econometria 1

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Introdução
Autoria: José Tadeu de Almeida - Revisão técnica: Jorge Lisandro Maia
Ussan
Econometria
UNIDADE 1 - O MODELO
ECONOMÉTRICO
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Caro(a) estudante, seja bem-vindo(a) à disciplina
de Econometria. Ao longo de nossos estudos,
conheceremos os métodos de análise que são
utilizados pelos economistas para estimar e
avaliar tendências e comportamentos de séries
de dados. Conforme você verá, a econometria é
uma disciplina que tem uma aplicação objetiva
na vida profissional, ajudando a entender
diferentes realidades e variáveis, bem como correlacionando-as conforme os
objetivos de uma pesquisa.
Sabendo disso, nesta unidade, resgataremos alguns conceitos e conteúdos de
estatística — em particular, relacionados à estatística descritiva —, os quais são
utilizados sistematicamente para a criação de indicadores que permitem avaliar o
desenvolvimento e as características das variáveis anteriormente mencionadas.
Diante disso, pergunta-se: como podemos associar variáveis em uma pesquisa?
Essas relações podem ser graficamente visualizadas? E qual a diferença entre um
parâmetro e um estimador?
Por meio de conceitos como universo, amostra e distribuição, você poderá responder
a essas perguntas, compreendendo de que modo são processadas as técnicas de
coleta, apuração e apresentação de diferentes séries de dados, que podem ser
convertidas em informações relevantes ao pesquisador, de acordo com as suas
necessidades de investigação. Veremos, ainda, as principais etapas para a criação de
um modelo econométrico e, por fim, os diferentes tipos de modelos utilizados nas
análises econômicas.
Bons estudos!
1.1 Importância da inferência estatística na
econometria
A estatística é uma ciência que utiliza procedimentos de coleta, interpretação e análise de
dados com o objetivo de favorecer a avaliação e a tomada de decisões de um agente em
relação a um problema ou a uma variável. Desse modo, essa ciência pode abranger e
relacionar-se com diferentes expressões do conhecimento humano, tais como a demografia, a
ciência política, a economia e a sociologia, entre outros ramos da ciência (CRESPO, 2011).
Dentro dos referenciais dessa disciplina, a inferência estatística é uma área de conhecimento
que utiliza diferentes argumentos e unidades de medida para elaborar inferências, isto é,
afirmações a respeito de dados e características de toda uma população ou universo a partir de
um conjunto de dados aleatoriamente coletados na forma de uma amostra.
1.1.1 Amostras e indicadores amostrais
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O uso de amostras — e a manipulação das informações que são geradas por essas amostras
— é um processo comum ao funcionamento da sociedade. Profissionais da costura, por
exemplo, costumam adquirir pequenas quantidades de tecido para apresentar aos clientes o
material que será escolhido para a criação de uma peça de roupa.
Os promotores de vendas, por sua vez, oferecem pequenas porções de alimentos e produtos
em supermercados para incentivar a compra pelos clientes. Balconistas de lojas de materiais de
construção contam com paletas de cores de determinadas tintas. Por fim, a coleta de amostras
de sangue permite observar características hematológicas que podem ser indicativas de
diferentes tipos de enfermidades.
#PraCegoVer: fotografia frontal de uma profissional da área da saúde, usando máscara e luvas,
segurando uma amostra de sangue para análise em laboratório.
Em todos esses exemplos, a decisão de compra, produção, ação ou consumo está
essencialmente baseada na observação e na análise de uma amostra. No entanto, há outras
situações que envolvem a manipulação de informações com maior tamanho (ou dimensão),
exigindo uma formulação especial para a sua análise (CRESPO, 2011).
Figura 1 - Profissional de laboratório em coleta de amostra
Fonte: YakobchukOlena, iStock, 2021.
Uma amostra corresponde a um subconjunto de
uma população estatística total. Por meio dela, é
possível criar parâmetros de análise que
Você sabia?
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Nessas situações, se a amostra for selecionada de modo eficiente (por meio de uma coleta de
dados proporcional ao número de habitantes de todos os bairros, níveis de renda e
escolaridade, no caso de uma pesquisa socioeconômica), há uma probabilidade alta de que as
informações obtidas possam representar adequadamente o comportamento da população
geral. Assim, pode-se deduzir, isto é, inferir, o comportamento de um universo estatístico por
meio de uma amostra (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Após selecionar a amostra, é preciso que ela seja trabalhada, produzindo os resultados e
estatísticas necessários ao pesquisador, criando, por exemplo, indicadores como a média
amostral de uma variável com indivíduos, expressa do seguinte modo:
A média , portanto, é uma variável aleatória, haja vista que representa um resultado possível
ou esperado de um determinado experimento estatístico, a partir da coleta aleatória de dados
de uma população.
