Fundamentos Básicos da Engenharia - EAD (1)

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FUNDAMENTOS BÁSICOS
DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI 
Reitor: 
Prof. Me. Ricardo Benedito de 
Oliveira
Pró-Reitoria Acadêmica
Maria Albertina Ferreira do 
Nascimento
Diretoria EAD:
Prof.a Dra. Gisele Caroline
Novakowski
PRODUÇÃO DE MATERIAIS
Diagramação:
Alan Michel Bariani
Thiago Bruno Peraro
Revisão Textual:
Fernando Sachetti Bomfim
Marta Yumi Ando
Produção Audiovisual:
Adriano Vieira Marques
Márcio Alexandre Júnior Lara
Osmar da Conceição Calisto
Gestão de Produção: 
Aliana de Araújo Camolez
© Direitos reservados à UNINGÁ - Reprodução Proibida. - Rodovia PR 317 (Av. Morangueira), n° 6114
 Prezado (a) Acadêmico (a), bem-vindo 
(a) à UNINGÁ – Centro Universitário Ingá.
 Primeiramente, deixo uma frase de 
Sócrates para reflexão: “a vida sem desafios 
não vale a pena ser vivida.”
 Cada um de nós tem uma grande re-
sponsabilidade sobre as escolhas que fazemos, 
e essas nos guiarão por toda a vida acadêmica 
e profissional, refletindo diretamente em nossa 
vida pessoal e em nossas relações com a socie-
dade. Hoje em dia, essa sociedade é exigente 
e busca por tecnologia, informação e conhec-
imento advindos de profissionais que possuam 
novas habilidades para liderança e sobrevivên-
cia no mercado de trabalho.
 De fato, a tecnologia e a comunicação 
têm nos aproximado cada vez mais de pessoas, 
diminuindo distâncias, rompendo fronteiras e 
nos proporcionando momentos inesquecíveis. 
Assim, a UNINGÁ se dispõe, através do Ensino 
a Distância, a proporcionar um ensino de quali-
dade, capaz de formar cidadãos integrantes de 
uma sociedade justa, preparados para o mer-
cado de trabalho, como planejadores e líderes 
atuantes.
 Que esta nova caminhada lhes traga 
muita experiência, conhecimento e sucesso. 
Prof. Me. Ricardo Benedito de Oliveira
REITOR
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01
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO .............................................................................................................................................................4
1. AS OPERAÇÕES ELEMENTARES ..........................................................................................................................5
2. FATORAÇÃO, FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS ...........................................................................................18
3. NOTAÇÃO CIENTÍFICA ....................................................................................................................................... 20
4. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA ........................................................................................................26
5. GRÁFICOS E TABELAS ....................................................................................................................................... 30
6. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS .........................................................................................................................36
7. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1O E 2O GRAUS ....................................................................................................38
8. INTERPOLAÇÃO ...................................................................................................................................................41
NÚMEROS E A ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à primeira unidade do curso de Fundamentos 
Básicos da Engenharia. Esta unidade tem por objetivo revisar as operações básicas e alguns 
conceitos que usaremos ao longo do curso de Engenharia. O objetivo, também, é apresentar a 
você algumas aplicações simples de matemática básica no curso de Engenharia.
Nesta unidade, você será encorajado(a) a pesquisar a solução de algumas situações-
problema envolvendo Engenharia. Esperamos que você, por meio da leitura e das vídeo-aulas, 
desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas. Focaremos bastante nas operações 
matemáticas básicas, leitura de grá� cos e tabelas, uso da interpolação e uso da calculadora 
cientí� ca no dia a dia da Engenharia.
Serão apresentadas algumas soluções utilizando a calculadora cientí� ca. Vale ressaltar 
que ela não substitui a capacidade de raciocínio lógico, o conhecimento matemático, tampouco 
a criatividade do engenheiro. A correta utilização da calculadora otimiza o tempo e facilita a 
solução de problemas. Nesta apostila, será utilizada a calculadora CASIO® fx-82MS, que é uma 
calculadora básica, mas que realiza todas as operações fundamentais matemáticas. Calculadoras 
programáveis e que realizam derivadas e integrais não serão permitidas no curso.
Lembre-se de que a matemática é fundamental na formação dos engenheiros, seja qual 
for o seu ramo. Assim, desejamos a você bons estudos. 
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
1. AS OPERAÇÕES ELEMENTARES
Os números que usamos no cotidiano são denominados de números reais. De acordo 
com Gomes (2018), esses números são divididos em diversos conjuntos, cada qual com origem e 
emprego especí� cos. 
Uma das características mais importantes dos seres humanos é a capacidade de 
abstração. Você, como futuro engenheiro, deverá ter essa capacidade ainda mais aguçada, pois, 
constantemente, no exercício da pro� ssão, deparar-se-á com situações que exigirão tal capacidade 
de abstração, em particular, na resolução de problemas usando a linguagem matemática. 
Foge do objetivo deste texto a de� nição formal das operações aritméticas elementares, 
as quais supomos conhecidas por você. Entretanto, deter-nos-emos nas propriedades dessas 
operações e suas aplicações na Engenharia. O que faremos será analisar e aplicar essas propriedades.
Admita que x, y e z sejam números reais quaisquer. Para eles, são válidas as seguintes 
propriedades:
• Comutatividade da soma: 
• Associatividade da soma: 
• Comutatividade da multiplicação: 
• Associatividade da multiplicação: 
• Distributividade: 
Exemplo 1
A Figura 1 apresenta informações acerca do número de empregos formais criados em um 
semestre em um país. Com base nessas informações, resolva os itens a seguir.
Figura 1 - Número de empregos formais. Fonte: O autor.
a) Quantas vagas de empregos formais, no semestre, foram criadas pelos setores indústria 
de transformações, serviços e indústria extrativa?
Solução: Para calcular o número de vagas criadas no semestre, pelos setores indústria de 
transformações, serviços e indústria extrativa, necessitamos efetuar a seguinte soma numérica 
. Logo, foram criadas 128.001 vagas pelos setores indústria 
de transformações, serviços e indústria extrativa.
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b) Quantas vagas de empregos formais o setor da construção civil ofereceu a mais do que 
o setor de serviços de água, luz e gás?
Solução: Para calcular o número de vagas que o setor da construção civil ofereceu a mais 
do que o setor de serviços de água, luz e gás, devemos efetuar a seguinte diferença (subtração) 
 Logo, o setor de construção civil criou 51.792 vagas a mais do que o 
setor de serviços de água, luz e gás.
Exemplo 2
(CESGRANRIO - adaptado) No Brasil, são consumidos 340 milhões de botijões de GLP 
por ano. Se todos esses botijões fossem do tipo P-13, que contém 13 kg de GLP, quantos milhões 
de quilogramas de GLP seriam consumidos anualmente no Brasil?
Solução: Para determinar a quantidade, em quilograma, de GLP utilizada, devemos 
efetuar a multiplicação entre o número de botijões consumidos e a massa de cada botijão. Assim, 
, ou seja, são consumidos, no Brasil, 4.420 milhões de 
quilogramas de GPL por ano.
Exemplo 3
(ENADE- adaptado) Na construção civil, umdos ensaios mais conhecidos e aplicados ao 
controle tecnológico do concreto é o ensaio de compressão axial de corpos de prova cilíndricos, 
que são normalmente moldados no recebimento do concreto em obra, a � m de se veri� car o 
atendimento da resistência característica do concreto. A tabela a seguir apresenta os resultados 
de resistência à compressão axial, aos 28 dias de idade, de três corpos de prova coletados em uma 
obra.
Corpo de prova Tensão (MPa)
CP1 25
CP2 22
CP3 28
Calcule a média aritmética da resistência à compressão axial dos três corpos de provas 
testados.
Solução: Do Ensino Médio, você deve se lembrar que a média aritmética  é a soma 
de vários valores, dividida pelo total deles. Isto é, o resultado dessa divisão equivale a um valor 
médio entre todos os valores. Dessa forma, a média aritmética da resistência à compressão axial 
dos três corpos de provas testados é
Logo, a média aritmética da resistência à compressão axial dos corpos de prova é igual a 
25 MPa.
Solução pela calculadora: As operações entre parênteses têm a prioridade na solução. 
Para obter o resultado correto, você deve digitar os números da seguinte maneira:
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Exemplo 4
Um combustível, de massa especí� ca 800 kg/m3, preenche completamente um tanque 
de 0,5 m3. Considerando a aceleração gravitacional igual a 9,8 m/s2, determine o peso desse 
combustível, em N.
Solução: Das aulas de química do Ensino Médio, você deve se recordar de que a massa 
especí� ca é calculada pela razão entre a massa e o volume ocupado por uma 
substância e, das aulas de física, deve se recordar de que o peso é o produto da massa com a 
aceleração gravitacional . Assim, a massa do combustível é calculada como segue
Assim, o peso do combustível é
Portanto, o peso desse combustível é igual a 3.920 N.
Exemplo 5
(ENADE - adaptado) O consumo de água de um município varia signi� cativamente ao 
longo das horas do dia. Com o avanço tecnológico e o surgimento de modernos medidores de 
consumo, inclusive os digitais com transmissão de dados online para as centrais de saneamento, 
tem sido possível estabelecer parâmetros mais precisos sobre a variação do consumo de água ao 
longo do dia. Essa variação precisa ser corrigida no dimensionamento da rede de distribuição 
de água. Para tanto, é comum fazer uso do coe� ciente da hora de maior consumo (k2), de� nido 
como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia. O grá� co da Figura 
2 exibe o consumo de água ao longo do dia em um município.
Figura 2 – Consumo de água. Fonte: ENADE (2019).
