apostila_hidraulica_i__2015

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Faculdade de Engenharia e Arquitetura 
 Curso de Engenharia Civil 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2015 
Curso: Engenharia Civil 
 
Código: CIV011 
 
Prof.: Vinícius Scortegagna 
 
APOSTILA DE HIDRÁULICA I 
Hidráulica I 
Engenharia Civil - Prof. Msc. Vinícius Scortegagna 
3
SUMÁRIO 
 
Capítulo 1 – Conceitos Fundamentais dos Fluidos.................................................. 
1.1 Introdução, Objetivos, Divisão e Evolução da hidráulica 
1.2 Fluidos : Líquidos e Gases 
1.3 Sistemas de unidades 
1.4 Propriedades dos fluidos 
4 
Capítulo 2 – Hidrostática ou Fluidostática.................................................................. 
2.1 Equação Fundamental 
2.2 Fundamentos da hidrostática – Lei de Stevin - Lei de Pascal 
2.3 Altura ou carga piezométrica 
2.4 Planos de carga 
2.5 Medidas de Pressão – Pressão relativa ou efetiva – Pressão Absoluta 
2.6 Equilíbrio de líquidos não miscíveis 
2.7 Vasos comunicantes 
2.8 Manometria 
2.9 Empuxo ou resultante das pressões – Princípio de Arquimedes 
 2.9.1 Empuxo em superfícies planas 
 2.9.2 Empuxo em superfícies curvas 
23 
Capítulo 3 – Hidrodinâmica ou Fluidodinâmica.......................................................... 
3.1 Classificação dos movimentos 
3.2 Regimes de escoamento 
3.3 Equação da continuidade 
3.4 Teorema de Bernoulli 
3.5 Escoamento em condutos forçados 
61 
Capítulo 4 – Perda de Carga...................................................................................... 
4.1 Definições das linhas de carga 
4.2 Cálculo da perda de carga 
- Perda de carga distribuída ao longo das tubulações 
- Perda de carga localizada 
4.2.1 Método Universal 
4.2.2 Métodos empíricos 
4.2.3 Método empírico dos comprimentos equivalentes 
72 
 
Hidráulica I 
Engenharia Civil - Prof. Msc. Vinícius Scortegagna 
4
 
 
Capítulo 1 – CONCEITOS FUNDAMENTAIS 
 1.1 Introdução
Hidráulica
Hidráulica: “Condução de água.”
Hydor – água
Aulos – tubo, condução
� Definição
Hoje o significado de Hidráulica: 
“ é o estudo do comportamento da água e de outros
líquidos, quer em repouso, quer em movimento. “
� Objetivo:
Estudar o equilíbrio e o movimento dos líquidos. 
� Divisão da Hidráulica:
- Hidrostática ou Fluidostática: Líquido em repouso;
- Hidrodinâmica ou Fluidodinâmica: Líquido em movimento.
Hidráulica Aplicada ou Hidrotécnica:
“ É a aplicação da Hidráulica Teórica aos diversos
ramos da Técnica. ”
Hidráulica Teórica:
A hidráulica é a área da engenharia e da arquitetura que aplica os conceitos 
da mecânica dos fluidos na resolução de problemas ligados à captação, 
armazenamento, controle, transporte e usos da água. 
Hidráulica I 
Engenharia Civil - Prof. Msc. Vinícius Scortegagna 
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Evolução da Hidráulica:
N a B a b i lô n ia e x is t ia m c o le t o r e s d e e s g o t o d e s d e 3 7 5 0 a .C .N a B a b i lô n ia e x is t ia m c o le t o r e s d e e s g o t o d e s d e 3 7 5 0 a .C .
I m p o r t a n t e s e m p r e e n d im e n t o s d e ir r ig a ç ã o t a m b é m 
f o r a m e x e c u t a d o s n o E g it o , 2 5 s é c u lo s a .C .
I m p o r t a n t e s e m p r e e n d im e n t o s d e ir r ig a ç ã o t a m b é m 
f o r a m e x e c u t a d o s n o E g it o , 2 5 s é c u lo s a .C .
O p r im e ir o s is t e m a p ú b l i c o d e a b a s t e c im e n t o d e á g u a d e 
q u e s e t e m n o t íc ia , o a q u e d u t o d e J e r w a n , f o i c o n s t r u íd o 
n a A s s ír ia , 6 9 1 a .C . E x e m p lo s d e A q u e d u t o s :
O p r im e ir o s is t e m a p ú b l i c o d e a b a s t e c im e n t o d e á g u a d e 
q u e s e t e m n o t íc ia , o a q u e d u t o d e J e r w a n , f o i c o n s t r u íd o 
n a A s s ír ia , 6 9 1 a .C . E x e m p lo s d e A q u e d u t o s :
N o s é c u lo X V I , f i ló s o f o s v o lt a r a m -s e p a r a o p r o b le m a s d e 
p r o je t o s d e c h a f a r iz e s e f o n t e s m o n u m e n t a is n a I t á lia . 
L e o n a r d o d a V in c i e n t ã o p e r c e b e u a im p o r t â n c ia d e s t e s e t o r .
N o s é c u lo X V I , f i ló s o f o s v o lt a r a m -s e p a r a o p r o b le m a s d e 
p r o je t o s d e c h a f a r iz e s e f o n t e s m o n u m e n t a is n a I t á lia . 
L e o n a r d o d a V in c i e n t ã o p e r c e b e u a im p o r t â n c ia d e s t e s e t o r .
� U m n o v o t r a t a d o , p u b li c a d o e m 1 5 8 6 p o r S t e v in , e a s 
c o n t r ib u iç õ e s d e G a li le u , T o r r ic e l l i e D a n ie l B e r n o u ll i 
c o n s t r u ír a m a b a s e p a r a o n o v o r a m o c ie n t íf ic o .
� A p e n a s n o s é c u lo X I X , c o m o d e s e n v o lv im e n t o d a 
p r o d u ç ã o d e t u b o s d e f e r r o f u n d id o , c a p a z e s d e r e s is t ir a 
p r e s s õ e s in t e r n a s r e la t iv a m e n t e e le v a d a s , e
c o m o c r e s c im e n t o d a s c i d a d e s e a im p o r t â n c i a c a d a 
v e z m a io r d o s e r v i ç o d e a b a s t e c im e n t o d e á g u a , é q u e 
a h i d r á u l i c a t e v e u m p r o g r e s s o r á p id o e a c e n t u a d o .
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� Hidráulica Urbana: Sistemas de abastecimento de água, de Esgotos Sanitários, de 
águas pluviais; Paisagismo; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Hidráulica Rural ou Agrícola: Rios, Canais, Irrigação, Moinhos; 
 
Exemplos de Hidráulica Técnica:
Exemplo de ETA (Estação de Tratamento de Água):
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� Hidráulica Marítima: Portos, Obras marítimas; 
 
� Hidrelétrica: Geração de energia através da água; 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Hidráulica Industrial: Macaco hidráulico, Prensa hidráulica... 
 
 
 
 
Os fluidos são corpos sem forma própria. Tanto os líquidos, quanto os gases são 
fluidos. 
Fluido gasoso – forças de repulsão são maiores que as de coesão, as partículas 
afastam-se, logo, só em recipientes fechados é que podemos contê-los; 
1.2 Fluidos: Líquidos e gases
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Fluido líquido – tem uma superfície livre ou não, e uma determinada massa de um 
líquido, a uma mesma temperatura, ocupa só um determinado volume de qualquer 
recipiente. 
A forma como o líquido responde na prática, às várias situações, depende 
basicamente de suas propriedades Físico-químicas. 
 
 
 
 
Unidades: 
“São Normas arbitradas e magnitudes consignadas às dimensões primárias como 
padrões para a medição.“ 
 
 
 
 “Essas unidades são relacionadas entre si por fatores de conversão”, por exemplo: 
1 milha = 5278,87 pés = 1609metros 
Existe mais de uma maneira para selecionar a unidade de medida, são os 
chamados: SISTEMAS DE UNIDADES, o mais utilizado é o sistema S.I. (Systeme 
International d’ Unités), aceito em mais de 30 países. 
 
As unidades fundamentais do Sistema S.I. são: 
Massa: Quilograma (kg)
Comprimento: metro (m)
Tempo: segundos (s)
Temperatura: Kelvin (k)
Força: Newton (N) 
 
Obs.: No Sistema S.I. a unidade de VOLUME não é o Litro (L) mas sim o metro 
cúbico (m3). 
 
1.3.1 Medidas de Comprimento 
 Desde a antiguidade os povos foram criando suas unidades de medida. Cada um 
deles possuía suas próprias unidades padrão. Com o desenvolvimento do comércio 
ficava cada vez mais difícil a troca de informações e as negociações com tantas 
medidas diferentes. Era necessário que se adotasse um padrão de medida único para 
cada grandeza. Foi assim, que em 1791, época da Revolução Francesa, um grupo derepresentantes de vários países reuniu-se para discutir a adoção de um sistema único 
de medidas. Surgia o sistema métrico decimal. 
1.3 Sistemas de Unidades:
Exemplo: Comprimento: – metros
- pés
- jardas ou milhas
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 A palavra metro vem do grego métron e significa “o que mede”. Foi estabelecido 
inicialmente que a medida do metro seria a milionésima parte da distância do Pólo 
Norte ao Equador, no meridiano que passa por Paris. No Brasil o metro foi adotado 
oficialmente em 1928. 
 Além da unidade fundamental de comprimento, o metro, existem ainda os seus 
múltiplos e submúltiplos, cujos nomes são formados com o uso dos prefixos: quilo, 
hecto, deca, deci, centi e mili. Observe o quadro abaixo: 
Múltiplos Unidade 
fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro hectômetro decâmetro metro decímetro centímetro milímetro 
km hm dam m dm cm mm 
1000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m 
 
Os múltiplos do metro são utilizados para medir grandes distâncias, enquanto os 
submúltiplos, para pequenas distâncias. 
 
1.3.2 Medidas de Superfície 
 As medidas de superfície fazem parte de nosso dia a dia e respondem a 
perguntas mais corriqueiras, como por exemplo: Qual a área desta sala? Qual a área 
daquele apartamento? E daquele reservatório? Quantos metros quadrados de azulejos 
são necessários para revestir essa piscina? Qual a área pintada dessa parede? 
 Superfície é uma grandeza com duas dimensões, enquanto área é a medida 
dessa grandeza, portanto um número. A unidade fundamental de superfície é o metro 
quadrado (m2), que é a grandeza correspondente à superfície de um quadrado com 1 
metro de lado. 
Múltiplos Unidade 
fundamental 
Submúltiplos 
quilômetro 
quadrado 
hectômetro 
quadrado 
decâmetro 
quadrado 
metro 
quadrado 
decímetro 
quadrado 
centímetro 
quadrado 
milímetro 
quadrado 
km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2 
1000.000 
m2 
10.000 m2 100 m2 1 m2 0,01 m2 0,0001 m2 0,000001 
m2 
 1 hectare (ha) = 10.000 m2 
 
1.3.3 Medidas de Volume 
 Frequentemente nos deparamos com problemas que envolvem o uso de três 
dimensões: comprimento, largura e altura. De posse de tais medidas tridimensionais, 
poderemos calcular medidas de metros cúbicos e volume. A unidade fundamental de 
volume é o metro cúbico (m3), que é a medida correspondente ao espaço ocupado por 
um cubo de 1 m aresta. 
 
