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14/03/2022 11:55 ele_maq_II_u1_s2_wa
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A aplicação de cálculos de engrenagens é muito comum nos dias de hoje, pois praticamente todo
equipamento mecânico que tem um controle de velocidade com torque, normalmente usa um conjunto
ou mais de pares de engrenagens, em virtude da alta eficiência e baixo custo, quando comparado com
outras tecnologias. Para uma visão mais abrangente, encontramos estes sistemas em automóveis, que
chamamos de transmissão manual ou mesmo transmissão automática. 
Portanto, vamos conhecer as equações de cálculos para as engrenagens cilíndricas de dentes retos e
helicoidais com foco nas características geométricas, flexão e durabilidade superficial dos dentes,
equações sobre tensões e resistência, e claro sobre o dimensionamento das mesmas. 
Caraterísticas Geométricas 
Uma das exigências básicas para a geometria dos dentes de engrenagem é que se desenvolva uma
relação de velocidades angulares que seja constante. 
Devemos lembrar que existem as imprecisões dos processos de fabricação e as deformações que
causarão ligeiros desvios na relação de velocidades, porém os perfis para a geometria dos dentes são
baseados em curvas teóricas que atendem este critério, onde denominamos de ação conjugada de um
par de dentes de engrenagens. 
Estas curvas teóricas, na grande maioria dos casos são chamadas de perfil de involuta (curva que se faz
sobre a superfície tangente de outra curva e intercepta ortogonalmente as retas geradoras) ou perfil de
evolvente, baseados na teoria de cames, a razão de velocidades é mantida. 
Toda a característica geométrica dos dentes de engrenagens retos e helicoidais tem como referência
o perfil de evolvente, mas vale lembrar que existem outros tipos de perfis, para casos especiais de
fabricação e como são muito pouco utilizados vamos manter nosso foco nos perfis de evolventes. 
Equação de Flexão de Lewis 
A aplicação desta equação será visando uma análise sobre flexão. A falha por flexão ocorrerá quando a
tensão significativa do dente ( ) for igual ou exceder à resistência ao escoamento ou ao limite de
resistência à fadiga por flexão. Também vamos simplificar as análises somente para dentes com
profundidade nominal (sem correções) e um único ângulo de pressão. 
σ
Assim, temos duas formas de apresentar a equação de Lewis, sendo a equação a seguir, no sistema
métrico: 
σ =
Kv⋅W
t
F⋅m⋅Y
Y = 2⋅x⋅P3
Elementos de Máquinas II 
Equações para cálculos de Engrenagens cilíndricas de dentes retos e Engrenagens cilíndricas helicoidais 
Unidade 1 - Seção 2 
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A equação de Lewis, para passo diametral é: 
σ =
Kv⋅W
t
⋅P
F⋅Y
Onde: 
 = tensão de flexão [MPa] 
 = Força tangencial [N] 
F = largura da face [mm] 
m = módulo 
Y= fator de forma de Lewis 
Onde: 
P = passo diametral 
 e para t e - expressos em [mm] 
 = fatores de velocidades
σ
W
t
x = t
2
l
l
Kv
Durabilidade Super�cial 
Agora vamos ver a questão de falhas na superfície do dente de engrenagens, que de forma geral
chamamos de desgaste. Da mesma forma que vimos em flexão, agora a falha por desgaste
superficial ( chamada de tensão superficial de compressão) também ocorrerá quando for igual ou
maior do que a resistência à fadiga superficial (a fadiga superficial aparece em função da deflexão da
superfície quando em contato com o outro dente e sobre tensão). 
Assim podemos apresentar a equação que foi deduzida e adaptada da teoria de Hertz, sendo: 
σc = −Cp[ ⋅ ( + )]
Kv⋅W
t
F.cosϕ
1
r1
1
r2
1
2
Onde: 
 = ângulo de pressão em graus , e são respectivamente as relações
geométricas para engrenagem menor e maior 
 diâmetro primitivo da engrenagem menor em mm
 diâmetro primitivo da engrenagem maior em mm 
= coeficiente elástico, sendo valor negativo por ser caracterizado como compressão e definido pela
equação. 
ϕ r1 =
dp⋅senϕ
2 r2 =
dG⋅senϕ
2 r1  e  r2
dp =
dG =
−Cp
Equações de Tensões (AGMA) 
AGMA (American Gear Manufacturers Associations), contém uma metodologia de cálculo de
engrenagens muito utilizada no mundo inteiro e por isso vamos apresentá-la aqui. Também para que
não tenhamos muita confusão na simbologia, vamos adaptar algumas delas ao qual já estamos
utilizando. 
