Fenômenos de Transporte - Aula 4 - Dinâmica dos Fluidos

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Aula 4 – Dinâmica dos Fluidos
Fenômenos de Transporte 
Me. Octaviano Rojas Luiz
E-mail: octaviano.luiz@faag.com.br
Introdução
• Vamos analisar a descrição de como um fluido entra
em movimento a partir de uma análise energética.
– Assim como a massa de fluido que flui por uma
seção de tubo é conservada, a energia também é
conservada e transformada durante os
escoamentos.
Energias mecânicas associadas aos fluidos
• Potencial (Ep)
– Estado de energia do sistema devido à sua
posição no campo gravitacional em relação a um
plano horizontal de referência (PHR).
– Potencial de realização de trabalho do sistema.
• Peso G = mg
• Trabalho = Força x Deslocamento
• Trabalho = Ep = mgz
• O PHR pode ser escolhido arbitrariamente, já que
normalmente tomamos diferenças de energia
potencial entre pontos do fluido.
Energias mecânicas associadas aos fluidos
• Energia Cinética (Ec)
– Estado de energia determinado pelo movimento
do fluido.
𝐸𝑐 =
𝑚𝑣2
2
Energias mecânicas associadas aos fluidos
• Energia de pressão (Epr):
– Trabalho potencial das forças de pressão que
atuam no escoamento do fluido.
– Considere o tubo de corrente:
Energias mecânicas associadas aos fluidos
• A pressão é uniforme na seção.
• Se F = pA é a força aplicada na seção e se, no
intervalo dt, o fluido se desloca ds, temos um
trabalho dW.
𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝑠 = 𝑝𝐴 𝑑𝑠 = 𝑝 𝑑𝑉
𝑑𝐸𝑝𝑟 = 𝑝 𝑑𝑉
Ou
𝐸𝑝𝑟 = 𝑉׬ 𝑝 𝑑𝑉
Para sistemas simples: Epr = pV
Energias mecânicas associadas aos fluidos
• Energia mecânica total do fluido (E)
– Excluindo-se energias térmicas e levando em
conta apenas efeitos mecânicos, a energia total
de um sistema fluido será:
𝐸 = 𝐸𝑝 + 𝐸𝑐+𝐸𝑝𝑟
𝐸 = 𝑚𝑔𝑧 +
𝑚𝑣2
2
+ 𝑝𝑉
Equação de Bernoulli
• Descreve a energia sob condições muito particulares, ou
seja, sob hipóteses simplificadoras
a) Regime permanente.
b) Sem máquina no trecho em estudo (considere “máquina
qualquer dispositivo que forneça – bomba - ou retire –
turbina - energia do fluido, na forma de trabalho).
c) Fluido ideal, sem perdas de energia por atrito no
escoamento do fluido (escoamento invíscido – sem
viscosidade).
d) Propriedades uniformes nas seções.
e) Fluido incompressível.
f) Sem trocas de calor.
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
• Deixando passar um tempo dt, uma massa
infinitesimal dm, de fluido a montante da seção (1),
atravessa-a e penetra o trecho (1) - (2),
acrescentando energia ao fluido.
Equação de Bernoulli
• Na seção (2), uma massa dm2 do fluido, que
pertencia ao trecho (1)-(2) escoa para fora, levando
a sua energia:
• Pelas hipóteses, b, c e f, não há variação de
energia, no trecho (1)-(2):
• Como 𝜌 =
𝑑𝑚
𝑑𝑉
e, portanto, 𝑑𝑉 =
𝑑𝑚
𝜌
, tem-
se:
Equação de Bernoulli
• Como o fluido é incompressível, 𝜌1 = 𝜌2, e como o
regime permanente 𝑑𝑚1 = 𝑑𝑚2 , simplifica-se a
equação anterior:
• Dividindo a equação por g e lembrando que 𝛾 = 𝜌𝑔:
Equação de Bernoulli
Equação de Bernoulli
• Outra forma equivalente, mais simples:
𝒑 +
𝟏
𝟐
𝝆𝑽𝟐 + 𝜸𝒛 = 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
(ao longo de uma linha de corrente).