 
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Múltiplos Unidade 
fundamen
tal 
Submúltiplos 
quilômetro 
cúbico 
hectômetro 
cúbico 
decâmetro 
cúbico 
metro 
cúbico 
decímetro 
cúbico 
centímetro 
cúbico 
milímetro 
cúbico 
Km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3 
1000.000.000 
m3 
1000.000 
m3 
1000 m3 1 m3 0,001 m3 0,000001 
m3 
0,000000001 
m3 
 
1.3.4 Medidas de capacidade 
 A quantidade de líquido é igual ao volume interno de um recipiente ou 
reservatório, afinal quando enchemos este recipiente o líquido assume a forma do 
mesmo. Então, capacidade é o volume interno de um recipiente. A unidade fundamental 
de capacidade chama-se litro, que é a capacidade de um cubo de 1 dm de aresta. No 
SI a unidade de capacidade é m3 e não o litro. 
Múltiplos Unidade 
fundamental 
Submúltiplos 
quilolitro hectolitro decalitro litro decilitro centilitro mililitro 
Kl hl dal l dl cl ml 
1000l 100l 10l 1 l 0,1l 0,01l 0,001l 
 
Sistema Inglês: 
O pé, a polegada, a milha e a jarda são unidades não pertencentes ao sistema 
internacional de unidades, são utilizadas nos EUA, pois a Inglaterra já adotou o SI. 
Observe que: 
1 pé = 30,48 cm = 0,3048m 
1 polegada = 2,54 cm 
1 jarda = 91,44 cm 
1 milha terrestre = 1609 m 
1 milha marítima = 1852 m 
1 pé = 12 polegadas 
1 jarda = 3 pés 
Tabela – Alguns fatores de conversão úteis 
1 lbf = 4,448 N 1 Btu = 1055 J 
1 lbf/pol² (ou psi) = 6895 Pa 1 kcal = 4,1868 kJ 
1 pol = 0,0254 m 1 kW = 3413 Btu/h 
1 H.P. = 746 W = 2545 Btu/h 1 litro (l) = 0,001 m³ 
1 kcal/h = 1,163 W 1 TR = 3517 W (tonelada de refrigeração) 
1 atm = 14,7 lbf/pol2 (ou psi) 12000 Btu/h = 1 TR = 3,517kW 
1 W x 0,853 = kcal/h 
 
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Descrevem o movimento dos fluidos. São os Termos para definir o seu estado 
físico. As propriedades são: “Características de uma substância que tem um valor 
constante para um dado estado.” 
 
 
� Intensivas – Cujo valor, num dado estado, independe da quantidade de matéria 
presente. Exemplos: Pressão, temperatura, Viscosidade e tensão superficial 
 
� Extensivas – Ao contrário, são diretamente variáveis em função da quantidade 
de matéria presente, é possível associar valores específicos por unidade de 
massa ou de volume. Exemplos: Volume, peso, energia, quantidade de 
movimento e massa. 
 
Algumas Propriedades Importantes: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1.4 Propriedades
Classificação das propriedades:
1. Massa específica ou Densidade Absoluta (ρ): 
2. Peso específico (γ): 
Relação entre Massa específica e Peso específico: 
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4. Pressão (p): 
 
Genericamente: é o quociente da intensidade de uma força normal a uma 
superfície, pela área desta superfície. 
 p = F/A 
Distribuindo e Concentrando: 
Um sapato de salto “agulha” e uma bota caminham lado a lado. Qual causa maior 
estrago onde pisa? 
 
 
É o sapato com salto “agulha”! Ele pode arruinar tapetes e perfurar buracos no chão. 
Não é porque este aplica no chão uma força maior que a da bota. É porque a força que 
ele aplica está concentrada em uma área bem pequena. E produz, com isso, uma 
pressão bem mais alta. Ao contrário da bota. 
 
 
A pressão é medida em Newtons por metro quadrado (N/m2) ou Pascal (Pa) ou Kgf/m2. 
Exemplificando: 
 
3. Densidade relativa ou gravidade específica (δ): 
 Os blocos, graças a seus 
pesos (que são as resultantes 
de todas as forças 
gravitacionais que agem em 
cada uma de suas partículas), 
exercem pressão contra o 
chão. 
 
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Para as situações ilustradas o cálculo fornece, respectivamente, as seguintes 
pressões: 50 Pa, 100 Pa e 200 Pa. 
 
Pressão nos líquidos: 
Em uma determinada superfície de um volume líquido, a pressão resulta de efeitos de 
forças normais de superfície (ângulo de 90o) sobre tal volume. 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
OBSERVAÇÃO 
 
� Pressão atmosférica ao nível do mar: 10.330 Kgf/m2 ou 1,033 Kgf/cm2 
 
� Também: 1 Kgf = 9,81 N então: 1 Kgf/m2 = 9,81 N/m2 e N/m2 = Pa 
Prática: 
Será que um líquido, além de aplicar forças contra as paredes laterais dos frascos que 
os contém, podem também aplicar forças para cima? A resposta é sim. Basta que 
exista um obstáculo que impeça esse líquido de “querer subir” . Veja uma situação 
dessas, onde as setas indicam forças. 
 
Num frasco, como esse indicado na figura, há um ressalto na região (1). Nessa região, 
os pacotes de água, empurrados pelos demais pacotes de água, vão querer subir para 
atingirem o mesmo nível da superfície livre dos pacotes de água que estão no gargalo 
do frasco. Há forças aplicadas pelo líquido, para cima. Repare, na figura (a) que há 
forças agindo para baixo (no fundo do frasco), há forças laterais (aplicadas contra as 
paredes laterais do frasco) e há forças para cima (aplicadas contra os ressaltos). Há 
forças em todas as direções e sempre no sentido de empurrarem, perpendicularmente, 
as paredes para fora. Conclusão: O líquido exerce pressão em todas as paredes que o 
impeçam de escoar. Em (b), para comprovar essas afirmações, foram feitos orifícios 
nas regiões (1), (2) e (3). Repare como o líquido jorra por esses orifícios. Repare 
também nas direções que esses jatos tomam ao sair do frasco; são sempre 
perpendiculares às paredes do frasco (essas são as direções das forças de pressão). 
a) a pressão atmosférica agindo sobre a superfície da água. 
b) a pressão da águanas paredes e no fundo do reservatório. 
 
 
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Eis outra coisa importante para reparar na ilustração acima: o jato em (3) alcança 
maior distância horizontal que o jato em (2). Isso significa que a pressão em (3) (maior 
profundidade) é maior que a pressão em (2) (menor profundidade). 
 
5. Tensão de Cisalhamento 
É a razão entre a o módulo da componente tangencial da força é a área da 
superfície sobre a qual a força está sendo aplicada. 
 
6. Viscosidade (viscosidade absoluta ou viscosidade dinâmica) (µ): 
 
Viscosidade de um líquido diz respeito à resistência que uma lâmina de 
partículas impõe a outra a ela adjacente, quando existe movimento relativo, ou seja, a 
resistência de um fluido à tensão de cisalhamento. O coeficiente de viscosidade é 
função da pressão e da temperatura. Pode-se definir ainda a viscosidade como a 
capacidade do fluido em converter energia cinética em calor, ou ainda, como a 
influência do movimento de uma camada de fluido em uma outra camada a uma 
pequena distância. Portanto, a viscosidade não tem sentido em um fluido sem 
movimento. 
Nos líquidos: µ é praticamente independente da pressão e decresce com o 
aumento da temperatura. Ou seja, a viscosidade relaciona-se com a força de atração 
molecular e decresce com a temperatura. Para a água a 20oC e 1 atm: µ = 10-3 Pa.s 
 Resumindo: A viscosidade é a propriedade dos fluidos responsável pela 
resistência à deformação. Por isso certos óleos escoam mais lentamente que a água e o 
álcool. Unidade: Pa.s 
 
 
O conceito de viscosidade pode ser ilustrado com o viscosímetro de placas 
paralelas. Esse dispositivo, mostrado na figura abaixo, é usado para medir a 
viscosidade absoluta. Considere que aplaca inferior fique imóvel e que a superior se 
mova a certa velocidade v, quando se aplica uma força F. A porção de fluido em 
contato com a placa superior se desloca com velocidade v, enquanto o fluido em 
contato com a placa inferior te velocidade nula. 
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Portanto, um gradiente de velocidade será induzido pela camada de fluido. Se 
você pensar nesse fluido existindo em finas camadas paralelas às placas, verá que 
essas camadas deslizarão próximas umas das outras, em uma ação de cisalhamento. 
Fluidos diferentes produzem diferentes tensões de cisalhamento entre 
camadas a uma dada velocidade. Então fluidos diferentes apresentam viscosidades 
diferentes. 
 
Viscosímetro de placas paralelas: 
• Consideremos um fluido em repouso entre duas placas planas. Suponhamos que a placa 
superior em um dado instante passe a se movimentar sob a ação de uma força tangencial; 
• A força Ft , tangencial ao ao fluido, gera uma tensão de cizalhamento; 
• O fluido adjacentes à placa superior adquirem a mesma velocidade da placa ( princípio da 
aderência ); 
• As camadas inferiores do fluido adquirem velocidades tanto menores quanto maior for a 
distância da placa superior ( surge um perfil de velocidades no fluido ). Também pelo princípio 
da aderência, a velocidade do fluido adjacente à placa inferior é zero; 
• Como existe uma diferença de velocidade entre as camadas do fluido, ocorrerá então uma 
deformação contínua do fluído sob a ação da tensão de cizalhamento. 
 
 
 
7. Coeficiente de viscosidade cinemática (ν): 
 
É a razão entre o coeficiente de viscosidade dinâmica e a massa específica: 
 
ν = µ / ρ Unidade: m2/s ; Ver tabelas 3 e 4. 
 
 
8. Coesão, Adesão e Tensão Superficial: 
 
 
 
 
 
 
 
Coesão: Permite às partículas fluidas resistirem 
a pequenos esforços de tensão. Exemplo: a 
formação de uma gota de água deve-se à coesão. 
 