A massa específi ca de uma substância é defi nida como a razão entre a massa de 
uma porção compacta e homogênea dessa substância e o volume ocupado por 
ela.
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A partir da análise do grá� co, qual o coe� ciente da hora de maior consumo (k2)?
Solução: Note que, segundo o enunciado, o coe� ciente da hora de maior consumo (k2) é 
de� nido como a razão entre o consumo máximo e o consumo médio ao longo do dia. Assim, por 
inspeção, segue que
Portanto, é igual a 1,5.
 
A seguir, elencamos as principais propriedades numéricas envolvendo frações. Para tal, 
considere que x, y, z e w sejam números reais quaisquer com e . Assim,
• Propriedade 1: 
• Propriedade 2: 
• Propriedade 3: 
• Propriedade 4: 
• Propriedade 5: 
• Propriedade 6: 
• Propriedade 7: com 
Exemplo 6
Um engenheiro recebeu uma tarefa para cumprir. Pela manhã, ele fez da tarefa e à tarde 
 do total. Determine a fração da tarefa que esse engenheiro precisa realizar.
Solução: Primeiramente, vamos determinar a fração da tarefa realizada pelo engenheiro, 
ou seja,
Agora, vamos determinar a fração que falta, isto é,
Solução pela calculadora: A fração da tarefa realizada pelo engenheiro pode ser calculada 
pela função ( ) da calculadora. Para tanto, deve ser digitado:
O mesmo é realizado na fração que falta:
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Exemplo 7
(CESGRANRIO) “Existem no País 292 áreas concedidas para minério de ferro. Cerca de 
2/3 destas áreas encontram-se paralisadas por motivos diversos, como di� culdade de escoamento, 
falta de mercado localizado, áreas com pesquisa insu� ciente, minério de baixa qualidade, 
pendências judiciais, restrições ambientais, etc. [...] Mas a evolução da produção comercial, no 
período de 1988 a 2000, mostra um crescimento a uma taxa anual de 3%.”
Balanço mineral brasileiro – 2001, disponível em http://www.dnpm.gov.br
O número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontra em 
atividade é:
(A) 97 (B) 123 (C) 154 (D) 178 (E) 194
Solução: Segue do enunciado que 2 das 292 áreas concedidas para minério de ferro, 2/3 
delas encontram-se paralisadas, ou seja,
Assim, o número aproximado de áreas concedidas para minério de ferro que se encontram 
em atividade é .
Símbolos da vírgula decimal e separador
Por padrão de fábrica, a calculadora utiliza o ponto (.) como separador decimal 
e a vírgula (,) como separador de milhares. Se um número grande for digitado 
na calculadora, como 178549875 e, então, o botão de igual (=) for pressionado, 
aparecerá no visor:
178,549,875.
Verifi que que a vírgula separa os milhares. Esse número se lê como: cento e 
setenta e oito milhões, quinhentos e quarenta e nove mil e oitocentos e setenta e 
cinco. Se esse número for dividido por 2, o resultado será:
89,274,937.5
O ponto separa a parte inteira da decimal. O número se lê como: oitenta e nove 
milhões, duzentos e setenta e quatro mil, novecentos e trinta e sete e cinco 
décimos.
Essa representação não é convencional na Língua Portuguesa e pode ser confusa 
ao usuário. Para alterar o padrão, é necessário clicar em (MODE) quatro vezes, 
quando aparecer Disp. na tela, clicar em (1) e, então, no botão replay, apertar a seta 
para a direita. As opções Dot (ponto) e Comma (vírgula) vão aparecer. A opção (1) 
mantém o padrão de fábrica da calculadora, e a opção (2) alterará para vírgula, 
que é o comum na Língua Portuguesa. A ordem é apresentada na Figura 3.
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Exemplo 8
(CESGRANRIO) Uma central de tratamento de resíduos transforma resíduos da 
construção civil (entulho de obras) em areia e pedra prontos para serem reaproveitados, 
reciclando, ao todo, 18 mil toneladas de entulho por mês. Se, desse total, 2/3 correspondem à 
areia, e o restante, a pedras, quantos milhares de toneladas de areia reciclada são produzidos, em 
três meses, por essa central?
Solução: Note que, em um mês, são recicladas 18 mil toneladas de entulho pela central 
de tratamento de resíduos. Assim, em três meses, são tratadas 54 mil toneladas. Desse total, 2/3 
correspondem à areia, ou seja, 
Logo, correspondem à areia 36 mil toneladas.
Exemplo 9
(CESPE – adaptado) O valor numérico da expressão é igual a...
Solução: Quando resolvemos expressões numéricas, devemos lembrar que, primeiramente, 
resolvemos as operações dentro dos parênteses, seguidas das que estão dentro dos colchetes e, 
por � m, das chaves. Assim,
Figura 3 – Mudando de separador decimal. Fonte: O autor.
Alterando para vírgula, se o número 178549875 for digitado na calculadora, ele 
aparecerá da seguinte forma:
178.549.875,
E, dividindo esse valor por dois, o resultado será:
89.274.937,5
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Solução pela Calculadora: A calculadora não apresenta colchetes e chaves, somente 
os parênteses. Portanto, ela sempre resolverá os parênteses mais internos da expressão. Para 
solucionar o problema, deve-se digitar a expressão da seguinte forma:
Exemplo 10
(CESGRANRIO) Quandoum estudo de sustentabilidade de usinas hidrelétricas é 
realizado, diversos fatores são levados em consideração. Um desses fatores é o “indicador de área 
alagada”, i, que corresponde à razão entre a área (em km2) alagada na formação do reservatório 
de água da usina e a potência instalada da mesma (em MW). O valor encontrado deve ser situado 
nas classes estabelecidas para esse indicador. Essas classes são apresentadas na tabela seguinte.
Classes do indicador de área alagada
Classes Intervalo das classes (km2/MW)
Muito alta i≤0,25
Alta 0,25≤i≤0,50
Média 0,50≤i≤0,75
Baixa 0,75≤i≤1,0
Muito baixa i>1,0
Disponível em: http://www.epe.gov.br (adaptado)
Uma usina hidrelétrica, cuja área alagada é de 2.600 km2 e a potência instalada é de 8.400 
MW, apresenta indicador de área alagada i na classe
(A) Muito Alta (B) Alta (C) Média (D) Baixa (E) Muito Baixa
Solução: Segue do enunciado que o indicador de área alagada é calculado como
Assim, com o valor de indicador de área alagada calculado, na tabela, veri� camos que a 
classe desse indicador é “Alta”.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 11
(FGV - adaptado) Para realizar um reboco de 5 cm de espessura em um metro quadrado 
de parede, temos as seguintes necessidades:
• 0,50 hora de pedreiro (R$ 15,00/h);
• 0,40 hora de ajudante de pedreiro (R$ 12,00/h);
• 0,006 m3 de areia � na (R$ 50,00/ m3);
• 1,4 kg de cal hidratada (R$ 0,5/kg).
Determine o valor do custo unitário (por m2) deste serviço.
Solução: O custo do serviço, por m2, é a soma dos custos individuais (insumos e mão-de-
obra) apresentados anteriormente. Assim,
i) 0,50 hora de pedreiro (R$ 15,00/h) 
ii) 0,40 hora de ajudante de pedreiro (R$ 12,00/h)
iii) 0,006 m3 de areia � na (R$ 50,00/ m3)
iv) 1,4 kg de cal hidratada (R$ 0,5/kg)
Daí, o custo unitário, por m2, desse serviço é 
.
Exemplo 12
Um projeto de engenharia possui três fases consecutivas X, Y e Z. Inicialmente, as fases X 
e Y têm custos estimados correspondentes a 40% e 30% do custo total da obra, respectivamente. 
Durante a execução do projeto, os custos das fases X, Y e Z sofreram acréscimos de 10%, 15% 
e 10%, respectivamente. Nessas condições, determine o acréscimo percentual do custo total do 
projeto.
Solução: De acordo com o enunciado, as três fases do projeto têm custo previsto de X = 
40%, Y = 30% e Z = 30% (o que faltou para completar o total). No entanto, as fases de execução 
sofreram acréscimos de 10%, 15% e 10%, respectivamente. Assim, os novos valores são X = 44% 
 Y = 34,5% e Z = 33%, ou seja, o projeto custa, agora, 44%+34,5%+33% = 
111,5%, ou seja, 11,5% a mais que o valor original.
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
Exemplo 13
Duas membranas permeáveis, que distam d = 0,04 m, separam as regiões 1, 2 e 3 de 
um líquido, como mostra a Figura 4. As concentrações de certo corante nas regiões 1 e 3 são, 
respectivamente, 2,0 kg/m3 e 4,0 kg/m3. Dado que o coe� ciente de difusão do corante no � uido é 
 = 5,0 10-11 m2/s, qual é, em kg/(m2.s), o � uxo estacionário de massa por unidade de área das 
membranas? 
Figura 4 – Transferência de massa. Fonte: O autor.
Solução: Segue do enunciado que m2/s; kg/m3; 
kg/m3 e l = 0,04 m. Assim, pela lei de Fick
A lei da difusão de Fick é uma lei quantitativa que descreve diversos casos de 
difusão de massa em um meio no qual, inicialmente, não existe equilíbrio químico. 
A difusão está associada ao transporte de massa que ocorre em um sistema em 
que haja gradiente de concentração química. Essa lei é escrita como
 , em que mX é a taxa (kg/s) de transferência de massa da 
substância X, A é área (m2) da seção transversal em que ocorre a transferência de 
massa, é o coefi ciente de difusividade (m2/s) de X em Y, l é a espessura da 
região onde ocorre a difusão, C2 e C1 são as concentrações das regiões menos e 
mais concentradas, respectivamente. O sinal negativo na lei de Fick indica que o 
fl uxo ocorre de uma região de alta concentração para uma de baixa concentração.
