𝑀_ = 3 
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23 
 
Se a função de distribuição assumir exatamente o valor de 50%, a mediana será a média 
aritmética entre o valor de X que possui função de distribuição igual a 50% e o próximo. 
Observe o exemplo abaixo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 10% 
4 20% 
10 20% 
16 40% 
20 10% 
Vamos construir uma coluna com 𝐹(𝑥) para os valores tabelados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
1 10% 10% 
4 20% 30% 
10 20% 50% 
16 40% 90% 
20 10% 100% 
Como a função de distribuição acumulada é exatamente 50% para 𝑋 = 10, então a mediana será 
a média entre 10 e 16. 
𝑀_ =
10 + 16
2 = 13 
 
 
 
 
 
 
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24 
 
 
6. VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
Já aprendemos a calcular a média (esperança) de uma variável aleatória discreta. Vamos aprender 
agora a calcular a variância (e, consequentemente, o desvio-padrão) de uma variável aleatória. 
Por definição, a variância 𝜎a de uma variável aleatória X, de população infinita, é 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝐸(𝑋))a 
Outros símbolos para a variância: 𝑉(𝑋) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
A variância nos dá uma medida do grau de dispersão da distribuição em torno da média. A 
unidade de medida da variância é o quadrado da unidade de medida dos dados originais. Assim, 
por exemplo, se os dados são medidos em 𝑐𝑚, a variância será dada em 𝑐𝑚a. Para contornar 
esse problema, definimos o desvio padrão 𝜎 como a raiz quadrada da variância. 
𝜎 = e𝑉𝑎𝑟(𝑋) 
Lembrando que 𝐸(𝑋) também pode ser representada por 𝜇, a variância pode assim ser escrita: 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝜇)² 
Vamos desenvolver esta expressão? 
Primeiro devemos desenvolver o produto notável: 
(𝑋 − 𝜇)a = 𝑋² − 2𝑋𝜇 + 𝜇² 
Portanto: 
𝜎a = 𝐸(𝑋 − 𝜇)a = 𝐸(𝑋a − 2𝑋𝜇 + 𝜇a) 
Utilizando as propriedades da esperança, temos: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝐸(2𝑋𝜇) + 𝐸(𝜇a) 
Lembre-se que 𝜇 é a média da variável X. Assim, 𝜇 é uma constante. Sendo uma constante, 
podemos concluir que 𝐸(𝜇a) = 𝜇a e que 𝐸(2𝑋𝜇) = 2𝜇𝐸(𝑋). 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇𝐸(𝑋) + 𝜇a 
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25 
 
Como 𝐸(𝑋) = 𝜇,então: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇 ∙ 𝜇 + 𝜇a 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 2𝜇² + 𝜇a 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
 
Esta fórmula é mais fácil de trabalhar. 
Também podemos escrever a fórmula acima da seguinte forma, já que 𝜇 = 𝐸(𝑥). 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]² 
 
 
Variância de uma variável aleatória 
 
Por definição, 𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿 − 𝝁)𝟐. 
 
Desenvolvendo essa expressão, temos 𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐. 
 
Vamos praticar um pouco? 
Vamos considerar um tetraedro regular (poliedro com 4 faces triangulares). Nas faces temos os 
números 2, 4, 6 e 8. O resultado é a face que fica voltada para baixo. 
Como o poliedro é regular, vamos supor que cada face tem a mesma probabilidade de sair. 
Assim: 
𝑃(2) = 𝑃(4) = 𝑃(6) = 𝑃(8) =
1
4 
Eis a sua distribuição de probabilidade. 
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𝑿 𝑷(𝑿) 
2 1/4 
4 1/4 
6 1/4 
8 1/4 
Para calcular a esperança, devemos multiplicar cada valor da variável pela sua respectiva 
probabilidade e depois somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
Agora somamos tudo. 
𝜇 =
2
4 +
4
4 +
6
4 +
8
4𝜇 = 5 
Isto significa que se fôssemos jogar este tetraedro uma infinidade de vezes, a média seria igual a 
5. 
Vamos agora calcular a variância? 
Dê uma olhadinha na fórmula: 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
Como já sabemos o valor de 𝜇, automaticamente já sabemos que 𝜇² = 5² = 25. 
Precisamos calcular 𝐸(𝑋a). 
Guilherme, qual o significado da expressão 𝐸(𝑋a)? 
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27 
 
Veja, meu amigo. Você lembra do processo para calcular a esperança de alguma coisa? Devemos 
multiplicar cada valor da variável em questão pela sua respectiva probabilidade e depois somar 
tudo. 
No caso, queremos calcular a esperança da variável X². Assim, vamos elevar ao quadrado cada 
valor da variável X, depois multiplicar pelas probabilidades e somar tudo. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿² 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
2² = 4 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
4² = 16 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
6² = 36 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
8² = 64 
Agora vamos multiplicar cada valor de 𝑋² pelas respectivas probabilidades. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿² 𝑿² ∙ 𝑷(𝑿) 
2 1/4 2 ∙
1
4 =
2
4 
2² = 4 4 ∙
1
4 = 1 
4 1/4 4 ∙
1
4 =
4
4 
4² = 16 16 ∙
1
4 = 4 
6 1/4 6 ∙
1
4 =
6
4 
6² = 36 36 ∙
1
4 = 9 
8 1/4 8 ∙
1
4 =
8
4 
8² = 64 64 ∙
1
4 = 16 
 
Somando tudo... 
𝐸(𝑋a) = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 
Agora podemos calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² = 30 − 5² = 5 
 
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28 
 
 
(ESAF 2009/AFRFB) 
A tabela mostra a distribuição de frequências relativas populacionais (f’) de uma variável X: 
𝑿 𝒇′ 
−2 6𝑎 
1 1𝑎 
2 3𝑎 
Sabendo que “a” é um número real, então a média e a variância de X são, respectivamente: 
a) 𝜇n = −0,5		𝑒	𝜎na = 3,45 
b) 𝜇n = 0,5		𝑒	𝜎na = −3,45	 
c) 𝜇n = 0		𝑒	𝜎na = 1 
d) 𝜇n = −0,5		𝑒	𝜎na = 3,7 
e) 𝜇n = 0,5		𝑒	𝜎na = 3,7 
Comentário 
O enunciado da ESAF foi meio “impreciso” ao falar em frequência relativa. O correto mesmo 
seria probabilidade. 
O somatório de todas as probabilidades deve ser igual a 1. Portanto: 
6𝑎 + 1𝑎 + 3𝑎 = 1 
10𝑎 = 1 
𝑎 = 0,1 
Vamos substituir este valor na distribuição de probabilidades. 
 
 
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==193336==
 
 
29 
 
𝑿 𝒇′ 
−2 0,6 
1 0,1 
2 0,3 
Para calcular a média (esperança), vamos multiplicar cada valor da variável pela sua probabilidade 
e somar tudo. 
𝜇n = −2 × 0,6 + 1 × 0,1 + 2 × 0,3 
= −1,2 + 0,1 + 0,6 = −0,5 
Poderíamos ter feito isto na tabela. 
𝑿 𝒇′ 𝑿 ∙ 𝒇′ 
−2 0,6 −2 ∙ 0,6 = −1,2 
1 0,1 1 ∙ 0,1 = 0,1 
2 0,3 2 ∙ 0,3 = 0,6 
Assim, 𝜇n = −1,2 + 0,1 + 0,6 = −0,5. 
Vamos agora calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² 
Já sabemos o valor de 𝜇, portanto 𝜇² = (−0,5)a = 0,25. 
Vamos calcular 𝐸(𝑋a). Para tanto, devemos elevar os valores de X ao quadrado, depois 
multiplicar pelas probabilidades e somar tudo. 
𝑿 𝒇′ 𝑿 ∙ 𝒇′ 𝑿² 𝑿² ∙ 𝒇′ 
−2 0,6 −2 ∙ 0,6 = −1,2 (−2)a = 4 4 ∙ 0,6 = 2,4 
1 0,1 1 ∙ 0,1 = 0,1 1² = 1 1 ∙ 0,1 = 0,1 
2 0,3 2 ∙ 0,3 = 0,6 2² = 4 4 ∙ 0,3 = 1,2 
Somando tudo... 
𝐸(𝑋a) = 2,4 + 0,1 + 1,2 = 3,7 
Agora podemos calcular a variância. 
𝜎a = 𝐸(𝑋a) − 𝜇² = 3,7 − 0,25 = 3,45 
Gabarito: A 
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30 
 
 
(CESGRANRIO 2011/Petrobras) 
Estatísticas do Departamento de Trânsito sobre o envolvimento de motoristas em acidentes com 
até 2 anos de habilitação indicam que o seguinte modelo pode ser adotado, ou seja, a variável 
aleatória X representa o número de acidentes e assume valores 0,1,2,3 e 4: 
Número de Acidentes (X) 0 1 2 3 4 
P(X=x) 0,3 0,2 0,1 0,1 0,3 
O valor esperado e o desvio padrão da variável aleatória X são, respectivamente, 
a) 1,9 e 1,64 
b) 1,9 e 2,69 
c) 2,0 e 1,64 
d) 2,0 e 2,69 
e) 2,69 e 1,9 
Comentário 
Para calcular o valor esperado, devemos multiplicar cada valor da sua variável pela sua respectiva 
probabilidade e somar. 
𝐸(𝑋) = 0 ∙ 0,3 + 1 ∙ 0,2 + 2 ∙ 0,1 + 3 ∙ 0,1 + 4 ∙ 0,3 
𝐸(𝑋) = 0 + 0,2 + 0,2 + 0,3 + 1,2 = 1,9 
Estamos em dúvida agora entre as alternativas A e B. 
Vamos calcular E(X²). Para isso, devemos elevar a variável X ao quadrado, multiplicar pelas 
probabilidades e somar tudo. 
𝐸(𝑋²) = 0² ∙ 0,3 + 1² ∙ 0,2 + 2² ∙ 0,1 + 3² ∙ 0,1 + 4² ∙ 0,3 
𝐸(𝑋a) = 0 + 0,2 + 0,4 + 0,9 + 4,8 
𝐸(𝑋a) = 6,3 
Agora podemos aplicar a fórmula da variância. 
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31 
 
𝜎² = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]² 
 
𝜎² = 6,3 − 1,9² 
 
𝜎² = 2,69 
Este é o valor da variância!!! 
 O problema pede o desvio padrão, que é a raiz quadrada. 
Assim, já podemos riscar a alternativa B e ficamos com a alternativa A. 
De fato, 1,64² ≅ 2,69, portanto: 
𝜎 = e2,69 ≅ 1,64 
Gabarito: A 
 
 
6.1. Propriedades da Variância e do Desvio Padrão 
 
Veremos agora duas propriedades (muito parecidas com as propriedades da Estatística 
Descritiva). Considere que X é uma variável aleatória e que k é uma constante real. 
• 𝑉(𝑋 + 𝑘) = 𝑉(𝑋) 
• 𝑉(𝑘 ∙ 𝑋) = 𝑘² ∙ 𝑉(𝑋) 
Vamos analisar cada uma separadamente. 
i) 𝑉(𝑋 + 𝑘) = 𝑉(𝑋) 
Isto significa que se você adicionar uma constante a todos os valores da variável, a variância não 
se altera. 
ii) 𝑉(𝑘 ∙ 𝑋) = 𝑘² ∙ 𝑉(𝑋) 
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32 
 
Se você multiplicar todos os valores da variável por uma constante k, a variância ficará 
multiplicada pelo quadrado desta constante. 
O desvio padrão também não é alterado quando adicionamos uma constante a todos os valores 
da variável. 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então o desvio padrão fica multiplicado 
por |𝑘| quando multiplicamos todos os valores por uma constante 𝑘. 
 