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Adesão: É a propriedade que tem os fluidos de se unirem (aderência) a outros 
corpos. Quando um líquido está em contato com um sólido, a atração exercida pelas 
moléculas do sólido pode ser maior que a atração existente entre as moléculas do 
próprio líquido: ocorre então a adesão. Por exemplo: a água adere fortemente a uma 
superfície de vidro perfeitamente desengordurada: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensão Superficial (σ): Todos os líquidos têm tensão superficial, que se 
manifesta diversamente em diferentes líquidos. A tensão de superfície resulta de uma 
condição diferente de ligação molecular na superfície livre, em comparação com às 
ligações dentro do líquido. É o fenômeno que se verifica na superfície de separação de 
dois líquidos não miscíveis, a qual se comporta como se estivesse num estado de tensão 
uniforme, dando a impressão de haver uma película, que pode suportar pequenas 
cargas. Também ocorre na superfície livre de um líquido em contato com o ar. 
Unidade: N/m 
A água a 200C tem σ = 7,23x10-2 N/m (JOULE). 
A intensidade da σ depende da natureza do líquido e da temperatura, então a σ 
diminui com o aumento da temperatura. O coeficiente de tensão superficial 
representa a energia superficial por unidade de área. 
As propriedades de coesão, adesão e tensão superficial são responsáveis pelos 
conhecidos fenômenos de capilaridade. 
 
9. Capilaridade 
 A capilaridade é uma propriedade dos líquidos que resulta da tensão superficial 
na qual o líquido se eleva ou baixa eu um fino tubo. Se a adesão predominar sobre a 
coesão em um líquido, como na água, o líquido molhará a superfície do tubo e se 
elevará. Se a coesão predominar sobre a adesão, como no mercúrio, o líquido não 
molhará o tubo e baixará. A figura abaixo mostra tubos capilares colocados em água e 
mercúrio. Observe que no caso da água, o menisco é côncavo e se eleva acima do nível; 
o menisco do mercúrio é convexo e está abaixo do nível ao redor do tubo. 
 
 
Então, uma carga suficientemente grande no 
prato à direita determina o levantamento da 
lâmina de vidro; a face inferior está molhada. 
Portanto, o levantamento do vidro se dá com 
superação das forças de coesão; assim constata-
se que a adesão entre a água e o vidro é maior do 
que a coesão da água. 
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A quantidade de água que se eleva em um tubo depende da temperatura e da 
pureza da água, e principalmente, do diâmetro do tubo. Um tubo com diâmetro interno 
25 mm causará maior capilaridade de água que um tubo de diâmetro interno de 50 mm. 
A figura abaixo ilustra este fenômeno. 
 
Alguns dispositivos de medida, como manômetros e piezômetros, empregam tubos 
verticais para medição, nos quais a água possa se elevar. É importante, portanto, usar 
um tubo que tenha um diâmetro largo o bastante para minimizar o efeito da 
capilaridade, que poderia causar um erro na medida. 
 
10. Módulo de Elasticidade Volumétrico (E): 
Sob ação de uma força F, seja o volume V de um fluido, à pressão unitária p. 
Dando a força F o acréscimo dF, a pressão aumentará de dp e o volume diminuirá de 
dV. A variação relativa de volume é dV/V. O módulo de elasticidade volumétrico do 
fluido será 
VdV
dp
E
/
= 
 
Unidade: Kgf/cm2 ou Kgf/m2 ou N/m2 
Obs.: A água a 20oC possui E = 2,07x108 Kgf/m2 
 
Nos Gases: 
* Para as transformações isotérmicas, tem-se: p1.V1 = p2.V2 e também E = p, sendo p 
a pressão final p2 – V. 
* Para as transformações adiabáticas, tem-se: p1.V1 k = p2.V2 k e também E = kp, 
sendo k a constante adiabática e p a pressão final p2 – V. 
 
11. Compressibilidade: 
É a propriedade que, em maior ou menor grau, possuem os fluidos de sofrerem 
redução de seus volumes quando sujeitos a ação de pressões externas, com 
consequente aumento de densidade. A compressibilidade nos líquidos é muito pequena, 
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18
por isso são considerados incompressíveis (densidade constante). O Coeficiente de 
compressibilidade (C) é o inverso do módulo de elasticidade. C = 1 / E 
 
 
A água a 20oC possui: C = 4,75x10-10 m2/N. 
 
 
Existe alguns casos em que a compressibilidadedos líquidos não é desprezada: 
por exemplo o Golpe de Aríete, que é a sobrepressão que as tubulações recebem 
quando por exemplo se fecha um registro, interrompendo-se o escoamento. 
 
 
 
Golpe de Aríete: Choque violento que se produz sobre as paredes de um conduto 
forçado quando o movimento do líquido é modificado bruscamente. 
 
 
Então: O que é o Golpe de Aríete e como evitá-lo? Trata-se de uma forte 
trepidação que acontece no sistema hidráulico sempre que uma saída é fechada. O 
motivo é simples: quando uma saída é aberta, a água escoa pela tubulação e sai do 
sistema. Assim que se fecha a saída e o fluxo é interrompido, a água tende a refluir 
para dentro dos tubos. Quando esse refluxo é muito violento, ocorre o Golpe de 
Aríete, quase sempre com válvulas de descarga, que trabalham com tubos largos e 
pressões elevadas. Com o tempo isso pode até provocar fissuras e vazamentos. Já 
existem válvulas que saem de fábrica mais resistentes e com dispositivos que evitam o 
problema. 
 
 
 
O ar é um ótimo exemplo de fluído compressível 
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19
 
TABELAS: 
Tabela 1 - Variação da massa específica da água com a temperatura: 
Temperatura 
(oC) 
Massa específica ρ 
(Kg/m3) 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
20 
30 
100 
999,87 
999,97 
1000,00 
999,97 
999,88 
999,73 
998,23 
995,67 
958,4 
 
 
Tabela 2 - Massa específica ρ de alguns líquidos (em Kg/m3): 
Líquido ρ (Kg/m3) Líquido ρ (Kg/m3) 
Acetona (CH3COCH3) 
Ácido sulfúrico (H2SO4) 
Água destilada a 4oC 
Água do mar a 15oC 
Álcool etílico 
Azeite de coco 
Azeite de oliva 
Benzina 
Betume (asfalto líquido) 
Cerveja 
Clorofórmio (CHCl3) 
Éter de petróleo 
Gasolina 
Glicerina 
Glicose 
Gordura de porco 
Leite 
790 a 792 
1050 a 1830 
1000 
1022 a 1030 
789 a 800 
930 
910 a 920 
680 a 700 
1100 a 1500 
1020 a 1040 
1480 a 1489 
670 
660 a 738 
1260 a 1262 
1350 a 1440 
960 
1020 a 1050 
Melado 
Mercúrio 
Óleo combustível médio 
Óleo comb. pesado 
Óleo de algodão 
Óleo de baleia 
Óleo de cereais 
Óleo de gergelin 
Óleo de linhaça 
Óleo de mamona 
Óleo de soja 
Óleo diesel 
Óleo lubrificante para 
motores de automóveis 
Petróleo 
Querosene 
Vinho 
1400 a 1500 
13590 a 13650 
865 
918 
880 a 930 
925 
924 
923 
925 a 940 
960 
930 a 980 
820 a 960 
 
880 a 935 
880 
700 a 800 
990 
 
 
 
 
 
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20
 
Tabela 3 - Tabela da viscosidade cinemática da água em diversas temperaturas (ν): 
 
Temperatura (0C) Viscosidade cinemática (m2/s) 
0 
2 
4 
6 
8 
10 
12 
14 
16 
18 
20 
22 
24 
26 
28 
30 
32 
34 
36 
38 
50 
100 
0,000001792 
0,000001673 
0,000001567 
0,000001473 
0,000001386 
0,000001308 
0,000001237 
0,000001172 
0,000001112 
0,000001059 
0,000001007 
0,000000960 
0,000000917 
0,000000876 
0,000000839 
0,000000804 
0,000000772 
0,000000741 
0,000000713 
0,000000687 
0,000000470 
0,000000290 
 
 
 
Tabela 4 - Tabela da viscosidade cinemática de alguns fluidos (ν) e peso específico (γ): 
Fluido Temperatura (0C) Peso específico 
(Kgf/m3) 
Viscosidade cinemática 
(m2/s) 
Gasolina 5 
10 
15 
20 
25 
30 
737 
733 
728 
725 
720 
716 
0,000000757 
0,000000710 
0,000000681 
0,000000648 
0,000000621 
0,000000596 
Óleo combustível 5 
10 
15 
20 
25 
30 
865 
861 
858 
855 
852 
849 
0,00000598 
0,00000516 
0,00000448 
0,00000394 
0,00000352 
0,00000313 
Ar 
(Pressão 
atmosférica) 
5 
10 
15 
20 
25 
30 
1,266 
1,244 
1,222 
1,201 
1,181 
1,162 
0,0000137 
0,0000141 
0,0000146 
0,0000151 
0,0000155 
0,0000160 
 
 
 
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Tabela 5 - Tabela do coeficiente de compressibilidade C de alguns fluidos (C): 
 
Fluido C (em cm2/kgf) 
Água: 
a 0oC 
a 10oC 
a 20oC 
a 60oC 
Água salgada a 20oC 
Álcool 
Ar: 
a 0oC 
a 4oC 
a 10oC 
a 16oC 
a 21oC 
a 43oC 
Azeite de oliva 
Benzeno 
Gasolina 
Mercúrio a 20oC 
Óleo 
Petróleo 
Querosene 
Tetracloreto de carbono 
 
50 x 10-6 
48 x 10-6 
46 x 10-6 
45 x 10-6 
42 x 10-6 
82 x 10-6 
 
50 x 10-6 
48 x 10-6 
47 x 10-6 
45 x 10-6 
44 x 10-6 
43 x 10-6 
62 x 10-6 
95 x 10-6 
75 x 10-6 
4 x 10-6 
75 x 10-6 
83 x 10-6 
77 x 10-6 
89 x 10-6 
 
 
Tabela 6 – Constante adiabática k de alguns gases: 
Gás k 
Acetileno 
Amoníaco 
Anidrido carbônico 
Anidrido sulfuroso 
Ar 
Hélio 
Hidrogênio 
Metano 
Nitrogênio 
Oxigênio 
Vapor d´água 
1,26 
1,32 
1,28 
1,26 
1,40 
1,66 
1,40 
1,32 
1,40 
1,40 
1,28 
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 Importante: 
 
 
 
Resumo – Conceitos Fundamentais
Massa Especifica ρρρρ = m/V Unidade: Kg/m3
Peso Específico γγγγ = W/V Unidade: N/m
3 ou Kgf/m3
Relação γγγγ = ρρρρ.g
Volume Especifico
√√√√ = 1/ρρρρ Unidade: m3/kg
Densidade Relativa δδδδ = ρρρρ/ρρρρpadrão Adimensional
Pressão p = F/A Unidade: Pascal (N/m2)
Coef. Viscos. Cinemática ν = µ/ρ Unidade: m2/s
√√√√ = 1/γγγγ Unidade: m3/N ou m3/Kgf
Resumo – Conceitos Fundamentais
Massa Especifica ρρρρ = m/V Unidade: Kg/m3
Peso Específico γγγγ = W/V Unidade: N/m
3 ou Kgf/m3
Relação γγγγ = ρρρρ.g
Volume Especifico
√√√√ = 1/ρρρρ Unidade: m3/kg
Densidade Relativa δδδδ = ρρρρ/ρρρρpadrão Adimensional
Pressão p = F/A Unidade: Pascal (N/m2)
Coef. Viscos. Cinemática ν = µ/ρ Unidade: m2/s
√√√√ = 1/γγγγ Unidade: m3/N ou m3/Kgf
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Capítulo 2 – HIDROSTÁTICA 
 
