Sistemas de numeração e conversão de bases - Decimal e binario

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Sistemas de numeração e conversão de bases -
Decimal e binário
Cálculo de conversão de bases para responder às questões pertinentes à execução das especificações nas
configurações de sistemas, comunicação remota e linguagem de máquina.
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Introdução
Quando mencionamos sistemas de numeração, estamos nos referindo à
utilização de um sistema para representar uma numeração, ou seja, uma
quantidade. Sistematizar algo seria organizar, colocar em ordem, submeter a
determinadas regras. Um sistema de numeração seria uma forma de
organizar a representação de um número. Exemplo: quando contamos algo
ou expressamos algum valor, utilizamos no dia a dia um sistema de
numeração, que é o sistema decimal. Para isso, seguimos a organização dos
números, pois eles obedecem a certa ordem, e uma das regras é utilizar
somente os caracteres 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 combinados, obedecendo à
ordenação, para formar os números.
Existem, por outro lado, inúmeros sistemas de numeração, pois há diversas
formas de se representar um número. Um chinês que tem dois carros, para
transmitir a informação de que o número de carros que ele possui é dois, se
expressa de um modo diferente do que um americano que tenha os mesmos
dois carros, mas as formas que ambos utilizam para representar a
quantidade de carros têm pontos em comum: são dois sistemas de
numeração. O exemplo de um sistema de numeração diferente seria utilizar
os seguintes caracteres: 0, 1, 2, 3, C, %,} para representar os números.
Ordenando esses caracteres do mesmo modo que o sistema decimal, a
contagem nesse sistema seria feita na seguinte ordem: 1, 2, 3, C, %,}, 10, 11,
12, 13, 1C, 1%... O equivalente ao número 10 no sistema decimal seria
representado pelo número 13 nesse sistema, o número 11 seria 1C, e assim
por diante.
NESTE TÓPICO
 Introdução 
 Base 
 O sistema decimal de
numeração 
 O sistema binário de
numeração 
 Conversão do sistema binário
para o sistema decimal 


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A representação de um número em um sistema de numeração diferente
muda para um mesmo valor, assim como as operações com números nesses
novos sistemas podem ser readequadas. Essas diferenças entre os sistemas
de numeração são utilizadas como ferramenta de cálculo e projeto em
diversas áreas, como a computação.
Quando desejamos registrar um valor de tensão igual a trinta e quatro
vírgula cinquenta e dois volts, usamos os caracteres 3, 4, 5, e 2 dispostos
numa certa ordem: 34,52 volts. Essa representação é conhecida como
notação posicional do valor observado, em que a importância de cada
caractere depende da sua posição em relação aos demais caracteres. Os
caracteres têm maior significação no sentido da direita para a esquerda. No
caso, os caracteres 3 e 2 são, respectivamente, o de maior e menor
significação.
Base
Os sistemas de numeração foram criados pelo homem com o objetivo de
quantificar as grandezas relacionadas às suas observações. Tais sistemas
foram desenvolvidos por meio de símbolos, caracteres e do estabelecimento
de regras para a sua representação gráfica. O conjunto desses símbolos ou
caracteres chamamos de base ou raiz do sistema, "r".
A base de um sistema de numeração é o número decimal que um sistema de
numeração utiliza para indicar uma quantidade e, geralmente, é o número
de caracteres diferentes utilizados para compor o sistema. O sistema
decimal é dito de base 10 por utilizar somente 10 caracteres diferentes para
representar os números (os dígitos de 0 a 9), e a quantidade real
representada pelos números tem como base o valor 10. Por exemplo, na
contagem do sistema decimal, após o número 9 já utilizamos todos os
caracteres diferentes disponíveis, que são 10 (observe que o caractere "0"
também está incluído), e um número maior que 9 é representado utilizando
uma convenção que atribui um significado numérico quantitativo à posição
ou lugar ocupado por um dígito. Cada posição ocupada por um caractere no
número possui um "peso" diferente, como no exemplo abaixo:
3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 103 2 1 0
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3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 10
O mesmo artifício é utilizado em outros sistemas de numeração, ou seja,
cada caractere que compõe um número possui um "peso" de potências do
valor da base que variam de acordo com a posição ocupada pelo caractere no
número – no caso do sistema decimal, potências de 10.No exemplo exposto
anteriormente (com o sistema 0, 1, 2, 3, C, %, }), o valor da base é 7, porque
0, 1, 2, 3, C, %,} são um conjunto de sete caracteres diferentes que posso
utilizar para compor um número nesse sistema, e a quantidade que os
números representam são expressas com base no valor 7.
