Interferência e Difração - Física IV

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DESCRIÇÃO
A construção dos conceitos fundamentais e suas aplicações do fenômeno da interferência luminosa de fontes coerentes, a difração em fenda simples
e em fendas múltiplas, a rede de difração, a difração de raios X, a difração em orifícios circulares e a holografia.
PROPÓSITO
Os fenômenos físicos ondulatórios possuem propriedades típicas que os definem. São propriedades essenciais ondulatórias a refração e a reflexão, a
interferência, a difração e a polarização, no entanto, nem todas essas propriedades se apresentam em um mesmo fenômeno. Os fenômenos ópticos,
entendidos como fenômenos ondulatórios propagantes eletromagnéticos, apresentam todas essas propriedades. Neste tema, vamos compreender a
interferência, a difração e suas aplicações aos fenômenos luminosos.
PREPARAÇÃO
Antes de iniciar o conteúdo deste tema, tenha à mão papel, caneta e uma calculadora ou use a calculadora de seu smartphone/computador.
OBJETIVOS
MÓDULO 1
Aplicar a interferência e fontes coerentes, interferência de fendas duplas, interferência em películas finas e o interferômetro de Michelson
MÓDULO 2
Aplicar a difração de Fresnel e difração de Fraunhofer, intensidade na difração produzida por uma fenda simples e fendas duplas
MÓDULO 3Processing math: 43%
Aplicar a rede de difração, dispersão e poder de resolução, difração de raios X, orifícios circulares e holografia
 Espectro Eletromagnético.
A Eletrodinâmica clássica de Maxwell, com suas quatro Leis fundamentais da Natureza, nos deixou como legado a compreensão dos fenômenos
ondulatórios eletromagnéticos. 
As ondas eletromagnéticas livres apresentam um espectro contínuo de comprimentos de onda e frequências, incluídos os fenômenos luminosos
visíveis situados em uma pequena e estreita faixa do espectro. 
Esses fenômenos ondulatórios eletromagnéticos possuem propriedades características, como a Refração, a Reflexão, a Interferência, a Difração e a
Polarização. Essas propriedades são compreendidas atualmente como caracterizadoras de fenômenos ondulatórios. Se algumas dessas propriedades
ocorrer em determinado fenômeno físico, poderemos afirmar com segurança tratar-se de um fenômeno ondulatório. 
A verificação dessas propriedades ondulatórias foi a primeira prova experimental da validade da dualidade onda-partícula das ondas de matéria,
quando um feixe de elétrons incidindo sobre um anteparo apresentou as propriedades ondulatórias de Difração e Interferência, nos primórdios dos
estudos da Mecânica Quântica. 
Neste Tema, vamos estudar algumas propriedades clássicas ondulatórias eletromagnéticas dos fenômenos luminosos: a Interferência e a Difração.
Sem dúvida, poderíamos fazê-lo por meio das equações de Maxwell, no entanto, por razões didáticas e matemáticas, vamos seguir a abordagem
ondulatória baseada no Princípio de Huygens. Essencialmente trataremos a luz como onda eletromagnética propagante, e assim compreenderemos
suas propriedades ondulatórias. 
Bons estudos! 
INTERFERÊNCIA E DIFRAÇÃO EM FENÔMENOS ÓPTICOS
Processing math: 43%
MÓDULO 1
 Aplicar a interferência e fontes coerentes, interferência de fendas duplas, interferência em películas finas e o interferômetro de Michelson
INTERFERÊNCIA E FONTES COERENTES
INTERFERÊNCIA DE ONDAS PLANAS PROPAGANTES
Quando duas ou mais ondas de mesma classe (mecânicas, acústicas ou eletromagnéticas), com a mesma frequência, no mesmo meio de propagação
e que guardam entre si relações de fase constantes no tempo, superpõem-se, observaremos o fenômeno da interferência.
Considere duas soluções ondulatórias planas propagantes, de mesma classe, com a mesma frequência angular
ω
, e o mesmo número de onda
k
, entretanto, com amplitudes ondulatórias diferentes,
A1, A2,
e constantes de fase diferentes,
δ1, δ2,
porém, invariantes no tempo:
FREQUÊNCIA ANGULARProcessing math: 43%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
Ω
é o número de ciclos por unidade de tempo, com unidade (radianos/s).
NÚMERO DE ONDA
K
é um ciclo por seu comprimento, com unidade SI (radianos/m).
AMPLITUDES ONDULATÓRIAS
valor máximo da solução ondulatória.
CONSTANTES DE FASE
Δ
ou diferença de fase, descreve o angulo inicial de partida da função quando
x = 0
e
t = 0
.
Y1(X; T) = A1 COS KX - ΩT + Δ1
Y2(X; T) = A2 COS KX - ΩT + Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos recordar a relação entre a frequência angular
ω
e a frequência
( )
( )
Processing math: 43%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
f
de uma solução ondulatória, como:
Ω = 2ΠF
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
FREQUÊNCIA
F
é o número de oscilações por unidade de tempo, com unidade SI Hertz (Hz) ou
s − 1
Recordemos também a relação entre o número de onda
k
, e o comprimento de onda
λ :
NÚMERO DE ONDA
K
é um ciclo por seu comprimento, com unidade SI (radianos/m).
COMPRIMENTO DE ONDA
Λ :
comprimento de uma oscilação completa de
0
a
2π
radianos, com unidade SI Metro (m).
Processing math: 43%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
javascript:void(0)
K =
2Π
Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A velocidade de propagação ondulatória (em módulo), conhecida como velocidade de fase, é definida como:
V = 
Λ
T = ΛF =
Ω
K 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que a frequência
f
é o inverso do período de oscilação
T
,
PERÍODO DE OSCILAÇÃO
T
tempo de uma oscilação completa de
0
a
2π
radianos, com unidade SI Tempo (s).
F =
1
T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Processing math: 43%
javascript:void(0)
javascript:void(0)
 
Imagem: Pdornel/Wikipedia
 Onda Plana Propagante.
Ambas as soluções ondulatórias satisfazem a equação da onda unidimensional.
∂2Y1 , 2
∂ X2
 - 
K2
Ω2
 
∂2Y1 , 2
∂ T2
= 0
∂2Y1 , 2
∂ X2
 - 
1
V2
 
∂2Y1 , 2
∂ T2
= 0
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como as frequências e os números de onda são iguais, para
y1
e
y2
, ao somarmos as duas soluções ondulatórias, teremos uma terceira solução ondulatória
y3
com a mesma frequência angular
ω
e o mesmo número de onda
k
:
Y3(X; T) = Y1(X; T) + Y2(X; T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
DEMONSTRAÇÃO
Processing math: 43%
A solução ondulatória perturbada de interferência
y3
deverá ser representada com a mesma frequência angular
ω
e o mesmo número de onda
k
, porém, com amplitude ondulatória
A3
e constante de fase
δ3
, ou seja:
Y3(X; T) = A3 COS KX - ΩT + Δ3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como
y3
é a solução perturbada de interferência,
Y3(X; T) = Y1(X; T) + Y2(X; T)
Y3(X; T) = A1COS KX - ΩT + Δ1 + A2 COS KX - ΩT + Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos aplicar um pouco de álgebra trigonométrica com o cosseno da soma de dois ângulos:
 
Y3(X; T) = A1 COS( KX - ΩT)COS Δ1 + SEN( KX - ΩT)SEN Δ1 +
+ A2 COS( KX - ΩT)COS Δ2 + SEN( KX - ΩT)SEN Δ2 
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fatorando os termos para
cos( kx − ωt)
e
sen( kx − ωt)
, temos:
( )
( ) ( )
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
Processing math: 43%
 
Y3(X; T) = A1COS Δ1 + A2COS Δ2 COS( KX - ΩT) +
+ A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2 SEN( KX - ΩT)
 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Por outro lado, façamos o mesmo com
y3
:
Y3(X; T) = A3 COS KX - ΩT + Δ3
Y3(X; T) = A3 COS( KX - ΩT)COS Δ3 + SEN( KX - ΩT)SEN Δ3 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Agora, comparando os termos componentes para
cos( kx − ωt)
e
sen( kx − ωt)
, obtemos um sistema linear de equações:
A3COS Δ3 = A1COS Δ1 + A2COS Δ2
 
A3SEN Δ3 = A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2 
 Atenção! Para visualização completada equação utilize a rolagem horizontal
Vamos resolver o sistema de equações para
A3
e para
δ3 :
Elevando as equações ao quadrado e as somando, podemos usar a identidade trigonométrica:
COS2 Δ + SEN
2 Δ = 1
[ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( ) ]
( )
[ ( ) ( ) ]
{ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( ) ( )
Processing math: 43%
A23COS
2 Δ3 = A1COS Δ1 + A2COS Δ2 
2
 
A23SEN
2 Δ3 = A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2 
2
A23 COS
2 Δ3 + SEN2 Δ3 = A1COS Δ1 + A2COS Δ2 2 + A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2 2
A23 = A
2
1 COS
2 Δ1 + A
2
2COS
2 Δ2 + 2 A1A2COS Δ1 COS Δ2 +
+ A21 SEN
2 Δ1 + A
2
2 SEN
2 Δ2 + 2 A2A2 SEN Δ1 SEN Δ2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fatorando os termos comuns
cos2 δ1 + sen
2 δ1
e
cos2 δ2 + sen
2δ2
,
A23 = A
2
1 COS
2 Δ1 + SEN
2 Δ1 + A
2
2 COS
2 Δ2 + SEN
2 Δ2 + 2 A1A2COS Δ1 COS
+ 2 A2A2 SEN Δ1 SEN Δ2 
A23 = A
2
1 COS
2 Δ1 + SEN
2 Δ1 + A
2
2 COS
2 Δ2 + SEN
2 Δ2 + 2 A1A2COS Δ1 - Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
A3 = A
2
1 + A
2
2 + 2 A1A2COS Δ1 - Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Retornando ao sistema de equações:
{ ( ) [ ( ) ( ) ]( ) [ ( ) ( ) ]
[ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )]
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
[ ( ) ( )]
[ ( ) ]
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )
( ) ( )
[ ( ) ( ) ] [ ( ) ( ) ] ( )
√ ( )
Processing math: 43%
A3COS Δ3 = A1COS Δ1 + A2COS Δ2
 
