Topografia Avançada e Locação de Obras

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Indaial – 2020
Topografia avançada 
e Locação de obras
Profª. Ana Karoliny Ferrari
Profª. Gabriela Azambuja Mendes
1a Edição
Copyright © UNIASSELVI 2020
Elaboração:
Profª. Ana Karoliny Ferrari
Profª. Gabriela Azambuja Mendes
Revisão, Diagramação e Produção:
Centro Universitário Leonardo da Vinci – UNIASSELVI
Ficha catalográfica elaborada na fonte pela Biblioteca Dante Alighieri 
UNIASSELVI – Indaial.
Impresso por:
F375t
 Ferrari, Ana Karoliny
 Topografia avançada e locação de obras. / Ana Karoliny Ferrari; Ga-
briela Azambuja Mendes. – Indaial: UNIASSELVI, 2020.
 198 p.; il.
 ISBN 978-65-5663-193-6
 ISBN Digital 978-65-5663-189-9
1. Terraplanagem. - Brasil. 2. Projeto geométrico. – Brasil. I. Mendes, Gabriela 
Azambuja. II. Centro Universitário Leonardo da Vinci.
CDD 624.152
apresenTação
Acadêmico, bem-vindo ao Livro Didático de Topografia Avançada 
e Locação de Obras. Este livro tratará sobre os principais conceitos relacio-
nados à terraplanagem, ao traçado de estradas e ao projeto geométrico, di-
vidido em três unidades. Também apresentaremos leituras complementares 
a fim de ampliar e aprofundar os conceitos vistos ao longo dos tópicos e 
tornaremos os conceitos mais próximos da vida profissional. 
A Unidade 1 apresenta os principais conceitos associados ao cálcu-
lo de volume e de áreas. Esses cálculos são essenciais para o entendimento 
das noções de terraplenagem. Existem diversos métodos, cada um com suas 
especificidades que serão apresentadas. Em seguida, serão apresentados os 
conceitos básicos de locação de obras, bem como os procedimentos e passo a 
passo que devem ser seguidos.
 A Unidade 2 terá como foco o traçado de estradas. A topografia é 
também a área da engenharia responsável pelo traçado de rodovias e estra-
das. O eixo de uma estrada é formado por várias linhas retas que se encon-
tram entre sim através de curvas. Serão apresentados os conceitos de curvas 
horizontais com e sem transição e também de curvas verticais.
A Unidade 3, por fim, se dedicará aos demais elementos de um pro-
jeto geométrico de uma rodovia. Elementos como superelevação e superlar-
gura são utilizados para trazer conforto aos motoristas e também segurança 
no percurso. Também serão apresentados conceito de talude, bem como as 
suas causas de instabilidades.
Esperamos que você, acadêmico, obtenha uma ampla e rica experiên-
cia de aprendizado na área de topografia e locação de obras e que tenha um 
futuro brilhante na sua atividade profissional.
Profª. Ana Karoliny Ferrari
Profª. Gabriela Azambuja Mendes
Você já me conhece das outras disciplinas? Não? É calouro? Enfim, tanto para 
você que está chegando agora à UNIASSELVI quanto para você que já é veterano, há novi-
dades em nosso material.
Na Educação a Distância, o livro impresso, entregue a todos os acadêmicos desde 2005, é 
o material base da disciplina. A partir de 2017, nossos livros estão de visual novo, com um 
formato mais prático, que cabe na bolsa e facilita a leitura. 
O conteúdo continua na íntegra, mas a estrutura interna foi aperfeiçoada com nova diagra-
mação no texto, aproveitando ao máximo o espaço da página, o que também contribui 
para diminuir a extração de árvores para produção de folhas de papel, por exemplo.
Assim, a UNIASSELVI, preocupando-se com o impacto de nossas ações sobre o ambiente, 
apresenta também este livro no formato digital. Assim, você, acadêmico, tem a possibilida-
de de estudá-lo com versatilidade nas telas do celular, tablet ou computador. 
 
Eu mesmo, UNI, ganhei um novo layout, você me verá frequentemente e surgirei para 
apresentar dicas de vídeos e outras fontes de conhecimento que complementam o assun-
to em questão. 
Todos esses ajustes foram pensados a partir de relatos que recebemos nas pesquisas 
institucionais sobre os materiais impressos, para que você, nossa maior prioridade, possa 
continuar seus estudos com um material de qualidade.
Aproveito o momento para convidá-lo para um bate-papo sobre o Exame Nacional de 
Desempenho de Estudantes – ENADE. 
 
