EQUACOES DO 2 GRAU - Prof Paulo

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EQUAÇÃO DO 2º GRAU 
PROF. PAULO AMARO – IFSC/JOINVILLE 
 
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Resolução de Equações 
Para resolver uma equação devemos sempre isolar a incógnita: 
 7ݔ + 5 − 3ݔ = 5(3 − ݔ) + 4 4ݔ + 5 = 15 − 5ݔ + 4 4ݔ + 5ݔ = 19 − 5 9ݔ = 14 
ݔ = 149 → ݔ = 1,555 … 
 
Porém a coisa complica um pouco quando a incógnita aparece elevada ao quadrado. Dependo do formato da 
equação do 2º grau fica mais fácil resolver utilizando a estratégia de isolar a incógnita com operações inversas: 
 
ݔଶ − 25 = 0 ݔଶ − 7ݔ = 0 ݔଶ = 25 ݔ(ݔ − 7) = 0 ݔ = ±√25 ݔଵ = 0 ݋ݑ ݔ − 7 = 0 ݔ = ±5 ݔଵ = 0 ݋ݑ ݔଶ = 7 
 
Mas como proceder quando temos uma equação como a seguinte: 3ݔଶ − 7ݔ + 2 = 0? 
Note que se tentarmos isolar o x na equação acima existe algumas dificuldades, pois não é possível o 
isolar o ݔଶ para tirarmos a raiz quadrada, nem colocar o x em evidência. Nestes casos dizemos que temos uma 
equação do 2º grau completa, ou seja, com três termos (2º grau, 1º grau e grau zero). 
Dependendo da equação, podemos utilizar o conceito de produto notável para resolvê-la, lembrando que os 
produtos notáveis conhecidos são: 
ܽଶ + 2ܾܽ + ܾଶ = (ܽ + ܾ)ଶ ; ܽଶ − 2ܾܽ + ܾଶ = (ܽ − ܾ)ଶ 
Vejamos alguns exemplos: 
 
ݔଶ + 4ݔ + 4 = 0 9ݔଶ − 6ݔ + 1 = 0 
ݔଶ + 2.ݔ. 2 + 2ଶ = 0 (3ݔ)ଶ − 2.3ݔ. 1 + 1ଶ = 0 (ݔ + 2)ଶ = 0 (3ݔ − 1)ଶ = 0 
ݔ + 2 = ±√0 3ݔ − 1 = ±√0 
ݔ = −2 3ݔ = 1 ݔ = 13 
 
Porém, o exemplo de equação do 2º grau completa citado antes é mais difícil de resolver utilizando este 
mecanismo. Com isso, foi desenvolvido um mecanismo de resolução que funcionasse para todas as equações do 
segundo grau e as resolvesse de forma rápida e direta, conhecido como Fórmula de Bhaskara. 
 
 
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Fórmula de Bhaskara 
A Fórmula de Bhaskara funciona para todos os casos, porém, para sua utilização, é conveniente que a equação 
esteja escrita numa forma padrão: ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0, com ܽ ≠ 0, onde a, b e c são chamados de coeficientes. 
Existem algumas maneiras diferentes de Deduzir a fórmula de Bhaskara, uma delas é a seguinte: 
 
ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 ÷ ܽ 
ݔଶ + ܾ
ܽ
ݔ + ܿ
ܽ
= 0 
ݔଶ + ܾ
ܽ
ݔ = − ܿ
ܽ
 
ݔଶ + 2.ݔ. ܾ2ܽ + ൬ ܾ2ܽ൰ଶ = − ܿܽ + ൬ ܾ2ܽ൰ଶ 
൬ݔ + ܾ2ܽ൰ଶ = ܾଶ4ܽଶ − ܿܽ 
ݔ + ܾ2ܽ = ±ඨܾଶ − 4ܽܿ4ܽଶ 
ݔ = − ܾ2ܽ ± √ܾଶ − 4ܽܿ2ܽ 
ݔ = −ܾ ± √∆2ܽ ܿ݋݉ ∆= ܾଶ − 4ܽܿ 
 
