Principios de Mecanica e Resistencia dos Materiais Aula 1

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Princípios de Mecânica e Resistência dos 
Materiais 
 
 
 
 
 
Aula 1 
 
 
Prof. Marcus de Oliveira Filho 
 
 
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Conversa Inicial 
Olá, seja bem-vindo à aula 1 de Princípios de Mecânica e Resistência 
dos Materiais. 
Nela, serão apresentados os conceitos, as idealizações e as quantidades 
básicas da Mecânica. Também será visto como as forças e os resultantes de 
forças atuam sobre os corpos rígidos e partículas. Além disso, veremos o que é 
o momento de uma força em relação a um ponto. O objetivo é que no fim desta 
aula você se sinta apto a compreender, identificar e representar as forças e os 
momentos atuantes em problemas de estática. Mas antes de começar, assista à 
introdução do professor Marcus Oliveira Filho sobre este tema no seu material 
digital. 
Contextualizando 
A estática é a parte da mecânica que estuda corpos que não se movem, 
ou seja, que estão estáticos. Muitas situações do nosso cotidiano enquadram-se 
neste tipo de problema. Enquanto você lê este texto, por exemplo, o peso do seu 
corpo é uma força que atua na estrutura da cadeira ou poltrona sobre a qual você 
está sentado. Ao utilizar um mouse ou um teclado, seus dedos também 
imprimem forças sobre os botões pressionados. Para girar a tampa de uma 
garrafa de refrigerante, você precisa aplicar uma força que gera um momento, 
sendo este uma tendência de rotação do corpo (neste caso, da tampa). 
Para analisar este tipo de situação, precisamos utilizar uma abordagem 
lógica, sendo que as forças que atuam sobre os corpos podem ser representadas 
através de vetores, que nos permitem compreender e manipular os fenômenos 
físicos referentes a estes problemas e chegar a soluções coerentes com a 
realidade. 
Ficou curioso para saber como isso acontece? Então, preste muita 
atenção na aula de hoje. 
 
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Tema 1: Estática – Forças e Movimentos 
Mecânica é um ramo das ciências físicas que trata do estado de repouso 
ou movimento de corpos sujeitos à ação de forças. Nesta disciplina estudaremos 
a estática, que é a parte da mecânica que trata do equilíbrio dos corpos, ou seja, 
aqueles que estão em repouso ou em movimento com velocidade constante. 
Antes de começarmos o estudo da mecânica, é importante entender o significado 
de alguns conceitos e princípios fundamentais (também chamados de grandezas 
básicas). 
Comprimento: o comprimento é usado para localizar a posição de um ponto 
no espaço e, portanto, descrever o tamanho do sistema físico. 
Tempo: o tempo é concebido como uma sucessão de eventos. Embora essa 
quantidade desempenhe um importante papel no estudo da dinâmica, os 
princípios de estática são independentes do tempo. 
Massa: a massa é uma medida da quantidade de matéria que é usada para 
comparar a ação de um corpo com a de outro. Essa propriedade se manifesta 
como uma atração da gravidade entre dois corpos e fornece uma medida da 
resistência da matéria à mudança de velocidade. 
Força: força é a interação de um corpo sobre outro. Essa interação pode 
ocorrer quando existe contato direto entre dois corpos, tal como quando uma 
pessoa empurra uma parede; ou pode ocorrer quando os corpos estão 
fisicamente separados, como, por exemplo, a força de gravidade, elétrica e 
magnética. Em qualquer caso, uma força é completamente caracterizada pela 
sua intensidade, direção e ponto de aplicação. 
Modelos ou idealizações 
Os modelos ou idealizações são usados na mecânica para simplificar a 
aplicação da teoria. Analise, a seguir, os principais deles. 
Partícula: a partícula possui massa, mas em um tamanho que pode ser 
desprezado. Por exemplo, o tamanho da Terra é insignificante quando 
comparado com o tamanho de sua órbita e, portanto, ela pode ser modelada 
como uma partícula no estudo de seu movimento orbital. Quando um corpo é 
 
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modelado como uma partícula, os princípios da mecânica reduzem-se a uma 
forma muito simplificada, uma vez que a geometria do corpo não estará 
envolvida na análise do problema. 
Corpo rígido: corpo rígido é considerado a combinação de um grande 
número de partículas que permanecem a uma distância fixa uma das outras, 
tanto antes quanto depois da aplicação de uma carga. Ou seja, um corpo rígido 
não se deforma sob a ação de uma carga. 
Força concentrada: a força concentrada representa o efeito de uma 
carga que supostamente age em um ponto do corpo. Este modelo pode ser 
utilizado quando a área sobre a qual uma força é aplicada é pequena, em 
comparação com o tamanho total do corpo. Um exemplo seria a força de contato 
entre uma roda e o solo. 
As três leis do movimento de Newton 
A mecânica para engenharia é formulada com base nas três leis do 
movimento de Newton, cuja validade é baseada na observação experimental. 
Elas podem ser postuladas resumidamente a seguir: 
Primeira Lei – Uma partícula originalmente em repouso ou movendo-se 
αααem linha reta, com velocidade constante, tende a permanecer neste estado, 
desde que não seja submetida a uma força em desequilíbrio. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Segunda Lei – Uma partícula sob a ação de uma força em desequilíbrio 
𝑭 sofre uma aceleração 𝒂 que possui a mesma direção da força e intensidade 
diretamente proporcional à força. Se 𝑭 é aplicada a uma partícula de massa m, 
essa lei pode ser expressa matematicamente como: 𝑭 = 𝑚𝒂 
 