Bons estudos!
NOTA
Olá, acadêmico! Iniciamos agora mais uma disciplina e com ela 
um novo conhecimento. 
Com o objetivo de enriquecer seu conhecimento, construímos, além do livro 
que está em suas mãos, uma rica trilha de aprendizagem, por meio dela você 
terá contato com o vídeo da disciplina, o objeto de aprendizagem, materiais complemen-
tares, entre outros, todos pensados e construídos na intenção de auxiliar seu crescimento.
Acesse o QR Code, que levará ao AVA, e veja as novidades que preparamos para seu estudo.
Conte conosco, estaremos juntos nesta caminhada!
LEMBRETE
sumário
UNIDADE 1 —NOÇÕES DE TERRAPLENAGEM ......................................................................... 1
TÓPICO 1 —CÁLCULOS DE VOLUMES ......................................................................................... 3
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................... 3
2 CÁLCULO DE VOLUME ................................................................................................................... 3
2.1 MÉTODO DA SEÇÃO TRANSVERSAL ..................................................................................... 4
 2.1.1 Diagrama de massas ............................................................................................................. 7
 2.1.2 Cálculo de diagrama de massas .......................................................................................... 7
 2.1.3 Propriedades importantes .................................................................................................... 9
 2.1.4 Fator de empolamento ........................................................................................................ 10
 2.1.5 Momento de transporte – diagrama de massas ............................................................... 11
2.2 MÉTODO DA ÁREA UNITÁRIA .............................................................................................. 12
2.3 MÉTODO DA ÁREA DA CURVA DE NÍVEL .......................................................................... 13
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 15
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 16
TÓPICO 2 —MEDIDAS DE ÁREAS ................................................................................................ 19
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 19
2 MÉTODOS ANALÍTICOS ............................................................................................................... 19
2.1 FÓRMULA DE GAUSS..................................................................................................................19
2.2 MÉTODO DE BEZOUT ................................................................................................................ 23
2.3 MÉTODO DE SIMPSON...............................................................................................................24
3 MÉTODOS COMPUTACIONAIS.................................................................................................. 24
4 MÉTODOS GRÁFICOS ................................................................................................................... 25
4.1 FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA ............................................................................................... 25
4.2 DIVISÃO EM QUADRÍCULAS .................................................................................................. 25
4.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES .......................................................................... 26
5 MÉTODO MECÂNICO ....................................................................................................................27
6 FONTES DE ERRO NO CÁLCULO DE ÁREAS ......................................................................... 28
RESUMO DO TÓPICO 2..................................................................................................................... 30
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 31
TÓPICO 3 —TERRAPLENAGEM ..................................................................................................... 33 
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 33
2 SERVIÇOS PRELIMINARES .......................................................................................................... 33
3 EQUIPAMENTOS .............................................................................................................................. 34
3.1 UNIDADES TRATORAS ............................................................................................................. 34
3.2 UNIDADES ESCAVO – EMPURRADORAS, ESCAVO-TRANSPORTADORAS E ESCAVO- 
CARREGADORAS ........................................................................................................................ 35
3.3 UNIDADES APLAINADORAS .................................................................................................. 38
3.4 UNIDADES COMPACTADORAS.............................................................................................. 38
4 HIPÓTESES PARA TERRAPLENAGEM ...................................................................................... 38
4.1 PRIMEIRA HIPÓTESE ................................................................................................................. 40
4.2 SEGUNDA HIPÓTESE................................................................................................................. 45
4.3 TERCEIRA HIPÓTESE ................................................................................................................. 46
5 LOCAÇÃO DE OBRA ....................................................................................................................... 50
6 FALHAS NAS LOCAÇÕES ............................................................................................................. 56
6.1 FALHAS DURANTE A LOCAÇÃO DE ESTACAS ................................................................. 56
6.2 FALHAS DURANTE A LOCAÇÃO DA ALVENARIA .......................................................... 57
6.3 FALHAS DURANTE A LOCAÇÃO DA ESTRUTURA .......................................................... 57
LEITURA COMPLEMENTAR ............................................................................................................ 58
RESUMO DO TÓPICO 3..................................................................................................................... 60
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 61
UNIDADE 2 —TRAÇADO DE ESTRADAS ................................................................................... 63
TÓPICO 1 —CURVAS HORIZONTAIS CIRCULARES ............................................................... 65
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 65
2 TIPOS DE CURVA ............................................................................................................................. 65
3 DEFINIÇÕES DA CURVA HORIZONTAL CIRCULAR ........................................................... 69
3.1 ÂNGULO CENTRAL DA CURVA ............................................................................................. 70
3.2 RAIO DA CURVA ......................................................................................................................... 70
3.3 GRAU DA CURVA CIRCULAR ................................................................................................. 70
3.4 TANGENTE ................................................................................................................................... 73
3.5 DESENVOLVIMENTO................................................................................................................. 73
3.6 AFASTAMENTO ........................................................................................................................... 73
3.7 DEFLEXÃO .................................................................................................................................... 73
3.8 DEFLEXÃO SUCESSIVA ............................................................................................................. 74
4 REFERENCIAMENTO ...................................................................................................................... 74
5 SEQUÊNCIA DE PROCEDIMENTOS CURVA CIRCULAR .................................................... 75
6 POSSÍVEIS ERROS ........................................................................................................................... 78
RESUMO DO TÓPICO 1..................................................................................................................... 79
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 80
TÓPICO 2 —CURVAS HORIZONTAIS DE TRANSIÇÃO ......................................................... 83
1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................................. 83
2 CURVA HORIZONTAL DE TRANSIÇÃO E CONCEITOS ..................................................... 83
2.1 TIPOS USUAIS .............................................................................................................................. 84
 2.1.1 Clotóide ................................................................................................................................. 85
 2.1.2 Lemniscata ............................................................................................................................ 86
 2.1.3 Parábola cúbica .................................................................................................................... 86
2.2 ELEMENTOS GEOMÉTRICOS .................................................................................................. 86
2.3 IMPLANTAÇÃO DA TRANSIÇÃO .......................................................................................... 88
 2.3.1 Raio conservado ................................................................................................................... 88
 2.3.2 Centro conservado .............................................................................................................. 89
 2.3.3 Raio e centro conservados .................................................................................................. 89
3 ESTUDO DA CURVA DE TRANSIÇÃO ...................................................................................... 90
3.1 COMPRIMENTO DA TRANSIÇÃO .......................................................................................... 90
3.2 ÂNGULO CENTRAL DA ESPIRAL .......................................................................................... 93
3.3 COORDENADAS CARTESIANAS ............................................................................................ 93
3.4 PONTOS NOTÁVEIS ................................................................................................................... 94
3.5 TANGENTE ................................................................................................................................... 94
4 ROTEIRO DE CÁLCULO ................................................................................................................. 94
RESUMODO TÓPICO 2..................................................................................................................... 98
AUTOATIVIDADE .............................................................................................................................. 99
TÓPICO 3 — CURVAS VERTICAIS ............................................................................................... 101
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 101
2 GREIDE DO PERFIL ....................................................................................................................... 102
3 CURVA ARCO DE PARÁBOLA ................................................................................................... 102
3.1 PROPRIEDADES DA CURVA .................................................................................................. 102
3.2 ELEMENTOS DA CURVA ARCO DE PARÁBOLA .............................................................. 104
3.3 CÁLCULO DOS ELEMENTOS DA CURVA ......................................................................... 105
 3.3.1 Corda .................................................................................................................................... 105
 3.3.2 Raio ....................................................................................................................................... 108
 3.3.3 Ordenada máxima ............................................................................................................. 109
 3.3.4 Diferença de inclinações ................................................................................................... 109
 3.3.5 Expressão geral da parábola ............................................................................................ 110
 3.3.6 Pontos mais altos ou mais baixos ................................................................................... 111
4 ROTEIRO DE CÁLCULO ............................................................................................................... 111
5 DEFEITOS EM TRAÇADOS ......................................................................................................... 113
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 120
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 121
UNIDADE 3 —PROJETO GEOMÉTRICO .................................................................................... 123
TÓPICO 1 —SUPERELEVAÇÃO ..................................................................................................... 125
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 125
2 CONCEITOS E ELEMENTOS ....................................................................................................... 125
3 DIMENSIONAMENTO ................................................................................................................. 127
3.1 VALORES MÍNIMOS E MÁXIMOS ......................................................................................... 132
3.2 RAIOS MÍNIMOS PARA CONCORDÂNCIAS HORIZONTAIS ....................................... 135
3.3 SUPERELEVAÇÃO A SER ADOTADA ................................................................................... 136
3.4 DISTRIBUIÇÃO .......................................................................................................................... 137
4 COMPRIMENTRO DE TRANSIÇÃO DA SUPERELEVAÇÃO ............................................. 140
4.1 CRITÉRIO DO MÁXIMO CRESCIMENTO DA ACELERAÇÃO CENTRÍFUGA ............ 140
4.2 CRITÉRIO DA MÁXIMA RAMPA DE SUPERELEVAÇÃO ................................................ 140
4.3 CRITÉRIO DO MÁXIMO ÂNGULO CENTRAL ................................................................... 141
4.4 CRITÉRIO DO TEMPO DE PERCURSO ................................................................................. 141
RESUMO DO TÓPICO 1................................................................................................................... 143
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 144
TÓPICO 2 —SUPERLARGURA ...................................................................................................... 147
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 147
2 CONCEITOS E ELEMENTOS DE SUPERLARGURA ............................................................ 147
2.1 VEÍCULO DE PROJETO ............................................................................................................ 148
2.2 CÁLCULO PARA DIMENSIONAMENTO ............................................................................ 150
2.3 RAIOS QUE DISPENSAM SUPERLAGURA ......................................................................... 153
3 IMPLANTAÇÃO DA SUPERLAGURA ...................................................................................... 153
3.1 ALARGAMENTO SIMÉTRICO ................................................................................................ 153
3.2 ALARGAMENTO ASSIMÉTRICO ........................................................................................... 154
RESUMO DO TÓPICO 2................................................................................................................... 157
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 158
TÓPICO 3 —TALUDES ..................................................................................................................... 161
1 INTRODUÇÃO ................................................................................................................................ 161
2 CONCEITOS E TIPOS .................................................................................................................... 161
2.1 TALUDES ARTIFICIAIS ............................................................................................................ 162
2.2 TALUDES NATURAIS ............................................................................................................... 164
2.3 ELEMENTOS DE UM TALUDE ............................................................................................... 165
3 MOVIMENTOS DE MASSAS ...................................................................................................... 166
3.1 ESCORREGAMENTOS .............................................................................................................. 166
3.2 QUEDA......................................................................................................................................... 167
3.3 RASTEJO ...................................................................................................................................... 168
3.4 CORRIDAS .................................................................................................................................. 169
4 INSTABILIDADE DE TALUDES ................................................................................................. 169
4.1 CAUSAS EXTERNAS ................................................................................................................. 170
4.2 CAUSAS INTERMEDIÁRIAS ................................................................................................... 170
4.3 CAUSAS INTERNAS ................................................................................................................. 171
4.4 OBRAS DE ESTABILIZAÇÃO DE TALUDES ........................................................................171
4.5 OBRAS DE CONTENÇÃO ........................................................................................................ 174
4.6 MEDIDAS DE PROTEÇÃO ....................................................................................................... 175
RESUMO DO TÓPICO 3................................................................................................................... 183
AUTOATIVIDADE ............................................................................................................................ 184
REFERÊNCIAS .................................................................................................................................... 186
1
UNIDADE 1 —
NOÇÕES DE TERRAPLENAGEM
OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM
PLANO DE ESTUDOS
A partir do estudo desta unidade, você deverá ser capaz de:
• compreender os principais conceitos de corte e aterro e também quais os 
métodos de cálculo;
• estudar os métodos de cálculo de volume e área de terrenos;
• conhecer os principais conceitos associados à terraplenagem, bem como 
os equipamentos utilizados e as hipóteses para execução desse serviço;
•	 verificar	os	conceitos	de	locação	de	obra,	além	de	conhecer	quais	os	pas-
sos para realização dessa sistematização.
Esta unidade está dividida em três tópicos. No decorrer da unidade 
você encontrará autoatividades com o objetivo de reforçar o conteúdo 
apresentado.
TÓPICO 1 – CÁLCULOS DE VOLUMES
TÓPICO 2 – MEDIDAS DE ÁREAS
TÓPICO 3 – TERRAPLENAGEM PARA PLATAFORMAS
Preparado para ampliar seus conhecimentos? Respire e vamos 
em frente! Procure um ambiente que facilite a concentração, assim absorve-
rá melhor as informações.
CHAMADA
2
3
TÓPICO 1 —
UNIDADE 1
CÁLCULOS DE VOLUMES
1 INTRODUÇÃO
O homem sempre necessitou reconhecer o meio que vive, seja por questões 
de sobrevivência ou mesmo para orientação, navegação, segurança, entre outros. 
Com o passar dos anos, surgiram técnicas e equipamentos capaz de representar 
as	regiões,	todas	com	o	auxílio	da	Topografia.
Os	levantamentos	topográficos	requerem	cálculos	a	fim	de	transformá-los	
em uma forma mais útil e fácil para se determinar distâncias, volumes de terrapla-
nagem, volumes e áreas de terra. Além disso, com o conhecimento desses dados, 
é possível um planejamento e projeto de construções com maior precisão. 
De	acordo	 com	Brinker	 e	Wolf	 (1997),	 o	 trabalho	prático	da	 topografia	
pode ser dividido em cinco passos:
1. Tomada de decisão: para escolha dos métodos de levantamento, dos equipa-
mentos, posições ou pontos a serem levantados.
2. Trabalho de campo para aquisição de dados: fase em que se efetuam as medições.
3. Cálculos: cálculos baseados nas medidas para obter volumes, áreas, coordena-
das necessárias, entre outros.
4. Mapeamento: mapa com os dados medidos e calculados.
5. Locação.
Diante disso, neste tópico, abordaremos os conceitos fundamentais de 
cálculo	de	volume,	medidas	de	áreas	e,	por	fim,	terraplenagem	com	o	objetivo	
de	ter	conhecimento	sobre	locação	de	obras.	Na	Topografia,	a	partir	de	medidas	
lineares e angulares calculados é possível obter volumes e áreas.
 