• Ela permite relacionar elevações, velocidades e
pressões entre duas seções de escoamento do
fluido.
• Vamos analisar seus termos:
Equação de Bernoulli
𝑧 =
𝑚𝑔𝑧
𝑚𝑔
=
𝐸𝑝
𝐺
= energia potencial por unidade de peso
ou energia potencial de uma partícula de peso unitário.
𝑣2
2𝑔
=
𝑚𝑣2
2𝑚𝑔
=
𝑚𝑣2
2𝐺
=
𝐸𝑐
𝐺
= energia cinética por unidade de
peso ou energia cinética de uma partícula de peso
unitário.
𝑝
𝛾
=
𝑝𝑉
𝛾𝑉
=
𝑝𝑉
𝐺
=
𝐸𝑝𝑟
𝐺
= energia de pressão por unidade de
peso ou energia de pressão de uma partícula de peso
unitário.
Equação de Bernoulli
• A soma das energias potencial, cinética e de
pressão, para uma partícula com peso unitário, na
entrada (1) e saída (2) são iguais, mantendo
constante a energia total no volume considerado.
• Energias/G têm a mesma unidade → Comprimento.
Equação de Bernoulli
• Outras considerações sobre Bernoulli:
𝐸𝑝𝑟
𝐺
=
𝑝
𝛾
𝑝
𝛾
é definido como carga de pressão, h, medido em
unidades de comprimento.
• h é a coluna de fluido que se forma por uma pressão
p (Teorema de Stevin).
Equação de Bernoulli
• Por analogia:
– z = carga potencial
–
𝑣2
2𝑔
é a carga cinética ou de velocidade
• Ainda:
𝐻 = 𝑧 +
𝑣2
2𝑔
+
p
γ
Onde: H = energia total por unidade de peso em uma
seção ou carga total na seção.
Equação de Bernoulli
• A equação de Bernoulli também é expressa por:
𝑯𝟏 = 𝑯𝟐
“Se, entre duas seções do escoamento, o fluido for
incompressível, sem atritos, e o regime permanente,
se não houver máquina nem trocas de calor, então as
cargas totais se manterão constantes em qualquer
seção, não havendo nem ganhos nem perdas de
carga.”
Exemplo 
• Água escoa em regime permanente no tubo de
Venturi da figura. No trecho considerado, supõem-se
as perdas por atrito desprezíveis e as propriedades
uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm2,
enquanto a garganta (2) é 10 cm2. Um manômetro
cujo fluido manométrico é mercúrio ( 𝛾𝐻𝑔 =
136000 𝑁/𝑚3) é ligado entre as duas seções (1) e
(2) e indica o desnível mostrado na figura. Qual a
vazão da água que escoa pelo Venturi? (𝛾𝐻2𝑂 =
10000 𝑁/𝑚3)
• Solução: Se enquadra na equação de Bernoulli:
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
Como os centros das seções tem mesma elevação
para qualquer plano de referência, 𝑧1 = 𝑧2= 𝑧 e
podemos reescrever:
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2𝑔
=
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
• Como a área 2 é menor do que a área 1, v2>v1 e,
portanto, a energia cinética aumenta.
Consequentemente, a energia de pressão vai ter
que diminuir, pois a soma permanece constante.
– Por isso, o desnível no manômetro estar da
esquerda para a direita (p1>p2).
Vamos estudar as pressões na linha vermelha tanto no gargalo
quanto na entrada.
