Introdução à Econometria

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ECONOMETRIA
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Leonardo Ramos de Oliveira Campanini
Mariana de Campos Barroso
Paola Andressa Machado Leal
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Lima, Marcelo Tavares de
L732e Econometria/ Marcelo Tavares de Lima – Londrina: 
 Editora e Distribuidora Educacional S.A. 2018.
 108 p.
 ISBN 978-85-522-1050-4
			 1.	Variáveis	dummy.	2.	Mercado	financeiro. 
I. Lima, Marcelo Tavares de. Título.
 CDD 330
Responsável	pela	ficha	catalográfica:	Thamiris	Mantovani	CRB-8/9491
2018
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Econometria 3
SUMÁRIO
Apresentação da disciplina 04
Tema 01 – Modelos univariados 05
Tema 02 – Séries temporais 24
Tema 03 – Análise de modelos e relaxamento dos 
 pressupostos clássicos 43
Tema 04 – Regressão com variáveis Dummy 60
Tema 05 – Modelos multivariados 76
Tema 06 – Modelos com variável dependente discreta 90
Tema 07 – Tópicos especiais em econometria 105
Tema 08 – Econometria	de	mercados	financeiros 120
ECONOMETRIA
4 Eficiência Energética
Apresentação da disciplina
Este material apresenta aos usuários da teoria econômica e demais in-
teressados no assunto, métodos quantitativos de análises de dados. O 
método quantitativo a ser desenvolvido neste conteúdo será a econome-
tria, cujo objetivo é levar o aluno a entender, desenvolver e aplicar seus 
métodos	de	forma	correta	e	eficiente.
A econometria segundo Malassise “é uma área e, ao mesmo tempo, um 
método de estudo utilizado em diversas áreas do conhecimento, porém, 
de maneira mais profunda nos estudos econômicos” (MALASSISE, 2015, 
p.11). Em cursos de Economia, a econometria se caracteriza como disci-
plina	fundamental	para	a	fixação	de	bases	quantitativas	da	teoria	econô-
mica. Por isso, também é conhecida como “medição econômica”, sendo a 
tradução literal de econometria.
A econometria é uma ciência social aplicada que se utiliza de conceitos e 
ferramentas de áreas como matemática, estatística e teoria econômica. 
Ela surgiu da necessidade de se trabalhar relações quantitativas, cujo in-
tuito é tornar possível a refutação ou a aceitação de uma conclusão en-
contrada por alguma ferramenta de análise de dados.
O termo econometria surgiu por volta de 1926 com base na palavra “bio-
metria”, a qual se refere à utilização de métodos estatísticos em pesquisas 
biológicas. Sua apresentação para a comunidade acadêmica foi feita pelo 
economista norueguês Ragnar Frisch.
A intenção desta disciplina é fazer com que você conheça os diversos mo-
delos econométricos existentes, apresentar aplicações práticas, com o 
intuito de tornar clara a importância de sua utilização na análise de pro-
blemas econômicos para a tomada de decisão e para a realização de pre-
visões	confiáveis.
5 Eficiência Energética
TEMA 01
MODELOS UNIVARIADOS
Objetivos
• Este texto tem como objetivo apresentar e desenvolver 
os seguintes tópicos: (1) a natureza da análise econo-
métrica; (2) o modelo clássico e seus pressupostos e; 
(3) modelos lineares e não lineares.
6 Eficiência Energética
Introdução
A econometria faz uso da teoria econômica e de dados da economia, ne-
gócios, ciências sociais e estatística, com a intenção de solucionar proble-
mas associados a quantidades. Por exemplo, o estudo da quantidade de 
vendas de um determinado produto em um mercado consumidor que 
passa	por	uma	situação	específica	de	interesse.
O termo econometria surgiu em 1926 através de um economista norue-
guês, porém a implementação de seus conceitos surgiu bem antes, em 
1838, com a teoria de Duopólio, de Agustin Cournot, o qual estabeleceu 
por meio dessa teoria que “as quantidades ofertadas no mercado surgem 
da ação e reação de dois vendedores, obedecendo algumas regras especí-
ficas”	(MALASSISE,	2015,	p.16).	A	demora	no	desenvolvimento	de	estudos	
econométricos, mesmo depois das pesquisas de Cournot ocorreu por con-
ta	da	dificuldade	e	da	escassez	de	obtenção	de	dados	confiáveis	que	per-
mitissem o seu uso para a realização de estudos empíricos econométricos.
Segundo Matos “os propósitos da econometria são: (a) a mensuração de 
variáveis; (b) a estimação de parâmetros e; (c) a formulação e teste de hi-
póteses” (1995 apud MALASSISE, 2015, p.18). 
Dados os propósitos, ainda segundo o mesmo autor, os objetivos são: (a) 
a	verificação	de	teorias	econômicas;	(b)	a	avaliação	de	políticas	econômi-
cas e, (c) a previsão de valores futuros de variáveis de natureza econômi-
ca. Os métodos desenvolvidos neste texto são os métodos de modelos 
univariados, lineares e não lineares, os quais têm como principal caracte-
rística a existência de uma única variável dependente em seu processo de 
modelagem e, uma ou mais variáveis independentes.
1. A natureza da análise econométrica
A	afirmação	de	que	em	muitas	situações	o	desenvolvimento	e	a	avaliação	
de uma pesquisa dependem do conhecimento que o pesquisador tem so-
bre econometria e análise de regressão, inclusive no que se refere a suas 
Eficiência Energética 7
potencialidades e a suas limitações, não é nenhum absurdo ou exagero. 
A econometria é útil para ajudar o pesquisador a separar ideias coerentes 
de ideias absurdas ou, hipóteses de pesquisa boas daquelas ruins. Por 
exemplo, numa negociação na bolsa de valores, é melhor esperar a baixa 
de preços de ações para realizar compra ou, é melhor fazer negociações 
conforme a teoria do passeio aleatório (random walk)? Qual a melhor ati-
tude para ser tomada?
Como mencionado anteriormente, a econometria faz a integração da te-
oria econômica com a matemática e a estatística, com o propósito de for-
mular e testar hipóteses construídas a partir dos fenômenos de natureza 
econômica através de medidas de variáveis e estimação de parâmetros.
Dados	os	propósitos	apresentados,	é	possível	identificar	que	a	econome-
tria	 tem,	segundo	Malassise	 (2015),	 “o	objetivo	de	 realizar	a	verificação	
de teorias econômicas através de estudos empíricos e as avaliações de 
políticas econômicas pelo conhecimento de valores numéricos de parâ-
metros	 como	elasticidade,	multiplicadores,	 coeficientes	 técnicos,	 etc.	 e,	
ainda, tem a intenção de realizar previsão de valores futuros de variáveis 
de natureza econômica”.
A econometria pode ser subdividida em duas vertentes: teórica e apli-
cada. A teórica se refere ao estudo da estruturação dos modelos teóri-
cos existentes, no intuito de avançar com propostas de novos modelos 
que possam ser mais adequados ou, que possam permitir a solução de 
problemas,	de	forma	mais	eficaz.	A	econometria	aplicada	realiza	aplica-
ções de modelos existentes, os quais são selecionados por informações 
prévias dos problemas a serem estudados. Em economia, a aplicação da 
econometria ocorre em problemas de microeconomia, que são estudos 
que envolvem teoria da demanda, produção, investimento, consumo, 
dentreoutros.
8 Eficiência Energética
ASSIMILE
“Econometria é a ciência que lida com a determinação, por 
métodos estatísticos, das leis quantitativas concretas que 
ocorrem na vida econômica [...] está ligada à teoria econô-
mica e à estatística econômica e tenta por métodos matemá-
ticos e estatísticos dar expressão concreta e quantitativa às 
leis gerais e esquemáticas estabelecidas pela teoria econô-
mica” (LANGE, 1961 apud MALASSISE, 2015, p. 13).
A análise de regressão é um dos métodos mais importantes da econo-
metria aplicada. Com sua utilização, é possível conhecer os efeitos que 
algumas variáveis exercem sobre outras. Mesmo que não haja relação 
significativa	de	causa	e	efeito	entre	as	variáveis	analisadas,	com	a	análi-
se de regressão é possível construir uma relação funcional expressa por 
equações matemáticas.
Como pressuposto, a análise de regressão considera que devem existir, 
no mínimo, duas variáveis para sua viabilidade de aplicação, em que, uma 
delas é chamada dependente ou endógena (em geral denotada por Y) e, 
a(s) outra(s), denominada(s) de independente(s) ou exógena(s) (em geral, 
denotada(s) por X).
De forma geral, a análise de regressão pode representar a relação entre 
as variáveis da seguinte maneira:
Y = f (X1, X2, ..., Xk) (1)
onde Y representa a variável dependente ou endógena e os Xh = (h = 1,2, 
... , k) representam as variáveis explicativas ou exógenas. Considere como 
aplicação os seguintes exemplos: (1) O estudo do crescimento popula-
cional (Y ) em função dos anos analisados (X); (2) Estudo da variação da 
produção de um item (Y ) segundo o preço de venda (X1) e a renda dos 
potenciais consumidores (X2).
Eficiência Energética 9
Quando, na análise de regressão, tiver uma única variável independente, 
tem-se o caso particular chamado análise de regressão simples e, quan-
do se tiver mais de uma variável independente, tem-se o caso de análise 
de regressão múltipla. Em toda análise de regressão, a relação funcional 
construída entre as variáveis dependentes e independentes considera 
um	termo	residual	ou	de	erro,	o	qual	significa	um	ajuste	para	equilibrar	
o modelo elaborado, ou seja, ele representa os fatores não considerados 
no	processo	de	modelagem	e	que	podem	ser	influentes	na	relação	entre	
as variáveis analisadas, e por ter uma natureza aleatória, torna os mode-
los elaborados em probabilísticos, os quais sob esta condição recebem o 
nome de modelos estatísticos ou econométricos.
2. O modelo clássico e seus pressupostos
No item anterior foi dito que a regressão linear é um dos métodos mais 
utilizados em estudos econométricos. No entanto, para que possa ser uti-
lizada, faz-se necessário que alguns pressupostos sejam garantidos. Tais 
pressupostos são originários da forma em que o modelo de regressão 
linear é construído, o qual utiliza o método dos mínimos quadrados ordi-
nários (MQO) para sua construção. O seu uso permite que seja possível 
realizar um processo de interpolação por previsão.
Para	que	o	uso	da	regressão	linear	seja	eficiente,	é	importante	que	exista	
algum grau de correlação linear entre as variáveis analisadas. Portanto, 
é	interessante	sempre	fazer	essa	verificação	antes	de	se	iniciar	qualquer	
procedimento de construção de modelo, mesmo que seja por conheci-
mento a priori.
Considere que existam n pares de valores de duas variáveis em um es-
tudo econômico, as quais são representadas por Xi e Yi (i = 1,2, ... , n). 
Considerando que Y seja função linear de X, é possível estabelecer uma 
regressão linear simples através do seguinte modelo estatístico.
10 Eficiência Energética
Yi = ß0 + ß1 Xi + ei (2)
onde ß0 e ß1 são parâmetros, Xi é a variável independente, Yi é a variável 
dependente e ei é o termo erro aleatório.
Os parâmetros do modelo de regressão linear simples, ß0 e ß1	são	os	coefi-
cientes linear e angular da reta de regressão ajustada pelo modelo de re-
gressão	linear	simples,	respectivamente.	O	coeficiente	angular,	também,	
é	conhecido	por	coeficiente	de	regressão	e,	o	coeficiente	linear	por	termo	
constante da equação de regressão.
Quando estabelecido um modelo de regressão linear simples, os seguin-
tes pressupostos estão em consideração:
1. A relação funcional entre X e Y é linear.
2. Os valores de X	são	fixos,	ou	seja,	X não é uma variável aleatória.
3. A média do termo erro aleatório é zero.
4. Para um dado valor de X, a variância do erro aleatório ei é sempre a 
mesma, σ2, conhecida como variância residual.
5. Os erros aleatórios de observações distintas não são correlacionados.
6. Os erros aleatórios possuem distribuição Normal.
Ainda	é	necessário	verificar	 se	o	número	de	observações	disponíveis	é	
maior que o número de parâmetros do modelo ajustado. Por exemplo, 
para o ajuste de um modelo de regressão linear simples, são necessárias, 
no mínimo, três observações, pois, se estiverem disponíveis apenas duas 
observações, não é possível realizar qualquer tipo de análise estatística.
3. Modelos lineares e não lineares
Considerando que o modelo de regressão a ser ajustado aos dados será 
uma regressão linear simples, o passo inicial a ser realizado é buscar esti-
mativas dos parâmetros do modelo, os quais são obtidos a partir de uma 
amostra de pares de valores para Xi e Yi, os quais correspondem a n pon-
tos	num	gráfico	de	dispersão.
Eficiência Energética 11
A estimativa de um modelo de regressão linear simples é representada 
pela seguinte equação.
onde é a estimativa do valor esperado para o modelo, e são as 
estimativas dos parâmetros do modelo ajustado.
As estimativas dos parâmetros do modelo são obtidas por MQO, o qual 
consiste em construir estimativas que minimizam a soma de quadrados 
dos desvios do modelo, que são representados por ei = Yi – e, conse-
quentemente, são obtidos os seguintes estimadores dos parâmetros do 
modelo de regressão linear simples:
e
ASSIMILE
As estimativas dos parâmetros da reta de regressão são ob-
tidas a partir de um sistema de equações conhecido como 
sistema de equações normais, que são
A resolução do sistema leva para as equações conhecidas 
que estimam os valores dos parâmetros.
12 Eficiência Energética
EXEMPLIFICANDO
Para ver uma aplicação da teoria apresentada, considere o 
exercício a seguir, disponível em Murolo e Bonetto (2013, p. 42), 
descrevendo a situação de uma empresa de embalagens plásti-
cas. Esta empresa está preocupada com a demanda (Yi) do pro-
duto fabricado por ela. Então, resolveu fazer um estudo sobre 
as variações dos preços de venda (Xi). Fez um levantamento de 
dados e, obtiveram as informações da seguinte tabela.
Tabela 1. Demanda de embalagens plásticas por preço
Preço de venda (Xi) 16 18 20 23 26 28 30 33 35
Demanda (Yi) 1200 1150 950 830 800 760 700 690 670
Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetti (2013, p. 42).
A partir dos dados será construído um modelo de regressão linear simples 
e,	como	primeira	verificação,	será	construído	um	gráfico	de	dispersão	para	
verificar	se	existe	relação	linear	entre	o	preço	e	a	demanda	em	estudo.
O	gráfico	de	dispersão,	construído	em	planilha	Microsoft	Excel®,	indica	que	
há	relação	linear	entre	as	duas	variáveis.	Essa	verificação	está	sendo	feita	de	
forma	subjetiva	pelo	gráfico,	porém	é	possível	fazer	uma	comprovação	da	
existência	de	relação	linear	pelo	coeficiente	de	correlação	linear	de	Pearson.
PARA SABER MAIS
O	coeficiente	de	correlação	(linear)	entre	duas	variáveis	é	uma	
estatística que mede o grau de associação existente entre elas. 
Essa	medida	varia	num	intervalo	finito	de	valores,	especifica-
mente, de –1 a +1. A correlação linear será tanto mais forte 
entre as variáveis quanto mais próxima estiver de –1 ou +1 
e será tanto mais fraca quanto mais próxima estiver de zero. 
Essa medida pode ser calculada pela seguinte equação:
Eficiência Energética 13
Figura	1.	Gráfico	de	dispersão	entre	demanda	e	preço
Fonte: Elaboração do autor.
Agora, reescrevendo os dados, serão calculadas algumas medidas que 
ajudarão a obter as estimativas dos parâmetros do modelo a serajustado 
pelo método de mínimos quadrados ordinários. Os resultados para essa 
etapa encontram-se na tabela 2.
Tabela 2. Dados auxiliares
Ordem Preço de venda (Xi) Demanda (Yi) Xi2 Yi2 Xi Yi
1 16 1200 256 1440000 19200
2 18 1150 324 1322500 20700
3 20 950 400 902500 19000
4 23 830 529 688900 19090
5 26 800 676 640000 20800
6 28 760 784 577600 21280
7 30 700 900 490000 21000
8 33 690 1089 476100 22770
9 35 670 1225 448900 23450
Total 229 7750 6183 6986500 187290
Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetti (2013, p. 42).
14 Eficiência Energética
Com os cálculos construídos na tabela auxiliar, pode-se calcular os valo-
res das estimativas dos parâmetros com maior facilidade, a partir da linha 
dos totais, como mostrado a seguir.
Coeficiente	linear:
Coeficiente	angular:
Portanto, a equação de regressão ajustada será:
Se	o	modelo	ajustado	for	desenhado	em	um	gráfico	através	da	reta	ajus-
tada,	colocada	em	um	gráfico	juntamente	com	os	dados	originais,	com	o	
auxílio	do	Microsoft	Excel®,	será	obtido	o	gráfico	2.
Gráfico	2.	Dados	originais	com	a	reta	ajustada
Fonte: Elaboração do autor.
Eficiência Energética 15
Suponha que a empresa deseja estimar a demanda para um determinado 
preço do produto plástico, por exemplo x = $31. Então, utilizando a equa-
ção ajustada, será obtido o seguinte valor para a demanda (quantidade 
de produto).
LINK
Como fazer uma regressão linear simples no Excel: Veja como 
é fácil fazer uma regressão linear simples no Excel e anali-
sar se os resultados obtidos são coerentes. Disponível em: 
<www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-
no-excel>. Acesso em: 01 junho 2018.
Em muitas situações, o pesquisador desconhece o tipo de relação funcio-
nal existente entre variáveis e, mesmo realizando uma análise explorató-
ria	gráfica,	fica	difícil	de	perceber	como	elas	se	relacionam.	Então,	faz-se	
necessário o uso de técnicas de regressão para explorar modelos conve-
nientes sugeridos pelos dados coletados (BUSSAB, 2017).
Muitos dos modelos utilizados são chamados não lineares devido ao fato 
das variáveis envolvidas na modelagem se relacionarem de maneira não 
linear, diferente do observado no exercício acima. Em outras palavras, 
considerando um modelo que envolva duas variáveis, se uma reta não for 
uma descrição adequada para a relação entre elas, certamente, o modelo 
adequado é do tipo não linear. No entanto, a pergunta que vem é “qual o 
modelo mais adequado?”.
Uma primeira sugestão para responder à pergunta, assim como realiza-
do no processo de ajuste de uma regressão linear, seria a construção de 
um	gráfico	de	dispersão,	caso	o	problema	envolva	apenas	duas	variáveis.	
A	forma	gráfica	identificada	com	a	elaboração	do	gráfico	pode	fornecer	
alguma sugestão de um modelo não linear, por exemplo, um modelo qua-
drático, cúbico, exponencial etc.
https://www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-no-excel
https://www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-no-excel
16 Eficiência Energética
Para	exemplificar,	considere	os	dados	apresentados	por	Bussab	e	Morettin	
(2017, p.491) e, adaptados aqui, onde dispuseram de informações da in-
flação	brasileira	para	alguns	anos.	Os	dados	e	o	diagrama	de	dispersão	
foram	refeitos	em	Microsoft	Excel®	e,	são	apresentados	a	seguir.
Tabela	3.	Taxa	de	inflação	no	Brasil	de	1961	a	1979.
Ano (Xi) Inflação (Yi)
1961 9
1963 24
1965 72
1967 128
1969 192
1971 277
1973 373
1975 613
1977 1236
1979 2639
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Gráfico	3.	Diagrama	de	dispersão	dos	dados	originais
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Eficiência Energética 17
Por	conta	da	forma	gráfica	do	diagrama	de	dispersão,	os	autores	decidi-
ram	ajustar	um	modelo	exponencial	para	a	relação	entre	a	inflação	e	os	
anos observados. Assim, temos a equação:
onde, ɛi representa o termo erro aleatório, e representa a constante de 
Euler (e ≈ 2,7182 ...) e, neste caso, o erro aleatório aparece de forma multi-
plicativa no modelo e não aditiva, como no caso anterior.
As estimativas dos parâmetros para este caso, também obtidas pelo mé-
todo dos mínimos quadrados, não podem ser adquiridas analiticamente. 
Então, sem entrar em maiores detalhes, os autores sugeriram o uso de 
métodos numéricos, tais como, Newton-Raphson, Gauss-Newton, “sco-
ring” dentre outros.
Para o caso apresentando, por se tratar de um conjunto que envolve ape-
nas duas variáveis, uma dependente e a outra independente, é possível 
realizar transformação nos dados de forma a tornar a equação numa 
equação linear para se realizar o ajustamento por modelo de regressão 
linear simples.
A transformação aplicada ao modelo sugerido inicialmente foi a logarítmi-
ca (na base e) em ambos os lados de (7) e, após sua aplicação, tornou os 
membros do modelo da seguinte forma
Permitindo escrever o modelo na forma:
É possível perceber que o modelo transformado é linear. No entanto, é 
necessário supor que o termo erro aleatório seja estritamente positivo, 
pois, do contrário, não será possível tomar logaritmos dele. Agora, as de-
mais suposições feitas anteriormente para um modelo linear simples po-
dem ser aplicadas a este modelo transformado.
18 Eficiência Energética
A estimativa dos parâmetros do modelo ajustado foi obtida a partir da 
equação transformada, cujos dados são replicados na Tabela 4 com o 
acréscimo	de	uma	coluna	contendo	os	valores	transformados	da	inflação	
e,	com	uma	codificação	conveniente	para	a	variável	independente,	o	ano	
de observação.
Tabela	4.	Taxa	de	inflação	no	Brasil	de	1961	a	1979
Ano (Xi) Ano (Xi*) Inflação (Yi) Yi* = In Yi
1961 0 9 2,2
1963 1 24 3,2
1965 2 72 4,3
1967 3 128 4,8
1969 4 192 5,2
1971 5 277 5,6
1973 6 373 5,9
1975 7 613 6,4
1977 8 1236 7,1
1979 9 2639 7,9
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Estando o modelo agora linearizado, pode-se utilizar das equações apre-
sentadas anteriormente para se obter as estimativas dos seus parâme-
tros. Sem entrar em detalhes e, com a ajuda de uma planilha eletrônica, 
utilizando	o	ano	codificado	e	os	valores	de	 inflação	 transformados	por	
logaritmo, as estimativas obtidas são iguais a:
Logo, a regressão linear ajustada será:
O diagrama de dispersão dos dados transformados e da reta ajustada é 
mostrado	na	figura	4.
Eficiência Energética 19
Gráfico	4.	Dados	transformados	e	reta	ajustada
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 493).
Para escrever o modelo original ajustado, é necessário aplicar uma nova 
transformação, com a função inversa do logaritmo natural, ou seja, a fun-
ção exponencial, cujo resultado será:
pois, .
O diagrama com os dados originais plotados juntamente com os valores 
ajustados	obtidos	pela	reta	de	regressão	(11)	é	mostrado	na	figura	5.
Gráfico	5.	Dados	originais	e	valores	ajustados
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
20 Eficiência Energética
Observa-se que os pontos originais e os estimados (ajustados) pela reta 
de regressão construída pelo método de mínimos quadrados estão muito 
próximos,	em	outras	palavras,	os	gráficos	praticamente	se	sobrepõem.	
Isso é um indício de que o modelo está adequado à realidade descrita.
PARA SABER MAIS
Geralmente, quando se trabalha com regressão não linear, 
uma primeira atitude a se tomar é tentar linearizar, através 
de transformações matemáticas, a relação funcional entre 
as variáveis. Existem algumas transformações que são mais 
utilizadas pelos usuários de modelos de regressão, que são 
mostradas no quadro a seguir.
Quadro – Transformações que geram retas.
TIPO EQUAÇÃO TRANSFORMAÇÃO VARIÁVEL X VARIÁVEL Y
Linear Y = a + bx Y = a + bx X y
Exponencial Y = a.ebx Ln(y) = ln(a) + bx X ln(Y)
Logarítmica Y = a + b.ln(x) Y = a + b.ln(x) ln(x) y
Potência Y = axb ln y = ln(a) + b.ln(x) ln(x) ln(y)
Fonte: FEA USP. Disponível em: <http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/
Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc>. Acesso em: 01 junho 2018.
Você consegue pensar em uma situação na qualpossa fazer aplica-
ção de regressão linear? Pense em uma situação pessoal sua. Imagine 
que você deseja escolher entre algumas aplicações bancárias e, para 
a sua tomada de decisão, decide construir uma equação que posso 
te ajudar a escolher a mais adequada para seus propósitos.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc
http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc
Eficiência Energética 21
4. Considerações Finais
• A econometria é um método quantitativo de tomada de decisão que 
faz uso da teoria econômica e de dados da área de economia.