2 CÁLCULO DE VOLUME
 
 Para o engenheiro projetista, um dos primeiros passos para a 
elaboração de um projeto é determinar a forma original da superfície do terreno 
em questão. Para isso, é necessário conhecer os volumes de materiais que serão 
adicionados	ou	removidos	da	topografia	do	térreo.
4
O	custo	do	movimento	de	terra	é,	na	maioria	dos	projetos,	significativo	em	
relação ao custo total da obra, sendo assim, deve ser o mais preciso possível. Os 
processos de movimentação de terra, representados na Figura 1, dividem-se em:
• corte: retirada de excesso de material, ocorrendo o seu remanejamento,
• aterro: ocorre quando, no terreno original, é necessário adicionar material de 
solo/terra até o nível projetado. Para essa movimentação, é necessária uma 
compactação para melhor acomodação do material (ALVAREZ et al., 2003).
É possível relacionar movimentos de terra como: escavações como cortes 
e deposição de terra como aterro. 
FIGURA 1 – REPRESENTAÇÃO DE CORTE E ATERRO
FONTE: As autoras
A medição direta de volumes nos terrenos é difícil e onerosa, por isso, 
são obtidas medidas indiretas utilizando linhas e áreas que apresentam relação 
com o volume desejado. Existem três métodos muito comuns para esse cálculo de 
volume: método da seção transversal, método da área unitária e método da área 
de curva de nível (GHILANI; WOLF, 2013).
2.1 MÉTODO DA SEÇÃO TRANSVERSAL
Esse método é empregado, usualmente, em obras lineares como canais, 
ferrovias	e	rodovias.	Após	a	linha	de	centro	ter	sido	estaqueada,	perfis	do	terreno,	
conhecidos como seções transversais são tomados, normalmente em intervalos 
de estação inteira ou em 10, 20, 30 ou 40 cm se o sistema métrico for empregado. 
A seção transversal consiste em observar elevações do terreno e suas distâncias 
correspondentes à esquerda e à direita perpendiculares à linha de centro. As lei-
turas devem ser feitas na linha de centro, em pontos máximo e mínimo, e em lo-
cais	onde	ocorrem	mudanças	de	declividade,	para	determinar	o	perfil	do	terreno	
acuradamente.	Isso	pode	ser	feito	utilizando	um	nível,	mira	topográfica	ou	trena.
Depois que as seções transversais foram tomadas e plotadas, modelos de 
projeto	são	sobrepostos	em	cada	desenho	para	definir	o	corte	ou	aterro	a	ser	constru-
ído em cada local da seção transversal. As áreas dessas seções, chamadas de áreas de 
5
seção transversal, são obtidas por cálculo. A partir das áreas, os volumes são deter-
minados pelas equações da área média entre seções transversais ou do prismoide, 
ou seja, sólidos geométricos limitados nos extremos por faces paralelas e lateral-
mente por superfícies planas. As faces paralelas representam as seções transver-
sais extremas enquanto as superfícies planas laterais correspondem à plataforma 
da estrada, aos taludes e à superfície do terreno original.
Existem diversos tipos de seções transversais, conforme pode-se ver na Figu-
ra 2, podendo ser nível (Figura 2a), de três níveis (Figura 2b), de cinco níveis (Figura 
2c), irregular (Figura 2d), de transição (Figura 2e), ou de corte e aterro (Figura 2f).
FIGURA 2 – TIPOS DE SEÇÕES TRANSVERSAIS
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
FONTE: Ghilani e Wolf (2013, p. 602)
 O cálculo segue a seguinte equação (equação 1.1):
 (EQ. 1.1) 
6
Em que: A1 e A2 são as áreas de seção transversal em duas estações 
separadas por uma distância horizontal L, representados na Figura 3. O volume 
entre as duas estações é igual a média das áreas de seção transversal multiplicada 
pela distância horizontal L entre elas. As áreas encontram-se em metros quadrados 
e o volume em metros cúbicos. 
FIGURA 3 – PRISMOIDE PARA CÁLCULO DE VOLUME
FONTE: Ghilani e Wolf (2013, p. 602)
Exemplo: sabendo que a distância entre as estacas é de 20 metros, calcule 
o volume das seções 121, 122, e 123 na Figura 4. 
FIGURA 4 – SEÇÕES 121, 122 E 123
FONTE: Adaptado de Borges (2013)
Solução: a partir do enunciado, temos que a área da seção transversal 121 
7
é de 83,5168 m², da seção 122 é 119, 5516 m² e da seção 123 é de 120, 4186 m² e que 
a largura entre as seções corresponde a 20 metros. 
Semelhante ao método da seção transversal, pode-se utilizar um método 
análogo conhecido como método da fórmula prismoidal. O cálculo segue a 
seguinte equação (equação 1.2):
 (EQ. 1.2) 
 Em que: 
A1 e A2: as áreas de seção transversal em duas estações separadas por uma 
distância horizontal L.
Am: a área de uma seção calculada entre A1 e A2.
A medida Am é determinada através da média das alturas e das larguras 
das duas seções nas pontas. Na prática, o erro de medida entre os dois métodos é 
geralmente menor que 2%.
2.1.1 Diagrama de massas 
É necessário equilibrar os volumes de corte e de aterro ao longo de um 
projeto de uma rodovia. Para analisar se há esse equilíbrio de movimento de 
terra,	calcula-se	os	volumes	cumulativos	após	definição	dasáreas	e	dos	volumes.	
Para isso, utiliza-se o Diagrama de Massas ou de Bruncker. 
2.1.2 Cálculo de diagrama de massas 
Um exemplo é apresentado na Figura 5. Costuma-se desenhá-lo abaixo 
do	perfil	longitudinal	da	estrada,	na	mesma	escala	horizontal,	para	visualização	
e interpretação direta.
8
FIGURA 5 – DIAGRAMA DE MASSAS
FONTE: Borges (2013, p. 171)
Para a construção do diagrama, é preciso seguir alguns passos. Inicialmente, 
adota-se uma escala vertical que representam os volumes e uma escala horizontal 
que	representam	as	distâncias.	Na	parte	 superior	aparece	o	perfil	 longitudinal	
com	o	perfil	do	terreno	e	o	perfil	do	projeto	(o	greide).	Cada	trecho	de	corte	e	
de aterro já teve seu volume calculado previamente. Já na parte inferior será 
apresentado o diagrama de massas. O ponto A’ vertical marca o início. Logo em 
seguida, na vertical do número 1 marca-se o volume V1 na escala preestabelecida, 
ou seja, marcando o ponto 1’. Em seguida, continua-se marcando na vertical do 
número 2 o volume V2 acumulado com o volume anterior. E em cada vertical, 
prossegue-se	acumulando	os	volumes	(no	caso	específico,	todos	de	corte).	
No exemplo de diagrama de massas apresentado na Figura 5, na vertical 
do número 7, o volume deve ser considerado negativo por se tratar de um 
aterro. Assim, é subtraído do trecho anterior do volume acumulado. Os volumes 
acumulados acima da linha de referência são considerados como corte. Os 
volumes abaixo da mesma linha são considerados corte.
O diagrama também pode ser calculado utilizando tabelas para facilitar o 
cálculo. Na Tabela 1 é apresentado um modelo.
TABELA 1 – CÁLCULO DE VOLUMES DO DIAGRAMA DE MASSAS
Estaca
Áreas (m²) Soma das áreas (m²) Distância
Volume (m³) Compensação 
lateral (m³)
Volume 
Acumulado 
(m³)Corte Aterro Corte Aterro Corte Aterro
FONTE: Adaptado de Macedo (2010)
9
O diagrama pode ser dividido 11 colunas.
• COLUNA 1: estacas dos pontos em que foram levantadas as seções transversais. 
Normalmente são as estacas inteiras do traçado. 
• COLUNA 2: áreas de corte, medidas nas seções transversais. 
• COLUNA 3: áreas de aterro, medidas nas seções transversais.
• COLUNA 4: produto da coluna 3 pelo fator de homogeneização (Fh). 
• COLUNA 5: soma das áreas de corte de duas seções consecutivas na coluna 2.
• COLUNA 6: soma das áreas de aterro de duas seções consecutivas na coluna 4.
• COLUNA 7: distância entre seções consecutivas. 
• COLUNA 8: volumes de corte entre seções consecutivas. 
• COLUNA 9: volumes de aterro entre seções consecutivas. 
• COLUNA 10: volumes compensados lateralmente (não sujeitos a transporte).
• COLUNA 11: volumes acumulados, obtidos pela soma algébrica acumulada 
dos volumes obtidos nas colunas 8 e 9. Os volumes acumulados são colocados 
como	ordenadas	ao	final	da	estaca.
2.1.3 Propriedades importantes 
Ainda sobre o diagrama de massas, pode-se elencar propriedades impor-
tantes, como:
 
• Ao traçar uma linha paralela ao diagrama, determina-se trechos de volumes 
iguais de corte e aterro: é chamada a linha de construção. 
• Quando	duas	 linhas	sucessivas	desenham	um	degrau	para	baixo,	significa	a	
necessidade de um empréstimo de material. Caso contrário, tem-se um “bota-
-fora”.
• O	diagrama	de	massas	não	pode	ser	confundido	com	um	perfil,	pois	sua	forma	
do	diagrama	não	tem	nenhuma	relação	com	a	topografia	do	terreno.
• A posição da onda do diagrama em relação à linha de compensação indica a direção 
do movimento de terra. Ondas positivas, quando a linha do diagrama acima da linha 
de construção, indicam transporte de terra no sentido do estaqueamento da estrada. 
Todavia, quando as ondas são negativas indicam transporte no sentido 
contrário ao estaqueamento da estrada. Essa propriedade está ilustrada na Figura 6.
10
FIGURA 6 – SENTIDO DO TRANSPORTE DE TERRA
FONTE: As autoras
Inclinações muito elevadas das linhas do diagrama indicam grandes movimentos 
de terras.
NOTA
Bota-fora: local destinado a receber os materiais não aproveitados na terraple-
nagem. Portanto, todo solo escavado que não foi aproveitado como aterro precisa de um 
local para descarte.
2.1.4 Fator de empolamento 
Em um projeto de terraplenagem, um material com massa m ocupa no 
corte de origem um volume Vcorte. Após ser escavado, este material sofre um de-
sarranjo	em	suas	partículas	e,	assim,	a	mesma	massa	sobre	modificação	e	passa	a	
ocupar um volume Vsolto. Após ser descarregado no local de destino e submetido 
ao processo mecânico de compactação, o material inicial ocupará um outro volu-
me, que pode ser chamado de Vcomp.	Para	a	maioria	dos	solos	pode-se	afirmar	que:	
 
