Introdução à Econometria

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ECONOMETRIA
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Leonardo Ramos de Oliveira Campanini
Mariana de Campos Barroso
Paola Andressa Machado Leal
Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP)
Lima, Marcelo Tavares de
L732e Econometria/ Marcelo Tavares de Lima – Londrina: 
 Editora e Distribuidora Educacional S.A. 2018.
 108 p.
 ISBN 978-85-522-1050-4
			 1.	Variáveis	dummy.	2.	Mercado	financeiro. 
I. Lima, Marcelo Tavares de. Título.
 CDD 330
Responsável	pela	ficha	catalográfica:	Thamiris	Mantovani	CRB-8/9491
2018
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Econometria 3
SUMÁRIO
Apresentação da disciplina 04
Tema 01 – Modelos univariados 05
Tema 02 – Séries temporais 24
Tema 03 – Análise de modelos e relaxamento dos 
 pressupostos clássicos 43
Tema 04 – Regressão com variáveis Dummy 60
Tema 05 – Modelos multivariados 76
Tema 06 – Modelos com variável dependente discreta 90
Tema 07 – Tópicos especiais em econometria 105
Tema 08 – Econometria	de	mercados	financeiros 120
ECONOMETRIA
4 Eficiência Energética
Apresentação da disciplina
Este material apresenta aos usuários da teoria econômica e demais in-
teressados no assunto, métodos quantitativos de análises de dados. O 
método quantitativo a ser desenvolvido neste conteúdo será a econome-
tria, cujo objetivo é levar o aluno a entender, desenvolver e aplicar seus 
métodos	de	forma	correta	e	eficiente.
A econometria segundo Malassise “é uma área e, ao mesmo tempo, um 
método de estudo utilizado em diversas áreas do conhecimento, porém, 
de maneira mais profunda nos estudos econômicos” (MALASSISE, 2015, 
p.11). Em cursos de Economia, a econometria se caracteriza como disci-
plina	fundamental	para	a	fixação	de	bases	quantitativas	da	teoria	econô-
mica. Por isso, também é conhecida como “medição econômica”, sendo a 
tradução literal de econometria.
A econometria é uma ciência social aplicada que se utiliza de conceitos e 
ferramentas de áreas como matemática, estatística e teoria econômica. 
Ela surgiu da necessidade de se trabalhar relações quantitativas, cujo in-
tuito é tornar possível a refutação ou a aceitação de uma conclusão en-
contrada por alguma ferramenta de análise de dados.
O termo econometria surgiu por volta de 1926 com base na palavra “bio-
metria”, a qual se refere à utilização de métodos estatísticos em pesquisas 
biológicas. Sua apresentação para a comunidade acadêmica foi feita pelo 
economista norueguês Ragnar Frisch.
A intenção desta disciplina é fazer com que você conheça os diversos mo-
delos econométricos existentes, apresentar aplicações práticas, com o 
intuito de tornar clara a importância de sua utilização na análise de pro-
blemas econômicos para a tomada de decisão e para a realização de pre-
visões	confiáveis.
5 Eficiência Energética
TEMA 01
MODELOS UNIVARIADOS
Objetivos
• Este texto tem como objetivo apresentar e desenvolver 
os seguintes tópicos: (1) a natureza da análise econo-
métrica; (2) o modelo clássico e seus pressupostos e; 
(3) modelos lineares e não lineares.
6 Eficiência Energética
Introdução
A econometria faz uso da teoria econômica e de dados da economia, ne-
gócios, ciências sociais e estatística, com a intenção de solucionar proble-
mas associados a quantidades. Por exemplo, o estudo da quantidade de 
vendas de um determinado produto em um mercado consumidor que 
passa	por	uma	situação	específica	de	interesse.
O termo econometria surgiu em 1926 através de um economista norue-
guês, porém a implementação de seus conceitos surgiu bem antes, em 
1838, com a teoria de Duopólio, de Agustin Cournot, o qual estabeleceu 
por meio dessa teoria que “as quantidades ofertadas no mercado surgem 
da ação e reação de dois vendedores, obedecendo algumas regras especí-
ficas”	(MALASSISE,	2015,	p.16).	A	demora	no	desenvolvimento	de	estudos	
econométricos, mesmo depois das pesquisas de Cournot ocorreu por con-
ta	da	dificuldade	e	da	escassez	de	obtenção	de	dados	confiáveis	que	per-
mitissem o seu uso para a realização de estudos empíricos econométricos.
Segundo Matos “os propósitos da econometria são: (a) a mensuração de 
variáveis; (b) a estimação de parâmetros e; (c) a formulação e teste de hi-
póteses” (1995 apud MALASSISE, 2015, p.18). 
Dados os propósitos, ainda segundo o mesmo autor, os objetivos são: (a) 
a	verificação	de	teorias	econômicas;	(b)	a	avaliação	de	políticas	econômi-
cas e, (c) a previsão de valores futuros de variáveis de natureza econômi-
ca. Os métodos desenvolvidos neste texto são os métodos de modelos 
univariados, lineares e não lineares, os quais têm como principal caracte-
rística a existência de uma única variável dependente em seu processo de 
modelagem e, uma ou mais variáveis independentes.
1. A natureza da análise econométrica
A	afirmação	de	que	em	muitas	situações	o	desenvolvimento	e	a	avaliação	
de uma pesquisa dependem do conhecimento que o pesquisador tem so-
bre econometria e análise de regressão, inclusive no que se refere a suas 
Eficiência Energética 7
potencialidades e a suas limitações, não é nenhum absurdo ou exagero. 
A econometria é útil para ajudar o pesquisador a separar ideias coerentes 
de ideias absurdas ou, hipóteses de pesquisa boas daquelas ruins. Por 
exemplo, numa negociação na bolsa de valores, é melhor esperar a baixa 
de preços de ações para realizar compra ou, é melhor fazer negociações 
conforme a teoria do passeio aleatório (random walk)? Qual a melhor ati-
tude para ser tomada?
Como mencionado anteriormente, a econometria faz a integração da te-
oria econômica com a matemática e a estatística, com o propósito de for-
mular e testar hipóteses construídas a partir dos fenômenos de natureza 
econômica através de medidas de variáveis e estimação de parâmetros.
Dados	os	propósitos	apresentados,	é	possível	identificar	que	a	econome-
tria	 tem,	segundo	Malassise	 (2015),	 “o	objetivo	de	 realizar	a	verificação	
de teorias econômicas através de estudos empíricos e as avaliações de 
políticas econômicas pelo conhecimento de valores numéricos de parâ-
metros	 como	elasticidade,	multiplicadores,	 coeficientes	 técnicos,	 etc.	 e,	
ainda, tem a intenção de realizar previsão de valores futuros de variáveis 
de natureza econômica”.
A econometria pode ser subdividida em duas vertentes: teórica e apli-
cada. A teórica se refere ao estudo da estruturação dos modelos teóri-
cos existentes, no intuito de avançar com propostas de novos modelos 
que possam ser mais adequados ou, que possam permitir a solução de 
problemas,	de	forma	mais	eficaz.	A	econometria	aplicada	realiza	aplica-
ções de modelos existentes, os quais são selecionados por informações 
prévias dos problemas a serem estudados. Em economia, a aplicação da 
econometria ocorre em problemas de microeconomia, que são estudos 
que envolvem teoria da demanda, produção, investimento, consumo, 
dentreoutros.
8 Eficiência Energética
ASSIMILE
“Econometria é a ciência que lida com a determinação, por 
métodos estatísticos, das leis quantitativas concretas que 
ocorrem na vida econômica [...] está ligada à teoria econô-
mica e à estatística econômica e tenta por métodos matemá-
ticos e estatísticos dar expressão concreta e quantitativa às 
leis gerais e esquemáticas estabelecidas pela teoria econô-
mica” (LANGE, 1961 apud MALASSISE, 2015, p. 13).
A análise de regressão é um dos métodos mais importantes da econo-
metria aplicada. Com sua utilização, é possível conhecer os efeitos que 
algumas variáveis exercem sobre outras. Mesmo que não haja relação 
significativa	de	causa	e	efeito	entre	as	variáveis	analisadas,	com	a	análi-
se de regressão é possível construir uma relação funcional expressa por 
equações matemáticas.
Como pressuposto, a análise de regressão considera que devem existir, 
no mínimo, duas variáveis para sua viabilidade de aplicação, em que, uma 
delas é chamada dependente ou endógena (em geral denotada por Y) e, 
a(s) outra(s), denominada(s) de independente(s) ou exógena(s) (em geral, 
denotada(s) por X).
De forma geral, a análise de regressão pode representar a relação entre 
as variáveis da seguinte maneira:
Y = f (X1, X2, ..., Xk) (1)
onde Y representa a variável dependente ou endógena e os Xh = (h = 1,2, 
... , k) representam as variáveis explicativas ou exógenas. Considere como 
aplicação os seguintes exemplos: (1) O estudo do crescimento popula-
cional (Y ) em função dos anos analisados (X); (2) Estudo da variação da 
produção de um item (Y ) segundo o preço de venda (X1) e a renda dos 
potenciais consumidores (X2).
Eficiência Energética 9
Quando, na análise de regressão, tiver uma única variável independente, 
tem-se o caso particular chamado análise de regressão simples e, quan-
do se tiver mais de uma variável independente, tem-se o caso de análise 
de regressão múltipla. Em toda análise de regressão, a relação funcional 
construída entre as variáveis dependentes e independentes considera 
um	termo	residual	ou	de	erro,	o	qual	significa	um	ajuste	para	equilibrar	
o modelo elaborado, ou seja, ele representa os fatores não considerados 
no	processo	de	modelagem	e	que	podem	ser	influentes	na	relação	entre	
as variáveis analisadas, e por ter uma natureza aleatória, torna os mode-
los elaborados em probabilísticos, os quais sob esta condição recebem o 
nome de modelos estatísticos ou econométricos.
2. O modelo clássico e seus pressupostos
No item anterior foi dito que a regressão linear é um dos métodos mais 
utilizados em estudos econométricos. No entanto, para que possa ser uti-
lizada, faz-se necessário que alguns pressupostos sejam garantidos. Tais 
pressupostos são originários da forma em que o modelo de regressão 
linear é construído, o qual utiliza o método dos mínimos quadrados ordi-
nários (MQO) para sua construção. O seu uso permite que seja possível 
realizar um processo de interpolação por previsão.
Para	que	o	uso	da	regressão	linear	seja	eficiente,	é	importante	que	exista	
algum grau de correlação linear entre as variáveis analisadas. Portanto, 
é	interessante	sempre	fazer	essa	verificação	antes	de	se	iniciar	qualquer	
procedimento de construção de modelo, mesmo que seja por conheci-
mento a priori.
