BRAJA - Resolução Capítulo 03 - 7th Ed

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UNIVERSIDADE FEDERAL DE RORAIMA 
PRÓ-REITORIA DE GRADUAÇÃO 
CENTRO DE CIÊNCIA E TECNOLOGIA 
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL 
CURSO DE BACHARELADO EM ENGENHARIA CIVIL 
 
 
 
MECÂNICA DOS SOLOS 
 
Lista de exercícios 
Braja M. Das 
Capítulo III 
Relações peso-volume 
 
Professora Doutora Gioconda Santos e Souza Martinez 
 
 
 
Nelson Poerschke 
UFRR- Boa Vista – RR 
2016
2 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 
1) Teor de umidade (𝑤 𝑜𝑢 ℎ) 
 
𝑤 =
𝑊𝑊
𝑊𝑠
100 =
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
×100 
𝑤 =
𝑊𝑡 − 𝑊𝑠
𝑊𝑠 − 𝑡𝑎𝑟𝑎
×100 
𝑤 =
𝑆𝑛𝛾𝑤
(1 − 𝑛)𝛾𝑠
 𝑜𝑢 
𝑆𝑒𝛾𝑤
𝛾𝑠
 
 
2) Índice de vazios (𝑒) 
 
𝑒 =
𝑉𝑣
𝑉𝑠
100 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
×100 
𝑒 =
𝑛
1 − 𝑛
=
𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
1 − 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
𝑒 =
𝑛𝑉𝑡
𝑉𝑡 − 𝑉𝑣
=
𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 × 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 − 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐. 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐. 𝑎𝑝𝑎𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒
− 1 
𝑒 =
𝑤𝛾𝑠
𝑆𝛾𝑤
 
𝑒 =
𝐺𝑠𝑤
𝑆
 
 
3) Porosidade (𝑛) 
 
𝑛 =
𝑉𝑣
𝑉𝑡
100 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
×100 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
1 − í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
 
 
4) Grau de saturação (𝑆) 
 
𝑆 =
𝑉𝑤
𝑉𝑣
100 =
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
×100 
𝑆 =
𝑤 𝛾𝑠
𝑒 𝛾𝑤
=
𝑡𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑖𝑑.×𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠 ×𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐. 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎
 
𝑆 =
𝐺𝑠𝑤
𝑒
 
 
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5) Peso específico natural (𝛾) 𝑜𝑢 (𝛾𝑛) 
 
𝛾 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝛾 = 𝑆𝛾𝑤 + (1 − 𝑛)𝛾𝑠 
𝛾 =
𝑆𝑒𝛾𝑤 + 𝛾𝑠
1 + 𝑒
 
𝛾 = 𝛾𝑑(1 + 𝑤) 
𝛾 =
(𝐺𝑠 + 𝑆𝑒)
1 + 𝑒
𝛾𝑤 
 
6) Peso específico aparente seco (𝛾𝑑) 
 
𝛾𝑑 =
𝑊𝑠
𝑉𝑡
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝛾𝑑 =
𝛾
1 + 𝑤
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙
1 + 𝑡𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒
 
𝛾𝑑 = (1 − 𝑛)𝛾𝑠 
𝛾𝑑 =
𝐺
1 + 𝑒
𝛾𝑤 =
𝑑𝑒𝑛𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎
1 + í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠
×𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝. á𝑔𝑢𝑎 
𝛾𝑑 =
𝑒𝑆𝛾𝑤
(1 + 𝑒)𝑤
= 
 
7) Peso específico saturado (𝛾𝑠𝑎𝑡 ) 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝑊𝑠𝑎𝑡
𝑉𝑡
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (1 − 𝑛)𝛾𝑠 + 𝑛 𝛾𝑤 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝐺𝑠 + 𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑤 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑(1 + 𝑤) 
 
8) Peso específico dos sólidos (𝛾𝑠) 
 
𝛾𝑠 =
𝑊𝑠
𝑉𝑠
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
 
𝑊𝑠 = 𝑉𝑡(1 − 𝑛)𝛾𝑠 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 
𝛾𝑠 = (𝑒 + 1)𝛾𝑑 
 
9) Peso da água (𝑊𝑤) 
 
𝑊𝑤 = 𝑉(𝛾𝑠𝑎𝑡 − 𝛾𝑑) 
 
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10) Peso específico da água (𝛾𝑤) 
 
𝛾𝑤 =
𝑊𝑤
𝑉𝑤
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 á𝑔𝑢𝑎
𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 á𝑔𝑢𝑎
 
 
11) Peso específico submerso (𝛾𝑠𝑢𝑏) 
 
𝛾𝑠𝑢𝑏 = 𝛾𝑠𝑎𝑡 − 𝛾𝑤 
𝛾𝑠𝑢𝑏 = 𝐺(1 − 𝑛)𝛾𝑤 − (1 − 𝑛)𝛾𝑤 
𝛾𝑠𝑢𝑏 = (𝐺 − 1)(1 − 𝑛)𝛾𝑤 
𝛾𝑠𝑢𝑏 =
𝛾 − 1
1 + 𝑒
𝛾𝑤 
 
12) Densidade relativa dos grãos (𝐺) 
 
𝐺 =
𝛾𝑠
𝛾𝑤
=
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐. 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠
𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐. 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎
 
 
13) Volume de vazios (𝑉𝑣) 
 
𝑉𝑣 = 𝑛𝑉𝑡 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠×𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
 
14) Volume dos grãos (sólidos) (𝑉𝑠) 
 
𝑉𝑠 = 𝑉𝑡(1 − 𝑛) 
 
15) Volume total (𝑉𝑡) 
 
𝑉𝑡 = 𝑉𝑠(1 + 𝑒) 
 
16) Peso total (𝑊𝑡) 
 
𝑊𝑡 = [(𝑆𝑛𝑉𝑡)𝛾𝑤] + [(𝑉𝑡(1 − 𝑛)𝛾𝑠] 
 
