Simulados diversos

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QUESTÃO 1
O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem
de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de
inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um
disco homogêneo com centro (0,0) e raio igual a 2 e com densidade f(x,y) = 3
em torno do eixo x.
A) 8 pi.
B) 12 pi.
C) 6 pi.
D) 4 pi.
Resposta
QUESTÃO 2
O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto seja homogêneo.
Determine a coordenada y do centro de massa de uma lâmina triangular com
vértices (0,0), (1,0) e (0,2), sabendo que a função densidade é f(x,y) = 3 - x +
2y e que a massa de objeto é igual a m = 4:
A) 6/19
B) 19/6
C) 24/19
D) 19/24
Resposta
QUESTÃO 3
Equações paramétricas são conjuntos de equações que representam uma
curva, uma das aplicações de equações paramétricas é descrever a trajetória
de uma partícula, já que as variáveis espaciais podem ser parametrizadas
pelo tempo. Considerando uma reta paramétrica que liga o ponto A(−1,1) ao
ponto B(3,3), analise as opções a seguir e assinale a alternativa CORRETA:
I.
II.
III.
IV.
A) Somente a opção II está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção IV está correta.
QUESTÃO 4
Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro
e segundo quadrante o centro da semicircunferência está na origem e raio é
igual a 2. Utilizando a integral de linha, temos que a massa desse arame,
sabendo que a função densidade é f(x,y) = x² + y²
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 5
Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento
de forças em um espaço. Por isso, é importante sabermos encontrar
propriedades desses campos vetoriais através do cálculo de divergente e
rotacional, por exemplo. Com relação ao campo vetorial, assinale a
alternativa correta:
.𝐹(𝑥, 𝑦) = − 𝑥²𝑦2 , 𝑒
𝑥𝑦( )
A) O divergente do rotacional do campo vetorial é nulo.
B) O campo divergente é nulo em todos os pontos do plano.
C) O campo rotacional é um vetor nulo.
D) O campo divergente é diferente de zero no ponto (0,0)
QUESTÃO 6
Para modelar matematicamente situações físicas, utilizamos o conceito de
funções. Sabendo as propriedades da função, conseguimos encontrar
respostas para o problema modelado. No entanto, para encontrar as
respostas é importante conhecer os vários tipos de funções e as suas
propriedades. Com relação aos tipos de funções, podemos classificá-las
dependendo do seu conjunto domínio e do seu conjunto imagem. Com
relação às funções e seu domínio e imagem, associe os itens, utilizando o
código a seguir:
I. Função vetorial de uma variável. ℝ→ ℝn
II. Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais. ℝn→ ℝn
III. Função escalar ou função real de n variáveis. ℝn→ ℝ
IV. Função real de uma variável. ℝ → ℝ
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
( III ) Domínio ⊂ ℝn e imagem ⊂ ℝ.
( II ) Domínio ⊂ ℝn e imagem ⊂ ℝn.
( IV ) Domínio ⊂ ℝ e imagem ⊂ ℝ.
( I ) Domínio ⊂ ℝ e imagem ⊂ ℝn.
A) II - III - IV - I.
B) III - II - I - IV.
C) II - IV - I III.
D) III - II - IV - I.
Comentário
Sobre esta questão de domínio e imagem de campos vetoriais, podemos
resolvê-la mesmo sem as alternativas.
Primeiramente basta entendermos alguns detalhes:
Um vetor de "n" dimensões esta contido no espaço ℝn, que são os números
reais de n dimensões.
Um escalar, ou um número de uma dimensão somente esta contido no
espaço ℝ, que são simplesmente os números reais.
Domínio é o conjunto de espaços de onde a função retira seus valores
"iniciais".
Imagem é o conjunto de espaços onde a função leva seus resultados.
Tendo isso em mente, vamos às questões:
I - Função vetorial de uma variável.
Esta função depende de uma variável só, ou seja, um escalar, e leva a
resposta sendo um vetor, então podemos dizer que:
Domínio: ℝ
Imagem: ℝn
II - Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais.
Esta função depende de várias variáveis, ou seja de vetores diferentes e leva
até outros vetores, então:
Domínio: ℝn
Imagem: ℝn
III - Função escalar ou função real de n variáveis.
