5 1 - Conceitos e aplicabilidade de conversão de bases

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Conceitos e aplicabilidade de 
conversão de bases
Marcio Regis Manso Fraga
Introdução
Diariamente utilizamos números para fazer contagens de objetos e operações aritméticas. Esses números
possuem algarismos que vão de 0 (zero) a 9 (nove) e se repetem a cada dezena. Você já se questionou se existe
outras formas de representar os números? Assim como já se perguntou de que maneira um computador
representa os números e palavras que inserimos nele?
Neste texto-base, iremos entender como funciona um sistema de numeração e ver que existem outras maneiras
de representar os números. Além disso, estudaremos o motivo pelo qual estudamos essas outras formas de
representação e a sua importância com o sistema computacional. Mostraremos também como representá-los e
quais as técnicas podem ser aplicadas para converter um número de um determinado sistema de numeração
para outro qualquer.
Bom estudo!
Ao final desta aula, você será capaz de:
• Entender as diversas formas de sistemas de numeração existentes, compreendendo a aplicação das 
regras para conversão.
Conceitos sobre sistemas de numeração
Desde o homem pré-histórico é utilizado algum modo para contar grandezas, como animais, pessoas e objetos.
Ao longo do tempo surgiram diversas maneiras de realizar contagens e operações sobre representações
numéricas distintas. Dentre essas maneiras, a mais utilizada é a notação posicional.
Na notação posicional, o valor de um número é modificado de acordo com a posição no número. Ou seja, o valor
absoluto de um algarismo muda por um fator que varia conforme a sua posição, sendo crescente da direita para
a esquerda (MONTEIRO, 2010). Por exemplo, o algarismo 2 sozinho representa uma grandeza de dois elementos;
contudo, este algarismo no número 23 possui um valor diferente, apenas pela posição diferente que se encontra.
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Outra característica, é a necessidade de agrupar símbolos que possibilite representar todos os números e fazer
contagens e operações aritméticas, utilizando somente essa quantidade de algarismos. Esse agrupamento nos
remete à noção de base de numeração e pode ser definida como a quantidade de símbolos, algarismos ou dígitos
diferentes que o referido sistema emprega para representar números (MONTEIRO, 2010).
Comumente, utilizamos 10 símbolos agrupados (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) para representar todos os números.
Dessa forma, chamamos esse sistema de numeração de base decimal. Nesse sentido, existem outros sistemas de
numeração que utilizam um grupo de símbolos menor ou maior que 10, como o binário (base 2), octal (base 8) e
hexadecimal (base 16) (MONTEIRO, 2010). A seguir, vamos detalhar as características de cada uma dessas bases.
Sistemas de numeração decimal, binário, octal e 
hexadecimal
Além da classificação entre posicional e não-posicional, os sistemas de numeração posicional também podem ser
classificados pela quantidade de algarismos que possuem. Assim, neste item, iremos estudar os principais
sistemas de numeração posicional utilizados, especialmente em sistemas computacionais.
Sistema Decimal
No dia a dia empregamos o sistema de numeração decimal, que usa 10 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9) para
representar os números. Dessa maneira, esses algarismos compõem qualquer número e possuem valores
distintos, de acordo com a sua posição. Ou seja, cada número é multiplicado por 10 elevado à potência
correspondente à posição do digito (STALLINGS, 2010).
Em geral, a representação decimal de um número é: , em que n é o algarismo e i representa a sua
posição dentro do número Por exemplo, os números 65 e 323 significam (6 x 10¹) + (5 x 10 ) e (3 x 10 ) + (2 x. 0 2
10¹) + (3 x 10 ), respectivamente, conforme ilustra figura a seguir.0
SAIBA MAIS
Além da notação posicional, existe a não-posicional, usado por povos antigos, como os
romanos. O sistema de numeração romano tem 7 algarismos com um valor fixo, independente
da sua posição, que são: I = 1, V = 5, X = 10, L = 50, C = 100, D = 500 e M = 1000.
Os números são definidos da esquerda para a direita e a regra para obter o seu valor é: 1) o
algarismo à direita de um maior é somado a ele; 2) o algarismo à esquerda de um maior é
subtraído o seu valor do maior (MONTEIRO, 2010).
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Figura 1 - Sistema decimal.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Sistema binário
Embora não seja comumente utilizado pela população em geral, o sistema de numeração binário é muito
utilizado em dispositivos eletrônicos. Em um computador digital, o sistema binário é utilizado para representar
todas as formas de dados.
Nesse sistema, são utilizados apenas dois algarismos (0 e 1) para representar os números. Por exemplo, os
números 5 e 20 na base decimal são representados na base binária por 101 e 11001, respectivamente. Mais
adiante, iremos aprender como realizar a conversão de números da base decimal para binária, e vice-versa.
Sistema octal
O sistema de numeração octal utiliza 8 algarismos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) para representar os números. Esse
sistema foi muito utilizado em computadores, como uma alternativa ao sistema binário para a representação de
dados em computadores. Atualmente, o sistema hexadecimal é o mais utilizado.
Para representar números na base octal, é utilizada uma regra semelhante ao da base decimal: , em
que n é o algarismo e i representa a sua posição dentro do número. Dessa maneira, o número 157 na base
decimal, é representado por 235 na base octal.
Sistema hexadecimal
O sistema de numeração hexadecimal é fortemente utilizado em computadores como uma alternativa mais
compacta (possui mais algarismos, logo os números ficam menores) ao uso do sistema binário para representar
dados em computadores (STALLINGS, 2003).
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São utilizados 16 símbolos (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F) para representar os números, que possuem
valores distintos de acordo com a sua posição. Por exemplo, o número 31 na base decimal é representado por 2B
em hexadecimal.