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Terceira Lei – As forças mútuas de ação e reação entre duas partículas 
são iguais, opostas e colineares. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Unidades de medida 
Para estudar mecânica, é preciso estar familiarizado com as sete 
grandezas de base do Sistema Internacional (SI), que por convenção são tidas 
como dimensionalmente independentes. São elas: 
Grandeza Unidade Símbolo 
Comprimento Metro m 
Tempo Segundo s 
Massa Quilograma kg 
Corrente elétrica Ampère A 
Intensidade luminosa Candela cd 
Quantidade de matéria Mol mol 
Temperatura 
termodinâmica 
Kelvin K 
 
As unidades derivadas do SI são formadas pela combinação de unidades 
de base, unidades suplementares ou outras unidades derivadas. Clique no 
botão, a seguir, e tenha acesso às elas. 
Grandeza Unidade Símbolo 
Área Metro quadrado m² 
Volume Metro cúbico m³ 
Velocidade Metro por segundo m/s 
Aceleração Metro por segundo 
quadrado 
m/s² 
 
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Densidade Quilograma por metro 
cúbico 
kg/m³ 
Força Newton N 
Tensão / pressão Pascal Pa 
Aceleração angular Radiano por segundo 
quadrado 
rad/s² 
Velocidade angular Radiano por segundo rad/s 
Frequência Hertz Hz 
Potência Watt W 
 
Quando uma grandeza numérica for muito grande ou muito pequena, as 
unidades usadas para definir seu tamanho podem ser modificadas usando um 
prefixo. Quer saber como? 
Fator Prefixo Símbolo 
109 Giga G 
106 Mega M 
103 Quilo k 
10-3 Mili m 
10-6 Micro µ 
10-9 Nano n 
 
Quando formos resolver problemas de mecânica, os termos de qualquer 
equação usada para descrever um processo físico devem ser dimensionalmente 
homogêneos, isto é, cada termo deve ser expresso nas mesmas unidades. 
Vejamos, por exemplo, a equação a seguir: 
𝑠 = 𝑣𝑡 +
1
2
𝑎𝑡2 
Para este caso, no SI, temos que: 
 𝑠 é a posição em metros [m]; 
 𝑣 é a velocidade em metros por segundo [m/s]; 
 𝑡 é o tempo em segundos [s]; 
 𝑎 é a aceleraçãoem metros por segundo ao quadrado [m/s²] 
 
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Nesta equação, cada um dos três termos é expresso em metros: [m, 
(m/s).s, (m/s²).s²]. A homogeneidade dimensional (todos as unidades estarem no 
mesmo sistema) deve ser respeitada para que o problema seja resolvido de 
forma correta. 
Exemplo: Converta 10 km/h em m/s: 
Solução: como 1 𝑘𝑚 = 1000 𝑚 e 1 ℎ = 3600 𝑠, os fatores de conversão 
são organizados na seguinte ordem, de modo que possa ser aplicado um 
cancelamento das unidades: 
10
𝑘𝑚
ℎ
= 10
𝑘𝑚
ℎ
(
1000 𝑚
1 𝑘𝑚
) (
1 ℎ
3600 𝑠
) 
= 
10000 𝑚
3600 𝑠
= 2,778 𝑚/𝑠 
Exemplo: Calcule numericamente (100 mN) (7 GN) e escreva a resposta 
em unidades SI usando um prefixo apropriado: 
Solução: 
(100 𝑚𝑁)(7 𝐺𝑁) = [100(10−3) 𝑁][7(109) 𝑁] 
= 700(106) 𝑁² 
= 700(106) 𝑁² (
1 𝑘𝑁
10³ 𝑁
) (
1 𝑘𝑁
10³ 𝑁
) 
= 700 𝑘𝑁² 
Nota: Observe com atenção a conversão kN² = 106 N². 
No material online, o professor Marcus Oliveira Filho fala sobre os 
procedimentos gerais para a análise dos problemas de mecânica. Não perca! 
Tema 2: Força e Vetores de Força 
Nos problemas de mecânica, a força é representada através de vetores. 
Esta representação fornece todas as informações necessárias a respeito 
das forças, que são a intensidade, direção e sentido. Ainda, esta representação 
nos permite estudar o efeito da combinação de forças atuantes sobre um mesmo 
corpo rígido de maneira lógica. 
 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
Para obtermos a resultante da adição de dois vetores A e B, nós usamos 
a lei do paralelogramo. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Repare que a lei do paralelogramo nos conduz a problemas geométricos 
envolvendo triângulos. Para lidar com estes problemas, é necessário que 
estejamos familiarizados com alguns conceitos de trigonometria, como a lei dos 
senos e lei dos cossenos. 
Dado um triângulo ABC e seus ângulos internos α, β e γ, podemos aplicar 
a leis dos senos e dos cossenos. 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
A seguir, relembre cada uma delas. 
Lei dos senos: em um triângulo, as medidas dos seus lados são 
proporcionais aos senos dos lados opostos. 
𝐴
𝑠𝑒𝑛 𝛼
=
𝐵
𝑠𝑒𝑛 𝛽
=
𝐶
𝑠𝑒𝑛 𝛾
 
