Escoamento em condutos forçados

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DESCRIÇÃO
Apresentação dos conceitos básicos de escoamento em tubulações: cálculo da perda de carga, associação de tubos,
sistemas de tubulações, cálculo de redes de distribuição e aplicações com o EPANET.
PROPÓSITO
Examinar os conceitos necessários para o projeto, a análise e a verificação do escoamento em tubulações, incluindo
aplicação específica em redes de distribuição de água.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar este conteúdo, certifique-se de que tem acesso à calculadora do seu dispositivo e tenha em mãos papel e
caneta para a resolução dos exercícios. Para solução de alguns problemas, é necessário ter acesso a um aplicativo de
planilha eletrônica, como Google Planilhas, Excel e OpenOffice Calc. Será necessário ter instalado o software EPANET,
disponível pela UFPB (português) e pela USEPA (inglês).
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Calcular a perda de carga
MÓDULO 2
Comparar tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
MÓDULO 3
Analisar o escoamento em tubulações, a perda em marcha e a sobrepressão em transiente hidráulico
MÓDULO 4
Calcular pressões e vazões em redes de distribuição de água
ESCOAMENTO EM CONDUTOS FORÇADOS
MÓDULO 1
 Calcular a perda de carga
PERDA DE CARGA EM TUBULAÇÕES
INTRODUÇÃO
 
Imagem: Shutterstock.com
O escoamento de fluidos no interior de tubulações tem inúmeras aplicações de interesse econômico, como o transporte de
água, gás, minério e petróleo. Neste estudo, a aplicação de conceitos da Mecânica dos Fluidos culmina em um conjunto de
equações e métodos adotados para o projeto de tubulações, pertencentes à disciplina Hidráulica.
Nos tópicos a seguir, abordaremos os conhecimentos requeridos para que o engenheiro seja capaz de calcular pressões e
vazões no interior de condutos com escoamento forçado.
CLASSIFICAÇÕES
REGIME TEMPORAL
O primeiro passo na análise de qualquer escoamento consiste em classificá-lo, sob diferentes aspectos. Vamos começar
avaliando o regime temporal, que pode ser:
Permanente (ou estacionário)
Quando as velocidades e pressões não variam no tempo.

Não permanente
Quando há variações temporais.
O regime temporal não permanente é subdividido em:
QUASE-PERMANENTE
As condições de contorno se alteram ao longo do tempo (ex.: enchimento ou esvaziamento de reservatórios), mas isso
ocorre muito lentamente e as acelerações podem ser desprezadas.
TRANSIENTE
Quando há acelerações significativas no fluido, sendo subdividido em:
Transiente gradual: as variações de vazão e pressão são graduais, não ocorrendo ondas de pressão. A
compressibilidade do fluido é desconsiderada.
Transiente rápido (golpe de aríete): uma mudança brusca (ex.: fechamento rápido de válvula) causa ondas de
pressão que se propagam no interior do duto, portanto, a compressibilidade do fluido deve ser considerada para
cálculo da velocidade da onda de pressão.
Essa ordem também representa uma escala crescente de dificuldade de cálculo. Por exemplo, suponha que você deve
dimensionar a tubulação que interliga o reservatório A ao B, sendo o primeiro mais elevado (Figura 1).
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 1 – Tubulação de interligação de dois reservatórios.
Ao abrir a válvula V, que fica junto ao reservatório B (jusante), o fluido começará a escoar, constituindo, então, um
escoamento transiente gradual (Figura 2). Após determinado tempo, o equilíbrio será atingido, mas haverá redução da vazão
devido à mudança do nível da água (esvaziamento de A e enchimento de B), o que ocorrerá de forma muito lenta e,
consequentemente, em regime quase-permanente.
 DICA
Se fecharmos a válvula V muito rápido, ocorrerá um transiente hidráulico.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 2 – Comportamento da pressão ao longo do tempo na abertura de uma válvula, seguida de fechamento rápido.
Por sorte, a maioria dos projetos hidráulicos são feitos com base em análise de regime permanente, pois o objetivo é
calcular as características do escoamento quando o equilíbrio é alcançado, ou seja, não há mais variações no tempo.
TURBULÊNCIA
Quanto à turbulência, os escoamentos podem ser classificados em:
LAMINARES
Com predominância dos esforços viscosos, as partículas se movem ao longo de trajetórias bem definidas (lâminas).
TURBULENTOS
Campo de velocidade irregular, com flutuação tridimensional da vorticidade e dissipação de energia.
TRANSICIONAL
Intermediário, não sendo laminar, mas também não apresentando ainda todas as características do turbulento.
A classificação é feita com base no número de Reynolds, o adimensional que mede a relação entre forças inerciais e forças
viscosas, definido por:
Re = =
ρVD
μ
VD
ν
(1)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde (unidades no S.I.):
 é a massa específica do fluido (kg/m³);
 é a viscosidade dinâmica (kg/m.s);
 é a viscosidade cinemática (m²/s), ;
 é a velocidade do escoamento (m/s);
 é o diâmetro interno da tubulação (m).
As propriedades necessárias para o cálculo de ( e ) para fluidos comuns são listadas na Tabela 1:
Fluido
Viscosidade, 
(Pa.s)
Massa específica, 
(kg/m³)
Ar 1,80x10-5 1,20
Gasolina 2,92x10-4 680
Água 1,00x10-3 998
Óleo SAE 30W 2,90x10-1 891
Água do mar 1,07x10-3 1.025
Tabela 1 – Propriedades de fluidos comuns à 20°C e 1 atm. 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
A classificação com base no valor de é feita de acordo com a Tabela 2:
Classificação Imagem
 < 2300 Laminar
ρ
μ
ν ν = μ/ρ
V
D
Re ρ μ
μ ρ
Re
Re
Re
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
2300 < <
4000
Transição
4000 < Turbulento
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Tabela 2 – Classificação de escoamento no interior de tubulações. 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Quase todos os escoamentos de interesse econômico são turbulentos, mas devemos ficar atentos caso nos deparemos com
uma exceção, pois as fórmulas serão diferentes, conforme veremos nos próximos tópicos.
EXEMPLO
Qual é o regime de escoamento, turbulento ou laminar, em um tubo de aço com DN (diâmetro nominal) de 2” (diâmetro
interno de 54,3mm) por onde escoa água a 2,5L/s?
Conforme vimos, essa classificação é feita de acordo com o número de Reynolds, .
Para calcular a velocidade a partir da vazão, temos que :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, com base nas propriedades listadas na Tabela 1:
Re
Re
Re = ρVD/μ
Q = VA
V = = = = 1,08m/s
Q
A
Q
πD2/4
2,5⋅10−3
π(54,3⋅10−3)
2
/4
Re = = 5,8 ⋅ 104
998⋅1,08⋅(54,3⋅10−3)
1⋅10−3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, como , trata-se de escoamento turbulento.
Observa-se que, mesmo variando os dados do problema, ainda dentro de limites encontrados na prática, fica muito difícil
alcançar um escoamento laminar.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CONDUTO FORÇADO E CONDUTO LIVRE
Por último, vamos abordar a diferença entre:
(A) CONDUTO FORÇADO
O fluido é impulsionado pela diferença de pressão, portanto, ela será diferente da atmosférica e variará ao longo da
tubulação, mas a gravidade também pode contribuir.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento

(B) CONDUTO LIVRE
O fluido é impulsionado apenas pela gravidade, e a pressão da sua superfície livre é constante e igual à atmosférica. 
 
Re > 4000
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 3 – Conduto forçado (a) e conduto livre (b).
 COMENTÁRIO
Neste estudo, apresentaremos apenas a análise de condutos forçados, típicos de tubulações.
FÓRMULA UNIVERSAL: FATOR DE ATRITO
EQUAÇÃO DA ENERGIA
A carga (energia), , de um fluido em um ponto i da tubulação é determinada pela soma da carga de pressão, da carga
cinética e do potencial gravitacional (elevação):
(2)
 Atenção! Para visualização completa da equaçãoutilize a rolagem horizontal
Onde:
 é a pressão (Pa);
o peso específico (N/m³) é obtido por ;
Hi
Hi = + αi + zi
pi
γ
V 2
i
2g
pi
γ = ρg
 é o fator de correção da carga cinética (adimensional), sendo para escoamento laminar e para
turbulento;
 é a velocidade (m/s) média ao longo da seção do ponto ;
 é a elevação ou cota (m) do ponto .
Em regime permanente (equilíbrio), a energia entre os pontos 1 e 2 de uma tubulação é relacionada por ,
onde a última parcela se refere à variação de energia (positivo para redução) entre os pontos. Essa variação pode ser
causada por turbina , bomba e perdas , portanto, considerando regime turbulento:
(3)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde
 é a carga de turbina (m);
 é a carga de bomba (m), subtraída da equação por se tratar de um ganho;
 é a soma de todas as perdas (m).
Observe, pela Equação (3), que, se desejarmos calcular a pressão no ponto 2, sabendo o valor no ponto 1, será necessário
prever a perda de carga entre esses pontos. Outra situação importante é quanto precisamos descobrir para que vazão
ocorrerá equilíbrio entre dois pontos cujas pressões já são conhecidas.
Em ambos os casos citados, fica evidente a necessidade de saber calcular a perda de carga (energia) em tubulações. Há
dois tipos de perda em tubulações:
Perda distribuída (ou normal)
Ocorre pelo “atrito” (tensão cisalhante) com as paredes do duto ao longo do comprimento, portanto, depende do tipo de
material (rugosidade, ε), conforme a Tabela 3.