Considere que, em uma cidade com 100 mil eleitores, há um
candidato a vereador que deseja avaliar o seu potencial de
eleição, isto é, as chances reais de que ele seja eleito. Para isso,
ele deverá selecionar uma amostra de quatrocentas pessoas —
0,4% da população total —, que irá responder se deseja (“sim” =
1) votar nesse candidato ou em outro (“não” = 0).
É necessário obter a porcentagem de votos esperada pelo
candidato. Assim, deve-se elaborar uma média dos votos dos
indivíduos ( ) que foram entrevistados e que
compõem um espaço amostral finito, com :
Nesse caso, é possível verificar que a média remete a uma
série de opiniões coletadas por amostragem: trata-se, portanto,
de diferentes valores esperados (0 ou 1) que são associados a
um evento/função (o voto no candidato a vereador).
Se, nessa pesquisa, oito pessoas ( ) disserem que
irão votar no candidato, sua expectativa é de que a sua votação
na cidade seja semelhante a essa porcentagem, ou seja, ele
espera obter em torno de 2 mil votos na próxima eleição.
demonstrem as características de toda a população.
Caso
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As variáveis aleatórias são funções responsáveis por associar um valor real a um resultado de
um espaço amostral finito (criando variáveis aleatórias discretas) ou infinito (variáveis aleatórias
contínuas). Uma variável contínua pode ser verificada na contagem de tempo de um
experimento, no qual um intervalo de um minuto pode conter infinitos resultados possíveis, de
segundos a milésimos de segundo (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Outros fatores indicadores de medida podem, ainda, ser utilizados para estudar algum aspecto
ou característica da amostra, como a sua variância (a dispersão dos valores ao redor da
média). Independentemente de qual unidade de medida for utilizada, todos estarão estruturados
em torno da distribuição amostral ( ).
Essas unidades são, portanto, estatísticas relacionadas à amostra, ou seja, são funções de
uma distribuição amostral. A média e a variância são exemplos de estatísticas
relacionadas a um conjunto amostral.
1.1.2 Parâmetros e estimadores
Ao manipular conjuntos de dados de acordo com a inferência estatística, é necessário ter
sempre em consideração que a amostra é um segmento da população. Quando um indicador é
construído a partir da população estatística como um todo, esse indicador é conhecido como
parâmetro. Contudo,quando o parâmetro não pode ser obtido (em vista de um número alto de
dados em uma população, por exemplo), pode-se estimá-lo, adotando um indicador conhecido
como estimador.
Desse modo, em resumo, os indicadores que dizem respeito a uma população configuram-se
como parâmetros; já os indicadores que remetem a uma amostra — mais utilizados na
inferência estatística — são estimadores (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Por exemplo, se um pesquisador colhe informações sobre uma população, obtendo uma
amostra expressa por , a sua média (ou seja, a média populacional) representa um
parâmetro (isto é, o valor esperado para um elemento colhido aleatoriamente). A
O prefeito de uma cidade com 600 mil habitantes afirma que
apenas 0,5% da população do município vive com renda
abaixo da linha de pobreza. Caso uma pesquisa seja realizada
com uma amostra aleatória de 6.200 pessoas, quantas
pessoas devem responder que se encontram nessa faixa de
renda para que a afirmação do prefeito seja verdadeira?
Nesse caso, a pesquisa deverá estruturar uma porcentagem
semelhante em relação ao número de entrevistados. Logo, o
montante esperado de indivíduos nessa condição é igual a
0,5%*6200 = 6200*0,005 = 31 respondentes.
Vamos Praticar!
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variância populacional, por sua vez, é representada pelo parâmetro . Mas, ao
lançar mão de uma amostra, a média e a variância amostrais são dadas pelas estatísticas e 
.
Observe os exemplos mais comuns de parâmetros e indicadores por meio do quadro a seguir.
#PraCegoVer: quadro composto por três colunas, apresentando os símbolos relacionados aos
parâmetros populacionais e aos estimadores amostrais em diferentes tipos. Na primeira coluna,
à esquerda, são apresentadas as denominações (média; mediana; variância; número de
elementos; proporção; quantil; quartis; distância entre quartis). Na segunda e na terceira
colunas, respectivamente, são apresentados os símbolos relativos à população e à amostra de
cada uma das denominações.
A partir de uma amostra, pode-se, portanto, efetuar afirmações gerais, com elevada precisão,
sobre os parâmetros de uma população, utilizando diferentes tipos de estimadores. No próximo
tópico, veremos com mais detalhes a contribuição desses estimadores para a formação de
modelos e para a avaliação de hipóteses.
Quadro 1 - Parâmetros e estimadores comuns em inferência estatística
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em BUSSAB; MORETTIN, 2017.
Teste seus conhecimentos
(Atividade não pontuada)
Os conceitos de inferência estatística devem ser observados para a análise de dados que
envolvem populações e amostras. Desse modo, torna-se possível compreender os principais
aspectos dessas séries de dados, com a extração de indicadores apropriados. 