O que fazer então com uma equação que esteja no seguinte formato: 4ݔଶ − 2(ݔ − 1) = ݔ(ݔ + 5)? Neste 
caso, deve-se desenvolver a expressão buscando chegar no formato padrão apresentado. 
 4ݔଶ − 2(ݔ − 1) = ݔ(ݔ + 5) 4ݔଶ − 2ݔ + 2 = ݔଶ + 5ݔ 3ݔଶ − 7ݔ + 2 = 0 
 
Note que a equação desenvolvida é semelhante a equação proposta inicialmente, onde se percebe que os 
coeficientes são ܽ = 3;ܾ = −7; ܿ = 2. Logo, pode-se aplicar a Fórmula de Bhaskara, conforme segue: 
 3ݔଶ − 7ݔ + 2 = 0 
ܽ = 3;ܾ = −7; ܿ = 2 
∆= (−7)ଶ − 4.3.2 = 49 − 24 = 25 
ݔ = −(−7) ± √252.3 = 7 ± 56 → ݔଵ = 126 = 2 ݋ݑ ݔଶ = 26 = 13 
 
Conclusão: se escrevermos uma equação do 2º grau na sua forma padrão reduzida, facilmente encontraremos 
os coeficientes a, b e c, e com estes coeficientes aplicamos a Fórmula de Bhaskara e encontramos as raízes da 
equação. 
 
Discriminante 
Porém, existe uma característica importante na Fórmula de Bhaskara que é o termo dentro do radical, 
chamado de discriminante (∆): ∆= ܾଶ − 4ܽܿ. O discriminante mostra a quantidade de raízes de uma equação da 
seguinte forma: 
 
 Se ∆> 0, a equação possui duas raízes reais distintas; 
 Se ∆= 0, a equação possui uma raiz real; 
 Se ∆< 0, a equação possui duas raízes imaginárias distintas. 
 
Por isso, é conveniente calcularmos o valor do discriminante antes de resolvermos a Fórmula de Bhaskara. 
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Vejamos alguns exemplos destas três situações: 
 
a) 2ݔଶ − 14ݔ + 24 = 0 
b) 4ݔଶ + 12ݔ + 9 = 0 
c) 3ݔଶ + 4ݔ + 2 = 0 
 
Exemplos de Equações do 2º grau 
Resolva as equações do 2º grau a seguir e encontre seu conjunto solução: 
a) 6ݔଶ − 3ݔ = 0 
b) 8ݔଶ − 24 = 0 
c) 4ݔଶ + 16 = 0 
 
d) 2ݔଶ − 5ݔ + 3 = 0 
e) ଵ
ଶ
ݔଶ + 4ݔ + 8 = 0 
f) ݔଶ − 4 − (ݔ − 1)ଶ − ݔ = ݔ(ݔ − 1) − 8 
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações incompletas do 2º grau abaixo. 
a) 2ݔଶ + 72 = 0 
b) 3ݔଶ − 4ݔ = 0 
c) ݔ(ݔ + 3) + 4ݔ + 2 = 5ݔ + 2 
 
d) (ݔ + 3)(ݔ + 4) = 7(ݔ + 2) 
e) (ݔ + 3)ଶ + 2ݔ − 8 = 2 ቀ3ݔ + ଵ
ଶ
ቁ 
2) Resolva as equações completas do 2º grau abaixo. 
a) 7ݔଶ + 13ݔ − 2 = 0 
b) 3ݔଶ − 7ݔ + 2 = 0 
c) 4ݐଶ − 12ݐ + 9 = 0 
d) ݖଶ − 2ݖ − 1 = 0 
e) ݔଶ − 6ݔ + 10 = 0 
f) ݔଶ − 23ݔ + 22 = 0 
g) ݕଶ − 2ݕ + 2 = 0 
h) ݔଶ − 2√5ݔ + 4 = 0 
i) 4ݔଶ − 4ݔ + 1 = 0 
j) −0,2ݔଶ + 3ݔ + 0,25 = 0 
k) ௫
మ
ଶ
− 2ݔ = ௫
ଷ
+ 4 
l) 4ݔ + (ݔ + 2)ଶ = 3(ݔ + 2)ݔ 
 