Considere que existam n pares de valores de duas variáveis em um es-
tudo econômico, as quais são representadas por Xi e Yi (i = 1,2, ... , n). 
Considerando que Y seja função linear de X, é possível estabelecer uma 
regressão linear simples através do seguinte modelo estatístico.
10 Eficiência Energética
Yi = ß0 + ß1 Xi + ei (2)
onde ß0 e ß1 são parâmetros, Xi é a variável independente, Yi é a variável 
dependente e ei é o termo erro aleatório.
Os parâmetros do modelo de regressão linear simples, ß0 e ß1	são	os	coefi-
cientes linear e angular da reta de regressão ajustada pelo modelo de re-
gressão	linear	simples,	respectivamente.	O	coeficiente	angular,	também,	
é	conhecido	por	coeficiente	de	regressão	e,	o	coeficiente	linear	por	termo	
constante da equação de regressão.
Quando estabelecido um modelo de regressão linear simples, os seguin-
tes pressupostos estão em consideração:
1. A relação funcional entre X e Y é linear.
2. Os valores de X	são	fixos,	ou	seja,	X não é uma variável aleatória.
3. A média do termo erro aleatório é zero.
4. Para um dado valor de X, a variância do erro aleatório ei é sempre a 
mesma, σ2, conhecida como variância residual.
5. Os erros aleatórios de observações distintas não são correlacionados.
6. Os erros aleatórios possuem distribuição Normal.
Ainda	é	necessário	verificar	 se	o	número	de	observações	disponíveis	é	
maior que o número de parâmetros do modelo ajustado. Por exemplo, 
para o ajuste de um modelo de regressão linear simples, são necessárias, 
no mínimo, três observações, pois, se estiverem disponíveis apenas duas 
observações, não é possível realizar qualquer tipo de análise estatística.
3. Modelos lineares e não lineares
Considerando que o modelo de regressão a ser ajustado aos dados será 
uma regressão linear simples, o passo inicial a ser realizado é buscar esti-
mativas dos parâmetros do modelo, os quais são obtidos a partir de uma 
amostra de pares de valores para Xi e Yi, os quais correspondem a n pon-
tos	num	gráfico	de	dispersão.
Eficiência Energética 11
A estimativa de um modelo de regressão linear simples é representada 
pela seguinte equação.
onde é a estimativa do valor esperado para o modelo, e são as 
estimativas dos parâmetros do modelo ajustado.
As estimativas dos parâmetros do modelo são obtidas por MQO, o qual 
consiste em construir estimativas que minimizam a soma de quadrados 
dos desvios do modelo, que são representados por ei = Yi – e, conse-
quentemente, são obtidos os seguintes estimadores dos parâmetros do 
modelo de regressão linear simples:
e
ASSIMILE
As estimativas dos parâmetros da reta de regressão são ob-
tidas a partir de um sistema de equações conhecido como 
sistema de equações normais, que são
A resolução do sistema leva para as equações conhecidas 
que estimam os valores dos parâmetros.
12 Eficiência Energética
EXEMPLIFICANDO
Para ver uma aplicação da teoria apresentada, considere o 
exercício a seguir, disponível em Murolo e Bonetto (2013, p. 42), 
descrevendo a situação de uma empresa de embalagens plásti-
cas. Esta empresa está preocupada com a demanda (Yi) do pro-
duto fabricado por ela. Então, resolveu fazer um estudo sobre 
as variações dos preços de venda (Xi). Fez um levantamento de 
dados e, obtiveram as informações da seguinte tabela.
Tabela 1. Demanda de embalagens plásticas por preço
Preço de venda (Xi) 16 18 20 23 26 28 30 33 35
Demanda (Yi) 1200 1150 950 830 800 760 700 690 670
Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetti (2013, p. 42).
A partir dos dados será construído um modelo de regressão linear simples 
e,	como	primeira	verificação,	será	construído	um	gráfico	de	dispersão	para	
verificar	se	existe	relação	linear	entre	o	preço	e	a	demanda	em	estudo.
O	gráfico	de	dispersão,	construído	em	planilha	Microsoft	Excel®,	indica	que	
há	relação	linear	entre	as	duas	variáveis.	Essa	verificação	está	sendo	feita	de	
forma	subjetiva	pelo	gráfico,	porém	é	possível	fazer	uma	comprovação	da	
existência	de	relação	linear	pelo	coeficiente	de	correlação	linear	de	Pearson.
PARA SABER MAIS
O	coeficiente	de	correlação	(linear)	entre	duas	variáveis	é	uma	
estatística que mede o grau de associação existente entre elas. 
Essa	medida	varia	num	intervalo	finito	de	valores,	especifica-
mente, de –1 a +1. A correlação linear será tanto mais forte 
entre as variáveis quanto mais próxima estiver de –1 ou +1 
e será tanto mais fraca quanto mais próxima estiver de zero. 
Essa medida pode ser calculada pela seguinte equação:
Eficiência Energética 13
Figura	1.	Gráfico	de	dispersão	entre	demanda	e	preço
Fonte: Elaboração do autor.
Agora, reescrevendo os dados, serão calculadas algumas medidas que 
ajudarão a obter as estimativas dos parâmetros do modelo a serajustado 
pelo método de mínimos quadrados ordinários. Os resultados para essa 
etapa encontram-se na tabela 2.
Tabela 2. Dados auxiliares
Ordem Preço de venda (Xi) Demanda (Yi) Xi2 Yi2 Xi Yi
1 16 1200 256 1440000 19200
2 18 1150 324 1322500 20700
3 20 950 400 902500 19000
4 23 830 529 688900 19090
5 26 800 676 640000 20800
6 28 760 784 577600 21280
7 30 700 900 490000 21000
8 33 690 1089 476100 22770
9 35 670 1225 448900 23450
Total 229 7750 6183 6986500 187290
Fonte: Adaptado de Murolo e Bonetti (2013, p. 42).
14 Eficiência Energética
Com os cálculos construídos na tabela auxiliar, pode-se calcular os valo-
res das estimativas dos parâmetros com maior facilidade, a partir da linha 
dos totais, como mostrado a seguir.
Coeficiente	linear:
Coeficiente	angular:
Portanto, a equação de regressão ajustada será:
Se	o	modelo	ajustado	for	desenhado	em	um	gráfico	através	da	reta	ajus-
tada,	colocada	em	um	gráfico	juntamente	com	os	dados	originais,	com	o	
auxílio	do	Microsoft	Excel®,	será	obtido	o	gráfico	2.
Gráfico	2.	Dados	originais	com	a	reta	ajustada
Fonte: Elaboração do autor.
Eficiência Energética 15
Suponha que a empresa deseja estimar a demanda para um determinado 
preço do produto plástico, por exemplo x = $31. Então, utilizando a equa-
ção ajustada, será obtido o seguinte valor para a demanda (quantidade 
de produto).
LINK
Como fazer uma regressão linear simples no Excel: Veja como 
é fácil fazer uma regressão linear simples no Excel e anali-
sar se os resultados obtidos são coerentes. Disponível em: 
<www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-
no-excel>. Acesso em: 01 junho 2018.
Em muitas situações, o pesquisador desconhece o tipo de relação funcio-
nal existente entre variáveis e, mesmo realizando uma análise explorató-
ria	gráfica,	fica	difícil	de	perceber	como	elas	se	relacionam.	Então,	faz-se	
necessário o uso de técnicas de regressão para explorar modelos conve-
nientes sugeridos pelos dados coletados (BUSSAB, 2017).
Muitos dos modelos utilizados são chamados não lineares devido ao fato 
das variáveis envolvidas na modelagem se relacionarem de maneira não 
linear, diferente do observado no exercício acima. Em outras palavras, 
considerando um modelo que envolva duas variáveis, se uma reta não for 
uma descrição adequada para a relação entre elas, certamente, o modelo 
adequado é do tipo não linear. No entanto, a pergunta que vem é “qual o 
modelo mais adequado?”.
Uma primeira sugestão para responder à pergunta, assim como realiza-
do no processo de ajuste de uma regressão linear, seria a construção de 
um	gráfico	de	dispersão,	caso	o	problema	envolva	apenas	duas	variáveis.	
A	forma	gráfica	identificada	com	a	elaboração	do	gráfico	pode	fornecer	
alguma sugestão de um modelo não linear, por exemplo, um modelo qua-
drático, cúbico, exponencial etc.
https://www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-no-excel
https://www.voitto.com.br/blog/artigo/regressao-linear-simples-no-excel
16 Eficiência Energética
Para	exemplificar,	considere	os	dados	apresentados	por	Bussab	e	Morettin	
(2017, p.491) e, adaptados aqui, onde dispuseram de informações da in-
flação	brasileira	para	alguns	anos.	Os	dados	e	o	diagrama	de	dispersão	
foram	refeitos	em	Microsoft	Excel®	e,	são	apresentados	a	seguir.
Tabela	3.	Taxa	de	inflação	no	Brasil	de	1961	a	1979.
Ano (Xi) Inflação (Yi)
1961 9
1963 24
1965 72
1967 128
1969 192
1971 277
1973 373
1975 613
1977 1236
1979 2639
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Gráfico	3.	Diagrama	de	dispersão	dos	dados	originais
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Eficiência Energética 17
Por	conta	da	forma	gráfica	do	diagrama	de	dispersão,	os	autores	decidi-
ram	ajustar	um	modelo	exponencial	para	a	relação	entre	a	inflação	e	os	
anos observados. Assim, temos a equação:
onde, ɛi representa o termo erro aleatório, e representa a constante de 
Euler (e ≈ 2,7182 ...) e, neste caso, o erro aleatório aparece de forma multi-
plicativa no modelo e não aditiva, como no caso anterior.
As estimativas dos parâmetros para este caso, também obtidas pelo mé-
todo dos mínimos quadrados, não podem ser adquiridas analiticamente. 
Então, sem entrar em maiores detalhes, os autores sugeriram o uso de 
métodos numéricos, tais como, Newton-Raphson, Gauss-Newton, “sco-
ring” dentre outros.
Para o caso apresentando, por se tratar de um conjunto que envolve ape-
nas duas variáveis, uma dependente e a outra independente, é possível 
realizar transformação nos dados de forma a tornar a equação numa 
equação linear para se realizar o ajustamento por modelo de regressão 
linear simples.