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A ideia de porcentagem foi empregada em épocas distantes, como a do antigo Império 
Romano. O imperador Augusto cobrava um imposto de sobre o preço da venda de todos os 
bens. No século XV, manuscritos italianos utilizavam expressões como “20 p100” e “XX p cento” 
para indicar vinte por cento. Em 1650, o sinal “per ” era utilizado para indicar porcentagem. 
Posteriormente, esse sinal se perdeu no tempo e � cou o sinal que se utiliza atualmente (%). 
Diversos assuntos ligados à Engenharia requerem o uso de porcentagem.
Exemplo 14
(ENADE - adaptado) Entendendo a importância do planejamento para o melhor 
desempenho empresarial, uma empresa realizou uma reunião para revisar o planejamento do 
terceiro trimestre. Na reunião, o diretor de Marketing informou que a projeção de vendas para o 
mês de julho, agosto e setembro era R$100.000,00, R$120.000,00 e R$200.000,00. Esclareceu que 
50% das vendas são realizadas à vista e as demais a prazo, sendo metade para 30 dias, e a outra 
parte para 60 dias. O diretor � nanceiro informou que, nos meses de maio e junho, a empresa 
realizou vendas de R$ 160.000,00 e R$ 140.000,00 e que há recebimentos acerca de outros 
rendimentos no valor de R$ 2.000 por mês. Para dar continuidade ao planejamento � nanceiro, 
é necessário conhecer o total de recebimentos do período. Com base nas informações dadas na 
reunião, determine os recebimentos totais projetados para os meses de julho, agosto e setembro.
Solução: Segue do enunciado que as vendas e projeções de vendas são as seguintes:
Mês Valor (R$)
Maio 160.000
Junho 140.000
Julho 100.000
Agosto 120.000
Setembro 200.00
Mas, os recebimentos são 50% à vista, 25% para 30 dias e 25% para 60 dias. Além de 
existirem recebimentos de R$ 2.000,00 ao longo dos meses. Daí, 
Maio Junho Julho Agosto Setembro Out. Nov.
160.000 80.000 40.000 40.000
140.000 70.000 35.000 35.000
100.000 50.000 25.000 25.000
120.000 60.000 30.000 30.000
200.000 100.000 50.000 50.000
2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000 2.000
Total 127.000 122.000 157.000
 
Portanto, os recebimentos em julho, agosto e setembro são, respectivamente, iguais a R$ 
127.000,00; R$ 122.000,00 e R$ 157.000,00.
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Exemplo 15
O número de Reynolds, Re, é uma quantidade adimensional para um � uido em movimento 
e amplamente empregado em Mecânica dos Fluidos. Ele é obtido pela combinação da viscosidade 
, da massa especí� ca do � uido ρ, de uma velocidade típica V e um comprimento típico, em 
geral, o diâmetro D de uma tubulação. Assim, o número de Reynolds é escrito como . 
Considere que a viscosidade do � uido aumente em 10%, enquanto que a massa especí� ca diminui 
em 10%, sendo mantidas as demais grandezas. Nessas condições, qual a variação percentual 
sofrida pelo número de Reynolds?
Solução: Para um � uido em escoamento que apresenta viscosidade , massa especí� ca 
ρ, velocidade V e tubulação com diâmetro D, o número de Reynolds é . Para a nova 
condição, a viscosidade aumentou em 10%, ou seja, seu valor passou a ser igual a , ao passo 
que a massa especí� ca diminuiu em 10%, isto é, seu valor é igual a . Nessas condições, o 
novo número de Reynolds ( ) é
Assim, concluímos que o novo número de Reynolds é, aproximadamente, igual a 82% do 
valor original.
Sejam x e y números reais não nulos, e m e n números racionais, temos as seguintes 
propriedades:
• Propriedade 8: 
• Propriedade 9: 
• Propriedade 10: 
• Propriedade 11: 
• Propriedade 12: 
Exemplo 16
Determine a terça parte do número real .
Solução: Note que , e . Daí, 
 Logo, a terça parte do número é
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Exemplo 17
Dado que e Determine a diferença entre x 
e y, nessa ordem.
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações 
matemáticas. Assim,
Temos, ainda, que
Logo, .
Considerando que tal que e . Considerando, ainda, que 
com e e que n e o produto nm seja par, são válidas as seguintes propriedades:
• Propriedade 13: 
• Propriedade 14: 
• Propriedade 15: com 
• Propriedade 16: 
• Propriedade 17: 
• Propriedade 18: 
As propriedades de 13 a 18 também são válidas quando n e o produto nm são ímpares e, 
nessa condição, podemos ter .
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Exemplo 18
Determine o valor de 
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar das prioridades de resolução de operações 
matemáticas. Assim,
Solução na calculadora: A raiz pode ser resolvida diretamente, basta separar as operações 
de forma adequada: 
Exemplo 19
Determine o valor de .
Solução: Do ensino básico, você deve se lembrar de que Assim,
Assim, é igual a 0,5 ou 50%.
Solução na calculadora: Utilizando a ideia de porcentagem: 
Exemplo 20
Determine a soma de todos os dígitos do número real .
Solução: Segue que
Daí, a soma dos dígitos do número é 4+0+9+6=19.
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2. FATORAÇÃO, FATOR COMUM E AGRUPAMENTOS
Neste tópico, relembraremos tópicos de fatoração e produtos notáveis. Quando 
dominamos esses assuntos, diversos cálculos matemáticos em Engenharia � cam mais simples. 
Acompanhe a situação matemática descrita a seguir:
Nessa identidade, o membro foi escrito na forma da multiplicação 
 de dois fatores, e . Nessas condições, efetuamos a fatoração 
de e que é o fator comum. Observe que aparece como fator que é 
comum a cada parte do membro . De fato,
Existem situações em que a fatoração pode ser feita empregando agrupamento dos termos 
de uma expressão, como foi feito na expressão a seguir. Acompanhe o exemplo:
As identidades expostas apresentam produtos de expressões algébricas que são conhecidos 
como produtos notáveis. A Tabela 1 apresenta os principais e que merecem sua atenção, pois 
você fará uso deles em muitas situações em Engenharia. Aconselhamos que você os memorize!!
Diferença de quadrados
Quadrado da soma
Quadrado da diferença
Cubo da soma
Cubo da diferença
Soma de cubos
Diferença de cubos
Tabela 1 – Os principais produtos notáveis. Fonte: O autor.
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Exemplo 21
Simpli� que as expressões que seguem
A) 
B) 
 com 
C) 
 com 
D)
 com 
Nesse exemplo, observe que � zemos uso de um artifício matemático para tornar a 
fatoração possível.
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Exemplo 22
Sem usar calculadora, determine .
Solução: Aplicando a fatoração da diferença de quadrados, temos que 
3. NOTAÇÃO CIENTÍFICA 
Considere os textos a seguir:
Difícil imaginar o quão complicado é desenvolver algo nesse ambiente? Então 
apanhe uma régua e, em um papel, trace uma linha de dez centímetros. Agora 
pegue essa reta e a divida em nada menos que 10.000.000 de partes. Pronto, agora 
você já sabe o que é 1 nanômetro, ou seja, 1 nm = 0,000000001 m. Observáveis 
em vários aspectos da natureza, como em alguns animais que têm a habilidade de 
andar na parede devido a forças adesivas ou nas superfícies hidrofóbicas (capazes 
de repelir água), como as folhas da � or de lótus, as nanoestruturas passaram a ser 
sintetizadas pelo homem e aplicadas nos mais diversos segmentos. Seu potencial 
é tão amplo e promissor que muitos especialistas consideram a nanotecnologia 
uma nova revolução industrial (PINELLI, 2016).
E, ainda:
Astrônomos anunciaram em março de 2.016, que o Telescópio Espacial Hubble, 
operado pela Nasa, identi� cou a galáxia mais distante já vista, posicionada a 
13.400.000.000 de anos-luz de distância da Terra. A chamada GN-z11 se formou 
apenas 400.000.000 de anos depois do Big Bang e do nascimento do Universo. 
A descoberta, feita por especialistas americanos, será publicada na semana que 
vem na revista cientí� ca � e Astrophysical Journal. A galáxia, que foi avistada 
na direção da Ursa Maior, tem cerca de 1.000.000.000 de vezes a massa do Sol. 
A análise foi feita com uma das câmeras do Hubble (Adaptado de VEJA, 2016).
Ao efetuar a leituras desses dois textos, deparamo-nos com números cuja leitura 
é complicada, pois alguns deles são ou muito grandes ou muito próximos de zero. Isso é um 
tormento para quem trabalha com a notação decimal. Para contornar essas situações, fazemos 
uso da notação cientí� ca. Dizemos que um número está em notação cientí� ca quando ele é 
escrito como
em que x é o coe� ciente com tal que e n é o expoente tal que 
Para trabalhar em notação cientí� ca, o futuro engenheiro precisa saber lidar com potências 
de 10. Na Tabela 2, estão sumarizadas algumas dessas potências de base 10.
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Forma decimal Forma de produto Forma de potência
0,0001
0,001
0,01
0,1
1
10
100
1.000
10.000
Tabela 2 – Algumas representações em potências de base 10. Fonte: O autor.
A maioria das calculadoras admite a representação de números na notação 
científi ca. Entretanto, em muitas delas, o expoente aparece depois da letra E, que 
também pode aparecer na forma minúscula: e. Assim, 3,14153×10-4, por exemplo, 
pode aparecer no visor da calculadora na forma 3,14153×E-4 ou 3,14153×e-4.