 
 
 
 
2.1 - Equação fundamental da Hidrostática: 
 
O equilíbrio dos fluidos em repouso, em particular dos líquidos, podem ser 
estabelecidos a partir dos “ Princípios da Mecânica dos Fluidos”: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Não podendo existir no interior dos fluidos esforços tangenciais:
� as pressões são sempre normais às superfícies onde atuam;
� e que em ponto qualquer agem com igual intensidade em 
todas direções.
Z
X
Z
Y
O
F – X
Y
Z
M
Z
X
Z
Y
O
F – X
Y
Z
M
� Certa massa M de um fluido em
repouso, referido a um sistema
de eixos cartesianos,
� Cuja orientação é indiferente,
� Sujeita a um sistema de forças
exteriores que, em cada ponto
do espaço ocupado pelo fluido admite
uma resultante,
� Cujo valor por unidade de massa é F,
Considerando-se:
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� Sejam X, Y e Z as componentes de F segundo os três eixos,
� Sejam p e ρρρρ , pressão e massa específica do fluido,
(Que são funções escalares e contínuas das coordenadas dos pontos da massa fluida):
p = p (x,y,z) ρ = ρ (x,y,z)
Z
X
Z
Y
O
F – X
Y
Z
M
Z
X
Z
Y
O
F – X
Y
Z
M
a
b
d
c
e
g
h
f
dx
dz
dy
p’p
a
b
d
c
e
g
h
f
dx
dz
dy
p’p
� isolando na massa fluida M um paralelepípedo elementar abcdegh de volume: 
dxdydz e massa: ρ.(dxdydz), Então:
Sobre o fluido contido no paralelepípedo agem os seguintes esforços :
� forças exteriores que possuem as componentes:
Xρρρρdxdydz , Yρρρρdxdydz e Zρρρρdxdydz
� as pressões exercidas pelo fluido circundante, atuam perpendicularmente às faces 
do paralelepípedo, 
� Para haver equilíbrio, a soma das projeções das forças que agem sobre o
paralelepípedo, segundo os 3 eixos devem ser nulas:
- o esforço abcd: 
dxdzdy
y
p
p 





∂
∂+
pdxdz
- o esforço efgh:
- Resultando: 
dxdzdy
y
p
ppdxdz 





∂
∂+−
Considerando-se por exemplo, as faces perpendiculares ao eixo Y, teremos nas 
faces:
- abcd – pressão unitária p
- efgh – pressão unitária p’
py=
p’y=
py – p’y=
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- Somando-se a componente de força externa , teremos : 
0 =





∂
∂+−+ dxdzdy
y
p
ppdxdzdxdydzYρ
- Simplificando-se, teremos:






∂
∂=
y
p
Y ρ
- Escrevendo por Analogia para as outrascomponentes, teremos também:






∂
∂=
x
p
X ρ 





∂
∂=
z
p
Z ρ
( ) dz
z
p
dy
y
p
dx
x
p
ZdzYdyXdx
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=++ρ
- o segundo membro é a equação diferencial total da função p:
Que é a :
EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DE EQUILÍBRIO DOS 
FLUIDOS EM REPOUSO
- Se multiplicarmos cada uma por dx, dy e dz, respectivamente, teremos:
( ) dpZdzYdyXdx =++ρ
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EXEMPLO: 
 
Admitindo-se os pontos A e B no interior do líquido em repouso e sujeito à 
ação da gravidade (P atm): 
Se reduz para: dzg dzdp - γρ =−=
Equação de equilíbrio dos fluidos em repouso, 
quando sujeitos apenas a ação da gravidade.
Se orientarmos os eixos coordenados de modo que:
- OX e Oy – sejam horizontais
- OZ – seja vertical
Teremos: X = 0 ; Y = 0 e Z = -g
Logo, a equação fundamental: ( ) dpZdzYdyXdx =++ρ
 
“A diferença de pressão entre dois pontos no 
interior de uma massa fluida em equilíbrio estático, 
é igual ao peso da coluna de fluido tendo por base 
a unidade de área e por altura a distância vertical 
entre os dois pontos.” 
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Então: a pressão ESTÁTICA que o líquido exerce sobre os pontos A e B será pA e pB , 
respectivamente, e a diferença de pressão entre os pontos A e B será calculada pela LEI 
DE STEVIN: 
 
 
 
 
Então: “A pressão em um ponto do fluido é diretamente proporcional à profundidade deste 
ponto e ao peso específico do fluido”. Assim, na figura abaixo: P1 = P2 = P3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Blaise Pascal (1623-1662): formulou pela primeira vez, em 1647, que um 
acréscimo de pressão em um líquido em equilíbrio se transmite integralmente em todas 
as direções, ou em todos os pontos no interior do líquido na estática. 
 
É o princípio físico que se aplica, por exemplo, aos elevadores hidráulicos dos 
postos de gasolina e ao sistema de freios e amortecedores, e deve-se ao físico e 
matemático francês Blaise Pascal. Exemplo: Prensa Hidráulca. 
 
 
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28
 
 
 
 
 
 Aplicando um esforço F1 no pistão menor, o maior se desloca elevando a carga 
F2 , ou seja: Conhecendo a pressão em um ponto, se determina a pressão em um outro 
ponto. 
A idéia de Prensa Hidráulica baseia-se no princípio que diz: "os líquidos 
transmitem integralmente pressões de uma região para outra". 
Se a pressão é a mesma em todos os pontos de um líquido incompressível e em 
equilíbrio hidrostático então, em superfícies de áreas diferentes as intensidades das 
forças aplicadas pelo líquido também devem ser diferentes. 
Assim, se aplicarmos uma força de pequena intensidade F1 na superfície de 
pequena área A1, então o líquido, graças à integral transmissão da pressão, fará surgir 
na superfície de grande área A2 uma força de grande intensidade F2. 
 
 
 
 
 
 
 
Então: Ela é constituída por dois cilindros comunicantes, fechados por pistões bem 
ajustados de seções A1 e A2 ; aplicando um esforço F1 no pistão menor, o maior se 
desloca elevando a carga F2 , de modo que os volumes A1.Z1 e A2. Z2 sejam iguais. 
 
 
 
2.3 – Altura piezométrica ou carga piezométrica 
 
Pela fórmula vista anteriormente: p2 = p1 + γ. h 
 
Vemos aqui que a Prensa Hidráulica, ao utilizar-se dessa técnica, funciona como uma 
verdadeira máquina, ou seja, um dispositivo capaz de multiplicar forças. O 'operador' aplica 
a força F1 (de pequena intensidade) e a máquina aplica na 'carga' a força F2 (de grande 
intensidade).
 
2
2
1
1
A
F
A
F =
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Que é a EQUAÇÃO FUNDAMENTAL DOS LÍQUIDOS EM REPOUSO, 
 
Fica claro que: 
- a altura h (ou ∆h) de líquido, corresponde uma pressão; 
- inversamente, sempre que há uma pressão é possível representá-la por uma altura real 
ou fictícia de líquido. 
 
 
 
 
ALTURA PIEZOMÉTRICA OU CARGA PIEZOMÉTRICA. 
 
Ou seja: altura piezométrica é a altura de uma coluna de líquido, de peso específico γ, 
capaz de equilibrar a pressão p. 
 
2.4 – Planos de carga 
 
A experiência de Torricelli ilustra o significado de plano de carga estático: 
 “Mergulhando em um líquido em equilíbrio, um tubo fechado em uma extremidade, 
cheio de líquido, de modo que o mesmo fique vertical com a extremidade aberta a uma 
certa profundidade, o líquido desce no tubo até que a altura h seja capaz de equilibrar 
a pressão atmosférica livre.” 
 
 
 
 
A altura do plano estático representa a altura da coluna do líquido 
capaz de equilibrar a pressão atmosférica.
Patm = γ . h 
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EXEMPLOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Patm = 1 atm = 760 mmHg = 101234 N/m2 = 1,033 Kgf/cm2 = 10,33 m.c.a. ( m de 
coluna d’água ) 
 
 
 
 
A distância OX representa o plano de referênica (ou DATUM). A distância OZ 
representa a CARGA TOTAL entre o plano de referência e o plano de carga absoluto. 
 
Patm = 10330 kgf/m2 no nível do mar
m
m
kgf
m
kgf
p
oH
atm 33,10
000.1
330.10
3
2
2
==
γ
Logo:
m
m
kgf
m
kgf
p
Hg
atm 76,0
600.13
330.10
3
2
==
γ
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31
 
2.5 – Medidas de pressão 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A pressão relativa pode ser medida em termos da altura h de coluna de líquidos. 
É nisto que se baseia o funcionamento de equipamentos denominados 
MANÔMETROS. 
 Logo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pressão Relativa ou Efetiva:
Pressão Absoluta:
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32
 
 
 
 
Em uma edificação há uma torneira que está a 28 metros abaixo da superfície livre da 
água do reservatório superior. Deseja-se saber: A) a representação gráfica das 
pressões na torneira e os planos de carga; B) a pressão estática efetiva e a pressão 
estática absoluta na torneira (em kgf/m2; kgf/cm2; m.c.a.; e em KPa); 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.6 – Equilíbrio de líquidos não miscíveis 
 
 
 
 
Exemplo: Como podemos medir a pressão em uma edificação?
Equilíbrio de líquidos
imiscíveis (d' > d).
São os líquidos que não se misturam, 
Teoricamente o líquido mais denso poderia situar-se 
acima do outro; o equilíbrio seria instável, razão pela qual 
ele não se realiza deste modo. 
Portanto, o líquido mais denso se apresenta abaixo do 
menos denso. 
 
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33
 
2.7 – Vasos comunicantes: 
Na Hidrostática, denominam-se “vasos comunicantes” sistemas de dois ou mais 
vasos (frascos, tubos) contendo um ou mais líquidos em equilíbrio e interligados 
mediante comunicações banhadas pelos líquidos; as pressões exercidas nas superfícies 
livres podem ser iguais ou diferentes. 
O problema dos vasos comunicantes consiste em relacionar entre si os níveis 
relativos das superfícies de separação entre fluidos, as densidades dos fluidos e as 
pressões exercidas nas superfícies livres. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: “ Pontos que estiverem na mesma horizontal tem igualdade de pressões.” 
Em vasos comunicantes que contêm um único líquido suposto homogêneo, este se 
eleva ao mesmo nível em todos os ramos desde que a pressão na superfície livre do 
líquido seja a mesma em todos. 
Quando não se usam bombas de recalque, o abastecimento de água através de 
redes hidráulicas urbanas se baseia no principio dos vasos comunicantes. 
Em construções, uma mangueira plástica transparente contendo água e operada 
como par de vasos comunicantes permite fazer nivelamento expedito e preciso (nível 
de mangueira). 
Em laboratório, vasos comunicantes encontram aplicação na determinação de 
densidades e na medição de pressões. 
 
