Atividade A4 - Laboratório MAtemática e Física

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ATIVIDADE A4
1- No cálculo vetorial, a função gradiente é definida como a taxa de variação de uma grandeza escalar por unidade de espaço. Dada uma função escalar , o seu gradiente é definido por , em que ,  e  são vetores canônicos. Vetores canônicos possuem módulo unitário, são mutuamente ortogonais entre si e estão identificados com as direções dos eixos cartesianos x, y e z.
A partir do exposto, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
1. O gradiente de uma função escalar é um vetor.
PORQUE
2. A grandeza possui módulo, direção e sentido.
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I. 
2- Nos estudos da Física, algumas grandezas necessitam que lhes sejam atribuídas uma direção e um sentido. Não é suficiente especificarmos somente o valor numérico e uma unidade). Essas grandezas são denominadas vetoriais. Muitas vezes, operações matemáticas simples, aplicadas sobre grandezas vetoriais, não são possíveis de serem realizadas pelo uso direto de uma calculadora.
A seguir, assinale a alternativa que lista grandezas cujas somas podem ser realizadas somente pelo uso direto de uma calculadora.
 Massa, potência, resistência elétrica. 
Resposta correta. Justificativa: Grandezas como massa, potência e resistência elétrica são denominadas escalares. Para defini-las completamente, basta conhecermos os valores numéricos e as unidades. O resultado da soma de várias massas, por exemplo, pode ser conhecido aplicando-se os valores individuais diretamente em uma calculadora. Basta que as unidades de medida utilizadas sejam as mesmas.
3- Um teorema da geometria afirma que o volume de um tetraedro, quando definido por meio de três vetores linearmente independentes, ,   e , pode ser expresso como um produto misto do tipo . Assim, considere que os pontos P(-10, 20, 0), Q(20, 10, -30), R(10, 10, 10) e S(30, -20, 30) definem os vértices de um tetraedro.
 
Assinale a alternativa que indica o volume desse sólido. 170 / 6
Resposta correta. Justificativa: Denominando (20-(-10), 10-20, -30-0), (10-(-10), 10-20, 10-0) e (30-(-10), -20-20, 30-0) temos, pelo teorema, que X =
4- Seja dado um triângulo de vértices A, B e C. Considere que o ponto médio do segmento  é o ponto M e que N é o ponto médio do segmento . As propriedades da geometria euclidiana podem, também, ser definidas em termos da notação vetorial.
 
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Assim, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I.   é paralelo a .
PORQUE
II. .
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta. Justificativa:  . Portanto,. Se dois vetores são proporcionais entre si é porque possuem a mesma direção. Então, por isso, os segmentos e são paralelos entre si.
5- Sejam  e  vetores em um plano cujo ponto O é origem comum a ambos. Ao vetor  é permitido girar em torno de O, de modo que define um ângulo  com . O produto escalar entre  e , representado pela notação , é o valor numérico . O produto vetorial entre  e , representado pela notação , é o vetor (aybz-azby) + (azbx-axbz) + (axby-aybx) que possui módulo .
 Considere os gráficos seguintes:
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
Os valores numéricos dos produtos  e  podem ser representados, em função de , respectivamente, pelos gráficos:
IV e III.
Resposta correta. Justificativa: As variações numéricas dos produtos escalar e vetorial entre  e são, respectivamente, cossenoidais ou senoidais. Ambas as variações possuem amplitude 2ab, considerando-se que = a e = b e, portanto, estão representados pelos gráficos IV e III.
6- Um campo de forças, ou campo vetorial, é uma função que associa um vetor a cada ponto de coordenadas (x, y, z). Quando os valores são somente numéricos, o campo é denominado escalar. Seja, então, um campo de forças F:  definido por .
 