17) Grau de compacidade (𝐺𝐶) 
 
(𝐺𝐶) =
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛
 𝑜𝑢 
𝛾𝑑𝑐𝑎𝑚𝑝𝑜
𝛾𝑑𝑚á𝑥
×100 
 
 
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18) Índice de grupo (𝐼𝐺) 
 
𝐼𝐺 = 0,2𝑎 + 0,005𝑎𝑐 + 0,01𝑏𝑑 
𝑎 = 𝑃200 − 35 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 0 𝑎 40 
𝑏 = 𝑃200 − 15 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 0 𝑎 40 
𝑐 = 𝐿𝐿 − 40 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 0 𝑎 20 
𝑑 = 𝐼𝑃 − 10 → 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 0 𝑎 20 
𝑃200 < 15; 𝐼𝐺 = 0 
 
19) Índice de grupo (𝐼𝐺)(𝐴2 − 6 𝑒 𝐴2 − 7) 
 
𝐼𝐺 = 0,01𝑏𝑑 
 
20) Franja capilar 
 
𝑢 = −𝑆𝛾𝑤ℎ − 𝑆𝑎𝑡×𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝 á𝑔𝑢𝑎×𝑎𝑙𝑡 𝑓𝑟𝑎𝑛𝑗𝑎 
 
 
 
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 Em um solo saturado mostre que: 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (
𝑒
𝑤
) (
1 + 𝑤
1 + 𝑒
) 𝛾𝑤 
 
 
 
 Partindo da das equações 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
(𝐺𝑠+𝑒)𝛾𝑤
1+𝑒
 e 𝑒 = 𝑤𝐺𝑠 → 𝐺𝑠 =
𝑒
𝑤
 temos: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
(
𝑒
𝑤 + 𝑒
) 𝛾𝑤
1 + 𝑒
= (
𝑒
𝑤
) (
1 + 𝑤
1 + 𝑒
) 𝛾𝑤 
 
 
 
 Para uma amostra de solo úmido, são fornecidos os seguintes valores: 
• Volume total: 𝑉 = 1,2 𝑚3; 
• Massa total: 𝑀 = 2350 𝑘𝑔; 
• Índice de umidade: 𝑤 = 8,6%; e 
• Peso específico relativo dos sólidos do solo: 𝐺𝑠 = 2,71 
 
 Determine: 
a) Massa específica úmida; 
b) Massa específica seca; 
c) Índice de vazios; 
d) Porosidade; 
e) Grau de saturação; e 
f) Volume de água na amostra do solo. 
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𝜌 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 ú𝑚𝑖𝑑𝑎 
𝜌𝑑 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑒𝑐𝑎 
𝑀 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 
𝑀𝑠 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 
𝑉 = 𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 
𝑤 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑒 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑑𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠 
𝜌𝑤 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 
𝑛 = 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝐺𝑠 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑜𝑠 𝑠ó𝑙𝑖𝑑𝑜𝑠 
𝑆 = 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎çã𝑜 
𝑀𝑤 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 
 
a) Massa específica úmida; 
 
𝜌 =
𝑀
𝑉
=
2350 𝑘𝑔
1,2 𝑚3
= 𝟏𝟗𝟓𝟖, 𝟑𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
b) Massa específica seca; 
 
𝜌𝑑 =
𝑀𝑠
𝑉
=
𝑀
(1 + 𝑤)𝑉
=
2350 𝑘𝑔
(1 +
8,6
100
) ×1,2 𝑚3
= 𝟏𝟖𝟎𝟑, 𝟐𝟓 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
c) Índice de vazios; 
 
𝜌𝑑 =
𝐺𝑠𝜌𝑤
1 + 𝑒
 → 𝑒 =
𝐺𝑠𝜌𝑤
𝜌𝑑
− 1 =
2,71×1000 𝑘𝑔 𝑚3⁄
1803,25 𝑘𝑔 𝑚3⁄
− 1 = 𝟎, 𝟓𝟎𝟑 
 
d) Porosidade; 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,503
1 + 0,503
= 𝟎, 𝟑𝟑𝟓 
 
e) Grau de saturação; 
 
𝑆 =
𝑤𝐺𝑠
𝑒
=
(
8,6
100
) (2,71)
0,503
= 0,4633 = 𝟒𝟔, 𝟑𝟑% 
 
f) Volume de água na amostra de solo. 
 
𝑉 =
𝑀
𝜌
=
𝑀𝑤
𝜌𝑤
=
𝑀 − 𝑀𝑠
𝜌𝑤
=
𝑀 −
𝑀
1 + 𝑤
𝜌𝑤
=
2350 𝑘𝑔 − (
2350 𝑘𝑔1 +
8,6
100
)
1000 𝑘𝑔/𝑚3
 
 
2350 𝑘𝑔 − (
2350 𝑘𝑔
1 + 0,086
)
1000 𝑘𝑔/𝑚3
=
2350 𝑘𝑔 − 2163,9 𝑘𝑔
1000 𝑘𝑔/𝑚3
=
186,1 𝑘𝑔
1000 𝑘𝑔/𝑚3
= 𝟎, 𝟏𝟖𝟔 𝒎𝟑 
 
 
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𝛾 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑛𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑙 
𝛾𝑤 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑑𝑎 á𝑔𝑢𝑎 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝑝𝑒𝑠𝑜 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜 
𝑛 = 𝑝𝑜𝑟𝑜𝑠𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 
𝑤 = 𝑡𝑒𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑢𝑚𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 (%) 
𝜌𝑠𝑎𝑡 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑒𝑠𝑝𝑒𝑐í𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑎 
𝑀𝑤 = 𝑚𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑑𝑒 á𝑔𝑢𝑎 
 
 Os valores a seguir são dados para um solo: 
• Porosidade: 0,4; 
• Peso específico relativo dos sólidos do solo: 2,68; e 
• Teor de umidade: 12% 
 
 Determine a massa de água a ser adicionada a 10 𝑚3 de solo para a saturação total. 
 