Esta função depende de várias variáveis, ou seja, depende de vetores e leva
até um escalar, pois é uma função escalar, sendo assim:
Domínio: ℝn
Imagem: ℝ
IV - Função real de uma variável.
Esta função depende de um escalar e leva até um escalar, logo:
Domínio: ℝ
Imagem: ℝ
QUESTÃO 7
O comprimento do arco da curva
𝑟(𝑡) = 
QUESTÃO 8
Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função
vetorial. O método é o mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais,
basta apenas analisar cada uma das componentes da função
separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial
é igual a:
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 9
Dada uma função escalar, o gradiente dessa função escalar é um campo
vetorial cujas componentes são as derivadas do campo escalar. Podemos
afirmar que o gradiente da função escalar de três variáveis f(x,y,z) = cos(2y) +
ex + ln(z) é igual a
A) Somente a opção II está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção III está correta.
QUESTÃO 10.
QUESTÃO 11.
Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função
vetorial. O método é o mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais,
basta apenas analisar cada uma das componentes da função
separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 12
Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula,
porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente.
Determine a reta tangente da função vetorial:
no ponto t0 = −1 sabendo que a reta tangente de no ponto t0
é dada por com t ∊ ℝ
A) A reta tangente é 5 + 2t.
B) A reta tangente é (3 - t, 2 + t).
C) A reta tangente é 2 + 5t.
D) A reta tangente é (−1 + 3t, 1 + 2t).
QUESTÃO 13
O movimento de uma partícula sobre o plano no ponto (x, y) é dado por uma
função vetorial que depende de tempo t em segundos. Determine o ponto (x,
y) da posição inicial da partícula e o instante de tempo que a partícula e o
instante de tempo que a partícula está no ponto (−7,20), sabendo que a
função movimento da partícula é: f(t) = (3 − 2t, t² − t).
A) A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (−7,20) quando t =
5 segundos.
B) A posição inicial é (5, −2) e a partícula está no ponto (−7,20) quando t =
15 segundos.
C) A) A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (−7,20) quando t
= 0 segundos.
D) A posição inicial é (−3, 6) e a partícula está no ponto (−7,20) quando t =
10 segundos.
QUESTÃO 14
Considere F: ℝ3 → ℝ uma função diferenciável e suponha que F(x, y, z) = 0
define implicitamente funções não nulas e diferenciáveis z = f(x, y), y = g(x, z)
e x = h(y, z).
Nessa situação, analise as afirmações abaixo.
É correto o que se afirma em
A) II, apenas.
B) III, apenas.
C) I e II, apenas.
D) I e III, apenas.
Comentário
Analisando a veracidade das proposições I, II e III:
A proposição I é verdadeira, pois sendo z definida como função diferenciável
das variáveis x e y, sua derivada parcial com relação à variável x é definida
por:
∂𝑧
∂𝑥 =
∆𝑥 0
lim
→
𝑓(𝑥 + ∆𝑥, 𝑦) − 𝑓(𝑥,𝑦)
∆𝑥
A proposição II também é verdadeira, pois usando o Teorema para
Diferenciação Implícita conforme apresentado em Thomas (2012, p. 242),
aplicado à função diferenciável F com F(x, y, z) = 0, e considerando a variável
z = f(x, y) definida implicitamente como função de x e y, tem-se que, para todo
par (x, y) no domínio de f,
F(x, y, z) = F(x, y, f(x, y)) = 0
Assumindo que F e f sejam funções diferenciáveis e usando a Regrada
Cadeia apresentada em Thomas (2012, p. 239) para diferenciar a equação
F(x, y, z) = 0, com relação à variável independente x, tem-se:
0 = 𝐹
𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
= 𝐹
𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∂𝑥∂𝑥 + 𝐹𝑦(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∂𝑦
∂𝑥 + 𝐹𝑧(𝑥, 𝑦, 𝑧)
∂𝑧
∂𝑧
= 𝐹
𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧) × 1 + 𝐹
𝑦
(𝑥, 𝑦, 𝑧) × 0 + 𝐹
𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∂𝑧∂𝑥
Portanto,
𝐹
𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧) + 𝐹
𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∂𝑧∂𝑥 = 0.