Lei dos cossenos: em um triângulo, o quadrado da medida de um lado 
é igual à soma dos quadrados das medidas dos outros dois, menos o dobro do 
produto das medidas desses dois lados pelo cosseno do ângulo oposto ao 
primeiro lado. 
𝐶 = √𝐴2 + 𝐵2 − 2𝐴𝐵𝑐𝑜𝑠 𝛾 
Exemplo: O gancho da figura (a) está sujeito a duas forças, F1 e F2. 
Determine a intensidade e a direção da força resultante. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: as duas forças se somam conforme a lei do paralelogramo, 
dando uma força resultante 𝑭𝑹 que forma a diagonal do paralelogramo. Devemos 
 
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rotular todas as intensidades das forças conhecidas e desconhecidas e os 
ângulos no esquema, de forma a facilitar a análise. 
O paralelogramo é formado por uma linha a partir da extremidade de 𝑭𝟏 
que seja paralela a 𝑭𝟐 e outra linha a partir da extremidade de 𝑭𝟐 que seja 
paralela a 𝑭𝟏. A força resultante 𝑭𝑹 estende-se para onde essas linhas se 
interceptam no ponto A. As duas incógnitas são a intensidade de 𝑭𝑹 e o ângulo 
θ. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
A partir do paralelogramo, o triângulo vetorial é construído: 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Usando a lei dos cossenos: 
𝑭𝑹 = √(100 𝑁)2 + (150 𝑁)2 − 2(100 𝑁)(150 𝑁) cos 115𝑜 
= √10 000 + 22 500 − 30 000(−0,4226) = 212,6 𝑁 
 
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Aplicando a lei dos senos para determinar 𝜃: 
150 𝑁
𝑠𝑒𝑛 𝜃
=
212,6 𝑁
𝑠𝑒𝑛 115𝑜
 
𝑠𝑒𝑛 𝜃 =
150 𝑁
212,6 𝑁
(𝑠𝑒𝑛 115𝑜) 
𝜃 = 39,8𝑜 
Logo, a direção φ de 𝑭𝑹, medida a partir da horizontal, é: 
𝜑 = 39,8𝑜 + 15𝑜 = 54,8𝑜 
Nota: os resultados parecem razoáveis, visto que a figura (b) mostra que 
𝑭𝑹 possui uma intensidade maior que suas componentes e uma direção que 
está entre elas. 
Agora é com o professor Marcus Oliveira Filho! É ele quem explica tudo 
sobre a decomposição de vetores em seus componentes no material digital. 
Notação escalar e vetorial cartesiana. 
Exemplo: O olhal da figura (a) está submetido a duas forças 𝑭𝟏 e 𝑭𝟐. 
Determine a intensidade e a direção da força resultante. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
 
 
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Solução I – Notação escalar 
Primeiro, decompomos cada força em suas componentes 𝑥 e 𝑦. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Em seguida, somamos estas componentes algebricamente: 
∑𝐹𝑥; 𝑭𝑹𝒙 = 600 cos 30
𝑜 𝑁 − 400 sen 45𝑜 𝑁 
𝐹𝑅𝑥 = 236,8 𝑁 
∑𝐹𝑦; 𝑭𝑹𝒚 = 600 sen 30
𝑜 𝑁 + 400 cos 45𝑜 𝑁 
𝑭𝑹𝒚 = 582,8 𝑁 
 
 
 
 
 
 
 