Conversão da base decimal para as demais bases
A conversão de números da base decimal para outras bases (e vice-versa) é comum e necessária para quem
trabalha com computação, já que a base decimal é a utilizada no dia a dia e as demais bases são comumente
utilizadas na representação de dados em um computador (MONTEIRO, 2010).
De um modo geral, para converter um número decimal para uma base qualquer, basta realizar sucessivas
divisões do número decimal pela base desejada, até que o quociente seja menor que a base de destino. Nesse
momento, utilizamos o quociente e o que sobrou anteriormente para formar o número na base desejada.
FIQUE ATENTO
O fato dos computadores serem constituídos de dispositivos eletrônicos, torna natural o uso
do sistema binário para representação de dados. Cada bit de um dado é representado por 0 ou
1. Contudo, quando são dados muito grandes, entender o número binário correspondente é
uma tarefa árdua. Nesse sentido, tem-se usado a base hexadecimal para substituir os dados em
binário nos computadores, pelo valor final ser mais compacto. Ou seja, um dado binário
0010110111011111 (11743, em binário) é, em hexadecimal, o número 2DDF.
FIQUE ATENTO
Um método muito comum em computadores para representar dados é o BCD (Binary Coded
). Ele é utilizado nos processos de Entrada e Saída de dados, para posterior conversãoDecimal
em valores binários. Ou seja, cada algarismo decimal ou caractere é convertido para um
binário BCD correspondente de quatro dígitos. Por fim, é convertido em binários diretos
(MONTEIRO, 2010).
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Para auxiliar nas conversões de números, é importante que você analise a equivalência de números entre a base
decimal e as demais, conforme quadro a seguir.
EXEMPLO
Conversão do número 20 da base decimal para a base binária:
20÷2 = 10 (resto )0
10÷2 = 5 (resto );0
5÷2 = 2 (resto );1
2÷2 = (resto );1 0
1÷2 = 0 (resto )1
20 = 1010010 2
Conversão do número 20 da base decimal para a base octal:
20÷8 = (resto );2 4
20 = 210 48
Conversão do número 230 da base decimal para hexadecimal:
230:16 = (resto );14 614 = E
10 16;
230 = 6E10 16
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Quadro 1 - Equivalência de números entre bases
Fonte: Adaptado de Monteiro (2010) pelo autor.
Conversão de outras bases para a base decimal
Em um sistema de numeração posicional, os algarismos possuem valores distintos de acordo com a sua posição
no número. Na base decimal, por exemplo, um número pode ser representado pela fórmula X = .
Nas outras bases, também podemos utilizar essa mesma regra, alterando apenas a base utilizada, como: 
 , para binária; , para octal; e para hexadecimal. Nesse sentido, podemos
generalizar e chegar na seguinte fórmula:
Onde: n = algarismo; i = quantidade de algarismos no número; b = a base.
Com essa fórmula, podemos converter um número representado nas demais bases para a base decimal.
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Figura 2 - Conversão de outras bases para decimal.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Diante de tantos sistemas de numeração distintos, foi estabelecida uma notação para diferenciar qual a base
utilizada em um determinado número. Essa notação segue a seguinte regra: Nb, onde N é o número e b a sua
base. Ou seja, a notação 33 significa que o número 33 está na base decimal e que 33 está na base octal.
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Conversão entre base binária e hexadecimal e vice-versa
Conforme demonstrado no quadro anterior, os números hexadecimais correspondem a um grupo de 4 dígitos
em binário, o que facilita a conversão. O número 110100101010 em binário, por exemplo, ao separá-lo em
grupos de 4, corresponde a D2A em hexadecimal.
Figura 3 - Conversão da base binária para hexadecimal.
Fonte: Elaborada pelo autor.
Seguindo o mesmo raciocínio, é possível converter um número hexadecimal para binário facilmente, utilizando a
tabela de equivalência, vejamos: 5A1, corresponde a 5 (0101), A (1010) e 1 (0001), ou seja, 010110100001 em
binário.
Fechamento
Neste texto-base, estudamos os conceitos de sistemas de numeração e as técnicas aplicadas para fazer a
conversão entre as bases. Também vimos o motivo de aprender sobre esse conteúdo, uma vez que é muito
utilizado em um sistema computacional. Aprendemos que a notação mais utilizada nos sistemas de numeração,
inclusive a decimal, é a posicional e que sua principal característica é que cada algarismo possui valor diferente,
de acordo com a sua posição no número.
Também vimos, em detalhes, os sistemas de numeração decimal, binário, octal e hexadecimal e que todos eles
agrupam um número N de algarismos para representar seus números, chamado de base. Além disso, analisamos
as técnicas aplicadas para converter um número decimal para as demais bases e vice-versa.
Outra técnica importante analisada, foi a conversão entre números binários para hexadecimal e vice-versa,
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Outra técnica importante analisada, foi a conversão entre números binários para hexadecimal e vice-versa,
muito utilizada em sistemas computacionais para representar dados, seja números decimais ou caracteres.
Referências
STALLINGS, W. projeto para o desempenho. 5. ed. São Paulo:Arquitetura e organização de computadores: 
Prentice Hall, 2003.
MONTEIRO, M. A. . 5. ed. São Paulo: LTC, 2010.Introdução à organização de computadores
	Introdução
	Conceitos sobre sistemas de numeração
	Sistemas de numeração decimal, binário, octal e hexadecimal
	Sistema Decimal
	Sistema decimal.
	Sistema binário
	Sistema octal
	Sistema hexadecimal
	Conversão da base decimal para as demais bases
	Equivalência de números entre bases
	Conversão de outras bases para a base decimal
	Conversão de outras bases para decimal.
	Conversão entre base binária e hexadecimal e vice-versa
	Conversão da base binária para hexadecimal.
	Fechamento
	Referências