Vcomp < Vcorte < Vsolto
Da mesma forma, materiais com mesma massa também possuem a mesma 
relação	para	densidade	ou	massas	 específicas	aparentes.	Por	 isso,	 é	necessário	
ter	um	fator	de	conversão	para	que	se	tenham	os	volumes	verificados	em	cada	
processo da terraplenagem. Esse fator pode ser dito como fator de empolamento, 
11
apresentado na equação a seguir (equação 1.3). Empolamento é o aumento 
de volume que ocorre em um material ao ser removido do seu estado natural 
(PEREIRA et al., 2017).
 (EQ. 1.3)
Uma outra forma no qual pode ser avaliado o empolamento é através de 
porcentagem para que se saiba qual o incremento de volume terá após a escavação 
de um material proveniente de corte (equação 1.4). 
 (EQ. 1.4)
Quando a escavação for executada em materiais compactos de elevada 
densidade, terá um fator de contração superior à unidade. O fator de contração 
(equação 1.5) permite que se faça uma estimativa do material, medido no corte, 
necessário à confecção de um determinado aterro (PEREIRA et al., 2017).
 (EQ. 1.5)
2.1.5 Momento de transporte – diagrama de massas
Um ponto importante que pode ser avaliado a partir do diagrama de 
massas é a distância média de transporte entre trechos. O momento de transporte 
(equação	1.6	e	representado	na	Figura	7)	pode	ser	definido	como	o	produto	dos	
volumes transportados pelas distâncias médias de transporte.
 (EQ. 1.6)
Em que:
M = Momento de transporte.
V = volume natural do solo em m³.
DM = distância média de transporte.
12
FIGURA 7 – MOMENTO DE TRANSPORTE
FONTE: Ghilani e Wolf (2013, p. 606)
2.2 MÉTODO DA ÁREA UNITÁRIA
O método da área unitária, conhecido como método da jazida de emprés-
timo, também apresenta a quantidade de terra ou outros materiais para um can-
teiro de construção. 
O método consiste em estaquear quadrados com a mesma área em um ter-
reno determinado. Uma estação total e trena podem ser utilizados para o sistema. 
Uma referência de nível de elevação conhecida ou assumida é estabelecida fora 
da área, em um local que não terá intervenção (GHILANI; WOLF, 2013). 
Depois da divisão em quadrados, mede-se todas as elevações nos pontos 
a partir de um nível. Os pontos de interseção são nomeados, por exemplo, como 
A-1, C-2, B-3, conforme pode ser visto em destaque na Figura 8. A quantidade 
de volume de corte ou aterro é obtida subtraindo o valor obtido da referência do 
terreno. Para cada quadrado, afere-se a altura média dos quatro vértices do qua-
drado e multiplica-se pela área dos quadrados. O volume total é encontrar a par-
tir da soma dos valores individuais de cada quadrado (GHILANI; WOLF, 2013).
FIGURA 8 – MÉTODO DA ÁREA UNITÁRIA
FONTE: Adaptado de Ghilani e Wolf (2013, p. 611)
13
Para esse método, deve-se considerar que cada ponto tem um peso dife-
rente: 
Peso 1 – pontos localizados nos cantos da malha.
Peso 2 – pontos localizados nas bordas da malha. 
Peso 3 – pontos localizados em cantos reversos da malha.
Peso 4 – pontos localizados no interior da malha. 
De acordo com a posição dos pontos, eles devem ser multiplicados pelos 
números 1, 2, 3 ou 4. 
2.3 MÉTODO DA ÁREA DA CURVA DE NÍVEL
Outro método para se calcular volumes é através das curvas de nível. Uti-
lizando planímetro, pode-se determinar áreas e a partir disso, o volumea ser 
deslocado. A área média das curvas de nível é obtida e o volume a partir da mul-
tiplicação do espaçamento da curva de nível, ou seja, a distância intervalo entre 
curvas (GHILANI; WOLF, 2013).
Esse método é comum quando os métodos das áreas transversais e da área 
unitária se tornam onerosos e complexos. Portanto, é ideal para áreas muito extensas, 
como terraplenagem de grandes loteamentos, áreas de aeroporto, entre outros. O mé-
todo também é utilizado para cálculo de volumes na construção de barragens (BOTE-
LHO; FRANCISCHINI JUNIOR; PAULA, 2018). Na Figura 9, pode-se observar uma 
região	com	curvas	de	nível	aplicadas	em	(a)	em	planta,	em	(b)	e	em	(c)	em	perfil.
FIGURA 9 – CURVA DE NÍVEL
 FONTE: Ghilani e Wolf (2013, p. 391)
14
 Veiga (2007) apresenta um exemplo em um caso de um rio que 
será represado e uma barragem será construída, conforme Figura 10.
FIGURA 10 – CURVA DE NÍVEL E O RIO A SER REPRESADO
FONTE: Veiga (2007, p. 35)
Deve-se posicionar onde a construção de interesse será locada e calcular a 
área de interesse através de softwares (Figura 11).
FIGURA 11 – CURVA DE NÍVEL E O RIO A SER REPRESADO
FONTE: Veiga (2007, p. 37)
15
Neste tópico, você aprendeu que:
•	 Os	levantamentos	topográficos	requerem	cálculos	a	fim	de	transformá-los	em	
uma forma mais útil e fácil para se determinar distâncias, volumes de terrapla-
nagem, volumes e áreas de terra.
• Existem três métodos muito comuns para esse cálculo de volume: método da 
seção transversal, método da área unitária e método da área de curva de nível.
• O método da seção transversal também pode ser obtido a partir do Diagrama 
de Massas ou de Bruncker. 
• O método da área unitária consiste em estaquear quadrados com a mesma 
área, admitir uma referência de nível de elevação e então, a quantidade de 
volume de corte ou aterro é obtida subtraindo o valor obtido da referência do 
terreno. Para cada quadrado, afere-se a altura média dos quatro vértices do 
quadrado e multiplica-se pela área dos quadrados. O volume total é encontrar 
a partir da soma dos valores individuais de cada quadrado.
 
• O método da curva de nível é calculado a partir da área média das curvas de 
nível e o volume a partir da multiplicação do espaçamento da curva de nível, 
ou seja, a distância intervalo entre curvas.
RESUMO DO TÓPICO 1
16
1 (FGV, 2010) Para o cálculo de volumes a serem transportados em serviços 
de terraplenagem de uma estrada, correspondentes a um diagrama de mas-
sas	ou	de	Bruckner,	analise	as	afirmativas	a	seguir:	
 
I- A forma do diagrama de massas está diretamente relacionada com a 
topografia	do	terreno	e	acompanha	seu	desenho.
II- Inclinações muito elevadas das linhas do diagrama indicam grandes 
movimentos de terras.
III- Pontos de mínimo correspondem à passagem de aterro para corte.
É	CORRETO	apenas	o	que	se	afirmar	em:
a) ( ) I.
b) ( ) II.
c) ( ) II e III.
d) ( ) I e III.
e) ( ) Todas as alternativas. 
FONTE: <https://fgvprojetos.fgv.br/concursos>. Acesso em: 30 mar. 2020.
2	 (FCC,	2011)	Considere		as	afirmações	a	seguir	sobre	projeto	de	terraplenagem.	
 
 
I-	Define-se	como	ponto	de	passagem	os	pontos	onde	terminam	os	cortes	e	come-
çam os aterros e os pontos onde terminam os aterros e começam os cortes. 
II- Quando o material do corte é aplicado no aterro ele sofre uma redução de volume, 
por causa da compactação. O valor desta redução depende do tipo de solo, densida-
de natural e adensamento nos cortes e grau de compactação dos aterros. 
III- Linha de compensação é toda linha horizontal, traçada sobre o diagrama 
de massas (Diagrama de Bruckner) que corte pelo menos uma onda. Todas as 
ondas do diagrama de massas deverão ser cortadas, ou ao menos tangencia-
das, por uma única linha de compensação.
 
Está	CORRETO	o	que	se	afirma	em:
a) ( ) Apenas I.
b) ( ) Apenas II.
c) ( ) Apenas III
d) ( ) Apenas II e III.
e) ( ) Todas as alternativas.
FONTE: <https://www.concursosfcc.com.br/concursoAndamento.html>. Acesso em: 30 
mar. 2020.
AUTOATIVIDADE
17
3	 Um	 terreno,	 representado	na	figura	 a	 seguir,	 tem	a	 seguinte	 área	para	 a	
implantação da obra. Havendo necessidade de movimentação de terra, res-
ponda:
a) Qual o volume de solo movimentado? Considerando um empolamento de 
15% (solo arenoso).
b) Quantos caminhões serão necessários para o transporte da terra, conside-
rando que o caminhão caçamba carrega 8 m³?
FIGURA – TERRENO
FONTE: As autoras
18
19
TÓPICO 2 —
UNIDADE 1
MEDIDAS DE ÁREAS
1 INTRODUÇÃO
O cálculo de áreas é também um passo de essencial importância, pois vá-
rios documentos que regularizam terras têm como base essa informação. A ava-
liação de áreas é fundamental para planejamentos não só no setor de engenharia 
civil, mas também na agricultura, limites de preservação ambiental, levantamen-
tos cadastrais para compra e venda, partilha, escrituras. Assim, a metodologia 
empregada no cálculo da área é requisito mínimo para quem deseja discutir ou 
questionar resultados. Os métodos de cálculo de área podem ser divididos em 
analíticos,	computacionais,	gráficos	e	mecânico.	
2 MÉTODOS ANALÍTICOS
Os primeiros métodos para realização de cálculos de áreas foram os analí-
ticos. Entre esses métodos, podemos citar a Fórmula de Gauss, Método de Bezout 
e	Método	de	Simpson.	São	baseados	em	equações	matemáticas,	limitantes	da	fi-
gura geométrica que forma a área estudada.
 