• A análise de regressão é uma das principais técnicas quantitativas 
utilizadas em estudos econométricos.
• A técnica de análise de regressão pode ser dividida em duas: linear 
e não linear.
• Os modelos de regressão lineares são mais simples que os modelos 
de regressão não linear. Apesar disso, problemas reais, em geral, 
exigem, com maior frequência, o ajuste de modelos de regressão 
não linear.
Glossário
• Constante de Euler: é um número irracional e positivo, cujo loga-
ritmo na sua base é chamado natural, logo: e = 2,7182818... .
• Duopólio: mercado no qual dois vendedores dividem entre si toda 
uma produção.
• Mínimos quadrados ordinários: é uma técnica de otimização ma-
temática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto 
de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferen-
ças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças 
são chamadas resíduos).
• Passeio aleatório: do inglês random walk. É um objeto matemá-
tico que descreve um caminho que consiste de uma sucessão de 
passos	aleatórios.	Por	exemplo,	os	preços	de	ativos	financeiros	se-
guem o comportamento de um passeio aleatório.
22 Eficiência Energética
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 01
1. A principal área do conhecimento onde a econometria é 
estudada com maior profundidade é:
a) Sociologia.
b) Biologia.
c) Estatística.
d) Estudos econômicos.
e) Antropologia.
2. Qual é o método matemático utilizado para estimar coe-
ficientes	de	regressão	de	um	modelo	de	regressão	linear?
a) Máximos quadrados ordinários.
b) Mínimos quadrados perfeitos.
c) Máxima verossimilhança.
d) Mínima verossimilhança.
e) Mínimos quadrados ordinários.
3. Medida estatística que avalia existência de associação en-
tre duas variáveis quantitativas. Estamos falando de:
a) Coeficiente	de	regressão.
b) Coeficiente	de	correlação.
c) Coeficiente	linear.
d) Medida de dispersão.
e) Coeficiente	de	associação.
Referências Bibliográficas
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 554p.
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: Portal 
de livros abertos da USP, 2016. Disponível em <www.producao.usp.br/bitstream/handle/
BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>. Acesso em: 27 de maio de 2018.
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
Eficiência Energética 23
LANGE, O. Introdução à econometria. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1961.
MALASSISE, R. L. S. Econometria. 1. ed. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional 
S/A, 2015. v. 1. 192p. Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/
users/publications/9788584822065/pages/-2>. Acesso em: 26 maio 2018.
MATOS, O.C. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 1995.
MUROLO, A.F.; BONETTO, G. Matemática aplicada a administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 506 p.
Gabarito – Tema 01
Questão 1 – Resposta: D
A principal área do conhecimento em que a econometria é estudada 
com maior profundidade é a dos estudos econômicos.
Questão 2 – Resposta: E
O	 método	 matemático	 utilizado	 para	 estimar	 os	 coeficientes	 de	
um modelo de regressão linear é o método de mínimos quadrados 
ordinários.
Questão 3 – Resposta: B
A medida estatística que avalia existência de associação entre duas 
variáveis	quantitativas	é	o	coeficiente	de	correlação.
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
Eficiência Energética 24
TEMA 02
SÉRIES TEMPORAIS
Objetivos
• Apresentar conceitos básicos de séries temporais; 
• Introduzir modelos estacionários e processos pura-
mente aleatórios;
• Introduzir modelos de volatilidade estocástica;
• Introduzir processos não estacionários;
• Introduzir modelos autorregressivos e de médias 
móveis.
Eficiência Energética 25
Introdução
Agora que você tem uma noção de conceitos básicos de econometria e 
viu que a análise de regressão é um dos principais métodos estatísticos 
utilizados para tratamento de dados, vamos apresentar um método que 
permite construir modelos estatísticos que levam em conta a evolução 
temporal dos fenômenos.
O procedimento de modelagem de dados que leva em conta a evolução 
temporal de ocorrência dos fenômenos é conhecido como séries tempo-
rais.	Hoffmann	(2016,	p.352)	define	séries	temporais	como	“um	conjunto	
de valores de uma variável ordenados no tempo”. Como exemplo de sé-
ries temporais, pode-se citar o conjunto de dados de valores anuais do 
produto interno bruto (PIB) brasileiro ou, uma série de valores de tempe-
raturas máximas de uma cidade, etc.
Uma série temporal é um caso particular de um processo estocástico, 
ou seja, processos controlados por leis probabilísticas, onde, de manei-
ra	mais	formal,	pode	ser	definida	por	uma	família	de	variáveis	X = {Xt, t Є 
T }, tal que, para cada t Є T , Xt é uma variável aleatória. Em palavras, um 
processo estocástico pode ser interpretado como uma família de todas 
as realizações de um fenômeno ou experimento e, uma série temporal é 
uma dessas realizações.
Quando se realiza uma pesquisa com planejamento de coleta de dados 
em séries temporais, pode-se pensar em muitos objetivos, como por 
exemplo, segundo Morettin e Toloi (1987, p. 4), “(1) fazer previsões de va-
lores futuros das séries; (2) descrever o comportamento das séries e; (3) 
procurar periodicidades relevantes nos dados. Parte disto, será mostrado 
neste texto”.
26 Eficiência Energética
1. Modelos estacionários e processos puramente 
aleatórios
O procedimento de análise de dados em séries temporais faz uso de da-
dos	passados	para	quantificar	as	relações	históricas.	Se	o	futuro	for	igual	
ao passado, tais relações podem ser usadas para realização de previsões 
para o futuro. No entanto, se o futuro for diferente, as informações histó-
ricas	podem	não	ser	confiáveis	para	o	futuro.	Por	isso,	é	estudada	uma	im-
portante característica das séries temporais, chamada estacionariedade.
Uma das suposições mais recorrentes em séries temporais é a de que 
ela é estacionária, ou seja, de que ela se desenvolve no tempo aleatoria-
mente ao redor de uma média constante. Caso uma série temporal que 
esteja sendo analisada não seja estacionária, será necessário transformá-
-la em estacionária ou fazer uso de análise adequada para modelos não 
estacionários.
Uma das transformações mais comuns para tornar uma série temporal 
em estacionária consiste na tomada das diferenças sucessivas da série 
temporal original, até que seja obtida uma série estacionária. A primeira 
diferença de X(t)	é	definida	por:
a segunda diferença é:
ou seja,
De modo geral, a n-ésima diferença de X(t) é:
Em	situações	normais,	é	suficiente	tomar	uma	ou	duas	diferenças	para	
tornar uma série em estacionária.
Eficiência Energética 27
Stock	 e	 Watson	 (2004,	 p.	 304)	 definem	 estacionariedade	 da	 seguinte	
maneira:
Uma série temporal Xt é estacionária se a sua distribuição de probabilidade 
não muda ao longo do tempo, isto é, se a distribuição conjunta (Xs + 1, Xs + 2, ... , 
Xs + T) não depender de s; caso contrário, diz-se que Xt é não estacionária. [...]A estacionariedade requer que o futuro seja igual ao passado, pelo menos 
em um sentido probabilístico.
Há várias situações em que se têm séries temporais não estacionárias, 
no entanto, em duas situações, a ausência de estacionariedade torna re-
levante uma análise de regressão de séries temporais econômicas da se-
guinte maneira: (1) pode haver algum tipo de tendência nas séries; e (2) a 
regressão pode ser instável ao longo do tempo, ou seja, pode ter quebras.
Em séries temporais, o valor da variável X de um determinado período 
está, de certa maneira, correlacionado com seu valor no período seguinte. 
A esta característica se dá o nome de autocorrelação ou correlação serial. 
De forma análoga, a autocovariância é a covariância entre valores adja-
centes da série, como Xt e Xt – 1.
ASSIMILE
Autocorrelação (correlação serial) e autocovariância.
A j-ésima autocovariância de uma série temporal Xt é a covari-
ância entre Xt e a sua j-ésima defasagem, Xt–j. Já o j-ésimo coe-
ficiente	de	autocorrelação	é	a	correlação	entre	Xt e Xt–j. Isto é,
j-ésima autocovariância = cov(Xt, Xt–j)
O j-ésimo	coeficiente	de	autocorrelação,	também,	é	conheci-
do	como	coeficiente	de	correlação	serial	(STOCK	e	WATSON,	
2004). “A autocorrelação revela o grau de relação entre as 
observações, já a função de autocovariância indica a depen-
dência entre as observações” (SANTOS, 2016, p. 6).
28 Eficiência Energética
Para considerar uma série temporal como estacionária, tendências não 
podem estar presentes nos dados, enquanto que variações sazonais, po-
dem ocorrer tanto em séries estacionárias quanto não estacionárias. 
A técnica de médias móveis, ou método de suavização, é o método de 
previsão para dados estacionários mais simples existentes. Com ela, o 
valor a ser previsto no tempo t + 1 (denotado X̂t + 1) é obtido pela média 
aritmética das v observações mais recentes da série, ou seja:
O termo k da equação determina o número de observações da série que 
serão utilizadas no cálculo das médias móveis. Não existe método para 
determinar o melhor valor de k. Por isso, torna-se interessante testar vá-
rios valores de k	para	verificar	qual	fornecerá	o	melhor	resultado.
Uma forma de saber qual o melhor modelo obtido é fazer uso de medidas 
de acurácia (qualidade do ajuste) que podem fornecer essa informação. 
As principais medidas existentes são o desvio absoluto médio (DAM), o 
erro percentual absoluto médio (EPAM), o erro quadrático médio (EQM) e 
a	raiz	do	erro	quadrático	médio	(REQM),	os	quais	podem	ser	definidos	da	
seguinte maneira:
Uma desvantagem da técnica de médias móveis é que os dados passa-
dos têm o mesmo peso no cálculo da média. Para tentar superar isso, 
é possível obter uma previsão mais precisa atribuindo pesos diferentes 
aos dados.
Eficiência Energética 29
Ao procedimento de atribuição de pesos aos dados para obtenção de uma 
média é dado o nome de média móvel ponderada, que é uma variação da 
técnica de médias móveis. Com este procedimento a função de previsão 
é representada por:
em que e .
No método de médias móveis ponderadas, além de determinar um valor 
para k, também é necessário determinar valores para os pesos wi, o que 
torna a determinação da melhor previsão um pouco mais complicada.
Considere o exemplo extraído de Ragsdale (2014, p.449) o qual utiliza da-
dos de vendas de equipamentos de áudio e vídeo para residências e car-
ros. Na situação, o gerente da loja tenta prever as vendas mensais e faz 
uso do método de médias móveis para obter os resultados desejados.
Após coletar dados sobre vendas mensais para construir uma série tem-
poral,	o	passo	seguinte	a	ser	feito	é	a	construção	de	um	gráfico	para	se	
ter	uma	ideia	visual	da	evolução	das	vendas	e	identificar	características	
que permitam a escolha de um modelo apropriado para a série tempo-
ral.	Com	a	ajuda	do	Excel®	é	possível	construir	facilmente	um	gráfico	de	
linhas,	como	mostrado	na	figura	a	seguir.
30 Eficiência Energética
Figura	1.	Dados	de	vendas	e	gráfico	de	linha
É	possível	observar	no	gráfico	1	que	o	número	de	vendas	mensais	está	
em torno de 30 a 40 unidades nos últimos dois anos (média) e que parece 
não haver tendência clara de aumento ou redução das vendas, ou seja, 
parece haver uma regularidade na série. Portanto, o uso de um método 
de previsão para dados estacionários parece razoável.
O passo seguinte é o ajustamento dos dados para um modelo de médias 
móveis simples, ou seja, com pesos iguais para as observações. Na situ-
ação, o autor utilizou dois valores para k, os valores 2 e 4. Ainda fazendo 
uso	do	Excel®,	o	resultado	obtido	é	mostrado	na	figura	2.
Eficiência Energética 31
Tabela 1. Dados de vendas
Mês NúmeroVendas
Média Móvel
2 meses
Média Móvel
4 meses
1 33 – –
2 38 – –
3 31 35,50 –
4 35 34,50 –
5 30 33,00 34,25
6 36 32,50 33,50
7 34 33,00 33,00
8 39 35,00 33,75
9 39 36,50 34,75
10 36 39,00 37,00
11 40 37,50 37,00
12 38 38,00 38,50
13 37 39,00 38,25
14 39 37,50 37,75
15 32 38,00 38,50
16 38 35,50 36,50
17 37 35,00 36,50
18 39 37,50 36,50
19 37 38,00 36,50
20 35 38,00 37,75
21 37 36,00 37,00
22 34 36,00 37,00
23 35 35,50 35,75
24 36 34,50 35,25
EQM 6,60 7,66
32 Eficiência Energética
Figura	2.	Gráfico	com	médias	móveis	ajustadas
Fórmulas das principais células
Célula Fórmula Copiado para
C5 =MÉDIA(B3:B4) C6:C26
D7 =MÉDIA(B3:B6) D8:D26
C28 =SOMAXMY2($B$7:$B$26;C7:C26)/CONT.NUM(C7:C26) (*) D28
Fonte: Adaptado de Ragsdale (2014, p.450).
(*) A função SOMAXMY2 soma os quadrados das diferenças em dois intervalos ou matrizes correspondentes.
Pode-se observar que os dados previstos tendem a ser menos voláteis, ou 
seja, mais suaves, que os dados reais, o que não é surpresa, pois, a técnica 
de médias móveis tende a compensar os picos e os vales dos dados originais.
A precisão relativa das duas previsões feitas pode ser avaliada pelo EQM. 
Quanto menor o EQM mais acurada é a previsão. Comparando os EQM 
calculados para as médias móveis, pode-se concluir que as médias mó-
veis de dois meses dão previsões mais acuradas que as médias móveis de 
quatro meses.
Eficiência Energética 33
Uma série temporal pode ser descrita pela seguinte equação Xt = f (t) + 
εt onde t = 1, ... , n e f (t)	é	chamado	sinal	e,	εt é o ruído. De acordo com as 
hipóteses feitas sobre f (t), pode-se ter duas classes de modelos: modelos 
de erro e modelos ARIMA.
Nos modelos de erro, f (t) é uma função do tempo completamente deter-
minada	(parte	sistemática	ou	determinística)	e,	εt é uma sequência alea-
tória, independente de f (t).	O	termo	εt, satisfazendo algumas suposições, 
é chamado de ruído branco.
Os erros do modelo são supostamente não correlacionados, o que intro-
duzem grandes limitações na validade dos modelos.
Os modelos de erro foram inicialmente utilizados em astronomia e física. 
No primeiro caso, o interesse era determinar a posição de um planeta em 
um dado momento do tempo. Enquanto que, na física, são utilizados para 
fazer medidas com algum grau de erro.
Os modelos de erro são clássicos para a análise de séries econômicas, 
onde f (t) é composta da adição ou multiplicação de um polinômio em t 
(tempo), de grau geralmente baixo, da forma , que re-
presentará a tendência e, um polinômio harmônico, sendo uma combi-
nação	linear	de	senos	e	cossenos	com	coeficientes	constantes	da	forma	
,	representando	as	flutuações	cíclicas	e	as	varia-
ções sazonais. Um último componente do modelo é um termo de erro, 
significando	as	flutuações	aleatórias.	
Um modelo de erro clássico para séries temporais pode ser escrito como 
a soma de três componentes com a seguinte equação:
onde, Tt	é	uma	componente	de	ciclotendência,	considerando	as	flutua-
ções	cíclicas	de	longo	período,	que	não	podem	ser	identificadas	facilmen-
te dos dados brutos. A componente St representa a sazonalidade.
34 Eficiência Energética
PARA SABER MAIS
O modelo Xt = Tt + St	+	εt é dito aditivo e é adequado quando a 
componente sazonal St não depende das outras componen-
tes do modelo. Se a componente sazonalvariar com a ten-
dência, o modelo mais apropriado é o modelo multiplicativo, 
dado por Xt = Tt · St	·	εt, o qual pode se tornar num modelo 
aditivo com a aplicação de uma transformação logarítmica. 
Também, é possível considerar modelos mistos, como Xt = 
Tt St	+	εt ou modelos mais complexos.
Ao se utilizar técnicas que removam as componentes Tt e St de uma série 
temporal,	o	que	sobra	é	apenas	a	componente	aleatória	ou	residual	εt e, 
como dito anteriormente, é suposto que esta componente seja um pro-
cesso estocástico puramente aleatório, ou seja, um ruído branco.
Para casos em que a suposição de erros não correlacionados não é ga-
rantida, os modelos ARIMA são mais úteis, pois trabalham melhor sob tal 
condição. 
Duas classes de processos podem ser descritas pelos modelos ARIMA: (1) 
Processos lineares estacionários (processo autorregressivo (AR), proces-
so de médias móveis (MA) e, processos autorregressivo médias móveis 
(ARMA)) e, (2) processos lineares não estacionários homogêneos (ARIMA).
2. Modelos de volatilidade estocástica
Uma	característica	presente	em	séries	de	ativos	financeiros	é	o	que	ficou	
conhecido como volatilidade, que é uma medida de risco e, pode ser de-
finida	de	muitas	maneiras,	porém	não	é	diretamente	observável.	Aqui,	
volatilidade	será	o	desvio	padrão	condicional	de	uma	variável	financeira,	
em geral, um retorno1.
1	Variação	relativa	de	preços	de	ativos	financeiros.
Eficiência Energética 35
A volatilidade de uma série temporal é modelada apropriadamente pelos 
modelos heterocedásticos condicionais. Nesses modelos, a volatilidade 
de um retorno num dado instante de tempo, depende de retornos passa-
dos e de outras informações disponíveis até esse dado instante. 
Um modelo típico para a volatilidade de retornos, segundo Morettin 
(2016), é dado na forma , onde é a média condicional de 
rt dada a informação até o instante t – 1, ht é a variância condicional, tam-
bém obtida até o instante t – 1	e	εt é um ruído branco.
Os	modelos	apropriados	para	séries	financeiras	que	apresentam	a	vari-
ância condicional evoluindo no tempo são os que melhor modelam a vo-
latilidade	de	retornos	dos	ativos	financeiros.	Os	modelos	de	volatilidade	
estocástica admitem que a volatilidade varie com o tempo.
Os modelos da família ARCH (modelos autorregressivos com heterosce-
dasticidade condicional) supõem que a volatilidade depende dos retornos 
passados. Os modelos que foram propostos inicialmente não possuíam 
essa suposição e foram criados por Taylor, um pesquisador da área de 
modelagem	financeira.
Morettin	(2016)	define	que	uma	série	de	retornos	rt segue um modelo de 
volatilidade estocástica se ,	onde	εt é uma sequência 
estacionária, com média zero e ht, a variância condicional de rt, é uma se-
quência estacionária, com função densidade de probabilidade f (h).
Taylor construiu uma formulação mais simples para o modelo de volatili-
dade estocástica, a qual supõe que o logaritmo da volatilidade, , 
seja dado por ht = α0 + α1ht-1 + nt , na qual nt é uma sequência estacionária 
gaussiana, ou seja, com distribuição normal, com média zero e variância 
,	independente	de	εt. Também existem outras formulações do modelo 
de volatilidade estocástica na literatura. No entanto, elas não serão abor-
dadas neste texto. 
36 Eficiência Energética
PARA SABER MAIS
Outras formulações para o modelo de volatilidade estocás-
tica foram divulgadas na literatura, sendo que apresentare-
mos duas delas. Uma proposta por Kim et. al. no ano de 1998, 
em que o pesquisador construiu a forma canônica para a vo-
latilidade estocástica e a outra formulação, construída por 
Jaquier et al. no ano de 1994 em que o modelo para a volatili-
dade é trabalhado com distribuição log-qui-quadrada para o 
quadrado do ruído branco (MORETTIN, 2016).
3. Processos não estacionários
Os modelos apresentados na primeira seção deste texto são apropriados 
para descrever séries estacionárias, ou seja, séries que se desenvolvem 
no tempo em torno de uma média constante. Muitas séries econômicas 
e	financeiras	são	não	estacionárias,	mas,	tornam-se	estacionárias	quan-
do recebem uma aplicação do cálculo diferença ou, outra transformação, 
como feito em (1).
O passeio aleatório é o modelo mais simples para uma série temporal 
não estacionária. Diz-se que uma série temporal Xt segue um passeio ale-
atório se a variação em Xt for independente e identicamente distribuída 
(iid), ou seja, se:
A ideia básica de um passeio aleatório é a de que o valor da série temporal 
do dia seguinte será o valor do dia atual mais uma variação imprevisível.
A variância de um passeio aleatório aumenta ao longo do tempo, de for-
ma que, a distribuição de Xt varia ao longo do tempo. No caso de não esta-
cionariedade em variância, algumas transformações, como a logarítmica, 
podem estabilizá-la e, tornar a série temporal em estacionária.
Eficiência Energética 37
Segundo Morettin (2016) existem, basicamente, duas formas de ge-
rar processos não estacionários e que sejam não explosivos. O primei-
ro deles é obtido com a inclusão em um processo estacionário de se-
gunda ordem2 de uma tendência determinística 
como , obtendo-se um processo trend-stationary. 
O termo é denominado função de transferência e é uma função 
de B, o operador translação para o passado, dada da seguinte forma: 
. O operador translação para o passado B realiza 
a operação de translação com uma série temporal do tipo e, de 
forma geral, .
O segundo processo não estacionário não explosivo considera um pro-
cesso linear geral com raiz unitária3, da forma , com 
. O processo é não estacionário porque .
É possível explorar outras características de processos não estacionários. 
No entanto, elas estão além do objetivo deste texto, por isso, não serão 
apresentadas. Aos interessados em aprofundar no assunto, orientamos a 
consulta de Morettin e Toloi (2006).
4. Modelos autorregressivos e de médias móveis
A hipótese de erros não correlacionados traz uma série de limitações 
na validação de modelos do tipo . Portanto, para situações 
onde essa suposição não é garantida, os modelos ARIMA são apropriados 
e utilizados.
A	classe	de	modelos	ARIMA	foi	apresentada	para	a	comunidade	científi-
ca em 1976 pelos pesquisadores ingleses George E. P. Box e Gwilym M. 
Jenkins.	Na	situação,	o	método	ficou	conhecido	como	modelos	de	Box	&	
Jenkins.
2 Processo estocástico fracamente estacionário e que segue algumas condições estatísticas.
3 Condição necessária para que uma série temporal modelada por ARMA(p,q) se torne estacionária.
38 Eficiência Energética
Morettin	(2006)	afirma	que	três	classes	de	processos	podem	ser	descri-
tas pelos modelos ARIMA: (1) processos lineares estacionários; (2) pro-
cessos lineares não estacionários homogêneos e; (3) processos de me-
mória longa.
Neste texto será abordado um caso particular de um processo linear es-
tacionário, um processo autorregressivo e de médias móveis de ordens 
p e q: ARMA(p,q), os quais têm como principal propósito a realização de 
previsão.
De maneira formal, tem-se que um processo linear geral é dado por:
em que µ é um parâmetro que determina o nível da série temporal e, εt é 
um ruído de média 0 e variância σ2, ou seja, um ruído branco.
Os modelos ARMA(p,q) são dados da forma
onde, são os operadores autorregressivos e de 
médias móveis, respectivamente. A parte autorregressiva do modelo con-
sidera na modelagem os valores passados e a parte de médias móveis 
considera os termos de erro como uma combinação linear com termos 
de erro passados.
O modelo (11) pode ser reescrito, de forma compacta, como:
onde, 
Um caso particular de um modelo ARMA, muito utilizado é o ARMA(1,1), 
com suposição de µ = 0 e p = q = 1, ou seja . Para 
este modelo o operador autorregressivo é φ(B) e, o operador de médias 
móveis θ(B) = 1 – θB.
Santos (2016, p.17) faz uma aplicação de modelos ARMA(2,1) para sé-
ries	temporais	sobre	os	dados	de	ativo	financeiro	da	Usiminas,	a	maior	
Eficiência Energética 39
companhia siderúrgica doBrasil. A série temporal utilizada continha cerca 
de 3899 observações e foi obtida do portal Yahoo Finance. Os dados são 
referentes ao período que vai de 19/06/2000 a 22/03/2016.
LINK
Trabalho de conclusão de curso com conteúdo de aplica-
ções de modelos para séries temporais. Disponível em: 
<http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_Samille 
AmaralSantos.pdf>. Acesso em: 14 junho 2018.