(CESGRANRIO 2006/Petrobras) 
Se Y = 2X+1 e a variância de X vale 2, a variância de Y é igual a: 
(A) 2 
(B) 4 
(C) 5 
(D) 8 
(E) 9 
Comentário 
Poderíamos raciocinar da seguinte maneira: 
Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em 
seguida adicionamos 1 ao resultado encontrado. 
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33 
 
 
Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é igual a 8. 
Gabarito: D 
 
(ESAF 2008/CGU) 
Seja X uma variável aleatória com média 1 e variância 2. Qual a variância da variável Y = 2X + 4? 
a) 2 
b) 4 
c) 6 
d) 8 
e) 12 
Comentário 
Não precisamos da média da variável X para calcular a variância de Y. 
O raciocínio é o mesmo da questão anterior. 
Como chegamos à variável Y a partir da variável X? Multiplicamos os valores de X por 2 e em 
seguida adicionamos 4 ao resultado encontrado. 
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34 
 
 
Assim, a variância (que é igual a 2) multiplicada por 4 é iguala 8. 
Gabarito: D 
 
 
7. COVARIÂNCIA E CORRELAÇÃO 
 
Duas variáveis aleatórias podem ser independentes ou dependentes. Se existe uma relação entre 
as variáveis aleatórias, essa relação pode ser fraca ou forte. Vamos agora estudar duas medidas 
numéricas da “força” da relação entre duas variáveis aleatórias: a covariância e a correlação. 
Imagine que X seja uma variável aleatória correspondente à massa de uma amostra de água e Y 
seja uma variável aleatória corresponde ao volume da mesma amostra de água. É óbvio que 
existe uma fortíssima relação entre as variáveis X e Y. 
Se colocarmos os pares ordenados (X,Y) em um gráfico, eles certamente estarão em uma mesma 
reta, por causa da relação física entre X e Y. 
Essa relação não será perfeita se, por exemplo, estivermos medindo massa e volume de seres 
humanos. A relação aqui entre as variáveis seria um pouco mais fraca. Não esperaríamos que os 
pontos no gráfico, nesse exemplo, ficassem sobre a mesma reta. 
Quem mede essa “força” entre as variáveis são justamente a covariância e a correlação. 
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35 
 
A partir de agora falaremos sobre média e variância da variável X e também média e variância da 
variável Y. 
Vamos utilizar os seguintes símbolos: 
𝐸(𝑋) = 𝜇n 
𝐸(𝑌) = 𝜇r 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝜎na 
𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝜎ra 
Por definição, dadas duas variáveis aleatórias, X e Y, a covariância entre X e Y é 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r) 
A correlação entre X e Y é um número definido por: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n ∙ 𝜎r
 
 
 
Se os valores da variável Y tendem a crescer quando os valores de X crescem, 
então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0. 
 
Se os valores da variável Y tendem a diminuir quando os valores de X crescem, 
então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) < 0. 
 
Assim, o sinal de 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) nos dá uma informação sobre a relação entre X e Y. 
 
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Entretanto, a covariância pode assumir qualquer valor real. Por exemplo, a covariância pode ser 
150, -200, 350, 1, 4, −√2, 𝜋, etc. 
A covariância nos dá uma noção da tendência (se uma variável cresce, a outra cresce, por 
exemplo), mas não nos dá ideia da força dessa relação. 
 
Por outro lado, a correlação sempre assume valores no intervalo [−1,1], ou seja, a correlação 
pode valer no mínimo -1 e no máximo 1. 
Quando 𝜌(𝑋, 𝑌) = 1, temos uma correlação linear perfeita positiva, ou seja, os pontos estão 
perfeitamente sobre uma reta ascendente (quando X cresce, Y cresce; quando X decresce, Y 
decresce). 
Quando 𝜌(𝑋, 𝑌) = −1, temos uma correlação linear perfeita negativa, ou seja, os pontos estão 
perfeitamente sobre uma reta descendente (quando X cresce, Y decresce; quando X decresce, Y 
cresce). 
Se a correlação é zero (ou próxima de zero), não existe relação linear entre as variáveis (pode ser 
que exista outro tipo de relação entre as variáveis – uma relação trigonométrica, logarítmica ou 
polinomial, por exemplo). 
 
Vamos agora desenvolver a expressão da covariância para que possamos encontrar uma forma 
mais fácil de calculá-la. 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r) 
Desenvolvendo o produto, temos: 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌 − 𝑋𝜇r − 𝜇n𝑌 + 𝜇n𝜇r) 
Vamos desmembrar esta expressão utilizando as propriedades da esperança. 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋𝜇r) − 𝐸(𝜇n𝑌) + 𝐸(𝜇n𝜇r) 
 
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37 
 
Lembre-se que 𝜇n é a média da variável X e que 𝜇r é a média da variável Y. São, portanto, 
constantes. A esperança de uma constante é igual à própria constante, assim, 𝐸(𝜇n𝜇r) = 𝜇n𝜇r. 
Além, disso, pelas propriedades da esperança, temos 𝐸(𝑋𝜇r) = 𝜇r𝐸(𝑋) e 𝐸(𝜇n𝑌) = 𝜇n𝐸(𝑌). 
Logo, 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝐸(𝑋) − 𝜇n𝐸(𝑌) + 𝜇n𝜇r 
Pessoal, lembrem-se que E(X) é a mesma coisa que 𝜇n e E(Y) é a mesma coisa que 𝜇r. 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝜇n − 𝜇n𝜇r + 𝜇n𝜇r 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇r𝜇n 
Portanto, podemos escrever a covariância assim: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝜇n𝜇r					𝑜𝑢							𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
Assim, podemos dizer que a covariância entre as variáveis X e Y é a esperança do produto menos 
o produto das esperanças. 
 
O passo a passo é o seguinte: 
i) Calculamos a esperança de X, obtendo 𝜇n = 𝐸(𝑋). 
ii) Calculamos a esperança de Y, obtendo 𝜇r = 𝐸(𝑌). 
iii) Multiplicamos a variável X pela variável Y obtendo a variável XY. 
iv) Calculamos a esperança de XY, obtendo 𝐸(𝑋𝑌). 
v) Aplicamos a fórmula da covariância. 
 
Você lembra que quando as variáveis X e Y são independentes, 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌)? 
Pois bem, suponha que as variáveis X e Y são independentes. O que ocorre com a covariância? 
Ora, sendo independentes, concluímos que 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌). Assim: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 
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38 
 
Ora, se a covariância é 0, a correlação também é zero. 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n𝜎r
=
0
𝜎n𝜎r
= 0 
 
Se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então: 
• 𝐸(𝑋𝑌) = 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
• 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0 
• 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0 
 
Agora, se a covariância é igual a 0, você não pode concluir que as variáveis são independentes. 
 
Se as variáveis X e Y são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0. 
Se 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝜌(𝑋, 𝑌) = 0, as variáveis podem ser independentes ou 
dependentes. 
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(IBADE 2017/IPERON) 
Escolha a alternativa correta para a seguinte pergunta: Qual a medida que antecede o cálculo da 
correlação, que pode ser expressa como a diferença entre o valor esperado da multiplicação de 
duas variáveis e a multiplicação do valor médio de cada uma dessas variáveis? 
a) Média 
b) Variância 
c) Desvio Padrão 
d) Covariância 
e) Mediana 
Comentário 
A correlação é dada por: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n ∙ 𝜎r
 
A medida que antecede o cálculo da correlação, que pode ser expressa como a diferença entre o 
valor esperado da multiplicação de duas variáveis e a multiplicação do valor médio de cada uma 
dessas variáveis é a covariância. 
Lembre-se que 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌), ou seja, é a covariância é a diferença entre a 
média do produto e o produto das médias. 
Gabarito: D 
 
 
 
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40 
 
7.1. Propriedades da Covariância 
 
Considere que X,Y e Z são variáveis aleatórias e que k é uma constante qualquer. É possível 
demonstrar as seguintes relações: 
i) 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) 
ii) 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) 
iii) 𝑐𝑜𝑣(𝑘, 𝑋) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑘) = 0 
iv) 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 𝑍) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑍) + 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑍) 
v) 𝑐𝑜𝑣(𝑘𝑋, 𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑘𝑌) = 𝑘 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
A sentença i) afirma que a covariância entre X e Y é igual à covariância entre Y e X. 
A sentença ii) afirma que a variânciade X é, na realidade, a covariância entre X e X. 
A sentença iii) afirma que a covariância entre uma variável aleatória e uma constante é sempre 
igual a 0. 
A sentença iv) nos ensinar a “desmembrar” uma soma “dentro” da covariância. 
A sentença v) afirma que se uma constante estiver multiplicando uma das variáveis, ela pode 
“sair” multiplicando a covariância. 
 
8. VARIÂNCIA DA SOMA E DA DIFERENÇA 
 
Vimos que 𝐸(𝑋 + 𝑌) = 𝐸(𝑋) + 𝐸(𝑌). 
Daí surge a pergunta: existe alguma fórmula para a variância da soma? 
Agora que temos em mãos a fórmula da covariância, vamos apresentar fórmulas para o cálculo 
da variância da soma e da variância da diferença de duas variáveis aleatórias. 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
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41 
 
Note como estas expressões são muito parecidas às formas dos produtos notáveis (𝑥 + 𝑦)a =
𝑥² + 𝑦² + 2𝑥𝑦 e (𝑥 − 𝑦)a = 𝑥² + 𝑦² − 2𝑥𝑦. Basta fazer a variância análoga ao quadrado e a 
covariância análoga ao produto. 
Eu vou demonstrar a fórmula da variância da soma das variáveis aleatórias X e Y, mas você não 
precisa se preocupar com isso. Se quiser, pode simplesmente decorar as fórmulas acima. 
Vimos que 𝑉(𝑋) = 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a. 
Portanto, 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝐸[(𝑋 + 𝑌) − (𝜇n + 𝜇r)]a 
Arrumando os termos, temos: 
= 𝐸[(𝑋 − 𝜇n) + (𝑌 − 𝜇r)]a 
Vamos agora desenvolver o produto notável. 
= 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)a + (𝑌 − 𝜇r)a + 2 ∙ (𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
Vamos agora desmembrar a esperança da soma em uma soma de esperanças. 
= 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a + 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a + 𝐸[2 ∙ (𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
 
= 𝐸(𝑋 − 𝜇n)a + 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a + 2 ∙ 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)] 
 
Observe que: 
𝐸(𝑋 − 𝜇n)a|}}~}}�
�(n)
+ 𝐸(𝑌 − 𝜇r)a|}}~}}�
�(r)
+ 2 ∙ 𝐸[(𝑋 − 𝜇n)(𝑌 − 𝜇r)]|}}}}}}~}}}}}}�
���(n,r)
 
Portanto, 
𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Como queríamos demonstrar. 
 
Se as variáveis X e Y são multiplicadas por constantes 𝑎 e 𝑏, respectivamente, temos: 
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𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑉(𝑎𝑋) + 𝑉(𝑏𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏𝑌) 
Utilizando as propriedades da variância e da covariância, temos: 
𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) + 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Analogamente, 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
 
• 𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) + 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
• 𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
 
 
 
 
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(FGV 2008/SEFAZ-RJ) 
Sejam X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer. Então: 
(A) VAR (X – Y) = VAR (X) – VAR (Y). 
(B) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – COV (X, Y). 
(C) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) – 2 COV (X, Y). 
(D) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + COV (X, Y). 
(E) VAR (X – Y) = VAR (X) + VAR (Y) + 2 COV (X, Y). 
Comentário 
Vocês acreditam que caiu uma questão assim? Sem comentários, basta assinalar a fórmula que 
acabamos de ver. 
Gabarito: C 
 
 
9. COEFICIENTE DE VARIAÇÃO E VARIÂNCIA RELATIVA 
Por definição, o coeficiente de variação de uma variável aleatória X é dada por: 
𝐶� =
𝜎
𝜇 
É exatamente a mesma fórmula que estudamos na Estatística Descritiva. Analogamente, 
podemos definir a variância relativa é dada pelo quadrado do coeficiente de variação. 
𝑉� = (𝐶�)a =
𝜎a
𝜇a 
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LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS SEM COMENTÁRIOS 
 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A média de X é igual a 
 
a) – 0,5. 
 
b) – 0,2. 
 
c) – 0,1. 
 
d) 0 
 
e) 0,1. 
 