 
 A equação 𝛾 = 𝐺𝑠𝛾𝑤(1 − 𝑛)(1 + 𝑤) pode ser reescrita como 𝜌 = 𝐺𝑠𝜌𝑤(1 − 𝑛)(1 + 𝑤). 
 
 E a equação 𝛾𝑠𝑎𝑡 = [(1 − 𝑛)𝐺𝑠 + 𝑛]𝛾𝑤 pode ser reescrita como 𝜌𝑠𝑎𝑡 = [(1 − 𝑛)𝐺𝑠 + 𝑛]𝜌𝑤. 
 
 Assim: 
 𝜌 = 𝐺𝑠𝜌𝑤(1 − 𝑛)(1 + 𝑤) 
 𝜌 = (2,68)(1000 𝑘𝑔/𝑚3)(1 − 0,4)(1 + 0,12) = 
 𝜌 = 𝟏𝟖𝟎𝟎, 𝟗𝟔 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
 𝜌𝑠𝑎𝑡 = [(1 − 𝑛)𝐺𝑠 + 𝑛]𝜌𝑤. 
 𝜌𝑠𝑎𝑡 = [(1 − 0,4)(2,68) + 0,4]1000 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ = 𝟐𝟎𝟎𝟖 𝒌𝒈/𝒎𝟑. 
 
 𝑀𝑤 = 𝜌𝑠𝑎𝑡 − 𝜌 = 2008𝑘𝑔 𝑚
3⁄ − 1800,96 𝑘𝑔 𝑚3⁄ = 𝟐𝟎𝟕, 𝟎𝟒 𝒌𝒈 𝒎𝟑⁄ 
 
 Portanto, a massa total de água no solo é: 
 
 𝑀𝑤 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 = 207,04 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ ×10 𝑚3 = 𝟐𝟎𝟕𝟎, 𝟒 𝒌𝒈 
 
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 Um solo saturado tem um peso específico seco de 16,19 𝑘𝑁/𝑚3. Seu teor de umidade é de 
23%. Determine: 
 a) O peso específico saturado; 
 b) O peso específico relativo; e 
 c) O índice de vazios. 
 
 
 a) Peso específico saturado. 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑(1 + 𝑤) = (16,19 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ )(1 + 0,23) = 𝟏𝟗, 𝟗𝟏 𝒌𝑵/𝒎𝟑 
 
 b) Peso específico relativo; e 
 
𝛾𝑑 =
𝐺𝑠𝛾𝑤
1 + 𝑒
 → 𝐺𝑠 =
𝛾𝑑(1 + 𝑒)
𝛾𝑤
 𝑚𝑎𝑠 𝑒 =
𝑤𝐺𝑠
𝑆
 
 
 Em solo saturado 𝑆 = 100% = 1, 𝑙𝑜𝑔𝑜 𝑒 = 𝑤𝐺𝑠, assim: 
 
𝐺𝑠 =
𝛾𝑑(1 + 𝑤𝐺𝑠)
𝛾𝑤
=
𝛾𝑑 + 𝛾𝑑𝑤𝐺𝑠
𝛾𝑤
= 𝐺𝑠𝛾𝑤 − 𝛾𝑑𝑤𝐺𝑠 = 𝛾𝑑 
𝐺𝑠(𝛾𝑤 − 𝛾𝑑𝑤) = 𝛾𝑑 → 𝐺𝑠 =
𝛾𝑑
𝛾𝑤 − 𝛾𝑑𝑤
 
𝐺𝑠 =
16,19 𝑘𝑁 𝑚3⁄
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ − (16,19 𝑘𝑁 𝑚3⁄ ×0,23)
=
16,19 𝑘𝑁 𝑚3⁄
9,81 𝑘𝑁 𝑚3 − 3,72 𝑘𝑁 𝑚3⁄⁄
= 𝟐, 𝟔𝟔 
 
 c) Índice de vazios. 
 
𝑒 =
𝑤𝐺𝑠
𝑆
 𝑚𝑎𝑠 𝑆 = 100% = 1 (𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑠𝑎𝑡𝑢𝑟𝑎𝑑𝑜) 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
 
𝑒 = 𝑤𝐺𝑠 = 0,23×2,66 = 𝟎, 𝟔𝟏 
 
 
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𝐷𝑟 = 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 
𝑒𝑚𝑎𝑥 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑓𝑜𝑓𝑜 
𝑒𝑚𝑖𝑛 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑚𝑎𝑖𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑎𝑐𝑡𝑜 
𝑒 = í𝑛𝑑𝑖𝑐𝑒 𝑣𝑎𝑧𝑖𝑜𝑠 𝑠𝑜𝑙𝑜 𝑖𝑛 𝑠𝑖𝑡𝑢 
 
 Para um dado tipo de solo arenoso, 𝑒𝑚𝑎𝑥 = 0,75 e 𝑒𝑚𝑖𝑛 = 0,40. Seja 𝐺𝑠 = 2,68. No campo, o 
solo é compactado a uma massa específica úmida de 1797,4 𝑘𝑔/𝑚3, para um teor de umidade de 12%. 
Determine a compacidade relativa do solo. 
𝜌 =
(1 + 𝑤)𝐺𝑠𝜌𝑤
1 + 𝑒
 
 
𝑒 =
𝐺𝑠𝜌𝑤(1 + 𝑤)
𝜌
− 1 =
(2,68)(1000 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )(1 + 0,12)
1797,4 𝑘𝑔 𝑚3⁄
= 𝟎, 𝟔𝟕 
 
𝐷𝑟 =
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛
 
 
𝐷𝑟 =
0,75 − 0,67
0,75 − 0,41
= 0,229 = 𝟐𝟐, 𝟗% 
 
 
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𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 + 𝑛𝛾𝑤 
 
