Modulo 2 - Estatica de Fluidos

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Fenômenos de Transporte
02/2018
Prof. Lourival Mendes, Dr. Eng.
Instituto de Engenharia Mecânica - IEM
Sala 3.02
lourival.mendes@unifei.edu.br
 
Prof. Lourival Mendes – 02/2018 UNIFEI – Universidade Federal de Itajubá
Estática de Fluidos
Aplicações e Definições
Muitos problemas de mecânica de fluidos não envolvem movimentos. 
Eles tratam de distribuição de pressão em um fluido estático e seus efeitos 
sobre superfícies sólidas e sobre corpos flutuantes e submersos
Quando a velocidade do fluido é nula, condição hidrostática, a variação de 
pressão deve-se apenas ao peso do fluido.
Em um fluido em repouso, a tensão normal em qualquer plano por meio de 
um elemento de fluido em repouso é uma propriedade de ponto chamada 
de pressão P do fluido considerada positiva para compressão.
A pressão é definida como força normal exercida por um fluido por 
unidade de área [Pa = N/m²]. 
 
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Estática de Fluidos
Estática de Fluidos
Considere um volume triangular de fluido, em equilíbrio, de espessura 
unitária na direção normal ao quadro
Sendo p
1
, p
2
 e p
3
 as pressões nas três faces. As únicas forças atuando no 
elemento são as forças de pressão normal às faces e o peso do 
elemento. 
Em um fluido parado, as tensões viscosas tangenciais estão ausentes e a 
única força entre as superfícies adjacentes é normal à superfície.
 
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Estática de Fluidos
Estática de Fluidos
Uma vez que não há aceleração é possível aplicar a segunda lei de Newton, 
temos que:
Um balanço de forças na direção vertical nos fornece:
Se considerarmos um elemento de fluido se reduzindo a um ponto, dz → 0, 
temos que p
1
 = p
2
.
p1ds sen(θ)− p3dz=0 Direção de X
Sendo dz=ds sen(θ) → p1= p3
−( p1ds)cos(θ)+ p2dx−(1 /2)dx dz ρ g=0
Sendo cos(θ)ds=dx → p2− p1−(1 /2)ρ g dz=0
 
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Estática de Fluidos
Estática de Fluidos
Ou seja, em um ponto do fluido estático todas as pressões são iguais, tal 
que a força por unidade de área é independente da orientação angular 
da superfície sendo assim uma quantidade escalar. 
Podemos então concluir que a pressão no ponto em um fluido tem a 
mesma magnitude em todas as direções.
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Para determinar a distribuição espacial da pressão em um fluido estático 
considere um cubo infinitesimal de lados dx, dy e dz. Considere o campo 
gravitacional na direção de z.
Um balanço de forças na direção x e y do Volume de Controle mostra que 
as pressões dos dois lados perpendiculares ao eixo x e y são iguais, tal que:
∂ p
∂ x
= ∂ p
∂ y
= 0
pdy dz−( p+∂ p∂ x dx )dy dz=0
p dx dz−( p+ ∂ p∂ y dy )dx dz=0
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Um equilíbrio vertical requer que:
Tal que 
Este fato mostra que a pressão em um fluido estático diminui com a altura. 
Integrando resulta em:
Esta equação mostra que a pressão em um líquido decresce linearmente 
com a altura. Isso implica que o aumento de pressão na altura h abaixo 
da superfície livre do líquido é igual a ρgh, o qual é o peso da coluna de 
líquido de altura h e seção transversal uniforme.
pdx dy−( p+ ∂ p∂ z dz )dx dy−ρ g dx dy dz=0
dp
dz
=−ρ g
p=p0−ρg z Onde p= p0 em z=0
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Notamos que o nível de pressão não é importante para avaliar a força total 
de pressão. Ao contrário, o que importa é a taxa de variação de pressão 
com a distância, o gradiente de pressão.
1º Termo – Força de pressão total por unidade de volume em um ponto
2º Termo – Força de campo por unidade de volume em um ponto.
Esta equação se aplica a um fluido em repouso e/ou com velocidade 
constante sem forças viscosas, tendo a gravidade como única força de 
campo
−∇⃗ p+ρ g⃗=0 Para um Fluido em Repouso
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Lei de Pascal:
“Todos os pontos em um fluido em repouso (e conectado pelo mesmo fluido) 
estão na mesma pressão se eles estiverem na mesma profundidade”, por 
exemplo os pontos B e C.
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Para caso de líquidos podemos assumir que são aproximadamente 
incompressíveis, de modo que podemos desprezar suas variações de 
densidade tal que a equação fica:
Onde g é o peso específico do fluido com dimensões de peso por unidade 
de volume e a grandeza p/g é um comprimento chamado de carga de 
pressão do fluido
p2−p1=ρg(z2−z1)=g(z2−z1) z1−z2=
p2
g −
p1
g
 
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Equação Básica da Estática de Fluidos
Os gases são compressíveis, sendo a densidade é aproximadamente 
proporcional à pressão. Assim, a massa específica deve ser considerada 
uma variável na equação de estática. Se a integração abranger grandes 
variações de pressão. Aplicando a lei dos gases ideais:
A integral requer uma hipótese sobre a variação da temperatura ao longo 
da altura, T(z), tal que para uma atmosfera isotérmica, T = T
0
.
dp
dz
=−ρg=− P
RT
g ∫
1
2
dp
p
=ln ( P2P1 )=−gR ∫1
2
dz
T
P2=P1 exp (−g (z2−z1)RT 0 )
 