Muitas outras características existem para modelos ARMA(p,q). No entan-
to, não serão apresentadas neste texto. Aos interessados em se aprofun-
dar	neste	 tipo	de	modelagem	e,	especificamente,	em	modelagem	para	
séries	financeiras,	podem	consultar	Morettin	(2016).
Você sabia que a metodologia estatística para séries temporais pode 
ser	 utilizada	 em	diversas	 áreas	 profissionais?	 Tente	 identificar	 um	
conjunto de dados da sua área de atuação, em que apresente algum 
tipo de informação/evolução ao longo de um determinado período 
do	tempo	cronológico.	Construa	um	gráfico	desse	conjunto	de	dados	
e, tente encontrar algum tipo de comportamento, como tendência 
crescente ou decrescente, sazonalidade, etc.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
5. Considerações Finais
• Este texto apresentou conceitos básicos de séries temporais.
• Foram apresentados processos estacionários e uma modelagem 
simples para séries com esta característica.
http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_SamilleAmaralSantos.pdf
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40 Eficiência Energética
• Foram apresentados processos não estacionários e algumas de suas 
características.
• Foi apresentada a modelagem ARMA(p,q) e algumas de suas supo-
sições necessárias para a aplicação adequada em séries temporais.
Glossário
• Autorregressivo: tipo de modelagem de dados para séries tem-
porais, o qual utiliza informações passadas da série para construir 
um modelo.
• Sazonalidade: qualidade ou estado de sazonal. Sazonal é um ad-
jetivo que se refere ao que é temporário, ou seja, que é típico de 
determinada estação ou período do ano.
• Tendência: o que leva alguém a seguir um determinado caminho 
ou a agir de certa forma; predisposição, propensão.
• Trend-stationary:	do	inglês,	significa	tendência	estacionária.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 02
1. Escolha a alternativa que mostra um exemplo de série 
temporal.
a) O resultado de um lançamento de um dado.
b) Os resultados do lançamento de vários dados ao mes-
mo tempo.
c) Os resultados do lançamento diário de um dado.
d) A escolha de uma das faces do dado.
e) A escolha de duas faces de dois dados, uma face em 
cada um deles.
Eficiência Energética 41
2. A primeira coisa a se fazer quando deseja-se construir um 
modelo	para	uma	série	temporal	é	um	gráfico	da	série	ori-
ginal.	Assinale	a	alternativa	que	justifica	a	construção	des-
se	gráfico.
a) Identificação	de	características	(tendência,	sazonalida-
de etc.).
b) Tornar o relatório estatístico dos resultados mais 
atrativo.
c) Fazer uso de um programa computacional.
d) Tornar o processo de modelagem subjetivo.
e) Identificar	se	os	dados	são	séries	temporais.
3. Caracteriza uma série temporal que varia em torno de um 
nível constante ao longo do tempo. Assinale a alternativa 
que contém essa característica de uma série temporal. 
a) Sazonalidade.
b) Estacionariedade. 
c) Tendência.
d) Gaussiana.
e) Autorregressivo.
Referências Bibliográficas
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: 
Portal de livros abertos da USP, 2016. Disponível em: < www.producao.usp.br/bitstream 
/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>. Acesso em: 27 de 
maio de 2018.
MORETTIN, P.A. Econometria financeira:	um	curso	em	séries	temporais	financeiras.	
3 ed. São Paulo: Blucher, 2016, 403p.
MORETTIN, P.A.; TOLOI, C.M. C. Previsão de séries temporais. 2 ed. São Paulo: Atual, 
1987. 450p.
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
42 Eficiência Energética
. Análise de séries temporais. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. 538p.
RAGSDALE, C.T. Modelagem de planilha e análise de decisão: uma introdução 
prática a business analytics. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 594p.
SANTOS, S. A. Aplicações dos modelos ARMA a dados financeiros. 2016. 32 f. Trabalho 
de conclusão de curso (Bacharelado em estatística) – Departamento de Estatística, 
Instituto de Ciências Exatas, Universidade de Brasília, Brasília, 2016. Disponível em: 
<http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_SamilleAmaralSantos.pdf>. 
Acesso em: 14 junho 2018.
STOCK, J. H.; WATSON, M. W. Econometria. São Paulo: Pearson Brasil, 2004. 
Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788 
588639140/pages/-20>. Acesso em: 09 junho 2018.
Gabarito – Tema 02
Questão 1 – Resposta: C
Por se tratar de um lançamento diário do dado, é possível registrar a 
informação da face observada após o lançamento e, guardar a infor-
mação por um determinado período.
Questão 2 – Resposta: A
A primeira coisa a se fazer ao dar início numa análise de séries tem-
porais	é	um	gráfico,	com	o	intuito	de	identificar	padrões	nos	dados.
Questão 3 – Resposta: B
Quando uma série temporal oscila em torno de um nível constante, 
pode-se	afirmar	que	a	série	tem	a	característica	de	estacionariedade.
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http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788
588639140/pages/-20
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Eficiência Energética 43
TEMA 03
ANÁLISE DE MODELOS E 
RELAXAMENTO DOS PRESSUPOSTOS 
CLÁSSICOS
Objetivos
• Apresentar como ocorre o relaxamento de pressupos-
tos clássicos;
• Apresentar como ocorre a heterocedasticidade;
•	Apresentar	como	se	verifica	a	normalidade	dos	erros;
•	Descrever	como	identificar	multicolinearidade;
• Descrever mecanismos de correção de erros.
44 Eficiência Energética
Introdução
O conteúdo a ser apresentado neste texto descreverá sobre os principais 
problemas que surgem da violação dos pressupostos do método de mí-
nimos quadrados, utilizado para ajustar modelos de regressão para con-
juntos de dados.
Com a garantia da validade dos pressupostos de mínimos quadrados do 
modelo ajustado é possível dizer que os estimadores são os melhores, 
são lineares, são não tendenciosos e fornecem as estimativas para a va-
riável dependente mais próximas dos valores reais. No caso contrário, 
nada disso pode ser considerado.
Quando a violação de qualquer um dos pressupostos do modelo ajusta-
do	é	identificada,	faz-se	necessário	tomar	medidas	de	correção	apropria-
das. Tais medidas são desde implementação de estratégias estatísticas 
até mudanças de modelo, ou até mesmo, uma mudança do método de 
estimação.
Para	a	verificação	da	qualidade	do	modelo	ajustado,	ou	seja,	se	os	pres-
supostos são garantidos, são utilizados os resíduos do modelo constru-
ído	com	os	dados	 fornecidos.	Muitas	dessas	verificações	são	 feitas	por	
gráficos,	mas	também	podem	ser	realizadas	com	testes	estatísticos.	Os	
resíduos são dados pela diferença entre os dados reais e os ajustados 
pelo modelo construído, ou seja, são dados por ei = Yi – Ŷi. Quando são pe-
quenos em valores, tem-se uma indicação de que o modelo ajustado está 
produzindo bons resultados e que os pressupostos têm grandes chances 
de estar ocorrendo.
Eficiência Energética 45
1. Heteroscedasticidade
Um modelo estatístico é considerado com um bom ajuste aos dados quan-
do garante todos os pressupostos a ele associados. Com essa garantia, 
tem-se,	 como	 consequência,	 estatísticas	 e	 parâmetros	 confiáveis.	 Caso	
contrário, o modelo não terá boa qualidade e não gerará boas estimativas.
Um dos pressupostos de um modelo estatístico é o que se chama de ho-
mocedasticidade, ou seja, a variância do erro aleatório do modelo é cons-
tante e é a menor dentre as variâncias dos modelos quepodem ser ajus-
tados aos dados.
Em notação matemática, é possível representar a homocedasticidade 
como . Tal notação representa a suposição de que os erros 
têm a mesma variabilidade em torno dos níveis da variável independente 
X (BUSSAB e MORETTIN, 2017).
Quando a homocedasticidade não puder ser garantida pelo modelo ajus-
tado, ocorre uma violação de pressuposto, que é conhecido como hete-
roscedasticidade. Uma das consequências da heteroscedasticidade é a 
perda	de	eficiência	nos	parâmetros	estimados,	ou	seja,	os	estimadores	
obtidos deixam de ser os melhores estimadores lineares não viesados.
Sandroni	(1989	apud	MALASSISE,	2015,	p.127)	define	heteroscedasticida-
de como “conceito de estatística que designa uma distribuição de frequ-
ência em que todas as distribuições condicionadas têm desvios-padrão 
(afastamentos) diferentes”.
A	forma	mais	simples	de	se	verificar	a	heteroscedasticidade	é	através	de	
visualização	gráfica	entre	as	estimativas	do	erro,	ou	seja,	os	resíduos	con-
tra a(s) variável(is) independente(s). Outra forma de detectar heterosce-
dasticidade é com a utilização de testes estatísticos. Em econometria, os 
mais utilizados são os testes propostos por Goldfeld-Quandt, Park, Glejser, 
Pesaran	e	Pesaran.	Muitos	programas	computacionais,	específicos	para	
construção de modelos econométricos, possuem implementados esses 
testes para sua aplicação aos dados utilizados.
46 Eficiência Energética
A	Figura	1	apresenta	alguns	gráficos	de	resíduos	êi contra uma variável in-
dependente X. Vale lembrar que os valores dos resíduos são obtidos após 
o ajuste do modelo de regressão aos dados.
Figura	1	–	Gráficos	de	resíduos	.	(a)	situação	ideal;	(b), 
(c) modelo não linear; (d) elemento atípico; (e), (f), 
(g) heteroscedasticidade; (h) não normalidade.
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 484). 
Após	 a	 construção	do	 gráfico	dos	 resíduos	 é	preciso	 saber	 identificar	
possíveis inadequações do ajuste do modelo. A Figura 1 apresenta al-
gumas das mais comuns. É claro que, esse tipo de análise é bastante 
subjetivo, pois, cada analista pode ter a sua conclusão, a qual pode dife-
renciar de outros.
A Figura 1 (a) é a situação ideal, ou seja, a situação esperada quando se 
constrói um modelo de regressão. Quando ela ocorre, é possível constatar 
que o pressuposto de homocedasticidade está garantido para o modelo 
ajustado.	Visualmente,	não	é	possível	 identificar	padrões	ou	tendências	
nos	resíduos.	Eles	aparecem	distribuídos	aleatoriamente	no	gráfico.
Já nas Figuras 1 (b) e (c) percebe-se que existem padrões na distribui-
ção	gráfica	dos	 resíduos.	 Isso	 indica	que	o	modelo	 linear	ajustado	não	
está apropriado para os dados. Diante de uma situação dessas, faz-se 
Eficiência Energética 47
necessário aplicar transformações aos dados ou, buscar um modelo não 
linear apropriado para o conjunto de dados.
A situação apresentada na Figura 1 (d) é referente à presença de um dado 
atípico ou discrepante no conjunto de dados. Quando isso ocorre, faz-se 
necessário uma investigação da razão de sua ocorrência, que pode ser di-
versa, como erro de medida ou a ocorrência de uma situação que gerou o 
dado discrepante do restante do conjunto. Diante de ocorrência de dados 
discrepantes, em vez de usar método de mínimos quadrados ordinários 
(MQO) para estimar os parâmetros do modelo, recomenda-se a utilização 
de métodos robustos (não serão tratados neste texto).
Os	casos	apresentados	nas	figuras	1(e),	1(f)	e	1(g)	indicam	de	maneira	clara	
que o pressuposto de homocedasticidade não pode ser garantido para o 
modelo ajustado. É possível perceber que os resíduos não se distribuem de 
maneira	aleatória	no	gráfico	segundo	os	valores	da	variável	independente	X.
E, por último, a Figura 1(h), também, apresenta distribuição não aleatória 
dos resíduos, segundo os valores de X. No entanto, parece apresentar va-
lores de resíduos nos extremos superior e inferior do intervalo de valores 
de sua ocorrência.
Os testes estatísticos citados que avaliam a existência de heteroscedas-
ticidade não serão apresentados com detalhes neste texto. Apenas no 
exemplo de aplicação deste texto será apresentado resultado com o teste 
de Goldfeld-Quandt. Maiores detalhes sobre os testes são possíveis en-
contrar em GUJARATI e PORTER (2008).
PARA SABER MAIS
Teste de Park: é um dos testes estatísticos existentes para 
avaliar a existência de heteroscedasticidade em dados utili-
zados para ajustar modelos. Ele é construído considerando 
que a variância do erro aleatório do modelo seja uma fun-
ção da variável independente Xi. Através dessa função é pos-
sível construir um modelo de regressão e, avaliar se existe ou 
não heteroscedasticidade (MALASSISE, 2015, p. 131).
48 Eficiência Energética
2. Normalidade dos erros
A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade apropriada 
para modelar variáveis contínuas, ou seja, variáveis que podem assu-
mir qualquer valor real dentre um determinado intervalo de valores. Por 
exemplo, a altura das pessoas, o volume de água ingerida durante um dia, 
a	variação	de	um	ativo	financeiro,	etc.
A origem da distribuição normal ocorreu através de Gauss, por volta 
de 1810, em seus trabalhos de pesquisas astronômicas. É daí que tam-
bém surge outro nome dado para a distribuição normal, a distribuição 
gaussiana.
Por	definição,	diz-se	que	uma	variável	aleatória	X tem distribuição normal 
com parâmetros µ e σ2, em que , representando a média e 
a variância da distribuição, respectivamente, se sua função densidade de 
probabilidade é dada por:
O modelo clássico de regressão linear supõe que os erros ei tenham dis-
tribuição normal com média 0 e variância σ2. Esse pressuposto pode ser 
representado como .
Há uma série de motivos para que a normalidade dos erros seja um pres-
suposto necessário para se construir um modelo de regressão. A seguir, 
serão apresentados alguns dos principais motivos, segundo Gujarati e 
Porter (2008, p. 119):
1. O termo erro aleatório ei de um modelo de regressão linear represen-
ta	a	influência	combinada	de	um	grande	número	de	variáveis	não	con-
sideradas de forma explícita na modelagem. O que se espera é que a 
influência	delas	seja	a	menor	possível	e,	na	melhor	das	hipóteses,	seja	
aleatória. Se a distribuição do erro for normal, o teorema do limite 
central pode garantir isso.
Eficiência Energética 49
2. Se o termo de erro aleatório for normal é possível obter a distribuição 
de	probabilidade	dos	estimadores	dos	coeficientes	do	modelo	de	for-
ma fácil.
3. A distribuição normal é extremamente conhecida e, portanto, suas 
propriedades teóricas já foram muito exploradas. Além disso, diver-
sos fenômenos seguem uma distribuição normal.
4. É possível utilizar testes estatísticos como os testes t, F e qui-quadrado 
para realizar testes com os estimadores do modelo.
Por esses, dentre outros motivos, é de extrema importância, num proces-
so de modelagem de dados por regressão linear, garantir o pressuposto 
de normalidade para o termo erro.
PARA SABER MAIS
Teste de Normalidade dos resíduos: O teste de Jarque-Bera 
(JB)	é	apropriado	para	verificar	se	os	resíduos	do	modelo	ajus-
tado se aderem a uma distribuição normal. Como limitação, 
pode-se dizer que se trata de um teste assintótico, ou seja, 
que funciona bem apenas para grandes amostras. Outra li-
mitação, é que ele se baseia nos resíduos de mínimos qua-
drados. Maiores detalhes sobre o teste podem ser encontra-
dos em Malassise (2015, p. 133).
3. Multicolinearidade
O termo multicolinearidade foi apresentado por Ragnar Frisch, pesquisa-
dor	da	área	de	economia,	em	1934,	na	Noruega,	mais	especificamente,	
na cidade de Oslo, em um de seus artigos publicados sobre modelos de 
50 Eficiência Energética
regressão. A multicolinearidade em um conjunto de dados ocorre nas va-
riáveis explicativas ou independentes de um modelo econométrico. Por 
exemplo, a renda, a renda per capita e o PIB são variáveis que medem 
informações semelhantes. Portanto, é aconselhável, para que não ocorraproblemas de multicolinearidade, que seja utilizada apenas uma delas em 
um ajuste de modelo.
No entanto, quando não se sabe se as variáveis de um conjunto de dados 
que será utilizado para a construção de um modelo econométrico são 
correlacionadas,o elaborador do modelo pode se deparar com um pro-
blema de multicolinearidade. Embora, segundo Gujarati e Porter (2008), 
sempre existe um grau de correlação entre as variáveis independentes.
Em geral, problemas de multicolinearidade surgem quando existe forte 
relação linear entre as variáveis independentes do modelo, ou seja, o que 
é	definido	como	colinearidade,	pois,	 relação	entre	elas	 sempre	existirá	
em algum grau.
ASSIMILE
COLINEARIDADE: É um termo utilizado para dizer que existe 
correlação linear entre duas variáveis, de tal forma que, não 
é	possível	identificar	o	efeito	de	cada	uma	delas	sobre	a	va-
riável dependente do modelo ajustado. O termo multicoline-
aridade se estende para o caso de colinearidade, que indica 
existência de correlação linear entre mais de duas variáveis 
independentes de um modelo econométrico.
Como dito anteriormente neste texto, Gujarati e Porter (2008) indicam 
que sempre existe algum grau de correlação entre as variáveis indepen-
dentes de um modelo. Estes graus de correlação são apresentados na 
figura	2,	chamada	diagrama	de	Ballentine.
Eficiência Energética 51
Figura 2 – Visão da multicolinearidade segundo o diagrama de Ballentine
(a) Ausência de colinearidade (b) Baixa colinearidade
(c) Colinearidade moderada (e) Colinearidade muito alta(d) Alta colinearidade
Y
X2
X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Fonte: Gujarati e Porter (2008, p. 331)
No diagrama de Ballentini, os círculos Y, X2 e X3 representam as variações da 
variável dependente e das variáveis independentes, respectivamente. O grau 
de colinearidade é dado pela extensão da área marcada com sombreamen-
to, formada com a sobreposição dos círculos. A situação ideal e, que atende 
ao pressuposto de ausência de multicolinearidade, ocorre na Figura 2(a).
Muitas são as fontes de multicolinearidade. Algumas delas são descritas 
por Gujarati e Porter (2008, p. 332), conforme listadas abaixo:
1. O método de coletado dos dados: realização de um procedimento de 
amostragem com faixa delimitada de valores;
2. Restrições impostas ao modelo ou à população que será amostrada 
para a coleta de dados. Uma situação onde isso ocorre, por exemplo, 
em um modelo de regressão do consumo de energia elétrica (X2) e o 
tamanho da residência (X3), existe uma restrição física na população, 
onde as famílias com rendas maiores, em geral, possuem residências 
maiores que aquelas famílias de rendas mais baixas;
52 Eficiência Energética
3. Especificação	do	modelo:	como	exemplo,	na	inclusão	de	termos	poli-
nomiais em um modelo de regressão, principalmente, quando o inter-
valo de valores de valores de variável independente é pequeno;
4. Sobredeterminação do modelo: ocorre quando o modelo possui mais 
variáveis do que número de observações;
5. Tendência comum: ocorre em dados de séries temporais.
Uma forma de diagnosticar a existência de multicolinearidade é através 
de	uma	medida	de	qualidade	do	modelo,	chamada	coeficiente	de	deter-
minação (R2). Quando esta medida apresentar um valor alto (ela varia en-
tre	 0	 e	 1)	 e,	 nenhum	 coeficiente	 estimado	 apresentar	 valor	 estatistica-
mente	significativo,	há	um	forte	indício	de	que	o	modelo	construído	esteja	
apresentando	multicolinearidade.	Outra	maneira	de	identificar	a	multico-
linearidade é pela matriz de correlação, em que, valores superiores a 0,8 
em módulo, indicam a existência de forte correlação entre as variáveis. 
Também,	é	possível	identificar	a	existência	de	multicolinearidade	através	
do	fator	de	inflação	da	variância	(FIV).	O	ideal	é	que	o	FIV	médio	de	um	
conjunto de variáveis não seja maior que 10 ou que o maior FIV de uma 
variável não seja superior a 10.
Malassise (2015, p.17) apresenta alguns procedimentos para reduzir as 
consequências da multicolinearidade, que são: “(1) aumento do tamanho 
amostral; (2) uso de informação a priori sobre os valores das estimativas 
dos parâmetros; (3) transformação da relação funcional entre as variá-
veis dependente e independentes; (4) exclusão de variáveis colineares e; 
(5) uso de razões ou primeiras diferenças, no caso de séries temporais”. 
Vale ressaltar que a ocorrência de multicolinearidade no modelo ajustado 
fere	o	princípio	de	eficiência	do	modelo	ao	não	fornecer	variância	mínima	
para os termos de erro, no entanto, não fere o princípio da sua consistên-
cia, ainda fornecendo estimadores não viesados.
Eficiência Energética 53
LINK
Recomendamos	que	verifique	o	material	aqui	indicado,	para	
que você perceba, em detalhes, a descrição sobre multicoli-
nearidade e apresenta exemplo de aplicação. Disponível em: 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2340848/mod_ 
resource/content/0/Mayara_Multicolinearidade.pdf>. 
Acesso em: 22 junho 2018.
4. Mecanismo de correção de erro
“A	especificação	do	modelo	nada	mais	é	do	que	expressar	a	forma	econo-
métrica de um modelo econômico” (MALASSISE, 2015, p. 37).
Para	que	um	modelo	seja	bem	especificado	faz-se	importante	conhecer	a	
fundo todo o contexto que envolve o problema, assim como, os passos téc-
nicos para sua construção. Desta forma, erros são evitados e, também, a ne-
cessidade de mais esforço para a construção de um modelo econométrico.
A	correta	especificação	de	um	modelo	econométrico	faz	parte	do	conjunto	
de pressupostos de um modelo de regressão linear clássico. Caso contrá-
rio,	ocorrerá	o	problema	de	erro	de	especificação	de	modelo	ou	viés	de	
especificação	de	modelo.
São	diversos	os	 fatores	que	causam	erro	de	especificação	de	um	mode-
lo. Dentre eles, podem ser citados: a omissão de uma variável relevante, 
a inclusão de variáveis desnecessárias no modelo, a forma funcional erra-
da, erro de medidas nas variáveis, a desconsideração da componente de 
interação no modelo, a pressuposição de que o termo de erro tem distri-
buição normal, etc. Existem alguns testes estatísticos que ajudam a detec-
tar	erros	de	especificação	para	alguns	casos	específicos,	como	os	citados	
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2340848/mod_resource/content/0/Mayara_Multicolinearidade.pdf
54 Eficiência Energética
anteriormente.	Por	exemplo,	para	verificar	a	existência	de	variáveis	desne-
cessárias no modelo, pode-se recorrer à estratégia chamada “abordagem 
de	baixo	para	cima”,	que	significa	construir	vários	modelos,	a	partir	de	um	
modelo menor, com menos variáveis, até modelos maiores. Essa estratégia 
também é conhecida como garimpagem de dados ou data mining.
O objetivo da garimpagem de dados é desenvolver o “melhor” modelo 
após	os	diversos	testes	diagnósticos,	no	intuito	de	se	obter	o	modelo	fi-
nal	mais	apropriado,	no	sentido	de	que	todos	os	coeficientes	estimados	
sejam	estatisticamente	significativos	e	possuam	os	seus	sinais	corretos.	
Para	exemplificar,	o	teste	de	Durbin-Watson	faz	parte	dos	testes	estatísti-
cos utilizados neste processo.
Muitos	outros	procedimentos	para	verificação	de	erros	e	aplicação	de	cor-
reção existem na literatura, no entanto, não serão abordados neste texto. 
Os interessados em aprofundar no assunto podem consultar Gujarati e 
Porter (2008).
EXEMPLIFICANDO
Malassise	(2015,	p.	136)	apresenta	uma	aplicação	de	verifica-
ção de heteroscedasticidade em um conjunto de dados, cor-
respondentes a salários (W) e anos de escolaridade (A). Parte 
dos	dados	é	mostrada	na	figura	abaixo.