• Aplicando Stevin dos dois lados do tubo:
𝑝1 + 𝛾𝐻2𝑂 (ℎ1+ ℎ) = 𝑝2 + 𝛾𝐻2𝑂 ℎ1 + 𝛾𝐻𝑔 ℎ
𝑝1 + 𝛾𝐻2𝑂 ℎ1+ 𝛾𝐻2𝑂 ℎ = 𝑝2+ 𝛾𝐻2𝑂 ℎ1+ 𝛾𝐻𝑔 ℎ
𝑝1 − 𝑝2 = 𝛾𝐻𝑔 − 𝛾𝐻2𝑂 ℎ
𝑝1 − 𝑝2 = 136000 − 10000 × 0,1 = 12600 N/𝑚
2
Ou
𝑣2
2−𝑣1
2
2𝑔
=
12600
𝛾
=
12600
10000
= 1,26𝑚
Adotando g = 10 m/s2
𝑣2
2 − 𝑣1
2 = 25,20 𝑚2/𝑠2
• Outra equação que relaciona velocidades do fluido,
a equação da continuidade:
𝑄1 = 𝑄2
Ou 𝑣1𝐴1 = 𝑣2𝐴2→ 𝑣1 =
𝐴2
𝐴1
𝑣2 =
𝑣2
2
Logo 𝑣2
2 −
𝑣2
2
4
= 25,20
𝑣2 =
4 × 25,20
3
= 5,8
𝑚
𝑠
Ou: 𝑄 = 5,8 × 10 × 10−4 = 5,8 × 10−3
𝑚3
𝑠
= 5,8
L
s
.
Exercício 1 – Para entregar
• Um grande hotel pediu para você construir uma
fonte que é alimentada por um cano cilíndrico de
diâmetro 15 cm que transporta água
horizontalmente a 8,00 m abaixo do solo. O cano
vira para cima e finalmente solta água da
extremidade cilíndrica de 5,00 cm de diâmetro do
cano, que está localizado a 1,75 m acima do solo,
com uma velocidade de 32 m/s. A água tem uma
massa específica de 1000 kg/m3 e a aceleração da
gravidade é 9,8 m/s2. Qual pressão relativa é
necessária no cano horizontal subaquático grande
para essa fonte? R: 6,01 x 105 Pa
Exercício 2 - Para entregar
• Você tem um restaurante e está pesquisando novas
maneiras de entregar bebidas aos clientes. Uma
proposta é um tubo que vai entregar suco de
beterraba de massa específica 1090 kg/m3 por todo
o restaurante. Uma seção do tubo é mostrada a
seguir. As plantas do projeto dizem que a velocidade
e a pressão manométrica do suco de beterraba no
ponto 1 são 3,00 m/s e 12300 Pa, respectivamente.
O suco de beterraba no ponto 2 está 1,20 m mais
alto que o fluido no ponto 1 e está se movendo com
uma velocidade de 0,750 m/s. Encontre a pressão
manométrica no ponto 2. Considere g = 9,8 m/s2.
• R: 4080 Pa.
Exemplos de aplicação de Bernoulli
• Jato livre
– Equação que descreve a descarga de líquido de
um grande reservatório. Um jato de líquido, com
diâmetro d, escoa no bocal com velocidade V.
2 4
3
1
2
5
4
Jato livre
• A aplicação da equação de Bernoulli entre (1) e (2)
na linha de correntefornece:
𝛾ℎ =
1
2
𝜌𝑣2
Hipóteses:
• 𝑧1 = ℎ, 𝑧2 = 0;
• Reservatório é grande (𝑉1 ≅ 0);
• Exposição à atmosfera (𝑝1 = 0);
• Fluido deixa o bocal como um jato livre (𝑝2 = 0).
Jato livre
• Assim,
𝑣 = 2
𝛾ℎ
𝜌
= 2𝑔ℎ
• O escoamento se comporta como um jato livre, com
pressão uniforme e igual a atmosférica (𝑝5 = 0), a
jusante do plano de descarga do bocal.
• Aplicando Bernoulli entre os pontos (1) e (5),
identifica-se que a velocidade aumenta de acordo
com:
𝑉 = 2𝑔(ℎ + 𝐻)
Onde H é distância entre a seção de descarga e (5).
• Entre os pontos (3) e (4), nota-se que z4=0, z3=l.