A3SEN Δ3 = A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Pense em um triângulo com hipotenusa
A3
, ângulo
δ3
e catetos fornecidos pelos lados esquerdos das equações anteriores. A solução para
δ3
será obtida da
tg δ3 :
A3 SEN Δ3
A3 COS Δ3
=
A1SEN Δ1 + A2 SEN Δ2
A1COS Δ1 + A2 COS Δ2
TG Δ3 =
A1SEN Δ1 + A2SEN Δ2
A1COS Δ1 + A2COS Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E, portanto:
Δ3 = TG - 1
A1SEN Δ1 + A2 SEN Δ2
A1COS Δ1 + A2 COS Δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Repare que tanto
A3
como
δ3
são funções das amplitudes
{ ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( )
[ ( ) ( )( ) ( ) ]
Processing math: 43%
A1
,
A2
e das constantes de fase
δ1, δ2
das soluções ondulatórias superpostas que interferem.
Assim, demonstramos que:
Y3(X; T) = Y1(X; T) + Y2(X; T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E
Y3(X; T) = A3 COS KX - ΩT + Δ3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A solução perturbada de interferência é de mesma classe das soluções superpostas, com mesma frequência angular
ω
, mesmo número de onda
k
, e com amplitude
A3
e constante de fase
δ3
função de
A1, A2, δ1, δ2
.
BATIMENTOS DE ONDAS PLANAS
Consideremos duas ondas planas propagantes com a mesma amplitude
A
, constantes de fase iguais a zero, frequências angulares
ω1, ω2
e números de onda
k1, k2
, em valores próximos, porém, não iguais como no caso de interferência de duas ondas planas.
( )
Processing math: 43%
Y1(X; T) = A COS K1X - Ω1T
Y2(X; T) = A COS K2X - Ω2T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja, vamos considerar que
ω1 > ω2
,
k1 > k2
e definir:
ΔΩ = Ω1 - Ω2 ≪ 
-
Ω =
1
2 Ω1 + Ω2
ΔK = K1 - K ≪ 
-
K =
1
2 K1 + K2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ao efetuarmos a superposição destas soluções ondulatórias:
Y3(X; T) = Y1(X; T) + Y2(X; T)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Obteremos:
Y3(X; T) = A COS
-
K +
ΔK
2 X - 
-
Ω +
ΔΩ
2 T + COS
-
K -
ΔK
2 X - 
-
Ω -
ΔΩ
2 T 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com um pouco de álgebra, podemos obter:
Y3(X; T) = A(X; T) COS 
-
K X - 
-
Ω T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
( )
( )
( )
( )
{ [( ) ( ) ] [( ) ( ) ]}
( )
Processing math: 43%
A(X; T) = 2 ACOS
ΔK
2 X - 
ΔΩ
2 T
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: José Marcelo Gomes/Portal do professor
 Batimentos.
Note que, diferentemente da solução perturbada de interferência anterior, nesta superposição de duas ondas com frequências diferentes, mas, de
valores próximos, o fenômeno é diferente, produzindo o que chamaremos de batimentos.
 VOCÊ SABIA
Por essa razão, nossa pulsação cardíaca, resultado da superposição de duas ondas mecânicas produzidas pelos dois principais músculos cardíacos, é
chamada de batimento cardíaco.
INTERFERÊNCIA E FONTES COERENTES
O fenômeno da interferência luminosa foi demonstrado experimentalmente por Thomas Young, em 1801. Seus experimentos de interferência de
fenda dupla estabeleceram as bases empíricas para a descrição ondulatória dos fenômenos luminosos antes da formulação em bases matemáticas da
teoria eletromagnética de Maxwell, que explica a origem desse comportamento ondulatório. 
Um aspecto fundamental da experiência de interferência luminosa de Young, como vimos na superposição de duas soluções ondulatórias, é que
somente verificaremos o fenômeno da interferência, de forma estável, se as ondas forem coerentes.
 VOCÊ SABIA
Somente se as ondas superpostas tiverem a mesma frequência e invariância temporal das constantes de fase, experimentaremos a interferência.
Se providenciarmos a superposição de duas ondas com frequências diferentes, não verificaremos o fenômeno da interferência, e sim o da simples
superposição de ondas ou o fenômeno de batimentos, caso as frequências sejam próximas. Nesses casos, diremos que as ondas são incoerentes. 
Assim, o problema da coerência das ondas para o fenômeno da interferência, situa-se na fonte geradora dessas ondas. Devemos produzir ondas
coerentes para verificarmos a propriedade da interferência. Atualmente produzimos ondas luminosas correntes por meio do fenômeno laser.
LASER
Amplificação da luz por estimulação de radiação eletromagnética – é um dispositivo capaz de produzir radiação eletromagnética luminosa
monocromática, colimada e coerente, pois todos os fótons emitidos no feixe estão em fase, com o mesmo comprimento de onda.
( )
Processing math: 43%
javascript:void(0)
 
Imagem: Wikipedia/Domínio Público
 Laser.
Young concebeu um aparato experimental que garantisse que as ondas luminosas fossem coerentes. Para isso, utilizou o princípio de Christian
Huygens, de 1678.
PRINCÍPIO DE HUYGENS-FRESNEL
Todos os pontos que constituem uma frente de onda devem ser considerados como fontes puntiformes geradoras de ondas esféricas secundárias.
Após um tempo
t
, uma nova frente de onda será formada como uma superfície tangenciando essas ondas secundárias.
 
Imagem: Dn Br/ Shutterstock.com
 Princípio de Huygens-Fresnel.
Huygens buscava explicar a propagação ondulatória por meio de suas ondas secundárias em expansão.

Young percebeu que poderia utilizar esse princípio para gerar ondas coerentes a partir da difração luminosa - outro fenômeno ondulatório que
veremos à frente.
Young, ao utilizar luz solar incidente, iluminou um anteparo opaco contendo um único orifício, de maneira que a luz atravessasse o orifício
perpendicularmente ao anteparo. O orifício era tão pequeno que produzia ondas esféricas secundárias de Huygens. A onda luminosa gerada no
orifício, tão próxima quanto possível da definição conceitual de onda coerente, pois originava-se de uma única fonte, incidia sobre um segundo
anteparo opaco contendo dois orifícios, também muito pequenos. 
De cada um desses dois orifícios do segundo anteparo, ondas esféricas secundárias coerentes propagavam até um terceiro anteparo opaco, onde foi
verificado o fenômeno da interferência luminosa. Young, então, percebeu que surgiram raias de máximos de intensidade luminosa intercalados por
mínimos de intensidade luminosa. Um padrão de interferênciacom máximos e mínimos de luz, claros e escuros, que chamamos de franjas de
interferência luminosa.
Processing math: 43%
 
Imagem: Stannered/Wikimedia commons/licença(CC-BY-SA-3.0).
 Experimento da fenda dupla de Young.
 SAIBA MAIS
Essa experiência é chamada de experiência da fenda dupla de Young.
Repare que, no terceiro anteparo, à direita da figura, um padrão de máximos e mínimos de luz se formou. Exatamente em frente às fendas
temos um máximo central, ladeado por mínimos de interferência. A partir do máximo central, temos os máximos de interferência de ordem
m
. O segundo máximo, o terceiro máximo e assim por diante, acima e abaixo do máximo central. Os mínimos de interferência também são
ordenados por sua ordem
m
, o primeiro mínimo, o segundo mínimo e assim por diante.
 
Imagem: Peo~commonswiki/Wikimedia commons/licença(CC-BY-SA-3.0).
 Superposição de ondas na experiência de fenda dupla de Young.
 ATENÇÃO
Repare que as interseções das ondas secundárias formam linhas de nós, que resultam em máximos de interferência luminosa de ordem
m
.Processing math: 43%
Na figura a seguir, temos um aparato muito mais simplificado, que mostra o que são as raias de interferência luminosa, o padrão de
interferência, com seus máximos e mínimos de intensidade luminosa. No entanto, para reproduzi-lo, seria necessário o uso de luz coerente,
por exemplo obtido de um laser, no lugar da lanterna da figura.
 
Imagem: grayjay / Shutterstock.com
 Padrão de interferência de fenda dupla de Young.
É interessante notar que, como se trata de um fenômeno tipicamente ondulatório, podemos reproduzir a superposição de ondas em
interferência em qualquer outro fenômeno ondulatório como em um tanque de ondas líquidas, desde que as ondas sejam coerentes.
 VOCÊ SABIA
A experiência da fenda dupla de Young, de 1801, representou um marco na compreensão dos fenômenos luminosos ao estabelecer a
verificação experimental do fenômeno da interferência luminosa, característico dos fenômenos ondulatórios.
Até então, havia duas proposições para explicar os fenômenos luminosos.
Corpuscular
Abordagem tipicamente corpuscular, de partículas de luz, proposta por Newton entre os séculos XVII e XVIII. Essa abordagem era capaz de
explicar os fenômenos da óptica geométrica e, parcialmente, os fenômenos da reflexão e refração da luz. Essencialmente, os raios
luminosos deveriam seguir trajetórias retilíneas em um mesmo meio de propagação, típicas de partículas em movimento inercial.

Ondulatória
Abordagem ondulatória, proposta por Huygens, também no século XVII. Os fenômenos da reflexão e refração, além da propagação
luminosa, poderiam ser explicados por uma fenomenologia ondulatória.
POR MAIS DE UM SÉCULO, A ABORDAGEM VITORIOSA FOI A DE NEWTON, TALVEZ
POR SUA IMPORTÂNCIA NA CIÊNCIA DAQUELA ÉPOCA. NO ENTANTO, A
ABORDAGEM DE NEWTON NÃO É CAPAZ DE EXPLICAR OS FENÔMENOS DA
INTERFERÊNCIA, DIFRAÇÃO E POLARIZAÇÃO LUMINOSA. SOMENTE COM A
ABORDAGEM ONDULATÓRIA PODEMOS EXPLICAR ESSES FENÔMENOS, QUE
COSTUMAM SER CHAMADOS DE FENÔMENOS DA ÓPTICA FÍSICA, EM
CONTRAPOSIÇÃO À ÓPTICA GEOMÉTRICA.
As experiências e argumentos em favor das abordagens ondulatórias abaixo:
Processing math: 43%
FRANCESCO MARIA GRIMALDI (1618-1663)
Descoberta da difração luminosa.

CHRISTIAN HUYGENS (1629-1695)
Princípio de propagação das frentes de onda.

