6 Corrente Eletrica Resistencia e Circuitos

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6. Corrente Elétrica 
O sentido da corrente 
corresponde ao fluxo da carga 
positiva num campo elétrico.
Em um condutor metálico, as cargas em
movimentos são elétrons – a corrente
aponta no sentido oposto do movimento
dos elétrons.
Definição de corrente elétrica:
dt
dQ
∆t
∆Q
limI
0∆t
==
→
(SI)C/s1A =
No SI a corrente é medida em 
Ampère (A) :É o número de elétrons que
atravessam uma secção reta de área
A na unidade de tempo.
- Matematicamente:
01
Exercício 6.1:
Calcular o número de elétrons que atravessa uma área de secção reta de um fio que
conduz uma corrente de 1A em um intervalo de 1 segundo.
Resolução :
t
Q
I
∆
∆
= ⇒ tIQ ∆=∆
{
tIeN
Q
∆=
∆= e
tI
N
∆
=⇒
A carga total ∆Q que atravessa a secção reta pode ser calculada pelo número de elétrons
N multiplicado pela carga do elétron e, ou seja,
C
sA
N
19106,1
)1)(1(
−×
= . elétrons1025,6 18×=
02
Exercício Proposto:
6.1 Uma corrente elétrica de 3,6A flui de através de uma lâmpada de um automóvel. (a) Quantos coulombs fluem através
desta lâmpada em 3,0 hora? (b) Quantos elétrons atravessam a secção reta do filamento dessa lâmpada em 1 minuto?
[Resp. : (a) 3,89 x 10 4 C ; (b) 1,35 x 10 21 elétrons.]
6.2 A corrente elétrica em um fio varia com o tempo, de acordo com a relação I = 4 + 2t2 (unidades do S.I.). (a) Quantos
coulombs passam pela secção reta do fio no t = 5s e t = 10s? (b) Que corrente constante transportaria a mesma carga, no
mesmo intervalo de tempo? [Resp. : (a) 603,3 C ; (b) 120,7 A]
6.3 Suponha que a corrente em um condutor diminui exponencialmente com o tempo de acordo com a equação I(t) = I0e–t/τ,
onde I0 é a corrente inicial (em t = 0) e t é uma constante que tem dimensão de tempo. Considere um ponto de observação
fixo no condutor. Quanta carga passa por esse condutor entre: (a) t = 0 e t = τ ? ; (b) t = 0 e t = 10τ ? e (c) t = 0 e t = ?
[Resp. : (a) 0,632I0τ ; (b) 0,99995I0τ ; (c) I0τ]
∞
Definição de densidade de corrente :
A
I
J = 2m
A
[J]; ≡
6.1 Densidade de Corrente
No caso mais geral, as cargas atravessam 
uma secção oblíqua de área dA
n̂
dA Cargas positivas em movimento
através de uma área A. A taxa
dAnJdI ˆ⋅=
r
J
rv
r
n̂
O elemento infinitesimal de corrente dI é 
fluxo do vetor densidade de corrente j
r
O vetor densidade de corrente , por defi-
nição, tem o mesmo sentido do movimento
das cargas positivas.
J
r
através de uma área A. A taxa
temporal que à qual a carga flui
através da área é definida corrente I.
O sentido da corrente elétrica é o
mesmo que as cargas positivas tem
sob influência de um campo elétrico.
03
6.1 Densidade de Corrente
A carga total que atravessa um elemento dA
em um intervalo infinitesimal dt é a carga
total contida em um cilindro cujo o volume é
dAndtvdV
)r
⋅=
dAnJdI ˆ⋅=
r
Lembrando que
dV
dq
V =ρ dVdq Vρ=⇒
{
{
dAn
J
v
dI
dt
dq
V
ˆ⋅
=
=
=
r
r
ρ
Dividindo a expressão acima por dt :
dV
dAndtvV ˆ⋅=
r
ρ
vJ V
rr
ρ=
Pedaço de um fio condutor cilíndrico.
vd é a velocidade de deriva dos
portadores (média das velocidades dos
portadores de carga através da secção
A). Os portadores percorrem uma
distância ∆x = vd∆t. O número de
portadores no interior do volume
cilíndrico de geratriz ∆x é
nA ∆x = nA vd ∆t. 04
vqnJ
rr
=
6.1 Densidade de Corrente
Se n é o número de portadores livres por unidade de volume, então :
nqV =ρ
Logo :
Levando em conta a constituição da matéria, os portadores de carga podem ser
elétrons ( nos metais, semicondutores, …) , íons (em alguns gases, solução eletrolítica ,
3elet./mnº
eletronsdosarrastedevel.