Considerando o conteúdo apresentado, é correto afirmar que: 
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a. a diferença entre população e amostra existe somente quando há criação de
experimentos aleatórios com reposição em uma população infinita.
b. um fenômeno estatístico é um processo ausente em situações que envolvem o uso
de amostras, pois diz respeito apenas a populações.
c. toda população apresenta dimensões infinitas, pois é gerada a partir de uma variável
aleatória, demandando, assim, o uso de estimadores amostrais.
d. uma distribuição por frequências absolutas apresenta os dados amostrais extraídos
de uma população como proporções/percentuais dessa população.
e. uma população amostral é um subconjunto extraído de uma população e tem
dimensões conhecidas e finitas.
Verificar 
1.2 Estratégia de decisão na inferência
estatística
Ao definir a relevância dos processos de inferência estatística para a construção de modelos
econométricos, é importante entender de que forma esses processos podem auxiliar um agente
econômico — o gestor de uma empresa, um responsável técnico ou um formulador de políticas
públicas, por exemplo — a efetivar decisões.
A econometria pode ser usada não apenas para estimar
tendências futuras, mas também para a análise de
dados históricos. No artigo de Thais Carrança (2021),
denominado “Como a escravidão atrasou o processo de
industrialização do Brasil”, você poderá conhecer uma
aplicação prática dos estudos econométricos em um
tema de nossa história colonial e independente.
Acesse (https://www.bbc.com/portuguese/brasil-
Você quer ler?
https://www.bbc.com/portuguese/brasil-55670561
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Vale destacar, ainda, que tais decisões irão impactar não apenas os resultados gerados por
uma empresa ou instituição (receitas, lucros, tributos a pagar etc.), mas também poderão
orientar as políticas e planejamentos a serem efetivados por esses organismos ao longo do
tempo.
1.2.1 Métodos de amostragem e avaliação de dados
Ao tratar do assunto decisão, é necessário reforçar a compreensão da inferência estatística em
relação a um método de análise e discussão de dados amostrais retirados de uma população.
Sabendo-se que uma amostra, aleatoriamente colhida, gera uma variável aleatória , espera-
se obter uma participação ou porcentagem de resultados esperados nessa amostra.
Por exemplo, se um rebanho de bois apresenta animais doentes por febre aftosa, é necessário
estimar a proporção de bois que pode ter sido contaminada, separando, para isso, uma amostra
e efetivando uma testagem. Se há bois doentes, tem-se que é a proporção de bois que está
afetada pela enfermidade, logo, cada boi que tenha sido separado para amostragem também
poderá apresentar a mesma doença, com probabilidade de tal situação se manifestar
(BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Atribuindo-se por a variável aleatória que diz respeito ao número de bois enfermos, um gestor
agroindustrial irá usar o valor observado para inferir a existência de um parâmetro de
bois doentes em todo o seu rebanho, tomando precauções de defesa sanitária (compra de
medicamentos, vacinas, separação de animais) de acordo com essa possível realidade.
Suponha, como referência, que ; ou seja, 10% dos animais do rebanho podem estar
contaminados pela febre aftosa. Essa inferência pode ser expressa de diferentes modos, tais
como os que se seguem (MAIA, 2017).
55670561)
https://www.bbc.com/portuguese/brasil-55670561
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Criação de uma
estimativa pontual 
Em relação à criação de uma estimativa pontual 
, pode haver a fixação de um valor único (e esperado)
para um parâmetro, de modo que 
. Assim, o gestor define que o número total de animais
doentes é de exatos 10% do rebanho.
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Em cada uma dessas situações, observe que o fato do agente conhecer o valor que foi
observado a partir da amostra coletada permite que ele realize inferências (e decisões) sobre
uma certa proporção que ele espera observar em toda uma população.
1.2.2 Testes de hipóteses sobre conjuntos amostrais
Para dar sustentação a uma decisão, como vimos anteriormente, pode-se recorrer a um teste
de hipótese. Nesse caso, o pesquisador verifica uma afirmação específica, relacionada a uma
população qualquer ou a um parâmetro ligado a essa população, observando se os resultados
gerados com a amostra podem ser capazes de confirmá-la ou contradizê-la.
Em outras palavras, a inferência estatística permite efetivar testes para confirmar hipóteses de
estudo, aplicados em relação a uma série de dados amostrais, podendo confirmar ou não tais
hipóteses. Portanto, um teste de hipótese permitecriar metodologias de verificação de
evidências sobre dados amostrais que possam dar credibilidade a uma hipótese amparada em
um fenômeno estatístico (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
De acordo com o procedimento de elaboração de um teste de hipótese, seguindo o exemplo
apresentado anteriormente, é possível avaliar se a proporção de animais doentes será superior
a 7,5% usando uma amostra de cem animais, dos quais nove apresentaram sintomas. Dessa
forma, a hipótese nula é dada por:
Elaboração de um
intervalo de confiança 
Elabora-se esse intervalo de modo a criar uma
margem de segurança ao redor da estimativa com um
certo nível de certeza de que o estimador é correto
(por exemplo, há 95% de certeza de que
aproximadamente 8 a 12% dos animais estão
doentes). 
