Aula6_Equação de Bernoulli pdf

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Fenômenos de Transportes
EQUAÇÃO DE BERNOULLI E APLICAÇÕES
Profª Tarcilene Heleno
Equação de Bernoulli
Princípio de conservação da energia? 
Em física, o termo conservação refere-se a algo que não muda. Isto significa que a variável de uma equação que representa uma grandeza conservativa é constante ao longo do tempo. A variável tem o mesmo valor antes e depois de um evento.
Energia refere-se à energia total de um sistema. À medida que os objetos movem-se ao longo do tempo, a energia associada a eles pode mudar de forma, mas se a energia é conservada, então a energia total irá permanecer a mesma.
Equação de Bernoulli
Princípio de conservação da energia
Equação de Bernoulli
Hipóteses de simplificação:
escoamento ao longo de uma linha de corrente;
escoamento em regime permanente;
escoamento incompressível;
escoamento não viscoso;
escoamento irrotacional.
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Representação do escoamento de um fluido em uma tubulação:
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
	A energia presente em um fluido ideal em escoamento pode ser considerada em três parcelas.
Energia de pressão;
Energia cinética ;
Energia potencial.
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
A equação de Bernoulli é utilizada para descrever o comportamento dos fluidos em movimento no interior de um tubo. Com base no Princípio de Conservação de energia, temos a seguinte equação:
Os termos representam as energias cinética, potencial e de pressão por unidade de volume (J/m3).
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
Os três termos representam as energias cinética, potencial e de pressão por unidade de peso (J/N).
Os três termos representam as energias cinética, potencial e de pressão por unidade de massa (J/kg).
Podemos reescrever a equação de Bernoulli da seguinte forma:
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
H é a energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção.
Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga.
Equação de Bernoulli
PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA ENERGIA 
 a energia de pressão por unidade de peso ou carga de pressão.
 a energia cinética por unidade de peso ou carga cinética.
 a energia potencial por unidade de peso ou carga potencial.
H é a energia total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção.
Exemplo1
 Exemplo 1: Considere um tanque contendo um fluido ideal cuja massa específica é 800 kg/ m3. Considere que o tanque da figura tem grandes dimensões e descarrega água pelo tubo indicado. Na base desse tanque existe um local por onde está vazando esse fluido. Determine: 
a velocidade na saída do bocal;
a vazão volumétrica, se a seção (2) do tubo é 0,1 m2. 
 
 
Exemplo 1
Lembrando que: 
Hipóteses considerando o tanque de grandes dimensões:
v1=0
Referencial adotado z1= 10 m, z2= 2 m
P1 = P2 na saída do bocal = equivalente aa pressão atmosférica 101325 Pa
Exemplo 1
Vazão em volume
/s
Equação de Bernoulli
 Exemplo 2: A pressão no ponto S do sifão da figura não deve cair abaixo de 25 kPa (abs). Desprezar as perdas. 
 a) Quais são as considerações necessárias para o emprego da equação de Bernoulli? b) Determine a velocidade do fluido b) Determine a máxima altura do ponto S em relação ao ponto A Dados: Patm=101325 Pa γ=104 N/m3
Exemplo 2
1) Aplicar Bernoulli nos pontos A e B;
2) Aplicar Bernoulli nos pontos A e S
1º Passo)Hipóteses considerando o tanque de grandes dimensões:
vA=0
Referencial adotado zA=1,2 m, zB= 0 m
PA = PB na saída do bocal = equivalente a pressão atmosférica 101325 Pa
Exemplo 2
1) Aplicar Bernoulli nos pontos A e B;
2) Aplicar Bernoulli nos pontos A e S
2º Passo) Hipóteses considerando o tanque de grandes dimensões:
vB=vS=4,9 m/s
Referencial adotado zA= 0 m, zS= h 
PA = 101325 Pa
PS = 25000 Pa
 h=6,4 m 
Equação de Bernoulli
O TUBO DE PITOT
	
