CAP_I_A_III_ESTATISTICA

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ESTATÍSTICA 
 
INTRODUÇÃO 
 
Caros concursandos, vamos deixar bem claro que o propósito deste trabalho não é (e 
nem tem a pretensão) de esgotar a matéria, mas sim prover um material objetivo, de acordo 
com os editais dos principais certames na área fiscal, com linguagem simples, procurando evi-
tar ao máximo a utilização de termos técnicos desnecessários. 
A matéria será dividida em seis capítulos, todos contemplando, inicialmente, uma lista de 
abreviações, complementada por uma quantidade mínima de teoria, que seja suficiente para 
contextualização do tema e, é claro, a nossa parte prática onde estarão abrigadas as resolu-
ções de questões e suas dicas específicas, que indiquem o caminho para estruturar um pro-
blema, para fazer operações ou mesmo para trabalhar com as alternativas propostas pelo 
examinador. 
Além do conteúdo principal, mencionado acima, incluiremos também, no final deste capí-
tulo, alguns itens que entendemos serem secundários, mas que, eventualmente, podem apare-
cer na sua prova. 
Em suma, nosso objetivo é a máxima simplificação da estatística. 
 
SUMÁRIO 
1. Relação de Abreviaturas 
2. Conceitos Básicos 
3. Organização e Apresentação de Variáveis 
 3.1. Diagrama de Dispersão 
 3.2. Histograma 
 3.3. Box Plot 
 3.4. Diagrama de Folhas e Ramos 
4. Medidas de Posição 
 4.1. Média 
 4.2. Mediana 
 4.3. Moda 
5. Medidas de Dispersão 
 5.1. Amplitude 
 5.2. Variância 
 5.3. Desvio Padrão 
 5.4. Coeficiente de Variação 
6. Resumo Esquematizado 
 6.1. Medidas de Posição 
 6.2. Medidas de Dispersão 
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1. RELAÇÃO DE ABREVIATURAS 
 
X = Valor da variável 
Xmin = Variável de menor valor 
Xmax = Variável de maior valor 
n = Quantidade de observações 
Me = Média Aritmética 
Md = Mediana 
Mo = Moda 
f = Frequência 
fi = Frequência 
F = Frequência acumulada 
Fa = Frequência acumulada anterior 
h = Amplitude 
Linf = Limite inferior do intervalo 
∆a = Variação em relação à classe anterior 
∆p = Variação em relação à classe posterior 
μ = Média populacional 
σ = Desvio Padrão populacional 
σ2 = Variância populacional 
x̅ = Média amostral 
S = Desvio padrão amostral 
S2 = Variância amostral 
CV = Coeficiente de variação 
Q = Quartil 
Q1 = Primeiro quartil 
Q3 = Terceiro quartil 
d = Intervalo interquartil 
Dq = Desvio quartílico 
 
2. CONCEITOS BÁSICOS 
 
População: Conjunto inteiro de elementos com pelo menos uma característica em co-
mum sobre o qual se deseja informações. 
Amostra: Qualquer subconjunto de elementos da população do qual são coletadas in-
formações para concluir sobre o todo. 
 
 
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Tipos de Amostra: 
 
 
Amostra aleatória simples: Escolha totalmente ao acaso. 
Amostra estratificada: A população divide-se em subgrupos (estratos) e, de cada um 
deles, são retirados, proporcionalmente, os elementos para a amostra. 
Amostra sistemática: Os elementos são retirados da população periodicamente (a ca-
da k elementos, um é escolhido). 
Amostra por grupos (conglomerados): Os elementos da população são divididos em 
grupos (clusters) representativos da população. Permite selecionar apenas um grupo (ou pou-
cos) para realizar o estudo. 
Amostra multifásica: Consiste basicamente no sorteio de uma amostragem bem ampla 
que é submetida a uma investigação rápida e pouco profunda (primeira fase); o conhecimento 
obtido nessa fase permite extrair, da amostra mais ampla, uma menor, que será objeto de uma 
pesquisa aprofundada (segunda fase). 
 
Tipos de Variável: 
 
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Tipos de Frequência: 
 
Frequência absoluta: É o número de vezes em que a variável assume um valor especí-
fico. 
Frequência acumulada: Somatório das frequências das classes atual e anteriores. 
Frequência relativa: É a proporção da frequência da classe atual em relação ao núme-
ro total de observações. 
 
Séries Estatísticas: Qualquer tabela que apresente um conjunto de dados em função 
da época, do local, ou da espécie. 
Histórica, Cronológica ou Temporal: Conjunto de dados apresentados em função da 
época. 
Geográfica: Os valores são apresentados por região (em função da localização). 
Específica ou Categórica: O caráter variável é o fato ou a espécie. Exemplo: profis-
sões, espécie de animais. 
 
3. ORGANIZAÇÃO E APRESENTAÇÃO DE VARIÁVEIS 
 
3.1. Diagrama de Dispersão (Ou gráfico de dispersão): Apresenta duas ou mais variá-
veis no plano cartesiano. 
 
3.2. Histograma: Apresenta a distribuição de frequência de uma variável. A base define 
os intervalos de classe e a altura do retângulo a frequência do intervalo. 
 
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3.3. Box Plot (ou diagrama de caixa): representa a variação de dados observados da 
variável numérica. Informa: Limites mínimo e máximo, primeiro e terceiro quartil, mediana e 
amplitude interquartílica. 
 
Outlier: Valor atípico. Observação muito distante das demais de uma série estatística 
(na figura, ponto acima do limite máximo). 
 
3.4. Diagrama de Folhas e Ramos: Representa a distribuição de frequência para uma 
variável quantitativa. 
Exemplo para os valores:{12, 17, 14, 14, 29, 21, 20, 23, 21, 27, 34, 38, 34, 35, 39, 56}. 
 
Observação: Pode aparecer uma explicação para o gráfico denominada chave. No 
exemplo uma possível chave seria: 3|4 = 34. 
 
4. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
O primeiro grupo a ser trabalhado são as medidas de localização do centro dos dados: 
Média, mediana e moda. Sempre com atenção ao detalhamento da apresentação dos dados, 
se são simples ou em intervalos de classes, e se é o caso de análise populacional ou de análi-
se amostral. 
 
4.1. Média 
A média é o ponto de equilíbrio da distribuição. 
 
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Média para rol Média para dados agrupados 
Me =
X1 + X2 + ⋯ + Xn
n
 X̅ =
X1. f1 + X2. f2 + ⋯ + Xn. fn
f1 + f2 + ⋯ + fn
 
 
4.2. Mediana 
Mediana é o valor que se encontra exatamente no centro da série de observações divi-
dindo-a em partes iguais (cada uma com o mesmo número de observações). 
 
Mediana rol (n: ímpar) Mediana rol (n: par) Mediana dados agrupados 
Md = X
(
n+1
2
)
 Md =
X(n/2) + X((n/2)+1)
2
 Md = Linf +
(n 2⁄ ) − Fa
fi
. h 
 
4.3. Moda 
A moda corresponde ao valor da observação que aparece mais vezes. O detalhe é que 
não necessariamente haverá uma moda, existem casos em que haverá mais de uma moda ou 
mesmo nenhuma. Por exemplo, imagine os conjuntos abaixo: 
 
A = {3, 6, 7, 7, 7, 9, 10, 11, 15} Mo = 7 Unimodal 
B = {3, 6, 7, 7, 8, 9, 9, 10, 11} Mo = 7 e 9 Bimodal 
C = {3, 6, 7, 7, 9, 9, 10, 11, 11} Mo = 7, 9 e 11 Multimodal 
D = {3, 4, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15} Amodal 
 
Moda de Czuber para dados agrupados Mo = Linf + (
∆a
∆a + ∆p
) . h 
 
Pessoal, como observado logo no início deste material, nossa maior dedicação será da-
da à resolução de questões, pois bem, vamos quebrar a sequência teórica e passar àquilo que 
mais nos interessa. 
 
Questão 1 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FCC – 2019) Os números de autos de infração lavradospelos agentes de um setor de um órgão público, durante 10 meses, foram registrados mensal-
mente conforme a tabela abaixo. 
 
Mês I II III IV V VI VII VIII IX X Total 
Número de Autos 7 5 4 6 6 5 5 7 6 5 56 
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Verifica-se que, nesse período, o valor da soma da média aritmética (número de autos 
por mês) com a mediana é igual ao valor da moda multiplicado por: 
 
a) 2,4 
b) 2,32 
c) 2,12 
d) 2,52 
e) 2,22 
 
Comentários: 
Para responder a questão são necessários os valores da média, mediana e moda. Inici-
amos pela moda porque, em se tratando de rol, não demanda cálculos. 
Moda: Número com maior quantidade de repetições (maior frequência) no rol. Verifica-
mos que a moda, no rol da questão, é igual a 5. 
A média é o resultado da divisão da quantidade total de autos de infração pela quantida-
de de meses. 
Média 
Me = Total de Autos / Qde. Meses 
Me = 56/10 
Me = 5,6 
 
Para obtermos a mediana, uma vez que a quantidade de elementos é um número par, 
calculamos a média dos dois números centrais. Não esquecer a necessidade de que o rol este-
ja em ordem para dar início aos cálculos estatísticos. 
Número de Autos 4 5 5 5 5 6 6 6 7 7 
 
As posições centrais, 5ª e 6ª, coincidentemente, correspondem aos elementos de núme-
ros 5 e 6. A mediana será a média entre eles. 
Mediana 
Md = (5 + 6) / 2 
Md = 5,5 
 
Resta-nos a relação proposta pelo examinador. 
O valor da soma da média arit-
mética (número de autos por 
mês) com a mediana é igual ao 
valor da moda multiplicado por: 
Me + Md = Mo . x 
5,6 + 5,5 = 5x 
x = 11,1 / 5 
x = 2,22 
 
Gabarito: E 
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Questão 2 
(Auditor Fiscal de Tributos – Prefeitura de São Luiz / MA – FCC) Um levantamento foi 
realizado com 40 instituições financeiras, localizadas em uma região, com relação às taxas 
mensais de juros aplicadas para financiamento de veículos. Verificou-se que cinco instituições 
aplicam a taxa de 0,80% ao mês, duas aplicam a taxa de 1,20% ao mês, oito aplicam a taxa de 
1,25% ao mês, x aplicam a taxa de 1,12% ao mês e y aplicam a taxa de 0,96% ao mês. Se a 
média aritmética destas taxas foi igual a 1,05%, então a soma da mediana e a moda corres-
pondentes foi de: 
 
a) 2,00% 
b) 2,24% 
c) 2,08% 
d) 2,16% 
e) 1,92% 
 
Comentários: 
Faremos a transcrição dos dados do texto. A mesma coisa você fará em sua prova, pre-
ferencialmente, grifando no próprio enunciado. 
Qde. Financeiras 5 2 8 x y 
Taxa mensal de juros 0,80% 1,20% 1,25% 1,12% 0,96% 
 