O número 31} C representa uma quantidade igual a que número no sistema
decimal?
31}C = 3 x 7 + 1 x 7 + } x 7 + C x 7
Como 3 = 3 no sistema decimal, 1 = 1 , } = 6 , C = 4
Concluímos:
31}C = 3 x 7 + 1 x 7 + 6 x 7 + 4 x 7
31}C = 3 x 343 + 1 x 49 + 6 x 7 + 4 x 1
31}C = 1029 + 49 + 42 + 4
31}C = 1.124
De acordo com o interesse do estudo em controle de máquinas e pela
utilidade em diversas áreas, daremos ênfase ao sistema de numeração
binário (base 2).
Obs.: Quando utilizamos sistemas de numeração diferentes, procura-se
adotar uma convenção para a identificação de números com bases de
numeração diferentes. Exemplo: 11100 = 28 . O número 11100 no sistema
de base 2 é igual ao número 28 no sistema decimal.
3 2 1 0
3 2 1 0
10 10 10 10
3 2 1 0
2 10
O sistema decimal de numeração
Os números decimais são os mais utilizados atualmente de nosso
conhecimento. Uma representação posicional no sistema decimal pode ser
desenvolvida numa forma polinomial que envolve um somatório de
potências de 10.
Como exemplo, o número três mil e quatro:
3004 = 3 x 10 + 0 x 10 + 0 x 10 + 4 x 10
3004 = 3 x 1000 + 0 x 100 + 0 x 10 + 4 x 1
3004 = 3000 + 0 + 0 + 4
3004 = 3004
É comum utilizarmos um índice (base 2, 10 ou 16) à direita do dígito menos
significativo na representação posicional, para identificar a base de
representação. 
3 2 1 0
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No caso da base decimal, esse índice pode ser omitido. Os circuitos ditos
analógicos processam informações usando o sistema decimal.
O sistema binário de numeração
O sistema de numeração de base 2 é chamado de sistema binário (dois), pois
utiliza somente dois dígitos: 0 e 1. Todos os números são representados
conforme o posicionamento e a quantidade desses dois dígitos. A contagem
segue o mesmo raciocínio utilizado no sistema decimal: após o último
dígito, incrementa-se uma posição à esquerda, e a posição à direita é zerada,
repetindo-se toda a sequência de números anterior:
1, 10, 11, 100, 101, 110...
Os números citados geralmente são chamados de números binários. Para
evitar confusão com o sistema de numeração decimal, lemos dígito por
dígito no sistema binário:
10 = hum, zero
1101 = hum, hum, zero, hum
Podemos expressar um número fracionário no sistema binário utilizando 
a vírgula binária:
1,1001; 0,0001; 1101,0101...
Esse sistema pode ser utilizado para representar dois estados de um
elemento: uma lâmpada (acesa ou apagada), uma chave (aberta ou fechada),
uma fita magnética (variação ou não na magnetização), na genética
(presença ou ausência de genes), pois, nos cálculos teóricos, o sistema
binário é o mais utilizado para facilitar a manipulação dos dados.
Qualquer algarismo ou dígito de número binário é denominado de bit
(binary digit). Exemplo: 111011 ? 6 bits
Conversão do sistema binário para o sistema decimal
Uma representação posicional no sistema binário pode ser desenvolvida
numa forma polinomial, que envolve um somatório de potênciasde dois.
Assim, o equivalente decimal do número binário é obtido da representação
polinomial do número na base dois, por meio do processamento da soma
decimal.