A transformação aplicada ao modelo sugerido inicialmente foi a logarítmi-
ca (na base e) em ambos os lados de (7) e, após sua aplicação, tornou os 
membros do modelo da seguinte forma
Permitindo escrever o modelo na forma:
É possível perceber que o modelo transformado é linear. No entanto, é 
necessário supor que o termo erro aleatório seja estritamente positivo, 
pois, do contrário, não será possível tomar logaritmos dele. Agora, as de-
mais suposições feitas anteriormente para um modelo linear simples po-
dem ser aplicadas a este modelo transformado.
18 Eficiência Energética
A estimativa dos parâmetros do modelo ajustado foi obtida a partir da 
equação transformada, cujos dados são replicados na Tabela 4 com o 
acréscimo	de	uma	coluna	contendo	os	valores	transformados	da	inflação	
e,	com	uma	codificação	conveniente	para	a	variável	independente,	o	ano	
de observação.
Tabela	4.	Taxa	de	inflação	no	Brasil	de	1961	a	1979
Ano (Xi) Ano (Xi*) Inflação (Yi) Yi* = In Yi
1961 0 9 2,2
1963 1 24 3,2
1965 2 72 4,3
1967 3 128 4,8
1969 4 192 5,2
1971 5 277 5,6
1973 6 373 5,9
1975 7 613 6,4
1977 8 1236 7,1
1979 9 2639 7,9
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
Estando o modelo agora linearizado, pode-se utilizar das equações apre-
sentadas anteriormente para se obter as estimativas dos seus parâme-
tros. Sem entrar em detalhes e, com a ajuda de uma planilha eletrônica, 
utilizando	o	ano	codificado	e	os	valores	de	 inflação	 transformados	por	
logaritmo, as estimativas obtidas são iguais a:
Logo, a regressão linear ajustada será:
O diagrama de dispersão dos dados transformados e da reta ajustada é 
mostrado	na	figura	4.
Eficiência Energética 19
Gráfico	4.	Dados	transformados	e	reta	ajustada
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 493).
Para escrever o modelo original ajustado, é necessário aplicar uma nova 
transformação, com a função inversa do logaritmo natural, ou seja, a fun-
ção exponencial, cujo resultado será:
pois, .
O diagrama com os dados originais plotados juntamente com os valores 
ajustados	obtidos	pela	reta	de	regressão	(11)	é	mostrado	na	figura	5.
Gráfico	5.	Dados	originais	e	valores	ajustados
Fonte: Adaptado de Bussab e Morettin (2017, p. 491).
20 Eficiência Energética
Observa-se que os pontos originais e os estimados (ajustados) pela reta 
de regressão construída pelo método de mínimos quadrados estão muito 
próximos,	em	outras	palavras,	os	gráficos	praticamente	se	sobrepõem.	
Isso é um indício de que o modelo está adequado à realidade descrita.
PARA SABER MAIS
Geralmente, quando se trabalha com regressão não linear, 
uma primeira atitude a se tomar é tentar linearizar, através 
de transformações matemáticas, a relação funcional entre 
as variáveis. Existem algumas transformações que são mais 
utilizadas pelos usuários de modelos de regressão, que são 
mostradas no quadro a seguir.
Quadro – Transformações que geram retas.
TIPO EQUAÇÃO TRANSFORMAÇÃO VARIÁVEL X VARIÁVEL Y
Linear Y = a + bx Y = a + bx X y
Exponencial Y = a.ebx Ln(y) = ln(a) + bx X ln(Y)
Logarítmica Y = a + b.ln(x) Y = a + b.ln(x) ln(x) y
Potência Y = axb ln y = ln(a) + b.ln(x) ln(x) ln(y)
Fonte: FEA USP. Disponível em: <http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/
Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc>. Acesso em: 01 junho 2018.
Você consegue pensar em uma situação na qualpossa fazer aplica-
ção de regressão linear? Pense em uma situação pessoal sua. Imagine 
que você deseja escolher entre algumas aplicações bancárias e, para 
a sua tomada de decisão, decide construir uma equação que posso 
te ajudar a escolher a mais adequada para seus propósitos.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc
http://www.erudito.fea.usp.br/PortalFEA/Repositorio/445/Documentos/Regress%C3%A3o%20n%C3%A3o%20linear.doc
Eficiência Energética 21
4. Considerações Finais
• A econometria é um método quantitativo de tomada de decisão que 
faz uso da teoria econômica e de dados da área de economia.
• A análise de regressão é uma das principais técnicas quantitativas 
utilizadas em estudos econométricos.
• A técnica de análise de regressão pode ser dividida em duas: linear 
e não linear.
• Os modelos de regressão lineares são mais simples que os modelos 
de regressão não linear. Apesar disso, problemas reais, em geral, 
exigem, com maior frequência, o ajuste de modelos de regressão 
não linear.
Glossário
• Constante de Euler: é um número irracional e positivo, cujo loga-
ritmo na sua base é chamado natural, logo: e = 2,7182818... .
• Duopólio: mercado no qual dois vendedores dividem entre si toda 
uma produção.
• Mínimos quadrados ordinários: é uma técnica de otimização ma-
temática que procura encontrar o melhor ajuste para um conjunto 
de dados tentando minimizar a soma dos quadrados das diferen-
ças entre o valor estimado e os dados observados (tais diferenças 
são chamadas resíduos).
• Passeio aleatório: do inglês random walk. É um objeto matemá-
tico que descreve um caminho que consiste de uma sucessão de 
passos	aleatórios.	Por	exemplo,	os	preços	de	ativos	financeiros	se-
guem o comportamento de um passeio aleatório.
22 Eficiência Energética
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 01
1. A principal área do conhecimento onde a econometria é 
estudada com maior profundidade é:
a) Sociologia.
b) Biologia.
c) Estatística.
d) Estudos econômicos.
e) Antropologia.
2. Qual é o método matemático utilizado para estimar coe-
ficientes	de	regressão	de	um	modelo	de	regressão	linear?
a) Máximos quadrados ordinários.
b) Mínimos quadrados perfeitos.
c) Máxima verossimilhança.
d) Mínima verossimilhança.
e) Mínimos quadrados ordinários.
3. Medida estatística que avalia existência de associação en-
tre duas variáveis quantitativas. Estamos falando de:
a) Coeficiente	de	regressão.
b) Coeficiente	de	correlação.
c) Coeficiente	linear.
d) Medida de dispersão.
e) Coeficiente	de	associação.
Referências Bibliográficas
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 554p.
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: Portal 
de livros abertos da USP, 2016. Disponível em <www.producao.usp.br/bitstream/handle/
BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>. Acesso em: 27 de maio de 2018.
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
Eficiência Energética 23
LANGE, O. Introdução à econometria. Rio de Janeiro: Fundo de Cultura, 1961.
MALASSISE, R. L. S. Econometria. 1. ed. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional 
S/A, 2015. v. 1. 192p. Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/
users/publications/9788584822065/pages/-2>. Acesso em: 26 maio 2018.
MATOS, O.C. Econometria básica: teoria e aplicações. São Paulo: Atlas, 1995.
MUROLO, A.F.; BONETTO, G. Matemática aplicada a administração, economia e 
contabilidade. São Paulo: Cengage Learning, 2013. 506 p.
Gabarito – Tema 01
Questão 1 – Resposta: D
A principal área do conhecimento em que a econometria é estudada 
com maior profundidade é a dos estudos econômicos.
Questão 2 – Resposta: E
O	 método	 matemático	 utilizado	 para	 estimar	 os	 coeficientes	 de	
um modelo de regressão linear é o método de mínimos quadrados 
ordinários.
Questão 3 – Resposta: B
A medida estatística que avalia existência de associação entre duas 
variáveis	quantitativas	é	o	coeficiente	de	correlação.
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788584822065/pages/-2
Eficiência Energética 24
TEMA 02
SÉRIES TEMPORAIS
Objetivos
• Apresentar conceitos básicos de séries temporais; 
• Introduzir modelos estacionários e processos pura-
mente aleatórios;
• Introduzir modelos de volatilidade estocástica;
• Introduzir processos não estacionários;
• Introduzir modelos autorregressivos e de médias 
móveis.
Eficiência Energética 25
Introdução
Agora que você tem uma noção de conceitos básicos de econometria e 
viu que a análise de regressão é um dos principais métodos estatísticos 
utilizados para tratamento de dados, vamos apresentar um método que 
permite construir modelos estatísticos que levam em conta a evolução 
temporal dos fenômenos.
O procedimento de modelagem de dados que leva em conta a evolução 
temporal de ocorrência dos fenômenos é conhecido como séries tempo-
rais.	Hoffmann	(2016,	p.352)	define	séries	temporais	como	“um	conjunto	
de valores de uma variável ordenados no tempo”. Como exemplo de sé-
ries temporais, pode-se citar o conjunto de dados de valores anuais do 
produto interno bruto (PIB) brasileiro ou, uma série de valores de tempe-
raturas máximas de uma cidade, etc.
Uma série temporal é um caso particular de um processo estocástico, 
ou seja, processos controlados por leis probabilísticas, onde, de manei-
ra	mais	formal,	pode	ser	definida	por	uma	família	de	variáveis	X = {Xt, t Є 
T }, tal que, para cada t Є T , Xt é uma variável aleatória. Em palavras, um 
processo estocástico pode ser interpretado como uma família de todas 
as realizações de um fenômeno ou experimento e, uma série temporal é 
uma dessas realizações.
Quando se realiza uma pesquisa com planejamento de coleta de dados 
em séries temporais, pode-se pensar em muitos objetivos, como por 
exemplo, segundo Morettin e Toloi (1987, p. 4), “(1) fazer previsões de va-
lores futuros das séries; (2) descrever o comportamento das séries e; (3) 
procurar periodicidades relevantes nos dados. Parte disto, será mostrado 
neste texto”.
26 Eficiência Energética
1. Modelos estacionários e processos puramente 
aleatórios
O procedimento de análise de dados em séries temporais faz uso de da-
dos	passados	para	quantificar	as	relações	históricas.	Se	o	futuro	for	igual	
ao passado, tais relações podem ser usadas para realização de previsões 
para o futuro. No entanto, se o futuro for diferente, as informações histó-
ricas	podem	não	ser	confiáveis	para	o	futuro.	Por	isso,	é	estudada	uma	im-
portante característica das séries temporais, chamada estacionariedade.
Uma das suposições mais recorrentes em séries temporais é a de que 
ela é estacionária, ou seja, de que ela se desenvolve no tempo aleatoria-
mente ao redor de uma média constante. Caso uma série temporal que 
esteja sendo analisada não seja estacionária, será necessário transformá-
-la em estacionária ou fazer uso de análise adequada para modelos não 
estacionários.