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Exemplo 23
Escreva, em notação cientí� ca, os números seguintes:
A) 
Solução na calculadora: No modo normal da calculadora, qualquer número decimal 
abaixo de 0,01, será automaticamente apresentado em notação cienti� ca. 
B) 
Solução pela calculadora: Para apresentar esse valor em notação cientí� ca, será utilizada 
a tecla (ENG). Essa tecla transforma o valor utilizando notação de Engenharia, que são as 
potências múltiplas de 3. Se o valor for digitado e a tecla (ENG) for pressionada, o 
resultado será .
Exemplo 24
Escreva, em notação decimal, os números seguintes:
A) 
Solução na calculadora: Para apresentar esse valor em decimal, será utilizada primeiro 
a tecla (EXP), que é a representação da notação cientí� ca. Deve-se digitar o número da seguinte 
forma:
E o número é apresentado em notação cientí� ca:
Para transformá-lo em decimal, é necessário pressionar (SHIFT) e então (ENG). Cada 
vez que for realizado esse processo, o valor será representado em uma base maior; na primeira 
vez, o resultado será:
Se o procedimento for realizado mais duas vezes, o resultado será:
Há uma perda de dados, pois a calculadora só tem resolução de 9 dígitos.
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B)
Solução na calculadora: Para números entre 0,01 e 9999999999, se forem digitados na 
calculadora, não serão apresentados na forma de notação cientí� ca, digitando:
No visor, aparecerá o número:
Exemplo 25
Efetue os cálculos a seguir.
A) 
Solução: Note que as potências de base 10 possuem expoentes distintos. Assim, devemos 
converter o número com menor potência de 10, deixando-o com o mesmo expoente do outro.
Solução na calculadora: basta digitar o valor de forma direta e organizada, da seguinte 
maneira:
O resultado será:
B) 
Solução: Reagrupando os termos do produto, segue que
Solução pela calculadora: Novamente, o cálculo é realizado de forma direta. Basta digitar:
O resultado seria exatamente o mesmo sem os parênteses, porém, para uma melhor 
organização dos dados,é recomendado utilizá-los. O resultado é:
C) 
Solução: Para dividir números na notação cientí� ca, seguimos as regras usuais das 
frações. Daí,
Solução na calculadora: O calculo é análogo à multiplicação. Sendo assim:
Isso será igual a:
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Exemplo 26
Energia elétrica é gerada pela instalação de um conjunto gerador-turbina hidráulica em 
um local 90 m abaixo de um grande reservatório de superfície livre, que pode fornecer água 
à vazão de 2.000 kg/s, como ilustrado pela Figura 5. Com base nessas informações, estime a 
potência elétrica produzida pela usina, em W.
Figura 5 – Instalação de uma hidroelétrica. Fonte: O autor.
Solução: Das aulas de física do Ensino Médio, você deve se recordar de que a energia 
mecânica é a soma da energia potencial gravitacional com a energia cinética 
, isto é, . Note, na Figura 5, que no ponto (1) a energia 
potencial é máxima, e a energia cinética é nula, pois, nessa região, a água está parada. Daí, no 
ponto (1), temos que
O quociente entre a quantidade de energia e o tempo de� ne a potência. Assim, na região 
1, temos que
ou ainda,
Mas a razão entre a massa que atravessa uma seção reta de tubo pelo tempo é, em 
Engenharia, conhecida como vazão mássica, que aqui denotaremos por . Assim, a potência a 
ser desenvolvida pela hidroelétrica é
Logo, a potência elétrica dessa usina é de .
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Solução na calculadora: Para solucinar essa multiplicação, primeiramente, deverá ser 
realizada a seguinte multiplicação:
Após o resultado 1765800 aparecer, basta pressionar a tecla (ENG) e, então, o resultado é 
dado por:
Ao realizar as operações em matemática, temos que nos 
recordar da prioridade de resolução. 
O vídeo (disponível em: <https://www.youtube.com/
watch?v=EliV-1RvhrY>), produzido pela Khan Academy, 
ilustra essas situações.
A calculadora tem um modo próprio para trabalhar com notação científi ca. Para 
isso, você deve pressionar a tecla (MODE) três vezes e, então, deve ser escolhida 
a opção SCI (2). Após isso, devem ser informados os números dígitos que serão 
apresentados, as opções são de 0 a 9, indo de 1 dígito para o número 1, e 10 
dígitos para o número 0.
Nanopartículas são partículas cujo tamanho está na faixa 
de medida entre 1 e 100 nanômetros. Um nanômetro é igual 
a 1,0×10-9m. O artigo que segue é uma revisão acerca da 
aplicação de nanotecnologia em alimentos. O artigo, intitulado 
Características de nanopartículas e potenciais aplicações em 
alimentos é de autoria Letícia Marques de Assis, Elessandra 
da Rosa Zavareze, Carlos Prentice Hernández e Leonor 
Almeida de Souza Soares e está disponível em: 
<http://www.scielo.br/pdf/bjft/v15n2/aop_0711.pdf>
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4. REGRA DE TRÊS SIMPLES E COMPOSTA 
A regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
quatro valores, dos quais três são conhecidos. Portanto, determina-se um valor com base nos 
outros três já conhecidos. Para resolver uma regra de três, usa-se o seguinte roteiro:
1. Construir uma tabela, agrupando-se as grandezas da mesma espécie em colunas e 
mantendo, em linha, as grandezas de espécies diferentes em correspondência.
2. Veri� car se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais.
3. Montar a proporção e resolver a equação.
Exemplo 27
(ENADE – adaptado) Um produtor rural de soja aplicará um inseticida para controle de 
pragas cuja bula recomenda a dosagem de 2 l⋅ha-1 (litro por hectare) do produto comercial. Ele 
possui um pulverizador com capacidade de 400 litros, devidamente regulado para distribuir esse 
volume em 4 ha. Considerando-se essas informações, qual quantidade do produto comercial 
deve ser adicionada ao tanque de pulverização utilizando o seu volume total?
Solução: Segue do enunciado que a bula recomenda a dosagem de 2 l⋅ha-1 (litro por 
hectare) do produto comercial. Daí,
x = 8 litros
Portanto, serão necessários 8 litros do inseticida.
Duas grandezas são ditas diretamente proporcionais quando a razão entre os 
valores da primeira é igual à razão entre os valores correspondentes da segunda. 
Ou seja, são grandezas que crescem juntas e diminuem juntas. Dessa forma, 
dobrando-se uma delas, a outra também dobra; triplicando-se uma delas, a outra 
também triplica; e assim por diante. Por outro lado, duas grandezas são ditas 
inversamente proporcionais quando a razão entre os valores da primeira é igual 
ao inverso da razão entre os valores correspondentes da segunda. Ou seja, são 
grandezas em que, variando-se uma delas, a outra varia na razão inversa da outra. 
Dessa forma, dobrando-se uma delas, a outra se reduz pela metade; triplicando-se 
uma delas, a outra se reduz para a terça parte; e assim por diante.
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Exemplo 28
O grá� co da Figura 6 aponta a produção de um insumo produzido por uma empresa nas 
diversas regiões do País. Em valores absolutos, essas estimativas indicam que as duas maiores 
regiões produtoras produziram juntas um total de 120 mil de toneladas em 2.019.
Figura 6 – Produção de insumo. Fonte: O autor.
Nessas condições, determine a produção estimada desse insumo, em mil de tonelada, na 
Região Nordeste do País.
Solução: As duas maiores regiões produtoras do insumo são Sul e Centro-Oeste, as 
quais produziram juntas 32,2% + 38,2% = 70,5%, o que corresponde a uma produção de 120 mil 
toneladas. Assim, a região Nordeste produziu 
x = 17.702,13 toneladas
Portanto, a região Nordeste produziu, aproximadamente, 17.702 toneladas do insumo.
Exemplo 29
(ENEM – adaptado) A energia solar vai abastecer parte da demanda de energia do campus 
de uma universidade painéis solares na área dos estacionamentos e na cobertura do hospital 
pediátrico será aproveitada nas instalações universitárias e também ligada na rede da companhia 
elétrica distribuidora de energia. O projeto possui 100 m2 de painéis solares que � carão instalados 
nos estacionamentos, produzindo energia elétrica e proporcionando sombra para os carros. Sobre 
o hospital pediátrico serão colocados aproximadamente 300 m2 de painéis, sendo 100 m² para 
gerar energia elétrica utilizada no campus, e 200 m2 para geração de energia térmica, produzindo 
aquecimento de água utilizada nas caldeiras do hospital. Suponha que cada metro quadrado 
de painel solar para obter energia elétrica gere uma economia de 1 kWh por dia e cada metro 
quadrado produzindo energia térmica permita economizar 0,7 kWh por dia para a universidade. 
Em uma segunda fase do projeto, será aumentada em 75% a área coberta pelos painéis solares que 
geram energia elétrica. Nessa fase também deverá ser ampliada a área de cobertura com painéis 
para a geração de energia térmica. 
Disponível em: http://agenciabrasil.ebc.com.br. Acesso em: 30 out. 2013 (adaptado).
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Determine a área total dos painéis que geram energia térmica, em metro quadrado, para 
obter o dobro da quantidade de energia economizada diariamente, em relação à primeira fase.
Solução: Depreende-se do enunciado que há 200 m2 de painéis solares para produção de 
energia elétrica, e outros 200 m2 para produção de energia térmica. Assim, a economia de energia 
para:
i) produção de energia elétrica será 
ii) produção de energia térmica será 
No � nal da primeira fase do projeto, temos uma economia de energia igual a . 