Considere as figuras a seguir:
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
Qual delas representa o campo vetorial F? IV
Resposta correta. Justificativa: O módulo da função vetorial F decai segundo o inverso da distância em relação à origem do sistema de coordenadas, ou seja, pois =, em que d é o valor da distância do ponto (x, y), em relação ao ponto (0, 0). Como o vetor F é anti-horário para qualquer coordenada (x, y), a orientação do campo de forças F é anti-horário.
7- Segundo uma propriedade da geometria vetorial, o produto misto  está relacionado ao volume do paralelepípedo definido por esses vetores. Considere os pontos seguintes e as suas coordenadas em um espaço euclidiano ℝ3: P(0, 1, 1), Q(1, 0, 2), R = (1, -2, 0) e S(-2, 2, -2). Eles definem os vetores  = (1, -1, 1),  = (1, -3, -1),  = (-2, 1, -3), dentre outros.
A respeito desses vetores, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. Pertencem ao mesmo plano.
PORQUE
II. .
 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições verdadeiras, e a II é uma justificativa correta da I.
Resposta correta. Justificativa: Pelo cálculo do produto misto X = 0. Então, o volume do paralelepípedo definido por esses vetores é nulo. Isso só pode ocorrer se os vetores pertencem ao mesmo plano. Implica que os quatro pontos são coplanares e quaisquer vetores definidos por eles também serão coplanares.
8- Dados dois vetores, e, o produto escalar entre eles é representado e definido por , em que  é o ângulo subentendido entre eles. Suponha os pontos de coordenadas P(10k, 10, 0), Q(10k -1, 20K, 20) e R(10, 30, -10) em um sistema de eixos cartesianos.
Com base no exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).
I. (   ) Os pontos P, Q e R são distintos para qualquer k.
II. (   ) Os pontos P, Q e R definem um triângulo.
III. (   ) Se k = 1, o triângulo é retângulo no vértice P.
IV. (   ) Se k = 1, a área do triângulo é aproximadamente 500 u.a.
 
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
V,V,V,F
Resposta correta. Justificativa: Não há valor de k para o quale e o que implica que os pontos P, Q e R são distintos e três pontos distintos em R 3 definem um triângulo. Se k = 1 ?(-1, 10, 20) (0, 20, -10) = 0 cuja conclusão é a de que os vetores são ortogonais entre si e, portanto, o triângulo é retângulo em P, a sua área pode ser calculada: Área =
9- Uma espécie de formiga registra os movimentos em um sistema mental de coordenadas e soma deslocamentos em relação a um sistema de eixos XY. Considere que uma delas executa movimentos de acordo com o desenho superior. Os vetores  representam os deslocamentos parciais a partir do formigueiro. A posição final da formiga também está indicada. O desenho inferior sumariza os deslocamentos.
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
 
De acordo com o enunciado e apoiado pela figura apresentada, analise as asserções a seguir e a relação proposta entre elas.
I. O vetor  representa a trajetória integral da formiga.
PORQUE
II. O vetor  possui origem em (0, 0) e término na posição final. 
A seguir, assinale a alternativa correta.
As asserções I e II são proposições falsas.
Resposta correta. Justificativa: O vetor deslocamento  possui origem nas coordenadas em que o movimento de um corpo tem início e término na posição final do corpo em análise. Ele representa a soma dos deslocamentos parciais e, geralmente, não possui qualquer relação com a trajetória real do corpo estudado.
10- Considere um quadrado de vértices A, B, C e D. Inscrito a essa figura, há um losango de vértices E, F, G e H, sendo que esses coincidem com os pontos médios das arestas do quadrado. O ponto O é a interseção das diagonais do losango. Um vetor que porventura tenha origem no ponto I e término em J é representado por .
 
Fonte: Elaborada pelo autor.
A partir do exposto, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeiras e F para a(s) falsa(s).
I. (  )   .
II. (  )   // 
III. (  )  .  
IV. (  )   .
A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.
VVVFResposta correta. Justificativa: Dois vetores, para serem equivalentes entre si, necessitam possuir mesmo módulo, direção e sentido. Como os vetores  e possuem sentidos opostos, então são vetores distintos e a equivalência está incorreta.