 
2.1 FÓRMULA DE GAUSS 
Neste método, a área é calculada utilizando equações matemáticas que per-
mitem, a partir de coordenada de pontos, a realização dos cálculos. O cálculo da 
área de poligonais pode ser realizado a partir da área de trapézios formados pelos 
vértices da poligonal. Os vértices de cada um dos trapézios (Figura 12) que formam 
o polígono devem ser conhecidos (VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012).
A equação básica da Fórmula da Gauss pode ser utilizada a partir da se-
guinte equação: 
 (EQ. 2.1)
20
Em que:
b	=	base	maior	da	figura.
a	=	base	menor	da	figura.
h	=	altura	da	figura.
As informações estão representadas na Figura 12.
FIGURA 12 – CÁLCULO DE ÁREA DE TRAPÉZIO
FONTE: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 179)
Imagine	a	área	poligonal	da	Figura	13a.	A	partir	do	cálculo	da	figura	da	
área	2	(Figura	13b),	será	subtraído	a	figura	da	área	1	e	assim	será	encontra	a	área	
poligonal de interesse (VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012). 
FIGURA 13 – CÁLCULO DA ÁREA POLIGONAL
a) (b)
(c)
FONTE: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 178)
21
A área do trapézio pode ser dita como:
 (EQ. 2.2)
A área 1 pode ser calculada pela equação 2.3: 
 (EQ. 2.3)
Por	fim,	a	área	2	pode	ser	calculada	pela	equação:
 (EQ. 2.4)
De	forma	simplificada,	pode-se	calcular	a	área	poligonal	como:
 (EQ. 2.5)
Ou de forma genérica, pode utilizar a equação:
 (EQ. 2.6)
Em que:
N = número de pontos da poligonal.
Outra	forma	simplificada	de	se	calcular	a	área	do	polígono	é	utilizando	a	
Tabela 2. A partir das coordenadas dos pontos, multiplica-se a coluna da esquer-
da pela coluna da direita, repetindo a coordenada do primeiro ponto na última 
lacuna.	Por	fim,	faz-se	o	somatório	das	multiplicações	da	esquerda	e	os	somató-
rios das multiplicações da direita. Em seguida, do somatório da esquerda subtrai-
-se o somatório da direita e divide-se por 2.
TABELA 2 – FORMA DE CÁLCULO POR COORDENADAS
X1 Y1
 X2 Y2
X3 Y3
X4 Y4
X1 Y1
FONTE: Adaptado de Veiga, Zanetti e Faggion (2012)
22
Exemplo: calcule a área do polígono da Figura 14, utilizando o método de 
Gauss. As coordenadas estão apresentadas na Tabela 3. 
TABELA 3 – COORDENADAS DO POLÍGONO
Ponto X (m) Y (m)
1 320,1 575,2
2 332,8 458,7
3 276,0 439,7
4 299,4 507,8
5 288,5 587,9
FONTE: As autoras
FIGURA 14 – POLÍGONO A SER CALCULADO
 
FONTE: As autoras
Solução: tomando como base a Tabela 2 apresentada, calcule-se a área do 
polígono.
23
 320,1 575,2
191426,6 332,8 458,7 146829,9
126601,2 276,0 439,7 146332,2
131646,2 299,4 507,8 140152,8
146500,3 288,5587,9 176017,3
188186,8 320,1 575,2 165945,2
784361,0 775277,3
 O somatório das multiplicações da esquerda é igual a 784361,0.
Já o somatório das multiplicações da direita é igual a 775277,3.
Pode-se calcular a área por A = (A1 – A2)/2
Assim, A = (784361,0 -775277,3)/2 = 4541,87m2
 
2.2 MÉTODO DE BEZOUT
 
 No caso em que as áreas poligonais não apresentam grandes sinuosida-
des, pode-se utilizar o Método de Bezout (BORGES, 2013). Aplicam-se equações 
dividindo	a	figura	em	trapézios	regulares	com	mesma	altura,	conforme	pode	ser	
visto na Figura 15.
FIGURA 15 – POLÍGONO MÉTODO DE BEZOUT
FONTE: Adaptado de Domingues (1979)
24
A equação para cálculo da área total é:
 (EQ. 2.7)
Em que:
A	=	área	total	da	figura.		 
 yn = comprimento dos polígonos. 
 h = altura dos polígonos.
 
2.3 MÉTODO DE SIMPSON 
Por	fim,	pode-se	citar	o	método	de	Simpson.	Semelhante	ao	método	de	
Bezout, mas, dessa vez, a área do polígono deve ser dividida por um número par 
de polígonos (BORGES, 2013). A equação que compreende esse método pode ser 
vista a seguir: 
 (EQ. 2.8)
Em que:
h = altura dos polígonos. 
 E = somatório das ordenadas externas. 
 I = somatório das ordenadas ímpares internas. 
 P = somatórias das ordenadas pares. 
Tomando como base a Figura 15, o valor E compreende das ordenadas y0 
e y8. Já o valor I, deve-se somar a 3ª ordenada a partir da extremidade, ou seja, y2, 
y4 e y6. De forma análoga, o valor P deve somar a partir da 2ª ordenada (em relação 
à extremidade).
 
3 MÉTODOS COMPUTACIONAIS
Atualmente, é uma forma bastante prática e utilizada para o cálculo de áre-
as.	Baseado	no	emprego	de	algum	programa	gráfico	do	 tipo	CAD,	no	qual	 são	
desenhados	os	pontos	que	definem	a	área	levantada	e	o	programa	calcula	esta	área,	
por métodos analíticos. Muitos programas utilizam a fórmula de Gauss, já que o 
contorno das áreas calculadas é, na realidade, um polígono de muitos lados.
25
4 MÉTODOS GRÁFICOS
 
		 Os	métodos	gráficos	podem	ser	divididos	em:	faixas	de	igual	espessura,	divi-
são	em	quadrículas	e,	por	fim,	em	figuras	geométricas	equivalentes.	Todos	os	méto-
dos	são	bastantes	simplificados,	mas	existem	cálculos	que	podem	ser	extensos.
4.1 FAIXAS DE IGUAL ESPESSURA 
Esse método consiste em dividir a área de interesse em faixas de espes-
sura constante, medindo, assim, a largura das mesmas (Figura 16) (BOTELHO; 
FRANCISCHINI JUNIOR; PAULA, 2018). 
O cálculo da área é realizado através da equação: 
 (EQ. 2.8)
Em que:
e = espessura constante das faixas. 
li = largura das faixas. 
FIGURA 16 – ÁREA DIVIDIDA EM FAIXAS IGUAIS
FONTE: Adaptado de Domingues (1979)
4.2 DIVISÃO EM QUADRÍCULAS
Entre	os	métodos	gráficos,	pode-se	citar	um	método	simples:	para	se	de-
terminar áreas, deve-se dividir a área mapeada em quadrículas, ou seja, sobre-
pondo uma grade, conforme apresentado na Figura 17. O número de quadrículas 
é contabilizado considerando as quadrículas parciais de forma proporcional e 
adicionando ao somatório total (GHILANI; WOLF, 2013).
 
26
A área é o produto do número de quadrículas pela área de um único qua-
drado (determinado antes da sobreposição da grade). A precisão desse método 
está associada ao tamanho da quadrícula: quanto menor, maior a precisão (GHI-
LANI; WOLF, 2013).
FIGURA 17 – ÁREA DIVIDIDA EM QUADRÍCULAS
FONTE: As autoras
4.3 FIGURAS GEOMÉTRICAS EQUIVALENTES
 
		 Consiste	em	decompor	a	área	em	figuras	geométricas	equivalentes	como	
retângulos,	 triângulos	e	 trapézios,	de	modo	a	 compensar	as	áreas	que	ficaram	
dentro	e	fora	da	figura	geométrica,	conforme	apresentado	na	Figura	18.	Os	lados	
e	os	ângulos	das	figuras	podem	ser	levantados	em	campo	e	suas	áreas	individuais	
podem ser calculadas e somadas. 
FIGURA 18 – ÁREA DIVIDIDA EM QUADRÍCULAS
FONTE: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 176)
27
A área de um triângulo com tamanhos de lados conhecidos pode ser cal-
culada pela equação:
 
 (EQ. 2.9)
Em que:
a, b, c = são os lados do triangulo.
S = a soma de a, b, c dividido por 2.
As	demais	áreas	das	figuras	geométricas	são	bastantes	conhecida.	A	es-
colha é determinada pelo calculista ou pelos equipamentos utilizados em campo 
(GHILANI; WOLF, 2013).
5 MÉTODO MECÂNICO
O método mecânico está associado à utilização de um planímetro, poden-
do ser eletrônico (Figura 19a) ou analógico (Figura 19b). Este consiste em dois 
braços	articulados,	com	um	ponto	fixo	denominado	de	polo	e	um	cursor	na	ex-
tremidade dos braços, que percorre o perímetro do polígono que terá sua área 
calculada.	Um	planímetro	mede	 a	 área	 contida	dentro	de	uma	figura	 fechada	
(GHILANI; WOLF, 2013). 
FIGURA 19 – PLANIMETRO ELETRÔNICO E DIGITAL
 a) (b)
FONTE: Ghilani e Wolf (2013, p. 611)
O planímetro deve ser utilizado sempre em superfícies planas. O polo 
deve	ser	fixado	dentro	ou	fora	da	figura	a	medir	dependendo	do	seu	tamanho	
figura	a	medir,	dependendo	do	seu	tamanho,	conforme	apresentado	na	Figura	20	
(VEIGA; ZANETTI; FAGGION, 2012).
28
FIGURA 20 – MÉTODO DE UTILIZAÇÃO DO PLANÍMETRO
FONTE: Veiga, Zanetti e Faggion (2012, p. 178)
As hastes devem ser dispostas de modo a formar um ângulo reto entre si. O 
aparelho deve ser zerado no ponto inicial da medição e percorre o contorno da área 
com o traçador no sentido sempre horário, até chegar ao ponto de partida. A leitu-
ra é feita no tambor. Se digital, faz-se a leitura no visor. Pode-se demonstrar que o 
giro do tambor, e, portanto, a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida 
pelo contorno percorrido. Em seguida, faz-se a leitura desse quadrado três vezes e 
tira-se	a	média,	depois	faz-se	a	leitura	da	figura	desejada	(AOKI;	CINTRA,	2010).
 
A precisão por esse método depende do planímetro, do operador e da 
qualidade do papel utilizada. Esse método é mais útil em áreas irregulares.
IMPORTANT
E
Nos séculos passados, costuma-se desenhar uma área de uma figura em um 
papel de qualidade. Com uma balança de precisão, media-se o peso do quadrado do papel 
com 10 cm de lado. Recortava-se esse quadrado para pesá-lo e a área do desenho era me-
dida a partir de uma relação entre o peso do quadrado referência e o peso do desenho. Até 
hoje, costuma-se classificar um papel 75 g/m², indicando que 1 m² de papel pesa cerca de 
75 g (BOTELHO, FRANCISCHINI JUNIOR, PAULA, 2018). 
6 FONTES DE ERRO NO CÁLCULO DE ÁREAS
Algumas possíveis causas de erro na medição de áreas são conhecidas e 
devem ser evitadas, como (GHILANI; WOLF, 2013):
29
• Erros nos dados de campo em relação às coordenadas. 
• Ocorrência de erro nas escalas dos mapas.
• Seleção de um intervalo de pontos e coordenadas muito pequenos.
• Configuração	incorreta	na	escala	do	planímetro.
• Uso de diferentes tipos de papel para o mapa e para calibração do planímetro.
30
RESUMO DO TÓPICO 2
Neste tópico, você aprendeu que:
• Os métodos de cálculo de área podem ser divididos em analíticos, computacio-
nais,	gráficos	e	mecânico.	
 