Perda localizada (ou singular)
Ocorre devido às recirculações e à intensificação da turbulência causada pela mudança da direção de fluxo em acessórios
como curvas, tês, válvulas e reduções. Nesse caso, o tipo de material não é significativo, mas o tipo (geometria) da
singularidade.
Material Rugosidade, ε 
αi α  =  2 α ≅1
Vi i
zi i
H1 = H2 + ΔH12
(hT ) (hB) (hP )
+ + z1 = + + z2 + hT − hB + hP
p1
γ
V 21
2g
p2
γ
V 22
2g
hT
hB
hP
( m = 10-3mm = 10-6m)
PVC 1,5 – 60
Cobre 1,5
Aço comercial e FoFo novo 45
Aço soldado e FoFo moderadamente oxidado 300 - 400
FoFo com elevada oxidação 1000 - 15000
Concreto centrifugado novo 160
Concreto armado liso antigo 200 - 300
Tabela 3 – Rugosidade absoluta de materiais comuns. 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
FÓRMULA DE DARCY-WEISBACH (D-W) OU UNIVERSAL
A fórmula mais conhecida para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações é a Fórmula de Darcy-Weisbach (D-
W), que − por se aplicar a qualquer fluido e regime de escoamento − é também chamada de fórmula universal, definida por:
(4)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calculando a perda de carga unitária , definida pela energia perdida por comprimento de tubulação . O é um
parâmetro adimensional, porém, como seus valores são pequenos, usualmente adota-se m/km (metro de carga perdida para
cada quilômetro de tubulação) ou m/100m.
μ
J = =
hP
L
f
D
V 2
2g
J hP L J
Essa equação, além da velocidade média da seção e do diâmetro interno , depende do fator de atrito ,
que é função de (número de Reynolds) e (rugosidade relativa).
Substituindo , a Equação (4) pode ser reescrita por:
(5)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Um tubo horizontal de 6m de comprimento com diâmetro interno de 17mm foi testado em laboratório, aplicando-se um
escoamento com velocidade de 1,50m/s. A diferença de pressão obtida entre o início e o fim do tubo foi de 12,4kPa. Calcule:
a perda de carga absoluta, ;
a perda de carga unitária, ;
o fator de atrito, .
Conforme a Equação (3):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como os pontos 1 e 2 (início e fim da tubulação) estão na mesma altura (tubo horizontal), . Pelo princípio da
continuidade, temos e, como o diâmetro é constante , . Não há bomba nem turbina 
. Sendo assim, a equação anterior se resume a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo-se a massa específica da água (Tabela 1), a perda de carga (absoluta):
V D f = f(Re, ε/D)
Re ε/D
V = Q/A = Q/(πD2/4)
J = = 0,0826hP
L
fQ2
D5
hP
J
f
+ + z1 = + + z2 + hT − hB + hP
p1
γ
V 21
2g
p2
γ
V 22
2g
z1 = z2
V1A1 = V2A2 (A1 = A2) V1 = V2
(hT = hB = 0)
hP =
p1−p2
γ
hP = = = 1,27m
Δp
ρg
12,4⋅103
998⋅9,8
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A perda de carga unitária é definida por:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para obter o fator de atrito, a Fórmula de Darcy-Weisbach (universal), Equação (4), deve ser aplicada:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No exemplo que acabamos de resolver, a perda de carga foi medida em laboratório, por meio da diferença de pressão entre
dois pontos. Determinamos, então, qual o fator de atrito correspondente.
Essa, porém, não é a sequência usual necessária em análise de tubulações, quando precisamos calcular a perda de carga
e, previamente, o fator de atrito. A seguir, veremos os métodos para obter o valor de .
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
CÁLCULO DO FATOR DE ATRITO
Para escoamento laminar, o fator de atrito é obtido com solução analítica, cujo desenvolvimento pode ser consultado na
bibliografia em referência, obtendo-se:
(6)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em regime turbulento, décadas de pesquisa entre os séculos XIX e XX, envolvendo diversos cientistas, levaram à Equação
de Colebrook-White:
J = = = 0,212m/m = 212m/kmhP
L
1,27
6
J =
f
D
V 2
2g
→      f = = = 0,0314
2g J D
V 2
2⋅9,8⋅0,212⋅(17 ⋅10−3)
( 1,5 ) 2
f
f = 64
Re
(7)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se de uma equação implícita, pois não pode ser calculado diretamente (explicitamente), porém, os programas de
computadores a resolvem por método iterativo em frações de segundo.
Caso você precise de uma maneira direta para calcular , uma alternativa aproximada é a Equação de Swamee-Jain:
(8)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Essa fórmula fornece resultados com menos de 1% de erro, para e , o que
abrange a maioria dos escoamentos que ocorrem na prática.
 DICA
O Diagrama de Moody (Figura 4) era muito popular quando não tínhamos recursos computacionais para resolver as
equações citadas anteriormente, fornecendo o valor de de forma gráfica.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 4 – Diagrama de Moody.
Outra utilidade do Diagrama de Moody é a visualização de diferentes classificações do escoamento com base no
comportamento de (Figura 5).
= −2,0 log  ( + )1
√f
ε/D
3,7
2,51
Re√f
f
f
f =
0,25
[ log( + ) ]
2ε/D
3,7
5,74
Re0,9
10−6 ≤ ϵ/D  ≤ 10−2 5 × 103 ≤ Re ≤ 108
f
f
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 5 – Classificações do escoamento quanto à turbulência e a rugosidade.
Para região crítica, há diferentes formulações encontradas na literatura, que procuram ajustar a reta que vem da região
laminar para as curvas do regime turbulento. Uma delas é a expressão proposta por Swamee:
(9)
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 RESUMINDO
Para calcular o valor do fator de atrito , podemos utilizar, de acordo com o regime:
Laminar: Equação (6).
Regime turbulento: Equação de Colebrook-White (7) ou a aproximação Swamee-Jain (8).
Transição entre laminar e turbulento (região crítica): Equação de Swamee (9).
Qualquer regime: Diagrama de Moody (Figura 4).
EXEMPLO
Calcule o coeficiente de atrito, por diferentes métodos, para um escoamento onde e .
Como , trata-se de escoamento turbulento, e podemos utilizar:
f = {( )8 + 9,5[l n( + )−( )6]−16
}
0,125
64
Re
ε/D
3,7
5,74
Re0,9
2500
Re
f
ε/D  =  0, 0003 Re  =  5. 105
Re  >  4000
Colebrook-White, Equação (6):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme já mencionado, essa equação exige uma solução iterativa. Portanto, vamos arbitrar um valor inicial para , por
exemplo, =1. Colocando esse valor no que está no argumento do log e completando os valores de e ,
obteremos =0,0151. Utilizando esse novo valor no argumento do log, obteremos = 0,0163. Repetindo o procedimento
anterior, teremos o mesmo valor, o que indica que foi alcançada a convergência (solução).
Então, = 0,0163.
Swamee-Jain, Equação (8):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo os valores de e , teremos .
Pelo Diagrama de Moody:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
O que resulta em = 0,016.
TIPOS DE PROBLEMAS
= −2,0 log  ( + )1
√f
ε/D
3,7
2,51
Re√f
f
f0 f ε/D Re
f1 f2
f
f =
0,25
[ log  ( + ) ]
2ε/D
3,7
5,74
Re0,9
ε/D Re f = 0, 0164
f
Dependendo de que dados são conhecidos e quais resultados deseja-se calcular, a solução pode ser muito diferente. Vamos
classificar aqui três tipos de problemas.
TIPO 1
Nesse problema, o diâmetro e a vazão são conhecidos, consequentemente, pela relação , a velocidade também é
obtida. A incógnita será, então, a perda de carga, o que é necessário para o cálculo da pressão (Figura 6). Com a
velocidade, obtemos , utilizado para a determinação de e, por fim, da , constituindo uma solução direta. Um exemplo
é quando desejamos verificar se as pressões em uma rede estão acima do mínimo requerido por norma.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 6 – Problema de perda de carga tipo 1 – pressão desconhecida.
TIPO 2
Aqui, desejamos descobrir qual a vazão para determinada perda de carga, o que ocorre, por exemplo, ao calcular a vazão
de equilíbrio na ligação entre dois reservatórios (Figura 7). A perda de carga será igual à diferença dos respectivos níveis de
água. Observando a equação de Darcy-Weisbach (4), percebemos que a velocidade é implícita em , inviabilizando o
cálculo direto do problema, requerendo uma solução iterativa.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 7 – Problema de perda de carga tipo 2 – vazão desconhecida.
TIPO 3
Temos, ainda, o tipo de problema no qual devemos calcular qual diâmetro resultará em vazão e pressão dentro de limites
preestabelecidos (ex.: mínimo e máximo de norma). Nesse caso, pode haver mais de uma solução com diâmetros
comercialmente disponíveis, e o engenheiro deverá optar pela opção mais econômica. Assim como no problema anterior,
esse tipo também requer solução iterativa.
A Tabela 4 apresenta um resumo desses três tipos de problema:
Q = VA
Re f hP
f
Tipo Dado além de , , e Solução Exemplo
1     Direta Verificação de pressões
2     Iterativa Vazão de equilíbrio entre dois reservatórios
3     Iterativa Dimensionamento
Tabela 4 – Tipos de problema com perda de carga. 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
A ligação entre dois reservatórios abertos, cujos níveis de água diferem em 26m, é feita por uma tubulação de FoFo (ferro
fundido) com leve oxidação, sendo ε = 0,3mm, DN (diâmetro nominal) 4”, diâmetro interno de 107mm e comprimento de
600m. Desconsiderando as perdas localizadas, determine a vazão transportada em regime permanente.
Com base na Tabela 4, trata-se de um problema tipo 2, cuja solução com a equação de Darcy-Weisbach (universal) requer
cálculo iterativo. Para situação de equilíbrio (regime permanente), é válida a Equação (3):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos definir os pontos 1 e 2 como as superfícies dos reservatórios, pois lá temos as informações necessárias.
ε L ρ μ
D Q V hP
+ + z1 = + + z2 + hT − hB + hP
p1
γ
V 21
2g
p2
γ
V 22
2g
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Como a pressão (manométrica) e a velocidade nesses pontos são nulas e não há bombas, nem turbinas, a equação anterior
se reduz a:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Perceba, então, que em problemas de ligação entre reservatórios a perda de carga será igual ao desnível da água.
Aplicando a fórmula universal da perda de carga (4):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A segunda relação entre e pode ser obtida pela Equação de Swamee-Jain (8):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde e .
hP = z1 − z2 = Δz = 26m
J = =             →           = ⋅hP
L
f
D
V 2
2g
26
600
f
0,107
V 2
2⋅9,8
→        V =     (i)0,301
√f
f V
f =   (ii)0,25
[ log  ( + ) ]
2ε/D
3,7
5,74
Re0,9
ε/D  =  0, 3/107  =  0, 0028 Re = ρVD/μ = 998 ⋅ V ⋅ 0,107/10−3 = V ⋅ 1,07 ⋅ 105
Conforme mencionado anteriormente, esse problema exigirá uma solução iterativa. Para começar, precisamos arbitrar um
valor inicial, digamos :
utilizando a Equação (ii), obteremos = 0,0272;
aplicando esse valor na Equação (i), = 1,82 m/s;
voltando à Equação (ii), com esse novo valor, teremos = 0,0266;
novamente na Equação (i), = 1,84 m/s.
Observe que a diferença entre as duas últimas velocidades calculadas é muito pequena, consequentemente, se
calculássemos mais uma iteração, ela seria desprezível. Conclui-se, portanto, que foi alcançada a convergência do método
iterativo e o valor final é = 1,84m/s. É importante ressaltar que, caso utilizássemos um valor arbitrado diferente
(começamos com = 1m/s), chegaríamos no mesmo valor final.