Antes da estatística, realizaremos os cálculos matemáticos para a obtenção dos valores 
de x e y. 
Um levantamento foi realizado com 
40 instituições financeiras. 
5 + 2 + 8 + x + y = 40 
x + y = 25 
x = 25 – y 
 
Outra equação é possível a partir da fórmula da média. 
Se a média aritméti-
ca destas taxas foi 
igual a 1,05%. 
5 . 0,8 + 2 . 1,2 + 8 . 1,25 + x . 1,12 + y . 0.96
40
= 1,05 
4 + 2,4 + 10 + 1,12x + 0,96y = 1,05 . 40 
1,12x + 0,96y = 42 – 16,4 
1,12x + 0,96y = 25,6 
 
 
 
 
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Substituir o valor de x (primeira equação) na segunda equação. 
1,12x + 0,96y = 25,6 
1,12 (25 – y) + 0,96y = 25,6 
28 – 1,12y + 0,96y = 25,6 
0,16y = 2,4 
y = 15 
 
Valor de x: 
5 + 2 + 8 + x + y = 40 
5 + 2 + 8 + x + 15 = 40 
x = 10 
 
Retornamos ao quadro inicial sem esquecer que o rol deve apresentar-se em ordem 
(crescente ou decrescente) das taxas para aplicação de análise estatística. 
Qde. Financeiras 5 15 10 2 8 
Taxa mensal de juros 0,80% 0,96% 1,12% 1,20% 1,25% 
Frequência acumulada 
5 
(0 + 5) 
20 
(5+15) 
30 
(20+10) 
32 
(30+2) 
40 
(32+8) 
 
A última linha foi incluída para facilitar o cálculo da mediana que será a média entre o 
20º (segunda coluna) e o 21º (terceira coluna) elementos. 
Mediana 
Md = (20º + 21º) / 2 
Md = (0,96 + 1,12) / 2 
Md = 1,04 
 
Já a moda não demanda cálculo, é a taxa que tem maior frequência, ou seja, 0,96 (apli-
cada em 15 instituições financeiras). 
 
Finalmente, o que o examinador nos solicitou: 
A soma da mediana e a 
moda correspondentes foi 
de: 
S = Md + Mo 
S = 1,04 + ,96 
S = 2,00% 
 
Gabarito: A 
 
 
 
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Questão 3 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FCC) Considere a distribuição dos salários, em R$ 
1.000,00, dos funcionários lotados em uma repartição pública, representada abaixo pela tabela 
de frequências relativas acumuladas, sendo a frequência relativa acumulada do 4° intervalo de 
classe. 
Classes de salários 
Frequência relativa 
acumulada (%) 
1⊣ 3 5 
3⊣ 5 15 
5⊣ 7 40 
7⊣ 9 k 
9⊣ 11 100 
 
Sabe-se que a média aritmética (Me) foi calculada considerando que todos os valores 
incluídos num certo intervalo de classe são coincidentes com o ponto médio desse intervalo, 
que a mediana (Md) foi calculada pelo método da interpolação linear e que a moda (Mo) foi 
obtida pela relação de Pearson, ou seja, Mo = 3Md - 2Me. Dado que Me = R$ 7.200,00, então 
Mo é igual a: 
 
a) R$ 7.350, 00. 
b) R$ 8.500, 00. 
c) R$ 7.700, 00. 
d) R$ 8.100, 00. 
e) R$ 7.400, 00. 
 
Comentários: 
O ponto de partida é a tabela de frequência que, por apresentar apenas a frequência re-
lativa acumulada, deverá ser acrescida de nova coluna com a frequência relativa. 
 
Classes de salários 
Frequência relativa 
acumulada (%) 
Frequência relativa 
(%) 
1⊣ 3 5 5 
3⊣ 5 15 10 
5⊣ 7 40 25 
7⊣ 9 k k – 40 
9⊣ 11 100 100 – k 
 
Para as 4ª e 5ª classes o raciocínio utilizado foi o mesmo que nas classes anteriores, 
apenas mantivemos a representação com a variável k. 
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A continuidade depende de outros dados a serem buscados no enunciado a saber: Mé-
dia aritmética é igual a 7200. 
Uma vez que a média depende dos pontos médios das classes (xi), bem como da multi-
plicação pela frequência (fi), aproveitamos para incluir estas duas colunas. Caso contrário, o 
desenvolvimento da fórmula da média envolveria maior quantidade de números e operações 
aumentando a possibilidade de erros. 
 
Classes de sa-
lários 
Frequência rela-
tiva acumulada 
(%) 
Frequência relati-
va (%) (fi) 
xi xi .fi 
1⊣ 3 5 5 2 10 
3⊣ 5 15 10 4 40 
5⊣ 7 40 25 6 150 
7⊣ 9 k k – 40 8 8k – 320 
9⊣ 11 100 100 – k 10 1000 – 10k 
∑ 100 880 – 2k 
 
O detalhe é que os salários estão em R$ 1.000,00, razão pela qual as classes apare-
cem, por exemplo, 5 a 7. Desta feita, a média de 7200, mantido o padrão em 1000 reais, é 
igual a 7,2. 
 
Observe como ficou concisa a aplicação da fórmula. 
Me = 
∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
7,2 = (880 – 2k) / 100 
7,2 . 100 = 880 – 2k 
2k = 160 
k = 80 
 
Resgatamos a tabela de distribuição de frequência considerando o valor de k. 
Classes de salários 
(h=2) 
Frequência relativa 
acumulada (%) 
Frequência relativa 
(%) 
1⊣ 3 5 5 
3⊣ 5 15 10 
5⊣ 7 40 25 
7⊣ 9 k = 80 k – 40 = 40 
9⊣ 11 100 100 – k = 20 
 
A integra da tabela de distribuição de frequência é necessária para seguirmos com o 
cálculo da mediana. 
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A mediana estará localizada no intervalo que inclui o valor da metade dos elementos da 
amostra.Assim, temos 100 elementos (n=100), e a sua metade é 50 (n/2=50), que está locali-
zado no intervalo 7⊣ 9, que incluem os elementos de 41 até 80. 
 
De posse do intervalo, separamos os parâmetros para o cálculo da mediana: 
 
 Linf=7, n=100, Fa=40, fi=40, h=2 
Md = Linf +
(n 2⁄ ) − Fa
fi
. h 
Md = 7 + (50 – 40) / 40 .2 
Md = 7 + 10/40 .2 
Md = 7 + 0,5 
Md = 7,5 
 
Para a Moda, objetivo da questão, existe uma equação definida no enunciado cujos pa-
râmetros (média e mediana) são conhecidos. 
Moda 
Mo = 3Md – 2Me 
Mo = 3 . 7,5 – 2 . 7,2 
Mo = 8,1 
 
A moda é igual a 8,1 ou R$ 8.100,00. 
 
Gabarito: D 
 
Questão 4 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-SC – FCC – 2018) A tabela a seguir apre-
senta a distribuição de frequências dos salários, em número de salários mínimos (SM), dos 
funcionários de um órgão público: 
 
Faixa Salarial (SM) Porcentagem 
2 ⊢ 4 a 
4 ⊢ 6 a + 20 
6 ⊢ 8 b 
8 ⊢ 12 b – 10 
 
Sabe-se que: b – a = 5%, �̅� é a média salarial, obtida por meio dessa tabela, calculada 
como se todos os valores de cada faixa salarial coincidissem com o ponto médio da referida 
faixa, md é a mediana salarial, calculada por meio dessa tabela pelo método da interpolação 
linear. Nessas condições, �̅� + md, em anos, é igual a: 
 
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a) 9,85 
b) 11,35 
c) 11,05 
d) 10,95 
e) 11,65 
 
Comentários: 
Um pouco de matemática para o aquecimento. A equação disponibilizada “b – a = 5%” 
será útil para eliminar uma das incógnitas. 
Isolamos uma variável, no caso b, “b = 5 + a”, e substituímos na tabela de distribuição 
de frequências. 
Faixa Salarial (SM) Porcentagem 
2 ⊢ 4 a 
4 ⊢ 6 a + 20 
6 ⊢ 8 5 + a 
8 ⊢ 12 5 + a – 10 
∑ 100 
 
A razão por termos admitido o somatório igual a 100 é porque a frequência é relativa, ou 
seja, em percentual. 
 
Calculamos o valor de a: 
Variável “a” 
a + a+20 + 5+a + 5+a–10 = 100 
4a = 100 – 20 
a = 20 
 
Reescrevemos a tabela utilizando a igualdade “a = 20” e incluímos as colunas auxiliares 
para o cálculo da média e mediana. 
Faixa Salarial 
(SM) (h=2) 
fi 
(porcentagem) 
F 
(acumulada) 
xi 
(ponto médio) 
xi .fi 
2 ⊢ 4 20 20 3 60 
4 ⊢ 6 40 60 5 200 
6 ⊢ 8 25 85 7 175 
8 ⊢ 12 15 100 10 150 
∑ 100 585 
 
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Média. 
x̅ = 
∑ 𝑥𝑖 . 𝑓𝑖
∑ 𝑓𝑖
 
x̅ = 585 / 100 
x̅ = 5,85 
 
Mediana. 
md = Linf +
(n 2⁄ ) − Fa
fi
. h 
md = 4 + (50 – 20)/40 . 2 
md = 4 + 30/40 .2 
md = 4 + 1,5 
md = 5,5 
 
Para finalizar, a soma da média com mediana. 
Nessas condições, x̅ + md, em 
anos, é igual a: 
S = x̅ + md 
S = 5,85 + 5,5 
S = 11,35 
 
Gabarito: B 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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5. MEDIDAS DE DISPERÇÃO 
 
As medidas de dispersão ou variabilidade têm o propósito de complementar as medidas 
de tendência central. Essas medidas buscam informar aspectos importantes das séries de ob-
servações. Uma aplicabilidade simples está na diferenciação de dois grupos que apresentam a 
mesma média sendo que em um deles os elementos estão mais dispersos. 
Exemplo: A = {4, 5, 9}; B = {1, 7, 10}. Ambos têm média igual a 6, apesar da maior dis-
persão entre as observações do segundo agrupamento. 
 