≡
≡
n
v
elétrons ( nos metais, semicondutores, …) , íons (em alguns gases, solução eletrolítica ,
…) , etc … Em algumas situações físicas podem haver grupos de portadores movendo-
se com velocidades diferentes. Se ni é o número de portadores com carga qi e
velocidade por unidade de volume, então temos:
mostrando que em alguns meios materiais, as cargas com liberdade de movimentação, 
existem casos que não há corrente elétrica associada , porque a densidade de corrente de 
cargas positivas e negativas se cancelam.
iii
i
vqnJ
rr
∑= ( i = 1, 2, … ) 
05
Exercício 6.2:
Um fio de cobre com bitola 18 (geralmente usado nos fios que ligam lâmpadas)
possui um diâmetro nominal igual a 1,02 mm. Esse fio está conectado a uma
lâmpada de 200 W e conduz uma corrente elétrica de 1,67 A. A densidade dos
elétrons livres é de 8,5 x 1028 elétrons por metro cúbico. Calcule (a) os módulos
da densidade de corrente e (b) da velocidade de araste.
Resolução:
A
I
J =Para calcular o módulo da densidade de corrente usamos a relação(a)
Cálculo de A: m)10π(1,02πdA
232 −×
== 27 m108,17 −×=Cálculo de A:
4
m)10π(1,02
4
πd
A
×
== 27 m108,17 −×=
Módulo da densidade de corrente:
A
I
J = 27 m108,17
1,67A
−×
= 26 A/m102,04×=
(b) Para calcular a velocidade do arraste, usamos:
|q|n
J
v =
|C101,6|)m10(8,5
A/m102,04
|q|n
J
v
19328
26
−− ×−×
×
== m/s101,5 4−×= mm/s0,15=
06
Os elétrons dum metal sempre descreve um movimento 
aleatório ( com ou sem ). Com , o movimento 
resultante dos elétrons tem oposto ao sentido de . 
E
r
E
r
E
r
O movimento caótico dos elétrons tem velocidade muito
elevadas, da ordem de 106 m/s, por outro lado, a velocidade
de arraste é muito lenta, geralmente da ordem de 10-4 m/s.
O campo elétrico realiza trabalho sobre as cargas que
se deslocam. A energia cinética resulta é transferida para o
material condutor por meio das colisões com os íons (que
vibram na rede cristalina em torno de sua posições de
equilíbrio).
A energia transferida para o material condutor produz
um aumento da vibração média dos íons, portanto, faz
aumentar a temperatura do material.
E
r
07
6.2 Lei de Ohm
A experiência mostra que alguns materiais (especialmente os metais), numa dada
temperatura, a densidade de corrente é diretamente proporcional ao campo aplicado.J
r
E
r
EJ
rr
σ=
Onde a constante σ é a condutividade do material. O valor de σ depende das cara-
cterísticas do material
- Para um campo uniforme :
∫ ⋅−=−=∆
B
A
AB ldEVVV
rr
lEdlE
B
A
== ∫
A intensidade de corrente é :
∫ ⋅= A dAnJI ˆ
r
AJ= AEσ=
AEI σ=
08
6.2 Lei de Ohm
Logo, para uma secção reta constante de um fio com comprimento , a queda de
potencial é
l
{
I
R
A
V
VV BA
=
=
=
−
σ
l
43421
IRV =
{
AA
R
ll
ρ
σ
==
1
{
AA
ρ
σ
=onde
.epontososentrefiodoaResistênci BAR ≡
material.doadeResistivid/1 ≡= σρ
No SI, a resistência elétrica é medida em ohm (Ω)
1Ω = 1V/1A
e
[ρ] = Ω m (Ohm-metro)
09
Materiais Ôhmicos e Materiais Não-Ôhmicos
A figura indica resistores em um Diodo LED verde, classificado comoA figura indica resistores em um
circuito impresso.
Diodo LED verde, classificado como
não-ôhmico, é material um semicondutor.
Gráfico de um material ôhmico. Gráfico de um material não-ôhmico.
10
Coeficiente de Temperatura
- A resistência e a resistividade dos materiais variam com a temperatura.
- A expressão da dependência da resistência e da resistividade em função da
temperatura é obtida por técnicas em laboratórios, sendo descritas pela seguinte
equação fenomenológica :
])(1[ 00 TTRR −+= α ])(1[ 00 TT −+= αρρou
onde R (ρ) e R0 (ρ0) são as resistências (resistividades) à temperaturas T e T00 0 0
respectivamente.
- α > 0 para os metais (R aumenta quando T aumenta);
- α < 0 para os semicondutores (R diminui quando T aumenta).
Supercondutividade:
- Consiste na queda brusca da resistividade (cai a zero abaixo de TC).
- A condutividade tente a infinito.
- Somente alguns materiais apresentam esse fenômeno.
- Só foi observado em temperaturas muito baixas (próxima do 0K).
11
A resistividade varia por muitas ordens de grandeza de acordo com a natureza do 
material, sendo nos casos extremos os bons condutores, como o cobre, e isolantes 
como o quartzo, cujas resistividades varia por fatores > 1020! 
12
Comportamento da Resistência Elétricas dos Materiais com a 
Temperatura
Resistência versus temperatura de
uma amostra de mercúrio (Hg).Resistividade versus temperatura de um metal
tal como o cobre. A curva é aproximada-mente
linear para uma faixa muito grande de
temperaturas. Quando T aproxima de zero, a
resistividade de um metal assume um valor
finito ρ0.