Por fim:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FÓRMULAS EMPÍRICAS
A fórmula universal é importante pois se aplica para qualquer fluido e condição. Você deve ter observado, porém, o trabalho
necessário para calculá-la.
Para contornar isso e tornar o cálculo da perda de carga mais prático, podem ser utilizadas as fórmulas empíricas, tendo
como formulação geral , cujas constantes , e foram ajustadas com base em experimentos.
Consequentemente, a aplicabilidade fica restrita aos fluidos e às condições para os quais suas constantes foram obtidas.
FÓRMULA DE HAZEN-WILLIAMS (H-W)
Foi obtida para água a 20°C, escoando em regime turbulento com rugosidade transicional em diâmetros industriais
(usualmente "):
(10)
V0 = 1m/s
f0
V1
f1
V2
V
V0
Q = VA = V ⋅( )= 1,84 ⋅[ ]= 0,0165m3/s = 16,5L/sπD24
π ( 0,107 ) 2
4
J = K Qn/Dm K m n
D ≥ 2 "
J = = 10,65      (S. I.)hp
L
Q1,85
C 1,85D4,87
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
 é a vazão (m³/s, no S.I.);
 é o diâmetro (m, no S.I.);
 é o coeficiente de Hazen-Williams, com valores para materiais mais comuns listados na Tabela 5.
Observe que, ao contrário da rugosidade da Equação de D-W (4), quanto maior o valor de , menor a perda de carga, pois
ele se encontra no denominador da Equação de H-W (10).
Material C
PVC 150
Aço soldado ou FoFo novo 130
Aço soldado ou FoFo em uso 90
Aço corrugado (chapa ondulada) 60
Concreto com acabamento comum 120
Tabela 5 – Valores do coeficiente de Hazen-Williams, . 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
A Equação de H-W se tornou muito popular, mas deve ser utilizada com cautela, pois pode resultar em erros quando
aplicada fora das condições para as quais foi ajustada.
FÓRMULA DE FAIR-WHIPPLE-HSIAO (F-W-H)
Para diâmetros menores, tipicamente de instalações prediais, é válida a fórmula:
Q
D
C
C
C
(11)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com e no S.I. e cujas constantes , e são listadas na Tabela 6:
Material
Aço galvanizado novo (água fria) 0,002021 4,88 1,88
PVC rígido (água fria) 0,0008695 4,75 1,75
Cobre ou latão (água fria) 0,000874 4,751,75
Cobre ou latão (água quente) 0,000704 4,75 1,75
Tabela 6 – Constantes da fórmula de Fair-Whipple-Hsiao (F-W-H). 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Para pequenos diâmetros, a precisão requerida é menor e há necessidade de maior praticidade no cálculo.
 VOCÊ SABIA
Essa fórmula é amplamente utilizada em projetos de instalações prediais (ex.: residência) e recomendada pela NBR 5626/98
– Instalação predial de água fria.
ESCOLHA DA FÓRMULA A SER UTILIZADA
 DICA
O engenheiro deve fazer uma análise prévia do problema, levando em conta a urgência do cálculo, a disponibilidade de
recurso computacional e a precisão requerida.
J = K 
Qn
Dm
Q D K m n
K m n
Quando você está no escritório e tem acesso a um computador, é recomendado utilizar planilhas eletrônicas ou programas
específicos para análise de escoamento em tubulações, capazes de calcular rapidamente e da maneira mais precisa
(fórmula universal).
Mas imagine que você está inspecionando uma instalação industrial, verificando as pressões em condição de operação. Ao
verificar a pressão em um manômetro, como saber se o valor medido é próximo ao esperado?
Nesse caso, a utilização da formulação empírica (ex.: H-W) pode ser muito útil, pois viabiliza o cálculo no local com qualquer
calculadora, inclusive a do seu celular.
PERDAS LOCALIZADAS EM SINGULARIDADES
FÓRMULA CINÉTICA DA PERDA DE CARGA
Além da perda distribuída ao longo da tubulação, devemos considerar também as perdas localizadas, que ocorrem, a
princípio, em qualquer tipo de singularidade na tubulação, entre elas: cotovelos, curvas, tês, alargamento, redução, válvulas,
entrada e saída em reservatório.
Uma das maneiras de se calcular a perda localizada é pela fórmula cinética da perda localizada:
(12)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde é a velocidade média (m/s, no S.I.) e é uma constante adimensional, dependente do tipo de singularidade
(Tabela 7):
Acessório Acessório
Cotovelo de 90° raio curto 0,90 Válvula de gaveta aberta 0,20
Cotovelo de 45° 0,40 Válvula de ângulo aberta 5,0
Curva de 90° 0,40 Válvula de globo aberta 10
Tê, passagem direta 0,6-0,9 Válvula borboleta aberta 0,15-0,30
hPl = K
V 2
2g
V K
K K
Tê, saída lateral 1,3-2,0 Válvula de pé com crivo 10
Entrada com borda 0,8-1,0 Válvula de retenção 2,5-3,0
Saída de tubulação 1,0 Válvula de boia 6
Tabela 7 – Valores de coeficiente de perda localizada. 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
COMPRIMENTO EQUIVALENTE (OU VIRTUAL)
Outro método de obter a perda localizada consiste em substituir a singularidade por um comprimento de tubo que causaria a
mesma perda de carga, ou seja, igualando-se as Equações (4) e (12):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Cancelando os termos repetidos e isolando :
(13)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para determinado material (ex.: PVC ou aço), há uma considerável região visualizada no Diagrama de Moody (Figura 5), ao
longo da qual o tem valor constante. Portanto, podemos obter comprimentos equivalentes pela Equação (13) para os
diâmetros comerciais.
 SAIBA MAIS
Os valores são encontrados em diversos livros de Hidráulica, além de na NBR 5626.
Os comprimentos equivalentes (ou virtuais) podem ser somados aos reais para calcular a perda de carga total (soma da
distribuída com localizada). Esse é um método prático e bastante utilizado em instalações prediais devido à grande
Le = K
f
D
V 2
2g
V 2
2g
Le
Le = D
K
f
f Le
quantidade de perdas localizadas. No entanto, devido à simplificação adotada ( constante), pode levar a erros
significativos.
EXEMPLO
(Adaptado de PORTO, 2004).
Um trecho de tubulação interliga a coluna de distribuição a um chuveiro (figura a seguir, em plano vertical).
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
O trecho em análise é constituído de:
6,8m de tubulação PVC com 17mm de diâmetro interno (DN 20);
3 joelhos 90°, = 1,1m (cada);
1 tê de passagem direta, = 0,7m;
1 tê de passagem lateral, = 2,3m;
2 registros de gaveta abertos, = 0,1m (cada).
Se a vazão é Q = 0,20L/s, calcule qual deve ser a pressão em A para que a pressão em B seja, no mínimo, = 1,0m.c.a.
Calcule da maneira mais prática possível.
A perda de carga unitária, para tubo de PVC na vazão e no diâmetro interno do problema, pode ser obtida pela equação de
F-W-H (11):
f
Lj
Ltd
Ltl
Lrg
pB
J = 0,0008695 = 0,0008695 = 0,0744m/m = 74,4m/km
Q1,75
D4,75
(0,2⋅10−3)
1,75
(17⋅10−3)
4,75
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O comprimento total de tubulação, incluindo as perdas localizadas, será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a perda de carga:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a equação da energia em regime permanente (3) entre A e B:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro é constante, portanto, e não há turbina nem bomba :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
APLICAÇÕES COM O SOFTWARE EPANET
O EPANET, software desenvolvido pela Agência de Proteção Ambiental dos EUA, Environmental Protection Agency (EPA), é
uma ferramenta gratuita capaz de calcular diversas situações de escoamento forçado em tubulações. Ele pode ser baixado
no site da EPA ou no site da UFPB (em português). Com o EPANET, é possível:
Realizar o traçado da rede sobreposto a mapas em escala e baseados em sistema de informação geográfica (GIS).
Modelar válvulas e bombas.
LT = 6,8 + 3 ⋅ 1,1 + 0,7 + 2,3 + 2 ⋅ 0,1 = 13,3m
hP = JLT = 0,0744 ⋅ 13,3 = 0,99m
+ + zA = + + zB + hT − hB + hP
pA
γ
V 2
A
2g
pB
γ
V 2
B
2g
VA = VB (hT = hB = 0)
+ zA = + zB + hP     →      = + (zB − zA) + hP
pA
γ
pB
γ
pA
γ
pB
γ
= 1 +(0,4 + 1,4)+0,99 = 3,8m. c.  a.
pA
γ
Simular escoamento estático, permanente e quase-permanente (tópico 1).
Simular a qualidade da água.
AMBIENTE DE TRABALHO
A barra de tarefas é a maneira mais prática de inserir novos componentes físicos, localizados nos últimos botões (Figura 8):
 Figura 8 - Captura de tela do Software EPANET 2. 
Ambiente de trabalho do EPANET.
O modelo é elaborado com base nos componentes físicos, entre eles: nós, RNF (reservatórios de nível fixo), trechos
(tubulações), bombas e válvulas.
A rede deve possuir, no mínimo, um nó para que a simulação seja executada.
A fórmula de perda de carga a ser utilizada é definida no menu Projeto  Opções de simulação:
H-W: Hazen-Williams.
D-W: Darcy-Weisbach.
C-M: Chezy-Manning.
 ATENÇÃO
A fórmula configurada implicará no significado do parâmetro “Rugosidade” dos trechos (ex.: se H-W, o parâmetro será o
coeficiente C; se D-W, será ε).
UNIDADES
As unidades consideradas pelo EPANET ficam atreladas ao sistema de unidades adotado (EUA ou SI), com base na
unidade de vazão escolhida no menu Projeto  Opções de simulação.
 DICA
Optando por LPS (litros por segundo), a rugosidade e o diâmetro de tubos estarão em milímetros, o comprimento e a cota
estarão em metros e a perda de carga unitária, em m/km.
EXEMPLO
Vamos utilizar o EPANET para resolver o exemplo feito no item “Tipos de Problemas”:
O vídeo a seguir mostra a solução com a sequência: configuração da unidade e da fórmula, inserção dos reservatórios e nó,
inserção dos trechos, entrada de propriedades, simulação e, por fim, verificação dos resultados. Teremos um trecho
adicional com comprimento desprezível (0,01m) apenas porque deve haver, ao menos, um nó para o funcionamento do
programa.
DOIS RESERVATÓRIOS COM EPANET
Compare com os resultados obtidos pelo cálculo manual do problema. Observe que a solução com o EPANET é muito mais
rápida, além de ser mais segura,pois reduz a chance de erros.
MÃO NA MASSA
1. O EXEMPLO A SEGUIR PODE SER CLASSIFICADO COMO ESCOAMENTO PERMANENTE:
A) A partida de uma bomba de água.
B) O esvaziamento lento de um reservatório.
C) O fechamento de uma válvula.
D) A transferência de água entre dois reservatórios de níveis constantes.
E) A parada de uma bomba por falta de eletricidade.
2. O ESCOAMENTO É LAMINAR EM:
A) Água μ = 10-3kg/m.s e ρ = 1000kg/m³, escoando em uma adutora de 10” a 1,5m/s.
B) Ar μ = 1,8x10-5kg/m.s e ρ = 1,2kg/m³, escoando em um duto de refrigeração de 40cm a 10m/s.
C) Gasolina com μ = 3x10-4kg/m.s e ρ = 680kg/m³, escoando em um duto de 50mm a 0,8m/s.
D) Petróleo com μ = 0,5kg/m.s e ρ = 900kg/m³, escoando em um duto de 18” a 2,5m/s.
E) Óleo SAE 30W com μ = 2,9x10-1kg/m.s e ρ = 89 kg/m³, escoando em um duto de 2” a 0,5m/s.
3. (COMPANHIA DE ÁGUAS DE JOINVILLE – ENGENHEIRO SANITARISTA – PROJETOS − 2018)
DENTRE AS EXPRESSÕES USADAS PARA A DETERMINAÇÃO DA PERDA DE CARGA QUE
OCORRE NO ESCOAMENTO DE FLUIDOS AO LONGO DE TUBULAÇÕES E SEÇÕES
CIRCULARES DE QUALQUER DIÂMETRO, A FÓRMULA DE USO GERAL, QUE PODE SER
UTILIZADA TANTO PARA ESCOAMENTO EM REGIME TURBULENTO QUANTO PARA O
LAMINAR, CONHECIDA TAMBÉM COMO FÓRMULA UNIVERSAL, É DENOMINADA:
A) Flamant
B) Hazen-Williams
C) Borda-Belanger
D) Darcy-Weisbach
E) Fair-Whipple-Hsiao
4. (ENADE – ENGENHARIA CIVIL − 2017) A MAIORIA DAS APLICAÇÕES DA HIDRÁULICA NA
ENGENHARIA DIRECIONA-SE À UTILIZAÇÃO DE TUBOS DE SEÇÃO TRANSVERSAL CIRCULAR.
QUANDO A PRESSÃO INTERNA DO ESCOAMENTO NESSES CONDUTOS DIFERE DA
ATMOSFÉRICA, COM O FLUIDO CIRCULANTE PREENCHENDO TODA A ÁREA DO CONDUTO,
DIZ-SE QUE O ESCOAMENTO OCORRE SOB PRESSÃO OU CONDUTO FORÇADO. 
 