Criação de um teste de
hipótese 
Esse teste permitirá validar ou rejeitar a legitimidade de
uma estimação associada a uma hipótese (por
exemplo, pode-se testar, a nível de 5%, a hipótese da
proporção de animais contaminados θ ser inferior a
0,075).
Elaboração de predições 
Com isso, avalia-se, por exemplo, a possibilidade de
uma porcentagem maior de animais apresentar
sintomas nas próximas semanas, de acordo com as
tendências de contaminação das semanas anteriores. 
Estabelecimento de
decisões 
Por exemplo, pode haver a iniciativa de rastrear todos
os animais que apresentem sintomas e abatê-los,
colocando em confinamento e testagem os outros bois
que pertençam ao mesmo lote de animais doentes. 
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A hipótese alternativa , por sua vez, gera uma distribuição unilateral à esquerda e é expressa
do seguinte modo:
Se a amostra é aleatória, a proporção amostral terá uma distribuição que tende a uma
distribuição normal, com média e variância expressas da seguinte forma:
Supondo que a amostra tem dimensão , que o nível de significância do teste é igual a 
 e que a hipótese nula é verdadeira, a distribuição desse estimador será dada por:
Passando à busca do valor de referência para o estimador, é preciso encontrar o valor capaz
de gerar a seguinte equação:
De acordo com a tabela normal padrão, a probabilidade está associada ao valor 
. Logo, se a distribuição é unilateral à esquerda, tem-se o sinal negativo na
estatística :
O valor delimita a região crítica para o teste mencionado. Ora, se nove animais
estão doentes em uma amostra de cem animais, a proporção amostral é igual a 0,09. Esse
valor está dentro da região crítica, de modo que se pode rejeitar a hipótese nula. Há, portanto,
indícios evidentes de que a proporção de animais doentes é superior a 7,5%.
Assim, com base nesse diagnóstico, o gestor deve efetivar ajustes de sua decisão, tomando as
medidas apropriadas para essa situação, avaliando, por exemplo, as perdas que serão geradas
com o abate de uma proporção ainda maior de seu rebanho.
Você pode perceber, portanto, a relevância de um procedimento de coleta de amostras para a
criação de informações a respeito de uma população. Entretanto, é necessário operacionalizar
essas informações de acordo com as suas tendências, construindo um modelo econométrico,
cujos componentes serão apresentados no próximo tópico. Acompanhe!
Para aprofundar o seu conhecimento sobre a aplicação da
inferência estatística na sua realidade profissional, pesquise em
dicionários on-line o significado das seguintes expressões:
previsão, predição, estimação e projeção, entendendo seu
significado e sua aplicação para a realidade das empresas.
Conforme você verá, de acordo com o dicionário Michaelis ([2021]),
enquanto a previsão remete a uma conjectura sobre algo que ainda
não ocorreu, a predição é uma afirmação a respeito de algo que se
acredita que vá ocorrer no futuro. A estimação, por sua vez, tem
uma abordagem estatística, usando dados amostrais para criar
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parâmetros que podem ser usados para inferir dados futuros, e a
projeção é uma conjectura prévia de uma situação futura, a partir
dos dados e elementos do tempo presente.
1.3 Componentes do modelo
econométrico
Como pudemos observar até este momento, a associação entre a análise econômica e a
inferência estatística é útil para estimar resultados que são relacionados a diferentes variáveis.
No entanto, essas variáveis podem ser associadas entre si, construindo modelos
econométricos de maior ou menor grau de complexidade, os quais permitem gerar estimações
ainda mais precisas acerca dessas amostras.
1.3.1 Modelo econométrico básico
Em alguns casos, é possível entender uma associação entre duas variáveis a partir de
indicadores mais simples, como o coeficiente de correlação de Pearson, com notação , que
mede a intensidade da relação entre duas variáveis (BUSSAB; MORETTIN, 2017).
Você deve lembrar, a partir dos conceitos de estatística básica, que o coeficiente de
correlação de Pearson assume valores em um intervalo dado por , de modo que um
coeficiente indica uma correlação perfeita entre as variáveis (se o valor de uma aumenta,
a outra também irá aumentar). Se , observa-se que uma variável terá o valor diminuído
enquanto a outra aumentará. Já valores iguais a zero indicam ausência de correlação.