Uma das transformações mais comuns para tornar uma série temporal 
em estacionária consiste na tomada das diferenças sucessivas da série 
temporal original, até que seja obtida uma série estacionária. A primeira 
diferença de X(t)	é	definida	por:
a segunda diferença é:
ou seja,
De modo geral, a n-ésima diferença de X(t) é:
Em	situações	normais,	é	suficiente	tomar	uma	ou	duas	diferenças	para	
tornar uma série em estacionária.
Eficiência Energética 27
Stock	 e	 Watson	 (2004,	 p.	 304)	 definem	 estacionariedade	 da	 seguinte	
maneira:
Uma série temporal Xt é estacionária se a sua distribuição de probabilidade 
não muda ao longo do tempo, isto é, se a distribuição conjunta (Xs + 1, Xs + 2, ... , 
Xs + T) não depender de s; caso contrário, diz-se que Xt é não estacionária. [...]A estacionariedade requer que o futuro seja igual ao passado, pelo menos 
em um sentido probabilístico.
Há várias situações em que se têm séries temporais não estacionárias, 
no entanto, em duas situações, a ausência de estacionariedade torna re-
levante uma análise de regressão de séries temporais econômicas da se-
guinte maneira: (1) pode haver algum tipo de tendência nas séries; e (2) a 
regressão pode ser instável ao longo do tempo, ou seja, pode ter quebras.
Em séries temporais, o valor da variável X de um determinado período 
está, de certa maneira, correlacionado com seu valor no período seguinte. 
A esta característica se dá o nome de autocorrelação ou correlação serial. 
De forma análoga, a autocovariância é a covariância entre valores adja-
centes da série, como Xt e Xt – 1.
ASSIMILE
Autocorrelação (correlação serial) e autocovariância.
A j-ésima autocovariância de uma série temporal Xt é a covari-
ância entre Xt e a sua j-ésima defasagem, Xt–j. Já o j-ésimo coe-
ficiente	de	autocorrelação	é	a	correlação	entre	Xt e Xt–j. Isto é,
j-ésima autocovariância = cov(Xt, Xt–j)
O j-ésimo	coeficiente	de	autocorrelação,	também,	é	conheci-
do	como	coeficiente	de	correlação	serial	(STOCK	e	WATSON,	
2004). “A autocorrelação revela o grau de relação entre as 
observações, já a função de autocovariância indica a depen-
dência entre as observações” (SANTOS, 2016, p. 6).
28 Eficiência Energética
Para considerar uma série temporal como estacionária, tendências não 
podem estar presentes nos dados, enquanto que variações sazonais, po-
dem ocorrer tanto em séries estacionárias quanto não estacionárias. 
A técnica de médias móveis, ou método de suavização, é o método de 
previsão para dados estacionários mais simples existentes. Com ela, o 
valor a ser previsto no tempo t + 1 (denotado X̂t + 1) é obtido pela média 
aritmética das v observações mais recentes da série, ou seja:
O termo k da equação determina o número de observações da série que 
serão utilizadas no cálculo das médias móveis. Não existe método para 
determinar o melhor valor de k. Por isso, torna-se interessante testar vá-
rios valores de k	para	verificar	qual	fornecerá	o	melhor	resultado.
Uma forma de saber qual o melhor modelo obtido é fazer uso de medidas 
de acurácia (qualidade do ajuste) que podem fornecer essa informação. 
As principais medidas existentes são o desvio absoluto médio (DAM), o 
erro percentual absoluto médio (EPAM), o erro quadrático médio (EQM) e 
a	raiz	do	erro	quadrático	médio	(REQM),	os	quais	podem	ser	definidos	da	
seguinte maneira:
Uma desvantagem da técnica de médias móveis é que os dados passa-
dos têm o mesmo peso no cálculo da média. Para tentar superar isso, 
é possível obter uma previsão mais precisa atribuindo pesos diferentes 
aos dados.
Eficiência Energética 29
Ao procedimento de atribuição de pesos aos dados para obtenção de uma 
média é dado o nome de média móvel ponderada, que é uma variação da 
técnica de médias móveis. Com este procedimento a função de previsão 
é representada por:
em que e .
No método de médias móveis ponderadas, além de determinar um valor 
para k, também é necessário determinar valores para os pesos wi, o que 
torna a determinação da melhor previsão um pouco mais complicada.
Considere o exemplo extraído de Ragsdale (2014, p.449) o qual utiliza da-
dos de vendas de equipamentos de áudio e vídeo para residências e car-
ros. Na situação, o gerente da loja tenta prever as vendas mensais e faz 
uso do método de médias móveis para obter os resultados desejados.
Após coletar dados sobre vendas mensais para construir uma série tem-
poral,	o	passo	seguinte	a	ser	feito	é	a	construção	de	um	gráfico	para	se	
ter	uma	ideia	visual	da	evolução	das	vendas	e	identificar	características	
que permitam a escolha de um modelo apropriado para a série tempo-
ral.	Com	a	ajuda	do	Excel®	é	possível	construir	facilmente	um	gráfico	de	
linhas,	como	mostrado	na	figura	a	seguir.
30 Eficiência Energética
Figura	1.	Dados	de	vendas	e	gráfico	de	linha
É	possível	observar	no	gráfico	1	que	o	número	de	vendas	mensais	está	
em torno de 30 a 40 unidades nos últimos dois anos (média) e que parece 
não haver tendência clara de aumento ou redução das vendas, ou seja, 
parece haver uma regularidade na série. Portanto, o uso de um método 
de previsão para dados estacionários parece razoável.
O passo seguinte é o ajustamento dos dados para um modelo de médias 
móveis simples, ou seja, com pesos iguais para as observações. Na situ-
ação, o autor utilizou dois valores para k, os valores 2 e 4. Ainda fazendo 
uso	do	Excel®,	o	resultado	obtido	é	mostrado	na	figura	2.
Eficiência Energética 31
Tabela 1. Dados de vendas
Mês NúmeroVendas
Média Móvel
2 meses
Média Móvel
4 meses
1 33 – –
2 38 – –
3 31 35,50 –
4 35 34,50 –
5 30 33,00 34,25
6 36 32,50 33,50
7 34 33,00 33,00
8 39 35,00 33,75
9 39 36,50 34,75
10 36 39,00 37,00
11 40 37,50 37,00
12 38 38,00 38,50
13 37 39,00 38,25
14 39 37,50 37,75
15 32 38,00 38,50
16 38 35,50 36,50
17 37 35,00 36,50
18 39 37,50 36,50
19 37 38,00 36,50
20 35 38,00 37,75
21 37 36,00 37,00
22 34 36,00 37,00
23 35 35,50 35,75
24 36 34,50 35,25
EQM 6,60 7,66
32 Eficiência Energética
Figura	2.	Gráfico	com	médias	móveis	ajustadas
Fórmulas das principais células
Célula Fórmula Copiado para
C5 =MÉDIA(B3:B4) C6:C26
D7 =MÉDIA(B3:B6) D8:D26
C28 =SOMAXMY2($B$7:$B$26;C7:C26)/CONT.NUM(C7:C26) (*) D28
Fonte: Adaptado de Ragsdale (2014, p.450).
(*) A função SOMAXMY2 soma os quadrados das diferenças em dois intervalos ou matrizes correspondentes.
Pode-se observar que os dados previstos tendem a ser menos voláteis, ou 
seja, mais suaves, que os dados reais, o que não é surpresa, pois, a técnica 
de médias móveis tende a compensar os picos e os vales dos dados originais.
A precisão relativa das duas previsões feitas pode ser avaliada pelo EQM. 
Quanto menor o EQM mais acurada é a previsão. Comparando os EQM 
calculados para as médias móveis, pode-se concluir que as médias mó-
veis de dois meses dão previsões mais acuradas que as médias móveis de 
quatro meses.
Eficiência Energética 33
Uma série temporal pode ser descrita pela seguinte equação Xt = f (t) + 
εt onde t = 1, ... , n e f (t)	é	chamado	sinal	e,	εt é o ruído. De acordo com as 
hipóteses feitas sobre f (t), pode-se ter duas classes de modelos: modelos 
de erro e modelos ARIMA.
Nos modelos de erro, f (t) é uma função do tempo completamente deter-
minada	(parte	sistemática	ou	determinística)	e,	εt é uma sequência alea-
tória, independente de f (t).	O	termo	εt, satisfazendo algumas suposições, 
é chamado de ruído branco.
Os erros do modelo são supostamente não correlacionados, o que intro-
duzem grandes limitações na validade dos modelos.
Os modelos de erro foram inicialmente utilizados em astronomia e física. 
No primeiro caso, o interesse era determinar a posição de um planeta em 
um dado momento do tempo. Enquanto que, na física, são utilizados para 
fazer medidas com algum grau de erro.
Os modelos de erro são clássicos para a análise de séries econômicas, 
onde f (t) é composta da adição ou multiplicação de um polinômio em t 
(tempo), de grau geralmente baixo, da forma , que re-
presentará a tendência e, um polinômio harmônico, sendo uma combi-
nação	linear	de	senos	e	cossenos	com	coeficientes	constantes	da	forma	
,	representando	as	flutuações	cíclicas	e	as	varia-
ções sazonais. Um último componente do modelo é um termo de erro, 
significando	as	flutuações	aleatórias.	
Um modelo de erro clássico para séries temporais pode ser escrito como 
a soma de três componentes com a seguinte equação:
onde, Tt	é	uma	componente	de	ciclotendência,	considerando	as	flutua-
ções	cíclicas	de	longo	período,	que	não	podem	ser	identificadas	facilmen-
te dos dados brutos. A componente St representa a sazonalidade.
34 Eficiência Energética
PARA SABER MAIS
O modelo Xt = Tt + St	+	εt é dito aditivo e é adequado quando a 
componente sazonal St não depende das outras componen-
tes do modelo. Se a componente sazonalvariar com a ten-
dência, o modelo mais apropriado é o modelo multiplicativo, 
dado por Xt = Tt · St	·	εt, o qual pode se tornar num modelo 
aditivo com a aplicação de uma transformação logarítmica. 
Também, é possível considerar modelos mistos, como Xt = 
Tt St	+	εt ou modelos mais complexos.
Ao se utilizar técnicas que removam as componentes Tt e St de uma série 
temporal,	o	que	sobra	é	apenas	a	componente	aleatória	ou	residual	εt e, 
como dito anteriormente, é suposto que esta componente seja um pro-
cesso estocástico puramente aleatório, ou seja, um ruído branco.
Para casos em que a suposição de erros não correlacionados não é ga-
rantida, os modelos ARIMA são mais úteis, pois trabalham melhor sob tal 
condição. 