5.1. Amplitude 
A medida básica de dispersão é a amplitude total, diferença entre o maior e o menor va-
lor, que traz informação limitada uma vez que não considera os valores intermediários, apenas 
os extremos. 
Amplitude Total h = Maior Valor – Menos Valor 
 
5.2. Variância 
A variância é uma medida que se baseia nos desvios quadrados do conjunto em relação 
à média. 
Variância populacional Variância amostral 
σ2 =
∑(Xi − μ)
2
n
 S2 =
∑(Xi − X̅)
2
n − 1
 
 
Nos casos de distribuição classificada por intervalos as fórmulas repetem-se incluindo o 
produto pela frequência de cada classe. 
Variância populacional para 
intervalos de classes 
Variância amostral para inter-
valos de classes 
σ2 =
∑(Xi − μ)
2. fi
n
 S2 =
∑(Xi − X̅)
2. fi
n − 1
 
 
5.3. Desvio Padrão 
O desvio padrão, em termo matemático, é a raiz quadrada da variância. 
Desvio Padrão populacional Desvio Padrão amostral 
σ = √
∑(Xi − μ)
2
n
 S = √
∑(Xi − X̅)
2
n − 1
 
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Como a variância, o desvio padrão também é uma medida absoluta, porém, de mais fácil 
interpretação uma vez que mantém a mesma unidade de medida que a do conjunto (não qua-
drática como na variância). 
Desvio Padrão populacional 
para intervalos de classes 
Desvio Padrão amostral para 
intervalos de classes 
σ = √
∑(Xi − μ)
2. fi
n
 S = √
∑(Xi − X̅)
2. fi
n − 1
 
 
Lembre-se: Desvio Padrão = √Variância 
 
5.4. Coeficiente de Variação 
Outra medida de dispersão cuja importância reside na possibilidade de comparação en-
tre diferentes conjuntos de dados, mesmo que em unidades de medida diferentes, é o coefici-
ente de variação. Isso acontece porque mede a dispersão relativa (em percentual). 
Coeficiente de Variação CV =
 σ 
 μ 
 
 
Observação: 
 Baixa variabilidade: CV < 0,15 
 Média variabilidade: 0,15 < CV < 0,3 
 Alta variabilidade: CV > 0,3 
Agora, vamos testar não só nossa capacidade de assimilação, como também a nossa 
habilidade na aplicação da teoria resolvendo questões. 
 
Questão 1 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FUNCAB) A tabela a seguir contém o faturamento dos úl-
timos cinco meses de um hotel. Pode-se afirmar que o desvio padrão X, dos faturamentos na 
tabela, pertence ao intervalo: 
R$ 1.200.000,00 
R$ 1.300.000,00 
R$ 1.500.000,00 
R$ 1.700.000,00 
R$ 1.800.000,00 
a) 0 < x < 1.000.000 
b) 0 < x < 1.000 
c) 0 < x < 10.000 
d) 0 < x < 100.000 
e) 0 < x < 50.000 
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Comentários: 
A questão traz uma tabela básica com a relação de faturamento. Sendo simples a tabe-
la, simples será a resolução com a pura aplicação da fórmula. Para facilitar ainda mais, suge-
rimos que a solução seja desenvolvida em três etapas: 
1 – Cálculo da média; 
2 – Somatório dos quadrados das diferenças entre observações e média; 
3 – Inserir na fórmula. 
 
Média. 
(Em centena de milhar). 
Me = (12 + 13 + 15 + 17 + 18) / 5 
Me = 75 / 5 
Me = 15 
Somatório das diferenças. 
∑ = (15 – 12)2 + (15 – 13)2 + (15 – 15)2 + (15 – 17)2 + (15 – 18)2 
∑ = 9 + 4 + 0 + 4 + 9 
∑ = 26 
Desvio Padrão. 
σ = √
∑(Xi − μ)
2
n
 
σ = √
 26 
 5 
 
σ = √5,2 
σ ≅ 2,3 
 
Lembre-se que os cálculos estão em centena de milhar, portando o desvio padrão deve 
ser multiplicado por 100.000, que nos dá o resultado R$ 230.000,00 (valor aproximado). Por-
tando, a alternativa “a” está correta. 
Adicionalmente, observando apenas as alternativas, verificamos que a única resposta 
possível é a letra “a”, pois qualquer outra resposta invalidaria a questão. Porém, no momento 
da prova dificilmente o candidato teria coragem suficiente para responder sem nenhum cálculo 
sequer. 
Para qualquer valor abaixo de 100.000, teríamos dupla resposta. Imagine, por hipótese, 
que o desvio padrão fosse de R$ 70.000,00, neste caso teríamos as alternativas “a” e “d” corre-
tas. O mesmo ocorre para as demais alternativas. À vista disso, somente “a” seria uma alterna-
tiva possível para a questão. 
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
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Questão 2 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-SC – FEPESE – 2010) Considere a tabela 
agrupada em classes mostrada a seguir, referente a um conjunto com as notas de 100 alunos 
(considerados como a população da pesquisa) para a resolução das questões. 
 
Classes % Acumulado 
15 ⊢ 35 30 
35 ⊢ 55 40 
55 ⊢ 75 60 
75 ⊢ 95 90 
95 ⊢ 115 100 
 
Qual é o desvio padrão das notas dos alunos? 
 
a) 25,91 
b) 26 
c) 27 
d) 28 
e) 28,14 
 
Comentários: 
Trabalhamos na questão anterior com dados simples cuja resolução consiste na aplica-
ção da fórmula. Aqui, para distribuição em classes, o ideal é focar na própria tabela com a adi-
ção de colunas auxiliares. 
Primeiro, achamos a média, que é necessária para o cálculo do desvio padrão. 
 
Classes % Acumulado fi (%) xi (ponto médio) fi . xi 
15 ⊢ 35 30 30 25 750 
35 ⊢ 55 40 10 45 450 
55 ⊢ 75 60 20 65 1300 
75 ⊢ 95 90 30 85 2550 
95 ⊢ 115 100 10 105 1050 
∑ 100 6100 
 
X̅ =
X1. f1 + X2. f2 + ⋯ + Xn. fn
f1 + f2 + ⋯ + fn
 
 
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Portanto, média é igual a 61 (6100 / 100 = 61). 
Outras duas colunas, uma para o quadrado das diferenças e, após, para a multiplicação 
pela frequência. 
 
Classes fi (%) xi (ponto médio) fi . xi (xi – μ)2 (xi – μ)2 . fi 
15 ⊢ 35 30 25 750 (25 – 61)2 = 1296 38.880 
35 ⊢ 55 10 45 450 (45 – 61)2 = 256 2.560 
55 ⊢ 75 20 65 1300 (65 – 61)2 = 16 320 
75 ⊢ 95 30 85 2550 (85 – 61)2 = 576 17.280 
95 ⊢ 115 10 105 1050 (105 – 61)2 = 1936 19.360 
∑ 100 6100 78400 
 
Finalmente nos valemos da fórmula 
Desvio Padrão Populacional 
Intervalo de classes 
σ = √
∑(Xi − μ)
2. fi
n
 
σ = √
 78400 
100
 
σ = √784 
σ = 28 
 
Gabarito: D 
 
Questão 3 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FCC) O coeficiente de variação de Pearson correspon-
dente a uma população P1 com média aritmética igual a 20 e tamanho 20 é igual a 30%. Deci-
de-se excluir de P1, em um determinado momento, dois elementos iguais a 11 cada um, for-
mando uma nova população P2. A variância relativa de P2 é igual a: 
 
a) 10/147. 
b) 4/49. 
c) 16/147. 
d) 8/49. 
e) 4/441. 
 
 
 
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Comentários: 
O primeiro passo é entender o que se pede: variância relativa. O tema não foi abordado 
na parte teórica, contudo, nada mais é senão o quociente entre variação absoluta e o quadrado 
da média. 
Variância Relativa. S2rel = S2 / (Me)2 
 
São conhecidos dados acerca da população P1, sobre a qual vamos trabalhar para che-
gar em P2 para, enfim, calcular a variância relativa. 
Dados de P1. 
CV = 30% 
Me = 20 
Tamanho = 20 
 
Recordando, coeficiente de variação corresponde à relação desvio padrão em relação à 
média. 
Coeficiente de Variação P1. 
CV = DP / Me 
0,3 = DP / 20 
DP = 0,3 . 20 = 6 
 
A partir do desvio padrão, é sabido qual é a variância. 
Variância de P1. 
S2 = DP2 
S2 = 62 
S2 = 36 
 
Além dos dados iniciais, sabemos que o desvio padrão da população P1 é igual a 6 e a 
variância igual a 36. Entretanto, seguindo o enunciado, é necessário excluir dois elementos 
iguais a 11 desta população para formar P2. Logo, há necessidade de identificar qual o soma-
tório dos 20 elementos de P1. 
Sem grandes problemas, o somatório dos elementos de P1 é o produto da quantidade 
pela média: ∑ = 20 . 20 = 400. 
Uma vez que foram excluídos 2 elementos iguais a 11 para formar P2, temos que o so-
matório dos elementos de P2 é igual a 378. Logo, a média de P2 será: 
Média de P2. 
Me = 378 / 18 
Me = 21 
 
Lembre-se que do total de 20 elementos de P1 foram excluídos 2 para formar P2, ou se-
ja, P2 tem 18 elementos. 
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Para a variância relativa ainda nos resta conhecer qual o valor da variância absoluta de 
P2. Então vamos lá, sabendo que a variância é a média dos quadrados menos o quadrado 
da média. 
Variância de P1. 
S2 = Me2 – (Me)2 
36 = Me2 – 202 
Me2 = 36 + 400 
Me2 = 436 
 
Observe que se a média dos quadrados é igual a 436, temos que o somatório dos 
quadrados de P1 é esse valor multiplicado por 20, portanto, igual a 8720. 
Uma vez que estamos trabalhando com quadrados, subtraímos os dois elementos tam-
bém elevados ao quadrado e, como fizemos a multiplicação por 20, retornamos com a divisão, 
só que por 18. 
Média dos quadrados de P2. 
Me2 = (8720 – 112 – 112) / 18 
Me2 = (8720 – 121 – 121) / 18 
Me2 = 8478 / 18 
Me2 = 471 
 
Estamos habilitados a calcular a variância de P2. 
Variância de P2. 
S2 = Me2 – (Me)2 
S2 = 471 – 212 
S2 = 471 – 441 
S2 = 30 
 
Finalizamos com aquilo que nos foi solicitado. 
Variância Relativa de P2. 
S2rel = S2 / (Me)2 
S2rel = 30 / 441 
S2rel = 10 / 147 
 
Gabarito: A 
 
 
 
 
 
 
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6. RESUMO ESQUEMATIZADO 
 
6.1. MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Média 
 
Média para rol X̅ =
X1 + X2 + ⋯ + Xn
n
 
Média para dados agru-
pados 
X̅ =
X1. f1 + X2. f2 + ⋯ + Xn. fn
f1 + f2 + ⋯ + fn
 
 
Mediana 
 
Mediana para rol 
(para n ímpar) 
Md = X
(
n+1
2
)
 
Mediana para rol 
(para n par) 
Md =
X(n/2) + X((n/2)+1)
2
 
Mediana para dados 
agrupados Md = Linf +
(n 2⁄ ) − Fa
fi
. h 
 
Moda 
 
Moda de Czuber 
Dados agrupados 
Mo = Linf + (
∆a
∆a + ∆p
) . h 
 
Separatriz 
 
1º Quartil a para Rol Q1 = X(n+1
4
)
 