 
2. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A variância de X é igual a 
 
a) 0,16. 
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45 
 
 
b) 0,64. 
 
c) 1. 
 
d) 1,2. 
 
e) 1,8. 
 
 
3. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
Se 𝑭(𝒙) representa a função de distribuição de X, ∀	𝒙 real, então 𝑭(−𝟎, 𝟖) é igual a 
 
a) 0,3 
 
b) 0,4 
 
c) 0,5 
 
d) 0,6 
 
e) 1,0 
 
 
4. (FGV 2018/COMPESA) 
 
Analise a tabela sobre o consumo diário de água dos habitantes de um município de 
Pernambuco. 
 
 
 
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46 
 
Selecionando de forma aleatória um indivíduo do município em questão, o valor esperado para 
seu consumo diário de água será de 
a) 84,36 L. 
b) 86,12 L. 
c) 87,5 L. 
d) 90 L. 
e) 112 L. 
 
5. (FGV 2017/MPE-BA) 
 
Para duas variáveis aleatórias estão disponíveis as seguintes informações estatísticas. 
 
𝑪𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) = 𝟏𝟖, 𝑬(𝒁) = 𝟒, 𝑽𝒂𝒓(𝒁) = 𝟐𝟓, 𝑬(𝒀) = 𝟒, 𝑪𝑽(𝒀) = 𝟐. 
 
Onde CV é o coeficiente de variação, além da nomenclatura usual. 
 
Então a expressão 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) vale: 
 
a) 265. 
 
b) 274. 
 
c) 306. 
 
d) 373. 
 
e) 405. 
 
 
6. (FGV 2016/IBGE) 
Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y – 3X, sendo E(X2) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 
16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância de Z é: 
a) 55 
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47 
 
b) 73 
c) 108 
d) 145 
e) 217 
 
7. (FGV 2016/CODEBA) 
Sejam X e Y, duas variáveis aleatórias, definidas como: Y = 2X. 
Considere Var (X) = 1. 
Logo, a Cov (X + Y, 2Y) é igual a: 
a) 1. 
b) 6. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 144. 
 
8. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
 
Seja F(x) a função de distribuição da variável X que representa o número de trabalhadores por 
domicílio em uma determinada população. Se 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟎	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟐𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
então o número médio de trabalhadores por domicílio subtraído do número mediano de 
trabalhadores por domicílio é igual a 
a) 0,15 
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48 
 
b) 0,10 
c) 0,25 
d) – 0,15 
e) – 0,50 
 
9. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função de distribuição empírica 𝑭𝟒𝟎(𝒙) abaixo corresponde a uma pesquisa realizada em 40 
domicílios de uma região, em que 𝒙 é o número de eleitores verificado no domicílio. 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟓	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟑𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟔𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
O número de domicílios em que se verificou possuir, pelo menos,1 eleitor e no máximo 3 
eleitores é 
a) 34 
b) 32 
c) 28 
d) 26 
e) 24 
 
10. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
 
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49 
 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟏						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟒							
 
Sendo 𝑬(𝑿), 𝑴𝒐(𝑿) e 𝑴𝒅(𝑿), respectivamente, a média, a moda e a mediana de 𝑿, então o valor 
de 𝑬(𝑿) + 𝟐𝑴𝒐(𝑿) − 𝟑𝑴𝒅(𝑿) é 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,7 
d) 0,9 
e) 1 
 
11. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente. Cada disco tem 10 figuras: 
4 triângulos e 6 retângulos. Um jogador paga 10 reais para acionar a máquina. Ele ganha R$ 9,00 
se aparecerem 2 triângulos, R$ 15,00 se aparecerem 2 retângulos, e não ganha nada se ocorrer 
qualquer outro resultado. Supondo que as 10 figuras, nos 2 discos, são equiprováveis, a 
esperança de lucro do jogador numa única jogada, em reais, é igual a 
a) −1,50. 
b) −1,64. 
c) −2,05. 
d) −2,36. 
e) −3,16. 
 
 
 
 
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12. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟖		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟑							
 
Se 𝑴𝒐(𝑿) denota a moda de X e 𝑴𝒅(𝑿) denota a mediana de X, o valor de 𝒀 = 𝑴𝒐(𝑿) − 𝟐𝑴𝒅(𝑿) 
é 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
 
13. (FCC 2009/Especialista em Políticas Públicas – Sec. De Gestão Pública SP) 
 
Um investidor avalia que, num investimento, ganha 5000 reais com probabilidade 𝒑, perde 2500 
reais com probabilidade 𝒑𝟐 e não ganha nada caso contrário. Se, nessas condições, o ganho 
esperado do investidor for de 1600 reais, o valor de 𝒑 é 
 
a) 1/3 
 
b) 3/5 
 
c) 1/5 
 
d) 2/5 
 
e) 2/3 
 
 
 
 
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51 
 
14. (FCC 2008/TRT 2ª Região) 
 
O gerente de uma empresa espera, em um determinado ano, obter os seguintes Índices de 
Lucratividade em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”: 
 
 
A esperança matemática do respectivo Índice de Lucratividade é igual a 
a) 4,8% 
b) 5,1% 
c) 5,2% 
d) 5,4% 
e) 6,0% 
 
15. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória 𝒀 que representa o número de 
acidentes de trabalho, por dia, em empresas do ramo metalúrgico de uma determinada região é 
dada por: 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟎						
𝒌			𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝒚 < 𝟏
𝟒𝒌		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟕𝒌		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟖𝒌		𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝒚 < 𝟒	
𝟏							𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟒						
 
Sabendo que a média da variável aleatória 𝒀 é 2 dias, o valor da variância de 𝒀, em (𝒅𝒊𝒂𝒔)𝟐, é 
a) 1,8 
b) 1,2 
c) 1,6 
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52 
 
d) 2,4 
e) 2,6 
 
16. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Seja var(X) variância da variável aleatória X, var(Y) a variância da variável aleatória Y e cov (X, Y) a 
covariância das variáveis aleatórias X, Y. É correto afirmar que 
a) var(X + Y) < var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
b) var(X + Y) > var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
c) se X e Y são independentes então cov(X, Y) ≠ 0. 
d) var(X + c) > var(X) para qualquer c >0. 
e) var(cX) = c var(X) para qualquer c > 0. 
 
17. (FCC 2015/DPE-SP) 
 
Os produtos A e B vendidos por uma loja on-line seguem, respectivamente, a distribuição de 
probabilidade das variáveis X e Y. 
 
Sabe-se que: 
 
I. A função de probabilidade da variável aleatória X é dada por 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝝀𝟑
𝒌�𝟏
𝒌!
, 𝒌 =
𝟏, 𝟐, 𝟑. 
II. A função de distribuição da variável aleatória Y é dada por 𝑭(𝒚) = ¡
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟏						
𝟏/𝟒	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟑/𝟒	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟏						𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟑
 
III. As variáveis aleatórias X e Y são independentes. 
 
Nessas condições, 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑, 𝒀 = 𝟏) é igual a 
 
a) 7/32 
 
b) 5/16 
 
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c) 5/24 
 
d) 7/16 
 
e) 5/32 
 
 
18. (FMP 2011/TCE-RS) 
Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: 
I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). 
II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. 
III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
É correto afirmar que: 
(A) apenas I está correta. 
(B) apenas II está correta. 
(C) apenas III está correta. 
(D) apenas I e II estão corretas. 
(E) apenas II e III estão corretas. 
 
19. (CESGRANRIO 2010/BACEN) 
Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças 
matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância 
entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que 
(A) E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) 
(B) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) 
(C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) 
(D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 
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54 
 
(E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y) 
 
20. (CESGRANRIO 2005/SEAD-AM) 
Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1, então var(2X – Y) é igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
 
21. (ESAF 2006/ENAP) 
Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se 
afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
 
22. (CESGRANRIO 2005/MPE-RO) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis 
aleatórias X e Y. 
I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y). 
II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes. 
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III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) II, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
 
23. (CESGRANRIO 2004/Prefeitura de Manaus) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y. 
I – Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). 
IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) I, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II,III e IV 
 
 
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24. (FGV 2006/ICMS-MS) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: 
I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; 
III – se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
IV – se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Assinale: 
a) se nenhum alternativa estiver correta 
b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas 
c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas 
d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas 
e) se todas as alternativas estiverem corretas. 
 
25. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 
0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é 
(A) – 0,35 
(B) – 0,2 
(C) 0,1 
(D) 0,56 
(E) 0,92 
 
 
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26. (CESPE 2016/TCE-PR) 
 
A quantidade de parcelas (X) escolhida por um cliente para o pagamento de determinado 
serviço é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟕¢𝒌
𝟐𝟏
, para 𝒌 ∈
{𝟏, 𝟐, … , 𝟔}, e 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟎, para 𝒌 ∉ {𝟏, 𝟐, … , 𝟔}. No que se refere a essa variável aleatória, 
assinale a opção correta. 
 
a) A esperança 𝑬(𝟑𝑿 − 𝟖) é igual a 0. 
 
b) 𝑷(𝑿 < 𝟐) > 𝟎, 𝟓. 
 
c) 𝑷(𝑿𝟐 = 𝟏) = 𝟒/𝟒𝟗. 
 
d) A esperança de X é igual ou superior a 3. 
 
e) A variância da variável aleatória X é igual ou superior a 3. 
 
 
27. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
Então a média da demanda diária é: 
 
a) 1,5. 
 
b) 2,0. 
 
c) 2,5. 
 
d) 3,0. 
 
e) 3,5. 
 
 
 
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28. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
A variância da demanda diária é: 
 
a) 1,85. 
 
b) 1,5. 
 
c) 1,25. 
 
d) 1,0. 
 
e) 0,85. 
 
 
29. (CESGRANRIO 2018/Petrobras) 
As variáveis aleatórias X e Y são independentes. A variável X segue uma distribuição Normal 
com média 4 e variância 16, e a Y segue uma distribuição Normal com média 9 e variância 1. 
A distribuição de X - Y é Normal com 
a) média -5 e variância 15. 
b) média -5 e variância 17. 
c) média 5 e variância 15. 
d) média 5 e variância 17. 
e) média 13 e variância 15. 
 
 
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59 
 
30. (CESGRANRIO 2018/Banco do Brasil) 
Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (𝒙𝒊, 𝒚𝒊), com 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎,	a covariância 
obtida entre as variáveis X e Y foi −𝟐. Os dados foram transformados linearmente da forma 
(𝒛𝒊, 𝒘𝒊) = (−𝟑𝒙𝒊 + 𝟏, 𝟐𝒚𝒊 + 𝟑), para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎. Qual o valor da covariância entre as variáveis Z 
e W transformadas? 
a) 41 
b) 36 
c) –7 
d) 12 
e) 17 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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60 
 
GABARITO SEM COMENTÁRIO 
 
01. D 
02. C 
03. A 
04. B 
05. C 
06. B 
07. D 
08. D 
09. D 
10. D 
11. E 
12. B 
13. D 
14. D 
15. C 
16. B 
17. A 
18. B 
19. B 
20. D 
21. B 
22. B 
23. B 
24. B 
25. E 
26. A 
27. C 
28. A 
29. B 
30. D 
 
 
 
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61 
 
LISTA DE QUESTÕES DE CONCURSOS COM COMENTÁRIOS 
 
1. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
A média de X é igual a 
 
a) – 0,5. 
 
b) – 0,2. 
 
c) – 0,1. 
 
d) 0 
 
e) 0,1. 
 