No entanto, embora esse indicador apresente sua utilidade, o coeficiente de correlação pode
ser insuficiente para entender outras dimensões dessa associação entre duas variáveis, dadas
por e . Por exemplo, qual será a variação efetiva de a partir de uma variação de ? Ou,
ainda, qual o valor esperado de a partir de um determinado valor de ?
Tais questões, de um modo geral, somente podem ser explicadas ao recorrermos a um modelo
econométrico. Como referência para esses modelos, tem-se o modelo de regressão linear.
Nesta unidade, vamos primeiramente enfatizar o modelo de regressão linear simples.
De acordo com seus pressupostos, há uma relação entre variáveis e em uma certa
população, de modo que a variação de poderá ser explicada, em maior ou menor grau, pela
variação de , cujos componentes são apresentados de acordo com a equação que se segue
(GUJARATI, 2011):
Conforme a equação, representa a variável dependente, isto é, a variável que é explicada
pelas variações positivas ou negativas de , que, por vez, é chamada de variável
independente ou explanatória. Já a variável e apresenta os erros amostrais, isto é, os erros
de estimação que não são captados ou explicados pelo modelo econométrico.
O modelo econométrico depende, ainda, da existência de um coeficiente angular e de um
coeficiente angular , que são parâmetros associados ao modelo, isto é, esses parâmetros
determinam a inclinação da reta de regressão e a sua interceptação no eixo da variável
independente.
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Observe, por exemplo, na figura a seguir, a evolução de um modelo expresso pela função 
.
#PraCegoVer: gráfico em tendência crescente e linear, contendo diferentes pontos em um
plano cartesiano.
Uma função de regressão linear determina que um valor relativo à variável dependente 
será expresso a partir da função linear de um valor conhecido relativo à variável aleatória ,
acrescentando-se um erro que não é previsto, ou captado, pelo modelo econométrico (MAIA,
2017).
1.3.2 Notação e tipos de modelos
Agora que você já conhece as principais características de um modelo econométrico, é
importante avaliar algumas de suas formas funcionais, isto é, os diferentes perfis de modelos
que podem ser criados para explicar as associações entre variáveis.
Neste tópico, estamos avaliando, até o momento, uma relação absolutamente linear entre duas
variáveis; esse é o padrão para uma regressão linear simples, analisada anteriormente. Trata-
se de um modelo que gera uma retade valores estimados e que se configura como uma
análise bivariada, enfocando, no caso, duas variáveis.
Vale destacar, ainda, que uma análise univariada considera a formulação de indicadores
baseados em uma única variável, como a análise de índices de variância simples (média,
moda, mediana, variância e desvio-padrão, por exemplo) (MAIA, 2017).
Ainda que essa regressão simples seja didaticamente útil para compreender o processo de
associação entre variáveis, há uma utilização prática relativamente limitada desse modelo. Tal
situação ocorre porque, no mundo real, há poucos elementos que dependam de apenas uma
variável independente para terem a sua variabilidade explicada.
Figura 2 - Relação linear entre variáveis em uma função 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
Por exemplo, é possível relacionar a variação da taxa de desemprego, que é a razão entre o
número de pessoas desempregadas e o total da força de trabalho em uma economia, e a
taxa de inadimplência para o pagamento de despesas financeiras, como aqueles efetuados
em cartões de crédito. 
Em uma primeira aproximação, a relação de regressão poderia ser do tipo simples, afinal,
as pessoas que estão desempregadas não teriam renda suficiente para arcar com as
despesas financeiras de um cartão de crédito, acelerando a inadimplência na economia e na 
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Logo, pode-se arbitrar, sem muitas dúvidas, que a inadimplência pode igualmente ser explicada
pelo desemprego e pelo preço dos alimentos, em maior ou menor proporção.
Nesse caso, é preciso recorrer a um modelo de regressão linear múltipla, pois, se o
pesquisador optar pela construção de um modelo simples, haverá um erro amostral
suficientemente significativo que irá tornar a sua análise viesada nas relações de causa e efeito.
Desse modo, ao entender uma associação entre variáveis, é preciso observar também os erros
do modelo: se o modelo gerar um erro muito alto, há outros fatores que estão interferindo na
sua evolução e que ainda não foram descobertos. Sendo assim, torna-se necessário revisar
essas variáveis para gerar uma modelagem mais precisa.
O modelo de regressão linear múltipla é elaborado em uma perspectiva multivariada, com
mais de uma variável independente (sejam duas, três ou variáveis) explicando as variações
constantes da variável dependente, do seguinte modo (WOOLDRIDGE, 2017):
Nesse caso, para um modelo com duas variáveis independentes, a sua representação
geométrica é expressa de acordo com a figura a seguir. Nela, observe que os pontos (A, B, C,
D) são tridimensionalmente estruturados, isto é, estão dispostos em um plano geométrico.
#PraCegoVer: gráfico contendo um conjunto de quatro pontos dispostos em um plano
geométrico e em uma reta inserida em um plano de três dimensões.