AS REDES DE DISTRIBUIÇÃO DE ÁGUA DAS CIDADES, AS INSTALAÇÕES PREDIAIS E OS
SISTEMAS DE RECALQUE SÃO ALGUNS EXEMPLOS DE ESCOAMENTO EM CONDUTOS
FORÇADOS. EXISTEM VÁRIAS FÓRMULAS EMPÍRICAS APLICÁVEIS PARA A DETERMINAÇÃO
DA PERDA DE CARGA UNITÁRIA EM CONDUTOS SOB PRESSÃO NAS TUBULAÇÕES DE
SEÇÃO CIRCULAR, E ELAS PODEM SER, DE MANEIRA GERAL, REPRESENTADAS PELA
EQUAÇÃO: 
 
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
EM QUE OS PARÂMETROS K, N E M SÃO INERENTES A CADA FORMULAÇÃO E FAIXA DE
APLICAÇÃO, EM GERAL COM VALORES DE K DEPENDENTES SOMENTE DO TIPO DE
MATERIAL DA PAREDE DO CONDUTO. 
 
PARA N = 2 E M = 5, MANTENDO-SE A MESMA PERDA DE CARGA UNITÁRIA J E MESMO
COEFICIENTE DE RESISTÊNCIA K, SE O DIÂMETRO D DE UMA TUBULAÇÃO FOR
QUADRIPLICADO, ENTÃO, A VAZÃO Q:
A) Diminuirá à metade.
B) Permanecerá igual.
C) Duplicará.
D) Quadriplicará
E) Aumentará em trinta e duas vezes.
5. NA TUBULAÇÃO DE UMA ADUTORA EM AÇO NOVO COM
DIÂMETRO NOMINAL (DN) DE 2”, CUJO DIÂMETRO INTERNO CORRESPONDENTE É 54,3MM,
ESCOA 1,5L/S DE ÁGUA. CALCULE DE MANEIRA MAIS PRÁTICA POSSÍVEL A PERDA DE
CARGA AO LONGO DE 100M DESSA TUBULAÇÃO:
A) 1,13m
B) 1,48m
C) 0,98m
D) 10m
E) 0,01m
6. CONTINUANDO O PROBLEMA ANTERIOR, O INÍCIO DA TUBULAÇÃO (MONTANTE) ESTÁ NA
COTA 12M E TEM PRESSÃO DE 26M.CA., ENQUANTO O FIM (JUSANTE) ESTÁ NA COTA 18M. HÁ
COMO SINGULARIDADES (PERDAS LOCALIZADAS) E RESPECTIVOS COMPRIMENTOS
EQUIVALENTES: 
 
- 5 JOELHOS 90°, = 1,9M; 
- 2 REGISTROS DE GAVETA, = 0,4M (CADA); 
- 1 REGISTRO DE ÂNGULO, = 8,5M. 
 
CALCULE A PRESSÃO NO PONTO DE JUSANTE, DA MANEIRA MAIS PRÁTICA POSSÍVEL.
A) 18,7m.c.a.
J = K
Qn
Dm
(ε  =  45 μm e C  =  130) 
Lj
Lrg
Lra
B) 20,0m.c.a.
C) 18,9m.c.a.
D) 19,0m.c.a.
E) 15,0m.c.a.
GABARITO
1. O exemplo a seguir pode ser classificado como escoamento permanente:
A alternativa "D " está correta.
Nas opções "a", "b", "c" e "e" haverá variação da vazão ao longo do tempo, o que não pode ser classificado como
permanente. No exemplo citado na letra "d", por outro lado, após alcançado o equilíbrio, a vazão será constante.
2. O escoamento é laminar em:
A alternativa "D " está correta.
A classificação entre laminar e turbulento é feita por meio do número de Reynolds. Entre as alternativas disponibilizadas pela
questão, a que apresenta menor valor é a D:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Trata-se, portanto, de escoamento laminar. Testando para as demais opções, verifica-se que em todas o valor de Reynolds é
superior a 4000, classificados, então, como turbulentos.
3. (Companhia de águas de Joinville – Engenheiro Sanitarista – Projetos − 2018) Dentre as expressões usadas para
a determinação da perda de carga que ocorre no escoamento de fluidos ao longo de tubulações e seções circulares
de qualquer diâmetro, a fórmula de uso geral, que pode ser utilizada tanto para escoamento em regime turbulento
quanto para o laminar, conhecida também como fórmula universal, é denominada:
A alternativa "D " está correta.
A fórmula D-W utilizada para o cálculo da perda de carga distribuída em tubulações foi proposta pelo engenheiro francês
Henry Darcy e pelo matemático alemão Julius Weisbach.
4. (ENADE – Engenharia Civil − 2017) A maioria das aplicações da hidráulica na engenharia direciona-se à utilização
de tubos de seção transversal circular. Quando a pressão interna do escoamento nesses condutos difere da
atmosférica, com o fluido circulante preenchendo toda a área do conduto, diz-se que o escoamento ocorre sob
pressão ou conduto forçado. 
 
As redes de distribuição de água das cidades, as instalações prediais e os sistemas de recalque são alguns
exemplos de escoamento em condutos forçados. Existem várias fórmulas empíricas aplicáveis para a determinação
da perda de carga unitária em condutos sob pressão nas tubulações de seção circular, e elas podem ser, de maneira
geral, representadas pela equação: 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Re = = = 1837 < 2300
ρVD
μ
900⋅2,5⋅ ( 18⋅0,0254 )
0,56
J = K
Qn
Dm
Em que os parâmetros K, n e m são inerentes a cada formulação e faixa de aplicação, em geral com valores de K
dependentes somente do tipo de material da parede do conduto. 
 
Para n = 2 e m = 5, mantendo-se a mesma perda de carga unitária J e mesmo coeficiente de resistência K, se o
diâmetro D de uma tubulação for quadriplicado, então, a vazão Q:
A alternativa "E " está correta.
De acordo com o enunciado:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Quadriplicando o diâmetro, teremos uma nova vazão:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Igualando-se essas duas equações:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Na tubulação de uma adutora em aço novo com diâmetro nominal (DN) de 2”, cujo
diâmetro interno correspondente é 54,3mm, escoa 1,5L/s de água. Calcule de maneira mais prática possível a perda
de carga ao longo de 100m dessa tubulação:
A alternativa "A " está correta.
Conforme vimos no tópico 3, a maneira mais prática de calcular a perda de carga é por meio de fórmulas empíricas. No
diâmetro em questão, adota-se a Equação de H-W (10):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Continuando o problema anterior, o início da tubulação (montante) está na cota 12m e tem pressão de 26m.ca.,
enquanto o fim (jusante) está na cota 18m. Há como singularidades (perdas localizadas) e respectivos
comprimentos equivalentes: 
 
- 5 joelhos 90°, = 1,9m; 
- 2 registros de gaveta, = 0,4m (cada); 
- 1 registro de ângulo, = 8,5m. 
 
Calcule a pressão no ponto de jusante, da maneira mais prática possível.
A alternativa "A " está correta.
J = K
Q2
D5
J = K
Q'
2
(4D)5
K = K     →        Q' = 32Q
Q'
2
(4D)
5
Q2
D5
(ε  =  45 μm e C  =  130) 
J = = 10,65 = 10,65 ⋅ = 11,3m/km
hp
L
Q1,85
C 1,85D4,87
( 1,5⋅10−3 )
1,85
1301,85⋅ ( 54,3⋅10−3 )
4,87
hp = JL = 100 ⋅ = 1,13m
11,3
1000
Lj
Lrg
Lra
CÁLCULO DA PERDA DE CARGA MANUAL VERSUS
SOFTWARE
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
A rede hidráulica de uma indústria, contidaem um plano horizontal e constituída de tubos de aço com diâmetro nominal de
4” e diâmetro interno de 107mm, é representada pelo esquemático (fora de escala) da figura a seguir, com as seguintes
condições:
a válvula V1 está sempre fechada;
a válvula V2 é constantemente ajustada para manter a vazão = 8L/s constante;
inicialmente, a válvula V3 está fechada;
a válvula de ângulo está sempre totalmente aberta;
no ponto A, um sistema de pressurização mantém a pressão = 800kPa (manométrica) constante;
no ponto D, a tubulação está aberta para atmosfera (saída de tubulação);
a tubulação é de aço galvanizado;
o fluido é água a 20°C e o escoamento ocorre em regime permanente.
Q2
pA
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Comprimentos equivalentes:
cotovelo raio curto 90°: 3,8m;
tê de passagem direta: 0,7m;
tê para saída lateral: 5,5m;
válvula de gaveta: 0,7m;
válvula de ângulo: 17,0m;
válvula de retenção pesada: 12,9m;
saída de tubulação: 3,2m.
Adotando métodos e fórmulas mais práticos possíveis e consultando a Tabela A, calcule:
a) Para a situação inicial, a pressão no ponto F.
b) Se a válvula for aberta e ajustada para que a vazão do respectivo ramal seja , as pressões nos pontos
B e C.
c) No mesmo cenário do item (b), o comprimento equivalente da válvula .
d) No mesmo cenário do item (b), a pressão nos pontos E e F.
e) A queda percentual da pressão no ponto F, entre os cenários dos itens (a) e (b).
SOLUÇÃO
CÁLCULO DE PRESSÃO E DIMENSIONAMENTO DE VÁLVULA
PARA REDE INDUSTRIAL
V3 Q3  =  12L/s
V3
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (ENADE – ENGENHARIA − 2014) NO DIMENSIONAMENTO DE TUBULAÇÕES, FATORES COMO
RUGOSIDADE DO MATERIAL DOS TUBOS OU, AINDA, INCLUSÃO DE PEÇAS ESPECIAIS E
CONEXÕES ELEVAM A TURBULÊNCIA, PROVOCAM ATRITOS E CAUSAM CHOQUE DE
PARTÍCULAS, O QUE ORIGINA PERDAS DE CARGA. ESSAS PERDAS SÃO CLASSIFICADAS EM
PERDAS CONTÍNUAS AO LONGO DOS CONDUTOS, POR RESISTÊNCIA, OCASIONADAS PELO
MOVIMENTO DA ÁGUA NA PRÓPRIA TUBULAÇÃO, E EM PERDAS LOCAIS, PROVOCADAS
PELAS PEÇAS ESPECIAIS E DEMAIS SINGULARIDADES DE UMA INSTALAÇÃO. 
 