Figura 3 – Dados de salários e anos de escolaridade
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y1)
Salários
(X1)
Anos de 
estudo
Y* X*
120 0 120 0 0,099797 0 0,099797 0
507 2 130 0 0,421643 0,299439 0,108114 0
251 1 145 0 0,208742 0,14972 0,120588 0
467 2 220 0 0,388377 0,299439 0,182961 0
637 3 251 1 0,529756 0,449159 0,208742 0,14972
Eficiência Energética 55
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y)
Salários
(X)
Anos deestudo
(Y1)
Salários
(X1)
Anos de 
estudo
Y* X*
861 4 467 2 0,716044 0,598878 0,421643 0,222439
130 0 507 2 0,108114 0 0,388377 0,299439
145 0 637 3 0,120588 0 0,529756 0,449159
220 0 861 4 0,182961 0 0,716044 0,598878
1099 5 1099 5 0,913975 0,748598 0,913975 0,748598
1226 6 1160 8 1,019593 0,898317 1,019593 0,898317
1243 7 1226 6 1,033731 1,048037 1,033731 1,048037
1439 8 1243 7 1,196733 1,197756 1,196733 1,197756
[...]
3464 17 3223 16 2,880809 2,545232 2,346063 2,395513
3078 17 3259 15 2,559795 2,545232 2,880809 2,545232
2587 15 3464 17 2,151459 2,245793 2,559795 2,545232
3692 21 3692 21 3,070423 3,14411 3,070423 3,14411
3788 22 3788 22 3,150261 3,29383 3,150261 3,29383
4140 23 4140 23 3,442999 3,443549 3,58022 3,29383
4305 22 4305 22 3,58022 3,29383 3,442999 3,443549
Desvio padrão = 1202,044 (salários) e 6,679155 (anos de estudo).
Salários Y1 e Ano X1 = variáveis divididas pelos seus desvios padrões.
Y* e X* são a regressão dos valores de salário Y1 e anos de estudo X1.
Fonte: Malassise (2015, p.137)
Os resultados da regressão, obtidos no Excel, no suplemento ferramen-
tas	de	análise,	são	apresentados	na	figura	a	seguir,	para	salários	(W)	como	
variável dependente e, anos de escolaridade (A) variável independente.
Figura 4 – Regressão: salários em função de anos de escolaridade
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatísticas de regressão
R múltiplo 0,988576
R-Quadrado 0,977282
R-Quadrado ajustado 0,976633
Erro padrão 183,7493
Observações 37
56 Eficiência Energética
RESUMO DOS RESULTADOS
ANOVA
  gl SQ MQ F F designificação
Regressão 1 50835032 50835032 1505,607 2,33E-30
Resíduo 35 1181734 33763,82
Total 36 52016766      
  Coeficiente
Erro
padrão Stat t Valor-P 95% Inferior
95%
Superior
Interseção 124,0547 54,90802 2,259318 0,030195 12,58549 235,5239
Variável X 177,9134 4,585144 38,80215 2,33E-30 168,6051 187,2218
Fonte: Malassise (2015, p. 138).
Da tabela de regressão podem ser obtidos os valores estimados para 
os	coeficientes,	que	são:
O	gráfico	dos	resíduos	contra	os	valores	da	variável	independente,	anos	
de escolaridade, é mostrado a seguir.
Figura	5	–	Gráfico	dos	resíduos	contra	anos	de	escolaridade
Fonte: Malassise (2015, p. 139).
Eficiência Energética 57
Com	o	gráfico	da	Figura	5	é	possível	perceber	que,	à	medida	que	os	anos	
de escolaridade aumentam (crescente da esquerda para a direita), os 
resíduos também aumentam de valor. Isto é um indicativo da existên-
cia de correlação entre resíduos e a variável independente do modelo 
ajustado e, consequentemente, um indicativo de existência de heteros-
cedasticidade no modelo ajustado. A autora aplicou o teste de Goldfeld-
Quandt	para	confirmar	a	existência	de	heteroscedasticidade.	Através	de	
um	teste	F	foi	possível	confirmar	que	o	modelo	ajustado	viola	o	pressu-
posto de homocedasticidade. Maiores detalhes sobre a implementação 
do teste podem ser encontrados em Malassise (2015).
No processo de criação de um modelo econométrico há uma busca 
incessante	pela	correta	especificação	dele.	É	como	se	o	analista	esti-
vesse numa caça ao tesouro perdido. Para isso, muitas questões são 
levantadas com o propósito de se obter o caminho correto. Uma des-
tas perguntas seria “Como se faz para encontrar o modelo correto?”. 
Pense sobre esta pergunta e descreva sua resposta em forma de itens.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
5. Considerações Finais
• Abordamos sobre o relaxamento de pressupostos básicos de mode-
los de regressão linear clássicos.
• Apresentamos	a	definição	de	heteroscedasticidade	e	como	ela	pode	
ocorrer em ajustamento de modelos econométricos.
• Foi	apresentado	como	se	verifica	o	pressuposto	de	normalidade	dos	
erros de um modelo e a importância que a distribuição normal tem 
no contexto de modelagem de dados.
• Observamos	a	importância	de	se	especificar	corretamente	os	mode-
los	e	formas	de	verificar	se	estão	bem	construídos.
58 Eficiência Energética
Glossário
• Atípico: que se afasta do normal, do característico; anômalo, inco-
mum, raro.
• Discrepante: que se destaca pela diferença; destoante.
• Robusto: resistente; poderoso.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 03
1. É	a	forma	mais	simples	de	identificar	a	existência	de	hete-
roscedasticidade em um modelo de regressão ajustado. A 
afirmativa	está	se	referindo	a:	
a) Gráfico.
b) Tabela.
c) Teste.
d) Intuição.
e) Dedução.
2. A distribuição normal possui quantos parâmetros?
a) Um.
b) Dois.
c) Três.
d) Quatro.
e) Nenhum.
3. Se	o	coeficiente	de	correlação	linear	entre	duas	variáveis	
independentes de um conjunto de dados que será utiliza-
do para ajustar um modelo de regressão apresentar valor 
de 0,85, o que é possível concluir em relação aos pressu-
postos do modelo? 
Eficiência Energética 59
a) Ausência de heteroscedasticidade.
b) Presença de heteroscedasticidade.
c) Ausência de colinearidade.
d) Presença de colinearidade.
e) Erro	de	especificação.
Referências Bibliográficas
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 554p.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 924p.
MALASSISE, R. L. S. Econometria. 1. ed. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional 
S/A, 2015. v. 1. 192p. Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/
users/publications/9788584822065/pages/-2>. Acesso em: 26 maio 2018.
Gabarito – Tema 03
Questão 1 – Resposta: A
A	forma	mais	simples	de	se	verificar	existência	de	heteroscedastici-
dade	em	um	modelo	de	regressão	ajustado	é	através	de	gráfico	dos	
resíduos contra os valores da(s) variável(is) independente(s).
Questão 2 – Resposta: B
A distribuição normal possui dois parâmetros que são a média e a 
variância, representadas pelas letras gregas µ e σ2, respectivamente.
Questão 3 – Resposta: D
Se	o	coeficiente	de	correlação	linear	entre	duas	variáveis	apresentar	
valor de 0,85, há indícios de que elas estão fortemente correlaciona-
das e, se forem incluídas no mesmo modelo ajustado, possivelmen-
te, causarão colinearidade no ajuste.
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
Eficiência Energética 60
TEMA 04
REGRESSÃO COM VARIÁVEIS DUMMY
Objetivos
• Apresentar variáveis dummy como constantes;
• Apresentar variáveis dummy	 como	 coeficientes	
angulares;
• Apresentar modelos de diferenças em diferenças.
Eficiência Energética 61
Introdução
Os modelos de regressão apresentados até aqui foram elaborados com 
variáveis do tipo razão, também conhecida como proporcional ou cardi-
nal, ou seja, variáveis que permitem a utilização de todas as operações 
matemáticas básicas. Por exemplo, a estatura, valores monetários, idade 
e peso. No entanto, isso não deveria dar a impressão de que os modelos 
de regressão só podem lidar com variáveis desse tipo, pois, podem ser 
construídos com outros tipos de variáveis. Neste texto serão considera-
dos modelos de regressão que trabalham com variáveis independentes 
que são conhecidas como variáveis indicadoras ou binárias.
Uma variável binária (também denominada variável dummy) é aquela que 
só tem dois valores distintos, geralmente zero e um. Em um modelo de 
regressão,	a	variável	dependente	também	pode	ser	influenciada	por	va-
riáveis	de	natureza	qualitativa,	onde,	em	geral,	significam	a	presença	ou	
ausência de uma “qualidade” ou atributo, como ser homem ou mulher, 
ser católico ou não, etc.
A	quantificação	de	atributos	qualitativos	em	modelos	de	regressão	nos	
valores zero e um, para variáveis independentes, é realizada para cons-
truir	uma	classificação	em	categorias	mutuamente	exclusivas,	sem	possi-
bilidade de sobreposição.
Em um mesmo modelo podem haver variáveis quantitativas e qualitati-
vas, no entanto, neste texto, serão considerados os modelos que pos-
suem apenas variáveis independentes qualitativas.
1. Variáveis dummy como constantes
Os métodos estatísticos para comparação de médias de vários grupos que 
relacionam a associação entre uma variável quantitativa e umaou mais va-
riáveis qualitativas (categóricas), ou seja, a média da variável dependente 
62 Eficiência Energética
é comparada entre os grupos, os quais são categorias das variáveis inde-
pendentes. Este método recebe o nome de análise de variância (ANOVA), 
desenvolvido pelo estatístico inglês Ronald A. Fisher por volta de 1920.
Uma variável dummy	representa	a	influência	de	uma	característica	ou	atri-
buto qualitativo. Como exemplo, suponha que haja o interesse em saber 
se	o	sexo	influencia	no	salário	de	uma	determinada	função.	A	inclusão	de	
uma variável dummy pode ser feita da maneira a seguir:
Da	forma	com	está	construída	a	variável,	o	coeficiente	de	X representará 
o quanto as mulheres ganham, em média, a mais (ou a menos) que os 
homens.
A ideia pode ser estendida para variáveis qualitativas que possuem mais 
de duas categorias. Como por exemplo, o padrão de construção de um 
determinado	imóvel,	que	pode	ser	classificado	como	padrão	alto,	médio	
ou baixo. Neste caso, são necessárias as elaborações de duas variáveis 
dummy,	 que	poderão	 ser	 definidas	da	 seguinte	maneira,	 considerando	
imóvel padrão baixo como base:
Quando a variável independente possuir k categorias serão necessárias 
k – 1 variáveis dummy para distinguir todas as categorias da variável origi-
nal. Isso ocorre para evitar ocorrência de colinearidade perfeita, ou seja, 
para evitar relações lineares exatas entre as variáveis independentes do 
modelo. Essa situação se estende para modelos que possuem mais de 
uma variável qualitativa.
Como dito antes, a categoria para a qual nenhuma variável dummy é atri-
buída é conhecida como categoria-base, de controle, de comparação, de 
referência ou categoria omitida. Todas as comparações são feitas em 
Eficiência Energética 63
relação à categoria de referência. A escolha desta base é arbitrária, ou 
seja, depende da análise que se deseja fazer. O valor do termo intercepto 
do modelo representa o valor médio da categoria de referência.
Vale lembrar que o modelo usual de regressão não permite que a variável 
dependente seja binária. Isso é um tanto óbvio já que, ela é construída 
com a inclusão de um termo de erro aleatório com distribuição normal.
PARA SABER MAIS
Variáveis dummies em outras análises. O uso de variáveis 
dummies não se esgota em ajuste por ANOVA ou regressão 
usual, elas também podem ser utilizadas em outros tipos de 
análises, como análise de covariância, em análise de séries 
temporais, em regressão segmentada e regressão com dados 
em painel. É claro que a escolha de um método dependerá 
do tipo de dado e de análise que se deseja realizar. Maiores 
detalhes sobre o uso de variáveis dummies aplicadas com 
essas metodologias podem ser encontradas em Gujarati e 
Porter (2008).
Para modelos com uma única variável dummy, o procedimento ANOVA é 
o mais utilizado desde que os pressupostos de um modelo de regressão 
clássico sejam garantidos.
A situação geral pode ser descrita como a existência de uma população 
de dados (indivíduos, animais, empresas etc.), para a qual se tem uma 
variável aleatória contínua de interesse. Assumindo, agora, que seja pos-
sível	classificar	as	unidades	populacionais	segundo	níveis	de	uma	variável	
qualitativa ou fator. De forma geral, é possível ter I níveis para esse fator, 
dividindo a população em subpopulações (ou estratos), P1, P2, ... , PI. Um 
modelo conveniente para descrever essa situação é
64 Eficiência Energética
onde, µi são as médias da variável aleatória Y para as suas subpopulações 
e, eij é o termo erro aleatório.
O	modelo	em	(3)	é	chamado	modelo	com	efeitos	fixos,	no	sentido	de	que	
as subpopulações determinadas pelos níveis da variável independente ou 
fator são aquelas de interesse. Para o modelo apresentado, consideran-
do que a variável independente possua dois níveis, a hipótese que está 
sendo testada é H0 : µ1 = µ2, ou seja, é testado se as médias são iguais. As 
operações realizadas podem ser resumidas em um quadro, no intuito de 
facilitar a análise dos resultados.
Supondo que os pressupostos do modelo (3) são todos garantidos e que 
a variável independente possua dois níveis, a quantidade de informação 
perdida (devido aos resíduos) será dada por , que será 
chamada de soma de quadrados total, abreviadamente, SQT.
Outra quantidade importante é a quantidade total de informação qua-
drática perdida pela adoção do modelo (3). Essa quantidade é uma soma 
denominada soma de quadrados dos resíduos (SQRes), ou soma de qua-
drados dentro dos dois grupos (SQDen). Matematicamente, tem-se SQRes 
= 
A economia obtida ao se passar de um modelo para outro (níveis da va-
riável dummy) será dada por um termo chamado de soma de quadrados 
entre grupos (SQEnt). Matematicamente, tem-se SQEnt . 
Essa mesma quantidade pode ser obtida pela diferença entre SQT e SQRes. 
Ela representa a variabilidade entre as médias amostrais, ou seja, uma 
“distância” entre a média de cada grupo e a média global, que origina o 
nome “soma de quadrados entre grupos”. 
Todas essas informações podem ser agrupadas em uma tabela conhecida 
por quadro ANOVA, que pode ser descrita como segue.
Eficiência Energética 65
Quadro 1 – Tabela de análise de variância (ANOVA)
Fontes de 
variação
Graus de 
liberdade
Soma de 
quadrados
Quadrado 
médio F
Entre 1 SQEnt QMEnt QMEnt/QMRes
Dentro n – 2 SQRes QMRes (Se)
Total n – 1 SQT QMT (S)
Fonte:	Adaptado	de	Hoffmann	(2016).
Na primeira coluna do quadro 1 estão as descrições das diferentes somas 
de quadrados, denominada fontes de variação. Os graus de liberdade, na 
segunda coluna, estão associados com as respectivas somas de quadra-
dos. A coluna de quadrados médios é obtida pelas seguintes quantidades:
A quantidade QMEnt será igual à SQEnt, pois estamos diante a um grau 
de liberdade. A quantidade QMRes fornece estimativa do desvio padrão 
do modelo completo (3), enquanto a quantidade QMT fornece estimativa 
do modelo reduzido yi = µ + ei, i = 1, ... , ni. E, na última coluna da tabela 
ANOVA, tem-se a estatística que testa a hipótese nula H0 : µ1 = µ2. Ela tem 
distribuição F de Snedecor com (1, n – 2) graus de liberdade, cujos valores 
podem ser obtidos em tabelas.
De forma mais rápida, é possível obter uma tabela ANOVA com o suple-
mento	 de	 análise	 de	 dados	 do	 Microsoft	 Excel®,	 conforme	 mostrado	
exemplo a seguir adaptado de Fonseca e Martins (1996, p. 262).
EXEMPLIFICANDO
O resultado das vendas efetuadas por três vendedores de 
uma loja durante certo período é dado a seguir. Deseja-se 
saber,	ao	nível	de	5%	de	significância,	se	há	diferença	de	efi-
ciência entre os vendedores.
66 Eficiência Energética
Tabela 1 – Dados de vendas
Vendedores
A B C
29 27 30
27 27 30
31 30 31
29 28 27
32 29 29
30 29 28
Fonte: Adaptado de Fonseca e Martins (1996)
É possível obter os resultados de duas maneiras com o suplemento de 
análise de dados do Excel. Um com a ferramenta de análise “Anova: 
fator único” e, o outro com a ferramenta “Regressão”. A diferença entre 
as duas ferramentas é a forma de entrada de dados.
Para utilizar a ferramenta “Anova: fator único” basta inserir numa planilha 
os dados da forma como está apresentado, ou seja, como mostra a Figura 1.
Figura 1. Inserção de dados em planilha para ANOVA
Fonte: Elaboração do autor.
O modelo considerado é yij = µi + eij, i = A, B, e C e j = 1, 2, ... , 6, onde µi 
são as médias de vendas de cada vendedor. A hipótese que está sen-
do testada é H0 : µA = µB = µC. Os resultados obtidos são mostrados na 
Figura 2.
Eficiência Energética 67
Figura 2 – Resultados da ANOVA fator único do Excel
Fonte: Elaboração do autor.
Na tabela RESUMO são mostradas as médias e variâncias de cada ven-
dedor e, na tabela ANOVA o resultado do teste do modelo. Na coluna 
“valor-P” é mostrada a probabilidade de a hipótese testada não ser re-
jeitada.	Comparando	essa	probabilidade	com	o	nível	de	 significância	
0,05, pode-se concluir que a hipótese é verdadeira, ou seja, as médias 
não	diferem	significativamente.
No processode construção de um modelo com variáveis dummy, a 
equação considerada é . A hipótese de tes-
te associada é a mesma usada na ANOVA. A inserção dos dados na pla-
nilha é um tanto diferente, conforme mostra a Figura 3.
68 Eficiência Energética
Figura 3 – Inserção de dados em planilha para 
regressão com variáveis dummy
Fonte: elaboração do autor.
A escolha da categoria de referência é arbitrária. Para a realização deste 
exemplo, a categoria de referência escolhida foi a de vendas do vende-
dor C. Portanto, os resultados serão comparados com os dados deste 
vendedor. Os resultados parciais são mostrados na Figura 4.
Figura 4 – Resultados parciais da regressão com variáveis dummy
Fonte: elaboração do autor.
Eficiência Energética 69
Os resultados mostrados são apresentados um tanto diferente daque-
les	apresentados	na	ANOVA.	Na	coluna	“Coeficientes”	são	mostradas	
as	estimativas	dos	coeficientes	do	modelo	ajustado,	onde	na	linha	in-
tercepto	está	a	estimativa	do	coeficiente	β0, que nada mais é do que a 
média amostral da categoria de referência, no caso, a média de vendas 
do	vendedor	C.	Nas	linhas	A	e	B,	os	valores	estimados	dos	coeficientes	
representam a diferença estimada da média de cada vendedor em rela-
ção à categoria de referência, no caso, a média de vendas do vendedor 
C. Por exemplo, a média estimada de vendas do vendedor A é maior 
que a média estimada de vendas do vendedor C em 0,50, ou seja, é 
29,17 + 0,50 = 29,67, aproximadamente. Este resultado coincide com a 
média apresentada na ANOVA da primeira análise e, a mesma inter-
pretação	vale	para	o	coeficiente	da	linha	do	vendedor	B.	Com	relação	
à hipótese testada, é possível concluir com o resultado da coluna “F de 
significação”	da	tabela	superior	ANOVA,	cujo	valor	é	0,3232, semelhante 
àquele encontrado no “Valor-P” da primeira análise, que as médias de 
vendas	não	diferem	significativamente,	pois,	0,3232 > 0,05, o nível de 
significância	do	teste.
O exemplo apresentado é dito balanceado, ou seja, cada categoria ou nível 
da variável independente possui a mesma quantidade de observações. No 
entanto, é possível ajustar uma ANOVA ou um modelo de regressão com 
variáveis dummy mesmo que ocorra um desbalanceamento de dados.
LINK
Aplicação de modelos de regressão com variáveis dummy no 
Excel em dados reais. Disponível em: <www.redeitausocial 
deavaliacao.org.br/wp-content/uploads/2016/09/Curso-de-
Gestores-slides-Aula5_20160929.pdf>.
Acesso em: 03 julho 2018.
http://www.redeitausocialdeavaliacao.org.br/wp-content/uploads/2016/09/Curso-de-Gestores-slides-Aula5_20160929.pdf
http://www.redeitausocialdeavaliacao.org.br/wp-content/uploads/2016/09/Curso-de-Gestores-slides-Aula5_20160929.pdf
http://www.redeitausocialdeavaliacao.org.br/wp-content/uploads/2016/09/Curso-de-Gestores-slides-Aula5_20160929.pdf
70 Eficiência Energética
2. Variáveis dummy como coeficientes angulares
Outra possibilidade de ajustamento de um modelo de regressão com va-
riáveis dummy sem cair na armadilha da variável binária, ou seja, sem 
cometer um erro por colinearidade perfeita é, no momento do ajusta-
mento, não introduzir o termo do intercepto. Neste caso, a quantidade 
de variáveis dummy a ser introduzida no modelo será exatamente igual 
à quantidade de níveis que ela possui. Por exemplo, se a variável sexo 
(masculino e feminino) for considerada como variável independente num 
modelo, a quantidade de variáveis dummy a ser considerada serão duas, 
pois a variável possui duas categorias/níveis.
A	interpretação	que	se	dá	para	os	coeficientes	estimados	obtidos	de	uma	
regressão sem intercepto é que, seus valores representam a estimativa 
da média da respectiva categoria da variável independente.
Uma pergunta que pode surgir após a apresentação desses processos de 
modelagem com variáveis dummy é “qual dos métodos é o melhor?” Em 
se tratando de ANOVA, o ideal é que não sejam usadas muitas variáveis 
independentes, pois, quantos mais delas forem consideradas no proces-
so, mais difícil será a interpretação dos resultados. Considerando a cons-
trução de modelos de regressão, Gujarati e Porter (2008, p. 293) descre-
vem que “a maioria dos pesquisadores acredita que a equação com um 
intercepto seja mais conveniente, porque lhes permite tratar com mais 
facilidade as questões em que geralmente têm mais interesse”.
Outra forma de modelagem com variáveis dummy possível de ser reali-
zada é o que se chama de análise de covariância (ANCOVA). Neste tipo, é 
possível considerar tanto variáveis quantitativas, quanto variáveis dummy 
na mesma equação de estimação. Maiores detalhes sobre este tipo de 
modelagem podem ser encontrados em Gujarati e Porter (2008).
Eficiência Energética 71
PARA SABER MAIS
Gujarati e Porter (2008, p. 294) descrevem sobre ANCOVA da 
seguinte maneira:
“Os modelos ANOVA embora sejam comuns em áreas como 
sociologia, psicologia, educação e pesquisa de mercado, não 
são tão comuns em economia. Tipicamente, na maioria das 
pesquisas econômicas, um modelo de regressão contém al-
gumas variáveis explanatórias quantitativas e algumas qua-
litativas. Os modelos de regressão com uma mistura de vari-
áveis quantitativas e qualitativas são chamados de modelos 
de análise de covariância (ANCOVA). Eles são uma extensão 
dos modelos ANOVA no sentido de que fornecem um méto-
do de controle estatístico dos efeitos de regressores quanti-
tativos, chamados covariáveis ou variáveis de controle, em 
um modelo que inclui tanto regressores quantitativos quan-
to qualitativos ou binários”.
3. Modelos de diferenças em diferenças
Até aqui os modelos construídos com variáveis dummies não considera-
ram o termo de interação, ou seja, o efeito de cada variável independente 
na variável dependente é considerado constante no nível das demais va-
riáveis independentes. Perceba que, um modelo de regressão ou ANOVA 
só pode conter um termo de interação quando tem mais de uma variável 
independente.
Considere o seguinte exemplo, adaptado de Gujarati e Porter (2008, p. 
299), de um modelo de regressão com variável binária sem o termo de 
interação.
em que Y = variável dependente; X1 = variável dummy e, X2 = outra variável 
dummy.
72 Eficiência Energética
Da forma como está elaborado, está implícito que o efeito diferencial de 
X1 é constante no efeito diferencial de X2, e vice-versa. Em muitas aplica-
ções esse pressuposto pode não ser respeitado, o que leva a uma neces-
sidade de reformulação do modelo de regressão proposto inicialmente.
Em situações nas quais o pressuposto acima não é garantido há uma ne-
cessidade de inclusão de um novo termo no modelo, o termo de interação 
entre as variáveis independentes. A inclusão deste termo torna o modelo 
a ter a seguinte equação.
em que um dos efeitos das variáveis independentes sobre a variável de-
pendente é multiplicativo. Maiores detalhes sobre modelos de regressão 
com variáveis dummies e efeitos de interação podem ser encontrados em 
Gujarati e Porter (2008).