Exemplo Prático: 
 
 
 
 
 
 
 
 
1º) Tem-se dois recipientes A e B contendo água ao mesmo nível. 
Em qual dos dois recipientes a água exerce 
maior pressão sobre o fundo?A primeira idéia é em A. 
 
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34
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Na HIDROSTÁTICA, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
� Nos edifícios o que ocorre com a pressão exercida pela água nos diversos 
pontos das tubulações é o mesmo que no exemplo anterior. Isto é: A pressão só 
depende da altura da água, desde o nível da água no reservatório até um ponto 
qualquer da tubulação. 
2º) No entanto, se ligarmos os dois recipientes, observa-se que os níveis 
permanecem exatamente os mesmos. Isto significa que: 
Se as pressões dos recipientes fossem 
diferentes, a água contida em A empurraria 
a água no recipiente em B, transbordando-o. 
 
As pressões, portanto, são iguais em ambos 
os recipientes. 
 
3º) Agora, se adicionarmos água no recipiente A, inicialmente ocorre um pequeno 
aumento da altura hA, e que vai baixando aos poucos. 
Com a adição de água, houve um aumento de 
pressão no fundo do mesmo, a qual tenderá 
a se igualar em B. 
 
A partir destas experiências conclui-se: 
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35
2.8 - 
 
 
 
 
A pressão relativa pode ser medida em termos da altura h da coluna de líquido 
em equilíbrio. E é nisto que se baseia o funcionamento de equipamentos denominados 
Manômetros. Logo: A manometria trata da medida das pressões e para isso utiliza de 
instrumentos ou dispositivos denominados manômetros. 
 
Definições: 
 
 
 
 
 
 
MANOMETRIA
� M a n ô m e tro :
É u m in s t ru m e n to p a r a m e d ir a “ p re s s ã o e fe t iva ” .
 
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36
 Instrumentos: 
 
2.8.1. Barômetro de Torricelli: 
 
É o manômetro mais elementar, utilizado para medir a pressão atmosférica. 
 
 
 
2.8.2. Piezômetro Simples ou Manômetro Aberto: 
 
É um tubo de vidro ligado ao interior do recipiente que contém o líquido. A altura do 
líquido acima do recipiente dá diretamente a pressão no interior do mesmo. 
 
 
Quando a pressão no recipiente é muito elevada, para reduzir a altura da coluna 
piezométrica deve ser usado um líquido de densidade maior (exemplo o mercúrio), para 
o qual a altura piezométrica é menor. 
Inversamente, se a pressão é pequena, o emprego de um líquido de densidade 
inferior (ex. um óleo) permite obter colunas manométricas maiores e de leitura mais 
fácil. 
 Esse tipo de manômetro é usado para medir pequenas pressões. 
 
2.8.3. Manômetro de Tubo em U: 
 
 Utilizado para medir a pressão efetiva ou relativa. Baseia-se na igualdade das 
pressões em pontos que estão na mesma horizontal, como por exemplo, os pontos R e S 
que estão na mesma horizontal. 
 
 
 
Patm = γ . d 
 
 
po = γ . d 
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37
 
 
 
 Se o fluido em B for um gás, tal que γ1 for desprezível face a γ2 (normalmente 
o mercúrio), a expressão fica: 
 
Exemplo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.8.4. Manômetros Diferenciais 
 
São usados para medir a diferença de pressão entre dois ambientes B e C, por 
exemplo. Também baseiam-se na igualdade das pressões nos pontos que estão na 
mesma horizontal, R e S por exemplo. 
 
 
 
 
 
 
 
MANÔMETROS TIPO 
TUBO EM U FEITOS 
COM TUBOS DE VIDRO 
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38
 
 
 2.8.5. Manômetros de tubo inclinado 
 
É utilizado para medidas de pressões pequenas (ou de diferenças pequenas de 
pressões). Inclinando-se o tubo manométrico a um ângulo θ com a horizontal, aumenta-se 
a precisão na leitura da altura manométrica. 
Neste tipo de manômetro, para a variação da pressão correspondente, em um 
pequeno desnível h, tem –se uma leitura L ampliada na escala inclinada, que é tanto 
maior uanto menor a inclinação do tubo, o que aumenta a precisão da leitura. 
 
 
 
 
 
 
 
Então: 
θγγ sen lhp ==
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39
 
Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.9 – Empuxo ou Resultante das Pressões nos Líquido s 
 
 
 
 
 
“A pressão hidrostática submete um corpo mergulhado num líquido em equilíbrio 
a uma força ascendente vertical, de intensidade igual ao peso da água que ele 
deslocou.” É este o princípio de Arquimedes. 
 
 
 
 
 
 
 
O princípio de Arquimedes aplica-se evidentemente a todos os líquidos. Se 
mergulharmos num líquido de densidade ρ um corpo de volume V, o peso do líquido 
deslocado (que é a impulsão) será igual a ρgV. Indicando-se essa impulsão ou empuxo 
de Arquimedes, como atualmente é denominado, por E: 
 
 
E = ρ . g . V 
 
Onde: 
E = empuxo (N); ρ= densidade do líquido (kg/m3); 
g = aceleração da gravidade (m/s2); e V = volume (m3) 
 
O Princípio de Arquimedes:
Quando mergulhamos um corpo em um líquido, 
notamos que o seu peso aparente diminui. Esse fato 
se deve à existência de uma força vertical de baixo 
para cima, exercida pelo líquido sobre o corpo, à qual 
damos o nome de Empuxo. 
 
 
 
Manômetro tipo Bourdon em 
banho de glicerina 
 
 
Manômetro digital 
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40
 
O que determina se um corpo sólido vai flutuar ou a fundar num líquido? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.9.1 Empuxo em superfícies planas imersas 
 
Considerando-se uma superfície plana A, de contorno qualquer, mergulhada em 
um líquido em equilíbrio, 
 
 
 
 
 
 
 
 
Peso Aparente: 
Portanto:
Em (a): Em (b): Em (c):
y
o
X
M
S.L.
A
G
CP
CG
α
α
ho
y o
α
y
h
E
P
dA
y
o
X
M
S.L.
A
G
CP
CG
α
α
ho
y o
α
y
h
E
P
dA
o
X
M
S.L.
o
X
M
S.L.
A
G
CP
CG
α
α
ho
y o
α
y
h
E
P
dA
A
G
CP
CG
α
α
ho
y o
α
y
h
E
P
dA
dA = área elementar, cujo ponto genérico 
é P; 
MOX = plano da superfície livre (S.L.) do 
líquido; 
XOY = plano que contém a superfície de 
área A, mergulhada no líquido; 
h = profundidade de P em relação a S.L.; 
hCG = profundidade de CG em relação a 
S.L. 
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41
 
Onde: 
 
 
Sobre cada uma das faces da superfície A, o líquido exerce um esforço 
denominado empuxo, que é perpendicular à esta superfície. 
 
 
 
 
 
 
Cada face da superfície elementar dA, está sujeita as pressões unitárias p, 
provocando o esforço: dE = p . dA 
O produto da pressão efetiva (p) pela área elementar dA, é o que denominamos 
EMPUXO ELEMENTAR, o qual age em cada face da superfície dA (mergulhada no 
líquido). 
Considerando-se toda a área, o efeito da pressão produzirá uma força 
resultante (Empuxo ou pressão total). Essa força é dada pela integral: 
∫ dE = ∫ p . dA 
 Se a pressão for a mesma em toda a área, e pela equação fundamental da 
fluidostática: p = γ h 
O empuxo será: ∫ dE = ∫ γ . h . dA 
Considerando a figura abaixo um reservatório, de paredes e fundo plano, cheio 
de líquido: 
 
 
Logo, pode-se definir: O Empuxo produzido por um líquido sobre uma superfície 
plana imersa será igual ao peso de uma coluna líquida que tem por base a área da 
superfície e por altura a profundidade do seu centro de gravidade (CG): 
 
 
 
Pela figura, a pressão na superfície será:
p = dE/dA
Empuxo: 
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42
 
 
 
 
 
 
 
 
 
hCG = 
 
 
Esta resultante das pressões (empuxo) que age na superfície imersa no líquido 
pode ser representada nas paredes do reservatório também. O empuxo nada mais é 
que a pressão estática concentrada em um ponto da superfície imersa. Este ponto é 
chamado Centro de Pressão. 
 
→ Centro de Pressão ou Centro de Empuxo (CP) 
 
É o ponto exato de aplicação da pressão total (Empuxo) que atua sobre a 
superfície analisada. 
 
Pela figura: 
 
 
Tem-se que CP é o ponto de aplicação do empuxo. Este ponto é encontrado pela 
expressão abaixo: 
 
 
 
 
 
Yp = Onde: 
E =
 γ =
A =
Onde: 
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43
Io = É o momento de inércia da área A em relação ao eixo OX (em m4). 
(determinado conforme as características geométricas da superfície plana). Io é 
calculado conforme a tabela em anexo. 
Conclui-se que em determinado líquido, o empuxo E varia apenas com a área A da 
superfície e com a profundidade ho do seu Centro de Gravidade (CG). 
Pela observação da figura abaixo, pode-se concluir que: 
 
 
 
 
 
 
 
� A resultante das pressões (E) não estará aplicada no Centro de Gravidade 
(CG) das superfícies, mas um pouco abaixo, num ponto que se denomina 
Centro de Pressão (CP); 
� Exceção: quando a superfície plana é horizontal (fundo de um 
reservatório por exemplo), então CP = CG. 
 
 
 
 Aplicações práticas do empuxo em superfícies planas: 
 Freqüentemente, o engenheiro encontra problemas relativos ao projeto de estruturas 
que devem resistir às pressões exercidas por líquidos. Exemplos: 
 
 
 
 
 
 
 
A
CG
ho
Vista de frente
A E
CG
αααα
ho
Vista de Lado
A
CG
ho
Vista de frente
A
CG
ho
Vista de frente
A E
CG
αααα
ho
Vista de Lado
A E
CG
αααα
ho
Vista de Lado
CP
Algumas Aplicações Práticas: 
Dispositivos Mecânicos
Válvulas
Tampas Comportas 
Obras
PiscinasBarragens
Paredes de Reservatórios
Algumas Aplicações Práticas: 
Dispositivos Mecânicos
Válvulas
Tampas Comportas 
Obras
PiscinasBarragens
Paredes de Reservatórios
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44
 
Exemplo: Qual a pressão estática e o empuxo no fundo e laterais de 
um reservatório com 1,3 m de altura e cheio de água? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de Pressões: 
 
O Diagrama das Pressões pode ser represenado atravé s das pressões 
distribuídas ou da pressão concentrada em um ponto (pressão resultante ou 
empuxo). 
 