A FIGURA I REPRESENTA A VISTA LATERAL DE UM TRECHO DE TUBULAÇÃO EM REGIME
PERMANENTE, COM DIÂMETRO CONSTANTE DE 200MM E PARA A QUAL HÁ UM DESNÍVEL DE
8M ENTRE OS TRECHOS HORIZONTAIS. AS CARGAS DE PRESSÃO DISPONÍVEIS NAS SEÇÕES
A E B SÃO DE, RESPECTIVAMENTE, 24M.C.A. E 10M.C.A. O GRÁFICO DA FIGURA II RELACIONA
A VAZÃO DA TUBULAÇÃO COM A PERDA DE CARGA CONTÍNUA PARA DOIS VALORES DE
DIÂMETRO DE TUBOS CONSTITUÍDOS DO MESMO MATERIAL DA TUBULAÇÃO.
(UNIDADE DA PERDA CONTÍNUA EM 10-3M/M = M/KM)
COM BASE NOS DADOS APRESENTADOS E CONSIDERANDO APENAS AS PERDAS DE
CARGAS CONTÍNUAS, CONCLUI-SE QUE A VAZÃO NA TUBULAÇÃO É DE:
A) 26L/s
B) 33L/s
C) 38L/s
D) 43L/s
E) 48L/s
2. EM UMA TUBULAÇÃO DE AÇO NOVO COM DIÂMETRO NOMINAL
(DN) DE 2”, CUJO DIÂMETRO INTERNO CORRESPONDENTE É 54,3MM, ESCOA 1,5L/S DE ÁGUA.
CALCULE DE MANEIRA PRECISA A PERDA DE CARGA AO LONGO DE 100M DESSA
TUBULAÇÃO:
A) 10m
B) 0,01m
C) 0,98m
D) 1,13m
E) 1,48m
GABARITO
1. (ENADE – Engenharia − 2014) No dimensionamento de tubulações, fatores como rugosidade do material dos
tubos ou, ainda, inclusão de peças especiais e conexões elevam a turbulência, provocam atritos e causam choque
de partículas, o que origina perdas de carga. Essas perdas são classificadas em perdas contínuas ao longo dos
condutos, por resistência, ocasionadas pelo movimento da água na própria tubulação, e em perdas locais,
(ε  =  45 μm e C  =  130) 
provocadas pelas peças especiais e demais singularidades de uma instalação. 
 
A figura I representa a vista lateral de um trecho de tubulação em regime permanente, com diâmetro constante de
200mm e para a qual há um desnível de 8m entre os trechos horizontais. As cargas de pressão disponíveis nas
seções A e B são de, respectivamente, 24m.c.a. e 10m.c.a. O gráfico da figura II relaciona a vazão da tubulação com
a perda de carga contínua para dois valores de diâmetro de tubos constituídos do mesmo material da tubulação.
(Unidade da perda contínua em 10-3m/m = m/km)
Com base nos dados apresentados e considerando apenas as perdas de cargas contínuas, conclui-se que a vazão
na tubulação é de:
A alternativa "D " está correta.
 
A equação da energia em regime permanente (3), aplicada entre os pontos A e B, dará:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo o mesmo diâmetro, (da equação da continuidade, ), sem bomba, nem turbina no trecho:
+ + zA = + + zB + hT − hB + hP
pA
γ
V 2
A
2g
pB
γ
V 2B
2g
VA = VB VAAA = VBAB
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A perda de carga unitária, chamada de contínua no gráfico (sabemos pela unidade), é:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observando os comprimentos de tubo, constatamos que eles são muito elevados, o que nos permite desprezar as perdas
localizadas, então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Analisando o gráfico para esse valor de perda contínua, obtemos .
2. Em uma tubulação de aço novo com diâmetro nominal (DN) de 2”, cujo diâmetro
interno correspondente é 54,3mm, escoa 1,5L/s de água. Calcule de maneira precisa a perda de carga ao longo de
100m dessa tubulação:
A alternativa "C " está correta.
 
O cálculo preciso da perda de carga é feito pela equação de D-W (4) ou (5):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O fator de atrito f pode ser obtido, com boa precisão, pela equação de Swamee-Jain (8):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo a velocidade:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O número de Reynolds:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a rugosidade relativa:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Substituindo na equação de Swamee-Jain:
+ zA = + zB + hP
pA
γ
pB
γ
→ hP = − + zA − zB = 24 − 10 + 0 − 8 = 6m
pA
γ
pB
γ
J =
hP
LT
J = = = 0,01m/m = 10 ⋅ 10−3m/m = 10m/km6
238+2+60+300
6
600
Q ≅ 43 L/s
(ε  =  45 μm e C  =  130) 
J = = 0,0826
hP
L
fQ2
D5
f =
0,25
[ log  ( + ) ]
2ε/D
3,7
5,74
Re0,9
V = = = 0,648m/s
Q
A
1,5⋅10−3
π ( 54,3⋅10−3 )
2
/4
Re = = = 3,5 ⋅ 104
ρVD
μ
1000⋅0,648⋅(54,3⋅10−3)
10−3
= = 0,000829ε
D
45⋅10−6
54,3⋅10−3
f = 0,0250  
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, por fim, em D-W:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Comparar tubos em série e em paralelo com condutos equivalentes
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS EM SÉRIE E PARALELO
TUBOS EM SÉRIE
Quando segmentos de tubo são ligados em sequência, garantindo que a vazão que atravessa todos é a mesma, temos uma
configuração de tubo em série (Figura 9):
hP = L ⋅ 0,0826 = 100 ⋅ 0,0824 ⋅ = 0,98m
fQ2
D5
0,025⋅ ( 1,5⋅10−3 )
2
( 54,3⋅10−3 )
5
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 9 – Tubos em série.
Consequentemente, a perda de carga do conjunto será igual à soma da perda de carga em cada segmento, enquanto a
vazão é a mesma, conforme a Equação (14):
(14)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o intuito de obter uma metodologia prática, vamos calcular a perda de carga pela Equação de H-W (10), que vimos no
Módulo 1, que se resume a , onde é constante. Substituindo na Equação (14):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com o cancelamento de e da vazão (iguais) nos dois lados:
(15)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde , e são os parâmetros do duto equivalente e , e são de cada trecho i real.
Trata-se de uma substituição matemática de n segmentos em série por um único tubo. Devemos escolher qual dos
parâmetros ( , ou ) será calculado pela Equação (15), sendoos demais arbitrados para valores convenientes, ou seja,
que facilitem a solução do problema.
{
hP = ∑hi
Q = Q1 = Q2 = … = Qn
hP = αQ
1,85L/C 1,85D4,87 α
→ hP = α = ∑α
Q1,85L
C 1,85D4,87
Q
1,85
i Li
C
1,85
i
D
4,87
i
α Q
= ∑L
C 1,85D4,87
Li
C
1,85
i
D
4,87
i
L C D Li Ci Di
L C D
 EXEMPLO
Se a substituição dos segmentos em série por um único tubo com facilitar a resolução do problema, podemos adotar 
, e calcular o comprimento equivalente resultante.
TUBOS EM PARALELO
Em uma configuração oposta à anterior, imagine que todos os segmentos de tubo analisados saem de uma mesma conexão
(ponto 0) e chegam em outra também em comum (ponto 1), conforme a Figura 10:
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 10 – Tubos em paralelo.
Nesse caso, a vazão total transportada é a soma de cada trecho, enquanto a perda de carga em todos é igual, pois ao
calcular a diferença de energia (carga ) entre montante e jusante, todos terão o mesmo resultado. Essa condição é
resumida pela Equação (16):
(16)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A Equação de H-W (10), que vimos no Módulo 1, pode ser reescrita para explicitar a vazão, obtendo que se resume a 
. Substituindo na Equação (16):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
10”
D  =  10” C = Ci
H
{
hP = h1 = h2 = … = hn
Q = ∑Qi
Q = (hPC 1,85D4,87/α L)
1/1,85
Q = ( )
1/1,85
= ∑( )
1/1,85
hPC
1,85D4,87
α L
hiC
1,85
i D
4,87
i
αLi
Com o cancelamento de e (iguais) nos dois lados:
(17)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim como para tubos em série, o cálculo do equivalente dos tubos em paralelo parte da escolha de dois parâmetros (entre
, e ) a serem estabelecidos para que um seja calculado.
EXEMPLO
Em uma planta industrial, 10 tubos com o mesmo comprimento , diâmetro e rugosidade estão ligados em paralelo. Qual
será o diâmetro do conduto equivalente, em função de , tendo o mesmo comprimento e rugosidade dos tubos?
Para dutos em paralelo, utilizamos a Equação (17):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como são 10 dutos com as mesmas propriedades:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Observe que o diâmetro equivalente não terá 1/10 do diâmetro dos tubos. Para tubos, teríamos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
α h
= ∑C D
2,63
L0,54
Ci D
2,63
i
L
0,54
i
L C D
L D
D
= ∑C D
2,63
L0,54
Ci D
2,63
i
L
0,54
i
= 10   →    D2,63eq = 10 D
2,63C D
2,63
eq
L0,54
C D2,63
L0,54
→   Deq = 10
1/2,63 D = 2,4 D
n
Deq = n0,38D
MÃO NA MASSA
1. (PETROBRAS – ENGENHEIRO DE EQUIPAMENTOS JÚNIOR – 2010) 
AS FIGURAS A SEGUIR ILUSTRAM DOIS SISTEMAS COM MÚLTIPLOS TUBOS. COM RELAÇÃO À
VAZÃO (Q) E À PERDA DE CARGA (HP) DOS DOIS SISTEMAS, VERIFICA-SE QUE:
A) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1+ hp2+ hp3. 
Sistema 2: Q=Q1+Q2+Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
B) Sistema 1: Q=Q1+Q2+Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3. 
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1+ hp2+ hp3.
C) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = (hp1+ hp2+ hp3)/3. 
Sistema 2: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
D) Sistema 1: Q=(Q1+Q2+Q3)/3; hpA->B = hp1= hp2= hp3. 
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = (hp1+ hp2+ hp3)/3.
E) Sistema 1: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3. 
Sistema 2: Q=Q1=Q2=Q3; hpA->B = hp1= hp2= hp3.
2. O TRECHO DE UMA REDE HIDRÁULICA INDUSTRIAL DE ÓLEO REPRESENTADO NA FIGURA
ABAIXO POSSUI TRÊS VÁLVULAS (V1, V2 E V3) E UM EQUIPAMENTO (E).
EM QUE CENÁRIO O TRECHO ENTRE B E C PODE SER CONSIDERADO COMO UMA
ASSOCIAÇÃO EM PARALELO DE TRÊS DUTOS?
A) V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B) V1 fechada, V2 fechada e V3 aberta.
C) V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D) V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E) V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
3. PARA QUE COMBINAÇÃO DE ABERTURA OU FECHAMENTO DAS VÁLVULAS V1, V2 E V3,
ILUSTRADAS NA FIGURA A SEGUIR, O TRECHO ENTRE A E D PODE SER SUBSTITUÍDO, POR
MEIO APENAS DE ASSOCIAÇÃO EM SÉRIE, POR UM ÚNICO CONDUTO?
A) V1 aberta, V2 fechada e V3 aberta.
B) V1 fechada, V2 fechada e V3 fechada.
C) V1 aberta, V2 fechada e V3 fechada.
D) V1 aberta, V2 aberta e V3 aberta.
E) V1 fechada, V2 aberta e V3 aberta.
4. UM TRECHO DE TUBULAÇÃO EM PVC É COMPOSTO POR 3 SEGMENTOS EM SÉRIE, COM AS
SEGUINTES CARACTERÍSTICAS: 
 
- TRECHO 1: = 50MM E = 100M. 
- TRECHO 2: = 40MM E = 80M. 
- TRECHO 3: = 25MM E = 50M. 
 