THOMAS YOUNG (1773-1829)
Experiência da fenda dupla

JEAN AUGUSTIN FRESNEL (1788-1827)
Generalização do princípio de Huygens para o fenômeno da difração luminosa e a experiência da fenda única, que veremos mais à frente.
Mostraram-se corretas, seja conceitual ou fenomenologicamente, como compreendemos a partir da formulação de Teoria Eletromagnética
de Maxwell de 1865.
 VOCÊ SABIA
A luz e toda radiação eletromagnética é um fenômeno ondulatório.
Essa compreensão está perfeitamente correta com a fenomenologia e os limites da teoria eletrodinâmica clássica. Entretanto, a mesma
discussão, se corpuscular ou ondulatória, ressurgiu com os fenômenos quânticos, no final do século XIX em diante. Vamos deixar essa
discussão para mais tarde. 
Agora, temos de compreender como se formam os máximos e mínimos de interferência luminosa na experiência da fenda dupla de Young, a
partir da análise do diagrama na figura a seguir.
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
Processing math: 43%
 Diagrama da experiência de fenda dupla de Young.
Dois raios luminosos,
r1
e
r2
, partem dos orifícios
S1
e
S2
, no anteparo
B
, e alcançam o ponto
P
, no anteparo
C
, com distância
D
entre os anteparos. Vamos considerar que os orifícios
S1
e
S2
têm, entre si, uma distância
d ≪ D
. O ponto
P
está a uma altura
y
, no anteparo
C
. Como
d ≪ D
, vamos considerar a aproximação em que o ângulo
θ
de inclinação entre os seguimentos de reta
¯
aP
e
¯
ao
seja o mesmo ângulo formado entre os seguimentos de reta
¯
S1S2Processing math: 43%
e
¯
S1b
. Essa aproximação somente valerá se
d ≪ D
e, assim, os raios
r1
e
r2
se aproximarão de retas paralelas.
De outra forma, podemos inserir uma lente convergente entre os dois anteparos
B
e
C
, de forma que o anteparo
C
esteja no plano focal da lente. No entanto, vamos continuar com a figura anterior e sua aproximação
d ≪ D
por razões didáticas de simplicidade.
 ATENÇÃO
Repare que os raios luminosos
r1
e
r2
estão em fase, pois suas fontes em
S1
e
S2
são coerentes, oriundas da mesma frente de onda à esquerda do anteparo
B
, e pelos argumentos já discutidos.
Entretanto, de acordo com a figura anterior,
r1
e
r2
têm percursos ópticos diferentes e essa diferença de percurso óptico fará com que os dois raios luminosos atinjam o ponto
P
com uma diferença de fase que dependerá do ângulo
θ
Processing math: 43%
de inclinação entre os seguimentos de reta
¯
aP
e
¯
ao
. Assim, o raio
r2
percorrerá um trajeto de tamanho equivalente a 
¯
S2b a mais que o raio luminoso
r1
.
Se a diferença de percurso óptico 
¯
S2b = d sen (θ) for igual a um múltiplo inteiro de comprimentos de onda
λ
, teremos uma condição de máximos de interferência no ponto
P
:
D SEN (Θ) = M Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com
m = 0, 1, 2, 3, …
. Ou seja, um máximo de interferência de ordem
m = 0
para o máximo central e máximos de interferência de ordem m para os demais máximos secundários simétricos a partir do máximo central.
Se a diferença de percurso óptico 
¯
S2b = d sen (θ) for igual a um múltiplo inteiro de comprimentos de onda,
λ
, mais meio comprimento de onda,
λ /2
, teremos uma condição de mínimos de interferência no ponto
P
:
D SEN (Θ) = M +
1
2 Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com
m = 0, 1, 2, 3, …
. Ou seja, mínimos de interferência de ordem m simétricos a partir do máximo central e entre cada dois máximos subsequentes.
( )
Processing math: 43%
INTENSIDADE LUMINOSA NA EXPERIÊNCIA DE FENDA DUPLA DE
YOUNG
Consideremos duas ondas luminosas monocromáticas (mesmo comprimento de onda), coerentes e de mesma amplitude, representativas de
seus campos elétricos originários das duas fendas de Young. Deixemos de lado, por ora, a direção de propagação e o caráter vetorial da
polarização desses campos. Vamos representar somente o comportamento funcional das ondas luminosas como funções do tempo:
E1 = E0 SEN ΩT
E2 = E0 SEN ΩT + Φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A onda perturbada de interferência
E
em um ponto
P
qualquer, será a superposição das ondas
E1
e
E2
:
E = E1 + E2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
E = EΘ SEN ΩT + Θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
EΘSEN(ΩT + Θ) = E0 SEN(ΩT) + E0 SEN ΩT + Φ
EΘ[SEN(ΩT)COS(Θ) + COS(ΩT)SEN(Θ)] =
( )
( )
( )
( )
Processing math: 43%
= E0 SEN(ΩT) + E0 [SEN(ΩT)COS(Φ) + COS(ΩT)SEN(Φ)]
 Atenção!Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fatorando os termos de
sen(ωt)
e de
cos(ωt)
, teremos um sistema de equações:
EΘCOSΘ = E0 1 + COS Φ
 
EΘSENΘ = E0 SEN Φ
 ⟹ 
 E 2ΘCOS
2Θ = E20 1 + COSΦ)
2
 
 E 2Θ SEN
2Θ = E20 SEN
2Φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Somando os termos elevados ao quadrado, temos:
 E 2Θ COS
2Θ + SEN2Θ = E20 1 + 2 COSΦ + COS
2Φ + SEN2Φ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aplicando a identidade trigonométrica
cos2θ + sen2θ = 1
e
cos2ϕ + sen2ϕ = 1
,
 E 2Θ = E
2
0 [2 + 2 COSΦ]
 EΘ = E0 (2 + 2 COS Φ)
1 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No entanto, outra identidade trigonométrica nos será útil:
COS2Β =
1
2 +
1
2 COS(2Β)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, se fizermos:
{ ( ) { (
[ ] [ ]
Processing math: 43%
Φ = 2Β
 (2 + 2 COS Φ)1 / 2 = 4
1
2 +
1
2 COS(2Β)
1 / 2
= 4 COS2Β 1 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
 (2 + 2 COS Φ)1 / 2 = 2 COSΒ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A amplitude da solução de interferência
E = Eθ sen (ωt + θ)
será:
 EΘ = 2 E0 COSΒ
 EΘ = 2 E0 COS
Φ
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E a diferença de fase será obtida do mesmo sistema anterior:
 EΘCOSΘ = E0 1 + COS Φ
 
 EΘSENΘ = E0 SEN Φ
 
TGΘ =
SENΦ
1 + COSΦ =
SEN ( 2Β ) 
1 + COS ( 2Β )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Novamente usando a identidade:
COS2Β =
1
2 +
1
2 COS(2Β)
[ ( )] ( )
( )
{ ( )
Processing math: 43%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E o seno da soma de dois ângulos, temos:
TGΘ =
SEN ( 2Β ) 
2 COS2Β
=
2 SEN ΒCOSΒ
2 COS2Β
=
SEN Β
COSΒ = TGΒ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ou seja:
Θ = Β =
Φ
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
E = EΘ SEN ΩT + Β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com amplitude:
 EΘ = 2 E0 COSΒ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A intensidade luminosa (brilho luminoso) é proporcional ao quadrado da amplitude da onda:
 IΘ ∝ E
2
Θ = 2 E0 COSΒ
2 = 4 E20 COS
2Β = 4 I0 COS2Β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
ESSE RESULTADO SIGNIFICA QUE A INTENSIDADE LUMINOSA DA ONDA DE
INTERFERÊNCIA VARIA DESDE ZERO, QUE CHAMAREMOS DE INTERFERÊNCIA
DESTRUTIVA, ATÉ QUATRO VEZES A INTENSIDADE DE UMA ÚNICA ONDA INDIVIDUAL
SUPERPOSTA, QUE CHAMAREMOS DE INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA.
No diagrama da experiência de fenda dupla, associamos a diferença de percurso óptico à diferença de fase, para obtermos as condições de
máximos e mínimos de interferência. Vamos obter de novo essas mesmas condições analiticamente:
DIFERENÇA DE FASE
2Π =
DIFERENÇA DE PERCURSO
Λ
( )
( )
Processing math: 43%
Φ =
2Π
Λ (D SEN Θ)
2Β =
2Π
Λ (D SEN Θ) ⟹ Β =
Π
Λ (D SEN Θ)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA
INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA
Os máximos de intensidade luminosa serão obtidos quando:
Β = M Π M = 0, 1, 2, 3, …
Β =
Π
Λ (D SEN Θ) = M Π ⟹ D SEN Θ = MΛ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTERFERÊNCIA DESTRUTIVA
Os mínimos de intensidade luminosa serão obtidos quando:
Β = M +
1
2 Π M = 0, 1, 2, 3, …
Β =
Π
Λ (D SEN Θ) = M +
1
2 Π ⟹ D SEN Θ = M +
1
2 Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O comportamento da intensidade luminosa da interferência de fenda dupla será:
 IΘ = 4 I0 COS
2Β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
( ) ( )
Processing math: 43%
O gráfico de
Iθ
a seguir está representado em múltiplos de
I0
na ordenada e como função de
β =
ϕ
2
na abcissa.
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Intensidade de fenda dupla (ideal).
A intensidade luminosa de uma única fonte ondulatória estaria limitada a 1, na escala representada na ordenada. Com duas fontes
incoerentes, teríamos a soma da intensidade de duas fontes ondulatórias e limitadas a 2, na escala representada na ordenada. No entanto,
com duas fontes coerentes, temos a interferência luminosa e a intensidade pode alcançar quatro vezes a intensidade de uma única fonte.
 ATENÇÃO
Essa é uma propriedade puramente ondulatória. Repare que, no gráfico, os máximos e mínimos de intensidade satisfazem nossas análises
até aqui. No entanto, cabe ressaltar que discutimos a experiência de fenda dupla de forma ideal.
Mais à frente daremos um tratamento envolvendo também o fenômeno da difração e os mesmos máximos de intensidade secundários terão
uma atenuação, a depender da ordem de difração.
INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS
 
