Revisão de Conceitos Clássicos

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FÍSICA
MODERNA
Paul A. Tipler
ex-Professor da Oakland University
Ralph A. Llewellyn
University of Central Florida
Tradução e Revisão Técnica
Ronaldo Sérgio de Biasi, Ph.D.
Professor Emérito do Instituto Militar de Engenharia – IME
SEXTA EDIÇÃO
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MODERN PHYSICS, SIXTH EDITION
First published in the United States by
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York 
Copyright © 2012, 2008, 2003, 2000 by W. H. Freeman and Company
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Publicado originalmente nos Estados Unidos por
W. H. FREEMAN AND COMPANY, New York 
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ISBN: 978-1-4292-5078-8
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Obra publicada pela LTC:
FÍSICA MODERNA, Sexta Edição
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Uma editora integrante do GEN | Grupo Editorial Nacional
Imagem de capa: Steven R. White, University of California, Irvine
Editoração Eletrônica do material suplementar: | 
 
iv
SUMÁRIO
REVISÃO DE CONCEITOS CLÁSSICOS
 1. Relatividade Clássica 1
 2. A Velocidade da Luz 3
 3. Condução de Calor – O Modelo Clássico 5
 4. O Experimento de Millikan 7
 5. O Experimento de Thomson 10
 6. O Espectrômetro de Massa 12
 7. Demonstração da Distribuição de 
Boltzmann 14
 8. A Teoria Cinética dos Gases 18
 9. Funções de Distribuição 22
10. Livre Caminho Médio 24
11. Teoria Clássica da Condução 
de Eletricidade 26
12. Medição de e/m Usando o 
Efeito Zeeman 28
13. Energia de uma Partícula em 
uma Órbita Elíptica 30
14. A Força de Lorentz 32
15. Franjas de Interferência 34
16. Modos de Oscilação 37
17. Regra de Seleção do 
Oscilador Harmônico 39
18. Cálculo de vrms Usando o 
Teorema da Equipartição 41
19. Notação Espectroscópica 42
20. Energia Potencial Eletrostática de 
uma Esfera Carregada 44
21. Pontos de Lagrange 45
22. Espalhamento da Luz das Estrelas 48
23. A Teoria de Einstein do 
Calor Específico 50
24. Radiação Multipolar 52
25. A Integral de Fourier 54
26. Pressão da Radiação 55
27. Momento Magnético 58
28. Defeitos da Teoria Clássica da 
Condução de Eletricidade 60
29. Massa Reduzida 61
30. Oscilador Harmônico 62
1
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 1
Relatividade Clássica
Relatividade Clássica
Galileu foi o primeiro a definir o conceito de aceleração quando, 
em seus estudos de corpos em queda, mostrou que a taxa da 
variação da velocidade era constante, o que sugeria que o movi-
mento dos corpos em queda estava intimamente relacionado à 
variação da velocidade. Foi essa observação, entre outras, que 
Newton generalizou na segunda lei:
 RC-1
para a qual dv/dt = a é a aceleração de um corpo de massa m e F 
é a força a que o corpo está submetido. (Lembre-se de que as 
letras e símbolos impressos em negrito são vetores.) A primeira 
lei de Newton, a lei da inércia, também está implícita na Equação 
RC-1: a velocidade de um corpo que não está sujeito a nenhuma 
força não varia, ou seja, a aceleração do corpo é zero.
Referenciais
Uma questão importante no estudo das leis do movimento, que 
foi discutida por Newton e que o leitor talvez tenha estudado 
em um curso introdutório de física, é a dos referenciais em que 
essas leis são válidas. As leis de Newton são válidas apenas nos 
chamados referenciais inerciais, referenciais nos quais a lei da 
inércia pode ser aplicada. As leis de Newton não são válidas em 
referenciais acelerados, ou seja, os referenciais acelerados não 
são referenciais inerciais. As Figuras RC-1 e RC-2 ilustram a 
diferença entre referenciais inerciais e não inerciais.
A Transformação de Galileu
As leis de Newton representaram um grande avanço para a física, 
já que são as mesmas em todos os referenciais inerciais. Isso 
significa não só que não existe uma posição especial ou privi-
legiada para medir o espaço e o tempo, mas também que não 
existe uma velocidade especial ou privilegiada para executar 
essas medidas. Se um observador em um referencial inercial S 
mede a velocidade de um corpo como u e um observador em 
um referencial S que se move com velocidade constante v no 
sentido positivo do eixo x em relação a S mede a velocidade do 
corpo como u, u = u  v ou, em termos do sistema de coor-
denadas da Figura RC-3,
 RC-2
x´
y´
z´
x´
x
y´
y
z´
z
S
S´ O´ O´
O
a = 0
→
v = 0
→
v > 0
→
v
→
S´
→
a > 0
ϑ a
→
(c)
x
y
z
S O
x´
x
y´
y
z´
z
O´
O
S´
a = 0
→
v > 0
→
v
→
S
(b)(a)
FIGURA RC-1 Um corpo de massa m suspenso por uma corda presa ao teto de um vagão de trem ilustra a relatividade da segunda lei de Newton, F = 
ma. As únicas forças que agem sobre o corpo são o peso mg e a tensão T da corda. (a) O vagão está parado no referencial S. Como a velocidade v 
e a aceleração a do vagão (ou seja, do sistema S) são nulas, os dois observadores veem o corpo pender verticalmente, com F = F = 0. (b) Se S 
está se movendo no sentido positivo do eixo x com v constante, os dois observadores veem o corpo pender verticalmente, mas se movendo com 
velocidade v no referencial S e em repouso no referencial S. Nos dois casos, F = F = 0. (c) Se S está se movendo no sentido positivo do eixo x 
com uma aceleração a  0, a corda faz um ângulo   0 com a vertical. Entretanto, ainda está em repouso (ou seja, em equilíbrio), do ponto de 
vista do observador em S, que “explica” o ângulo  postulando a existência de uma pseudoforça Fp no sentido negativo do eixo x.
2 Revisão de Conceitos Clásssicos 1
Como ux = dx/dt, uy = dy/dt e uz = dz/dt, integrando as Equa-
ções RC-2, as equações da transformação de velocidades de S 
para S, obtemos as Equações RC-3, as equações da transfor-
mação de Galileu:
 RC-3
supondo que as origens de S e S coincidem no instante t = 0. 
Derivando as Equações RC-2, obtemos:
 RC-4
o que nos leva à conclusão de que a = a. Isso demonstra que 
F = ma = ma = F na Figura RC-1b, na Figura RC-3 e em todas 
as outras situações nas quais a velocidade relativa entre dois 
referenciais é constante. Se a velocidade relativa v entre dois 
referenciais é constante, dv/dt = 0 e, portanto, os observadores 
nos dois referenciais medem a mesma aceleração e concordam 
quanto aos resultados da aplicação da equação F = ma. Este 
resultado pode ser generalizado da seguinte forma:
Todo referencial que se move com velocidade constante 
em relação a um referencial inercial também é um refe-
rencial inercial. As leis de Newton são invariantes em 
todos os referenciais ligados por uma transformação de 
Galileu.
A segunda das afirmações acima é o Princípio da Relativi-
dade Newtoniana. Note que na formulação deste princípio está 
implícito que os relógios dos dois observadores marcam o 
mesmo tempo, ou seja, t = t.
x´
y
S
Satélite
Terra Órbita 
geoestacionária
ω
ω
x
z
S´
y´
z´
FIGURA RC-2 Um satélite geoestacionário gira no plano do equador 
com uma velocidade angular orbital igual à velocidade angular derota-
ção da Terra e, por esse motivo, se mantém indefinidamente sobre o 
mesmo ponto da superfície da Terra, ou seja, está em repouso em rela-
ção à superfície da Terra. Um observador a bordo do satélite (no refe-
rencial S) atribui a aceleração radial (centrípeta) do satélite à força de 
atração gravitacional da Terra, FG. Para um observador na superfície 
da Terra (no referencial S), porém, a = 0 e FG  ma. Para explicar a 
inexistência de uma aceleração, o observador postula a existência de 
uma pseudoforça Fp = FG.
x´
y´
v
z´
S´S
u´
u
x
y
z
O
O´
N
FIGURA RC-3 De acordo com o observador que está no cais (referen-
cial S), a velocidade do barco a vela é u. Segundo o observador que 
está na lancha a motor (referencial S), que se move com velocidade 
constante v em relação a S, a velocidade do barco a vela é u. A inva-
riância das equações de Newton exige que u = u  v.
EXEMPLO RC-1 Velocidade de um Barco em Relação a 
Outro Qual é a velocidade do barco a vela da Figura RC-3 
do ponto de vista de um observador a bordo da lancha a motor? 
A lancha a motor está rumando para leste a 3,0 m/s em rela-
ção ao cais. De acordo com o observador do cais, a veloci-
dade do barco a vela é 1,5 m/s na direção nordeste.
SOLUÇÃO
1. O módulo da velocidade u do barco a vela é dado por
 