QUAL SERIA O DIÂMETRO DO CONDUTO EQUIVALENTE COM O MESMO MATERIAL E
COMPRIMENTO TOTAL?
A) 33mm
B) 46mm
C) 38mm
D) 41mm
E) 40mm
5. NA REDE FECHADA DE ÁGUA GELADA PARA REFRIGERAÇÃO DE UM SHOPPING, UM
TRECHO É CONSTITUÍDO POR 5 DERIVAÇÕES, TODAS DE AÇO, DIÂMETRO NOMINAL DE 2”,
INTERNO DE 54,3MM E, APROXIMADAMENTE, COM O MESMO COMPRIMENTO. PARA UM
CÁLCULO PRÁTICO DA VAZÃO TOTAL DO SISTEMA, ESSE TRECHO PODERIA SER
SUBSTITUÍDO, POR MEIO DE ASSOCIAÇÃO EM PARALELO, POR UMA TUBULAÇÃO COM QUE
DIÂMETRO?
A) 100mm
B) 271mm
C) 121mm
D) 60mm
E) 76mm
6. (NETTO, CAP. A-13, 2015) UMA CANALIZAÇÃO ESTÁ CONSTITUÍDA DE TRÊS TRECHOS EM
SÉRIE, COM AS CARACTERÍSTICAS INDICADAS NA TABELA A SEGUIR:
TRECHO DIÂMETRO (MM) COMPRIMENTO (M)
COEFICIENTE DE 
RUGOSIDADE DE 
HAZEN WILLIAMS
D1 L1
D2 L2
D3 L3
1 100 200 110
2 150 700 120
3 200 100 100
ELABORADA POR GABRIEL DE CARVALHO NASCIMENTO
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA TABELA UTILIZE A ROLAGEM
HORIZONTAL
QUAL O DIÂMETRO DE UMA TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO ÚNICO E C = 140 QUE SUBSTITUI O
SISTEMA EM SÉRIE DESCRITO, SEGUINDO A MESMA DIRETRIZ (MESMO TRAÇADO, OU SEJA,
MESMO COMPRIMENTO)?
A) 150mm
B) 145mm
C) 118mm
D) 269mm
E) 138mm
GABARITO
1. (Petrobras – Engenheiro de Equipamentos Júnior – 2010) 
As figuras a seguir ilustram dois sistemas com múltiplos tubos. Com relação à vazão (Q) e à perda de carga (hp) dos
dois sistemas, verifica-se que:
A alternativa "A " está correta.
O sistema 1 representa uma configuração de tubos em série, enquanto o sistema 2 representa uma configuração de tubos
em paralelo, conforme mencionado na definição de tubos em série e paralelo definidas nos tópicos 1 e 2.
2. O trecho de uma rede hidráulica industrial de óleo representado na figura abaixo possui três válvulas (V1, V2 e V3)
e um equipamento (E).
Em que cenário o trecho entre B e C pode ser considerado como uma associação em paralelo de três dutos?
A alternativa "E " está correta.
Para que as três derivações estejam em paralelo, é necessário que a vazão total seja a mesma, tanto antes quanto após,
por isso, V1 deve estar fechada. Para que haja três dutos em paralelo, deve haver escoamento neles, portanto, V2 e V3
devem estar abertas.
3. Para que combinação de abertura ou fechamento das válvulas V1, V2 e V3, ilustradas na figura a seguir, o trecho
entre A e D pode ser substituído, por meio apenas de associação em série, por um único conduto?
A alternativa "B " está correta.
Para que segmentos de tubos estejam em série, a vazão em cada um deles deve ser igual. No problema em questão, isso
só ocorrerá se todas as válvulas estiverem fechadas.
4. Um trecho de tubulação em PVC é composto por 3 segmentos em série, com as seguintes características: 
 
- Trecho 1: = 50mm e = 100m. D1 L1
- Trecho 2: = 40mm e = 80m. 
- Trecho 3: = 25mm e = 50m. 
 
Qual seria o diâmetro do conduto equivalente com o mesmo material e comprimento total?
A alternativa "A " está correta.
Para dutos em série, de acordo com a Equação (15):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como todos os dutos têm o mesmo material, o valor de C (coeficiente de Hazen-Williams) será igual e cancelado nos dois
lados da equação. A soma total dos comprimentos é = 100+80+50 = 230m. Então:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
5. Na rede fechada de água gelada para refrigeração de um shopping, um trecho é constituído por 5 derivações,
todas de aço, diâmetronominal de 2”, interno de 54,3mm e, aproximadamente, com o mesmo comprimento. Para um
cálculo prático da vazão total do sistema, esse trecho poderia ser substituído, por meio de associação em paralelo,
por uma tubulação com que diâmetro?
A alternativa "A " está correta.
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS EM REDES FECHADAS
6. (NETTO, Cap. A-13, 2015) Uma canalização está constituída de três trechos em série, com as características
indicadas na tabela a seguir:
Trecho Diâmetro (mm) Comprimento (m)
Coeficiente de 
rugosidade de 
Hazen Williams
1 100 200 110
2 150 700 120
D2 L2
D3 L3
= ∑L
C 1,85D4,87
Li
C
1,85
i D
4,87
i
L
= + +230
D4,87
100
( 0,05 )
4,87
80
( 0,04 )
4,87
50
( 0,025 )
4,87
→     D = 33mm
3 200 100 100
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Qual o diâmetro de uma tubulação de diâmetro único e C = 140 que substitui o sistema em série descrito, seguindo
a mesma diretriz (mesmo traçado, ou seja, mesmo comprimento)?
A alternativa "C " está correta.
Pela equação de tubos em série:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
(PORTO, 2004) A ligação de dois reservatórios mantidos em níveis constantes é feita pelo sistema de tubulações mostrado
na figura a seguir. Assumindo um coeficiente de atrito constante para todas as tubulações e igual a = 0,020, desprezando
as perdas localizadas e as cargas cinéticas, determine a vazão que chega ao reservatório , as vazões nos trechos de 4” e
6” e a pressão disponível no ponto B.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
SOLUÇÃO
ASSOCIAÇÃO DE TUBOS ENTRE RESERVATÓRIOS
= + +L
De
4,87×Ce
1,85
L1
D1
4,87×C1
1,85
L2
D2
4,87×C2
1,85
L3
D3
4,87×C3
1,85
= + +1000
De
4,87×1401,85
200
0,104,87×1101,85
700
0,154,87×1201,85
100
0,204,87×1001,85
De = 118mm
f
R2
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. (INEA – ENGENHEIRO HIDRÁULICO − 2008) NA IMPLANTAÇÃO DE UM CANTEIRO DE OBRAS
PARA UMA USINA, SERÁ CONSTRUÍDO UM RESERVATÓRIO (1) QUE ALIMENTARÁ POR
GRAVIDADE OUTRO RESERVATÓRIO (2) DE UMA ESTAÇÃO DE TRATAMENTO DE ÁGUA. VOCÊ
FOI ENCARREGADO DE ANALISAR AS ALTERNATIVAS DE LIGAÇÃO ENTRE OS
RESERVATÓRIOS: 
 
I. DUAS TUBULAÇÕES EM PARALELO, DE MESMO DIÂMETRO. 
II. UMA ÚNICA TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO CONSTANTE. 
 
AS DUAS SOLUÇÕES DEVERÃO APRESENTAR O MESMO VALOR DE PERDA DE CARGA. 
 
NAS DUAS HIPÓTESES, O COMPRIMENTO (L) DA LINHA DE TRAÇADO DA TUBULAÇÃO ENTRE
OS DOIS RESERVATÓRIOS É O MESMO (FIGURA), E AS PERDAS DE CARGA LOCALIZADAS,
NESSA FASE DOS ESTUDOS, PODEM SER DESPREZADAS.
QUAL SERÁ A RELAÇÃO ENTRE OS DIÂMETROS DAS DUAS ALTERNATIVAS, CONSIDERANDO 
 = DIÂMETRO DA ALTERNATIVA I E = DIÂMETRO DA ALTERNATIVA II?
A) 
B) 
C) 
D) 
D1 D2
D2 = D1
D2 = D1
1
2
D2 = 5
1/4D1
D2 = 2D1
E) 
2. SEJA UM TRECHO DE TUBULAÇÃO ANTIGA COMPOSTA POR TRÊS SEGMENTOS EM SÉRIE:
VOCÊ FOI DESIGNADO PARA SUBSTITUIR ESSE TRECHO POR UMA TUBULAÇÃO NOVA DE
PVC COM UM ÚNICO DIÂMETRO E SEGUINDO O MESMO TRAÇADO (COMPRIMENTO TOTAL).
QUAL DIÂMETRO COMERCIAL MAIS PRÓXIMO PARA QUE A PERDA DE CARGA SEJA A
MESMA? POR SIMPLIFICAÇÃO, CONSIDERE O DIÂMETRO INTERNO COMO IGUAL AO
NOMINAL.
A) 50
B) 75
C) 100
D) 125
E) 150
GABARITO
1. (INEA – Engenheiro Hidráulico − 2008) Na implantação de um canteiro de obras para uma usina, será construído
um reservatório (1) que alimentará por gravidade outro reservatório (2) de uma estação de tratamento de água. Você
foi encarregado de analisar as alternativas de ligação entre os reservatórios: 
 
I. Duas tubulações em paralelo, de mesmo diâmetro. 
II. Uma única tubulação de diâmetro constante. 
 
As duas soluções deverão apresentar o mesmo valor de perda de carga. 
 