Há, ainda, outros perfis de modelos e formas funcionais que precisam ser avaliados,
especialmente no caso das regressões, haja vista que nem sempre as relações entre variáveis
independentes e dependentes são absolutamente lineares.
sociedade. 
No entanto, há outros fatores que podem ser igualmente coerentes para explicar a evolução
da taxa de inadimplência, como a variação dos preços dos alimentos da cesta básica. Ora,
as pessoas precisam se alimentar, de modo que um aumento nesses preços levará a um
maior gasto com alimentos e, consequentemente, a uma menor disponibilidade de recursos
para o pagamento de dívidas contraídas. 
Figura 3 - Relação entre três variáveis em um plano geométrico
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
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Nesse caso, comum à regressão linear simples, bastaria estimar variações e os erros amostrais
seriam pequenos ou praticamente nulos, pois a variação de (variável dependente) ocorreria
de forma constante em função das variações absolutas de (variável independente). No
entanto, é necessário avaliar o que ocorre em situações em que a variável irá apresentar um
crescimento mais rápido (ou mais lento), mas não constante, em relação às variações absolutas
de (MAIA, 2017).
Por exemplo, supondo a existência de um modelo , tem-se a formulação gráfica
apresentada na sequência.
#PraCegoVer: gráfico em tendência de crescimento exponencial, isto é, em pontos próximos de
zero. A linha cresce devagar e acelera-se à medida que os valores do eixo horizontal
aumentam, ficando quase em uma vertical. 
Analogamente, um modelo apresentará valores infinitesimais à medida que X
aumenta, como aponta a figura a seguir. 
Figura 4 - Modelo de crescimento exponencial
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
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#PraCegoVer: gráfico contendo um modelo decrescente, com valores infinitesimais e próximos
de zero em uma linha curva.
Essas estruturas de característica exponencial são comuns aos modelos do tipo log-lin, os
quais podem ser operacionalizados ao transformar a variável dependente em seu logaritmo
natural, expresso por (MAIA, 2017). Assim, o modelo que tinha uma dinâmica exponencial
passa a caracterizar-se como um modelo linear, de acordo com o que se observa na figura
apresentada na sequência.
#PraCegoVer: plano cartesiano com a variável no eixo horizontal e a variável do logaritmo
natural de no eixo vertical. Assim, a linha exponencial transforma-se em uma reta.
A formulação algébrica desse modelo log-lin é dada pela equação que se segue:
Essa situação demonstra que, a cada variação absoluta marginal em , isto é, quando há 
, observam-se variações relativas na variável dependente , em um montante igual a (
) (MAIA, 2017).
Figura 5 - Modelo 
Fonte: Elaborada pelo autor, 2021.
Figura 6 - Transformação de uma função de regressão log-lin
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
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Desse modo, o coeficiente angular representa a variação relativa em perante uma variação
unitária da variável independente , haja vista que, no momento em que , observa-se o
seguinte:
Por consequência, pode-se verificar que a variação em será expressa do seguinte modo:
Uma segunda forma funcional é o modelo lin-log. No modelo log-lin, você observou a ocorrência
de variações relativas em (exponenciais tendendo a zero ou a infinito) a partir das variações
absolutas (pontuais/lineares) em . O modelo lin-log, por sua vez, pressupõe que apresenta
variações absolutas, ou seja, constantes, diante de variações relativas sobre a variável
independente (MAIA, 2017).
Nesse caso, de acordo com o valor do coeficiente angular, tem-se o que está expresso na
figura a seguir.
#PraCegoVer: dois gráficos apresentando expressões de um modelo de regressão lin-log. O
gráfico à esquerda tem uma linha decrescente que cruza o eixo horizontal quando é igual a
zero. Essa curva tem concavidade para cima. O gráfico à direita contém um plano cartesiano no
qual se insere uma linha crescente, mas que cresce a taxas decrescentes, formando uma curva
com a concavidade para baixo.
A formulação algébrica desse modelo é expressa da seguinte forma (MAIA, 2017):
O modelo lin-log entre e é expresso graficamente conforme apresentado na figura a
seguir.
#PraCegoVer: plano cartesiano com a variável do logaritmo natural de no eixo horizontal e a
variável no eixo vertical. Assim, a linha exponencial do gráfico anterior transforma-se em uma
reta.
Figura 7 - Expressões de um modelo de regressão lin-log
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
Figura 8 - Transformação de uma função de regressão lin-log
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
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Nesse modelo, observa-se que as variações absolutas em , expressas por , irão
representar variações relativas em , iguais a . Dessa forma, o coeficiente angular irá
representar variações absolutas em , dadas por , a uma variação unitária em .