2. As componentes de u são dadas pela Equação RC-2 com 
v = 3,0 m/s, ux = 1,5 cos 45o, uy = 0 e uz = 1,5 sen 45o.
 
3. Substituindo esses valores na equação de u, obtemos:
 
4. A direção de u em relação ao norte (eixo z) é dada 
por
 
5. Substituindo ux e uz por seus valores, obtemos
 
Comentário: Note que os observadores em S e S obtêm valo-
res diferentes para o módulo e a direção da velocidade do barco 
a vela. Quando passamos de um sistema inercial para outro, 
são as equações que se mantêm invariantes, não os valores das 
grandezas envolvidas. Como não existe um referencial inercial 
privilegiado, os dois resultados estão corretos!
3
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 2
A Velocidade da Luz
FIGURA VL-1 Os observadores em S e S medem forças elétricas 
iguais 2kq/y1 exercidas por um fio comprido com uma densi-
dade uniforme de carga  sobre uma carga pontual q situada a 
uma distância y1 = y1 do fio. Como, porém, o movimento do fio 
negativamente carregado equivale a uma corrente elétrica, o 
observador S mede uma força magnética adicional 0v2q/
2y1 exercida pelo fio sobre a carga. Isso significa que as equa-
ções de Maxwell não são invariantes em relação a uma trans-
formação de Galileu.
x´x
y´y
y1
q
S
v
z´z
S´
Por volta de 1860, James Clerk Maxwell descobriu que as leis 
experimentais da eletricidade e do magnetismo podiam ser con-
densadas em um sistema de quatro equações matemáticas, hoje 
conhecidas como equações de Maxwell. Uma das consequências 
dessas equações era a possibilidade da existência de ondas ele-
tromagnéticas. Foi reconhecido quase imediatamente, na verdade 
pelo próprio Maxwell, que as equações recém-descobertas não 
obedeciam ao Princípio da Relatividade Newtoniana, ou seja, que 
não eram invariantes em relação a uma transformação de Galileu. 
Este fato pode ser constatado observando a situação da Figura 
VL-1, que mostra um fio comprido com uma densidade uniforme 
de carga negativa  e uma carga pontual q situada a uma distân-
cia y1 do fio. O fio e a carga estão em repouso no referencial S. 
Um segundo referencial S se move em relação a S com veloci-
dade constante v no sentido positivo do eixo x. Um observador 
em repouso no referencial S vê o fio e a carga se moverem com 
velocidade v no sentido negativo do eixo x. Como o movimento 
do fio faz com que apareça uma força magnética adicional, as 
forças que agem sobre a carga q são diferentes para os observa-
dores S e S, o que significa que as equações de Maxwell não são 
invariantes em relação a uma transformação de Galileu.
Por que alguém se preocuparia com o fato de que as leis de 
Maxwell do eletromagnetismo não são as mesmas em todos os 
referenciais inerciais, como acontece com as leis de Newton? 
Os cientistas da época provavelmente não teriam dado grande 
importância a essa diferença se as equações de Maxwell não 
previssem a existência de ondas eletromagnéticas com uma velo-
cidade de propagação bem determinada, c = 1/(00)1/2  3,00  
108 m/s. A excelente concordância entre este número e o valor 
experimental da velocidade da luz e entre as propriedades de 
polarização previstas para as ondas eletromagnéticas e as pro-
priedades de polarização da luz foi considerada uma forte indi-
cação de que a luz era uma onda eletromagnética.
Sendo esse o caso, foi postulado no século XIX que a luz, 
como todas as outras ondas, se propagava em um meio material. 
Para explicar o modo como a luz se comportava, era preciso que 
esse meio, que recebeu o nome de éter, ocupasse todo o uni-
verso, incluindo o interior da matéria. (A ideia do éter já havia 
sido proposta 2000 anos antes pelo filósofo grego Aristóteles.) 
O éter devia possuir propriedades curiosas, como a de ser extre-
mamente rígido (para permitir a propagação de ondas transver-
sais com alta velocidade) e ao mesmo tempo não oferecer uma 
resistência perceptível ao movimento dos planetas, que podia 
ser descrito com extrema precisão pelas leis de Newton. Uma 
das consequências da existência do éter era que uma onda lumi-
nosa que se propagasse com velocidade c em relação ao éter 
deveria propagar-se, de acordo com a transformação de Galileu, 
com uma velocidade c = c + v em relação a um referencial que 
estivesse se movendo com uma velocidade v em relação ao éter. 
Isso, por sua vez, exigia que as equações de Maxwell tivessem 
uma forma diferente no referencial em movimento, para que a 
velocidade de propagação fosse c em vez de c. O referencial 
no qual o éter estava em repouso ocuparia assim uma posição 
privilegiada na teoria eletromagnética e seria possível observar 
experimentalmente a existência desse referencial.
O problema do postulado do éter não estava no fato de que 
constituía um referencial privilegiado para as equações de 
Maxwell (Newton também tinha postulado um referencial pri-
vilegiado para as leis da mecânica, o das “estrelas fixas”) e sim 
no fato de que, ao contrário do que acontecia com os meios de 
propagação dos outros tipos de onda (a água, o ar, os objetos 
sólidos), não havia nenhuma prova palpável da sua existência. 
Muitos experimentos foram propostos para demonstrar a pre-
sença do éter, mas todos fracassaram.
O experimento clássico de Fizeau para medir a velocidade 
da luz (Figura VL-2) é um bom exemplo dos problemas encon-
4 Revisão de Conceitos Clásssicos 2
 
 
Observador
Espelho 
semitransparente
Fonte 
luminosa 
Roda 
dentada
Espelho
L
ω
FIGURA VL-2 Fizeau mediu a velocidade da luz em 1849 
fazendo passar um raio luminoso pelo espaço entre os dentes 
de uma roda dentada antes de atingir um espelho. Propagando-
se com velocidade c, um raio luminoso levava 2L/c segundos 
para completar o percurso de ida e volta entre a roda dentada 
e o espelho. Se, durante esse tempo, a rotação da roda colo-
cava um dente no caminho da luz, o observador não via a luz. 
Aumentando a velocidade angular da roda, porém, era possí-
vel fazer com que um novo espaço entre os dentes da roda 
estivesse presente no momento do retorno do raio luminoso, 
fazendo com que o observador voltasse a ver a luz. 
experimentos para detectar o efeito do movimento da Terra sobre 
a velocidade de propagação da luz foram propostos, mas, em 
todos, com uma única exceção, o erro experimental, com os 
equipamentos disponíveis na época, seria muito maior que o 
efeito esperado. A exceção foi o experimento de Michelson e 
Morley.
EXEMPLO VL-1 Velocidade Orbital da Terra Determine a 
velocidade orbital da Terra em relação a um referencial iner-
cial em repouso em relação ao centro do Sol. O valor médio 
do raio da órbita da Terra é R = 1,496  108 km.
SOLUÇÃO
1. A velocidade orbital média v pode ser expressa em termosda circunferência C da órbita e do tempo necessário para 
completar uma órbita:
 
2. A circunferência da órbita pode ser calculada a partir do 
valor médio do raio da órbita:
 
3. A Terra percorre uma distância igual a C em t = 1 ano = 
3,16  107 s. A velocidade orbital média é, portanto,
 
trados pelos cientistas que tentavam investigar as propriedades 
do éter. Como o tempo t que a luz leva para fazer um percurso 
de ida e volta entre a roda dentada e o espelho é 2L/c, a veloci-
dade da luz seria dada por
 
De acordo com a transformação de Galileu, o movimento da 
Terra em relação ao éter, com uma certa velocidade v (desco-
nhecida), afetaria a medição da velocidade da luz em um expe-
rimento como o de Fizeau. Se a Terra estivesse se movendo para 
a direita com velocidade v na Figura VL-2, a velocidade da luz 
em relação ao laboratório seria c = c – v no percurso de ida e 
c = c + v no percurso de volta. O tempo total gasto no percurso 
seria, portanto,
 VL-1
na qual o termo (1  v2/c2)1 foi substituído por uma expansão 
binomial (veja o Apêndice B2 do livro) e apenas os dois primei-
ros termos foram considerados. Embora a velocidade da Terra 
em relação ao éter fosse desconhecida, era razoável supor que, 
em alguma época do ano, fosse pelo menos igual à velocidade 
orbital da Terra, cerca de 30 km/s. Nesse caso, o maior efeito 
observável seria da ordem de v2/c2 = (3  104/3  108) 2 = 108, 
ou seja, 1 parte em 108. Como o erro experimental do equipa-
mento usado por Fizeau era 10.000 vezes maior que o efeito 
esperado, os cientistas chegaram à conclusão de que seria inútil 
tentar observá-lo em um experimento desse tipo. Muitos outros 
5
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 3
Condução de Calor – 
O Modelo Clássico
FIGURA CC-1 Ao percorrer uma distância λ, um elétron perde uma 
energia térmica igual a c∆T, sendo ∆T = (dT/dx)λx.
A
λ
T + ∆T T
x
dx
Os materiais que se comportam como bons condutores de ele-
tricidade também são bons condutores de calor. De acordo com 
a teoria clássica, isso acontece porque o gás de elétrons é o prin-
cipal responsável pela condução do calor em metais. O coefi-
ciente de condução térmica K de um sólido é definido em termos 
do fluxo estacionário de energia térmica ao longo de uma barra 
na qual existe um gradiente de temperatura uniforme dT/dx. O 
fluxo de energia térmica JQ, definido como o fluxo de energia 
por unidade de área e por unidade de tempo, é dado por
 CC-1
A teoria cinética dos gases, discutida na Revisão de Conceitos 
Clássicos 8, permite determinar o valor de K em termos das pro-
priedades clássicas do gás de elétrons. Considere um segmento 
de uma barra de metal (Figura CC-1). Se o calor específico de 
um elétron isolado é c, ao se mover da esquerda para a direita 
ao longo da barra, isto é, da região onde a temperatura é T + ∆T 
para uma região onde a temperatura é T, o elétron perde uma 
energia térmica igual a c∆T. A diferença de temperatura para 
uma distância igual ao livre caminho médio λ é dada por
 CC-2
na qual λx é a componente x de λ e τ é o tempo médio entre coli-
sões. O fluxo de energia térmica é igual ao produto do fluxo de 
elétrons no sentido positivo do eixo x, nvx, pela variação de ener-
gia térmica por elétron, c∆T:
 CC-3
Como, de acordo com o teorema da equipartição (veja a Leitura 
Suplementar 2, Capítulo 8 e a Revisão de Conceitos Clássicos 
18), v2x  v2/3, a Equação CC-3 pode ser escrita na forma
 J nv c
dT
dxq
=-
1
3
2 τ CC-4
O calor específico por unidade de volume C é igual a nc. Como 
τ = λ/v, a Equação RCC19-4 se torna
 J Cv
dT
dxq
=-
1
3
λ CC-5
que, combinada com a Equação CC-1, nos dá a seguinte equa-
ção para a condutividade térmica:
 K Cv=
1
3
λ CC-6
O calor específico por unidade de volume C pode ser expresso 
em termos do calor específico molar a volume constante do gás 
de elétrons, CV, observando que nCV/NA = C  CV no caso de um 
gás monoatômico, para o qual CV = 3R/2 = 3kNA/2 (veja a Seção 
8-1). Assim, a condutividade térmica pode ser escrita na 
forma
 K nv k=
1
2
λ CC-7
6 Revisão de Conceitos Clásssicos 3
A razão entre a condutividade térmica K e a condutividade elé-
trica σ é dada por
 K nv k
ne m v
m v k
e
k T
ee
e
eσ
λ
λ π
= = =
/
/
2
2
4
2
2
2
2
 CC-8
na qual v foi substituída pelo seu valor, dado pela Equação 10-9.
De acordo com a teoria clássica, portanto, a relação entre a 
condutividade térmica e a condutividade elétrica deveria ser 
proporcional à temperatura absoluta, e a constante de propor-
cionalidade deveria ser a mesma para todos os metais. A relação 
expressa pela Equação CC-7 é conhecida como lei de Wieder-
mann-Franz. A relação entre K e σT é chamada de número de 
Lorentz e representada pela letra L:
 CC-9
Como se pode ver na Tabela CC-1, L realmente varia muito 
pouco de metal para metal, embora os valores numéricos sejam 
maiores que os esperados. Por causa das aproximações envol-
vidas neste modelo, não devemos esperar mais do que uma con-
cordância de ordem de grandeza com os resultados experimen-
tais. O verdadeiro teste do modelo está no fato de prever que, 
embora K e σ variem consideravelmente com a temperatura e 
de metal para metal, a razão K/σT praticamente não varia. A 
confirmação desta previsão foi muito importante para a história 
da teoria dos metais, pois ajudou a convencer os físicos de que 
Tabela CC-1 Número de Lorentz L = K/T, em 
unidade de 108 WΩ/K2, para vários 
metais a 0 °C e a 100 °C
Metal 0°C 100°C Metal 0°C 100°C
Ag 2,31 2,37 Pb 2,47 2,56
Au 2,35 2,40 Pt 2,51 2,60
Cd 2,42 2,43 Sn 2,52 2,49
Cu 2,23 2,33 W 3,04 3,20
Mo 2,61 2,79 Zn 2,31 2,33
os metais eram realmente formados por um gás de elétrons e 
uma rede de íons positivos.
 Exercícios
1. No modelo clássico de elétrons livres, o elétron perde ener-
gia (em média) a cada colisão, já que a velocidade de deriva 
que adquiriu após última colisão é perdida. Para onde vai 
essa energia?
2. O número de Lorentz tende a diminuir em baixas tempera-
turas. Por que isso acontece?
7
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 4
O Experimento de Millikan
O experimento no qual Millikan mediu a carga do elétron é um 
dos poucos experimentos realmente cruciais da física e ao mesmo 
tempo um modelo de simplicidade. A Figura EM-1 mostra, de 
forma esquemática, o equipamento usado por Millikan.
Na ausência de campo elétrico, a força para baixo é mg e a 
força para cima é bv. A equação de movimento da gota é:
 EM-1
na qual b é dado pela lei de Stokes:
 EM-2
em que  é o coeficiente de viscosidade do fluido (ar) e a é o 
raio da gota. A velocidade terminal vd de uma gota que está des-
cendo é (veja a Figura EM-2)
 EM-3
Quando um campo elétrico  é aplicado, o movimento para 
cima de uma carga qn é dado por
 