Nas duas hipóteses, o comprimento (L) da linha de traçado da tubulação entre os dois reservatórios é o mesmo
(figura), e as perdas de carga localizadas, nessa fase dos estudos, podem ser desprezadas.
D2 =
5√4D1
Qual será a relação entre os diâmetros das duas alternativas, considerando = diâmetro da alternativa I e =
diâmetro da alternativa II?
A alternativa "E " está correta.
 
Conforme vimos no exemplo do tópico 2 (Tubos em paralelo), se o material e o comprimento dos condutos em paralelo e do
conduto equivalente forem iguais:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O diâmetro equivalente corresponde à alternativa 2 (único duto), portanto:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O que é equivalente à letra E.
2. Seja um trecho de tubulação antiga composta por três segmentos em série:
Você foi designado para substituir esse trecho por uma tubulação nova de PVC com um único diâmetro e seguindo
o mesmo traçado (comprimento total). Qual diâmetro comercial mais próximo para que a perda de carga seja a
mesma? Por simplificação, considere o diâmetro interno como igual ao nominal.
A alternativa "C " está correta.
 
Com caso de dutos em série, conforme a Equação (15):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Para tubulação nova de PVC, = 150 (Tabela 5), o comprimento total é = 1200m.
D1 D2
Deq = n
0,38D
D2 = n
0,38D1 = 2
0,38D1 ≅1,3 D1
= ∑L
C 1,85D4,87
Li
C
1,85
i D
4,87
i
C L
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, o diâmetro comercial mais próximo é de 100mm (4”).
MÓDULO 3
 Analisar o escoamento em tubulações, a perda em marcha e a sobrepressão em transiente hidráulico
ANÁLISE GRÁFICA DE ESCOAMENTOS EM
TUBULAÇÕES
LINHAS DE ENERGIA
Conforme vimos anteriormente, a carga (energia) de um fluido em um ponto é definida por:
= + +1000
1501,85D4,87
100
1001,85 ( 0,075 ) 4,87
400
1201,85 ( 0,125 ) 4,87
500
1101,85 ( 0,150 ) 4,87
→    D =   96 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A soma da carga de pressão com a cota constitui o que é chamado de “cota piezométrica” (CP):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, a distância entre a linha de energia e a piezométrica equivale à carga cinética .
 DICA
Em tubulações de água, normalmente, essas linhas são muito próximas, pois a velocidade costuma ser inferior a 2m/s,
resultando em carga cinética desprezível (≅ 0,2m).
Na Figura 11, observamos a evolução da linha de energia e piezométrica em uma tubulação. A energia decresce, devido à
perda de carga.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 11 – Diagrama de energia.
Esse tipo de imagem fornece informações importantes, por meio de análise gráfica, conforme abordaremos adiante.
Os planos são definidos como horizontais (energia constante), partindo no valor de montante (inicial) e divididos em:
P.C.A. (PLANO DE CARGA ABSOLUTA)
Horizontal que parte do valor da energia (carga) na montante, considerando pressão absoluta para cálculo de , que
será então .
P.C.E. (PLANO DE CARGA EFETIVA)
Hi = + zi +
pi
γ
V 2
i
2g
CP = + zi
pi
γ
(V 2/2g)
pR1/γ
patm/γ
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Similar ao anterior, mas considerando pressão manométrica, ou seja, a uma altura abaixo do P.C.A.
Como representam uma energia constante (horizontais), correspondem à situação hidrostática, ou seja, sem perdas.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 12 – Linhas de energia.
As linhas, por sua vez, consideram a perda de carga (redução da energia ao longo do tubo), também divididas em absoluta
(L.C.A.) e efetiva (L.C.E.), pelo mesmo motivo. A declividade das linhas é calculada por , que, para ângulos de
assentamento pequenos (menores que 15°), é aproximadamente igual a (perda de carga unitária).
 DICA
Se medirmos a distância entre o ponto P da tubulação e uma linha de energia, teremos o equivalente à carga de pressão,
conforme demonstrado na Figura 13.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 13 – Análise gráfica da pressão – Cenário 1: traçado abaixo de L.C.E.
DISTÂNCIAATÉ A L.C.E
patm/γ
ΔH/Δx
J = ΔH/L
javascript:void(0)
Medirá a pressão hidrodinâmica manométrica (efetiva).
DISTÂNCIA ATÉ A L.C.A
Fornecerá a pressão hidrodinâmica absoluta.
O P.C.E. e o P.C.A., por sua vez, medirão as pressões hidrostáticas.
No cenário da Figura 13, observa-se que todo o traçado da linha se encontra abaixo da L.C.E., portanto, terá pressão
manométrica positiva – devemos somar algo para ir de até a linha.
Agora vamos analisar o cenário da Figura 14.
O traçado permanece abaixo do P.C.E., o que significa que o sistema é capaz de encher a linha, pois a pressão hidrostática
é positiva.
No entanto, uma vez cheia e em regime permanente, o ponto P estará acima da L.C.E., o que implica em pressão
hidrodinâmica manométrica negativa.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 14 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: traçado acima de L.C.E.
O escoamento é possível, porque permanece abaixo da L.C.A. (pressão hidrodinâmica absoluta positiva), o que se faz
necessário, pois fluido não resiste à tração (pressão absoluta negativa).
 ATENÇÃO
Esse tipo de escoamento não é desejável, pois a pressão manométrica negativa tende a causar acúmulo de ar.
Uma solução seria colocar uma bomba logo na saída de R1, elevando a linha de energia naquele ponto (Figura 15 – linha
verde).
zP
javascript:void(0)
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 15 – Análise gráfica da pressão – Cenário 2: soluções.
Lembrando que a declividade da linha equivale à perda de carga unitária , alternativamente, poderíamos reduzir o diâmetro
no trecho PL, o que aumentaria a partir de P (Figura 15 – linha vermelha). Uma terceira solução seria construir outro
reservatório, em P.
Mais um cenário é aquele em que o traçado tem um trecho acima do P.C.E. (Figura 16). A diferença em relação ao anterior é
que nesse cenário o sistema não será capaz de encher a linha, fazendo necessário o uso de uma bomba. Mas, uma vez
cheia, o escoamento poderá ocorrer, pois tem pressão absoluta positiva. Essa configuração é chamada de “sifão”.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 16 – Análise gráfica da pressão – Cenário 3: traçado acima do P.C.E.
 ATENÇÃO
Quando há pressão manométrica negativa, é fundamental garantirmos que a pressão absoluta permaneça acima da pressão
de vapor da água. Caso contrário, haverá evaporação e acúmulo, o que obstruirá e, eventualmente, interromperá o
escoamento.
 SAIBA MAIS
O efeito sifão pode ser facilmente verificado em casa, ao tentarmos tirar água de um recipiente (ex.: copo) com um canudo.
Se estiver vazio, nada ocorrerá, mas, se “sugarmos” a água, enchendo o canudo e mantendo sua extremidade de fora
abaixo do N.A. no copo (P.C.E.), haverá escoamento.
J
J
EXEMPLO
Válvulas ventosas são dispositivos que permitem a entrada e a saída de ar na tubulação, sendo, portanto, importantes para
evitar pressões negativas durante o esvaziamento e retirar o ar no enchimento. Seu funcionamento é ilustrado na Figura 17.
 
Imagem: Shigeru23/Wikimedia commons/licença: CC BY 3.0
 Figura 17 – Funcionamento da válvula ventosa.
Considerando o sistema de ligação entre dois reservatórios da figura a seguir, qual seria o ponto mais indicado para
instalação de uma válvula ventosa?
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Para que a ventosa retire o ar durante o enchimento da tubulação, é necessário que ela esteja em pontos de acúmulo, ou
seja, máximos locais, o que nos faz analisar os pontos C e D.
O ponto C está acima da L.C.E. (linha vermelha tracejada), levando-o a ter pressão manométrica negativa, em regime
permanente (condição de operação). A pressão manométrica negativa faria a válvula abrir, permitindo a entrada de ar, o que
só deveria ocorrer em condição de esvaziamento da linha. Portanto, a melhor opção é o ponto D.
VAZÃO EM MARCHA
É comum, em redes de distribuição e outros tipos de tubulações, haver diversos pontos de tomada d’água, conforme
ilustrado na Figura 18 e na Figura 19.
 
Foto: Shuterstock.com
 Figura 18 – Exemplo de vazão em marcha – tubulação de chafariz.
Essa característica nos permite reconhecer que, em vez de muitos pontos, temos uma saída contínua de água,
hipoteticamente como uma fenda ao longo do tubo.
 
Imagem: Adaptada do Google Earth
 Figura 19 – Tronco principal e derivações em uma rede de distribuição de água.
Esse conceito é chamado de vazão em marcha, (Figura 20):
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 20 – Variação da vazão num trecho com vazão em marcha.
Um trecho com distribuição em marcha terá vazão variável ao longo do seu comprimento, calculada por:
qm
Então
(18)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Sendo assim, que vazão devemos adotar para o cálculo da perda de carga?
Para responder a essa pergunta, vamos relembrar da fórmula universal (Darcy-Weisbach), estudada no Módulo 1 (tópico 2):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme vimos no Módulo 1 (tópico 3), a perda de carga pode ser reescrita genericamente por , que podemos
alterar para , cuja integração será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pode ser desenvolvido pela fatoração em diferença de cubos:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Conforme a Equação (18), substituindo :
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Q(x)= Qm − qmx
Qm − Qj = qmL
J = = 0,0827
f
D
V 2
2g
fQ2
D5
hP = LKQ
2
dhP = KQ
2dx
→ hp = ∫
L
0 KQ
2
x dx = − ∫
Qj
Qm
Q2x dQx = − =
K
q
K
q
(Q3
j
−Q3m )
3
K
q
(Q3m−Q3j )
3
hp =
K
q
(Qm−Qj ) (Q2m+QmQj+Q2j )
3
Qm − Qj = qL
hp = LK
(Q2m+QmQj+Q2j )
3
E comparado com a expressão inicial:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
(19)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Isso significa que, em um trecho com vazão em marcha, a perda de carga pode ser calculada pelas fórmulas já estudadas,
utilizando como base uma vazão fictícia , calculada conforme a Equação (19).
TUBULAÇÕES ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS
Uma das principais aplicações de análise gráfica da energia são os sistemas de interligação entre dois reservatórios, em
particular, quando há uma tomada d’água entre eles (Figura 21). Quando a vazão (tomada d’água) é nula, a vazão do
trecho AB será igual à do BC. No entanto, a declividade da linha de energia será diferente, pois , resultando na
linha LB1M.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
 Figura 21 – Tomada d’água entre dois reservatórios.
Quando se começa a retirar água em B, aumenta, tornando a declividade da L.C.E. maior, mas ocorre o efeito contrário
no trecho BC, até que a declividade entre B e C seja nula, o que significa que (LB3M). Aumentando ainda mais o
consumo em B, haverá uma reversão do fluxo em BC, e a L.C.E. nesse trecho passará a ter declividade contrária (LB4M).
hp = LKQ
2
f
Qf = √ =
⎧
⎨⎩
= ;         se Qj = 0
≅ ;        se Qj ≠ 0
Q2m+QmQj+Q
2
j
3
Qm
√3
Qm+Qj
2
Qf
QB
D2 < D1
QAB
QBC = 0
Dependendo do consumo, o que varia ao longo do dia em sistemas de abastecimento de água, o reservatório R2 pode ser
abastecido ou contribuir para o fornecimento, tornando-se um “pulmão” para auxiliar nas horas de pico.
EXEMPLO
Em determinado momento, a L.C.E. da interligação entre dois reservatórios corresponde à representação da figura a seguir.
 