Resistividade versus tempera-
tura de um semicondutor tal
como o silício o germânio.
13
Exercício 6.3 :
O fio de cobre calibre 18 do exemplo anterior possui uma sessão reta de 8,20 x
10-7 m2 e diâmetro igual a 1,02 mm. Ele conduz uma corrente de I = 1,67 A.
Calcule (a) o módulo do campo elétrico no fio; (b) a diferença de potencial
entre dois pontos separados por uma distância de 50 m; (c) a resistência de um
seguimento do fio de comprimento igual a 50m.
Resolução:
(a) Da lei de Ohm temos que :
{
J
σ
1
EEσJ
rrrr
=⇒= .Jρ
r
=
(b) A diferença de potencial é dada por:
LEV ⋅= V/m)(50m)10(3,5
2−×={
ρ
A
I
ρE =
27
8
m108,20
)Ω.m)(1,67A10(1,72
−
−
×
×
=
V/m0,035=
V/m1053 2−×= ,
V1,75=
(c) Temos que V = RI, Logo:
RIV = ⇒
I
V
R =
A1,67
V1,75
= .Ω1,05=
ou ainda,
A
ρL
R =
27
8
m108,2
Ωm)(50m)10(1,72
×
×
=
−
.1,05ΩR =
14
Exercício 6.4
Suponha que a resistência do fio do exemplo 2 seja igual a 1,05 ΩΩΩΩ para uma
temperatura igual a 20º C. Calcule a resistência para 0 ºC e para 100 ºC. (Use
o valor tabelado para o coeficiente de temperatura a do cobre αααα = 0,00393).
Resolução :
1) Para T = 0ºC
)]Tα(T[1RR 00 −+=
0,97Ω=
2) Para T = 100ºC
)]Tα(T[1RR 00 −+=
C)]20ºC(100º0,00393(C))[1Ω(1,05 1 −+= −
C)]20ºC(0º)0,00393(Cº)[1Ω(1,05 1 −+= − 1,38Ω=
0,97Ω=
Exercícios Propostos:
Coeficiente de temperatura
6.4 Uma termômetro de platina, que mede a temperatura pela variação da resistência de um condutor de platina que tem uma
resistência de 50Ω a 20,0ºC. Quando imerso num recipiente contendo índio fundido, a sua resistência aumenta para 76,8Ω.
Supondo que a resistência varia linearmente com a temperatura, qual é o ponto de fusão do índio?
Resposta: 157ºC
6.5 Uma lâmpada tem filamento de tungstênio com uma resistência de 19,0Ω quando frio e 140Ω quando está quente, calcule
a temperatura do filamento quando estiver quente. Considere a temperatura inicial 20ºC.
Resposta: 1,44 x 103 ºC
15
6.3 Efeito Joule
Para transportar uma carga dq numa diferença de potencial V é preciso fornecer uma
energia
U = dq V
Para manter uma corrente
I = dq / dt
Durante um intervalo dt
{
V
dq
IdtdW ⋅
=
= )(
VI
dt
dW
=⇒
dq= dt
VIP = onde, P é a potencia dissipada.
No SI [P] = W (watt), que corresponde a 1 W = 1 J / s
16
A partir d lei de Ohm, podemos obter:
2RIP = e
R
V
P
2
= Mostre !
Exercício 6.5:
Um estudante de engenharia pretende se manter acordado para estudar para
uma prova. Ele decidiu fazer um café utilizando um aquecedor elétrico de
imersão em água. Na etiqueta do equipamento constam as seguintes
informações: 0,25 kW – 127 V. (a) Quando o aquecedor estiver em operação
qual a corrente elétrica que passará no dispositivo? (b) Qual a sua resistência
elétrica? (c) Qual o tempo necessário para aquecer 400 ml de água a 22ºC para
90ºC ? (Considere o calor específico da água 4190 J/(kg.K) Suponha que não
haja troca de calor com o ambiente.)
Resolução : (a) Para encontrar a corrente elétrica de operação do aquecedor 
partimos da expressão da potência elétrica dissipada.
17
partimos da expressão da potência elétrica dissipada.
VIP = ⇒ VPI /= )127()250( VW ÷= ⇒ AI 97,1=
(b) Como V = RI, a expressão anterior pode ser escrita por:
IRIP )(= ⇒ 2/ IPR =
2)97,1()250( AW ÷= ⇒ Ω= 5,64R
(c) Considerando que energia térmica ( ∆E = P∆t ) seja absorvida em forma de 
calor pela água ( Q = mc∆T ), de modo que: 
TmctP ∆=∆ ⇒ PTmct /∆=∆ )250()2290)(/4190)(4,0( WCkgJkg ÷−°=
st 456=∆ s36min7=
OBS.: 1 W = 1 V.A, de modo que (V.A).V –1 = A. 