ASSIMILE
O efeito de interação entre variáveis independentes de um 
modelo de regressão pode ocorrer em diversos tipos de mo-
delagem. No entanto, ao ser considerado em um procedi-
mento de estimação, é necessário ter cuidado na sua inter-
pretação, pois, em muitos casos, ele torna a interpretação 
dos resultados muito complexa.
Muitas variáveis de natureza quantitativa podem ser transformadas 
em variáveis qualitativas, a depender do interesse do pesquisador e da 
forma como deseja realizar uma análise. Por exemplo, a escolaridade 
registrada em anos de estudos, inicialmente quantitativa, pode ser ca-
tegorizada em ensino fundamental, médio e superior. Você consegue 
apresentar um exemplo de variável quantitativa que pode ser trans-
formada em qualitativa? Como seria realizado esse procedimento?
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
Eficiência Energética 73
4. Considerações Finais
• Apresentamos modelos de regressão com variáveis dummy na for-
ma de constantes.
• Abordamos modelos de regressão com variáveis dummy na forma 
de	modelos	com	coeficientesde	variáveis	binárias.
• Discorremos sobre modelos de regressão com variáveis dummy na 
forma de diferença das diferenças.
• Verificamos	a	possibilidade	em	construir	modelos	mistos,	no	sentido	
de que variáveis independentes podem ser quantitativas e qualitati-
vas e podem compor o mesmo modelo.
Glossário
• Graus de liberdade: em estatística, é o número de determinações 
independentes (dimensão da amostra) menos o número de parâ-
metros estatísticos a serem avaliados na população. É um estima-
dor do número de categorias independentes num teste particular 
ou experiência estatística.
• Interação: É um termo de um modelo estatístico em que o efeito 
de duas ou mais variáveis não é simplesmente aditivo.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 04
1. Como é chamado um modelo de regressão que possui va-
riáveis independentes quantitativas e qualitativas?
a) Análise de variância.
b) Análise de covariância.
74 Eficiência Energética
c) Variáveis dummy como constantes.
d) Variáveis	dummy	como	coeficientes	angulares.
e) Modelos de diferenças em diferenças.
2. Os pressupostos de um modelo de regressão com variá-
veis dummy como independentes são os mesmos de um 
modelo de regressão usual. Portanto, qual deve ser a dis-
tribuição de probabilidade do termo erro aleatório? 
a) Poisson.
b) Exponencial.
c) Normal.
d) Anormal.
e) Binomial.
3. Se em um modelo de regressão existir uma variável qua-
litativa como variável independente e ela possuir quatro 
níveis, quantas variáveis dummy deverão ser criadas em 
um	modelo	de	variáveis	dummy	como	coeficientes?	
a) Quatro.
b) Cinco.
c) Seis.
d) Três.
e) Dois.
Referências Bibliográficas
AGRESTI, A.; FINLAY, B. Métodos estatísticos para as ciências sociais. 4. ed. Porto 
Alegre: Editora Penso, 2012. 664 p.
FONSECA, J.S.; MARTINS, G.A. Curso de estatística. 6. Ed. São Paulo: Atlas, 1996. 320p.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 
924p.
Eficiência Energética 75
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: Portal 
de livros abertos da USP, 2016. Disponível em: <www.producao.usp.br/bitstream/ 
handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>. Acesso em: 27 de maio 
de 2018.
SARTORIS, A. Estatística e introdução à econometria. 2. Ed. São Paulo: Saraiva, 
2013.
Gabarito – Tema 04
Questão 1 – Resposta: B 
Os modelos de regressão que envolvem os dois tipos de variáveis 
independentes, quantitativas e qualitativas, são conhecidos como 
análise de covariância.
Questão 2 – Resposta: C 
O termo erro aleatório de um modelo de regressão com variável in-
dependente dummy deve ter distribuição normal, pois a variável de-
pendente é contínua.
Questão 3 – Resposta: D 
Se uma variável qualitativa for incluída em um modelo de regressão 
e ela possuir quatro níveis, será necessário convertê-la em três vari-
áveis dummy.
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
Eficiência Energética 76
TEMA 05
MODELOS MULTIVARIADOS
Objetivos
• Introduzir os principais conceitos em análise multi- 
variada;
•	Definição	de	exogeneidade/causalidade;
• Apresentar aspectos de cointegração.
Eficiência Energética 77
Introdução
A	definição	de	análise	multivariada	considerada	neste	texto	será	aquela	
apresentada por Hair et al. (2009, p. 23): “análise multivariada se refere 
a todas as técnicas estatísticas que simultaneamente analisam múltiplas 
medidas sobre indivíduos ou objetos sob investigação”. Portanto, qual-
quer análise que envolva um tratamento simultâneo de mais que duas 
variáveis, pode ser considerada como uma análise multivariada.
No caso de um modelo de regressão linear, o modelo de regressão mul-
tivariado conterá duas ou mais variáveis independentes e uma variável 
dependente, totalizando, assim, pelo menos, três variáveis. Também, há 
casos em que, a variável dependente é um conjunto de variáveis ou, um 
vetor de variáveis, como é feito em uma análise de variância multivariada.
Em modelos de regressão, também, é possível considerar como variável 
independente os valores defasados (passados) das variáveis independen-
tes e, quando isto ocorre, são chamados de modelos de defasagens distri-
buídas. Destacamos que é possível incluir em uma regressão valores pas-
sados da variável dependente como variável independente. Este último é 
um caso particular de modelo de séries temporais, denominado modelo 
autorregressivo.
O modelo autorregressivo também é conhecido como modelo dinâmico, 
por ter a característica de desenhar a trajetória da variável dependente ao 
longo do tempo, com relação aos seus valores defasados.
Este texto apresentará algumas características de modelos multivariados 
dinâmicos e suas aplicações.
1. Exogeneidade/causalidade
Em modelos multivariados, a variável estatística é uma combinação linear 
de variáveis com pesos determinados. As variáveis são determinadas pelo 
pesquisador e, a depender de seu propósito, os pesos são determinados 
a partir da técnica estatística a ser utilizada. Em modelos de regressão 
usuais, os pesos, em geral, são unitários.
78 Eficiência Energética
PARA SABER MAIS
Tipos	de	técnicas	multivariadas.	Hair	et	al.	(2009,	p.	32)	afir-
ma que “análise multivariada é um conjunto de técnicas para 
análise de dados que está sempre em expansão e que en-
globa um vasto domínio de possíveis situações de pesquisa”. 
Dentre as técnicas multivariadas existentes, as mais estabe-
lecidas são: (1) análise de componentes principais e análise 
de fatores, (2) regressão múltipla e correlação múltipla, (3) 
análise discriminante múltipla e regressão logística, (4) análi-
se de correlação canônica, (5) análise multivariada de variân-
cia e covariância, (6) análise conjunta, (7) análise de agrupa-
mentos, (8) escalonamento multidimensional, (9) análise de 
correspondência, (10) modelo de equações estruturais e (11) 
análise	fatorial	confirmatória.	Maiores	detalhes	sobre	estas	
técnicas podem ser encontrados em Hair et. al. (2009).
A regressão múltipla é, dentre outras, uma técnica de análise multivariada 
em que o problema de pesquisa envolve uma única variável dependente 
quantitativa, do tipo razão, relacionada a duas ou mais variáveis indepen-
dentes quantitativas ou qualitativas. O seu uso tem o propósito de fazer 
estimação/previsões de mudanças na variável dependente como resulta-
do de mudanças nas variáveis independentes.
Matematicamente, o modelo de regressão linear múltipla com k variáveis 
independentes pode ser escrito conforme a equação abaixo.
Utilizando notação matricial, o modelo pode ser reescrito da seguinte 
maneira:
Eficiência Energética 79
onde,
ASSIMILE
A notação matricial em análise multivariada é utilizada para 
simplificar	a	representação	matemática	dos	modelos.	No	en-
tanto, é necessário levar em conta as regras de matrizes para 
sua utilização, como por exemplo, a questão do produto en-
tre matrizes. Vale lembrar que só é possível realizar a ope-
ração produto entre matrizes se, o número de colunas da 
primeira matriz do produto for igual ao número de linhas da 
segunda matriz do produto.
Os pressupostos apresentados para o modelo de regressão linear simples 
valem,	com	algumas	modificações,	para	o	modelo	de	regressão	múltipla,	
os quais não serão detalhados neste texto, porém, podem ser encontra-
dos em Gujarati e Porter (2008), ou no tema 01 desta disciplina.
Os modelos de regressão, incluindo os modelos multivariados, tratam a 
dependência de uma variável sobre um conjunto de outras variáveis. No 
entanto, essa dependência não necessariamente implica em causalidade, 
ou seja, a existência de relação entre as variáveis analisadas não fornece 
provas	de	causalidade,	ou	mesmo,	da	direção	em	que	a	influência	da	de-
pendência ocorre.
80 Eficiência Energética
No caso de dados de séries temporais, a situação descrita no parágrafo 
anterior pode ser um tanto diferente, pois depende diretamentedo mo-
mento de ocorrência dos eventos. Por exemplo, se um evento A ocorre 
antes de um evento B, pode ser possível que B esteja sendo causado por 
A, mas A nunca será causado por B, por uma simples questão temporal.
Para dados de séries temporais, Granger apud Morettin (2016, p.266) de-
fine	causalidade	em	termos	de	previsibilidade:	“a	variável	X	causa	a	variá-
vel Y, com respeito a um dado universo de informação”. Foi a partir dessa 
definição	que	foi	criado	o	teste	da	causalidade	de	Granger,	o	qual	pres-
supõe que as informações relevantes para uma previsão estão contidas 
unicamente nos dados de série temporal das variáveis envolvidas.
Para	exemplificar	uma	situação	onde	possa	ser	aplicado	o	teste	de	Granger,	
considere a seguinte pergunta: “Será o Produto interno bruto (PIB) que 
causa a oferta de uma moeda (M)? Ou será a oferta de uma moeda que 
causa o PIB? O teste de Granger envolve a estimação do seguinte par de 
regressões” (GUJARATI e PORTER, 2008, p. 648):
A	partir	dessas	regressões	é	possível	definir	causalidade	segundo	os	qua-
tro casos a seguir:
1. Causalidade	unidirecional	de	M	para	PIB:	ocorrerá	se	os	coeficientes	
estimados das defasagens de M em (3) forem estatisticamente dife-
rentes	de	zero	e,	o	caso	contrário	ocorra	em	(4)	para	os	coeficientes	
do estimados do PIB.
2. Causalidade	unidirecional	do	PIB	para	M:	ocorrerá	se	os	coeficientes	
estimados em (3) não forem estatisticamente diferentes de zero e, os 
coeficientes	do	PIB	em	(4)	forem	diferentes	de	zero.
Eficiência Energética 81
3. Causalidade	bilateral:	ocorrerá	quando	todos	os	coeficientes	estima-
dos de (3) e (4) forem estatisticamente diferentes de zero.
4. Independência:	Ocorrerá	quando	os	coeficientes	de	M	e	PIB	não	fo-
rem	estatisticamente	significativos	em	(3)	e	(4).
De forma geral, sabendo-se que o futuro não pode prever o passado e, se 
X anteceder Y e for a causa desta, as variações que ocorrem em X deve-
riam preceder as variações ocorridas em Y. 
Em Gujarati e Porter (2008, p. 649) é possível encontrar um passo-a-passo 
de implementação do teste de causalidade de Granger para as equações 
de regressão similares a (3) e (4), os quais são replicados a seguir, consi-
derando o exemplo utilizado PIB-Moeda.
1. Calcular a regressão do PIB corrente contra os termos do PIB defasa-
dos e demais variáveis, se houver. No entanto, não incluir as defasa-
gens de M nessa regressão. Esta é a regressão “restrita” (R).
2. Calcular a regressão incluindo os termos defasados de M. Esta é co-
nhecida como regressão “irrestrita” (IR).
3. A hipótese de teste é , ou seja, os termos de M 
defasados não pertencem à regressão.
4. Para testar a hipótese, calcula-se a estatística F dada pela equação a 
seguir
a qual segue distribuição F com m e (n – k) graus de liberdade. Neste caso, 
m é o número de defasagens da variável M e, k é o número de parâmetros 
estimados na regressão irrestrita e, QMRes é o quadrado médio dos resí-
duos obtidos no quadro de análise de variância, apresentado no tema 04.
5. Se o valor calculado de F for maior que o valor tabelado de F1 ao nível 
de	significância	escolhido	rejeita-se	a	hipótese	nula,	e	nesse	caso	os	
termos de defasagens de M pertencerão à regressão. Essa é outra for-
ma de dizer que M causa o PIB.
1	Existem	tabelas	para	a	distribuição	F	para	alguns	valores	dos	graus	de	liberdade	e	nível	de	significância.
82 Eficiência Energética
6. Para testar a causa do PIB em M, basta repetir as etapas do teste até 
aqui apresentadas, considerando com variável dependente M e, o PIB 
como independente.
LINK
Verifique	como	é	possível	realizar	o	teste	de	causalidade	de	
Granger no Excel: disponível em: <https://quantmacro.word 
press.com/2015/06/26/granger-causality-in-excel/>.
Acesso em: 08 julho 2018.
Para que possa ser implementado, o teste de causalidade de Granger re-
quer uma série de condições, conforme listadas abaixo.
1. É	suposto	que	as	séries	analisadas	sejam	estacionárias.	A	definição	de	
estacionariedade foi apresentada no tema 02 desta disciplina. Se as 
séries não forem estacionárias será necessário aplicar transformação 
do	tipo	diferença,	também,	definidas	no	tema	02.
2. Os termos de erro dos modelos não são correlacionados. Se forem, 
será necessária a aplicação de transformação nos dados.
3. É preciso evitar a causalidade espúria, ou seja, evitar causalidades en-
tre duas variáveis analisadas que estejam acontecendo por conta de 
uma terceira variável que não esteja sendo considerada na análise, 
causando	significância	sem	sentido	prático.
EXEMPLIFICANDO
Para	 exemplificar,	 considere	 a	 aplicação	 apresentada	 em	
Carneiro (1997, p. 13), o qual mostra o uso do teste de causa-
lidade de Granger nos dados de gastos do governo (G) e re-
ceitas tributárias (R) para Argentina, Brasil e Chile. Os dados 
se referem ao período 1895 a 1985, coletados anualmente. 
Na Figura 1 a seguir são exibidos os resultados para os três 
países e, em seguida é feita uma interpretação dos mesmos.
Eficiência Energética 83
Figura 1 – Resultados do teste de causalidade de Granger.
Direção de 
Causalidade Amostra – Valor F Decisão
Argentina 1913-1984
RG 6,93 Não Rejeitar
GR 13,35 Não Rejeitar
Brasil 1908-1985
RG 4,96 Não Rejeitar
GR 0,17 Rejeitar
México 1895-1984
RG 12,04 Não Rejeitar
GR 13,16 Não Rejeitar
Fonte: Adaptado de Carneiro (1997).
Somente no caso do Brasil foi observada causalidade unidi-
recional em que os aumentos na receita tributária parecem 
preceder aumentos nos gastos do governo. Nos casos de 
Argentina e do México, os resultados observados foram de 
causalidade simultânea, ou seja, com o teste aplicado não 
foi	 possível	 rejeitar	 a	 hipótese	nula	de	que	os	 coeficientes	
das variáveis defasadas sejam estatisticamente diferentes de 
zero na estimação das regressões em ambos os sentidos de 
causalidade. É possível implementar o teste de Granger em 
vários programas computacionais, porém este exemplo mos-
trou apenas o resultado do teste, extraído da referência, sem 
mostrar como implementar em programas computacionais.
Em um modelo de regressão, as variáveis envolvidas no processo de mo-
delagem são, também, denominadas endógenas e exógenas, conforme 
apresentado no Tema 01 desta disciplina. Ambas representam, respecti-
vamente, as variáveis dependente e independentes do modelo.
84 Eficiência Energética
Suponha que um modelo seja elaborado com Y representando a variável 
endógena ou dependente e, X a variável exógena ou independente e, no 
processo de modelagem tenha sido aplicado o teste de causalidade de 
Granger e, obtido o seguinte resultado: causalidade unilateral apenas de 
X para Y. Com este resultado, é natural surgir a pergunta “é possível tratar 
a variável X como exógena?”. Esta pergunta, na realidade, tem a intenção 
de	saber	se	é	possível	utilizar	a	causalidade	definida	por	Granger	ou	não,	
com o propósito de estabelecer a exogeneidade da variável X.
Para se chegar em uma resposta, faz-se necessário distinguir três tipos de 
exogeneidade: (1) fraca, (2) forte e (3) super.
Para deixar claro como cada tipo de exogeneidade ocorre, serão conside-
radas apenas duas variáveis no processo, Xt e Yt. Para facilitar a compre-
ensão diz-se que Xt é fracamente exógena se Yt não explicar Xt. Diante de 
uma situação dessas, o modelo de regressão deve ser elaborado condi-
cionado aos valores de Xt, a variável exógena.
Diz-se que Xt será fortemente exógena se os valores atual e defasado de 
Y não o explicarem, ou seja, se não ocorrer a situação de causalidade bi-
lateral. Em outra situação, a variável Xt será superexógena se os parâme-
tros na regressão de Y contra X não mudarem mesmo que os valores de 
X mudem.
A	importância	em	fazer	distinção	entre	tipos	de	exogeneidade	se	justifi-
ca porque, no geral, para realizar uma regressão basta que ocorra uma 
exogeneidade fraca. No entanto, se a intenção for realizar previsões, é im-
portante garantir exogeneidade forte entre as variáveis envolvidas e, se a 
intenção é realizar análise de políticas, torna-seimportante ter a garantia 
de superexogeneidade.
2. Cointegração linear
Uma série temporal Xt é dita integrada de ordem d se, em seus dados, for 
realizada a transformação de diferença d vezes e ela se tornar estacioná-
ria. A operação de diferença foi abordada no tema 02 desta disciplina.
Eficiência Energética 85
A notação utilizada para a aplicação de diferença de ordem d em uma 
série temporal Xt é dada por ΔdXt e, para dizer que a série é integrada de 
ordem d, utiliza-se a notação Xt ~ I(d). Um caso particular para uma série 
temporal estacionária é quando a notação é I(0),	o	que	significa	que	ela	
não	foi	modificada	com	a	transformação	de	diferença.
Se as séries consideradas num procedimento de modelagem por regres-
são forem I(1), ou seja, integradas de ordem 1, os resultados estatísticos 
obtidos poderão não ser válidos. Essa situação é um possível caso de re-
gressão espúria. O que ocorre é que, poderão ocorrer resultados aparen-
temente	significativos,	porém,	sem	qualquer	sentido	real	ou	prático.	Por	
conta disso, houve a necessidade do desenvolvimento de técnicas para 
analisar relações entre séries temporais não estacionárias.
Gujarati	e	Porter	(2008,	p.	756)	definem	cointegração	entre	duas	vari-
áveis como “economicamente falando, as duas variáveis serão cointe-
gradas se tiverem uma relação de longo prazo, ou de equilíbrio, entre 
elas”. Por exemplo, as séries de preços de ativos ou taxas de câmbio. 
É comum ocorrer nestes tipos de séries uma tendência estocástica em 
longo prazo. Diante de situações como esta, diz-se que as séries são 
cointegradas.
Os preços e taxas (de câmbios, de juros etc.) são, em geral, integrados de 
primeira ordem, ou seja, I(1). Por isso, é comum realizar a análise do loga-
ritmo das séries para investigar cointegração.
Depois de estabelecida uma relação de equilíbrio de longo prazo entre o 
logaritmo das séries, por exemplo, de uma série do log-preços, um mo-
delo é ajustado para corrigir os desvios de curto prazo desta relação de 
equilíbrio. Tal modelo é denominado de modelo de correção de erros 
(MCE). Maiores detalhes podem ser obtidos em Gujarati e Porter (2008) e 
Morettin (2016).
86 Eficiência Energética
No geral, se os resíduos de regressões de séries temporais do tipo 
 forem estacionários, ou seja, I(0), a metodologia de 
regressão usual considerada anteriormente também pode ser aplicada 
para séries temporais não estacionárias.
A	 verificação	de	 cointegração	 entre	 séries	 temporais	 ajuda	 a	descobrir	
se os resíduos são estacionários. Pode-se pensar que ela seja um pré-
teste	no	processo	de	modelagem,	a	fim	de	evitar	situações	de	regressão	
espúria.
É	claro	que,	um	processo	de	verificação	de	cointegração	pode	ser	esten-
dido para um modelo de regressão com k variáveis, ou seja, um modelo 
multivariado ou múltiplo. A este modelo é dada a denominação de regres-
são de cointegração e, aos parâmetros associados, o nome de parâme-
tros de cointegração. 
A forma mais utilizada para testar a cointegração é através de um tes-
te chamado de teste de Dickey-Fuller aumentado. Na econometria, esse 
mesmo teste é conhecido como teste de Engler-Granger (EG) e Engler-
Granger aumentado. O teste de cointegração está implementado em vá-
rios programas computacionais. Cabe a cada pesquisador, escolher o pro-
grama que mais lhe facilita a obtenção dos resultados procurados.
PARA SABER MAIS
O mecanismo de correção de erro, inicialmente utilizado por 
pelo pesquisador J.D. Sargan e posteriormente populariza-
do por Engle e Granger, tem o propósito de corrigir o dese-
quilíbrio entre séries temporais. Um teorema importante, 
conhecido como teorema de representação de Granger, 
afirma	que,	se	duas	variáveis	Y	e	X	são	cointegradas,	a	rela-
ção entre as duas pode ser expressa como um mecanismo 
de correção de erro.
Eficiência Energética 87
Existem vários exemplos clássicos de relação espúria entre conjuntos 
de dados, por exemplo, a correlação entre gastos com ciência/tecno-
logia e suicídios por enforcamento, estrangulamento e sufocamento 
nos Estados Unidos, em uma pesquisa realizada foi apresentado o 
valor igual a 0.99. Este número indica forte associação entre esses 
dois dados e, de forma positiva, ou seja, quando um cresce, o outro 
também cresce. Perceba que uma coisa não tem relação alguma com 
a outra na prática. No entanto, quando isso ocorre em resultados de 
pesquisa quantitativa, é um caso de relação espúria entre informa-
ções.	Você	consegue	exemplificar	algo	parecido?	Pense	sobre	isso.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
3. Considerações Finais
• Definimos	análise	multivariada	e	as	principais	técnicas	existentes.
• Apresentamos análise de regressão múltipla e sua notação matricial.
• Discorremos sobre o problema de causalidade e a sua relação com 
a exogeneidade.
• Foi apresentado o problema de cointegração entre séries temporais 
e alguns procedimentos para solucioná-lo.
Glossário
• Nível de significância: probabilidade de rejeitar a hipótese do teste 
estatístico quando na verdade não deve ser rejeitada (erro tipo I).
• Regressão espúria: relação estatística existente entre duas variá-
veis, porém, onde não existe nenhuma relação causa-efeito entre 
elas. Essa relação pode ocorrer por causa de uma terceira variável.
88 Eficiência Energética
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 05
1. As variáveis dependente e independentes de um modelo 
de regressão também são conhecidas por outra denomi-
nação. Assinale a alternativa que contém a denominação 
correta para essas variáveis, respectivamente. 
a) Exógena e endógena.
b) Covariável e variável.
c) Endógena e exógena.
d) Covariável e resposta.
e) Dependente e independente.
2. Se um problema de análise multivariada possuir três vari-
áveis independentes, quantos parâmetros deverão ser es-
timados para construir um modelo de regressão múltipla?
a) Quatro.
b) Três.
c) Cinco.
d) Seis.
e) Dois.
3. Quantos tipos de exogeneidade existem na literatura da 
econometria? 
a) Um.
b) Dois.
c) Três.
d) Quatro.
e) Cinco.
Eficiência Energética 89
Referências Bibliográficas
CARNEIRO, F. G. A metodologia dos testes de causalidade em economia. Brasília: 
Universidade de Brasília (Departamento de Economia), 1997. Disponível em: <www.
angelfire.com/id/SergioDaSilva/causal.pdf>. Acesso em: 08 julho 2018.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 
924p.
HAIR, J.F. et al. Análise multivariada de dados. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
688 p.
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: 
Portal de livros abertos da USP, 2016. Disponível em < www.producao.usp.br/bitstream/ 
handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>.
Acesso em: 27 de maio de 2018.
MORETTIN, P.A. Econometria financeira:	um	curso	em	séries	temporais	financeiras.	