Na segunda fase, de acordo com o enunciado, haverá aumento de 75% na área coberta pelos painéis 
no que diz respeito à produção de energia elétrica. Assim, a área passa a ser igual a 200 1,75 
= 350 m2 e a economia de energia elétrica,nessas condições, é de . O dobro da 
quantidade de energia economizada na primeira fase é igual a . Como já temos a 
economia na produção de energia elétrica de referente à ampliação da segunda fase, 
resta-nos de economia, para ser realizada com a produção de energia 
térmica. Assim, a área de painel necessária é
A regra de três composta é um processo prático para resolver problemas que envolvem 
N valores, dos quais são conhecidos N -1 desses valores. Portanto, determina-se um valor com 
base nos outros N-1 já conhecidos.
Exemplo 30
(FCC - adaptado) Suponha que 8 máquinas de terraplanagem, todas com a mesma 
capacidade operacional, sejam capazes de nivelar uma superfície de 8.000 metros quadrados em 8 
dias, se funcionarem ininterruptamente 8 horas por dia. Nas mesmas condições, quantos metros 
quadrados poderiam ser nivelados por 16 daquelas máquinas, em 16 dias de trabalho e 16 horas 
por dia de funcionamento ininterrupto?
Solução: Montemos uma tabela, colocando, em cada coluna, as grandezas de mesma 
espécie.
8 máquinas 8 horas/dia 8 dias 8.000 m2
16 máquinas 16 horas/dia 16 dias X
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O aumento no número de máquinas aumenta a área de terraplanagem; logo, as grandezas 
são diretamente proporcionais. O aumento no número de horas diárias trabalhadas aumenta 
a área de terraplanagem; logo, as grandezas são diretamente proporcionais. O aumento no 
número de dias trabalhados aumenta a área de terraplanagem; logo, as grandezas são diretamente 
proporcionais. Assim, a tabela é a mesma. 
Daí,
512 8.000 m2
4.096 x
Logo, serão nivelados 64.000 m2.
Exemplo 31
Três máquinas produzem 180 peças em três horas. Admitindo-se que todas as máquinas 
sejam igualmente e� cientes e que todas as peças demandam o mesmo tempo de fabricação, 
determine o tempo necessário para que cinco máquinas produzam 300 peças.
Solução: Montemos uma tabela colocando, em cada coluna, as grandezas de mesma 
espécie. Na tabela a seguir, Y é o tempo necessário para que cinco máquinas produzam as 300 
vacinas. Assim,
Número de peças Número de máquinas Tempo (h)
180 3 3
300 5 Y
Observe que, com o aumento do número de peças a serem produzidas, o tempo gasto será 
maior; logo, temos grandezas diretamente proporcionais. Por outro lado, o aumento no número 
de máquinas reduz o tempo de produção das peças, ou seja, temos grandezas inversamente 
proporcionais e, daí, invertemos essa coluna na tabela. Logo,
Número de peças Número de máquinas Tempo (h)
180 5 3
300 3 Y
Agora, montamos a proporção e resolvemos a equação:
Logo, o tempo gasto será de 3 horas.
8 máquinas 8 horas/dia 8 dias 8.000 m2
16 máquinas 16 horas/dia 16 dias X
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5. GRÁFICOS E TABELAS 
Atualmente, estar informado tem grande relevância. As informações, que podem ser lidas 
todos os dias nos mais diferentes meios de comunicação, vêm acompanhadas, muitas vezes, de 
tabelas e grá� cos de vários tipos. Em Engenharia não é diferente. 
Ao longo do curso e na vida pro� ssional, você, futuro(a) engenheiro(a), será exposto(a) 
a diversos grá� cos e tabelas. Efetuar a correta leitura e interpretação deles será uma de suas 
responsabilidades. Citemos como exemplo a leitura de propriedades termodinâmicas, como 
entalpia, entropia, energia livre de Gibbs, fator de atrito para escoamento etc.
O objetivo deste tópico é que você, futuro(a) engenheiro(a), resolva alguns exercícios de 
diversas áreas, interpretando e fazendo uso de grá� cos e tabelas. Destacamos as seguintes dicas 
para leitura de grá� cos.
No momento em que resolver um exercício: 
1. Con� ra se as informações do grá� co ou tabela batem com as do enunciado do exercício.
2. Entenda qual tipo de informação está destacada no eixo vertical e qual está no eixo 
horizontal (no caso de grá� cos) e no corpo (no caso de tabelas).
3. Interprete com calma, pois, geralmente, as questões são contextualizadas.
Exemplo 32
(ENEM – adaptado) Dispositivos eletrônicos que utilizam materiais de baixo custo, como 
polímeros semicondutores têm sido desenvolvidos para monitorar a concentração de amônia em 
granjas avícolas. A polianilina é um polímero semicondutor que tem o valor de sua resistência 
elétrica nominal quadriplicado quando exposta em altas concentrações de amônia. Na ausência 
de amônia, a polianilina se comporta como um resistor ôhmico e sua resposta elétrica é apresenta 
na Figura 7. 
Figura 7 – Resposta da poliamida à exposição de amônia. Fonte: ENEM (2017).
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Nessas condições, determine o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de 
altas concentrações de amônia, em ohm.
Solução: Você deve se recordar, das aulas de Ensino Médio, de que, para um resistor 
ôhmico, é válida a seguinte equação: , em que R é a resistência, U a diferença de potencial 
e i a corrente elétrica. A análise grá� ca nos permite a� rmar que temos um resistor ôhmico (pois 
o grá� co é uma reta). Observe, ainda, que, para quaisquer valores de diferença de potencial e 
corrente elétrica, temos o mesmo valor de resistência. De fato,
No entanto, no enunciado, é dito que o valor da resistência quadriplica sob altas 
concentrações de amônia. Assim, o valor da resistência elétrica da polianilina na presença de 
altas concentrações de amônia é 
Exemplo 33
A profundidade do nível em um tanque de combustível foi registrada num período de 
4 horas, como ilustrado na Figura 8. Nela, a profundidade de nível h, registrada às 13 h, não foi 
anotada pelo engenheiro e, a partir de h, cada unidade sobre o eixo vertical corresponde a 0,5 m. 
Figura 8 – Registro de nível do tanque. Fonte: O autor.
O engenheiro observou que, entre as 15 e 16 horas, a altura h do nível de combustível foi 
reduzida em 25%. Nessas condições, determine a altura h, do nível de combustível, em metro, às 
16h.
Solução: Seja h o valor, em metros, do nível de combustível no interior do tanque às 13 h. 
Assim, por inspeção, concluímos que o nível de combustível no tanque às 15 h é igual a 
e às 16 h é igual a . Do enunciado, depreende-se que o nível de combustível diminuiu 
em 25% entre as 15 e 16 h, o que implica que o nível de combustível às 16 h corresponde a 75% do 
valor às 15 h, que, aqui denominaremos de 100%. Daí, usando regra de três, segue que
Ou seja, às 13 h, o nível de combustível no tanque era de 1,0 m e, às 16 h, era de 3,0 metros.
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Exemplo 34
(CESGRANRIO – adaptado) A Figura 9 apresenta o relatório sintetizado, com a 
discriminação das despesas de uma empresa nos anos de 2012 e 2013. Considere que a última 
linha nessa � gura expressa o total das despesas, em cada ano. Determine o valor do aumento 
percentual das despesas totais em 2013, na comparação com 2012.
Figura 9 – Relatório sintetizado. Fonte: CESGRANRIO (2018).
Solução: Observe no grá� co que o aumento das despesas foi de 
 e esse total representa um 
aumento de, aproximadamente, 8,92%, em relação ao ano de 2012. De fato,
Exemplo 35
(ENADE – adaptado) A relação intrínseca entre o aumento do consumo de energia e o 
desenvolvimento social de uma região é consequência do aprimoramento da infraestrutura para 
oferta de serviços essenciais como educação, saúde, atividades culturais e entretenimento, podendo 
in� uenciar na elevação do padrão de vida da população. Nesse contexto, o aproveitamento da 
energia eólica para geração de eletricidade é um importante vetor de desenvolvimento social, 
principalmente se utilizado para o atendimento de comunidades isoladas, de modo a favorecer a 
universalização do uso da energia a custos menores, a geração de empregos e, consequentemente, 
a redução do êxodo rural. A energia eólicano Brasil passou de uma participação inexpressiva 
para uma posição de destaque na matriz elétrica nacional ao longo da última década. No que diz 
respeito à de� nição da localização de parques eólicos, além dos aspectos � nanceiros e técnicos, 
é necessário que sejam avaliados os aspectos socioambientais que possam restringir a área 
disponível e gerar con� itos associados ao processo de implantação desses parques. 
AZEVEDO, J. P. M.; NASCIMENTO, R. S.; SCHRAM, I. B. Energia eólica e os impactos ambientais: um estudo de 
revisão. Revista Uningá, v. 51, n. 1, 2018 (adaptado).
A Figura 10 mostra a evolução e previsão da geração de energia elétrica em usinas eólicas 
no Brasil, de 2005 a 2024.
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Figura 10 – Previsão e geração de energia. Fonte: ENADE (2019).
A partir das informações apresentadas, avalie as a� rmações a seguir.
(I)O maior incremento de energia eólica nova ocorrerá em 2022, para o período analisado.
(II)O incremento da capacidade instalada entre 2014 e 2018 ocorreu de forma mais 
acelerada, com previsão de redução desse crescimento para o período entre 2019 e 2021.
(III)O número de parques eólicos instalados no estado do Rio Grande do Sul supera em 
53 unidades o número do estado da Bahia.