Assim, a velocidade terminal vs de uma gota que está subindo 
sob a ação de um campo elétrico é dada por
 EM-4
No experimento de Millikan, as velocidades terminais eram atin-
gidas quase instantaneamente e as gotas se deslocavam de uma 
distância L para cima ou para baixo com velocidade constante. 
Combinando as Equações EM-3 e EM-4, temos:
 EM-5
na qual Td = L/vd é o tempo de descida e Ts = L/vs é o tempo de 
subida.
FIGURA EM-1 Sistema usado por Millikan em seus experimentos. As gotas de óleo são formadas no atomizador e adquirem uma carga elétrica 
antes de entrarem na câmara através de um furo localizado na placa superior. A descida de uma gota por ação da gravidade e a subida por ação 
do campo elétrico que existe entre as placas de um capacitor podem ser observadas com o auxílio de um telescópio. A carga elétrica da gota é 
calculada a partir dos tempos de subida e descida. Para modificar a carga da gota, é usada uma fonte de raios X, que não aparece na figura.
Fonte 
luminosa
(+)
(–)
(+)
(–)
Atomizador
Telescópio
8 Revisão de Conceitos Clásssicos 4
 
 
Quando a gota recebe uma carga adicional, a velocidade ter-
minal se torna vs, que está relacionada à nova carga qn através 
da Equação EM-4:O aumento de carga é, portanto,
 EM-6
As velocidades vd, vs e vs são obtidas medindo o tempo neces-
sário para que a gota percorra a distância L entre as placas do 
capacitor.
Fazendo qn = ne e qn  qn = ne, na qual n é a variação de 
n, as Equações EM-5 e EM-6 se tornam
 EM-7
e
 EM-8
Para calcular o valor de e a partir dos tempos de subida e des-
cida, é preciso conhecer a massa da gota (ou o raio, já que a 
densidade do óleo é conhecida). O raio da gota pode ser obtido 
a partir da lei de Stokes, usando as Equações EM-2 e EM-3.
Observe que os lados direitos das Equações EM-7 e EM-8 
são iguais à mesma constante, embora ela seja desconhecida, já 
que contém o fator e cujo valor está sendo medido. A técnica, 
portanto, consistia em observar uma gota com um número des-
conhecido de cargas, n, e medir o tempo de descida Td (com o 
campo elétrico desligado) e o tempo de subida Ts (com o campo 
elétrico ligado). Em seguida, para a mesma gota (e, portanto, a 
mesma massa m), o número de cargas era alterado para um valor 
desconhecido n  n expondo a gota a uma fonte de raios X e 
os valores de Td e Ts eram novamente medidos. Este processo 
era repetido várias vezes até que a gota desaparecesse (ou o 
experimentador se cansasse). Em alguns experimentos, a mesma 
gota foi observada durante várias horas. O valor de e era deter-
minado encontrando (basicamente por tentativa e erro) valores 
inteiros de n e n que tornassem os lados esquerdos das Equa-
ções EM-7 e EM-8 iguais à mesma constante para todas as medi-
das realizadas em uma mesma gota.
De acordo com estes cálculos, que o leitor terá oportunidade 
de reproduzir ao resolver o problema abaixo usando dados autên-
ticos para a sexta gota examinada por Millikan, o valor de e era 
1,591  1019 C. O cientista executou experimentos do mesmo 
tipo em milhares de gotas, algumas feitas de isolantes como o 
óleo, outras de semicondutores como a glicerina, e outras de 
condutores como o mercúrio, obtendo sempre o mesmo resul-
tado. O valor encontrado por ele foi aceito durante 20 anos, até 
que se descobriu que medidas de NA por difração de raios X for-
neciam um valor de e ligeiramente maior. A discrepância foi 
atribuída ao valor do coeficiente de viscosidade  usado por 
Millikan. Medidas mais precisas de  forneceram um valor ligei-
ramente maior, o que fez com que o valor de e obtido no expe-
rimento de Millikan fosse corrigido para 1,601  1019 C, em 
boa concordância com os resultados obtidos por difração de 
raios X. Os “melhores” valores de e e outras constantes físicas 
são publicados periodicamente pelo International Council of 
Scientific Unions. O valor atualmente adotado para a carga do 
elétron é
 e = 1,602176565  10−19 C EM-9
com uma incerteza de 0,22 parte por bilhão. Como nos proble-
mas propostos neste livro não é necessária uma precisão tão 
grande, usaremos o valor aproximado e = 1,602  10−19 C. 
Observe que, embora os cientistas tenham conseguido medir a 
carga elétrica do elétron, até hoje ninguém conseguiu explicar 
por que ela tem este valor e não outro qualquer.
Problema
EM-1. A tabela abaixo mostra parte dos dados colhidos por 
Millikan em seus experimentos para a gota de óleo 
número 6. (a) Calcule a velocidade terminal de descida 
vd a partir do tempo médio de descida e da distância 
coberta (10,21 mm). (b) Use a massa específica do óleo 
 = 0,943 g/cm3 = 943 kg/m3, a viscosidade do ar  = 
1,824 × 105 N  s/m2 e a aceleração da gravidade g = 
9,81 m/s2 para calcular o raio a da gota de óleo a partir 
da lei de Stokes (Equação EM-2). (c) Alguns valores 
“corretos” de n e n, determinados por tentativa e erro, 
aparecem nas colunas 4 e 7, respectivamente. Determine 
os outros valores de n e n. (d) Calcule o valor de e a 
partir dos dados da tabela.
FIGURA EM-2 Gota de óleo de massa m e carga e. Se a gota está des-
cendo com a velocidade terminal, mg = bv.
Gota
Força ascensional bv
Peso mg
e
O Experimento de Millikan 9
Tabela EM-1 Tempos de subida e descida de uma gota de óleo e números estimados de unidades de carga 
contidas na gota
1 2 3 4 5 6 7 8
Td Ts 1/Ts – 1/Ts 1/n(1/Ts – 1/Ts) (1/Td  1/Ts) 1/n(1/Td  1/Ts) n 1/n(1/Tg – 1/Tg)
11,848 80,708 0,09655 18 0,005366
11,890 22,366 0,03234 6 0,005390 0,12887 24 0,005371
11,908 22,390
11,904 22,368
11,882 140,566 0,03751 7 0,005358 0,09138 17 0,005375
11,906 79,600 0,005348 1 0,005348 0,09673 18 0,005374
11,838 34,748 0,01616 3 0,005387 0,11289 21 0,005376
11,816 34,762
10
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 5
O Experimento de Thomson
Muitos estudos de descargas elétricas em gases foram feitos no 
século XIX. Os cientistas descobriram que os íons responsáveis 
pela condução da corrente elétrica em gases tinham a mesma 
carga elétrica que os íons responsáveis pela eletrólise nos expe-
rimentos de Faraday. No ano seguinte ao do primeiro cálculo de 
Zeeman do valor de q/m para partículas atômicas, J. J. Thomson 
mediu o valor de q/m para os chamados raios catódicos e obser-
vou que, se a carga das partículas contidas nesses raios fosse 
igual à carga mínima estimada por Stoney a partir da lei de Fara-
day da eletrólise, a massa das partículas seria apenas uma 
pequena fração da massa de um átomo de hidrogênio. Thomson 
havia, na verdade, descoberto o elétron. O tubo de raios catódi-
cos usado por Thomson (veja a Figura ET-1) é típico da época. 
Foi o precursor do tubo de imagem que, até recentemente, era 
usado em osciloscópios, aparelhos de radar, receptores de tele-
visão e outras aplicações. Quando o gás no interior do tubo é 
excitado por uma descarga elétrica até emitir luz e a pressão é 
reduzida, o espaço em torno do catodo começa a escurecer. Se 
a pressão é reduzida ainda mais, a região escura aumenta de 
tamanho até atingir o vidro na outra extremidade do tubo, que 
começa a brilhar, mostrando que o vidro está absorvendo a ener-
gia dos raios catódicos. Quando são colocados colimadores em 
A e B, a luz se restringe a um ponto bem definido do vidro, cuja 
localização pode ser alterada se o tubo for submetido a um campo 
elétrico ou a um campo magnético. Em 1895, J. Perrin havia 
recolhido esses “raios catódicos” em um eletrômetro e consta-
tado que possuíam uma carga elétrica negativa. A medição direta 
da razão e/m para o elétron, realizada por J. J. Thomson em 
1897, pode ser considerada o início de nosso entendimento da 
estrutura do átomo.
Quando um campo magnético uniforme de intensidade B é 
aplicado perpendicularmente à direção de movimento de partí-
culas carregadas, as partículas passam a descrever uma trajetó-
ria circular. O raio R da trajetória e o momento das partículas 
podem ser calculados com o auxílio da segunda lei de Newton, 
igualando a força magnética quB ao produto da massa pela ace-
leração centrípeta u2/R:
 quB
mu
R
R
mu
qB
e p mu qBR= = = =
2
⇒ ET-1
Hoje em dia, os cientistas usam rotineiramente o equivalente 
moderno do experimento de Thomson para medir o momento 