3 ed. São Paulo: Blucher, 2016, 403p.
Gabarito – Tema 05
Questão 1 – Resposta: C 
As variáveis dependente e independentes de um modelo de re-
gressão também são conhecidas como endógenas e exógenas, 
respectivamente.
Questão 2 – Resposta: A 
Se um problema de análise multivariada possuir três variáveis inde-
pendentes, deverão ser estimados quatro parâmetros em um mode-
lo de regressão múltipla.
Questão 3 – Resposta: C 
Existem três tipos de exogeneidade na literatura da econometria: 
fraca, forte e super.
http://www.angelfire.com/id/SergioDaSilva/causal.pdf
http://www.angelfire.com/id/SergioDaSilva/causal.pdf
http://www.livrosabertos.sibi.usp.br/portaldelivrosUSP/catalog/book/73
http://www.livrosabertos.sibi.usp.br/portaldelivrosUSP/catalog/book/73
Eficiência Energética 90
TEMA 06
MODELOS COM VARIÁVEL 
DEPENDENTE DISCRETA
Objetivos
• Introduzir os modelos com variável dependente dis-
creta (categórica).
• Apresentar o modelo LOGIT.
• Apresentar o modelo PROBIT.
Eficiência Energética 91
Introdução
Os modelos de regressão apresentados até aqui têm em comum que a 
variável dependente é quantitativa e as variáveis independentes podem 
ser quantitativas ou qualitativas. Noentanto, é possível ter variáveis de-
pendentes de outra natureza.
Uma variável categórica ou qualitativa pode ser medida em um determi-
nado	número	finito	de	categorias	ou	códigos,	diferente	de	uma	variável	
quantitativa que pode ser medida como qualquer valor numérico dentro 
de um determinado intervalo.
Variáveis como raça, gênero, situação ocupacional, status imigratório etc. 
são consideradas variáveis categóricas ou qualitativas. Aquelas que pos-
suem apenas duas categorias, por exemplo, respostas do tipo sim ou não, 
são	classificadas	como	qualitativas	dicotômicas	ou	binárias.
Ao longo da explanação deste conteúdo será mostrado que quando a va-
riável dependente de um modelo de regressão é categórica, muita coisa 
muda. Será preciso rever os pressupostos dados ao modelo, dentre ou-
tras características. Tais mudanças ocorrem, também, dentro da classe 
das variáveis categóricas, pois elas podem se subdividir em categóricas 
nominais e ordinais e os métodos estatísticos utilizados são diferenciados 
para cada tipo.
As variáveis independentes dos modelos de variáveis dependentes cate-
góricas podem ser tanto quantitativas quanto qualitativas. Tal situação 
pode ocorrer desde os modelos mais simples, como os com variável de-
pendente binária, até aqueles com variáveis dependentes com mais de 
duas categorias. É o que será abordado neste texto, assim como serão 
apresentadas aplicações deles.
92 Eficiência Energética
1. Modelo de probabilidade linear
Os modelos de regressão que possuem variável dependente qualitativa 
tem o interesse em obter a probabilidade de algum fenômeno ocorrer, 
como a chance de compra de um imóvel, a obtenção de um emprego etc. 
Por isso, esses modelos, também, são conhecidos como modelos de pro-
babilidade (GUJARATI e PORTER, 2008).
O modelo de regressão com variável dependente categórica mais simples 
que se tem é aquele em que a variável é binária ou dicotômica, ou seja, 
possui apenas duas categorias. Por exemplo, a variável status de ocupa-
ção de trabalho, é possível considerar que ela possua os níveis “sim” e 
“não” como categorias, para representar se algum indivíduo está empre-
gado ou não.
Considere o seguinte modelo de regressão, com variável dependente ca-
tegórica binária, extraído de Gujarati e Porter (2008, p. 540).
A	partir	deste	modelo	os	autores,	para	exemplificar,	supõem	que	Y = 1 
representa uma variável que informa se uma família possui imóvel e Y = 0 
caso contrário, e a variável independente representa uma variável quan-
titativa da renda familiar.
PARA SABER MAIS
São modelos que constituem uma grande classe de mode-
los, incluindo os modelos de regressão linear usual, mode-
los para variáveis contínuas que não possuem distribuição 
normal, modelos para variáveis respostas discretas, incluin-
do variáveis categóricas. A esse grande conjunto de modelos 
dá-se o nome de modelos lineares generalizados, em que, 
também, estão incluídos os modelos logit e probit.
Eficiência Energética 93
O modelo (1) aparenta ser um modelo usual de regressão linear, no en-
tanto, por ter a variável dependente binária ou dicotômica, é denominado 
modelo de probabilidade linear (MPL). Ele recebe este nome porque o 
valor esperado de Yi condicionado a Xi pode ser interpretado como a pro-
babilidade condicional de o evento ocorrer, isto é, .
O	nome	modelo	de	probabilidade	linear	pode	ser	justificado	ao	observar	
que a equação (1) é uma função linear de X. Supondo que E(ui) = 0, como 
se tem considerado como pressuposto básico, pode-se obter:
A variável Yi	tem	distribuição	de	bernoulli	e,	por	definição,	temos	que	E(Yi) 
= Pi e comparando com (2) é possível obter a seguinte igualdade
ou seja, a esperança condicional do modelo (1) pode ser interpretada 
como a probabilidade condicional de Yi.
Se Pi representa uma probabilidade, seus valores devem estar entre 0 e 1 
e, consequentemente , ou seja, o valor esperado condicio-
nal do modelo também deve estar entre zero e um.
O modelo de probabilidade linear é um modelo razoavelmente simples, 
no entanto, é geralmente inadequado, pois, em muitas situações as pro-
babilidades	podem	estar	abaixo	de	zero	ou	acima	de	1	para	valores	sufi-
cientemente pequenos ou grandes da variável independente. Por conta 
disso, não é muito utilizado quando se tem várias variáveis independen-
tes. Maiores detalhes sobre o modelo de probabilidade linear podem ser 
encontrados em Gujarati e Porter (2008).
2. Modelo logit
O modelo de probabilidade linear, apesar de sua simplicidade, apresen-
ta diversos problemas, em geral, superáveis quando se utiliza mínimos 
quadrados ponderados em vez de mínimos quadrados ordinários para 
94 Eficiência Energética
estimar seus parâmetros. No entanto, o principal problema está no au-
mento linear com relação a X, ou seja, o efeito incremental da variável 
independente permanece constante o tempo todo e, isso não é uma ca-
racterística interessante para um modelo de probabilidade.
Por conta do problema levantado, não detalhado neste texto, é que se 
buscou por outro tipo de modelo para variáveis dependentes categóricas, 
pois, o que se pretende neste tipo de modelagem é: (1) quando Xi aumen-
tar, 	aumentar	também,	mas	nunca	ficar	fora	do	interva-
lo 0-1; e (2) uma relação não linear entre Pi e Xi, ou seja, aproximar-se dos 
limites do intervalo 0-1 a taxas cada vez menores para não ultrapassar o 
intervalo	de	valores	definido	para	uma	probabilidade.
Então, o modelo procurado, de forma geométrica, se assemelha com uma 
curva sigmoide, ou forma de S, a qual é semelhante à função de distribui-
ção acumulada (FDA) de uma variável aleatória. A partir desta informação, 
passou-se a utilizar para modelar regressões com variável dependente 
categórica a FDA.
A	figura	1,	extraída	de	Gujarati	e	Porter	(2008,	p.	550),	mostra	uma	curva	
sigmoide, ou curva em forma de S.
Figura 1 – Curva sigmoide ou função distribuição acumulada (FDA)
Fonte: Gujarati e Porter (2008, p.550).
Eficiência Energética 95
A	questão	que	se	levanta	em	seguida,	depois	de	identificada	a	necessidade	
do uso de uma FDA para modelar dados com variável dependente categó-
rica,	é	“qual	FDA	utilizar?”.	Gujarati	e	Porter	(2008)	afirmam	que,	por	ques-
tões históricas e práticas decidiu-se utilizar as FDAs logística e normal, em 
que a primeira deu origem ao modelo logit e, a segunda ao modelo probit.
Com o uso da curva sigmoide é possível obter a probabilidade de sucesso 
entre zero e um para todos os valores da variável independente de um 
modelo de regressão estimado. A relação entre as variáveis do modelo é 
dada por
para um modelo com uma variável independente. Para modelos de re-
gressão múltipla, ou seja, modelo com duas ou mais variáveis indepen-
dentes, a equação é análoga com alguns ajustes.
PARA SABER MAIS
Função de ligação para um modelo linear geral
O ajuste de um modelo de regressão fornece o valor espera-
do da variável dependente condicionada ao valor da(s) variá-
vel(is) independente(s), denotado por µ = E(Y X). No entanto, 
um modelo linear geral permite uma função da média, deno-
tada g(µ), ao invés de apenas a média µ no modelo. De forma 
geral, um modelo linear geral pode ser escrito como
A função g(µ) é chamada de função de ligação porque liga a 
média da variável dependente às variáveis independentes.
A função de ligação mais simples é a chamada ligação de 
identidade, utilizada, por exemplo, em modelos de regressão 
com variável dependente quantitativa contínua. Para dados 
binários, a função de ligação mais comum é a ligação logit, 
utilizada em modelos de regressão logística.
96 Eficiência Energética
Para a razão P(Y = 1) / [1 – P(Y = 1)]	é	dado	o	nome	de	chance,	a	qual	define	
a chance de sucesso por
Para	exemplificar,	considere	que	P(Y = 1) = 0,75, ou seja, a probabilidade 
de sucesso em ocorrer algum determinado fenômeno é igual 0,75. Então, 
a razão de chance será dada por ,	significando	que	um	sucesso	é	
três vezes mais provável em ocorrer do que um fracasso.
O modelo ajustado em (4) utilizao logaritmo natural, ou seja, com loga-
ritmo com base e	(≈ 2,7182 ...) em sua equação para fornecer um modelo 
linear nos parâmetros. Ao uso do logaritmo natural nesse processo de 
modelagem dá-se o nome de transformação logística, ou, abreviadamen-
te, logit, daí o nome modelo logit ou modelo de regressão logística.
Quando o modelo logit segue um modelo linear, a probabilidade de su-
cesso, ou seja, P(Y = 1) tem a forma de uma curva em forma de S, ou, uma 
curva sigmoide. O parâmetro do modelo indicará se a curva subirá ou 
descerá à medida que a variável independente aumenta. Para um parâ-
metro β positivo, a probabilidade de sucesso P(Y = 1) aumenta à medida 
que os valores da variável independente aumentam e o caso contrário 
ocorre quando a estimativa de β é negativa.
Uma extensão do modelo de regressão logística apresentado até aqui é o 
que se chama de modelo de regressão logística múltipla, que nada mais 
é do que um modelo com mais de uma variável independente. Para este 
modelo, tem-se a seguinte equação.
Eficiência Energética 97
EXEMPLIFICANDO
O exemplo a ser mostrado foi extraído de Gujarati e Porter 
(2008,	p.	544).	A	figura	2	apresenta	dados	de	renda	familiar	
(em milhares de dólares) e uma variável binária indicando 
se	uma	família	possui	imóvel	próprio,	codificado	como	1	se	
possui e, 0 se não possui. A amostra utilizada é composta de 
40 famílias.
Figura	2	–	Dados	fictícios	sobre	renda	e	posse	de	imóvel.
Família y x Família y x Família y x
1 0 8 15 0 6 29 0 11
2 1 16 16 1 19 30 0 10
3 1 18 17 1 16 31 1 17
4 0 11 18 0 10 32 0 13
5 0 12 19 0 8 33 1 21
6 1 19 20 1 18 34 1 20
7 1 20 21 1 22 35 0 11
8 0 13 22 1 16 36 0 8
9 0 9 23 0 12 37 1 17
10 0 10 24 0 11 38 1 16
11 1 17 25 1 16 39 0 7
12 1 18 26 0 11 40 1 17
13 0 14 27 1 20
14 1 20 28 1 18
Fonte: adaptado de Gujarati e Porter (2008, p. 544).
Os dados na forma como estão apresentados, são chamados 
dados individuais, ou seja, são dados apresentados na forma 
mais desagregada possível. Tais dados não podem receber o 
tratamento de estimação pelo método de mínimos quadra-
dos. Então, o método de estimação utilizado é o chamado 
método de máxima verossimilhança, o qual não será deta-
lhado neste texto, mas, pode ser encontrado maior detalha-
mento nos autores de onde este exemplo foi extraído.
98 Eficiência Energética
Outra forma de apresentação dos dados para modelagem logit é a for-
ma de dados agrupados ou replicados. São dados apresentados como 
na	figura	3,	ainda	com	o	exemplo	dos	dados	sobre	renda	e	posse	de	
imóvel próprio.
Figura	3	–	Dados	agrupados	fictícios.
X (em $ mil) Ni ni X (em $ mil) Ni ni
6 40 8 20 70 36
8 50 12 25 65 39
10 60 18 30 50 33
13 80 28 35 40 30
15 100 45 40 25 20
Fonte: Gujarati e Porter (2008, p. 553).
Os dados são apresentados de acordo com os níveis da variável inde-
pendente do modelo, ou seja, dos níveis de renda e o número de famí-
lias que possui imóvel próprio, no caso do exemplo. Em cada nível de 
renda familiar (Xi) há Ni famílias onde ni delas possui imóvel próprio. 
Necessariamente, . A partir dos dados, é possível calcular 
, a frequência relativa que funcionará como estimativa da probabilidade 
Pi para cada Xi. O interesse é utilizar a estimativa da probabilidade no 
modelo
O método de estimação utilizado para dados agrupados é o método de 
mínimos	quadrados	ponderados.	O	Microsoft	Excel®	não	possui	imple-
mentado este método de estimação. Portanto, é necessário a utilização de 
outro programa computacional, como SPSS, STATA, SAS, R, dentre outros.
Gujarati e Porter (2008, p. 555) apresentam os resultados das estimati-
vas. Os autores apresentam com detalhes como obtiveram os valores e 
sugerem o uso do programa STATA para implementação do modelo. O 
modelo ajustado é , onde é a nota-
ção utilizada para representar o modelo logit. Maiores detalhes sobre 
a interpretação dos resultados podem ser encontrados nos autores de 
onde o exemplo foi retirado.
Eficiência Energética 99
LINK
Apresentação dos conceitos e de exemplo no SPSS do uso 
do modelo logit: <https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php 
/3769787/mod_resource/content/1/09_RegressaoLogistica.
pdf>. Acesso em: 15 julho 2018.
3. Modelo probit
É um modelo obtido a partir do uso da função distribuição acumulada 
normal, ao invés da função distribuição acumulada logística, e é conheci-
do como modelo probit ou normit. Para apresentar sua teoria, será utili-
zado	o	conceito	de	variável	latente	ou,	índice	de	utilidade,	conforme	defi-
nido por Gujarati e Porter (2008).
Considere o exemplo apresentado anteriormente sobre renda familiar e 
famílias com posse de imóvel próprio. O índice de utilidade dependerá da 
variável independente que, no caso, é a renda familiar. Considerando tal 
informação, pode-se construir um modelo para tal índice como:
A pergunta que se faz é: como este índice se relaciona com a real decisão 
de posse de imóvel próprio? Considerando como anteriormente, Y = 1 
para uma família com imóvel próprio e Y = 0 para uma família que não 
possui imóvel próprio.
É razoável supor a existência de um nível crítico ou limiar do índice criado, 
denotado por Ii*, onde, se o índice criado Ii ultrapassar Ii*,	pode-se	afirmar	
que	uma	família	possui	imóvel	próprio,	caso	contrário,	a	afirmação	não	
poderá	ser	confirmada.
Assim como a variável Ii não é diretamente observável, o nível crítico Ii* 
também não o será. No entanto, a ele será atribuído o pressuposto de 
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3769787/mod_resource/content/1/09_RegressaoLogistica.pdf
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3769787/mod_resource/content/1/09_RegressaoLogistica.pdf
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/3769787/mod_resource/content/1/09_RegressaoLogistica.pdf
100 Eficiência Energética
seguir uma distribuição normal com média e variância constante. Tal 
pressuposto permitirá a estimação dos parâmetros do modelo proposto 
e, também, da variável Ii .
Considerando o pressuposto de normalidade, a probabilidade de Ii* ser 
menor que Ii pode ser calculada pela função distribuição acumulada nor-
mal padrão1 por
ASSIMILE
A variável Zi é usualmente utilizada para representar uma va-
riável aleatória com distribuição normal padrão, ou seja, com 
média zero e variância unitária.
Gujarati e Porter (2008, p. 564) mostram a curva da função distribuição 
acumulada para um modelo probit, a qual é replicada abaixo.
Figura 4 – Modelo probit
Fonte: Gujarati e Porter (2008, 564).
(a) Dado Ii, lê-se Pi a partir da ordenada.
(b) Dado Pi, lê-se Ii a partir da abscissa.
1 Função probabilística normal com média zero e variância igual a 1.
Eficiência Energética 101
O termo Pi representa a probabilidade de um evento ocorrer condiciona-
do a um valor de Xi, no caso do exemplo utilizado, representa a probabi-
lidade de uma família possuir um imóvel próprio, a qual é medida pela 
área da curva normal padrão que se estende de –∞ até Ii segundo a sua 
renda familiar, como mostra a Figura 4(a).
A obtenção de informação sobre o índice de utilidade Ii, assim como dos 
parâmetros	do	modelo,	os	coeficientes	β0 e β1, ocorre ao ser tomado o 
inverso da equação dada em (9) para obter o seguinte.
em que, F –1 é o inverso da função distribuição acumulada normal.
A obtenção das estimativas dos parâmetros e do índice de utilidade Ii de-
penderá de como os dados estarão organizados, agrupados ou não e, as-
sim como para o modelo logit, faz-se necessário do uso de um programa 
computacional apropriado para esta metodologia, tais como, já citados, o 
SPSS, SAS, STATA, R, etc.
A escolha entre logit e probit é um tanto arbitrária, pois, ambos conse-
guem tratar dados de forma semelhante. No geral, os pesquisadores es-
colhem o modelo logit por ter um tratamento matemático mais simples 
que o probit.
Modelagem de dados com variável dependente discreta é comum 
em diversas áreas de pesquisa, desde área da saúde, economia, en-
genharias, etc. Você consegue pensar em um conjunto de dados que 
poderia ser utilizado para construir ummodelo de regressão cuja 
variável dependente seja categórica?
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
102 Eficiência Energética
4. Considerações Finais
• Foram introduzidos conceitos básicos de modelos de regressão com 
variável dependente categórica.
• Foi apresentado o modelo de probabilidade linear. Apesar de ser de 
fácil tratamento, esse modelo apresenta, em muitos casos, estimati-
vas	de	probabilidades	fora	do	intervalo	de	definição	de	uma	medida	
de probabilidade (0 a 1). Por isso, acaba sendo pouco utilizado.
• Foi apresentado o modelo logit e um exemplo numérico. Esse mode-
lo supera o problema de estimar valores de probabilidade fora do 
intervalo	de	definição	(0	e	1)	e	tem	um	tratamento	matemático	razo-
avelmente simples.
• Foi apresentado o modelo probit. Assim como o modelo logit, supe-
ra a limitação de um modelo de probabilidade linear. A diferença 
em relação ao logit é que faz uso da função distribuição acumulada 
normal em vez da logística.
Glossário
• Dicotômica: algo que é dividido em dois.
• Sigmóide: que tem a forma do sigma grego ou da letra S.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 06
1. Qual a distribuição de probabilidade de uma variável depen-
dente dicotômica de um modelo de probabilidade linear? 
a) Binomial.
b) Normal.
c) Poisson.
d) Bernoulli.
e) Logística.
Eficiência Energética 103
2. Qual o nome da função utilizada para linearizar a relação 
entre a variável dependente e os parâmetros de um mo-
delo de regressão categórica. 
a) Função linear.
b) Função logística.
c) Função distribuição.
d) Função de probabilidade.
e) Função de ligação.
3. Que tipo de distribuição representa uma curva sigmoide?
a) Função distribuição acumulada.
b) Função de probabilidade.
c) Função binomial.
d) Função de regressão.
e) Função de Bernoulli.
Referências Bibliográficas
AGRESTI, A.; FINLAY, B. Métodos estatísticos para as ciências sociais. 4. ed. Porto 
Alegre: Editora Penso, 2012. 664 p.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 
924p.
HAIR, J.F. et al. Análise multivariada de dados. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2009. 
688 p.
Gabarito – Tema 06
Questão 1 – Resposta: D 
A variável dependente dicotômica de um modelo de probabilidade 
linear tem distribuição de Bernoulli.
104 Eficiência Energética
Questão 2 – Resposta: E 
A função que liga a variável dependente de um modelo de regressão 
com as variáveis independentes e o torna linear nos parâmetros é 
chamada de função de ligação.
Questão 3 – Resposta: A
A curva sigmoide representa uma função de distribuição acumulada 
de uma variável aleatória.
Eficiência Energética 105
TEMA 07
TÓPICOS ESPECIAIS EM 
ECONOMETRIA
Objetivos
• Apresentar modelos de dados de contagem.
• Apresentar modelos com dados em painel – análise 
longitudinal.
• Apresentar modelos de duração – survival analysis.
106 Eficiência Energética
Introdução
Neste texto, serão apresentados alguns modelos especiais de regressão, 
utilizados	em	situações	específicas,	as	quais	 serão	descritas	através	de	
exemplos.
O primeiro tipo de modelo a ser descrito será um que trata de dados de 
contagem	para	a	variável	dependente	do	modelo,	a	qual	recebe	influência	
de outras variáveis, as chamadas variáveis independentes.
O segundo modelo a ser apresentado será aquele que une duas dimen-
sões importantes de bancos de dados, são os chamados dados em painel 
e, os modelos apropriados para dados com essa estrutura são chamados 
modelos de regressão de dados em painel. Nos dados organizados na for-
ma de painel, a mesma unidade amostral de corte transversal (uma famí-
lia, uma empresa, um estado, observada em um momento) é acompanha-
da ao longo do tempo. Ou seja, os dados em painel têm uma dimensão 
espacial e outra temporal (GUJARATI e PORTER, 2008).
O terceiro tipo especial de modelo de regressão é denominado por mo-
delo de duração ou análise de sobrevida (survival analysis), o qual é uma 
classe de modelos que estuda a duração de tempo até a ocorrência de 
um evento de interesse qualquer. Inicialmente, estes modelos foram uti-
lizados para estudar mortes em geral, na área de bioestatística, por isso, 
o nome inicial de “análise sobrevivência”. No entanto, esses modelos, atu-
almente, são úteis para analisar diversos tipos de eventos nas ciências 
sociais, naturais, e dentre outras áreas de pesquisa.
A literatura é vasta sobre estes tipos de modelos, os quais, hoje em dia, 
são	classificados	em	uma	grande	classe	de	modelos	de	regressão,	os	mo-
delos lineares generalizados.
Eficiência Energética 107
1. Modelos de dados de contagem
Os dados categóricos ou discretos em muitas situações são obtidos por 
contagens e são distribuídos, conforme uma distribuição de Poisson. 
Como exemplo, podemos citar o número de acessos ao ambiente virtual, 
a quantidade de viagens feitas durante um ano, a quantidade de parcelas 
de uma dívida em um determinado período e assim por diante.
Em muitos modelos de regressão a variável dependente, também, pode ser 
do tipo contagem. Esta característica, como mostrado no parágrafo ante-
rior, delimita os possíveis valores da variável fazendo com que ela assuma 
um	número	finito	de	valores	e,	em	algumas	situações,	os	modelos	de	dados	
de contagem ainda lidam com casos de ocorrências raras como, por exem-
plo, ganhar na loteria mais de uma vez em um intervalo de duas semanas.
Como dito, a distribuição de probabilidade apropriada para modelar da-
dos de contagem é a distribuição de Poisson, cuja função é dada por:
em que, f (Y) representa a probabilidade da variável Y assumir algum valor 
inteiro	não	negativo	em	específico	e,	Y ! representa o número fatorial de 
Y, que é obtido por Y ! = Y · (Y – 1) · (Y – 2) · ... · 2 · 1.