(IV)A capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do 
Ceará em mais de 1.899 MW.
É correto apenas o que se a� rma em 
(A) I e II. (B) I e III. (C) II e IV. (D) I, III e IV. (E) II, III e IV. 
Solução: Analisemos, em separado, cada a� rmação como segue.
i) Por inspeção no grá� co, contata-se que o maior incremento de energia eólica nova 
ocorreu em 2014. De fato, o incremento de 2.013 para 2.014 foi de 5.972,3 - 3.476,8 = 
2.495,5 MW, ao passo que a previsão de 2.021 para 2.022 é de 1.399,6. Logo, a a� rmação 
é FALSA.
ii) Observe, no grá� co, que, de 2.014 até 2.019, houve um aumento nos incrementos em 
cada ano. Por outro lado, a previsão é que, entre 2.019 e 2.021, haja diminuição nesses 
incrementos. Fica a cargo do(a) futuro(a) engenheiro(a) efetuar essas operações de 
diferença ano a ano. Logo, a a� rmação é VERDADEIRA.
iii) O número de parques eólicos instalados no estado da Bahia supera em 53 unidades o 
número do estado do Rio Grande do Sul. Logo, a a� rmação é FALSA.
iv) A capacidade instalada no estado do Rio Grande do Norte supera o do estado do 
Ceará em mais de 1.899 MW. A a� rmação é VERDADEIRA. De fato, 3.949,3 – 2.049, = 
1.899,4 MW.
Portanto, são verdadeiras as a� rmações (II) e (IV).
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Exemplo 36
(ENADE) O grá� co da Figura 11 apresenta o número de acidentes de trabalho ocorridos 
entre os anos de 2001 e 2014, visando ao entendimento da gestão de riscos dentro das indústrias.
Figura 11 – Acidentes de Trabalho. Fonte: ENADE (2019).
Com base nas informações apresentadas no grá� co, assinale a opção correta. 
(A) Entre dois anos consecutivos, a maior taxa de variação ocorreu entre 2002 e 2003. 
(B) Entre dois anos consecutivos, a maior variação absoluta foi de 587 acidentes de 
trabalho. 
(C) Entre 2010 e 2013, percebe-se um crescimento contínuo do número de acidentes de 
trabalho. 
(D) Entre 2007 e 2012, houve redução de aproximadamente 10% no número de acidentes 
de trabalho. 
(E) Entre dois anos quaisquer, no período apresentado, a maior amplitude encontrada foi 
de 2 004 acidentes de trabalho.
Solução: A inspeção do grá� co nos permite concluir que, entre os anos de 2001 e 2003, 
ocorreram 700 (1458 - 758) acidentes de trabalho, o que faz desse período aquele com o maior 
incremento no número de acidentes de trabalho. Observamos, ainda, que, entre 2007 e 2012, 
houve redução de aproximadamente 5% no número de acidentes de trabalho. Já entre 2010 e 
2013, não é observado um crescimento contínuo do número de acidentes de trabalho, pois houve 
redução entre 2011 e 2012. Logo, responde à questão a alternativa (A).
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Exemplo 37
(ENADE)
Figura 12 – Infográ� co. Fonte: ENADE (2018).
Considerando o infográ� co apresentado, avalie as a� rmações a seguir. 
I. A distribuição da área plantada com transgênicos no mundo re� ete o nível de 
desenvolvimento econômico dos países. 
II. Os Estados Unidos da América possuem a maior área plantada de algodão transgênico 
no mundo. 
III. O hemisfério norte concentra a maior área de produção transgênica. 
IV. A área de produção de soja transgênica é maior no Brasil que na Argentina.
É correto apenas o que se a� rma em 
(A) I e II. (B) I e IV. (C) III e IV. (D) I, II e III. (E) II, III e IV.
Solução: Analisemos as a� rmações de forma independente. 
I) FALSA, pois países como o Brasil, Argentina e Índia, que ocupam, respectivamente, 
o 2º, 3º e 5º lugares em área de transgênicos plantados, não são países desenvolvidos 
economicamente.
II) FALSA, pois os EUA possuem 6% de 75 mil hectares = 4,5 mil hectares de área plantada 
de algodão. Note que a Índia tem 11,4 mil hectares.
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III) VERDADEIRA. Observe que EUA, Canadá e Índia estão localizados no Hemisfério 
Norte e, juntos, possuem uma área plantada de transgênicos igual a 99,5 mil hectares, 
restando 189,8 – 99,5 = 90,3 hectares para os demais países.
IV) VERDADEIRA, pois a área de soja transgênica no Brasil é igual a 33,634 mil hectares 
(67% de 50,2 mil hectares), ao passo que a Argentina, 18,054 mil hectares.
Portanto, responde à questão a alternativa (C).
6. ALGARISMOS SIGNIFICATIVOS 
O número de algarismos signi� cativos é o número mínimo de dígitos necessários para 
escrever um número em notação cientí� ca sem a perda da exatidão (HARRIS, 2001). 
O número 271,8 tem quatro algarismos signi� cativos, uma vez que pode ser escrito, em 
notação cientí� ca, como . Se você o escrever como , ele passa a ter 
cinco dígitos signi� cativos e subentende-se que você conhece o valor após o dígito 8, o que não 
procede para o número 271,8.
O número 0,000000314 possui três algarismos signi� cativos, pois, em notação cientí� ca, 
pode ser escrito como . 
De acordo com Harris (2001), o zero é signi� cativo quando se encontra: (i) no meio de 
um número, como em , que apresenta três algarismos signi� cativos; (ii) no � nal de 
um número, do lado direito da vírgula decimal, como em , que apresenta quatro 
algarismos signi� cativos.
O último algarismo signi� cativo (o mais afastado à direita) é aquele que apresenta a 
incerteza associada a si. Essa incerteza deverá ser de, no mínimo, nesse dígito. 
Agora, tratemos do número de algarismos signi� cativos em operações aritméticas. 
Lembrando-se de que o arredondamento deve ser feito somente na resposta � nal a � m de evitar 
os erros de arredondamentos.
Nas operações de adição e de subtração, se os números a serem somados ou subtraídos 
apresentarem igual número de dígitos signi� cativos, a resposta � cará com o mesmo número 
de casas decimais do número individual. Por outro lado, se os números a serem somados ou 
subtraídos não apresentarem igual número de dígitos signi� cativos, a resposta � cará limitada 
pelo de menor número. 
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Exemplo 38
A) 
 
B)
Nas operações acima, ns subscrito denota não signi� cativo. Note que o número 54,3139 
deverá ser reescrito como 54,31, assim como o número será reescrito como 
. Por outro lado, número 71,596 deverá ser arredondado para 71,6 como resposta 
� nal. Para o arredondamento que realizamos no número 71,596, usou-se a regra segundo a qual 
quando o primeiro dígito não signi� cativo for maior ou igual a 5, acrescentamos uma unidadeno 
último dígito signi� cativo. Por outro lado, se o primeiro dígito não signi� cativo fosse um número 
inferior a 5, manteríamos o último dígito signi� cativo. Observe que, no caso de operações com 
número em notação cientí� ca, todos os números foram convertidos primeiramente ao mesmo 
expoente.
Solução na calculadora: É possível realizar as operações de números com algarismos 
signi� cativos � xos. Para isso, é necessário mudar a função da calculadora. Essa mudança é realizada 
pressionando-se a tecla (MODE) três vezes e, então, escolhe-se a opção FIX (1). Selecionando-se 
essa opção, é informado o número de algarismos signi� cativos de 0 a 9. Veri� que que a própria 
calculadora realizará o arredondamento do número.
Em problemas de notação cientí� ca, a função SCI (2) pode ser utilizada. Apenas preste 
atenção à seleção de 0 a 9, pois representa o número de dígitos presentes na tela; no caso, 0 
representa 10 dígitos.
Nas operações de multiplicação e de divisão, estamos limitados ao número de dígitos 
contidos no número com menos algarismos signi� cativos. 
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Exemplo 39
Observe e calcule as operações a seguir.
 
Note que o resultado de é escrito como e o resultado 
de é escrito como 14,05. O subscrito nas operações anteriores indica que os 
dígitos são não signi� cativos.
Sejam , com e . O logaritmo do número a em uma base b 
é um número real n tal que
em que a é denominado de logaritmando, e b é base
Assim, o logaritmo de 8 na base 2 é igual a 3. De fato,
O logaritmo é composto de uma característica e uma mantissa. Por exemplo, sabemos 
que . Aqui, “2” é a característica, e “0,64738287” é a mantissa; isto é, a 
característica é a parte inteira, e a mantissa é a parte decimal. 
Nas operações de logaritmo, estamos limitados ao número de dígitos contidos no 
logaritmando; isto é, a mantissa do logaritmo terá o mesmo número de algarismos signi� cativos 
que o logaritmando.
Assim, em , temos que o logaritmando tem três dígitos signi� cativos e é 
escrito como
7. EQUAÇÕES POLINOMIAIS DE 1O E 2O GRAUS
De acordo com Bonetto e Murolo (2016), uma equação com uma incógnita x é denominada 
equação do primeiro grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma
em que e . No nosso estudo, o conjunto universo para a solução dessas 
equações é o conjunto dos números reais ( ). 
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Exemplo 40
(CESGRANRIO – adaptado) No modelo da Figura 13, os pontos A, B, C e D pertencem 
à mesma reta. O ponto A dista 65,8 mm do ponto D; o ponto B dista 41,9 mm do ponto D, e o 
ponto C está a 48,7 mm do ponto A.
Figura 13 – Representação do exercício. Fonte: CESGRANRIO (2012).
