EXERCICIOS CURVAS HORIZONTAIS

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EXERCICIOS CURVASEXERCICIOS CURVAS 
HORIZONTAIS
EXERCÍCIOS
• 2.8.1 ‐ Calcular os elementos de uma curva circular a ser 
j t d d d d i li h tprojetada concordando os dois alinhamentos 
representados abaixo, considerando:
i lhid 875 000• raio escolhido = 875,000m
• corda base = 20,000m 
• a = 0,170m
• d = 0,186m 
2
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO
Φ= 2*arcsen (d / 2) / a = 2 arcsen (0,186/2) / 0,170 
Φ= 66,33094°
Φ= 66°19’51” = AC
G = 2*arcsen (cb / 2) / R = 2 arcsen (20/2) / 875,000 
G = 1 30965°G = 1,30965
G = 1°18’34”
Φc = AC / 2 = 66°19’51” / 2
Φc = 33°09”17”
Φcb = G / 2 = 1°18’34” / 2
b 0°39’17”
3
Φcb = 0°39’17”
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO
Φm = G / 2*cb= 1°18’34” / 2*20 000Φm = G / 2 cb= 1 18 34 / 2 20,000
Φm = 0°01’57”
T = R*tg (AC / 2) = 875,000*tg 66°19’51” / 2T R tg (AC / 2) 875,000 tg 66 19 51 / 2
T = 571,830 m
E = R*{[ 1 / cos (AC / 2) ] – 1} 
E = 875,000*{[ 1 / cos (66°19’51” / 2) ] – 1}
E = 170,282 m
f R*[1 (AC / 2) ]f = R*[1 - cos (AC / 2) ] 
f = 875,000*[ 1 - cos (66°19’51” / 2)]
f = 142 542 mf = 142,542 m
D = π*R*AC / 180° = π*875,000*66°19’51” / 180°
D = 1.012,982 m
4
D 1.012,982 m
EXERCÍCIOS
2.8.2 - Calcular os elementos de uma curva
circular a ser projetada em PI1, concordando oscircular a ser projetada em PI1, concordando os
dois alinhamentos definidos pelas coordenadas
do ponto 0=PP e PIs, considerando:p
1)raio escolhido = 682,000m
2)corda base = 10,000m.
3) d d d PI’3)coordenadas dos PI’s:
PONTOS
ORDENADA X ORDENADA Y
PONTOS
0=PP 365.778,000m 3.488.933,000m
PI1 366 778 000m 3 490 216 000mPI1 366.778,000m 3.490.216,000m
PI2 367.778,000m 3.488.207,000m
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EXERCÍCIOS
6
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
D01 = √ (X1 – X0)² + (Y1 – Y0)²D01 √ (X1 X0) + (Y1 Y0) 
D01 = 1.626,680 m
D12 = √ (X2 – X1)² + (Y2 – Y1)²
D12 = 2.244,121 m
sen ρ0 = x/D =(X1–X0)/D01 = 1.000,000/1.626,680
ρ = 37°56’02”NEρ0 = 37 56 02 NE
sen ρ1 = x/D = (X2–X1)/D12= 1.000,000/2.244,121sen ρ1 x/D (X2 X1)/D12 1.000,000/2.244,121
ρ1 = 26° 27’44”SE
7
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO
Φ1 = 1800 - ρ0 - ρ1
Φ1 = 1800 - 37°56’02” - 26° 27’44”Φ1 = 180 37 56 02 26 27 44
Φ1 = 115°36’14” = AC1
G1 = 2*arcsen (cb / 2) / R 
G1 = 2 arcsen (10/2)/682,000 = 0,840122°
G1 = 0°50’24”
8
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
ΦC = AC1 / 2 = 115°36’14” / 2
ΦC = 57°48’07”
b G1 2 0° 0’2 ” 2Φcb = G1 / 2 = 0°50’24” / 2
Φcb = 0°25’12”
Φm = G1 / 2*cb = 0°50’24” / 2*10,000
Φm = 0°02’31”Φm 0 02 31
T1 = R1*tg (AC1 / 2) = 682,000*tg (115°36’14” / 2) 
T1 = 1.083,079 m
9
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO
E1 = R1*{ [ 1 / cos (AC1 / 2) ] – 1}
E1 = 597,916 m
f1 = R*[1 - cos (AC1 / 2) ]
f1 = 318 598 mf1 = 318,598 m
D1 = π*R1*(AC1 / 180°) = π*682,000*(115°36’14” / 180°)D1 π R1 (AC1 / 180 ) π 682,000 (115 36 14 / 180 )