3º Quartil a para Rol Q3 = X(n+1
4
.3)
 
 
Caso a posição dos quartis seja um número decimal, achar a média do valor da variável 
da posição inteira com o valor da posição superior. 
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24 
 
1º Quartil para dados 
agrupados Q1 = Linf +
(n 4⁄ ) − Fa
fi
 
3º Quartil para dados 
agrupados Q3 = Linf +
(
𝑛
4
. 3) − Fa
fi
 
 
6.2. MEDIDAS DE DISPERSÃO 
 
Amplitude 
 
Amplitude h = Xmax − Xmin 
 
Variância 
 
Variância (Var) 
Populacional 
σ2 =
∑(Xi − μ)
2
n
 
Variância (Var) 
Amostral 
S2 =
∑(Xi − X̅)
2
n − 1
 
Variância Populacional 
Intervalo de classes 
σ2 =
∑(Xi − μ)
2. fi
n
 
Variância Amostral 
Intervalo de classes 
S2 =
∑(Xi − X̅)
2. fi
n − 1
 
 
Propriedades da Variância 
Var(X+c) = Var(X) (para “c” constante) 
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) (X e Y variáveis aleatórias independentes) 
Var(X–Y) = Var(X) + Var(Y) (X e Y variáveis aleatórias independentes) 
Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) + 2Cov(X,Y) (X e Y variáveis aleatórias quaisquer) 
Var(X–Y) = Var(X) + Var(Y) – 2Cov(X,Y) (X e Y variáveis aleatórias quaisquer) 
 
Desvio Padrão 
Observação: Desvio Padrão = √Variância 
 
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25 
 
Desvio Padrão (DP) 
Populacional 
σ = √
∑(Xi − μ)
2
n
 
Desvio Padrão (DP) 
Amostral 
S = √
∑(Xi − X̅)
2
n − 1
 
Desvio Padrão Popul. 
Intervalo de classes 
σ = √
∑(Xi − μ)
2. fi
n
 
Desvio Padrão Amostral 
para 
Intervalo de classes 
S = √
∑(Xi − X̅)
2. fi
n − 1
 
 
Coeficiente de Variação 
 
Coeficiente de Variação 
Populacional 
CV =
 σ 
 μ 
 
Coeficiente de Variação 
Amostral 
CV =
 S 
X̅
 
 
Interpretação do coefici-
ente de variação 
Baixa variabilidade:CV < 0,15 
Média variabilidade: 0,15 < CV < 0,3 
Alta variabilidade: CV > 0,3 
 
Intervalo Interquartil 
 
Intervalo Interquartílico d = Q3 − Q1 
 
Desvio Quartílico ou Amplitude Semi-interquartílica 
 
Desvio Quartílico Dq =
(Q3 − Q1)
2
 
 
Finalizamos este início dos estudos de estatística. O segundo capítulo será todo dedica-
do à parte introdutória à probabilidade e à distribuição discreta, assuntos queridinhos da ESAF 
para Auditor da Receita Federal. 
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26 
 
CAPÍTULO 02 
 
INTRODUÇÃO 
 
Alô pessoal!!! Vamos aquecendo os motores para nossos estudos de hoje. O foco é na 
Probabilidade ou, como descrito em alguns editais, Teoria da Probabilidade ou mesmo Distri-
buição de Probabilidade. O nosso roteiro partirá dos conceitos básicos, que são necessários 
para formar um vocabulário mínimo, para tornar o tema amigável, e logo nos aprofundaremos 
nas várias Distribuições de Probabilidade, tema recorrente nas principais bancas de concurso. 
Como conceito básico, temos que: para cada valor de determinada variável aleatória ha-
verá uma probabilidade a ela correspondente. Quando listamos todos os valores possíveis de 
uma variável aleatória e as respectivas probabilidades, teremos, nesse momento, uma Distri-
buição de Probabilidade. 
Portanto, a Distribuição de Probabilidade é um modelo estatístico que reproduz o com-
portamento aleatório de um evento ocorrido ao acaso. 
Mas, vamos por partes. 
 
SUMÁRIO 
1. Conceitos Básicos 
2. Probabilidade 
 2.1. Probabilidade da União de Dois Eventos 
 2.2. Probabilidade da Ocorrência Simultânea de Dois Eventos 
3. Análise Combinatória 
 3.1. Permutação 
 3.2. Arranjo e Combinação 
 3.3. Atalho para Arranjo e Combinação 
4. Probabilidade Binomial 
5. Distribuição de Probabilidade 
 5.1. Distribuição Binomial 
 5.2. Distribuição de Poisson 
6. Resumo Esquematizado 
 6.1. Probabilidade 
 6.2. Análise Combinatória 
 6.3. Probabilidade Binomial 
 6.4. Experimento de Bernoulli 
 6.5. Probabilidade Binomial 
 6.6. Probabilidade de Poisson 
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1. CONCEITOS BÁSICOS 
 
A quantificação da chance de ocorrer determinado evento é a chamada probabilidade, 
que nada mais é, senão, a razão entre o número total de casos favoráveis pelo número total de 
casos possíveis. Uma vez que os eventos favoráveis são um subconjunto dos eventos possí-
veis, portanto menor do que este, podemos dizer que a probabilidade será um número real en-
tre 0 e 1. 
O evento impossível tem probabilidade 0, enquanto o evento certo de acontecer tem 
probabilidade 1 ou 100%. 
Por exemplo, quando lançamos um dado, sabemos que será possível qualquer resulta-
do entre 1 e 6, assim, dizer que o resultado, após lançamento do dado, certamente obteremos 
um resultado maior que zero e menor que sete, o que resulta na probabilidade de 100% de 
acerto, portanto, um evento certo. O evento impossível é esperarmos que um dado normal, ao 
ser lançado, tenha a face voltada para cima com valor 7. 
 
Conceitos 
 Experimento aleatório: 
São experimentos que, sob a mesma condição, podem apresentar diferentes re-
sultados a cada ocorrência. Vale ressaltar que o resultado da experiência não é 
conhecido mesmo sabendo quais são as possibilidades. Exemplo: lançamento de 
um dado. 
 Espaço amostral: 
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. Man-
tendo o mesmo exemplo, para o lançamento de um dado, o espaço amostral se-
rá: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 
 Evento: 
Também conhecido como ponto amostral (termo pouco comum em provas), é um 
subconjunto do espaço amostral resultado de cada ocorrência, por exemplo, o re-
sultado após o lançamento do dado (será um, entre os seis resultados possíveis). 
 Eventos independentes: 
Dois eventos são independentes se, a ocorrência ou não ocorrência de um even-
to, não afeta a probabilidade do outro acontecer. Exemplo: lançados dois dados. 
Um vermelho e outro branco, o resultado obtido pelo dado vermelho independe 
do resultado obtido pelo dado branco. 
 Eventos complementares: 
Dados dois eventos: A e B, tal que não existam elementos na sua intersecção (A 
∩ B = ∅) e a união seja igual ao espaço amostral (A ∪ B = S), dizemos que B é 
um evento complementar de A. O complementar também é representado pela 
mesma identificação do evento principal acrescido da letra “c”: Para o evento A, o 
complementar é AC. 
No caso, os eventos A e AC são mutuamente excludentes. 
 Situações excludentes: 
Eventos mutuamente exclusivos ou, simplesmente, situações excludentes são 
aqueles em que a ocorrência de um, elimina a possibilidade de ocorrência do ou-
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tro. A soma das probabilidades de ocorrência das situações excludentes, quanto 
forem complementares, será igual a 1 ou 100%. 
 
2. PROBABILIDADE 
O que deve ficar bem claro em relação à probabilidade é sua fórmula básica: Razão en-
tre o que é desejável e a totalidade de eventos possíveis. 
Fórmula. P = 
 Eventos Favoráveis 
 Total de Eventos 
 
 
2.1. PROBABILIDADE DA UNIÃO DE DOIS EVENTOS 
Temos uma União, quando nos referimos a dois eventos conectados entre si pela partí-
cula “ou”. 
Por exemplo: a questão apresenta uma série de dados e ao final questiona qual a pro-
babilidade de ocorrência do evento A ou do evento B. Entendemos “ou” como a união de even-
tos cuja resolução faz-se por meio da seguinte fórmula: 
Fórmula. P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
2.1. PROBABILIDADE DA OCORRÊNCIA SIMULTÂNEA DE DOIS EVENTOS 
Observe o último termo da fórmula anterior: P(A e B). Trata-se da probabilidade de ocor-
rência simultânea dos eventos A e B. Caso os eventos A e B sejam eventos independentes, 
então a probabilidade de ocorrência de A e B, ao mesmo tempo, será encontrada pelo produto 
das probabilidades individuais. 
Fórmula. P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
Caso os eventos sejam dependentes, a probabilidade do evento A e do evento B será 
igual à probabilidade de A. 
Fórmula. P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) 
 
Vejamos o que temos condições de responder depois de duas páginas de teoria. 
 
Questão 1 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FCC) Uma sala contém 20 homens e 30 mulheres em que 
todos são funcionários de uma empresa. Verifica-se que metade desses homens e metade 
dessas mulheres possuem nível superior. Escolhendo aleatoriamente uma pessoa dessa sala 
para realizar uma tarefa, a probabilidade de ela ser mulher ou possuir nível superior é igual a: 
 
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a) 2/3. 
b) 3/10. 
c) 5/6. 
d) 3/4. 
e) 4/5. 
 
Comentários: 
Vamos analisar quais dados estão disponíveis e o que nos foi solicitado. 
 
 Homens Mulheres Total 
Não tem nível superior. 10 15 25 
Possuem nível superior 10 15 25 
Total 20 30 50 
 
A partir deste grupo, vamos calcular a probabilidade de escolher uma pessoa, e ela seja 
mulher ou possua nível superior. 
Lembra que falamos da partícula “ou”, significa a união de dois eventos. 
Assumimos: A = Probabilidade de ser mulher e B = Probabilidade de possuir nível supe-
rior. 
União de dois eventos. 
P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
P(A ou B) = 30/50 + 25/50 – 15/50 
P(A ou B) = 40/50 
P(A ou B) = 4/5 
 
Resposta: A probabilidade é igual a 4/5. 
 