Exercícios Propostos
Densidade de corrente
6.6 Um fusível em um circuito elétrico é um fio que é projetado para derreter, e desse modo abrir o circuito, se a corrente
exceder um valor predeterminado. Suponha que o material a ser usado em um fusível se funda quando a densidade de
corrente atinge 440 A/cm2. Que diâmetro de fio cilíndrico deveria ser usado para fazer um fusível que limitará a corrente de
0,50 A ? [Resp.: 0,38 mm]
6.7 Um fio de prata de diâmetro igual 2,6 mm transfere uma carga de 420 C em 80 minutos. A prata contem 5,8 x 1028
elétrons livres por metro cúbico. (a) Qual a corrente eletrica que passa pelo fio? (b) Qual é o módulo da velocidade de arraste
dos elétrons no fio? [Resp.: (a) 8,75 x 10–2A; (b) 1,78 x 10–6 m/s]
6.8 Uma corrente elétrica passa em uma solução de cloreto de sódio. Em 1 s, 2,68 x 1016 íons Na+ chegam ao eletrodo
negativo e 3,92 x 1016 íons Cl– chegam ao eletrodo positivo. (a) Qual é a corrente elétrica que passa entre os eletrodos? (b)
Qual é o sentido da corrente? [Resp.: (a) 10,6 mA; (b) A corrente flui do Na+ para o eletrodo negativo]
Resistência, resistividade e coeficiente de temperatura
6.9 Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50 mA passar perto do seu coração. Um eletricista6.9 Um ser humano pode ser eletrocutado se uma pequena corrente de 50 mA passar perto do seu coração. Um eletricista
trabalhando com as mãos suadas faz bom contato com os dois condutores que ele está segurando, um em cada mão. Se a sua
resistência elétrica for de 2000Ω, qual poderia ser a voltagem fatal? ? [Resp.: 100 V ]
6.10 Quando 115 V são aplicados entre as extremidades de um fio que possui 10 m de comprimento e 0,30 mm de raio, a
densidade de corrente é igual a 1,4 x 104 A/m2. Determine a resistividade do fio. [Resp.: 8,2 x 10-4Ω.m]
6.11 Uma lâmpada de lanterna comum possui valores nominais de 0,30 A e 2,9 V (os valores da corrente e da voltagem (ou
tensão) em condições de operação). Se a resistência do filamento da lâmpada à temperatura ambiente (20oC) for de 1,1Ω,
qual será a temperatura do filamento quando a lâmpada estiver ligada? O filamento é feito de tungstênio.
[Resp.: Aproximadamente 2000K]
6.12 Quando uma barra metálica é aquecida, não apenas a sua resistência, mas também o seu comprimento e sua área de
seção transversal variam. A relação sugere que todos os três fatores deveriam ser levados em conta ao se medir ρ em várias
temperaturas. (a) Se a temperatura variar de 1,0o C, que variações percentuais em R, L e A ocorrem para um condutor de
cobre? (b) O coeficiente de expansão linear para o cobre é 1,7 x 10-5 / K. Que conclusões você tira daí?
[Resp.:(a) 0,43% , 0,0017% , 0,0034%]
18
Exercícios Propostos
Efeito Joule
6.13 Um resistor desconhecido é ligado entre os terminais de uma bateria de 3,00 V. Energia é dissipada no resistor à taxa de
0,540 W. O mesmo resistor é então ligado entre os terminais de uma bateria de 1,50 V. Com que taxa a energia é dissipada
agora? [Resp.: 0,135 W]
6.14 Qual a resistência do fio de nicromo para uma temperatura de 00 C, se sua resistência é igual a 100 Ω para 11,5o C? (b)
Qual a resistência de uma barra de carbono a uma temperatura de 28,5oC, se a sua resistência é igual a 0,0160 Ω a uma
temperatura de 0oC ? [ Resp.: (a) 99,54 Ω ; (b) 0,0158 Ω]
6.15 Um aquecedor por irradiação de 1250 W é fabricado para operar em 115 V. (a) Qual será a corrente no aquecedor?(b)
Qual a resistência da bobina de aquecimento?(c) Quanta energia térmica é produzida em 1 h pelo aquecedor?
[Resp.: (a) 10,9 A ; (b) 10,6 A ; (c) 4,5MJ]
6.16 Um aquecedor de nicromo dissipa 500W quando a diferença de potencial aplicada é de 110V e a temperatura do fio é de
800o C, Qual seria a taxa de dissipação se a temperatura do fio fosse mantida a 200o C pela imersão do fio em um banho de800 C, Qual seria a taxa de dissipação se a temperatura do fio fosse mantida a 200 C pela imersão do fio em um banho de
óleo de resfriamento? A diferença de potencial aplicada permanece a mesma, e α para o nicromo a 800o C é 4,0 x 10-4 /K.