Duas classes de processos podem ser descritas pelos modelos ARIMA: (1) 
Processos lineares estacionários (processo autorregressivo (AR), proces-
so de médias móveis (MA) e, processos autorregressivo médias móveis 
(ARMA)) e, (2) processos lineares não estacionários homogêneos (ARIMA).
2. Modelos de volatilidade estocástica
Uma	característica	presente	em	séries	de	ativos	financeiros	é	o	que	ficou	
conhecido como volatilidade, que é uma medida de risco e, pode ser de-
finida	de	muitas	maneiras,	porém	não	é	diretamente	observável.	Aqui,	
volatilidade	será	o	desvio	padrão	condicional	de	uma	variável	financeira,	
em geral, um retorno1.
1	Variação	relativa	de	preços	de	ativos	financeiros.
Eficiência Energética 35
A volatilidade de uma série temporal é modelada apropriadamente pelos 
modelos heterocedásticos condicionais. Nesses modelos, a volatilidade 
de um retorno num dado instante de tempo, depende de retornos passa-
dos e de outras informações disponíveis até esse dado instante. 
Um modelo típico para a volatilidade de retornos, segundo Morettin 
(2016), é dado na forma , onde é a média condicional de 
rt dada a informação até o instante t – 1, ht é a variância condicional, tam-
bém obtida até o instante t – 1	e	εt é um ruído branco.
Os	modelos	apropriados	para	séries	financeiras	que	apresentam	a	vari-
ância condicional evoluindo no tempo são os que melhor modelam a vo-
latilidade	de	retornos	dos	ativos	financeiros.	Os	modelos	de	volatilidade	
estocástica admitem que a volatilidade varie com o tempo.
Os modelos da família ARCH (modelos autorregressivos com heterosce-
dasticidade condicional) supõem que a volatilidade depende dos retornos 
passados. Os modelos que foram propostos inicialmente não possuíam 
essa suposição e foram criados por Taylor, um pesquisador da área de 
modelagem	financeira.
Morettin	(2016)	define	que	uma	série	de	retornos	rt segue um modelo de 
volatilidade estocástica se ,	onde	εt é uma sequência 
estacionária, com média zero e ht, a variância condicional de rt, é uma se-
quência estacionária, com função densidade de probabilidade f (h).
Taylor construiu uma formulação mais simples para o modelo de volatili-
dade estocástica, a qual supõe que o logaritmo da volatilidade, , 
seja dado por ht = α0 + α1ht-1 + nt , na qual nt é uma sequência estacionária 
gaussiana, ou seja, com distribuição normal, com média zero e variância 
,	independente	de	εt. Também existem outras formulações do modelo 
de volatilidade estocástica na literatura. No entanto, elas não serão abor-
dadas neste texto. 
36 Eficiência Energética
PARA SABER MAIS
Outras formulações para o modelo de volatilidade estocás-
tica foram divulgadas na literatura, sendo que apresentare-
mos duas delas. Uma proposta por Kim et. al. no ano de 1998, 
em que o pesquisador construiu a forma canônica para a vo-
latilidade estocástica e a outra formulação, construída por 
Jaquier et al. no ano de 1994 em que o modelo para a volatili-
dade é trabalhado com distribuição log-qui-quadrada para o 
quadrado do ruído branco (MORETTIN, 2016).
3. Processos não estacionários
Os modelos apresentados na primeira seção deste texto são apropriados 
para descrever séries estacionárias, ou seja, séries que se desenvolvem 
no tempo em torno de uma média constante. Muitas séries econômicas 
e	financeiras	são	não	estacionárias,	mas,	tornam-se	estacionárias	quan-
do recebem uma aplicação do cálculo diferença ou, outra transformação, 
como feito em (1).
O passeio aleatório é o modelo mais simples para uma série temporal 
não estacionária. Diz-se que uma série temporal Xt segue um passeio ale-
atório se a variação em Xt for independente e identicamente distribuída 
(iid), ou seja, se:
A ideia básica de um passeio aleatório é a de que o valor da série temporal 
do dia seguinte será o valor do dia atual mais uma variação imprevisível.
A variância de um passeio aleatório aumenta ao longo do tempo, de for-
ma que, a distribuição de Xt varia ao longo do tempo. No caso de não esta-
cionariedade em variância, algumas transformações, como a logarítmica, 
podem estabilizá-la e, tornar a série temporal em estacionária.
Eficiência Energética 37
Segundo Morettin (2016) existem, basicamente, duas formas de ge-
rar processos não estacionários e que sejam não explosivos. O primei-
ro deles é obtido com a inclusão em um processo estacionário de se-
gunda ordem2 de uma tendência determinística 
como , obtendo-se um processo trend-stationary. 
O termo é denominado função de transferência e é uma função 
de B, o operador translação para o passado, dada da seguinte forma: 
. O operador translação para o passado B realiza 
a operação de translação com uma série temporal do tipo e, de 
forma geral, .
O segundo processo não estacionário não explosivo considera um pro-
cesso linear geral com raiz unitária3, da forma , com 
. O processo é não estacionário porque .
É possível explorar outras características de processos não estacionários. 
No entanto, elas estão além do objetivo deste texto, por isso, não serão 
apresentadas. Aos interessados em aprofundar no assunto, orientamos a 
consulta de Morettin e Toloi (2006).
4. Modelos autorregressivos e de médias móveis
A hipótese de erros não correlacionados traz uma série de limitações 
na validação de modelos do tipo . Portanto, para situações 
onde essa suposição não é garantida, os modelos ARIMA são apropriados 
e utilizados.
A	classe	de	modelos	ARIMA	foi	apresentada	para	a	comunidade	científi-
ca em 1976 pelos pesquisadores ingleses George E. P. Box e Gwilym M. 
Jenkins.	Na	situação,	o	método	ficou	conhecido	como	modelos	de	Box	&	
Jenkins.
2 Processo estocástico fracamente estacionário e que segue algumas condições estatísticas.
3 Condição necessária para que uma série temporal modelada por ARMA(p,q) se torne estacionária.
38 Eficiência Energética
Morettin	(2006)	afirma	que	três	classes	de	processos	podem	ser	descri-
tas pelos modelos ARIMA: (1) processos lineares estacionários; (2) pro-
cessos lineares não estacionários homogêneos e; (3) processos de me-
mória longa.
Neste texto será abordado um caso particular de um processo linear es-
tacionário, um processo autorregressivo e de médias móveis de ordens 
p e q: ARMA(p,q), os quais têm como principal propósito a realização de 
previsão.
De maneira formal, tem-se que um processo linear geral é dado por:
em que µ é um parâmetro que determina o nível da série temporal e, εt é 
um ruído de média 0 e variância σ2, ou seja, um ruído branco.
Os modelos ARMA(p,q) são dados da forma
onde, são os operadores autorregressivos e de 
médias móveis, respectivamente. A parte autorregressiva do modelo con-
sidera na modelagem os valores passados e a parte de médias móveis 
considera os termos de erro como uma combinação linear com termos 
de erro passados.
O modelo (11) pode ser reescrito, de forma compacta, como:
onde, 
Um caso particular de um modelo ARMA, muito utilizado é o ARMA(1,1), 
com suposição de µ = 0 e p = q = 1, ou seja . Para 
este modelo o operador autorregressivo é φ(B) e, o operador de médias 
móveis θ(B) = 1 – θB.
Santos (2016, p.17) faz uma aplicação de modelos ARMA(2,1) para sé-
ries	temporais	sobre	os	dados	de	ativo	financeiro	da	Usiminas,	a	maior	
Eficiência Energética 39
companhia siderúrgica doBrasil. A série temporal utilizada continha cerca 
de 3899 observações e foi obtida do portal Yahoo Finance. Os dados são 
referentes ao período que vai de 19/06/2000 a 22/03/2016.
LINK
Trabalho de conclusão de curso com conteúdo de aplica-
ções de modelos para séries temporais. Disponível em: 
<http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_Samille 
AmaralSantos.pdf>. Acesso em: 14 junho 2018.
Muitas outras características existem para modelos ARMA(p,q). No entan-
to, não serão apresentadas neste texto. Aos interessados em se aprofun-
dar	neste	 tipo	de	modelagem	e,	especificamente,	em	modelagem	para	
séries	financeiras,	podem	consultar	Morettin	(2016).
Você sabia que a metodologia estatística para séries temporais pode 
ser	 utilizada	 em	diversas	 áreas	 profissionais?	 Tente	 identificar	 um	
conjunto de dados da sua área de atuação, em que apresente algum 
tipo de informação/evolução ao longo de um determinado período 
do	tempo	cronológico.	Construa	um	gráfico	desse	conjunto	de	dados	
e, tente encontrar algum tipo de comportamento, como tendência 
crescente ou decrescente, sazonalidade, etc.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
5. Considerações Finais
• Este texto apresentou conceitos básicos de séries temporais.
• Foram apresentados processos estacionários e uma modelagem 
simples para séries com esta característica.
http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_SamilleAmaralSantos.pdf
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40 Eficiência Energética
• Foram apresentados processos não estacionários e algumas de suas 
características.
• Foi apresentada a modelagem ARMA(p,q) e algumas de suas supo-
sições necessárias para a aplicação adequada em séries temporais.
Glossário
• Autorregressivo: tipo de modelagem de dados para séries tem-
porais, o qual utiliza informações passadas da série para construir 
um modelo.
• Sazonalidade: qualidade ou estado de sazonal. Sazonal é um ad-
jetivo que se refere ao que é temporário, ou seja, que é típico de 
determinada estação ou período do ano.
• Tendência: o que leva alguém a seguir um determinado caminho 
ou a agir de certa forma; predisposição, propensão.
• Trend-stationary:	do	inglês,	significa	tendência	estacionária.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 02
1. Escolha a alternativa que mostra um exemplo de série 
temporal.
a) O resultado de um lançamento de um dado.
b) Os resultados do lançamento de vários dados ao mes-
mo tempo.
c) Os resultados do lançamento diário de um dado.
d) A escolha de uma das faces do dado.
e) A escolha de duas faces de dois dados, uma face em 
cada um deles.
Eficiência Energética 41
2. A primeira coisa a se fazer quando deseja-se construir um 
modelo	para	uma	série	temporal	é	um	gráfico	da	série	ori-
ginal.	Assinale	a	alternativa	que	justifica	a	construção	des-
se	gráfico.
a) Identificação	de	características	(tendência,	sazonalida-
de etc.).
b) Tornar o relatório estatístico dos resultados mais 
atrativo.
c) Fazer uso de um programa computacional.
d) Tornar o processo de modelagem subjetivo.
e) Identificar	se	os	dados	são	séries	temporais.