São utilizados para medir velocidade e vazão de escoamentos;
É um dos mais precisos instrumentos de medida de velocidade, com aplicações importantes nos diversos ramos da engenharia;
Equação de Bernoulli
O TUBO DE PITOT
	A pressão empregada na equação de Bernoulli é a pressão termodinâmica ou estática, ou seja, é aquela sentida pela partícula fluida em movimento.
	A pressão de estagnação é obtida quando um fluido em escoamento é desacelerado até a velocidade zero por meio de um processo sem atrito.
Equação de Bernoulli
O TUBO DE PITOT
 Exemplo 3: Um tubo de Pitot é conectado a uma tubulação, na qual, escoa um gás como um fluido ideal, conforme a figura abaixo. 
Hipóteses:
Velocidade do fluido na entrada do Pitot é aproximadamente 0.
Z1 = Z0
Equação de Bernoulli
O TUBO DE VENTURI
	 
É usado para medir a velocidade e vazão de escoamento de um fluido de massa específica ρ.
O Venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um mínimo (estrangulamento) e, novamente, volta a ter a mesma seção inicial.
Um manômetro diferencial que contém líquido de massa específica ρm é conectado a parte mais estreita.
Devido ao estrangulamento da seção transversal, pode se observar uma redução de pressão.
 
Equação de Bernoulli
O TUBO DE VENTURI
Exemplo 4: No tubo de Venturi da figura abaixo, água escoa como um fluido ideal. A área na seção (1) é 20 cm2 enquanto na seção (2) é 10 cm2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio é ligado entre as seções (1) e (2) e indica um desnível h de 10 cm. Determine: a velocidade na seção (2) e sua vazão volumétrica da água que escoa pelo tubo. Adote g =10m/s2.
Equação de Bernoulli
Hipóteses 
Na mesma linha de corrente: 
Separando os termos de pressão e velocidade
Mas como determinar as pressões e velocidade???
Vamos usar o Teorema de Stevin para calcular as pressões nos pontos B e C:
Hipóteses 
Na mesma linha de corrente: 
Em função do peso específico
x
 (2)
Para encontrar as velocidades vamos usar a Equação da Continuidade!
Agora vamos trabalhar com as 3 equações determinadas
x
= 
=
= (3)
Hipóteses 
Na mesma linha de corrente: 
Substituindo as equações 2 e 3 em 1:
x
= (3)
 (2)
 
 
= 
Vazão:
x
= 
 
 
Qual é a velocidade média de escoamento numa tubulação de 4” onde escoam 12 L/s?
/s
 * v
 * v
= 
Equação de Bernoulli
	Na equação, cada parcela corresponde a uma quantidade de energia por unidade de peso.
Z1 = carga potencial; P/γ = carga de pressão; v2/2g = carga da velocidade ou carga cinética e H = carga total por unidade de peso numa seção ou carga total na seção.
Equação de Bernoulli
	Observa- se que a palavra carga substitui a expressão energia por unidade de peso.
Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for incompressível, sem atritos, e o regime permanente, se não houver máquina nem trocas de calor, então as cargas totais se manterão constantes em qualquer seção, não havendo nem ganhos nem perdas de carga: 
H1 = H2 
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
Máquina é qualquer elemento, que introduzido no escoamento, é capaz de fornecer ou retirar energia do fluido na forma de trabalho. 
Podemos ter dois casos : 
Bomba : qualquer máquina que fornece energia ao fluido
Turbina : qualquer máquina que retira energia do fluido 
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
	Consideremos um escoamento de um fluido. Se não houver máquina no escoamento, sabemos que :
Na presença de uma máquina no escoamento, teremos o seguinte:
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
Se for bomba: H1 + HB = H2  ( H1 < H2 ) 
onde, 
HB = carga ou altura manométrica da bomba ( m ) 
 Se for turbina: H1 - HT = H2  (H1 > H2)
onde , 
 HT = carga ou altura manométrica da turbina ( m ).
 Portanto, a equação de Bernoulli ficará assim :
A altura manométrica de uma bomba representa qual a altura que uma bomba consegue levantar um fluido!!!
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
Altura manométrica: é a energia que a bomba deve transmitir para o fluido para o transporte de uma determinada vazão até o ponto final (2) designado pelo sistema.
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
Potência de uma bomba: Se a máquina for uma bomba, ela fornece energia ao escoamento.
 