Note que V3=0 porque o ponto está longe do bocal e
que 𝑝3 = 𝛾(ℎ − 𝑙). Isso resulta na mesma equação:
𝑣 = 2
𝛾ℎ
𝜌
= 2𝑔ℎ
Ou seja, ela vale se tomarmos qualquer ponto do
reservatório como referência.
• Note que v = 2𝑔ℎ também é a velocidade que um
corpo atinge em queda livre no vácuo.
– Essa expressão é conhecida como lei de
Torricelli.
– Isso ocorre porque toda a energia potencial da
partícula é convertida em energia cinética, desde
que os efeitos de atrito e resistência (viscosos)
sejam desconsiderados.
• A carga de elevação é convertida em carga de
velocidade e a pressão é a mesma
(atmosférica).
• Já para o bocal horizontal, a velocidade na linha de
centro do escoamento, v2, será um pouco maior do
que a do topo v1, e um pouco menor do que a do
fundo, v3, devido às diferenças de elevação.
• Se d<<h, pode-se tomar a velocidade do centro
como média para todo o escoamento.
Exemplo
• Determine a velocidade do jato do líquido no orifício
do tanque de grandes dimensões da figura. A altura
do alto do tanque até o orifício é de 25m. Considere
o fluido ideal e aceleração da gravidade 9,8 m/s2.
• Tomando a saída como 1 e a parte de cima do tanque
como 2 temos:
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑃1
𝛾
= 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑃2
𝛾
0 +
𝑣2
2.9,8
+
0
𝛾
= 25 +
0
2𝑔
+
0
𝛾
v = 22, 13 m/s
Exercício 3 – Aula 4
• A figura mostra um tanque
(diâmetro D = 1 m) que é
alimentado com um
escoamento de água (γ =
10000). A água sai por um
tubo de 0,1 m de diâmetro.
Determine a vazão em
volume Q, necessária para
que o volume do tanque
permaneça constante. A
altura do ponto 2 até 1 é igual
a 2m. Aceleração da
gravidade igual a 9,81 m/s2.
• R: 0,0492 𝑚3/𝑠
Exercício 4 – Para entregar
• Quais são as vazões do óleo em massa e peso no tubo
convergente da figura, para elevar uma coluna de 20 cm de
óleo no ponto 0? Considere a equação de continuidade. A
aceleração da gravidade é 10 m/s2 e o peso específico do
óleo é 8000 N/m3. R: Aproximadamente 2,09 kg/s e 20,9 N/s.
Exercício 5 – Para entregar
• Água escoa na torneira
localizada no andar térreo do
edifício mostrado na figura, com
velocidade máxima de 6,0 m/s.
Determine as velocidades
máximas dos escoamentos nas
torneiras localizadas no subsolo
e no primeiro andar do edifício.
Admita que o escoamento é
invíscido, que a altura de cada
andar seja igual a 3,6 m e que
para um jato livre a pressão
manométrica é igual a zero. A
gravidade no local é 9,8 m/s2
peso específico da água como
9800 N/m3.
Exercício 6 – Para entregar
• No conduto da figura, o fluido é considerado ideal.
Dado que a constante da Equação de Bernoulli (H)
para este fluido é igual a 16 m (considerando o
plano horizontal de referência da figura), P1 = 52
kPa, peso específico: 104 N/m3; diâmetros dos
setores 1 e 3 = 10 cm. Determinar:
a) A vazão em peso.
b) A altura h1 no manômetro
c) O diâmetro da seção (2).
Exercício 6 – Para entregar
Equação da Energia e presença de máquina
• Vamos retirar uma hipóteses de Bernoulli:
– Sem máquina no trecho em estudo (considere
“máquina qualquer dispositivo que forneça –
bomba - ou retire – turbina - energia do fluido, na
forma de trabalho).
• Se não houvesse máquina a carga total (energia
total por unidade de peso) seria constante:
𝐻1 = 𝐻2
• Se a máquina for bomba, o fluido receberá um
acréscimo de energia, de tal forma que:
𝐻1 + 𝐻𝐵 = 𝐻2
Em que HB é a carga ou altura manométrica da
bomba.
