lista 1 - GA e AL

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Engenharia Mecaˆnica - UTFPR Guarapuava
1
a
Lista de Exerc´ıcios
Geometria Anal´ıtica e A´lgebra Linear - Profa.: Tatiane Cardoso Batista
• Operac¸o˜es com matrizes
1. Dadas as matrizes
A =

 3 −2−1 1
2 0

, B =

1 21 −2
3 4

, C =

0 −42 −2
1 −3

,
D =
(
1 3
0 −2
)
, E =
(
2 1
−4 −1
)
, F =
(
−2
3
)
,
calcule:
a) A+B
b) A− 5C
c) 3C + 1
3
D
d) C.E
e) B.F
f)
A+ C
2
− 2B
2. Dadas as matrizes A =
(
1 1 3
0 −2 −1
)
, B =
(
3 2 −3
5 −1 −4
)
,
a) obtenha At e Bt
b) verifique se (A+B)t = At +Bt
3. Determine a, b, x e y de modo que:(
a+ 2b a
x+ y 2x− y
)
=
(
6 10
12 18
)
4. Escreva em forma de tabela a matriz do tipo 3 x 2 tal que aij = i+ j
5. Escreva em forma de tabela a matriz quadrada A ∈ M(3, 3) tal que
aij =
{
1, se i = j
0, se i 6= j
6. Escreva em forma de tabela a matriz quadrada A ∈ M(4, 4) tal que
aij =


1, se i > j
0, se i = j
−1, se i < j
7. Dadas as matrizes
A =
(
3 1
4 5
)
, B =
(
0 2
0 1
)
, C =
(
1 2
1 0
)
obtenha a matriz
X =
(
a b
c d
)
tal que:
a) X − A = B
b) X − A+ C = 0
c) 2X = B + C
8. Sejam as matrizes A =
(
2 1
3 4
)
, B =
(
0 2
6 6
)
,
a) obtenha At e Bt
b) verifique que (AB)t = BtAt
9. Calcule a e b sabendo que:(
a 1
3 −1
)
.
(
2
b
)
=
(
0
0
)
10. Verifique em cada caso se e´ possivel fazer AB ou BA atrave´s da ordem das
matrizes:
a) A =

 3 −2−1 1
2 0

, B =
(
3 2 −3
5 −1 −4
)
b) A =
(
1
0
)
, B =
(
0 4
11 5
)
c) A

6 2 71 1 −4
2 3 −2

, B = (3 1 −3)
11. Considere as matrizes
A =
(
a11 a12
a21 a22
)
, B =
(
b11 b12
b21 b22
)
, C =
(
c11 c12
c21 c22
)
.
Mostre que (AB)C = A(BC)
2
12. Determine os valores de a, b e c para que a matriz A seja sime´trica:
X =

1 −1 ab 3 2
0 c 1


Calcule o trac¸o da matriz A.
13. Deˆ exemplo de uma matriz sime´trica, de ordem 2, tal que:
i) aij ∈ N
ii) tr(A) = 2
14. Determine os valores de α para os quais a matriz B e´ uma matriz sime´trica:
X =

 α α
2 − 1 −3
α+ 1 2 α2 + 4
−3 4α −1


15. Dada a matriz A =
(
0 1
−1 0
)
, mostre que:
a) A2 = −Id
b) A4 = Id
16. Dadas as matrizes
A =

 1 2 0−1 2 3
0 1 2

, B =

1 2 10 −1 2
1 −1 3

, C =

1 0 −22 −3 1
1 2 5

,
calcule a matriz X tal que:
a) A+X t = Bt + C
b) (A+B)t +X = B − Ct
• Escalonamento
1. Determine se as matrizes esta˜o na forma escalonada reduzida por linhas ou
na˜o:
a)


1 2 0 3 0
0 0 1 1 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

 b)

1 0 0 50 0 1 3
0 1 0 4

 c)
(
1 0 3 1
0 1 2 4
)
d)


1 3 0 2 0
1 0 2 2 0
0 0 0 0 1
0 0 0 0 0

 e)
(
1 −7 5 5
0 1 3 2
)
3
2. Reduza as matrizes a` forma escalonada reduzida por linhas:

0 1 3 −22 1 −4 3
2 3 2 −1




0 2 2
1 1 3
3 −4 2
2 −3 1



1 −2 3 −12 −1 2 3
3 1 2 3


4