Obs.: , pois y é considerado constante ao diferenciar em relação a x.∂𝑦∂𝑥 = 0
Supondo Fz(x, y, z) ≠ 0, é possível resolver a equação para a derivada parcial
de z em relação à x, obtendo-se:
∂𝑧
∂𝑥 =−
𝐹
𝑥
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
𝐹
𝑧
(𝑥, 𝑦, 𝑧)
A proposição III é falsa, pois, pelo Teorema da Diferenciação Implícita
aplicado às demais funções y = g(x, z) e x = h(y, z), tem-se:
Portanto,
O nível de dificuldade desta questão é considerado médio, uma vez que é
necessário ter conhecimentos de importantes teoremas na teoria de funções
de várias variáveis que, em geral, são estudados através de aplicações
práticas.
QUESTÃO 15
Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3
contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função f(x, y) =
2x − y sobre a curva C parametrizada por
A) 0.
B) 3.
C) 6.
D) 9.
QUESTÃO 16
Se uma partícula percorre um caminho, podemos utilizar a integral de linha
para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças nessa partícula.
Se a partícula percorre no sentido anti-horário uma vez o círculo: x2 + y2 = 16,
então o trabalho realizado pelo campo de forças
é igual a:
I. 0
II. 16 𝛑
III. 64
IV. 32 𝛑/3
Teorema de Green
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 17
Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro
e segundo quadrante. O centro da semicircunferência está na origem e o raio
é igual a 3. Encontre a massa desse arame, utilizando a integral de linha
sabendo que a função densidade é igual a .𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥𝑦
A) 108.
B) 54.
C) 27.
D) 0.
QUESTÃO 18
Para determinar o escoamento de um fluido ao longo de uma curva em um
campo de velocidades, podemos utilizar a integração de linha sobre campos
vetoriais (campo de velocidades). O escoamento ao longo do campo vetorial
e a função movimento da partícula é: 𝑓(𝑡) = (3 − 2𝑡, 𝑡2 − 𝑡).
A) A posição inicial é (−3, 6) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t =
10 segundos.
B) A posição inicial é (5, −2) e a partícula está no ponto (-7, 20) quando t =
15 segundos.
C) A posição inicial é (1, 0) e a partícula está no ponto (−7, 20) quando t =
0 segundos.
D) A posição inicial é (3, 0) e a partícula está no ponto (−7, 20) quando t =
5 segundos.
QUESTÃO 19
Dada uma função escalar, o gradiente dessa função escalar é um campo
vetorial cujas componentes são as derivadas do campo escalar. Podemos
afirmar que o gradiente da função escalar de três variáveis
é igual a:𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝑐𝑜𝑠(2𝑦) + 𝑒𝑥 + 𝑙𝑛(𝑧)
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 20
Considere a curva C definida pelo um quarto da circunferência de raio 3
contida no primeiro quadrante e calcule a integral de linha da função
sobre a curva C parametrizada por𝑓(𝑥, 𝑦) = 2𝑥 − 𝑦
A) 0.
B) 3.
C) 6.
D) 9.
QUESTÃO 21
O divergente de uma função vetorial mede como é a dispersão do campo de
vetores. No caso de um fluido, o divergente pode indicar onde teria um
sumidouro ou uma fonte dependendo do sinal já que o divergente de uma
função vetorial é um escalar. Com relação ao divergente, podemos afirmar
que o divergente da função vetorial
é igual a:
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção IV está correta
QUESTÃO 22
Equações paramétricas são conjuntos de equações que representam uma
curva, umas das aplicações de equações paramétricas é descrever a
trajetória de uma partícula, já que as variáveis espaciais podem ser
parametrizadas pelo tempo. Considerando uma reta paramétrica que liga o
ponto A (-1, 1) ao ponto B (3, 3), analise as opções a seguir e assinale a
alternativa CORRETA:
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 23
Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula,
porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente.
Determine a reta tangente da função vetorial:
A) A reta tangente é (2t, 3).
B) A reta tangente é 2t + 3.
C) A reta tangente é 2 + 3t.
D) A reta tangente é (2, 3t).