𝛾 =
𝑊
𝑉
 → 𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝑊𝑠 + 𝑊𝑤
𝑉
 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝑊𝑠
𝑉
+
𝑊𝑤
𝑉
 → 
𝑊𝑠
𝑉
= 𝛾𝑑 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 +
𝑊𝑤
𝑉
 → 𝑊𝑤 = 𝑉𝑣𝛾𝑤 → 
𝑊𝑤
𝑉
=
𝑉𝑣𝛾𝑤
𝑉
=
𝑉𝑣
𝑉
𝛾𝑤 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 +
𝑉𝑣
𝑉
𝛾𝑤 𝑚𝑎𝑠 
𝑉𝑣
𝑉
= 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑜 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝜸𝒅 + 𝒏𝜸𝒘 
 
 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 + (
𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑤 
𝛾 =
𝑊
𝑉
 → 𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝑊𝑠 + 𝑊𝑤
𝑉
 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝑊𝑠
𝑉
+
𝑊𝑤
𝑉
 → 
𝑊𝑠
𝑉
= 𝛾𝑑 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 +
𝑊𝑤
𝑉
 → 𝑊𝑤 = 𝑉𝑣𝛾𝑤 → 
𝑊𝑤
𝑉
=
𝑉𝑣𝛾𝑤
𝑉
=
𝑉𝑣
𝑉
𝛾𝑤 
 
3.1 
3.2 
12 
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𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 +
𝑉𝑣
𝑉
𝛾𝑤 𝑚𝑎𝑠 
𝑉𝑣
𝑉
= 𝑛 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑 + 𝑛𝛾𝑤 𝑚𝑎𝑠 𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝜸𝒅 + (
𝒆
𝟏 + 𝒆
) 𝜸𝒘 
 
 
 
 
𝛾𝑑 =
𝑒𝑆𝛾𝑤
(1 + 𝑒)𝑤
 
𝛾𝑑 =
𝑊𝑠
𝑉𝑡
 → 𝑊𝑠 = 𝑉𝑡(1 − 𝑛)𝛾𝑠 𝑒 𝑛 = 
𝑒
1 + 𝑒
 𝑙𝑜𝑔𝑜: 
 
𝛾𝑑 =
𝑉𝑡(1 − 𝑛)𝛾𝑠
𝑉𝑡
 = (1 −
𝑒
1 + 𝑒
) 𝛾𝑠 → 𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 𝑎𝑠𝑠𝑖𝑚: 
 
𝛾𝑑 = (1 −
𝑒
1 + 𝑒
) 𝐺𝑠𝛾𝑤 → 𝛾𝑑 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 −
𝐺𝑠𝛾𝑤𝑒
1 + 𝑒
 
 
𝛾𝑑 =
𝐺𝑠𝛾𝑤(1 + 𝑒) − 𝐺𝑠𝛾𝑤𝑒
1 + 𝑒
=
𝐺𝑠𝛾𝑤 + 𝐺𝑠𝛾𝑤𝑒 − 𝐺𝑠𝛾𝑤𝑒
1 + 𝑒
=
𝐺𝑠𝛾𝑤
1 + 𝑒
 ; 𝑚𝑎𝑠 𝐺𝑠 =
𝑒𝑆
𝑤
 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑤
1 + 𝑒
×
𝑒𝑆
𝑤
 
 
𝛾𝑑 =
𝑒𝑆𝛾𝑤
(1 + 𝑒)𝑤
 
 
3.3 
13 
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 a) Teor de umidade: 
 
𝑤 =
𝑀𝑊
𝑀𝑠
100 =
711,2 𝑘𝑔 − 623,9 𝑘𝑔
623,9 𝑘𝑔
×100 =
87,3 𝑘𝑔
623,9 𝑘𝑔
×100 = 0,1399 = 𝟏𝟒% 
 
 b) Massa específica úmida: 
 
𝜌 =
𝑀𝑡
𝑉𝑡
=
711,2 𝑘𝑔
0,4 𝑚3
= 𝟏𝟕𝟕𝟖 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
 c) Massa específica seca: 
 
𝜌𝑑 =
𝑀𝑠
𝑉𝑡
=
623,9 𝑘𝑔
0,4 𝑚3
= 𝟏𝟓𝟓𝟗, 𝟕𝟓 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
 d) Índice de vazios: 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
𝐺𝑠𝛾𝑤
𝛾𝑛
1 + 𝑤
− 1 = 
𝐺𝑠𝜌𝑤𝑔(1 + 𝑤)
𝜌𝑛𝑔
− 1 =
2,68×1000 𝑘𝑔 𝑚3(1 + 0,14)⁄
1778 𝑘𝑔 𝑚3⁄
− 1 = 𝟎, 𝟕𝟐 
 
3.4 
14 
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 e) Porosidade 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
= 
0,72
1 + 0,72
= 0,4186 = 𝟎, 𝟒𝟐 
 
 
 
 
 
 
 Volume do solo úmido: 𝑉𝑡 = 9,35×10
−3𝑚3 = 0,00935 𝑚3 
 Peso do solo úmido : 𝑊𝑛 = 177,6×10
−3𝑘𝑁 = 177,6 𝑁 
 Peso do solo seco : 𝑊𝑠 = 153,6×10
−3𝑘𝑁 = 153,6 𝑁 
 Peso específico relativo dos sólidos : 𝐺𝑠 = 2,67 
 
 
 a) Teor de umidade: 
 
𝑤 =
𝑊𝑊
𝑊𝑠
×100 =
𝑊𝑛 − 𝑊𝑠
𝑊𝑠
×100 =
177,6 𝑁− 153,6 𝑁
153,6 𝑁
= 0,1562 = 𝟏𝟓, 𝟔𝟐% 
 
 b) Peso específico úmido: 
 
𝛾𝑛 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
=
177,6 𝑁
0,00935 𝑚3
= 18994,65 𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟖, 𝟗𝟗 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 c) Peso específico seco: 
 