Vale destacar que a intersecção, P(A e B), ou seja, ser mulher e possuir nível superior, 
simultaneamente,era conhecida (metade das mulheres possuem curso superior), entretanto, 
usando a multiplicação conforme explicamos anteriormente, chegaríamos ao mesmo resultado. 
Eventos simultâneos. 
P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
P(A e B) = 30/50 . 25/50 
P(A e B) = 750/2500 
P(A e B) = 15/50 
 
Gabarito: E 
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Questão 2 
(Auditor-Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-GO – FCC) Em um campeonato de fute-
bol, as equipes recebem 3 pontos a cada vitória, 1 ponto por empate e não recebem ponto 
quando são derrotadas. Faltando somente a última rodada para ser disputada, apenas a equi-
pe X, com 74 pontos, e a equipe Y, com 73 pontos, ainda têm chance de vencer o campeonato. 
O campeão será aquele que somar mais pontos ao final da última rodada, sendo que, em caso 
de empate, os critérios estabelecidos no regulamento indicam que a equipe Y será a campeã. 
Considerando os adversários de cada equipe na última rodada, analistas esportivos estimaram, 
para as equipes X e Y, as seguintes probabilidades para os jogos que decidirão o torneio: 
 
 
Admitindo que os resultados dos jogos das equipes X e Y na última rodada sejam inde-
pendentes, a probabilidade de que a equipe X seja campeã, de acordo com a estimativa dos 
analistas, é igual a: 
 
a) 50%. 
b) 55%. 
c) 58%. 
d) 60%. 
e) 63%. 
 
Comentários: 
Muito texto para pouca questão. 
Estamos na última rodada do campeonato, X lidera com 74 pontos seguido por Y com 
73 pontos. Para que X consagre-se campeão, deve ser atendida uma das seguintes hipóteses, 
considerando as pontuações para os casos de vitória, empate ou derrota: 
Hipótese 1 – X vence seu jogo. 
Hipótese 2 – X perde seu jogo e Y igualmente perde. 
Hipótese 3 – X empata seu jogo e Y empata ou perde. 
Hipótese 1. 
(Independe do resultado de Y) 
P(1) = 50% 
P(1) = 0,5 
 
 
 
 
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A probabilidade para a primeira hipótese foi informada na tabela do enunciado da ques-
tão. No caso da hipótese 2, existe a imposição da ocorrência de eventos simultâneos. 
Hipótese 2. 
P(2) = P(Xperder) . P(Yperder) 
P(2) = 20% . 10% 
P(2) = 0,2 . 0,1 
P(2) = 0,02 
 
Uma informação bastante interessante é a identificação das situações a partir das partí-
culas “ou” e “e”. 
Dica – “ou” e “e” 
Na teoria da probabilidade, associe a partícula “ou” com adição e a partícula “e” com 
multiplicação. 
 
Veja que na terceira hipótese estamos falando do empate de X “e” empate de Y “ou” 
derrota de Y. 
Hipótese 3. 
P(3) = P(Xempatar) e P(Yempatar) ou P(Yperder) 
P(3) = 30% . (10% + 10%) 
P(3) = 0,3 . 0,2 
P(3) = 0,06 
 
Para finalizar, a probabilidade de acontecer uma das três hipóteses. 
Probabilidade de X ser 
campeão. 
P(X) = P(1) ouP(2) ou P(3) 
P(X) = 0,5 + 0,02 + 0,06 
P(X) = 0,58 
Resposta: X tem 58% de chances de ser campeão. 
 
Gabarito: C 
 
3. ANÁLISE COMBINATÓRIA 
Mesmo não figurando entre os itens do edital, a análise combinatória é, por vezes, co-
brada indiretamente nas questões sobre probabilidade. 
A análise combinatória trata das variadas formas de agrupamentos de determinado con-
junto de elementos, sendo os seus principais tipos: permutação, arranjo e combinação. 
 
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3.1. PERMUTAÇÃO 
A permutação revela a quantidade de sequências distintas em que os elementos de de-
terminado conjunto podem ser ordenados. É representado pelo fatorial “P(x) = x!”. Por exem-
plo, possibilidades distintas de acomodar 5 pessoas em um carro com cinco lugares (desde 
que não sejam impostas restrições). 
Resolução 
P(x) = x! 
P(5) = 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 
P(5) = 120 
 
3.2. ARRANJO E COMBINAÇÃO 
Arranjo e combinação serão adotados quando os agrupamentos possuírem quantidades 
diferentes de elementos em relação ao grupo inicial. Por exemplo, os agrupamentos possíveis 
no jogo da mega sena. O conjunto inicial tem 60 elementos e os agrupamentos serão feitos de 
seis em seis. 
Para distinguir entre arranjo ou combinação, inverta a posição dos elementos que for-
mam o subconjunto e verifique se o resultado é um conjunto diferente. Caso seja um novo con-
junto, então resolvemos por arranjo. Se não formar um novo conjunto, resolvemos por combi-
nação. 
Exemplo: Considere uma classe com 10 alunos. A partir desse grupo, vamos formar 
uma comissão com três alunos para representar a classe e, também, formar uma chapa com 
três alunos para disputar as eleições do diretório acadêmico com funções definidas: Presiden-
te, secretário e tesoureiro. 
Imagine a comissão com três alunos: Ângela, Bernardo e Cilmara. Alterando-se a ordem 
dos integrantes da comissão, a comissão permanece a mesma, portanto, deve ser resolvido 
por meio de combinação. 
Agora imagine a hipótese em que os mesmos três alunos formem a chapa: Ângela (pre-
sidente), Bernardo (secretário) e Cilmara (tesoureira). A partir do momento em que a ordem é 
alterada, forma-se um novo grupo: Bernardo (presidente), Cilmara (secretária) e Ângela (tesou-
reira). Então, deve ser resolvido por meio de arranjo. 
Arranjo A(n, p) =
n!
(n − p)!
 
A = Arranjo 
C = Combinação 
n = Total de elementos 
p = Quantidade de elementos do 
agrupamento. 
Combinação C(n, p) =
n!
p! (n − p)!
 
 
3.3. ATALHO PARA ARRANJO E COMBINAÇÃO 
Para facilitar os cálculos, pense assim: 
 Atalho Exemplo 
Arranjo 
A(n,p) 
Multiplica-se n por seus antecedentes, (sub-
tração de uma unidade a cada fator) tantas 
A(5,3) = 5 . 4 . 3 
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vezes quanto for o valor de p. A(5,4) = 5 . 4 . 3 . 2 
A(6,2) = 6 . 5 
Combinação 
C(n,p) 
Compara-se “p – n” com “p”, aquele que for 
menor, será a quantidade de fatores a serem 
multiplicados tanto no numerador quanto no 
denominador. 
No numerador multiplica-se n pelos seus 
antecedentes (subtração de uma unidade a 
cada fator). 
No denominador multiplica-se 1 por seus 
subsequentes (adição de uma unidade a 
cada fator). 
C(5,3) = 
 5 . 4 
 1 . 2 
 
 
C(9,4) = 
 9 . 8 . 7 . 6 
 1 . 2 . 3 . 4 
 
 
C(6,2) = 
 6 . 5 
 1 . 2 
 
 
E, vamos a elas, as questões. 
 
Questão 
(Auditor Fiscal de Tributos I – Prefeitura de São Luiz/MA – FCC) As 6 vagas da garagem 
de um pequeno edifício recém-construído serão sorteadas entre os proprietários dos 6 aparta-
mentos, de modo que cada apartamento terá direito a uma vaga. As vagas ficam localizadas 
lado a lado ao longo de uma parede. Dois irmãos, proprietários dos apartamentos 1 e 2, gosta-
riam que suas vagas ficassem localizadas lado a lado. A probabilidade de que isso aconteça é 
igual a 
a) 1/2 
b) 1/3 
c) 1/4 
d) 1/5 
e) 1/6 
 
Comentários: 
Resumindo, são seis garagens para seis apartamentos, até aqui, a característica aponta 
para permutação, entretanto, o enunciado segue e especifica que trataremos das vagas de 
dois irmãos, logo, é caso para arranjo ou combinação. 
A regra da mudança de posição, no caso, tal alteração resulta em posições diferentes, 
concluímos tratar-se de combinação. 
Primeiro, checaremos qual o total de diferentes posições (total de eventos) das duas ga-
ragens dos irmãos. 
Total de eventos. 
C(6,2) = (6 . 5) / (1 . 2) 
C(6,2) = 30 / 2 
C(6,2) = 15 
 
Os eventos favoráveis consideram as situações em que as duas garagens ficam locali-
zadas lado a lado. Chegamos a este resultado por meio de raciocínio simples. 
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Portanto, são 5 os eventos favoráveis. 
Probabilidade. 
P = Favoráveis / Total 
P = 5 / 15 
P = 1/3 
 
Resposta: A probabilidade das duas vagas ficarem localizadas lado a lado é igual a 1/3. 
 
Gabarito: B 
 
4. PROBABILIDADE BINOMIAL 
Antes de partirmos para os casos de distribuição de probabilidade, veremos a probabili-
dade binomial, que tem por finalidade definir as chances na obtenção de uma quantidade de 
sucessos resultante de uma determinada quantidade de tentativas. 
Para facilitar nossa vida, preste atenção nas características que você encontrará na sua 
prova. 
 Haverá um evento que se repete um determinado número de vezes. 
 Para esse evento específico, só existirão dois resultados possíveis. 
 Os dois resultados possíveis do evento são mutuamente excludentes, ou seja, 
ocorrendo um deles, o outro estará descartado. 
Identificada as características, lance mão da fórmula: 
 
Probabilidade binomial. Onde: 
P(k eventos) = C(n,k) . pk . qn-k 
n = quantidade de eventos 
k = sucesso 
p = probabilidade de sucesso 
q = probabilidade de fracasso 
Vejamos como é a utilização da fórmula. 
 
Questão 
(Auditor – IPERON-RO – UERR) Qual a probabilidade de um candidato desse concurso, 
ao resolver as cinco questões de raciocínio lógico matemático, com cinco opções cada ques-
tão, acertar exatamente quatro questões? 
 
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a) 4/3.125 
b) 1/625 
c) 4/625 
d) 2/625 
e) 1/3.125 
 
Comentários: 
Veja se não são as características da probabilidade binomial: Cinco questões cujos re-
sultados são excludentes, certo ou errado. Das cinco, há necessidade de acertar quatro ques-
tões. Em outras palavras, qual a probabilidade de obter quatro sucessos (questões certas) de 
um evento (questão) que se repete cinco vezes. 
Vamos direto para a fórmula. 
n = 5 (quantidade de eventos) 
k = 4 (sucessos esperados) 
p = 1/5 (probabilidade de sucesso) 
q = 4/5 (probabilidade de fracasso) 
P(k eventos) = C(n,k) . pk . qn-k 
P(4 eventos) = C(5,4) . (1/5)4 . (4/5)5-4 
 
Observações: 
 Chegamos à probabilidade de sucesso igual a 1/5 ou 20% porque dentre cinco al-
ternativas de cada questão, uma está certa. 
 Probabilidade de fracasso é o complemento do sucesso, portanto, 4/5 ou 80%. 
 Mantivemos as probabilidades em fração porque as alternativas assim estão. 
 Cálculo da combinação, conforme item anterior, C(5,4) = 5/1 = 5. 
 