QUESTÃO 24
O comprimento do arco da curva
para 0 ≤ t ≤ 2 é igual a:
Lembre-se que o comprimento de arco é dado por
A) Somente a opção III é correta.
B) Somente a opção II é correta.
C) Somente a opção IV é correta.
D) Somente a opção I é correta.
QUESTÃO 25
O rotacional de uma função vetorial é um campo vetorial e calcula como os
vetores de um campo vetorial se aproximam (afastam) de um vetor normal.
Com relação ao rotacional, podemos afirmar que o rotacional da função
vetorial é igual a:
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 26
Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento
de forças em um espaço. Por isso, é importante sabermos encontrar
propriedades desses campos vetoriais através do cálculo de divergente e
rotacional, por exemplo. Com relação ao campo vetorial, assinale a
alternativa CORRETA:
A) O campo rotacional é um vetor nulo.
B) O divergente do rotacional do campo vetorial é nulo.
C) O campo divergente é diferente de zero no ponto (0, 0).
D) O campo divergente é nulo em todos os pontos do plano.
QUESTÃO 27
Os campos vetoriais são altamente utilizados no estudo do comportamento
de forças em um espaço. Por isso, é importante sabermos encontrar
propriedades desses campos vetoriais através do cálculo de divergente e
rotacional, por exemplo. Com relação ao campo vetorial, assinale a
alternativa CORRETA:
A) O campo divergente é diferente de zero no ponto (0, 0).
B) O divergente do rotacional do campo vetorial não é nulo.
C) O campo rotacional é um vetor nulo.
D) O campo divergente é nulo em todos os pontos do plano.
QUESTÃO 28
Um arame fino tem a forma de uma semicircunferência que está no primeiro
e segundo quadrante o centro da semicircunferência está na origem e raio é
igual a 2. Utilizando a integral de linha, temos que a massa desse arame,
sabendo que a função densidade é é igual a𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑥2 + 𝑦2
I. 4 𝛑
II. 8 𝛑
III. 10 𝛑
IV. 16 𝛑
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção III está correta.
QUESTÃO 29
Em muitas aplicações, precisamos calcular a derivada de uma função
vetorial. O método é o mesmo que aquele utilizado para derivar funções reais,
basta apenas analisar cada uma das componentes da função
separadamente. Podemos afirmar que a derivada da função vetorial
é igual a
A) Somente a opção III é correta.
B) Somente a opção II é correta.
C) Somente a opção IV é correta.
D) Somente a opção I é correta.
QUESTÃO 30
Para modelar matematicamente situações físicas, utilizamos o conceito de
funções. Sabendo as propriedades da função, conseguimos encontrar
respostas para o problema modelado. No entanto, para encontrar as
respostas, é importante conhecer os vários tipos de funções e as suas
propriedades. Com relação aos tipos de funções, podemos classificá-las
dependendo do seu conjunto domínio e do seu conjunto imagem. Com
relação às funções e seu domínio e imagem, associe os itens, utilizando o
código a seguir:
I. Função vetorial de uma variável.
II. Função vetorial de n variáveis ou campos vetoriais.
III. Função escalar ou função real de n variáveis.
IV.Função real de uma variável.
Assinale a alternativa que apresenta a sequência CORRETA:
A) III - II - I - IV.
B) II - III - IV - I.
C) II - IV - I - III.
D) III - II - IV - I.
QUESTÃO 31
Uma partícula está se movendo segundo a função posição que depende do
tempo. Então o vetor tangente unitário da função posição 𝑠(𝑡) = (𝑡2, 3𝑡 + 1)
no instante de tempo t = 2 é igual a:
A) Somente a opção I é correta.
B) Somente a opção II é correta.
C) Somente a opção III é correta.
D) Somente a opção IV é correta.
QUESTÃO 32
Para determinar o escoamento de um fluido ao longo de uma curva em um
campo de velocidades, podemos utilizar a integração de linha sobre campos
vetoriais (campo de velocidades). O escoamento ao longo do campo vetorial
sobre a curva C parametrizada por𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) = (− 𝑦, 𝑥, 𝑧)
é igual a:
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 33
Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o
Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa
mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a
quantidade de cálculos necessários para a resolução.