Exemplo 1: Conversão do número binário 110010 para decimal:
1- O primeiro dígito da direita para a esquerda do número binário multiplica
a potência de 2 , o segundo dígito da direita para a esquerda multiplica 2 , o
terceiro dígito à direita multiplica 2 , e assim por diante:
0 1
2
0 x 2 = 0 x 1 = 0
1 x 2 = 1 x 2 = 2
0 x 2 = 0 x 4 = 0
0 x 2 = 0 x 8 = 0
0
1
2
3
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1 x 2 = 1 x 16 = 16
1 x 2 = 1 x 32 = 32
2- A soma dessas multiplicações resulta no número decimal:
0 + 2 + 0 + 0 + 16 + 32 = 50
Assim:
110010 = 50
Exemplo 2: 10101110101001 = 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 1
x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2
10101110101001 = 8192 + 0+2048 + 0 + 512 + 256 + 128 + 0 + 32 + 0 + 8 + 0 +
0 +1
10101110101001 = 11177
Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo.
Este infográfico faz parte da sequência desta aula e, portanto, é essencial
para a aprendizagem.
INFOGRÁFICO
(http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/web/_g/arco80_100/a02if02_arco80_1
00.htm)
Podemos representar um número decimal fracionário por um número
binário, como no exemplo a seguir:
4
5
2 10
2
13 12 11 10 9
8 7 6 5 4 3 2 1 0
2
2 10
111,0101 = 1 x 2 + 1 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2 + 0 x 2 + 1 x 2
111,0101 = 4 + 2 + 1 + 0 + 0,25 + 0 + 0,0625
111,0101 = 7,3125
Para a representação de números negativos, pode-se utilizar o sinal "-".
Outro método utilizado na prática é o acréscimo de um dígito binário à
esquerda do número para indicar esse sinal, ou seja, para indicar se o
número é negativo ou não. Os números binários compostos dessa maneira
são chamados de números binários com sinal ou números de magnitude com
sinal pois o primeiro dígito representa o sinal e os dígitos restantes
significam a magnitude do número. Geralmente, o dígito 0 indica um
número positivo e o 1 indica um número negativo.
– 324 = 1101000100
↓
dígito que indica um número negativo
2
2 1 0 -1 -2 -3 -4
2
2 10
10 2
Conversão do sistema decimal para o sistema binário
Efetua-se uma operação aproximadamente inversa à conversão de binário
para decimal utilizando o método das divisões sucessivas: divide-se
sucessivamente o número decimal por dois até resultar em um número
menor que dois, e os restos dessas divisões com o último resultado formarão

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o número binário. Esse mesmo método pode ser usado para outros sistemas
de numeração de base diferente de 2, como o sistema hexadecimal, cuja base
é 16.
Para conhecer um pouco mais sobre esse sistema, veja o infográfico abaixo.
Este infográfico faz parte da sequência desta aula e, portanto, é essencial
para a aprendizagem.
Exemplo 1: Conversão do número decimal 1029 para o sistema binário.
1. Divide-se o número por dois, que é a base do sistema binário. O resto dessa
divisão será o último dígito do número binário:
2. O resultado dessa divisão é dividido novamente por 2, e o resto será o
penúltimo dígito do número binário. O resultado é dividido sucessivas
vezes por 2, até a última divisão, em que o resultado for 0 ou 1. O resultado
da última divisão será o primeiro dígito do número binário.
10
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restos das divisões sucessivas:10000000101
1029 = 10000000101
Exemplo 2: Conversão do número 28374 decimal para binário.
10 2
10
Agora que você já estudou esta aula, resolva os exercícios e verifique seu
conhecimento. 
Caso fique alguma dúvida, leve a questão ao Fórum e divida com seus
colegas e professor.
EXERCÍCIOS
(http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/impressos/_g/arco80_100/a02ex01_ar
co80_100.pdf)
Referências
STALLINGS, Willian. Arquitetura e organização de computadores. 5. ed. Prentice Hall. São Paulo, 2006.
TANENBAUM. Andrew S. Organização estruturada de computadores. 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2007.
MACHADO, Francis B.; MAIA, Luiz P. Arquitetura de sistemas operacionais. 4. ed. Rio de Janeiro: LTC,
2007.
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http://ead.uninove.br/ead/disciplinas/impressos/_g/arco80_100/a02ex01_arco80_100.pdf
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
WEBER, Raul Fernando. Arquitetura de computadores pessoais. 2. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto,
2003.
_______. Fundamentos de arquitetura de computadores. 3. ed. Porto Alegre: Sagra Luzzatto, 2004.
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