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Observe que os sinais positivos de 𝑭𝑹𝒙 e 𝑭𝑹𝒚 indicam que as componentes 
da força resultante são para a direita e para cima, respectivamente. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
A força resultante possui uma intensidade de: 
𝑭𝑹 = √(236,8 𝑁)2 + (582,8 𝑁)2 
𝐹𝑅 = 629 
Da adição vetorial: 
𝜃 = 𝑡𝑔−1 (
582,8 𝑁
236,8 𝑁
) = 67,9𝑜 
Solução II – Notação vetorial cartesiana 
Da figura (b), cada força é expressa como um vetor cartesiano: 
𝑭𝟏 = {600 cos 30
𝑜 𝑖 + 600 sen 30𝑜𝑗} 𝑁𝑭𝟐 = {−400 sen 45
𝑜 𝑖 + 400 cos 45𝑜𝑗} 𝑁 
 
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Assim: 
𝑭𝑹 = 𝑭𝟏 + 𝑭𝟐 = (600 cos 30
𝑜 𝑁 − 400 sen 45𝑜 𝑁)𝑖
+ (600 sen 30𝑜 𝑁 + 400 cos 45𝑜 𝑁)𝑗𝑭𝑹 = {236,8𝑖 + 582,8𝑗} 𝑁 
A intensidade e a direção de 𝑭𝑹 são determinadas da mesma maneira que 
na Solução I. 
Nota: Comparando-se os dois métodos de solução, pode-se verificar que 
o uso da notação escalar é mais eficiente, visto que as componentes são 
determinadas diretamente, sem ser necessário expressar primeiro cada força 
como um vetor cartesiano antes de adicionar as componentes. 
Tema 3: Equilíbrio de uma Partícula 
Dizemos que uma partícula está em equilíbrio quando está em repouso, 
se originalmente se achava em repouso ou quando tem velocidade constante se 
originalmente estava em movimento. Muitas vezes, no entanto, o termo 
equilíbrio (ou equilíbrio estático) é usado descrever um objeto em repouso. 
Para manter o equilíbrio, é necessário satisfazer a primeira lei do movimento de 
Newton, segundo a qual a força resultante que atua sobre uma partícula deve 
ser igual a zero. 
 
∑𝑭 = 𝟎 (1) 
 
Esta equação não é apenas uma condição necessária para o equilíbrio, 
mas também uma condição suficiente. Isso decorre da segunda lei do movimento 
de Newton, que pode ser escrita como∑𝑭 = 𝑚𝒂. Como o sistema de forças 
satisfaz a equação (1), então 𝑚𝒂 = 0 e, portanto, a aceleração da partícula 𝒂 =
0. 
 
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Para resolver problemas de equilíbrio de uma partícula, devemos antes 
considerar dois tipos de conexão frequentemente encontrados, que são molas 
e cabos. 
Molas: o comprimento da mola varia em proporção direta à força 𝑭 que 
atua sobre ela. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Uma característica que defina a elasticidade de uma mola é a constante 
da mola ou rigidez 𝑘. 
A intensidade da força exercida sobre uma mola linearmenteelástica que 
tem uma rigidez 𝑘 e é deformada de uma distância 𝑠 = 𝑙 − 𝑙𝑜, medida a partir de 
sua posição sem carga, é: 
𝐹 = 𝑘𝑠 
 Se 𝑠 for positivo (causando um alongamento) então 𝑭 “puxa” a mola; 
 Se 𝑠 for negativo (causando um encurtamento) então 𝑭 “empurra” a 
mola; 
 
 
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Cabos e polias: Se nada for dito em contrário, considera-se que todos os 
cabos (ou fios) têm peso desprezível e não podem esticar. Um cabo pode 
suportar apenas uma força de tração que atua sempre no sentido do cabo. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Você sabe o que é um diagrama de corpo livre? E como faz para traçá-
lo? Então, aprenda com o professor Marcus Oliveira Filho, no material online. 
Exemplo: a esfera da figura (a) tem massa de 6 kg e está apoiada como 
mostrado. Desenhe o diagrama de corpo livre da esfera, da corda CE e do nó 
em C. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
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Solução: 
Esfera: verifica-se que há apenas duas forças atuando sobre a esfera, 
que são seu peso, 6 𝑘𝑔 (9,81
𝑚
𝑠2
) = 58,9 𝑁, e a força da corda CE. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Corda CE: quando a corda CE é isolado de seu entorno, seu diagrama de 
corpo livre mostra apenas duas forças atuando sobre ela: a força da esfera e a 
força do nó. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
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Para o equilíbrio: 𝐹𝐶𝐸 = 𝐹𝐸𝐶 
Nó: o nó em C está sujeito a três forças. Elas são causadas pelas cordas 
CBA e CE e pela mola CD. É importante observar que o peso da esfera não atua 
diretamente sobre o nó. Em vez disso, é a corda CE que submete o nó a essa 
força. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Sistemas de forças coplanares: Se uma partícula estiver submetida a 
um sistema de forças coplanares localizadas no plano x-y, cada força poderá ser 
decomposta em suas componentes. Para o equilíbrio, essas forças precisam ser 
somadas para produzir uma força resultante zero: 
 