Comentário 
 
Para calcular a média de X, basta multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e somar. 
 
𝑬(𝑿) = −𝟐 × 𝟎, 𝟏 − 𝟏 × 𝟎, 𝟐 + 𝟎 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏 × 𝟎, 𝟑 
 
𝑬(𝑿) = −𝟎, 𝟐 − 𝟎, 𝟐 + 𝟎 + 𝟎, 𝟒 = 𝟎 
Gabarito: D 
 
2. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
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62 
 
 
 
 
A variância de X é igual a 
 
a) 0,16. 
 
b) 0,64. 
 
c) 1. 
 
d) 1,2. 
 
e) 1,8. 
 
Comentário 
 
Para calcular a variância, primeiro precisamos calcular a esperança de 𝑿 e a esperança de 𝑿𝟐. 
 
Já calculamos 𝑬(𝑿) na questão passada. 
 
𝑬(𝑿) = 𝟎 
 
Para calcular 𝑬(𝑿𝟐), devemos elevar cada valor da variável ao quadrado (obtendo assim 𝑿𝟐), 
multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e somar. 
 
𝑬(𝑿𝟐) = (−𝟐)𝟐 × 𝟎, 𝟏 + (−𝟏)𝟐 × 𝟎, 𝟐 + 𝟎𝟐 × 𝟎, 𝟑 + 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟒 
 
𝑬(𝑿𝟐) = 𝟎, 𝟒 + 𝟎, 𝟐 + 𝟎 + 𝟎, 𝟒 = 𝟏 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟏 − 𝟎𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟏 
Gabarito: C 
 
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3. (FGV 2018/ALE-RO) 
 
Uma variável aleatória discreta X tem função de probabilidade dada por: 
 
 
 
Se 𝑭(𝒙) representa a função de distribuição de X, ∀	𝒙 real, então 𝑭(−𝟎, 𝟖) é igual a 
 
a) 0,3 
 
b) 0,4 
 
c) 0,5 
 
d) 0,6 
 
e) 1,0 
 
Comentário 
 
Lembre-se que 𝑭(𝒙) = 𝑷(𝑿 ≤ 𝒙). 
 
Portanto, 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝑷(𝑿 ≤ −𝟎, 𝟖) 
 
Há dois valores menores do que -0,8. Logo, 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝑷(𝑿 = −𝟏) + 𝑷(𝑿 = −𝟐) 
 
𝑭(−𝟎, 𝟖) = 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟏 = 𝟎, 𝟑 
Gabarito: A 
 
 
 
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64 
 
 
4. (FGV 2018/COMPESA) 
 
Analise a tabela sobre o consumo diário de água dos habitantes de um município de 
Pernambuco. 
 
 
 
Selecionando de forma aleatória um indivíduo do município em questão, o valor esperado para 
seu consumo diário de água será de 
a) 84,36 L. 
b) 86,12 L. 
c) 87,5 L. 
d) 90 L. 
e) 112 L. 
Comentário 
Para calcular o valor esperado, basta multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e 
somar. 
𝑋 13 20 38 50 64 83 90 112 120 163 175 
𝑷(𝑿) 0,05 0,07 0,08 0,10 0,09 0,11 0,11 0,12 0,15 0,10 0,02 
𝑿 ∙ 𝑷(𝒙) 0,65 1,40 3,04 5,00 5,76 9,13 9,90 13,44 18,00 16,30 3,50 
 
𝝁 = 𝟎, 𝟔𝟓 + 𝟏, 𝟒𝟎 + 𝟑, 𝟎𝟒 +⋯+ 𝟑, 𝟓𝟎 
 
𝝁 = 𝟖𝟔, 𝟏𝟐	𝑳 
Gabarito: B 
 
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65 
 
 
5. (FGV 2017/MPE-BA) 
 
Para duas variáveis aleatórias estão disponíveis as seguintes informações estatísticas. 
 
𝑪𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) = 𝟏𝟖, 𝑬(𝒁) = 𝟒, 𝑽𝒂𝒓(𝒁)= 𝟐𝟓, 𝑬(𝒀) = 𝟒, 𝑪𝑽(𝒀) = 𝟐. 
 
Onde CV é o coeficiente de variação, além da nomenclatura usual. 
 
Então a expressão 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) vale: 
 
a) 265. 
 
b) 274. 
 
c) 306. 
 
d) 373. 
 
e) 405. 
 
Comentário 
 
Vamos aplicar a fórmula da variância para a variável Z. 
 
𝑽𝒂𝒓(𝒁) = 𝑬(𝒁𝟐) − [𝑬(𝒁)]𝟐 
 
𝟐𝟓 = 𝑬(𝒁𝟐) − 𝟒𝟐 
 
𝟐𝟓 = 𝑬(𝒁𝟐) − 𝟏𝟔 
 
𝑬(𝒁𝟐) = 𝟒𝟏 
 
Sabemos que o coeficiente de variação de Y vale 2. 
 
𝝈𝒀
𝝁𝒀
= 𝟐 
Lembre-se que 𝝁𝒀 é o mesmo que 𝑬(𝒀). 
 
𝝈𝒀
𝟒 = 𝟐 
 
𝝈𝒀 = 𝟖 
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66 
 
Elevando ao quadrado: 
 
𝝈𝒀𝟐 = 𝟔𝟒 
Logo, 𝑽𝒂𝒓(𝒀) = 𝟔𝟒. 
 
Lembre-se que: 
 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Logo, 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟐𝟐 ∙ 𝑽𝒂𝒓(𝒀) + 𝟑𝟐 ∙ 𝑽𝒂𝒓(𝒁) − 𝟐 ∙ 𝟐 ∙ 𝟑 ∙ 𝒄𝒐𝒗(𝒀, 𝒁) 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟒 ∙ 𝟔𝟒 + 𝟗 ∙ 𝟐𝟓 − 𝟏𝟐 ∙ 𝟏𝟖 
 
𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 𝟐𝟔𝟓 
 
A questão pediu o valor de 𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁). 
 
𝑬(𝒁𝟐) + 𝑽𝒂𝒓(𝟐𝒀 − 𝟑𝒁) = 
 
= 𝟒𝟏 + 𝟐𝟔𝟓 = 𝟑𝟎𝟔 
 
Gabarito: C 
 
6. (FGV 2016/IBGE) 
Sejam Y, X, Z e W variáveis aleatórias tais que Z = 2Y – 3X, sendo E(X2) = 25, E(X) = 4, Var(Y) = 
16, Cov(X,Y) = 6. Então a variância de Z é: 
a) 55 
b) 73 
c) 108 
d) 145 
e) 217 
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67 
 
Comentário 
Vamos primeiro calcular a variância de X, que será necessária. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝐸(𝑋a) − [𝐸(𝑋)]a 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 25 − 4a = 9 
Agora vamos utilizar a fórmula vista para o cálculo da variância da diferença. 
𝑉(𝑎𝑋 − 𝑏𝑌) = 𝑎a ∙ 𝑉(𝑋) + 𝑏a ∙ 𝑉(𝑌) − 2𝑎𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
Logo, 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 2a ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 3a ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) − 2 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑌, 𝑋) 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 4 ∙ 16 + 9 ∙ 9 − 12 ∙ 6 
𝑉𝑎𝑟(2𝑌 − 3𝑋) = 73 
Gabarito: B 
 
7. (FGV 2016/CODEBA) 
Sejam X e Y, duas variáveis aleatórias, definidas como: Y = 2X. 
Considere Var (X) = 1. 
Logo, a Cov (X + Y, 2Y) é igual a: 
a) 1. 
b) 6. 
c) 10. 
d) 12. 
e) 144. 
Comentário 
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68 
 
Queremos calcular 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑌). Como 𝑌 = 2𝑋, então: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 𝑌, 2𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋 + 2𝑋, 2 ∙ 2𝑋) = 
= 𝑐𝑜𝑣(3𝑋, 4𝑋) 
Vamos aplicar as propriedades da covariância: 
= 3 ∙ 4 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 12 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 12 ∙ 1 = 12 
Gabarito: D 
 
8. (FCC 2014/TRT 19ª Região) 
 
Seja F(x) a função de distribuição da variável X que representa o número de trabalhadores por 
domicílio em uma determinada população. Se 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟎	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟐𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
então o número médio de trabalhadores por domicílio subtraído do número mediano de 
trabalhadores por domicílio é igual a 
a) 0,15 
b) 0,10 
c) 0,25 
d) – 0,15 
e) – 0,50 
Comentário 
 
Percebe-se que a variável aleatória discreta assume os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4. 
 
A probabilidade associada a cada um desses valores é dada justamente pelo tamanho dos saltos. 
 
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69 
 
Observe que quando chegamos em 0, a função salta de 0 para 0,10. O salto foi de 0,10. 
Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟎 
 
Quando chegamos em 1, a função salta de 0,10 para 0,25. O salto foi de 0,25 – 0,10 = 0,15. 
Portanto, 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟏𝟓 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟓𝟎 − 𝟎, 𝟐𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎, 𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟓𝟎 = 𝟎, 𝟑𝟎 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
Vamos construir a distribuição de probabilidades. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
0 0,10 
1 0,15 
2 0,25 
3 0,30 
4 0,20 
Para calcular a média, devemos multiplicar cada valor pela sua respectiva probabilidade e somar 
os resultados. 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
0 0,10 0 
1 0,15 0,15 
2 0,25 0,50 
3 0,30 0,90 
4 0,20 0,80 
Portanto, 
 
𝝁 = 𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟓 + 𝟎, 𝟓𝟎 + 𝟎, 𝟗𝟎 + 𝟎, 𝟖𝟎 
 
𝝁 = 𝟐, 𝟑𝟓 
 
Vamos construir a coluna da função de distribuição para os valores tabelados. 
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70 
 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
0 0,10 0,10 
1 0,15 0,25 
2 0,25 0,50 
3 0,30 0,80 
4 0,20 1,00 
Como a função de distribuição assumiu exatamente o valor de 50%, então a mediana será a 
média entre 2 e 3. 
 
𝑴𝒅(𝑿) =
𝟐 + 𝟑
𝟐 = 𝟐, 𝟓 
 
A diferença entre a média e a mediana é: 
 
𝝁 −𝑴𝒅(𝑿) = 𝟐, 𝟑𝟓 − 𝟐, 𝟓𝟎 = −𝟎, 𝟏𝟓 
Gabarito: D 
 
9. (FCC 2012/TRE-SP) 
 
A função de distribuição empírica 𝑭𝟒𝟎(𝒙) abaixo corresponde a uma pesquisa realizada em 40 
domicílios de uma região, em que 𝒙 é o número de eleitores verificado no domicílio. 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						
𝟎, 𝟏𝟓	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟑𝟓	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟔𝟎	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟖𝟎	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏, 𝟎𝟎			𝒔𝒆	𝑿 ≥ 𝟒						
 
O número de domicílios em que se verificou possuir, pelo menos, 1 eleitor e no máximo 3 
eleitores é 
a) 34 
b) 32 
c) 28 
d) 26 
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71 
 
e) 24 
Comentário 
 
A função de distribuição empírica fornece frequências relativas e deverá ser trabalhada da mesma 
forma que uma função de distribuição de probabilidades. 
Percebe-se que a variável aleatória discreta assume os seguintes valores: 0, 1, 2, 3, 4. 
 
A probabilidade (frequência relativa) associada a cada um desses valores é dada justamente pelo 
tamanho dos saltos. 
 
Observe que quando chegamos em 0, a função salta de 0 para 0,15. O salto foi de 0,15. 
Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟎, 𝟏𝟓 
 
Quando chegamos em 1, a função salta de 0,15 para 0,35. O salto foi de 0,35 – 0,15 = 0,20. 
Portanto, 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟐𝟎 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟔𝟎 − 𝟎, 𝟑𝟓 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎, 𝟖𝟎 − 𝟎, 𝟔𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟎, 𝟖𝟎 = 𝟎, 𝟐𝟎 
Queremos calcular 𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑). 
 