Suponha que o valor esperado de uma variável dependente Yi com distri-
buição de Poisson seja igual a µi, então sua variância, também, será igual 
µi (uma propriedade desta distribuição). Dado isto, o modelo de regres-
são de Poisson pode ser escrito da seguinte maneira.
onde, as variáveis Yi são independentemente distribuídas com distribui-
ção de Poisson de média µi para cada indivíduo da amostra, cujo mode-
lo de forma mais explícita, em termos de suas variáveis independentes, 
pode ser expresso por:
108 Eficiência Energética
considerando que as variáveis independentes Xi	sejam	influentes	no	va-
lor médio da variável dependente Yi. Como exemplo, suponha que uma 
determinada quantidade de visitas técnicas realizadas por um grupo de 
engenheiros a um determinado local dependa da quantidade de tempo 
disponível	da	equipe,	do	recurso	financeiro	disponível	e	do	número	de	
dias necessários de afastamento para a realização da visita.
Para realizar a estimação, o modelo de regressão é escrito como
sendo µi substituído pela equação (3). Com a explicitação do modelo, é 
possível observar que será necessária uma estimação por um modelo não 
linear. No entanto, é possível torná-lo em linear aplicando uma função de 
ligação do tipo logarítmica em base natural (In).
EXEMPLIFICANDO
Para uma aplicação da teoria aqui apresentada considere o 
exemplo extraído de Gujarati e Porter (2008, p. 574), os quais 
utilizaram uma amostra de 100 indivíduos com 65 anos ou 
mais.	 O	 interesse	 do	 estudo	 era	 verificar	 a	 frequência	 de	
quedas (Y) em função do gênero (X2, 1 para mulher e 0 para 
homem), um índice de equilíbrio (X3) e um índice de força 
(X4). Quanto maior for o índice de equilíbrio, menos propen-
so a cair será o indivíduo e, quanto maior for o índice de for-
ça, mais forte ele será. Outra variável (X1), também incluída 
no processo de modelagem, se refere a uma intervenção 
com instruções educativas (valor 0) para evitar quedas ou, 
uma intervenção com ações educativas mais a realização de 
exercícios aeróbicos (valor 1). A amostra de sujeitos foi divi-
dida aleatoriamente entre os dois métodos de intervenção. 
Eficiência Energética 109
Gujarati e Porter (2008, p. 574) citam ter feito uso do progra-
ma Eviews para realizar o ajuste do modelo. Serão apresen-
tados apenasos resultados da modelagem. Os dados podem 
ser obtidos no site do livro de referência, de onde o exemplo 
foi retirado.
Por ser um procedimento com certa complexidade, a obten-
ção das estimativas dos parâmetros do modelo é conseguida 
com uso de programa computacional apropriado, tais como 
o já citado Eviews, SPSS, SAS, R Minitab, Statistica, etc. O mo-
delo ajustado encontrado é replicado na tabela 1.
Tabela 1 – Regressão de Poisson ajustada por Eviews.
Variável dependente: Y
Amostra: 1-100
Convergência obtida após 7 iterações
Coeficientes β Erro Padrão Estatística t Probabilidade
C(0) 0,37020 0,3459 1,0701 0,2873
C(1) -1,10036 0,1705 -6,4525 0,0000
C(2) -0,02194 0,1105 -0,1985 0,8430
C(3) 0,01066 0,0027 3,9483 0,0001
C(4) 0,00927 0,00414 2,2380 0,0275
R2 = 0,4857 R2 ajustado = 0,4640
Log-Verossimilhança = -197,2096 Estatística Durbin-Watson = 1,7358
Fonte: Gujarati e Porter (2008, p.575)
Com os resultados da Tabela 1, replicados de Gujarati e Porter 
(2008, p. 575), podemos chegar às seguintes interpretações:
• A estimativa obtida se trata do valor médio µ̂i para 
cada indivíduo da amostra, ou seja: 
, a qual pode ser obtida a par-
tir da exponenciação da equação (3).
110 Eficiência Energética
• Para encontrar o valor médio estimado para o i – ésimo 
indivíduo, basta introduzir os valores das diversas variá-
veis da amostra correspondentes a cada um dos sujeitos.
• Como exemplo, para um indivíduo da amostra cujos 
valores são: Y = 4,X1 = 0,X2 = 1,X3 = 50 e X4 = 56 ao subs-
tituir esses valores na equação µ̂i = e
, será obtido o valor 3,3538 
como valor médio estimado.
• Se o interesse é estimar algum valor de probabilidade, 
por exemplo, para o mesmo indivíduo do exemplo aci-
ma e se quisermos saber qual a probabilidade de ele 
sofrer menos de cinco quedas em um ano, podemos 
obter o resultado da seguinte maneira:
Portanto, para um sujeito com os valores na amostra de Y = 
4,X1 = 0,X2 = 1,X3 = 50 e X4 = 56, tem probabilidade 0,7491 de 
sofrer menos de cinco quedas em um ano, ou seja, quase 
75% de chance de ocorrer.
LINK
Confirma	outros	modelos	para	Dados	de	contagem,	visitando	
o sítio indicado. Disponível em: <http://conteudo.icmc.usp.
br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0281-2-17/estatistica.
pdf>. Acesso em: 24 de julho de 2018.
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0281-2-17/estatistica.pdf
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0281-2-17/estatistica.pdf
http://conteudo.icmc.usp.br/pessoas/andretta/ensino/aulas/sme0281-2-17/estatistica.pdf
Eficiência Energética 111
2. Modelos com dados em painel – análise longitudinal
Os modelos com dados em painel são construídos por dados organizados 
em duas dimensões, a espacial e a temporal. Esses dados são ditos em 
painel quando a mesma unidade amostral (uma família, uma empresa, 
etc.) é acompanhada por dois períodos ou mais.
Outros nomes são atribuídos para dados em painel, como dados empi-
lhados (do inglês, pooled data, com o agrupamento das observações de 
séries temporais e de corte transversal), combinação de séries temporais 
e dados de corte transversal, painel de microdados (menor nível de desa-
gregação de dados), dados longitudinais (um estudo ao longo do tempo 
de uma variável ou grupo de sujeitos), análise histórica de eventos (estu-
dar o movimento ao longo do tempo de indivíduos através de sucessivos 
estados ou condições), e análise de corte (GUJARATI e PORTER, 2008). O 
nome a ser utilizado neste texto será aquele adotado por Gujarati e Porter 
(2008) “modelos de regressão com dados em painel”.
Os autores Gujarati e Porter (2008) enumeraram algumas vantagens do 
uso de dados em painel, as quais são apresentadas a seguir.
1. Informado que dados em painel se referem a indivíduos, empresas, 
estados, países, etc., com o passar do tempo, existe uma tendência 
a haver heterogeneidade nessas unidades. As técnicas de estimação 
dos dados em painel podem levar em consideração a heterogeneida-
de	explicitamente,	permitindo	variáveis	específicas	ao	sujeito.
2. Uma combinação de séries temporais com observações de corte trans-
versal torna os dados em painel mais informativos, com maior variabi-
lidade, menos colinearidade entre variáveis, mais graus de liberdade e 
mais	eficiência	em	seus	resultados.
3. Com o estudo de repetidas observações em corte transversal, os da-
dos em painel tornam-se mais adequados para avaliar a dinâmica des-
ta mudança, como períodos de desemprego, rotatividade no emprego 
e mobilidade da mão de obra.
112 Eficiência Energética
4. Com dados em painel é possível detectar e medir melhor os efeitos 
que não podem ser observados em um corte transversal puro ou em 
uma série temporal pura. Por exemplo, os efeitos das leis de salário 
mínimo sobre o emprego e ganhos, os quais poderão ser estudados 
mais adequadamente com essa estrutura de dados.
5. Os dados em painel permitem estudar modelos de comportamento 
mais complicados. Por exemplo, fenômenos como economias de es-
cala e mudança tecnológica podem ser mais bem analisados pelos 
dados em painel do que apenas pelo corte transversal ou unicamente 
por séries temporais.
Com as vantagens apresentadas, os modelos para dados em painel podem 
trazer resultados muito enriquecedores nas pesquisas econômicas e em 
pesquisas de outras áreas. É claro que este tipo de modelagem também tem 
suas limitações, assim como qualquer metodologia de pesquisa existente.
ASSIMILE
Notação para dados de Painel. Os dados em painel consis-
tem na observação dos mesmos n sujeitos de uma pesquisa 
em dois ou mais períodos de tempo T. Suponha que uma 
amostra de dados contenha observações sobre as variáveis 
X e Y, estes podem ser representados como (Xit, Yit), i = 1, ... n 
e T = 1, ... T, onde o subscrito i refere-se à unidade amostral 
em observação e o subscrito t refere-se ao período de tempo 
em que foi observada.
A	metodologia	de	dados	em	painel	possui	termos	específicos	para	a	situa-
ção de ausência de dados. Um painel é dito balanceado ou equilibrado se 
contém todas as observações para cada variável da amostra, ou melhor, 
se para cada unidade amostral contiver todos os dados para todo o perí-
odo coletado. Já um painel é chamado desbalanceado ou desequilibrado 
quando não satisfaz essa condição, ou seja, quando há ausência de algum 
dado para algum período.
Eficiência Energética 113
Outros termos utilizados para dados em painel são painel curto e painel 
longo, em que, um painel é dito curto quando o número de unidades 
amostrais ou sujeitos n é maior que o número de períodos de tempo T. Já 
um painel é dito longo quando o número de períodos T é maior que uni-
dades observacionais n.
As diversas técnicas de estimação de parâmetros para dados em painel 
deverão ser escolhidas a partir do tipo de painel disponível para o ajuste 
do modelo. A seguir serão apresentados os tipos de modelagem disponí-
veis, segundo Gujarati e Porter (2008):
1. Modelo de mínimos quadrados ordinários para dados empilhados 
(pooled data). É construído quando se empilha todas as observações 
desconsiderando a natureza de corte transversal (coleta em um perío-
do, como se fosse um retrato do momento) e de séries temporais. Ou 
seja, é uma regressão construída como os modelos usuais, já vistos 
em aulas anteriores.
2. Modelo de mínimos quadrados com variáveis dummies (binárias) 
para	efeitos	fixos	(MQVD).	Todas	as	observações	são	empilhadas,	no	
entanto, é criada uma variável dummy para indicar o grupo ou fator 
de	estratificação	da	amostra.	Como,	por	exemplo,	uma	amostra	que	
analisa	as	cinco	regiões	geográficas	brasileiras,	cria-se	cinco	colunas	
na	amostra	com	valores	0	e	1	para	identificar	cada	uma	das	regiões	
Norte, Nordeste, Sudeste, Sul e Centro-Oeste. Esta ação fará com que 
cada grupo ou fator tenha seu próprio intercepto na equação de re-
gressão estimada.
3. Modelo	de	efeitos	fixos	dentro	de	um	grupo	(fixed effects within-group 
model). As observações são combinadas, ou empilhadas, no entan-
to,para cada grupo ou fator considerado, as variáveis são expressas 
como um desvio de seu valor médio e, a partir disto, é estimada uma 
regressão de mínimos quadrados ordinários com esses valores.
4. Modelo de efeitos aleatórios (MEA). Um pouco semelhante ao modelo 
MQVD, diferenciando que, em vez de considerar que cada grupo ou 
fator tenha seu próprio intercepto, é pressuposto que os valores de 
114 Eficiência Energética
intercepto sejam coletados aleatoriamente de uma população maior 
de grupos ou fatores. Vale ressaltar que, também, é possível conside-
rar	modelos	de	efeitos	fixos	temporais	no	modelo.
As técnicas de estimação não serão detalhadas neste texto. No entan-
to, os interessados por maiores detalhes podem encontrar na referência 
Gujarati e Porter (2008).
3. Modelos de duração – survival analysis
São modelos em que a duração de tempo até a ocorrência de um evento 
de interesse é analisada. Na literatura, estes tipos de modelos recebem 
diversos nomes, tais como modelos de eventos históricos, modelos de 
confiabilidade	ou	taxa	de	falha,	análise	de	sobrevida,	etc.	Eles	são	utiliza-
dos, por exemplo, para medir o tempo em que uma pessoa permanece 
desempregada, o tempo de duração de um casamento ou o tempo em 
que uma pessoa trabalhou até se aposentar.
Como nos demais modelos de regressão, a modelagem do tempo para a 
ocorrência	de	algum	evento	específico	inclui	o	efeito	de	variáveis	indepen-
dentes. Considere o exemplo apresentado por Agresti e Finlay (2012, p. 578), 
onde um modelo para o tempo antes de uma nova prisão, de um indivíduo 
que já tinha sido preso antes, é elaborado. Como variáveis independentes 
são considerados o número de prisões anteriores, se o sujeito está empre-
gado, o seu estado civil, a sua idade ao ser solto e o seu nível educacional.
PARA SABER MAIS
Os modelos de duração são apropriados para analisar dados 
em painel. No entanto, a diferença para os modelos para da-
dos em painel é que, a variável dependente para os modelos 
de duração é o tempo transcorrido até que um determina-
do evento ocorra, enquanto que, para modelos de dados em 
painel, a variável dependente pode ser outra medida qual-
quer, tanto quantitativa quanto qualitativa.
Eficiência Energética 115
Segundo Agresti e Finlay (2012), os primeiros modelos de duração foram 
construídos por volta de 1980, na área de bioestatística, com o propósito 
de modelar o tempo de sobrevivência de um paciente submetido a um 
tratamento	médico	específico.	Por	isso,	inicialmente,	esses	modelos	rece-
beram o nome de análise de sobrevivência.
Existem duas situações complicadoras em modelos de duração que não 
ocorrem em modelos de regressão usual:
1. Pode ser que o estudo se encerre sem que, para algum sujeito da 
amostra, o evento tenha ocorrido, fazendo com que o tempo real para 
sua	ocorrência	não	tenha	sido	observado.	Para	exemplificar,	conside-
re um estudo realizado para avaliar o efeito de algumas variáveis in-
dependentes na idade de aposentadoria, o qual poderia fazer uso de 
uma amostra com pessoas de 65 anos ou mais. Mesmo assim, algu-
mas pessoas dessa amostra podem não estar aposentadas. Considere 
como exemplo, o caso de uma pessoa de 68 anos que está na amos-
tra e, não está na situação de aposentada. Uma conclusão inicial que 
pode ser feita é que, a idade mínima para esta pessoa se aposentar 
será de 68 anos, sua atual idade. Situações desse tipo para dados de 
modelos de duração são chamadas censuradas. Existe outro tipo de 
censura, a qual ocorre quando ocorre uma descontinuação do indi-
víduo no estudo sem que tenha ocorrido o evento de interesse. Por 
exemplo, a pessoa de 68 anos do exemplo pode ir a óbito antes de se 
aposentar. Portanto, ela foi descontinuada do estudo sem que o even-
to “início da aposentadoria” tenha ocorrido.
2. Algumas variáveis independentes podem mudar ao longo do tempo do 
estudo. Como exemplo, considere um estudo sobre reincidência crimi-
nal, apresentado em Agresti e Finlay (2012, p. 578). O modelo elaborado 
tem como variável dependente o tempo até a prisão pela segunda vez 
ou mais e pode utilizar como variáveis independentes se o indivíduo 
está trabalhando, se está casado, etc. Para um indivíduo em particular 
da amostra, algum valor dessas variáveis pode mudar ao longo de sua 
realização. Em situações semelhantes a esta para variáveis indepen-
dentes, dá-se a denominação de variável dependente no tempo.
116 Eficiência Energética
Os métodos estatísticos utilizados para construir modelos de duração 
possuem procedimentos especiais para lidar com as duas situações aci-
ma apresentadas. Maiores detalhes sobre os procedimentos podem ser 
encontrados em Agresti e Finlay (2012) e Gujarati (2011).
PARA SABER MAIS
Existem três métodos de análise de dados de duração: não 
paramétrico, paramétrico e parcialmente paramétrico, tam-
bém conhecido como semiparamétrico. No método não pa-
ramétrico não se faz qualquer tipo de suposição sobre a dis-
tribuição de probabilidade do tempo de sobrevida, enquan-
to que, no método paramétrico faz-se necessário recorrer a 
este pressuposto. O método não paramétrico é utilizado em 
análise de tábuas de vida, as quais foram, e ainda são muito 
utilizadas	pelas	ciências	atuariais	e	demográficas.	O	método	
paramétrico é muito utilizado para análise de dados de tem-
po contínuo, o qual vai depender da distribuição de proba-
bilidade assumida. Dentre as utilizadas estão, a distribuição 
exponencial, Weibull, lognormal ou loglogística. Maiores de-
talhes podem ser encontrados em Gujarati (2011).
Os modelos de regressão podem ser aplicados em diversas áreas de 
pesquisas.	A	depender	das	especificidades	de	cada	uma	e	do	deline-
amento feito pelo pesquisador ao planejar a pesquisa, um determi-
nado tipo de modelo é mais apropriado que outros. Em se tratando 
da modelagem de dados de contagem, você consegue pensar em 
um exemplo onde possa ser aplicada a regressão de Poisson? Pense 
sobre isso!
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
Eficiência Energética 117
4. Considerações Finais
• Foram apresentados casos especiais de modelos de regressão, 
como os modelos para dados de contagem, modelos para dados 
em painel e modelos de duração.
• Foram apresentados modelos de regressão para dados de conta-
gem, úteis quando a variável dependente é do tipo contagem e, por 
isso, apropriada para ser ajustada por uma distribuição de probabi-
lidade Poisson.
• Foram apresentados modelos de regressão para dados em painel. 
Estrutura de dados muito rica em informações, pois, apresenta 
características temporais ou longitudinais e, em corte transversal, 
ou seja, dados atemporais. É uma estrutura complexa de ser traba-
lhada, por isso, requer modelos mais elaborados.
• Foram apresentados modelos de regressão para dados de dura-
ção, úteis para modelar o tempo até a ocorrência de um evento de 
interesse.
Glossário
• Microdados: Representa a menor fração de um dado qualquer. É 
a partir de um microdado que é construída uma informação.
• Dado transversal: dado coletado em um único momento do tempo.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 07
1. Modelos para dados em painel são apropriados para da-
dos coletados em dimensões de medidas. Quantas dimen-
sões possuem os dados em painel? 
118 Eficiência Energética
a) Uma.
b) Duas.
c) Três.
d) Quatro.
e) Cinco.
2. Modelos para dados de contagem são apropriados para 
dados com qual distribuição de probabilidade? 
a) Binomial.
b) Normal.
c) Poisson.
d) Exponencial.
e) Logística.
3. A análise do tempo até a ocorrência de um evento de inte-
resse	que	é	influenciado	por	alguns	fatores	deve	ser	feita	
por qual modelo de regressão? 
a) Usual.
b) Poisson.
c) Painel.
d) Normal.
e) Duração.
Referências Bibliográficas
AGRESTI, A.; FINLAY, B. Métodos estatísticos para as ciências sociais. 4. ed. Porto 
Alegre: Editora Penso, 2012. 664 p.
GUJARATI, D.N. Econometrics by example. New York: Palgrave Macmillan, 2011. 416p.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 
924p.
STOCK, J. H.;WATSON, M. W. Econometria. São Paulo: Pearson Brasil, 2004. Disponível 
em: < http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788588639140 
/pages/-20>. Acesso em: 21 julho 2018.
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788588639140 /pages/-20
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788588639140 /pages/-20
Eficiência Energética 119
Gabarito – Tema 07
Questão 1 – Resposta: B
Os dados coletados em painel possuem duas dimensões: temporal 
e espacial.
Questão 2 – Resposta: C
Modelos para dados de contagem são apropriados para dados com 
distribuição de Poisson.
Questão 3 – Resposta: E
A análise do tempo até a ocorrência de um determinado evento que 
é	influenciado	por	alguns	fatores	deve	ser	realizada	por	modelos	de	
duração.
Eficiência Energética 120
TEMA 08
ECONOMETRIA DE MERCADOS 
FINANCEIROS
Objetivos
• Apresentar modelos de mensuração de risco.
• Apresentar modelos dinâmicos de estrutura a termo 
de taxas de juros.
• Apresentar modelos em tempo contínuo.
• Descrever sobre volatilidade realizada e derivativos.
Eficiência Energética 121
Introdução
Em qualquer atividade que façamos, em qualquer área de nossas vidas, 
sempre existe algum tipo de risco associado a ela. Por exemplo, na esco-
lha de sua formação escolar, em algum momento da vida foi necessário 
escolher, por exemplo, o curso superior que iria ser cursado para cons-
truir	uma	carreira	profissional.	Nesse	momento,	havia	um	risco	associa-
do! Por exemplo, de não se adequar ao curso escolhido.
Portanto, não há como eliminar riscos da vida cotidiana! No entanto, é 
possível fazer estimações de quanto risco se deseja ou se permite correr 
ao tomar uma decisão ou outra, para que não sejamos prejudicados de 
forma demasiada, pois o risco também tem seu lado positivo. Ele, de certa 
forma, é um estimulante.
No	mercado	financeiro,	os	riscos	são	muito	mais	visíveis	e	notórios.	Isso	
tudo por conta da transparência que existe nesse ambiente. As tecnolo-
gias também são responsáveis por esse processo de transparência, por 
ajudarem	a	refletir,	quase	que	de	forma	imediata,	a	demanda	e	a	oferta	
de	títulos	financeiros.
Outro	fator	que	torna	os	riscos	mais	visíveis	no	mercado	financeiro	é	pelo	
fato de os participantes do mercado operarem, em determinadas situa-
ções, “alavancados”, fazendo com que assumam posições de risco supe-
riores ao seu patrimônio.
Neste texto serão apresentados alguns métodos econométricos aplica-
dos	no	mercado	financeiro,	 juntamente	com	aplicações	e	discussão	de	
resultados.
1. Modelos de mensuração de risco
Existem	diversos	tipos	de	risco	no	mercado	financeiro,	como	o	risco	de	
crédito,	 risco	operacional	 e	o	 risco	financeiro	ou	de	mercado,	os	quais	
são os principais tipos estudados na literatura especializada. Neste texto, 
especificamente,	será	estudado	o	risco	de	mercado	financeiro,	o	qual	é	
medido pelo VaR (valor em risco).
122 Eficiência Energética
Duarte	Júnior	(2005,	p.	62)	afirma	que	são	necessárias	algumas	condições	
para uma gestão de riscos de mercado, as quais são apresentadas a seguir:
(1)	O	completo	entendimento	dos	instrumentos	financeiros	(ativos	e	passi-
vos) de interesse, da regulamentação e dos participantes do mercado; (2) A 
organização de bancos de dados que cubram todos os fatores de mercado 
requeridos	para	o	apreçamento	dos	instrumentos	financeiros	em	análise;	
(3)	A	 identificação	de	áreas	de	finanças,	matemática/estatística/econome-
tria,	que	são	importantes	instrumentos	financeiros	sob	consideração	e;	(4)	
A	montagem	de	um	grupo	de	profissionais	que	tragam,	em	conjunto,	um	
equilíbrio	entre	prática	(mercados	financeiros	locais	e	internacionais)	e	teo-
ria	(finanças,	estatística/econometria,	etc.)”.
Os	riscos	financeiros,	segundo	Morettin	 (2016,	p.	181)	“estão	 ligados	às	
variações	de	 variáveis	 financeiras	 (como	 juros	 e	 taxas	de	 câmbio),	 que	
podem	implicar	perdas	financeiras”.
A medida VaR é uma estimativa do quanto uma empresa em situação de 
risco	pode	cair	em	suas	movimentações	financeiras	de	mercado	em	deter-
minado período, como por exemplo, durante o intervalo de um dia. Sua 
análise envolve o cálculo da volatilidade, conceito tratado neste curso no 
tema sobre séries temporais (Tema 2). Sob o ponto de vista empresarial, o 
VaR é uma medida de perda que se associa à ocorrência de eventos extre-
mos,	dado	que	o	mercado	financeiro	permanece	sob	condições	normais.
Em	termos	probabilísticos,	o	VaR	tem	uma	definição	em	que	é	suposto	para	
um determinado período de tempo t a existência de interesse na mensura-
ção do risco para h períodos no futuro, ou seja, “é uma medida da variação 
potencial máxima do valor de um ativo (ou carteira de ativos), sobre um 
período	pré-fixado,	com	dada	probabilidade”	(MORETTIN,	2016,	p.	182).
Um exemplo de aplicação do VaR, apresentado em Duarte Júnior (2005, p. 
64), fala sobre “uma carteira cujo VaR era de R$ 10 milhões para um hori-
zonte	de	investimento	de	um	dia,	com	um	nível	de	significância	de	95%,	a	
probabilidade de sofrer uma perda superior a R$ 10 milhões seria de 5%”.