• Os primeiros métodos para realização de cálculos de áreas foram os analíticos. 
Entre esses métodos, pode-se citar a Fórmula de Gauss, Método de Bezout e 
Método de Simpson.
• Pelo método de Gauss, a área é calculada utilizando equações matemáticas 
que permitem, a partir de coordenada de pontos, a realização dos cálculos. O 
cálculo da área de poligonais pode ser realizado a partir da área de trapézios 
formados pelos vértices da poligonal. 
•	 Os	métodos	gráficos	podem	ser	divididos	em:	faixas	de	igual	espessura,	divi-
são	em	quadrículas	e,	por	fim,	em	figuras	geométricas	equivalentes.	
• O método de faixas em igual espessura consiste em dividir a área de interesse 
em faixas de espessura constante, medindo, assim, a largura.
• O método da divisão em quadriculas é simples e consiste em dividir a área 
mapeada em quadrículas, ou seja, sobrepondo uma grade.
 
•	 O	método	de	figuras	geométricas	 equivalentes	decompõe	a	 área	 em	figuras	
conhecidas.• O método mecânico está associado à utilização de um planímetro, podendo ser 
eletrônico ou analógico. Um planímetro mede a área contida dentro de uma 
figura	fechada.
31
1 Calcule a área do polígono da Figura a seguir, utilizando o método de Gauss. 
As coordenadas estão apresentadas na Tabela de coordenadas do polígono.
FIGURA – POLÍGONO
FONTE: As autoras
TABELA – COORDENADAS DO POLÍGONO
Ponto X (m) Y (m)
1 19,1 104,7
2 87,7 88,1
3 75,4 41,7
4 39,1 56,2
FONTE: As autoras
Qual é a área do polígono? Assinale a alternativa CORRETA:
a) ( ) 2428,88 m².
b) ( ) 2000, 00 m².
c) ( ) 18528, 30 m²
d) ( ) 4019,1 m².
e) ( ) 4857,8 m².
AUTOATIVIDADE
32
2 Calcule a área do desenho da Figura a seguir utilizando o método de Simpson.
FIGURA – ÁREA A SER CALCULADA
FONTE: As autoras
A	área	da	figura	é	de:
a) ( ) 27,57 m².
b) ( ) 82,7 m².
c) ( ) 31,4 m².
d) ( ) 14,4 m².
e) ( ) 12,3 m².
3	 Quais	os	métodos	utilizados	para	calcular	as	áreas	de	uma	figura	em	topo-
grafia?
a) ( ) Mapas, Gauss, GPS, CAD.
b) ( ) Gauss, Simpson, GPS e analíticos.
c)	 (	 )	Analíticos,	computacionais,	gráficos	e	mecânico.
d) ( ) Gauss, Simpson, planímetro e mapa.
e) ( ) Analíticos, Gauss, Simpson e mecânico.
33
TÓPICO 3 —
UNIDADE 1
TERRAPLENAGEM
1 INTRODUÇÃO
Após a elaboração de um projeto de engenharia civil sobre uma plan-
ta	 topográfica,	deve-se	seguir	para	o	passo	seguinte,	definindo	sobre	o	 terreno	
um conjunto de pontos que transmita a geometria da obra, de modo a orientar a 
sua construção. Essa operação é conhecida como implantação ou locação de obra 
(CASACA; MATOS; DIAS, 2014). A terraplenagem é o serviço de engenharia res-
ponsável pela operação destinada a conformar o terreno existente aos gabaritos 
definidos	em	projeto.	
2 SERVIÇOS PRELIMINARES
 A Terraplenagem é uma técnica de engenharia de escavação e movimen-
tação de solos e rochas. O serviço de terraplenagem compreende cinco etapas: 
cálculo dos volumes de corte e aterro; escavação, carregamento, transporte e es-
palhamento do material.
Para execução desses serviços são necessárias etapas preliminares. A nor-
ma rodoviária 344 (DNER, 1997) descreve serviços preliminares como atividades 
que compreendem a limpeza do local da obra, a instalação do canteiro de obras, 
a instalação de utilidades provisórias (energia, água etc.), locação da obra e, por 
fim,	necessidades	específicas	que	viabilizem	a	obra.	
A primeira fase da obra inclui o desmatamento, o destocamento e a lim-
peza. O desmatamento abrange o corte e a remoção de toda a vegetação neces-
sária. Já o destocamento e a limpeza consistem em escavação e a remoção total 
do solo orgânico. Além dessas operações, dependendo da situação do trecho em 
projeto, podem ser introduzidos outros serviços essenciais, como remanejamento 
de postes, cercas e limitantes, demolição de estruturas existentes, entre outros 
(PEREIRA et al., 2017).
Quando se fala de obras sem nenhuma infraestrutura inicial, um dos pas-
sos iniciais realizados pela terraplenagem é abrir caminho para os equipamentos 
que levarão o material retirado dos cortes para os aterros. Essa etapa pode ser 
chamada de caminhos de serviço. Esses caminhos são estradas projetadas apenas 
para	serem	suficientes	para	possibilitar	o	tráfego	dos	equipamentos	já	predefini-
dos na execução da obra e que facilitarão o transporte dos cortes e dos aterros do 
canteiro da obra.
34
Quando a terraplenagem atua em obras onde já existem ligações rodovi-
árias ou estradas, são necessários os desvios e estradas provisórias, que formam 
as vias para manutenção do tráfego da rodovia. Os desvios são descritos como 
vias existentes para remanejo do tráfego durante o período de construção. As 
estradas provisórias são consideradas caminhos onde não exista a possibilidade 
de desviar o tráfego ou para estradas já existentes. Os desvios e as provisórias, 
assim como em outras sem infraestrutura inicial, terão padrão técnico apenas su-
ficiente	à	passagem	para	os	equipamentos	e	caminhões	predefinidos	em	projeto	
e cronograma de obra.
3 EQUIPAMENTOS
Para	planejamento	de	uma	terraplenagem	eficaz,	é	necessário	definir	al-
guns fatores. Entre eles, pode-se citar a escolha de máquinas e equipamentos. 
A escolha desses equipamentos envolve alguns fatores, como fatores eco-
nômicos, dependentes de projeto e naturais. Os primeiros dependem, de fato, do 
projeto a ser executado, como volume a ser transportado, distância de transporte, 
tipos de caminhos de serviços e custo. O fator natural está associado à geometria 
local do terreno, como declividade, altitude e tipo de solo.
Os principais equipamentos de terraplenagem são unidades tratoras, uni-
dades escavo-empurradoras, unidades escavo-transportadoras, unidades esca-
vo-carregadoras,	unidades	aplainadoras	e,	por	fim,	as	unidades	compactadoras	
(JAWORSKI,	2011).
3.1 UNIDADES TRATORAS
As unidades tratoras (ou tratores) são máquinas automotora especialmente 
construídas para empurrar outra máquina ou acionar implemento a ela adaptado, 
possibilidade executar várias tarefas. Elas podem ser movidas a: 
• Esteiras.
• Roda – trator que se movimenta sobre rodas, podendo ter chassis rígido ou 
articulado.
• Tração combinada – sobre rodas e esteiras.
Os tratores movidos por roda apresentam vantagens, como uma maior 
velocidade de translação, sendo útil em terraplenagem de terrenos com longas 
distâncias. Já os tratores movidos a esteira possuem melhor desempenho em ter-
renos com grande declividade ou com baixa capacidade de suporte, pela sua me-
lhor	aderência	e	flutuação.	No	entanto,	possuem	a	desvantagem	de	possuírem	ve-
locidades mais limitadas (a máxima é da ordem de 10 km/h). Essa condicionante 
de velocidade limita o emprego dos tratores de esteiras a distâncias moderadas.
 