𝑷(𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑) = 
 
= 𝑷(𝑿 = 𝟏) + 𝑷(𝑿 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑) 
 
= 𝟎, 𝟐𝟎 + 𝟎, 𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟔𝟓 
 
Isso quer dizer que 65% das observações assumem valores no intervalo 𝟏 ≤ 𝑿 ≤ 𝟑. Como são 40 
domicílios, então: 
𝟔𝟓%	𝒅𝒆	𝟒𝟎 = 
 
=
𝟔𝟓
𝟏𝟎𝟎 × 𝟒𝟎 = 𝟐𝟔 
Gabarito: D 
 
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72 
 
 
10. (FCC 2012/TRT 6ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟏						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟓		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝑿 < 𝟒
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟒							
 
Sendo 𝑬(𝑿), 𝑴𝒐(𝑿) e 𝑴𝒅(𝑿), respectivamente, a média, a moda e a mediana de 𝑿, então o valor 
de 𝑬(𝑿) + 𝟐𝑴𝒐(𝑿) − 𝟑𝑴𝒅(𝑿) é 
a) 0,4 
b) 0,5 
c) 0,7 
d) 0,9 
e) 1 
Comentário 
 
Percebemos que a variável aleatória discreta X pode assumir os valores 1, 2, 3 ou 4.A probabilidade associada a cada um desses valores é dada justamente pelo tamanho dos saltos. 
 
Observe que quando chegamos em 1, a função salta de 0 para 0,2. O salto foi de 0,2. Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟐 
 
Quando chegamos em 2, a função salta de 0,2 para 0,5. O salto foi de 0,5 – 0,2 = 0,3. Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟑 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟓 = 𝟎, 𝟒 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟎, 𝟗 = 𝟎, 𝟏 
 
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Temos então a seguinte distribuição de probabilidades. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 0,2 
2 0,3 
3 0,4 
4 0,1 
A moda é o valor associado à maior probabilidade. 
 
𝑴𝒐(𝑿) = 𝟑 
 
Vamos calcular a média. Devemos multiplicar cada valor pela sua respectiva probabilidade e 
somar os resultados. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
1 0,2 0,2 
2 0,3 0,6 
3 0,4 1,2 
4 0,1 0,4 
Portanto, 
𝑬(𝑿) = 𝟎, 𝟐 + 𝟎, 𝟔 + 𝟏, 𝟐 + 𝟎, 𝟒 
 
𝑬(𝑿) = 𝟐, 𝟒 
 
Vamos agora construir a coluna da função de distribuição para os valores tabelados para 
determinar a mediana. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
1 0,2 0,2 
2 0,3 0,5 
3 0,4 0,9 
4 0,1 1 
Como a função de distribuição assumiu exatamente o valor de 50%, então a mediana será a 
média entre 2 e 3. 
 
𝑴𝒅(𝑿) =
𝟐 + 𝟑
𝟐 = 𝟐, 𝟓 
 
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Queremos calcular o valor de 𝑬(𝑿) + 𝟐𝑴𝒐(𝑿) − 𝟑𝑴𝒅(𝑿). 
 
𝟐, 𝟒 + 𝟐 ∙ 𝟑 − 𝟑 ∙ 𝟐, 𝟓 = 𝟎, 𝟗 
Gabarito: D 
 
11. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
Um caça-níquel tem dois discos que funcionam independentemente. Cada disco tem 10 figuras: 
4 triângulos e 6 retângulos. Um jogador paga 10 reais para acionar a máquina. Ele ganha R$ 9,00 
se aparecerem 2 triângulos, R$ 15,00 se aparecerem 2 retângulos, e não ganha nada se ocorrer 
qualquer outro resultado. Supondo que as 10 figuras, nos 2 discos, são equiprováveis, a 
esperança de lucro do jogador numa única jogada, em reais, é igual a 
a) −1,50. 
b) −1,64. 
c) −2,05. 
d) −2,36. 
e) −3,16. 
Comentário 
O jogador paga 10 reais para acionar a máquina. 
Como ele ganha apenas 9 reais quando aparecem 2 triângulos, então ele tem um prejuízo de 1 
real nesse caso. 
Quando aparecem 2 retângulos, ele ganha 15 reais. Logo, seu lucro será de 5 reais nesse caso. 
 
Se der outro resultado, ele ganha nada. Logo, seu prejuízo será de 10 reais. 
 
Há 4 triângulos e 6 retângulos em cada disco. Assim, a probabilidade de aparecer triângulo em 
um disco é 40% e a probabilidade de aparecer retângulo em um disco é 60%. 
A probabilidade de aparecer triângulo nos dois discos será: 
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75 
 
0,40 × 0,40 = 0,16 
A probabilidade de aparecer retângulo nos dois discos será: 
0,60 × 0,60 = 0,36 
A soma de todas as probabilidades é igual a 1. Portanto, a probabilidade de dar outros 
resultados será: 
1 − 0,16 − 0,36 = 0,48 
Vamos montar a distribuição de probabilidades. 
 𝑿 𝑷(𝑿) 
2 triângulos -1 0,16 
2 retângulos 5 0,36 
Outros resultados -10 0,48 
Vamos calcular a esperança. Devemos multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e 
somar os resultados. 
 𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
2 triângulos -1 0,16 -0,16 
2 retângulos 5 0,36 1,80 
Outros resultados -10 0,48 -4.80 
Portanto, 
𝐸(𝑋) = −0,16 + 1,80 − 4,80 = −3,16 
Gabarito: E 
 
12. (FCC 2010/TRT 8ª Região) 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória discreta X é dada por: 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧ 𝟎						𝒔𝒆	𝑿 < 𝟎						𝟎, 𝟐	𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝑿 < 𝟏
𝟎, 𝟖		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝑿 < 𝟐
𝟎, 𝟗	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝑿 < 𝟑
𝟏					𝒔𝒆	𝒙 ≥ 𝟑							
 
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76 
 
Se 𝑴𝒐(𝑿) denota a moda de X e 𝑴𝒅(𝑿) denota a mediana de X, o valor de 𝒀 = 𝑴𝒐(𝑿) − 𝟐𝑴𝒅(𝑿) 
é 
a) -2 
b) -1 
c) 0 
d) 1 
e) 2 
Comentário 
 
Percebemos que a variável aleatória discreta X pode assumir os valores 0, 1, 2, ou 3. 
 
A probabilidade associada a cada um desses valores é dada justamente pelo tamanho dos saltos. 
 
Observe que quando chegamos em 0, a função salta de 0 para 0,2. O salto foi de 0,2. Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟎) = 𝟎, 𝟐 
 
Quando chegamos em 1, a função salta de 0,2 para 0,8. O salto foi de 0,8 – 0,2 = 0,6. Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝟎, 𝟔 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟎, 𝟗 − 𝟎, 𝟖 = 𝟎, 𝟏 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟏 − 𝟎, 𝟗 = 𝟎, 𝟏 
 
Temos então a seguinte distribuição de probabilidades. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
0 0,2 
1 0,6 
2 0,1 
3 0,1 
A moda é o valor associado à maior probabilidade. 
 
𝑴𝒐(𝑿) = 𝟏 
 
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77 
 
Para determinar a mediana, vamos construir a coluna com a função de distribuição. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑭(𝒙) 
0 0,2 0,2 
1 0,6 0,8 
2 0,1 0,9 
3 0,1 1 
A mediana é justamente o valor em que 𝑭(𝒙) supera 50% = 0,5 pela primeira vez. Portanto, 
 
𝑴𝒅(𝑿) = 𝟏 
 
A questão pede o valor de 𝒀 = 𝑴𝒐(𝑿) − 𝟐𝑴𝒅(𝑿). 
𝒀 = 𝟏 − 𝟐 ∙ 𝟏 = −𝟏 
 
Gabarito: B 
 
13. (FCC 2009/Especialista em Políticas Públicas – Sec. De Gestão Pública SP) 
 
Um investidor avalia que, num investimento, ganha 5000 reais com probabilidade 𝒑, perde 2500 
reais com probabilidade 𝒑𝟐 e não ganha nada caso contrário. Se, nessas condições, o ganho 
esperado do investidor for de 1600 reais, o valor de 𝒑 é 
 
a) 1/3 
 
b) 3/5 
 
c) 1/5 
 
d) 2/5 
 
e) 2/3 
 
Comentário 
 
Vamos construir a distribuição de probabilidades. Para calcular o valor esperado, devemos 
multiplicar cada valor pela respectiva probabilidade e somar os resultados. 
 
 
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78 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 
𝟓. 𝟎𝟎𝟎 𝒑 𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒑 
−𝟐. 𝟓𝟎𝟎 𝒑𝟐 −𝟐. 𝟓𝟎𝟎𝒑𝟐 
𝟎 𝑷(𝟎) 𝟎 
O valor esperado é igual a 1.600 reais. 
 
𝟏. 𝟔𝟎𝟎 = 𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒑 − 𝟐. 𝟓𝟎𝟎𝒑𝟐 + 𝟎 
 
𝟐. 𝟓𝟎𝟎𝒑𝟐 − 𝟓. 𝟎𝟎𝟎𝒑 + 𝟏. 𝟔𝟎𝟎 = 𝟎 
 
Vamos dividir todos os termos por 100. 
 
𝟐𝟓𝒑𝟐 − 𝟓𝟎𝒑 + 𝟏𝟔 = 𝟎 
 
Temos uma equação do segundo grau em que 𝒂 = 𝟐𝟓, 𝒃 = −𝟓𝟎, 𝒄 = 𝟏𝟔. 
 
Vamos resolver a equação do segundo grau. 
 
𝒑 =
−𝒃 ± √𝒃𝟐 − 𝟒𝒂𝒄
𝟐𝒂
 
 
𝒑 =
𝟓𝟎 ± e(−𝟓𝟎)𝟐 − 𝟒 ∙ 𝟐𝟓 ∙ 𝟏𝟔
𝟐 ∙ 𝟐𝟓 
 
𝒑 =
𝟓𝟎 ± √𝟗𝟎𝟎
𝟓𝟎 
 
𝒑 =
𝟓𝟎 ± 𝟑𝟎
𝟓𝟎 
 
𝒑 =
𝟖𝟎
𝟓𝟎 = 𝟏, 𝟔	𝒐𝒖	𝒑 =
𝟐𝟎
𝟓𝟎 =
𝟐
𝟓 
 
Como a probabilidade não pode ser maior do que 1, então 𝒑 = 𝟐
𝟓
. 
Gabarito: D 
 
 
 
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79 
 
 
14. (FCC 2008/TRT 2ª Região) 
 
O gerente de uma empresa espera, em um determinado ano, obter os seguintes Índices de 
Lucratividade em função dos cenários “Bom”, “Médio” e “Ruim”: 
 
 
A esperança matemática do respectivo Índice de Lucratividade é igual a 
a) 4,8% 
b) 5,1% 
c) 5,2% 
d) 5,4% 
e) 6,0% 
Comentário 
Para calcular a esperança, basta multiplicar cada valor do índice pelas respectivas probabilidades 
e somar. 
𝐸(𝐼) = 0,08 × 0,20 + 0,05 × 0,70 + 0,03 × 0,10 
𝐸(𝐼) = 0,054 = 5,4%Gabarito: D 
 
15. (FCC 2016/TRT 20ª Região) 
 
A função de distribuição acumulada da variável aleatória 𝒀 que representa o número de 
acidentes de trabalho, por dia, em empresas do ramo metalúrgico de uma determinada região é 
dada por: 
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80 
 
𝑭(𝒙) =
⎩
⎪
⎨
⎪
⎧
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟎						
𝒌			𝒔𝒆	𝟎 ≤ 𝒚 < 𝟏
𝟒𝒌		𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟕𝒌		𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟖𝒌		𝒔𝒆	𝟑 ≤ 𝒚 < 𝟒	
𝟏							𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟒						
 
Sabendo que a média da variável aleatória 𝒀 é 2 dias, o valor da variância de 𝒀, em (𝒅𝒊𝒂𝒔)𝟐, é 
a) 1,8 
b) 1,2 
c) 1,6 
d) 2,4 
e) 2,6 
Comentário 
 
A variável aleatória 𝒀 assume os valores 0, 1, 2, 3 e 4. As probabilidades relativas a cada um 
desses valores correspondem justamente aos saltos da função escada. 
 