Resolução de Equações do 2º grau por Soma e Produto 
Um método interessante de resolver de forma prática algumas equações do 2º grau consiste em observar o 
valor da soma e do produto das raízes da equação. Estes valores são observados a partir da equação em sua forma 
padrão, conforme será apresentado. Inicialmente, é importante saber que toda equação do segundo grau na forma 
padrão ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = 0 pode ser escrita em função de suas raízes pelo seguinte produto: ܽ(ݔ − ݔଵ)(ݔ − ݔଶ) = 0. 
Partindo então da igualdade abaixo, tem-se 
 
ܽݔଶ + ܾݔ + ܿ = ܽ(ݔ − ݔଵ)(ݔ − ݔଶ) ÷ ܽ 
ݔଶ + ܾ
ܽ
ݔ + ܿ
ܽ
= (ݔ − ݔଵ)(ݔ − ݔଶ) 
ݔଶ + ܾ
ܽ
ݔ + ܿ
ܽ
= ݔଶ − ݔଵ. ݔ − ݔଶ. ݔ + ݔଵ. ݔଶ 
ݔଶ + ܾ
ܽ
ݔ + ܿ
ܽ
= ݔଶ − (ݔଵ + ݔଶ)ݔ + ݔଵ. ݔଶ 
 
 
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Assim, pelo conceito de igualdade de polinômios, tem-se que 
 
−(ݔଵ + ݔଶ) = ܾܽ → ݔଵ + ݔଶ = −ܾܽ → ܵ = −ܾܽ ݁ ݔଵ. ݔଶ = ܿܽ → ܲ = ܿܽ 
 
Logo, a partir da forma padrão da equação do 2º grau, sem resolvê-la, é possível conhecer a soma (S) e o 
produto (P) das raízes desta equação, mesmo que as raízes não sejam reais. Vejamos alguns exemplos: 
 
a) 2ݔଶ − 14ݔ + 24 = 0 → ܵ = −ିଵସ
ଶ
= 7 ݁ ܲ = ଶସ
ଶ
= 12 (ݔଵ = 3 ݁ ݔଶ = 4) 
b) 4ݔଶ + 12ݔ + 9 = 0 → ܵ = − ଵଶ
ସ
= −3 ݁ ܲ = ଽ
ସ
 ቀݔଵ = ݔଶ = − ଷଶቁ 
c) 3ݔଶ + 4ݔ + 2 = 0 → ܵ = − ସ
ଷ
 ݁ ܲ = ଶ
ଷ
 (ݔଵ, ݔଶ ∉ ℝ) 
 
Percebe-se que se ܽ = 1, soma e produto serão números inteiros, facilitando então a análise. Vejamos alguns 
exemplos para entender a resolução de equações do 2º grau utilizando a soma e o produto das raízes: 
 
a) ݔଶ − 4ݔ + 3 = 0 
b) ݔଶ − 15ݔ + 36 = 0 
c) ݔଶ − 4ݔ − 21 = 0 
d) ݔଶ + 7ݔ − 18 = 0 
e) ݔଶ + 7ݔ + 10 = 0 
f) ݔଶ − 12ݔ + 36 = 0 
g) ݔଶ + 3ݔ + 36 = 0 
 
EXERCÍCIOS 
1) Resolva as equações do 2º grau abaixo utilizando o método de Soma e Produto das raízes. 
a) ݖଶ − 2ݖ + 1 = 0 
b) ݔଶ − 7ݔ + 10 = 0 
c) ݔଶ + 23ݔ + 22 = 0 
d) ݕଶ + 2ݕ + 1 = 0 
e) ݖଶ − 8ݖ − 20 = 0 
f) ݔଶ + 5ݔ + 6 = 0 
g) ݔଶ − 3ݔ − 130 = 0 
h) ݕଶ + ݕ − 56 = 0 
i) ݖଶ + 8ݖ + 16 = 0 
j) ݔଶ + 12ݔ + 32 = 0 
k) ݔଶ − 9ݔ + 20 = 0 
l) ݕଶ + 11ݕ + 18 = 0