Feitos os esclarecimentos, vamos às contas. 
Probabilidade binomial. 
P(k eventos) = C(n,k) . pk . qn-k 
P(4 eventos) = C(5,4) . (1/5)4 . (4/5)5-4 
P(4 eventos) = 5 . 1/625 . 4/5 
P(4 eventos) = 4/625 
Resposta: A probabilidade de acertar exatamente quatro é igual a 4/625 ou 0,64% 
 
Gabarito: C 
 
 
 
 
 
 
 
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5. DISTRIBUIÇÃO DE PROBABILIDADE 
Iniciamos esse item com algumas informações básicas. Partiremos da nomenclatura, 
que você pode se deparar na resolução das questões sobre o assunto. 
 
Distribuição Discreta: 
Reproduz quantidades aleatórias de determinado fenômeno de interesse que assumem 
valores contáveis e finitos. Por exemplo, número de produtos com defeito em uma linha de 
produção. 
 
Distribuição Contínua: 
Reproduz quantidades aleatórias contínuas que, por serem contínuas, assumem valores 
infinitos. Por exemplo, unidades de medidas que têm infinitos valores entre duas unidades 
quaisquer. 
 
Valor Esperado (Expectância): 
Produto dos resultados possíveis pela sua probabilidade. Indica o valor médio esperado 
para repetidas provas (tendendo ao infinito). O termo “média” também é amplamente aceito, 
em verdade, valor esperado e média são coincidentes. 
 
Valor Esperado E(X) = X1. f1 + X2. f2 + ⋯ + Xn. fn 
E(X) = Valor esperado de X 
X1 = Valor da variável 
f1 = Frequência da variável 
 
Uma apresentação mas simples seria: E(x) = ∑ x P(x), ou seja, somatório de cada valor 
atribuído a x multiplicado pela respectiva probabilidade. 
 
Variância: 
“Média dos quadrados – Quadrado da média”. 
Variância Var(X) = E(X2) – [E(X)]2 
Var(X) = Variância de X 
E(X2) = Média dos quadrados 
[E(X)]2 = Quadrado da média 
 
Desvio Padrão: 
Representa o distanciamento da distribuição de probabilidades em relação à média. 
Quanto maior o valor maior será a dispersão, equivale também à raiz quadrada da Variância. 
Desvio Padrão DP(X) = √E(X2) – [E(X)]2 = √ Var(X) 
DP(X) = Desvio Padrão de X 
E(X2) = Média dos quadrados 
[E(X)]2 = Quadrado da média 
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5.1. DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL 
O modelo binomial é construído por n repetições da variável aleatória de Bernoulli, com 
reposição, cujo objetivo é determinar a probabilidade de x sucessos em n tentativas. 
Ensaio de Bernoulli: Experimento que se caracteriza por apresentar dois eventos mu-
tuamente excludentes, com probabilidade constante, denominados sucesso e fracasso. 
Probabilidade de Bernoulli P(X=x) = px . (1 – p)1-x 
 
A variável aleatória de Bernoulli assume apenas dois valores (1 = sucesso e 0 = fracas-
so), sendo p a probabilidade de sucesso, onde 0 < p < 1. 
 
Valor Esperado 
(Bernoulli) 
E(X) = p p = Probabilidade de sucesso 
q = Probabilidade de fracasso 
n = Número de experimentos Variância 
(Bernoulli) 
Var(X) = p – p2 
Var(X) = p . (1 – p) = p . q 
 
Em relação à distribuição binomial, para o cálculo da probabilidade de ocorrerem x su-
cessos, nos valemos da seguinte fórmula: 
 
Probabilidade Binomial P(X) = C(n,x) . px . qn-x 
 
Onde: P(X) = Probabilidade de X sucessos 
C(n,x) = Combinação de n tomado de x 
p = Probabilidade de sucesso 
q = Probabilidade de fracasso 
n = Número de experimentos 
X = Quantidade de sucesso 
Ainda sobre a distribuição binomial. 
Valor Esperado E(X) = n . p 
Variância 
Var(X) = n . p (1 – p) 
Var(X) = n . p . q 
Desvio Padrão DP = √ n . p . q 
Moda 
Mo = (n + 1) . p 
(Considerar a parte inteira do resultado) 
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Lembre-se, o ensaio de Bernoulli consiste na realização de um único experimento alea-
tório. Repetições independentes de determinado ensaio de Bernoulli, mantida a mesma proba-
bilidade de sucesso, dão origem ao modelo BINOMIAL. 
 
Questão 1 
(Auditor Fiscal da Recita Estadual – SEFAZ-RJ – FGV) Assuma que uma distribuição de 
Bernoulli tenha dois possíveis resultados n=0 e n=1, no qual n=1 (sucesso) ocorre com proba-
bilidade p, e n=0 (falha) ocorre com probabilidade q=1–p. Sendo 0<p<1, a função densidade de 
probabilidade é: 
 
a) P(n) = pn (1 – p)1-n 
b) P(n) = {
𝑞 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 1
𝑝 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑛 = 0
 
c) P(n) = ∫ pnq (1 – p)(1-n)q 
d) P(n) = enpq 
e) P(n) = {
0 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑝 = 1 
1 𝑝𝑎𝑟𝑎 (1 − 𝑝) = 𝑞 = 1
 
Comentários: 
É isso mesmo? O examinador perguntou qual a fórmula da probabilidade de Bernoulli? 
Sim é isso mesmo, apesar do uso inapropriado para o termo “função densidade”, que é 
utilizado para definir a probabilidade de variáveis aleatórias contínuas. O correto seria “função 
da probabilidade” para o experimento de Bernoulli, uma vez que se trata de variável discreta. 
Enfim, basta conhecer a fórmula. 
Probabilidade de Bernoulli P(X=x) = px . (1 – p)1-x 
 
Gabarito: A 
 
Questão 2 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-SC – FEPESE) Uma variável aleatória X 
segue uma distribuição binomial com os seguintesparâmetros: número de ensaios = 100; pro-
babilidade de sucesso em cada ensaio = 0,2. 
De acordo com essas informações, qual é o valor esperado de X? 
 
a) 0,2 
b) 0,8 
c) 20 
d) 80 
e) 100 
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Comentários: 
A questão foi bastante clara ao mencionar “distribuição binomial” e “valor esperado”, por-
tanto: 
Valor Esperado 
E(X) = n . p 
E(X) = 100 . 0,2 
E(X) = 20 
É assim que você deve agir no momento da prova, focar no que se pede e ser bem obje-
tivo. não há tempo a perder! 
 
Gabarito: C 
 
Questão 3 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-RJ – FCC) Sabe-se que: 
I. X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 2p e variância 
(2p-2p2). 
II. Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 5p e variância 
(5p-5p2). 
III. A probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16. 
 
Nessas condições, a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a: 
a) 3/1.024 
b) 1/64 
c) 5/512 
d) 15/1.024 
e) 7/512 
 
Comentários: 
Antes mesmo de manusear os dados do enunciado, observe que o problema indica “dis-
tribuição binomial”, “média” e “variância”, o que delimita nosso trabalho ao quadro abaixo: 
Probabilidade Valor Esperado (Média) Variância 
P(X) = C(n,x) . px . qn-x E(X) = n . p Var(X) = n . p . q 
 
Vejamos o que diz o item I: “X é uma variável aleatória com distribuição binomial com 
média 2p e variância (2p-2p2)”, logo: 
Valor Esperado 
E(X) = n . p 
2p = n . p 
n = 2 
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O item III também trata da variável aleatória X: “A probabilidade de X ser inferior a 2 é 
igual a 15/16”. 
Aqui vale um pouco de raciocínio. Já identificamos que o parâmetro n é igual a 2, isso 
significa na distribuição binomial de X, a variável só pode assumir os valores 0, 1 e 2. 
Vejamos a probabilidade de X = 2, considerando n = 2. 
Probabilidade Binomial 
P(X=2) = C(2,2) . p2 . q2-2 
P(X=2) = C(2,2) . p2 . q0 
P(X=2) = 1 . p2 . 1 
P(X=2) = p2 
Ora, se a probabilidade de X ser inferior a 2 é igual a 15/16, a probabilidade de X ser 
igual a 2, lembrando que são complementares, é: P(X=2) = 1 – P(x<2). Do quadro acima temos 
também que P(X=2) = p2 , logo: 
Probabilidade X = 2 
P(X=2) = p2 
p2 = 1 – P(x<2) 
p2 = 1 – 15/16 
p2 = 1/16 
p = √1/16 
p = 1/4 
Vamos agora para o que nos interessa, a variável aleatória Y. Com o apoio do que foi 
calculado e, também, do item II: Y é uma variável aleatória com distribuição binomial com mé-
dia 5p e variância (5p-5p2). 
Como fizemos com a variável X, a partir da média calculamos o valor de n. 
Valor Esperado 
E(Y) = n . p 
5p = n . p 
n = 5 
Como o nosso objetivo é conhecer a probabilidade de Y assumir valores maiores que 3, 
passaremos a avaliar as seguintes situações: 
Probabilidade de Y ser igual a 4: 
Probabilidade para: 
n = 5 
Y = 4 
P(Y=y) = C(n,y) . py . qn-y 
P(Y=4) = C(5,4) . (1/4)4 . (3/4)5-4 
P(Y=4) = 5 . 1/44 . 3/4 
P(Y=4) = 15/45 
Probabilidade de Y ser igual a 5: 
Probabilidade para: 
n = 5 
Y = 5 
P(Y=y) = C(n,y) . py . qn-y 
P(Y=5) = C(5,5) . (1/4)5 . (3/4)5-5 
P(Y=5) = 1 . 1/45 . 1 
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P(Y=5) = 1/45 
Por fim, a probabilidade de Y ser igual a 4 ou 5: 
Probabilidade 
Y = 4 ou 5 
P(Y=4) ou P(Y=5) = P(Y=4) + P(Y=5) 
P(Y=4) ou P(Y=5) = 15/45 + 1/45 
P(Y=4) ou P(Y=5) = 16/45 
P(Y=4) ou P(Y=5) = 42/45 
P(Y=4) ou P(Y=5) = 1/43 
P(Y=4) ou P(Y=5) = 1/64 
Concluímos que a probabilidade de Y ser superior a 3 é igual a 1/64. 
Gabarito: B 
 
5.2. DISTRIBUIÇÃO DE POISSON 
É uma distribuição discreta que define a probabilidade da ocorrência de uma quantidade 
determinada de eventos em um intervalo específico, por exemplo, de cada lote de X vendas 
pelo e-commerce, quantos clientes utilizaram-se do SAC para reclamar de atraso na entrega. 
Probabilidade P(X = k) =
e−np. (n . p)k
 k! 
 
e = 2,718 (Constante natural). 
n . p = Número esperado de eventos. 
k = Ocorrências no intervalo. 
 