E o Diagrama de pressões neste reservatório do exem plo será: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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45
 
� Definições: 
 
Tampa: É a peça removível e apropriada com que se fecha qualquer abertura (lateral, 
superior ou no fundo) de tanques, reservatórios, etc... 
Válvula: É qualquer dispositivo que se opõe ao refluxo do fluido ou que tem a função 
de reter (ou retardar) o curso do fluido. Exemplo: registro. 
Comporta: É a placa móvel que retém ou libera as águas de um canal (ou de um 
conduto livre), de um reservatório, etc... 
Barragem: É a obra destinada a reter um curso d’água (rio, córrego, águas pluviais...), 
para sua utilização no abastecimento de águas de cidades, ou em irrigação, ou em 
produção de energia, ou em controle de inundações, etc... (Obras de grande porte). 
Açude: É a construção que represa águas (principalmente as da chuva em regiões de 
seca), para uso doméstico ou para irrigação. (Pequeno porte). 
Dique: É um reservatório com comportas que permite (ou impede) a passagem da água 
do mar (ou de rio), para fins de conserto ou limpeza de navios, ou elevação de navios 
(mudança de nível), ou ainda como parte de uma barragem. 
Muro de retenção: É uma barragem de pequena dimensão, adotada no meio rural ou 
em obras de pequena duração. 
Paramento de Montante: É a face da barragem (ou do muro de retenção, ou dique...) 
que está em contato com a água armazenada. 
Paramento de Jusante: É a face oposta ao paramento de montante. Não tem contato 
com a água armazenada. 
 
 
 
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46
 
 
TABELA DO EMPUXO EXERCIDO POR UM LÍQUIDO SOBRE 
UMA SUPERFÍCIE PLANA IMERSA: 
 
 
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47
2.9.2 Empuxo em superfícies curvas 
 
Nos casos práticos de empuxo sobre superfícies curvas, é mais conveniente 
considerarmos as componentes horizontais e verticais das forças. 
Seja A o corte de uma superfície curva, mergulhada em um líquido em equilíbrio: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Aplicações: Devido às propriedades da geometria no espaço, prefere-se que a 
superfície curva seja cilíndrica. As aplicações são: Comportas de segmento cilíndrico, 
no dimensionamento da espessura de tubos e reservatórios cilíndricos... 
 
 
 
 
S.L.
A
AH
AV
E
EH
EV
ho
S.L.
A
AH
AV
E
EH
EV
ho
Onde:
γ - peso específico 
do líquido;
AH - Projeção
horizontal de A;
AV – Projeção vertical 
de A;
V – Volume da coluna líquida vertical, tendo A e AH por base;
h o – p ro f u n d id a d e d o C G d e A v
E V – c o m p o n e n te v e rt ic a l d e E ;
E H – c o m p o n e n t e h o r iz o n t a l d e E ;
E – e m p u x o t o t a l re s u lt a n te n a s u p e rf íc ie c u rv a .
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½ Parábola:
Algumas Superfícies em contato com o fluido:
Expressões:
EH:
EV:
E:
Onde: Av será um retângulo, então: Av = Altura da água x Extensão
Onde: V = A x Extensão; e 
A = área da superfície em contato com o fluido
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1.1. A componente horizontal EH é igual ao Empuxo 
atuando na superfície Plana que representa a 
Projeção AV da superfície Curva no eixo vertical;
2.2.
3.3.
4.4.
O centro de empuxo de EH é o centro de Empuxo na 
área AV;
A componente vertical EV é igual ao peso do volume 
líquido V entre a superfície Curva e o nível da água;
O centro de empuxo de EV é o Centro de Gravidade 
do volume V;
CONCLUSÕES
S.L.
A
AH
AV
E
EH
EV
S.L.
A
AH
AV
EE
EH
EV
Empuxo em 
superfícies 
curvas:
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Ainda: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.5. EV poderá estar dirigida para baixo ou para cima, 
conforme curvatura em contato com o líquido;
6.6. EH estará dirigida da esquerda para direita, ou vice-
versa. Em qualquer caso, EH e EV estarão dirigidas 
do líquido para a superfície curva.
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Lista de exercícios 01 
 
01 – Qual a pressão efetiva dentro de uma tubulação onde circula ar se o desnível do nível do 
mercúrio observado no manômetro de coluna é de 4 mm? 
 
Considere: Massa específica do Mercúrio = ρhg = 13600 kg/m
3 e aceleração gravitacional g = 9,81 m/s2 
 
02 - ( UFMG-95) Um certo volume de água é colocado num tubo em U, aberto nas extremidades. 
Num dos ramos do tubo, adiciona-se um líquido de densidade menor do que a da água, o qual 
não se mistura com ela. Após o equilíbrio, a posição dos dois líquidos no tubo está corretamente 
representada pela figura: 
 
03 - (UNIPAC-96) Uma prensa hidráulica possui pistões com diâmetros 10cm e 20cm. Se uma 
força de 120N atua sobre o pistão menor, pode-se afirmar que esta prensa estará em equilíbrio 
quando sobre o pistão maior atuar uma força de: 
 
a) 30N b) 60N c) 480N d) 240N e) 120N 
 
04 - Um grande reservatório contém dois líquidos, A e B, cujas densidades relativas 
são,respectivamente, dA=0,70 e dB=1,5 (veja a figura). A pressão atmosférica local é de 1,0 x105 
N/m2. Qual é, em N/m2, a pressão absoluta nos pontos (1), (2) e (3)? Dado: aceleração da 
gravidade g=10m/s2.(ponto 1 submetido a Patm) 
 
 
05 - Um mecânico equilibra um automóvel, usando um elevador hidráulico. O automóvel pesa 
800kgf e está apoiado em um pistão cuja área é de 2.000cm². Determine o valor da força que o 
mecânico está exercendo na chave, sabendo-se que a área do pistão no qual ele atua é de 
25cm². 
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53
 
06 - (Ufpe 2005) É impossível para uma pessoa respirar se a diferença de pressão entre o meio 
externo e o ar dentro dos pulmões for maior do que 0,05atm. Calcule a profundidade máxima, h, 
dentro d'água, em cm, na qual um mergulhador pode respirar por meio de um tubo, cuja 
extremidade superior é mantida fora da água. 
 
07 - Um mergulhador que trabalhe à profundidade de 20 m no lago sofre, em relação à superfície, 
uma variação de pressão, em N/m2, devida ao líquido, estimada em: Dados: ρ água = 1,0 g/cm3 e 
g = 10 m/s2 
a) 20 N/m2; b) 2,0.10² N/m2; c) 2,0.103 N/m2; d) 2,0.104 N/m2; e) 2,0.105 N/m2. 
08 - Marque a alternativa correta: Na figura abaixo, a pressão efetiva no ponto: 
 
 
09 - Em um local onde a pressão atmosférica é 10100 kgf/m2, o vacuômetro de uma instalação 
indica o valor negativo de –300 mm de mercúrio. Calcular a respectiva pressão absoluta em 
kgf/m2 nesta instalação. 
 
10 - A figura abaixo representa o corte de um tubo vertical onde há óleo (δ = 0,92) em situação 
estática, isto é sem escoar. Determinar a pressão estática em kgf/m2 e em kgf/cm2 que se lê no 
manômetro metálico instalado em C da figura abaixo. 
 
 
a) C é maior do que no ponto A; 
b) D é nula; 
c) A é PA = Patm + γH2O (h+h1) + γHg . h; 
d) B é PB = PA – Patm + γH20 . h; 
e) B é PB = PA + γH20 . h 
 
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54
11 - Para as câmaras 1 e 2 da figura abaixo, são conhecidos: hm = 0,1m e H = 1,0 m; patm = 1 
kgf/cm2; γHg = 13600 kgf/m3; γH2O = 1000 kgf/m3. Obter as pressões efetiva e absoluta do gás 
nas câmaras 1 e 2, desprezando γ do gás. 
 
 
12 - Uma tubulação de eixo horizontal contém água sob pressão e está ligada a um tubo em U 
cujo líquido manométrico é o mercúrio, ficando sua superfície livre a 40 mm abaixo do eixo da 
tabulação. Sendo h = 74 mm a deflexão do mercúrio, calcular a pressão efetiva em B (em kgf/m2; 
kgf/cm2; em m.c.a. e em KPa). 
 
 
13 - No alto de um edifício há um reservatório que fornece água à diversas peças, inclusive uma 
torneira. Esta se encontra à 18 m abaixo da superfície livre do reservatório. Calcular a pressão da 
água ao nível da torneira (fechada). Dar a solução em Kgf/m2, Kgf/cm2, em m.c.a. e em KPa. 
 
14 - No canal de desvio do rio Paraná, a Hidrelétrica de Itaipu construiu uma estrutura de 
concreto, que represará a água na cota 223 m (nível máximo). Calcular a pressão estática em um 
ponto do fundo do canal, na cota média de 80 m. Dar a solução em Kgf/m2, Kgf/cm2, em m.c.a. e 
em Kpa. 
15 - Qual a força resultante da pressão exercida pela água (em N) e o seu ponto de aplicação em 
uma comporta vertical de 1,8 m de diâmetro, cujo centro de gravidade se encontra a 6,9 m de 
profundidade em relação ao nível da superfície livre do reservatório? 
16 - Em uma barragem de concreto está instalada uma comporta quadrada de ferro com 60 cm de 
lado, à profundidade indicada na figura abaixo. 
 
Determinar: a) o empuxo resultante das pressões na 
comporta; b) o centro de pressão deste empuxo; c) 
representar no desenho a aplicação do empuxo. 
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55
17 - A elipse da figura abaixo está em um plano vertical e tangencia a superfície livre da água. 
Determinar o empuxo e a profundidade de seu ponto de aplicação. (Onde: a = 1,9m e b = 2,8m). 
 
 
18 - No reservatório do esquema abaixo determinar: a) a força resultante das pressões e seu 
ponto de aplicação no fundo e nas laterais do reservatório cheio de água, com 1,2 m de altura; b) 
a pressão estática exercida pela água no ponto A da tubulação que possui o registro fechado (em 
Kgf/m2; em Kgf/cm2; em m.c.a.; e em KPa). 
 
 
 
 
19 - A gasolina (δ=0.7) atua em uma comporta vertical quadrada (de lados a=1,2 m), que tem sua 
aresta superior a 7,25 m abaixo da superfície líquida, como mostra a figura. Obter: 
a) O empuxo na comporta (em N); 
b) A profundidade do centro de empuxo e represente na figura o empuxo aplicado. 
 
 
 
 
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56
20 - A figura abaixo representa o corte longitudinal de uma piscina que possui 20 m de largura e 
46 m de extensão (e h = 3,1 m). Em uma das paredes laterais há um orifício (fechado) para o 
escoamento da água. Determinar: 
a) a resultante das pressões exercidas pela água no orifício de 100 mm de diâmetro e seu ponto 
de aplicação; 
b) o empuxo resultante no fundo horizontal AB da piscina e a profundidade do seu Centro de 
Pressão; 
 
 
Alturas no desenho em metros 
 
21 - Qual é, em gramas, a massa de um volume de 50 cm³ de um líquido cuja massa específica é 
igual a 2 g/cm³? 
 
22 - A massa específica do cobre é 8,9x10³ kg/m³. Qual é a massa de um cubo maciço e 
homogêneo de cobre, de 20 cm de aresta? 
 
23 - Determine a pressão total num ponto no fundo de um rio a 25 m de profundidade. 
 