Imagem: Here / Shutterstock.com
 Películas finas em bolhas de sabão.
Certamente, você já observou o espectro luminoso refletido em uma bolha de sabão, ou em uma mancha de óleo, com suas cores em
dégradé. Talvez você use óculos com propriedade antirreflexo ou tenha um veículo com película nos vidros. Estes são alguns exemplos e
aplicações da interferência em películas finas.
Processing math: 43%
Vamos considerar um aparato contendo três meios de propagação luminosa, com duas películas finas, como no diagrama esquemático a
seguir. Um raio luminoso
r
, propagando em um meio com índice de refração
n1
, incide sobre uma superfície perfeitamente plana de uma película fina com índice de refração
n2
. Parte da energia incidente é refletida, o raio luminoso
r1
e outra parte é transmitida, sendo refratada, satisfazendo ambas a Lei de Snell da reflexão e refração:
N1 SEN Θ1 = N2 SEN Θ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Películas finas.
O raio luminoso refratado no meio de propagação com índice de refração
n2
, será também refletido na superfície plana com índice de refração
n3
e, em seguida, refratado de volta ao meio com índice de refração
n1
, como esquematizado na figura anterior.
Por ora, vamos considerar que n1 < n2 e n1 = n3
 RESUMINDO
Uma película com índice de refração
n2
entre dois meios com índices de refração iguais a
n1
, o que nem sempre será o caso.Processing math: 43%
Um observador no meio
n1
, ao detectar os raios luminosos refletidos
r1
e
r2
, perceberá o fenômeno da Interferência luminosa, já que os raios luminosos são coerentes.
Entretanto, o raio refletido
r1
terá uma diferença de fase adicional, de
π
radianos,
180o
graus, por ter sido refletido sobre um meio de propagação com índice de refração n2 > n1.
Uma onda incidente, vinda de um meio de propagação com índice de refração
n1
, ao refletir sobre uma interface com outro meio de propagação mais refringente que o anterior, com índice de refração
n2
, em que
n2 > n1
, de forma geral mais denso que o anterior, adquire uma diferença de fase de
π
radianos. É a situação (b) na figura, representada com ondas unidimensionais.
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Reflexão entre diferentes meios de propagação.
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Reflexão entre diferentes meios de propagação.
Por outro lado, uma onda incidente vinda de um meio de propagação com índice de refraçãoProcessing math: 43%
n1
, ao refletir sobre uma interface com outro meio de propagação menos refringente do que o anterior, com índice de refração
n2
, em que n2 < n1, de forma geral menos denso do que o anterior, não altera sua diferença de fase.
É a situação (a) na figura, que ilustra esquematicamenteo fenômeno da reflexão sobre uma interface entre dois meios de propagação
diferentes e a consequente aquisição, ou não, de diferenças de fase na reflexão.
Assim, considerando n1 < n2 e
n1 = n3
, ao detectar os dois raios luminosos refletidos
r1
e
r2
, o observador verificará que existe, entre eles, uma diferença de fase de
π
radianos.
Além disso, os comprimentos de onda em cada meio de propagação,
λn
, são alterados, comparativamente aos comprimentos de onda no vácuo,
λ
, pois a velocidade de propagação ondulatória difere em cada meio,
vn
, quando comparamos com a velocidade da luz no vácuo,
c
. As frequências não são alteradas por mudança de meio de propagação.
ΛN = Λ 
VN
C =
Λ
N
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Considerando que as películas finas são suficientemente delgadas de tal forma que os raios luminosos, dentro das películas, seguem
trajetos aproximadamente iguais a
2d
, podemos modelar condições de máximos e mínimos de interferência luminosa para as películas finas.
 ATENÇÃO
A diferença de percurso óptico e a diferença de fase devem ser compatíveis com máximos e mínimos de intensidade luminosa.
Para os máximos de intensidade na interferência luminosa, como um dos raios que se superpõem possui uma diferença de fase de
π
radianos, a diferença de percurso óptico, para comprimento de onda,
λnProcessing math: 43%
, em cada meio, deve satisfazer:
2D = M +
1
2 ΛN
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÁXIMOS DE INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS
MÍNIMOS DE INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS
MÁXIMOS DE INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS
Teremos máximos de interferência em películas finas quando:
2DN = M +
1
2 Λ , M = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÍNIMOS DE INTERFERÊNCIA EM PELÍCULAS FINAS
Para os mínimos de interferência em películas finas, a condição será:
2DN = M Λ , M = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Lembrando que consideramos que o raio luminoso r incide de um meio menos refringente para um meio mais refringente, n1 < n2, alterando
sua diferença de fase na reflexão, e que o raio transmitido e refratado segue de um meio mais refringente para um meio menos refringente, 
n2 > n1, não alterando sua diferença de fase na reflexão.
 ATENÇÃO
Ao mudarmos essas relações entre os meios de propagação,
n1
,
n2
,
n3
etc., as equações das condições de interferência construtiva e destrutiva em películas finas será alterada. Então, as equações anteriores
dependem das condições do problema, não sendo permanentes.
( )
( )
Processing math: 43%
INTERFERÔMETRO DE MICHELSON
Diferentemente dos fenômenos mecânicos newtonianos clássicos, que são invariantes por transformações de Galileo, os fenômenos
eletromagnéticos não o são. As equações de Maxwell são modificadas por transformações de Galileo.
TRANSFORMAÇÕES DE GALILEO
Um conjunto de transformações entre referenciais inerciais.
As equações de Maxwell preveem a existência das ondas eletromagnéticas que se propagam à velocidade constante da luz,
independentemente da energia da onda ou do pulso eletromagnético. A velocidade da luz, que é evidenciada nas equações de onda, não
depende da frequência desta, mas somente do meio material de propagação e de seu índice de refração.
 VOCÊ SABIA
No século XIX, acreditava-se, com base no conhecimento da Mecânica Clássica, que todo fenômeno ondulatório necessitava de um meio de
propagação, como ondas mecânicas necessitam de um meio mecânico de propagação.
Assim, acreditava-se que as ondas eletromagnéticas deveriam propagar em um meio eletromagnético específico, chamado de éter, com
propriedades muito peculiares:
SEM MASSA
Deveria ser sem massa, pois observava-se que as ondas eletromagnéticas também se propagavam no vácuo.
TER PROPRIEDADES ELÁSTICAS
Deveria ter propriedades elásticas, para manter as propriedades vibratórias eletromagnéticas.
A alternativa ao éter seria aceitar que as ondas eletromagnéticas pudessem se propagar sem um meio eletromagnético de propagação. 
Acreditava-se, portanto, que as ondas eletromagnéticas de Maxwell deveriam propagar-se com velocidade constante em relação ao éter,
como ondas sonoras que se propagam com velocidade constante no ar. Assim, as equações de Maxwell deveriam ser válidas somente em
referenciais de repouso com relação ao éter, que chamavam de referencial do éter.
A VELOCIDADE DA LUZ PREVISTA NAS EQUAÇÕES DE MAXWELL, CONCORDAVA
COM AS MEDIDAS EXPERIMENTAIS DE FIZEAU (1849). NO ENTANTO, AO SE ALTERAR
O REFERENCIAL INERCIAL, VIA TRANSFORMAÇÕES DE GALILEO, AS EQUAÇÕES DE
MAXWELL SE MODIFICAVAM, O QUE ALTERAVA A FORMA DAS EQUAÇÕES DE ONDA
E A PREVISÃO DA VELOCIDADE DA LUZ, O QUE NÃO CONCORDAVA COM A
EXPERIÊNCIA.
A simples adição de velocidades, típica da observação de fenômenos mecânicos, não funcionava com os fenômenos experimentais
eletromagnéticos. 
A física do século XIX era baseada em três pilares fundamentais:
Processing math: 43%
javascript:void(0)
I
Leis de Newton;
II
Equações de Maxwell;
III
Transformações de Galileo.
Todos os fenômenos mecânicos eram equivalentes por transformações de Galileo, no entanto, os fenômenos eletromagnéticos previstos
nas equações de Maxwell e a constância da velocidade da luz somente seriam válidos no referencial do éter.
A EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY, DE 1887, REPRESENTOU UM PONTO DE
VIRADA NA CONCEPÇÃO DO ÉTER, AINDA QUE NÃO IMEDIATAMENTE.
Eles idealizaram um aparato experimental para medir a existência e a velocidade do éter em relação à velocidade da Terra. A hipótese de
partida era que o éter estivesse em repouso em relação ao centro de massa do sistema solar ou em relação ao centro de massa do
universo. 
O objetivo era medir a velocidade da luz observada de um referencial fixo em relação à Terra em duas direções perpendiculares. Então,
construíram um interferômetro, de eixos perpendiculares, com linhas de reflexão e superposição óptica.
 DICA
O padrão de interferência construtiva ou destrutiva dos raios luminosos daria a reposta do que buscavam.
Se a Terra e o interferômetro estivessem em um éter com certa velocidade em relação ao suposto éter, ao girar o interferômetro deveria ser
possível observar uma interferência destrutiva, indicando a direção do vetor velocidade do éter. 
No entanto, mesmo repetindo o experimento de diversas maneiras diferentes, nunca observaram essa direção. A velocidade da luz era a
mesma em qualquer direção que observassem, nas duas direções perpendiculares e em qualquer época do ano, mesmo supondo um
sistema de referência que se move em relação ao éter.
O RESULTADO NEGATIVO DA EXPERIÊNCIA DE MICHELSON-MORLEY ENSEJOU TRÊS
HIPÓTESES, MAS TODAS FORAM SUPERADAS COM O TEMPO. A RESPOSTA ACEITA
ATUALMENTE É A DA NÃO EXISTÊNCIA DO ÉTER, COMO ERA PROPOSTO, E QUE A
VELOCIDADE DA LUZ É UMA CONSTANTE UNIVERSAL.
Na verdade, atualmente, creditamos a Michelson-Morley a base empírica dos fundamentos relativísticos, apesar de que eles continuaram a
acreditar na ideia do éter, e o próprio Einstein ter afirmado não se basear nessa experiência para propor sua relatividade especial.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE DUAS FUNÇÕES ONDULATÓRIAS PROPAGANTES PLANAS REPRESENTADAS NO ESPAÇO
COMPLEXO:
Y1(X; T) = A1 E
I ( KX - ΩT )
Y2(X; T) = A2 E
I ( KX - ΩT )Processing math: 43%
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUE AS AMPLITUDES COMPLEXAS A1 E A2 SÃO REPRESENTADAS EM TERMOS DAS AMPLITUDES REAIS
A1
,
A2
, E DAS CONSTANTES DE FASE REAIS Δ1 , Δ2 :
A1 = A1EI Δ1
A2 = A2E
I Δ2
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
CALCULE A SOLUÇÃO PERTURBADA DE INTERFERÊNCIA:
Y3(X; T) = Y1(X; T) + Y2(X; T)
Y3(X; T) = A3 E
I ( KX - ΩT )
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
EM QUEA3 = A3E
I Δ3 E EXPRESSE A AMPLITUDE REAL
A3
E A CONSTANTE DE FASE REAL Δ3 COMO FUNÇÃO DE
A1
,
A2
, Δ1, Δ2.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DAS EQUAÇÕES ABAIXO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) A3 = A
2
1 + A
2
2 + 2 A1A2sen δ1 - δ2 ; δ3 = tg
- 1
A1sen δ1 + A2 sen δ2
A1cos δ1 + A2 cos δ2
B) A3 = A
2
1 + A
2
2 + 2 A1A2cos δ1 - δ2 ; δ3 = tg
- 1
A1sen δ1 + A2 sen δ2
A1cos δ1 + A2 cos δ2
C) A3 = A
2
1 + A
2
2 + 2 A1A2cos δ1 - δ2 ; δ3 = tg
- 1
A1cos δ1 + A2 cos δ2
A1sen δ1 + A2 sen δ2
D) A3 = 2A
 