3. Caracteriza uma série temporal que varia em torno de um 
nível constante ao longo do tempo. Assinale a alternativa 
que contém essa característica de uma série temporal. 
a) Sazonalidade.
b) Estacionariedade. 
c) Tendência.
d) Gaussiana.
e) Autorregressivo.
Referências Bibliográficas
HOFFMANN, R. Análise de regressão: uma introdução à econometria. Piracicaba: 
Portal de livros abertos da USP, 2016. Disponível em: < www.producao.usp.br/bitstream 
/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y>. Acesso em: 27 de 
maio de 2018.
MORETTIN, P.A. Econometria financeira:	um	curso	em	séries	temporais	financeiras.	
3 ed. São Paulo: Blucher, 2016, 403p.
MORETTIN, P.A.; TOLOI, C.M. C. Previsão de séries temporais. 2 ed. São Paulo: Atual, 
1987. 450p.
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
http://www.producao.usp.br/bitstream/handle/BDPI/48616/REGRESS.pdf?sequence=5&isAllowed=y
42 Eficiência Energética
. Análise de séries temporais. 2 ed. São Paulo: Edgard Blücher, 2006. 538p.
RAGSDALE, C.T. Modelagem de planilha e análise de decisão: uma introdução 
prática a business analytics. São Paulo: Cengage Learning, 2014. 594p.
SANTOS, S. A. Aplicações dos modelos ARMA a dados financeiros. 2016. 32 f. Trabalho 
de conclusão de curso (Bacharelado em estatística) – Departamento de Estatística, 
Instituto de Ciências Exatas, Universidade de Brasília, Brasília, 2016. Disponível em: 
<http://bdm.unb.br/bitstream/10483/15683/1/2016_SamilleAmaralSantos.pdf>. 
Acesso em: 14 junho 2018.
STOCK, J. H.; WATSON, M. W. Econometria. São Paulo: Pearson Brasil, 2004. 
Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788 
588639140/pages/-20>. Acesso em: 09 junho 2018.
Gabarito – Tema 02
Questão 1 – Resposta: C
Por se tratar de um lançamento diário do dado, é possível registrar a 
informação da face observada após o lançamento e, guardar a infor-
mação por um determinado período.
Questão 2 – Resposta: A
A primeira coisa a se fazer ao dar início numa análise de séries tem-
porais	é	um	gráfico,	com	o	intuito	de	identificar	padrões	nos	dados.
Questão 3 – Resposta: B
Quando uma série temporal oscila em torno de um nível constante, 
pode-se	afirmar	que	a	série	tem	a	característica	de	estacionariedade.
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http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/users/publications/9788
588639140/pages/-20
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Eficiência Energética 43
TEMA 03
ANÁLISE DE MODELOS E 
RELAXAMENTO DOS PRESSUPOSTOS 
CLÁSSICOS
Objetivos
• Apresentar como ocorre o relaxamento de pressupos-
tos clássicos;
• Apresentar como ocorre a heterocedasticidade;
•	Apresentar	como	se	verifica	a	normalidade	dos	erros;
•	Descrever	como	identificar	multicolinearidade;
• Descrever mecanismos de correção de erros.
44 Eficiência Energética
Introdução
O conteúdo a ser apresentado neste texto descreverá sobre os principais 
problemas que surgem da violação dos pressupostos do método de mí-
nimos quadrados, utilizado para ajustar modelos de regressão para con-
juntos de dados.
Com a garantia da validade dos pressupostos de mínimos quadrados do 
modelo ajustado é possível dizer que os estimadores são os melhores, 
são lineares, são não tendenciosos e fornecem as estimativas para a va-
riável dependente mais próximas dos valores reais. No caso contrário, 
nada disso pode ser considerado.
Quando a violação de qualquer um dos pressupostos do modelo ajusta-
do	é	identificada,	faz-se	necessário	tomar	medidas	de	correção	apropria-
das. Tais medidas são desde implementação de estratégias estatísticas 
até mudanças de modelo, ou até mesmo, uma mudança do método de 
estimação.
Para	a	verificação	da	qualidade	do	modelo	ajustado,	ou	seja,	se	os	pres-
supostos são garantidos, são utilizados os resíduos do modelo constru-
ído	com	os	dados	 fornecidos.	Muitas	dessas	verificações	são	 feitas	por	
gráficos,	mas	também	podem	ser	realizadas	com	testes	estatísticos.	Os	
resíduos são dados pela diferença entre os dados reais e os ajustados 
pelo modelo construído, ou seja, são dados por ei = Yi – Ŷi. Quando são pe-
quenos em valores, tem-se uma indicação de que o modelo ajustado está 
produzindo bons resultados e que os pressupostos têm grandes chances 
de estar ocorrendo.
Eficiência Energética 45
1. Heteroscedasticidade
Um modelo estatístico é considerado com um bom ajuste aos dados quan-
do garante todos os pressupostos a ele associados. Com essa garantia, 
tem-se,	 como	 consequência,	 estatísticas	 e	 parâmetros	 confiáveis.	 Caso	
contrário, o modelo não terá boa qualidade e não gerará boas estimativas.
Um dos pressupostos de um modelo estatístico é o que se chama de ho-
mocedasticidade, ou seja, a variância do erro aleatório do modelo é cons-
tante e é a menor dentre as variâncias dos modelos quepodem ser ajus-
tados aos dados.
Em notação matemática, é possível representar a homocedasticidade 
como . Tal notação representa a suposição de que os erros 
têm a mesma variabilidade em torno dos níveis da variável independente 
X (BUSSAB e MORETTIN, 2017).
Quando a homocedasticidade não puder ser garantida pelo modelo ajus-
tado, ocorre uma violação de pressuposto, que é conhecido como hete-
roscedasticidade. Uma das consequências da heteroscedasticidade é a 
perda	de	eficiência	nos	parâmetros	estimados,	ou	seja,	os	estimadores	
obtidos deixam de ser os melhores estimadores lineares não viesados.
Sandroni	(1989	apud	MALASSISE,	2015,	p.127)	define	heteroscedasticida-
de como “conceito de estatística que designa uma distribuição de frequ-
ência em que todas as distribuições condicionadas têm desvios-padrão 
(afastamentos) diferentes”.
A	forma	mais	simples	de	se	verificar	a	heteroscedasticidade	é	através	de	
visualização	gráfica	entre	as	estimativas	do	erro,	ou	seja,	os	resíduos	con-
tra a(s) variável(is) independente(s). Outra forma de detectar heterosce-
dasticidade é com a utilização de testes estatísticos. Em econometria, os 
mais utilizados são os testes propostos por Goldfeld-Quandt, Park, Glejser, 
Pesaran	e	Pesaran.	Muitos	programas	computacionais,	específicos	para	
construção de modelos econométricos, possuem implementados esses 
testes para sua aplicação aos dados utilizados.
46 Eficiência Energética
A	Figura	1	apresenta	alguns	gráficos	de	resíduos	êi contra uma variável in-
dependente X. Vale lembrar que os valores dos resíduos são obtidos após 
o ajuste do modelo de regressão aos dados.
Figura	1	–	Gráficos	de	resíduos	.	(a)	situação	ideal;	(b), 
(c) modelo não linear; (d) elemento atípico; (e), (f), 
(g) heteroscedasticidade; (h) não normalidade.
Fonte: Bussab e Morettin (2017, p. 484). 
Após	 a	 construção	do	 gráfico	dos	 resíduos	 é	preciso	 saber	 identificar	
possíveis inadequações do ajuste do modelo. A Figura 1 apresenta al-
gumas das mais comuns. É claro que, esse tipo de análise é bastante 
subjetivo, pois, cada analista pode ter a sua conclusão, a qual pode dife-
renciar de outros.
A Figura 1 (a) é a situação ideal, ou seja, a situação esperada quando se 
constrói um modelo de regressão. Quando ela ocorre, é possível constatar 
que o pressuposto de homocedasticidade está garantido para o modelo 
ajustado.	Visualmente,	não	é	possível	 identificar	padrões	ou	tendências	
nos	resíduos.	Eles	aparecem	distribuídos	aleatoriamente	no	gráfico.
Já nas Figuras 1 (b) e (c) percebe-se que existem padrões na distribui-
ção	gráfica	dos	 resíduos.	 Isso	 indica	que	o	modelo	 linear	ajustado	não	
está apropriado para os dados. Diante de uma situação dessas, faz-se 
Eficiência Energética 47
necessário aplicar transformações aos dados ou, buscar um modelo não 
linear apropriado para o conjunto de dados.
A situação apresentada na Figura 1 (d) é referente à presença de um dado 
atípico ou discrepante no conjunto de dados. Quando isso ocorre, faz-se 
necessário uma investigação da razão de sua ocorrência, que pode ser di-
versa, como erro de medida ou a ocorrência de uma situação que gerou o 
dado discrepante do restante do conjunto. Diante de ocorrência de dados 
discrepantes, em vez de usar método de mínimos quadrados ordinários 
(MQO) para estimar os parâmetros do modelo, recomenda-se a utilização 
de métodos robustos (não serão tratados neste texto).
Os	casos	apresentados	nas	figuras	1(e),	1(f)	e	1(g)	indicam	de	maneira	clara	
que o pressuposto de homocedasticidade não pode ser garantido para o 
modelo ajustado. É possível perceber que os resíduos não se distribuem de 
maneira	aleatória	no	gráfico	segundo	os	valores	da	variável	independente	X.
E, por último, a Figura 1(h), também, apresenta distribuição não aleatória 
dos resíduos, segundo os valores de X. No entanto, parece apresentar va-
lores de resíduos nos extremos superior e inferior do intervalo de valores 
de sua ocorrência.
Os testes estatísticos citados que avaliam a existência de heteroscedas-
ticidade não serão apresentados com detalhes neste texto. Apenas no 
exemplo de aplicação deste texto será apresentado resultado com o teste 
de Goldfeld-Quandt. Maiores detalhes sobre os testes são possíveis en-
contrar em GUJARATI e PORTER (2008).
PARA SABER MAIS
Teste de Park: é um dos testes estatísticos existentes para 
avaliar a existência de heteroscedasticidade em dados utili-
zados para ajustar modelos. Ele é construído considerando 
que a variância do erro aleatório do modelo seja uma fun-
ção da variável independente Xi. Através dessa função é pos-
sível construir um modelo de regressão e, avaliar se existe ou 
não heteroscedasticidade (MALASSISE, 2015, p. 131).
48 Eficiência Energética
2. Normalidade dos erros
A distribuição normal é uma distribuição de probabilidade apropriada 
para modelar variáveis contínuas, ou seja, variáveis que podem assu-
mir qualquer valor real dentre um determinado intervalo de valores. Por 
exemplo, a altura das pessoas, o volume de água ingerida durante um dia, 
a	variação	de	um	ativo	financeiro,	etc.