35
3.2 UNIDADES ESCAVO – EMPURRADORAS, ESCAVO-
TRANSPORTADORAS E ESCAVO- CARREGADORAS
 As unidades escavo empurrados são equipadas com lâmina frontal acio-
nada por comando hidráulico e aplicadas em tarefas combinadas de escavar e 
empurrar o material do solo (PEREIRA et al., 2015). Essas unidades são uteis em 
diversas situações, como: 
• serviços de desmatamento, destocamento e limpeza de terreno, na etapa inicial 
de uma locação de obra;
• execução de caminhos de serviço;
• escavação e transporte de pequenos volumes e em pequenas distâncias;
• suavização da declividade do terreno nos pontos de passagem corte/aterro, 
espalhamento dos materiais depositados com o objetivo de compactação de 
aterro.
Já as unidades escavadoras-transportadoras executam a escavação do ma-
terial, recolhem e efetuam o transporte desse material ao local para descarga a 
distâncias médias e longas. Entre as mais comuns, pode-se citar a unidade tipo 
“scraper”. Esse modelo pode ser rebocados e é constituído por uma caçamba com 
lâminas	cortantes	fixadas	cortantes	responsáveis	pela	escavação	do	material.	As	
unidades escavadoras-transportadoras têm como vantagem:
• economia de tempo na execução dos serviços, pois o equipamento é capaz de 
exercer diversas funções;
• alta	produtividade	e	eficiência;
• baixo custo de operação;
• execução	de	forma	simplificada.	
Essas vantagens também apresentam algumas desvantagens, que podem 
ser citadas:
• Alto custo para aquisição.
• Alto custo de manutenção.
• É um equipamento de grande porte, logo precisa de espaço hábil para se loco-
mover.
• Apresenta vantagens econômicas se forem utilizadas em obras com vasto cro-
nograma e de forma contínua.
Por	fim,	pode-se	citar	as	unidades	escavado-carregadoras.	Essas	unidades	
podem ser subdivididas em escavadeiras e carregadeiras. Ambas são responsáveis 
em executar a operação de escavação do material e também a carga do material 
escavado (PEREIRA et al., 2017).
As escavadeiras têm como principal característica o fato de trabalhar 
estacionado, apenas sua lança carrega o material e se movimenta. O deslocamento 
das escavadeiras pode ser limitado por ser um equipamento muito lento e, assim, 
36
sua	 utilização	 fica	 restrita	 à	 área	 de	 interesse	 noterreno,	 sendo	 requerido	 o	
emprego de carretas para transporte dessas máquinas a distâncias maiores. 
A lança pode ser retirada ou acoplada na escavadeira e sua utilização é 
bem	diversificada,	pois	varia	devido	o	tipo	de	lança	que	será	utilizado.	Devido	a	
sua lança, elas podem ser:
• Escavo-carregadeira (com pá frontal) (Figura 21).
FIGURA 21 – ESCAVO-CARREGADEIRA COM PÁ FRONTAL
FONTE: <http://s7d2.scene7.com/is/image/Caterpillar/C10352604?$highres$>. Acesso em: 9 
nov. 2019. 
Com caçamba de arrasto, ou “drag-line” (Figura 22). 
37
FIGURA 22 – ESCAVO-CARREGADEIRA COM CAÇAMBA DE ARRASTO
FONTE: <https://bit.ly/3bGJ2Bo>. Acesso em: 20 fev. 2020. 
• Escavadeira com caçamba de mandíbulas ou Clamshell (Figura 23). 
FIGURA 23 – ESCAVO-CARREGADEIRA TIPO CLAMSHELL
FONTE: PEREIRA et al. (2015, p. 41)
• Retroescavadeira ou backshovel: 
As escavadeiras são montadas sobre tratores de esteiras e possuem uma 
caçamba frontal acoplada. A existência de esteiras fornece grande mobilidade ao 
equipamento, fazendo com que seja possível a execução de terraplenagem em 
locais de pequenas dimensões. A desvantagem desse modelo está associada a 
deslocamentos à longas distâncias, sendo necessário o transporte em carretas 
(JAWORSKI,	2011).
 
38
3.3 UNIDADES APLAINADORAS
Essas unidades (também chamadas de motoniveladoras) costumam entrar 
na	etapa	de	acabamento	da	área	final	da	terraplenagem.	Possuem	uma	lâmina	que	
apresenta grande diversidade de movimentação, podendo ser levantada, abaixada, 
girar em torno do seu eixo, entre outros. Entre suas funções, pode-se citar: 
• Construção de valas.
• Acabamento de taludes.
• Acabamento de superfícies.
• Acabamento de plataforma de terraplenagem.
• Espalhamento de materiais.
3.4 UNIDADES COMPACTADORAS
Existem diversos subtipos de unidades compactadoras, podendo ser 
citadas as com: rolo pneumático, rolo pé-de-carneiro (Figura 24) e rolo vibratório. 
Essas	unidades	 têm	 como	objetivo	densificar	 os	 solos	distribuídos	 nos	 aterros	
para que seja possível reduzir os seus índices de vazios, o que ocasiona em uma 
melhor estabilidade.
FIGURA 24 – COMPACTORA PÉ DE CARNEIRO
FONTE: <https://bit.ly/3jYsLe0>. Acesso em: 20 fev. 2020. 
4 HIPÓTESES PARA TERRAPLENAGEM
Neste subtópico, abordaremos o tema de terraplenagem para construção 
de plataformas, sejam elas horizontais ou inclinadas. Todo o trabalho relacionado 
a esse serviço deve ser planejado para obter o resultado desejado e, para isso, 
deve-se conhecer o modelo original do terreno, ou seja, a forma planimétrica e 
39
altimétrica antes que sejam iniciadas as atividades. Se os serviços forem iniciados 
antes das medições planimétricas do terreno, torna-se inviável conhecer o volume 
de cortes e aterros movimentados tornando o projeto oneroso (BORGES, 2013). 
O método de levantamento das curvas de nível da área a ser terraplenada 
mais utilizado é pela quadriculação, conforme Figuras 25 e 26. A área deve ser locada 
e, em seguida, quadriculada. O lado dos quadrados tem seu comprimento estabe-
lecido em função da extensão e da sinuosidade do terreno, sendo que as cotas são 
obtidas a partir dos seus vértices. Terrenos acidentados precisam de uma malha com 
espaçamento	menor.	Pode-se	afirmar	que	quanto	menor	for	o	espaçamento,	melhor	
será	o	resultado	final	na	determinação	de	volumes	de	aterros	e	cortes.	Em	geral,	os	
quadrados possuem lados com comprimentos de 10, 20, 30 ou 50 metros. Para áreas 
urbanas, é viável utilizar-se lados de 4 ou 5 metros. 
As quadriculas, representadas pelos piquetes, possuem sempre as mesmas 
áreas e espaçamentos constantes entre estacas (COMASTRI; TULER, 2013). 
FIGURA 25 – TERRENO QUADRICULADO EM PLANTA
FONTE: Veiga (2007, p. 39)
FIGURA 26 – TERRENO QUADRICULADO EM PERSPECTIVA
FONTE: Veiga (2007, p. 40)
40
Também é interessante, em obras de grande porte, que sejam traçadas as 
curvas	de	nível	na	planta	quadriculada	para	identificar	as	elevações	e	depressões	
do terreno. Para isso, a partir da quadriculação e com as cotas determinadas, 
anota-se cada cota no cruzamento correspondente das linhas e colunas. Escolhe 
uma determinada Equidistância Vertical (EV) e, em função dela, traçam-se as 
curvas de nível de cada área. Na Figura 27, uma área tem quatro linhas e cinco 
colunas. As cotas do terreno estão alocadas a uma Equidistância de 0,25 m. 
FIGURA 27 – CURVA DE NÍVEL
FONTE: Comastri e Tuler (2013, p. 165)
Em terraplenagem, quatro hipóteses podem acontecer:
• 1ª	hipótese:	plano	final	horizontal	sem	a	imposição	de	uma	cota	final	determinada.
• 2ª	hipótese:	plano	final	horizontal	com	a	imposição	de	uma	cota	final	determinada.
• 3ª hipótese: plano inclinado sem a imposição da altura em que este plano deverá 
ficar.
• 4ª hipótese: plano inclinado impondo uma determinada altura, através da escolha 
da cota de um certo ponto.
4.1 PRIMEIRA HIPÓTESE
Será apresentado um exemplo adaptado de Borges (1992), em função 
da Figura 25. Nessa hipótese, o projeto de terraplenagem solicita um plano 
horizontal	sem	impor	uma	cota	final	determinada.	O	primeiro	passo	é	calcular	a	
altura média (hm) de cada quadrícula como a média aritmética das alturas médias 
de	seus	quatro	vértices.	A	altura	média	final	de	todas	as	quadrículas	será	a	média	
41
ponderada das alturas de todos os vértices com seus respectivos pesos 1, 2, 3 ou 4, 
conforme cada altura pertença, respectivamente, a 1, 2, 3 ou 4 quadrados. Assim, 
os vértices A1, A5, D5 e D1, terão peso 1. Os vértices A2, A3, A4, B1, B5, C1, C5, 
D2, D3, D4 terão peso 2 e os vértices internos B2, B3, B4, C2, C3 e C4 terão pesos 4.
• Primeiro	passo:	cálculo	da	cota	final	média.
Peso 1: 36,3 + 30,8 + 33,9 + 37,2 = 138,2 → Peso 1: 138,2 x 1 = 138,2
Peso 2: 34,8 + 33,5 + 32,2 + 32,1 + 32,9 + 35,1 + 35,8 + 36,3 + 36,6 + 36,4 = 345,7 
→ Peso 2: 345,7 x 2 = 691,4
Peso 4: 34,9 + 33,6 + 32,3 + 33,5 + 34,4 + 35,5 = 204,2 → Peso 4: 204,2 x 4 = 
816,8
Em seguida, soma-se os pesos ponderados: 
Σ	Pesos	Ponderados	=	138,2	+	691,4	+	816,8	=	1.646,4
Determina-se o número de vértices com sua respectiva ponderação:
Peso 1: 4 x 1 = 4
Peso 2: 10 x 2 = 20
Peso 4: 6x 4 = 24
Em seguida, soma-se o número de vértices com seu respectivo peso: 
Σ	Vértices	=	4	+20	+	24	=	48
Finalmente,	determina-se	da	cota	média	final	(hm) pela equação:
 (EQ. 2.10)
• Segundo passo: cálculo de x e y correspondentes aos pontos de locação da cur-
va de passagem pela equação: 
 (EQ. 2.11)
42
Em que: 
DN = Diferença de Nível.
Dh = Distância horizontal.
Seguindo o mesmo raciocínio, temos:
• O terceiro passo é o cálculo das áreas das seções. Com auxílio das fórmulas 
matemáticas, calcula-se as áreas de trapézios e triângulos. Observe as Figuras 
28	a	31	que	apresentem	os	perfis:
43
FIGURA 28 – PERFIL A
FONTE: Adaptado de Borges (1992)
FIGURA 29 – PERFIL B
FONTE: Adaptado de Borges (1992)
44
FIGURA 30 – PERFIL C
FONTE: Adaptado de Borges (1992)
FIGURA 31 – PERFIL D
FONTE: Adaptado de Borges (1992)
45
• Cálculo do volume de corte e aterro. Utilizando-se a fórmula para o cálculo das 
áreas extremas, ou seja, o volume entre as seções A e B, B e C e entre C e D a 
qual é obtida a partir da equação proposta por Bezout.
A pequena diferença entre os dois cálculos é devido ao arredondamento 
na interpolação das distâncias referentes à curva de passagem. Essa pequena 
diferença é aceita para os cálculos.
 