de partículas elementares. A Equação ET-1 é a versão não rela-
tivística da Equação 2-37, obtida fazendo  = 1. A sorte de 
Thomson, que, naturalmente, nada sabia a respeito dos efeitos 
relativísticos, foi que a velocidade u das partículas que compu-
nham os seus “raios catódicos” (elétrons) era bem menor que a 
velocidade c da luz, com u/c << 0,2, o que permitia que a apro-
ximação não relativística fosse usada com boa precisão (veja a 
Figura 2-2). Em seu primeiro experimento, Thomson determi-
nou a velocidade das partículas medindo a carga total e a varia-
ção de temperatura de um coletor submetido aos raios catódicos. 
No caso de N partículas, a carga total é Q = Ne e, a partir da 
variação de temperatura, é possível calcular a quantidade de 
energia absorvida pelo coletor, W, que, por sua vez, é igual à 
energia cinética dissipada pelas partículas, Nmu2/2. Combinando 
essas equações, obtemos:
 ET-2
No segundo experimento, que se tornou conhecido como expe-
rimento de Thomson, o cientista ajustou um campo magnéticoFIGURA ET-1 Tubo usado por J. J. Thomson para medir e/m. Os elétrons 
emitidos pelo catodo C passam pelos colimadores A e B e excitam um 
ponto do vidro na outra extremidade do tubo. O feixe eletrônico pode 
ser defletido por um campo elétrico aplicado entre as placas D e E ou 
por um campo magnético perpendicular ao campo elétrico. A partir da 
deflexão sofrida pelos elétrons, que pode ser medida sobre a tela em 
uma escala graduada, é possível determinar o valor de e/m. [Fonte: J. 
J. Thomson, “Cathode Rays”, Philosophical Magazine (5), 44, 293 
(1897).]
C
A B
D
E
–
+
O Experimento de Thomson 11
B e um campo elétrico , mutuamente perpendiculares, para que 
a deflexão do feixe de partículas fosse nula. Isso permitiu a 
Thomson determinar a velocidade das partículas igualando o 
módulo da força magnética ao módulo da força elétrica:
 ET-3
Em seguida, Thomson desligou o campo magnético* e mediu a 
deflexão das partículas. Essa deflexão tem duas componentes 
(veja a Figura ET-2). Enquanto se encontram na região entre as 
placas, as partículas sofrem uma deflexão vertical, y1, dada 
por
 ET-4
na qual x1 é a distância horizontal percorrida na região entre as 
placas. Depois de deixar a região entre as placas, as partículas 
sofrem uma deflexão adicional y2 dada por
 ET-5
na qual x2 é a distância horizontal percorrida pelas partículas depois 
de deixarem a região entre as placas. A deflexão total, y1  y2, é 
proporcional a e/m. Combinando as Equações ET-3, ET-4 e ET-5 
e notando que u = ux na ausência de deflexão, obtemos:
 ET-6
Observe que Thomson precisou apenas de um voltímetro, um 
amperímetro e uma régua para determinar o valor de e/m. Tam-
FIGURA ET-2 Deflexão do feixe de elétrons no tubo de Thomson. As 
placas defletoras são D e E da Figura ET-1. A deflexão mostrada na 
figura acontece quando o campo magnético está desligado e a placa de 
cima é positiva. Thomson usou tensões contínuas de até 200 V entre D 
e E. Um campo magnético foi aplicado perpendicularmente ao plano 
da figura, no sentido para dentro do papel, com o objetivo de anular a 
deflexão do feixe,
ux
uy
y1
y2
x2x1
ux
θ
Placas 
defletoras
bém é interessante notar que o valor obtido no primeiro experi-
mento, 2  1011 C/kg, está mais próximo do valor atualmente 
aceito de 1,76  1011 C/kg que o valor obtido no segundo, 0,7  
1011 C/kg. Isso provavelmente se deve ao fato de que, ao analisar 
os resultados obtidos no segundo experimento, Thomson deixou 
de levar em conta a influência do campo magnético fora da região 
entre as placas defletoras. Apesar dessa falha, o segundo experi-
mento apresenta a vantagem de poder ser reproduzido com mais 
facilidade e é considerado mais importante que o primeiro.
Quando Thomson repetiu o experimento usando gases dife-
rentes no interior do tubo e catodos feitos de diferentes metais, 
obteve o mesmo valor para e/m (dentro do erro experimental 
esperado), o que o levou a concluir que as mesmas partículas 
estavam presentes em todas as substâncias. A concordância dos 
resultados com os obtidos por Zeeman o levou à conclusão de 
que essas partículas (que Thomson chamava de corpúsculos e 
mais tarde Lorentz denominou elétrons) tinham uma unidade 
de carga negativa, uma massa aproximadamente 2000 vezes 
menor que a do átomo mais leve e eram parte integrante de todos 
os átomos.
* O Problema 3-2 do livro apresenta uma variante do método na qual 
o campo elétrico é desligado e a deflexão causada pelo campo magné-
tico é medida. (N.T.)
12
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 6
O Espectrômetro de Massa
Um dos aparelhos usados atualmente para medir a relação q/m 
entre a carga e a massa de moléculas e átomos ionizados é o 
chamado espectrômetro de massa. Para isso, o instrumento mede 
o raio das órbitas circulares descritas por íons submetidos a uma 
diferença de potencial conhecida na presença de um campo mag-
nético uniforme de valor conhecido. A Equação 3-2 relaciona o 
raio R da órbita de uma partícula na presença de um campo mag-
nético B perpendicular à trajetória à massa m, velocidade u e carga 
q da partícula. A Figura ES-1 mostra o diagrama esquemático 
de um espectrômetro de massa. Íons produzidos por uma fonte 
são acelerados por um campo elétrico e entram em uma região 
na qual existe um campo magnético uniforme produzido por um 
eletroímã. Se os íons são acelerados a partir do repouso por uma 
diferença de potencial ∆V, a energia cinética, ao entrarem na 
região onde existe o campo magnético, é igual à queda de ener-
gia potencial, q∆V:
 ES-1
Os íons descrevem uma semicircunferência de raio R dada pela 
Equação 3-2 antes de atingirem um filme fotográfico ou saírem 
por uma abertura estreita e atingirem um detector de íons no 
ponto P2, situado a uma distância 2R do ponto de entrada na 
região onde existe campo magnético. Eliminando a velocidade 
u das Equações 3-2 e ES-1 e explicitando q/m, obtemos:
 ES-2
No espectrômetro de massa original, inventado por F. W. 
Aston (um dos alunos de Thomson) em 1919, as diferenças de 
massa podiam ser medidas com uma precisão de aproximada-
mente uma parte em 10.000. Mais tarde, para aumentar a pre-
cisão, foi introduzido um seletor de velocidades, entre a fonte 
de íons e o eletroímã, que rejeita os íons cujas velocidades se 
encontram fora de uma certa faixa. Hoje em dia, os espectrô-
metros de massa permitem medir as massas de átomos e molé-
culas com uma precisão maior que uma parte em 109. O método 
normalmente usado consiste em medir as diferenças entre os 
raios das trajetórias descritas por massas-padrão e pelos íons de 
interesse, como ilustra o exemplo a seguir.
FIGURA ES-1 Representação esquemática de um espectrômetro de 
massa. Os íons emitidos por uma fonte, positivamente carregados neste 
caso, são acelerados por uma diferença de potencial ∆V e entram, no 
ponto P1, em uma região na qual existe um campo magnético uniforme. 
Como indicam os pontos, o sentido do campo magnético B é para fora 
do papel. Os íons descrevem arcos de circunferência e são registrados 
em um filme fotográfico ou em um detector localizado no ponto P2. O 
raio da circunferência é proporcional à massa do íon.
+ + q
P1 P2
Fonte de íons
+–
Campo B para 
fora da tela
R
u
∆V
EXEMPLO ES-1 Medições com o Espectrômetro de Mas-
sa Um íon de 58Ni, de carga +e e massa 9,62 × 1026 kg, é 
acelerado por uma diferença de potencial de 3 kV e entra em 
uma região na qual existe um campo magnético uniforme de 
0,12 T. (a) Determine o raio da trajetória do íon. (b) Deter-
mine a diferença entre os raios das trajetórias dos íons 58Ni e 
60Ni. (Suponha que os dois íons têm a mesma carga e a rela-
ção entre as massas é 58/60.)
SOLUÇÃO
1. O raio da trajetória do íon pode ser calculado a partir da 
Equação ES-2:
 
2. Como neste caso q = +e, temos:
O Espectrômetro de Massa 13
 
3. Para resolver o item (b), observe que, de acordo com a 
Equação ES-2, o raio da trajetória é proporcional à raiz 
quadrada da massa. Assim, para valores iguais de q, V e 
B, chamando de R1 o raio da trajetória do íon 58Ni e R2 o 
raio da trajetória do íon 60Ni, temos:
 