Qual é, em milímetros, a distância entre os pontos B e C?
Solução: Observe, na � gura, que a soma das distâncias
Assim,
 
Exemplo 41
(CESGRANRIO – adaptado) Ação global contra petróleo caro A Agência Internacional 
de Energia (AIE), formada por 28 países, anunciou ontem a liberação de 60 milhões de barris de 
petróleo de reservas estratégicas [...]. Os EUA vão entrar com metade do volume, [...] a Europa irá 
colaborar com 30%, e o restante virá de Austrália, Japão, Coreia e Nova Zelândia.
O Globo, Rio de Janeiro, p. 17. 24 jun. 2011. Adaptado.
Suponha que os países asiáticos (Japão e Coreia) contribuam juntos com 1,8 milhão de 
barris a mais do que a contribuição total dos países da Oceania (Austrália e Nova Zelândia). 
Desse modo, quantos milhões de barris serão disponibilizados pelos países asiáticos?
Solução: Seja x a quantidade de petróleo, em milhões de barris que serão disponibilizados 
pelos países da Oceania. Assim, segue do enunciado que 
Assim,
Segundo Bonetto e Murolo (2016), uma equação com uma incógnita x é denominada 
equação do segundo grau se puder ser reduzida por meio de operações elementares à forma
em que e . 
Para a determinação da solução dessa equação, primeiramente, devemos calcular o 
discriminante da equação
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Nessas condições, se , o conjunto universo para a solução dessas equações é o 
conjunto dos números reais ( ), e essas soluções são determinadas usando-se
Caso , o conjunto solução é o conjunto dos números complexos, e o procedimento 
é o mesmo que usamos quando o discriminante é positivo.
Exemplo 42
O produto das raízes da equação é um número
(A) primo e par. 
(B) primo e ímpar. 
(C) natural. 
(D) irracional. 
(E) racional.
Solução: Fazendo , segue que a equação pode ser reescrita como 
, cujas raízes são t = - 0,5 e t = - 0,5. Note que é raiz dupla. Assim, 
 que é um número irracional. Logo, o produto das raízes é 
 é um número racional. Portanto, alternativa (E).
Exemplo 43
Determine a soma das raízes da equação .
Solução: Da relação básica em trigonometria, segue que . Assim, 
a equação pode ser reescrita como que é uma equação quadrática. 
Fazendo , temos, agora, a equação , cujas raízes são e . 
Daí, temos que
 
•
 
 que não convém.
 
•
 
 que ocorre quando rad e rad.
Portanto, a soma das raízes é 
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Exemplo 44
A bomba centrífuga empregada numa estação de tratamento de água tem curva 
característica descrita pela equação enquanto que a curva de carga do 
sistema hidráulico é descrita como . Nas equações, Hs é a carga que deve ser 
desenvolvida pela bomba para que escoe uma vazão volumétrica Q através da tubulação; Hb é a 
carga desenvolvida pela bomba quando ela bombeia uma vazão volumétrica Q; nas duas equações, 
[H] é expresso em coluna de metro de água, e [Q] é expresso em m³/s. O ponto operacional desse 
sistema é determinado igualando-se a curva característica da bomba com a curva de carga do 
sistema hidráulico, ou seja, fazendo . Nessas condições, determine a vazão operacional 
do sistema.
Solução: Segue, do enunciado, que o ponto operacional é determinado fazendo 
Assim,
Isto é,
 Resolvendo a equação quadrática, temos que Q = 0,2 m³/s.
8. INTERPOLAÇÃO
A interpolação linear é um método de aproximação usado em diversas situações em 
Engenharia, no qual um novo valor é determinado a partir de outros já conhecidos.
Para isso, considere dois pontos distintos, digamos, e , e, por eles, para um 
valor x, com , determinemos um valor y, com , como ilustra a Figura 14.
O vídeo (disponível em <https://m3.ime.unicamp.br/
recursos/1097> ) proporciona um passeio histórico em 
torno de equações quadráticas, passando pelos hindus, 
mesopotâmios, gregos, árabes e europeus e mostrando 
diferentes métodos de resolução até à famosa fórmula de 
Bhaskara.
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Figura 14 – Interpolação linear. Fonte: O autor.
Temos, devido à semelhança de triângulos, que
 
Essa relação nos permite concluir que, dados os pontos distintos e e um 
valor qualquer, digamos x, podemos determinar y por meio da equação
A interpolação linear pode ser realizada selecionando-se o modo de regressão 
linear da calculadora. Para isso, as seguintes teclas devem ser pressionadas: 
primeiro (MODE) e, então, o número (3). Por fi m, o número (1) (Figura 15). 
Figura 15 – Modo de regressão linear. Fonte: O autor.
Para uma maior organização, os dados serão apresentados na tabela que segue. 
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Variável de Referência Variável a ser encontrada
Valor Conhecido (x0) Valor Conhecido (y0)
Valor de Referência (x) Valor a ser encontrado (y)
Valor Conhecido (x1) Valor Conhecido (y1)
Tabela 3 – Tabela para interpolação. Fonte: O autor.
Agora, os dados sãoinseridos. Primeiro, digita-se o valor de x0 e pressiona-se a 
tecla (,). Então, digita-se o valor y0, a tecla (M+) e, fi nalmente, (AC) (Figura 16). 
Figura 16 - Inserir valores para interpolação. Fonte: O autor.
O mesmo procedimento é realizado para as variáveis x1 e y1. Após esse 
procedimento, é realizada a interpolação. Para tanto, digita-se o valor de x e realiza-
se o procedimento indicado na Figura 17.
Figura 17 - Procedimento de interpolação. Fonte: O autor.
Esses valores podem ser visualizados e alterados pressionando-se Replay (^). 
Se você não alterar o modo da calculadora, essa mesma confi guração pode ser 
utilizada para outra interpolação; basta alterarem-se os valores de x0, x1, y0 e y1.
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Exemplo 45
Em problemas de Engenharia Econômica que envolvem o cálculo de juros compostos, é 
comum determinar o valor de , sendo conhecidos a taxa de juro i e o prazo da aplicação 
t. Observe a representação grá� ca, na Figura 18, da função , no intervalo [0,02; 
0,03], para um certo valor � xado de t.
Figura 18 – Grá� co de f(i) em função da taxa de juros. Fonte: O autor.
Sem o uso de calculadora, é possível aproximar f(i) para valores de i entre 0,02 (2%) e 
0,03 (3%) pelo método chamado de interpolação linear, o qual consiste em calcular f(i) usando 
a função cujo grá� co é a reta que passa por (0,02; f(0,02)) e (0,03; f(0,03)). Calculando uma 
aproximação de f(i) por interpolação linear, sobre a função descrita no grá� co, para a taxa de juro 
de 2,50%.
Solução: Empregando interpolação polinomial sobre dois pontos, temos que
Solução na calculadora: Primeiro, é montada a tabela para realizar a interpolação:
Taxa de Juros (i) Taxa de Juros (i)
2 1,08
2,5 Função de Juros f(2,5)
3 1,12
Realizando-se o procedimento adequadamente, chega-se ao resultado de 1,1.
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Exemplo 46
Considere as informações a seguir acerca dos valores do calor especí� co de uma substância 
em diferentes temperaturas.
Temperatura (ºC) 20 30 40 50
Calor especí� co 0,99907 0,99826 0,99728 0,99678
Determine a temperatura, em ºC, na qual o calor especí� co seja igual a 0,99837 
usando interpolação linear.
Solução: Por inspeção, notamos que a temperatura na qual o valor do calor especí� co 
igual a 0,99837 está entre 20 e 30ºC. Assim,
Solução na calculadora: Realizando a interpolação, o resultado obtido é apresentado:
Calor Especí� co (cal/g. ºC) Temperatura (ºC)
0,99907 20
0,99837 28,64
0,99826 30
Para restaurar a calculadora para seu modo de fábrica, basta realizar o procedimento 
indicado na Figura 19.
 
Figura 19 – Como restaurar a calculadora. Fonte: O autor.
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02
SUMÁRIO DA UNIDADE
INTRODUÇÃO ............................................................................................................................................................47
1. O CÁLCULO DO PERÍMETRO .............................................................................................................................. 48
2. O CÁLCULO DA ÁREA ...........................................................................................................................................52
3. O CÁLCULO DO VOLUME .....................................................................................................................................61
4. TRIGONOMETRIA NO TRIÂNGULO RETÂNGULO ..............................................................................................70
4. LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS ....................................................................................................................78
GEOMETRIA E A ENGENHARIA
ENSINO A DISTÂNCIA
DISCIPLINA:
FUNDAMENTOS BÁSICOS DA ENGENHARIA
PROF. DR. RICARDO CARDOSO DE OLIVEIRA 
PROF. DR. RODRIGO DE SOUZA RUZZI
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INTRODUÇÃO
Caro(a) aluno(a), seja bem-vindo(a) à segunda unidade do curso de Fundamentos Básicos 
da Engenharia. Esta unidade tem por objetivo revisar a geometria plana, geometria espacial, 
trigonometria no triângulo retângulo e alguns conceitos que usaremos ao longo do curso de 
Engenharia. O objetivo também é apresentar a você algumas aplicações simples de geometria no 
curso de Engenharia.
Nesta unidade, você será encorajado(a) a pesquisar a solução de algumas situações-
problema envolvendo Engenharia. Esperamos que você, por meio da leitura e das vídeo-aulas, 
desenvolva raciocínio lógico para a resolução de problemas envolvendo geometria. Focar-nos-
emos no cálculo de perímetros, superfícies planas e capacidade no dia a dia da Engenharia.