4.2 SEGUNDA HIPÓTESE
Também adaptado de Borges (2013), nessa hipótese, o projeto de terraple-
nagem	solicita	um	plano	horizontal	com	imposição	de	uma	cota	final	determina-
da. Nesse caso, será de 34,0 m. Será necessário que um topógrafo determine a cota 
de cada vértice em relação à cota referência.
Como o terreno base tem cota de 34,3 m e deve-se deixar com cota de 34,0 
m	significa	que	se	deve	rebaixar	o	terreno	em	30	cm.	Assim,	como	a	área	do	ter-
reno é conhecida (60x80m), podemos calcular o volume de material que deverá 
ser removido. É necessário apenas multiplicar a área do terreno pela altura do 
rebaixamento.
Volume= 0,30 m x 4.800 m²
Volume = 1.440 m³
Pode-se	verificar	que	a	diferença	entre	os	volumes	de	corte	e	aterro	será	
de 1.440 m³. Fazendo os cálculos, temos que o volume de corte é 3.730,265 m³ e o 
volume de aterro é 2.290,210 m³, ou seja, a diferença entre eles é de 1.440,055 m³, 
bem próxima ao calculado. A Figura 32 ilustra esse raciocínio.
46
FIGURA 32 – REPRESENTAÇÃO DA SEGUNDA HIPÓTESE
FONTE: Veiga (2007, p. 46)
4.3 TERCEIRA HIPÓTESE
Nesta terceira hipótese, o projeto solicita um plano inclinado na direção 
1-5, com inclinação de 1%, sem determinar a altura do plano. Deve-se, então, 
posicionar o plano inclinado de maneira que a sua altura, na linha média do 
terreno, seja igual à altura do plano calculado na primeira hipótese. Assim, 
teremos para o plano inclinado, volumes de corte e aterro iguais. Observe as 
Figuras 33 e 34. 
47
FIGURA 33 – POSICIONAMENTO DO PLANO NA HIPÓTESE 3
FONTE: Veiga (2007, p. 47)
48
FIGURA 34 – REPRESENTAÇÃO EM PERSPECTIVA DO PLANO DA HIPÓTESE 03
FONTE: Veiga (2007, p. 48)
Após determinada a posição do plano, é necessário calcular as demais co-
tas	do	plano	inclinado,	para	posteriormente	traçar	os	perfis	transversais	e	calcular	
às áreas de corte e aterro. O referido plano terá uma inclinação de 1%, o que sig-
nifica	que	a	cada	100	m	o	terreno	sobe	ou	desce	1	m.	Assim,	em	20	m,	tamanho	da	
abertura da malha, o terreno vai variar sua cota em 0,20 m. Como a cota da linha 
3 é conhecida (34,30 m), para calcular a cata das demais basta somar ou diminuir 
0,20 m, conforme o sentido de inclinação do plano. Como a inclinação se dá no 
sentido X da malha, todos os pontos localizados na linha 1 terão a mesma cota, 
sendo o mesmo válido para as linhas 2, 3, 4 e 5. Isso é representado na Figura 35. 
FIGURA 35 – PERFIL TRANSVERSAL DO PLANO INCLINADO
FONTE: Veiga (2007, p. 48)
TÓPICO 3 —TERRAPLENAGEM
49
Após o cálculo das cotas dos pontos do plano inclinado é possível 
esquematizar	os	perfis	e	 calcular	as	áreas	de	corte	e	aterro	 (conforme	visto	na	
hipótese	primeira).	Na	figura	36	é	demonstrado	como	realizar	a	interpolação	do	
ponto P (interseção entre o plano inclinado e terreno).
FIGURA 36 – INTERPOLAÇÃO DO PONTO P PARA O PLANO INCLINADO
FONTE: Veiga (2007, p. 49)
Com essa interpolação, não é possível encontrar os valores de x1 e x2 
diretamente. Será necessário realizar os cálculos por partes. Determina-se, 
inicialmente, o valor de x1. Sabendo-se que em 100 m o terreno sobe 1 m, temos 
que em x1 metros o terreno subirá “hp” metros. Como o valor não é conhecido, 
teremos uma primeira equação (equação 2.12) em função de x1 e hp.
 (EQ. 2.12)
 Com isso, é possível obter uma outra equação em função de x1. 
Sabemos que do ponto S até o ponto U (distantes 20 m) o terreno sobe 1,3 m, então 
em x1 metros o terreno subirá 0,8 m + hp.
 (EQ. 2.13)
50
UNIDADE 1 —NOÇÕES DE TERRAPLENAGEM
Na sequência, podemos igualar as equações 2.12 e 2.13 para obter o valor 
de hp:
 
Finalmente, com o valor de hp, podemos substituí-lo tanto na equação 
2.12 como na equação 2.13 para obter o valor de x1. O valor de x2 será igual ao 
valor da abertura da malha (20 m) menos o valor de x1.
A hipótese número 4 (plano inclinado impondo uma determinada altura, 
através da escolha da cota de um certo ponto) também segue a mesma linha de ra-
ciocínio, porém, com a imposição de uma cota de um ponto. Não será detalhado o 
procedimento de cálculo, uma vez que o utilizou-se o mesmo princípio da hipótese 1.
5 LOCAÇÃO DE OBRA
Entende-se como locação de obra a transferência de dados e medidas de 
um	projeto	 para	 o	 terreno	 em	que	 uma	 edificação	 será	 executada.	Devem	 ser	
tomados	diversos	cuidados	para	que	essas	medidas	sejam	as	mais	fiéis	possíveis	
ao projeto, pois já em fases adiante da obra, que as fundações, paredes, pilares 
e outras peças foram executadas em locais errados, uma solução para o erro 
pode ser inexistente. Após a locação é quando se inicia, de fato, a execução da 
obra. Depois de montado o sistema, iniciam-se os serviços de fôrma, execução de 
fundações e concretagem. 
O	levantamento	topográfico	da	construção	envolve	alinhamento	e	o	grei-
de por meio de estacas e linhas de referência que são esticadas no canteiro de 
obra. A locação das estacas costuma ser realizada através de observações das dis-
TÓPICO 3 —TERRAPLENAGEM
51
tâncias horizontais, ângulos horizontais, ângulos verticais e diferenças de eleva-
ção utilizando equipamentos adequados para o porte de cada tipo de obra.
No projeto de locação, a obra precisa estar referenciada a um ponto conhe-
cido	previamente	definido.	A	partir	desse	ponto	é	que	começa,	de	fato,	a	locação	
no terreno da projeção da construção. É comum utilizar-se como referência: o ali-
nhamento da rua, um ponto de referência utilizado na fase de terraplenagem, um 
poste no alinhamento do passeio, entre outros, como no exemplo da Figura 37.
FIGURA 37 – REFERÊNCIA PARA LOCAÇÃO
FONTE: As autoras
A primeira parte da locação de uma obra começa pela locação dos elementos 
de fundação, como tubulões, sapatadas, blocos, estacas, entre outros. Essa parte é de 
extrema importância e deve ser feita de forma acurada e correta, pois todo o restante 
da	edificação	dependerá	desse	posicionamento.	A	locação	correta	da	fundação	para	
locação dos eixos está associada ao tempo que será necessário para locação dos de-
mais elementos (como as paredes), além de uma economia geral de custo.
A	demarcação	dos	pontos	que	definem	a	obra	é	feita	a	partir	de	três	co-
ordenadas: duas planimétricas e uma altimétrica. Essa demarcação pode ser re-
alizada através de um teodolito ou nível ou até de elementos mais simples para 
obras de pequeno porte, como nível de mangueira (Figura 38), trena ou régua. 
Elementos	mais	complexos	com	utilização	de	processo	topográfico	devem	ser	es-
colhidos em casos de obras de grande porte (CORRÊA, 2016). 
52
UNIDADE 1 —NOÇÕES DE TERRAPLENAGEM
FIGURA 38 – NÍVEL DE MANGUEIRA
FONTE: Comastri e Tuler (2013, p. 197)
Exemplo: para se utilizar um nível tipo mangueira, a leitura da haste da 
esquerda deve ser a mesma da haste da direita. A igualdade da altura é alcançada 
através da igualdade de leitura do líquido colocado dentro da mangueira. A 
distância entre as hastes não afeta. Para a situação a seguir, necessita-se de uma 
declividade de 2,00% da superfície. As extremidades da mangueira estão distantes 
por 5,00 metros. Qual deve ser a diferença de leitura entre as hastes?
Solução: uma declividade de 2,00% é o mesmo que se dizer que há 2 
metros de diferença de altura ao longo de 100,00 metros.
D dn
100,00m 2,00m 
5,00 X 
X = 0,10 m
Assim, a leitura feita em B deve ser 0,10 metros maior, ou seja, equivalente 
a	1,30	metros	para	que	se	alcance	2,00%,	conforme	figura	39.
FIGURA 39 – NÍVEL DE MANGUEIRA
FONTE: Comastri e Tuler (2013, p. 198)
TÓPICO 3 —TERRAPLENAGEM
53
Independente do porte, elementos auxiliares são utilizados na demarcação 
e podem ser: piquetes, cavaletes (Figura 40b, à direita) ou tabeira (também 
conhecido por tábua corrida ou gabarito na Figura 40a, à direita). 
FIGURA 40 – ELEMENTOS AUXILIARES PARA LOCAÇÃO
 a) (b)
FONTE: Corrêa (2016, p. 123)
A locação por cavalete é um processo de locação muito antigo e pode não 
ser	muito	confiável,	pois	oferece	muitos	riscos	de	deslocamentos	provocados	por	
circulação de equipamentos e operários. Utilizados em obras de pequeno porte 
com poucos itens para locar. 
Já a locação por gabarito é indicada para as obras que possuem muitos 
itens	a	serem	locados.	Os	sarrafos	de	madeira	são	fixados	ao	longo	do	perímetro	
da obra sobre pontaletes a uma altura entre 0,40 m a 1,50 m em relação ao nível 
do solo e devem estar alinhados e nivelados. O espaçamento ideal entre as estacas 
deve ser entre 1,50 e 1,80 m. Os gabaritos são elementos de demarcação mais 
seguros e as marcações efetuadas