24 - Uma piscina de profundidade 2m está cheia de água num local onde a pressão atmosférica 
vale 1x105 N/m² e a aceleração da gravidade é de 9,81m/s². Sabendo que a massa específica da 
água é de 1g/cm³, determine a pressão exercida pela água no fundo da piscina, em N/m². 
 
25 - Em uma prensa hidráulica, o pistão maior tem uma área de 200 cm² e o menor, área de 5 
cm². Se uma força de 250 N é aplicada no pistão menor, calcule a força aplicada no pistão maior. 
 
26 - Um corpo de volume 2x10-4 m³ está totalmente imerso num líquido cuja massa específica é 
8x10² kg/m³. Determine o empuxo com que o líquido age sobre o corpo. 
 
27 - Um sólido flutua num líquido com três quartos do seu volume imersos. Sendo 0,8 g/cm³ a 
massa específica do líquido, determine a massa específica do sólido. 
 
28 - Um corpo de massa 5kg está em equilíbrio flutuando parcialmente imerso num líquido. Sendo 
g = 9,81m/s², determine a intensidade do empuxo em “N” com que o líquido age sobre o corpo. 
 
29 - Sabendo que a massa específica da água é 1g/cm³; do gelo 0,9 g/cm³; do álcool 0,7 g/cm³ e 
do óleo 0,8 g/cm³, em quais líquidos o gelo afunda e em quais líquidos flutua? 
 
Orifício 
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57
30 - A água de um lago localizada numa região montanhosa apresenta temperatura média igual a 
100C e profundidade máxima do lago de 40m. Se a pressão barométrica local é igual a 598 
mmHg, determine a pressão absoluta na região de mais profundidade do lago. Considere a 
densidade do mercúrio igual a 13,54. 
31 - Determinar a pressão efetiva em A, devido à deflexão do mercúrio do manômetro em “U” da 
figura abaixo. 
 
32 - Um óleo ( peso esp. = 880 kgf/m3 ) passa pelo conduto da figura abaixo. Um manômetro de 
mercúrio, ligado ao conduto, apresenta a deflexão indicada. A pressão efet. em M é de 2 kgf/cm². 
Obter h. 
 
33 - Na tubulação de água apresentada na figura abaixo, instala-se um manômetro diferencial. 
Determinar a diferença de pressão (em kgf/cm2) entre os pontos B e C. 
 
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34 - Uma comporta circular vertical de 0,90 m de diâmetro, trabalha sob pressão de melado 
(densidade = 1,50) cuja superfície livre está 2,40 m acima do topo da mesma. Calcular o empuxo 
(E) e a posição do centro de pressão ( Yp ). 
 
 
 
35 - (FGV - SP) Uma pessoa de massa específica 1,1 g/cm3, quando totalmente submersa nas 
águas de uma piscina, fica sujeita a um empuxo de 600 N. Sendo a massa específica da água da 
piscina 1,0 g/cm3, responda: 
 
A) Qual é a massa dessa pessoa? 
B) Apoiada numa boia de 12 L de volume e massa 200 g, ela conseguirá manter-se na superfície 
da água? Explique. 
 
 
36 - (FEI - SP) Um cilindro maciço e homogêneo, cuja massa específica é de 0,8 g/cm3, flutua na 
água (d = 1 g/cm3) com 10 cm de sua altura acima da superfície da água. A altura do cilindro, em 
centímetros, é igual a: 
 
 
 
 
 
 
 
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37 - O Fluído “X” (densidade relativa 1,4) atua na superfície curva “AC” da figura abaixo, que 
representa ¼ de circunferência. Em uma extensão de 1,0m, determinar: 
a) As componentes doempuxo; 
b) O empuxo resultante; 
c) A profundidade do “EH”. 
 
. 
 
38 - Em uma barragem, o paramento de montante tem perfil parabólico (BC) representado na 
figura abaixo. A água exerce um empuxo total E=58346 Kgf por metro linear da dimensão 
perpendicular ao plano da figura. Calcular a distância “B”. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas: 
1 – P efet = 54,40 Kgf/m²; P abs = 10384,40 Kgf/m² 
2 – a 
3 – 480 N 
4 – P1 = 1X105 N/m²; P2 = 170000 N/m² e P3 = 290000 N/m² 
5 – F = 10 Kgf 
6 – H = 50 cm (para Patm=10.000Kgf/m²) 
7 – P = 2X105 N/m² 
8 – e 
9 – P = 6020 Kgf/m² 
10 – Pc = 3600 Kgf/m²; Pc = 0,36 Kgf/cm² 
11 – Pgás 1 = -1360Kgf/m² e 8640 Kgf/m² e Pgás 2 = -360Kgf/m² e 9640Kgf/m² 
12 – Pb = 892,4 Kgf/m²; 0,089 Kgf/cm²; 0,89 m.c.a.; 8,754 KPa 
13 – Pt = 18000 Kgf/m² = 1,8 Kgf/cm² = 18 m.c.a. = 176,58 KPa 
14 – P = 14300Kgf/m² = 14,3 Kgf/cm² = 143 m.c.a. = 1402,83 KPa 
15 – E = 17558,36 Kgf = 172247,51 N e yp = 6,9146m 
16 – E = 1548 Kgf e yp = 4,3069m 
17 – E = 31749 kgf e yp = 2,375m 
18 – a) Fundo: E = 5292 Kgf e yp = 1,2m; Paredes Laterais: E = 1512 Kgf e yp = 0,8m; 
 b) Pa = 7700 Kgf/m² = 0,77 Kgf/cm² = 7,7 m.c.a. = 75,53 KPa 
19 – E =7912,8 Kgf = 77624,6 N e yp = 7,865m 
20 – a) E = 28,66 Kgf e yp = 3,65m; b) E = 992000 Kgf e Cp= 3,10m 
21 – m = 100 g 
22 – m = 71,2 Kg 
23 – P abs = 35330 Kgf/m² 
24 – P efe = 19620 N/m² e P abs = 119620N/m² 
25 – F = 10000 N 
26- 0,16 Kgf 
27- 600 Kgf/m³ 
28- 49,05 N 
29- Água=flutua; Álcool=Afunda; Óleo=Afunda 
30 – P = 48096,92 Kgf/m² 
31 – Pa = 10280 Kgf/m² 
32 – h = 1,62 m 
33 – Pb-Pc = 0,81 Kgf/cm² 
34 – E = 2719,68684 Kgf e yp = 2,868m 
35 – a) 67,27 Kgf; b) Sim 
36 – H = 50 cm 
37 – a) EH = 1372 Kgf; EV = 2155,13 Kgf; b) E = 2554,79 Kgf; c) yp = 0,9333 m 
38 – b = 7,0m 
 
 
 
 
 
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Capítulo 3 - Hidrodinâmica 
É o estudo dos líquidos em movimento. A Cinemática dos Líquidos estuda o seu 
escoamento, sem considerar suas causas. 
 
3.1 - Generalidades 
3.1.1 – CONDUTOS HIDRÁULICOS: as tubulações podem ser projetadas e 
executadas para funcionarem como condutos livres ou condutos forçados: 
 
 
 CONDUTOS FORÇADOS: São aqueles onde as seções transversais são sempre 
fechadas e o fluido as preenche completamente. A pressão interna é diferente da 
atmosférica. O movimento pode efetuar-se em um ou outro sentido do conduto. 
Exemplos: 
 
 
 
 
 CONDUTOS LIVRES: São aqueles em que o líquido apresenta superfície livre 
sobre a qual se encontra a pressão atmosférica. A seção transversal, não tem 
necessariamente perímetro fechado e, quando isso ocorre, funciona parcialmente 
cheia. O movimento se faz sempre no sentido decrescente das cotas topográficas 
(por gravidade). 
Exemplos: 
 
Obs.: Neste semestre estudaremos somente o escoamento em condutos forçados , o 
estudo do escoamento nos condutos livres será visto na Hidráulica II. 
Pode-se distinguir tubo, tubulação, encanamento pelo uso prático dado a cada 
um: 
 TUBO: Uma só peça, geralmente cilíndrica e de comprimento limitado pelo 
tamanho de fabricação ou de transporte. Exemplos: tubos de ferro fundido, tubos de 
concreto, tubos de aço, tubos PVC, tubos de polietileno... 
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 TUBULAÇÃO: Conduto constituído de tubos (várias peças) ou tubulação 
contínua fabricada no local. É o termo usado também para o trecho de um aqueduto 
pronto e acabado. Sinônimos: canalização, encanamento, tubulagem. 
 REDE: é um conjunto de tubulações interligadas em várias direções. 
 
3.1.2 – VAZÃO DE DESCARGA ou VAZÃO DE ESCOAMENTO: 
Denomina-se Vazão de Descarga, numa determinada seção, o volume de líquido 
que atravessa essa seção, na unidade de tempo: Q = V/∆t. 
No sistema de unidades, a vazão (Q) é expressa em m3/s. Mas também pode ser 
expressa em unidades múltiplas, é comum empregar-se litros por segundo (L/s), ou em 
perfurações de poços em L/hora. 
A expressão da Vazão utilizada no escoamento de líquidos é: 
 
 
 
 
 
Onde: A = área da seção (m2); 
 v = velocidade do fluido (m/s); 
 
Essa expressão permite relacionar as dimensões da seção de escoamento com a 
velocidade e a vazão. 
 
3.1.3 - CLASSIFICAÇÃO DOS MOVIMENTOS: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 MOVIMENTO PERMANENTE: é aquele cujas características (densidade, vazão 
pressão) permanecem constantes para cada ponto e independem do tempo. No 
movimento permanente a vazão é sempre constante. 
O movimento permanente pode ser: 
 Movimento 
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� Movimento Permanente Uniforme: quando a velocidade média permanece 
constante e uniforme ao longo da corrente líquida. As seções transversais são 
iguais. Então: Q1 = Q2; A1 = A2; v1 = v2. 
 
� Movimento Permanente Não Uniforme: quando a velocidade não é constante. 
Pode ser: 
� Acelerado: se a seção diminuir e a velocidade aumentar. Então: Q1 = Q2; 
A1 > A2; v1 < v2. 
� Retardado: se a seção aumentar e a velocidade diminuir. Então: Q1 = Q2; 
A1 < A2; v1 > v2. 
 
 MOVIMENTO VARIADO (ou não-permanente): é aquele onde as características 
do líquido variam de instante em instante, em função do tempo, para cada ponto. 
Então: Q1 ≠ Q2; A1 ≠ A2; v1 ≠ v2. 
 