∑𝐹 = 0 
Portanto: 
∑𝐹𝑥 = 0 
∑𝐹𝑦 = 0 
 
 
 
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Se uma força tiver intensidade desconhecida, o sentido da seta da força 
no diagrama de corpo livre poderá ser assumido. Se a solução resultar um 
escalar negativo, isso indicará que o sentido da força atua no sentido oposto ao 
assumido. 
Exemplo: Determine a tração nos cabos BA e BC necessária para 
sustentar o cilindro de 60 kg da figura (a). 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: Primeiramente, devemos construir os diagramas de corpo livre 
do cilindro e do anel: 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
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Devido ao equilíbrio, o peso do cilindro faz com que a tração no cabo BD 
seja 𝑇𝐵𝐷 = 60(9,81) 𝑁. As forças nos cabos BA e BC podem ser determinadas 
examinando-se o equilíbrio do anel B. As intensidades de 𝑇𝐴 e 𝑇𝐵 são 
desconhecidas, mas suas direções são conhecidas. 
Aplicando-se as equações de equilíbrio ao longo dos eixos x e y, temos: 
∑𝐹𝑥 = 0; 𝑇𝐶 cos 45
𝑜 − (
4
5
) 𝑇𝐴 = 0 (1) 
∑𝐹𝑦 = 0; 𝑇𝐶 sen 45
𝑜 + (
3
5
) 𝑇𝐴 − 60(9,81)𝑁 = 0 (2) 
A equação (1) pode ser escrita como 𝑇𝐴 = 0,8839 𝑇𝐶. Substituindo 𝑇𝐴 na 
equação (2), temos: 
𝑇𝐶 𝑠𝑒𝑛 45
𝑜 + (
3
5
) (0,8839 𝑇𝐶) − 60(9,81)𝑁 = 0 
De modo que: 
𝑇𝐶 = 475,66 𝑁 
 
Substituindo este resultado na equação (1) ou equação (2), obtemos: 
𝑇𝐴 = 420,43 𝑁 
Tema 4: Momento – Formulação Escalar 
Quando uma força é aplicada a um corpo, ela produzirá uma tendência de 
rotação do corpo em torno de um ponto que não está na linha de ação da força. 
Essa tendência de rotação algumas vezes é chamada de torque, mas 
normalmente é denominada momento de uma força, ou simplesmente 
momento. 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
A intensidade do momento é diretamente proporcional à intensidade de 
𝑭 e à distância perpendicular ou braço do momento 𝑑. Quanto maior a força 
ou quanto mais longo o braço do momento, maior será o momento ou o efeito 
de rotação. 
Note que se a força 𝑭 for aplicada em um ângulo 𝜃 ≠ 90𝑜, será mais 
difícil girar o parafuso, uma vez que o braço do momento 𝑑′ = 𝑑 𝑠𝑒𝑛 𝜃 será 
menor que 𝑑. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Se 𝑭 for aplicada ao longo da chave, seu braço do momento será zero e, 
como resultado, o momento de 𝑭 em relação a 𝑂 será zero. Isto faz sentido pois, 
neste caso, não há tendência de rotação. 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
Devemos perceber que o momento em relação a um ponto é uma 
quantidade vetorial, uma vez que ele tem intensidade e direções específicas. 
Intensidade – a intensidade do momento 𝑀𝑜 em relação ao ponto 𝑂 é 
dada por: 
𝑀𝑜 = 𝐹𝑑 
 
Em que 𝑑 é o braço do momento do eixo no ponto 𝑂 até a linha de ação 
da força. As unidades da intensidade do momento consistem da força vezes a 
distância, ou seja, 𝑁 . 𝑚. 
Direção – a direção de 𝑀𝑜 é definida pelo seu eixo do momento, que é a 
perpendicular ao plano que contém a força 𝐹 e seu braço de momento 𝑑. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
No material online, o professor Marcus Oliveira Filho abordará regra da 
mão direita, direção do momento e convenção de sinais. Aperte o play e confira! 
 
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Exemplo: Determine o momento da força em relação ao ponto 𝑂 para cada caso 
ilustrado nas figuras: 
 
 
 Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: A linha de ação de cada força é prolongada (linhas tracejadas 
das figuras) para estabelecer o braço do momento 𝑑. As figuras mostram 
também as tendências de rotação do membro causada pela força. Além disso, a 
órbita da força em torno de 𝑂 é representada por uma seta curvada. 
 