[Resp.: 660 W]
6.17 Um fio de cobre, com área de seção transversal de 2,0 x 10-6 m2 e comprimento de 4,0m, possui uma corrente de 2,0 A
uniformemente distribuída por essa área. (a) Qual a intensidade do campoelétrico ao longo do fio? (b) Quanta energia
elétrica é transferida para a energia térmica em 30 min? [Resp.: (a) 17mV/m ; (b) 243 J]
6.18 Um condutor elétrico projetado para transportar correntes elevadas possui comprimento de 14 m e uma secção reta de
circular com diâmetro 2,50 mm. A resistência do fio entre as extremidades do fio é igual a 0,104 Ω. (a) Qual a resistividade
do material? (b) Sabendo que o módulo do campo elétrico é igual a 1,28 V/m qual é a corrente elétrica total? (c) Sabendo que
o material possui elétrons livres por metro cúbico, calcule a velocidade média de arraste dos elétrons.
6.19 Um cilindro condutor de comprimento L e raio interno e externo a e b respectivamente é constituído de material de
resistividade ρ. Calcular a sua resistência para correntes (a) radiais e (b) longitudinais.
19
Exercícios Propostos
Efeito Joule
6.20 A região entre dois cilindros longos e concêntricos é constituída de uma substância de resistividade ρ. O cilindro interno
de raio a, é mantido a potencial Va e o outro, de raio b a um potencial Vb. Haverá então uma corrente radial. Calcular (a) o
campo elétrico a uma distância r (a < r < b) do eixo dos cilindros, e (b) a corrente radial, num seguimento do cilindro de
comprimento L. [Resp.:]
6.21 Uma corrente i = 0,64e–1000t passa por um resistor de resistência 125Ω. Qual a quantidade de calor dissipada no mesmo
até que a corrente desapareça? [Resp.: 0,0256 J]
20
Resistência em série
R1 R2 R3
V1 V2 V3I
BA DC
R3R2R1
A
B
I
I
I1 I2 I3
Resistência em paralelo
321 IIII ++=
AB
1
V
I = AB2
V
I = AB3 R
V
I =
Na associações em série, a corrente I, ao
passar por cada resistor, ocorrem as
quedas de tensões VAC, VCD e VDB.
Na associações em
paralelo, a tensão em
R1, R2 e R3 é VAB e a
corrente se divide em I1,
I2 e I3 .
6.4 Associação de Resistores
DBCDACAB VVVV ++=
IRIRIRV 321AB ++=
321eq RRRR ++=
1
1 R
I =
2
AB
2 R
I =
3
3 R
I =






++=++
32
32
111
RRR
VIII
1
AB1
321AB R
1
R
1
R
1
V
I
++=
321eq R
1
R
1
R
1
R
1
++=
)RR(RIV 321AB ++=
321
AB RRR
I
V
++=
21
-Uma bateria consiste de uma separação de cargas em por uma certa distância.
- Em geral é formada por placas com cargas opostas e de mesmo módulo.
- No processo de separação de cargas de uma bateria, é realizado um trabalho para
carregar as placas.
-Forma-se um campo elétrico ( e uma diferença de potencial EEEE) com sentido que
aponta da placa da positiva para a placa negativa.
- A diferença de potencial entre as placas EEEE é chamada de força eletromotriz (fem); no
SI é medido em volt.
- Na bateria ideal a tensão entre seus terminais é EEEE.
- Na bateria real ocorre um atrito interno no processo de separação de cargas.
Associamos esse atrito interno uma resistência interna da bateria chamada de r.
6.5 Força Eletromotriz
Associamos esse atrito interno uma resistência interna da bateria chamada de r.
- A tensão de uma bateria real é expressa por V = EEEE - rI, onde I representa a corrente
no circuito alimentado pela bateria.
rR
ε
I
+
=
rIεV −=
εI)rR( =+
rIεRI −= , onde R é a resistência equivalente do circuito.
22
Exercício 6.7:
Uma bateria com resistência interna 2ΩΩΩΩ, adicionamos um resistor de 4ΩΩΩΩ para
formar um circuito completo indicado na figura. Qual é a leitura indicada pelo
voltímetro e pelo amperímetro?
Resolução:
O amperímetro ideal possui resistência nula. A
resistência que passa através do circuito aa´b´b é
dado por:
rR
ε
I
+
=
2Ω4Ω
12V
+
= 2A=
Os fios condutores possuem resistênciaOs fios condutores possuem resistência
interna nula, assim como o amperímetro
ideal .
Para determinar Vab tomando os pontos a e b como os terminais do resistor ou
da fonte de tensão. Usando a relação V = RI
IRV ba =′′ 8V=)Ω(2A)(4=
Considerando os terminais do fonte de tensão
abV Irε −= )2Ω(2A)(12V −= 8V=
23
Exercício 6.6:
(a) Encontre a resistência equivalente entre os pontos a e b. (b) Calcule a 
corrente em cada resistor. 
Resolução : Para resolver este circuito devemos 
redesenhar o circuito.
Passo 1: marcar os pontos com a mesma ddp. 
a
a
a
a
b
b
b
c c
Passo 2: redesenhar o circuito levando em conta 
os pontos com a mesma ddp. 
a
c
b
24
c c
= 25 Ω
Passo 3: associando em série os resistores de 5Ω5Ω5Ω5Ω e 20 Ω20 Ω20 Ω20 Ω. 