4. Usando o valor de R1 já calculado, temos:
 
5. A diferença ∆R entre os raios é, portanto,
 
14
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 7
Demonstração da Distribuição 
de Boltzmann
Considere um sistema isolado, cuja energia total, portanto, per-
manece constante, formado por um grande número de partículas 
iguais1 que podem trocar energia entre si e assim chegar ao equi-
líbrio térmico. Para facilitar a demonstração, vamos supor que 
a energia E de cada partícula pode apenas assumir os valores 0, 
∆E, 2∆E, 3∆E, ... Mais tarde, depois de chegarmos a uma 
expressão matemática para a distribuição, teremos a liberdade 
de fazer ∆E → 0 para que a energia E de cada partícula possa 
assumir qualquer valor. Simplesmente para tornar os cálculos 
praticáveis, vamos supor ainda que o sistema contém apenas 
seis partículas (o que certamente não pode ser considerado um 
número “grande”!) eque a energia total Etotal do sistema é 8∆E. 
Os dois números foram escolhidos arbitrariamente, mas o 
segundo deve ser um múltiplo de ∆E.
É também conveniente, a esta altura, introduzir os conceitos de 
macroestado e microestado. O termo “microestado” se refere a uma 
descrição do sistema na qual o estado de cada partícula que o com-
põe é especificado. No caso de partículas clássicas, isso equivale a 
especificar a posição e o momento (e, portanto, a energia) de todas 
as partículas; no caso da mecânica quântica, como é discutido no 
Capítulo 8, isso equivale a especificar um conjunto completo de 
números quânticos para cada partícula. O macroestado de um sis-
tema é uma descrição menos detalhada, na qual apenas o número 
de partículas que possuem a mesma energia é especificado.
Como as partículas podem trocar energia entre si, todos os 
macroestados possíveis, isto é, todas as divisões possíveis da 
energia total Etotal = 8∆E pelas seis partículas, podem ocorrer. 
No caso que estamos examinando, existem 20 macroestados, os 
estados 1 a 20 que aparecem na Tabela DB-1. O macroestado 
1, por exemplo, possui cinco partículas com E = 0 e uma com 
E = 8∆E; o estado 2, quatro partículas com E = 0, uma com 
E = ∆E e uma com E = 7∆E; e assim por diante. Observe que 
existem seis formas diferentes de conseguir a distribuição de 
energias que caracteriza o estado 1, já que qualquer das seis par-
tículas pode ser colocada no estado de energia 8∆E enquanto as 
outras cinco ocupam o estado de energia zero. Cada uma dessas 
disposições é diferente das outras porque as partículas clássi-
cas de um microestado, embora tenham as mesmas proprieda-
des, podem ser distinguidas pela posição e pelo momento e, 
portanto, pela energia que possuem. As diferentes disposições 
das cinco partículas que ocupam o estado E = 0 não podem ser 
distinguidas porque as cinco partículas têm a mesma energia. O 
número de microestados de um macroestado é igual ao número 
de disposições distintas de partículas para este macroestado.
Não é difícil calcular o número de microestados. No caso de 
seis partículas, de acordo com a análise combinatória, existem 6! 
diferentes disposições (o nome técnico é permutações) possíveis 
para um macroestado de 6 partículas. (No caso de N partículas, 
naturalmente, o número de permutações é N!.) Entretanto, como 
as partículas de mesma energia não podem ser distinguidas, 
devemos levar em conta este fato, dividindo o número total de 
permutações pelo número de permutações para cada nível de 
energia. Assim, no caso geral de N partículas, o número de micro-
estados é dado por:
 
na qual n0, n1, ... ni é o número de partículas no estado E0, E1, ... 
Ei.
Em nosso exemplo, o macroestado 1 é caracterizado pela 
existência de cinco partículas no estado E = 0 e, portanto, é pre-
ciso dividir as 6! permutações das seis partículas pelas 5! per-
mutações das cinco partículas que ocupam o mesmo estado para 
obter o número N de disposições distintas, ou microestados, do 
macroestado 1. Como 6!/5! = 6, este é o número de microesta-
dos que aparece na primeira linha da Tabela DB-1. O Exemplo 
DB-1 ilustra o cálculo do número de microestados para o macro-
estado 6 do sistema que estamos usando.
EXEMPLO DB-1 Número de Microestados Calcule o 
número de microestados, ou seja, de disposições distintas, 
para o macroestado 6 da Tabela DB-1.
SOLUÇÃO
O número total de disposições possíveis de seis partículas é 
6!; entretanto, o estado de energia E = 0 contém três partículas 
Demonstração da Distribuição de Boltzmann 15
e, portanto, 3! disposições não distintas, e o estado de energia 
E = ∆E contém duas partículas e, portanto, 2! disposições não 
distintas. Assim, o número total de microestados é
 
DB-1 [o ponto E = 0, n(E) = 2,31 foi omitido]; a curva é uma 
função exponencial da forma
 DB-2
na qual B e Ec são constantes. Quando diminuímos o valor de ∆E 
mantendo constante a energia total, o número de pontos a serem 
plotados aumenta. Para ∆E → 0, E se torna uma variável contí-
nua e n(E) passa a ser uma função contínua. Se também aumen-
tamos o número de partículas para que o resultado se torne esta-
tisticamente significativo, os pontos caem exatamente sobre a 
curva da Figura DB-1, ou seja, a Equação DB-2 é a função que 
descreve corretamente a distribuição clássica de energias de um 
sistema de partículas. Não seria fácil provar este fato estendendo 
a um grande número de partículas e energias os cálculos anterio-
res, realizados para um sistema de apenas seis partículas e Etotal = 
8∆E. Felizmente, como foi mostrado por Eisberg e Resnick,2 existe 
um método muito mais simples, mas sutil, de mostrar que a fun-
ção dada pela Equação DB-2 é a função correta.
Quando uma partícula ganha energia em consequência de 
uma interação, outras partículas devem perder energia, já que a 
energia total do sistema é constante. Exceto por essa restrição, 
as partículas são independentes umas das outras e, em particu-
lar, como mostra a Tabela DB-1, não existe nada que impeça 
duas ou mais partículas de ocuparem o mesmo estado. Consi-
dere duas partículas do sistema. Suponha que a probabilidade 
de que uma das partículas esteja no estado de energia E1 é f(E1). 
Como a função de distribuição é a mesma para todas as partí-
culas (já que as partículas são iguais), a probabilidade de que a 
segunda partícula esteja no estado E2 é dada por f(E2). Se as par-
tículas são independentes, as duas probabilidades também são 
independentes. Em consequência, de acordo com a teoria das 
probabilidades, a probabilidade de que os dois eventos ocorram, 
ou seja, de que uma das partículas esteja no estado E1 e a outra 
no estado E2, é o produto das duas probabilidades, f(E1)f(E2). (O 
mesmo raciocínio se aplica à probabilidade de obter cara em 
duas jogadas sucessivas de cara ou coroa. A probabilidade de 
obter cara é 1/2 em cada jogada; como as jogadas são indepen-
dentes, a probabilidade de obter cara duas vezes seguidas é 1/2  
1/2 = 1/4.)
Considere agora todos os macroestados desse sistema nos 
quais a soma das energias das duas partículas, E1 + E2, é a mesma 
que no exemplo anterior, mas a distribuição de energias entre 
as duas partículas é diferente.3 Como a energia é constante, nes-
ses macroestados as outras partículas do sistema têm a mesma 
energia Erestante = Etotal − (E1  E2). Assim, o número de modos 
de compartilhar a energia restante pelas partículas restantes é o 
mesmo em todos esses macroestados. Isso significa que a pro-
babilidade dos microestados nos quais a energia E1  E2 é com-
partilhada pelas duas partículas de uma certa forma só pode 
diferir da probabilidade dos microestados nos quais a energia 
E1  E2 é compartilhada de outra forma se as diferentes formas 
pelas quais a energia E1  E2 pode ser compartilhada ocorrerem 
com diferentes probabilidades. Entretanto, já supusemos que 
todos os microestados são igualmente prováveis; assim, devemos 
concluir que todos os microestados nos quais a energia E1  E2 
é compartilhada de forma diferente entre as duas partículas são 
igualmente prováveis. Nesse caso, a probabilidade de que esses 
microestados ocorram deve ser uma certa função da soma E1  
E2, que vamos chamar de h(E1  E2), e não das energias indivi-
duais E1 e E2. A divisão original, com uma das partículas com 
energia E1 e a outra com energia E2, é uma das possíveis divi-
sões e, portanto, a probabilidade de que ocorra é h(E1 + E2). 
FIGURA DB-1 Gráfico de n(E) em função de E. Os pontos são os dados 
que aparecem na última linha da Tabela DB-1 [o ponto E = 0, n(E) = 
2,31 foi omitido]; a curva é uma função exponencial da forma n(E) = 
BeE/Ec, sendo que as constantes B e Ec foram ajustadas para a melhor 
concordância possível com os dados.
1
2
0
3
4
0
E
n
(E
)
∆E 2∆E 3∆E 4∆E 5∆E 6∆E 7∆E 8∆E
Se fizermos agora a hipótese, bastante razoável, de que todos 
os microestados são igualmente prováveis, a probabilidade Pj 
de que o sistema se encontre em um macroestado j será propor-
cionalao número de microestados desse macroestado. No nosso 
caso, existem 1287 microestados e, portanto, a probabilidade Pj 
de que o sistema se encontre em um dos 20 macroestados é igual 
ao número de microestados da coluna da direita da Tabela DB-
1 dividido por 1287. Estamos agora próximos de obter a forma 
aproximada da distribuição de Boltzmann. Supondo que a dis-
tribuição de partículas no equilíbrio térmico seja a mais prová-
vel, temos apenas que calcular o número provável de partículas, 
n(Ei), para os nove estados de energias E0 = 0, E1 = ∆E, ..., E8 = 
8∆E. Considere o estado E0 = 0. Para o macroestado 1, a proba-
bilidade de ocorrência, P1, é 6/1287 e existem cinco partículas 
no estado E0 = 0; assim, o macroestado 1 contribui com 5  
6/1287 = 0,023 partícula do total para E0 = 0. As contribuições 
dos outros 19 macroestados para o estado E0 = 0 podem ser cal-
culadas de forma semelhante; o total para os 20 macroestados 
é n(0) = 2,31 partículas, o que significa que, em média, 2,31 das 
seis partículas terão uma energia E = 0. No caso geral, os valo-
res de n(Ei) são dados por
 DB-1a
na qual gi é o peso estatístico do estado i e f(Ei) é a probabili-
dade de que uma partícula tenha energia Ei. Além disso, natu-
ralmente,
 DB-1b
A última linha da Tabela DB-1 mostra o resultado dos cálculos 
para todas as energias possíveis. Observe que, como seria de se 
esperar, a soma dos valores de n(Ei) é 6.
A Figura DB-1 mostra um gráfico de n(E) em função de E. 
Os pontos são os valores que aparecem na última linha da Tabela 
16 Revisão de Conceitos Clásssicos 7
Tabela DB-1 Estados e números prováveis de partículas para seis partículas com energia total 8∆E
Número de partículas com energia igual a i∆E
Macroestado j 0 E 2E 3E 4E 5E 6E 7E 8E
Número de 
microestados
1 5 0 0 0 0 0 0 0 1 6
2 4 1 0 0 0 0 0 1 0 30
3 4 0 1 0 0 0 1 0 0 30
4 4 0 0 1 0 1 0 0 0 30
5 4 0 0 0 2 0 0 0 0 15
6 3 2 0 0 0 0 1 0 0 60
7 3 0 2 0 1 0 0 0 0 60
8 3 0 1 2 0 0 0 0 0 60
9 3 1 1 0 0 1 0 0 0 120
10 3 1 0 1 1 0 0 0 0 120
11 2 0 4 0 0 0 0 0 0 15
12* 2 2 0 2 0 0 0 0 0 90
13* 2 1 2 1 0 0 0 0 0 180
14* 2 2 1 0 1 0 0 0 0 180
15 2 3 0 0 0 1 0 0 0 60
16 1 4 0 0 1 0 0 0 0 30
17 1 3 1 1 0 0 0 0 0 120
18 1 2 3 0 0 0 0 0 0 60
19 0 4 2 0 0 0 0 0 0 15
20 0 5 0 1 0 0 0 0 0 6
n(Ei) 2,31 1,54 0,98 0,59 0,33 0,16 0,07 0,02 0,005 1287
Como vimos, a probabilidade dessa divisão em particular é dada 
por f(E1)f(E2). Assim, temos:
 