𝑷(𝒚 = 𝟎) = 𝒌 − 𝟎 = 𝒌 
 
𝑷(𝒚 = 𝟏) = 𝟒𝒌 − 𝒌 = 𝟑𝒌 
 
𝑷(𝒚 = 𝟐) = 𝟕𝒌 − 𝟒𝒌 = 𝟑𝒌 
 
𝑷(𝒚 = 𝟑) = 𝟖𝒌 − 𝟕𝒌 = 𝒌 
 
𝑷(𝒚 = 𝟒) = 𝟏 − 𝟖𝒌 
 
Vamos montar a distribuição de probabilidades. 
 
𝒚 𝑷(𝒚) 
0 𝒌 
1 𝟑𝒌 
2 𝟑𝒌 
3 𝒌 
4 𝟏 − 𝟖𝒌 
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81 
 
Sabemos que a média é igual a 2. Para calcular a média, devemos multiplicar cada valor da 
variável pela sua respectiva probabilidade e somar. 
 
𝒚 𝑷(𝒚) 𝒚 ∙ 𝑷(𝒚) 
0 𝒌 𝟎 
1 𝟑𝒌 𝟑𝒌 
2 𝟑𝒌 𝟔𝒌 
3 𝒌 𝟑𝒌 
4 𝟏 − 𝟖𝒌 𝟒 − 𝟑𝟐𝒌 
 
𝟎 + 𝟑𝒌 + 𝟔𝒌 + 𝟑𝒌 + (𝟒 − 𝟑𝟐𝒌) = 𝟐 
 
−𝟐𝟎𝒌 + 𝟒 = 𝟐 
 
−𝟐𝟎𝒌 = −𝟐 
 
𝒌 =
𝟐
𝟐𝟎 = 𝟎, 𝟏 
 
 
Vamos reescrever a distribuição de probabilidades substituindo 𝒌 por 0,1. 
 
𝒚 𝑷(𝒚) 
0 𝟎, 𝟏 
1 𝟎, 𝟑 
2 𝟎, 𝟑 
3 𝟎, 𝟏 
4 𝟎, 𝟐 
Já temos a média de 𝒚, ou seja, 𝝁𝒀 = 𝟐. Para calcular a variância, precisamos calcular a média dos 
quadrados 𝑬(𝒀𝟐). Para tanto, vamos elevar os valores assumidos por 𝒚 ao quadrado, depois 
vamos multiplicar pelas respectivas probabilidades e vamos somar tudo. 
 
𝒚 𝑷(𝒚) 𝒚𝟐 𝒚𝟐 ∙ 𝑃(𝑦) 
0 𝟎, 𝟏 0 0 
1 𝟎, 𝟑 1 0,3 
2 𝟎, 𝟑 4 1,2 
3 𝟎, 𝟏 9 0,9 
4 𝟎, 𝟐 16 3,2 
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82 
 
 
Logo, 
𝑬(𝒀𝟐) = 𝟎 + 𝟎, 𝟑 + 𝟏, 𝟐 + 𝟎, 𝟗 + 𝟑, 𝟐 = 𝟓, 𝟔 
 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝒀𝟐) − 𝝁𝒀𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟓, 𝟔 − 𝟐𝟐 = 𝟏, 𝟔 
Gabarito: C 
 
16. (FCC 2018/TRT 14ª Região) 
Seja var(X) variância da variável aleatória X, var(Y) a variância da variável aleatória Y e cov (X, Y) a 
covariância das variáveis aleatórias X, Y. É correto afirmar que 
a) var(X + Y) < var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
b) var(X + Y) > var(X) + var(Y) se cov(X, Y) > 0. 
c) se X e Y são independentes então cov(X, Y) ≠ 0. 
d) var(X + c) > var(X) para qualquer c >0. 
e) var(cX) = c var(X) para qualquer c > 0. 
Comentário 
Sabemos que 
𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Se 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) > 0, então 𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) > 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌), já que as variâncias não podem ser 
negativas. 
Já podemos marcar a resposta na alternativa B e também podemos descartar a alternativa A. 
Vamos analisar as outras alternativas. 
A alternativa C é falsa, pois se X e Y são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0. 
 
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83 
 
A alternativa D é falsa, pois ao adicionar uma constante à variável, a variância não muda, ou seja, 
𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑐) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋). 
A alternativa E é falsa, pois ao multiplicar a variável por uma constante 𝑐, a variância será 
multiplicada pelo quadrado dessa constante, ou seja, 𝑣𝑎𝑟(𝑐𝑋) = 𝑐a ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑋). 
Gabarito: B 
 
17. (FCC 2015/DPE-SP) 
 
Os produtos A e B vendidos por uma loja on-line seguem, respectivamente, a distribuição de 
probabilidade das variáveis X e Y. 
 
Sabe-se que: 
 
IV. A função de probabilidade da variável aleatória X é dada por 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝝀𝟑
𝒌�𝟏
𝒌!
, 𝒌 =
𝟏, 𝟐, 𝟑. 
V. A função de distribuição da variável aleatória Y é dada por 𝑭(𝒚) = ¡
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟏						
𝟏/𝟒	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟑/𝟒	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟏						𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟑
 
VI. As variáveis aleatórias X e Y são independentes. 
 
Nessas condições, 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑, 𝒀 = 𝟏) é igual a 
 
a) 7/32 
 
b) 5/16 
 
c) 5/24 
 
d) 7/16 
 
e) 5/32 
 
Comentário 
 
Comecemos pela informação I. Em vez de fornecer diretamente 𝑷(𝑿 = 𝟏), 𝑷(𝑿 = 𝟐)	𝒆	𝑷(𝑿 = 𝟑), a 
questão nos deu uma função para que possamos calcular esses valores. 
 
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84 
 
𝑷(𝑿 = 𝒌) =
𝝀𝟑𝒌¢𝟏
𝒌! 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) =
𝝀𝟑𝟏¢𝟏
𝟏! =
𝝀 ∙ 𝟑𝟎
𝟏 = 𝝀 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) =
𝝀𝟑𝟐¢𝟏
𝟐! =
𝟑𝝀
𝟐 = 𝟏, 𝟓𝝀 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) =
𝝀𝟑𝟑¢𝟏
𝟑! =
𝟗𝝀
𝟔 = 𝟏, 𝟓𝝀 
 
A soma dessas três probabilidades é igual a 1. 
 
𝝀 + 𝟏, 𝟓𝝀 + 𝟏, 𝟓𝝀 = 𝟏 
 
𝟒𝝀 = 𝟏 
 
𝝀 = 𝟎, 𝟐𝟓 
Portanto, 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) = 𝝀 = 𝟎, 𝟐𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟐) = 𝟏, 𝟓𝝀 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) = 𝟏, 𝟓𝝀 = 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 
 
Vamos à informação II. 
 
𝑭(𝒚) = ¡
𝟎						𝒔𝒆	𝒚 < 𝟏						
𝟏/𝟒	𝒔𝒆	𝟏 ≤ 𝒚 < 𝟐
𝟑/𝟒	𝒔𝒆	𝟐 ≤ 𝒚 < 𝟑
𝟏						𝒔𝒆	𝒚 ≥ 𝟑
 
 
Percebemos que a variável aleatória discreta Y pode assumir os valores 1, 2 ou 3. 
 
A probabilidade associada a cada um desses valores é dada justamente pelo tamanho dos saltos. 
 
Observe que quando chegamos em 1, a função salta de 0 para 1/4. O salto foi de 1/4. Portanto, 
 
𝑷(𝒀 = 𝟏) =
𝟏
𝟒 
 
Quando chegamos em 2, a função salta de 1/4 para 3/4. O salto foi de 3/4 – 1/4 = 2/4. Portanto, 
 
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85 
 
𝑷(𝒀 = 𝟐) =
𝟐
𝟒 
Analogamente, temos: 
 
𝑷(𝒀 = 𝟑) = 𝟏 −
𝟑
𝟒 =
𝟏
𝟒 
 
A questão pede o valor de 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑, 𝒀 = 𝟏). 
 
O que significa essa “vírgula” em 𝑷(𝑿 = 𝟏, 𝒀 = 𝟐)? Significa que queremos calcular a 
probabilidade de X =1 e Y = 2. Em outras palavras, queremos calcular a probabilidade da 
interseção. 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏 ∩ 𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑 ∩ 𝒀 = 𝟏) = 
 
Como as variáveis são independentes (informação III), então a probabilidade da interseção é o 
produto das probabilidades. 
 
= 𝑷(𝑿 = 𝟏) ∙ 𝑷(𝒀 = 𝟐) + 𝑷(𝑿 = 𝟑) ∙ 𝑷(𝒀 = 𝟏) 
 
= 𝟎, 𝟐𝟓 ∙
𝟐
𝟒 + 𝟎, 𝟑𝟕𝟓 ∙
𝟏
𝟒 
 
=
𝟎, 𝟓𝟎
𝟒 +
𝟎, 𝟑𝟕𝟓
𝟒 
 
=
𝟎, 𝟖𝟕𝟓
𝟒 
 
=
𝟖𝟕𝟓/𝟏. 𝟎𝟎𝟎
𝟒 
 
=
𝟖𝟕𝟓
𝟒. 𝟎𝟎𝟎 =
𝟏𝟕𝟓
𝟖𝟎𝟎 =
𝟑𝟓
𝟏𝟔𝟎 =
𝟕
𝟑𝟐 
 
Na última linha, eu fiz sucessivas simplificações por 5. 
Gabarito: A 
 
18. (FMP 2011/TCE-RS) 
Considere X e Y duas variáveis aleatórias quaisquer e as afirmativas abaixo: 
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I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). 
II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. 
III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
É correto afirmar que: 
(A) apenas I está correta. 
(B) apenas II está correta. 
(C) apenas III está correta. 
(D) apenas I e II estão corretas. 
(E)apenas II e III estão corretas. 
Comentário 
I. Se Z = 8X + 9Y, então VAR(Z) = 8VAR(X) + 9VAR(Y) + 2 COV(X,Y). 
Vamos aplicar a fórmula da variância da soma de duas variáveis. 
𝑉𝑎𝑟	(𝑍) = 𝑉𝑎𝑟(8𝑋 + 9𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(8𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(9𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(8𝑋, 9𝑌)	
Observe que se multiplicamos a variável X por 8, a sua variância será multiplicada por 8² = 64. Se 
multiplicamos a variável Y por 9, a sua variância será multiplicada por 9² = 81. 
𝑉𝑎𝑟	(𝑍) = 64	𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 81	𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(8𝑋, 9𝑌)	
Professor, ainda precisamos desenvolver a expressão da covariância! 
Para isto, vamos utilizar uma outra fórmula. 
Se m e n são constantes, então 𝑐𝑜𝑣	(𝑚𝐴, 𝑛𝐵) = 𝑚𝑛 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝐴, 𝐵). 
Então ficamos assim: 
𝑉𝑎𝑟	(𝑍) = 64 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) 	+ 	81 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2	𝑐𝑜𝑣(8𝑋, 9𝑌)	
𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 64 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 81 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 8 ∙ 9	𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑉𝑎𝑟(𝑍) = 64 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 81 ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) + 144 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)	
O item I está errado. 
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II. Se W = 8X + 9Y + 10, então E(W) = 8E(X) + 9E(Y) + 10. 
Queremos calcular a esperança da variável W = 8X + 9Y + 10. 
𝐸(𝑊) = 𝐸(8𝑋 + 9𝑌 + 10) =	? 
A esperança da soma é igual à soma das esperanças. Assim, podemos “desmembrar” a 
expressão acima. 
𝐸(𝑊) = 𝐸(8𝑋 + 9𝑌 + 10) = 	𝐸(8𝑋) + 𝐸(9𝑌) + 𝐸(10) 
Quando multiplicamos a variável X por 8, sua esperança fica multiplicada por 8. Portanto, E(8X) = 
8 E(X). 
Quando multiplicamos a variável Y por 9, sua esperança fica multiplicada por 9. Portanto, E(9Y)=9 
E(Y). 
10 é uma constante. Vimos que a esperança de uma constante é igual à própria constante. 
Portanto, E(10) = 10. 
𝐸(𝑊) = 	𝐸(8𝑋) + 𝐸(9𝑌) + 𝐸(10) = 8 ∙ 𝐸(𝑋) + 9 ∙ 𝐸(𝑌) + 10 
O item II está certo. 
 