D1 = 1.376,053 m
10
SOLUÇÃOÇ
• ESTAQUEAMENTO DA CURVA 1:
• PC1 = PI1‐PI2 – T1= 1.626,680 – 1.083,079
• PC1 = 543 601 m (distância à origem)• PC1 = 543,601 m (distância à origem)
• PC1 = est. 27 + 3,601 m
• PT1 PC1 + D1 543 601 + 1 376 053• PT1 = PC1 + D1 = 543,601 + 1.376,053
• PT1 = 1.919,654 m (distância à origem)
• PT1 = est. 95 + 19,654 m
EXERCÍCIOS
2.8.3 - Com base na curva 1 estabelecida, 
calcular o raio da curva circular 2 (R2) de 
f t t lt t t PT1forma que a tangente resultante entre PT1 e 
PC2 seja igual a 200,000m. Considerar corda 
base e estaqueamento de 20 000m e osbase e estaqueamento de 20,000m e os 
seguintes elementos:
CURVA 1:
AC1= 38°40´
R1= 786,000m
CURVA 2: 
AC2 42° 20´AC2= 42° 20´
DISTÂNCIA PI1 ao PI2 = 896,346m
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EXERCÍCIOS
2.8.3 -
896 346m00m
PI1
896,346m00m
AC1= 38º40’
R1 = 786,000m
AC2= 42º20’
PI2PI2
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EXERCÍCIOS
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
CURVA CIRCULAR 1CU C CU
T1 = R1*tg (AC1 / 2) = 786,000*tg (38°40’ /2)
T1= 275,767 m
DEFINIÇÃO DO RAIO DA CURVA 2
T2 PI1PI2 T1 T 896 346 275 767 200 000T2 = PI1PI2 – T1 – Te= 896,346-275,767-200,000
T2= 420,579 m
T2 = R2*tg (AC2 / 2) = R2* tg (42°20’ / 2)
R2* tg (42°20’/ 2) = 420,579
R2 = 1.086,192 m
14
EXERCÍCIOS
SOLUÇÃOSO UÇ O
VERIFICAÇÃOVERIFICAÇÃO
T2 = R2*tg (AC2 / 2) = 1.086,192*tg (42°20’ / 2)g ( / ) , g ( / )
T2= 420,579 m
Te = PI1PI2 – T1 – T2 = 896,346-275,767-420,579
Te = 200,000 m
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EXERCÍCIOS
2 8 4 C l l i d d dâ i2.8.4 - Calcular o raio da curva de concordância 
horizontal abaixo esquematizada, a partir das 
seguintes informações:seguintes informações:
1)Estaca 0=PP com rumo inicial de 60º 00’
2)Distância 0=PP ao PI1= 343, 400m 
3)(Estaqueamento = 20,000m)
4)D fl ã d PI 18º 30’4)Deflexão do PI1 = 18º 30’
5)Início da ponte a 122 400m do PI15)Início da ponte a 122,400m do PI1
6)O ponto final da curva (PT) deverá estar a no 
16
6)O po to a da cu a ( ) de e á esta a o
mínimo a 10,000 metros do início da ponte.
EXERCÍCIOS
7) Existência de obstáculo no lado interno da curva,
condicionando o afastamento (E) da curva em relaçãocondicionando o afastamento (E) da curva em relação
ao PI1 a um valor superior a 8,500 metros.
N.M.
PI1
I=18º 30’
E
0=PP
PONTE
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EXERCÍCIOS
ÃSOLUÇÃO
a) 1ª Condição:ç
T1< distancia PI à ponte – 10m
T1 < 122,400 – 10 m
2 00T1< 112,400m
T1 < R1*tg (AC1 / 2)
T1 < R1*tg (18°30 / 2) < 112 400mT1 < R1*tg (18 30 / 2) < 112,400m 
R1 < 690,160m
b) 2ª Condição:
E1 = R1*{[1 / cos (AC1 / 2)]–1} 
R1*{[1 / cos (18°30 / 2)]–1} > 8,500m
R1 > 645,160m RESPOSTA
18
645,160m <R < 690,160m
EXERCÍCIOS
2 8 5 - Em um traçado com curvas2.8.5 Em um traçado com curvas 
horizontais circulares, conforme o esquema a 
seguir, desejando-se que os dois raios sejam g , j q j
iguais, pergunta-se:
1) Qual o maior raio possível?