𝛾𝑑 =
𝑊𝑠
𝑉𝑡
=
153,6 𝑁
0,00935 𝑚3
= 16427,81 𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟒𝟑 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
3.5 
15 
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Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 d) Índice de vazios: 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
𝐺𝑠𝛾𝑤
𝛾𝑑
− 1 =
2,67×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄
16,43 𝑘𝑁 𝑚3⁄
− 1 = 0,5941 = 𝟎, 𝟓𝟗 
 
 e) Porosidade: 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,59
1 + 0,59
= 0,3711 = 𝟎, 𝟑𝟕 
 
 f) Grau de saturação: 
 
𝑆 =
𝐺𝑠𝑤
𝑒
=
2,67×15,62
0,59
= 70,687% = 𝟕𝟎, 𝟕% 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados: 
• 𝑉𝑡 = 5,66 ×10
−3𝑚3 = 0,00566 𝑚3 
• 𝑊𝑡 = 102,3 ×10
−3𝑘𝑁 = 102,3 𝑁 
• 𝑤 = 11% 
• 𝐺𝑠 = 2,70 
3.6 
16 
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Mestre: Professora Doutora Gioconda Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
 a) Peso específico úmido: 
 
𝛾𝑛 =
𝑊𝑡
𝑉𝑡
=
102,3 𝑁
0,00566 𝑚3
= 18074,20 𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟖, 𝟎𝟕 𝒌𝑵/𝒎𝟑 
 
 b) Peso específico seco: 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑛
1 + 𝑤
=
18074,20 𝑁 𝑚3⁄
1 + 0,11
= 16283,06 𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟐𝟖 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 c) Índice de vazios: 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
𝐺𝑠𝛾𝑤
𝛾𝑑
− 1 =
2,70×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄
16,28 𝑘𝑁 𝑚3⁄
− 1 = 0,6269 = 𝟎, 𝟔𝟑 
 
 d) Porosidade: 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,63
1 + 0,63
= 0,3865 = 𝟎, 𝟑𝟗 
 
 e) Grau de saturação: 
 
𝑆 =
𝐺𝑠𝑤
𝑒
=
2,70×11,00
0,63
= 𝟒𝟕, 𝟏𝟒 % 
 
 f) Volume ocupado pela água: 
 
𝑤 =
𝑊𝑡 − 𝑊𝑠
𝑊𝑠
×100 → 
𝑤
100
=
𝑊𝑡 − 𝑊𝑠
𝑊𝑠
=
𝑊𝑡
𝑊𝑠
−
𝑊𝑠
𝑊𝑠
=
𝑊𝑡
𝑊𝑠
− 1 
 
𝑤
100
+ 1 =
𝑊𝑡
𝑊𝑠
 → 𝑊𝑠 =
𝑊𝑡
𝑤
100 + 1
 → 𝑊𝑠 =
102,3 𝑁
11,0
100 + 1
=
102,3 𝑁
1,11
= 𝟗𝟐, 𝟏𝟔 𝑵 
 
𝑊𝑤 = 𝑊𝑡 − 𝑊𝑠 = 102,3 𝑁 − 92,16 𝑁 = 𝟏𝟎, 𝟏𝟒𝑵 
 
𝛾𝑤 =
𝑊𝑤
𝑉𝑤
 → 𝑉𝑤 =
𝑊𝑤
𝛾𝑤
=
10,14 𝑁
9810 𝑁/𝑚3
= 1,034 ×10−3𝑚3 = 𝟎, 𝟎𝟎𝟏 𝒎𝟑 
 
17 
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 Dados: 
• Peso específico saturado: 19,8 𝑘𝑁 𝑚3⁄ ; 𝑒 
• Teor de umidade: 17,1 %. 
 
 a) Peso específico seco: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝛾𝑑(1 + 𝑤) → 𝛾𝑑 =
𝛾𝑠𝑎𝑡
1 + 𝑤
=
19,8 𝑘𝑁 𝑚3⁄
1 + 0,171
= 16,9086 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟗𝟏 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 
 c) Índice de vazios 
 
𝛾𝑑 =
𝑒𝑆𝛾𝑤
(1 + 𝑒)𝑤
 
1 + 𝑒
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 → 
1
𝑒
+
𝑒
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 → 
1
𝑒
+ 1 =
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 
1
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
− 1 → 𝑒 =
1
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
− 1
=
1
(
1×9810
16908,6×0,171
) − 1
=
1
2,3929
= 0,4179 = 𝟎, 𝟒𝟏𝟖 
 
 b) Peso específico relativo dos sólidos do solo: 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 
𝛾𝑠 = (𝑒 + 1)𝛾𝑑 = (0,418 + 1)16,91 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 𝟐𝟑, 𝟗𝟗 𝒌𝑵/𝒎𝟑 
 
𝐺𝑠 =
𝛾𝑠
𝛾𝑤
=
23,99 𝑘𝑁/𝑚3
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄
= 2,4455 = 𝟐, 𝟒𝟓 
 
3.7 
18 
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 Dados: 
 𝛾𝑛 = 14,94 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ ; 
 𝑤 = 19,2 %; 𝑒 
 𝑆 = 60%. 
 
 a) Índice de vazios 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑛
1 + 𝑤
=
14,94 𝑘𝑁/𝑚3
1 + 0,192
= 𝟏𝟐, 𝟓𝟑 𝑵/𝒎𝟑 
 
𝛾𝑑 =
𝑒𝑆𝛾𝑤
(1 + 𝑒)𝑤
 
1 + 𝑒
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 → 
1
𝑒
+
𝑒
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 → 
1
𝑒
+ 1 =
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
 