• Se a máquina for uma turbina, H1>H2, pois, por
definição, a turbina retira energia do fluido.
𝐻1 − 𝐻𝑇 = 𝐻2
Sendo HT a carga ou altura manométrica da turbina.
• Relação geral: 𝐻1 + 𝐻𝑀 = 𝐻2
• HM = HB (bomba) ou HM = - HT (turbina)
• Equação da energia na presença de máquina
𝑧1 +
𝑣1
2
2𝑔
+
𝑝1
𝛾
+ 𝐻𝑀 = 𝑧2 +
𝑣2
2
2𝑔
+
𝑝2
𝛾
ou
𝐻𝑀 =
𝑝1 − 𝑝2
𝛾
+ 𝑧2 − 𝑧1 +
𝑣2
2 − 𝑣1
2
2g
– A presença da máquina pode causar mudança
nas cargas de pressão, potencial e cinética.
Potência de Máquina e Rendimento
• Potência de fluido (N)
– Potência = Trabalho/Tempo
𝑁 =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
𝑁 =
𝐸𝑛𝑒𝑟𝑔𝑖𝑎 𝑀𝑒𝑐â𝑛𝑖𝑐𝑎
𝑃𝑒𝑠𝑜
×
𝑃𝑒𝑠𝑜
𝑇𝑒𝑚𝑝𝑜
– A energia por unidade de peso é a carga H e o
peso por unidade de tempo é a vazão em peso
QG.
𝑁 = 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎 × 𝑄𝐺
𝑁 = 𝛾𝑄 × 𝑐𝑎𝑟𝑔𝑎
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻
• No caso da presença de uma máquina, a potência
retirada ou fornecida pela máquina ao fluido é:
𝑁 = 𝛾𝑄𝐻𝑀
• No caso de transmissão de potência, sempre
existem perdas e, portanto, a potência cedida ou
recebida pelo fluido não coincide com a potência da
máquina (potência no seu eixo).
• NB é a potência cedida pela bomba ao fluido, por
exemplo.
• A bomba não cede totalmente sua potência ao
fluido. Assim N < NB.
• Então, o rendimento da máquina (bomba) seria,
η𝐵 =
𝑁
𝑁𝐵
𝑁𝐵 =
𝑁
η𝐵
=
𝛾𝑄𝐻𝐵
η𝐵
• Analogamente, para a turbina.
• Como o fluxo é do fluido para a turbina, temos
NT<N.
• Define-se a potência da turbina:
η𝑇 =
𝑁𝑇
𝑁
𝑁𝑇 = 𝑁η𝑇 = 𝛾𝑄𝐻𝑇η𝑇
Exemplo
• O reservatório de grandes proporções da figura fornece água
para o tanque com vazão de 0,01 m3/s. Verificar se a
máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua
potência, se o rendimento é 75%.
• Dados γH20 = 10000 N/m
3, Atubos = 0,001 m
2, g =10 m/s2.
Exemplo
• Adotando plano de referência na base do reservatório
Exemplo
• As pressões relativas em 1 e 2 são nulas, pois (1) é a
superfície do reservatório e 2 é um jato livre;
• A velocidade é nula em 1 porque o reservatório mantém seu
nível constante (grandes proporções)
Exemplo
• Logo
• Como a constante HM é negativa temos que a
máquina é uma turbina.
• O fluido chega com menos energia no ponto 2
do que no ponto 1 porque perdeu energia para a
turbina.
Exemplo
• Potência fornecida pelo fluido:
• Potência da turbina com a noção do rendimento:
Exercício 7 – Para entregar
• Na instalação da figura, a máquina é uma bomba e o fluido é
água. O rendimento da bomba é de 80%. A água é
descarregada na atmosfera com uma velocidade de 16 m/s
por um tubo de 0,001 m2. Determine a potência total da
bomba. Considere que não há perdas de carga por atrito.
Dados: γH20 = 10000 N/m
3, g = 10 m/s2. R: 1560 W