Utilizando o Teorema de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A) É igual a − 4.
B) É igual a 0.
C) É igual a − 3,5.
D) É igual a cos(3).
QUESTÃO 34
O Teorema de Stokes é muito similar ao Teorema de Green, a diferença entre
eles é o campo de vetores que estamos trabalhando, no Teorema de Green
temos um campo de vetores de duas variáveis, já no Teorema de Stokes
temos um campo de vetores de três variáveis, lembre-se que o Teorema de
Stokes é:
com o rotacional
A integral de linha do campo vetorial onde C é o
parabolóide e o plano orientado para baixo é igual a:𝑧 = 9 − 𝑥2 − 𝑦2 𝑧 = 0
I. 18 𝛑
II. 3 𝛑
III. 9
IV. 0
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção III está correta.
QUESTÃO 35
O teorema de Gauss muitas vezes é chamado de Teorema da divergência,
pois transforma uma integral de superfície de um campo vetorial em uma
integral tripla do divergente desse campo vetorial, ou seja, o Teorema de
Gauss relaciona duas integrais:
O fluxo exterior do campo vetorial através da
região limitada pela esfera é igual a:𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9
A) Somente a opção II está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção III está correta.
QUESTÃO 36
O momento de inércia de um corpo é o grau de dificuldade que o corpo tem
de alterar o seu estado de movimento. Podemos calcular o momento de
inércia em torno do eixo x e do eixo y. Determine o momento de inércia de um
disco homogêneo com centro (0, 0) e raio igual a 2 e com densidade f (x, y) =
2 em torno do eixo y:
A) 18 pi.
B) 12 pi.
C) 4 pi.
D) 8 pi.
QUESTÃO 37
Se uma partícula percorre um caminho, podemos utilizar a integral de linha
para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças nessa partícula.
Se a partícula percorre no sentido anti-horário uma vez o círculo:
, então o trabalho realizado pelo campo de forças𝑥2 + 𝑦2 = 16
é igual a:
Teorema de Green
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 38
Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula,
porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente.
Determine a reta tangente da função vetorial: no ponto
sabendo que a reta tangente de no ponto é dada por𝑡
0
=− 1 𝑡
0
com .𝑡 ∈ ℝ
A) A reta tangente é 5 + 2t.
B) A reta tangente é 2 + 5t.
C) A reta tangente é (−1 + 3t, 1 + 2t).
D) A reta tangente é (3 − t, 2 + t).
QUESTÃO 39
O trabalho realizado por um campo de forças sobre uma partícula é dado
pela integral de linha sobre uma curva. Utilizando o Teorema de Green
podemos afirmar que o trabalho (W) realizado por uma partícula ao longo do
retângulo com orientação positiva e vértices (0, 0), (2, 0), (2, 3) e (0, 3) e
campo de forças: é igual a:
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção II está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção IV está correta.
QUESTÃO 40
O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em
equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Para determinar o centro de
massa, precisamos também saber a massa do objeto. Determine a massa de
uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2), sabendo que a
função densidade é f (x, y) = 3 − x + 2y:
A) 10
B) 4
C) 0
D) 5
QUESTÃO 41
(ENADE, 2011) Em um plano de coordenadas cartesianas xOy, representa-se
uma praça de área P, que possui em seu interior um lago de área L, limitado
por uma curva C fechada, suave, orientada no sentido contrário ao dos
ponteiros de um relógio. Considere que, sobre o lago, atua um campo de
forças F(x,y)=(-y, x). Supondo que T representa o trabalho realizado por F(x,y)
para mover uma partícula uma vez ao longo da curva C e que,
comparando-se apenas os valores numéricos das grandezas, a área não
ocupada pelo lago é igual a T/2, conclui-se que:
A) T = 4L
B) P = 2T
C) T = L
D) P = T
QUESTÃO 42
Um sistema de coordenadas esféricas relaciona um ponto do espaço com
dois ângulos e uma distância, esse sistema de coordenadas é muito utilizado
para calcular integrais triplas na qual a região é uma esfera ou parte de uma.