1 ; δ3 = tg
- 1
sen δ1
cos δ1
E) A3 = A
2
1 + A
2
2 + 2 A1A2 ; δ3 = tg
- 1
A1sen δ1 + A2 sen δ1
A1cos δ1 + A2 cos δ1
2. CONSIDERE UM APARATO DE FENDA DUPLA DE YOUNG ILUMINADO POR UMA FRENTE DE ONDA DE LUZ
MONOCROMÁTICA E COERENTE, COM COMPRIMENTO DE ONDA DE LUZ VERDE, Λ = 5.460 Å. A DISTÂNCIA ENTRE
AS FENDAS É DE
0, 10MM
E O ANTEPARO, ONDE SE OBSERVA O PADRÃO DE INTERFERÊNCIA, ESTÁ A
√ ( ) [ ( ) ( )( ) ( ) ]
√ ( ) [ ( ) ( )( ) ( ) ]
√ ( ) [ ( ) ( )( ) ( ) ]
[ ( )( ) ]
√ [ ( ) ( )( ) ( ) ]
Processing math: 43%
20CM
DAS DUAS FENDAS. CALCULE O ÂNGULO DE INCLINAÇÃO Θ, DE LOCALIZAÇÃO DO DÉCIMO MÁXIMO DE
INTERFERÊNCIA, SEM CONTAR O MÁXIMO CENTRAL. CONSIDERE QUE 1 Å ANGSTROM = 10 - 10M
A) θ = 3 ,13o
B) θ = 3 ,8o
C) θ = 0 ,0546
D) θ = 31 ,3o
E) θ = 38o
3. CONSIDERE QUE, EM UMA EXPERIÊNCIA LABORATORIAL, UM FEIXE DE LUZ MONOCROMÁTICO E COERENTE,
PROVENIENTE DE UM LASER, INCIDA SOBRE O PLANO DE UM ANTEPARO DE FENDA DUPLA DE YOUNG, DE
LARGURA
D
ENTRE AS FENDAS, FAZENDO UM ÂNGULO
Β
COM A DIREÇÃO NORMAL AO PLANO DAS FENDAS. OBTENHA, RESPECTIVAMENTE, AS EXPRESSÕES DAS
CONDIÇÕES DE MÁXIMOS E DE MÍNIMO DE INTERFERÊNCIA LUMINOSA, NESSA EXPERIÊNCIA, PARA ORDENS 
M = 0, 1, 2, 3, …
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) d [sen (θ)] = m λ ; d [sen (θ)] = m +
1
2 λ 
B) d [sen ( β)] = m λ ; d [sen ( β)] = m +
1
2 λ 
C) d [sen (θ)] = m λ ; d [sen ( β)] = m +
1
2 λ 
D) d [sen (θ) + sen ( β)] = m λ ; d [sen (θ) + sen ( β)] = m +
1
2 λ 
E) d [sen (θ). sen ( β)] = m λ ; d [sen (θ). sen ( β)] = m +
1
2 λ 
4. UMA PELÍCULA FINA DE ÁGUA, IMERSA NO AR, COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO
N = 1, 33
, POSSUI UMA ESPESSURA D = 3.200 Å. UM RAIO LUMINOSO, VINDO NO MEIO AR ATMOSFÉRICO, INCIDE SOBRE
A PELÍCULA PERPENDICULARMENTE À SUA SUPERFÍCIE. SE O RAIO INCIDENTE FOR COMPOSTO POR LUZ
BRANCA, QUE COMPRIMENTOS DE ONDA SERÃO VISÍVEIS NA REFLEXÃO SOBRE A PELÍCULA?
A) λ = 17.024 Å
B) λ = 8.512 Å
C) λ = 4.256 Å
D) λ = 3.404 Å
E) λ = 5.675 Å
( )
( )
( )
( )
( )
( )
Processing math: 43%
5. CONSIDERE O PROBLEMA DE UMA PELÍCULA FINA QUE RECOBRE UMA LENTE DE VIDRO PARA CORREÇÃO
VISUAL. VAMOS, AINDA, CONSIDERAR QUE, TANTO A PELÍCULA, COMO A LENTE DE VIDRO SEJAM PLANAS. A
PELÍCULA TEM A FUNÇÃO DE REDUZIR AS REFLEXÕES LUMINOSAS SOBRE A SUPERFÍCIE DA LENTE. TEMOS
TRÊS MEIOS DE PROPAGAÇÃO LUMINOSA: O AR, COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO ATRIBUÍDO
N1 = 1, 0
. A PELÍCULA COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO
N2 = 1, 38.
A LENTE DE VIDRO, COM ÍNDICE DE REFRAÇÃO
N2 = 1, 50
. CALCULE A ESPESSURA DA PELÍCULA,
D
, NECESSÁRIA PARA ELIMINAR A REFLEXÃO DOS RAIOS LUMINOSOS COM COMPRIMENTO DE ONDA MÉDIO DO
ESPECTRO DA LUZ VISÍVEL, Λ = 5. 500 Å.
A) d ≅ 1.000 Å
B) d ≅ 1.300 Å
C) d ≅ 1.500 Å
D) d ≅ 1.800 Å
E) d ≅ 2.000 Å
6. OS ANÉIS DE NEWTON SÃO FIGURAS DE INTERFERÊNCIA DE PELÍCULAS FINAS QUE SURGEM QUANDO UMA
LENTE PLANO-CONVEXA DE VIDRO, POR EXEMPLO, COM RAIO DE CURVATURA
R
, É APOIADA COM SUA FACE CURVA SOBRE UMA PLACA PLANA DE VIDRO, TAMBÉM TOMADO COMO EXEMPLO,
COMO NA FIGURA. A FACE PLANA DA LENTE É ILUMINADA COM LUZ MONOCROMÁTICA DE COMPRIMENTO DE
ONDA
Λ
. AS FRANJAS DE INTERFERÊNCIA FORMAM ANÉIS BEM DEFINIDOS. A PEQUENA DISTÂNCIA
D
, EM VERMELHO NA FIGURA, REPRESENTA A ESPESSURA DA PELÍCULA DE AR QUE VARIA COM A GEOMETRIA
DO PROBLEMA. CONSIDERANDO A DISTÂNCIA RADIAL
R
, DO EIXO VERTICAL DA LENTE COM A SUPERFÍCIE CURVA DA LENTE, COMO OS RAIOS DOS ANÉIS DE
INTERFERÊNCIA, CALCULE O RAIO DOS ANÉIS DE INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA.
Processing math: 43%
 ANÉIS DE NEWTON.
 ANÉIS DE NEWTON (PADRÃO DE INTERFERÊNCIA).
A) r = √m λ R , m = 0, 1, 2, …
B) r = m -
1
2 λ R , m = 0, 1, 2, …
C) r = m +
1
2
λ
R , m = 0, 1, 2, …
D) r = m +
1
2
R
λ , m = 0, 1, 2, …
E) r = m +
1
2 λ R , m = 0, 1, 2, …
GABARITO
1. Considere duas funções ondulatórias propagantes planas representadas no espaço complexo:
Y1(x; t) = A1 e
i ( kx - ωt )
Y2(x; t) = A2 ei ( kx - ωt )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que as amplitudes complexas A1 e A2 são representadas em termos das amplitudes reais
A1
,
√( )
√( )
√( )
√( )
Processing math: 43%
A2
, e das constantes de fase reais δ1 , δ2 :
A1 = A1e
i δ1
A2 = A2ei δ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Calcule a solução perturbada de interferência:
Y3(x; t) = Y1(x; t) + Y2(x; t)
Y3(x; t) = A3 e
i ( kx - ωt )
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que A3 = A3e
i δ3 e expresse a amplitude real
A3
e a constante de fase real δ3 como função de
A1
,
A2
, δ1, δ2.
 Atenção! Para visualização completa das equações abaixo utilize a rolagem horizontal
A alternativa "B " está correta.
Assista ao vídeo para conferir a resolução da questão.
INTERFERÊNCIA DE ONDAS PLANAS EM REPRESENTAÇÃO
COMPLEXA.
2. Considere um aparato de fenda dupla de Young iluminado por uma frente de onda de luz monocromática e coerente, com comprimento de
onda de luz verde, λ = 5.460 Å. A distância entre as fendas é de
0, 10mm
e o anteparo, onde se observa o padrão de interferência, está a
20cm
das duas fendas. Calcule o ângulo de inclinação θ, de localização do décimo máximo de interferência, sem contar o máximo central.
Considere que 1 Å Angstrom = 10 - 10m
A alternativa "A " está correta.
A condição de máximo de interferência de fenda dupla de Young é dada por:
d sen (θ) = m λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então, aplicando
m = 10
( )
Processing math: 43%
, temos:
sen (θ) =
m λ
d =
10 5 .460 X 10 - 10m
0 ,10 X 10 - 3m
= 0 ,0546
θ = 3,13o
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
3. Considere que, em uma experiência laboratorial, um feixe de luz monocromático e coerente, proveniente de um laser, incida sobre o plano
de um anteparo de fenda dupla de Young, de largura
d
entre as fendas, fazendo um ângulo
β
com a direção normal ao plano das fendas. Obtenha, respectivamente, as expressões das condições de máximos e de mínimo de
interferência luminosa, nessa experiência, para ordens m = 0, 1, 2, 3, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "D " está correta.
Nesta experiência, a única diferença com a experiência de fenda dupla de Young tradicional é que a diferença de percurso óptico entre os
raios luminosos será a soma de duas contribuições. Uma contribuição proveniente do lado esquerdo do anteparo das fendas, e a outra,
usual, proveniente do lado direito do anteparo das fendas.
 Diagrama de fenda dupla com ângulo
β
de inclinação.
Assim, se a diferença de percurso óptico total [d sen (θ) + d sen (β)] for igual a um múltiplo inteiro de comprimentos de onda,
λ
, teremos uma condição de máximos de interferência para o padrão de interferência:
[d sen (θ) + d sen (β)] = m λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com m = 0, 1, 2, 3, …. Ou seja, um máximo de interferência de ordem
m = 0
para o máximo central e máximos de interferência de ordem m para os demais máximos secundários simétricos a partir do máximo central.
Se a diferença de percurso óptico [d sen (θ) + d sen (β)] for igual a um múltiplo inteiro de comprimentos de onda,
λ
, mais meio comprimentode onda,
λ /2
( )
( )
Processing math: 43%
, teremos uma condição de mínimos de interferência para o padrão de interferência:
[d sen (θ) + d sen (β)] = m +
1
2 λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com m = 0, 1, 2, 3, …. Ou seja, mínimos de interferência de ordem m simétricos a partir do máximo central e entre cada dois máximos
subsequentes.
4. Uma película fina de água, imersa no ar, com índice de refração
n = 1, 33
, possui uma espessura d = 3.200 Å. Um raio luminoso, vindo no meio ar atmosférico, incide sobre a película perpendicularmente à sua
superfície. Se o raio incidente for composto por luz branca, que comprimentos de onda serão visíveis na reflexão sobre a película?
A alternativa "E " está correta.
Película fina com índice de refração
n2
imersa em outro meio com índice de refração
n1
, sendo
n2 > n1
. Raio incidente vindo do meio
n1
. Então, as condições de máximos e de mínimos de interferência serão, respectivamente:
Máximos:
2dn = m +
1
2 λ , m = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Mínimos:
2dn = mλ , m = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, para os máximos:
λ =
2dn
m +
1
2
=
2 ( 3.200 Å ) 1,33
m +
1
2
=
8.512 Å
m +
1
2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E para os mínimos:
λ =
8.512 Å
m
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
m 0 (max. ) 1 (min. ) 1 (max. ) 2 (min. ) 2 (min. )
λ 17.024 Å 8.512 Å 5.675 Å 4.256 Å 3.404 Å
 Atenção! Para visualização completa da tabela utilize a rolagem horizontal
Portanto, dos comprimentos de onda calculados dos máximos e mínimos de intensidade no problema, somente λ = 5. 675 Å corresponde a
um máximo do espectro visível da luz.
5. Considere o problema de uma película fina que recobre uma lente de vidro para correção visual. Vamos, ainda, considerar que, tanto a
película, como a lente de vidro sejam planas. A película tem a função de reduzir as reflexões luminosas sobre a superfície da lente. Temos
( )
( )
( ) ( ) ( )
Processing math: 43%
três meios de propagação luminosa: o ar, com índice de refração atribuído
n1 = 1, 0
. A película com índice de refração
n2 = 1, 38.
A lente de vidro, com índice de refração
n2 = 1, 50
. Calcule a espessura da película,
d
, necessária para eliminar a reflexão dos raios luminosos com comprimento de onda médio do espectro da luz visível, λ = 5. 500 Å.
A alternativa "A " está correta.
Os raios luminosos refletem tanto na superfície da película como no vidro, para produzirem um padrão de interferência luminosa no
observador. Como n1 < n2 < n3, não haverá, nesse caso, uma diferença de fase entre os raios refletidos, pois todos os raios refletidos
nessas duas superfícies adquirem uma diferença de fase de
π
radianos e, assim, estarão em fase. No entanto, as condições de máximos e mínimos dependerá da diferença de percurso óptico na película.
Portanto, para os máximos de interferência, teremos:
2dn = mλ , m = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E para os mínimos de interferência, teremos:
2dn = m +
1
2 λ , m = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
O primeiro mínimo ocorre para
m = 0
, logo
d =
m +
1
2
2 n λ =
λ
4 n =
5.500Å
4 ( 1,38 ) = 996,38 Å ≅ 1.000 Å
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
6. Os anéis de Newton são figuras de interferência de películas finas que surgem quando uma lente plano-convexa de vidro, por exemplo,
com raio de curvatura
R
, é apoiada com sua face curva sobre uma placa plana de vidro, também tomado como exemplo, como na figura. A face plana da lente é
iluminada com luz monocromática de comprimento de onda
λ
. As franjas de interferência formam anéis bem definidos. A pequena distância
d
, em vermelho na figura, representa a espessura da película de Ar que varia com a geometria do problema. Considerando a distância radial
r
, do eixo vertical da lente com a superfície curva da lente, como os raios dos anéis de interferência, calcule o raio dos anéis de interferência
construtiva.
( )
( )
Processing math: 43%
 Anéis de Newton.
 Anéis de Newton (padrão de interferência).
A alternativa "E " está correta.
A interferência de películas finas ocorre com a película de ar entre as peças de vidro. O raio refletido sobre a placa de vidro plana adquire
uma diferença de fase de π radianos, comparado ao raio refletido na superfície curva inferior da lente. Assim, convencionando o índice de
refração do ar n=1, a condição de máximos de interferência será:
2d = m +
1
2 λ , m = 0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que
d
é a espessura da película. Aproximando essa espessura para:
d = R - √R2 - r2 = R - R 1 - rR
2 1 / 2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que √R2 - r2 é a distância vertical até a linha r, indicada na figura. Considerando r≪R, podemos expandir em série o termo em raiz
quadrada anterior.
d=R-R 1-12rR2+…≅r22R
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto, substituindo em:
2d=m+12λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
( )
[ ( ) ]
Processing math: 43%
Temos:
2 r22R=m+12λ
r=m+12λ R , m=0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
GABARITO
TEORIA NA PRÁTICA
Uma fonte de luz monocromática emite uma frente de onda de comprimento de onda \lambda que incide, da esquerda para a direita, sobre
um anteparo opaco contendo uma única fenda. Disposto paralelamente ao primeiro anteparo, há um segundo anteparo opaco muito distante
e localizado à direita do primeiro.
Na região entre os dois anteparos, há um espelho plano ideal, perpendicularmente aos dois anteparos, localizado a uma altura h abaixo do
orifício do primeiro anteparo. Obtenha a condição para franjas de brilho máximo e mínimo sobre o segundo anteparo, em função do
comprimento de onda \lambda, da altura h e do ângulo de inclinação \theta que os raios luminosos fazem até os pontos sobre o segundo
anteparo.
Também responda se surgem franjas sobre o segundo anteparo na região acima do espelho, abaixo do espelho ou em ambos os lados.
RESOLUÇÃO
Assista ao vídeo para entender melhor.
EXPERIÊNCIA DE FENDA DUPLA COM IMAGEM REFLETIDA.
O problema é equivalente à experiência de fenda dupla de Young, em que o segundo orifício se encontra virtualmente no espelho, que, por
meio de reflexões, corresponderá à segunda fonte luminosa de Young. No entanto, devemos lembrar que os raios luminosos oriundos do
orifício virtual são, na verdade, reflexões no espelho plano. Por isso, adquirem uma diferença de fase adicional de \pi radianos.
Portanto, a diferença de percurso óptico ∆r será:
∆r=2h sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os máximos de interferência deverão satisfazer:
∆r=m+12λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim:
2h sen θ=m+12λ , m=0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os mínimos de interferência deverão satisfazer:
∆r=m λProcessing math: 43%
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
2h sen θ=m λ , m=0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
VERIFICANDO O APRENDIZADO
1. EM UMA EXPERIÊNCIA DE INTERFERÊNCIA LUMINOSA COM DUAS FONTES, SABE-SE QUE O CAMPO ELÉTRICO
EM UM PONTO P DO ANTEPARO É A SUPERPOSIÇÃO DOS CAMPOS E1= E0SEN (ΩT) E E2=5E0SEN (ΩT+Φ). SE O
CAMPO DE INTERFERÊNCIAFOR ER=EMSEN (ΩT+Β), OBTENHA A AMPLITUDE E_M E A DIFERENÇA DE FASE
\BETA, EM FUNÇÃO DE E_0 E \PHI.
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) Em=E026+10 cosϕ1/2 , β=arctg 5 senϕ1+5 cosϕ
B) Em=E026-10 senϕ1/2 , β=arctg 5 senϕ1-5 cosϕ
C) Em=E026+10 cosϕ , β=arctg 5 cosϕ1+5 senϕ
D) Em=E010+26 cosϕ1/2 , β=arctg 5 cosϕ1+5 senϕ
E) Em=E026-10 cosϕ1/2 , β=tg 5 senϕ1+5 cosϕ
2. EM UMA EXPERIÊNCIA DE YOUNG DE FENDA DUPLA, A DISTÂNCIA ENTRE AS FENDAS É D=3,0 MM E A
DISTÂNCIA DO ANTEPARO ONDE SE FORMAM AS FRANJAS DE INTERFERÊNCIA É X=1,0 M. DOIS PADRÕES DE
INTERFERÊNCIA SÃO VISÍVEIS NO ANTEPARO, UM FORMADO POR LUZ COM COMPRIMENTO DE ONDA Λ1=5.000 Å
E OUTRO FORMADO POR LUZ COM Λ2=6.000 Å. CALCULE A DISTÂNCIA, ΔY, DE SEPARAÇÃO NO ANTEPARO
ENTRE AS FRANJAS DE INTERFERÊNCIA CONSTRUTIVA DE TERCEIRA ORDEM (M=3) DOS DOIS PADRÕES
FORMADOS.
A) Δy=0,6 mm
B) Δy=0,5 mm
C) Δy=0,3 mm
D) Δy=0,2 mm
E) Δy=0,1 mm
GABARITO
1. Em uma experiência de interferência luminosa com duas fontes, sabe-se que o campo elétrico em um ponto P do anteparo é a
superposição dos campos E1= E0sen (ωt) e E2=5E0sen (ωt+ϕ). Se o campo de interferência for ER=Emsen (ωt+β), obtenha a amplitude E_m
e a diferença de fase \beta, em função de E_0 e \phi.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A alternativa "A " está correta.
 