Imagem: Gabriel de Carvalho Nascimento
Se a tubulação é de PVC, calcule da maneira prática a vazão que sai no ponto B, . Despreze as cargas cinéticas.
Desprezando as cargas cinéticas, a linha de energia (carga, H) será coincidente com a linha piezométrica. Então, a perda de
carga será:
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E a perda unitária:
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Para cálculo prático, utilizamosa fórmula de Hazen-Williams (10):
QB
hPAB = HA − HB = 32 −(16 + 6)= 10m
J = = = 10m/km
hPAB
LAB
10
1000
JAB = 10,65
Q
1,85
AB
C 1,85D
4,87
AB
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Repetindo o mesmo procedimento para o trecho CB:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A vazão que sai por B será a soma:
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Atente que soubemos que R2 era abastecedor, e não abastecido, pela declividade da linha de energia, que decresce no
sentido do escoamento.
TRANSIENTE HIDRÁULICO (GOLPE DE ARÍETE)
Já mencionamos no Módulo 1 (tópico 1) que variações nas condições de escoamento, como fechamento de válvula e parada
de bomba, podem causar transientes hidráulicos; estes se traduzem em oscilações bruscas da pressão e, eventualmente,
podem provocar danos à tubulação.
Um dos principais parâmetros para o cálculo do transiente hidráulico, também chamado de golpe de aríete, é a velocidade
com que a onda de pressão se propaga no interior do tubo, camada de celeridade. Para água, seu valor, em m/s, pode ser
calculado por (AZEVEDO NETTO, 1998):
(20)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Onde:
→    QAB = ( )
1/1,85
= [ ]
1/1,85
= 90,1L/s
C 1,85D
4,87
AB
JAB
10,65
1501,85⋅ ( 0,250 ) 4,87⋅0,010
10,65
QCB = ( )
1/1,85
= [ ]
1/1,85
= 44,4L/s
C 1,85D
4,87
CB
JCB
10,65
1501,85⋅ ( 0,200 ) 4,87⋅( )26−6−16500
10,65
QB = QAB + QCB = 90,1 + 44,4 = 134,5L/s
C = 9900
√48,3+k D
e
 é o diâmetro da tubulação;
 é a espessura (em metros);
 (Tabela 8), sendo E o módulo de elasticidade.
Material
Aço 0,5
FoFo (ferro fundido) 1
Concreto 3
PVC 18
Tabela 8 – Coeficiente para equação da celeridade (20). 
Elaborada por Gabriel de Carvalho Nascimento
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Outro parâmetro importante é o período da tubulação, τ, definido pelo tempo que a onda demora para partir do ponto que
provocou a variação do escoamento (ex.: válvula), ir até a extremidade oposta e voltar, ou seja:
(21)
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Onde é o comprimento da tubulação.
Em se tratando de válvula, se o tempo de fechamento for inferior ao período , ele é classificado como rápido, e a
sobrepressão transiente pode ser calculada, com precisão, pela fórmula de Joukowski:
(22)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
D
e
k = 1011Pa/E
k =
1011Pa
E
k
τ = 2L
C
L
t (t < τ)
Δpt
=
Δpt
γ
CV
g
Onde é a gravidade e é o peso específico. Caso o fechamento seja lento , uma estimativa pode ser obtida
pela Fórmula de Michaud:
(23)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
EXEMPLO
Em uma tubulação horizontal de PVC com 300m de comprimento, DN 150, diâmetro interno 156,4mm e espessura de
6,8mm, escoa água a 1,5m/s. Devido a um vazamento, uma válvula de proteção, localizada na jusante, é fechada em 1,0
segundo. Calcule a sobrepressão calculada pelo transiente hidráulico.
Conforme a Equação (20), sendo = 18 para PVC (Tabela 8):
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O período da tubulação será:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como , trata-se de fechamento rápido, cuja sobrepressão é calculada por Joukowski:
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÃO NA MASSA
g γ = ρg (t > τ)
= ⋅
Δpt
γ
CV
g
τ
t
k
C = = = 460m/s9900
√48,3+k D
e
9900
√48,3+18 156,46,8
τ = = = 1,3s2L
C
2⋅300
460
t < τ
= = = 70,4m. c. a.
Δpt
γ
CV
g
460⋅1,5
9,8
1. (PETROBRAS – ENGENHEIRO CIVIL JÚNIOR − 2005) CONSIDERE OS RESERVATÓRIOS 1 E 2
MANTIDOS EM NÍVEIS CONSTANTES E INTERLIGADOS PELA TUBULAÇÃO MNO, NA QUAL N É
UMA TOMADA D’ÁGUA, CONFORME REPRESENTADO NA FIGURA A SEGUIR.
NESSAS CONDIÇÕES, É CORRETO AFIRMAR QUE:
A) Os dois reservatórios podem ser abastecedores ou não, sendo, neste caso, reservatórios de compensação.
B) Para a cota piezométrica N1, o abastecimento é feito simultaneamente pelos reservatórios 1 e 2.
C) Para a cota piezométrica N3, o abastecimento é feito apenas pelo reservatório 1.
D) Se a vazão Qn for zero, a vazão do reservatório 1 chega integralmente ao reservatório 2.
E) Se XN2 for uma linha horizontal, a vazão no trecho MN é nula.
2. A FIGURA A SEGUIR ILUSTRA A TUBULAÇÃO DE DIÂMETRO CONSTANTE ENTRE DOIS
RESERVATÓRIOS, COM A TUBULAÇÃO QUE SAI DE R1, PASSANDO EM A, B, C, D E
TERMINANDO EM E, JUNTO AO R2. A LINHA TRACEJADA REPRESENTA A L.C.E. (LINHA DE
CARGA EFETIVA) EM REGIME PERMANENTE.
NESSA SITUAÇÃO, QUAL PONTO TERÁ A MAIOR PRESSÃO?
A) Ponto A
B) Ponto B
C) Ponto C
D) Ponto D
E) Ponto E
3. PARA O MESMO SISTEMA DA QUESTÃO ANTERIOR, QUAL PONTO TERÁ A MENOR
PRESSÃO?
A) Ponto A
B) Ponto B
C) Ponto C
D) Ponto D
E) Ponto E
4. NA FIGURA A SEGUIR, É ILUSTRADA A LIGAÇÃO ENTRE DOIS RESERVATÓRIOS PELA
TUBULAÇÃO QUE PASSA EM N, P, Q E L. A LINHA TRACEJADA CORRESPONDE À L.C.E.
(LINHA DE CARGA EFETIVA) CASO A TUBULAÇÃO TIVESSE UM ÚNICO DIÂMETRO. OBSERVA-
SE QUE, NESSE CASO, A PRESSÃO EM P SERIA NEGATIVA, POIS A TUBULAÇÃO FICARIA
ACIMA DA L.C.E.
UMA ALTERNATIVA PARA EVITAR A PRESSÃO NEGATIVA SERIA REDUZIR O DIÂMETRO A
PARTIR DO PONTO P. QUAL DAS DEMAIS LINHAS REPRESENTA A L.C.E. COM ESSA
ESTRATÉGIA?
A) Linha (a)
B) Linha (b)
C) Linha (c)
D) Linha (d)
E) Linha (e)
5. (INEA – ENGENHEIRO SANITARISTA − 2013) UM ENGENHEIRO DESEJA CONSTRUIR UMA
ADUTORA DO RESERVATÓRIO I AO RESERVATÓRIO III, PASSANDO PELO PONTO II. PARA
GARANTIR QUE A ADUTORA FIQUE ABAIXO DA LINHA PIEZOMÉTRICA E EVITAR ESCAVAÇÕES
ANTIECONÔMICAS FOI COLOCADO UM RESERVATÓRIO INTERMEDIÁRIO NO PONTO II. O
ESQUEMA A SEGUIR MOSTRA AS COTAS DOS NÍVEIS DE ÁGUA DOS RESERVATÓRIOS E OS
ESPAÇAMENTOS ENTRE ELES.
A TABELA APRESENTA AS PERDAS DE CARGA PARA ADUÇÃO DE UMA VAZÃO DE 20L/S EM
TUBULAÇÕES DE DIFERENTES DIÂMETROS:
O DIÂMETRO DOS TRECHOS DE I A II E DE II A III SÃO DE:
A) 150mm.
B) 75mm.
C) 50mm.
D) 100mm e 75mm, respectivamente.
E) 75mm e 50mm, respectivamente.
6. NA MANOBRA ENTRE SETORES DE FORNECIMENTO DE ÁGUA, UMA VÁLVULA É FECHADA
EM 10 SEGUNDOS. SE A VELOCIDADE DO ESCOAMENTO ERA DE 0,8M/S, ESTIME A
SOBREPRESSÃO CAUSADA POR TRANSIENTE HIDRÁULICA. (DADOS DA TUBULAÇÃO: PVC
COM 500M DE EXTENSÃO, DN 300 E ESPESSURA DE 13,1MM.) CONSIDERE QUE O DIÂMETRO
INTERNO É, APROXIMADAMENTE, IGUAL AO NOMINAL.
A) 37,6m.c.a.
B) 8,3m.c.a.
C) 15,5m.c.a.
D) 70,6m.c.a.
E) 50m.c.a.
GABARITO
1. (Petrobras – Engenheiro Civil Júnior − 2005) Considere os reservatórios 1 e 2 mantidos em níveis constantes e
interligados pela tubulação MNO, na qual N é uma tomada d’água, conforme representado na figura a seguir.
Nessas condições, é correto afirmar que:
A alternativa "E " está correta.
a) Falso: O reservatório 2 pode ser apenas abastecedor.
b) Falso: Na cota N1, a declividade da linha de energia decresce para o reservatório 1, sendo então abastecido.
c) Falso: Na cota N3, o escoamento em MN ocorre no sentido de N (decrescimento da energia), portanto ambos os
reservatórios abastecem.
d) Falso: Se a vazão Qn for nula, ocorre o contrário dessa afirmação.
e) Verdadeiro: Uma linha energética horizontal significa que não há perda, ou seja, vazão nula.
2. A figura a seguir ilustra a tubulação de diâmetro constante entre dois reservatórios, com a tubulação que sai de
R1, passando em A, B, C, D e terminando em E, junto ao R2. A linha tracejada representa a L.C.E. (linha de carga
efetiva) em regime permanente.
Nessa situação, qual ponto terá a maior pressão?
A alternativa "A " está correta.
Conforme vimos no tópico 1 deste módulo, a distância entre a tubulação e a linha de energia é equivalente à carga de
pressão. O ponto em que essa distância é maior (traçado abaixo da energia) é em A.
3. Para o mesmo sistema da questão anterior,