A potência de uma bomba é calculada pela equação apresentada a seguir. 
NB é a potência da bomba.
 HB = é a carga manométrica da bomba.
 ηB é a eficiência da bomba.
Q é a vazão desejada.
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli para fluido ideal na presença de uma máquina
Potência de uma turbina: Se a máquina for uma turbina, ela retira energia do escoamento.
A potência de uma turbina é calculada pela equação apresentada a seguir. 
NT é a potência da turbina.
HT= é a carga manométrica da turbina.
ηT é a eficiência da turbina.
Equação de Bernoulli
Exemplo 5: Um reservatório de grandes dimensões da figura fornece água para um tanque. Considere fluido ideal. Determine a vazão no ponto 2. Dados: Atubo=10 cm2 g=10 m/s2 ρ=1.000 kg/m3 . Utilize para este problema a equação de Bernoulli para cargas. 
a) Não há qualquer máquina entre os pontos (1) e (2). b) Há uma turbina (M) cuja carga ou altura manométrica é 10 m. c) Há uma bomba (M) cuja carga ou altura manométrica é 10 m. Resp: a)0,0171 m3/s b)0,0099 m3/s c)0,0221 m3/s
Exemplo 1
Lembrando que: 
Hipóteses considerando o tanque de grandes dimensões:
v1=0
Referencial adotado z1= 20 m, z2= 5 m
P1 = P2 na saída do bocal = equivalente aa pressão atmosférica 101325 Pa
= 
 0,017 m3/s 
Exemplo 1
= 
 0,010 m3/s 
Se a máquina é uma TURBINA, ela retira energia do escoamento.
Exemplo 1
= 
 0,022 m3/s 
Se a máquina é uma BOMBA, ela fornece energia do escoamento.
Exemplo 2
Uma bomba deve ser dimensionada para recalcar água através de uma tubulação com diâmetro constante, partindo do reservatório A, no nível do mar e sob pressão atmosférica, até o reservatório B, 25m acima e com pressão manométrica de 10m.c.a. Se a vazão é de 54m³/h, a perda de carga na tubulação é de 4m e a eficiência da bomba é de 70%, qual a potência necessária em cv?
Como a tubulação tem diâmetro constante, v1 = v2
M
f
p
f
c
i
p
i
c
E
cte
E
E
E
E
=
=
+
=
+
,
,
,
,
M
f
f
i
E
cte
mgz
mv
mgz
mv
i
=
=
+
=
+
2
2
2
2
p
c
M
E
E
E
+
=
2
2
2
2
1
2
1
2
2
1
gz
v
P
gz
v
P
r
r
r
r
+
+
=
+
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
gz
v
P
gz
v
P
+
+
=
+
+
r
r
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
z
g
v
P
z
g
v
P
+
+
=
+
+
g
g
cte
H
z
g
v
P
z
g
v
P
=
=
+
+
=
+
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
g
g
H
z
g
v
P
=
+
+
2
2
g
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
z
g
v
P
z
g
v
P
+
+
=
+
+
g
g
2
2
2
1
2
z
g
v
z
+
=
2
10
2
2
2
10
+
´
=
v
s
m
v
/
65
,
12
2
=
B
B
A
A
A
z
g
v
P
z
g
v
P
B
+
+
=
+
+
2
2
2
2
g
g
0
10
2
2
2
,
1
+
´
=
B
v
s
m
B
v
/
9
,
4
=
S
S
S
A
A
A
z
g
v
P
z
g
v
P
+
+
=
+
+
2
2
2
2
g
g
h
+
+
=
10
*
2
9
,
4
10000
25000
10000
101325
2
2
2
2
2
1
2
1
1
2
2
z
g
v
P
z
g
v
P
a
a
+
+
+
+
=
g
g
)
1
(
2
2
1
2
2
2
1
g
v
v
P
P
-
=
-
g
)
1
(
2
2
1
2
2
2
1
g
v
v
P
P
a
-
=
-
g
H
z
g
v
P
z
g
v
P
=
+
+
=
+
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
g
g
5
10
2
2
2
20
+
´
=
v
s
m
v
/
32
,
17
2
=
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
z
g
v
P
H
z
g
v
P
T
+
+
=
-
+
+
g
g
2
2
2
1
2
z
g
v
H
z
T
+
=
-
5
10
2
10
20
2
2
+
´
=
-
v
s
m
v
/
10
2
=
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
z
g
v
P
H
z
g
v
P
B
+
+
=
+
+
+
g
g
2
2
2
1
2
z
g
v
H
z
B
+
=
+
5
10
2
10
20
2
2
+
´
=
+
v
s
m
v
/
36
,
22
2
=
Hp
z
g
v
P
H
z
g
v
P
B
+
+
+
=
+
+
+
2
2
2
2
1
2
2
2
1
1
g
g