Passo 4: associando em paralelo os resistores de 10Ω10Ω10Ω10Ω , 
5 Ω5 Ω5 Ω5 Ω e 25 Ω25 Ω25 Ω25 Ω .
( ) 1111 25510 −−−− ++=eqR Ω= 94,2
Redesenhando após associação 
2.94 Ω
Exercício 6.6:
(a) Encontre a resistência equivalente entre os pontos a e b. (b) Calcule a 
corrente em cada resistor. 
Resolução :
a
a
a
a
b
b
b
c c
2.94 Ω
(b) Encontrando a corrente total no 
circuito.
rR
I
+
=
ε
Ω+
=
)1094,2(
25V
A93,1=
a b
25
rReq + Ω+ )1094,2(
Cálculo das ddp Vab
)93,1)(94,2( AVab Ω=
a
c
b
Corrente no resistor de 10 Ω Ω Ω Ω .
Ω
=
10
abVI
V68,5=
Ω
=
10
68,5 V
A568,0=
Corrente no resistor de 5Ω Ω Ω Ω .
Ω
=
5
abVI
Ω
=
5
68,5 V
A13,1=
Corrente no resistor es de 
5Ω Ω Ω Ω e 20 Ω 20 Ω 20 Ω 20 Ω .
Como estão associados 
em série, a corrente é a 
mesma que passa por 
ambos.
Ω
=
25
abVI
Ω
=
25
68,5 V
AI 227,0=
Exercícios Propostos
Associação de resistores
6.22 (a) Encontre a resistência equivalente entre os pontos a e b. (b) Calcule a corrente em
cada resistor quando uma diferença de potencial de 34 V é aplicada entre os pontos a e b.
[Resp.: (a) 17,1 W ; (b) – 1,99 A ; 1,17 A ; 0,818 A]
6.22 Considere o circuito da figura acima. Encontre (a) a corrente no resistor de 20Ω
e (b) a diferença de potencial entre os pontos a e b.
[Resp.: (a) 227 mA ; (b) 5,68 V]
6.23 Com a finalidade de medir a resistência elétrica dos sapatos através corpo de uma pessoa
por uma placa metálica aterrada, o American National Standards Institute (ANSI) especifica o
circuito mostrado na Figura abaixo. A diferença de potencial DV sobre o resistor de 1,00MW é
medida com um voltímetro de alta resistência. (a) Mostre que a resistência do calçado é dadamedida com um voltímetro de alta resistência. (a) Mostre que a resistência do calçado é dada
por (b) Em um teste médico, a corrente através do corpo humano, não deve exceder 150 mA.
Uma corrente fornecida no circuito especificado pelo ANSI pode exceder 150 mA? Para esta
decisão, considere uma pessoa de pés descalços sobre uma placa metálica aterrada.
[Resp.: A corrente nunca excede 50 mA]
6.24 Um estudante de engenharia de um campus de uma estação de radio deseja verificar a
eficiência do para raio na antena do mastro. Uma resistência desconhecida Rx está entre os
pontos C e E. O ponto E é uma fundação que está inacessível em medições diretas desde que
este estrato esteja aterrado vários metros da superfície da terra. Duas hastes idênticas estão
aterradas em A e B, introduzindo uma resistência desconhecida Ry. O procedimento é como
segue: a resistência R1 medida entre os pontos A e B, em seguida liga-se A e B com um
condutor pesado e mede-se R2 entre os pontos A e C. (a) Derive uma equação para Rx em
termos das resistências observáveis R1 e R2. Uma resistência aterrada satisfatória deve ser Rx < 2,00W. Será um aterramento
adequado da estação se as medidas das resistências são dadas por R1 = 13,00W e R2 = 6,00W ?
[Resp.:(a) Rx = R2 – R1/4 ; (b) 2,75 W] 26
Procedimento de cálculo:
(1) Escolher um ponto um ponto de partida, desde que não seja um nó.
(2) Estabelecer um sentido que a corrente percorrerá o circuito. 
(3) Escrever a lei dos nós.
(4) Escrever a leis das malhas.
5.6 Leis de Kirchhoff
Lei dos Nós de Kirchhoff: a soma algébrica de todas as correntes que entram em um nó é igual
a soma algébrica de todas as correntes que saem.
Lei das Malhas de Kirchhoff: a soma algébrica de todas as diferenças de potencial através de
uma malha, incluindo os elementos resistivos e as f.e.m de todas as fontes, é necessariamente
igual a zero.
I1
I3
I2
27
Exemplo:
321 III +=
(4) Aplicando a lei de Kirchhoff na Malha 
afeba:
013311 =+−− εIRIR
(1) Partindo do ponto a (2) percorrendo 
no sentidoanti-horário, a corrente no nó e 
é dado por:
(4) Aplicando a lei de Kirchhoff na Malha 
bedcb:
022233 =−− εIRIR
(3)
Exercício 6.8:
O circuito indicado na figura contém dois resistores e duas baterias, cada uma
delas com uma fem e resistência interna. Calcule (a) a corrente no circuito, (b)
a diferença de potencial Vab e (c) a potência em cada fem.