A origem da distribuição normal ocorreu através de Gauss, por volta 
de 1810, em seus trabalhos de pesquisas astronômicas. É daí que tam-
bém surge outro nome dado para a distribuição normal, a distribuição 
gaussiana.
Por	definição,	diz-se	que	uma	variável	aleatória	X tem distribuição normal 
com parâmetros µ e σ2, em que , representando a média e 
a variância da distribuição, respectivamente, se sua função densidade de 
probabilidade é dada por:
O modelo clássico de regressão linear supõe que os erros ei tenham dis-
tribuição normal com média 0 e variância σ2. Esse pressuposto pode ser 
representado como .
Há uma série de motivos para que a normalidade dos erros seja um pres-
suposto necessário para se construir um modelo de regressão. A seguir, 
serão apresentados alguns dos principais motivos, segundo Gujarati e 
Porter (2008, p. 119):
1. O termo erro aleatório ei de um modelo de regressão linear represen-
ta	a	influência	combinada	de	um	grande	número	de	variáveis	não	con-
sideradas de forma explícita na modelagem. O que se espera é que a 
influência	delas	seja	a	menor	possível	e,	na	melhor	das	hipóteses,	seja	
aleatória. Se a distribuição do erro for normal, o teorema do limite 
central pode garantir isso.
Eficiência Energética 49
2. Se o termo de erro aleatório for normal é possível obter a distribuição 
de	probabilidade	dos	estimadores	dos	coeficientes	do	modelo	de	for-
ma fácil.
3. A distribuição normal é extremamente conhecida e, portanto, suas 
propriedades teóricas já foram muito exploradas. Além disso, diver-
sos fenômenos seguem uma distribuição normal.
4. É possível utilizar testes estatísticos como os testes t, F e qui-quadrado 
para realizar testes com os estimadores do modelo.
Por esses, dentre outros motivos, é de extrema importância, num proces-
so de modelagem de dados por regressão linear, garantir o pressuposto 
de normalidade para o termo erro.
PARA SABER MAIS
Teste de Normalidade dos resíduos: O teste de Jarque-Bera 
(JB)	é	apropriado	para	verificar	se	os	resíduos	do	modelo	ajus-
tado se aderem a uma distribuição normal. Como limitação, 
pode-se dizer que se trata de um teste assintótico, ou seja, 
que funciona bem apenas para grandes amostras. Outra li-
mitação, é que ele se baseia nos resíduos de mínimos qua-
drados. Maiores detalhes sobre o teste podem ser encontra-
dos em Malassise (2015, p. 133).
3. Multicolinearidade
O termo multicolinearidade foi apresentado por Ragnar Frisch, pesquisa-
dor	da	área	de	economia,	em	1934,	na	Noruega,	mais	especificamente,	
na cidade de Oslo, em um de seus artigos publicados sobre modelos de 
50 Eficiência Energética
regressão. A multicolinearidade em um conjunto de dados ocorre nas va-
riáveis explicativas ou independentes de um modelo econométrico. Por 
exemplo, a renda, a renda per capita e o PIB são variáveis que medem 
informações semelhantes. Portanto, é aconselhável, para que não ocorraproblemas de multicolinearidade, que seja utilizada apenas uma delas em 
um ajuste de modelo.
No entanto, quando não se sabe se as variáveis de um conjunto de dados 
que será utilizado para a construção de um modelo econométrico são 
correlacionadas,o elaborador do modelo pode se deparar com um pro-
blema de multicolinearidade. Embora, segundo Gujarati e Porter (2008), 
sempre existe um grau de correlação entre as variáveis independentes.
Em geral, problemas de multicolinearidade surgem quando existe forte 
relação linear entre as variáveis independentes do modelo, ou seja, o que 
é	definido	como	colinearidade,	pois,	 relação	entre	elas	 sempre	existirá	
em algum grau.
ASSIMILE
COLINEARIDADE: É um termo utilizado para dizer que existe 
correlação linear entre duas variáveis, de tal forma que, não 
é	possível	identificar	o	efeito	de	cada	uma	delas	sobre	a	va-
riável dependente do modelo ajustado. O termo multicoline-
aridade se estende para o caso de colinearidade, que indica 
existência de correlação linear entre mais de duas variáveis 
independentes de um modelo econométrico.
Como dito anteriormente neste texto, Gujarati e Porter (2008) indicam 
que sempre existe algum grau de correlação entre as variáveis indepen-
dentes de um modelo. Estes graus de correlação são apresentados na 
figura	2,	chamada	diagrama	de	Ballentine.
Eficiência Energética 51
Figura 2 – Visão da multicolinearidade segundo o diagrama de Ballentine
(a) Ausência de colinearidade (b) Baixa colinearidade
(c) Colinearidade moderada (e) Colinearidade muito alta(d) Alta colinearidade
Y
X2
X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Y
X2 X3
Fonte: Gujarati e Porter (2008, p. 331)
No diagrama de Ballentini, os círculos Y, X2 e X3 representam as variações da 
variável dependente e das variáveis independentes, respectivamente. O grau 
de colinearidade é dado pela extensão da área marcada com sombreamen-
to, formada com a sobreposição dos círculos. A situação ideal e, que atende 
ao pressuposto de ausência de multicolinearidade, ocorre na Figura 2(a).
Muitas são as fontes de multicolinearidade. Algumas delas são descritas 
por Gujarati e Porter (2008, p. 332), conforme listadas abaixo:
1. O método de coletado dos dados: realização de um procedimento de 
amostragem com faixa delimitada de valores;
2. Restrições impostas ao modelo ou à população que será amostrada 
para a coleta de dados. Uma situação onde isso ocorre, por exemplo, 
em um modelo de regressão do consumo de energia elétrica (X2) e o 
tamanho da residência (X3), existe uma restrição física na população, 
onde as famílias com rendas maiores, em geral, possuem residências 
maiores que aquelas famílias de rendas mais baixas;
52 Eficiência Energética
3. Especificação	do	modelo:	como	exemplo,	na	inclusão	de	termos	poli-
nomiais em um modelo de regressão, principalmente, quando o inter-
valo de valores de valores de variável independente é pequeno;
4. Sobredeterminação do modelo: ocorre quando o modelo possui mais 
variáveis do que número de observações;
5. Tendência comum: ocorre em dados de séries temporais.
Uma forma de diagnosticar a existência de multicolinearidade é através 
de	uma	medida	de	qualidade	do	modelo,	chamada	coeficiente	de	deter-
minação (R2). Quando esta medida apresentar um valor alto (ela varia en-
tre	 0	 e	 1)	 e,	 nenhum	 coeficiente	 estimado	 apresentar	 valor	 estatistica-
mente	significativo,	há	um	forte	indício	de	que	o	modelo	construído	esteja	
apresentando	multicolinearidade.	Outra	maneira	de	identificar	a	multico-
linearidade é pela matriz de correlação, em que, valores superiores a 0,8 
em módulo, indicam a existência de forte correlação entre as variáveis. 
Também,	é	possível	identificar	a	existência	de	multicolinearidade	através	
do	fator	de	inflação	da	variância	(FIV).	O	ideal	é	que	o	FIV	médio	de	um	
conjunto de variáveis não seja maior que 10 ou que o maior FIV de uma 
variável não seja superior a 10.
Malassise (2015, p.17) apresenta alguns procedimentos para reduzir as 
consequências da multicolinearidade, que são: “(1) aumento do tamanho 
amostral; (2) uso de informação a priori sobre os valores das estimativas 
dos parâmetros; (3) transformação da relação funcional entre as variá-
veis dependente e independentes; (4) exclusão de variáveis colineares e; 
(5) uso de razões ou primeiras diferenças, no caso de séries temporais”. 
Vale ressaltar que a ocorrência de multicolinearidade no modelo ajustado 
fere	o	princípio	de	eficiência	do	modelo	ao	não	fornecer	variância	mínima	
para os termos de erro, no entanto, não fere o princípio da sua consistên-
cia, ainda fornecendo estimadores não viesados.
Eficiência Energética 53
LINK
Recomendamos	que	verifique	o	material	aqui	indicado,	para	
que você perceba, em detalhes, a descrição sobre multicoli-
nearidade e apresenta exemplo de aplicação. Disponível em: 
<https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2340848/mod_ 
resource/content/0/Mayara_Multicolinearidade.pdf>. 
Acesso em: 22 junho 2018.
4. Mecanismo de correção de erro
“A	especificação	do	modelo	nada	mais	é	do	que	expressar	a	forma	econo-
métrica de um modelo econômico” (MALASSISE, 2015, p. 37).
Para	que	um	modelo	seja	bem	especificado	faz-se	importante	conhecer	a	
fundo todo o contexto que envolve o problema, assim como, os passos téc-
nicos para sua construção. Desta forma, erros são evitados e, também, a ne-
cessidade de mais esforço para a construção de um modelo econométrico.
A	correta	especificação	de	um	modelo	econométrico	faz	parte	do	conjunto	
de pressupostos de um modelo de regressão linear clássico. Caso contrá-
rio,	ocorrerá	o	problema	de	erro	de	especificação	de	modelo	ou	viés	de	
especificação	de	modelo.
São	diversos	os	 fatores	que	causam	erro	de	especificação	de	um	mode-
lo. Dentre eles, podem ser citados: a omissão de uma variável relevante, 
a inclusão de variáveis desnecessárias no modelo, a forma funcional erra-
da, erro de medidas nas variáveis, a desconsideração da componente de 
interação no modelo, a pressuposição de que o termo de erro tem distri-
buição normal, etc. Existem alguns testes estatísticos que ajudam a detec-
tar	erros	de	especificação	para	alguns	casos	específicos,	como	os	citados	
https://edisciplinas.usp.br/pluginfile.php/2340848/mod_resource/content/0/Mayara_Multicolinearidade.pdf
54 Eficiência Energética
anteriormente.	Por	exemplo,	para	verificar	a	existência	de	variáveis	desne-
cessárias no modelo, pode-se recorrer à estratégia chamada “abordagem 
de	baixo	para	cima”,	que	significa	construir	vários	modelos,	a	partir	de	um	
modelo menor, com menos variáveis, até modelos maiores. Essa estratégia 
também é conhecida como garimpagem de dados ou data mining.
O objetivo da garimpagem de dados é desenvolver o “melhor” modelo 
após	os	diversos	testes	diagnósticos,	no	intuito	de	se	obter	o	modelo	fi-
nal	mais	apropriado,	no	sentido	de	que	todos	os	coeficientes	estimados	
sejam	estatisticamente	significativos	e	possuam	os	seus	sinais	corretos.	