Utilizando a mudança de variável esférica, podemos afirmar que a integral
na região entre as esferas e𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 1
é igual a𝑥2 + 𝑦2 + 𝑧2 ≤ 9
Podemos afirmar que:
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção I está correta.
C) Somente a opção III está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 43
Usando o Teorema de Green, podemos determinar o trabalho realizado pelo
campo de forças F sobre uma partícula que se move ao longo do caminho
específico. Se a partícula começa no ponto (2, 0) e percorre o círculo de raio
igual a 2, então o trabalho realizado pelo campo de forças
A) Somente a opção IV está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção II está correta.
D) Somente a opção I está correta.
QUESTÃO 44
Utilize o Teorema de Gauss para calcular o fluxo exterior através da região
limitada pelos planos x = 0, x = 3, e pelo cilindro circular do𝑦2 + 𝑧2 = 4
campo vetorial a . Lembre-se que
A) Somente a opção III está correta.
B) Somente a opção IV está correta.
C) Somente a opção I está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 45
Uma partícula percorre um caminho retangular definido pelos pontos x = 0, x
= 2, y = 1 e y = 2 sobre o plano z = x + y com orientação anti-horária. Utilize o
Teorema de Stokes para calcular o trabalho realizado pelo campo vetorial
A) 0.
B) − 8.
C) − 4.
D) 8.
QUESTÃO 46
O centro de massa de um objeto é o ponto onde este objeto fica em
equilíbrio, caso esse objeto seja homogêneo. Determine a coordenada x do
centro de massa de uma lâmina triangular com vértices (0, 0), (1, 0) e (0, 2),
sabendo que a função densidade é f (x, y) = 3 − x + 2y e que a massa do
objeto é igual a m = 4:
A) 7/24
B) 24/7
C) 6/7
D) 7/6
QUESTÃO 47
Se uma partícula percorre um caminho, podemos utilizar a integral de linha
para determinar o trabalho realizado pelo campo de forças nessa partícula.
Se a partícula começa no ponto (3,0), percorre ao longo do eixo x chegando
ao ponto (-3,0) e retorna até o ponto inicial pelo semicírculo inferior
, então o trabalho realizado pelo campo de forças𝑥2 + 𝑦2 = 9
Teorema de Green
A) Somente a opção I está correta.
B) Somente a opção III está correta.
C) Somente a opção IV está correta.
D) Somente a opção II está correta.
QUESTÃO 48
(ENADE, 2014) Deseja-se pintar a superfície externa e lateral de um
monumento em forma de um paraboloide, que pode ser descrita pela
equação z = x² + y², situada na região do espaço de coordenadas cartesianas
(x, y, z) dada pela condição z ≤ 9. Os eixoscoordenados estão dimensionados
em metros e gasta-se um litro e meio de tinta a cada metro quadrado de área
da superfície a ser pintada. A quantidade de tinta, em litros, necessária para
se pintar a superfície lateral do monumento é dada pela integral dupla:
A) Item D.
B) Item A.
C) Item C.
D) Item B.
QUESTÃO 49
Um dos Teoremas mais utilizados para calcular integrais duplas e triplas é o
Teorema de Fubini, ele nos permite inverter a ordem de integração. Essa
mudança na ordem de integração pode em certas integrais diminuir a
quantidade de cálculos necessários para a resolução. Utilizando o Teorema
de Fubini, concluímos que o valor da integral:
A) É igual a 0.
B) É igual a e.
C) É igual a 96.
D) É igual a 64.
QUESTÃO 50
Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula,
porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente.
Determine a reta tangente da função vetorial:
A) A reta tangente é (3 + 2t, 1 + t, 4 + 4t).
B) A reta tangente é (2t + 3,1 + t, 8t).
C) A reta tangente é 7 + 8t.
D) A reta tangente é 8 + 7t.
QUESTÃO 51
Uma das aplicações de derivada na física é a velocidade de uma partícula,
porém outra aplicação muito utilizada de derivada é a reta tangente.
Determine a reta tangente da função vetorial:
A) A reta tangente é (1, 3 + t, 2t).
B) A reta tangente é 3 + 4t.
C) A reta tangente é (t, 1 + 3t, 2).
D) A reta tangente é 4 + 3t.