3.1.4 – LINHAS DE CORRENTE e TUBOS DE CORRENTE: 
 Em um líquido em movimento, considera-se LINHAS DE CORRENTE (ou Linhas 
de Fluxo), as linhas orientadas segundo a velocidade do líquido, e que possuem a 
propriedade de não serem atravessadas umas pelas outras, ou seja, elas não podem 
cortar-se. 
A Linha de Corrente é uma linha imaginária, tomada através do líquido, para 
indicar a direção da velocidade em diversos pontos. Em cada instante e em cada ponto, 
passa uma e somente uma linha de corrente. Então, considerando um conjunto de 
linhas de corrente, em cada instante, o líquido move-se sem atravessá-las. 
 Admitindo-se que o campo de velocidade v seja contínuo, formar-se-á, então, um 
TUBO DE CORRENTE, que não pode ser atravessado pelo líquido nesse instante, 
porque não há componente normal da velocidade (apenas existe a componente 
tangencial). “O Tubo de Corrente também é conhecido como ‘Veia Líquida”. Pode-se 
considerar um TUBO DE CORRENTE, como uma figura imaginária, limitada por linhas 
de corrente. A figura a seguir exemplifica: 
 
 
3.1.5 - REGIMES DE ESCOAMENTO: 
 Os regimes de escoamento levam em conta as trajetórias das partículas dos 
líquidos. A observação dos líquidos em movimento nos leva a distinguir dois tipos de 
escoamento: 
Representação de Linhas de Corrente e Tubos de Corrente: 
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 REGIME LAMINAR (tranquilo ou lamelar): As trajetórias das partículas em 
movimento são bem definidas e não se cruzam (são paralelas). É estável. 
Característico das baixas velocidades. 
Exemplo: óleos... 
 
 
 
 REGIME TURBULENTO (agitado ou hidráulico): Caracteriza-se pelo movimento 
desordenado das partículas (são curvilíneas e irregulares). Elas se entrecruzam 
formando uma série de minúsculos redemoinhos. A trajetória das partículas é 
errante, isto é, cuja previsão de traçado é impossível. Em cada ponto da corrente 
fluida, a velocidade varia em módulo, direção e sentido. Característico das altas 
velocidades. 
Exemplo: 
 
 
3.1.6 – NÚMERO DE REYNOLDS (Re): 
 Osborne Reynolds (1883) procurou observar o comportamento dos líquidos em 
escoamento. Após suas investigações teóricas e experimentais, trabalhando com 
diferentes diâmetros e temperaturas, concluiu que o melhor critério para se 
determinar o tipo de diâmetro em uma tubulação não se prende exclusivamente ao 
valor da velocidade, mas ao valor de uma expressão sem dimensões, na qual se 
considera, também, a viscosidade do líquido. 
 
 Equação do número de Reynolds: 
 
 
 
 
 
 
 
Então: o número de Reynolds é um parâmetro que leva emconsideração a velocidade 
entre o fluido e o material que o envolve, uma dimensão linear (o diâmetro, por 
exemplo) e a viscosidade cinemática do fluido. Qualquer que seja o sistema de 
unidades empregado, o valor de “Re” será o mesmo. 
 
Onde: 
Re = número de Reynolds (adimensional); 
v = velocidade do fluido (m/s); 
D = diâmetro da tubulação (m); 
ν = viscosidade cinemática (m2/s) - (tabela 
apresentada em anexo) 
 
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 Se Re ≤ 2000 – O Regime é LAMINAR, característico de fluidos com pouca 
velocidade, pequenos diâmetros ou grande viscosidade (ex.: óleos). 
 
 Se Re ≥ 4000 – O Regime é TURBULENTO, característico dos fluidos com 
maior velocidade, grandes diâmetros ou pequena viscosidade (ex.: água, álcool). 
Na prática, o movimento da água nas tubulações é SEMPRE TURBULENTO. 
 
 Se Re entre 2000 e 4000: encontra-se uma zona crítica, chamada zona de 
transição, na qual não se pode determinar com segurança a perda de carga nas 
tubulações (também, é muito raro de ocorrer). 
 
 
3.2 - EQUAÇÃO DA CONTINUIDADE – PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE MASSA: 
 
 A equação da continuidade traduz o PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DA 
MASSA NO SISTEMA. 
Admitindo-se que um líquido seja incompressível (Fluidos Perfeitos ou 
incompressíveis são aqueles onde se admite que não haja atrito, ou seja, não possuem 
viscosidade e nem coesão, e não há elasticidade, e que seu peso específico seja 
constante em todos os pontos), a quantidade de líquido que entra na seção (1) de um 
tubo de corrente é a mesma que sai na seção (2) do mesmo tubo, onde a água escoa 
horizontalmente (Q1 = Q2): 
 
Tem-se que a vazão em ambas as seções são iguais, e seu valor é dado por: 
 
 
 
 
 
 
Onde: 
Q = vazão (m3/s); v = velocidade média do escoamento (m/s); A = área da seção de 
escoamento (m2). 
“A Equação da Continuidade no escoamento permanente, é constante, 
considerada na unidade de tempo”, ou seja: “No escoamento permanente é constante o 
produto de cada seção transversal (A) do conduto, pela respectiva velocidade média 
(v) das partículas”. 
 
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3.3 – TEOREMA DE BERNOULLI – PRINCÍPIO DE CONSERVAÇÃO DE ENERGIA: 
Daniel Bernoulli (1700-1782): Matemático francês que obteve a primeira 
equação correlacionando energia cinética com potencial de pressão. 
“É constante a energia em um ponto qualquer da massa fluida em escoamento 
permanente, e ao longo de qualquer linha de corrente é constante a soma das alturas 
cinética (v2/2g), piezométrica (p/γ) e geométrica (z)”. 
O teorema de Bernoulli é o PRINCÍPIO DA CONSERVAÇÃO DE ENERGIA NO 
SISTEMA, cada um dos termos da equação representa uma forma de energia. 
 O teorema de Bernoulli fornece uma relação entre a posição das partículas, a 
pressão e a velocidade respectiva. A equação é aplicada a líquidos sujeitos à ação da 
gravidade em movimento permanente. Nessas condições: 
 
z + (p/γγγγ) + (v2/2g) = constante 
 
� Da Física, sabe-se que a Energia Cinética é dada por: Ec = ½ m . v2; 
� A relação entre o Peso (W) e a massa (m) é: m = W/g; 
� Logo, para a unidade de peso fluido (W=1) tem-se a massa: m = 1/g; 
 
Conclui-se que a energia cinética à unidade de peso do fluido é: 
Ec = ½ . 1/g. v2 = v2/2g (que é a parcela relativa ao movimento do fluido) 
 
 Representação Gráfica do Teorema de Bernoulli para os fluidos ideais, em um 
trecho de conduto hidráulico do tipo forçado: 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Significado das parcelas do Teorema de Bernoulli: 
=
γ
p
 
 
=
g
v
.2
2
 
 
Z = Carga ou energia de posição ou potencial (geométrica), em m. 
 
 
A Equação de Bernoulli é aplicável a todos os pontos da corrente. Então, 
aplicando-a nos pontos 1 e 2 da corrente líquida, podemos escrever: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Obs.: Se o fluido estiver em repouso (v = 0), a equação será a mesma da HIDROSTÁTICA. 
 
Denomina-se H o plano de carga total, que é a altura de um PLANO DE CARGA 
acima do plano de referência, e que pode ser determinado, em cada caso, conhecendo 
as três parcelas numa seção qualquer: 
 
Portanto: 
 
Seção 1: Seção 2: 
 
H
g
vp
Z =++
2
2
11
1 γ 
H
g
vp
Z =++
2
2
22
2 γ 
 
 
A equação do TEOREMA DE BERNOULLI é o ponto de partida da solução de 
quase todos os problemas do movimento dos líquidos em regime permanente. 
 
Na demonstração do Teorema de Bernoulli faz-se várias hipóteses: 
a) não se considera a viscosidade do líquido; 
b) o movimento é permanente ideal; 
Equação de Bernoulli: 
Carga ou Energia de pressão (piezométrica), em m; 
Carga ou Energia de velocidade ou dinâmica (cinética), em m. Força 
viva para o peso unitário; 
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68
c) o escoamento se dá ao longo de um tubo infinitesimal; 
d) o líquido é incompressível. 
 
Na prática isso não ocorre: introduz-se então à Equação de Bernoulli, uma perda 
por energia, ou seja, o termo corretivo hf. Porque, para deslocar-se do ponto 1 para o 
ponto 2, o escoamento do fluido ocorre com uma perda de energia (perda de carga), ou 
seja, a energia se dissipa sob forma de calor em conseqüência das forças de atrito 
(que será visto no próximo capítulo: PERDA DE CARGA). 
 
TUBO DE VENTURI: 
O tubo de Venturi consiste de uma tubulação cuja seção varia até um minímo e, 
novamente, volta a ter a mesma seção inicial. Este tipo de estrangulamento é 
denominado de garganta. A equação de Bernoulli aplicada entre as seções (1) e (2) na 
figura abaixo fornece : 
 
Como v2 > v1 , temos que P1 > P2 , pode-se avaliar a velocidade medindo-se a diferença 
de pressão entre as seções (1) e (2). Portanto, conhecendo-se as áreas da seções, 
pode-se medir a vazão com este dispositivo, pois pela equação da continuidade, temos : 
 
 
SIFÃO: 
Sifões são tubos, parcialmente forçados, conforme ilustração abaixo. Um sifão, para 
funcionar, deve estar inicialmente cheio de fluido líquido. Depois de cheio (escorvado) 
o fluido escoa-se devido ao desnível H1 entre o nível constante do reservatório (1) e o 
nível de saída (3). O ponto (2) é o vértice do sifão sendo denominado a parte superior 
do conduto como coroamento e a inferior como crista. 
 
 
 
 
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Lista de exercícios Hidrodinâmica 
 
1) Uma tubulação conduz 2400 litros de água por segundo. Desprezando as perdas de energia, 
determinar seu diâmetro para que a velocidade do líquido não ultrapasse 2 m/s. 
2) Em uma instalação hidráulica, precisa-se da vazão de escoamento de 650 L/s em uma 
tubulação de diâmetro 750 mm. Calcular a velocidade média do fluido nesta tubulação. 
3) Em certo projeto hidráulico de uma fábrica: (a) Estabelece-se como velocidade média do 
líquido, o valor máximo de 2 m/s. Escolhendo tubos com 600 mm de diâmetro, obter a vazão 
máxima em litros por segundo; (b) Num segundo ponto do projeto, o diâmetro da tubulação sofreu 
uma redução de 50% do valor inicial. Se a quantidade de líquido é a mesma nesta instalação 
hidráulica, qual a velocidade média neste segundo ponto? c) Qual o regime de escoamento deste 
fluido no final da tubulação, considerando sua viscosidade cinemática 6,5x10-7 m2/s? 
4) Em uma tubulação de 75 mm de diâmetro a vazão é 1281,3 mil litros de água por dia em 
movimento permanente. Sabendo que a pressão em um ponto do conduto é 1,23 Kgf/cm2, 
calcular o valor da energia total (H), desprezando as perdas de carga, e estando o plano de 
referência a 320 cm abaixo do ponto considerado. 
5) Um fluido escoa pelo trecho do conduto indicado na figura abaixo. A pressão em 1 é 1,87 
Kgf/cm2 e no ponto 2 é 0,35 Kgf/cm2. Desprezando as perdas de carga, calcular: a) a velocidade 
do fluido no ponto 2 sendo v1 = 0,9 m/s; b) em um outro momento, se a área da seção 2 for 50