III. Se COV(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
Está é uma casca de banana e aparece em MUITAS provas de estatística inferencial. 
Na verdade, a propriedade diz que se X e Y são variáveis aleatórias independentes, então a 
covariância é nula, ou seja, COV(X,Y) = 0. 
Agora, se COV(X,Y) = 0, nada podemos afirmar sobre a (in)dependência entre as variáveis 
envolvidas. 
Ok? 
Grave bem....SE AS VARIÁVEIS SÃO INDEPENDENTES, A COVARIÂNCIA É NULA!! 
SE A COVARIÂNCIA É NULA, ELAS PODEM SER INDEPENDENTES OU DEPENDENTES!!! 
Assim, o item III está errado. 
Gabarito: B 
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19. (CESGRANRIO 2010/BACEN) 
Se X e Y são duas variáveis aleatórias, para as quais são definidas: E(X) e E(Y), suas esperanças 
matemáticas (expectâncias); Var(X) e Var(Y), suas respectivas variâncias, e Cov(X, Y), a covariância 
entre X e Y, quaisquer que sejam as distribuições de X e Y, tem-se que 
(A) E(XY) = E(X) + E(Y) – 2Cov(X, Y) 
(B) E(X) . E(Y) = E(XY) – Cov(X, Y) 
(C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) 
(D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 
(E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y) 
Comentário 
A alternativa A é completamente absurda. Ele tenta confundir a fórmula da variância da diferença 
com estas expressões envolvendo esperanças. 
Vejamos a alternativa B. 
Sabemos que a covariância é calculada da seguinte maneira: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) 
Vamos transportar E(X).E(Y) que está negativo no segundo membro para o primeiro membro. 
𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) + 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) 
Agora vamos transportar cov(X,Y) para o segundo membro. 
𝐸(𝑋) ∙ 𝐸(𝑌) = 𝐸(𝑋𝑌) − 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
É exatamente a alternativa B! Este é o gabarito. 
Vamos analisar as outras alternativas. 
(C) E(3X + 2Y) = 9E(X) + 4E(Y) 
𝐸(3𝑋 + 2𝑌) = 𝐸(3𝑋) + 𝐸(2𝑌) = 3𝐸(𝑋) + 2𝐸(𝑌) 
A alternativa C está errada. 
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(D) Var(X + 5) = Var(X) + 5 
Vimos que Var (X+ k) = Var(X). Ou seja, se adicionamos uma constante a uma variável aleatória, a 
sua variância não se altera. 
A alternativa D está errada. 
(E) Cov(X, Y) = Var(X) . Var(Y) 
A alternativa E é completamente absurda. 
Gabarito: B 
 
20. (CESGRANRIO 2005/SEAD-AM) 
Se var(X) = 4, var(Y) = 2 e cov(X,Y) = -1, então var(2X – Y) é igual a: 
a) 10 
b) 12 
c) 18 
d) 22 
e) 24 
Comentário 
Uma questão muito interessante que vamos aproveitar para revisar as propriedades da variância 
e da covariância. Vamos relembrar as propriedades da variância. 
i) Somando-se ou subtraindo-se uma constante qualquer a uma variável aleatória, a variância não 
se altera. 
ii) Se multiplicarmos ou dividirmos uma constante qualquer a uma variável aleatória, a variância 
ficará multiplicada ou dividida pelo quadrado dessa constante. 
E quanto à covariância? É válida a seguinte relação: 
𝑐𝑜𝑣(𝑎𝑋, 𝑏𝑌) = 𝑎 ∙ 𝑏 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
E, além disso, são válidas também as seguintes relações: 
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𝑉(𝑋 + 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Estude bem essas relações!! 
Bom, vamos voltar ao problema. Queremos calcular var(2X – Y) sabendo que var(X) = 4, var(Y) = 2 
e cov(X,Y) = -1. 
De acordo com a relação 𝑉(𝑋 − 𝑌) = 𝑉(𝑋) + 𝑉(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌), temos que 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(2𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(2𝑋, 𝑌) 
BASTA TROCAR O “X” DA FÓRMULA POR 2X!!! 
Vamos analisar cada componente dessa relação! 
• 𝑣𝑎𝑟(2𝑋) = 2² ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) = 2² ∙ 4 = 16 
• 𝑣𝑎𝑟(𝑌) = 2 
• 𝑐𝑜𝑣(2𝑋, 𝑌) = 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 2 ∙ (−1) = −2 
Assim, 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(2𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(2𝑋, 𝑌) 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 16 + 2 − 2 ∙ (−2) = 22 
Gabarito: D 
 
21. (ESAF 2006/ENAP) 
Sabe-se que X e Y são variáveis aleatórias independentes. Dado que Z = 2 X – Y, então pode-se 
afirmar que 
a) a variância de Z nunca poderá ser superior à variância de X. 
b) a variância de Z nunca poderá ser inferior à variância de Y. 
c) a variância de Z poderá se diferente de 2 X - Y. 
d) o valor esperado de Z é igual a 2. 
e) a variância de Z é igual a zero. 
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Comentário 
Como o problema já afirma que as variáveis X e Y são independentes, podemos concluir que 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0. 
Assim, 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(2𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(2𝑋, 𝑌) 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 2² ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) − 2 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑣𝑎𝑟(2𝑋 − 𝑌) = 4 ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) − 4 ∙ 0 
𝑣𝑎𝑟(𝑍) = 4 ∙ 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) 
Como a variância é sempre um número não negativo, a variância de Z nunca poderá ser inferior à 
variância de Y. 
Gabarito: B 
 
22. (CESGRANRIO 2005/MPE-RO) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito da esperança e da variância de duas variáveis 
aleatórias X e Y. 
I - Se X e Y são independentes, então var(X + Y) = var(X) + var(Y). 
II - Se var(X + Y) = var(X) + var(Y), então X e Y são independentes. 
III - Se X e Y são independentes, então E(X + Y) = E(X) + E(Y). 
IV - Se E(X + Y) = E(X) + E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) II, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
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Comentário 
I – Verdadeiro 
Sabemos que	𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌),. 
Se X e Y são independentes, então cov(X,Y) = 0. Portanto, se X e Y são independentes, então 
𝑣𝑎𝑟(𝑋 + 𝑌) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) + 2 ∙ 0 = 𝑣𝑎𝑟(𝑋) + 𝑣𝑎𝑟(𝑌) 
 
II – Falso 
Duas variáveis independentes têm covariância zero, mas a recíproca não é verdadeira. Ou seja, se 
a covariância é zero, as variáveis podem ser independentes ou não. 
 
III – Verdadeiro 
Sejam X e Y duas variáveis quaisquer, é sempre verdade que E(X + Y) = E(X) + E(Y). Não interessa 
se as variáveis são ou não independentes, sempre será verdade E(X+Y)=E(X)+ E(Y). 
 
IV – Falso 
E(X + Y) = E(X) + E(Y) é verdade para duas variáveis quaisquer. Portanto, X e Y podem ser 
independentes ou não. 
Gabarito: B 
 
23. (CESGRANRIO 2004/Prefeitura de Manaus) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y. 
I – Se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – Se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes. 
III – Se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). 
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IV – Se E(XY) = E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Está(ão) correta(s) a(s) afirmativa(s): 
(A) I, somente. 
(B) I e III, somente. 
(C) I e IV, somente. 
(D) II e IV, somente. 
(E) I, II, III e IV 
Comentário 
I – Verdadeiro 
Duas variáveis independentes têm covariância zero, mas a recíproca não é verdadeira. Ou seja, se 
a covariância é zero, as variáveis podem ser independentes ou não. 
 
II - Falso 
A frase II é falsa pelo mesmo motivo da frase I. 
 
III – Verdadeiro 
Se X e Y são duas variáveis independentes, então E(XY) = E(X).E(Y). A recíproca não é verdadeira. 
 
IV – Falso 
A frase IV é falsa pelo mesmo motivo da frase III. 
Gabarito: B 
 
 
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24. (FGV 2006/ICMS-MS) 
Analise as afirmativas a seguir, a respeito de duas variáveis aleatórias X e Y: 
I – se X e Y são independentes, então Cov(X,Y) = 0. 
II – se Cov(X,Y) = 0, então X e Y são independentes; 
III – se X e Y são independentes, então E(XY) = E(X).E(Y) 
IV – se E(XY) =E(X).E(Y), então X e Y são independentes. 
Assinale: 
a) se nenhum alternativa estiver correta 
b) se somente as alternativas I e III estiverem corretas 
c) se somente as alternativas I e IV estiverem corretas 
d) se somente as alternativas II e IV estiverem corretas 
e) se todas as alternativas estiverem corretas. 
Comentário 
Muito criativa a questão, não? 
IDÊNTICAS. Não vou nem copiar os comentários. 
Gabarito: B 
 
25. (CESGRANRIO 2011/BNDES) 
As variáveis aleatórias X e Y têm variâncias iguais e possuem coeficiente de correlação igual a 
0,2. O coeficiente de correlação entre as variáveis aleatórias X e 5X – 2Y é 
(A) – 0,35 
(B) – 0,2 
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(C) 0,1 
(D) 0,56 
(E) 0,92 
Comentário 
O coeficiente de correlação 𝜌(𝑋, 𝑌) é dado por: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝜎n ∙ 𝜎r
 
Como o desvio padrão é a raiz quadrada da variância, podemos escrever: 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
e𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌)
 
O problema informa que Var(X) = Var(Y). Para simplificar, utilizarei a letra m para representar estes 
valores. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 𝑚									𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 𝑚 
Assim, 
𝜌(𝑋, 𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
√𝑚 ∙ 𝑚
 
Como o coeficiente de correlação é igual a 0,2, então: 
0,2 =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌)
𝑚 
 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0,2 ∙ 𝑚 
Vamos agora aplicar a definição do coeficiente de correlação para as variáveis X e 5X – 2Y. 
𝜌(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌)
e𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∙ 𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌)
 
Utilizemos as propriedades de variância e covariância: 
𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(5𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(2𝑌) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(5𝑋, 2𝑌) 
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96 
 
 
𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌) = 5² ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 2² ∙ 𝑉𝑎𝑟(𝑌) − 2 ∙ 5 ∙ 2 ∙ 𝒄𝒐𝒗(𝑿, 𝒀) 
𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌) = 25𝑚 + 4𝑚 − 20 ∙ 𝟎, 𝟐𝒎 = 25𝑚 
𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌) = 25𝑚 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) = 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋) + 𝑐𝑜𝑣(𝑋,−2𝑌) = 5𝒄𝒐𝒗(𝑿, 𝑿) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
 
Lembrando que 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑋) = 𝑣𝑎𝑟(𝑋), temos: 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) = 5 ∙ 𝒗𝒂𝒓(𝑿) − 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) = 5𝑚 − 2 ∙ 0,2 ∙ 𝑚 
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) = 4,6 ∙ 𝑚 
Substituindo estes valores na fórmula: 
𝜌(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌) =
𝑐𝑜𝑣(𝑋, 5𝑋 − 2𝑌)
e𝑉𝑎𝑟(𝑋) ∙ 𝑉𝑎𝑟(5𝑋 − 2𝑌)
=
4,6𝑚
√𝑚 ∙ 25𝑚
=
4,6𝑚
5𝑚 =
4,6
5 = 0,92 
Gabarito: E 
 
26. (CESPE 2016/TCE-PR) 
 
A quantidade de parcelas (X) escolhida por um cliente para o pagamento de determinado 
serviço é uma variável aleatória discreta com função de probabilidade 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟕¢𝒌
𝟐𝟏
, para 𝒌 ∈
{𝟏, 𝟐, … , 𝟔}, e 𝑷(𝑿 = 𝒌) = 𝟎, para 𝒌 ∉ {𝟏, 𝟐, … , 𝟔}. No que se refere a essa variável aleatória, 
assinale a opção correta. 
 
a) A esperança 𝑬(𝟑𝑿 − 𝟖) é igual a 0. 
 
b) 𝑷(𝑿 < 𝟐) > 𝟎, 𝟓. 
 
c) 𝑷(𝑿𝟐 = 𝟏) = 𝟒/𝟒𝟗. 
 
d) A esperança de X é igual ou superior a 3. 
 