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Assim: 
(a) 𝑀𝑜 = −(100 𝑁)(2 𝑚) = −200 𝑁. 𝑚 
(b) 𝑀𝑜 = −(50 𝑁)(0,75 𝑚) = −37,5 𝑁. 𝑚 
(c) 𝑀𝑜 = −(40 𝑘𝑁)(4 𝑚 + 2 cos 30
𝑜 𝑚) = −229 𝑘𝑁. 𝑚 
(d) 𝑀𝑜 = (60 𝑘𝑁)(1 𝑠𝑒𝑛 45
𝑜 𝑚) = 42,4 𝑘𝑁. 𝑚 
(e) 𝑀𝑜 = (7 𝑘𝑁)(4 𝑚 − 1 𝑚) = 21,0 𝑘𝑁. 𝑚 
Note que os sinais positivo e negativo se referem aos sentidos de rotação 
anti-horário e horário, respectivamente. 
Momento resultante – em problemas bidimensionais, o momento 
resultante (𝑀𝑅)𝑂 em relação ao ponto 𝑂 pode ser determinado pela adição 
algébrica dos momentos causados no sistema por todas as forças. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Usando a convenção de sinais, o sentido direcional de cada momento 
pode ser representado por um sinal de mais ou menos. O momento resultante 
da figura é: 
(𝑀𝑅)𝑂 = ∑𝐹𝑑; (𝑀𝑅)𝑂 = 𝐹1𝑑1 − 𝐹2𝑑2 + 𝐹3𝑑3 
Se o resultado numérico desta soma for um escalar positivo, (𝑀𝑅)𝑂 será 
um momento no sentido anti-horário (para fora da tela). Se o resultado for 
negativo, (𝑀𝑅)𝑂 será um momento no sentido horário (para dentro da tela). 
 
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Exemplo: Determine o momento resultante das quatro forças que atuam 
na barra mostrada na figura em relação ao ponto 𝑂. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: assumindo que os momentos positivos atuam no sentido anti-
horário, temos: 
𝑀𝑅𝑂 = ∑𝐹𝑑; 
𝑀𝑅𝑂 = −50 𝑁(2 𝑚) + 60 𝑁(0 𝑚) + 20 𝑁(3 𝑠𝑒𝑛 30
𝑜 𝑚) − 40 𝑁(4 𝑚 + 3 cos 30𝑜 𝑚) 
𝑀𝑅𝑂 = −334 𝑁. 𝑚 
Para este cálculo, note queas distâncias dos braços dos momentos para 
as forças de 20 𝑁 e 40 𝑁 foram estabelecidas pelo prolongamento das linhas de 
ação (tracejadas) de cada uma delas. 
Tema 5: Momento – Formulação Vetorial 
 É possível também estabelecer uma formulação vetorial para o cálculo 
de momentos através da abordagem vetorial. Esta abordagem pode ser mais 
apropriada do que a anterior dependendo da situação, quando, por exemplo, 
temos um problema tridimensional de mecânica. 
O momento de uma força 𝑭 em relação a um ponto 𝑂 pode ser expresso na 
forma de um produto vetorial: 
𝑀𝑜 = 𝑟 × 𝐹 
 
 
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Onde 𝑟 representa um vetor posição dirigido de 𝑂 até algum ponto sobre 
a linha de ação de 𝑭. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
Você sabe como formular um problema vetorial? Aprenda assistindo à 
explicação do professor Marcus Oliveira Filho no material online. 
Momento resultante de um sistema de forças: considere um corpo 
submetido à ação de um sistema de forças, como o do exemplo a seguir: 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
O momento resultante das forças em relação ao ponto 𝑂 pode ser 
determinado pela adição vetorial do momento de cada força. Essa resultante 
pode ser escrita simbolicamente como: 
 
𝑀𝑜 = ∑(𝑟 × 𝐹) 
 
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Exemplo: Duas forças agem sobre a barra mostrada na figura. Determine 
o momento resultante que elas criam em relação ao flange em 𝑂. Expresse o 
resultado como um vetor cartesiano. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: Os vetores posicionados estão direcionados do ponto 𝑂 até 
cada força, como mostra a figura (b). 
 
 
 
 
 
 
Esses vetores são: 
𝒓𝑨 = {5𝒋} 𝑚 
𝒓𝑩 = {4𝒊 + 5𝒋 − 2𝒌} 𝑚 
 
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Logo, o momento resultante em relação a 𝑂 é: 
 
𝑴𝑹𝑶 = ∑(𝒓 × 𝑭) = 𝒓𝑨 × 𝑭𝟏 + 𝒓𝑩 × 𝑭𝟐 
= |
𝒊 𝒋 𝒌
0 5 0
−60 40 20
| + |
𝒊 𝒋 𝒌
4 5 −2
80 40 −30
| 
= [5(20) − 0(40)]𝒊 − [0]𝒋 + [0(40) − (5)(−60)]𝒌 
+ [5(−30) − (−2)(40)]𝒊 − [4(−30) − (−2)(80)]𝒋 + [4(40) − 5(80)]𝒌 
= {30𝒊 − 40𝒋 + 60𝒌} 𝑘𝑁. 𝑚 
 
Este resultado é mostrado na figura (c). Os ângulos de direção 
coordenados foram determinados a partir do vetor unitário de 𝑴𝑹𝑶. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
Princípio dos momentos 
Um conceito bastante usado na mecânica é o princípio dos momentos 
(também chamado de teorema de Varignon). Ele estabelece que o momento de 
uma força em relação a um ponto é igual à soma dos momentos das 
componentes da força ao mesmo ponto. 
 