O engenheiro e matemático Siméon Poisson quem definiu a igualdade λ = n . p, disto, 
podemos concluir que: 
Probabilidade P(X = k) =
e−λ. λk
 k! 
 
Valor Esperado E(X) = np = λ 
Variância Var(X) = n . (p − p2) = λ 
 
Observação: 
 O valor do parâmetro λ comumente é informado na questão. 
 
 
 
 
 
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Questão 1 
(Auditor Fiscal de Tributos Municipais – Prefeitura de Florianópolis/SC – FEPESE) Um 
banco deseja melhorar a atenção aos seus clientes, habilitando mais caixas para o atendimen-
to. Para isso necessita de um modelo estatístico que permita conhecer a probabilidade de que 
uma quantidade de n clientes requeira atendimento em um intervalo de tempo T.Que distribui-
ção de probabilidade deve ser empregada nesse estudo? 
 
a) poisson 
b) exponencial 
c) qui-quadrado 
d) binomial 
e) normal 
 
Comentários: 
O enunciado da questão reproduz exatamente a definição da distribuição de Poisson. 
 
a) poisson 
Indicada para a probabilidade de ocorrência de uma série de eventos em um tempo de-
terminado. A alternativa está correta. 
b) exponencial 
Existe certa proximidade à distribuição de Poisson. De maneira simples, poderíamos di-
zer que a distribuição exponencial está relacionada ao tempo em que os sucessivos experi-
mentos de Poisson ocorrem. 
O modelo exponencial descreve espaço ou tempo para a ocorrência de dois sucessos 
consecutivos. 
c) qui-quadrado 
Na prática, o valor qui-quadrado é um estimador da desconformidade entre o resultado 
esperado e o ocorrido. Também, estabelece se a discrepância é resultante do acaso ou não. 
d) binomial 
A probabilidade binomial aplica-se aos casos em que o experimento repete-se por várias 
vezes e tem como resultado apenas duas possibilidades, por exemplo, testes de HIV feitos em 
determinado laboratório, em um período definido de tempo, cujo resultado será positivo ou ne-
gativo. 
e) normal 
A distribuição normal representa um padrão encontrado em diversos fenômenos finan-
ceiros, físicos ou mesmo os cotidianos, tais como um processo empresarial, tempo de estudos 
para aprovação no concurso. Conhecida também como distribuição Gaussiana ou, popular-
mente, curva em forma de sino, também tem aplicabilidade como “substituto” de outras distri-
buições, quando o número de observações mostra-se exageradamente grande. 
Gabarito: A 
 
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Questão 2 
(Auditor Fiscal da Receita Municipal – Prefeitura de Teresina/PI – FCC) Suponha que o 
número de processos que um auditor fiscal analisa no período de uma semana tem distribuição 
de Poisson com média de λ processos por semana. Sabe-se que λ satisfaz à equação P(X = λ) 
= 3/64 onde X é uma variável aleatória com distribuição binomial com média 1 e variância 3/4. 
Nessas condições, a probabilidade do auditor analisar exatamente 2 processos em uma sema-
na é igual a (Dados: e−2= 0,14; e−3 = 0,05). 
 
a) 0,250. 
b) 0,350. 
c) 0,375. 
d) 0,325. 
e) 0,225. 
 
Comentários: 
Mas professor, você não falou que o parâmetro λ seria fornecido? 
Sim, é verdade. Entretanto, dispomos de dados suficientes para o seu cálculo utilizando 
a teoria já estudada por nós, distribuição binomial. 
Em relação à distribuição binomial é sabido que: 
Dados da questão Fórmulas 
P(X = λ) = 3/64Média = 1 
Variância = 3/4 
P(X) = C(n,x) . px . qn-x 
E(X) = n . p 
Var(X) = n . p . q 
No primeiro momento faremos apenas aplicação direta das fórmulas. 
Valor Esperado 
E(X) = n . p 
1 = n . p 
Variância 
Var(X) = n . p . q 
3/4 = n . p . q 
Existe uma parte comum a ambas as equações (n . p) cujo valor é conhecido (1). Substi-
tuindo na segunda equação termos o valor de q. 
Calcular q 
Var(X) = n . p . q 
3/4 = 1 . q 
q = 3/4 
 
 
 
 
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Lembre-se que estamos falando de distribuição binomial, portanto, p e q são comple-
mentares. 
Calcular p 
p = 1 – q 
p = 1 – 3/4 
p = 1/4 
Para chegar ao valor de n, tanto faz por meio da fórmula do valor esperado como da va-
riância. Vamos usar a do valor esperado. 
Calcular n 
E(X) = n . p 
1 = n . 1/4 
n = 1 / (1/4) 
n = 4 
Antes de partir para Poisson, resta saber o valor de λ. 
Calcular λ 
P(X) = C(n,x) . px . qn-x 
P(X=λ) = C(n, λ) . pλ . qn-λ 
3/64 = 
4!
λ!(4−λ)!
. (1/4)λ . (3/4)4-λ 
Momento em que a matemática será demasiadamente trabalhosa. Uma boa alternativa 
é experimentar cada uma das possibilidades (0, 1, 2, 3, 4). Um indicativo é a própria probabili-
dade conhecida e igual a 3/64 que, por ser um valor relativamente baixo, pressupõe um maior 
número de sucesso desejado. Portanto, começaria o teste com valores maiores, 3 ou 4. 
Testando os valores, encontraremos, como correto, λ igual a 3. Veja como seria o teste. 
Calcular λ 
3/64 = 
4!
λ!(4−λ)!
. (1/4)λ . (3/4)4-λ 
3/64 = 
4!
3!(4−3)!
. (1/4)3 . (3/4)4-3 
3/64 = 4. (1/64) . (3/4) 
3/64 = 3/64 
Correta a igualdade, logo λ = 3. 
Chegamos ao assunto tratado neste item, a distribuição de Poisson que é a parte mais 
simples, considerando que nos foi solicitada a probabilidade do auditor analisar exatamente 2 
processos em uma semana. 
Probabilidade 
P(X = 2) =
e−3. 32
2! 
 
P(X = 2) =
0,05. 9
2
 
P(X=2) = 0,45 / 2 
P(X=2) = 0,225 
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A probabilidade de o auditor analisar dois processos na semana é igual a 0,225 ou 
22,5%. 
Gabarito: E 
 
Questão 3 
(Auditor Fiscal – SEFAZ-BA – FCC) Uma variável aleatória X representa o número de 
contribuintes que chega a cada hora para ser atendido em um órgão público.Supõe-se que X 
tem distribuição de Poisson, com parâmetro λ, ou seja,𝑃(𝑋) =
𝜆𝑥𝑒−𝜆
 𝑥! 
, sendo e a base do logarit-
mo (ln) tal que ln(e) = 1. Se P(x = 2) = P(x = 3), então a probabilidade de que menos de 3 con-
tribuintes cheguem em 1 hora é (Dados:e-1 = 0,37,e-2 = 0,14 ee-3 = 0,05). 
 
a) 30,0%. 
b) 42,5%. 
c) 22,5%. 
d) 57,5%. 
e) 37,5%. 
 
Comentários: 
Não tem desculpa pra dizer que não se lembrou da fórmula, a FCC gentilmente nos 
poupou e a forneceu. Outra informação importante dita pela banca é a igualdade: P(x = 2) = 
P(x = 3). A partir da fórmula e da igualdade entre as probabilidades, temos: 
Igualdade P(2) e P(3) 
P(x = 2) = P(x = 3) 
λ2e−λ
 2! 
 = 
λ3e−λ
 3! 
 
λ3e−λ . 2! 
 3! . e−λ
= λ2 
λ3 . 2! 
 3! 
= λ2 
λ3
λ2
=
 3! 
 2! 
 
λ = 6/2 = 3 
 
Conhecido o valor do parâmetro λ, vamos ao que interessa, respondendo ao que foi so-
licitado: Probabilidade de que menos de 3 contribuintes cheguem em 1 hora. Significa que o 
evento favorável contempla zero contribuinte ou 1 contribuinte ou 2 contribuintes. 
 
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P(x=0) ou P(x=1) ou P(x=2) 
P =
λ0e−λ
 0! 
+
λ1e−λ
 1! 
+
λ2e−λ
 2! 
 
P =
30e−3
 0! 
+
31e−3
 1! 
+
32e−3
 2! 
 
P =
1. e−3
1
+
3. e−3
 1 
+
9. e−3
 2 
 
P = e−3 + 3e−3 + 4,5e−3 
P = 8,5e−3 
P = 8,5. 0,05 
P = 0,425 
A probabilidade de que menos de 3 contribuintes cheguem em 1 hora é igual a 0,425 ou 
42,5%. 
 
Gabarito: B 
 
Questão 4 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-RJ – FCC) O número de atendimentos, via 
internet, realizados pela Central de Atendimento Fazendário (CAF) segue uma distribuição de 
Poisson com média de 12 atendimentos por hora. A probabilidade dessa CAF realizar pelo me-
nos 3 atendimentos em um período de 20 minutos é: (Dados: e-2 = 0,14; e-4 = 0,018) 
 
a) 0,594 
b) 0,910 
c) 0,766 
d) 0,628 
e) 0,750 
 
Comentários: 
O referencial para a média, informado na questão, é de uma hora, entretanto, pede-se a 
probabilidade para o período de 20 minutos. Nesta circunstância, mantida a mesma proporção, 
teremos a média de 4 atendimentos a cada 20 minutos (20 minutos corresponde à terça parte 
da hora, logo, a terça parte de 12 atendimentos é igual a 4). 
Assim, você deve estar atento para identificar as questões sobre Poisson, pois o cálculo 
dessa probabilidade é uma mera aplicação de fórmula. 
Quando o examinador solicita “a probabilidade de pelo menos 3 atendimentos” entende-
se 3, 4, 5 ou mais atendimentos. Percebe como fica impraticável o cálculo de cada uma destas 
situações para, em seguida, fazer o somatório. 
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O caminho, diante deste caso em particular, é calcular a probabilidade complementar (0, 
1 ou 2 atendimentos) e subtrair de 100%. 
Lembre-se que a média igual a 4, implica λ = 4. 
P(x=0) ou P(x=1) ou P(x=2) 
PC =
e−λ. λ0
0! 
+
e−λ. λ1
1! 
+
e−λ. λ2
2! 
 
PC =
e−4. 40
0! 
+
e−4. 41
1! 
+
e−4. 42
2! 
 
PC =
e−4. 1
1
+
e−4. 4
1
+
e−4. 16
2
 
PC = e−4 + 4e−4 + 8e−4 
PC = 13e−4 
PC = 13. 0,018 
PC = 0,234 
 
Para menos de 3 atendimentos, a probabilidade é de 23,4%. A diferença para 100% cor-
responde a 3 ou mais atendimentos. 
P(x≥3) 
P = 100% - Pc 
P = 1 – 0,234 
P = 0,766 
A probabilidade de que ocorra mais de 3 atendimentos em 20 minutos é de 0,766 ou 
76,6%. 
 