E1=E0 sen(ωt) E2=5E0 sen(ωt+ϕ)
ER=E1+E2
ER=Em sen(ωt+β)
Processing math: 43%
ER=E0 sen(ωt)+5E0sen(ωt+ϕ)
ER=E0senωt+5 senωtcosϕ+5senϕcosωt
ER=E0senωt(1+5 cosϕ)+5senϕcos(ωt)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém:
ER=Em senωtcosβ+senβcos(ωt)
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Fatorando termos de sen ωt e de cos (ωt), nas duas equações anteriores, obtemos um sistema de equações:
Em cosβ=E0(1+5 cosϕ) Emsenβ=E0 5 senϕ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Elevando ao quadrado e identificando identidades:
Em2 cos2β+sen2β=E02 (1+5 cosϕ)2+25sen2ϕ
Em2=E02 1+10cosϕ+25cos2ϕ+25sen2ϕ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
Em=E0(26+10cosϕ)1/2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A diferença de fase \beta será obtida calculando tgβ no sistema de equações:
tgβ=5 sen ϕ1+5cosϕ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
 β=arctg5 senϕ1+5cosϕ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Em uma experiência de Young de fenda dupla, a distância entre as fendas é d=3,0 mm e a distância do anteparo onde se formam as franjas
de interferência é x=1,0 m. Dois padrões de interferência são visíveis no anteparo, um formado por luz com comprimento de onda λ1=5.000 Å
e outro formado por luz com λ2=6.000 Å. Calcule a distância, Δy, de separação no anteparo entre as franjas de interferência construtiva de
terceira ordem (m=3) dos dois padrões formados.
A alternativa "E " está correta.
 