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Para problemas bidimensionais, podemos usar o princípio dos momentos 
decompondo a força em suas componentes retangulares e, depois, determinar 
o momento usando uma análise escalar. Logo: 
 
𝑀𝑜 = 𝐹𝑥𝑦 + 𝐹𝑦𝑥 
 
Esse método normalmente é mais fácil do que determinar o mesmo 
momento usando 𝑀𝑜 = 𝐹𝑑. É importante, contudo, estar atento ao sinal dos 
componentes 𝐹𝑥 e 𝐹𝑦 da força (eles podem ter sinais contrários, se estiverem 
provocando tendências de rotações em sentidos contrários). 
Exemplo: A força 𝐹 age na extremidade da cantoneira mostrada na figura 
(a). Determine o momento da força em relação ao ponto 𝑂. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução I (análise escalar): 
A força é decomposta em suas componentes 𝑥 e 𝑦, como mostra a figura 
(b). 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
 
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Então: 
𝑀𝑜 = 400 𝑠𝑒𝑛 30
𝑜 𝑁 (0,2 𝑚) − 400 cos 30𝑜 𝑁 (0,4 𝑚) 
= −98,6 𝑁. 𝑚 
 
O sinal negativo indica que o momento da força 𝐹 é aplicado no sentido 
horário. Repare que cada componente da força tende a girar o corpo em 
sentidos diferentes. Os sentidos de rotação devem ser respeitados através dos 
sinais na equação. 
Solução II (análise vetorial): 
Empregando uma abordagem do vetor cartesiano, os vetores de força e 
posição mostrados na figura (c) são: 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
𝒓 = {0,4𝒊 − 0,2𝒋}𝑚 
𝑭 = {400 𝑠𝑒𝑛 30𝑜𝒊 − 400 cos 30𝑜 𝒋}𝑁 
 
Portanto, o momento é: 
𝑴𝒐 = 𝒓 × 𝑭 = |
𝒊 𝒋 𝒌
0,4 −0,2 0
200,0 −346,4 0
| 
= {−98,6𝒌} 𝑁. 
 
 
 
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TEMA 6: Momento de um Binário 
Um binário é definido como duas forças paralelas que têm a mesma 
intensidade, mas direções opostas, e são separadas por uma distância 
perpendicular 𝑑. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Repare que a resultante de forças de um binário é zero. O único efeito de 
um binário é produzir uma rotação ou tendência de rotação em uma direção 
específica. Quando você dirige um carro, por exemplo, uma mão empurra o 
volante para cima enquanto a outra mão empurra o volante para baixo, o que faz 
o volante girar. 
 
 
O momento produzido por um binário é chamado de momento de um 
binário. Podemos determinar seu valor encontrando a soma dos momentos das 
duas forças que compõem o binário em relação a qualquer ponto arbitrário. 
 
 
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Formulação escalar 
 
𝑀𝑜 = 𝐹(𝑎 + 𝑑) − 𝐹𝑎 
𝑀𝑜 = 𝐹𝑑 
 
Formulação vetorial 
 
𝑴𝒐 = 𝒓𝑨 × 𝑭 + 𝒓𝑩 × (−𝑭) 
𝑴𝒐 = (𝒓𝑨 − 𝒓𝑩) × 𝑭 
𝑴𝒐 = 𝒓 × 𝑭 
 
Isso indica que o momento de um binário é um vetor livre, ou seja, ele 
pode agir em qualquer ponto, já que 𝑴 depende apenas do vetor posição 𝒓 
direcionado entre as forças e não dos vetores 𝒓𝑨 e 𝒓𝑩 direcionados do ponto 
arbitrário 𝑂 até as forças. 
Binários equivalentes – Se dois binários produzem um momento com a 
mesma intensidade e direção, então esses dois binários são ditos equivalentes. 
Por exemplo, os dois binários da figura são equivalentes porque cada momento 
de binário possui uma intensidade de 𝑀 = 30 𝑁 (0,4 𝑚) = 40 𝑁 (0,3 𝑚) =
12 𝑁. 𝑚, e cada um é direcionado para o plano da tela. 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
Repare que, no segundo caso, forças maiores são necessárias para criar 
o mesmo efeito de rotação, pois as mãos estão posicionadas mais próximas uma 
da outra. 
Momento de binário resultante – Como os momentos de binários são 
vetores, sua resultante pode ser determinada pela adição vetorial. 
Considere os momentos de binário 𝑴𝟏 e 𝑴𝟐 agindo sobre o tubo: 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Como cada momento de binário é um vetor livre, podemos unir suas 
origens em qualquer ponto arbitrário e encontrar o momento de binário 
resultante, 𝑴𝑹 = 𝑴𝟏 + 𝑴𝟐. 
 