1
𝑒
=
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
− 1 → 𝑒 =
1
𝑆𝛾𝑤
𝛾𝑑𝑤
− 1
=
1
(
0,6×9,81
12,53×0,192
) − 1
=
1
1,4466
= 0,6913 = 𝟎, 𝟔𝟗 
 
 b) Peso específico relativo dos sólidos do solo: 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 
𝛾𝑠 = (𝑒 + 1)𝛾𝑑 = (0,67 + 1)12,53 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 𝟐𝟎, 𝟗𝟑 𝒌𝑵/𝒎𝟑 
 
𝐺𝑠 =
𝛾𝑠
𝛾𝑤
=
20,93 𝑘𝑁/𝑚3
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄
= 2,133 = 𝟐, 𝟏𝟑 
 
 
3.8 
19 
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 c) Peso específico saturado: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝐺𝑠 + 𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑤 =
(2,13 + 0,69)
(1 + 0,69)
×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟑𝟕 𝒌𝑵/𝒎𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Dados: 
 𝐺𝑠 = 2,67; 
 𝛾𝑛 = 17,61 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ ; 𝑒 
 𝑤 = 10,8 %. 
 
 a) Peso específico seco: 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑛
1 + 𝑤
=
17,61 𝑘𝑁/𝑚3
1 + 0,108
= 𝟏𝟓, 𝟖𝟗 𝑵/𝒎𝟑 
 
 b) Índice de vazios: 
 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 = 2,67×9,81 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 𝟐𝟔, 𝟏𝟗 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
26,19 𝑘𝑁 𝑚3⁄
15,89 𝑁 𝑚3⁄
− 1 = 𝟎, 𝟔𝟒𝟖 
 
 c) Porosidade 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,648
1 + 0,648
= 𝟎, 𝟑𝟗 
 
3.9 
20 
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 d) Grau de saturação: 
 
𝑆 =
𝐺𝑠𝑤
𝑒
=
2,67×0,108
0,648
= 𝟒𝟒, 𝟓 % 
 
 
 
 
 
 
 Dados: 
 𝐺𝑠 = 2,67; 𝛾𝑠 = 26,19 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ 𝑉𝑡 = 1 𝑚
3 
 𝛾𝑛 = 17,61 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ ; 𝑒 = 0,648 
 𝑤 = 10,8 %; 𝑛 = 0,39 
 𝛾𝑑 = 15,89 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ ; 𝑆 = 44,5 
 
 Peso da água existente em 1 𝑚3 de solo nas condições do enunciado: 
 
𝑊𝑤 = (𝛾𝑛 − 𝛾𝑑)𝑉𝑡 
𝑊𝑤 = (17,61 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ − 15,89 𝑘𝑁 𝑚3⁄ )×1 𝑚3 = 𝟏, 𝟕𝟐 𝒌𝑵 
 
 a) 80% do grau de saturação 
 
𝑆 =
𝑤𝛾𝑠
𝑒𝛾𝑤
 → 𝑤 =
𝑆𝑒𝛾𝑤
𝛾𝑠
 
𝑤 =
0,8×0,648×9,81 𝑘𝑁/𝑚3
26,19 𝑘𝑁/𝑚3
= 𝟏𝟗, 𝟒𝟐 
1,72 𝑘𝑁
𝑥
=
10,8 %
19,42%
 → 𝑥 = 3,09 𝑘𝑁 
 
3,09 𝑘𝑁 − 1,72 𝑘𝑁 = 𝟏, 𝟑𝟕 𝒌𝑵 
 
 
3.10 
21 
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 b) 100% do grau de saturação 
 
𝑆 =
𝑤𝛾𝑠
𝑒𝛾𝑤
 → 𝑤 =
𝑆𝑒𝛾𝑤
𝛾𝑠
 
𝑤 =
1×0,648×9,81 𝑘𝑁/𝑚3
26,19 𝑘𝑁/𝑚3
= 𝟐𝟒, 𝟐𝟕 
 
1,72 𝑘𝑁
𝑥
=
10,8 %
24,27%
 → 𝑥 = 3,87 𝑘𝑁 
 
3,87 𝑘𝑁 − 1,72 𝑘𝑁 = 𝟐, 𝟏𝟓 𝒌𝑵 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 𝛾 =
𝑊
𝑉
=
𝑚𝑎
𝑉
 𝜌 =
𝑚
𝑉
 , 𝑙𝑜𝑔𝑜 
𝛾
𝑎
=
𝑚
𝑉
 
 
 Desta forma, todas as equações para peso específico são aplicáveis para massa específica, desde 
que divididas pela aceleração da gravidade. 
 
 a) Massa específica seca: 
 
𝜌𝑑 =
𝜌𝑛
1 + 𝑤
=
1680 𝑘𝑔/𝑚3
1 + 0,18
= 𝟏𝟒𝟐𝟑, 𝟕𝟑 𝒌𝒈/𝒎𝟑 
 
 
3.11 
22 
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 b) Porosidade 
 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠×𝛾𝑤 = 2,73×9,81 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 26,781 𝑘𝑁/𝑚3 
𝛾𝑠 = 𝜌𝑠𝑔 → 𝜌𝑠 =
𝛾𝑠
𝑔
=
26,781 𝑘𝑔. 𝑚/𝑠2. 𝑚3
9,81 𝑚/𝑠2
= 2729,69 𝑘𝑔/𝑚3 
 
𝑒 =
𝜌𝑠
𝜌𝑑
− 1 =
2729,69 𝑘𝑔 𝑚3⁄
1423,73 𝑘𝑔 𝑚3⁄
− 1 = 0,917 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,917
1 + 0,917
= 𝟎, 𝟒𝟕𝟖 
 
 c) Saturação: 
 
𝑆 =
𝑤𝜌𝑠
𝑒𝜌𝑤
=
18×2729,69 𝑘𝑔/𝑚3
0,917×1000 𝑘𝑔/𝑚3
= 𝟓𝟑, 𝟔 % 
 
 d) Massa de água, em 𝑘𝑔/𝑚3, a ser adicionada para atingir a saturação completa: 
 
 Massa de água já presente no solo: 
 