Lembre-se de que a geometria plana e a espacial são fundamentais à formação dos 
engenheiros, seja qual for o seu ramo. Assim, desejamos a você bons estudos. 
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1. O cálculo do perímetro
O perímetro é a medida do comprimento de um contorno. A unidade de medida 
empregada no cálculo do perímetro é a mesma unidade de medida de comprimento, isto é, 
metro, centímetro, quilômetro, pé, polegada etc.
Exemplo 1
(ENEM – adaptado) Para o re� orestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com 
tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a Figura 1. Cada rolo de 
tela que será comprado para a confecção da cerca contém 48 metros de comprimento. Determine 
a quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno.
Figura 1 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2013).
Solução: O perímetro da área cercada é Assim, o número 
de rolos de tela a ser comprado pode ser calculado usando-se regra de três, como segue
Portanto, a quantidade mínima de rolos a ser comprada para cercar esse terreno é igual 
a 8.
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Exemplo 2
Analise o telhado em meia água, da Figura 2.
Figura 2 – Telhado em meia água. Fonte: O autor.
Determine o perímetro desse telhado, em metros.
Solução: Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo 
do perímetro. Para determinar esse valor, usaremos o teorema de Pitágoras. Seja x o valor da 
medida, em metros, desse lado. Assim,
Daí, o perímetro do telhado é
Logo, o telhado apresenta a medida do perímetro igual a 90,3 m.
Exemplo 3
Em escoamento em canais, o perímetro molhado é de� nido como o  comprimento 
relativo ao contato do líquido com o conduto. Determine o perímetro molhado para a situação 
de escoamento em canal aberto ilustrado pela Figura 3.
Figura 3 – Escoamento em canal. Fonte: O autor.
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Solução: Segue, do enunciado, que o perímetro molhado é a medida do comprimento 
relativa ao contato do líquido com o conduto. Assim, segue que 
Logo, o perímetro molhado no canal ilustrado é igual a 7,0 m.
Exemplo 4
Considere o croqui da Figura 4 e as informações a seguir referentes ao perímetro externo 
de um terreno destinado à construção.
Figura 4 – Croqui. Fonte: O autor.
A empresa deseja cercar todo o terreno com tapume, que custa R$ 27,50 o metro. Nessas 
condições, determine o custo para se cercar o terreno.
Solução: Inicialmente, precisamos determinar o perímetro do terreno. Assim,
Daí, para determinar o custo com tapume, fazemos uso da regra de três, como segue
Portanto, o valor gasto para cercar o terreno com tapume é de R$ 1.595,00.
O diâmetro hidráulico é um parâmetro importante, amplamente utilizado no 
dimensionamento de canais, dutos, tubos e outros componentes das obras 
hidráulicas. Ele é utilizado para se estimar o diâmetro de tubos e canaiscuja 
transversal não é circular. Ele é defi nido como a razão da área da seção transversal 
molhada e P o perímetro molhado.
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Exemplo 5
A Figura 5 a seguir é composta por três quadrados idênticos, com um deles apoiado em 
outros dois que possuem um lado comum. Com base nessas informações, determine o perímetro 
da � gura.
Figura 5 – Três quadrados idênticos. Fonte: O autor.
Solução: Seja x o valor da medida, em cm, do lado de cada quadrado. Por inspeção, 
segue que
Daí, x = 11 cm, isto é, cada lado do quadrado mede 11 cm. Logo, o perímetro da � gura é
Exemplo 6
Na Figura 6, a medida do segmento é de 20 m, e M é o ponto médio de . Determine 
o comprimento do contorno dessa � gura.
Figura 6 – Representação do exercício. Fonte: Silveira e Marques (2008).
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Solução: Como M é o ponto médio do segmento , temos que as medidas 
. Dos seus estudos do Ensino Fundamental, você deve se lembrar de que o 
comprimento ou perímetro de uma circunferência é dado pela equação , em que 
R é o valor da medida do raio. Assim, a medida do contorno da circunferência da parte inferior, 
que tem centro em A, é
Note que foi dividido por 2, pois temos meia circunferência. A medida do contorno da 
circunferência da parte superior da � gura, com centro em B, é
Por outro lado, a medida do contorno da circunferência da parte superior da � gura, com 
centro em M, é
Portanto, a media do contorno da � gura é
2. O CÁLCULO DA ÁREA
A área de � guras planas mede o tamanho dessa superfície. Nesse sentido, quanto maior 
a área de uma � gura, maior será seu tamanho. Para o cálculo de área de � guras planas, podemos 
fazer uso das equações listadas na Figura 7.
Figura 7 – Equações para o cálculo de área de algumas � guras planas. Fonte: O autor.
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Exemplo 7
Analise o telhado em meia água, da Figura 8. Determine a área desse telhado, em m2.
Figura 8 – Telhado em meia água. Fonte: O autor.
Solução: Observe que necessitamos do valor da medida de um dos lados para o cálculo 
da área. Para determinar esse valor, usaremos o teorema de Pitágoras. Seja x o valor da medida, 
em metros, desse lado. Assim,
Note que o telhado tem o formato de um retângulo. Assim, a área desse telhado é
Portanto, o telhado tem área igual a .
Exemplo 8
Considere o croqui da Figura 9.
Figura 9 – Croqui para o exercício. Fonte: O autor.
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Dados: J1 = 2,00 m x 1,50 m; B1 = 1,00 m x 0,60 m; P1 = 0,80 m x 2,10 m; P2 = 0,60 m x 2,10 
m; piso da sala = tacos; piso do WC = cerâmica; altura das janelas = 1,50 m. Considerando que 
um pedreiro produz 6 m2 de piso em tacos e 4 m2 de cerâmica em um dia de trabalho, determine o 
prazo estimado para a realização desses dois serviços, com apenas um pedreiro, sem interrupção, 
em dias.
Solução: A área da sala é , e a área do banheiro é 
 . Assim, o tempo gasto para o pedreiro assentar os tacos na sala é 
calculado, usando-se regra de três, como segue
O tempo gasto para assentar a cerâmica também é calculado usando-se regra de três, 
como segue:
Assim, para realizar todo o trabalho, esse pedreiro necessitará de 7 dias de trabalho. 
Exemplo 9
(ENEM – adaptado) Uma empresa de telefonia celular possui duas antenas que serão 
substituídas por uma nova, mais potente. As áreas de cobertura das antenas que serão substituídas 
são círculos de raio 2 km, cujas circunferências se tangenciam no ponto O, como ilustrado na 
Figura 10.
Figura 10 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2015).
O ponto O indica a posição da nova antena, e sua região de cobertura será um círculo 
cuja circunferência tangenciará externamente as circunferências das áreas de cobertura menores. 
Com a instalação da nova antena, determine a medida da ampliação da área de cobertura, em 
quilômetros quadrados.
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Solução: A área de cobertura total das antenas 1 e 2 é calculada como segue
Ao efetuar a substituição das antenas, o raio da área de cobertura passa a ser igual a R = 4 
km, e a área de cobertura passa a ser
ou seja, temos um aumento de área de cobertura igual a 
.
Exemplo 10
(ENEM – adaptado) O Esquema da Figura 11 mostra a con� guração de uma quadra de 
basquete. Os trapézios em cinza, chamados de garrafões, correspondem a áreas restritivas.
Figura 11 - Área restritiva antes de 2010. Fonte: ENEM (2015).
Visando a atender as orientações do Comitê Central da Federação Internacional de 
Basquete (FIBA) em 2010, que uni� cou as marcações das diversas ligas, foi prevista uma 
modi� cação nos garrafões das quadras, os quais passariam a ser retângulos, como mostra a 
Figura 12.
Figura 12 - Área restritiva a partir de 2010. Fonte: ENEM (2015).
Após executadas as modi� cações previstas, determine a variação percentual sofrida na 
área ocupada por cada garrafão.
Solução: Inicialmente, o garrafão era um trapézio, e sua área é calculada como segue
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Com a alteração proposta pela FIBA, o garrafão passa ter a forma de um retângulo, e sua 
área é
Isso acarreta um incremento de área de 
, que, por sua vez, corresponde a um aumento percentual em 
relação à área original de
Solução na calculadora: Neste tipo de problema, é necessário tomar cuidado, 
principalmente, com a ordem das operações. Primeiro, deve-se realizar a soma dentro dos 
parênteses e, então, a divisão e a multiplicação. Portanto, a equação deve ser escrita da seguinte 
forma:
Dessa forma é que se obtém o valor correto da área.
Exemplo 11
(ENEM – adaptado) Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a 
colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a Figura 13.
Figura 13 – Representação do vitral. Fonte: ENEM (2012).
Nessa � gura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os 
segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, 
são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da � gura, que custa R$ 30,00 o m2, 
e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB), que custa R$ 50,00 o m2. De acordo 
com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral?
Solução: Note que ABB, ABD, BCQ e QCD são triângulos cuja base mede 0,25 m, e a 
altura, 0,5 m. Assim, a área desses quatro triângulos é
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EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA
O custo do material para essa região é calculado usando-se regra de três, como segue:
A área da região restante é (lembre-se: é a diferença entre a área do quadrado e 
a área dos triângulos), e o custo é
Portanto, o custo total para a produção do mosaico é igual a R$ 35,00.
Exemplo 12
(ENEM – adaptado) A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante 
nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o � uxo de 
água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem 
as medidas especi� cadas na Figura 14 (a). Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo 
da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), 
em m2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na 
canaleta, com as dimensões especi� cadas na Figura 14 (b), para evitar a ocorrência de enchentes.
Figura 14 – Representação para o exercício. Fonte: ENEM (2009).
Na suposição de