A condição de máximos de interferência de fenda dupla é:
d sen θ=m λ , m=0, 1, 2, …
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Vamos calcular a altura y no anteparo para cada padrão na ordem m=3 e obter, ao final, a diferença Δy. Para isso, calcula-se o ângulo de
inclinação com sen θ. Em seguida, como tg θ=yx obtemos y para cada comprimento de onda.
Então, para:
λ1=5.000 Å=5.000 X 10-10 m
d=3,0 X 10-3 m
m=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d sen θ=m λ
3,0 X 10-3 m sen θ1=3 (5.000 X 10-10 m)
sen θ1=0,0005
Processing math: 43%
tg θ1=yx≅0,0005
y1=1,0 m 0,0005=0,0005 m=0,5 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Da mesma maneira, para:
λ2=6.000 Å=6.000 X 10-10 m
d=3,0 X 10-3 m
m=3
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
d sen θ=m λ
3,0 X 10-3 m sen θ2=3 (6.000 X 10-10 m)
sen θ2=0,0006
tg θ2=yx≅0,0006
y2=1,0 m 0,0006=0,0006 m=0,6 mm
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Portanto:
Δy=y2-y1=0,6-0,5=0,1 mm 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
MÓDULO 2
 Aplicar a difração de Fresnel e difração de Fraunhofer, intensidade na difração produzida por uma fenda simples e fendas duplas
DIFRAÇÃO DE FRAUNHOFER DE FENDAS SIMPLES E DUPLAS
Processing math: 43%
 
Imagem: RWBrooks/ Shutterstock.com
 Difração de ondas do mar.
Difração é uma das propriedades fundamentais dos fenômenos ondulatórios. É a habilidade de todo fenômeno ondulatório de desviar sua
direção de propagação original ao se deparar com um obstáculo, uma borda ou uma fenda.
 VOCÊ SABIA
Todas as ondas difratam, desde as ondas mecânicas, ondas em fluidos ou ondas eletromagnéticas.
Repare, na figura anterior, como ondas no mar contornam as bordas do litoral ou os obstáculos, alcançando direções de propagação
diferentes das direções originais.
Podemos explicar a fenomenologia da difração usando o princípio de Huygens-Fresnel, de propagação ondulatória por meio de ondas
secundárias. Quanto mais próximas são as dimensões das bordas ou das fendas, ao comprimento de onda incidente \lambda, maior será o
grau de dispersão da difração, o ângulo máximo de difração.
 
Imagem: VectorMine/ Shutterstock.com
 Dispersão de ondas difratadas.
Considere a seguinte experiência: coloca-se uma fonte de luz em um ponto qualquer arbitrário. À sua frente, colocamos um anteparo, de tal
forma que possamos detectar sombras nele. Coloquemos um corpo macroscópico diante da luz, entre a fonte e o anteparo. Certamente,
veremos uma sombra projetada no anteparo devido à interrupção da luz que é bloqueada diante do corpo sólido. Para descrever esse fato,
podemos usar a óptica geométrica e a representação por raios de luz. 
Processing math: 43%
Vamos repetir a experiência, mas, desta vez, vamos utilizar um fio de cabelo esticado diante da luz. Ao tentarmos observar a sombra
formada do fio de cabelo, entre a fonte e o anteparo, não conseguiremos ver a sombra projetada nele. Por que não? Somos obrigados a
abandonar a representação de raios de luz e a óptica geométrica em favor da descrição ondulatória da luz, quando tivermos obstáculos,
bordas e fendas. 
Você já deve ter presenciado um pequeno orifício em uma cortina que, iluminada pelo sol, produz um feixe em forma de cone que se alarga
formando um grande disco em sua frente de onda. O efeito da difração é visível iluminando uma área bem maior do que a área do orifício.
Veja, na figura a seguir, outro exemplo com ondas do mar.
 
Imagem: Roberto Lo Savio/ Shutterstock.com
 Difração em uma fenda.
O fenômeno aplica-se a qualquer onda, mesmo sonora, quando bordas de portas fazem o som contorná-la e nos encontrar, mesmo que não
haja reflexão em qualquer parede. Ou, no caso eletromagnético, em telecomunicações, quando um obstáculo pode ser contornado por um
sinal eletromagnético até nos alcançar. 
Quando realizamos uma experiência semelhante com ondas eletromagnéticas, incidindo sobre uma fenda única, vemos surgir um padrão de
claros e escuros, máximo e mínimos de intensidade luminosa, característicos da difração da luz.
 ATENÇÃO
Esse padrão de difração, apesar de muito semelhante ao padrão de interferência de fenda dupla de Young, não deve ser confundido com
este.
Na figura a seguir, vemos um padrão de difração, com seus máximos e mínimos de intensidade luminosa, quando luz monocromática incide
sobre uma fenda única.
 
Imagem: Fouad A. Saad/ Shutterstock.com
 Difração em fenda única.
Processing math: 43%
DIFRAÇÃO DE FENDA ÚNICA DE FRESNEL E FRAUNHOFER
 
Imagem: jkrieger/Wikimedia commons/licença(CC-BY-SA-3.0).
 Difração de Fresnel em fenda única.
Jean Augustin Fresnel (1788-1827) realizou a experiência de fenda única da figura anterior, com frentes de ondas de luzmonocromática.
Cada ponto que compõe a frente de onda, que incide a fenda, é uma fonte de ondas secundária de Huygens, representadas pelos raios
luminosos na figura.
 DICA
A fenda tem largura d. Quanto mais próxima for a largura da fenda, d, do comprimento de onda da luz incidente, \lambda, maior será a
dispersão da difração.
Consideremos que a distância L do anteparo seja muito maior do que d. Essa relação nos permitirá a aproximação da difração de
Fraunhofer, em que uma lente convergente é inserida para colimar a luz depois da fenda e fazer com que os raios sejam paralelos. Então,
vamos continuar com a experiência de Fresnel de fenda única, com essa aproximação, L\gg d.
Se dividirmos a fenda em duas metades, ao identificar dois raios luminosos, um superior e outro na metade da fenda, que atinjam um ponto,
P, no anteparo, com uma diferença de percurso óptico igual \lambda/2, eles estarão defasados e contribuirão com um mínimo luminoso de
difração.
A CADA DOIS RAIOS QUAISQUER DISTANTES D/2, NA FENDA, QUE TENHAM A
MESMA DIFERENÇA DE PERCURSO \LAMBDA/2, CONTRIBUIRÃO COM UM PONTO DE
MÍNIMO DE DIFRAÇÃO.
D2SEN Θ=Λ2 ⟹ D SEN Θ=Λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Se repetirmos o processo e dividirmos a largura da fenda por 4, 6, 8, etc., obteremos:
d4sen θ=λ2 ⟹ d sen θ=2λ
d6sen θ=λ2 ⟹ d sen θ=3λ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Assim, por indução, temos a equação da condição de mínimos de difração:Processing math: 43%
d sen θ=mλ , m=1, 2, 3…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Ainda, considerando que entre dois mínimos adjacentes haverá um máximo, temos a equação aproximada da condição de máximos de
difração:
d sen θ=m+12λ , m=1, 2, 3…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
INTENSIDADE NA DIFRAÇÃO PRODUZIDA POR UMA FENDA
SIMPLES
DEMONSTRAÇÃO
Vamos considerar que a frente de onda incidente possa ser subdividida em múltiplos pontos de Huygens, na fenda. Cada ponto espaçado
igualmente contribuirá com uma diferença de fase na superposição de contribuições ondulatórias no ponto P no anteparo. No centro do
anteparo, \theta=0, essa diferença de fase será nula e teremos um máximo de difração.
 ATENÇÃO
À medida que o ângulo \theta aumentar, a diferença de fase variará e teremos máximos e mínimos.
Podemos representar as diversas contribuições ondulatórias que se superpõem por fasores, quantidades diagramáticas que representam
funções ondulatórias coerentes com amplitudes e diferença de fase diferentes. Neste caso, as amplitudes serão iguais a E_0 e as
inclinações dos fasores representam sua diferença de fase \delta\phi. A superposição das amplitudes fasoriais será E_\theta, que dependerá
da posição angular \theta do ponto P, e seu valor máximo será E_m. Além disso, a diferença de fase total \phi=\sum\delta\phi.
No máximo central da figura anterior, temos uma soma fasorial:
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Diagrama fasorial do máximo central.
No primeiro mínimo de difração da figura da difração de fenda única, temos uma soma fasorial:
Processing math: 43%
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Diagrama fasorial do primeiro mínimo.
Para uma superposição de N fasores em P com diferença de fase \phi, temos:
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Diagrama fasorial para E_\theta.
Em um ponto P com posição angular \theta, o diagrama fasorial da superposição dos N fasores é um arco de circunferência de raio R e
ângulo de diferença de fase resultante \phi, que é igual à diferença de fase entre os raios dos cantos superior e inferior da fenda.
O COMPRIMENTO DO ARCO, E_M, É A AMPLITUDE DA SUPERPOSIÇÃO NO MÁXIMO
CENTRAL.
Portanto, o arco de circunferência é:
Em=R ϕ ⟹ R=Emϕ 
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Além disso:
Eθ=2 R senϕ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Eθ=2 Emϕ senϕ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como no diagrama:Processing math: 43%
α=ϕ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Temos:
Eθ=Emsenαα
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A intensidade luminosa I_\theta é proporcional ao quadrado de E_\theta, no ponto P, onde I_m=E_m^2:
Iθ=Imsen αα2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Os mínimos de intensidade luminosa devem satisfazer I_\theta=0, ou seja:
α=m π , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Como:
diferença de fase2π=diferença de percursoλ
ϕ=2πλ d sen θ ⟹ α=ϕ2=πλ d sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
α=πλ d sen θ=m π
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo, a condição de mínimos de difração de fenda simples é:
d sen θ=m λ , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Reparou que é a mesma equação já obtida antes, por outro método?
Assim, na difração de fenda simples:
Eθ=Emsenαα
Iθ=Imsen αα2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
α=ϕ2=πλ d sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A DEPENDER DA RELAÇÃO D/\LAMBDA, TEREMOS UMA DISTRIBUIÇÃO DIFERENTE
DA INTENSIDADE I_\THETA, TENDO MAIOR OU MENOR LARGURA DO MÁXIMO
CENTRAL.
A seguir, um gráfico de uma típica distribuição da intensidade luminosa da difração de fenda simples:
Processing math: 43%
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Intensidade luminosa de fenda simples.
DIFRAÇÃO EM FENDAS DUPLAS
Quando estudamos o problema da interferência de fenda dupla de Young, consideramos idealmente que a largura das fendas (a\ll\lambda)
fosse tal que o padrão de interferência pudesse ser observado em todo o anteparo com máximos e mínimos descritos pela intensidade
luminosa:
 Iθ, int.= Im, int. cos2β
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
 Im, int.=4 I0.
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
E:
β=πλ d sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 ATENÇÃO
Repare que não há, na equação de, {\ I}_{\theta,\ int.}, nenhuma atenuação da amplitude máxima possível.
No entanto, na distribuição da intensidade luminosa da difração de fenda simples, a intensidade luminosa apresenta evidente atenuação
típica:
Iθ, dif.=Im, dif.sen αα2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Em que:
α=πλ a sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
 COMENTÁRIO
Alteramos a nomenclatura da largura de fenda para a, para não conflitar com a distância entre fendas d.
Ou seja, quando realizamos a experiência da fenda dupla de Young com largura de fendas compatíveis com o comprimento de onda
incidente (a~λ), o comportamento da difração fica evidente pela envoltória da sua intensidade. Então, verificaremos o comportamento da
intensidade de fenda dupla com uma envoltória da intensidade de fenda simples.
Processing math: 43%
Assim, a intensidade luminosa de uma típica experiência de fenda dupla com largura de fenda comparável ao comprimento de onda
incidente, será o resultado da composição dos dois fenômenos:
 IΘ= IM COS2Β SEN ΑΑ2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A distribuição do espectro de energia luminosa fica a cargo do fenômeno da interferência (fator de interferência) e a distribuição das
proporções de intensidade de energia, a cargo do fenômeno da difração (fator de difração). No gráfico a seguir, como exemplo,estão
plotadas as duas curvas para evidenciar o comportamento dos dois fenômenos:
 