De acordo com esta equação, a função probabilidade f(E) que 
procuramos deve ter a seguinte propriedade: o produto dos valo-
res da função para dois valores diferentes da energia deve depen-
der apenas da soma desses valores. A única função matemática 
com esta propriedade é a função exponencial.4 Essa função pode 
ser escrita na forma
 DB-3
em que A e Ec são constantes.5 Como n(Ei), o número provável 
de partículas com energia Ei, é proporcional a f(Ei), existe uma 
justificativa teórica para modelar n(Ei) usando uma função expo-
nencial, como foi feito na Figura DB-1.
Boltzmann usou o cálculo variacional para fazer uma demons-
tração muito mais geral da Equação DB-3, o que lhe permitiu 
mostrar que o valor da constante Ec, independentemente da natu-
reza das partículas, é dado por
 DB-4
na qual k = 1,381  1023 J/K é a constante de Boltzmann e T 
a temperatura absoluta. Substituindo Ec na Equação DB-3 pelo 
seu valor, dado pela Equação DB-4, obtemos a distribuição de 
Boltzmann fB, usada para calcular a probabilidade de que um 
estado de energia E esteja ocupado a uma temperatura T:
 DB-5
Se o sistema de seis partículas iguais que usamos como 
exemplo é um sistema quântico e as partículas são bósons (áto-
mos de hélio, por exemplo), os microestados que foram asso-
ciados a cada macroestado não podem ser considerados esta-
dos distintos; em consequência, o número de microestados da 
Tabela DB-1 diminui de 1287 para apenas 20, um para cada 
macroestado. Supondo que esses estados são igualmente pro-
váveis, o número médio de partículas em cada estado pode ser 
facilmente calculado a partir dos dados da Tabela DB-1. Assim, 
por exemplo, para o estado E = 0, a contribuição do estado 1 
é dada por
 
número de partículas no estado1 com
Número de es
E = 0
ttados
=
5
20
Demonstração da Distribuição de Boltzmann 17
Tabela DB-2 Estados e números prováveis de partículas para seis bósons com 
energia total 8∆E
Energia do estado 0 E 2E 3E 4E 5E 6E 7E 8E
nBE(E) 2,45 1,55 0,90 0,45 0,30 0,15 0,10 0,05 0,05
nFD(E) 2,00 1,67 1,00 1,00 0,33 0 0 0 0
e o número médio de partículas nBE(0) no estado de energia E = 
0 é, portanto,
 
A Tabela DB-2 mostra o número médio de partículas nBE(E) nos 
vários estados, calculado do mesmo modo que no exemplo ante-
rior. Note que o número total de partículas é 6, como seria de 
se esperar.
Por outro lado, se o sistema de seis partículas é um sistema 
quântico e as partículas são férmions (elétrons, por exemplo), o 
princípio de exclusão impede que um estado seja ocupado por 
mais de duas partículas, uma com o spin para cima e outra com 
o spin para baixo. Como o princípio de exclusão se aplica a todas 
as partículas que, como os elétrons, têm spin fracionário, como 
prótons, nêutrons, múons e quarks, a limitação também se aplica 
a essas partículas. Examinando a Tabela DB-1, vemos que ape-
nas os três estados assinalados com asteriscos (12, 13 e 14) res-
peitam essa limitação. Assim, as partículas que obedecem ao 
princípio de exclusão podem ocupar apenas esses três estados. 
Supondo novamente que todos os estados são igualmente pro-
váveis, o número médio de partículas nFD(E) para cada estado 
pode ser calculado a partir dos dados da Tabela DB-1. Assim, 
por exemplo, o número médio de partículas no estado E = 0, 
nFD(0), é dado por
 
n
E
FD ( )0
0
=
=número de partículas com
Número de estaddos
=
+ +
=
2 2 2
3
2
A linha de baixo da Tabela DB-2 mostra os valores de nFD(E) 
para todos os estados de um sistema de seis férmions de energia 
total 8∆E.
Notas
1. Usamos o termo partículas apenas para dar um exemplo. Os 
objetos envolvidos podem ser moléculas, grãos de pó ou 
molas, contanto que sejam iguais e possuam alguma forma 
de energia.
2. Veja Eisberg, R. e R. Resnick, Quantum Physics of Atoms, 
Molecules, Solids, Nuclei and Particles, 2d ed., Wiley, New 
York, 1985, Appendix C-4.
3. Tomando as partículas da Tabela DB-1 como exemplo, supo-
nha que E1 + E2 = 5∆E. Nesse caso, os macroestados 4, 8, 9, 
10, 13, 14, 15, 16 e 17 são aqueles nos quais duas partículas 
têm uma energia total igual a 5∆E, embora as energias das 
partículas sejam diferentes.
4. Lembre-se de que eaeb = e(a+b).
5. Este argumento se aplica tanto a uma exponencial negativa 
como a uma exponencial positiva; entretanto, a exponencial 
positiva pode ser descartada, pois, nesse caso, a probabili-
dade de que uma partícula tivesse uma energia infinita seria 
infinita, o que está em desacordo com as observações expe-
rimentais.
18
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 8
A Teoria Cinética dos Gases
Não conhecemos os movimentos iniciais de todos os átomos 
que compõem um sistema macroscópico; mesmo que essa infor-
mação estivesse disponível, não existem computadores com 
capacidade suficiente para aplicar as equações de movimento a 
todos esses átomos. Por isso, recorremos a métodos estatísticos 
para determinar os valores teóricos das propriedades observá-
veis dos sistemas macroscópicos. Na verdade, muitas dessas 
propriedades, como pressão, temperatura, calor específico e con-
dutividade térmica, fazem sentido apenas em sistemas que envol-
vem um grande número de partículas, já que representam pro-
priedades médias das partículas. Nas medições experimentais 
dessas grandezas, o que importa é a resposta do sistema e não 
a das partículas que o compõem. Já que estamos falando do 
assunto, vale a pena notar que a complexidade dos sistemas 
macroscópicos é mais que uma questão de números; a interação 
das partículas pode resultar em um comportamentototalmente 
imprevisto. Assim, por exemplo, se considerarmos um sistema 
constituído por átomos iguais de um gás nobre, como o hélio 
ou o neônio, que interagem apenas fracamente através da força 
eletromagnética, esta informação microscópica não permite pre-
ver que, abaixo de uma certa temperatura, o gás se transformará 
em líquido; entretanto, é exatamente o que acontece.
Neste ensaio vamos mostrar que a aplicação das leis da mecâ-
nica aos componentes microscópicos de um sistema macroscó-
pico, aliada ao uso de métodos estatísticos, permite prever cer-
tos aspectos do comportamento do sistema que são comprovados 
pelos resultados experimentais. Se o leitor conhece bem a teo-
ria cinética dos gases, pode omitir esta RCC. Caso, porém, tenha 
visto o assunto apenas de passagem em um curso de física ou 
química, vale a pena dedicar alguns minutos a este ensaio, espe-
cialmente se pretende consultar a RCC 7, Demonstração da 
Distribuição de Boltzmann. Nesse caso, também é aconselhável 
dar uma olhada na RCC 9, Funções de Distribuição.
Hipóteses Básicas da Teoria
A teoria cinética dos gases tenta descrever as propriedades 
macroscópicas dos gases em termos da imagem microscópica 
de um gás como um conjunto de partículas em movimento. A 
pressão exercida por um gás sobre as paredes do recipiente que 
o contém é um exemplo de propriedade que pode ser facilmente 
calculada pela teoria cinética dos gases. O gás exerce uma pres-
são sobre as paredes do recipiente porque a colisão das molé-
culas do gás com as paredes do recipiente transfere momento 
para as paredes, e a variação total de momento por segundo é 
igual à força exercida pelo gás sobre as paredes. Vamos tomar 
como ponto de partida as seguintes hipóteses:
1. O gás é constituído por um número grande N de moléculas 
iguais, separadas por uma distância muito maior que o diâ-
metro das moléculas. Como é discutido na Seção 8-2 do livro, 
está implícito que, embora as partículas sejam iguais, é pos-
sível distingui-las.
2. As moléculas colidem elasticamente umas com as outras e 
com as paredes do recipiente e não interagem a distância, 
isto é, não exercem nenhuma força a não ser no momento 
das colisões.
3. Na ausência de forças externas (com exceção da força da 
gravidade, que é considerada desprezível), não existe uma 
posição privilegiada para as moléculas no interior do reci-
piente e não existe uma direção privilegiada para o vetor 
velocidade.
A Teoria Cinética dos Gases
Na discussão que se segue, vamos ignorar as colisões das molécu-
las entre si. Isso não afeta os resultados dos nossos cálculos, já que, 
como o momento é conservado, as colisões das moléculas umas 
com as outras não têm influência sobre o momento total em qual-
quer direção do espaço. Seja m a massa de uma molécula. Supondo 
que o eixo x é perpendicular à parede da Figura TC-1a, a compo-
nente x do momento de uma molécula é mvx antes de se chocar 
com a parede e mvx após a colisão. Na colisão com uma parede, 
portanto, o momento da molécula sofre uma variação total de 2mvx. 
A variação total do momento de todas as moléculas em um inter-
valo de tempo ∆t é 2mvx vezes o número de moléculas que se cho-
cam com a parede nesse intervalo de tempo.
Considere o gás no interior de um recipiente cilíndrico de 
volume V e bases de área A, como o que aparece na Figura TC-1b. 
Seja Ni o número de moléculas de gás cuja componente x da 
velocidade é vxi e seja vxi∆t a distância entre as bases do cilin-
dro, considerando que ∆t é um intervalo de tempo escolhido 
arbitrariamente. No intervalo de tempo ∆t, as moléculas cuja 
componente x da velocidade é vxi percorrem uma distância ao 
A Teoria Cinética dos Gases 19
longo do eixo x igual a vxi∆t; assim, metade das Ni moléculas, 
aquelas cuja componente x da velocidade é vxi, colide com a 
base da esquerda; a outra metade colide com a base da direita. 
Usando a base da esquerda como exemplo, o número de molé-
culas que colidem com a base durante o intervalo de tempo ∆t 
é igual a 0,5  (número de moléculas por unidade de volume)  
(volume), ou
 
O impulso exercido pela base sobre as moléculas é igual à varia-
ção total de momento das moléculas, que, por sua vez, é igual 
a (número de moléculas que colidem com a base)  2mvxi:
 TC-1
Este resultado também é igual ao impulso exercido pelas molé-
culas sobre a base. Para calcular a força média exercida pelas 
moléculas sobre a base, basta dividir o impulso pelo intervalo 
de tempo ∆t. A pressão é igual à força média dividida pela área 
A. A pressão exercida pelas moléculas é, portanto, dada por
 