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Fonte: HIBBELER, 2011. 
Se mais de dois momentos de binário agem sobre o corpo, podemos 
generalizar esse conceito e escrever a resultante vetorial como: 
𝑴𝑹 = ∑(𝒓 × 𝑭) 
Exemplo: Determine o momento de binário resultante dos três binários 
agindo sobre a chapa. 
 
Fonte: HIBBELER, 2011. 
Solução: como mostra a figura, as distâncias perpendiculares entre cada 
binário das três forças são 𝑑1 = 0,4 𝑚, 𝑑2 = 0,3 𝑚 e 𝑑3 = 0,5 𝑚. Considerando 
momentos de binário anti-horários como positivos, temos: 
𝑀𝑅 = ∑𝑀 
𝑀𝑅 = −𝐹1𝑑1 + 𝐹2𝑑2 − 𝐹3𝑑3 
𝑀𝑅 = (−200 𝑁)(0,4 𝑚) + (450 𝑁)(0,3 𝑚) − (300 𝑁)(0,5 𝑚) 
𝑀𝑅 = −95 𝑁. 
 
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 O sinal negativo indica que 𝑴𝑹 tem um sentido rotacional horário. 
No material online, o professor Marcus Oliveira Filho explica a importânciado estudo de binários e resolve algumas questões propostas. Não perca! 
Na Prática 
Quando você era criança, provavelmente já brincou de gangorra. Este 
brinquedo infantil é interessante, porque ele proporciona situações de equilíbrio 
e desequilíbrio, o que faz com que a gangorra se mova e a brincadeira continue. 
Você saberia explicar, do ponto de vista desta aula, quais são os 
princípios da mecânica envolvidos que permitem que essa brincadeira 
aconteça? 
É possível que duas crianças de pesos diferentes entrem em uma 
situação de equilíbrio em uma gangorra? Como? 
Para resolver este problema, você deverá pensar na brincadeira da 
gangorra como um problema de estática. Para que a gangorra não se mova (não 
haja rotação), é necessário que o momento resultante seja zero. Como qualquer 
outro problema de mecânica estática, um diagrama de corpo livre deverá ser 
esboçado. Os pesos das crianças são modelados por dois vetores de forças que 
atuam em pontos distintos da gangorra. Por conveniência, a análise dos 
momentos deve ser feita em relação ao ponto sobre o qual a gangorra está 
apoiada. 
Quer saber por onde começar a resolver esta situação? Confira as dicas 
do professor Marcus Vinícius no material online. 
Resolução do Caso 
Primeiro, faça o diagrama de corpo livre da gangorra: 
 
 
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Nesta representação, os pesos de duas crianças A e B são representados 
através de vetores de forças apontados para baixo. 
Considerando que a criança B seja mais pesada do que a criança A (isto 
é, 𝑃𝑏 > 𝑃𝑎), a única forma de a gangorra entrar em equilíbrio é diminuindo o braço 
do momento do peso da criança B em relação ao centro da gangorra 𝑂. Para 
que não haja rotação, é necessário que o momento resultado 𝑀𝑅 seja igual a 
zero, isto é: 
𝑀𝑅 = 𝑃𝑎𝑎 − 𝑃𝑏𝑏 = 0 
𝑃𝑎𝑎 = 𝑃𝑏𝑏 
 
Na prática, é necessário que a criança mais pesada se aproxime do centro 
da gangorra, enquanto a criança mais leve permanece em seu lugar. Durante a 
brincadeira, este processo ocorre de forma intuitiva. É interessante notar que 
muitas brincadeiras e esportes podem ser analisados sob a perspectiva da 
mecânica estática. 
Síntese 
Nesta aula, aprendemos conceitos básicos de mecânica, o que são forças 
e como podemos utilizar vetores para representá-las. Aprendemos também o 
que é o momento gerado por uma força através de duas abordagens (escalar e 
vetorial) e, por fim, vimos o que é um binário de forças. 
Ao final dos estudos, você deve se sentir apto a identificar situações reais 
e do cotidiano que podem ser representadas através dos princípios da mecânica 
estática. Também poderá construir representações e diagramas destas 
situações incluindo todas as informações de forma adequada. A melhor forma 
de expandir seus conhecimentos sobre este tema é praticar através de 
exercícios propostos do livro “Estática – Mecânica para Engenharia”, de 
Hibbeler. Nele, são apresentadas dezenas de situações reais com as quais nos 
deparamos todos os dias. Bons estudos! 
 
 
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Referências 
HIBBELER, R. C. Estática – Mecânica para Engenharia. 12ª edição. Pearson, 
2011. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica - Estática. 5 ed. Rio de Janeiro: LTC, 
2004.