Imagem: Gentil Oliveira Pires
 Intensidade luminosa de fenda dupla (real).
Se levarmos a zero os coeficientes \alpha e \beta, por meio de a=0 e d=0, anularemos as contribuições dos fatores correspondentes de
difração e interferência e reobteremos os comportamentos anteriores, respectivamente, sem difração com largura de fenda a\ll\lambda, e
sem interferência com a distância das fendas igual a zero e, portanto, uma única fenda.
MÃO NA MASSA
1. CONSIDERE UMA FENDA ÚNICA DE LARGURA A. SE ILUMINARMOS A FENDA COM LUZ BRANCA, QUAL SERÁ A
LARGURA DESSA FENDA A, DE MODO QUE O PRIMEIRO MÍNIMO DE DIFRAÇÃO DA LUZ VERMELHA, DE
COMPRIMENTO DE ONDA Λ=6.500 Å, OCORRA EM Θ=300?
A) a=6.500 Å
B) a=7.500 Å
C) a=8.500 Å
D) a=13.000 Å
E) a=195.000 Å
2. CONSIDERE UMA FENDA ÚNICA DE LARGURA A. SE ILUMINARMOS A FENDA COM LUZ BRANCA, QUAL SERÁ O
COMPRIMENTO DE ONDA, Λ, DO PRIMEIRO MÁXIMO DE DIFRAÇÃO DE MODO QUE COINCIDA COM O PRIMEIRO
MÍNIMO DE DIFRAÇÃO DA LUZ VERMELHA, DE COMPRIMENTO DE ONDA ΛVERMELHO=6.500 Å, E OCORRA EM
Θ=300?
A) λ=4.333 Å
B) λ=5.300 Å
C) λ=6.040 Å
Processing math: 43%
D) λ=6.500 Å
E) λ=5.500 Å
3. OBTENHA A EXPRESSÃO DA INTENSIDADE LUMINOSA DOS MÁXIMOS DE DIFRAÇÃO DE ORDEM M A PARTIR
DA EXPRESSÃO PARA AS INTENSIDADES DE DIFRAÇÃO DE FENDA SIMPLES E CONHECENDO A AMPLITUDE
MÁXIMA DA INTENSIDADE IM.
A) Iθ=0
B) Iθ= Im
C) Iθ=Im1m+12π2
D) Iθ=Im1m+12π 
E) Iθ=Imsen m πm π2
4. CONSIDERE O ESPECTRO DE INTENSIDADE DE FENDA DUPLA A SEGUIR, EM QUE SE VERIFICA UMA
DISTRIBUIÇÃO DE INTERFERÊNCIA COM AMPLITUDE MODELADA PELA DIFRAÇÃO. O QUE OCORRERIA SE
AUMENTÁSSEMOS OU DIMINUÍSSEMOS A LARGURA DAS FENDAS E A DISTÂNCIA ENTRE AS FENDAS NA
EXPERIÊNCIA QUE GEROU ESSE ESPECTRO DE INTENSIDADES?
 INTENSIDADE LUMINOSA DE FENDA DUPLA (REAL).
A) Diminuir a → diminuição da largura do máximo central de difração.
A) Aumentar a → aumento da largura do máximo central de difração.
A) Aumentar d → aproximação das franjas de interferência.
A) Diminuir d → afastamento das franjas de interferência.
B) Aumentar a → diminuição da largura do máximo central de difração.
B) Diminuir a → aumento da largura do máximo central de difração.
B) Diminuir d → aproximação das franjas de interferência.
B) Aumentar d → afastamento das franjas de interferência.
C) Aumentar a → diminuição da largura do máximo central de difração.
C) Diminuir a → aumento da largura do máximo central de difração.
C) Aumentar d → aproximação das franjas de interferência.
C) Diminuir d → afastamento das franjas de interferência.
D) Aumentar d → diminuição da largura do máximo central de difração.
D) Diminuir a → aumento da largura do máximo central de difração.
D) Aumentar a → aproximação das franjas de interferência.
D) Diminuir d → afastamento das franjas de interferência.Processing math: 43%
E) Aumentar a → diminuição da largura do máximo central de difração.
E) Diminuir d → aumento da largura do máximo central de difração.
E) Aumentar d → aproximação das franjas de interferência.
E) Diminuir a → afastamento das franjas de interferência.
5. CONSIDERE QUE, EM UMA EXPERIÊNCIA LABORATORIAL, UM FEIXE DE LUZ MONOCROMÁTICO E COERENTE,
PROVENIENTE DE UM LASER, INCIDA SOBRE O PLANO DE UM ANTEPARO DE UMA FENDA SIMPLES DE
FRAUNHOFER, DE LARGURA A, FAZENDO UM ÂNGULO \BETA COM A DIREÇÃO NORMAL AO PLANO DA FENDA.
OBTENHA, A EXPRESSÃO DA CONDIÇÃO DE MÍNIMOS DE DIFRAÇÃO NESSA EXPERIÊNCIA PARA ORDENS
M=1, 2, 3, …
 ATENÇÃO! PARA VISUALIZAÇÃO COMPLETA DA EQUAÇÃO UTILIZE A ROLAGEM HORIZONTAL
A) a sen θ=m+12 λ 
B) a sen β=m λ
C) a sen θ=m λ
D) a sen θ+sen β=m λ
E) a sen θ+sen β=m+12 λ 
6. QUAL É A RELAÇÃO Β/Α ADEQUADA, NA EXPERIÊNCIA DE FENDA DUPLA QUE CONTENHA EM SEU ESPECTRO
DE INTENSIDADES UM FATOR DE DIFRAÇÃO E DE INTERFERÊNCIA, COM LARGURA DE FENDAS A E SEPARAÇÃO
ENTRE ELAS D, PARA QUE O MÁXIMO CENTRAL DE DIFRAÇÃO CONTENHA ONZE FRANJAS DE INTERFERÊNCIA?
A) βα=da=6
B) βα=da=0
C) βα=da=1
D) βα=da=211
E) βα=da=112
GABARITO
1. Considere uma fenda única de largura a. Se iluminarmos a fenda com luz branca, qual será a largura dessa fenda a, de modo que o
primeiro mínimo de difração da luz vermelha, de comprimento de onda λ=6.500 Å, ocorra em θ=300?
A alternativa "D " está correta.
A condição de mínimo de difração é:
a sen θ=m λ , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No primeiro mínimo, m=1. Aplicando os dados, λ=6.500 Å e θ=300. Temos:
a= m λsen θ=(1)( 6.500 Å)sen 300=13.000 Å
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
2. Considere uma fenda única de largura a. Se iluminarmos a fenda com luz branca, qual será o comprimento de onda, λ, do primeiro
máximo de difração de modo que coincida com o primeiro mínimo de difração da luz vermelha, de comprimento de onda λvermelho=6.500 Å,
e ocorra em θ=300?
A alternativa "A " está correta.
A condição de máximo de difração é, aproximadamente:
Processing math: 43%
a sen θ=m+12 λ , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A condição de mínimo de difração é:
a sen θ=m λ , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
A posição angular e a largura da fenda são as mesmas no primeiro mínimo vermelho (λvermelho) e no primeiro máximo de λ. Assim,
substituindo o termo comum de uma equação na outra:
m+12 λ=m λvermelho
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
No primeiro máximo e no primeiro mínimo, m=1. Como, λvermelho=6.500 Å, temos:
1,5 λ= 6.500 Å ⟹ λ=4.333 Å
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Que corresponde à luz violeta.
3. Obtenha a expressão da intensidade luminosa dos máximos de difração de ordem m a partir da expressão para as intensidades de
difração de fenda simples e conhecendo a amplitude máxima da intensidade Im.
A alternativa "C " está correta.
A intensidade da difração de fenda simples é:
Iθ=Imsen αα2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Com máximos de difração em:
α=m+12π , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Logo:
Iθ=Imsen m+12πm+12π2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Porém:
sen m+12π2=1 , m=1, 2, 3,…
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Então:
Iθ=Im1m+12π2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
4. Considere o espectro de intensidade de fenda dupla a seguir, em que se verifica uma distribuição de interferência com amplitude
modelada pela difração. O que ocorreria se aumentássemos ou diminuíssemos a largura das fendas e a distância entre as fendas na
experiência que gerou esse espectro de intensidades?
 Intensidade luminosa de fenda dupla (real).Processing math: 43%
A alternativa "C " está correta.
 Iθ= Im cos2β sen αα2
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
α=πλ a sen θ
β=πλ d sen θ
 Atenção! Para visualização completa da equação utilize a rolagem horizontal
Aumentar a largura, a, das fendas alterará o espectro de difração, diminuindo a largura do máximo central de difração.
Diminuir a largura, a, das fendas alterará o espectro de difração, aumentando a largura do máximo central de difração.
Aumentar a distância entre as fendas, d, alterará o espectro de interferência, aumentando o número de franjas de interferência, pela
aproximação destas, dentro de cada envoltória de difração.
Diminuir a distância entre as fendas, d, alterará o espectro de interferência, diminuindo o número de franjas de interferência, pelo
afastamento destas, dentro de cada envoltória de difração.
Ou seja,
Aumentar a → diminuição da largura do máximo