2) Qual o maior raio que conseguiremos usar, 
deixando uma tangente de 80 metros entre as
720,000mPI1
deixando uma tangente de 80 metros entre as 
curvas?
AC1= 40º
AC2= 28
o
PI2
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EXERCÍCIOS
SOLUÇÃO
Considerando que a tangente da curvaConsiderando que a tangente da curva 
aumenta proporcionalmente ao raio, para 
conseguirmos o maior raio possível deveremos g p
usar a maior tangente dentro do espaço 
disponível.
a) 1ª Condição: PT1 = PC2
T1 + T2 720 00T1 + T2 = 720,00m
T1 = R1 tg (AC1/2) = R1 tg (40º/2)
T2 = R2 tg (AC2/2) = R2 tg (28º/2)T2 = R2 tg (AC2/2) = R2 tg (28 /2)
R1.tg 20º + R2.tg 14º = 720,000m
20
g g ,
EXERCÍCIOS
ÃSOLUÇÃO
C R1 R2 tComo R1 = R2 , teremos: 
R (tg 20o + tg 14o) = 720,000m
R= 1 173 980mR= 1.173,980m
b) 2ª Condição: PC2 = PT1 + 80,000mb) 2 Condição: PC2 PT1 + 80,000m
T1 + T2 + 80,000m = 720,000m
R1.tg (40o/2) + R2.tg (28o/2) = 640,000m
Como R1 = R2 ,teremos: 
R (t 20o t 14o) 640 000R (tg 20o + tg 14o) = 640,000m
R= 1.043,54m
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EXERCÍCIOS
2 8 6 P ti d d üê i d li h t2.8.6 - Partindo de uma seqüência de alinhamentos 
concordados por correspondentes curvas circulares 
cujos elementos são apresentados a seguircujos elementos são apresentados a seguir, 
determinar o estaqueamento (pontos notáveis) da 
diretriz em questão, considerando estaqueamento dediretriz em questão, considerando estaqueamento de 
20,000 em 20,00m.
ALINHAMENTOS DESENVOLVIMENTO. DA TANGENTEALINHAMENTOS CURVA TANGENTE
A1⇒ 0=PP a PI1 = 
1.840,00m
D1 = 202,21m T1 = 111,79m
A2⇒ PI1 a PI2 =
780,00m
D2 = 188,64m T2 = 102,46m
A3⇒ PI2 a PI3 = D3 = 97,43m T3 = 67,35m3
660,00m
3 , 3 ,
A4⇒ PI3 a PF =
478,00m
22
ALINHAMENTOALINHAMENTO:
PI1PI1
PI3
PF
PI2
0 PP0=PP
SOLUÇÃO
d C• Estaca do PC1:
• O=PP‐PI1 = 1840,00 m
• T1 = 111,79 m
• 0=PP ao PC1 = 1840,00 – 111,79 = 1.728,21m
• PC1 = est. 86 + 8,21m
• Estaca do PT1:
• PT1 = PC1 + D1 = 1.728,21 + 202,21 = 1.930,42m
• PT1 = est. 96 + 10,42 m
• Estaca do PC2:
• PC2 = PT1 + PI1‐PI2 – (T1 + T2)
• PC2 = 1.930,42 + 780,00 – (111,79+102,46)
d 2
SOLUÇÃO
• Estaca do PT2:
• PT2 = PC2 + D2 = 2.496,17 m + 188,64 = 2.684,81m
• PT2 = est. 134 + 4,81 m
• Estaca do PC3:
• PC3 = PT2 + PI2‐PI3 – (T2 + T3)PC3 = PT2 + PI2 PI3  (T2 + T3)
• PC3 = 2.684,81 + 660,00 – (102,46+67,35)
• PC3 = 3 175 00 m PC3 = est 158 + 15 00m• PC3 = 3.175,00 m    PC3 = est. 158 + 15,00m
E t d PT3• Estaca do PT3:
• PT3 = PC3 + D3 = 3.175,00 m + 97,43 = 3.272,43m
• PT3 = est. 163 + 12,43 m
SOLUÇÃOSOLUÇÃO
• Estaca do PF:
• PF = PT3 + PI3‐PF – T3 
• PF = 3.272,43+ 478,00 – 67,35 = 3.683,08 m
• PF = est. 184 + 3,08 m