(a) A corrente se dá no sentido anti-horário :
Resolução:
0)3()2(12)7(4)4( =Ω−Ω−+Ω−−Ω− IIVIVI
)16(8 Ω= IV AI 5,0=⇒
(b) Partindo do ponto b para o ponto a(b) Partindo do ponto b para o ponto a
)4()5,0(4)7()5,0( Ω++Ω= AVAVab
VVab 5,9=
Ou ainda, também podemos escolher outro
caminho de b para a
)3()5,0()2)(5,0()12( Ω−Ω−= AAVVab
VVab 5,9=
(c) A potência fornecida pela bateria de 12 V é IP ε= )5,0()12( AV= W6=
A potência fornecida pela bateria de 4 V é IP ε= )5,0()4( AV−= W2−=
28
(a) Percorrendo no sentido horário a partir
do ponto a :
Percorrendo a malha befcb :
Exercício 6.9:
(a) Encontre as corrente I1, I2 e I3 no circuito da figura abaixo. (b) Encontre a
diferença de potencial entre os pontos b e c.
Resposta: (a) I1 = 2,0A ; I2 = -3,0A ; I3 = -1,0A ; (b) -2,0V
zyx III +=
Percorrendo a malha abcda :
(1)
02610 =−− xy II (2)
0106144 =−+−− yz II
246)(4 =+−− III
IyIz
Iz
29
246)(4 =+−− yyx III
65,2 −= yx II
(3)
Substituindo (3) em (2)
AII y 21 ==
Substituindo Iy em (3)
AII x 13 −==
Substituindo Ix e Iy em (1)
AII z 32 −==
Ix
Ix
(b) Partindo do ponto b e chegando em c :
VVcb 2)2(610 −=−= VVcb 2−=⇒24
Exercícios Propostos:
6.25 Uma malha de circuito contém duas baterias e dois resistores
como mostrado na figura. (a) Encontre a corrente no circuito. (b) Qual
a potência dissipada em cada resistor? (c) Qual a potência fornecida
pela bateria de 12V? Resp.: (a) -0,33A ; (b) 0,87W e 1,1W (c) 4,0W
6.27 Encontre no estado estacionário as corrente desconhecidas no
circuito com várias malhas (figura ao lado).
Resp; : (a) I1 = 1,38A ; I2 = 1,02A ; I3 = -0,364A
6.26 Usando as leis de Kirchhoff, (a) encontre a corrente em cada
resistor na figura abaixo. (b) Encontre a diferença de potencial entre os
pontos c e f. (c) Qual o ponto em que o potencial elétrico é maior?
Resp.: (a) I1 = 3,85 mA ; I2 = 2,69 mA ; I3 = 3,08 mA ; (b) Vcf = -69,2 V;
(c) No ponto c. 6.28 Considerando R = 1,00 kΩ e E = 250 V na figura determine a
direção e a magnitude da corrente no fio horizontal entre a e e.
Resp. : (a) 60,0 mA ; (b) 240 V ; (c) 50 mA de a para e.
30
Chave 
aberta1)
5.7 Circuito RC – Carregando um capacitor
2) Fluirá uma corrente i no circuito, capacitor 
começa a carregar .
1) Nenhuma corrente, capacitor descarregado.
iRVab =
As tensão entre os pontos Vab e Vbc é:
C
q
Vbc =
Pela lei de Kirchhoff, temos que:
Chave 
fechada2)
0
C
q
iRε =−−
RC
q
R
ε
i −=
A medida que o capacitor carrega, corrente i
diminui.
⇒
Haverá corrente no circuito até que:
0q =
RC
Q
R
ε f= ⇒ CεQf =
R
ε
I0 =⇒
31
Chave 
aberta1)
Circuito RC – Carregando um capacitor
RC
q
R
ε
i −= CεQf =
A quantidade de carga em função do tempo é :
RC
q
R
ε
dt
dq
−= ⇒ )Cε(q
RC
1
dt
dq
−−=
Separando as variáveis:
dtdq
−= ⇒ ∫∫ −=
′ t
q dtqd
Chave 
fechada2)
RC
dt
Cεq
dq
−=
−
⇒ ∫∫ −=−′
′
00 RC
dt
Cεq
qd
t
0
q
0
RC
dt
Cεq
qd
ln −=





−′
′
Cεqu −′=
qddu ′=
culndu/u +=∫
RC
t
Cε
Cεq
ln −=





−
−
⇒
Cε
Cεq
e t/RC
−
−
=−
Cεt/RCeCεq +−−= ⇒ )
t/RCe1(Cεq −−=
32
Circuito RC – Carregando um capacitor
{ )
t/RCe1(
fQ
Cεq(t) −−=
)t/RCe1(Qq(t) f
−−=
A corrente i é dado por:
dt
dq(t)
i = t/RC
0eI
−=t/RCe−=
R
ε
A carga sobre o capacitor au-
menta exponencialmente com o
tempo. Para um tempo muito
maior que RC, a carga no
capacitor tente a Qf .