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Estática de Fluidos
Equação Básica da Estática de Fluidos
Para o caso da Terra, a temperatura decresce quase linearmente com o 
aumento de z até 11.000 [m]
Onde T
0
 = 15 ºC e B = 0,00650 K/m, o que resulta em
Para altitudes menores que 200 [m] o erro é menor do que 1% para gases 
ao assumirmos atmosfera isotérmica.
T=T 0−Bz
p=pa (1−BzT o )
g
RB
 
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Estática de Fluidos
Exemplo 2.3 White 6º ed.
O uso clássico de um manômetro ocorre quando os dois ramos do tubo em 
U são de mesmo comprimento, e a medida envolve a diferença de pressão 
entre os dois pontos na horizontal. A aplicação típica é a medida da 
diferença de pressão por meio de um medidor de vazão. Deduza a fórmula 
para a diferença e pressão em termos dos parâmetros do sistema.
Resposta:
Pa−Pb=(ρ2−ρ1 ) gh
 
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Estática de Fluidos
Paradoxo da Hidrostática
Os três recipientes abaixo preenchidos com água possuem a mesma área 
de base e a mesma altura, mas possuem diferentes formatos e diferentes 
volumes. Qual valor o dinamômetro deve marcar para cada um?
Fonte: Fontana, F., Di Capua, D., Role of hydrostatic paradoxes towards the formation of the scientific thought of students at academic level, European Journal of Physics, 2005.
 
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Estática de Fluidos
Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas
O projeto de estruturas de contenção requer o cálculo das forças 
hidrostáticas sobre várias superfícies sólidas adjacentes ao fluido. Essas 
forças se relacionam com o peso do fluido agindo sobre a superfície.
No sentido de determinar completamente a força resultante atuando em 
uma superfície submersa devemos especificar:
1) A magnitude da força
2) A direção da força
3) A linha de ação da força
 
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Estática de Fluidos
Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas
A Figura apresenta uma superfície plana submersa em um líquido formando 
um ângulo arbitrário θ com a superfície horizontallivre. A superfície 
submersa tem um centro de gravidade localizado em x
cg
 e y
cg
. A superfície 
livre está na pressão atmosférica (pressão manométrica zero)
 
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Estática de Fluidos
Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas
Assim a magnitude da força resultante em um lado da placa fica:
Onde p
CG
 é a pressão atuante no centro de gravidade de A.
Esta equação é válida independente da pressão atmosférica, formato da 
placa e ângulo de inclinação da superfície. Ou seja, a magnitude da força 
sobre um dos lados de qualquer superfície plana submersa em um fluido 
homogêneo é igual ao produto da pressão no centroide da placa pela 
área da placa.
F R=( pa+g hCG)A=pCG A
 
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Estática de Fluidos
Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas
Devemos lembrar que apesar da força ser calculada a partir da pressão no 
centroide da placa este não é o local no qual a força atua. Ao invés disto a 
força resultante atua na região abaixo do centroide na direção da região de 
alta pressão.
Devemos então determinar a localização de atuação da força resultante. 
Esta localização é conhecida como centro de pressão (x
CP
, y
CP
). Dessa 
forma precisamos somar os momentos das forças elementares pdA ao redor 
do centroide e igualar com o momento da força resultante.
Tal que:
I
xx
 – Momento de Inércia
I
xy
 – Produto de Inércia
yCP=
−g sen(θ)I xx
pCG A
xCP=
−g sen(θ) I xy
pCG A
 
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Estática de Fluidos
Forças Hidrostáticas Sobre Superfícies Planas Submersas
Sabemos que a pressão atua normal à superfície e que as forças 
hidrostáticas atuam na placa plana, de qualquer formato, formando um 
volume cuja base é área plana e a altura varia linearmente com a pressão 
formando um prisma de pressão cujo 
volume é igual à magnitude da força 
hidrostática resultante e a linha de ação 
desta força passa através do centroide do 
prisma homogêneo. A projeção do centroide 
na placa é o centro de pressão. Este conceito 
reduz o problema em encontrar volume e 
as duas coordenadas do centroide do 
prisma de pressão.
 
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Estática de Fluidos
Exemplo 2.7 White 6º ed.
Um tanque tem um painel em forma de triângulo retângulo próximo ao fundo 
como na figura. Omitindo p
a
 encontre a força hidrostática e o CP sobre o 
painel
Respostas:
F
R
 = 2540 kN
y
CP
 = -0,444 m
x
CP
 = +0,111 m
 
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Estática de Fluidos
Exercício 2.62 White 6º ed.
A comporta AB na Figura tem 4,5 m de comprimento e 2,4 m de largura e 
está articulada em B com um limitador em A. A água está a 20ºC. A 
comporta é construída com aço de 2,5 cm de espessura e densidade d = 
7,85. Calcule o nível h da água para o qual a comporta começará a cair.
Dados:
Contrapeso = 44.500 N
ρ
H2O
 = 998 kg/m³.
g = 9,81 m/s².
Resposta:
h = 3,23 m
 
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Estática de Fluidos
Exercício
Um aquário com 80 cm de altura e seção transversal de 2 x 0,6 m que está 
parcialmente cheio com água deve ser transportado na carroceria de um 
caminhão. O caminhão acelera de 0 a 90 km/h em 10 s. Para que a água 
não derrame durante a aceleração, determine o peso inicial que a água do 
tanque pode ter, em kN. Qual é o lado que deve ser alinhado com a direção 
do movimento para transportar a maior quantidade de água possível?
Resposta:
Caminhão deve ser orientado para que seu 
lado menor fique paralelo à direção do movimento.
P = 8,5 kN
 
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Conceitos Fundamentais
Sugestão de Exercícios
F. White – Mecânica de Fluidos, 6°Ed.
Cap2 – 2.11, 2.13, 2.17, 2.20, 2.54, 2.56, 2.73, 2.142, 2.145.
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