Um terceiro tipo de modelo é conhecido como log-log ou log-duplo, muito utilizado em
análises econômicas. De acordo com esse modelo, as variações relativas da variável
independente implicarão em variações relativas constantes da variável dependente . Desse
modo, torna-se necessário realizar uma transformação para o logaritmo natural de e
de (MAIA, 2017).
Sua representação gráfica é estruturada conforme evidencia a figura a seguir.
#PraCegoVer: dois gráficos apresentando expressões de um modelo de regressão log-duplo. O
gráfico à esquerda contém uma curva com a parte côncava para cima, mas que não cruza o
eixo horizontal. O gráfico à direta contém duas curvas, uma com taxa crescente e exponencial e
outra com crescimento a taxas decrescentes.
Observe que, se o coeficiente angular apresentar um valor no intervalo , o modelo tem
uma declividade negativa a taxas crescentes (as variações relativas de correspondem a
variações relativas de tendendo a zero). Se o coeficiente apresentar valores entre 0 e 1, o
modelo tem uma tendência crescente, porém a taxas decrescentes (tendendo a um valor-limite
de quando tende a infinito). Finalmente, se o coeficiente é positivo e maior que 1, o
modelo apresenta tendência de crescimento a taxas crescentes (pequenas variações relativas
de geram aumentos substanciais em ) (MAIA, 2017).
Na transformação dessas variáveis em seus logaritmos naturais, tem-se o que é apresentado a
seguir.
#PraCegoVer: plano cartesiano com a variável do logaritmo natural de no eixo horizontal e a
variável do logaritmo natural de no eixo vertical. Assim, a linha exponencial do gráfico anterior
transforma-se em uma reta.
Figura 9 - Expressões de um modelo de regressão log-duplo
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
Figura 10 - Transformação de uma função de regressão log-duplo
Fonte: Elaborada pelo autor, baseada em MAIA, 2017.
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Sabendo que as variações absolutas de e de implicam em variações relativas de e
de , respectivamente, observa-se que o coeficiente angular, dado por , irá, na verdade,
representar as variações relativas que ocorrem na variável dependente ( ) a cada
variação relativa e unitária ( ) da variável independente , ou seja, quando .
Observando as variações marginais (1%), portanto, espera-se que, a cada variação percentual
de , haja uma variação de em magnitude igual a ( (MAIA, 2017).
Por fim, o modelo lin-lin ou nível-nível pressupõe uma relação especificamente linear entre
variáveis, sendo comum aos casos de regressão simples.
A construção do modelo econométrico determina as suas características, a partir do conjunto de
informações criado pelo pesquisador. No entanto, a expressão desse modelo irá depender de
seus coeficientes linear e angular, estruturados a partir de uma rotina de procedimentos
algébricos que será destacada no tópico seguinte.
Alexandre Gori Maia atua no Instituto de Economia da
Universidade Estadual de Campinas (IE-Unicamp) e se
especializou na construção de modelos econométricos que
enfocam temas de desenvolvimento econômico, tais como a
demografia, a dinâmica do mercado de trabalho e o
desenvolvimento do setor agropecuário no país. Ele é autor
de um dos livros de referência para esta disciplina.
Você o conhece?
Para melhor compreender as características dos modelos
econométricos apresentados nesta seção, consulte o Capítulo 4,
“Formas funcionais”, do livro de Alexandre Gori Maia, Econometria:
conceitos e aplicações: aprenda os fundamentos da análise
econométrica e resolva problemas econômicos concretos, presente
em sua biblioteca virtual. Nele, é possível conhecer de forma mais
detalhada os modos de associação absoluta e relativa que geram os
modelos econométricos apresentados nesta unidade. Procure,
ainda, resolver os exercícios propostos pelo autor.
Vamos Praticar!
1.4 Etapas do processo de modelagem
econométrica
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econométrica
As fases que compõem o procedimento para a elaboração de uma regressão simples se iniciam
com a obtenção das estimativas que estão relacionadas aos parâmetros linear e angular,
respectivamente dados por e . Esses coeficientes irão determinar aspectos importantes,
como o ponto de interceptação das variáveis (se ele existir) e a inclinação da reta de regressão.
1.4.1 Coeficientes linear e angular
As estimativas ligadas aos coeficientes linear e angular serão criadas com base nos
coeficientes amostrais que são dados por e , a partir de uma amostra de pares ordenados
relacionados a duas variáveis, isto é, às variáveis independente e dependente , gerando
valores estimados para a variável (HOFFMANN, 2016).
Esses valores estimados de são expressos por , de acordo com a equação que se segue:
Nesse sentido, o resíduo representa a diferença (ou o desvio) entre o valor real da variável
dependente e o seu valor estimado por . Assim sendo, para cada resíduo expresso por ,
tem-se que .
Consequentemente, a soma desses desvios, dados por , será igual a zero, de acordo com as
propriedades do modelo de regressão (HOFFMANN, 2016):
Os coeficientes e devem ser calculados de acordo com as seguintes equações:
Em que e são determinados pela diferença entre cada um dos valores e e suas
médias, respectivamente expressas por e .