Eficiência Energética 123
Para	uma	definição	mais	formal	do	VaR,	é	necessário,	também,	definir	os	
dois	tipos	de	posições	financeiras	existentes.	Morettin	(2016,	p.	182)	apre-
senta	a	definição	dos	dois	 tipos	de	posições	como	“uma	posição	finan-
ceira comprada (ou long)	significa	possuir	determinado	ativo	(ou	carteira	
de	ativos).	Uma	posição	financeira	vendida	(ou	short) envolve vender um 
ativo que não se possui”.
Segundo Duarte Júnior (2005) existem duas abordagens para estimar o 
VaR de uma carteira, as quais são apresentadas no quadro a seguir.
Quadro 1 – Tipos de abordagem para estimação do VaR
Abordagem analítica Abordagem de simulação
Baseada no modelo média-variância de 
Markowitz Baseada em simulação
O programa computacional RiskMetrics 
é baseado neste tipo de abordagem
O programa computacional Raroc 2020 
é baseado neste tipo de abordagem
Prós: Prós:
Fácil de implementar por ter baixa com-
plexidade computacional
Baixo risco e de modelagem mais fácil 
para se analisar sensibilidade e realizar 
teste de estresse 
Contras: Contras:
Alto risco de modelagem; difícil de se 
fazer análise de sensibilidade e teste de 
estresse
Difícil de implementar, pois utiliza alta 
complexidade computacional.
Fonte: Adaptado de: <https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/183256/mod_resource/content/1/
Tema_02_03.Risco%20de%20Mercado%20e%20VaR_Slides.pdf>. Acesso em: 01 ago 2018.
Os especialistas da área sugerem que seja utilizada, preferencialmente, a 
abordagem por simulação, principalmente em situações de carteiras com 
não-linearidades. Ainda sugerem que a abordagem analítica seja utilizada 
como uma solução inicial para a estimação do VaR de uma carteira.
Para a implementação de uma abordagem analítica, alguns passos de-
vem	ser	executados,	como	mostra	a	figura	1.	A	sua	implementação,	ba-
sicamente, ocorre através do uso da metodologia RiskMetricsTM, desen-
volvida pelo banco de investimentos J.P. Morgan, o qual faz uso de uma 
técnica estatística conhecida como amortecimento exponencial.
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/183256/mod_resource/content/1/Tema_02_03.Risco%20de%20Mer
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/183256/mod_resource/content/1/Tema_02_03.Risco%20de%20Mer
124 Eficiência Energética
Existem variantes da abordagem analítica em seu processo de implemen-
tação, como por exemplo, as variantes “delta equivalente” e “delta-gama 
equivalente”, dentre outras.
Figura 1 – Passos básicos na abordagem analítica
Fonte: Duarte Júnior (2005, p.70).
A abordagem por simulação também tem variantes que podem ser uti-
lizadas no momento de sua implementação. São elas, a variante “histó-
rica” e a variante “Monte Carlo”. Assim como na abordagem analítica, a 
abordagem por simulação também requer, para sua implementação, a 
realização de uma série de passos básicos, os quais são mostrados nas 
Figuras 2 e 3.
Figura 2 – Passos básicos na abordagemde simulação histórica
Fonte: Duarte Júnior (2005, p.72).
Eficiência Energética 125
Figura 3 – Passos básicos na abordagem de simulação Monte Carlo
Fonte: Duarte Júnior (2005, p.73).
Para apresentar uma aplicação, considere um simples exemplo de cálculo 
do VaR apresentado por Morettin (2016, p. 182).
EXEMPLIFICANDO
A abordagem analítica faz uso da metodologia RiskMetricsTM 
para estimar valores de VaR. Tal metodologia estima a volatili-
dade	de	um	ativo	financeiro	σt2 através de um modelo EWMA 
(amortecimento exponencial). Maiores detalhes sobre o mo-
delo EWMA podem ser encontrados em Morettin (2016).
Suponha que exista uma chance de 95% de que a taxa de câm-
bio Real/USD (dólar americano) não caia em um dia. Suponha 
ainda que, uma empresa tenha 100 milhões de reais aplicados 
num fundo cambial. Calcule a perda potencial sobre esse va-
lor aplicado. Uma série temporal do desvio padrão (volatilida-
de) σt dos retornos da taxa câmbio Real/USD rt pode dar uma 
indicação da sua variação. Admitindo que os retornos sejam 
modelados por rt = σtεt, onde εt~N(0,1), ou seja, está sendo su-
posto que os dados tenham distribuição normal. Admita que 
uma	estimativa	do	desvio	padrão	de	um	dia	específico	seja	σt 
= 0,46%. Então, o VaR pode ser calculado como
126 Eficiência Energética
VaR = (1,65%) σt = (1,65%)(0,46%) = 0,759%.
Portanto, não se espera que a taxa de câmbio caia mais que 
0,759% com 95% de chance. O valor 1,65 é o percentil de or-
dem 0,95 da distribuição normal padrão. Em valores monetá-
rios, o VaR é o valor de mercado da posição multiplicado pelo 
valor obtido acima, ou seja,
Risco = (100 milhões)(0,759%) = 759.000,00 reais.
A conclusão é que em 95% das vezes, não se perderá mais do 
que R$ 759.000,00 em um dia.
Para implementar dados com o intuito de obter o VaR é necessária a uti-
lização de programas computacionais apropriados. Por exemplo, o pro-
grama R com a utilização do pacote “PerformanceAnalytics” ou, o programa 
EVIEWS ou, outro programa apropriado para tal análise.
LINK
Confira	 o	 material	 desenvolvido	 por	 Daniel	 Yudi	 Sasahara	
Kondo, que trata sobre modelos de estimação de volatilidade. 
Disponível em: <http://pro.poli.usp.br/wp-content/uploads 
/2012/pubs/modelos-de-estimacao-das-volatilidades-e-o-
seu-impacto-no-calculo-do-valor-em-risco-de-uma-carteira-
de-ativos-financeiros.pdf>. Acesso em: 01 agosto de 2018.
ASSIMILE
A origem do VaR: O pesquisador Till Guldimann é considera-
do como o criador do termo “value at risk” ou valor em risco, 
no	final	dos	anos	80,	enquanto	liderava	pesquisas	no	banco	
J.P. Morgan.
http://pro.poli.usp.br/wp-content/uploads /2012/pubs/modelos-de-estimacao-das-volatilidades-e-o-seu-
http://pro.poli.usp.br/wp-content/uploads /2012/pubs/modelos-de-estimacao-das-volatilidades-e-o-seu-
http://pro.poli.usp.br/wp-content/uploads /2012/pubs/modelos-de-estimacao-das-volatilidades-e-o-seu-
http://pro.poli.usp.br/wp-content/uploads /2012/pubs/modelos-de-estimacao-das-volatilidades-e-o-seu-
Eficiência Energética 127
2. Modelos dinâmicos de estrutura a termo de taxas 
de juros
A	taxa	de	juros	é	um	coeficiente	que	determina	o	valor	do	juro,	ou	seja,	é	
a remuneração do fator capital que foi utilizado por determinado período 
de tempo. Ela é uma das mais importantes variáveis econômicas de qual-
quer país.
Com o propósito de compreender o seu comportamento, tanto no merca-
do	financeiro	quanto	na	economia	geral,	os	profissionais	de	economia	bus-
cam com antecipação prever os movimentos das curvas das taxas de juros. 
Carvalho	(2013,	p.	20)	afirma	que	“modelos	capazes	de	descrever	o	com-
portamento passado e inferir a trajetória futura da curva de juros são 
partes essenciais de qualquer sistema de gestão de ativos e passivos”.
Há duas vertentes populares de modelos que descrevem a estrutura a ter-
mo	da	taxa	de	juros	(ETTJ),	segundo	Bernz	(2014,	p.	15)	o	qual	afirma	que:
a	primeira	tem	como	objetivo	principal	o	perfeito	ajuste	(fitting)	da	estrutu-
ra	a	termo	das	taxas,	importante	para	a	precificação	de	derivativos.	[...]	A	
segunda abordagem tem como foco a modelagem da dinâmica da taxa de 
juros	instantânea,	em	geral,	utilizando-se	de	modelos	afins	(affine	models)	
através dos quais as taxas para diferentes vencimentos podem ser estima-
das utilizando hipóteses sobre o prêmio de risco.
PARA SABER MAIS
A ETTJ não é diretamente observável, portanto, ela precisa 
ser estimada a partir de cotações de mercado ou instrumen-
tos	financeiros	derivativos	disponíveis	(os	“dados/pontos	ob-
servados da curva”). A partir do conjunto de dados é possível 
construir uma curva ou função/modelo “contínua” que apro-
ximadamente se adeque aos dados observados e, com a uti-
lização de técnicas de interpolação, estimar o valor da curva/
função em pontos fora da zona conhecida com o propósito 
de fazer previsões.
128 Eficiência Energética
Dentre os modelos existentes, acadêmicos da área têm direcionado suas 
pesquisas para uma classe de modelos de estrutura a termo da taxa de 
juros chamada “Nelson-Siegel”, a qual faz uso de componentes exponen-
ciais (fatores) para derivar pontos da curva de juros com estrutura tridi-
mensional paramétrica, cujos parâmetros são interpretados como nível, 
inclinação e curvatura da curva de juros.
Outros modelos existentes para a ETTJ são modelo de Nelson e Siegel 
com dinâmica temporal do vetor autorregressivo (VAR), modelo ampliado 
de Nelson e Siegel, com quatro fatores e, modelo passeio aleatório etc.
Aplicações comparativas entre os modelos citados por ETTJ com outros 
não citados neste texto poderão ser encontrados com maiores detalhes 
em Bernz (2014) e Carvalho (2013). Nesses mesmos textos, também, são 
indicados programas computacionais apropriados para construção de 
modelos para taxa de juros.
3. Modelos em tempo contínuo
O	preço	de	um	ativo	financeiro	evolui	ao	longo	do	tempo	e	forma	um	pro-
cesso estocástico, conceito apresentado no Tema 2 sobre séries tempo-
rais, o qual é um termo da estatística utilizado para descrever a evolução 
de uma variável aleatória no tempo. Os preços observados são realiza-
ções do processo estocástico associado.
Existem dois tipos de processos estocásticos para modelagem do preço de 
um ativo. O primeiro tipo é chamado de processo estocástico em tempo dis-
creto, no qual o preço pode mudar em momentos pontuais, ditos em tempo 
discreto. Por exemplo, os índices diários do IBOVESPA podem ser conside-
rados como processos estocásticos em tempo discreto se a observação de 
seus valores for realizada apenas no momento do fechamento diário.
O segundo tipo de processo estocástico é o chamado processo em tem-
po contínuo, no qual, os preços mudam continuamente, embora sejam 
observados	em	momentos	de	tempo	discreto.	Para	exemplificar,	pode-se	
pensar no preço de um estoque de mercadorias como o “verdadeiro va-
lor” do estoque o qual varia ao longo do tempo continuamente.
Eficiência Energética 129
Nos dois tipos de processos estocásticos apresentados o preço pode ser 
tanto contínuo quanto discreto. Um preço contínuo pode assumir qual-
quer valor real não negativo, enquanto que, o preço discreto assume ape-
nas um determinado conjunto contável de valores possíveis.
Para estudar processos com tempo contínuo ou modelos econométricos 
em tempo contínuo existe uma metodologia chamada processo de mo-
vimento Browniano, em homenagem ao botânico Robert Brown, o qual 
descreve a evolução aleatória de um ativo, por exemplo, em cada instante 
do tempo, em que essas mudanças ocorrem com pequenos incrementos 
independentes da atual posição e do histórico passado do processo.
Outra característica de um processo de movimento Browniano é que a 
mudança de posição em qualquer intervalo de tempo é uma variável ale-
atória com distribuição normal de média zero e variância Δt, ou seja, pro-
porcional ao intervalo de tempo decorrido.
PARA SABER MAIS
Um processo estocástico com movimento Browniano é um 
processo realizado em tempo contínuo e valores contínuos, 
por	exemplo,	com	valoresde	ativos	financeiros	podendo	as-
sumir qualquer valor real não negativo. Porém, de maneira 
formal,	define-se	um	processo	em	movimento	Browniano	da	
seguinte maneira:
O processo W = (Wt : t	 ≥	0) é um processo de movimento 
Browniano se e somente se
 (i) Wt é contínua e W0 = 0.
 (ii) Wt é uma variável aleatória com distribuição normal N (0, t).
(iii) O incremento Ws+t – Ws é uma variável aleatória com dis-
tribuição normal N (0, Δt), o qual é independente do histó-
rico passado.
130 Eficiência Energética
4. Volatilidade realizada e derivativos
Derivativos	são	instrumentos	designados	para	gerenciar	riscos	financei-
ros	de	 forma	eficiente,	ou	seja,	é	um	 instrumento	financeiro	cujo	valor	
pode derivar de outras fontes como taxa de juros, preço de título, mer-
cadoria, taxa de câmbio, índice da bolsa de valores, índice de preço, etc. 
Existem quatro tipos de derivativos: termo, futuro, swap e opções.
O conceito de volatilidade já foi tratando no Tema 2 desta disciplina, no 
entanto, de forma resumida, é uma medida de variabilidade associada ao 
tempo de observação de um ativo, por exemplo, com o intuito de avaliar o 
risco associado com a execução de uma negociação. Ela tem importância 
fundamental no apreçamento de ativos e de gestão de riscos.
A modelagem da volatilidade para dados de alta frequência intradiários, 
ou seja, para dados obtidos em intervalos muito pequenos de tempo, é 
chamada de volatilidade realizada. Sua ideia básica consiste considerar 
a soma de quadrados dos retornos obtidos em intervalos de alguns mi-
nutos no período de um dia com o intuito de estimar a volatilidade desse 
dia, para com isso, obter uma série de volatilidades diárias observadas, as 
quais podem ser modeladas por modelos ARIMA ou ARFIMA, por exemplo.
Na impossibilidade de obter dados intradiários é possível considerar a ob-
tenção de dados de preços de abertura, fechamento, máximo e mínimo 
de uma determinada ação, coletados diariamente para estimar a volati-
lidade	desse	dia	específico	através	da	volatilidade	de	Garman-Klass,	por	
exemplo. Ao interessado em obter maiores detalhes sobre volatilidade 
realizada, podem procurar pela referência Morettin (2016).
Pedro é responsável por uma organização não governamental (ONG) 
localizada na periferia da cidade chamada Felicidade. Ele tem uma 
equipe responsável por ajudar os jovens da comunidade a se inseri-
rem	no	mercado	de	trabalho	e	se	profissionalizarem	com	os	cursos	
oferecidos pela ONG. Para isso, ele e sua equipe fazem mensalmente 
SITUAÇÃO-PROBLEMA
Eficiência Energética 131
um levantamento de dados para alimentar o banco de dados que a 
ONG tem sobre informações socioeconômicas dos moradores da co-
munidade	e	referentes	à	demanda	por	formação	profissional.
As informações que o banco de dados possui recebem tratamento 
estatístico para que seus resultados sejam colocados em relatórios e 
informes que são distribuídos na comunidade e, também, para as ins-
tituições que são colaboradoras com os trabalhos realizados por ela.
Para a comunidade são divulgadas informações sobre os cursos ofe-
recidos	 e	 as	 vagas	 cadastradas	 em	um	banco	de	dados	 específico,	
assim como, outras informações sobre como a ONG está investindo 
seus recursos.
Para as instituições parceiras, a ONG tenta mostrar com um trata-
mento	mais	especifico	e	analítico,	como	os	recursos	fornecidos	são	
investidos e como são aplicados na compra de material necessário 
para	a	oferta	de	formação	profissional	dos	jovens	residentes	no	seu	
entorno.
Também são apresentados resultados dos tratamentos dos dados 
feitos com métodos estatísticos mais complexos como análise de 
regressão linear, para mostrar as relações de associação e causali-
dade que possam existir entre as informações do banco de dados, 
tais como, a situação de empregado ou desempregado de um jovem 
atendido pela ONG, depois de passar por um dos cursos oferecidos e 
por	orientação	profissional.
Outro tipo de estatística utilizada é aquela relacionada com séries tem-
porais, pois, a ONG tenta mostrar através do uso dessa metodologia 
como	os	recursos	financeiros	estão	sendo	acompanhados,	se	há	al-
gum tipo de tendência, como redução ou aumento de gastos, redução 
ou aumento de investimentos de um determinado colaborador etc.
132 Eficiência Energética
O tratamento das informações com métodos estatísticos, também, 
tem a intenção de realizar previsões para que a ONG possa fazer seus 
planejamentos para o futuro. Um deles está relacionado exatamente 
com	a	questão	da	demanda	de	tipo	de	profissional	que	o	mercado	de	
trabalho está procurando, pois, é sabido que esse é um assunto dinâ-
mico, varia ao longo do tempo.
Por	fim,	tudo	o	que	a	ONG	deseja	com	uso	de	métodos	quantitativos	
é,	exatamente,	mostrar,	com	números,	que	trabalha	de	forma	eficien-
te	e	que	sabe	utilizar	tantos	seus	recursos	financeiros,	quanto	apre-
sentar bons resultados para comunidade e para as empresas parcei-
ras de seu trabalho.
Imagine que você seja funcionário de uma bolsa de valores, por exem-
plo, da BOVESPA e que você precisa acompanhar diariamente o com-
portamento dos índices de ativos de diversas empresas. Para realizar 
um bom trabalho você precisa conhecer métodos apropriados para 
lidar com essas informações, e precisa utilizá-las para obter um bom 
resultado do tratamento que deu a elas. Portanto, pense em que mé-
todo quantitativo poderia auxiliar você a lidar com tanta informação!
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
5. Considerações Finais
• Este texto apresentou modelos de mensuração de risco e tratou 
especificamente	do	VaR	(valor	em	risco).
• Este texto apresentou os principais modelos de estrutura a termo 
de taxas de juros.
Eficiência Energética 133
• Este texto apresentou modelos de tempo contínuo e tratou, com 
um pouco mais de detalhe, o movimento Browniano.
• Este texto apresentou o conceito de derivativos e introduziu volati-
lidade esperada.
Glossário
• ARIMA: processo autorregressivo integrado e de médias móveis; é 
um dos modelos de séries temporais.
• ARFIMA: processo autorregressivo fracionário integrado de mé-
dias móveis; é um dos modelos de séries temporais.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 08
1. O VaR (valor em risco) é uma medida associada a qual tipo 
de risco?
a) Risco operacional.
b) Risco de mercado.
c) Risco de crédito.
d) Risco de dívidas.
e) Risco técnico.
2. Quantos tipos de abordagens existem para a estimação do 
VaR? 
a) Três.
b) Quatro.
c) Um.
d) Dois.
e) Nenhum.
134 Eficiência Energética
3. Em modelo de tempo contínuo, quais são os possíveis va-
lores permitidos para o tempo?
a) Valores reais não negativos.
b) Valores reais não positivos.
c) Valores inteiros não negativos.
d) Valores inteiros não positivos.
e) Valores racionais.
Referências Bibliográficas
BAXTER, M.; RENNIE, A. Financial calculus: an introduction to derivative pricing. 
Cambridge, Cambridge University Press, 2003, 233p.
BERNZ, B.M. Modelo Nelson-Siegel dinâmico da estrutura a termo da taxa de ju-
ros com fatores exógenos macroeconômicos: uma aplicação ao mercado brasilei-
ro.	2014.	67f.	Dissertação	(Mestrado	profissional	em	Economia)	–	Escola	de	Economia	
de São Paulo, Fundação Getúlio Vargas, São Paulo. Disponível em <https://biblioteca 
digital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/12023/BrunoMullerBernz.pdf>. 
Acesso em: 01 agosto 2018.
CARVALHO, J.P. Modelos de fatores dinâmicos: aplicação à estrutura a termo da taxa 
de juros. 2013. 62f. Dissertação (Mestrado em Economia) – Centro Sócioeconômico, 
Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis. Disponível em: <https://reposi 
torio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/122762/322780.pdf?sequence 
=1&isAllowed=y>. Acesso em: 01 agosto 2018.
DUARTE Júnior, A. M. Gestão de riscos para fundos de investimentos. São Paulo: 
Prentice Hall, 2005.
LUTERMAN, R. N. Derivativos de volatilidade no mercado brasileiro de câmbio: 
viabilidade	 e	 impactos	 de	 sua	 utilização.	 2013.	 66f.	 Dissertação	 (Mestrado	 profis-
sional em Economia) – Escola de Economiade São Paulo, Fundação Getúlio Vargas, 
São Paulo. Disponível em: <http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/ 
10438/10581/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Rodolfo%20Luterman%20-%20
MPFE%20-%20Final.PDF?sequence=1&isAllowed=y>. Acesso em: 01 agosto 2018.
https://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/12023/BrunoMullerBernz.pdf
https://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/12023/BrunoMullerBernz.pdf
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/122762/322780.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/122762/322780.pdf?sequence=1&isAllowed=y
https://repositorio.ufsc.br/xmlui/bitstream/handle/123456789/122762/322780.pdf?sequence=1&isAllowed=y
http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/10581/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Rodolfo%20Luterman%20-%20MPFE%20-%20Final.PDF?sequence=1&isAllowed=y
http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/10581/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Rodolfo%20Luterman%20-%20MPFE%20-%20Final.PDF?sequence=1&isAllowed=y
http://bibliotecadigital.fgv.br/dspace/bitstream/handle/10438/10581/Disserta%C3%A7%C3%A3o%20-%20Rodolfo%20Luterman%20-%20MPFE%20-%20Final.PDF?sequence=1&isAllowed=y
Eficiência Energética 135
MORETTIN, P.A. Econometria financeira:	um	curso	em	séries	temporais	financeiras.	
3 ed. São Paulo: Blucher, 2016, 403p.
TSAY, R.A. Analysis of financial time series. 3 ed. New Jersey: John Wiley & Sons, 
2010, 677p.
Gabarito – Tema 08
Questão 1 – Resposta: B
O VaR é uma medida associada ao risco de mercado.
Questão 2 – Resposta: D
Existem dois tipos de abordagens para a estimação do VaR.
Questão 3 – Resposta: A 
Em modelo de tempo contínuo os valores permitidos para o tempo 
são os valores reais não negativos.
136 Eficiência Energética
	Apresentação da disciplina 
	Tema 01 MODELOS UNIVARIADOS
	Objetivos
	Introdução
	1. A natureza da análise econométrica 
	2. O modelo clássico e seus pressupostos 
	3. Modelos lineares e não lineares 
	4. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 01 
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 01 
	Tema 02 SÉRIES TEMPORAIS
	Objetivos
	Introdução 
	1. Modelos estacionários e processos puramente aleatórios 
	2. Modelos de volatilidade estocástica 
	3. Processos não estacionários 
	4. Modelos autorregressivos e de médias móveis 
	5. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 02
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 02 
	Tema 03 ANÁLISE DE MODELOS E RELAXAMENTO DOS PRESSUPOSTOS CLÁSSICOS
	Objetivos
	Introdução
	1. Heteroscedasticidade 
	2. Normalidade dos erros 
	3. Multicolinearidade 
	4. Mecanismo de correção de erro 
	5. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 03
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 03 
	Tema 04 REGRESSÃO COM VARIÁVEIS DUMMY
	Objetivos
	Introdução
	1. Variáveis dummy como constantes 
	2. Variáveis dummy como coeficientes angulares 
	3. Modelos de diferenças em diferenças 
	4. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 04
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 04 
	Tema 05 MODELOS MULTIVARIADOS
	Objetivos
	Introdução
	1. Exogeneidade/causalidade 
	2. Cointegração linear 
	3. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 05
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 05 
	Tema 06 MODELOS COM VARIÁVEL DEPENDENTE DISCRETA
	Objetivos
	Introdução
	1. Modelo de probabilidade linear 
	2. Modelo logit 
	3. Modelo probit 
	4. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 06
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 06 
	Tema 07 TÓPICOS ESPECIAIS EM ECONOMETRIA
	Objetivos
	Introdução
	1. Modelos de dados de contagem 
	2. Modelos com dados em painel - análise longitudinal 
	3. Modelos de duração - survival analysis 
	4. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 07
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 07 
	Tema 08 ECONOMETRIA DE MERCADOS FINANCEIROS
	Objetivos
	Introdução
	1. Modelos de mensuração de risco 
	2. Modelos dinâmicos de estrutura a termo de taxas de juros 
	3. Modelos em tempo contínuo 
	4. Volatilidade realizada e derivativos 
	5. Considerações Finais 
	Glossário
	Verificação de leitura TEMA 08
	Referências Bibliográficas 
	Gabarito - Tema 08