Para	exemplificar,	o	teste	de	Durbin-Watson	faz	parte	dos	testes	estatísti-
cos utilizados neste processo.
Muitos	outros	procedimentos	para	verificação	de	erros	e	aplicação	de	cor-
reção existem na literatura, no entanto, não serão abordados neste texto. 
Os interessados em aprofundar no assunto podem consultar Gujarati e 
Porter (2008).
EXEMPLIFICANDO
Malassise	(2015,	p.	136)	apresenta	uma	aplicação	de	verifica-
ção de heteroscedasticidade em um conjunto de dados, cor-
respondentes a salários (W) e anos de escolaridade (A). Parte 
dos	dados	é	mostrada	na	figura	abaixo.
Figura 3 – Dados de salários e anos de escolaridade
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y1)
Salários
(X1)
Anos de 
estudo
Y* X*
120 0 120 0 0,099797 0 0,099797 0
507 2 130 0 0,421643 0,299439 0,108114 0
251 1 145 0 0,208742 0,14972 0,120588 0
467 2 220 0 0,388377 0,299439 0,182961 0
637 3 251 1 0,529756 0,449159 0,208742 0,14972
Eficiência Energética 55
(Y)
Salários
(X)
Anos de 
estudo
(Y)
Salários
(X)
Anos deestudo
(Y1)
Salários
(X1)
Anos de 
estudo
Y* X*
861 4 467 2 0,716044 0,598878 0,421643 0,222439
130 0 507 2 0,108114 0 0,388377 0,299439
145 0 637 3 0,120588 0 0,529756 0,449159
220 0 861 4 0,182961 0 0,716044 0,598878
1099 5 1099 5 0,913975 0,748598 0,913975 0,748598
1226 6 1160 8 1,019593 0,898317 1,019593 0,898317
1243 7 1226 6 1,033731 1,048037 1,033731 1,048037
1439 8 1243 7 1,196733 1,197756 1,196733 1,197756
[...]
3464 17 3223 16 2,880809 2,545232 2,346063 2,395513
3078 17 3259 15 2,559795 2,545232 2,880809 2,545232
2587 15 3464 17 2,151459 2,245793 2,559795 2,545232
3692 21 3692 21 3,070423 3,14411 3,070423 3,14411
3788 22 3788 22 3,150261 3,29383 3,150261 3,29383
4140 23 4140 23 3,442999 3,443549 3,58022 3,29383
4305 22 4305 22 3,58022 3,29383 3,442999 3,443549
Desvio padrão = 1202,044 (salários) e 6,679155 (anos de estudo).
Salários Y1 e Ano X1 = variáveis divididas pelos seus desvios padrões.
Y* e X* são a regressão dos valores de salário Y1 e anos de estudo X1.
Fonte: Malassise (2015, p.137)
Os resultados da regressão, obtidos no Excel, no suplemento ferramen-
tas	de	análise,	são	apresentados	na	figura	a	seguir,	para	salários	(W)	como	
variável dependente e, anos de escolaridade (A) variável independente.
Figura 4 – Regressão: salários em função de anos de escolaridade
RESUMO DOS RESULTADOS
Estatísticas de regressão
R múltiplo 0,988576
R-Quadrado 0,977282
R-Quadrado ajustado 0,976633
Erro padrão 183,7493
Observações 37
56 Eficiência Energética
RESUMO DOS RESULTADOS
ANOVA
  gl SQ MQ F F designificação
Regressão 1 50835032 50835032 1505,607 2,33E-30
Resíduo 35 1181734 33763,82
Total 36 52016766      
  Coeficiente
Erro
padrão Stat t Valor-P 95% Inferior
95%
Superior
Interseção 124,0547 54,90802 2,259318 0,030195 12,58549 235,5239
Variável X 177,9134 4,585144 38,80215 2,33E-30 168,6051 187,2218
Fonte: Malassise (2015, p. 138).
Da tabela de regressão podem ser obtidos os valores estimados para 
os	coeficientes,	que	são:
O	gráfico	dos	resíduos	contra	os	valores	da	variável	independente,	anos	
de escolaridade, é mostrado a seguir.
Figura	5	–	Gráfico	dos	resíduos	contra	anos	de	escolaridade
Fonte: Malassise (2015, p. 139).
Eficiência Energética 57
Com	o	gráfico	da	Figura	5	é	possível	perceber	que,	à	medida	que	os	anos	
de escolaridade aumentam (crescente da esquerda para a direita), os 
resíduos também aumentam de valor. Isto é um indicativo da existên-
cia de correlação entre resíduos e a variável independente do modelo 
ajustado e, consequentemente, um indicativo de existência de heteros-
cedasticidade no modelo ajustado. A autora aplicou o teste de Goldfeld-
Quandt	para	confirmar	a	existência	de	heteroscedasticidade.	Através	de	
um	teste	F	foi	possível	confirmar	que	o	modelo	ajustado	viola	o	pressu-
posto de homocedasticidade. Maiores detalhes sobre a implementação 
do teste podem ser encontrados em Malassise (2015).
No processo de criação de um modelo econométrico há uma busca 
incessante	pela	correta	especificação	dele.	É	como	se	o	analista	esti-
vesse numa caça ao tesouro perdido. Para isso, muitas questões são 
levantadas com o propósito de se obter o caminho correto. Uma des-
tas perguntas seria “Como se faz para encontrar o modelo correto?”. 
Pense sobre esta pergunta e descreva sua resposta em forma de itens.
QUESTÃO PARA REFLEXÃO
5. Considerações Finais
• Abordamos sobre o relaxamento de pressupostos básicos de mode-
los de regressão linear clássicos.
• Apresentamos	a	definição	de	heteroscedasticidade	e	como	ela	pode	
ocorrer em ajustamento de modelos econométricos.
• Foi	apresentado	como	se	verifica	o	pressuposto	de	normalidade	dos	
erros de um modelo e a importância que a distribuição normal tem 
no contexto de modelagem de dados.
• Observamos	a	importância	de	se	especificar	corretamente	os	mode-
los	e	formas	de	verificar	se	estão	bem	construídos.
58 Eficiência Energética
Glossário
• Atípico: que se afasta do normal, do característico; anômalo, inco-
mum, raro.
• Discrepante: que se destaca pela diferença; destoante.
• Robusto: resistente; poderoso.
VERIFICAÇÃO DE LEITURA
TEMA 03
1. É	a	forma	mais	simples	de	identificar	a	existência	de	hete-
roscedasticidade em um modelo de regressão ajustado. A 
afirmativa	está	se	referindo	a:	
a) Gráfico.
b) Tabela.
c) Teste.
d) Intuição.
e) Dedução.
2. A distribuição normal possui quantos parâmetros?
a) Um.
b) Dois.
c) Três.
d) Quatro.
e) Nenhum.
3. Se	o	coeficiente	de	correlação	linear	entre	duas	variáveis	
independentes de um conjunto de dados que será utiliza-
do para ajustar um modelo de regressão apresentar valor 
de 0,85, o que é possível concluir em relação aos pressu-
postos do modelo? 
Eficiência Energética 59
a) Ausência de heteroscedasticidade.
b) Presença de heteroscedasticidade.
c) Ausência de colinearidade.
d) Presença de colinearidade.
e) Erro	de	especificação.
Referências Bibliográficas
BUSSAB, W.; MORETTIN, P. Estatística básica. 9. ed. São Paulo: Saraiva, 2017. 554p.
GUJARATI, D.N.; PORTER, D.C. Econometria básica. 5. ed. São Paulo: AMGH, 2008. 924p.
MALASSISE, R. L. S. Econometria. 1. ed. Londrina: Editora e Distribuidora Educacional 
S/A, 2015. v. 1. 192p. Disponível em: <http://anhanguera.bv3.digitalpages.com.br/
users/publications/9788584822065/pages/-2>. Acesso em: 26 maio 2018.
Gabarito – Tema 03
Questão 1 – Resposta: A
A	forma	mais	simples	de	se	verificar	existência	de	heteroscedastici-
dade	em	um	modelo	de	regressão	ajustado	é	através	de	gráfico	dos	
resíduos contra os valores da(s) variável(is) independente(s).
Questão 2 – Resposta: B
A distribuição normal possui dois parâmetros que são a média e a 
variância, representadas pelas letras gregas µ e σ2, respectivamente.
Questão 3 – Resposta: D
Se	o	coeficiente	de	correlação	linear	entre	duas	variáveis	apresentar	
valor de 0,85, há indícios de que elas estão fortemente correlaciona-
das e, se forem incluídas no mesmo modelo ajustado, possivelmen-
te, causarão colinearidade no ajuste.
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Eficiência Energética 60
TEMA 04
REGRESSÃO COM VARIÁVEIS DUMMY
Objetivos
• Apresentar variáveis dummy como constantes;
• Apresentar variáveis dummy	 como	 coeficientes	
angulares;
• Apresentar modelos de diferenças em diferenças.
Eficiência Energética 61
Introdução
Os modelos de regressão apresentados até aqui foram elaborados com 
variáveis do tipo razão, também conhecida como proporcional ou cardi-
nal, ou seja, variáveis que permitem a utilização de todas as operações 
matemáticas básicas. Por exemplo, a estatura, valores monetários, idade 
e peso. No entanto, isso não deveria dar a impressão de que os modelos 
de regressão só podem lidar com variáveis desse tipo, pois, podem ser 
construídos com outros tipos de variáveis. Neste texto serão considera-
dos modelos de regressão que trabalham com variáveis independentes 
que são conhecidas como variáveis indicadoras ou binárias.
Uma variável binária (também denominada variável dummy) é aquela que 
só tem dois valores distintos, geralmente zero e um. Em um modelo de 
regressão,	a	variável	dependente	também	pode	ser	influenciada	por	va-
riáveis	de	natureza	qualitativa,	onde,	em	geral,	significam	a	presença	ou	
ausência de uma “qualidade” ou atributo, como ser homem ou mulher, 
ser católico ou não, etc.
A	quantificação	de	atributos	qualitativos	em	modelos	de	regressão	nos	
valores zero e um, para variáveis independentes, é realizada para cons-
truir	uma	classificação	em	categorias	mutuamente	exclusivas,	sem	possi-
bilidade de sobreposição.
Em um mesmo modelo podem haver variáveis quantitativas e qualitati-
vas, no entanto, neste texto, serão considerados os modelos que pos-
suem apenas variáveis independentes qualitativas.
1. Variáveis dummy como constantes
Os métodos estatísticos para comparação de médias de vários grupos que 
relacionam a associação entre uma variável quantitativa e uma