Você pode complementar o conhecimento adquirido ao
longo desta unidade acessando o canal da Universidade
Virtual do Estado de São Paulo (Univesp). Na videoaula
n. 28 do curso de Estatística, Exercícios sobre
regressão, ministrada pelo professor doutor André
Fleury, são apresentados exemplos de regressão linear
baseados em temas econômicos e no cotidiano das
empresas, relacionando práticas de investimento e
efeitos em receita de vendas, entre outros casos.
Acesse (https://www.youtube.com/watch?
v=15nIzjMjjEQ)
Você quer ver?
Teste seus conhecimentos
https://www.youtube.com/watch?v=15nIzjMjjEQ
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Considerando um exemplo, suponha a existência do seguinte conjunto de dados, expresso no
quadro a seguir, cujos números serão comparados para verificar a relação de associação entre
eles, a ser elaborada mediante a criação de um modelo econométrico. 
(Atividade não pontuada)
Considere a seguinte situação-problema: um sargento das forças policiais utiliza
procedimentos de regressão linear para estimar os rendimentos esperados em relação aos
soldados que ele treina. Desse modo, ele coletou o número de flexões efetuadas (Y) por um
grupo de soldados, em função de diferentes intervalos de tempo, gerando o seguinte
conjunto de dados: (X,Y) = (10,12), (11,14), (12,9), (11,10), (11,15), (14,10), (15,11), (15,18),
(15,14), (16,7). Eventuais valores decimais devem ser arredondados para baixo.
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre regressão linear simples, é
correto afirmar que:
a. em 22 segundos, espera-se que os soldados efetivem 16 flexões.
b. a razão entre o coeficiente linear e o coeficiente angular é igual a 32,26.
c. o rendimento esperado dos soldados em 13 segundos é igual a 14.
d. a equação de regressão é dada por .
e. em 12 segundos, o rendimento esperado será de 15 flexões.
Verificar 
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#PraCegoVer: quadro contendo um conjunto de números que pertencem a uma variável 
(primeirae terceira colunas) e um conjunto de números que pertencem a uma variável 
(segunda e quarta colunas).
Agora, é necessário obter as médias de e , de modo que a média amostral é igual a 26, e
a média amostral é igual a 103.
Na sequência, deve-se efetivar a estimação dos coeficientes e relacionados a essa
distribuição. Assim, a sua obtenção deverá ser feita de modo que e .
Portanto, tem-se a seguinte situação:
Consequentemente, é possível elaborar o coeficiente linear (HOFFMANN, 2016):
Assim, a reta de regressão relacionada a uma distribuição de valores esperados , relativos à
variável dependente, é dada por:
Essa reta de regressão demonstra que, a cada variação absoluta (uma unidade) em , haverá
uma variação de 4,055 unidades na variável dependente . Portanto, trata-se um modelo de
tendência crescente, cuja reta intercepta o eixo no ponto (0, -2,43).
Quadro 2 - Associação entre variáveis
Fonte: Elaborado pelo autor, 2021.
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Considerando a existência do modelo 
, quais serão os valores
estimados para o conjunto de pontos dado por =
{52; 64; 75}? Apresente os pares ordenados ( )
relacionados a esse conjunto.
Em sua resolução, conforme você verá, para os
valores apresentados da variável independente , os
valores de (variável dependente) serão estruturados
da seguinte forma:
: . Logo, ( ,
) = (52; 208,43);
: . Logo, ( ,
) = (64; 216,54);
: . Logo, ( ,
) = (75; 301,69).
Vamos Praticar!
Nesta unidade, vimos que a econometria não consiste apenas em um
aprofundamento da estatística econômica. Embora sejam utilizadas
várias ferramentas dessa área de conhecimento, como o cálculo de
médias e desvios, o principal propósito da econometria consiste em
gerar ferramentas e métodos descritivos da variação de diferentes
conjuntos de dados. Dessa forma, é possível estimar mudanças
futuras que podem afetar diretamente a capacidade decisória de um
agente econômico.
Nesta unidade, você teve a oportunidade de:
Conclusão
operar um modelo econométrico simples por meio dos processos de
regressão linear;
conhecer as principais finalidades e objetivos de um modelo
econométrico e as suas respectivas aplicações, contribuindo para o
seu universo profissional;
distinguir conceitos de inferência estatística, como os conceitos de
população, amostra, indicador, estimador e parâmetro.
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BUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. Estatística básica. 7. ed.
São Paulo: Saraiva, 2017.
CARRANÇA, T. Como a escravidão atrasou o processo de
industrialização do Brasil. BBC Brasil, São Paulo, 16. jan.
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CRESPO, A. A. Estatística fácil. 20. ed. São Paulo: Saraiva, 2011.
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