Gabarito: C 
 
Questão 5 
(Auditor Fiscal da Receita Estadual – SEFAZ-PI – FCC) Um relatório, redigido por um 
auditor de um órgão público, tem 2 capítulos com 40 páginas cada. Esse relatório apresenta 
uma média de 1 erro ortográfico a cada 10 páginas. Considere que: 
 
I. a variável X que representa o número de erros por página tem distribuição de 
Poisson com média 0,1; 
II. existe independência entre os eventos número de erros ortográficos do capítulo 1 
e número de erros ortográficos do capítulo 2. 
Nessas condições, a probabilidade de que pelo menos um dos capítulos possua no má-
ximo um erro ortográfico é igual a (Dados: e-0,1=0,905; e-2=0,135; e-4=0,018) 
 
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a) 0,1800 
b) 0,1815 
c) 0,0180 
d) 0,1719 
e) 0.0164 
 
Comentários: 
O examinador montou uma estrutura interessante para definir qual o evento favorável 
que definirá a probabilidade. Veja no último parágrafo: “A probabilidade de que pelo menos um 
dos capítulos possua no máximo um erro ortográfico”. 
Sem sombra de dúvidas, a interpretação do problema proposto é o grande passo para 
resolver corretamente a questão. Então, faremos esta parte com maior grau de detalhamento. 
A probabilidade de que pelo menos 
um dos capítulos... 
Entendemos que algo deve acontecer em, 
no mínimo, um capítulo. 
... possua no máximo um erro orto-
gráfico. 
Este algo desejado é que o capítulo não 
contenha erro ou, no máximo, um erro. 
 
Portanto, são hipóteses favoráveis: 
 Capítulo 1: 
o Nenhum ou um erro (e o capítulo 2 tenha 2 ou mais erros). 
 Capítulo 2: 
o Nenhum ou um erro (e o capítulo 1 tenha 2 ou mais erros). 
 Capítulos 1 e 2: 
o Ambos tenham no máximo 1 erro(nenhum ou um erro). 
Feita a leitura e a interpretação da probabilidade solicitada, entendemos que as possibi-
lidades são várias e demandariam cálculos individualizados para cada uma delas. 
Por outro lado, veja que a única hipótese não desejada é que os dois capítulos possuam 
2 ou mais erros. Esta seria a probabilidade complementar daquela desejada, logo, este é o 
caminho a seguir. 
Vamos aos cálculos, lembrando que foi informada a média de 1 erro a cada 10 páginas, 
como consequência, a média para 40 páginas é de 4 erros. Este é o valor de λ. 
Probabilidade nenhum erro 
P(x=0) 
P(X = k) =
e−λ. λk
 k! 
 
P(X = 0) =
e−4. 40
0! 
 
P(X = 0) =
0,018. 1
1
 
P(X = 0) = 0,018 
 
 
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Repetimos o cálculo para 1 erro. 
Probabilidade nenhum erro 
P(x= 1) 
P(X = 1) =
e−4. 41
1! 
 
P(X = 1) =
0,018. 4
1
 
P(X = 1) = 0,072 
 
Consideramos as situações de nenhum ou apenas um erro para um capítulo, entretanto, 
a conclusão a que tínhamos chegado é que o mais interessante seria a situação da ocorrência 
de 2 ou mais erro. É isto que faremos agora. 
Probabilidade dois ou mais erros 
P(x≥ 2) 
P(x ≥ 2) = 100% –(P(x=0) + P(x=1)) 
P(x ≥ 2) = 1 – (0,018 + 0,072) 
P(x ≥ 2) = 1 – (0,09) 
P(x ≥ 2) = 0,91 
 
Atenção, a probabilidade de 91% é da ocorrência de dois ou mais erros, porém, para 
apenas um capítulo, enquanto que a hipótese de interesse é que a situação se repetisse para 
ambos os capítulos. 
Probabilidade dois ou mais erros 
(Para os dois capítulos) 
P2(x ≥ 2) 
P2(x ≥ 2) = P(x ≥ 2) . P(x ≥ 2) 
P2(x ≥ 2) = 0,91.0,91 
P2(x ≥ 2) = 0,8281 
 
Vale ressaltar a importância da regra, em probabilidade, “ou” igual a somar e “e” igual a 
multiplicar. No caso acima, temos o capítulo 1 “e” o capítulo 2, razão pela qual utilizamos a 
multiplicação. 
Entenda que esta é a única situação indesejável, ou seja, é a situação complementar 
daquela que o examinador propôs. Como se trata de situação complementar, reduzimos de 
100%, para obter a ocorrência solicitada. 
Probabilidade de que pelo menos 
um dos capítulos possua no máxi-
mo um erro ortográfico. 
P = 100% – P2(x ≥ 2) 
P = 1 – 0,8281 
P = 0,1719 
 
A ocorrência de que, em pelo menos um dos capítulos, possua no máximo um erro orto-
gráfico tem probabilidade igual a 17,19%. 
 
Gabarito: D 
 
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6. RESUMO ESQUEMATIZADO 
 
6.1.Probabilidade 
 
Probabilidade P = 
 Eventos Favoráveis 
 Total de Eventos 
 
União de dois eventos P(A ou B) = P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
Ocorrência simultânea de dois eventos P(A e B) = P(A ∩ B) = P(A) . P(B) 
 
6.2. Análise Combinatória 
 
 Atalho Exemplo 
Arranjo 
Multiplica-se n por seus antecedentes, (sub-
tração de uma unidade a cada fator) tantas 
vezes quanto for o valor de p. 
A(5,3) = 5 . 4 . 3 
A(5,4) = 5 . 4 . 3 . 2 
A(6,2) = 6 . 5 
Combinação 
Compara-se “p – n” com “p”, aquele que for 
menor será a quantidade de fatores a serem 
multiplicados tanto no numerador quanto no 
denominador. 
No numerador multiplica-se n pelos seus 
antecedentes (subtração de uma unidade a 
cada fator). 
No denominador multiplica-se 1 por seus 
subsequentes (adição de uma unidade a 
cada fator). 
C(5,3) = 
 5 . 4 
 1 . 2 
 
 
C(9,4) = 
 9 . 8 . 7 . 6 
 1 . 2 . 3 . 4 
 
 
C(6,2) = 
 6 . 5 
 1 . 2 
 
 
6.3. Probabilidade Binomial 
 
Probabilidade binomial. P(k eventos) = C(n,k) . pk . qn-k 
 
6.4. Experimento de Bernoulli 
 
Probabilidade de Bernoulli P(X=x) = px . (1 – p)1-x 
Valor Esperado E(X) = p 
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Variância 
Var(X) = p – p2 
Var(X) = p . (1 – p) = p . q 
 
6.5. Probabilidade Binomial 
 
Probabilidade Binomial P(X) = C(n,x) . px . qn-x 
Valor Esperado E(X) = n . p 
Variância 
Var(X) = n . p (1 – p) 
Var(X) = n . p . q 
Desvio Padrão DP = √ n . p . q = √ Var(X) 
Moda 
Mo = (n + 1) . p 
(Considerar a parte inteira do resultado) 
 
6.6. Probabilidade de Poisson 
 
Probabilidade P(X = k) =
e−λ. λk
 k! 
 
Valor Esperado E(X) = np = λ 
Variância Var(X) = n . (p − p2) = λ 
 
 
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CAPÍTULO 03 
PROBABILIDADE 
 
INTRODUÇÃO 
 
Futuros Fiscais, prontos para seguirmos na caminhada? Nesse capítulo terminaremos 
nossa discussão sobre a distribuição discreta e passaremos a tratar da distribuição contínua, 
essa com maior riqueza de detalhes. Você já deve imaginar o porquê, não é mesmo? 
Exatamente, a distribuição é um assunto bastante explorado pelas bancas examinado-
ras, assim, vale muito à pena debruçar e transpirar um pouco mais sobre essa parte da maté-
ria. Mais à frente, falaremos sobre a distribuição normal, quando estivermos resolvendo os pro-
blemas sobre testes de hipóteses. 
Aula importante, se necessário, resolva as questões mais de uma vez até que esteja 
bem afiado! Mãos à obra!! 
 
 
SUMÁRIO 
1. Distribuição Discreta de Probabilidade 
 1.1. Distribuição Geométrica 
 1.2. Distribuição Hipergeométrica 
2. Distribuição Contínua de Probabilidade 
 2.1. Distribuição Normal 
3. Resumo Esquematizado 
 3.1. Probabilidade Condicional 
 3.2. Distribuição Geométrica 
 3.3. Distribuição Hipergeométrica 
 3.4. Distribuição Normal 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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1. DISTRIBUIÇÃO DISCRETA DE PROBABILIDADE 
 
1.1. Distribuição Geométrica 
 
É a única distribuição de variável discreta que possui a propriedade da Perda de Memó-
ria. De forma resumida, significa que pode haver algumas tentativas prévias à avaliação da 
probabilidade e, mesmo assim, a distribuição não será afetada, ou seja, em qualquer tentativa 
que se inicie o experimento não há variação em sua distribuição de probabilidade. 
Trata-se de uma sequência ilimitada de ensaios de Bernoulli repetidos tantas vezes 
quanto necessárias até que ocorra o sucesso pela primeira vez, onde x é a variável aleatória e 
p é a probabilidade de sucesso. 
 
Probabilidade P(sucesso em k jogada) = (1 − p)k−1. p 
Valor Esperado E(X) =
 1 
 p 
 
Variância Var(X) =
 1 − p 
 p2 
 
 
Onde: 
 P(k) = Probabilidade de ocorrer determinado evento na tentativa k. 
 k = Número de tentativas para que aconteça o primeiro sucesso. 
 p = Probabilidade de sucesso de cada evento. 
 E(X) = Valor esperado (média). 
 Var(X) = Variância. 
 
Algumas condições devem ser satisfeitas para caracterizarmos uma distribuição como 
sendo geométrica: 
 As tentativas são ensaios de Bernoulli, que se repetem até a ocorrência de su-
cesso, portanto, a enésima tentativa será o sucesso e os fracassos correspondem 
à quantidade de tentativas empreendidas menos um (sucesso), ou seja, k – 1. 
 Cada tentativa, ensaio de Bernoulli, é independente das anteriores bem como das 
posteriores. 
 A probabilidade de sucesso não altera a cada novo ensaio de Bernoulli. 
 
Vejamos as diferentes formas que o examinador pode formular uma questão sobre um 
mesmo experimento. 
 
Exemplo: Carlos e Marília se casaram há três anos e passam por dificuldades para te-
rem filhos, então decidem optar pela inseminação artificial. O médico que assiste o casal infor-
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