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e) A variância da variável aleatória X é igual ou superior a 3. 
 
Comentário 
 
Vamos substituir 𝒌 por 1, 2, ..., 6. 
 
𝑷(𝑿 = 𝟏) =
𝟕 − 𝟏
𝟐𝟏 =
𝟔
𝟐𝟏 
𝑷(𝑿 = 𝟐) =
𝟕 − 𝟐
𝟐𝟏 =
𝟓
𝟐𝟏 
 
𝑷(𝑿 = 𝟑) =
𝟕 − 𝟑
𝟐𝟏 =
𝟒
𝟐𝟏 
 
𝑷(𝑿 = 𝟒) =
𝟕 − 𝟒
𝟐𝟏 =
𝟑
𝟐𝟏 
 
𝑷(𝑿 = 𝟓) =
𝟕 − 𝟓
𝟐𝟏 =
𝟐
𝟐𝟏 
 
𝑷(𝑿 = 𝟔) =
𝟕 − 𝟔
𝟐𝟏 =
𝟏
𝟐𝟏 
 
Assim, temos a seguinte distribuição de probabilidades. 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 
1 6/21 
2 5/21 
3 4/21 
4 3/21 
5 2/21 
6 1/21 
Vamos calcular a média e a variância de X. Para calcular a média de X, E(X), devemos multiplicar 
X por P(X) e somar os resultados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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98 
 
 
 
Para calcular a variância, vamos precisar da média dos quadrados, 𝑬(𝑿𝟐). Assim, precisaremos 
construir uma coluna para 𝑿𝟐 e outra para 𝑿𝟐 ∙ 𝑷(𝑿). 
 
𝑿 𝑷(𝑿) 𝑿 ∙ 𝑷(𝑿) 𝑿𝟐 𝑿𝟐 ∙ 𝑃(𝑋) 
1 6/21 6/21 1 6/21 
2 5/21 10/21 4 20/21 
3 4/21 12/21 9 36/21 
4 3/21 12/21 16 48/21 
5 2/21 10/21 25 50/21 
6 1/21 6/21 36 36/21 
Assim, temos: 
 
𝑬(𝑿) =
𝟔
𝟐𝟏 +
𝟏𝟎
𝟐𝟏 +
𝟏𝟐
𝟐𝟏 +
𝟏𝟐
𝟐𝟏 +
𝟏𝟎
𝟐𝟏 +
𝟔
𝟐𝟏 =
𝟓𝟔
𝟐𝟏 =
𝟖
𝟑 ≅ 𝟐, 𝟔𝟕 
 
Portanto, a alternativa D está errada. 
 
𝑬(𝑿𝟐) =
𝟔
𝟐𝟏 +
𝟐𝟎
𝟐𝟏 +
𝟑𝟔
𝟐𝟏 +
𝟒𝟖
𝟐𝟏 +
𝟓𝟎
𝟐𝟏 +
𝟑𝟔
𝟐𝟏 =
𝟏𝟗𝟔
𝟐𝟏 =
𝟐𝟖
𝟑 
 
Vamos aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
𝝈𝟐 =
𝟐𝟖
𝟑 − µ
𝟖
𝟑¶
𝟐
 
 
𝝈𝟐 =
𝟐𝟖
𝟑 −
𝟔𝟒
𝟗 
 
𝝈𝟐 =
𝟖𝟒 − 𝟔𝟒
𝟗 =
𝟐𝟎
𝟗 
 
𝝈𝟐 ≅ 𝟐, 𝟐𝟐 
Logo, a alternativa E está errada. 
 
Vamos analisar a alternativa A. Sabemos que 𝑬(𝑿) = 𝟖
𝟑
. Queremos calcular 𝑬(𝟑𝑿 − 𝟖). 
 
𝑬(𝟑𝑿 − 𝟖) = 𝟑 ∙ 𝑬(𝑿) − 𝟖 = 
 
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99 
 
= 𝟑 ∙
𝟖
𝟑 − 𝟖 = 𝟖 − 𝟖 = 𝟎 
A alternativa A está certa. 
 
Vamos analisar a alternativa B. 
 
𝑷(𝑿 < 𝟐) =? 
 
Há apenas um valor de X que é menor do que 2. Logo, 
 
𝑷(𝑿 < 𝟐) = 𝑷(𝑿 = 𝟏) =
𝟔
𝟐𝟏 < 𝟎, 𝟓 
A alternativa B está errada. 
 
Vamos, finalmente, analisar a alternativa C. 
 
𝑷(𝑿𝟐 = 𝟏) =? 
 
Ora, 𝑿𝟐 = 𝟏 implica 𝑿 = 𝟏	𝒐𝒖	𝑿 = −𝟏. Como X não pode ser -1, então: 
 
𝑷(𝑿𝟐 = 𝟏) = 𝑷(𝑿 = 𝟏) =
𝟔
𝟐𝟏 ≠
𝟒
𝟒𝟗 
 
A alternativa C está errada. 
Gabarito: A 
 
27. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
Então a média da demanda diária é: 
 
a) 1,5. 
 
b) 2,0. 
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100 
 
 
c) 2,5. 
 
d) 3,0. 
 
e) 3,5. 
 
Comentário 
 
Para calcular a média, basta multiplicar cada valor da variável pela respectiva probabilidade e 
somar os resultados. 
 
𝑬(𝑿) = 𝟎 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟏 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟐 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟑 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟒 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟓 × 𝟎, 𝟏𝟎 
 
𝑬(𝑿) = 𝟐, 𝟓 
 
Gabarito: C 
 
28. (VUNESP 2014/TJ-PA) 
 
Em uma locadora de automóveis a demanda diária é uma variável aleatória com a seguinte 
distribuição de probabilidades: 
 
 
 
A variância da demanda diária é: 
 
a) 1,85. 
 
b) 1,5. 
 
c) 1,25. 
 
d) 1,0. 
 
e) 0,85. 
 
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101 
 
Comentário 
 
Na questão passada, já calculamos o valor da média: 𝑬(𝑿) = 𝝁 = 𝟐, 𝟓. 
 
Vamos agora calcular a média dos quadrados: 𝑬(𝑿𝟐). O procedimento é o mesmo, mas 
precisamos elevar cada valor da variável ao quadrado. 
 
𝑬(𝑿𝟐) = 𝟎𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟏𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟐𝟐 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟑𝟐 × 𝟎, 𝟑𝟎 + 𝟒𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟓𝟐 × 𝟎, 𝟏𝟎 
 
𝑬(𝑿𝟐) = 𝟎 + 𝟎, 𝟏𝟎 + 𝟏, 𝟐 + 𝟐, 𝟕 + 𝟏, 𝟔 + 𝟐, 𝟓 
 
𝑬(𝑿𝟐) = 𝟖, 𝟏 
 
Agora é só aplicar a fórmula da variância. 
 
𝝈𝟐 = 𝑬(𝑿𝟐) − 𝝁𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟖, 𝟏 − 𝟐, 𝟓𝟐 
 
𝝈𝟐 = 𝟖, 𝟏 − 𝟔, 𝟐𝟓 = 𝟏, 𝟖𝟓 
Gabarito: A 
 
29. (CESGRANRIO 2018/Petrobras) 
As variáveis aleatórias X e Y são independentes. A variável X segue uma distribuição Normal 
com média 4 e variância 16, e a Y segue uma distribuição Normal com média 9 e variância 1. 
A distribuição de X - Y é Normal com 
a) média -5 e variância 15. 
b) média -5 e variância 17. 
c) média 5 e variância 15. 
d) média 5 e variância 17. 
e) média 13 e variância 15. 
Comentário 
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102 
 
Sabemos que: 
𝐸(𝑋) = 4, 𝑉𝑎𝑟(𝑋) = 16, 𝐸(𝑌) = 9, 𝑉𝑎𝑟(𝑌) = 1. 
Queremos calcular 𝐸(𝑋 − 𝑌) e 𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌). 
𝐸(𝑋 − 𝑌) = 𝐸(𝑋) − 𝐸(𝑌) = 4 − 9 = −5 
Vamos agora aplicar a fórmula da variância da diferença. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 𝑉𝑎𝑟(𝑋) + 𝑉𝑎𝑟(𝑌) − 2𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) 
Como as variáveis são independentes, então 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 0. 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 16 + 1 − 2 ∙ 0 
𝑉𝑎𝑟(𝑋 − 𝑌) = 17 
Gabarito: B 
 
30. (CESGRANRIO 2018/Banco do Brasil) 
Numa amostra de 30 pares de observações do tipo (𝒙𝒊, 𝒚𝒊), com 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎,	a covariância 
obtida entre as variáveis X e Y foi −𝟐. Os dados foram transformados linearmente da forma 
(𝒛𝒊, 𝒘𝒊) = (−𝟑𝒙𝒊 + 𝟏, 𝟐𝒚𝒊 + 𝟑), para 𝒊 = 𝟏, 𝟐, … , 𝟑𝟎. Qual o valor da covariância entre as variáveis Z 
e W transformadas? 
a) 41 
b) 36 
c) –7 
d) 12 
e) 17 
Comentário 
Sabemos que 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = −2 e queremos calcular o valor de 𝑐𝑜𝑣(−3𝑋 + 1, 2𝑌 + 3). 
Ao adicionar constantes às variáveis, a covariância não muda. Logo, 
𝑐𝑜𝑣(−3𝑋 + 1, 2𝑌 + 3) = 𝑐𝑜𝑣(−3𝑋, 2𝑌) 
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103 
 
As constantes podem sair multiplicando a covariância. 
𝑐𝑜𝑣(−3𝑋, 2𝑌) = −3 ∙ 2 ∙ 𝑐𝑜𝑣(𝑋, 𝑌) = 
 
= −6 × (−2) = +12 
Gabarito: D 
 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS 
Ficamos por aqui, queridos alunos. Espero que tenham gostado da aula. 
Vamos juntos nesta sua caminhada. Lembre-se que vocês podem fazer perguntas e sugestões no 
nosso fórum de dúvidas. 
 
 
 
Você também pode me encontrar no instagram @profguilhermeneves ou entrar em contato 
diretamente comigo pelo meu email profguilhermeneves@gmail.com. 
Um forte abraço e até a próxima aula!!! 
Guilherme Neves 
 
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