𝑀𝑤 = (𝜌𝑛 − 𝜌𝑑)𝑉𝑡 = (1680 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ − 1423,73 𝑘𝑔 𝑚3⁄ )1 𝑚3 = 𝟐𝟓𝟔, 𝟐𝟕 𝒌𝒈 
 
 Massa de água a ser acrescentada para atingir saturação de 100%: 
 
𝑆 =
𝑤𝛾𝑠
𝑒𝛾𝑤
 → 𝑤 =
𝑆𝑒𝛾𝑤
𝛾𝑠
 
𝑤 =
1×0,917×1000 𝑘𝑔/𝑚3
2729,87 𝑘𝑔/𝑚3
= 33,6 % 
 
256,27 𝑘𝑔
𝑥
=
18 %
33,6%
 → 𝑥 = 478,37 𝑘𝑔 
 
478,37 𝑘𝑔 − 256,27 𝑘𝑔 = 𝟐𝟐𝟐, 𝟏𝟎 𝒌𝒈 
 
23 
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 Dados: 
 𝜌𝑑 = 1780 𝑘𝑔/𝑚
3 
 𝐺𝑠 = 2,68 
 𝑆 = 100% 
 
𝛾𝑑 = 𝜌𝑑𝑔 = 1780 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ × 9,81 𝑚 𝑠2⁄ = 17,46 𝑘𝑁/𝑚3 
 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 = 2,68×9,81 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 26,29 𝑘𝑁/𝑚3 
 
𝑒 =
𝛾𝑠−𝛾𝑑
𝛾𝑑
=
26,29 𝑘𝑁 𝑚3⁄ − 17,46 𝑘𝑁/𝑚3
17,46 𝑘𝑁/𝑚3
= 0,51 
 
𝑤 =
𝑆𝑒𝛾𝑤
𝛾𝑠
=
1×0,51×9,81 𝑘𝑁/𝑚3 
26,29 𝑘𝑁/𝑚3
= 𝟏𝟗, 𝟎𝟑 
 
 
 
 
 
 
 
 a) Peso específico saturado: 
 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 = 2,69×9,81 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 26,39 𝑘𝑁 𝑚3⁄ 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 = (1 − 𝑛)𝛾𝑠 + 𝑛 𝛾𝑤 = (1 − 0,35)26,39 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ + 0,35×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ 
 
3.12 
3.13 
24 
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𝛾𝑠𝑎𝑡 = 𝟐𝟎, 𝟓𝟗 𝒌𝑵 𝒎
𝟑⁄ 
 b) Teor de umidade quando o peso específico úmido é igual a 17,5 𝑘𝑁 𝑚3⁄ . 
 
𝛾𝑑 = (1 − 𝑛)𝛾𝑠 = (1 − 0,35)26,39 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 17,15 𝑘𝑁 𝑚3⁄ 
 
𝛾𝑛 = (1 + 𝑤)𝛾𝑑 → 𝑤 =
𝛾𝑛 − 𝛾𝑑
𝛾𝑑
=
17,50 𝑘𝑁 𝑚3⁄ − 17,15 𝑘𝑁 𝑚3⁄
17,15 𝑘𝑁 𝑚3⁄
= 0,020 = 𝟐% 
 
 
 
 
Cálculos preliminares: 
 
𝜌𝑠 = 𝐺𝑠𝜌𝑤 = 2,68×10 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ = 26,80 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
 
𝑒 =
𝐺𝑠𝑤
𝑆
=
2,68×23
100
= 0,60 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,60
1 + 0,60
= 0,375 
 
 Massa específica saturada: 
 
𝜌𝑠𝑎𝑡 = (1 − 𝑛)𝜌𝑠 + 𝑛𝜌𝑤 
𝜌𝑠𝑎𝑡 = (1 − 0,375)26,80 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ + 0,375×10 𝑘𝑔 𝑚3⁄ = 𝟐𝟎, 𝟓𝟎 𝒌𝒈 𝒎𝟑⁄ 
 
 Massa específica seca: 
 
𝜌𝑑 = (1 − 𝑛)𝜌𝑠 
𝜌𝑑 = (1 − 0,375)26,80 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟕𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟑⁄ 
 
3.14 
25 
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Cálculos preliminares: 
 
𝛾𝑠 = 𝐺𝑠𝛾𝑤 = 2,71×9,81 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ = 26,59 𝑘𝑔 𝑚3⁄ 
 
𝑛 =
𝑒
1 + 𝑒
=
0,75
1 + 0,75
= 0,429 
 
 
b) Peso específico seco: 
 
𝜌𝑑 = (1 − 𝑛)𝜌𝑠 
𝜌𝑑 = (1 − 0,429)26,59 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ = 𝟏𝟓, 𝟏𝟖 𝒌𝒈 𝒎𝟑⁄ 
 
a) Peso específico úmido: 
 
𝛾𝑛 = 𝛾𝑑(1 + 𝑤) 
𝛾𝑛 = 15,18 𝑘𝑔 𝑚
3⁄ (1 + 0,215) = 𝟏𝟖, 𝟒𝟓 𝒌𝒈 𝒎𝟑⁄ 
 
 c) Grau de saturação: 
 
𝑆 =
𝐺𝑠𝑤
𝑒
 
𝑆 =
2,71×21,5%
0,75
= 𝟕𝟕, 𝟔𝟗 % 
 
3.15 
26 
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𝑒 =
𝐺𝑠𝑤
𝑆
=
2,67×18,2
80
= 0,607 
 
 Peso específico úmido: 
𝛾𝑛 =
𝐺𝑠 + 𝑆𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑤 
𝛾𝑛 =
2,67 + (0,80×0,607)
1 + 0,607
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟗, 𝟐𝟔 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 Peso específico seco: 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑛
1 + 𝑤
=
19,26 𝑘𝑁 𝑚3⁄
1 + 0,182
= 𝟏𝟔, 𝟐𝟗 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
𝛿𝑠 = 𝐺𝑠𝛿𝑤 = 2,70×9,81 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ = 26,49 𝑘𝑁 𝑚3⁄ 
 