Para determinar a pressão total, é preciso calcular o somatório 
das pressões para todos os valores negativos da componente x 
da velocidade, vxi:
 
Podemos escrever este somatório em termos do valor médio de 
v2x, definido da seguinte forma:
 
na qual N = Ni é o número total de moléculas. Assim, a pres-
são sobre uma das bases do cilindro é dada por
 TC-2
Como não existe uma direção privilegiada para o movimento 
das moléculas, (v2x)med deve ser igual a (v2y)med e a (v2z)med. Como o 
quadrado da velocidade é dado por
 
temos:
 
Podemos, portanto, escrever uma equação para a pressão em 
termos da média do quadrado da velocidade ou da energia ciné-
tica média:
 TC-3
na qual N/V é o número de moléculas por unidade de volume. 
Este resultado mostra que, de acordo com a teoria cinética dos 
gases, a pressão exercida por um gás é proporcional ao número 
de moléculas por unidade de volume e à energia cinética média 
das moléculas. Chamando de E
–
k
–
 a energia cinética média das 
moléculas, temos:
 TC-4
Para verificar se esta previsão está de acordo com os resultados 
experimentais, vamos comparar a Equação TC-4 com a lei dos 
gases perfeitos,
 TC-5
x
y
zPz
Pz
Py
Py
Px = +mvx
Px = –mvx
Área A
Parede
P
P
vxi ∆t
(a) (b)
FIGURA TC-1 (a) Quando uma molécula de momento p colide elasticamente com uma parede, a componente x do momento, px, troca de sinal e 
as componentes y e z continuam as mesmas. O momento da molécula varia de 2mvx. (b) Moléculas de gás em um recipiente cilíndrico. Se o eixo 
x é paralelo à superfície cilíndrica, apenas as moléculas que colidem com uma das bases do cilindro sofrem uma troca de sinal da componente 
x do momento, px. Uma molécula que parte da extremidade direita com uma componente da velocidade vxi ao longo do eixo x colide com a base 
da esquerda após um intervalo de tempo ∆t = h/vxi, na qual h é a altura do cilindro.
20 Revisão de Conceitos Clásssicos 8
Tabela TC-1 CV de alguns gases a 15°C e 1 atm
Gás CV(cal/mol-grau) CV/R
Ar 2,98 1,50
He 2,98 1,50
CO 4,94 2,49
H2 4,87 2,45
HCl 5,11 2,57
N2 4,93 2,49
NO 5,00 2,51
O2 5,04 2,54
Cl2 5,93 2,98
CO2 6,75 3,40
CS2 9,77 4,92
H2S 6,08 3,06
N2O 6,81 3,42
SO2 7,49 3,76
R = 1,987 cal/mol-grau
Fonte: J. R. Partington e W. G. Shilling, The Specific Heats of Gases 
(London: Ernest Benn, Ltd., 1924).
uma relação empírica na qual n, o número de mols do sistema, 
é igual ao número total de moléculas dividido pelo número de 
Avogadro NA,
 
e R é a chamada constante dos gases perfeitos,
 TC-6
Em termos de n e NA, a Equação TC-4 pode ser escrita na 
forma
 TC-7
na qual NAE
–
k
–
 é a energia cinética média por mol. Assim, para 
que a Equação TC-4 esteja de acordo com a equação dos gases 
ideais, Equação TC-5, é preciso que
 TC-8
Para verificar se a Equação TC-8 é razoável, considere o calor espe-
cífico molar a volume constante, CV, que é definido pela equação
 
na qual ∆Q é a quantidade de calor fornecida a 1 mol da substân-
cia e ∆T é o aumento de temperatura resultante. De acordo com 
a primeira lei da termodinâmica, como nenhum trabalho é reali-
zado quando o volume se mantém constante, o calor fornecido é 
igual à variação de energia interna U da substância. Assim,
 
Supondo que a energia interna total é igual à energia cinética de 
translação, temos, de acordo com a Equação TC-8,
 
e, portanto
Este valor concorda muito bem com medidasrealizadas em gases 
monoatômicos como o argônio e o hélio (veja a Tabela TC-1). 
A concordância é notável, considerando que a teoria se baseia 
em um modelo microscópico bastante simplificado, e foi um 
dos primeiros sucessos da física estatística. No caso de outros 
gases, o calor específico molar medido experimentalmente é 
maior que 3R/2, o que sugere que parte do calor fornecido à 
substância se converte em outras formas de energia interna que 
não a energia cinética de translação, como a energia de rotação 
ou vibração das moléculas.
A Equação TC-8 leva a outra previsão extremamente inte-
ressante, que se torna mais fácil de visualizar quando a energia 
cinética média das moléculas é escrita na forma
 TC-9
na qual k = R/NA é a chamada constante de Boltzmann,
 TC-10
De acordo com a Equação TC-9, a temperatura absoluta é uma 
medida da energia cinética média de translação das moléculas. 
(Incluímos a expressão “de translação” porque uma molécula 
pode ter outras formas de energia cinética, como a energia ciné-
tica de rotação e a energia cinética de vibração. Apenas a ener-
gia cinética de translação aparece no cálculo da pressão exercida 
sobre as paredes de um recipiente.) A energia cinética de trans-
lação total de n mols de um gás com N moléculas é dada por
 
A energia cinética de translação é, portanto, igual a 3kT/2 por 
molécula ou 3RT/2 por mol. À temperatura ambiente, T = 300 K, 
o valor do produto kT é
 
Assim, a energia cinética média de translação das moléculas de 
um gás à temperatura ambiente é apenas alguns centésimos de 
elétron-volt.
Uma Aplicação da Teoria 
Cinética dos Gases
Uma consequência interessante da Equação TC-8 diz respeito 
à velocidade das moléculas de um gás. Não esperamos que todas 
as moléculas de um gás tenham a mesma velocidade. A distri-
A Teoria Cinética dos Gases 21
buição das velocidades das moléculas é discutida na Seção 8-1 
do livro; entretanto, mesmo sem conhecer a distribuição, pode-
mos calcular a média do quadrado da velocidade, (v2)med, e a 
velocidade média quadrática, vrms = [(v2)med]1/2. Temos:
 TC-11
na qual M é a massa molecular. Assim,
 TC-12
Não é difícil estimar a ordem de grandeza da velocidade das 
moléculas se nos lembrarmos de que a velocidade do som em 
um gás é dada por
 
na qual  é a razão entre o calor específico a pressão constante 
e o calor específico a volume constante. (No caso do ar,  = CP/
CV = 1,4.) Assim, a velocidade média quadrática das moléculas 
de um gás é da mesma ordem de grandeza que a velocidade do 
som no gás.
SOLUÇÃO
M = 28 g/mol = 28  103 kg/mol.
Para T = 300 K:
 
Para T = 273 K:
 
Assim, a velocidade média quadrática das moléculas de nitro-
gênio do ar (e a velocidade do som) é cerca de 5% menor nos 
dias frios do que nos dias quentes.
EXEMPLO TC-1 Velocidade Média Quadrática das Molé-
culas de N2 Calcule a velocidade média quadrática das molé-
culas de nitrogênio para T = 300 K e para T = 273 K.
Exercícios
1. Por que podemos ignorar as colisões das moléculas com a 
superfície lateral do recipiente ao calcularmos a pressão exer-
cida nas bases do cilindro?
2. Qual é a relação entre E
–
k
–
 para moléculas de He e E
–
k
–
 para 
moléculas de Kr nas CNTP?
3. Qual é a relação entre vrms para moléculas de H2 e vrms para 
moléculas de O2 nas CNTP?
4. Qual é a relação entre a velocidade do som no He e a velo-
cidade do som no N2?
22
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 9
Funções de Distribuição
Quando calculamos a pressão de um gás na RCC 8, A Teoria 
Cinética dos Gases, obtivemos informações interessantes a res-
peito da velocidade média quadrática e da energia média das molé-
culas de um gás, mas não ficamos sabendo praticamente nada a 
respeito da distribuição da velocidade das moléculas. Funções de 
distribuição aparecem frequentemente no Capítulo 8 e em capí-
tulos posteriores. Neste ensaio, vamos discutir as funções de dis-
tribuição em geral a partir de alguns exemplos simples.
Suponha que um professor submeta N alunos a uma prova 
na qual a nota máxima é 25 pontos. Para avaliar a qualidade da 
prova e o desempenho dos alunos, o professor pode calcular a 
nota média, mas esse parâmetro, isoladamente, não diz muito a 
respeito do resultado da prova. Por exemplo: uma prova na qual 
os N alunos fizeram 12,5 pontos não pode ser considerada equi-
valente a uma prova na qual N/2 alunos fizeram 25 pontos e N/2 
alunos fizeram 0 ponto, embora a média nos dois casos seja a 
mesma. Uma descrição mais completa consiste em anotar o 
número ni de alunos que fizeram si pontos para todas as notas si 
entre 0 e 25. Outra possibilidade é dividir ni pelo número total 
de alunos, N, e calcular a fração fi = ni/N de alunos que fizeram 
si pontos na prova. Tanto ni como fi (que são funções da variável 
s) recebem o nome de funções de distribuição. A distribuição fi 
é um pouco mais fácil de usar. A probabilidade de que um dos 
N alunos, escolhido ao acaso, tenha recebido a nota si é igual ao 
número de alunos que receberam essa nota, ni = Nfi, dividido 
pelo número total N; assim, a probabilidade é igual à função de 
distribuição fi. Note que
 
e como
 
temos:
 FD-1
A Equação FD-1 é chamada de condição de normalização. A 
Figura FD-1 mostra uma possível função de distribuição para 
uma prova na qual a nota máxima é 25.
Para calcular a nota média, basta somar as notas e dividir o 
resultado por N. Como cada nota si foi obtida por ni = Nfi alu-
nos, temos:
 FD-2
Vamos tomar a Equação FD-2 como definição da nota média, 
s–. A média de uma função qualquer, g(s), pode ser definida por 
uma equação análoga:
 FD-3
Costuma-se usar também a média quadrática:
 
Outra grandeza usada para descrever as distribuições estatís-
ticas é o desvio-padrão, representado pela letra grega  e defi-
nido através da equação
 FD-4
Note que
 
( )s s f s f s f s s f s si
i
i i
i
i
i
i
i
  2 2 1
2
1
2 22∑ ∑ ∑ ∑= + =
e, portanto,
 