As equações de tensão também são duas, uma para flexão ( ) e outra para desgaste ( ), sendo: σ σc
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σ =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
W
t
⋅ Ko ⋅ Kv ⋅ Ks ⋅ ⋅    (unidades no sistema americano)
W
t
⋅ Ko ⋅ Kv ⋅ Ks ⋅ ⋅   (unidades SI)
Pd
F
Km⋅KB
J
1
b⋅mt
KH⋅KB
YJ
σc =
⎧⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎨
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎩
Cp ⋅√W
t
⋅ Ko ⋅ Kv ⋅ Ks ⋅ ⋅    (unidades no sistema americano)
ZE ⋅√W
t
⋅ Ko ⋅ Kv ⋅ Ks ⋅ ⋅      (unidades no SI)
Km
dp⋅F
Cf
I
KH
dw1⋅b
ZR
ZI
Onde, para unidades inglesas (unidades SI): 
 força tangencial transmitida, em lbf (N) 
 fator de sobrecarga; 
 fator dinâmico; 
 fator de tamanho; 
 passo diametral transversal; 
F(b) = largura da face do membro mais estreito, em in (mm); 
 fator de distribuição de carga; 
 fator de espessura de aro (de borda); 
 fator geométrico para a resistência flexional (que inclui o fator de concentração de tensão de
adoçamento de raiz ) 
 módulo métrico transversal; 
 coeficiente elástico, ; 
 fator de condição superficial; 
 diâmetro primitivo (de passo) da engrenagem menor, em in (mm); 
 fator geométrico para a resistência de desgaste. 
W
t
=
Ko =
Kv =
Ks =
Pd =
Km (KH) =
KB =
J  (YJ) =
Kf
mt =
Cp (ZE) = √   (√ )
lbf
in
2
N
mm
2
Cf (ZR) =
dp (dw1) =
I  (ZI) =
Equações de resistência AGMA 
Também aqui, nosso foco será sobre as tensões admissíveis para flexão ( ) e para
desgaste ( ), assim temos: 
σadm
σc,adm
σadm =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
⋅    (unidades no sistema americano)
⋅   (unidades no SI)
St
SF
YN
KT⋅KR
St
SF
YN
Yθ⋅YZ
Onde, para unidades inglesas (unidades SI): 
 tensão de flexão admissível, ; 
 fator de ciclagem de tensão para tensões de flexão; 
 fatores de temperatura; 
 fatores de confiabilidade; 
 fator de segurança AGMA, uma razão de tensão. 
A tensão de flexão admissível, é função ao tipo de material e tratamento térmico empregado. 
St = lbf/in2   (N/mm2 )
YN =
KT  (Yθ) =
KR   (YZ) =
SF =
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Agora para a tensão admissível de resistência a compressão (desgaste) ( ), temos: σc,adm
σc,adm =
⎧⎪
⎨
⎪⎩
⋅   (unidades no sistema americano)
⋅   (unidades no SI)
Sc
SH
ZH⋅CH
KT⋅KR
Sc
SH
ZN⋅ZW
Yθ⋅YZ
Onde, para unidades em sistema americano (unidades SI): 
 tensão de contato admissível ; 
 fator de ciclagem da tensão; 
 fatores de razão de dureza para a resistência ao desgaste; 
 fator de segurança AGMA, uma razão de tensão. 
A tensão admissível de resistência ao desgaste, também é função ao tipo de material e
tratamento térmico empregado. 
Sc = lbf/in2   (N/mm2 )
ZN =
CH   (ZW) =
SH =
Dimensionamento de Engrenagens 
Para o dimensionamento de engrenagens cilíndricas de dentes retos e dentes helicoidais, devemos em
primeiro lugar, identificar as características de nomenclatura e usar formulários padrões encontrados
na revisão bibliográfica. Após isto devemos avaliar as questões de flexão e desgaste dos dentes de
engrenagens, onde apresentamos uma metodologia por Lewis, e outra pela metodologia AGMA. Deste
modo, podemos elaborar projetos de engrenagens com alto grau de precisão. 
Vimos que temos duas formas de calcular as tensões, uma pelo método de Lewis e outra proposta
pela AGMA. Ambas são válidas e muito usuais, mas comparativamente podemos observar que os
resultados obtidos pelo métodoAGMA nos traz um melhor resultado em função dos diversos
fatores de cálculos que são ponderados.