A corrente i diminui exponencial-
mente com tempo, enquanto o
capacitor é carregado. A corrente
tende assintoticamente a zero.
33
Circuito RC – Carregando um capacitor
1/e)1(Qq(RC) f −= eIi(RC) 0 /=
Para t = RC
f0,64Qq(RC) =
Para t = RC
00,37Ii(RC) =
Para um tempo igual a constante
t = RC, a carga no capacitor é
64% da carga final Qf .
34
Para um tempo igual a constante
t = RC, a corrente dimunui para
37% da corrente inicial I0 .
Circuito RC – Carregando um capacitor
)t/e1( τ−−=
0
VV(t) RCτ =onde, 
35
Circuitos RC – descarregando um capacitor
chave
aberta
Após carregar o capacitor, abre-se a chave e
remove-se a bateria. O Circuito agora tem ape-
nas um resistor R e um capacitor C. A corrente i
no circuito é dada por :
RC
q
dt
dq(t)
i −==
∫∫ ′−=
′
tq
td
RC
t
q
qd
chave 
fechada
∫∫ ′−=
0Q
td
RCq
0
RC
t
Q
q
ln
0
−=





t/RC
0eQq(t)
−=
t/RC0 e
RC
Q
dt
q(t) −−=
t/RC
0eII(t)
−−=
36
Circuitos RC – descarregando um capacitor
A corrente diminui exponencial-
mente com o tempo enquanto o
capacitor é descarregado.
A carga sobre o capacitor diminui
exponencialmente com o tempo
enquanto o capacitor é
descarregado.
37
Circuito RC – Desarregando um capacitor
τt/e−=
0
VV(t) RCτ =onde, 
38
Exercício 6.10:
Um resistor cuja resistência é de 10MΩΩΩΩ é conectado em série com um capacitor
cuja a capacitância é de 1µµµµF e com uma bateria de 12V. Antes da chave ser
fechada no instante t = 0, o capacitor está descarregado. (a) Qual a constante
de tempo? (b) Qual a fração da carga final que está sobre uma das placas
quando t = 46s? (c) Qual a fração da corrente final inicial que permanece
quando t = 46s?
(a)
Resolução:
RC=τ )101)(1010( 66 F−×Ω×= s10=
(b) )1()( / RCtf eQtQ
−−= ⇒ RCt
f
e
Q
tQ /1
)( −−=
)10/()46(1 sse −−= 99,0=
O capacitor fica 99% carregado depois de um tempo 4,6RC.
(c) RCte
I
tI /
0
)( −= 6,4−= e 01,0=
Depois de um tempo 4,6RC, a corrente diminui para 1% da corrente inicial.
39
Exercícios Propostos:
6.29 Um capacitor de 2,00 nF com uma carga inicial de 5,10 µC é descarregado através de um resistor de 1,30 kΩ. (a) Calcule a corrente no
resistor 9,00 µs após o resistor ser conectado aos terminais do capacitor. (b) Qual é a carga que permanece no capacitor após 8,00 µs? (c) Qual é a
corrente máxima no resistor? Resp.: (a) – 61,6 mA ; (b) 0,235 µC ; (c) 1,96 A .
6.30 Um capacitor em um circuito RC está 60,0% carregado do seu valor máximo em 0,900 s. Qual a constante de tempo do circuito? Resp.:
0,982 s
5.31 Um capacitor de 10,0 µF é carregado por uma bateria de 10,0 V através de uma resistência de R. O capacitor atinge uma diferença de
potencial de 4,00 V em um tempo de 3,00 s após o inicio do carregamento. Encontre R.
6.32 No circuito da figura abaixo, a chave S ficou aberta por um longo tempo. Ela é, então, subitamente fechada. Determine a constante de tempo
(a) antes da chave ser fechada e (b) após a chave ser fechada. (c) Se a chave for fechada em t = 0, determine a corrente na chave como função do
tempo. Resp.: (a) 1,50 s ; (b) 1,00 s ; (c) 200 µA + (100 µA) e – t/(1,00 s)
6.33 (Use o computador) O circuito mostrado na figura abaixo foi montado num laboratório para medir uma capacitância desconhecida C pelo
uso de um resistor R = 10,0 MW e uma bateria de 6,19 V. Os dados são dados na tabela abaixo, onde contam as medidas de das voltagens através
do capacitor e seus respectivos instantes de tempo. O instante t = 0s representa o momento em que a chave foi aberta (a) Construa um gráfico de
versus t, usando o método dos mínimos quadrados para traçar um ajuste linear destes dados. (b) A partir da inclinação da curva, obtenha a
constante de tempo do circuito e o valor da capacitância. Resp.: (a) ln(E/∆V) = (0,0118)t + 0,0882 ; (b) τ = RC = 87,4 s ; C = 8,47 µF
Voltímetro
40