𝛾𝑑 =
𝛾𝑛
1 + 𝑤
=
17,66 𝑘𝑁 𝑚3⁄
1 + 0,1
= 16,05 𝑘𝑁 𝑚3⁄ 
 
 a) Índice de vazios: 
 
𝑒 =
𝛾𝑠
𝛾𝑑
− 1 =
26,49 𝑘𝑁 𝑚3⁄
16,05 𝑘𝑁 𝑚3⁄
− 1 = 𝟎, 𝟔𝟒𝟓 
3.16 
3.17 
27 
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 b) Peso específico saturado 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝐺𝑠 + 𝑒
1 + 𝑒
𝛾𝑤 =
2,70 + 0,645
1 + 0,645
×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟗, 𝟗𝟓 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄ 
 
 
 
 
 
 
𝛾 (𝑘𝑁 𝑚3⁄ ) S (%) 
16,62 
17,71 
50 
75 
 
 
 
 a) Índice de vazios: 
 
 1° caso: 𝛾𝑛 = 16,62 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ e 𝑆 = 50% 
 
𝛾𝑛 =
𝛾𝑤(𝐺𝑠 + 𝑆𝑒)
1 + 𝑒
 
16,62 𝑘𝑁 𝑚3⁄ =
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ (𝐺𝑠 + 0,5𝑒)
1 + 𝑒
 → 16,62(1 + 𝑒) = 9,81 (𝐺𝑠 + 0,5𝑒) 
16,62 + 16,62𝑒 = 9,81𝐺𝑠 + 4,905 𝑒 → 9,81𝐺𝑠 + 4,905 𝑒 − 16,62𝑒 = 16,62 
 
9,81𝐺𝑠 − 11,715𝑒 = 16,62 … (1) 
 
 
 2° caso: 𝛾𝑛 = 17,71 𝑘𝑁 𝑚
3⁄ e 𝑆 = 75% 
 
𝛾𝑛 =
𝛾𝑤(𝐺𝑠 + 𝑆𝑒)
1 + 𝑒
 
3.18 
28 
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17,71 𝑘𝑁 𝑚3⁄ =
9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ (𝐺𝑠 + 0,75𝑒)
1 + 𝑒
 → 17,71(1 + 𝑒) = 9,81 (𝐺𝑠 + 0,75𝑒) 
17,71 + 17,71𝑒 = 9,81𝐺𝑠 + 7,358𝑒 → 9,81𝐺𝑠 + 7,358𝑒 − 17,71𝑒 = 17,71 
 
9,81𝐺𝑠 − 10,352𝑒 = 17,71 … (2) 
 
 Subtraindo e equação da equação 2, temos: 
 
9,81𝐺𝑠 − 10,352𝑒 = 17,71 
9,81𝐺𝑠 − 11,715𝑒 = 16,62 
 1,363𝑒 = 1,09 
𝑒 =
1,09
1,363
= 0,7997 = 𝟎, 𝟖𝟎 
 
 b) Densidade relativa dos grãos do solo 
 Substituindo a incógnita (𝑒), em qualquer uma das duas equações, pelo seu valor encontrado no 
item anterior, temos: 
 
9,81𝐺𝑠 − 10,352𝑒 = 17,71 
9,81𝐺𝑠 = 17,71 + 10,352(0,80) 
9,81𝐺𝑠 = 17,71 + 8,28 
𝐺𝑠 =
25,99
9,81
= 𝟐, 𝟔𝟓 
 
 
 
 Dados do problema anterior: 𝐺𝑠 = 2,65 e 𝑒 = 0,80 
 
 Cálculos preliminares: 
 
𝛾𝑠𝑎𝑡 =
𝛾𝑤(𝐺𝑠 + 𝑒)
1 + 𝑒
=
9,81 𝑘𝑁/𝑚3(2,65 + 0,80)
1 + 0,80
= 18,80 𝑘𝑁/𝑚3 
3.19 
29 
Fundamentos de Engenharia Geotécnica – 7ª Edição – Braja M. Das 
Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
Mestre: Professora Doutora Gioconda Martinez 
Acadêmico: Nelson Poerschke 
𝛾𝑑 =
𝐺𝑠𝛾𝑤
1 + 𝑒
=
2,65×9,81 𝑘𝑁/𝑚3
1 + 0,80
= 14,44 𝑘𝑁/𝑚3 
 
 Peso de água em 0,0708 𝑚3 de solo: 
 
𝑊𝑤 = 𝑉(𝛾𝑠𝑎𝑡 − 𝛾𝑑) 
 
𝑊𝑤 = 0,0708 𝑚
3(18,80 𝑘𝑁 𝑚3⁄ − 14,44 𝑘𝑁 𝑚3⁄ ) 
 
𝑊𝑤 = 0,0708 𝑚
3×4,36 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟎, 𝟑𝟏𝟎 𝒌𝑵 
 
 
 
 
𝐷𝑟 =
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒
𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛
 → 𝐷𝑟(𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) − 𝑒𝑚𝑎𝑥 = −𝑒 
 
𝑒 = 𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝐷𝑟(𝑒𝑚𝑎𝑥 − 𝑒𝑚𝑖𝑛) = 0,78 − 0,65(0,78 − 0,43) 
 
𝑒 = 0,553 
 
 Peso específico seco: 
 
𝛾𝑑 =
𝐺𝑠
1 + 𝑒
𝛾𝑤 =
2,67
1 + 0,553
×9,81 𝑘𝑁 𝑚3⁄ = 𝟏𝟔, 𝟖𝟕 𝒌𝑵 𝒎𝟑⁄3.20 
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Disciplina: Mecânica dos Solos – Curso de Engenharia Civil – UFRR 
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