σ = s s2 2( )
 FD-5
O desvio-padrão é uma medida da dispersão dos valores si em 
relação à média. Na maioria das distribuições, existem poucos 
valores cuja diferença em relação a s– é maior que algumas vezes 
. No caso da distribuição normal ou gaussiana, muito comum 
na teoria de erros, a diferença entre aproximadamente dois ter-
ços dos valores e a média é menor que . A Figura FD-2 mostra 
uma distribuição normal.
Funções de Distribuição 23
Se um aluno é escolhido ao acaso e alguém tem que adivi-
nhar qual foi a nota que o aluno tirou, o melhor palpite é a nota 
obtida pelo maior número de alunos, também conhecida como 
nota mais provável e representada pelo símbolo sm. Para a dis-
tribuição da Figura FD-1, sm = 16 e s
– = 14,17. A nota média 
quadrática srms = s
2
1 2( ) / é 14,9 e o desvio-padrão  é 4,6. Note que 
66% das notas estão no intervalo s–   < si < s
–   = 14,17  
4,6 < si < 14,17  4,6 = 9,57 < si < 18,77.
Considere agora o caso de uma distribuição contínua. Supo-
nha que estamos interessados em conhecer a distribuição de 
alturas de uma população. Para um número finito N de pessoas, 
o número de indivíduos com exatamente 1,70 m provavelmente 
é zero. Se a altura for medida com precisão, existirá um grande 
número de alturas possíveis, e a probabilidade de que a altura 
de um indivíduo corresponda exatamente a um dado valor será 
muito pequena. Faz muito mais sentido dividir as alturas em 
intervalos ∆h (∆h = 0,05 m, por exemplo) e anotar o número de 
pessoas cujas alturas estão em cada um desses intervalos. O 
número, naturalmente, depende da largura do intervalo. Defini-
mos a função distribuição f(h) como o número de pessoas cuja 
altura está em um dado intervalo dividido pelo número total de 
pessoas e pela largura do intervalo. Assim, no caso de N pes-
soas, o número de pessoas cujas alturas estão no intervalo entre 
h e h + ∆h é Nf(h)∆h. A Figura FD-3 mostra uma possível dis-
tribuição de alturas. A fração de indivíduos cuja altura está em 
um dado intervalo é dada pelo produto f(h)∆h, que correspondeà área de um retângulo de altura f(h) e largura ∆h. Como a área 
total representa a soma de todas as frações, deve ser igual a 1. 
Se N é muito grande, podemos escolher um valor pequeno para 
∆h, caso em que a variação de f(h) de um intervalo para o seguinte 
é pequena. No limite N →  , ∆h → 0, o histograma que repre-
senta f(h) em função de h se aproxima de uma curva contínua. 
Em muitos casos importantes, o número de amostras N é extre-
mamente grande e o tamanho do intervalo, ∆h, é limitado ape-
nas pela precisão das medidas. As funções de distribuição f(h) 
são frequentemente consideradas contínuas, os intervalos são 
escritos como incrementos infinitesimais dh e os somatórios são 
substituídos por integrais. No exemplo que estamos conside-
rando, se f(h) é considerada uma função contínua, a altura média, 
que no caso de uma função contínua seria escrita na forma h, 
é dada por1
 FD-6
e a condição de normalização, que expressa o fato de que a soma 
de todas as frações deve ser igual a 1, se torna
 FD-7
As funções de distribuição são usadas nos Capítulos 6 e 7, na 
RCC 7, Demonstração da Distribuição de Boltzmann, e em 
várias Leituras Suplementares. 
FIGURA FD-1 Distribuição das notas obtidas por 200 alunos em uma 
prova na qual a nota máxima é 25 pontos; ni é o número e fi = ni/N é a 
fração de alunos que receberam a nota si. A nota média s
– e a nota média 
quadrática srms estão indicadas. A região sombreada corresponde às 
notas que se afastam da média menos de 1 desvio-padrão.
8
6
12
16
20
14
10
18
22
4
0,04
0,06
0,08
0,10
0,02
2
155 10 20 25
Nota si
srms = 14,9
ni fi
s = 14,17
–
FIGURA FD-2 Distribuição normal. A curva é simétrica em relação ao 
valor médio x–, que é também o valor mais provável. Sessenta e oito 
por cento da área sob a curva corresponde a valores que se afastam da 
média menos de um desvio-padrão. A curva descreve adequadamente 
a distribuição de erros aleatórios em muitos experimentos.
x – σ x + σ
f (x )
xx– ––
FIGURA FD-3 Uma possível distribuição de alturas. A fração do número 
de alturas entre h e h + ∆h é proporcional à área da região sombreada. 
Como se vê na figura, o histograma pode ser aproximado por uma curva 
contínua.
h + ∆h
f (h )
h
h
1Os limites de integração dependem da variável considerada. No caso 
que estamos considerando, h varia de 0 a . Neste livro, os limites são 
às vezes omitidos quando a faixa de valores possíveis da variável está 
implícita.
24
 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 10
Livre Caminho Médio
Por causa da agitação térmica, os elétrons de condução de um 
metal se movem com uma velocidade média v. Embora, da 
mesma forma como acontece com as moléculas de um gás, exista 
uma distribuição de velocidades no entorno da média, vamos 
supor, para facilitar os cálculos, que todos os elétrons se movem 
com a mesma velocidade v. Se um campo elétrico E é apli-
cado, todos os elétrons adquirem uma velocidade adicional vd, 
conhecida como velocidade de deriva, na direção oposta à do 
campo. A energia cinética assim adquirida logo é perdida em 
colisões inelásticas com íons da rede, mas os elétrons voltam a 
ser acelerados pelo campo elétrico. Seja  o tempo médio que 
um elétron, escolhido ao acaso, leva para sofrer uma colisão. 
Como as colisões são aleatórias, este tempo não depende do 
tempo transcorrido depois que um elétron sofreu a última coli-
são. Se examinarmos um grande número de elétrons imediata-
mente após terem sofrido uma colisão, o intervalo de tempo 
médio até que uma nova colisão ocorra é . Assim, o parâmetro 
, conhecido como tempo de colisão ou tempo de relaxação, 
não só é o tempo médio entre colisões, mas também o tempo 
médio transcorrido desde a última colisão para um elétron esco-
lhido ao acaso. A velocidade de deriva vd é a velocidade média 
de um elétron escolhido ao acaso, já que a média da velocidade 
térmica é nula. Como a aceleração é a = eE/me, na qual E é o 
campo elétrico, e a velocidade média imediatamente após uma 
colisão é zero, a velocidade de um elétron que está prestes a 
sofrer uma nova colisão é v() = a = eE/me e a velocidade 
de deriva é dada por
 v
v
e
E
md e
= =
( )τ τ
2 2
 LC-1
A distância média que um elétron percorre entre duas colisões 
é chamada de livre caminho médio e representada pelo símbolo 
. O livre caminho médio é igual ao produto da velocidade média 
v pelo tempo médio entre colisões  (veja a Figura LC-1):
  = v LC-2
Em termos do livre caminho médio, a velocidade de deriva pode 
ser escrita na forma
 v
eE
m vd e
=
λ
2 〈 〉
 LC-3
Combinando esta equação com a Equação CE-7 (veja a RCC 
11, Teoria Clássica da Condução de Eletricidade), obtemos:
 I NeAv
Ne E
m vd e
= =
2
2
λ
〈 〉
 LC-4
e
 j
I
A
Ne E
m ve
= =
2
2
λ
〈 〉
 LC-5
Comparando as Equações LC-4 e LC-5 com a Equação CE-6, 
podemos escrever:
 ρ
λ
σ
ρ
λ
= = =
2 1
22
2m v
Ne
Ne
m v
e
e
〈 〉
〈 〉
e LC-6
Existe uma relação entre o livre caminho médio e o tamanho 
dos íons da rede cristalina. Considere um elétron que esteja se 
movendo com velocidade v por entre os íons da rede (Figura 
FIGURA LC-1 Trajetória de um elétron no interior de um fio. Superposta 
à velocidade térmica, cuja direção é aleatória, existe uma pequena velo-
cidade de deriva vd na direção da força elétrica eE. O livre caminho 
médio , o tempo médio entre colisões  e a velocidade média v estão 
relacionados através da equação  = v.
λ = 〈v 〉τ
vd τ
Livre Caminho Médio 25
LC-2). Como depende da energia térmica do material, a veloci-
dade do elétron quase não é afetada por colisões. Supondo que 
o elétron se comporta como uma carga pontual, haverá uma 
colisão com um íon da rede se o elétron passar pelo íon a uma 
distância do centro do íon igual ou menor que r, o raio iônico. 
Em um intervalo de tempo t, o elétron percorre uma distância 
vt e colide com todos os íons situados no interior de um tubo 
cilíndrico de volume r2vt que envolve a trajetória do elétron. 
(Como depois de cada colisão a direção do movimento do elé-
tron muda aleatoriamente, a trajetória é em zigue-zague, como 
na Figura LC-2.) O número de íons nesse volume (e, portanto, 
o número de colisões no intervalo de tempo t) é nar2vt, em que 
na é o número de íons por unidade de volume. O livre caminho 
vt
r
vElétron
Íon de 
raio r
Área = πr 2
FIGURA LC-2 Modelo de um elétron se 
movendo na rede cristalina de um mate-
rial. O elétron, que é considerado uma 
carga pontual, colide com um íon da 
rede cristalina se passar pelo íon a uma 
distância menor que r, o raio iônico. Em 
um intervalo de tempo t, o elétron colide 
com todos os íons situados em um tubo 
cilíndrico de volume r2vt, conside-
rando que v é a velocidade do elétron.
EXEMPLO LC-1 Livre Caminho Médio e Tempo de Rela-
xação dos Elétrons Estime o livre caminho médio e o tempo 
de relaxação dos elétrons do cobre. O número de íons de cobre 
por unidade de volume é 8,47  1022 íons/cm3 e o raio do íon 
de cobre é 0,1 nm.
SOLUÇÃO
1. A relação entre o livre caminho médio dos elétrons, a con-
centração de íons de cobre e o raio dos íons de cobre é 
dada pela Equação LC-7:
 
2. Substituindo na e r por seus valores na equação de , obte-
mos:
 
3. De acordo com a Equação LC-1, temos:
 
4. Substituindo  pelo valor calculado no item (2) e v pelo 
valor dado pela Equação LC-1, obtemos:
 
médio é igual à distância percorrida pelo elétron dividida pelo 
número de colisões:
 LC-7
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 REVISÃO DE CONCEITOS 
CLÁSSICOS 11
Teoria Clássica da Condução 
de Eletricidade
No modelo de Drude, mencionado na Seção 10-2 do livro, um 
metal é imaginado como um arranjo tridimensional de átomos 
ou íons com um grande número de elétrons livres para vagar por 
todo o material. No cobre, por exemplo, existe aproximadamente 
um elétron livre para cada átomo. A concentração de elétrons 
livres pode ser medida com o auxílio do efeito Hall (veja a Seção 
10-6). Na ausência de um campo elétrico, os elétrons livres se 
movem no interior